Cristallographie des variants: groupoïdes et structures...

5 Dec. 2005, C. Cayron, Séminaire général DRFMC 1

Cristallographie de variants: groupoïdes et structures fractales

Cristallographie des variants:groupoïdes et structures fractales

Cyril Cayron

Direction de Recherche TechnologiqueLaboratoire Innovation et Technologies pour les Énergies Nouvelles

CEA-Grenoble



• Les variants par la métallurgie. Problématique.• La technique EBSD• Les variants par la géométrie• Reconstruction de grains-mère, limitations• Les variants par la théorie des groupes• Les groupoïdes de variants• Application à la reconstruction de grains-mère• Cyclage thermique et liens avec les notions de

- complexité- entropie- pavages et quasicristaux- fractales - théorie des nombres

• Reconstruction de grains multimaclés• Par delà « nos » symétries

Plan:



Les variants en métallurgie

Précipités en relation d’orientation avec une matrice

Précipités S’ et Ω dans alliage AlMgSiCuAg Précipités θ’ dans alliage AlMgSiCu

C. Cayron, Thèse n°2246, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (2000)



Où sont les grains de phase austénitique (avant transformation) ?!

Matériaux à transformation de phase

Acier martensitique Eurofer en MEB-BSE



La technique EBSD pour la mesure d’orientation



L’EBDS permet de mesurer l’orientation en chaque point



Approche des variants par la géométrie

1 Générer les variants



a. Générer d’abord autant de variants qu’il y a de symétries dans la phase mère, Gβ



b. Réduire le nombre de variants à chaque symétrie commune (fille // fille) Trouver (ga

α , gbα ) ∈ (Gα )2 tel que « ga

α // gbα »

<

Cette étape, triviale géométriquement, ne peut en fait être réalisée par calcul qu’à l’étape 2.



t(α1, α2) => gaα t(α1,α2) gb

α

1 transformation = ensemble de matrices Gα t(α1,α2) Gα

choisir dans cet ensemble la rotation avec l’angle minimum 1 transformation = 1 rotation représentative

2 Générer les transformations entre variants (opérateurs)

t(α1, α2) ∈ Gα

∉ Gα



Reconstruction de grains-mère dans un alliage TA6VCayron, Briottet, Jouneau, Proc. Channel Users Meeting (2004)

Utiliser ces opérateurs pour reconstruire les grains-mère0 : Identity1: 90° [1 10 0], 180° [52 91 49], etc.. minimum angle = 90° / [1 10 0]2: 10.5° [0 0 1], 180° [1 10 0], etc.. minimum angle = 10.5° / [0 0 1]3: 120° [3 30 25], 90° [52 91 49], etc.. minimum angle = 60.8° / [1 10 1]4: 120° [1 0 0], 180° [-8 8 5], etc.. minimum angle = 60° / [1 0 0]5: 120° [1 5 0], 180° [48 16 15], etc.. minimum angle = 63.2° / [0 5 1]



Les limites de la méthode classique

Problème avec les aciers car: phases cubiques trop symétriques + grandes déformations intragranulaires probabilité que deux grains soient accidentellement reliés par des opérateurs est non-négligeable

Reconst.1°

Reconst.3°



Au delà de la méthode classique:Comment combiner les opérateurs?

Approche naïve : « les opérateurs forment un groupe »,mais il y a alors quelque chose de bizarre…

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 0 5 1 -3 1 4 3 4 -3 5 4 -3 3 2 3 1 -3 0 5 -4 1 3 0 4 2 -3 -3 3 5 4 3 5 -3 1 5 0 4 1 3 -3 2 -3 1 5 1 3 4 3 5 -3 3 5 4 0 4 1 5 2 -3 -2 -3 3 5 0 1 2 1 0 4 3 -3 -1 4 3 5 -3 3 4 1 0 2 1 0 2 1 -3 5 5 -3 4 3 0 5 4 -3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 4 3 5 -3 3 4 1 0 2 1 0 2 1 -3 5 5 -3 4 3 2 -3 3 5 0 1 2 1 0 4 3 -3 3 1 4 2 3 0 5 5 4 -3 3 4 -3 5 1 -3 2 3 1 4 4 1 3 0 4 2 -3 -3 3 5 4 3 5 -3 1 5 0 4 1 3 5 0 5 1 -3 1 4 3 4 -3 5 4 -3 3 2 3 1 -3 0 5

Cayron, Briottet, Jouneau, Proc. Channel Users Meeting (2004)

La composition d’opérateurs n’est pas une application!!!!



Approche des variants par l’algèbre

Précipités, joints de grains, réseaux de coïncidence

Transitions de Landau: Relation groupe - sous groupe

|F1 |



Reprenons tout à la BASE

B1

B2

B1β Bi

β

∈ Gβ



Comment définir l’orientation d’un cristal?Symétries internes

Ne forment pas un groupe, mais:

Définissent une relation d’équivalence gauche

B1 B1α Bn

α=



Comment définir les orientations des cristaux-fille ?Symétries externes

B1α1

B1αi

B1β Bi

βRègle d’indexation

Ne forment pas un groupe, mais:

Définissent une relation d’équivalence droite



Quand est-ce que deux matrices d’orientation de cristaux-fille pointent sur le même cristal?

Cad : quand Symétrie externe ⇔ Symétrie interne

L’ensemble des variants est :

A ne pas confondre avec :

Variant =

Notant



Cas « particulier » :

Cas « général » :



Notons l’ensemble des variants:

C’est un ensemble quotientOr : ∃ structure naturelle de groupe ⇔ Hβ est normal dans Gβ

:Définition:

Gβ / Hβ

avec Hβ = 1, -1Gβ / Hβ

avec Hβ = 1, ei2π/3, e-i2π/3Gβ = 1,-1, eiπ/3, e-iπ/3, ei2π/3, e-2iπ/3

Exemples:



Nombre de variants de la transition inverse

Or:

De plus:

Transition:

Transition inverse:

Ex: 4x6 = 3x8



Transformation d’un variant à un autre: opérateur

Notant, nous avons



Que sont les opérateurs?

(opération liant des variants)

(opérateur agissant sur les variants)

Rq:



Ex: 4 = 1+2+1Avec 2 et 1 /2

Equation de classes

Nombre d’opérateurs

Formule deBurnside



Groupoïdes de variants

Définitionallégée etmodifiée:

X ensemble d’objetsΓ ensemble de flèches

(αi, αik, αik)



Composition des opérateurs

La composition d’opérateurs est multivaluée!!

mn



Exemple : transition martensitique FCC → BCC NW (Fe)



12 variants = 48/47 opérateurs : 12 = 1 + 2+1+2+2+2+2

4 variants déterminent à tous les coups le cristal mère



Reconstruction de grains-mère à partir de données EBSD sur les grains-fille

Idée : exploiter les tables de composition des opérateurs



Vers la complexité algébrique

0 π/4 π/2 3π/4 π/2

Nb variants = 8Groupe

Nb variants = 4Groupoïde



Cyclage thermique, entropie et flèche du temps

Considérons comme système un matériau à transition de phaseayant subi une série de cycles thermiques T2 < Tc ou Tf - Ts < T1

Système ouvert, non isolé(Prigogine, Physics Today, 1972)

Transitions reconstructives :

Y a-t-il stabilisation après un nombre donné de cycles?Le temps s’écoule

Le matériau s’organise

Transitions de Landau :

Gα = Hα

Nα = Gβ / GαNβ = Gα / Gα=1 Le temps n’existe pas

matériau = cristal = « mort » (Fedorov)1



Le lien avec pavages

Groupoïdes d’espace

Quasicristaux :

Polytypes:

pavage de Ammann-Beenker

pavage périodique



Ti alloys (Widmanstatten alpha): JP Blank Ohio State

Fractales de position

Le lien avec les fractales



Fractales d’orientation



Représentation 3D des 3n

Macle de pénétration (diamant)

Représentation du multimaclageTétraèdre formé par les plans 111

Du vert aux rouges: 3 Du vert aux bleus: 9Des rouges aux rouges: 9Des bleus aux bleus: 9, 81 etc…

1/3[ ][ ]

1/3

[ ]1/3

[ ]1/3

4 variants de macles (= 4 cosets de matrices) dont ici 1 représentant par coset :

Sphalerite multiple twin,TW SchallerC. Pallache, Am. Miner.17(1932)

Exemple de représentation 3D de fractale : le multimaclage



011

2222

2

2

2

2 2

2

2

2

1

Règle de multiplication des pour les joints triples 3 = 1. 2 n’a pas vraiment sens! Mais:3 = 1. 2 / d2 et 3 = 1. 2 / α

(Miyazawa, Acta Cryst. 1996, Gertsman, Acta Cryst. 2001)

1= pq , 2= qr, 3 = rp avec p,q,r entiers

Le « produit » est en fait une composition de groupoïdepq ° qr = pr

Et cette composition est multivaluée!

Ex: 3n ° 3n = 32i , i ∈ [0, n]3n ° 3m = 3m-n+2i, i ∈ [0, n]

Démo algébrique: 1 = 3n = 3a 3n-a, 2 = 3m = 3n-a 3m+a-n, 3 = 3m+a-n 3a

Démo géométrique: trivial!

p

q r

1 2

3

Lien avec la théorie des nombres



L ’étude des Σ => théorie des quadruplets de PythagoreΣ2 = ai1

2 + ai22 + ai3

2 (i = 1, 2, 3)

Pourquoi n’y a t’il pas de Σ? (Grimmer et al., Acta Cryst. A. 1974)n2 ≡ 0,1 [4] => ai1

2 + ai22 + ai3

2 ≡ 0,1,2,3 [4]Si Σ pair, Σ2 ≡ 0 [4] => ai1 , ai2 , ai3

2 pairs pour i =1,2,3 => 2 diviseur commun => impossible

Est ce que tout nombre impair peut être un Σ?

Théorème de Fermat: N = ai12 + ai2

2 + ai32 ⇔ N ≠ 4h (8k+7) avec h et k entiers

Σ2 = 4h (8k+7) ?Cas h=0 : Σ2 ≡ 3 [4] => impossibleCas h>0 : Σ2 ≡ 0 [4] => Σ pair => impossible



Besoin de décorrèler les macles Sens du courant

3

9= 3 º 3

EBSD

Application au multimaclage du Cu



Cou

leur

= E

uler

= 1

orie

ntat

ion

Rec

onst

ruct

ion

mèr

e

3 («

clas

siqu

e»)

Rec

onst

ruct

ion

mèr

e

3n(p

ratiq

ue: n

≤4)

Reconstruction des grains-mère multimaclés par EBSD



Les symétries cachées (ou locales) révélées par la structure de groupoïde

Par delà « nos » symétries géométriques



A

B

C

Lien profond entre:Géométrie, algèbre, théorie des nombresLes fractales, les pavages de PenroseEt … La mécanique quantique…

Alain Connes

Spectroscopie atomiqueνij = Rc(1/i2 – 1/j2)νij = νi - νjνik = νjj + νjk (loi de groupoïde)

Triangle de Morley



Conclusions

Groupes/ groupoïdes : C. Cayron, accepté pour Acta Cryst. AReconstruction EBSD : C. Cayron, B. Artaud, L. Briottet, soumis à Mater. Charact.Fractales / Th. des Nombres : C. Cayron, en préparation pour Acta Cryst. A.

v Théorie géométrique/algébrique générale variants(transitions de Landau, transitions reconstructives, précipités)• Variants = coset• Opérateurs entre variants = double-coset• Importance de la normalité du sous groupe d’intersection dans la complexité des structures de variants

v Variants issus de cyclages thermiques = problématique unificatrice • Complexité• Pavage de Penrose• Entropie, flèche du temps• Fractales • Théorie des nombres…

La base mathématique semble être la même qu’en mécanique quantique: algèbres non-commutatives

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