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Introduction la cristallographie

Jacques Deferne

Introduct ion la cr istal lographie

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L'Abb Ren-Just Hay (1743-1822), Professeur de minralogie au Jardin des Plantes Paris,

Pre de la cristallographie moderne


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Avant-propos

Chefs d'oeuvres de la nature, par leurs formes gomtriques, les cris-taux refltent l'arrangement priodique des atomes qui les consti-tuent.

Cette phrase rsume tout le champ d'tude de la cristallographie. Celle-ci est donc l'tude des relations troites qui relient les formes des cristaux et leurs proprits physiques et la faon dont les atomes s'arrange dans l'intimit de leur architecture.Cet ouvrage est destin avant tout aux tudiants en gologie qui abordent l'tude de la minra-

logie. Il s'adresse aussi aux amateurs de minraux qui voudraient largir leurs connaissances scientifiques au del du simple plaisir de contempler un beau cristal.La cristallographie est une discipline abstraite dont l'tude conduit vite des formulations ma-

thmatiques compliques. Dans cet ouvrage, je me suis efforc de recourir le moins possible aux rai-sonnements purement mathmatiques en choisissant une approche empirique des phnomnes.Le contenu de ce livre rsume tout ce qu'un tudiant en gologie devrait connatre avant

d'aborder l'tude de l'optique cristalline et de la minralogie descriptive.L'amateur de minraux peut trs bien se limiter l'tude des principaux chapitres qui l'intres-

sent, en laissant de ct ceux qui lui semblent trop rbarbatifs, tels ceux qui abordent le calcul cristallographique, la projection strographique, voire mme la cristallochimie.C'est dans un souci de clart que la nomenclature utilise ici a t choisie. Aprs avoir assimil la

thorie contenue dans cet ouvrage, les lecteurs qui voudraient approfondir davantage la cristal-lographie pourront alors adopter sans difficult les abrviations internationales en usage dans la littrature anglo-saxonne.

! ! ! ! ! ! ! ! ! Jacques Deferne

Premire approche des cr istaux

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Table des matiresI. Ltat cristallin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 5Les trois tats de la matire.

II. Premire approche des cristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 7La loi de la constance des angles - Thorie de la molcule constituante - La loi des caract-ristiques entires - La notation des faces - Choix des axes de coordonnes.

III. Jouons avec la symtrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!13Les cristaux prsentent une certaine symtrie - Le plan de symtrie, comme un miroir - Les axes de symtrie, comme un carrousel - Le centre dinversion - Les axes de symtrie inverses - Combinaison doprateurs de symtrie - Les 32 classes de symtrie.

IV. Reprsentation graphique des cristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 21La projection strographique - Constructions utilises en projection strographique - Pro-jection dun grand cercle - Projection du ple dun grand cercle - Le canevas de Wulff.

V. Les systmes cristallins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!25Systme cubique - Les mridries - Les formes composes - A propos de la notation des faces - Nomenclature des formes des autres systmes cristallins - Systme quadratique - Systme orthorhombique - Systmes hexagonal et rhombodrique - Systme monoclinique - Systme triclinique.

VI. Lorganisation des atomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 43Motif, rseau et maille lmentaire - Le rseau - La frquence dapparition des faces - Le motif - Plan avec glissement - Axes hlicodaux - Les groupes de symtrie - Position des atomes - Holodrie et mridries.

VII. Les rayons X au service de la minralogie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 57Nature des rayons X - Absorption des rayons X - Dtection des rayons X - Interaction des rayons X avec la matire - Diffraction des rayons X par les cristaux - Conditions de diffrac-tion - Une application simple : la mthode des poudres - Exemple concret - Identification dune espce minrale - Le diffractomtre - Analyse chimique par effet de fluorescence X.

VIII. Quelques relations mathmatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 67Le calcul cristallographique - Les zones - La loi de Weiss.

IX. Un peu de cristallochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 73La taille des atomes - Encombrement des constituants structuraux - Composs du type AB - Influence des liaisons - Les formules cristallochimiques - Quelques structures classiques - Structure des minraux silicats.

X. Aspect et proprits des minraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!85Habitus - groupement de minraux - clivage - Les macles - Les macles du quartz - Le poly-morphisme - Lisomorphisme - Les sries isomorphes - Les minraux ne sont pas toujours bien dans leur peau. Lanisotropie - Aspect des faces - Les inclusions - Le poids spcifique- La duret Anisotropie de la duret - Duret relative, duret absolue - La fusibilit - Les propri-ts optiques - La transparence - La couleur est trompeuse - Lindice e rfraction - Lclat permet de briller - La photoluminescence - Les proprits lectriques - Les proprits magn-tiques - Les proprits chimiques.


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I. L'tat cristallinLes trois tats de la matireLa matire existe l'tat solide, liquide ou gazeux. On parle aussi de phase solide, liquide ou

gazeuse. L'exemple qui nous est le plus familier est celui de l'eau qui, pression ordinaire, se trouve l'tat solide en dessous de 0, l'tat liquide entre 0 et 100 et l'tat gazeux au-dessus de 100.Le passage de l'tat solide l'tat liquide s'appelle la fusion, celui de l'tat liquide l'tat gazeux

l'vaporation. Dans le sens contraire, nous avons la liqufaction ou condensation qui ramne un corps de l'tat gazeux l'tat liquide, puis la solidification qui le fait passer l'tat solide.Sous certaines conditions, les corps peuvent passer directement de l'tat solide l'tat gazeux et,

rciproquement, de l'tat gazeux l'tat solide. On parle dans les deux cas de sublimation.

Les trois tats de la matire

La thorie cintique des gaz nous enseigne que les molcules1 possdent une nergie propor-tionnelle la temprature absolue. Cette nergie, sous forme cintique, communique aux mol-cules une vitesse leve. Ainsi temprature ordinaire, les molcules d'air qui nous entourent (azote, principalement) se dplacent une vitesse d'environ 300 m/s.Par ailleurs, ces molcules sont attires les unes vers les autres par des forces de cohsion qui ne

s'exercent effectivement que lorsqu'elles sont trs proches l'une de l'autre. Lorsque leur vitesse est leve, elles se dplacent en ligne droite, rebondissant sur les obstacles qu'elles rencontrent. Pro-portionnellement leur taille, elles restent loignes les unes des autres et elles ne se heurtent que rarement. Dans ce dernier cas, elles rebondissent aussitt, car les forces de cohsion ne sont pas assez grandes, relativement celle de leur nergie cintique, pour les maintenir runies. C'est l'tat gazeux. Le remplissage de l'espace est faible et, pression ordinaire, le poids spcifique d'un gaz est peu lev. Un mtre cube d'air ne pse que 1.3 kg. Si la temprature baisse, l'nergie cintique des molcules diminue et leur vitesse est plus faible.

Ltat gazeux : les molcules sont loignes les unes des autres et sont animes dune vitesse leve.

L'tat liquide : les molcules sont pro-ches les unes des autres. Elles peuvent glisser les unes sur les autres.

Les forces de cohsion parviennent les maintenir en contact les unes avec les autres. Les liai-sons sont toutefois assez lches et les molcules sont animes de mouvements pendulaires qui leur permettent de glisser les unes sur les autres. Elles ne peuvent tre maintenues runies qu'en

solide liquide gazeux

fusion vaporation

liqufactionsolidification


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1 ! Nous appelons "molcules", des particules lmentaires sans prciser pour l'instant s'il s'agit d'atomes ou de molcules au sens o l'entendent les chimistes.

de trs petits volumes, les gouttes. Pour des quantits plus importantes, il faut un rcipient pour les maintenir ensemble. C'est l'tat liquide. Si la temprature baisse encore, l'nergie cintique des molcules n'est plus suffisante pour leur permettre de se dplacer. Elles sont animes d'un mouve-ment de vibrations de faible amplitude autour d'une position fixe. C'est l'tat solide. De plus, elles ne sont pas immobilises dans des positions quelconques, mais tendent se disposer d'une manire parfaitement ordonne qui dtermine une configuration gomtrique rptitive dans les trois di-mensions de l'espace. Cet tat ordonn de la matire solide s'appelle l'tat cristallin.

Dans ltat cristallin, les molcules sont arranges selon une confi-guration parfaitement gomtrique.La plupart des substances minrales l'tat solide sont cristallises. L'tat cristallin est l'tat normal du rgne minral. Certains corps font exception et les atomes qui les constituent sont disposs en dsordre. Ce sont principalement les verres et certains plastiques. Les physiciens les considrent comme de "faux tats solides" et les assimilent des liquides extrmement visqueux.L'tat cristallin ne se limite pas uniquement aux beaux cristaux des muses, mais il s'tend la quasi totalit des substances solides du rgne minral. L'tat cristallin n'implique pas ncessairement la prsence de cristaux bien dvelopps aux faces lisses et brillantes. Ainsi, les minraux constitutifs du granite (quartz, feldspath et mi-ca) sont des grains sans contours bien dfinis. Au cours de leur croissance dans le magma originel, les germes cristallins se sont d-velopps tout d'abord librement, puis, en grandissant, il se sont g-

ns mutuellement dans leur croissance, occupant les espaces laisss vides par leurs voisins au d-triment de leur forme propre. Ce sont des minraux dits xnomorphes.

Schma de la croissance des minraux d'une roche ruptive.A l'oppos, les cristaux bien dvelopps, ceux qu'on admire dans les vitrines des collectionneurs,

se forment dans des conditions bien particulires. Ils ont cristallis dans des espaces libres, fissu-res ouvertes, godes, sans rencontrer d'obstacles au cours de leur croissance. C'est le cas des "fis-sures alpines" quon rencontre dans les roches de composition granitique. Sur les parois de ces fissures, les eaux de circulation venant de zones profondes, chaudes et charges de substances chimiques, ont petit petit abandonn les sels minraux qu'elles vhiculaient, au fur et mesure que la pression et la temprature diminuaient. On utilise l'adjectif idiomorphe pour qualifier les minraux qui prsentent des formes cristallines bien dveloppes.

Minraux informes dans une roche Halite en cristaux bien dvelopps

L'tat cristallin : les atomes sont maintenus des empla-cements fixes. Ils vibrent sans s'carter trop de leur place.


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II. Premire approche des cristaux

La loi de la constance des angles Les beaux cristaux, galement dvelopps dans toutes les directions,

comme celui reprsent ci-contre, sont plutt rares. Sur celui-ci, on distingue des faces planes, limites par des artes qui convergent vers des sommets. Depuis trs longtemps, les naturalistes, intrigus par les formes gomtriques des minraux, ont compar les diver-ses formes cristallines entre elles. En 1669, le danois Nicolas Steno, qui avait effectu des sections travers de nombreux cristaux de quartz d'origines diverses, nonce la loi de la constance des angles.

Forme idalise dun cristal de quartz

Sections travers diffrents cristaux de quartz

En termes plus concrets, cette loi signifie que l'orientation d'une face vis vis des autres faces est toujours la mme. La forme apparente d'une face, son contour ou l'importance de son dvelop-pement n'ont pas de signification particulire. C'est son orientation dans l'espace, relativement aux autres faces, qui est prpondrante.

Trois aspects diffrents de la pyrite. Les contours et l'importance du dveloppe-ment des faces sont diffrents d'un exemple l'autre. Toutefois leur orientation rciproque est constante et l'angle qu'elles font entre elles est de 54 44'.

Thorie de la molcule constituante La calcite est un minral fascinant qui montre une grande diversit de formes. Le point commun

de toutes ces formes est leur mode de fragmentation : si on casse un cristal de calcite on obtient, non pas des fragments informes qui rappelleraient le verre bris, mais des paralllpipdes qui ressemblent des cubes dforms et que les cristallographes nomment rhombodres. Ceux-ci se

sommet

arte

face

Quelque soit l'aspect extrieur et la dimension des cristaux d'une mme espce cristalline, les angles que font entre elles les faces correspondantes sont gaux.


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fragmentent leur tour en d'autres rhombodres plus petits, aussi loin que le pouvoir sparateur du microscope permet de les observer.

Trois formes diffrentes de la calcite Rhombodres de clivage

A partir de cette observation, l'abb Ren-Just Hay a imagin qu'il devait exister une "brique lmentaire" - le rhombodre, dans le cas de la calcite - qu'il dsigna sous le nom de molcule constituante.Par empilements de rhombodres, il est parvenu reconstituer toutes les formes de la calcite.

Dans son Essai d'une thorie de la structure des cristaux, paru en 1784, il dfinit le terme de struc-ture comme le mode d'arrangement des molcules constituantes. Nous savons aujourd'hui que la molcule constituante n'existe pas rellement sous la forme qu'Hay avait imagine. Toutefois, le mrite de cette thorie est d'avoir mis en vidence le caractre priodique de l'architecture intime des cristaux et d'avoir pressenti, sans le deviner vraiment, l'existence de la maille lmentaire. Sa dcouverte a ouvert la voie de la cristallographie moderne.

Ren-Just Hay, 1743-1822, professeur de minralogie au Jardin des Plantes, Paris.

Scalnodre ditrigonal reconstitu par empilement de rhombodres lmentaires (dessin d'Hay).

Lois de dcroissance des gradins dterminant l'orientation des faces (selon Hay).Lois de dcroissance des gradins dterminant l'orientation des faces (selon Hay).

La loi des caractristiques entiresDj la fin du XVIIIe sicle (Hay 1781, Bergmann 1773), quelques naturalistes avaient re-

marqu que les faces des cristaux n'avaient pas des orientations quelconques, mais que leur posi-tion relative aux autres faces tait parfaitement bien dfinie. En choisissant judicieusement des axes de coordonnes ainsi que les units relatives sur ces axes, ils avaient constat que toutes les faces d'un cristal coupaient ces axes des distances formant entre elles des rapports de nombres entiers relativement simples.


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Pour mieux comprendre cette loi, examinons un cristal de barytine. On remarque que ce cristal prsente une "certaine symtrie". On pourrait "l'enfermer" dans un paralllpipde rectangle engendr par l'extension imaginaire des faces a, b et c. Choisissons des axes de coordonnes pa-rallles aux trois artes de notre paralllpipde et passant par le centre du cristal. Elles dtermi-nent les axes X, Y et Z. Choisissons une face oblique sur les trois premires, z, par exemple. Si on la prolonge, elle coupe les axes aux points A, B et C. Dcidons encore d'adopter, sur chacun des axes, des units relatives proportionnelles aux distances OA, OB et OC.Essayons d'exprimer l'orientation des autres faces au moyen des paramtres ainsi dfinis. Ainsi

la face y coupe les axes en H, K et L. On peut exprimer les distances OH, OK et OL en fonction des units relatives OA, OB et OC. On constate que la face y coupe les axes aux distances :

OH___OA

OK___OB

OL___OC

soit dans notre exemple :18___10

9___10

9___10

Intersection de deux faces, y et z, avec les axes de coordonnes.

Comme on peut toujours dplacer une face paralllement elle-mme, ce sont les rapports de ces trois nombres qui nous intressent, soit, dans le cas prsent 2 1 1. On peut ainsi toujours exprimer l'orientation d'une face par trois nombres premiers entre eux ne

dpassant que rarement 10. Ces nombres, positifs ou ngatifs suivant le ct o ils coupent l'axe, constituent la notation de la face. La loi des caractristiques entires s'exprime de la manire sui-vante :

La notation des facesOn peut donc exprimer l'orientation d'une face au moyen de trois nombres entiers qui sont les

rapports des distances (exprimes dans les units dfinies plus haut) auxquelles elle intercepte les axes de coordonnes. Cette notation directe s'appelle la notation de Weiss2. Elle a l'inconvnient de comporter le symbole [] pour les faces parallles un ou deux axes de coordonnes. Aussi lui prfre-t-on la notation dite de Miller3, universellement utilise aujourd'hui, constitue de trois nombres entiers h, k et l, qui sont les inverses des rapports des distances interceptes sur les axes. Le symbole devient 0 et peut donc faire l'objet d'oprations mathmatiques.

Les rapports des segments dtermins sur les mmes axes par deux faces quelconques sont toujours des nombres rationnels relativement simples.


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2! Christian Samuel Weiss, cristallographe allemand, 1780-1856.3! William Miller, cristallographe anglais, 1801-1880.

On obtient donc des rapports de fractions ordinaires qu'on transforme ensuite en rapports de nombres entiers vis--vis d'un dnominateur commun. Ces trois nombres sont mis entre paren-thses : (hkl). La face y est donc note (122).

face intersections sur les axes (WEISS) Inversesnotation de

MILLER

z 1 1 1 1 1 11 1 1 (111)

y 2 1 1 1 1 12 1 1 (122)

r 2 2 1 1 1 12 2 1 (112)

d 2 1 1 1 12 1 (102)

m 1 1 1 1 11 1 (110)

La figure ci-dessus reprsente nouveau les axes de coordonnes avec les units dfinies pour la barytine, ainsi que les orientations des faces x, y, d et m, avec leurs intersections sur les axes. En les dplaant paralllement elles-mmes, on arrive toujours ce qu'elles interceptent les axes des nombres entiers d'units (consquence de la loi des indices rationnels). La notation de chaque face s'obtient donc en prenant les inverses des longueurs interceptes sur chaque axe. On cherche ensuite le plus petit commun dnominateur et on porte les valeurs du numrateur en-

tre parenthses. Le tableau ci-dessous rsume cette opration pour les diverses faces de la barytine. Si une face intercepte le ct ngatif

d'un axe, on place un signe ngatif [] au-dessus du chiffre correspondant. Dans un texte, les indices sont placs en-tre parenthses. Sur un dessin celles-ci peuvent tre supprimes.

Orientation des faces de la barytine

Indices de Miller des faces visibles d'une bipyramide rhombique.

Choix des axes de coordonnesUn choix judicieux des axes est ncessaire afin que les indices des faces soient des nombres en-

tiers relativement simples. Dans la mesure du possible, on s'efforce de choisir des faces primitives, c'est dire trois faces dont les intersections mutuelles dtermineront les axes de coordonnes, ayant entre elles des rapports gomtriques les plus simples possibles.


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Le choix de la face unitaire, c'est--dire celle dont les intersections avec les axes dterminent les units, doit tre particulirement judicieux. On la choisira gnralement en raison de son dve-loppement important.Notons que ces units ne sont que des valeurs relatives l'une l'autre et qu'il ne s'agit pas de

valeurs absolues. Ainsi, pour chaque espce minrale, aprs avoir fait le choix des axes de coor-donnes et de la face unitaire, on note la valeur des paramtres de la manire suivante :

OA___OB

:OB___OB

:OC___OB

Au XIXe sicle, ces paramtres ont t calculs pour la plupart des espces minrales. Ce calcul porte le nom de calcul cristallographique. Il s'effectue partir des mesures des orientations mu-tuelles des faces l'aide dun goniomtre. Nous verrons plus loin les principes de ces calculs. A titre d'exemple, les paramtres de la barytine exprims de cette manire, sont 1.627 : 1 : 1.311.

Pour dfinir compltement les axes de coordonnes d'une espce minrale, il faut indiquer les an-gles que font entre elles les directions des axes ainsi que les paramtres dfinis plus haut. Le cas le plus simple est celui d'axes orthogonaux avec des paramtres tous gaux. Le plus compliqu est ce-lui d'axes non orthogonaux avec des paramtres tous diffrents.

Axes orthogonaux avec des paramtres gaux.

Axes non orthogonaux avec des paramtres ingaux


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III. Jouons avec la symtrieLes cristaux prsentent une certaine symtrieLes cristaux bien dvelopps montrent des faces planes limites par des artes qui elles-mmes

convergent vers des sommets. En observant attentivement les cristaux, on constate qu'ils prsen-tent une certaine symtrie. Ce terme de symtrie recouvre en fait une discipline abstraite qui relve des lois de la gomtrie.

Il s'agit de lois de rptitions effectues par des oprateurs de symtrie dont les principaux sont le plan de symtrie, l'axe de symtrie et le centre d'inversion.

Le plan de symtrie, comme un miroirC'est un plan qui caractrise les symtries bilatrales. Il ddouble les lments d'un objet, agis-

sant comme un miroir. Toutes les faces, artes et sommets d'un cristal retrouvent une image iden-tique (mais non superposable) de lautre ct du plan. Ainsi, vue dans un miroir, la main droite aura lair dune main gauche. On qualifie d'nantiomorphes de tels objets identiques mais non superposables.

Plan de symtrie. Le plan de symtrie produit des objets non

superposables, dits nantiomorphes

Les axes de symtrie, comme un carrousel !Ici, toute les faces, artes et sommets sont "rpts" par rotation autour d'un axe. Au cours

d'une rotation complte (360), chaque lment est rpt 2, 3, 4 ou 6 fois, suivant l'ordre de l'axe. Dans le monde minral il n'existe que des axes d'ordre 2, 3, 4 et 6.

Si tous les points d'un objet peuvent tre rpts sur des normales un plan, gale distance de part et d'autre de celui-ci, on dit qu'il possde un plan de symtrie.

P

Si, au cours d'une rotation de 360 autour d'une droite, un objet prend n positions identiques telles qu'une d'entre elles ne peut pas tre distingue de la prcdente, on dit qu'il possde un axe de symtrie d'ordre n.


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Axes de symtrie d'ordre 2, 3, 4 et 6. On voit que les axes peuvent passer par le milieu d'artes opposes, par le milieu de faces opposes ou par des sommets opposs.

Le centre d'inversionToutes les faces de la forme cristalline sont reproductibles deux deux par inversion de leurs

sommets et de leurs artes par rapport un centre d'inversion, appel parfois aussi centre de sy-mtrie.

Forme cristalline avec un centre d'inversion.

Mcanisme de l'inversion.

Chaque face d'une forme cristalline ayant un point d'inversion, possde une face quivalente parallle. Cette particularit permet de reconnatre la prsence ou l'absence de cet oprateur de symtrie.

A6A4A3A6

Si tous les points d'un objet peuvent tre rpts sur des droites concourantes un point et gales distances de part et d'autre de celui-ci, on dit qu'il possde un centre d'inversion.

centre d'inversionA

B

C

C' A'

B'

Jouons avec la symtr ie

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Les axes de symtrie inversesL'axe inverse est un oprateur multiple qui associe deux oprations : un axe et un point d'inver-

sion.

Axes d'inversion d'ordre 2, 3, 4 et 6

On remarque que l'axe inverse d'ordre 2 correspond une rflexion sur un plan normal. De mme, l'axe inverse d'ordre 6 correspond un axe direct d'ordre 3 associ un plan perpendiculaire.

Oprateurs de symtrie ponctuelle et symboles qui les dsignent

Oprateur Opration Multiplicit NotationpratiqueNot. inter-nationale Oprateurs quivalents

axe d'ordre 2axe d'ordre 3axe d'ordre 4axe d'ordre 6

rotation"""

2346

A2A3A4A6

2346

plan rflexion 2 P m

centre inversion 2 C I peut tre considr comme un axe inverse d'ordre 1axe inv. d'ordre 2 rot. + inv. 2 P 2 = m quivaut un plan normal l'axeaxe inv. d'ordre 3 rot. + inv. 6 A6 3 quivaut A3 + Caxe inv. d'ordre 4 rot. + inv. 4 A 4 4 identit propreaxe inv. d'ordre 6 rot. + inv. 6 (A3 P3 ) 6 quivaut A3 + P3 (plan normal)

On dit qu'un objet possde un axe d'inversion d'ordre n si tous ses points peuvent tre rpts par une rotation de 360/n suivie d'une inversion par rapport un point situ sur cet axe.


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Les axes inverses peuvent tous tre exprims par des combinaisons d'oprateurs simples, l'ex-ception de l'axe inverse d'ordre 4 qui est le seul prsenter une identit propre.

Prisme et sphnodre quadratique Rhombodre avec son axe inverse avec leur axe inverse d'ordre 4 d'ordre 3.

Combinaisons d'oprateurs de symtrie La symtrie de chaque forme cristalline est conditionne par la prsence d'un certain nombre

d'oprateurs de symtrie. Par exemple, l'hmimorphite (un silicate de zinc) possde 2 plans de symtrie et un axe d'ordre

2 passant par l'intersection des plans. Certains cristaux prsentent une symtrie basse : un seul axe, un plan, alors que d'autres prsentent une symtrie leve, caractrise par la prsence de nombreux oprateurs de symtrie. Le cube, par exemple, comporte 13 axes de symtrie, un centre d'inversion et 9 plans. L'ensemble des oprateurs de symtrie qui caractrisent une forme

cristalline constitue sa formule de symtrie. Il est intressant de noter que tous les oprateurs de symtrie caractrisant un objet, concourent en un point commun au centre de cet objet. Pour cette raison on parle de symtrie ponctuelle.Les combinaisons d'oprateurs de symtrie obissent des lois trs

strictes (des thormes) qui en limitent le nombre. Ainsi, dans le monde minral, on ne trouve que 32 combinaisons possibles qui dfinissent les 32 classes de symtrie. Chaque espce minrale appartient ncessaire-ment l'une de ces 32 classes. Les thormes de symtrie constituent un auxiliaire prcieux dans la recherche des formules de symtrie et permettent de reconstituer facilement les 32 classes de symtrie.

Les 32 classes de symtrieOn peut reconstituer systmatiquement les 32 classes de symtrie en examinant successivement

les sept associations possibles d'oprateurs et, pour chacune d'elles, on essaye les diverses combi-naisons d'axes, plans et centre d'inversion, en prenant soin de respecter les thormes de sym-trie. Le tableau de la page 20 prsente l'ensemble de ces combinaisons. Le tableau de la page 22 prsente, sous une autre disposition, les 32 classes de symtrie.Rappelons que la multiplicit M d'une classe de symtrie correspond au nombre de rptitions

d'une face d'orientation quelconque (ni normale, ni parallle un axe) par les oprateurs de sy-mtrie. Dans chaque systme, une classe possde la multiplicit maximum. Cette classe, la plus symtrique du systme considr, est l'holodrie. Si la multiplicit diminue de moiti on a une hmidrie; si elle diminue encore une fois de moiti c'est une ttartodrie.Ces termes comportent parfois un prfixe ou sont remplacs par d'autres termes plus particuliers.

Ainsi l'holoaxie est une mridrie qui n'a conserv que les axes, alors que dans lexemple de l'h-mimorphite (ci-dessus) est caractrise par la disparition du plan normal un axe principal. On utilise parfois le prfixe para- pour les hmidries centres et anti- lorsqu'il n'y a pas de centre.

Hmimorphite et ses trois lments de symtrie.

A2

PP'


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Les principaux thormes de symtrie ponctuelleLes principaux thormes de symtrie ponctuelle

1 Une forme cristalline ne peut avoir que des axes d'ordre 2, 3, 4, 6.(Il s'agit d'un thorme restrictif qui ne s'applique qu'aux substances cristallises) 2 a Un plan perpendiculaire un axe d'ordre pair entrane l'existence d'un centre d'inversion;

2 b Un centre d'inversion situ sur un plan implique l'existence d'un axe d'ordre pair normal au plan et passant par le centre;

2 cUn centre situ sur un axe pair entrane l'existence d'un plan normal l'axe et passant par le centre.(C'est un thorme important. On peut le rsumer en disant que pour les trois oprateurs, axe pair, plan normal et centre d'inversion, l'existence de deux d'entre eux entrane l'existence du troisime)

3 Un plan normal un axe impair (axe d'ordre 3) interdit la prsence d'un centre;

4 a La prsence d'un axe binaire perpendiculaire un axe d'ordre k entrane l'existence de k axes bi-naires perpendiculaires cet axe; l'angle dtermin par deux axes binaires est alors gal /k;

4 b Dans une figure qui n'a que k axes binaires situs dans un mme plan, la perpendiculaire au plan est alors un axe d'ordre k;

5 a Si une figure a un axe d'ordre k et un plan passant par cet axe, cela entrane l'existence de k plans passant par l'axe; l'angle entre deux plans est alors /k;

5 b Si une figure n'a que k plans passant par une droite, celle-ci est un axe d'ordre k;

6 Lorsqu'il y a plus d'un axe d'ordre suprieur 2, les seules combinaisons possibles d'axes sont 3A2 4A3 ou 3A4 4A3 6A2. Toutefois les axes d'ordre 3 et 4 peuvent devenir des axes inverses;7 a Un axe impair devient un axe inverse s'il existe un centre;7 b Un axe inverse impair implique l'existence d'un centre et exclut l'existence d'un plan normal;7 c Un axe inverse d'ordre 4 est un oprateur qui n'admet ni plan normal ni centre.

On voit donc que les 32 classes de symtrie se rpartissent leur tour en sept systmes cristallins, dfinis chacun par une association particulire d'oprateurs de symtrie. Ces sept systmes cor-respondent aussi sept paralllpipdes dont les artes serviront d'axes de coordonnes pour les reprsentations graphiques des cristaux.

Les sept systmes cristallins Les sept systmes cristallins Les sept systmes cristallins

Systme Caractristique Multiplicit de l'holodriecubique

quadratiqueorthorhombiquemonoclinique

hexagonalrhombodrique

triclinique

4 axes d'ordre 3un axe principal d'ordre 4

3 lments binairesun lment binaire

un axe principal d'ordre 6un axe principal d'ordre 3

axe direct ou inv. d'ordre 1 (C ou rien)

481684

24122


16

On appelle holodrie une forme qui prsente la totalit des lments de symtrie du systme. La multiplicit est le nombre de fois quune face oriente dune manire quelconque est rpte par les lments de symtrie.

Cubique Cube

QuadratiquePrisme droit

base carre

OrthorhombiquePrisme droit

base rectangle

HexagonalPrisme droit base

hexagonale

Rhombodriquerhombodre

Monocliniqueprisme oblique

base rectangle

Tricliniqueprisme oblique surtoutes les artes

Recherche systmatique des 32 classes de symtrieRecherche systmatique des 32 classes de symtrieRecherche systmatique des 32 classes de symtrie

Axes axe inverse axe + plan axe+plans l'axeaxe+axesbinaires

axe+ plans +plans + C

axes inv. +plans passant

par l'axenot. internat. X X X/m Xm X2 X/mm Xm

triclinique 1 (= C)

monoclinique A2 2 (= P) A2CP2

orthorhombique A2P2P'2 A2A'2A"2 A2A'A"2P2P'2P"2

rhombodrique A3 3 (ou A3C) (A3 3) A3 3P2 A3 3A2 A6/3 3A2 C 3P2 A 6/33A2C3P2

quadratique A4 4 (= A 4/2) A4 C P4 A4P2P'2 A42A2"2A'2 A42A22A'2CP42P2 2P'2 A4 2A2 2P'2

hexagonal A6 6(=A3P3) A6 C P6 A6 3P2 3P'2 A6 3A2 3A'2 A6 3A2 3A'2 C 3P2 3P'2 A33A2P33P2

cubique 3A24A3 A3P3 3A24A3C3P2 3A44A36A2 3A44A36A2 3A44A36A2C3P46P2 3A4/2 4A36P2

La notation internationale, dite aussi "Hermann-Mauguin", est utilise dans les tables internationales de cristallographie. Elle a l'avantage d'tre trs condense mais prsente l'inconvnient de ne pas tre "vi-suelle". Elle est base sur le principe suivant :

- X (un nombre) dsigne un axe d'ordre X,- X dsigne un axe inverse d'ordre X, - X/m un axe normal un plan,- Xm un plan passant par l'axe- X2, un axe d'ordre X avec des axes binaires normaux cet axe- X/mm, un axe avec 2 sortes de plans.

Cette notation implique une parfaite connaissance des thormes de symtrie, car les lments rendus obligatoires par ces derniers ne figurent pas dans la formule.


17

Ainsi 432 signifie 3A4 4A3 6A2 (consquences du thorme VII) et 3A4 4A3 6A2 C 3P4 6P2 devient 4/m3m, ce qui signifie axes d'ordre 4 avec plans normaux et axes d'ordre 3 passant par les axes. Cette notation peut encore tre simplifie et 4/m3m devient m3m !

Les 32 classes de symtrie Systme Formule de symtrie Mult. Classe Not.intern.Cubique 3A44A6/3 6A2C3P46P2

3A4 4A3 6A23 A4/2 4A3 6P23A2 4A6/3 C 3 P23A2 4A3

4824242412

holodrieholoaxieantihmidrieparahmidriettartoaxie

m3m43243mm323

Quadratique A4 2A2 2A'2 C P42P2 2P'2A4 2A2 2A'2A4 2P2 2P'2A4 C P4A4/2 2A2 2P'2

A4/2A4

16888844

holodrieholoaxiehmimorphieparahmidrieantihmidriettartodriettartodrie hmimorphe

4/mmm4224mm4/m42m

44

Monoclinique A2 C P2A2P2

422

holodrieholoaxieantihmidrie

2/m2m

Orthorhombique A2 A'2 A"2 C P2 P'2 P"2A2 A'2 A"2A2 P'2 P"2

844

holodrieholoaxiehmimorphie

mmm222mm2

Hexagonal A6 3A2 3A'2 C P6 3P2 3P'2A6 3A2 3A'2A6 3P2 3P'2A6 C P6A3 3A2 P3 3P'2A3 P3A6

241212121266

holodrieholoaxiehmimorphieparahmidrieantihmidriettartodriettartodrie hmimorphe

6/mmm6226mm6/m6m2

66

Rhombodrique A6/3 3A2 C 3P2A3 3A2A3 3P2A6/3 CA3

126663

holodrieholoaxiehmimorphieparahmidriettartodrie

3m323m33

Triclinique C---

21

holodriehmidrie

11


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IV. Reprsentation graphique des cristaux

Nous n'allons pas traiter de la manire dont les cristaux sont dessi-ns, mais de leur reprsentation dans les divers systmes de projec-tion, en particulier la projection strographique. Nous savons dj que c'est l'orientation d'une face qui importe et

non son contour ou l'importance de son dveloppement. Aussi som-mes-nous conduits adopter un systme de projection dite "po-laire", pour reprsenter les faces d'un cristal. On procde en deux temps : tout d'abord on imagine le cristal au centre d'une sphre. Ds lors, chaque face est reprsente par l'intersection avec la sphre de sa normale passant par le centre de la sphre. Ce point est quali-fi de ple de la face.Il faut ensuite imaginer un systme de projection sur un plan, de

l'ensemble des ples des faces. C'est le mme problme que celui des gographes qui doivent reprsenter notre globe terrestre sur une carte de gographie plane. On peut imaginer trois sortes de projection du ple P d'une face :- la projection orthogonale, qui consiste abaisser la normale du ple P en un point Po, sur le

plan de projection (le plan quatorial ou le plan tangent au ple nord de la sphre, dans notre exemple).

- la projection gnomonique, qui consiste prolonger la polaire jusqu'au plan tangent un des ples de la sphre ( Pg ).

- La projection strographique, qui utilise le plan quatorial comme plan de projection et le ple S comme point de vue (Ps).

C'est surtout la projection strographique qui est utilise en cristallographie. Elle possde l'avantage sur les autres que la projection d'un cercle reste un cercle et que les angles entre les arcs de grands cercles (plans passant par le centre de la sphre) sont projets en vraie grandeur.

O Po = r cos N Pg = r ctg O Ps = r ctg /2

Po projection orthogonale Divers systmes de projection du ple PPg projection gnomoniquePs projection strographique

Ples des faces d'un cristal sur une sphre.

Reprsentat ion graphique des cr istaux

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a) strographique b) gnomonique c) orthogonaleReprsentation d'un cercle selon diverses projections.

La projection gnomonique est utilise lorsqu'on veut dessiner des cristaux en perspective. La pro-jection strographique est d'un emploi simple et commode. Elle peut tre utilise dans de nom-breux problmes se rapportant l'orientation de plans dans l'espace, en particulier en gologie applique.

La projection strographiqueLa projection a lieu sur le plan dfini par le cercle quatorial qu'on nomme cercle de base ou

encore cercle de projection. Le point de vue est le ple sud de la sphre. Les points situs dans l'hmisphre nord sont projets l'intrieur du cercle de base, ceux situs dans l'hmisphre sud sont projets l'extrieur. S'ils sont trop proches du point de vue, leur projection se trouve trs loin du cercle de base. Aussi on peut adopter la convention que les points situs dans l'hmi-sphre sud sont projets en utilisant le ple nord comme point de vue. On adopte alors des figurs diffrents suivant le point de vue utilis.

Projection strographique utilisant le ple sud comme point de vue.

Projection strographique utilisant les deux ples comme point de vue.

Constructions utilises en projection strographiqueLes divers problmes de constructions sont bass sur le principe du rabattement. Prenons

l'exemple le plus simple, celui de la projection d'un point P dont on connat les coordonnes. Ces dernires sont semblables celles utilises pour situer un lieu sur le globe terrestre : on a l'angle , comparable la longitude, - angle entre la trace du mridien d'origine choisi arbitrairement et le mridien du point P et l'angle , comparable la latitude, qui est la hauteur angulaire du point P au-dessus du cercle quatorial.


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La figure ci-dessous montre la perspective et la construction de la projection. Sur la projection on dessine la trace du mridien dorigine O. On dessine ensuite la trace du mridien du point P, qui se trouve la distance angulaire de O. La prolongation de cette dernire droite coupe le cercle de base en uu'. On effectue alors un rabattement, c'est dire qu'on fait pivoter le grand cercle uPNu' autour de la droite uu'. Sur la projection le point N vient en (N), le point P en (P) et le ple S en (S). On peut alors tracer l'angle qui se trouve maintenant dans le plan du dessin grce au rabattement. On trace ensuite une droite entre (P) et le point de vue (S) et on trouve le point p, projection de P. Comme il se trouve sur l'axe de rotation, situ lui-mme dans le plan de projec-tion, la rotation du plan uPNu' le laisse invariant.

vue en perspective construction de la projection

Projection d'un point P dont on connat les coordonnes y et r.Projection d'un point P dont on connat les coordonnes y et r.

Projection dun grand cercleC'est un problme qui se pose trs souvent. Nous savons que la projection d'un cercle est un cer-

cle. Il nous suffit donc de trouver la projection de trois points du grand cercle. Examinons la figure suivante : nous cherchons construire la projection du grand cercle aPa'P'. Ce grand cercle coupe le plan de projection en a et a' qui sont dj deux des trois points recherchs. Prenons le point P, hauteur maximum du grand cercle qui se trouve l'intersection de celui-ci avec la nor-male la droite aa'. Dans le plan de projection la trace de la droite PP' est uu'. Elle est normale aa'. Un rabattement du plan uPu' autour de uu' amne P en (P) et S en (S). On peut construire alors la projection p de P. Il ne reste plus qu' construire le grand cercle qui passe par les points a, p et a'.

a) vue en perspective b) construction de la projectionProjection d'un grand cercle d'inclinaison .

Reprsentat ion graphique des cr istaux

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Projection du ple d'un grand cercleUn grand cercle dcoupe dans la sphre un plan qu'on peut reprsenter par son ple G, intersec-

tion avec la sphre de la normale au grand cercle passant par le centre de la sphre. On voit, sur le dessin suivant, comment on obtient la projection du ple G. Dans le rabattement effectu au-tour de la droite uu', on trace la normale OP. On obtient le point (G) dont la projection g est celle du ple du grand cercle.

vue en perspective construction de la projection

Projection du ple dun grand cercle.Projection du ple dun grand cercle.Projection du ple dun grand cercle. Il faut remarquer que la projection du ple du grand cercle ne correspond pas au centre gom-

trique du cercle projet ! Les autres problmes, tracs de petits cercles ou distances angulaires, ne sont gure plus compli-qus, et les constructions qu'ils exigent sont toujours bases sur le principe du rabattement.Pour faciliter les constructions, divers auteurs ont proposs des canevas dont le plus connu est

celui de Wulff Il consiste en une srie de grands cercles nord-sud, construits de deux en deux de-grs, recoups par des petits cercles parallles l'quateur.

Le canevas de WulffLes constructions s'effectuent sur un papier cal-

que sous lequel on a plac le canevas de Wulff. On place une punaise au centre du canevas, par-dessous, pointe en haut. La pointe traverse le pa-pier calque qu'on peut faire tourner ainsi autour du centre de la construction. Ce canevas permet de mesurer immdiatement les distances angu-laires partir du centre de la projection ou du cercle de base. Il permet encore de tracer n'im-porte quel grand cercle et de mesurer une dis-tance angulaire entre deux points situs n'im-porte o sur la projection.

Canevas de Wulff.


22

V. Les systmes cristallinsChaque systme cristallin se subdivise en plusieurs classes dont une, l'holodrie, prsente l'en-

semble des lments de symtrie du systme, et dont les autres, les hmidries, ou mme les ttar-todries, ne possdent que la moiti ou le quart de ces lments. Nous verrons plus loin les causes des ces diffrences.Dans ce chapitre, nous nous proposons, en nous aidant de la projection strographique, de re-

chercher toutes les formes cristallines possibles de l'holodrie de chaque systme et de voir quelle est l'volution de ces formes dans les classes mridriques et ttartodriques. Cette recherche peut tre applique systmatiquement au trente-deux classes de symtrie. Ce travail est fastidieux, aussi nous nous limiterons quelques classes intressantes et laisserons au lecteur le soin de faire ce mme travail pour les autres classes, s'il en prouve l'envie !

Systme cubiqueL'holodrie est caractrise par la formule 3A4 43 6A2 C 3P4 6P2 . C'est celle du cube, qui est la

forme primitive partir de laquelle on peut reconstituer toutes les autres formes du systme.

A4 4A3 6A2 3 P4 6P2 Les lments de symtrie du cube.

Imaginons ce cube au centre d'une sphre et plaons les divers oprateurs de symtrie sur la projection strographique (p. 31). Les axes A4 percent la sphre, l'un au ple Nord, les deux autres l'quateur. La projection du premier se trouve au centre du cercle de base, celles des deux autres sur le cercle lui-mme. Les deux axes A2 horizontaux sortent aussi sur le cercle de base, 45 des prcdents. Le plan P4 horizontal est confondu avec l'quateur de la sphre, c'est dire avec le cercle de base lui-mme. Les autres plans P4 dcoupent sur la sphre des grands cercles verticaux dont les projections sont des droites sur le cercle de base. Les deux plans P2 ver-ticaux dcoupent aussi des grands cercles verticaux dont les projections sont des droites places 45 de celles des plans P4 . Les quatre autres plans P2 dcoupent dans la sphre des grands cer-cles inclins 45 dont les projections sont des cercles aiss construire (voir chapitre prcdent). Les axes A3 , (en ralit des axes inverses A6/3) se trouvent l'intersection de trois plans P2 , et

les quatre axes A2 inclins sont aux intersections des plans P2 et P4 .Notons encore que les axes de coordonnes utiliss dans le systme cubique sont confondus avec

les axes de symtrie A4 .Nous allons tudier successivement toutes les formes dont les faces sont perpendiculaires aux

axes de symtrie, puis parallles ces mmes axes, et enfin la forme dite "oblique" dont les faces n'ont pas d'orientation privilgie vis vis des oprateurs de symtrie.

Les systmes cr istal l ins

23

plans axes A4 axes A3 axes A2 traces des plans P4 et P2

Projection strographique des lments de symtrie du systme cubique.

La forme dont les faces sont normales aux axes A4 est le cube, ou hexadre. Les faces sont aussi perpendiculaires aux axes de coordonnes. Leur notation gnrale est {001}4. Par permutation on obtient bien les indices des six faces :

(100) (010) (001)(100) (010) (001)

Sur la projection strographique, les projections des ples des faces du cube sont confondues avec celles des axes A4.Par un raisonnement analogue nous obtenons l'octadre, dont les faces sont normales aux axes

A3, puis le dodcadre rhombodal5, dont les faces sont normales aux axes A2. Les projections des faces de ces diverses formes sont confondues avec celles des axes auxquels elles sont perpendicu-laires.La recherche des formes parallles aux axes s'effectue de la manire suivante : on place sur la

projection strographique le ple d'une face parallle un axe, l'axe A4 vertical, par exemple. Puisque le cercle de base est le lieu des ples de toutes les faces verticales (donc parallles A4 ) on peut placer ce ple a n'importe o sur ce cercle. Ce point est alors rpt par tous les opra-teurs de symtrie prsents. On obtient ainsi les 24 faces du cube pyramid. De la mme manire on obtient les 24 faces de l'octadre pyramid (appel aussi triakisoctadre) ou du trapzodre, en cher-chant les formes dont les faces sont parallles A2. Le fait qu'on obtienne deux formes diffrentes dpend de l'endroit o l'on a dispos la premire face. Enfin, si l'on place le ple d'une face d'une manire non privilgie vis vis des oprateurs de

symtrie, on obtient un solide 48 faces, l'hexakisoctadre. C'est ce dernier qui dtermine, par son nombre de faces, la multiplicit M de la classe de symtrie.


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4 ! les indices mis entre parenthses accolades signifient que toutes les permutations doivent tre effectues pour trouver les indices particuliers de chaque face. C'est le symbole gnral de la forme cristalline.

5 ! L'adjectif "rhombodal" qualifie la forme de la face, un rhombe, mot grec signifiant "losange".

A4: cube A3 : octadre A2 : dodcadre rhombodal

Formes perpendiculaires aux axes de symtrie du systme cubique, leur notation et leur orientation vis--vis des axes de coordonnes.

cube pyramid {hk0} octadre pyramid {hhl}(ou triakisoctadre) h>l

trapzodre {hhl} h

Les mridriesLe principe de la recherche des formes cristallines des classes hmidriques est le suivant: sur une

projection strographique des oprateurs de symtrie de l'holodrie du systme cubique, figurs en traits fins, on marque en couleur ou en traits gras les oprateurs encore prsents de la classe considre. On procde ensuite de la mme manires que pour l'holodrie.

La forme oblique dans les diverses mridries du systme cubique

3A4 4A3 6A2 3A2 4A3 C 3P2 3A 4A3 6P2 3A2 4A3 holoaxie! parahmidrie antihmidrie ttartodrie

gyrodre diplodre! hexakisttradre! dodcadre pentagonal ttradrique

La figure ci-dessus montre comment se comporte la "forme oblique" dans les trois mridries et dans la ttartodrie du systme cubique. La forme oblique est la seule qui soit toujours atteinte par une diminution de symtrie.Le tableau de la page 33 dcrit toutes les formes simples de l'holodrie et des mridries du sys-

tme cubique. En l'examinant, on constate que certaines formes ne sont pas altres par une di-minution de symtrie. Ainsi, le cube et le dodcadre rhombodal sont des formes qui subsistent dans les cinq classes mridres. Ces formes ne sont pas rvlatrices de la classe laquelle appar-tient un minral, contrairement la forme oblique qui est caractristique de chacune des classes. La pyrite se prsente souvent en cubes, bien qu'elle appartienne la parahmidrie de formule 3A2 4A3 C 3P2 . Mais si on observe plus attentivement un cube de pyrite, on remarque que ses faces sont souvent

stries. Comme la symtrie doit rendre compte non seulement de la forme, mais aussi des pro-prits physiques, il faut donc admettre que les axes normaux aux faces ne peuvent plus tre des axes A4, mais des axes A2. Les axes A3 ne sont pas altrs, mais les trois plans P4 deviennent des plans P2 et les anciens plans P2 disparaissent !

Formes composesJusqu' prsent nous n'avons parl que des formes simples. Mais le plus souvent les minraux

sont composs par l'association de plusieurs formes simples. Les orientations des faces restent videmment les mmes, mais leur contour se modifie par les troncatures provoques par les au-tres formes. Ainsi les faces du dodcadre pentagonal n'auront plus ncessairement un contour pentagonal !


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Quelques formes composes du systme cubique

Grenat: trapzodre et dodcadre rhombodal

cube et dodcadre Pyrite : octadre et rhombodal! dodcadre pentagonal cube et dodcadre Pyrite : octadre et rhombodal! dodcadre pentagonal

Pyrite : octadre et dodcadre pentagonal

Galne : cube, octadre et dodcadre pentagonal

Galne : cube et triakisoctadre

Les grenats montrent trs souvent la combinaison du trapzodre et du dodcadre rhombodal. La pyrite prsente les combinaisons du cube, de l'octadre et du dodcadre pentagonal. Parfois mme, suivant le dveloppement relatif des faces, la combinaison de l'octadre et du dodcadre pentagonal font croire un solide 20 faces, constitu en ralit de 8 faces triangulaires quila-trales (l'octadre) et de 12 faces triangulaires isocles (le dodcadre). Quant la galne, elle prsente parfois les combinaisons cube et octadre ou cube et triakisoctadre.

A propos de la notation des facesLorsqu'on donne les indices sous la forme gnrale {hhl} (cas du trapzodre), cela signifie que

les nombres h et l peuvent tre remplacs par des nombres quelconques (en respectant, dans ce cas particulier, la rgle h>l). On pourrait donc avoir en ralit {112} ou {113}. La forme obtenue reste toujours celle d'un trapzodre, mais l'orientation des faces est un peu diffrente.La nomenclature des formes cristallines suit plus ou moins une logique base sur le nombre des

faces et la forme de leur contour (dans les cas de formes simples). Ainsi dodcadre signifie solide 12 faces. On le qualifie de pentagonal lorsque la forme de ses faces est pentagonale. De mme, on utilise les qualificatifs rhombodal (= losangique) ou deltode (en forme de delta). On a re-cours aussi des prfixes grecs, triakisoctadre par exemple, qui signifie pyramide trois pans sur les faces d'un ancien octadre. On utilise encore des noms particuliers : trapzodre (24 faces en forme de trapze), gyrodre, ou diplodre.

Trapzodres d'indices diffrents

trapzodre (112) trapzodre (113)


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Formes cristallines de quelques minraux cubiques.

Diamant hexakisoctadre

Grenatdodcadre rhombodal

Grenatdodcadre rhombodal

et hexakisoctadre

Fluorinecube et octadre

Fluorinedeux cubes macls

Ttradritettradre, cube et

triakisttradre

Pyritedodcadre pentagonal

et octadre

Prowskitecube, octadre et

dodcadre rhombodal

Cupritedodcadre rhombodal

et octadre

Cobaltinecube, octadre et deux dod-

cadres pentagonaux

Blendedodcadre rhombodal,

cube, octadre et trapzodre

Magntitedodcadre rhombodal, octadre et trapzodre

Nomenclature des formes des autres systmes cristallinsLes systmes autres que le systme cubique utilisent une nomenclature commune assez simple.

Ils prsentent des lments de symtrie moins nombreux. Cela entrane une diminution du nom-bre des faces, et implique que certaines formes simples ne sont plus fermes (faute d'un nombre suffisant de faces) et qu'elles ne peuvent exister que combines avec d'autres formes simples. Par exemple, une pyramide serait une forme ouverte sil ny avait pas la base. De mme, un prisme ne saurait exister sans la prsence des ses bases. La position de l'axe de coordonne Z concide avec l'axe principal des systmes quadratique, hexagonal, rhombodrique, et avec un des axes A2 dans le systme orthorhombique. Dans le systme monoclinique, c'est l'axe Y qui concide avec l'axe A2.


28

Noms des formes simples des autres systmes cristallins :

Pinacodes ! deux faces parallles {001}, {010}, {100}, {h0l}, etc..).Prisme ! ensemble de faces parallles une mme direction, gnralement l'axe princi-

pal {hk0}.Bipyramide ! deux pyramides accoles par leur base. Les sections des prismes, pyramides

et bipyramides peuvent tre trigonales, ttragonales (ou quadratiques), hexa-gonales, ditrigonales, dittragonales ou encore dihexagonales (cf. figure page suivante).

Sphnode ! (ou aussi bisphnode) dformation ttragonale ou orthorhombique du ttra-dre.

Disphnodre ! deux pans sur chaque face d'un sphnodre.Trapzodre ! bipyramide dont une des pyramides a tourn d'un angle quelconque autour de

l'axe principal.Rhombodre ! trapzodre trigonal dont une des pyramides a tourn de 60 par rapport l'au-

tre. On peut le dfinir aussi comme un paralllpipde dont les faces ont des formes de rhombe (= losange).

Scalnodre ditrigonal ! bipyramide ditrigonale dont une des pyramides a tourn de 60 par rapport l'autre (ou rhombodre avec deux pans sur chaque face).

Pdion ! face unique non rpte par les oprateurs de symtrie (base d'une pyramide, par exemple).

Dme ! prisme rduit deux faces non parallles. Un plan de symtrie engendre la deuxime face partir de la premire. Parfois aussi le terme de dme est utilis dans les systmes de basse symtrie pour des prismes parallles aux axes X ou Y.

Sphnode! appellation particulire, dans le systme monoclinique, d'un dme engendr par l'axe binaire .

Formes cristallines simples des systmes cristallins non cubiques.

Pinacodes Prismes

pyramide bipyramide

trigonal ttragonal hexagonal rhombique

ditrigonal dittragonal dihexagonal


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sphnodre disphnodre trapzodre trapzodre trapzodre trigonal ttragonal hexagonal

dome sphnode rhombodre rhombodre scalnodre obtus aigu ditrigonal

On attribue parfois des prfixes aux prismes, pyramides et bipyramides pour prciser leur posi-tion vis--vis des axes de coordonnes X et Y. Ce sont les prfixes proto-, deutro- et trito- qui indi-quent respectivement qu'une face coupe les axes prcits des distances gales (hhl), qu'elle est parallle l'un d'entre eux (h0l), ou que son orientation est quelconque (hkl). En lieu et place de ces prfixes, certains auteurs utilisent les expressions "de premire espce", "de deuxime es-pce", ou "de troisime espce".

Orientation des prismes, pyramides et bipyramides vis--vis des axes de coordonne

Systme quadratiqueLa recherche des formes simples des diverses classes s'effectue de la mme manire que pour le

systme cubique. Le tableau de la page 44 montre toutes ces formes en fonction de leur orienta-tion vis--vis des oprateurs de symtrie. La figure ci-contre montre la projection strographique des plans et axes de symtrie du systme.


30

Il faut noter cependant que les prfixes proto- deutro- et trito- ne sont utiliss que si on veut exprimer prcisment la position d'un prisme ou d'une bipyramide par rapport au rseau cristallin du minral. Ainsi, sur les dessins suivants, on sait qu'il s'agit dune deutroforme, uniquement parce qu'on connat l'orientation des formes du zircon par rapport ses paramtres cristallogra-phiques. Mais si on prsente un minral inconnu avec ces mmes formes, rien priori ne permet d'affirmer qu'il s'agisse de proto- ou de deutro-forme.On peut voir les deux sphnodres conjugus (112) et (112) de la chalcopyrite, dont les faces

montrent des dveloppements trs diffrents. Pour la wulfnite, on remarque l'association d'un prisme et d'une tritobipyramide. Les lments binaires ont disparu. Il s'agit de la classe A4CP4.

Quelques formes cristallines du systme quadratique.

Zircon : protoprisme {110} et protobipramide {111}

Chalcopyrite : deux sphnodres conjugus ingalement dvelopps, {112} et {112}, et deutrobipyramide {201} peu dveloppe.

Wulfnite : protoprisme {110} et tritobipyramide {122}

Vsuvianite : prismes {100} et {110}, deutrobipyramide {101} et pinacode {001}

Systme orthorhombiqueLes minraux orthorhombiques ont trois axes de symtrie orthogonaux qui concident avec les

axes de coordonnes. Ils sont souvent allongs selon un de ces axes de symtrie. Celui-ci est alors choisi comme axe Z. Les axes A'2 et A"2 jouent alors les rles de X et Y.


31

En principe il ne devrait pas exister d'axe principal. Cependant, cause de l'allongement ou de l'aplatissement frquent des minraux appartenant ce systme, on continue, par habitude, de nommer "prisme" la forme dont les faces sont parallles A2 et "dme" les formes dont les faces sont parallles aux axes A'2 et A"2. La figure suivante montre la projection strographique des lments de symtrie ainsi que les ples des faces de la crusite, minral appartenant l'holo-drie du systme.

Projection strographique de la crusite (PbCO3).

{110} prisme orthorhombique {010} pinacode en Y {021} dme (ou prisme) en X

holodrie : A2 A'2 A"2 C P2 P'2 P"2

Les figures suivantes montrent deux exemples de minraux orthorhombiques : l'hmimorphite, Zn4Si2O7(OH)2.H2O et la topaze, Al2SiO4(OH,F)2. L'hmimorphite appartient la classe A2P'2P"2, alors que la topaze est considre comme possdant une symtrie holodre.

Hmimorphite, classe A2P2P"2 Topaze, holodrie

(001) pdion(010) pinacode en Y(031) hmidme en X(301) hmidme en Y(110) prisme rhombique(121)pyramide rhombique prisme rhombique (110) et (120)

dme en X (021)pyramide rhombique (111)


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Systmes hexagonal et rhombodriqueLe tableau de la page 48 montre toutes les formes des diverses classes de ces deux systmes. On

les tudie souvent ensemble, considrant alors le systme rhombodrique comme une hmidrie du systme hexagonal.Pour ces deux systmes on adopte un systme d'axes de coordonnes o X et Y font entre eux un

angle de 120. Certains auteurs ajoutent un axe supplmentaire dans le plan horizontal, l'axe U, spar de X et Y par un angle de 120. Les indices des faces sont alors (hkil). La valeur de i peut tre calcule partir de h et k. La relation est : i = (h+k)

systme 3 axes systme 4 axes

Les axes de coordonnes dans le systme hexagonal

On voit ci-dessous la projection strographique des oprateurs du systme, la position des axes de coordonnes ainsi qu'un cristal de bryl appartenant l'holodrie du systme.

Le bryl, exemple de l'holodrie du systme hexagonal.

deutroprisme {100}deutrobipyramide {101}

pinacode {001} protobipyramide {111}

Le dessin suivant montre la projection strographique des lments de symtrie du systme rhombodrique. En traits gras on a figur la trace des plans de symtrie, en traits maigres la trace des axes de symtrie qui sont aussi les axes X, Y (et U). On a figur aussi les ples des faces du sca-lnodre ditrigonal {hkl}, une des nombreuses formes de la calcite.


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scalnodre ditrigonal {211} et rhombodre {101}Avec projection strographique d'une des formes de la calcite,

un exemple de l'holodrie du systme rhombodrique.

Il est intressant de voir ce que devient ce scalnodre dans les autres classes, l'holoaxie A33A2, par exemple. La disparition des plans de symtrie fait diminuer le nombre de faces de moiti. On voit, sur la fig. 5.22, que la face (211) n'est plus rpte en (311) comme elle l'tait dans l'holo-drie. Nous obtenons une forme 6 faces, le trapzodre. Mais si, au lieu d'avoir choisi la face (211) comme face quelconque, nous avions considr plutt la face (311) nous aurions obtenu un trapzodre orient diffremment. On remarque que ces deux trapozodres ne sont pas su-perposables. On dit qu'ils sont nantiomorphes. On distingue ces deux trapzodres en les quali-fiant de droit ou gauche. D'une manire identique nous avons une main droite et une gauche qui ne sont pas superposables.

Holoaxie du systme rhombodrique : apparence de la forme oblique.trapzodre gauche et trapzodre droit


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Certains minraux sont tantt droits, tantt gauches. L'exemple le plus familier est celui du quartz.

m ! prisme hexagonal {100}r ! rhombodre {101}z ! rhombodre {011}s ! pyram.trig. gauche {211}s ! pyram.trig. droite {111}x! trapzodre gauche {211}x! trapzodre droit {311}

Quartz droit Quartz gauche

La distinction entre les deux formes n'est macroscopiquement possible que si les faces du trap-zodre sont prsentes. Rappelons que ces deux formes sont dites nantiomorphes. Cela signifie quelles ne sont pas superposables mais que l'une d'entre elles est le miroir de lautre (plan de symtrie). Un autre exemple intressant est celui de la tourmaline :

Formes habituelles de la tourmaline

(010) prisme trigonal(110) prisme hexagonal(101) pyramide trigonale(102) pyramide trigonale(011) pyramide trigonale(001) pdion

section prismatique


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Systme monocliniqueLa diminution du nombre des oprateurs de symtrie entrane un appauvrissement du nombre

des formes qui se limitent celles qui sont dcrites dans le tableau ci-dessous.Formes simples du systme monoclinique

A2 {010} // A2 {h0l} oblique {hkl}2 / m A2 C P2 pinacode pinacode prisme

2 A2 pdion pinacode sphnodem P2 pinacode pdion dme

L'axe Y concide avec l'unique axe de symtrie, X et Z sont situs dans le plan de symtrie et ne sont plus normaux aux faces (100) et (001). Sur la projection strographique on place Z vertica-lement (au centre du cercle de base), X penchant en avant, sa projection se trouve l'extrieur du cercle de projection. L'orthose, dcrite dans l'exemple ci-dessous, appartient l'holodrie du sys-tme.

Projection du systme monoclinique et exemple de l'orthose

Projection des lments du systme monoclinique. Le grand cercle est le lieu des faces parallles X.

Paralllpipde dfini par les pinacodes {100}, {010} et {001}. Les trois artes dfinissent les axes X, Y et Z.

Formes de l'orthose :pinacodes {010}, {001} et {201} et prismes {110}, {130}, {021} et {111}.

Systme tricliniqueLes formes se rduisent des pinacodes dans l'holodrie et des pdions dans la classe sans

symtrie. Le paralllpipde triclinique, dtermin par les pinacodes {100}, {010} et {001} est orient de telle manire que la face (010) soit situe sur le cercle de base, l'extrmit droite du diamtre quatorial horizontal, et que la face (100) vienne aussi sur le cercle de base, vers l'avant. La face (001) penche donc vers l'avant et sur la droite. Les axes X, Y, Z ne sont plus con-fondus avec les normales aux pinacodes. L'axe Z est vertical, les axes X et Y sont situs en des points quelconques de la projection.


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Projection du systme triclinique et exemple de l'axinite.

Paralllpipde dfini par les pinacodes {100}, {010} et {001}. Les artes dfinissent les axes X, Y et Z.

Formes de l'axinite : pinacodes {010}, {001} et {201}, {110}, {130}, {021} et {111}.

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VI. L'organisation des atomes

Jusqu' prsent, nous n'avons considr que l'aspect extrieur des cristaux. Il est bien vident que la forme d'un cristal doit tre le reflet de l'arrangement des atomes qui le constituent. Nous savons dj que l'tat cristallin est la consquence de l'arrangement gomtrique priodique des atomes. Comment donc pouvons-nous dcrire ces arrangements?

Partons de l'exemple concret de la halite, le chlorure de sodium NaCl, plus connu encore sous le nom de sel de cuisine. Si nous faisons vaporer tranquillement une solution de NaCl, nous assis-tons la formation de petits cristaux plus ou moins bien dvelopps, aux faces orthogonales et qui tendent former des cubes. Ce minral cristallise donc dans le systme cubique. La premire ide qui vient l'esprit est que, selon toute vraisemblance, les atomes de chlore et de sodium se disposent alternativement sur des ranges parallles aux artes d'un cube.

Cristaux cubiques de halite et position des atomes dans la structure

Essayons tout d'abord d'exprimer la distance qui spare un atome de chlore d'un atome de so-dium. Ne tenons pas compte des rayons atomiques et calculons la distance qui spare leurs cen-tres. Connaissant le nombre d'Avogadro6, le poids spcifique de la halite (2.16 gr/cm3) ainsi que son poids molculaire (58.5 gr.), on obtient :

Comment pouvons-nous dcrire, en termes simples, la configuration atomique7 de la halite ? Manifestement, on constate la rptition du groupement Na-Cl selon une loi dcouvrir. Pour ce faire, remplaons chaque Na-Cl par un point. On peut, par exemple, ne reprsenter que les ato-mes de sodium, avec cette convention qu'il faudra ajouter chaque fois un atome de chlore 2.8 au-dessus du sodium pour reconstituer la structure. Les schmas suivants reprsentent donc des ensembles de points, chacun d'entre eux remplaant un groupe Na-Cl. On appelle habituellement ces points des nuds.


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6! C'est le nombre d'atomes contenus dans un atome-gramme ou de molcules contenues dans une mol-cule-gramme (dans le cas prsent 58.5 gr). Ce nombre vaut 6.02 1023.

7 ! Reprsentation d'une structure atomique dans laquelle les atomes sont figurs par des points.

Dans les deux schmas, nous avons essay de reprsenter graphiquement une loi de rparti-tion des noeuds dans l'espace au moyen d'un rseau de droites. Pour construire un tel rseau8, il suffit de relier un nud d'origine trois autres noeuds non situs en ligne droite.

Reprsentation du schma de rpartition des noeuds dans l'espace.

Maille simple, dfinie par un rhombodre dont les nuds occupent les sommets.

Maille multiple, dfinie par un cube dont les nuds occupent les sommets et le milieu des faces.

Dans le premier exemple, nous avons reli le nud o avec les nuds les plus proches a1, b1 et c1. On obtient trois directions. En prolongeant ces droites, on trouve d'autres nuds indfiniment rpts gale distance les uns des autres. Ce rseau de droites dtermine un paralllpipde, ici un rhombodre, dont les artes forment entre elles des angles de 60 et dont les longueurs sont gales 5.6 2/2 . On peut maintenant dfinir compltement la configuration atomique de la halite de la manire suivante :

Motif, rseau et maille lmentaireOn nomme habituellement motif, le plus petit groupement d'atomes (ici Na et Cl) qui, indfi-

niment rpt dans les trois directions de l'espace, reconstitue tout le cristal.On nomme rseau, l'ensemble des droites passant par les nuds et qui constituent le schma

de rptition des motifs.On nomme maille lmentaire, le paralllpipde lmentaire qui, par juxtaposition dans les

trois directions de l'espace, reconstitue le rseau. La maille lmentaire que nous venons de proposer pour la halite, le rhombodre, ne renferme qu'un seul nud. En effet chaque nud situ sur un sommet est partag avec sept autres mailles lmentaires. Il ne compte donc que pour un huitime. Il s'agit d'une maille simple ou maille primitive. Elle prsente l'inconvnient de ne pas reflter la symtrie cubique du cristal. Sur le deuxime schma, nous avons choisi une autre maille, plus grande que la prcdente. Elle contient 4 nuds (les nuds des faces sont partags avec la maille voisine). On dit que c'est une maille multiple, de multiplicit 4. On la dfinit comme une maille faces centres. Elle permet galement de dcrire la configuration atomique de la halite :

La halite est constitue d'un groupement de deux atomes, chlore et sodium, rpt priodiquement aux nuds d'un rseau dtermin par un rhombodre, dont les artes forment entre elles des angles de 60 et dont les longueurs sont gales 5.6 2/2 .

La halite est constitue d'un motif de deux atomes, le chlore et le sodium, rpt priodiquement aux noeuds d'un rseau dtermin par un cube faces centres, dont les artes sont gales 5.6 .

L 'organisat ion des atomes

41

8! Nous appellerons dornavant rseau l'ensemble des droites qui dcrivent les alignements de nuds.

Cette dernire dfinition est beaucoup plus commode que la prcdente, car cette maille l-mentaire multiple possde la symtrie du cristal, ce qui n'tait pas le cas de la maille rhombo-drique. C'est le rseau cubique faces centres. Cela signifie qu'on trouve des nuds aux som-mets et au milieu des faces de la maille.

Le rseauC'est un arrangement tridimensionnel de nuds tel, qu'aucun de ces nuds ne peut tre dis-

tingu d'un autre : autour de chaque nud existe exactement le mme environnement.Si on relie deux nuds par une droite, on trouve, de part et d'autre de ces noeuds et gales

distances sur cette droite, d'autres nuds identiques. Une telle droite est une range rticulaire. Un rseau renferme une infinit de ranges rticulaires.De mme, par trois nuds non en ligne droite on peut faire passer un plan qu'on appelle un

plan rticulaire. Il existe galement une infinit de plans rticulaires.Nous constatons qu'on peut donc toujours reconstituer un rseau par juxtapositions parallles

sans interstices d'un paralllpipde, la maille lmentaire.Prenons l'exemple familier d'un papier peint : il est constitu d'un motif, ici une fleur, rpt

selon une certaine loi gomtrique. On peut remplacer les motifs par des points. Ce sont les noeuds d'un rseau deux dimensions. Il est donc possible de gnrer ce rseau par juxtaposi-tion de diverses mailles lmentaires. Les mailles a, b et c sont des mailles simples, alors que la maille d est une maille multiple.

Le papier peint, un exemple de rseau bidimensionnel avec motif et maille.

Du point de vue de la symtrie, les mailles a et b ne possdent qu'un seul point9 de rotation d'ordre 2. Les mailles c et d possdent en plus deux lignes de rflexion. Par ailleurs, les cts de la maille d font entre eux des angles droits. C'est probablement la maille multiple d qui sera la plus commode l'emploi. Pour effectuer le choix de la maille lmentaire la plus convenable, on se base sur les rgles suivantes :1. la forme de la maille lmentaire doit correspondre aux repres d'axes (axes de coordon-

nes) dict par la symtrie du cristal,2. l'origine de la maille lmentaire est prise en un point remarquable du rseau, un centre de

symtrie, par exemple,3. tout en tenant compte de la rgle 1, on choisit la maille lmentaire de faon rendre son

volume minimal,


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9 ! Dans un monde deux dimensions, on ne parle pas d'axes ou de plans, mais de points de rotation et de lignes de rflexion.

4. parmi les possibilits restantes, on choisit celle qui donne les paramtres (cts de la maille) les plus petits.

5. En suivant ces rgles, on constate que c'est la maille multiple faces centres qu'il faut choi-sir, dans l'exemple de la halite.

6. En se conformant ces rgles et en cherchant toutes les possibilits de mailles lmentaires, on en trouve quatorze. Ce sont les 14 modes de rseau de Bravais10. On trouve des mailles simples et des mailles multiples.

Il est remarquable de constater que toute maille possde la symtrie de l'holodrie d'un des sept systmes cristallins. Trois sont cubiques, une hexagonale, deux quadratiques, une rhombo-drique, quatre orthorhombiques, deux monocliniques et une triclinique.

Il faut noter qu'on peut toujours remplacer, bien que ce soit trs malcommode, une maille mul-tiple par une maille simple. En lieu et place de la maille cubique centre, on peut choisir une maille simple rhombodrique dont les artes forment des angles de 109 28' . La maille cubique faces centres peut tre remplace par un rhombodre dont les artes forment des angles de 60 . Remarquons en passant que le cube simple est un cas particulier du rhombodre !

Une maille hexagonale peut tre remplace par un prisme droit base base rhombique, l'an-gle obtus du rhombe (losange) tant de 120 .

Maille cubique centre et maille rhombodrique simple.

Maille cubique faces centres et maille rhombodrique simple.

Maille multiple hexagonale et maille sim-ple rhombique.

Pour dcrire compltement une maille, il faut indiquer si elle est simple ou multiple, prciser les longueurs de ses artes ainsi que les angles qu'elles font les unes par rapport aux autres. Le nom-bre de paramtres dterminer varie entre un pour la maille cubique, et six pour la maille tricli-nique.

L'organisat ion des atomes

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10!Auguste Bravais, 1811-1863, officier de marine et naturaliste franais.

Caractristiques des diverses mailles lmentairesCaractristiques des diverses mailles lmentairesCaractristiques des diverses mailles lmentairesCaractristiques des diverses mailles lmentaires

Symtrie angles entre les artes long. artes Nombre de pa-ramtrescubique = = = 90 a = b = c 1quadratique = = = 90 a = b c 2orthorhombique = = = 90 a b c 3hexagonale* = = 90 = 120 a = b c 2rhombodrique* = = 90 a = b c 2monoclinique = = 90 90 a b c 4triclinique 90 a b c 6

* dans le cas du choix d'une maille simple* dans le cas du choix d'une maille simple* dans le cas du choix d'une maille simple* dans le cas du choix d'une maille simple

Les 14 modes de rseau possibles dfinis par auguste Bravais

Il est intressant de comparer ces mailles avec les axes de coordonnes qui nous ont servi in-dexer les faces des cristaux. Les directions des axes X, Y Z correspondent celles des artes des mailles lmentaires, et les units relatives choisies sur ces axes sont proportionnelles aux lon-gueurs des artes de la maille.

La seule exception est celle de la maille rhombodrique dont les directions des artes ne sont pas utilises comme axes de coordonnes. Pour des raisons de commodit on lui prfre une


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maille hexagonale. En effet, toute maille rhombodrique simple pos-sde une maille multiple hexagonale. La recherche des axes de coordonnes et des units relatives dfinies

pour chacun d'eux nous renseigne presque compltement sur la maille lmentaire. Il ne manque que les dimensions absolues des artes dont nous ne connaissons jusqu'ici que les dimensions relatives.

Notons encore que la "molcule intgrante" d'Hay tait une maille lmentaire, mais il n'a pas su la discerner du motif !

Il est possible maintenant de dfinir les plans rticulaires par les indi-ces de Miller, puisque nous pouvons assimiler les axes de coordonnes des ranges rticulaires parallles aux artes de la maille lmen-taire.

Le dessin ci-dessous montre un cristal cubique sur les faces duquel figurent les noeuds du rseau (cubique simple). Il s'agit d'une forme qui combine les faces du cube, de l'octadre et du dodcadre rhombodal.

Cristal cubique et noeuds du rseau.

On remarque que l'orientation des faces correspond des orientations de plans rticulaires. On en tire une conclusion trs importante : le rseau est responsable de l'orientation des faces d'un cristal. Comme les rseaux ont toujours la symtrie holodrique du systme auquel ils se rappor-tent, il devient vident que l'absence systmatique d'une partie des faces dans les mridries, est due une autre raison. Nous verrons plus loin que c'est dans la symtrie du motif qu'il faut re-chercher la cause des mridries.

Frquence d'apparition des facesEn examinant le dessin ci-dessus, on remarque que la densit rticulaire est maximum sur les

faces {100}. Elle est plus faible sur les faces {110} et elle diminue encore sur les faces {111}. La figure suivante montre un rseau deux dimensions sur lequel on a trac les ranges rticulaires (01), (11) et (21). La valeur de la distance rticulaire11 est donne par la relation :

Maille hexagonale multiple et maille rhombodrique simple.

L 'organisat ion des atomes

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11 ! Distance qui spare deux plans rticulaires parallles successifs.

Applique au rseau cubique simple, cette formule devient :

Si on tudie systmatiquement la frquence des faces des cristaux, on constate qu'elle est pro-portionnelle la densit de noeuds du plan rticulaire correspondant, elle mme proportionnelle la distance rticulaire. Il est ainsi possible de prvoir la frquence des faces. Pour un rseau rti-culaire cubique simple, nous aurons :

hkl 100 110 111 210 211 221 310 311 320 321 410 322 411

h2 + k2+ l2 1 2 3 5 6 9 10 11 13 14 17 18

La forme la plus frquente est le cube, puis viennent le dodcadre rhombodal, l'octadre, le cube pyramid, le trapzodre etc... Pour les mailles multiples il faut tenir compte des noeuds suppl-mentaires. Pour le rseau cubique centr, on voit apparatre des plans rticulaires intermdiaires entre les anciens plans {001} qui deviennent alors des plans {002}. Par contre les distances rticulai-res des plans {011} restent inchanges. On constate encore que les plans {111} deviennent des plans {222}). On en tire la conclusion que tous les plans dont la somme des indices h + k + l est impaire, sont deux fois plus rapprochs que dans la maille simple. Pour tenir compte de cette modification, il suffit de doubler les indices des plans rticulaires concerns. La frquence de face devient alors :

h k l 200 110 222 420 211 442 310 622 640 321 411 332 431

h2 + k2+ l2 4 2 12 20 6 36 10 44 52 14 18 22 26

La forme la plus frquente est donc le dodcadre rhombodal, puis viennent le cube, le trap-zodre, le cube pyramide, l'octadre etc...

Plans rticulaires supplmentaires gnrs par le rseau cubique centr

les plans {001} deviennent des plans {002}

les plans {011} demeurent inchangs

les plans {111} deviennent des plans {222}


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Quant au rseau cubique faces centres, par un raisonnement semblable, on peut dmontrer que les plans rticulaires qui possdent des indices mixtes, pairs et impairs, sont deux fois plus rapprochs qu'ils ne l'taient dans le rseau cubique simple. On double donc leurs indices :

h k l 200 220 111 420 422 442 620 311 640 642 331 511 531

h2 + k2+ l2 4 8 3 20 24 36 40 11 52 56 19 27 35

La forme la plus frquente est alors l'octadre, suivie du cube, du dodcadre rhombodal, du trapzodre etc... Les figures suivantes montrent le comportement des plans {001}, {011} et {111}.

Plans rticulaires supplmentaires gnrs par le rseau cubique faces centres.

les plans {001} deviennent des plans {002}.

les plans {011} deviennent des plans {022}.

les plans {111} demeurent inchangs.

Pour une espce cristalline, l'tude systmatique de la frquence des formes sous lesquelles elle se prsente habituellement peut permettre d'identifier son rseau. Le diamant et la fluorine qui montrent une prdominance des formes octadriques, ont un rseau cubique faces centres. Le grenat et la leucite qui cristallisent frquemment en dodcadres, montrent par l que leur rseau est cubique centr. Cette tude peut tre tendue aux autres systmes. Toutefois les formules se compliquent rapidement cause de l'augmentation du nombre des paramtres des mailles.

Le motifNous avons considr un cristal comme tant gnr par une rpartition tripriodique de motifs

atomiques. On peut dfinir le motif comme tant le plus petit groupement d'atomes qui, rpt indfiniment dans les trois directions de l'espace, reconstitue tout le cristal. L'ensemble des motifs ralise donc le remplissage htrogne de l'espace tripriodique de la maille lmentaire.

Nous admettons que les atomes sont sphriques. Nous ne tenons pas compte, pour l'instant de leur taille et nous les reprsentons par des points qui figurent leur position. Nous pouvons dcrire les positions des atomes l'intrieur de la maille lmentaire en nous servant des trois cts de cette maille comme axes de rfrence, et en prenant comme units, des fractions de longueurs des artes. Ainsi les positions des atomes de chlore et de sodium l'intrieur de la maille lmentaire s'crivent :

Les autres atomes ne font plus partie de cette maille, mais de la suivante. Le motif, constitu ici d'un atome de sodium et d'un atome de chlore, est rpt quatre fois l'intrieur de la


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maille, car elle renferme quatre nuds (multiplicit 4). On peut maintenant dcrire compltement la structure en disant que la halite possde une maille cubique faces centres de 5.6 d'arte, l'intrieur de laquelle les atomes se rpartissent suivant les coordonnes mentionnes ci-dessus.

Structure de la halite.

Les atomes sont rpts priodiquement travers tout le cristal, obissant des lois de symtrie identiques celles que nous connaissons dj. Il y a toutefois une diffrence fondamentale entre les lois de symtrie des polydres et cel-les des motifs. En examinant la figure ci-contre, nous voyons des axes A4 verticaux parallles Z et passant par tous les atomes. La particularit de ces axes est de ne plus passer par un point commun.

Ce n'est donc plus une symtrie ponctuelle. Pour reproduire tous les atomes, il faut ajouter un nouvel oprateur de symtrie : la translation.

Cette nouvelle composante a pour consquence de faire apparatre deux oprateurs composs nouveaux : le plan avec glissement qui associe un plan et une translation, et l'axe hlicodal qui associe une rotation avec un glissement le long de cet axe.

Plan avec glissementIl s'agit d'une opration qui associe la rflexion suivie d'une translation t. Le plan est un des

plans principaux du rseau et la direction de translation est parallle une range du rseau contenue dans ce plan. La translation t est obligatoirement gale une demi-translation du rseau : deux oprations suc-cessives effectues par un plan avec glissement, quivalent une translation du rseau. La figure ci-contre montre com-ment s'effectue la rptition par un plan avec glissement. Un tel plan existe dans la structure de la halite et la figure ci-con-tre ne fait que reprendre une partie de la figure prcdente.

Axes hlicodauxIl s'agit d'une opration qui associe une rotation avec une translation le long de l'axe. L'axe est

une des directions principales du rseau et la translation t est obligatoirement une fraction en-tire de la priode de la range.

Il n'existe qu'un seul axe hlicodal binaire. La translation est gale une demi-priode de la range correspondante. Deux oprations effectues successivement quivalent une translation du rseau.

Translation , axe hlicodal, plan avec glissement, dans la structure de la halite.

Plan avec glissement


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On trouve ensuite deux axes hlicodaux ternaires. La rotation est d'un tiers de tour et la trans-lation est gale 1/3 de priode (31) ou 2/3 de priode (32). Le premier est dextrogyre (la spi-rale tourne droite en descendant ou tourne dans le sens positif, en montant), le second est lvo-gyre. Remarquons que 2/3 de priode dans le sens positif correspondent 1/3 de priode dans le sens ngatif. Ces deux axes sont nantiomorphes.

Par un mme raisonnement, on trouve trois axes hlicodaux d'ordre 4, caractriss par une ro-tation d'un quart de tour, associs une translation de 1/4, 2/4 ou 3/4 de la priode du rseau dans la direction de l'axe. Leur symbole est 41, 42 et 43. Le premier est dextrogyre, le dernier l-vogyre. L'axe 42 n'a pas de sens de rotation particulier.

Nous trouvons encore cinq axes hlicodaux d'ordre 6 : 61, 62, 63, 64 et 65. Les deux premiers sont dextrogyres, les deux derniers lvogyres et 63 n'a pas de sens particulier. La translation vaut 1/6 de la priode du rseau dans la direction de l'axe.

Les divers axes hlicodaux

Les groupes de symtrieCes nouveaux oprateurs de symtrie qui admettent la translation, se combinent avec ceux que

nous connaissons dj dans le cadre de la symtrie ponctuelle. Leur prsence implique des tho-rmes nouveaux. A cause du plus grand nombre d'oprateurs et par le fait que la symtrie n'est plus ponctuelle, les combinaisons sont beaucoup plus nombreuses et les raisonnements plus com-pliqus. A titre d'exemple citons quelques uns de ces thormes : Les lments de symtrie du motif doivent se rpter par des translations du rseau priodi-

que, sans se multiplier l'infini, dans le volume fini de chaque maille. Axes binaires et centres non concourants engendrent des plans avec glissement perpendiculai-

res aux axes et passant par les centres. Les centres de symtrie se rptent priodiquement dans les trois dimensions avec des prio-

des gales la moiti des priodes principales du rseau. Deux axes binaires non concourants, spars par une distance d et faisant entre eux un angle

a, engendrent un axe hlicodal passant par la perpendiculaire commune aux deux axes, ca-ractris par une rotation de 2a, suivie d'une translation gale 2d.

On se rend compte de la complexit des raisonnements qu'il faut tenir pour connatre toutes les combinaisons possibles. On en dnombre 230. Ce sont les 230 groupes de symtrie qu'on appelle aussi groupes d'espace.

Ils ont t tudis par le cristallographe russe E. Fdorov et le mathmaticien allemand A. Scho-enflies. Ces 230 groupes se rpartissent dans les divers systmes de la manire suivante :

Axe d'ordre 2 et axehlocodal d'ordre 2


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Rpartition des groupes d'espace dans chaque systme cristallin

systme triclinique : 2 systme hexagonal : 28

systme monoclinique : 13 systme quadratique : 68

systme orthorhombique : 59 systme cubique : 36

systme rhombodrique : 25

Il sont dcrits en dtails dans les Tables internationales de cristallographie. On les reprsente graphiquement par un plan de la maille lmentaire sur lequel figurent, d'une manire symboli-que, tous les lments de symtrie du groupe.

Ces groupes sont dsigns par les symboles Hermann-Mauguin et ceux de Schoenflies. Les prin-cipes de ces notations sont dcrits aussi dans les Tables internationales de cristallographie. Les conventions graphiques qui symbolisent les oprateurs de symtrie y figurent galement. La fi-gure suivante montre le plan gnral des oprateurs de symtrie du groupe spatial auquel appar-tient la halite. On n'a reprsent que les oprateurs normaux et parallles au plan (001) du des-sin. A cause de la symtrie cubique une reprsentation sur le plans (010) ou (100) serait parfai-tement identique. Il s'agit du groupe d'espace N 225. La symtrie est trs leve et le grand nombre des oprateurs ne permet pas de les faire tous figu

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