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2015/2016É D I T I O N N A T I O N A L E

N° 22

L'L'OOFFICIELFFICIEL DEDE LALA TTAUPEAUPE

É D I T I O N S G Y R O S C O P E - O F F I C I E L D E L A T A U P E

Couv_1_odlt_spe_21v7:Couverture Page1 8/11/15 2:27

• ECAM Lyon

• ECAM Rennes

• ECAM Strasbourg-Europe

• ECAM -EPMI Cergy-Pontoise

• ESAIP Angers, Grasse

• ESCOM Compiègne

• ESEO Angers

• HEI Lille

• ISEN Brest

• ISEN Lille

• ISEN Toulon

• ISEP Paris

• LASALLE Beauvais

Concours e3a et Banque PTinscription sur www.scei-concours.fr

756 PLACES OFFERTES EN 2016

CONCOURS COMMUN13 GRANDES ÉCOLES D’INGÉNIEURS

CONCOURS FESIC PRÉPA

2016

Informations sur les écoleswww.fesic.org

CHOISIR UNE ÉCOLED’INGÉNIEURS DE LA FESICUN DIPLÔME ET DESMÉTIERS D’AVENIR

http://www.fesic.org/ecoles-ingenieurs-apres-prepas/admission.php

http://www.fesic.org/ecoles-ingenieurs-apres-prepas/admission.php

http://www.ecam.fr

http://www.ecam-rennes.fr

http://www.ecam-strasbourg.eu/fr/articles.php

http://www.ecam-epmi.fr

http://www.esaip.org

https://www.escom.fr

http://www.eseo.fr

http://www.hei.fr

http://www.isen.fr

http://www.isep.fr

http://www.lasalle-beauvais.fr

Projet1_CP 06/10/2015 15:14 Page 1

Avertissement à lire ..................................................................3ORAUX DE MATHÉMATIQUES OPTIONS

ENS MP* .......................................................................... 5ENS PC* .......................................................................... 7École polytechnique - ENS Cachan PSI* ............................................................................9École polytechnique MP* ............................................................................9École polytechnique - ESPCI PC* ..........................................................................11CC Mines-Ponts MP ..........................................................................13CC Mines-Ponts PC ..........................................................................15CC Mines-Ponts PSI ..........................................................................17CC Centrale-Supélec MP ..........................................................................19CC Centrale-Supélec PC ..........................................................................21CC Centrale-Supélec PSI ..........................................................................23CC Polytechniques MP ..........................................................................25CC Polytechniques PC ..........................................................................29CC Polytechniques PSI ..........................................................................33Concours Divers MP ..........................................................................35Concours Divers PC ..........................................................................35Concours Divers PSI ..........................................................................37Cachan-ENSAM-CC Polytechniques PT ..........................................................................39Concours TSI TSI ..........................................................................43ORAUX DE PHYSIQUE-CHIMIE OPTIONS

ENS MP* ........................................................................ 45ENS PC* ........................................................................ 47École polytechnique - ENS Cachan PSI* ..........................................................................47École polytechnique MP* ........................................................................ 47École polytechnique - ESPCI PC* ..........................................................................49CC Mines-Ponts MP ........................................................................ 49CC Mines-Ponts PC ........................................................................ 51CC Mines-Ponts PSI ........................................................................ 51CC Centrale-Supélec MP ........................................................................ 53CC Centrale-Supélec PC ........................................................................ 55CC Centrale-Supélec PSI ..........................................................................59CC Polytechniques MP ........................................................................ 61CC Polytechniques PC ........................................................................ 63CC Polytechniques PSI ..........................................................................64Concours Divers MP ..........................................................................65Concours Divers PC ..........................................................................65Concours Divers PSI ..........................................................................66Concours PT PT ........................................................................ 66Concours Divers TSI TSI ........................................................................ 68Concours Divers ATS ATS ........................................................................ 69Index mathématiques toutes ........................................................................ 71Index physique-chimie toutes ........................................................................ 72

Numéro 2015/2016ÉDITION NATIONALE N° 22

CPGE 1re et 2nde annéeMPSI-PCSI-PTSI-TSI-TPCMP-PC-PSI-PT-TSI-ATS

ÉDITEURÉditions Gyroscope

L’Officiel de la Taupe50, avenue Henri Barbusse94240 L’HAŸ-LES-ROSES

[email protected] au capital de 7 622,45 €

PUBLICITÉÉditions Gyroscope

L’Officiel de la [email protected]

FABRICATIONIMPRESSIONGrupo ImpresaNovembre 2015

DIFFUSIONles préparationnaires

les enseignants des CPGEles écoles d’ingénieurs

DÉPOT LÉGALDécembre 2015

REPRODUCTIONDroits réservés

Copyright GYROSCOPE 2015

VENTEPas de vente possible

Vente interdite

Nous rappelons aux annonceurs que lestextes des fiches techniques et des

annonces publicitaires sont publiés sousleur entière responsabilité.

Collection «Officiel de la Taupe»1260-831922e édition

ISBN 2-912459-43-5

ÉDITIONS GYROSCOPEL'Officiel de la Taupe

Som

mair

eÉd

itoria

l

Pour commencer, suite à la demande de certains enseignants, nous avons restauré unemention explicite qui précise les planches qui sont, totalement ou partiellement, accessiblesaux étudiants de première année.

Comme la population des CPGE est, par nature, éphémère, nous reproduisons en page3, encore cette année, quelques conseils pour essayer d’enrayer la dégradation de la qualitédes oraux qui nous sont renvoyés. Ce n’est pas la quantité qui est en cause mais la qualité.

Parmi les quelques 600 e-mails contenant plus de 1500 planches que nous avons reçus,il n’a pas été possible de trouver, notamment en physique, assez de matière pour servir un pro-duit équilibré.Une raison essentielle est dans l’absence des valeurs numériques qui rendent de nombreusesplanches inexploitables, faute de temps pour aller toutes les rechercher. Il n’y a que deux solu-tions :- soit vous pensez à noter ces valeurs dès la sortie de l’oral ;- soit chacun fait l’effort d’aller les chercher sur internet, pour les plus difficiles à mémoriser.

Si chaque étudiant prend le peu de temps nécessaire pour cela, ce sont environ 300heures que nous pourrons consacrer à l’amélioration du produit (proposition d’indication,planches supplémentaires, problèmes corrigés en ligne, etc.)

La seconde raison est dans le manque de rédaction de beaucoup de planches. Si nouspréférons les planches saisies à l’ordinateur plutôt que manuscrites et scannées, c’est parcequ’il est nécessaire de rédiger. De nombreuses planches, potentiellement intéressantes ounouvelles, ne sont pas exploitables pour des raisons de présentation ou de manque de clarté.

Nous savons bien qu’il est difficile pendant les oraux de consacrer un temps précieuxpour tout cela. Mais, après vos oraux, quand tout est fini, serait-ce trop demander que ce petiteffort soit fait avant de partir en vacances ?

Pensez à nous qui consacrons notre été depuis 22 ans à confectionner l’OdlT.Bon travail, très bonne année scolaire à tous, et tous nos vœux de réussite.

Page 1

PAGE01Sommaire15-16:Page 1 Sommaire 23/11/15 9:16 Page 1

ANNÉE DE CRÉATION 1946DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Monsieur Julien POUGET

STATUT Établissement sous tutelle du ministère chargé de l’économieMembre de la Conférence des Grandes Écoles, de ParisTech et del’Université Paris-Saclay

DIPLÔME DÉLIVRÉ Diplôme d’ingénieur

RESPONSABLE DU CONCOURS Monsieur Claude PETITNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 5 726 inscrits, 1 812 admissibles (Concours Maths)

NOMBRE DE PLACES EN 2015 45 placesDATE DU CONCOURS 2016 épreuves écrites : du 25 au 27 avril 2016

ACTIVITÉS PARALLÈLES • Double diplôme avec HEC, avec l’ESSEC, avec l’ESCP Europe• Masters de recherche co-habilités ou en convention (certains cours detroisième année partagés)• Centre de Recherche en Économie et Statistique (CREST)• Tournoi annuel de Debating (joute oratoire en langue anglaise) avecl'École Polytechnique, l'ENA, l’ENST, l’ENPC, l’ENS Ulm, HEC,Centrale, etc.

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES • Nombreuses, dans le cadre de ParisTech et de l’Université Paris-Saclay

LOGEMENT DES ÉLÈVES ExternatTYPE DE BOURSES Bourses semblables à celles de l’enseignement supérieur

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 811€ en 2015/2016

L’ÉCOLE

STATISTIQUES DU CONCOURS

FORMATION

RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

publi

-info

rmat

ionENSAE ParisTech

École Nationale de la Statistiqueet de l’Administration Économique

3, avenue Pierre Larousse92245 MALAKOFF Cedex

Tél. : 01 41 17 65 25 - Fax : 01 41 17 38 52www.ensae.fr - e-mail : [email protected]

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Concours commun Mines Ponts, Concours ENS Sciences sociales,Concours prépa EC / S

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE Admission sur titres : Grandes Écoles ou M1 / Mathématiques, MASS ouÉconomie

ADMISSION

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

Page 2

L’ENSAE ParisTech est la seule grande école d’ingénieur spécialisée enéconomie, statistique, finance et actuariat.Trois concours permettent d'y accéder : un concours maths mais aussideux concours économie : l’un ouvert aux élèves de Khâgne B/L (18places) et l’autre ouvert aux prépa EC option scientifique (12 places).• Actuariat• Analyse des marchés et finance d’entreprise• Data science• Finance et gestion des risques• Prévision et politiques économiquesFormation par la rechercheScolarité à l'étranger avec diplôme étranger (notamment dans les grandesuniversités américaines et européennes)Stage long possible (entre la deuxième et la troisième année)• Double diplôme avec la Humboldt Universität de Berlin• Conventions avec plusieurs universités européennes : Université Pompeu

Fabra de Barcelone, Université de Bonn, etc.• Accords avec UC Berkeley, Institut von Neumann au Vietnam, etc.

OPTIONS DE 3E ANNÉE

SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION

ACCORDS INTERNATIONAUX

ENSAE_FT_V7:ENSAE FT 8/11/15 22:24 Page 1

Apres vos oraux, pensez a nous...Etudiants et enseignants, si vous estimez que l’Officiel de la Taupe vous a rendu service et merite de perdurer, nous vous serions reconnaissantsde penser a nous et nous adresser vos planches par e-mail au format que vous voulez, ou presque(*) :

selon votre option : [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] ou [email protected]

Merci de concourir ainsi a perpetuer un travail dont le but est de rendre l’egalite des chances a tous devant les concours.

Pour nous aider le mieux possible, pensez a

noter vos planches tout de suite a la sortie de votre oral,ou a defaut, si vous en avez encore le courage : le soir meme. Les valeurs numeriques sont importantes tant en physique qu’en chimie etdisparaissent des memoires, tres vite.

Concernant les oraux et les planches ci-apres. . .

• Certains enonces sont parfois -apparemment- peu clairs ou peudeveloppes.

Ces enonces ⟨⟨obscurs ⟩⟩ sont ainsi poses en connaissance de cau-se. L’examinateur souhaite voir et entendre reflechir l’etudiant, ahaute et intelligible voix, et progresser dans l’analyse du sujetavant d’aborder la resolution proprement dite. En dehors de l’absen-ce involontaire de certaines valeurs numeriques (pK ou ∆G en chimie,notamment), l’aspect ⟨⟨ imparfait ⟩⟩ de certains enonces traduit unerealite des oraux que les livres d’exercices corriges occulte :

l’initiative demandee au candidat.

• Parmi les les candidats les plus agacants (pour l’examinateur), oncitera :

− Le poseur de questions. Vous n’etes pas a l’oral d’un concourspour que l’on vous aide, tout au moins tant que vous n’avez rienpropose. Retenez-vous ! Souvent, si vous cherchez a repondre a laquestion, que vous ne poserez qu’a vous-meme, cette recherche vousmettra sur la piste de la solution. Parfois, ajouter une hypothesepour pouvoir commencer peut aussi debloquer votre probleme. C’estpeut-etre une initiative attendue.− La statue. Rester immobile et silencieux au tableau, dos al’examinateur, sans rien ecrire pendant de longues minutes ne rap-portera pas de points. Se retourner de temps en temps pour implorer,avec les yeux, une indication n’arrangera rien.− Le muet. Recopier toutes ses notes de preparation, y compris lescalculs, lentement et en silence, est une attitude souvent reprochee.Exposez rapidement et oralement tous les resultats que vous avezobtenus. L’examinateur vous demandera des precisions s’il le jugeutile.− Le lanceur de SOS. Parfois, l’etudiant croıt pertinent de soulignerlui-meme ses difficultes par un ⟨⟨Je ne vois pas comment faire ⟩⟩ ou⟨⟨Je ne sais pas trop par ou commencer ⟩⟩, sans prendre la moindre ini-tiative ou sans tenter de traiter des cas particuliers ou des exemplessignificatifs.− Le lievre. Certains candidats se precipitent, ecrivent mal et com-mettent erreurs sur erreurs.En conclusion, quelque soit le protocole d’oral, il est defini pourpermettre a l’examinateur d’apprecier la qualite de reflexion, latechnique de calcul ou la maıtrise du cours du candidat. Lorsquerien n’apparaıt, la note peut tomber tres tres bas.

• Comme vous le constaterez a la fin du fascicule, un indexpermet de retrouver les planches portant sur une partie donnee duprogramme.

Certains exercices sont accessibles par les eleves de premiere anneelorsqu’ils ont acheve les parties correspondantes du programme. Ceciest en effet tout a fait theorique. Les meilleurs pourront toujours sedistraire durant l’ete en cherchant les exercices poses aux ENS...En pratique, beaucoup de ces exercices demandent une maturite, unetechnique de calcul ou des astuces qui n’ont en general pas encoreete assimilees par la plupart des etudiants de premiere annee.

Le temps faisant son ouvrage, avec du travail, ces exercices de-viendront comestibles avec l’experience. Les etudiants motives com-menceront par gouter les exercices des Concours Communs Polytech-niques. Si cette premiere experience se revele positive, ils pourrontensuite croquer les autres planches, plus epicees, des Concours Com-muns Mines-Ponts ou Centrale-Supelec.

Le but n’est pas d’ecœurer les etudiants de premiere annee. Nousavons procede de cette facon pour trois raisons :− il est important que chacun se rende compte de l’importance, aumoins en volume, du programme de premiere annee qui tombe encoreplus a l’oral qu’a l’ecrit, parfois directement sous forme de questionde cours (machines thermiques, lois de Kepler, etc.) ;− l’acces a cette information est souvent difficile pour un etudiant.Nous pensons ⟨⟨qu’un homme averti en vaut deux ⟩⟩ et que prendrele temps durant des vacances d’apprehender comment le programmede premiere annee est exploite par les examinateurs est une curiositequi portera ses fruits. Une premiere conclusion a tirer sera de prevoirune periode de revision consacree a ce programme ;− enfin, le cote positif : si vous aboutissez sur certaines questionsalors qu’il vous reste un an pour preparer les concours, c’est rassu-rant : vous etes bien a votre place en prepa. Accrochez-vous.• La compilation d’un grand nombre de planches collectees aupresd’etudiants engendre inevitablement quelques fautes dans les enoncesoriginaux. Quand un enonce nous paraissait douteux, il a etecontrole. Vous pouvez rencontrer quand meme des exercices ⟨⟨faux ⟩⟩ :une erreur d’enonce est aussi une facon de tester la capacite d’initiati-ve du candidat.Malgre toute notre attention, il peut aussi demeurer quelques fautesinvolontaires !

• On peut trouver a l’interieur d’un meme concours, dans une memeoption, des planches de difficultes tres inegales.Ces ecarts entre interrogations traduisent surtout la reussite plusou moins heureuse de chaque etudiant. Lorsque la planche paraıtfacile, il faut imaginer que l’etudiant n’a pas ete tres brillant dansson entree en matiere, ou trop lent, et que l’examinateur a creusepour savoir si la note devait tomber tres bas, d’ou l’apparition dequestions jugees simples. Ajoutez a ceci que certaines planches sontincompletes. Lorsqu’au contraire, l’oral propose paraıt au-dessus duniveau moyen, c’est le plus souvent que le candidat s’est montrebrillant et rapide sur le premier sujet propose. L’examinateur vaalors chercher a l’evaluer le plus justement possible en posant unou plusieurs exercices plus longs et plus diffciles dont il n’attendnecessairement pas une resolution complete : les methodes proposees,l’analyse claire du sujet ou quelques calculs fins bien menes, suffirontlargement a l’eclairer.En conclusion, n’enviez pas hativement la ⟨⟨chance ⟩⟩ de tel candi-dat inconnu qui a eu une planche facile, ou ne redoutez pas la⟨⟨malchance ⟩⟩ de tel autre, tout aussi inconnu, qui a eu trois exer-cices de plus en plus difficiles.

• Il apparaıt de plus en plus de planches faisant appel tres directe-ment au cours, sans que cela soit forcement un signe de mauvaiseplanche. Les connaissances de premiere annee sont toujours aussisollicitees, dans toutes les matieres.

• S’il arrive que des exercices retombent d’une annee sur l’autre,il nous apparaıt aussi clairement que le bachotage d’un concoursdans une option ne portera pas tous les fruits esperes : de nombreuxexercices sont nomades et oscillent d’une annee a l’autre entre deuxou plusieurs concours.Un autre inconvenient du bachotage est dans la multiplicite dessolutions de nombreux exercices. Si vous servez a l’oral une solutionmanifestement trop ⟨⟨apprise ⟩⟩, l’examinateur en demandera uneautre et se fera alors une meilleure idee de votre capacite de reflexion.

(*) Par ordre de preference :1. document TEX ou LATEX avec le pdf du typeset ;2. tout texte avec pour indice et ˆ pour exposant, delta pour δ, Delta pour ∆, rho pour ρ, etc. ;3. document pdf avec texte accessible ;4. tout document papier bien ecrit et bien scanne ou photographie ;5. tout document illisible ou sans rapport avec le sujet ;6. ne rien envoyer ;7. document MS Word c⃝ au format docx.

L’officiel de la taupe numero 22 c⃝ MMXV Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Hirondellesv9_Officiel de la taupe 22/11/2015 17:16 Page1

ANNÉE DE CRÉATION 1994DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Renan DUTHION

STATUT Établissement public à caractère scientifique, culturel et professionnel (EPSCP),ministère de l'Économie et des Finances

HABILITATION Oui – Diplôme d’Ingénieur de l’Ensai, habilité par la CTI, qui confère le grade de MasterMembre actif de la Conférence des Grandes Écoles


Admission sur titres pour les étudiants titulaires d'un DUT Stid ou informatique,d'une Licence 3 ou d'un Master 1 (Mathématiques, Mass, Économie,Économétrie, Miage) ou d'un diplôme équivalent français ou étranger.

RESPONSABLE DU CONCOURS Nadège ORRIERE : 02.99.05.32.47 ; [email protected] DE CANDIDATS EN 2015 Spécialité «mathématiques» : 2 057 candidats pour la formation ingénieur et

1 327 candidats pour la formation d’attaché statisticien de l'Insee.Beaucoup de candidats s'inscrivent aux deux concours.

NOMBRE DE PLACES EN 2015 68DATE DU CONCOURS 2016 du 3 au 5 mai 2016, pour les épreuves concernant l’Ensai ;

pas d’épreuves de physique, chimie.

ACTIVITÉS PARALLÈLES Nombreux accords de double diplôme : Sciences Po Paris, Ensae, Amse,Université de Southampton, Berlin, etc. En 3e année, les élèves ingénieurs ont aussi la possibilité de suivre l’Option formation par la recherche (OFPR) qui leurpermet d’obtenir, en plus du diplôme d’ingénieur, un des quatre Masters proposés. Les attachés ont la possibilité de suivre un Master de statistique publique, en formation continue diplômante intégrée ou décalée.Centre de recherche en économie et statistique (Crest – Ensai).

ACTIVITÉS ASSOCIATIVES BDE, Junior Entreprise, Gala, Forum, Association des anciens élèves (Ensai Alumni)…

LOGEMENT DES ÉLÈVES Sur le campus.TYPE DE BOURSES Bourses du Genes selon critères sociaux. Bourses au mérite et à l’international.

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 811€ pour les ingénieurs ; pas de frais pour les attachés statisticiens stagiaires quisont rémunérés environ 1 550€ brut par mois, durant leur scolarité.

-FRAIS DE SÉLECTION 51€ + Frais de dossier liés au CCP ; les élèves boursiers sont exonérés de ces frais.

publi

-info

rmat

ionEnsai

École nationale de la statistiqueet de l’analyse de l’information

Campus de Ker Lann - Rue Blaise Pascal BP 37203 - 35172 BRUZ Cedex

Tél.: 02 99 05 32 47 - Fax : 02 99 05 32 05email: [email protected] - http://www.ensai.fr

L’ÉCOLE

ADMISSION



FORMATION


L’Ensai est la première école d’ingénieurs couvrant la plupart des domainesd’application de la statistique : génie statistique, statistique et ingénierie desdonnées, statistiques pour les sciences de la vie, ingénierie statistique desterritoires et de la santé, gestion des risques et ingénierie financière,marketing quantitatif et revenue management. Elle forme également descadres fonctionnaires, attachés statisticiens de l’Insee. Durée de la scolarité pour les élèves ingénieurs : 3 ans.Durée de la scolarité pour les attachés statisticiens stagiaires de l’Insee : 2 ans.Possibilité d’accéder au master statistique publique à l’issue de la scolarité.Fin de 1re année : stage opérateur de 4 semaines minimumFin de 2e année : stage d'application statistique de 8 semaines minimumFin de 3e année : stage de fin d'études de 20 semaines à 6 mois. Pour les ingénieurs, un séjour de 4 semaines minimum à l'étranger durant lecursus est obligatoire.Dans le cadre des programmes européens, l’Ensai est signataire d’uncontrat institutionnel ERASMUS+ permettant notamment des échangesd’étudiants avec des Universités allemandes, anglaises, danoises,espagnoles, irlandaises, italiennes et roumaines. Par ailleurs, des accordsexistent avec des universités américaines, allemandes, indiennes, la Chine,le Maroc et la Tunisie.

STAGES DES ÉLÈVES INGÉNIEURS


Concours portant sur le programme des CPGE 2de année MP et MP*. L’Ensairecrute en banque d’épreuves des concours communs polytechniques (CCP).

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE

RECRUTEMENT DE 1RE OU 2E ANNÉE

ENSAI_FTv9_ENSAI FT 23/11/2015 09:33 Page1

ENS − option MP

Planche 1 Ulm - Lyon - Cachan - RennesSoit K un corps ; pour toute permutation σ de Sn, on note P (σ) sa matrice dansla base canonique de Kn.Montrer que deux permutations σ1 et σ2 sont conjuguees dans Sn si et seulementsi P (σ1) et P (σ2) sont semblables.

Planche 2 Ulm - Lyon - Cachan - RennesSoit P l’ensemble des polynomes a coefficients dans −1, 0, 1,P+ le sous-ensemble de ces polynomes dont les coefficients sont positifs,P1 celui des polynomes de P de coefficients constants egaux a 1.On note D(r) l’ensemble des nombres complexes de module strictement inferieura r ∈ R∗

+, M l’ensemble des complexes z de D(1) pour lesquels il existe unpolynome de P1 qui s’annule en z et Q = D(1)\M .Determiner R = supr ∈ [0, 1] , D(r) ⊂ Q.Pour z ∈ Q\0, on admet que K = P (z), P ∈ P+ est ferme ; montrer quetoute application f continue de [0, 1] dans K est constante (on pourra montrerque K est la reunion disjointe de zK et 1 + zK).Soit z ∈ M ; montrer que C = P (z), P ∈ P+ est connexe par arc (on pourramontrer que zK ∩ 1 + zK est non vide).

Planche 3 Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

Soit f de classe C1 de Rn dans R, telle que lim∥ x ∥→+∞

f(x)

∥x ∥= +∞ et strictement

convexe : ∀λ ∈]0, 1[, ∀(x, y) ∈ (Rn)2, f!λx+ (1− λ)y

"< λf(x) + (1− λ)f(y)).

Montrer que G, defini par G(x) = ∇f(x), est un homeomorphisme (c’est a direcontinu, bijectif et de bijection reciproque continue).

Planche 4 Ulm - Lyon - Cachan - RennesOn dit qu’une fonction f est hyper croissante sur un intervalle I si et seulement sielle y est C∞ et si pour tout entier k non nul, sa derivee d’ordre k y est positive.Si f est hyper croissante sur [a, b[, peut-on dire qu’elle est hyper croissante sur]2a− b, a] ?Montrer que si f est hyper croissante sur [a, b[, elle est developpable en serieentiere en a avec un rayon de convergence au moins egal a b−a et qu’elle coıncideavec la somme F de la serie entiere sur [a, b[.Dans ces conditions, F est-elle hyper croissante sur son disque ouvert de conver-gence ?Montrer qu’on peut majorer une fonction croissante par une fonction hypercroissante.

Planche 5 Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable des la 1ere anneeOn note ⌈x⌉ la partie entiere superieure d’un reel x. On considere alors que

⌈+∞⌉ = +∞ et que 1∞ = 0.

Soient x ∈]0, 1[ et la suite : ∀k ∈ N∗, ak = minn ∈ N∪ +∞,k−1#

i=0

1ai

+ 1n

! x.

Trouver une relation de recurrence.Montrer que pour tout entier n " 1, an+1 " an(an − 1).

On pose ∀k ∈ N∗, Sk =

k#

i=0

1ai

; montrer que Sk converge vers x.

Planche 6 Ulm - Lyon - Cachan - RennesSoit f continue de R× Rn dans Rn verifiant :

∀t > 0, ∀(x, y) ∈ (Rn)2, ∥ f(t, x)− f(t, y) ∥ ! 1t∥x− y ∥

.Montrer que le probleme X′ = f

!t,X(t)

"avec X(0) = x0 ∈ Rn, admet au plus

une solution.Meme question s’il existe ω croissante de R+ dans R+, telle que 1

ω ne soit pas

integrable en 0 et ∀t > 0, ∀(x, y) ∈ (Rn)2, ∥ f(t, x)− f(t, y) ∥ ! ω ∥x− y ∥.


Soient u continue de R2 dans R telle que

$$

R2

u2 > 0 et I(t) = supy∈R2

$

D(y,t)

u2.

Montrer que I definit une application croissante de R∗+ dans R∗

+.Montrer que la borne superieure est atteinte.

Montrer que ∀M > 0,∃CM , ∀(t, s) ∈]−M,M [, |I(t)− I(s)| ! CM

%|t− s|.


Pour

&xyz

', on note P(x,y,z) l’espace engendre par

&100

'et

&01x

'.

Montrer que, pour tout couple (u, v) de vecteurs de R3, il existe un reel r > 0et un chemin continu γ, C1 par morceaux de [0, r] dans R3 tel que γ(0) = v,γ(r) = w et ∀t ∈ [0, r] , γ′(t) ∈ Pγ(t).

Soient γ de coordonnees (γ1, γ2, γ3), H(γ) =

$

[0,r]

%γ21(t) + γ2

2(t)dt et d(v, w) la

borne inferieure de H(γ) quand γ parcourt l’ensemble des chemins verifiant leshypotheses de l’enonce. Montrer que lim

v→0d(u, v) = 0.

Planche 9 Ulm - Lyon - Cachan - RennesSoit γ de [0, 1] dans C, de classe C1 par morceaux, et telle que γ(0) = γ(1).

∀z ∈ C\ Im γ, on note Iγ(z) =12iπ

$ 1

0

γ′(t)

γ(t)− zdt.

Montrer que Iγ est continue sur C\ Im γ.Montrer, sans utiliser le theoreme de relevement, que Iγ(z) ∈ Z (on pourra

introduire ϕ(s) = exp($ s

0

γ′(t)

γ(t)− zdt)).

Calculer Iγ(z) lorsque γ(t) = e2iπnt, puis ⟨⟨ lorsque γ parametre un huitcouche ⟩⟩(sans passer par la parametrisation explicite d’une lemniscate).Discuter le comportement de Iγ(z) lorsque le chemin γ est deforme.


Soit (ak) une suite de reels ; montrer qu’il existe une fonction u infinimentderivable, telle que ∀k ∈ N, u(k)(0) = ak.


Si ABC est un triangle, on definit f sur R2 par f(M) = MA+MB+MC (sommedes distances de M aux sommets).Montrer que f admet un minimum global P appartenant au triangle mais quin’est pas l’un des sommets.


Dans Rn euclidien, on note E = C1([0, 1],Rn).

Pour γ ∈ E, on pose L(γ) =

$ 1

0

** γ′(t)** dt et N0(γ) = sup

t∈[0,1]∥ γ(t) ∥.

Montrer que L n’est pas continue pour N0 en γ(t) = (t, 0, . . . , 0).Pour γ ∈ E, on pose N1(γ) = N0(γ) +N0(γ′).Montrer que L est differentiable pour N1 en tout γ tel que ∀t ∈ [0, 1], γ′(t) = 0.


Soit (an)n∈N∗ une suite de reels, telle que ∀(n,m) ∈ N∗2, an+m ! an + am.

Montrer que limn→∞

ann = inf

k∈N∗

akk

·

Soit F continue et croissante de R dans R, telle que ∀x ∈ R, F (x+1) = F (x)+1.

Montrer que limn→∞

Fn(x)− xn = l ou Fn designe le compose n-ieme de F , et l

est dans R. Montrer que l est reel et independant de x.

Planche 14 Ulm, abordable des la 1ere annee

Soient A et b continues et croissantes de R+ dans R+ ; on note B(t) =

$ t

0

b(s)ds.

Soient λ et µ deux reels de [0, 1] tels que λµ < 1 et ρ = 11− λµ

· Soit v continue

de R+ dans R, telle que v(0) ! 0 et v(t) ! tA(t) +

$ t

0

b(s)v(s)ds+ λv(µt).

Montrer que ∀t ∈ R+, v(t) ! ρtA(t)eρB(t).

Planche 15 Ulm

Soit f de ]0, 1[ dans R, nulle sauf sur un ensemble denombrable de points ai.

A quelle(s) condition(s) sur les ai et f(ai), existe-t-il x0 ⊂ ]0, 1[ tel que f soitdifferentiable en x0 ?

Planche 16 Ulm

Soient f et g deux fonctions decroissantes de R+ dans R+, F et G deuxfonctions integrables de R+ dans [0, 1]. Montrer que (l’inegalite est a valeur dansR+ ∪ +∞) :

$ +∞

0

f(t)g(t)dt "

$ +∞

0

f(t)F (t)dt

$ +∞

0

g(t)G(t)dt

max

+$ +∞

0

F (t)dt,

$ +∞

0

G(t)dt

, ·

Planche 17 Ulm

Soit F un corps fini et P ∈ F [X1, . . . , Xn]\0 de degre inferieur a d.

Montrer que P a au plus d |F |n−1 racines.

Soit F un corps quelconque, E un sous-ensemble de Fn tel que |E | <!n+dd

"ou

d ∈ N.Montrer qu’il existe P = 0 de degre inferieur a d qui s’annule sur E.Soit E un sous-ensemble de Fn tel que pour tout x ∈ F , il existe une droite affineD passant par x et verifiant |D ∩ E | > d. Montrer que |E | <

!n+dd

".

Planche 18 Ulm

Une C-algebre est engendree par deux elements x et y tels que yx = qxy ou q estun complexe.Trouver une formule similaire a celle du binome de Newton pour le calcul de(x+y)n ; on exprimera les coefficients obtenus de facon explicite, par une formulesimilaire a celle exprimant les coefficients binomiaux a l’aide d’une factorielle (onpourra, si K un corps fini a q elements et si Kn est muni d’une structure deK-espace vectoriel, denombrer les sous-espaces de Kn de dimension a).

Planche 19 Lyon

I) On dit qu’un sous-espace de Mn(R) est diagonalisable si toutes ses matricesle sont. Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace diagonalisable ?II) Exhiber une fonction non nulle, C∞, a support compact.

Planche 20 Lyon

Soit f de classe C2 de R dans R, telle que f2, f ′′f, (f ′)2 sont integrables.

Montrer que

$

Rf ′′f < 0.

Planche 21 Lyon

I) On note A la sous-algebre des endomorphismes nilpotents d’un C-espacevectoriel V de dimension finie ; montrer que

-

f∈A

Ker f = 0.

II) Demontrer le theoreme spectral.

Planche 22 Lyon

Soit (xn) une suite de ]0, 1[ ; montrer qu’il est equivalent de dire :(i) Pour toute suite (an) strictement positive telle que

.an converge,

.axnn

converge.(ii) Il existe un reel m > 1 tel que

.m1/(xn−1) converge.

L’officiel de la taupe numero 22 Page 5 c⃝ MMXV Editions Officiel de la Taupe Gyroscope


ANNÉE DE CRÉATION 1949DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Marc HOUALLA

STATUT Établissement public sous tutelle du Ministère de l’Écologie, du Dévelop-pement durable et de l’Énergie, — Direction Générale de l’Aviation Civile.

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur depuis 1949ANNÉE D’HABILITATION 1949

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE EPL MPSI, PCSI, PTSI, MP, PC, PSI, TSI et PTIENAC Sur concours communs polytechniques MP, PC, PSI, TSI ou L2

ICNA Sur concours ENAC : MP, PC, PSI, PT ou L2IESSA Sur concours ENAC : TSI, ATS ou DUT scientifiques

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE IENAC sur dossier : 1re année de Master sciences

RESPONSABLE DU CONCOURSNOMBRE DE PLACES EN 2015

DATE DU CONCOURS 2016

ACTIVITÉS ASSOCIATIVES Asso. anciens élèves, Junior entreprise, clubs (théâtre, musique, etc.), BDEGala

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES Forum Toulouse Technologies — Tournoi Sportif des Grandes Écoles Aéro-nautique — Air Expo — Festival Turbulences

LOGEMENT DES ÉLÈVESTYPE DE BOURSES

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELSEPL, IENAC civils

ICNA, IESSA, IENAC Fonctionnaires

L’ÉCOLE

ADMISSION



E.N.A.C.École Nationale de l’Aviation Civile

7, avenue Édouard BelinCS 54005

31055 TOULOUSE Cedex 4Tél.: 05 62 17 40 00 - fax : 05 62 17 40 24

http://www.enac.fr — [email protected]

L’École Nationale de l’Aviation Civile regroupe l’ensemble des formationsconduisant à tous les métiers de l’aviation civile : ingénieur, pilote, contrôleuraérien, électronicien, technicien, etc.

publi

-info

rmat

ion


Page 6

SPÉCIFICITÉ DE L’ÉCOLE


LES STAGES IENAC

ICNAIESSA

FORMATION

Résidences sur le campus de l’ENAC.Bourses possibles dans la limite des crédits fixés par la DGAC.Droits universitaires + sécurité sociale étudiante.Gratuit. Scolarité rémunérée, entre 1600 € et 2100 €/mois selon la formation.

Marc FOURNIÉ ; Téléphone 05 62 17 40 70EPL : 20 ; IENAC civil : 120 ; IENAC fonctionnaire : 6 ; ICNA : 45 ; IESSA : 30.Consulter le calendrier sur www.enac.fr selon la formation.

LES FORMATIONS

1re ou 2e année : stage ouvrier de 4 semainesPossibilité d’une année en entreprise entre la 2e et la 3e année.3e année : stage de fin d’études de 22 semaines en France ou à l’étranger18 mois répartis au cours de la scolarité6 mois répartis au cours de la formation.

MAJEURESIENAC uniquement

Cette formation à caractère pluridisciplinaire est orientée vers les activités dudomaine aérospatial. L’ingénieur ENAC intervient dans l’industrie aérospatia-le (avionneurs, équipementiers électronique, informatique) dans le transportaérien (compagnies aériennes, aéroports) dans le secteur public (DGAC) etde multiples secteurs connexes.

Télécommunications aéronautiques et spatiales Opérations aériennes et sécurité Systèmes Air Traffic Management Systèmes avioniques

IENAC

ICNA Cette formation à caractère professionnel destine tous ses élèves à la DGACau sein de laquelle les ICNA assurent le contrôle de la circulation aérienne.Cette formation à caractère professionnel destine tous ses élèves à la DGACoù ils prennent en charge le développement, l’installation et l’entretien desmatériels utilisés pour la navigation aérienne.

IESSA

Formation de pilote de ligne. Les élèves issus de cette formation rejoignent lescompagnies aériennes.

EPL

L’ENAC coopère avec plus de 50 partenaires académiques tant en Europe(Universités de Berlin, Darmstadt, Madrid, Barcelone, Rome, Bristol, Glasgow,Stockholm, Lisbonne, Zilina…) qu’en Amérique du Nord (Universités deBerkeley, Embry-Riddle, Maryland, École Polytechnique de Montréal…) ou enAsie (Universités de Nanyang à Singapour, Nanjing, Xian en Chine…).L’ENAC est membre fondateur du réseau européen PEGASUS (réseau desuniversités aéronautiques européennes) et du réseau France Aérotech.

ENAC_FTv7:FT 8/11/15 3:17 Page 1

Planche 23 LyonOn donne un arc γ de R dans R3, de classe C1, tel que ∀s ∈ R, ∥ γ′(s) ∥ = 1. Onsuppose de plus qu’il est l-periodique, injectif sur [0, l] (l’arc ne se recroise pas).

On pose δ = sup|s−t|!l/2

|s− t|∥ γ(s)− γ(t) ∥

; montrer que δ ! 1.

Si γ est un cercle (dont on choisira le parametrage), que vaut δ ? On noteδc cette valeur. Montrer que δ ! δc (on pourra introduire les fonctions

f(s) = γ!s + l

2

"− γ(s) et u(s) =

f(s)

∥ f(s) ∥et on cherchera alors a borner la

longueur de u sur [0, l2], la longueur etant donnee par

# l/2

0

$$u′(s)$$ ds).

Planche 24 LyonMontrer que, si G est un groupe de cardinal m > 1, il existe une partie generatriceA de G telle que |A | "log2 |G |.

Trouver la borne superieure delog2 |AutG |(log2 |G |)2

pour G parcourant l’ensemble des

groupes de cardinal m.

Planche 25 LyonDeterminer les entiers n tels que n2 divise 2n + 1.

Planche 26 Lyon - Cachan - RennesPour n ∈ N et f continue sur [a, b], on note En l’ensemble des polynomes deRn[X] tels que ∥ f − P ∥∞ = inf

Q∈Rn[X]∥ f −Q ∥∞.

Montrer que En est un convexe non vide, puis que c’est un singleton.

Planche 27 Cachan - Rennes, abordable des la 1ere annee(Ω,A, P ) etant un espace probabilise, montrer que ∀(A,B) ∈ A2,

|P (A ∩B)− P (A)P (B) | " 14

et etudier le cas d’egalite.

Planche 28 Cachan - RennesSoit f de R2 dans R telle que ∀x ∈ R, g(y) = f(x, y) et ∀y ∈ R, h(x) = f(x, y)soient polynomiales. Le but de cet exercice est de montrer que f est un polynomea deux variables.Pour tout entier m, on pose Em = x ∈ R, deg g(y) " m.

Ainsi, ∀x ∈ Em, ∀y ∈ R, g(y) = f(x, y) =

m%

k=0

ak(x)yk.

Montrer que ∃(fkj)0!k,j!m, ∀x ∈ Em, ∀k ∈ [[0,m]], ak(x) =

m%

j=0

f(x, j)fkj .

En deduire que ∃(Bk)0!k!m des polynomes tels que :

∀x ∈ Em, ∀y ∈ R, f(x, y) =m%

k=0

Bk(x)yk. Conclure.

Est-ce encore vrai si on remplace R par Q dans l’enonce initial ?

Planche 29 Cachan - RennesDeterminer les fonctions f de classe C1 de R2 dans R, telle que :

∀(x, y) ∈ R2, 1 =!∂f∂x

f(x, y)"2

+!∂f∂y

f(x, y)"2

.

Planche 30 Cachan - RennesI) Soient A symetrique reelle positive, P matrice d’un projecteur orthogonal, λvaleur propre reelle non nulle de AP . Montrer que λ ! min

α∈Sp(A)α.

II) Soient A et B symetriques reelles positives, on note A ∗B la matrice dont lescoefficients sont les produits de ceux de A et B.Montrer que A ∗ B est symetrique reelle positive (on pourra exprimer la doublesomme tX(A ∗ B)X, ou X est un vecteur de Rn, comme la trace d’un certainproduit de matrices).

Planche 31 Cachan - RennesComment caracteriser la continuite d’une application lineaire ?Sur l’ensemble I1 des suites complexes sommables, indexees sur Z, on definit une

loi de composition interne par (u ∗ v)(p) =%

n∈Zunup−n.

Y a-t-il un element neutre ? Montrer que c’est bien defini.Si ψ est un morphisme d’algebre continu de (l1,+, ∗) dans C, montrer qu’il existe

(wn), une suite de C indexee sur Z, telle que ∀u ∈ l1, ψ(u) =%

n∈Zwnun.

On note, pour p ∈ Z, τ(p) une fonction telle que τ(p)(u)(n) = un−p ; calculer%

p∈Zψ τ(p)(u) ∗ vp apres avoir montre que la famille est sommable.

En deduire une definition des wk, une relation entre les wk et des informationssur w1.En repartant du point de depart, montrer que ψ est continu en considerant

v =%

n∈N

un+1

znou z est un complexe tel que | z | > ∥u ∥.

Planche 32 Cachan - RennesOn munit E, espace vectoriel de dimension n, d’une base B = (e1, . . . , en) ;montrer qu’il existe une base B∗ de E∗ telle que ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, e∗i (ej) = δij .Montrer que, reciproquement, si on dispose d’une base B∗ de E∗, on peut trouverune base B de E verifiant les memes hypotheses.Soit ei la forme lineaire qui, a P ∈ Rn−1[X] associe P (xi), x1 < x2 < . . . < xn.De quel espace (e1, . . . , en) est-elle une base ? Trouver B∗.Soit f de classe C1 sur [x1, xn] ; montrer qu’il existe (bmi ) avec 1 " i,m " n tels

que

&&&&&

n%

i=1

bmi ei(f)−# xn

x1

f(t)dt

&&&&& " ∥ f ′ ∥∞ (xn − x1)2.

Quelles sont les proprietes de cet operateur ? Que dire si f est un polynome ?

Planche 33 Informatique, abordable des la 1ere annee

Rappeler l’algorithme d’Euclide permettant de calculer le pgcd de a et b. Quellesvaleurs de a et b font faire le plus de passages dans la boucle ? Que pensez-vousde la complexite ?Algorithme de Stein :pgcd(a, 0) = apgcd(0, b) = bpgcd(2a, 2b)=2pgcd(a, b)pgcd(a, 2b)=pgcd(a, b) si a impairpgcd(2a, b)=pgcd(a, b) si b impairpgcd(a, b)=pgcd(| a− b |,min(a, b)) si a et b impairs.Prouver la terminaison et la correction de cet algorithme. Que se passe-t-il avecdes entiers relatifs ?Pour m ! n ! 0, trouver a et b de respectivement m et n bits tels que l’algorithmede Stein applique a a et b fasse m soustractions.Montrer que si a et b sont les entrees, alors le nombre de soustractions effectueeslors de l’application de cet algorithme est majore par 1 + Log2(max(a, b)).Conclure quant a la complexite.

Planche 34 Informatique

Soit E = x1, . . . , xn ⊂ Rd, ou (d, n) ∈ N2. On etiquette chaque xi par un yi ∈ R.On cherche les fonctions f de Rd dans R, telles que ∀i ∈ [[1, n]], f(xi) = yi.Montrer qu’il n’y a pas unicite de la solution.On suppose d = 1 ; determiner un algorithme pour trouver une solution polyno-miale de degre n− 1 au plus.

Soit P le polynome trouve a la question precedente, P le polynome trouve avec lememe algorithme en modifiant legerement l’une des etiquettes : yi = yi ± ε pourun certain i.Montrer que P et P peuvent etre arbitrairement distants

(avec d(P, P ) =

#

R

&&P − P&& ∈ R+ ∪ +∞).

Monter que P et P peuvent etre de degres distincts.On revient au cas general pour d et on suppose ∀i ∈ [[1, n]], yi ∈ −1, 1. Ons’interesse aux solutions de la forme f(x) = sgn(< x|f > −σ) avec f ∈ Rd, σ ∈ R.Montrer qu’il n’en existe pas toujours.On choisit d = 2 et on suppose qu’il existe des solutions ; mettre en place unalgorithme pour en determiner une.

Planche 35 Informatique

Quelles sont les operations qui permettent de construire un langage rationnel ?On admet le lemme de l’etoile ; determiner si les langages suivants sont reguliersou non :Σ = a, b ; L1 =mots w comportant autant de a que de b ;L2 =mots w comportant autant de ab que de ba.On appelle langage sans etoile un langage qui se construit de la meme faconqu’un langage rationnel, sauf qu’a la place de l’etoile de Kleene on n’a droit qu’aucomplementaire : si e est un langage sans etoile, on note e le langage tel queL(e) = Σ∗\L(e). Determiner si les langages suivants sont sans etoile ou non :L3 = ab∗a ; L4 = (ab)∗.Montrer qu’un langage sans etoile est rationnel.Un automate A = (Q, q0, F, δ) verifie :∀q ∈ Q, ∀y ∈ Σ∗, ∀n ! 1, δ(q, yn) = y ⇒ δ(q, y) = y.Montrer que ∃n0, ∀n ! n0, ∀(x, y, z) ∈ Σ∗, xynz ∈ L(A) ⇔ xyn+1z ∈ L(A).

ENS − option PC

Planche 36

Soient (Xi)N∗ des variables aleatoires independantes, telles que pour tout i ∈ N∗,

Xi ! −1. On note Sn =

n%

i=1

Xi.

Montrer que P (Sn = −1 et Sk ! 0, ∀k ∈ [[1, n− 1]]) = 1n P (Sn = −1) (on pourra

considerer, pour tout i ∈ [[1, n]], l’evenement Ai : Sn = −1 et i est le plus petitindice tel que Si = min

k∈[[1,n]](Sk) ; on montrera que les Ai ont la meme probabilite

en etudiant d’abord An et A1).

Planche 37 Abordable des la 1ere annee

On note φ une fonction infiniment derivable de R dans R, admettant une limitefinie l en +∞.Soit c ∈ R ; donner les solutions evidentes de (∗) : (φ(x)− c)u′′(x) = φ′′(x)u(x).On suppose qu’il existe α > 0 tel que ∀x ∈ R, φ(x) − c ! α ; montrer que (∗)admet une solution qui tend vers +∞ en +∞.On suppose que c = 0, qu’il existe x0 > 0 tel que φ(x0) = 0 et φ′(x0) = 0, et queφ ne s’annule pas sur [0, x0[.Montrer que (∗) admet une solution non proportionnelle a φ sur [0, x0[.En donner un developpement limite au voisinage de x0.

Planche 38

Pour N ∈ N∗, calculer limt→1−

%

n"N

tn.

Trouver un equivalent de cette serie.

Trouver un equivalent en 1− de%

n"0

antn, quand an ∼ 1 en +∞.

Trouver un equivalent en 1− de%

n"0

antn, quand an ∼ n en +∞.




RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Sur concours commun Mines-Ponts Sur titre et sélection pour les titulaires d’une L3 ou d’un titre étranger jugé

équivalent (10 places) Cycle préparatoire des INP (2-3 places)

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE Sur titres et sélection pour les détenteurs d’un master M1, d’un titre ingénieur oud’un titre étranger jugé équivalent (https://admission.gei-univ.fr/) (5 places)

Après examen probatoire pour les officiers des armées Ingénieurs dee études et techniques l’armement

RECRUTEMENT DE 3E ANNÉE Sur dossier et entretien pour les élèves de l’École polytechnique.(Possibilité de rentrer en 2e année)

De droit pour les ingénieurs de l’armement (Possibilité de rentrer en 2e année)

NOMBRE DE CANDIDATS EN 2014 Plus de 10 000 sur le Concours Commun Mines-PontsNOMBRE DE PLACES EN 2015 70 en MP, 30 en PC, 67 en PSI, 7 en PT, 6 en TSI

DATE DU CONCOURS 2016 Dates à consulter sur http://concours-minesponts.telecom-paristech.fr/

ACTIVITÉS PARALLÈLES BDE, Junior Entreprise, très nombreux clubs sportifs et culturels et associationsétudiantes (Ingénieur sans frontières, Euroavia, ...), associations des anciens élèves...

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES Forum Toulouse Technologies, tournoi sportif des Grandes Écoles Aéronautiques,Supaerowing (régate internationale d'aviron), Air Expo (grand meeting aérien), etc.

LOGEMENT DES ÉLÈVES 450 logements : 420 chambres et 30 studios sur le campus SUPAERO deToulouse-Rangueil de l’ ISAE, campus “à l’américaine” de 22 hectares

TYPE DE BOURSES Bourses sur critères sociauxFRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 2300 € (frais année scolaire 2014-2015) + 215 € (Sécurité Sociale étudiante)

L’ÉCOLE

ADMISSION



FORMATION


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Page 8

Première formation d'ingénieurs française dans les domaines aéronautique et spatial, l'unedes toutes premières en Europe, le cycle ingénieur SUPAERO forme en trois ans des ingé-nieurs généralistes et polyvalents, capables de maîtriser des systèmes complexes et deréinvestir leurs compétences dans de nombreux secteurs économiques.Au-delà des compétences scientifiques et techniques de très haut niveau, des parcours ren-forcés, international, recherche, innovation et entrepreneuriat permettent aux étudiantsd’adapter leur formation à leur projet professionnel et aux industriels de trouver à la sortie del’école des profils variés permettant de répondre à leurs attentes. Grâce à un accord dedouble diplôme avec HEC, l'ingénieur SUPAERO peut également acquérir une formationcomplète et unique d'ingénieur manageur. Des formations complémentaires plus courtespermettent également d’acquérir des compétences en ingénierie des affaires, en manage-ment de l’innovation, en ingénierie systèmes, en droit et en développement durable.Le programme couvre l'ensemble des disciplines de base de l'ingénieur, en s'appuyant toutparticulièrement sur les domaines d'application que sont l'aéronautique et l'espace. Le pro-gramme de formation est construit autour d’un socle commun décliné en trois grandschamps, scientifique, humanité, ingénierie et entreprise. Le cursus est jalonné par des pro-jets permettant une ouverture intellectuelle, scientifique et humaine construits autour de lacréativité, l’innovation, la recherche, l’ingénierie et l’entrepreneuriat.La 3e année combine un domaine d’application et une filière disciplinaire. Cette structurationpermet de répondre au double objectif de formation : expertise et polyvalence.La filière disciplinaire permet à l’étudiant de disposer d’une expertise dans une visée pro-fessionnelle technique ou dans un objectif de poursuite en doctorat. Six filières sont propo-sées ; dynamique des fluides ; ingénierie mécanique ; sciences et observation de la Terre etde l’univers ; informatique, réseaux et télécommunications ; sciences de la décision ; signauxet systèmes.Les domaines d’application permettent à l’étudiant de compléter la dimension architecte sys-tème. Cinq domaines sont proposés : conception et opération des aéronefs ; conception etopération des systèmes spatiaux ; systèmes autonomes : robots, drones et missiles ; éner-gie, transport et environnement ; modélisation et simulation des systèmes complexes.→ 64 programmes de substitution et 39 doubles diplômes sont possibles avec les meilleuresuniversités étrangères tant aux États-Unis (Stanford, MIT, Michigan, Georgia Tech, CalTech,Berkeley), qu'au Canada ou en Europe (Polytechnique Montréal, universités de Cranfield,Stuttgart, Munich, Turin, Milan, Rome, Madrid, Barcelone, ...), en Chine (Nanjiing, Xian),...→ Membre fondateur du réseau européen PEGASUS.

ANNÉE DE CRÉATION SUPAERO (1909) — ISAE (2007)DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Monsieur Olivier LESBRE

STATUT Établissement public sous tutelle du ministère de la DéfenseHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Formation habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur



Institut Supérieurde l’Aéronautique et de l’Espace

Formation SUPAERO10, avenue Édouard Belin

BP 5403231055 TOULOUSE Cedex 4

isae-supaero.fr

SUPAERO FTv7:ISAE_SUPAERO_FT 8/11/15 22:36 Page 1

Ecole polytechnique − ENS Cachan − option PSI

Planche 39

On donne n ∈ N∗, A ∈ Mn(R) et ∀j ∈ [[1, n]],

X′

j(t) = AXj(t)

Xj(0) = ejou ej est le

jieme vecteur de la base canonique. On note X(t) =(Xi,j(t)

)1!i,j!n

.

Montrer que ∀j ∈ [[1, n]], Xj(t) est bien defini sur R.Montrer que ∀t ∈ R, det

(X(t)

)= 0 et trouver une equation differentielle verifiee

par det(X(t)

); en deduire que si trA = 0, alors ∀t ∈ R, det

(X(t)

)= 1.

Planche 40 Abordable des la 1ere anneeI) n convertisseurs numeriques fonctionnant de maniere independante sont placesen serie. Chaque convertisseur restitue correctement le bit qu’on lui fournit avecla probabilite p et renvoie le bit oppose avec la probabilite 1− p, p ∈ [0, 1].On noteX0 le bit en entree de chaıne etXk le bit en sortie du k-ieme convertisseur.

On pose Ak =(P (Xk = 1)P (Xk = 0)

); determiner une relation de recurrence entre les Ak

et en deduire la probabilite que le bit initial soit correctement rendu en sortie dun-ieme convertisseur. Que se passe-t-il lorsqu’on passe a la limite ?L’exercice suivant ne pourra etre abordees que si le precedent a ete resolu.II) Un de pipe a six faces numerotees de 1 a 6 et la probabilite d’obtenir la facek est notee p(k) ; on le lance n fois successives et on note xk la face obtenue auk-ieme lancer.Que peut-on dire du nombre Nk d’apparition de la face k quand n tend vers +∞ ?Quelle est la probabilite d’obtenir une suite (x1, . . . , xn) de lancers tels que∀k ∈ [[1, 6]], Nk est l’entier le plus proche de np(k) ? Cas du de non pipe.

Planche 41A toute fonction f continue de R+ dans R, on associe sa demi-integrale definie

par I1/2f(x) =1√π

∫ x

0

f(t)√x− t

dt et a toute fonction f de classe C1 de R+ dans

R, on associe sa demi-derivee definie, pour x > 0, par D1/2f = ddx

I1/2f .

Verifier que I1/2f est bien definie et qu’elle est continue sur R+.

Montrer que I1/2f(x) =

∫ x

0

f(x− t)√t

dt.

Montrer que D1/2 est bien definie et que D1/2f(x) = I1/2f′(x) +

f(0)√πx

·

Calculer I1/2 pour f(x) = xn (on pourra utiliser la valeur des integrales de Wallis

Wn =

∫ π/2

0

sinn tdt, soit W2p+1 =22p(p!)2

(2p+ 1)!et W2p =

(2p!)

22p(p!)2π2).

Calculer I1/2f pour f(x) = xn+1/2.

En deduire les relations I1/2I1/2f(x) =

∫ x

0

f(t)dt et D1/2I1/2f = f quand f est

un polynome.Montrer les relations de la question precedente pour une fonction developpableen serie entiere. Que dire quand f est quelconque, de classe C1 ?

Planche 42Pour A et B polynomes fixes de R[X], avec deg(B) = n+1, on note φ l’applicationqui, a P ∈ Rn[X], associe le reste R de la division euclidienne de AP par B.Montrer que si A et B sont premiers entre eux, φ est un isomorphisme.On suppose B scinde a racines simples ; trouver les valeurs propres de φ.Est-il diagonalisable ?On choisit A = aXp+1 − (a+1)Xp +1 et B = (1−X)2 ; φ est-il diagonalisable ?

Planche 43Autour de la propriete (*) : toute matrice inversible A connait une decompositionA = OS ou O est une isometrie vectorielle et S une matrice symetrique definiepositive.Pour d ! n on definit m sur le R-espace vectoriel norme E de dimension n, parm(x1, x2, . . . , xd) = | detB(x1, x2, . . . , xd) | si (x1, x2, . . . , xd)est libre dans la baseorthonormale B de l’espace engendre par les xi et m(x1, x2, . . . , xd) = 0 sinon.On note Xd l’ensemble des endomorphismes de E tels que :m(f(x1), f(x2), . . . , f(xd)

)= m(x1, x2, . . . , xd).

Justifier la definition de m et montrer que toutes les applications de Xd sont desautomorphismes. Montrer que Xd contient les isometries vectorielles.On choisit d < n ; quels sont les endomorphismes symetriques de Xd ?En deduire que Xd est l’ensemble des isometries vectorielles.Demontrer que toute matrice symetrique definie positive est le carre d’une matricesymetrique definie positive, puis demontrer la propriete (*).

Planche 44

Soit φ continue de R+ dans R, telle que ∀k " 0, φ(x) = a0+a1x +. . .+

ak

xk+

εk(x)

xk·

et limx→+∞

εk(x) = 0

A quelles conditions sur les ai,∑

n"1

φ(n) converge-t-elle ?

A quelles conditions sur les ai,∏

n"1

φ(n) converge-t-il ?

A quelles conditions sur les ai,∑

n"1

n∏

i=0

φ(i) converge-t-elle ?

Pour quelle(s) valeur(s) de α,∑

n"1

n∏

i=1

(2− e(α/k)

)converge-t-elle ?

Planche 45

Sur quel intervalle de R∗+, f(α) =

∫ +∞

0

dxxα(1 + x)

est-elle definie ?

Montrer qu’elle est continue sur cet intervalle et trouver un equivalent de f en 0.Montrer que la courbe de f est symetrique par rapport a la droite x = 1.

Ecole polytechnique − option MP

Planche 46Soient X1, X2 deux variables aleatoires de Z dans R, telles que E(|X2 |) < +∞Montrer qu’il existe h de Z dans R telle que Y1 = h(X1) verifie E(|Y1 |) < +∞et pour toute fonction f de Z dans R bornee, E

(f(X1)X2

)= E

(Y1f(X1)

).

Montrer l’unicite de Y1 a l’exception d’ensembles negligeable pour X1.Montrer que, en notant Y1 = E(X1|X1), pour toute fonction g de Z dans Rbornee, E

(g(X1)X2|X1

)= g(X1)E(X2|X1).

Planche 47

I) Soit A,B dans Mn(R) et C = AB −BA ; on suppose queA et C commutent.Determiner la derivee en 0 de f(t) = exp(A+ tB).

II) Soit a ∈ R+ ; Ea = z ∈ C,∣∣∣ z + 1

z

∣∣∣ = a est-il compact ?

Determiner les extrema de |z| lorsque z decrit Ea.III) Soit A et B deux matrices carrees de taille n ; montrer que si B est de rang

1, det(A+B) = det(A) + tr(AB).

Planche 48

On note Pn l’ensemble des polynomes a deux variables, homogenes et de degre n.

On donne le Laplacien D(P ) = ∂2P

∂X2+ ∂2P

∂y2et on note respectivement An et Bn

les ensembles de polynomes a Laplacien nul (i.e. le noyau du laplacien) et ceuxs’ecrivant P (X,Y ) = (X2 + Y 2)Q avec Q ∈ Pn. Montrer que Pn = An ⊕Bn.

Planche 49

Soit V un espace vectoriel de dimension finie et A un sous-espace de L(V ) tel queles seuls sous-espaces stables par A soient 0 et V .Montrer que le commutant de A est reduit aux homotheties.On fait agir A sur V n de la facon suivante : u(x1, . . . , xn) =

(u(x1), . . . , u(xn)

).

Montrer que tout sous-espace de V n stable par A admet un supplementaire stablepar A. Montrer que A = L(V ).

Planche 50

I) Soient A et B deux matrices de Mn(C) telles que AB2 −B2A = B.Montrer que B est nilpotente d’ordre impair.

II) Soit f de classe C4 sur [0, 1]2, a valeurs dans R et verifiant

∣∣∣∣∂4f

∂x2∂y2

∣∣∣∣ ! M

ou M est une constante, et s’annulant sur les bords du carre.

Montrer que

∫∫f est bornee par M

144(on pourra utiliser, apres l’avoir demontre,

que, si g est une fonction de classe C2 de [0, 1] dans R, alors :∫ 1

0

g(t)dt =g(0) + g(1)

2+

∫ 1

0

t(1− t)g′′(t)dt).

Planche 51

Soit f une fonction C2 de I intervalle ouvert de R dans R, verifiant f(0) = 0 ettelle que f ′ ne s’annule pas sur I.Soient y de valeur absolue arbitrairement petite, a fixer par la suite, et φ la

fonction definie par φ(x) = x+y − f(x)

f ′(x)·

On pose x0 = 0 et xn+1 = φ(xn) ; interpreter graphiquement φ, puis montrer quela suite (xn) converge vers x ∈ I verifiant f(x) = y.

Planche 52

I) Soit E un K-espace vectoriel ; on dit que u ∈ L(E) est une transvection sidetu = 1 et s’il existe une forme lineaire f ∈ E∗ et un vecteur a ∈ E\Ker f telsque ∀x ∈ E, u(x) = x+ f(x)a.Montrer que l’ensemble des transvections engendre, en tant que groupe, SL(E).II) Developpement asymptotique de (xn)n∈N, suite des solutions de l’equationsinx lnx = 1 ordonnees par ordre croissant.III) Image du cercle unite de R2 par une application de L(R2).

Planche 53

Determiner supM∈O(n)

∑

1!i!j!n

mi,j .


Une variable aleatoire X de Ω dans Rn verifie X(Ω) = v1, . . . , vm

On notera X =

⎛

⎝X(1)

...X(n)

⎞

⎠, vi =

⎛

⎝v(1)i...

v(n)i

⎞

⎠ et pi = P (X = vi).

Les vi et pi sont non nuls. On dit que X est centree si E(X) = 0.

On dira qu’elle est reduite si ∀(i, j) ∈ [[1, , ]]n2, E(X(i)X(j)) = δij .Montrer que si X est centree reduite, alors m " n+ 1.On suppose que m = n+ 1 ; montrer que X est centree reduite si et seulement si

< vi, vj >= −1 si i = j et ||vi||2 = 1pi

− 1.

Exhiber une variable centree reduite en dimension 2.

Planche 55

Soit N = M ∈ M2(R), M2 = 0 ; determiner les vecteurs tangents a N en la

matrice nulle, puis en la matrice(0 10 0

), puis en une matrice quelconque de N .


Une suite (Xn)n"1 de variables aleatoires mutuellement independantes, suivent

une meme loi de Bernouilli de parametre 12(δ0 + δ1).

Quelle est la probabilite pour que ∀n " 1, Xk(ω) = 1 pour au moins un k tel quen ! k ! 2n ?



ANNÉE DE CRÉATION 1948DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Francis COTTET

STATUT Établissement publicHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Concours Communs Polytechniques (MP-PC-PSI-PT-TSI-DEUG),Concours ATSSur dossier (DUT, L3 et L2 renforcée mécanique mathématiques et sciences physiques)

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE Sur dossier (M1 mécanique et physique)

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ionISAE — ENSMA

École Nationale Supérieurede Mécanique et d’Aérotechnique

Téléport 2 - 1, avenue Clément Ader - BP 4010986961 FUTUROSCOPE - CHASSENEUIL Cedex

Tél.: 05 49 49 80 80 - fax : 05 49 49 80 00www.isae-ensma.fr

SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION Diplôme d’ingénieur ENSMA pour l’aérodynamique, l’énergétique et la thermique, la mécanique, l’informatique.

OPTIONS DE 3E ANNÉE OPTIONS :• aérodynamique• énergétique• thermique• matériaux avancés• structures• informatique et avionique

ACCORDS INTERNATIONAUX • Programmes européens, réseau PEGASUS, BRAFITEC, GE4, CREPUQ,ARFITEC, SIAE Tianjin, PFIEV (Programme de Formation d’Ingénieursd’Excellence au Vietnam)

• 55 accords dans 24 pays (Europe, États-Unis, Canada, Chine, Vietnam,Mexique, Brésil, Australie, Liban...)

RESPONSABLE DU CONCOURS Secrétariat des Concours Communs PolytechniquesNOMBRE DE PLACES EN 2015 150

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2014 197DATE DU CONCOURS 2016 mai 2016 (Concours Communs Polytechniques)

ACTIVITÉS PARALLÈLES • Association des Anciens : ENSMA Contact• Cercle des élèves

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES • Membre du Groupe ISAE (ISAE-Supaero, ESTACA, École de l’air)• Membre du Réseau Polyméca (ENSCI Limoges, ENSIAME Valenciennes,ENSMM Besançon, ENSTA Bretagne, SUPMÉCA Paris, SEATECHToulon, ENSEIRB-MATMECA Bordeaux)

LOGEMENT DES ÉLÈVES Résidences du CROUS et d’Habitat 86TYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 610 € de droits universitaires, 215 € de Sécurité Sociale, 5,10 € de médecine préventive. Les étudiants boursiers sont exonérés des droits universitaires et des frais de Sécurité Sociale.

L’ÉCOLE

ADMISSION


FORMATION



Page 10

ENSMA_FTv9_ENSMA_FT 08/11/2015 22:42 Page1

Planche 57

On note C0(R) l’ensemble des fonctions continues de limite nulle en ±∞.||f ||∞ = sup

x∈R|f(x)| est-elle bien definie pour f ∈ C0 ?

On pose, pour t > 0 et f ∈ C0, (Ptf)(x) =1√2πt

!

Re−(x−y)2/2tf(y)dy.

Montrer que Pt est bien definie et verifier que C0 est stable par Pt.Montrer que Pt est une application lineaire continue.Montrer que ∀x ∈ R, lim

t→0Ptf(x) = f(x).

Montrer que pour tous s > 0 et t > 0, Pt Ps = Pt+s.

Planche 58

I) Soient deux matrices reelles, carrees d’ordre n, A, dont les valeurs propres sontde partie reelle strictement negative, et B, dont les valeurs propres sont negatives.Montrer que ∀C ∈ Mn(R), ∃!M ∈ Mn(R), C = AM +MB.II) Montrer que, si (pn) est une suite d’entiers strictement croissante, telle que

limn→+∞

npn

= 0, alors limx→1−

(1− x)"

n!0

xpn = 0.

Planche 59

I) Donner une CNS sur A ∈ Mn(C) pour que#A A0 A

$soit diagonalisable.

II) Trouver un equivalent, quand λ tend vers +∞, de

! 1

−1

e−λ(x2+x4)dx.

Planche 60

Soit B ∈ Mn(R) fixee, determiner maxA∈Mn(R)

deg(det(A+XB)), dans R[X].

On se place dans R[X,Y ]. Soient (A,B) ∈ Mn(R)2 symetriques, montrer quedet(I −XA− Y B) = det(I −XA) det(I − Y B) si et seulement si AB = 0.

Planche 61

Une suite (Sn) de variables aleatoires independantes suivent toutes une loibinomiale de parametres (n, p) ou p est fixe et est commun a toutes les variables.Calculer, pour s ∈ R, E(esSn ) de deux manieres differentes.

Soit a > 0 ; montrer que P%Snn ! a

&" exp

#−n sup

s>0

%as− ln(1− p+ pesa)

&$.

Soit d > 0 ; montrer qu’il existe h de R+ dans R∗+, telle que :

P%Snn ! p+ d

&" e−nh(d). Pourquoi faire ces calculs ?

Montrer qu’il existe k de R+ dans R∗+, telle que P

%Snn " p− d

&" e−nk(d).

Montrer qu’il existe j de R+ dans R∗+ et une constante reelle C, telles que

P%''' Sn

n − p''' ! d

&" Ce−nj(d).

Planche 62

On note S l’ensemble des matrices complexes carrees de taille 2, dont la tracevaut 1, dont la transposee vaut, terme a terme, le conjugue de la matrice et dontles valeurs propres sont reelles et positives.Expliciter une bijection simple entre S et la boule unite fermee de R3.Montrer que S est convexe.On dit qu’un point de S est extremal s’il ne s’exprime que sous la forme debarycentres triviaux ; donner les points extremaux de S.

Montrer que tout vecteur unitaire de R3 peut s’ecrire

(cosφ

sinφ cos θsinφ sin θ

)avec

(φ, θ) ∈ R2. Montrer que ∀p ∈ S, ∃X ∈ C2, XtX = 1 et tXX = p

Planche 63

On note L∞(E) l’ensemble des fonctions bornees sur un ensemble E au plusdenombrable.On dit qu’un endormophisme T de L∞(E) est un noyau de transition s’il existeµ de E2 dans [0, 1] telle que ∀x ∈ E, p(y) = µ(x, y) soit une probabilite sur E et

∀f ∈ L∞(E), ∀x ∈ E, T (f)(x) ="

y∈E

f(y)µ(x, y). On dit que T est deterministe

s’il existe φ de E dans E telle que ∀f ∈ L∞(E), T (f) = f φ.Donner une CNS sur µ pour qu’un noyau de transition soit deterministe.Montrer que T est deterministe si et seulement si c’est un morphisme d’algebre.

Planche 64

Soient X1, . . . , Xn des variables aleatoires.Montrer que A =

%cov(Xi, Xj)

&1"i,j"n

est diagonalisable et que ses valeurs

propres sont positives.

Planche 65

Pour A ∈ Mn(R), B ∈ Mnp(R) et T ∈ R, on note AT l’ensemble des vecteursV de Rn pour lesquels il existe une application u de [0, T ] dans Rp telle quel’equation X′(t) = AX(t) + Bu(t) avec X(0) = 0 admette une solution verifiantX(T ) = V .Montrer que AT = Rn si et seulement si rg(B,AB, . . . , An−1B) = n.

Planche 66

Soit A de coefficient aij ; on se propose de trouver un equivalent, quand n tend

vers +∞, de Sn = supA∈O(n)

"

1"i"j"n

aij .

On note f l’application qui a A ∈ Mn(R) associe"

1"i"j"n

aij .

Montrer qu’il existe M ∈ O(n) telle que f(M) = Sn.

On note Σij =

i"

k=1

mkj ; montrer que Σij = Σji. Conclure.

Planche 67I) Montrer que l’ensemble Zn des racines des polynomes de Zn[X], unitaires etdont les racines sont de module au plus egal a 1, est fini.Montrer que si α ∈ Zn, alors αn ∈ Zn puis que α est racine de l’unite.II) Soit f de classe C∞ sur [0, a], telle que ∀k ∈ [[0, p−1]], f (k)(0) = 0 et f (p) > 0.

Montrer que h(x) =f(x)

xp si x = 0 et h(0) =f (p)(0)

p!est de classe C∞.

Ecole polytechnique − ESPCI − option PC

Planche 68 II abordable des la 1ere anneeI) Soit A ∈ M3(R), inversible telle que A−1 = tA et det(A) > 0.Montrer qu’il existe X ∈ R3 tel que AX = X.

II) Etudier F (θ) =

! θ

0

ln(2 sinx)dx.

Planche 69I) Pour x ∈ N∗, montrer l’existence d’une unique suite (xn), telle que

∀n ∈ N, xn ∈ 0, 1 et x ="

n!0

xn2n.

Soit une variable aleatoire X dans N, telle que p(X = n) = 1

2n+1et

X ="

n!0

Xn2n ou (Xn) est une suite de variables aleatoires a valeur dans 0, 1.

On pose Y ="

n!0

Xn ; montrer l’existence de E(Y ).

Calculer E(Xn) pour tout n.

II) Montrer que, si λ est valeur propre multiple de#

B VtV a

$ou B ∈ Mn(R),

V ∈ Rn et a ∈ R, alors λ est valeur propre de B.

Planche 70

I)

! +∞

0

cos% t33

+ xt&dt est-elle convergente pour x ∈ R ?

II) Si u est un endomorphisme de Cn, existe-t-il une base dans laquelle la matricede u soit triangulaire superieure, avec des coefficients non diagonaux aij verifiant∃ ε > 0, ∀i = j, | aij | < ε ?

Planche 71Soient deux endomorphismes f et g d’un espace E de dimension finie tels que fsoit inversible et f g + g f = 0.Montrer que si g est diagonalisable, rg g est pair.Ker g et Im g sont-ils toujours supplementaires ?Quel est le resultat le plus fort : g diagonalisable ou E = Im g ⊕Ker g ?Montrer que si E = Im g ⊕Ker g alors rg g est pair.

Planche 72 Abordable des la 1ere anneeI) Trouver les fonctions continues de R dans R telles que :∀x ∈ R, f

%f(x)

&= 1 + f(x).

II) Pour A et B parties d’un ensemble E, on note A∆B = (A\B) ∪ (B\A).Montrer que A∆B = A∆C ⇔ B = C.

Planche 73 II abordable des la 1ere anneeI) Montrer que A carree, reelle est antisymetrique si et seulement si, pour toutmatrice P orthogonale, P−1AP a sa diagonale nulle.II) Trouver toutes les fonctions f de classe C2 de R dans R telles que :∀(x, y) ∈ R2, f(x+ y)f(x− y) = f(x)2 − f(y)2.

Planche 74

I) Existence et calcul de

! +∞

0

ln(1 + t−2)dt.

II) Montrer que si M est triangulaire superieure reelle et commute avec satransposee, alors elle est diagonale (on pourra montrer que l’orthogonal d’un sousespace stable par M est egalement stable par M).

Planche 75 Abordable des la 1ere anneeI) Une machine fabrique des pieces A avec une probabilite a et des pieces B avecune probabilite b (donc a+ b = 1).Chaque piece a la probabilite p d’etre defectueuse.Quelle est la probabilite d’avoir n pieces defectueuses au moment de la fabricationde la premiere piece A ?II) Montrer que, si f est un endomorphisme d’un espace E de dimension finie :Ker f ⊕ Im f = E ⇔ Im f = Im f2.III) Montrer que, si f , de classe C1 de R dans R, verifie ∀x ∈ R, f ′(x) = f(x)2,alors elle est nulle.

Planche 76I) Montrer que, si A ∈ M2(R) est telle qu’il existe n > 0 pour lequel A2n = I2,

alors A2 = I2 ou ∃k ∈ N, A2k = −I2.

II) Soit f continue de R+ dans R, integrable sur R+ et telle que f(x) = O% 1

x2

&

au voisinage de +∞.Montrer que, pour a > 0, g(x) = f

%x+ a

x

&et h(x) = f(

√x2 + 4a) sont integrables

sur R+ et que leurs integrales sont egales.

Planche 77 I abordable des la 1ere anneeI) Soit P ∈ R[X] ; montrer que ∃!Q ∈ R[X], P (X) = Q(X)−Q(X−1) etQ(0) = 0.Montrer que, dans le cas ou P = Xn, Qn verifie Q′

n(X) = Q′n(0) + nQn−1(X).

II) Soient a et b continues de R dans R, f et g solutions de y′′ + ay′ + by = 0 etverifiant fg = 1. Montrer que b est C1, negative et b′ = −2ab.

Planche 78I) Calculer le determinant de la matrice carree dont les coefficients diagonauxsont nuls et les autres valent 1.

II) Derivabilite de F (x) =

! +∞

0

sin(x) exp(t2 + xt)dt. Calculer F ′(0).



Création à St-Étienne en 1816, création du campus micro électronique de Provence en2004, et création du nouveau centre ingénierie et santé (2013)Pascal RAYÉtablissement public national à caractère administratifMembre de la Conférence des Grandes Écoles (CGE), rattaché à l’Institut Mines-Télécom.Habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur

RESPONSABLE DU CONCOURS Marc ROELENSNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 12 826 inscrits

NOMBRE DE PLACES EN 2015 MP : 40 ; PC ; 40 ; PSI : 40 ; PT : 2 ; TSI : 2.DATE DU CONCOURS 2016 Épreuves écrites : 25, 26 et 27 avril 2015, épreuves orales du 20/06 au 17/07.

Maison des élèves à proximité immédiate ou résidences étudiantes et appartements àdes loyers très modérés à Saint-ÉtienneBourses d'entretien gérées par l'école. Bourses de mobilité internationale financéespar la fondation de l'école 'FI3M' et la région Rhône-Alpes. Avances de trésorerie etprêts d'honneur consentis par l'association des ingénieurs civils des mines1850 € en 2015/2016

L’ÉCOLE


FORMATION


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ionEMSE

MINES Saint-ÉtienneCycle Ingénieur Civil des Mines (ICM)

158, Cours Fauriel - CS 6236242023 Saint-Étienne Cedex 2

Tél. : 04 77 42 01 23 - Fax : 04 77 42 00 00www.mines-stetienne.fr - e-mail : [email protected]

ADMISSION


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La formation d’ingénieurs polyvalents dispensée par l’école repose sur une solide basescientifique adossée à ses laboratoires de recherche. Leurs activités sont très diversi-fiées et tournées sur des problématiques d'avenir, comme la performance durable, lasanté ou la micro-électronique. La formation développe la créativité et l'innovation, l'ou-verture d'esprit et la capacité d'adaptation, le travail en équipe avec des projets inter-disciplinaires, ce qui favorise une bonne intégration dans l'entreprise. Elle permet àchaque élève de construire son projet professionnel, à travers un parcours personnali-sé, à l'école ou dans un autre établissement d’enseignement supérieur, en France ou àl'étranger. Chaque élève bénéficie d’un accompagnement personnalisé tout au long destrois années.Composé de 2 majeures scientifique à choisir parmi 10 :- Environnement industriel et territorial - Ingénierie biomédicale- Gestion de production et logistique - Procédés pour l’énergie- Gestion et finance d’entreprise - Matériaux- Science des données - Mécanique- Informatique - Microélectronique+ 1 défi sociétal parmi 8 :

- Transition énergétique- Transport et mobilité intelligents- Leviers et management du renouveau industriel- Design, création et innovation

- - Écoconception- Big data- Santé et médecine personnalisées- Nanotechnologies

Chaque élève ICM effectue un séjour à l’étranger d’une durée minimale de 12 semainessous forme de stage ou d’un séjour académique. Le niveau en anglais requis à la sor-tie de l'école est élevé. Une 2e langue est obligatoire. Une 3e est proposée.L'EMSE entretient des relations institutionnelles avec 39 pays et offre à ses étudiantsplus de 100 accords avec des universités partenaires, 19 double-diplômes, 40 conven-tions Erasmus.

PARCOURS PROFESSIONALISANT


QUITUS INTERNATIONAL

ANNÉE DE CRÉATIONDIRECTEUR DE L’ÉCOLE

STATUT

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR

Concours commun Mines Ponts : MP, PC, PSI, PT, TSISur titres dans le cadre de conventions de double diplôme (Pharmacien/Médecin)Sur titres ouverts aux diplômés de l’Université (France et étranger) au niveau L3 et M1Responsable des admissions : Marc ROELENS

LIEN FORMATION RECHERCHEEXPÉRIENCE MÉTIER

PARCOURS DANS D’AUTRES ÉCOLES EN FRANCEACCUEIL ET SUIVI PERSONNALISÉ

NOMBREUSES ASSOCIATIONS


FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉEAUTRES ADMISSIONS

• Un élève sur 2 suit un Master de Recherche en 3e année sans allongement de sco-larité (11 spécialités proposées).• Jusqu’à 43 semaines en 3 ans, en France et à l’étranger.• A titre d'exemples : Ponts et Chaussées, EM Lyon, IFP School, INSTN, ISAE-SupAéro, ISFA et d'autres écoles du concours commun ou de l’Institut Mines-Télécom.• Voyage d’intégration d’une semaine en Ardèche.• Tutorats, accompagnement pour élaborer un parcours professionnel et construire leparcours de formation correspondant. Parcours à la carte en 2e année et 3e année.• Nombreuses associations à caractère culturel, écologique, humanitaire, scientifiqueou sportif : Planète couleur, festival du film DD, festivals de théâtre, compétition derobotique, don du sang, de moelle osseuse, réinsertion de jeunes en difficulté, 4L tro-phy, Ingénieurs sans frontières, activité inter-écoles, etc.

EMSE_ICM_FTV7:EMSE_ICM_FT 8/11/15 22:55 Page 1

Concours Commun Mines-Ponts − option MPPlanche 79 II abordable des la 1ere anneeI) On note φ l’application definie sur l’ensemble E des fonctions continue de [0, 1]

dans R par φ(f) =

! 1/2

0

f(t)dt−! 1

1/2

f(t)dt.

On munit E de la norme N∞, definie par N∞(f) = supt∈[0,1]

f(t)dt.

Determiner M = supf∈E,N∞(f)=1

|φ(f) | et montrer que M n’est pas dans

l’ensemble qu’il majore, note A.Montrer que F = f ∈ E, φ(f) = 1 est ferme et calculer la distance de lafonction nulle a f .

II) Pour n ∈ N∗, on note ω = exp" 2iπ

n

#et A la matrice carree d’ordre n dont les

coefficients sont les aij = ω(i−1)(j−1). Calculer AA, en deduire |detA | et A−1.

Pour θ ∈ C, soit An(θ) la matrice de coefficients a(n)ij = θ(i−1)(j−1) ; trouver les

θ tels que An(θ) soit inversible.

Planche 80 I abordable des la 1ere anneeI) Une urne est remplie de 2n boules numerotees de 1 a 2n ; on tire des boulessans remise jusqu’a que toutes les boules impaires soient sorties de l’urne.Calculer la probabilite que les boules 1, 3, . . . , 2n−1 soient sorties dans cet ordre,consecutivement.Calculer la probabilite que les boules 1, 3, . . . , 2n−1 soient sorties dans cet ordre,pas forcement consecutivement.On note X la variable aleatoire qui compte le nombre de tirages necessaires avantd’obtenir le resultat. Calculer E(X).

II) Montrer que

! +∞

0

sin t√t

dt converge sur R∗+ et etudier son integrabilite.

Planche 81

I) On note a = exp 2iπ7

et M la matrice dont les coefficients sont les ap+q−2 pour

1 ! p, q ! 7. M est-elle diagonalisable ? Calculer exp(M).De quelle(s) structure(s) peut-on munir V ect(M) ?

II) Trouver la limite puis un equivalent de In =

! π/2

0

| sin(nx) || sinx |

dx.

III) Cours : montrer que la serie de fonctions fn(x) =√nxn(1 − x)2 converge

normalement sur [0, 1].

Planche 82 Abordable des la 1ere anneeI) Une urne contient n boules numerotees de 1 a n, que l’on tire sans remise ;quelle est la probabilite que la boule 1 soit tiree au k-ieme tirage ?On suppose que, sur les n boules, m sont blanches et les autres rouges ; quelle estla probabilite qu’une boule blanche apparaisse au k-ieme tirage ?II) Soit A une matrice de taille n avec, pour diagonale, les reels x1, . . . , xn, des1 sur le triangle superieur strict, des c sur le triangle inferieur strict, ou c est unreel fixe. On note J la matrice de taille n ne comportant que des 1.Que dire du degre de P = det(A+XJ) ?Determiner detA quand c = 1. Que vaut-il si c = 1 ?

Planche 83I) Soit f de R+ dans R integrable et telle que f2 le soit aussi.

Justifier l’existence de In =

!

R+

(exp"if(x)

n

#− 1)dx et montrer que la suite de

terme general In converge.

Montrer que ∃(I, J) ∈ C2 tels que, en +∞, In = In + J

n2+ o

$1

n2

%.

II) Donner le centre des groupes GLn(R) et Sn(R).Planche 84

I) Resoudre sur ]0,+∞[, xy′ + λy = 11 + x

avec λ > 0.

Existe-t-il une solution qui admette une limite en 0 ?Existe-t-il une solution developpable en serie entiere au voisinage de 0 ?

Calculer S =&

n!0

(−1)n

23n(1 + 3n)·

II) Montrer que deux matrices A et B, carrees, complexes, d’ordre n, ont le memepolynome caracteristique si et seulement si ∀k, tr(Ak) = tr(Bk).

Planche 85I) Une usine comporte deux chaınes de production, A qui produit 60% des objets,et B le reste. Un objet issu de A a une probabilite de 0, 1 d’etre defectueux,probabilite qui vaut 0, 2 si l’objet provient de B.Donner la probabilite pour qu’un objet choisi au hasard soit defectueux.Donner la probabilite pour qu’un objet constate defectueux provienne de A.On suppose que le nombre d’objet YA produit par A en une heure, suit une loi depoisson de parametre λ = 20 ; donner la loi du nombre d’objets defectueux XAproduits par A en une heure.Calculer l’esperance et la variance d’une loi de Poisson.II) Soit M ∈ Mn(R) de rang 1 ; exprimer det(In +M) en fonction de M .Soit A ∈ GLn(R) de coefficient aij ; calculer le determinant de la matrice decoefficient 1 + aij .On choisit A orthogonale, de determinant 1 ; donner, s’il existe, le maximum dudeterminant precedent, ainsi que la matrice A correspondante.

Planche 86 II abordable des la 1ere annee

I) Montrer que f(x) =&

n!1

xn sin(nx)

nest C1 sur son ensemble de definition et

calculer f ′. Montrer que f(x) = Arc tan x sinx1− x cosx

·II) On munit Rn euclidien de sa base canonique (e1, . . . , en).Montrer que fσ , defini par fσ(ei) = eσ(i) ou σ ∈ Sn est un endomorphismeorthogonal.

Montrer que f , defini par f(x) = 1n!

&

σ∈Sn

fσ(x) est un projecteur orthogonal que

l’on caracterisera.

Planche 87

I) Montrer que, pour n ∈ N\0, 1,

'1 1 01 1 10 1 n

(est diagonalisable.

Montrer que la matrice dont P (X) = X3 − (n+ 2)X2 + (2n− 1)X est polynomecaracteristique, possede trois valeurs propres an > 0, 1 < bn < 2 < cn.Trouver un equivalent de cn quand n tend vers +∞.Donner les relations entre les coefficients et les racines de P .Donner la limite de (an) et un equivalent de bn et de an en +∞.II) Montrer que si A ∈ Mn(R) verifie A3 = A+ In, alors detA > 0.


I) Trouver les fonctions f de classe C2 de R2\0 dans R, ne dependant pas

uniquement de)

x2 + y2 et dont le laplacien∂2f

∂x2+

∂2f

∂x2est nul.

II) Pour A fixee dans Mn(R) ; a quelle condition, necessaire et suffisante sur A,φA defini par φA(M) = AM tA est-il un endomorphisme de Sn(R) ?A quelle condition, necessaire et suffisante sur A, est-il inversible ?On suppose A diagonale ; montrer detφA = (detA)n+1.On munit Sn(R) du produit scalaire (U, V ) = tr(UV ) ; a quelle condition,necessaire et suffisante sur A, φA est-il orthogonal ?En deduire detφA pour A ∈ SOn(R).


I) Pour x ∈ R, on pose fn(x) =

n&

k=0

xk

k!· Trouver les racines de f0, f1 et f2.

Montrer que f2n n’admet pas de racine et que f2n+1 admet une unique racinenotee rn. Montrer que −(3n+ 2) < rn.

Etudier la monotonie de (rn)n∈N et trouver sa limite.II) Montrer que si n impair, A ∈ Mn(R) antisymetrique n’est pas inversible.Donner des exemples, pour n > 2 et n pair, montrant qu’on ne peut pas conclure.Montrer que si n est pair, detA " 0.

Planche 90

I) On note E l’ensemble des fonctions 2π-periodiques et continues de R dans C.

Les normes ∥ f ∥∞ = supt∈R

| f(t) | et ∥ f ∥2 =

*12π

! π

−π

∥ f(t) ∥2 dt sont-elles

equivalentes sur E ?

Pour n ∈ N, on pose Kn(x) = n+ 1 si x ∈ 2πZ et Kn(x) =sin2

(n+ 1)x

2

(n+ 1) sin2 x2

sinon.

Montrer que 12π

! π

−π

Kn(t)dt = 1 et, si α ∈ ]0,π[, limn→+∞

12π

! α

−α

Kn(t)dt = 1.

Pour f ∈ E, on pose fn(x) =12π

! π

−π

f(x+ t)Kn(t)dt.

Montrer que ∀n ∈ N, fn ∈ E et que (fn) converge simplement et uniformementvers f . Que dire de lim

n→+∞∥ fn − f ∥2 ?

II) Soit u un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension finie, telque u2 soit un projecteur. Montrer que u est trigonalisable.Exhiber F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que u induit un auto-morphisme sur F et un endomorphisme nilpotent sur G.Montrer que u est diagonalisable si et seulement si rg u = rg u2.

Planche 91

I) Definition, continuite, monotonie, limites de F (x) =

! +∞

1

dttx(1 + t)

·

Donner un equivalent de F en 0 et en +∞ (on pourra calculer F (x) + F (x+ 1)).II) Montrer que φ, definie sur Mn(R) par φ(M) = M +(trM)In, est bijective etcalculer φ−1. Calculer la trace et le determinant de φ.III) Soit A reelle, antisymetrique, de taille n, telle que lim

p→+∞Ap = L ; que vaut

L ? Que vaut S reelle, symetrique, de taille n, telle que limp→+∞

Sp = L ?

Planche 92 I abordable des la 1ere annee

I) On donne trois des a six faces equilibres.Quelle est la probabilite, apres lancer, que la somme des des vaille douze ?Donner la loi, l’esperance et la variance de la variable X valant le nombre de 6sortis dans un lancer. Quelle est la probabilite de X " 1 ?Quelle est la probabilite de tirer au moins deux 6 apres un lancer de douze des ?De n des quand n tend vers +∞ ?

II) Domaine de definition et continuite de f(x) =&

n!0

e−x√n.

Donner les limites et un equivalent en 0 et +∞.

Planche 93 II et III abordables des la 1ere annee

I) Pour f de classe C1 de R+dans R, monotone et de limite finie en +∞, montrerque les solutions de y′′ + y = f sont bornees.II) Determiner P tel que (X + 4)P (X) = XP (X + 1).III) Montrer que la famille (φa)a∈R ou φa(x) = |x− a | est libre.

Planche 94

I) soient X et Y deux variables aleatoires independantes de meme loi geometrique.Quelle est la probabilite pour que L = vect([X, 2X], [2X,Y ]) soit un corps ?II) Soit E = C0([0, 1],R) ; pour X ⊂ [0, 1], on note I(X) l’ensemble des fonctionsf de E nulles sur X. Montrer que I(X) est un ideal de E puis que c’est un ferme.Pour J ideal de E, on note Z(J) l’ensemble des zeros communs aux elements deJ ; existe-t-il J tel que Z(J) = Q ∩ [0, 1] ? Montrer que Z

"I(X)

#= X.



Création à St-Étienne en 1816, création du campus de Gardanne en 2004.Inauguration du centre micro-électronique Georges Charpak en 2008 et inaugura-tion du laboratoire bioélectronique en 2010Pascal RAYÉtablissement public national à caractère administratifMembre de la Conférence des Grandes Écoles (CGE) et rattaché à l’Institut Mines-Télécom. Membre fondateur de la CRGE PACAHabilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur

RESPONSABLE DU CONCOURS Bernard DHALLUINNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 9 521 inscrits

NOMBRE DE PLACES EN 2015 MP : 25 ; PC : 17 ; PSI : 25 ; PT : 4 ; TSI : 3.DATE DU CONCOURS 2016 Épreuves écrites : 25 au 27 avril 2016, épreuves orales : 20 juin au 17 juillet 2016

Garantie de logement à tous les élèves ingénieurs de 1re année à la Maison desélèves, face au bâtiment de l’école, à Gardanne. Prix modérés.Bourses d'entretien gérées par l'école. Bourses de mobilité internationale finan-cées par la région PACA ou la région d’origine des élèves-ingénieurs.1850 € en 2015/2016

L’ÉCOLE


FORMATION


publi

-info

rmat

ionEMSE

MINES Saint-ÉtienneCycle Ingénieur spécialisé en microélectronique,informatique et nouvelles technologies (ISMIN)

880, Route de Mimet13541 Gardanne

Tél. : 04 42 61 66 00 - Fax : 04 42 61 65 90www.mines-stetienne.fr - e-mail : [email protected]

ADMISSION


Page 14

Formation spécialisée dans les domaines de haute technologie allant de la micro-électronique aux applications. En s'appuyant sur des bases scientifiques, l'accentest porté sur une professionnalisation par des stages en entreprise en 1re année,puis en 3e année, mais aussi par un projet industriel en 2e année. Celui-ci est effec-tué en quadrinome sur 4 mois pendant lesquels les groupes répondent à un cahierdes charges technique proposé par une entreprise. L'encadrement se fait avec unindustriel (donneur d'ordre) et un professeur de l'école. Il est adossé à des coursde management (gestion de projet, gestion d'équipe, …).3 mineures : • Informatique

• Systèmes embarqués• Conception en microélectronique

4 majeures : • Dispositifs biomédicaux• Mobilité et sécurité• Informatique, technologies et supply-chain• Électronique et Énergies

- Innovation, création d’activité- Master Recherche en Micro/Nanoélectronique ou Génie IndustrielChaque élève ISMIN effectue un séjour à l’étranger d’une durée minimale de 12semaines, sous forme d’un stage ou d’un séjour académique.La mobilité internationale est encouragée par une politique de bourses dédiées.



COURS ÉLECTIFS

MOBILITÉ INTERNATIONALE

ANNÉE DE CRÉATION

DIRECTEUR DE L’ÉCOLESTATUT


Concours commun Mines-Télécom : MP, PC, PSI, PT, TSISur titres, en 1re ou 2e année, ouverts aux diplômés de l’Université (France etétranger) au niveau L3 et M1. Responsable des admissions : Bernard DHALLUIN

LIEN FORMATION RECHERCHE

PARCOURS DANS D’AUTRES ÉCOLES EN FRANCEACCUEIL ET SUIVI PERSONNALISÉ

NOMBREUSES ASSOCIATIONS



RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉEAUTRES ADMISSIONS

• Les élèves ingénieurs peuvent suivre un Master Recherche en parallèle de la 3eannée (Micro et Nanoélectronique ou Génie industriel). En moyenne, 10% desélèves-Ingénieurs continuent en doctorat.• TIC-Santé Montpellier 1 et 2, Mines d’ Alès.• L'effectif autour de 75 élèves-ingénieurs par promotion, permet un accompagne-ment individualisé des projets d'orientation professionnelle : aide aux choix desstages et des projets, support à la mobilité internationale ou nationale, accompa-gnement aux créateurs d'entreprise, …• Club robotique (participation à des concours nationaux et internationaux), Bureaudes Arts (organisation d'une semaine des arts), M-Gate (Junior entreprise ISMIN),Web radio, Illu-Mines (Association de vulgarisation scientifique), café des sciences...

EMSE_ISMIN_V7:EMSE_ISMIN_FT 8/11/15 22:55 Page 1

Concours Commun Mines-Ponts − option PC

Planche 95 I abordables des la 1ere annee

I) Soit (A,B,C) ∈ Mn(R)3 et M ∈ M2n(R) de la forme!A B0 C

"; donner une

condition necessaire et suffisante pour que rgM = rgA+ rgC.

II) Domaine de definition, continuite, derivabilite de Φ(x) =

# 1

0

tx ln(1− t)dx.


I) On dit que le point (a, b) d’une partie non vide B ⊂ N2, est au sud-ouest, si etseulement si B ∩ (]−∞, a]× ]−∞, b]) = (a, b).Montrer que toute partie non vide de N2 contient au moins un point au sud-ouest.Montrer que toute partie non vide de N2 admet un nombre fini de points ausud-ouest.

II) Ensemble de definition de f(x) =$

n!0

e−x+in2x.

Est-elle continue ? De classe C∞ ?Montrer qu’elle n’est pas developpable en serie entiere en 0.


i) Montrer que φ(A,B) = tr(tAB) est un produit scalaire sur Mn(R) pour lequelles sous-espaces des matrices symetriques et antisymetriques sont orthogonaux etsupplementaires.

Trouver infM∈Sn(R)

$

1"i,j"n

(aij −mij)2 pour A = (aij) donnee.

Montrer que | trA | !%

n tr(tAA).

II) Deux urnes U1 et U2 contiennent a boules blanches et b boules rouges.Trouver la probabilite d’avoir tire au moins deux fois plus de boules dans U1 quedans U2, avant d’avoir obtenu la premiere boule blanche.Deux variables aleatoires X et Y , sur un meme espace, suivent une loi geometriquede parametre p.Donner la loi de |X − Y |.On note T = max(X,Y ) et U = min(X,Y ) ; exprimer T + U , T − U et TU enfonstion de X et Y . Donner Cov(T, U), la definition et l’expression de Huygens.

Planche 98

I) Rayon de convergence et somme de& (n!)2

(2n+ 1)!xn (on pourra calculer

# 1

0

tn(1− t)ndt).

II) Donner une CNS pour que

'z z z1 z z1 1 z

(∈ M3(C) soit diagonalisable.

Planche 99

I) Pour n > 0 etudier la serie de terme general un =(−1)rn

na , ou a > 0 et

rn = ⌊n1/4⌋.

II) Montrer que In =

# +∞

0

dx1 + x ch x

n2

est definie.

Que peut-on dire de dire de In quand n tend vers l’infini ?


I) Chercher les solutions de x(y′′−y′)+λy = 0, λ ∈ R, sous forme de serie entiere.

Etudier, en fonction de λ, l’existence de

# +∞

0

y(x)2 e−x

xdx.

II) Etudier la suite donnee par z0 = i2

et zn+1 =3zn + 1zn + 3

·


I) Rappeler le procede de Gram-Schmidt.Simplifier la formule de Gram-Schmidt pour la base (e1, . . . , en) telle que∀i > 1, (e1|ei) = 0 et pour | j − i | ! 2, (ei|ej) = 0.Donner la dimension de l’ensemble F des vecteurs de Rn dont la somme descoordonnees est nulle ; determiner F⊥ et en donner une base.

A partir de F , donner une base orthogonale de Rn, d’abord pour n ∈ 2, 3, 4,puis dans le cas general.

II) Nature et limite de la suite de terme general un =

n$

k=1

1n2 + k

·

On pose vn = 1− nun ; trouver la limite de la suite de terme general nvn.


I) Donner l’en semble de definition Df de ω(x) =

# π/2

0

(sin t)xdt.

Calculer la limite de ω en +∞ et donner ses variations.Montrer que c(x) = (x+ 1)ω(x)ω(x+ 1) est 1-periodique.II) Dire ce qu’est la moyenne geometrique. Est-elle inferieure a la moyenne

arithmetique ? Le montrer (on pourra etudier f(x) =(Sn + x)n+1 − Pnx

(n+ 1)n+1ou

Sn =

n$

k=1

ak et Pn =

n)

k=1

ak).

Planche 103

I) Etudier les convergences de la serie de fonctions fn(x) = nxαe−nx2, α ∈ R.

II) Donner le noyau et l’image de l’endomorphisme f defini sur Cn[X] par :f(P )(X) = (X2 +X)P (1) + (X2 −X)P (−1).Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f .

Planche 104 Abordable des la 1ere anneeI) Soit une matrice A ∈ Mn(R) telle que A2 = 0 et rg(A) = k.

Montrer que A est semblable a la matrice!0 Ik0 0

".

II) On definit la suite (Un) par U0 > 0 et Un+1 = Un +An

Unou (An) est une

suite positive ou nulle.Montrer que Un est bien defini et que si (Un) converge, alors

&An converge.

Planche 105I) Deux variables aleatoires independantes X et Y suivent chacune une loi dePoisson de parametres respectifs λ et µ.Determiner la loi de X, sachant que X + Y = n.

II) Trouver les sous-espaces de R3 stables par M =

'1 1 0−1 2 11 0 1

(.

III) Convergence de la serie de terme general(−1)n

n3/4 + sinn·

Planche 106 I abordable des la 1ere anneeI) Soit f un endomorphisme d’un espace de dimension finie ; montrer qu’il existeun endomorphisme g tel que rg g = rg f , g = g f g et f = f g f .

II) Donner l’ensemble de definition de f(x) =$

n!1

xn

1− xn ·

f est-elle continue ? De classe C1 ?On pose φn(x) = xn1− xn et ψn(x) = xn1− x.

Montrer que ∀x ∈ [0, , [ ∀k ∈ N, 0 ! φ(k)n (x) ! ψ

(k)n (x).


I) Ensemble de definition et limite en +∞ de f(x) =

# 1

0

dt

(1− tx)1/x·

II) On donne deux familles libres de vecteurs de Cn, (X1, . . . , Xp) et (Y1, . . . , Yq).

Etudier la liberte des familles (Y ti Xj) et (Xt

iYj).


I) Developpement en serie entiere de f(x) =

# x

−∞

dt1 + t+ t2

au voisinage de 0.

II) Trouver tous les couples (A,B) de matrices tels que :∀M ∈ Mn(K), det(A+M) = det(B +M).

Planche 109 II abordable des la 1ere anneeI) On note E l’ensemble des fonctions de classe C∞ sur R et D l’operateurderivation. On pose f1(x) = chx, f2(x) = shx, f3(x) = x chx, f4(x) = x shx.Montrer que B = (f1, f2, f3, f4) est une base de F = V ectB.Montrer que la restriction de D a F est un endomorphisme dont on ecrira lamatrice A dans la base B.Calculer A4 et trouver un polynome annulateur de D|F . A est-elle diagonalisable ?

II) Montrer que f , definie par f(0) = 0, f(1) = ln 2 et f(x) =

# x2

x

dtln t

est de

classe C1 sur [0, 1].III) Une urne contient une proportion p ∈]0, 1[ de boules noires et q = 1 − pde boules blanches ; on effectue des tirages successifs avec remise. On note X lalongueur de la premiere suite de boules de meme couleur, Y la longueur de laseconde.Determiner la loi conjointe de (X,Y ), en deduire la loi, l’esperance et la variancede X, puis celles de Y . Verifier que E(X) " 2.

Planche 110

I) Trouver une relation entre an =

# π/2

0

cosn tdt et an+2.

Montrer que nanan+1 = π2

et en deduire un equivalent de an.

Donner le rayon de convergence de&

anxn puis calculer sa somme (on pourrautiliser le theoreme d’interversion d’une somme et d’une integrale ou une equationdifferentielle).II) Deux variables aleatoires X et Y independantes suivent une loi geometriquede parametre p.Determiner la loi du couple

*U = min(X,Y ), V = max(X,Y )

+puis la loi de U .

Donner l’esperance et la variance de U .

Planche 111

I) Nature et somme de$

n!0

(−1)n# π/2

0

cosn xdx.

II) Soit A une matrice carree complexe de trace non nulle.Montrer que f , defini par f(M) = tr(M)A − tr(A)M est un endomorphisme deMn(C) dont on donnera l’image et le noyau. Est-il diagonalisable ?


I) Donner le rayon de convergence et calculer la somme de$

n!0

! n$

k=1

1k

"xn.

II) Soient deux projecteurs p et q d’un espace E de dimension n, tels que pq = 0.Montrer rg p+ rg q ! n puis que p+ q − q p est un projecteur dont on donneraimage et noyau.

Planche 113

I) Existence et calcul de I =

# +∞

0

dx

(x2 − 1)%

x2 + 4·.

II) Soit E un espace vectoriel de dimension d et u ∈ L(E).Montrer que L(E) est un espace vectoriel.On pose φu(v) = u v ; montrer que φu est un endomorphisme de L(E).Montrer que φu est diagonalisable si et seulement si u l’est (on choisira C commecorps de base).



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Concours Commun Mines-Ponts − option PSI

Planche 114I) Etudier les convergences simple et uniforme de la suite de fonctions definie par

fn(x) = 0 si |x | ! 1n et fn(x) = n− n2 |x | si |x | " 1

n ·

Quelle est la limite de la suite de terme general In =

! +∞

−∞fn(x)φ(x)dx ou φ est

continue sur R ?II) Montrer que si σ est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E dedimension n, verifiant σ2 = −Id, alors n est pair. On pose n = 2p.

Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle σ a pour matrice"

0 −IpIp 0

#.

Planche 115 I abordable des la 1ere anneeI) On note A la matrice carree d’ordre n de coefficient aij = mini, j.Montrer que A peut s’ecrire comme le produit d’une matrice triangulaire inferieureunite U et d’une matrice triangulaire superieure V .Exprimer A−1 a l’aide de N dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de lasur-diagonale qui valent 1.

II) Montrer que f(t) =$

n!0

(−1)n

1 + ntest definie et continue sur R∗

+.

Calculer sa limite en +∞ et montrer que f est de classe C1 sur R∗+.

III) Cours : fonctions generatrices, correspondances avec esperance et variance.

Planche 116 Abordable des la 1ere anneeI) On definit une suite un par u1 > 0 et un+1 = fn(un) avec fn(x) =

x

1 + nx2·

Si elle existe, determiner la limite de (un).

Montrer que ∀n ! 2, un " 1n ·

Montrer que la suite (nun) est croissante et trouver un equivalent de un.II) Pour K = R ou C, trouver tous les polynomes P de K[X] tels queP (X) = P (1−X).

Planche 117 I abordable des la 1ere anneeI) Si u et v sont deux endomorphismes donnes d’un espace E de dimension finie,resoudre l’equation u f = v, d’inconnue f ∈ L(E).

II) Montrer que ζ(s) =$

k!1

1kx

est definie et de classe C∞ sur ]1,+∞[.

Donner les variations de ζ et sa limite en +∞.Donner un equivalent de ζ en 1+.

Planche 118

I) Montrer que In =

! π

0

ln%2 sin x

2

&cos(nx)dx et Jn =

! π

0

sin(nx)cos x

2sin x

2

dx

existent pour n ∈ N.Pour n ∈ N∗, trouver une relation entre In et Jn.Pour n ∈ N, trouver une relation entre Jn et Jn+1.

Calculer I0 (on montrera que

! π/2

0

ln(cosx)dx =

! π/2

0

ln(sinx)dx).

Calculer In.II) Montrer que, si A ∈ Mn(R) verifie A3 = A+ In, alors detA > 0.

Planche 119 Abordable des la 1ere anneeI) Pour f de classe C∞ de R dans R, on note D et F les applications definies par

D(f)(x) = f ′(x) et F (f)(x) =

! x

0

f(t)dt.

Prouver que D et F sont lineaires et expliciter D F et F D.Expliciter Ker(Id− F ) et Ker(Id−D).Montrer que la restriction de Id−D a Rn[X] est inversible et trouver son inverse.II) Pour f continue de [0, 1] dans R∗

+, etudier la suite de terme general

un ="! 1

0

f(t)ndt#1/n

.

Planche 120 I abordable des la 1ere anneeI) Un chocolatier propose de collectionner n vignettes differentes qu’il distribueau hasard dans ses chocolats, qui coutent 1 euro le paquet.Calculer l’argent moyen a depenser pour avoir les n vignettes.Determiner un equivalent de cet argent moyen a depenser quand n tend vers +∞.

II) Domaine de definition de f(x) =

! π

0

ln(1− 2x cos t+ x2)dt. Expliciter f .


I) Calculer$

n!0

1(3n)!

·

II) Donner la dimension de l’espace engendre par cos(x+a), cos(x+b), cos(x+c)ou a, b et c sont trois reels.

Planche 122I) Trouver les sous-espaces de E, R-espace de dimension finie n ! 2, stables paru verifiant un = 0 et un−1 = 0.II) Montrer que (E) : y′ − y = f ou f est continue et integrable sur R, admetune unique solution h bornee.Montrer que h est integrable sur R et exprimer cette integrale en fonction de cellede f .

Planche 123I) Soit X une variable aleatoire d’un espace probabilite (Ω, A, P ), telle queX(Ω) = N. On note GX sa fonction generatrice.

Montrer que ∀r ∈ ]0, 1[, P (X ! n) " 1−GX(r)

1− rnet etudier les cas d’egalite.

II) On note P l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans C.Pour T > 0, justifier la legitimite de l’endomorphisme u defini sur P par :

u(f)(x) = 1T

! x+T

x

f(t)dt.

Montrer que u est un automorphisme et donner son spectre.

Planche 124 I abordable des la 1ere anneeI) Soient p et q deux projecteurs d’un espace E ; montrer que Ker p = Ker q si etseulement si p = p q et q = q p.II) Soit (fn) une suite uniformement convergente de fonctions continues sur [a, b] ;que dire des suites de terme general un = max

x∈[a,b]fn(x) et vn = min

x∈[a,b]fn(x) ?

Planche 125 I abordable des la 1ere anneeI) On donne une famille (Pk)1"k"p de polynomes de R[X] et on note Uk la suitede terme general Pk(n), pour n ∈ N.Montrer que (Uk)1"k"p est libre si et seulement si (Pk)1"k"pl’est.

II) Domaine de convergence de f(x) =$

n!1

(−1)n

n2 + x2 ·

Montrer que f est integrable sur R et calculer cette integrale.

Planche 126 II abordable des la 1ere anneeI) Soit une variable aleatoire X telle que X(Ω) = [[0, n]] ; on pose f(t) = E(tX).

Calculer f (k)(1) en fonction de uk(X) = E"k−1'

p=0

(X − p)#

pour 0 " k " n.

Montrer que ∀j ∈ [[1, n]], p(X = j) = 1j!

n$

k=j

(−1)j−k uk(X)

(k − j)!·

II) Trouver une CNS sur A ∈ Mn(R) pour que φ(X,Y ) =((( A XtY 0

((( soit un

produit scalaire sur Rn.

Planche 127 I abordable des la 1ere anneeI) Pour P ∈ C[X] de degre n et de coefficient ak, montrer que ∀k ∈ [[0, n]],| ak | " sup

| z |=1|P (z) |.

II) Soit (Bn) une suite d’evenements mutuellement independants ; montrer que :

P")

n∈NBn

#" exp

"−$

n∈NP (Bn)

#.

III) Soient A et B deux matrices reelles, carrees d’ordre 2 telles qu’il existe troisreels a, b c verifiant AB = aI2 + bA+ cB ; montrer qu’il existe trois reels x, y, ztels que BA = xI2 + yA+ zB.IV) Cours : enonce de la loi des grands nombres, de la loi de Bienayme-Tchebychev, de la loi de Markov.


I) Convergence et calcul de I(x) =

! x

0

*1

sin(2θ)− 1dθ.

II) Soient P de degre n et a0, . . . , an des reels deux a deux distincts ; montrerque

%P (X + ai)

&0"i"n

est une base de Rn[X].

Planche 129 II abordable des la 1ere anneeI) Resoudre 4(1− t2)y′′ − 4ty′ + y = 0 sur ]−1, 1[.II) Soit (u1, . . . , un) une famille de E euclidien, muni d’une base orthonormeeB = (e1, . . . , en) ; on appelle matrice de Gram associee la matrice G de coefficient(ui|uj).Exprimer G en fonction de la matrice M dont les colonnes sont les coordonneesde ui dans B.Montrer que detG ! 0 avec nullite si et seulement si la famille est liee.Generaliser ce resultat pour une famille de p < n vecteurs.

Planche 130 I abordable des la 1ere anneeI) Montrer que tan x = x admet une solution unique sur In = ]− π

2+nπ, π

2+nπ[.

Trouver un equivalent de xn en +∞ puis en calculer le developpement asympto-

tique avec un precision o% 1

n2

&.

II) Montrer que si A et B sont deux matrices symetriques reelles d’ordre n, tellesqu’il existe p ∈ N pour lequel A2p+1 = B2p+1, alors A = B.

Planche 131I) Montrer que λ est valeur propre de la matrice A dont les coefficients diagonaux

sont 1, 2, . . . , n et tous les autres valent 1, si et seulement si

n−1$

k=0

1λ− k

= 1.

En deduire que A admet n valeurs propres distinctes.

II) Rayon de convergence de$

n!0

(−1)nxn et calcul de la limite en 1 de sa somme.

Soit une suite reelle (bn) telle que+

bn converge ; que dire du rayon de conver-gence de

+bnxn ?

On le suppose egal a 1 ; montrer que f(x) =$

n!0

bnxn est continue en 1.


I) Nature et somme de+ xn

3n+ 2·

II) Montrer que, si z0, . . . , zn sont des complexes deux a deux distincts, la familledes (X − zk)n est libre dans C[X].

III) On pose H(0, 0) = 0 et H(x, y) =x4y

x2 + y2pour (x, y) = (0, 0) ; H est-elle

C1 sur R2 ?

Planche 133 I et II abordables des la 1ere anneeI) Justifier l’existence et l’unicite d’une suite reelle verifiant u5

n + nun − 1 = 0.

Etudier cette suite et en donner un developpement asymptotique a deux termes.

II) Pour a ∈ R, resoudre%1 + iz1− iz

&n=

1 + ia1− ia

d’inconnue z ∈ C.III) Determiner les elements propres de l’endomorphisme T , defini sur l’espacedes fonctions continues de R dans R et admettant une limite finie en +∞, parT (f)(x) = f(x+ 1).



ANNÉE DE CRÉATION 1971DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Patrick PUYHABILIER

STATUT Établissement public.HABILITATION TITRE INGÉNIEUR habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE • Inscription CPGE : concours commun Mines-Télécom (MP, PC, PSI, PT, TSI)• Écrits CPGE : Mines-Ponts (MP, PC, PSI), banque PT et Centrale-Supélec

pour TSI- • Oraux CPGE : Mines-Télécom (MP, PC, PSI, PT) et Centrale-Supélec (TSI)

• Sur dossier : L3 STS ou équivalentRECRUTEMENT DE 2E ANNÉE • Sur dossier : diplôme d'ingénieur, 1re année de Master STS ou équivalent.

RESPONSABLE DU RECRUTEMENT Nicole Pouliquen : 02 98 34 87 01NOMBRE DE PLACES EN 2016 Civils : 115, militaires : 42, Alternance : 40

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015 225 ingénieurs, masters et mastères spécialisésCONCOURS 2016 Concours Commun Mines-Télécom (spé seulement) :

pré-inscription internet du 6/12/2015 au 6/01/2016 sur www.scei-concours.fr.Plus d'informations sur www.concours-mines-telecom.fr.

BDE, Association des anciens élèves (ENSTA Bretagne Alumni), Juniorentreprise, voile, Gala, robotique (nombreuses compétitions), spacieta, Shelleco-marathon, 4L Trophy, théâtre, musique, jeux, photo, BD, humanitaire,très nombreux sports...- Ingénierie : ENSTA ParisTech, ISAE, ENS Cachan, Mines Nantes, TélécomParistech, Télécom Bretagne, réseaux Polyméca et Ampère...- Autres spécialités : Audencia, École d'Architecture de Paris La Villette, IAEBrest, INSTN, Sciences Po Rennes...

LOGEMENT DES ÉLÈVES Résidence des élèves sur le campus (220 chambres individuelles)TYPE DE BOURSES Bourse selon critères sociaux (environ 30% de boursiers)

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS • élèves civils (80% de l’effectif) : 1850 €• élèves militaires (20% de l’effectif) : études gratuites et rémunérées

L’ÉCOLE

ADMISSION



ENSTA BretagneÉcole Nationale Supérieure de Techniques Avancées Bretagne

2, rue François Verny29806 BREST Cedex 9

Tél.: 02 98 34 87 80 - fax : 02 98 34 87 90http://www.ensta-bretagne.fr - mail : [email protected]

Dans un cadre d’études exceptionnel, l’ENSTA Bretagne forme en 3 ansdes ingénieurs à la fois généralistes et experts dans un domaine techniquede pointe, pour les secteurs les plus innovants : naval, offshore, aéronau-tique, automobile, défense, énergie, informatique et nouvelles technologies.o Architecture des véhicules et modélisationo Architecture navale et ingénierie offshoreo Systèmes pyrotechniqueso Systèmes électroniques, informatiques et robotiqueso Hydrographie et océanographieo Ingénierie et gestion des organisations6 options de spécialisation associées à 16 profils professionnels sont proposéesaux élèves ingénieurs ENSTA Bretagne. Dès le semestre 2, une personnalisa-tion du cursus leur est offerte. Une cellule d'orientation les accompagne dans ladéfinition de leur projet professionnel.67 accords avec des universités situées sur tous les continents (27 pays)

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Page 18


OPTIONS DE SPÉCIALISATION

INTERNATIONAL

FORMATION

VIE ÉTUDIANTE

RÉSEAUX

ENSTA Bretagne FT:ENSTA_Br_FT 10/11/15 0:05 Page 1

Concours Commun Centrale-Supelec − option MP


Montrer que deux formes lineaires non nulles d’un R-espace vectoriel E sontcolineaires si et seulement si elles ont meme noyau.Soient f1, . . . , fn, f des formes lineaires telles que :

∀x ∈ E, f1(x) ! 0, . . . , fn(x) ! 0 ⇒ f(x) ! 0

Montrer, d’abord pour n = 1, puis dans le cas general, que f est combinaisonlineaire des fi.


PourA ∈ Mn(C), on note∆(A) la somme des carres des coefficients de la premiereligne de A et on dit que A est semi-orthogonale si AtA = tAA = ∆(A)In.Montrer que A est semi-orthogonale si et seulement si ∃λ ∈ C, AtA = tAA = λIn.Soient α ∈ C et (A,B) semi-orthogonales. Montrer que αA, tA et AB sont semi-orthogonales et calculer leur ∆ en fonction de α, ∆(A) et ∆(B).Montrer qu’une matrice reste semi-orthogonale si on permute ses lignes ou sescolonnes.

Soient (A,B) semi-orthogonales, ∆(A) = 0 ; trouver C telle que M =!A BC tA

"

soit semi-orthogonale.

Planche 136 Avec Python

On note N[X] le sous ensemble de R[X] constitue des polynomes a coefficientsdans N. Pour tout entier naturel n, on note An = P ∈ N[X], n = P (2).Justifier que An est fini ; on note un son cardinal : montrer que u2n+1 = u2n (onpourra mettre en evidence une bijection entre A2n+1 et A2n).Montrer que u2n = u2n−1 + un (on pourra partitionner A2n).

En deduire que ∀n ∈ N, u2n =

n#

p=0

up.

Ecrire une fonction Python qui renvoie up pour p ∈ [[0, 100]]. Peut-on conjecturer

le rayon de convergence ρ de#

n!0

unzn ?

Montrer que ∀n ∈ N, u2n " 2n2/2 et calculer ρ.

Planche 137

Montrer que les ideaux de R[X] sont principaux.Pour M ∈ Mn(R) et (u, v) ∈ (Rn)2, on note un = (Mnu|v) et on ap-pelle Γ l’ensemble des polynomes P de degre d et coefficients ak tels que

∀n ∈ N,d#

k=0

akun+k = 0.

Montrer qu’il existe un unique polynome P tel que Γ = PR[X].Montrer qu’il existe deux vecteurs de Rn tels que le polynome minimal de M soitexactement ce polynome P .

Planche 138

Representer g de periode 4 et telle que g(x) = 1+ x si x ∈ [−2, 0[ et g(x) = 1− xsi x ∈ [0, 2[.

Donner la periode de gn(x) = g(22nx).

Existence et continuite de F (x) =

+∞#

n=1

12n

gn(x).

On note respectivement Sn et Rn, la somme partielle et le reste d’ordre n.Soit x ∈ R ; montrer que ∀n ! 2, ∃εn ∈ −1, 1 tel que le segment d’extremites$x, gn(x)

%et

$x+ εn22

n, gn(x+ ε22

n)%soit inclus dans le graphe de gn.

En deduire que F n’est derivable nulle part.


Pour n ∈ [[1, 4]], trouver les Pn ∈ C[X] tels que ∀z ∈ C∗, zn+z−n = Pn(z+z−1).Que dire des Pn pour n ∈ N ? Que peut-on demontrer ou conjecturer ?Determiner les racines de Pn.

Pour tout P ∈ C[X], soit Q tel que ∀z ∈ C∗, P (z) + P!1z

"= Q

!z + 1

z

".

Montrer qu’on definit une application en posant Q = ϕ(P ) et que φ est lineaire.Montrer que Cn[X] est stable par ϕ et donner la matrice de la restriction de ϕ aC4[X] dans la base canonique ; est-elle diagonalisable ?Donner l’antecedent par ϕ de −1 +X + 2X2 + 3X3 +X4.

Pour x ∈ [−2, 2], exprimer Pn(x) a l’aide des fonctions cosinus et arccosinus.

Montrer que le maximum et le minimum global de Pn sur [−2, 2] sont atteints

aux points 2 cos!kπn

", k ∈ [[0, n]].

On note En l’ensemble des polynomes unitaires de degre n ; montrer que pourtout P ∈ En, max

−2"x"2

&& Pn(x)&& " max

−2"x"2

&& P (x)&&.


Soit f de R dans R ; on note P la propriete :∀a ∈ R, lim

x→a+f(x) existe dans R, on la note f(a+) ;

∀a ∈ R, limx→a−

f(x) existe dans R, on la note f(a−).

Montrer que f monotone verifie P .On suppose des lors que f verifie P .Soit a ∈ R, tel que |f(a+)− f(a−)| > 0 ; montrer que :

∃η > 0, ∀y ∈ [a− η, a[∪]a, a+ η], |f(y+)− f(y−)| " |f(a+)− f(a−)|2

·Montrer que le nombre de points ou f est discontinue est fini ou denombrable.

Planche 141

Soient f continue par morceau sur R∗+ et λ continue par morceaux, croissante et

positive sur R∗+.

Montrer que E = x ∈ R, f(t)e−λ(t)x est integrable est soit vide, soit unintervalle non majore.

Montrer que F (x) =

' +∞

0

f(t)e−λ(t)xdt est de classe C∞ sur ] inf(E),+∞[.

On suppose f continue ; montrer que E = x ∈ R,' +∞

0

f(t)e−txdt converge

est un intervalle.L’ensemble vide est-t-il un intervalle ?

Planche 142 Avec Python, abordable des la 1ere annee

Soient (G, .) un groupe et g ∈ G ; montrer que fg qui, a n ∈ Z associe gn est unmorphisme du groupe (Z,+) dans (G, .).Donner une CNS sur fg pour que g engendre G.Si fg n’est pas injective, que dire de g ? Que dire de plus si g engendre G ?On rappelle que la fonction indicatrice d’Euler, notee φ, associe a n ∈ N, le nombred’entiers de [[0, n− 1]] premier avec n.On donne la fonction Python :def listprem(n) :

♯ Le but de cette fonction est de retourner une liste♯ contenant l’ensemble des nombres premiers avec n♯ strictements plus petits que n.if n == 1 :

return([ ])resultat = [0] + [1 for i in range(n− 1)]for k in range(2, n//2 + 1) :

if n%k == 0 :for j in range(1, (n− 1)//k + 1) :

resultat[j∗k] = 0return([i for i in range(n) if resultat[i] == 1])

Calculer φ(n) pour n ∈ 1, 10, p ou p est premier.Montrer que la fonction listprem donne bien la liste voulue, en trouvant et endemontrant un invariant de boucle.Ecrire une fonction phi(n) qui renvoie la valeur de l’indicatrice d’Euler appliqueea n.Calculer φ(1024× 81) et φ(1024)φ(81) ; que conjecturer ? Le demontrer.

Planche 143

Soit H un sous-groupe de SO3(R), non reduit a I3 et verifiant :∀P ∈ SO3(R), ∀M ∈ H,PMP−1 ∈ SO3(R).Montrer que SO3(R) est un groupe, et qu’il verifie ces proprietes.On rappelle que SO3(R) est l’ensemble des rotations de l’espace.On suppose que H contient une rotation M d’axe e et d’angle θ ∈ R.Montrer que, dans ce cas, toutes les rotations d’angle θ et −θ sont dans H.

Planche 144

Soit (un)n!1 ∈ RN telle que un = λ+ o(1) ; montrer que vn = 1n

n#

k=1

uk converge

vers λ.Soit Y une variable aleatoire discrete sur (Ω,Γ, P ) telle que Y (Ω) = N∗ ; montrer

que Y admet une esperance si et seulement si#

k!1

P (Y ! k) converge et que dans

ce cas, E(Y ) =

+∞#

k=1

P (Y ! k).

Soit X une variable aleatoire sur (Ω,Γ, P ), admettant une variance et telle que

X(Ω) = N ; montrer que Sn =

n#

k=1

P (X < k) ∼ n et preciser cette propriete

asymptotique.

Planche 145

Pour P ∈ C[X], on note EP = M ∈ Mn(C), P (M) = 0.On utilisera une norme quelconque de Mn(C).On etudie les elements isoles de EP , c’est a dire les matrices M pour lesquelles ilexiste r > 0, tel que B(M, r) ∩ EP = M.Determiner EP et etudier les elements isoles pour n = 1.Montrer, dans le cas general, qu’il existe un voisinage V1 de 0 dans Mn(C), telque ∀H ∈ V1, In +H soit inversible.Soit λ ∈ C ; construire une suite (Mk) convergeant vers λIn et telle que, pourtout k, (Mk −−λIn)2 = 0.Soit M un point isole ; montrer qu’il existe un voisinage V2 de 0 dans Mn(C), telque ∀H ∈ V2, (In +H)M(In +H)−1 = M .En deduire que M commute avec toute matrice de Mn(C), puis montrer que Mest une homotethie. Que dire de son rapport ?Montrer, a l’aide de la suite construite, que si λ est racine multiple de P , alorsλIn n’est pas un point isole de E.Montrer que si λ est racine simple de P alors λIn est un point isole de E.


Montrer que la suite de terme general un =

n#

k=1

1k− lnn converge.

Montrer que In =

' nπ

0

1− cos t

tdt et Jn =

' π/2

0

1− cos(2nt)

sin tdt existent et

calculer Jn par recurrence.



SPÉCIFICITÉS DE LA FORMATION

RECRUTEMENT DE 1re ANNÉE Concours commun Mines-Ponts (120 places) ou admission sur titres (licence scientifiqueou diplôme étranger — 10 places)

RECRUTEMENT DE 2e ANNÉE Admission sur titres (master 1 scientifique ou diplôme étranger équivalent — 15 places)Plus de renseignements sur : https://astgrandesecoles.fr

RESPONSABLE DU CONCOURS Gabrielle LANDRAC, directrice de la formationNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 Informations sur le site http://concours-minesponts.telecom-paristech.fr/index.php

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2014 222 ingénieurs Télécom Bretagne (promo 2014)NOMBRE DE PLACES EN 2015 120 pour Télécom Bretagne

DATE DU CONCOURS 2016 Informations sur le site http://concours-minesponts.telecom-paristech.fr/index.php

LOCALISATION GÉOGRAPHIQUE 3 campus : Brest, Rennes et ToulouseLOGEMENT DES ÉLÈVES • 427 chambres individuelles, 70 studios, 18 appartements et 48 chambres en

lofts sur le campus de Brest (campus «à l’américaine» de 24 ha, vue sur mer)• 50 chambres individuelles et 54 studios sur le campus de Rennes

TYPE DE BOURSES Bourses de l'Institut Mines-Télécom sous condition de ressourcesFRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 2 300 €

PORTES OUVERTES JEUDI 25 FÉVRIER 2016 (campus de Brest)

ANNÉE DE CRÉATION 1977DIRECTEUR DE L’ÉCOLE PAUL FRIEDEL

STATUT Établissement public, sous tutelle du ministère de l’Économie, de l’Industrie et duNumérique.

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur depuis 1978

Télécom BretagneTechnopôle Brest-Iroise - CS 83818

29238 BREST Cedex 3Tél. : 02 29 00 11 11 - Fax : 02 29 00 10 00

www.telecom-bretagne.eu - [email protected]

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L’ÉCOLE

ADMISSION



FORMATION


Page 20

Une pédagogie active, pour plus d'implication et de proximité avec les enseignants, enréalisant un projet par semestre :• Semestre 1 : «Projet Découverte»• Semestre 2 : «Projet Développement»• Semestre 3 : «Projet Entreprendre»• Semestre 4 : «Projet Ingénieur»De la flexibilité et de l'ouverture pour tenir compte des aspirations de chacun, enchoisissant, jusqu'au semestre 4, entre les majeures et les mineures de 5 domainesd'enseignement : «Électronique et physique», «Informatique», «Réseaux», «Économieet sciences humaines» et «Mathématiques et traitement du signal» et, au semestre 5de la 3e année, entre 4 filières où chaque élève construit son parcours ensélectionnant des cours dans une ou plusieurs d'entre elles :• «Ingénierie et intégration de systèmes»• «Systèmes logiciels et réseaux»• «Ingénierie des services et des affaires»• «Systèmes de traitement de l'information»Des spécialités de 3e année offertes dans toutes les écoles de l'Institut Mines-Télécom.Licences, masters recherche ou professionnels, doubles diplômes étrangers, diplômede l'ESC Grenoble, d'Audencia Nantes, de l’École de design de Nantes et de l’Écolenavale de Brest, possibilité de s’inscrire en 1re année du 2e cycle des étudesmédicales, odontologiques ou pharmaceutiques, thèse, etc.Allemagne, Argentine, Australie, Autriche, Brésil, Canada, Chili, Chine, Colombie, Coréedu Sud, Danemark, Espagne, États-Unis, Finlande, Grande-Bretagne, Inde, Irlande,Italie, Japon, Malaisie, Norvège, Nouvelle Zélande, Pays-Bas, Pologne, RépubliqueTchèque, Roumanie, Singapour, Suède, Taiwan, Thaïlande, Turquie et Uruguay.

35 POSSIBILITÉS DE DOUBLES DIPLÔMES

60 ACCORDS D’ÉCHANGE AVEC 32 PAYS

Stage en entreprise ou dans un centre de recherche en semestre 6, d'une duréeminimale de 6 mois, en France ou à l'étranger (chaque élève effectue au minimum,sauf dérogation exceptionnelle, un séjour de 2 mois à l'étranger). Stage long devalidation de l’expérience (6 mois à 1 an en entreprise entre la 2e et la 3e année).Formation à la pratique courante de deux langues étrangères, dont l'anglais.Cours d'intersemestre au choix permettant de découvrir des activités différentes etd'élargir sa culture.Service stages-emploi. Logements et restauration. Bibliothèque. Complexe sportif.Voyage d'intégration, BdE, BdA et BdS (gèrent les clubs culturels, artistiques etsportifs), Junior Entreprise, Forum Ouest Avenir, Gala, Concours de robotique,Association des diplômés (Télécom Bretagne Alumni).

STAGES EN FRANCE ET À L’ÉTRANGER

LANGUES ÉTRANGÈRESCOURS D’INTERSEMESTRE

SERVICES OFFERTSACTIVITÉS ASSOCIATIVES

Telecom_Bretagne_FT_V7:ENSTB FT 8/11/15 22:59 Page 1

Planche 147 Avec Python, abordable des la 1ere anneeOn note Z(P ) l’ensemble des racines complexes d’un polynome P ∈ R[X], Ul’ensemble des complexes de module 1.Pour α ∈ Z(P ), h ∈ R, on note Dα,h l’ensemble des complexes z tels que

| z −ℜeα |2 ! (ℑmα)2 − h2 et Jh =!

α∈Z(P )

Dα,h.

Enfin, pour h ∈ R et γ ∈ U , on note Ph,γ(X) = P (X + ih)− γP (X − ih).

Ecrire une fonction Python qui prend en argument P et γ, et qui calculeh = max

α∈Z(P )|ℑmα | et renvoie la liste des racines de Ph,γ .

A l’aide de quelques exemples, formuler une conjecture.Montrer que ∀(z,α, h) ∈ C2 × R, 8hℑmz(| z −ℜeα |2 + h2 −ℑmα2) = AAvec A = | z + ih− α |2 | z + ih− α |2 − | z − ih− α |2 | z − ih− α |2.Soient γ ∈ U , h ∈ R et z une racine de Ph,γ non reelle ; montrer que z ∈ Jh etconclure.


Montrer que les deux suites definies par a0 = a > 0, ak+1 = 12

"ak+

1bk

#et b0 = 1,

bk+1 = 12

"bk + 1

ak

#sont definies et convergentes.

Donner leurs limites (on pourra poser uk =akbk

).

On rappelle que A, symetrique reelle de taille n, est dans S+n si et seulement si

∀X ∈ Rn, tXAX " 0.

On definit deux suites par A ∈ GLn(R), B0 = In, Ak+1 = 12(Ak + B−1

k ) et

Bk+1 = 12(Bk +A−1

k ).

Programmer une fonction Python qui renvoie les k premiers termes de ces deuxsuites sous la forme [[A0, A1, . . . , Ak], [B0, B1, . . . , Bk]] pour A donnee.Montrer que si A ∈ S+

n a toutes ses valeurs propres strictement positives, il enest de meme pour A−1. Montrer que A =

"min(i, j)

#(i,j)∈[[1,n]]2

∈ S+n et a toutes

ses valeurs propres strictement positives.A l’aide de Python, observer les 10 premiers termes de (Ak), (Bk), (A2

k) et(AkBk). Conjecturer les limites des differentes suites.


On note E l’espace des fonctions de classe C1 de$0, π

2

%dans R et on pose, pour

φ ∈ E, L(φ)(x) = 2π

& π/2

0

φ(x sin t)dt.

Montrer que L est un endomorphisme de E.

Pour f ∈ L(E), on pose M(f)(x) = f(0) +

& π/2

0

f ′(x sin t)dt.

Calculer M L(en) avec en(t) = tn.Determiner M L puis L M .

Planche 150On note S(n) la sphere unite de Rn.Donner les expressions de cos x et sinx en fonction de u = tan x

2·

Montrer que S(2) ∩ Q2 et S(2) ∩ (R\Q)2 sont dense dans S(2).Generaliser en dimension n.

Planche 151 Avec PythonPour X ∈ [0, 1], on donne deux suites de variables aleatoires (Xn) et (MN ) tellesque les (Xi)i>0 suivent des lois de Bernoulli de parametreX et sont independantes

deux a deux, et pour N ∈ N∗, MN = 1N

N'

n=1

Xn.

On designera parfois de maniere abusive ces variables par Xn(X) et Mn(X).

Soit f ∈ C0([0, 1] ,R) fixee ; on pose Bn(f)(x) =

n'

k=0

(n

k

)f" kn

#xk(1− x)n−k

Calculer l’esperance et la variance de MN pour N ∈ N∗ et verifier que

V (MN ) ! 14·

Calculer l’esperance de f(MN ) pour N ∈ N∗.Ecrire un programme Python, de variables f et n, tracant le graphe de f et deB1, . . . , Bn.Soient ε > 0, n ∈ N∗ ; a l’aide de l’inegalite de Bienayme-Tchebychev, montrer

que ∃δ < 0, ∀X ∈ [0, 1] ,**E

"f(Mn(X))

#− f(X)

** !∥ f ∥∞2nδ2

+ ε2

(on pourra

utiliser l’uniforme continuite de f sur [0, 1] et s’interesser a la restriction def"Mn(X)

#− f(X) a la partie de [0, 1] ou |Mn(X)−X | " δ).

Montrer que Bn(f) converge vers f pour la norme infinie.

Planche 152On dit qu’une partie X de GLn(C) est uniformement diagonalisable, si toutes lesmatrices de X le sont.Montrer que G, sous-groupe de GLn(C) dont tous les elements s verifient s2 = In,est abelien, puis qu’il est uniformement diagonalisable.Montrer que G est de cardinal fini et en deduire que, si GLn(C) et GLm(C) sontisomorphes, alors n = m.

Planche 153On lance une piece jusqu’a obtenir face, la probabilite d’obtenir pile etantp ∈ ]0, 1[, et on note N le nombre de piles obtenus d’affilee.Soient Z une variable d’esperance m et ε > σ(Z) ; donner une inegalite utilisantσ(Z) verifiee par p(|Z −m | " ε).Montrer que la probabilite peut-etre minoree par 1.Que dire de p(−2 < Z < 4) si E(Z) = 1 et σ(Z) =

√2 ?

Donner la loi de probabilite de N ainsi que sa fonction generatrice ; montrer qu’elleadmet des moments de tout ordre.Calculer la probabilite p(N < 4), l’appliquer a p = 1

2et comparer avec le resultat

obtenu en debut d’exercice. Que se passe-t-il si N tend vers +∞ ?

Concours Commun Centrale-Supelec − option PC

Planche 154Pour n ∈ N, note An des evenements mutuellement independants.

Interpreter A =+

p∈N

!

n!p

An.

Montrer que si,

p(An) converge, alors p(A) = 0, et que si elle diverge, P (A) = 1.Soit une suite d’evenements (Bn) tels que ∀n ∈ N∗, Bn ⊂ Bn−1.

Montrer que limn→+∞

p(Bn) = p(+

p∈NBn

).


On definit (fn) sur [0, 1] par f0(x) = 1 et fn+1(x) = 2

& x

0

-fn(t)dt.

Calculer f1 et f2 puis montrer que fn(x) est de la forme αnxβn .Determiner des relations de recurrences entre les termes des suites (αn) et (βn).Calculer βn et donner la limite de la suite (βn).Ecrire un programme Python qui retourne les 30 premiers termes de la suite (αn) ;conjecturer la limite.

Montrer que lnαn = −n'

k=1

2−k+1 ln(1− 2−n−1+k) et en deduire la limite de αn.

En deduire que (fn) converge uniformement sur [0, 1].

Planche 156 Abordable des la 1ere anneeSoient u un endomorphisme d’un espace vectoriel E verifiant un = Id et p unprojecteur sur une sous-espace V de E stable par u.

Montrer que q = 1n

n'

k=1

uk p un−k est un projecteur dont le noyau est un

supplementaire de V stable p.


I) Pour n > 0, trouver X ∈ M3(R) telle que Xn =

.0 1 11 1 11 1 0

/.

II) Donner la loi de Tn, nombre de points fixes des permutations de [[1, n]].Calculer son esperance et sa variance.

Planche 158Soit f un automorphisme orthogonal et g = f − Id ; montrer que Im g = Ker g⊥.

On pose Pn(x) =1n

n−1'

k=0

fk(x) ; montrer que"Pn(x)

#converge vers la projection

orthogonale de x sur Ker g.


On donne une suite reelle (an) et on pose un + 12un+1 = an.

Determiner un en fonction de u0 quand (an) est la suite nulle.On suppose (an) constante et egale a 1.Ecrire une programme qui donne les 20 premiers termes positifs de (un).Determiner un, pour tout n.On revient au cas general : determiner un en fonction de u0 et des ak, 0 ! k ! n.On pose xn = (−2)−nun ; montrer que xn − xn+1 = (−2)−nan.Montrer que, si (an) tend vers 0, (un) en fait de meme.Montrer que, si (an) converge, (un) converge aussi et determiner sa limite.


Montrer que φ(x) =

& x

0

sin3 tt2

dt est definie sur R.

Donner l’allure de son graphe a l’aide d’un programme.Montrer, a l’aide d’une linearisation, que φ est developpable en serie entiere surR.Verifier avec l’outil informatique.Montrer que φ(π) 0 et en donner une valeur approchee.

Pour n > 1 et p ∈ [[0, n]], montrer q’il existe xp ∈ [0,π] tel que φ(xp) =pn φ(π).

On pose un =

n'

p=0

x2p ; montrer avec Python que un tend vers 3

4φ(π)puis le

demontrer mathematiquement.

Planche 161Un etang contient N poissons dont n brochets et N−n carpes. Un pecheur relachea chaque fois sa prise et la peche s’arrete quand tous les brochets ont mordu.Quelle est la probabilite que la peche s’arrete apres n prises ? Apres n+1 prises ?Quel est le nombre de tirages moyen pour pecher tous les brochets ?

Planche 162Trouver toutes les matrices A ∈ M3(R) telles que A3 = −A.

Planche 163

Montrer que f(x) =

& +∞

−∞

eitx

(t2 + 1)2dt est de classe C2 sur R.

Montrer que g(x) =

& +∞

−∞

eitx

t2 + 1dt y est de classe C1.

Planche 164 Avec Python, abordable des la 1ere anneeEnsemble de definition de f(x) = ln(2− e−1/x).Etudier les variations de f et la tracer sur Pythpn ; qu’en deduire sur soncomportement en 0 ? Le demontrer.Etudier g(x) = xf(x) et la calculer pour x ∈ 10, 100, 1000, 104. En deduire unequivalent de f en +∞ puis en trouver un en −∞.

Etudier la suite de terme general un =

n0

k=2

(2 − e−1/x) ; que peut-on dire de

'un.



ANNÉE DE CRÉATION 1979DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Christophe DIGNE

STATUT Établissement public sous la tutelle du Ministre de l’Économie, del’Industrie et du Numérique

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur depuis 1979.RÉSEAU Télécom SudParis est une école de l’Institut Mines-Télécom.

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE • MP, PC, PSI : Concours Mines-Télécom, adhérant à la banque Mines-Ponts• PT : Concours Mines-Télécom, adhérant à la banque PT• TSI : Concours Mines-Télécom, adhérant au concours Centrale-Supélec• ATS : Concours Mines-Télécom, adhérant au concours ENSEA• Licence scientifique ou titres jugés équivalents : sur dossier et entretien

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE • Master 1 scientifique ou titres jugés équivalents : sur dossier et entretien

RESPONSABLE DU CONCOURSNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015

NOMBRE DE PLACES EN 2015NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015

INSCRIPTION AU CONCOURS 2016

Télécom SudParis met l’accent sur la gestion de projets et le management de l’inno-vation. La diversité des recrutements et les projets communs avec Télécom École deManagement permettent aux étudiants l’apprentissage du travail en équipes pluridis-ciplinaires, ce qui préfigure leur future activité professionnelle.• 73 nationalités sur le campus • 23% d’étudiantes.Logement, restauration et complexe sportif sur le campus (5 ha) ; plus de 60 asso-ciations et clubs.Bourses type CROUS attribuées sur critères sociaux. Salaire brut de sortie : 42 k€.97% des diplômés ont trouvé un emploi en moins de 4 mois, 68% ont trouvé avantl’obtention du diplôme.



L’ÉCOLE

ADMISSION



Télécom SudParis (ex TELECOM INT)9, Rue Charles Fourier91011 EVRY Cedex

Tél.: 01 60 76 42 37 / 41 11 - fax : 01 60 76 43 37http://www.telecom-sudparis.eu — [email protected]

Dans tous les secteurs d’activité, les TIC ouvrent des opportunités à nos 8000diplômés. L’école forme chaque année 200 ingénieurs.Les entreprises trouvent chez les diplômés de Télécom SudParis un esprit créatifpour imaginer des produits et des services innovants.• Un incubateur • Un concours de création d’entreprise.

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Page 22

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L’école propose les options de troisième année suivantes :• Convergence des services et infrastructures réseaux• Réseaux et services mobiles• Sécurité des systèmes et des réseaux• Intégration et déploiement de systèmes d’information• Jeux vidéos / Interactions et collaborations numériques• Audit et Conseil en systèmes d'information• Architecte de services informatiques en réseaux• Projet audiovisuel et multimédia• Modélisations statistiques et applications• High Tech Imaging (en anglais)• Electrical and Optical Engineering (en anglais)• Systèmes embarqués, mobilités et objets communicants, etc.

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Sur le campus de l’écoleCROUS, sur critères sociaux2 300€

Akila Hadjadj ([email protected])9 660181 admis en première année, 11 en deuxième année200Du 06/12/15 au 06/01/16, sur www.scei-concours.fr/ (MP, PC, PSI, PT et TSI)Du 18/02/16 au 16/03/16 sur www.ensea-concours.org (ATS)

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Télécom SudParis dispose d’un réseau exceptionnel de partenaires dans l'indus-trie et la recherche, permettant aux étudiants d’effectuer plusieurs stages :« Découverte » : un mois minimum en fin de 1re année.« Ouverture à l'international » : deux mois minimum au cours des 6 semestresdu cursus.« Ingénieur » en entreprise : cinq mois minimum en 3e année.

Séjours d’études, doubles-diplômes, intégration d’étudiants de tous horizons... TélécomSudParis sensibilise ses étudiants aux enjeux interculturels, en leur apportant ouverture d’espritet compréhension des différences.

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UNE SYNERGIE UNIQUE

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TELECOM_SUDPARIS_FT:TELECOM_SUDPARIS_FT 8/11/15 22:59 Page 1

Planche 165 Abordable des la 1ere anneeSoient trois points M0, M1, M2, donnes dans le plan ; on definit une suite (Mn)par : Pn est le milieu de [MnMn+1] et Mn+3 est le milieu de [Mn+2Pn].Trouver la limite de cette suite.

Planche 166

Domaine de definition, continuite et derivabilite de f(x) =∑

n!1

xn(1 + nx2)

·

Planche 167Montrer, apres avoir justifie leur existence, que :

∀x ! 0,

∫ +∞

0

Arc tan xt

1 + t2dt =

∫ x

0

ln tt2 − 1

dt.

Montrer que

∫ +∞

0

Arc tan xt

1 + t2dt est de classe C1 sur R+.

Deriver G(x) =

∫ +∞

0

t(1 + t2)(t2 + x2)

dt, decomposer cette derivee en elements

simples puis en calculer une primitive.

En deduire la valeur de

∫ 1

0

ln tt2 − 1

dt.

Planche 168

M =

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1n 0 . . . 0

n− 1n 0 2

n. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . n− 1

n0 . . . 0 1

n 0

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

∈ Mn(R) est-elle diagonalisable (on

pourra ecrire l’endomorphisme associe a M dans la base canonique de Rn−1[X]) ?

Planche 169 Avec Python, abordable des la 1ere anneeL’ensemble S des suites reelles positives decroissantes dont la serie associeeconverge, est-il un espace vectoriel sur R ?On dit qu’une suite (un) de S est une base discrete si et seulement si pour

t ∈ [0, U ], il existe une suite (cn) a valeurs dans 0, 1 telle que t =∑

n!0

cnun.

La suite nulle est-elle une base discrete ? Une suite nulle a partir d’un certainrang est-elle une base discrete ?Ecrire un programme sur Python qui permet de calculer t quand cn est la suiteconstante egale a 1 et un = n2 pour 0 " n " 12 et 0 sinon.

On note Rn =∑

k!n+1

uk et on suppose que ∀n ∈ N, un " Rn.

On pose t0 = 0 et tn+1 = tn + un si tn + un " t et tn+1 = tn sinon.Montrer que ∀n ∈ N, 0 " t − tn " un + Rn et en deduire que (un) est une basediscrete.Montrer que (2−n) est une base discrete.

Planche 170

Montrer que les valeurs propres de A =( 1i+ j

)1"i,j"n

sont strictement positives.

A est-elle inversible ? Que dire de (X|Y ) =t XAY ?

Planche 171Soient r > 0 et X une variable aleatoire a valeurs dans N∗ ; montrer que :

∀k ∈ N∗, P (X = k) = r

∫ 1

0

xk−1(1− x)rdx.

Calculer esperance et variance quand c’est possible.

Planche 172Trouver les fonctions f continues en 0 et verifiant f(2x)− f(x) = ln(1 + x2) surR.

Planche 173 Avec PythonSoit M = (mij)1"i,j"n verifiant mij = 1 si i = j + 1, min = −ai−1 ∈ R, etmij = 0 dans tous les autres cas.Creer un programme Python Matrice(L) qui renvoie la matrice M liee a la liste[a0, . . . , an−1].Calculer le polynome caracteristique de M si L est une liste aleatoire de 8 nombresde [1, 10[ (on pourra utiliser la fonction numpy np.poly) Que peut-on conjecturer ?Calculer le polynome caracteristique de M dans le cas general.Donner une CNS pour que M soit diagonalisable dans C.On choisit L = [3, 2, 1, 1, 3] et on note A = M(L) ; montrer que A n’admet qu’uneseule valeur propre reelle a > 1.

Montrer que ∀n ∈ N,∑

λ∈Sp(A)

λn est entier.

La serie de terme general sin(πan) converge-t-elle ?

Planche 174

Soit A =(a bb a

), (a, b) ∈ R2.

Donner le polynome caracteristique de M =

⎛

⎝A . . . A...

. . ....

A . . . A

⎞

⎠ ∈ M2n(R).

Planche 175Soit A une matrice symetrique reelle d’ordre n telle qu’il existe m ∈ N∗ tel queAm = In. Montrer que A2 = In et interpreter les proprietes geometriques del’endomorphisme associe.

Planche 176 Abordable des la 1ere anneeResoudre y′x(x− 1) + y = x sur R.

Concours Commun Centrale-Supelec − option PSI

Planche 177On donne une suite (an) reelle telle que (nan) tende vers 0.

Montrer que f(x) =∑

n!0

anxn a un rayon de convergence au moins egal a 1.

Montrer qu’au voisinage de 1−, f(x) = o(ln(1− x)

).

Reciproquement, si, au voisinage de 1−, f(x) = o(ln(1−x)

), la suite (nan) tend-

elle vers 0 ?

Planche 178

Soient u et v deux endomorphismes d’un C-espace vectoriel E de dimension finie.Montrer que si u v = 0, u et v ont un vecteur propre commun (on etudierad’abord le cas ou u est injectif).Montrer que si uv ∈ V ect(u, v), u et v ont un vecteur propre commun, puis qu’ilexiste une base B dans laquelle u et v ont des matrices triangulaires superieures.


Montrer que, dans E euclidien, ∥x+ y ∥ " ∥x ∥+ ∥ y ∥.Quand y a-t-il egalite ?Montrer que, si U et V sont deux matrices orthogonales complexes telles que∀X ∈ Cn, UX + V X = 2X, alors UX = V X = X.


Calculer Pn, defini par P0 = 1 ; P1 = 2X et Pn+1(X) = 2XPn(X) − Pn−1(X)pour 2 " n " 8. Conjecturer la parite, le degre et le coefficient dominant de Pn ;demontrer ces conjectures.

Montrer que (P |Q) =

∫ 1

−1

√1− t2P (t)Q(t)dt est un produit scalaire sur R8[X].

Calculer (Pi|Pj) pour 0 " i, j " 8. Qu’en deduire sur (Pn) ?Exprimer la matrice de φ(P ) = 3XP ′ − P ′′ dans la base des Pn.

Planche 181

Si a, de classe C1 de R+ dans R est integrable, a-t-on limx→+∞

a(x) = 0 ?

On pose g(x) = f(x) +

∫ x

0

sin(x − t)a(t)f(t)dt ou f est solution sur R+ de

y′′(x) +(1 + a(x)

)y(x) = 0. ; montrer que g est C2 sur R+ puis que g′′ + g = 0.

Montrer que ∃c ∈ R+, /, ∀x ! 0, | f(x) | " c+

∫ x

0

| a(t) | | f(t) |dt.

Montrer que toutes les solutions de y′′(x) +(1 + a(x)

)y(x) = 0 sont bornees sur

R+.

Planche 182

On note E l’ensemble des f de classe C1 sur R, verifiant f ′(x) = αf(x) + f(λx)avec α ∈ R et λ ∈ ]−1, 1[.Montrer que les fonctions de E sont C∞.Determiner celles qui sont developpables en serie entiere et sont non nulles.Montrer que si f(0) = 0, alors f est nulle.Determiner completement E.

Planche 183

Calculer D(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a+ t c+ t . . . c+ t

b+ t a+ t. . .

......

. . .. . . c+ t

b+ t . . . b+ t a+ t

∣∣∣∣∣∣∣∣ou b = c et bc = 0.

En deduire le polynome caracteristique de M =

⎛

⎜⎜⎝

a c . . . c

b a. . .

......

. . .. . . c

b . . . b a

⎞

⎟⎟⎠.

Donner les valeurs propres de M ; est-elle diagonalisable ?

Planche 184

Soit λ > 0 ; montrer qu’il n’existe aucune matrice antisymetrique telle queA2 = λIn.Donner une CNS sur λ ∈ R pour qu’il existe une matrice antisymetrique telle queA2 = λIn.Soit λ < 0 et A telle que A2 = λIn ; montrer qu’il existe un reel µ tel que A soitorthogonalement semblable a la matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux(0 −µµ 0

).


Trouver la limite en 0 de f(x) = sinxex − 1

; tracer f avec Python.

Est-elle integrable sur R+ ?

Trouver un reel a pour que

∣∣∣∣∫ +∞

0

f(t)dt−∫ a

0

f(t)dt

∣∣∣∣ " 10−5 (on pourra

resoudre y2 − y − 1 ! 0 et utiliser et − 1 ! et/2).

Calculer

∫ a

0

f(t)dt par la methode des rectangles ou des trapezes.

Trouver une suite (an) dans Q∗+ telle que

∫ +∞

0

f(t)dt =∑

n!1

an et en deduire

une approximation de

∫ +∞

0

f(t)dt a 10−5 pres ; comparer ce resultat avec celui

precedemment obtenu.

Calculerπ chπ − π shπ

2 shπet faire le lien.



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ENSEA Ann. A4 d'après totem 2015_Mise en page 1 04/11/15 11:57 Page1


I) Donner une condition sur b et c reels pour que X3 + bX + c soit a racinessimples dans C.Soient P (X) = X3 + aX2 + bX + c avec a = 0 et Q(X) = −P (−a−X) ; trouverune relation entre les racines de P et celles de Q.En deduire que les racines de P sont a partie reelle negative si et seulement si lesracines reelles de P et Q sont negatives.II) Donner la methode de resolution de X′(t) = AX(t) ou A est reelle, diagonal-isable dans Mn(C).III) Cours : decrire u de matrice

!1 1 1−2 1 0

".

Si X suit une loi binomiale, que vaut E(X) ? V (X) ? Comment le montre-t-on ?Quelle est sa loi ?Donner un exemple de loi binomiale pour laquelle on interpretera E(X).Si Y suit une loi geometrique, que valent E(Y ) et V (Y ) ? Donner un exemple.


Ecrire et expliquer le code suivant :import scipy.optimize as resoldef f(x) :

return (x[0]∗∗2 + 2∗x[1]− 11, x[1]∗∗2− x[0]∗x[1] + 2)sol1 = resol.fsolve(0, 0)sol2 = resol.fsolve(2, 1sol3 = resol.fsolve(1, 2)print(sol1, sol2, sol3)

Soit A =!1 10 1

"; trouver U orthogonale et S symetrique a valeurs propres

positives, telles que A = US.Montrer que de telles matrices U et S existent pour A ∈ GLn(R) et en deduirequ’il existe V et W orthogonales et D diagonale, telles que V AW = D.

Trouver V,W,D pour A =!1 10 1

".


Soient E un espace vectoriel de dimension n, f un endomorphisme de E tel quefn = 0 et fn−1 = 0.Pour k ∈ [[0, n]], on note Ik = Im fk et Nk = Ker fk.Montrer que les Ik et Nk sont stables par f .Montrer que N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nn et que ces inclusions sont strictes.Donner les dimensions de Ik et Nk.Quels sont les sous-espaces de E stables par f ?Y-a-t-il des couples (i, j) tels que Ii = Nj ? Si oui, les donner.

Planche 189

Definir les convergence normale et uniforme pour une serie de fonctions et dire lelien entre les deux.Montrer que la somme S de la serie de fonctions un(x) = ln

#1+ x

n

$− x

n , definies

sur [0, 1], est derivable en 1 et calculer S′(1).

Planche 190

On suppose%

anxn de rayon de convergence R non nul, et telle que%

| an |Rn

converge.

Montrer que f(x) =&

n!0

anxn est continue en R.

Soit f(t) = 1tln''' 1− t1 + t

''' ; justifier l’existence de

( 1

0

f(t)dt et l’exprimer a l’aide

d’une serie.

Justifier que

( +∞

0

f(t)dt converge et la calculer sachant que&

n!0

1(2n+ 1)2

= π8·


Montrer que, si A et B sont deux matrices de Mn,p(R), rg(AB) ! min(rgA, rgB)Soient a > 0, d1 " a et di > a pour i " 2 ; montrer que la matrice A de coefficientsaii = di et aij = a pour i = j, est inversible.Soit a > 0, F1, . . . , Fm des sous-ensembles de [[1, n]] deux a deux distincts tels queCard(Fi ∩ Fj) = a si i = j ; montrer que m ! n.


On note σ(n) le cardinal de Hn = (p, q) ∈ N2, n = 2p+ 3q.Justifier l’existence de σ(n) pour tout entier naturel n.Expliciter σ(0), σ(1) et σ(2) ; montrer que, pour n " 3, σ(n) " 1.

Ecrire une fonction Python qui calcule σ(n) et le donner pour n ∈ [[0, 25]].Calculer le rayon de convergence de

%σ(n)xn et montrer que, quand elle

converge,%

σ(n)xn = 1

(1− x2)(1− x3)·

Ecrire une fonction Python basee sur cette serie entiere et permettant de retrouverle resultat de la premiere question.


Construire, a l’aide du logiciel, le tableau b tel que ∀(i, j) ∈ [[0, 12]]2, bij =#ij

$si

i " j et bij = 0 sinon.

Montrer que la serie de terme general un,k = kn

k!converge pour k ∈ N.

On note An sa somme.Donner les valeurs exactes de A0 et A1 et exprimer An+1 en fonction des Ai pour0 ! i ! n ; s’en servir pour calculer les valeurs exactes des An pour 0 ! n ! 12.

Montrer que&

n!0

An

n!xn a un rayon de convergence R au moins egal a 1 (on pourra

montrer que An ! n!e).On note f la somme, definie sur ]−R,R[ ; representer, sur le logiciel, f(x), sur unintervalle bien choisi.Montrer que f est solution d’une equation differentielle lineaire homogene sur unintervalle a preciser.Exprimer f(x) sans le signe Σ.

Concours Communs Polytechniques − option PH-MP

Planche 194 II abordable des la 1ere anneeI) Exercice n 111 de la banque CCP (loi de Poisson).II) Soient L1 et L2 deux sous-espaces supplementaires dans L(E), ou E est dedimension finie n, tels que ∀(u, v) ∈ L1 × L2, u v + v u = 0.Montrer qu’il existe deux projecteurs p1 et p2 dans L1×L2 tels que Id = p1+p2.Montrer que n = rg(p1) + rg(p2).Soit u ∈ L1 ; montrer que, si x ∈ Im p2, u(x) = 0 et si x ∈ Ker p2, u(x) ∈ Ker p2.

En deduire que dim(L1) !#n− rg(p2)

$2; quelle inegalite a-t-on pour dim(L2) ?

Justifier que dimL(E) = dim(L1) + dim(L2).Montrer que rg(p1)

#n− rg(p1)

$! 0 et en deduire que rg(p1) = 0 ou rg(p1) = n,

puis que L1 = 0 ou L2 = 0.

Planche 195I) Exercice n 5 de la banque CCP (serie numerique).II) Une symetrie d’un R-espace vectoriel est-elle diagonalisable ?Meme question pour un projecteur.Quelles sont les valeurs propres de φ, defini sur C[X] par φ(P )(X) = XP (X) ?Quelles sont les valeurs propres de l’application derivation definie sur C∞(R,R) ?Planche 196I) Exercice n 65 de la banque CCP (polynome annulateur).

II) Resoudre (1−x2)y′′−3xy′+y = x)| 1− x2 |

sachant que y1(x) =1)

| 1− x2 |est solution de l’equation sans second membre.

Planche 197I) Exercice n 96 de la banque CCP (variable aleatoire).II) Determiner coordonnees et natures des extremums de f(x, y) = x2+(y3−y)2.

Planche 198I) Exercice n 85 de la banque CCP (polynome, racine).

II) Soient n ∈ N∗ et fn(x) =ln(1 + n2x2)

n3definie sur R.

Montrer que S(x) =

∞&

n=0

fn(x) est definie sur R, qu’elle y est de classe C1 et

qu’elle est deux fois derivable sur ]0,+∞[ (on pourra mener l’etude sur [a,+∞[pour tout a > 0).

Planche 199I) Exercice n 64 de la banque CCP (endomorphisme).

II) Pour n ∈ N∗, on pose un(x) =x3n

(3n)!, et u0(x) = 1.

Donner le rayon de convergence de S(x) =&

n!0

un(x).

Montrer que S verifie une equation differentielle du type y′′ + ay′ + by = f oul’on precisera f et les reels a et b. Integrer l’equation et en deduire S.

Planche 200 II abordable des la 1ere anneeI) Exercice n 92 de la banque CCP (espace euclidien, orthogonalite)

II) Montrer que&

1n(n+ 1)

converge et calculer sa somme.

Soit (a, b) ∈ R2 ; pour n ∈ N∗, on pose un = lnn+ a ln(n+ 2) + b ln(n+ 3).Convergence de

%un en fonction de a et b.

Calculer sa somme pour les valeurs trouvees.

Planche 201I) Exercice n 11 de la banque CCP (suite de fonctions)II) Resoudre l’equation differentielle (x− a)(x− b)y′ −nxy = ky avec a = b reelset k ∈ R.Valeurs propres de f , defini par f(P )(X) = (X − a)(X − b)P ′(x)− nXP (X) surCn[X]. f est-il diagonalisable ? Calculer det f .

Planche 202I) Exercice n 6 de la banque CCP (serie numerique)II) Trouver un polynome annulateur de degre 4 de A ∈ Mn(R), verifiantA2 + tA = In Que peut-on en deduire sur la matrice et son spectre ?On suppose que 0 n’est pas valeur propre de A ; montrer que A− In est inversibleet que A est symetrique.On choisit n = 3 ; montrer que trA = 0.

Planche 203I) Exercice n 108 de la banque CCP (probabilites, tirage)II) Soient a et b deux vecteurs de E euclidien, unitaires et lineairementindependants.Montrer que u, defini par u(x) =< a|x > a+ < b|x > b est un endomorphismesymetrique de E.Determiner Keru et en deduire ses valeurs propres et ses vecteurs propres.

Planche 204 abordable des la 1ere anneeI) Exercice n 36 de la banque CCP (topologie d’espace vectoriel norme)

II) A quelle(s) condition(s) sur les n+1 reels a0, . . . , an, (P |Q) =

n&

k=0

P (ak)Q(ak)

definit-il un produit scalaire sur Rn[X] ?

Determiner l’orthogonal de F = P ∈ E,

n&

k=0

P (ak) = 0 et calculer la distance

de Xn a F .

Planche 205I) Exercice n 2 de la banque CCP (developpement en serie entiere)II) Montrer que A ∈ Mn(R) verifiant A3 = A + In, est diagonalisable dansMn(C).Montrer que X3 −X − 1 admet une seule racine reelle et strictement positive.En deduire que detA > 0.



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Tél.: 02 98 23 37 00 - Fax : 02 98 23 40 49www.etremarin.fr — www.ecole-navale.fr

L’ÉCOLE

ADMISSIONPour les élèves de Classes Préparatoires scientifiques aux Grandes Écoles (CPGE) /Concours Centrale-Supélec, banques MP, PC et PSI / Oraux spécifiques organisés par laMarine nationale à Paris.Pour des étudiants ayant validé leurs deux premières années d’école d’ingénieur dans l’un desétablissements avec lesquels l’École navale a conclu un accord de double diplôme : ÉcoleCentrale de Nantes, Télécom Bretagne, ENSAM, Supélec.- pour les étudiants de l’École polytechnique (de carrière) ;- pour des diplômés de l’enseignement supérieur (sous contrat).

STATISTIQUES DU CONCOURS270 étudiants dans le cursus ingénieur.Environ 70 étudiants par an.

L’École navale a développé ses relations à l’international à travers la mise en place de partenariats avec des acadé-mies navales et militaires étrangères et des grandes universités maritimes : les échanges de semestre avec les aca-démies navales européennes, américaine et japonaise ainsi que les projets de fin d’études (PFE) sont deux pointsforts du cursus des élèves-officiers.L’Institut de Recherche de l’École navale (IRENav) est une unité de recherche qui constitue le support essentiel de laformation scientifique au sein de l’École navale. C’est un institut pluridisciplinaire dont les recherches sont orientéesvers l’environnement maritime et naval.Tournoi Sportif des Grandes Écoles de la DéfenseSéminaire Interarmées des Grandes Écoles MilitairesSéminaire de leadership HEC EntrepreneursGéopolitiques de BrestAssociation des Anciens de l’École navale : http://www.alliancenavale.fr/Bureau des Élèves : https://www.weezevent.com/bal-de-l-ecole-navale

FORMATION - CARRIÈRES

Internat gratuitAucun, élèves rémunérés environ 1300 €/mois.


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rmat

ion


Page 26

SPÉCIFICITÉS DE LA FORMATION

FORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

L’École navale forme les officiers de carrière de la Marine nationale. Les officiers de marine ont vocation à assurerdes fonctions d’encadrement et de commandement au sein des unités opérationnelles (navires de combat, sous-marins, flottilles de l’aéronautique navale, commandos marine).Au cours de leur formation à l’École navale, ils développent les compétences qui feront d’eux les chefs de la Marinede demain. L’École navale délivre un diplôme d’ingénieur et un master « Milieu Maritime et Sécurité de laNavigation ». La formation, théorique et pratique, comprend 6 semestres et est organisée autour des trois axes fon-damentaux que sont la formation maritime, la formation militaire et humaine et la formation scientifique.Elle distingue trois filières professionnelles :- la filière « ÉNERGIE » dont sont issus les officiers chargés de la mise en œuvre des systèmes de propulsion, degestion et de maintien en condition opérationnelle des unités opérationnelles de la Marine nationale (notammentl’énergie nucléaire) indispensables à l’action opérationnelle des unités ;- la filière « ÉNERGIE AÉRONAUTIQUE » dont sont issus les officiers spécialisés dans le maintien en conditionopérationnelle des aéronefs ;- la filière « OPÉRATIONS » dont sont issus les officiers chargés de la conduite directe des opérations aéromari-times.Si la formation n’est différenciée qu’au début de la 2ème année, les élèves-officiers sont orientés dans une filièredès l’intégration. Tous ont vocation à embarquer à bord des bâtiments de surface ou des sous-marins et acquièrentdonc, à un degré variable selon la filière, les savoir-faire communs de la mise en œuvre d’un bâtiment de combat.Les officiers-élèves mettent en pratique les savoir-faire appris lors de la mission d’application à la mer à bord debâtiments de la Marine nationale à laquelle le 6ème semestre de scolarité est consacré et qui constitue un staged’immersion professionnelle. A l’issue de leur scolarité, en fonction de leur orientation professionnelle, les jeunesofficiers sont directement affectés dans les forces ou poursuivent une formation de spécialité.Par ailleurs, quatre possibilités de recrutement sont proposées pour intégrer sous contrat le corps des officiersde marine :- être officier-marinier, quartier-maître, matelot ou volontaire officier aspirant et postuler en interne ;- être titulaire d’un diplôme de niveau minimal Bac + 3 et postuler en externe ;- être issu des CPGE et avoir été déclaré admissible à une école d’ingénieur et postuler en externe ;- être étudiant de 2ème année d’une école d’ingénieur partenaire (Télécom Bretagne, École Centrale deNantes, Supélec, Arts et Métiers ParisTech) : ce cursus permet l’attribution d’un double diplôme d’ingénieur.Depuis la rentrée 2015, ces officiers sont intégrés à la mission Jeanne d’Arc, avec leurs homologues élèves-officiers de carrière.Ce mastère spécialisé®, co-accrédité avec l’ENSTA Bretagne et Télécom Bretagne, et auquel participent acti-vement l’UBO et IFREMER, est destiné à former des chefs de projet ou des responsables de programmedevant intervenir dans le développement de systèmes ou de champs de production d’énergie en mer.L’École navale et son Institut de Recherche, en partenariat avec Arts et Métiers Paris Tech, propose une spé-cialité de master recherche rattachée à la Mention FISE du Master Sciences et Technologies des Arts etMétiers Paris Tech. La spécialité « Environnement naval » apporte une ouverture vers le secteur maritime dela mention.L’École navale et l’École Centrale de Nantes se sont associées afin d’enseigner l’Atlantic MAster in ShipOperations and Naval Engineering, master international dispensé en langue anglaise. Ce master s’adresseprincipalement à des étudiants étrangers qui désirent parfaire leur formation en France dans les disciplines dugénie maritime.

L’OUVERTURE À L’INTERNATIONAL

LA RECHERCHE

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES

ASSOCIATION DES DIPLÔMÉS

1830Contre-amiral Benoît LUGAN, commandant l’École navale.Capitaine de vaisseau Jean-Louis d’ARBAUMONT, directeur de l’enseignement.École publique, sous tutelle du Ministère de la Défense.Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur, renouvelée en 2014.

ANNÉE DE CRÉATIONDIRECTEUR DE L’ÉCOLE

DIRECTEUR DES ÉTUDESSTATUT


LOGEMENT DES ÉLÈVESFRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS

RECRUTEMENT EN 1RE ANNÉE(Statut de carrière)

RECRUTEMENT EN 2E ANNÉE(sous contrat)

RECRUTEMENT EN 3E ANNÉE

NOMBRE D'ÉTUDIANTS DANS L'ÉCOLENOMBRE DE DIPLÔMÉS

Mastère spécialisé® Énergies Marines Renouvelables

Master 2 Sciences et Technologies spécialité Environnement naval

AMASONE, Atlantic MAster in Ship Operations and Naval Engineering

NAVALE FT:NAVALE_FT 8/11/15 23:02 Page 1

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NavalePCv9_NAVALE 02/12/2015 08:59 Page1

ANNÉE DE CRÉATION 1959DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Régis VALLÉE

STATUT Public, École rattachée à l’École des Ponts-ParisTech et à la Ville deParis. Membre de la Conférence des Grandes Écoles

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’IngénieurANNÉE D’HABILITATION 1971

L’ÉCOLE

ADMISSION


RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE • Concours commun TPE-EIVP : MP, PC, PSIEpreuves écrites communes avec Mines-Ponts• Concours commun CCP : TSI• Admissions sur Titres (dossier+entretien) : PT, ATS.

STATISTIQUES DES CONCOURSRESPONSABLE DES CONCOURS Régis VALLÉE, Directeur

NOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 9500 inscrits ; 3 500 admissiblesNOMBRE DE PLACES EN 2015 27 en MP, 23 en PC, 22 en PSI, 7 en TSI

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015 74DATE DES CONCOURS 2016 Épreuves écrites : avril 2016

ACTIVITÉS PARALLÈLESINFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

FORMATION

STATUT DES ÉLÈVES 15% d’élèves fonctionnaires, 85% d’élèves non fonctinnairesLOGEMENT DES ÉLÈVES Résidence du CROUS et de la RIVP, externat

TYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieurÉlèves fonctionnaires : salaire 1 600 € brut/mois

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 1 036 € (élèves non fonctionnaires) ; 0 € (élèves fonctionnaires)


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rmat

ionE.I.V.P.

École des Ingénieurs de la Ville de Paris80 rue Rébeval - 75019 Paris

Tel : 01 56 02 61 20www.eivp-paris.fr - [email protected]

Page 28

L’EIVP, la référence en génie urbain, forme des ingénieurs généralistes enaménagement durable et gestion des villes.L’enseignement transversal, scientifique et technique, a trait à tous lesaspects de la ville : cadre de vie, espace public, bâtiment, constructions,génie civil, architecture, infrastructures, transports, environnement, eaux,déchets, énergies...Les élèves suivent un même programme. Une spécialisation est possible en 3eannée, dans les écoles partenaires, en France ou à l’étranger, et durant les 4stages (12 mois/3 ans).5 grands projets (cas réels) rythment la scolarité et donnent un aspectconcret à la formation.

DIPLÔMES

CARRIÈRES

DOUBLES CURSUS/DIPLÔMES

INTERNATIONAL

Ingénieur EIVP - 3 ansIngénieur/Architechte - 5 ans (en partenariat avec l’École d’Architechture deParis La Villette - 8 places)ENPC, ENSAPLV, ENTPE, ESTP, ENSG, ENGEES, ENSIL, ESITCMaster universitaire cohabilité avec l’Université Paris-Est Marne la Valléepour la poursuite des études en thèse.Nombreux accords de partenariat dans le monde.16 double-diplômes (Espagne, Maroc, USA, Australie).Séjour à l’étranger obligatoire.EIVP, l’école “anti-crise” (selon Nouvel Observateur 2013)80% des élèves recrutés avant la fin de leur diplôme par des grandesentreprises, des bureaux d’études, des collectivités territoriales, la Ville deParis.Salaire de début : 35 K€ annuels bruts.

Voyage de fin d’études : 3 destinations dans le monde pour mener un étudeurbaine.Associations sportives, culturelles, humanitaires, d’animation. Course croisièreEDHEC. Forum métiers interne à l’EIVP.

JOURNÉE PORTES-OUVERTES 6 février à 14 heures.RÉSEAUX SOCIAUX Facebook.com/paris.eivp

Twitter.com/@eivp_paris

EIVP_FT_V7:FT 8/11/15 23:04 Page 1

Planche 206

I) Exercice n 98 de la banque CCP (couple de variables aleatoires)

II) Montrer que g(x) =

! +∞

0

e−tx

t+ 1dt est continue sur R∗

+.

Montrer qu’elle y est derivable, en deduire une equation differentielle verifiee parg et un equivalent de g en +∞.

Planche 207

I) Developper ln(1− x− 2x2) et Arc tan1− x2

1 + x2en serie entiere.

II) Exercice n 87 de la banque CCP (polynomes de Lagrange)

Planche 208

I) Exercice n 48 de la banque CCP (approximation polynomiale)II) Montrer que u, endomorphisme de E espace de dimension finie, verifiantu3 = u, est diagonalisable et discuter le nombre p de ses valeurs propres que l’onnotera λ1, . . . ,λp.On note Ei le sous-espace associe a la valeur propre λi ; montrer qu’un sous-espaceF est stable par u si et seulement s’il est somme directe de tout ou partie des Ei.

Planche 209

I) Exercice n 1 de la banque CCP (suite reelle)II) On note E l’ensemble des fonctions continues de R dans R et G definie pour

f ∈ E par G(f)(x) =

! 1

0

ex−tf(t)dt.

Montrer que G est un endomorphisme de E, continu et derivable sur E.Trouver les valeurs propres de G et les sous-espaces propres associes.

Planche 210

I) Exercice n 90 de la banque CCP (polynomes de Lagrange)

II) Soit f continue de R+ dans C et 0 < a < b ; calculer limx→0+

! b

1

f(xt)

tdt.

Calculer l = limx→0+

! bx

ax

f(t)

tdt. On suppose que

! +∞

1

f(t)

tdt converge.

Montrer que limx→0+

! +∞

x

f(at)− f(bt)

tdt = l.

Montrer que

! 1

0

1− t

ln tdt = ln 2.

Planche 211

I) Exercice n 102 de la banque CCP (probabilites)II) Convergences simple et uniforme de la suite de fonctions fn(x) = cosn x sinx

sur [0,π]. Convergences simple, uniforme et normale de"

fn(x).

S(x) ="

n!0

fn(x) existe-t-elle ? Est-elle continue ?

Planche 212

I) Exercice n 78 de la banque CCP (endomorphisme orthogonal)

II) Rayon de convergence de"

n!1

Snxn ou Sn =

n"

k=1

1k·

Exprimer sa somme f a l’aide de fonctions usuelles (on pourra poser An =

n"

k=0

xn

et remarquer que xn = An −An−1).

Planche 213

I) Exercice n 29 de la banque CCP (integrale a parametre)II) Donner le rang de A ∈ Mn(C) definie par an1 = −1, a1n = 1 et aij = 0 danstous les autres cas.Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de A.Est-elle diagonalisable ? Calculer Ap.


I) Exercice n 33 de la banque CCP (derivees partielles)II) Soit u un endomorphisme orthogonal de E euclidien.

On pose v = u− Id ; montrer que Ker v = (Im v)⊥.

Montrer que la suite de terme general un(x) = 1n

n"

k=0

uk(x) converge vers la

projection orthogonale de x sur Ker v (on pourra decomposer x a l’aide de vecteursbien choisis grace a la premiere question).


I) Etude des series de terme general un =#tan

#a+ b

n

$$n; a ∈ [0, π

2[, b ∈ R∗

+,

en fonction de a, b et vn = cos#πn2 ln( n

n− 1)$.

Donner un equivalent de un pour a = π4·

II) Exercice n 106 de la banque CCP (probabilites)

Planche 216I) Exercice n 100 de la banque CCP (variable aleatoire).II) Soit f un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n, admettantn valeurs propres distinctes et g tel que f g = g f .Montrer que tout vecteur propre de f est vecteur propre de g.Montrer que f et g sont diagonalisables dans une meme base de vecteurs propres.Montrer qu’il existe un unique polynome P de degre au plus egal a n−1 verifiantg = P (f).

Concours Communs Polytechniques − option PC

Planche 217

I) Montrer que f defini par f(P )(X) =X2 − 1

2P ′′(X)−XP ′(X)+P (X) est un

endomorphisme de Rn[X].On choisit n = 3 ; donner la matrice de f dans la base canonique et montrer quec’est un projecteur.Donner son noyau et son image.On revient au cas general ; montrer que Ker f = V ect(X, 1 + X2) et queIm f = V ect

%Xk

&0"k"n

&.

Montrer que Q ∈ Im f si et seulement si Q′(1) = Q′(−1) = 0 et donner une basde Im f .Quelles sont les valeurs propres de f ? Est-il diagonalisable ?

II) Montrer que S(x) ="

n!1

xn(1 + nx2)

est deefinie et continue sut R+.

Planche 218I) Montrer que T , definie sur l’espace E des fonctions continues de R+ dans R

par T (f)(0) = 0 et T (f)(x) = 1x

! x

0

f(t)dt est lineaire.

Montrer que T (f) est C1 sur R∗+ et que xT (f)′(x) + T (f)(x) = f(x).

Montrer que T (f) est continue en 0 et que c’est un endomorphisme de E.Montrer que 0 n’est pas valeur propre de T .Soit λ une valeur propre de T , de vecteur propre associe f ; montrer que f est

solution de y′ − 1− λ

λxy = 0 sur R∗

+ et en deduire que le spectre de T est ]0, 1].

II) Donner le laplacien de F (x, y) = φ% yx

&ou φ est de classe C2 sur R.


I) Montrer que la suite de terme general an =

! 1

0

tn'

1− t2dt est decroissante.

On admet que an+2 =n+ 1n+ 4

an ; montrer que la suite de terme general

n(n+ 1)(n+ 2)anan−1 est constante.Sachant que an+2 ! an+1 ! an, montrer que an+1 ∼ an au voisinage de l’infini.

Prouvez qu’il existe K > 0 tel que an ∼ K

n3/2·

Montrer que"

n!0

an =

! 1

0

(1 + t

1− tdt et que

"

n!0

(−1)nan =

! 1

0

(1− t

1 + tdt.

Montrer que"

n!0

an = π2· Montrer que an+2 =

n+ 1n+ 4

an.

II) Montrer que l’ensemble E des P ∈ Rn[X] verifiant P (0) = P ′(0) = 0, est unsous-espace vectoriel dont on donnera une base.Trouver un isomorphisme entre E et Rn−2[X].

Planche 220

I) Soient d0 = 1, d1 = 12

et dn =

)))))))))))))))))

nn+ 1

*1

n+ 10 . . . 0

−*

1n+ 1

n− 1n

*1n

. . ....

0 −*

1n

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . .

*13

0 . . . 0 −*

13

12

)))))))))))))))))

.

Calculer d2 et d3 puis montrer que, pour n " 2, (n+ 1)dn = ndn−1 + dn−2.Montrer que | dn | ! 1. Que dire du rayon de convergence de S(x) =

+dnxn+1 ?

Donner l’equation verifiee par S(x) puis montrer que S(x) =1− ex

1 + ex·

Exprimer dn en fonction de n.

II) Ensemble de definition de F (x) =

! +∞

0

e−xt

1 + t2dt.

Montrer que F est continue sur R+ et calculer F (0) et limn→+∞

F (x).


I) Montrer que I =

! +∞

0

dt1 + t3

et J =

! +∞

0

dt1− t+ t2

existent.

On admet que J = 43

! +∞

0

dt

1 +%2x− 1√

3

&2 ; montrer, a l’aide d’un changement

de variable, que J =2√3

3

! +∞

−1/√3

dt1 + t2

et la calculer.

A l’aide du changement de variable t = 1x , montrer que I =

! +∞

0

xdx1 + x3 et en

deduire que 2I = J .

Soient (un) une suite de reels positifs et vn =

! un

0

dt1 + t2

; montrer que

0 ! vn ! 2π

3√3·

Montrer que si (un) est monotone, (vn) converge et que si+

vn diverge,+

undiverge aussi.

Montrer que φ definie par φ(x) =

! x

0

dt1 + t3

est bijective et donner un

developpement limite a l’ordre 2 de φ−1 au voisinage de 0.Montrer que

+un et

+vn sont de meme nature.

II) Quelle est la nature de l’endomorphisme de R2 euclidien de matrice15

#4 −3−3 4

$dans la base canonique ? On precisera ses elements caracteristiques.



ANNÉE DE CRÉATION 1954DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Jean-Baptiste LESORT

STATUT EPSCP, Établissement Public à Caractère Scientifique, Culturel et ProfessionnelHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur

L’ÉCOLE

ADMISSIONRECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE • Sur concours commun TPE (Math. spé. MP, PC, PSI)

Épreuves écrites communes avec Mines-Ponts• Sur concours communs Polytechniques (TSI)• Sur concours banque d’épreuves g2e (BCPST)STATISTIQUES DES CONCOURS

RESPONSABLE DES CONCOURS MEDDE* - Service des concoursNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 10 266

NOMBRE DE PLACES EN 2015 181 sur concours dont 133 sur filières MP-PC-PSI ; 6 sur filière TSI et42 sur filière BCPST

DATE DES CONCOURS 2016 Concours Mines-Ponts (MP-PC-PSI) : du 25 au 27 avril 2016Concours communs Polytechniques (TSI) : du 3 au 6 mai 2016Concours banque d’épreuves g2e (BCPST) : du 9 au 11 mai 2016

ACTIVITÉS PARALLÈLES Vie associative (théâtre, concerts, gala, forum, ISF, aide aux devoirs, etc.)et sportive (installations sportives en propre — dont piscine et courts detennis).https://www.facebook.com/EntpeLyon


FORMATION

STATUT DES ÉLÈVES Civils et fonctionnaires (50% — 50%)LOGEMENT DES ÉLÈVES Externat. Des logements sont réservés aux élèves en résidences

à proximité du campus.TYPE DE BOURSES Fonctionnaires : salaire 1200 € net/mois environ

Civils : bourses de type enseignement supérieurFRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS En 2014 : néant pour les fonctionnaires - 610 € pour les civils


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-info

rmat

ionENTPE,

l’École des ingénieurs del’aménagement durable des territoires

Rue Maurice Audin69518 VAULX-EN-VELIN CEDEX

Tél.: 04 72 04 70 70 - Fax : 04 72 04 62 54www.entpe.fr - [email protected]

Page 30

L’ENTPE forme des ingénieurs à tous les métiers de l’aménagementdurable des territoires, avec une double culture du monde économique(industrie, ingénierie) et du service public (État, collectivités locales…).• Une formation technique approfondie, avec une ouverture aux sciencessociales.• Une large place faite à la pédagogie par projet(notamment projet d’aménagement du territoire en 2e année).• Stage d’insertion en milieu professionnel(4 semaines) en entreprise ou au sein d’un service public.• Stage de mise en situation professionnelle (5 mois) en France ou àl’étranger.• Travail de fin d’études (3 à 5 mois) : sujet innovant en lien avec la voied’approfondissement choisie.• Possibilité d’une 3e année hors école, dans une école partenaire enFrance ou à l’étranger.Bâtiment et Génie civilTransports et MobilitéVilles — Territoires et EnvironnementIngénieur architecte avec l’École d’Architecture de Lyon ;Ingénieur géologue avec l’ENSG Nancy ;Nombreux masters en France et à l’étranger ;À noter : Master Management et Administration des Entreprises, avecl’IAE Lyon ; Masters en sciences politiques ; Double-diplôme avecl’Université de Tongji à Sanghaï.

MEDDE* : Ministère de l’Écologie, du Développement Durable et de l’Énergie

www.candidats.entpe.fr


STAGES ET TFE

FORMATION D’INGÉNIEUR

DOUBLES CURSUS POSSIBLES

ENTPE FT_V7:ENTPE FT 10/11/15 0:07 Page 1

Planche 222

I) On admet la convergence de

∫ +∞

0

sin tt

dt.

Montrer que, pour A ! 0,

∫ A

0

sin tx+ t

dt = 1x− cosA

x+A−∫ A

0

cos t(x+ t)2

dt.

Montrer que

∫ +∞

0

cos t(x+ t)2

dt converge pour x > 0.

En deduire que g(x) =

∫ +∞

0

sin tx+ t

dt = 1x−∫ +∞

0

cos t(x+ t)2

dt pour x > 0.

Montrer que g est de classe C2 sur R∗+ et donner une expression simple de g′′ + g.

II) Une variable aleatoire X suit une loi geometrique de parametre p.

Trouver la nature de la suite de terme general un =P (X > n)

P (X = n)·


I) Montrer que, si M est reelle, carree d’ordre n et nilpotente, elle n’est pasinversible, admet 0 pour unique valeur propre et sera diagonalisable si et seulementsi elle est nulle.(

1 j j2

j j2 1j2 1 j

)est-elle diagonalisable ?

Soit M =

⎛

⎜⎝

0 . . . 0 b1...

......

0 . . . 0 bn−1a1 . . . an−1 0

⎞

⎟⎠ ; montrer que, si tous les bi sont nuls, M

est diagonalisable si et seulement si tous les ai sont nuls.On suppose tous les ai nuls ; donner une CNS pour que M soit diagonalisable.Montrer que M admet au plus deux valeurs propres complexes non nulles.

II) Soit In =

∫ 1

0

xn sin(πx)dx ; trouver une relation entre In et In+2, puis

montrer que∑

In converge et calculer sa somme.


I) Soit f une fonction definie sur ]0,+∞[ par f(x) = x− n ln(x)

Etudier ses variations et montrer que l’equation (En) : x = n ln(x) admet 2solutions, Un < Vn. Montrer que Vn tend vers +∞.Montrer, pour n ! 3, que lnn = lnVn − ln(lnVn) et qu’un equivalent de Vn en+∞ est n lnn.

Soit a > 1 ; etudier la serie de terme general 1V an

et montrer que la serie de terme

general 1n lnn

ne converge pas.

Soit a < 1 ; montrer que la serie de terme general 1V an

diverge.

Montrer que 1 " Un " e et etudier la suite (Un).

Montrer que un = 1 + 1n + 3

2n2+ o

( 1

n2

)au voisinage de l’infini.

II) On note Dn le determinant de la matrice carree de taille n, dont la diagonaleest composee de 4, les sur et sous diagonales de 2, les autres coefficients etantnuls. Trouver une relation entre Dn+2, Dn+1 et Dn. Calculer Dn.La matrice associee est elle inversible ?

Planche 225 III abordable des la 1ere annee

I) Calculer la derivee de φ, definie sur ]0, 1] par φ(t) =1− t3

tet en deduire que

φ realise une bijection de ]0, 1] dans R+.

Montrer que ∀x ! 0, sa reciproque u verifie(u(x)

)3+ xu(x)− 1 = 0.

Justifier la derivabilite de u et montrer que u′(x) = −u(x)

3u(x)2 + x·

Montrer que u(1) > 12

a l’aide de l’equation verifiee par u, puis montrer que

∀x ! 0, |u′(x) | " 13u(x)

·

Montrer qu’en +∞, u(x) ∼ 1x et donner la nature de

∫ +∞

0

( 1x− u(x)

)1/2dx.

On pose a0 = 12

et an+1 = u(an) ; on suppose que ∀n ∈ N, 12

" an " 1 et

limn→+∞

an = L ; donner la nature de∑

n!0

(an − L).

II) A, complexe, carree d’ordre n ! 3, de rang 2, de trace nulle et telle que A−Inne soit pas inversible, admet-elle 0 pour valeur propre ?Donner le cardinal de son spectre. Est-elle diagonalisable ?III) Soit α = eiπ/10 ; α3, α7 et α9 sont-elles racines de 1−X2 +X4 −X6 +X8 ?


I) Soient λ ∈ C et A ∈ Mn(C) ; montrer que l’ensemble Fλ des matricesM ∈ Mn(C), telles que AM = λM est un espace vectoriel.

Trouver une base de Fλ pour A =(1 10 1

).

Montrer que si λ n’est pas valeur propre de A, Fλ est reduit a 0.Montrer que si λ est valeur propre de A, Fλ n’est pas reduit a 0 (on pourra choisirune matrice M dont toutes les colonnes sont nulles, sauf la premiere qu’on choisiraastucieusement).Montrer que dimFλ = n dimKer(A− λIn) (on pourra construire une matrice Men fonction des vecteurs propres de A).Montrer que si A est diagonalisable, φA defini par φA(M) = AM , l’est aussi.II) Resoudre sur R : y′′ + y′ − 2y = 0 puis y′′ + y′ − 2y = (4− 3x)e−2x.

Planche 227 II abordable des la 1ere anneeI) Soient s une symetrie distincte de ±Id d’un espace E de dimension n et φ

defini sur L(E) par φ(f) = 12(s f + f s). Calculer φ(Id) et φ(s).

Montrer que φ est un endomorphisme.Donner une relation entre E et les sous-espaces propres E1 et E−1 de φ, associesaux valeurs propres 1 et −1.Montrer que f ∈ Kerφ ⇔ f(E1) ⊂ E−1 et f(E−1) ⊂ E1.Soit f un vecteur propre de φ associe a la valeur propre λ ; donner, pour x ∈ E1puis pour x ∈ E−1, une relation ente f(x) et s f(x).Montrer qu’il existe f non nul tel que f(E1) ⊂ E−1 et f(E−1) ⊂ E1.Montrer que les valeurs propres de φ sont −1, 0 et 1.

II) Limite de la suite de terme general un =(cos 1√

n

)n− 1√e· Nature de

∑

n!1

un.


I) Pour n ! 2, etudier les variations de fn(x) = 11 + xn sur R+ et donner ses

limites aux bornes. Etudier la convergence simple de la suite (fn).∑fn converge-t-elle simplement sur ]1,+∞[ ? Y a-t-il convergence normale ?

Etudier les variations et donner les limites de S =∑

fn sur ]1,+∞[.Montrer que fn est integrable sur R+.

Nature, pour a ! 2, de∑

In(a) avec In(a) =

∫ +∞

a

fn(x)dx.

II) Exprimer cos2 x en fonction de cos(2x) et calculer

4∑

k=1

cos2 kπ9

·


I) Montrer que F (x) =

∫ +∞

0

e−xt

x+ tdt ne converge que pour x > 0.

Montrer que F est decroissante et positive.

Montrer que ∀x > 0, F (x) "∫ +∞

0

e−xtdt et en deduire sa limite en 0.

Montrer que F est C1 sur R∗+ et que F (x)− F ′(x) = 1

x ·En deduire que F est C∞ sur R∗

+.

Montrer que F (x) = e−x

∫ +∞

x

1tdt et en deduire que F (x) ∼ − lnx en 0+.

II) On note x, y, z les racines de X3 + aX2 + bX + c.Exprimer x+ y + z et xy + xz + yz en fonction de a, b et c.

Planche 230 Abordable des la 1ere anneeSoient deux reels a et b tels que 1+a < b et une suite de reels un positifs tels queun+1

un=

n+ a

n+ b· Donner, sous sa forme la plus simple possible, un equivalent de

lnn+ a

n+ bau voisinage de +∞.

Montrer que limn→+∞

n∑

k=0

lnuk+1

uk= −∞ et en deduire que (un) tend vers 0.

On pose α = b− a, v0 = u0 et vn = nαun ; montrer que∑

k!0

lnvk+1

vkconverge.

Montrer qu’il existe un reel A tel que un ∼ Anα au voisinage de +∞.

Etudier la convergence de∑

un.

II) A =(x yx y

)peut-elle etre inversible ? A quelle(s) condition(s) sur x et y

represente-t-ell un projecteur non nul ?Deux variables aleatoires independantes X et Y suivent une loi de Bernouille deparametres n et p.

Quelle est la probabilite que A(ω) =(X(ω) Y (ω)X(ω) Y (ω)

)soit inversible ?

Quelle est la probabilite pour que ce soit un projecteur non nul ?

Planche 231 Abordable des la 1ere anneeI) Resoudre sur R l’equation 2x2 − x− 1 = 0.

On pose x0 = 1, x1 = 2 et xn+2 =xn + xn+1

2; donner l’expression de xn en

fonction de n et trouver sa limite.

∀n ∈ N, on definit Un par Un+2 " Un + Un+1

2et Vn par Vn = max(Un, Un+1).

Montrer que ∀p ∈ N, Up+2 " Vp.Montrer que si Up+1 " Up+2 alors Vp+1 " Vp et en deduire que (Vn) estdecroissante.On suppose que (Vn) diverge ; qu’en deduire pour (Un) ?On suppose que (Un) est minoree ; qu’en deduire pour (Vn) ?On suppose que (Un) est minoree, on note l la limite de (Vn) et on admet que2l − Vn " Un+1 ; montrer que (Un) converge et donner sa limite.Montrer par l’absurde que 2l − Vn " Un+1.II) Montrer que f , definie sur E euclidien par f(x) = x−(a|x)b ou a et b sont deuxvecteurs non nuls de E est un endomorphisme et qu’il est bijectif si et seulementsi (a|b) = 1.

Planche 232 Abordable des la 1ere anneeI) On note E l’espace vectoriel des fonctions de classe C∞ de R dans R,f(x) = x chx, g(x) = x shx et F le sous-espace engendre par ch, sh, f et g.Justifier que toute fonction h de F admet un developpement limite a l’ordre 3 en0 et le donner explicitement.Justifier que B = (ch, sh, f, g) est libre dans E. Quelle est la dimension de F ?Pour λ ∈ R et h ∈ F , on pose Tλ(h)(x) = xh′′(x)− λh′(x)− xh(x).Montrer que Tλ est un endomorphisme de F dont on donnera la matrice dans B.Montrer que Tλ est bijectif si et seulement si λ /∈ 0, 2.Determiner le noyau et l’image de T2.Resoudre xy′′ − 2y′ − xy = chx dans F .II) Determiner le degre et le coefficient dominant de Pn(X) = (X+1)n−(X−1)n.Trouver les racines complexes de Pn.



ANNÉE DE CRÉATION 1887DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Bernard VITOUX

STATUT Établissement publicHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilité par la Commission des Titres d’Ingénieur en France et I.Chem.E en

Grande BretagneANNÉE D’HABILITATION 1934

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE • CCP : PC, MP, PSI, concours Agro-Veto voie A BCPST, PC BIO• Admis sur titres (dossier et entretien) : DUT Génie chimique, Mesures physiques,

Licence (L3) de chimie, chimie physique ou génie des procédés (10 places)• Cycle Préparatoire Polytechnique (INP)• Cycle Préparatoire Intégré (FGL)

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE • Étudiants ayant validé une première année de master (M1) de chimie, physique,Admis sur titres (dossier et entretien) chimie-physique, génie des procédés ou d'une maitrise sciences et techniques

• Étudiants de 5e année de pharmacie (filière Pharma Plus)• DUT avec 3 ans d’expérience professionnelle (filière Fontanet)

RESPONSABLE DU RECRUTEMENT Roland SOLIMANDONOMBRE DE PLACES EN 2016 50 en PC, 5 en MP, 7 en PSI et 8 en voie A BCPST, PCBIO

ACTIVITÉS ASSOCIATIVES • Bureau des élèves • Junior Entreprise • Journal des étudiants • Gala• Forum Horizon Chimie • Association des anciens élèves, etc.

LOGEMENT DES ÉLÈVES Maison des élèves et résidence universitaireTYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 822 € par an (Sécurité Sociale comprise)FRAIS DE SÉLECTION Frais des Concours Communs Polytechniques

publi

-info

rmat

ionE.N.S.I.C.

École Nationale Supérieuredes Industries Chimiques1, rue Grandville - BP 20451

54001 NANCY CedexTél. : 03 83 17 50 00 - Fax : 03 83 35 08 11

www.ensic.univ-lorraine.fr - [email protected]’ÉCOLE

ADMISSION


FORMATION



Page 32

Formation théorique et pratique (30 ects par semestre)Chimie (minérale, organique, physique, analytique), thermodynamique, mécanique desfluides, transfert de chaleur et de matière, cinétique et réacteurs, génie des procédés deséparation, opérations unitaires mécaniques, sûreté-environnement, gestion de production,informatique et outils mathématiques pour l’ingénieur, procédés industriels, sciences mana-gériales et humaines.Stage de découverte de l’entreprise (1 mois minimum en fin de semestre 2)Parcours de Spécialisation :- Génie des Procédés Avancés : Réacteurs et séparations polyphasiques, procédésdurables, génie des procédés et énergie, optimisation dynamique et commande avancée,intensification des procédés et innovation- Génie des Procédés pour les Produits : Produits micro- et nanostructurés, génie des pro-duits, produits de spécialité, propriétés et qualité des produits, projet de conception de pro-duits innovants- Génie des Procédés Biotechnologiques : Sciences biologiques, biocatalyseurs et bioréacteurs, bioséparations, procédés biotechnologiques industriels, projet innovationProjet de conception de Procédés Industriels.Projet d’ouverture.- Possibilité d’effectuer un séjour, un CDD ou un stage conventionné à l’étranger de 3 mois- Possibilité de réaliser une année césureOuverture et construction d’un parcours personnalisé :- Parcours de spécialisation : suite- Double diplôme avec l’ENSAIA- Double diplôme Master spécialité Génie des Procédés et des Produits Formulés(GPPF)- Double diplôme Master spécialité Sûreté des Procédés Industriels Environnementet Qualité (SPIEQ)- Double diplôme Master d’Administration des Entreprises ou Master Entrepreunariatet Développement d’Activités en partenariat avec ISAM-IAE de Nancy- Filière Procédés discontinus (PROCEDIS) par alternance sous contrat de professionna-lisation ; génie des procédés discontinus, conception et conduite d’installations multiproduits- Filière Sciences et Technologies de l'environnement formation transversale avec lesécoles d’ingénieurs ENSAIA et ENSGProjet de Recherche et DéveloppementStage ingénieur de 6 mois en France ou à l’étranger- IFP School en apprentissage- Ecole de la Fédération Gay-Lussac (19 écoles d’ingénieurs en chimie)- INSTN (Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires)- Universités étrangères

SEMESTRES 5,6 ET 7 COMMUNS

SEMESTRE 8

SEMESTRES 9 ET 10à l’ENSIC

ENTRE LES SEMESTRES 8 ET 9

à l’extérieur

ENSIC_FT_V7:ENSIC_FT 8/11/15 23:05 Page 1

Concours Communs Polytechniques − option PSI

Planche 233I) Montrer qu’un endomorphisme de rang 1 d’un espace de dimension finie estdiagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.

II) On rappelle que la serie harmonique alternee!

n!1

(−1)n

nconverge et que sa

somme vaut − ln 2.

Montrer qu’il existe a, b, c reels tels que 1

4X3 −X= a

X+ b

2X − 1+ c

2X + 1·

Montrer que!

k!1

" 12k − 1

− 12k

#et

!

k!2

" 12k + 1

− 12k

#convergent et calculer leur

somme.

Montrer que!

k!2

14k3 − k

converge et calculer sa somme.

$ +∞

2

14x3 − x

dx converge-t-elle ? Si oui, la calculer.

Planche 234

I) Soit A une matrice reelle, carree de taille n, nilpotente d’indice p et commutantavec sa transposee.Montrer que AtA est nilpotente et en deduire toutes les matrices repondant auprobleme.II) Trouver une solution polynomiale de x2y′′ + xy′ − y = 0 et en deduire lessolutions de cette equation sur R∗

+ et R∗−.

On suppose que%

bnxn est solution de x2y′′ + xy′ − y =%

anxn ; exprimerles an en fonction des bn puis donner un condition sur les bn pour qu’une tellesolution existe.


I) Montrer que la serie de terme general un = ln"2n+ (−1)n

#− ln(2n) converge

mais pas absolument.II) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n, verifiantfn = 0 et fn−1 = 0.

Montrer que ∃a ∈ E tel que B ="a, f(a), . . . , fn−1(a)

#soit une base de E et

ecrire la matrice de f dans cette base.Montrer qu’un endomorphisme g commute avec f si et seulement s’il est combi-naison linealre de Id, f, . . . , fn−1 (on pourra exprimer g(a) dans la base B).


I) Resoudre shx = 1.

Trouver la limite de la suite de terme general In =

$ ln(1+√2)

0

shn tdt.

Montrer que ∀n ! 2, nIn + (n − 1)In−2 =√2, en deduire un encadrement puis

un equivalent de In.II) Montrer que si A est reelle, carree d’ordre n et antisymetrique, alors∀X ∈ Rn, tXAX = 0.Montrer que si B est symetrique, reelle et a toutes ses valeurs propres strictementpositives, alors A+B est inversible.

Planche 237

I) Ensemble de definition de la serie de fonctions un(x) =ln(1 + n2x2)

n2 ln(1 + n)·

Montrer que la serie est C1 sur cet ensemble.II) Soient x0 ∈ E\0 et φ une forme lineaire non nulle de E, R-espace vectoriel.Montrer que u, defini par u(x) = x+ φ(x)x0 est un endomorphisme admettant 1pour valeur propre.Donner la dimension de Ker(u−id) puis une CNS pour que u soit diagponalisable.

Planche 238

I) On pose ∀α ! 0, ∀k ∈ N, pk =e−24k(1 + αk)

(2k)!·

Soient Y une variable aleatoire suivant une loi de Poisson de parametre 2 etT = 1 + Y ; determiner P (T = k), ∀k ∈ N.Trouver une condition sur α pour que (pk) definisse une probabilite.On suppose cette condition verifiee et on donne une variable aleatoire X a valeursdans N, telle que ∀k ∈ N, P (X = k) = pk ; determiner l’esperance de X.II) Montrer que si λ est une valeur propre d’une matrice A, alors λ est racine detout polynome annotateur de A.Determiner les matrices symetriques reelles A telles que A3 + 4A = 5In.

Planche 239

I) On donne l’equation differentielle : x(3) + 5x′′ − 7x′ + 3x = 0

Montrer qu’il existe A ∈ M3(R) telle que A

&xx′

x′′

'= X′.

Montrer que A est semblable a T =

&1 1 00 1 00 0 3

'

Resoudre l’equation differentielle.II) Une variable aleatoire X suit une loi de Poisson de parametre λ > 0.

Calculer E" 11 +X

#.

Planche 240

I) Trouver le(s) extremum(s) de f(x, y) = x2 + xy + y2 − 5x− y.II) Soient u et v deux endomorphismes d’un espace E ; montrer que si λ = 0 estvaleur propre non nulle de v u, elle est aussi valeur propre de u v.Montrer que si E est de dimension finie, le resultat persiste pour λ = 0.On choisit E = R[X], u(P ) = P ′, v(P ) la primitive de P nulle en 0.Determiner Ker(u v) et Ker(v u).

Planche 241I) Extremums globaux puis locaux de f(x, y) = x4y3 + ln(1 + y4) sur [−1, 1]2.II) Montrer que φ, defini par φ(M) = M + tr(M)In est un endomorphisme deMn(C), dont on donnera le noyau et le rang.Trouver un polynome de degre 2 annotateur de φ.φ est-il diagonalisable ? Bijectif ? Si oui, calculer φ−1.

Planche 242I) Soient A ∈ Mn(R) et P ∈ R[X] tels que P (A) est triangulaire a coefficientsdiagonaux deux a deux distincts ; montrer que A est diagonalisable.

II) La serie de terme general un = (−1)n$ π/2

0

cosn tdt converge-t-elle ?

Si oui, quelle est sa somme ?

Planche 243I) Soit n ∈ N, n ! 3, montrer que N ∈ Mn(R), constituee de 1 sur la diagonale,la premiere et la derniere colonnes et des 0 partout ailleurs est diagonalisable ettrouver ses elements propres.

II) Soit n ∈ N∗ et un(x) =ln(1 + n2x2)

n2 ln(1 + n)·

Domaine de convergence D de!

n!1

un(x).

Soit S(x) sa somme ; montrer que S est de classe C1 sur D.

Planche 244

I) Convergence de I =

$ 1

0

lnx ln(1− x)

xdx.

Ecrire I sous la forme d’une serie numerique a l’aide du developpement en serieentiere de ln(1− x).II) Montrer que M ∈ GLn(C) est diagonalisable si et seulement si M2 l’est.Est-ce toujours vrai si M n’est pas inversible ?

Planche 245I) Soit f un endomorphisme de R3 tel que f4 = f2 et dont 1 et −1 sont valeurspropres ; montrer que Sp(f) ⊂ −1, 0, 1 (on n’utilisera pas directement que lespectre est inclus dans l’ensemble des racines d’un polynome annulateur).Montrer que f est diagonalisable.

II) Pour n ∈ N∗ on pose un(x) =1

n+ xn2·

Determiner les valeurs de x pour lesquelles!

n!1

un(x) converge ; on note ∆ cet

ensemble et S(x) la somme. Montrer que S est C1 sur ∆.

On rappelle que

+∞!

n=1

1n2 = π2

6; donner un equivalent simple de S en +∞.


I) Montrer que!

n!1

1nn est convergente et que I =

$

]0,1]

ttdt existe.

∀(n, p) ∈ N2, on pose fn,p(t) = tn(ln t)p.

Montrer que

$

]0,1]

fn,p(t)dt existe et la calculer.

Montrer enfin que I =

+∞!

n=1

(−1)n−1

nn ·

II) Soit A = (aij)1"i,j"n donnee par aii = a, aij = b si j > i, aij = c si j < i,avec a, b et c complexes et b = c.On note J la matrice dont tous les coefficient valent 1.Montrer que det(A + xJ) est un polynome en x de degre au plus egal a 1 etcalculer detA en fonction de a, b et c.

Planche 247I) Deux variables aleatoires reelles X et Y suivent respectivement, une loi dePoisson de parametre λ et un loi binomiale de parametres n et p a condition queX = n.Determiner la loi conjointe de (X,Y ), en deduire la loi de Y et la reconnaıtre.Determiner Z = X − Y ; les variables X et Y sont-elles independantes ?II) On note E l’ensemble des fonctions C∞ de R dans R.Montrer que φ defini par φ(f)(x) = f ′(x)− xf(x) est un endomorphisme de E.Determiner ses valeurs propres, ses sous espaces propres et Ker(φ2).

Planche 248

I) Justifier que A =

&−1 1 11 −1 11 1 −1

'est diagonalisable et donner une base

orthonormale de R3 de vecteurs propres de A.Donner une CNS sur (u0, v0, w0) pour que les trois suites (un), (vn), (wn) verifiant(

un+1 = −un + vn + wnvn+1 = un − vn + wnwn+1 = un + vn − wn

convergent.

II) Domaine de definition de g(x) =

$ +∞

0

e−t sin(xt)

tdt.

Montrer que g y est derivable, calculer g′ et en deduire g.


I) Montrer que φ(x) =

$ x

1/x

e−t2dt est definie sur R∗.

Montrer que φ est C1, etudier sa parite et calculer sa limite en +∞.Justifier que φ n’est pas prolongeante par continuite en 0 puis donner son signesur ]0, 1] et [1,+∞[.II) Deux variables aleatoires X et Y suivent une loi de Bernouilli de parametresrespectifs p et q. La covariance de X et Y est nulle.Montrer que P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1)P (Y = 1) puis que X et Y sontindependantes.



ANNÉE DE CRÉATION 1986DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Roger CESCHI

STATUT École d’ingénieur du Groupe Efrei - Établissement privé reconnu par l’Etat,sous tutelle du ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche,Membre de la Conférence des Grandes Écoles

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilité par la Commission des Titres d’Ingénieur (C.T.I.)

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Concours : SPÉ MP, PC, PSI : e3a ; SPÉ PT : Banque PTATS et TSI sur dossiers et entretiens

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE 2e année : L3 scientifiques et technologiques, Master 1 ou diplôme étran-ger équivalent

RESPONSABLE DU CONCOURS Nicolas SICARDNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 1400

NOMBRE DE PLACES EN 2016 MP :15 ; PC : 10, PSI : 15, PT : 10 ; ATS et TSI sur dossier et entretiensNOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015 100

DATE DU CONCOURS 2016 Pré-inscription du 06/12/2015 au 06/01/2016 sur scei-concours.frConcours e3a : 9 au 12 mai 2016Banque PT : 2 au 12 mai 2016Oraux les 25 et 26 juin 2016

LOGEMENT DES ÉLÈVES Plusieurs résidences universitaires à proximité, fichier logementsTYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur, bourses école (mérite et social)

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 6 990€ + 1090€ de frais d’inscription en 1re année du cycle ingénieu6FRAIS DE SÉLECTION 60€, réduits à 30€ pour les boursiers

L’ÉCOLE

ADMISSION



FORMATION


publi

-info

rmat

ionEsigetel école d’ingénieur

École Supérieure d’Ingénieurs30-32 avenue de la république

94800 VILLEJUIFTél. : 01 45 15 03 62 - Fax : 01 45 15 03 21

www.esigetel.fr — [email protected]

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École d’ingénieur généraliste en systèmes numériques et objets commu-nicants. Majeures proposées : Avionique et espace, SI et cloud, Réseauxet services, Droïdes, Énergies nouvelles et réseaux intelligents.L’approche pédagogique, avant tout scientifique et technique, comporteégalement une forte dimension humaine. Défini à partir des besoins desentreprises, le cursus de l’Esigetel prévoit plusieurs expériences à l’étran-ger (stage, trimestre d’études). Innovant, adaptable, humaniste et vision-naire sont les caractéristiques de l’ingénieur Esigetel.


OPTIONS 3e ANNÉE


STAGES 12 mois de stage en moyenne sur 5 ans. Cycle ingénieur : stage indus-triel ou humanitaire (1 mois), stage technique (4mois), stage ingénieur(6 mois). Taux d’emploi net de 95%.

90 destinations dans 30 pays (Australie, Chine, Japon, Inde, Canada, Brésil,USA, Europe, etc.). 38 doubles diplômes étrangers dans 14 universitéspartenaires.

Avionique et espace Droïdes et drones Réseaux et virtualisation Énergies nouvelles et réseaux intelligents

ACTIVITÉS PARALLÈLES Plus de 50 associations (Technologies IT, Junior-Entreprise, International,Média, Humanitaire et social, Sport, Culture et information ainsi que Servicesaux étudiants).Un incubateur (12 start-up) pour conseiller et accompagner les élèves-entrepreneurs.Course de l’EDHEC, 4L Trophy, Challenge du Monde des Grandes Écoles,Coupe Eurobot, etc.

JOURNÉES PORTES OUVERTES 6 février et 19 mars 2016.


ESIGETEL_FT_V7:ESIGETEL_FT 13/11/15 16:21 Page 1

Concours divers − option MP

Planche 250 ENTPE-EIVP, I abordable des la 1ere anneeI) Montrer que, si A et B sont deux matrices carrees reelles, telles que A3 = 0,B est inversible et AB = BA, alors A+B est inversible.II) Valeurs propres et sous-espaces propres de J ∈ Mn(C) de coefficientsan,1 = ai,i+1 = 1, tous les autres etant nuls ; en deduire que J est diagonalisable.

On note Ak le point d’affixe zk = e2ikπ/n, 0 ! k ! n− 1.A t = 0, une puce se trouve en A0 ;• si, a l’instant t, elle est encore sur A0, a l’instant t + 1 elle sera, de maniereequiprobable, sur A1 ou An−1 ;• si, a l’instant t, elle est sur An−1, a l’instant t + 1 elle sera, de maniereequiprobable, sur A0 ou An−2 ;• si, a l’instant t, elle est sur Ak, 1 ! k ! n − 2, a l’instant t + 1 elle sera, demaniere equiprobable, sur Ak+1 ou Ak−1.On note Xm = k l’evenement ⟨⟨ la puce est sur Ak a l’instant m ⟩⟩ et on pose

Um =

⎛

⎝p(Xm = 0)

...p(Xm = n− 1)

⎞

⎠ ; trouver A telle que Um+1 = AUm.

Montrer que A est une puissance de J et en deduire ses elements propres.Exprimer Um en fonction de A.

Planche 251 ENTPE-EIVP, II abordable des la 1ere annee

I) Montrer que

+∞∑

k=0

1(3n+ 2)2

=

∫ +∞

0

xe2x − e−x dx.

II) Determiner les fonctions f de classe C2 sur R telle que f ′′(x)+f(−x) = cos(x)..

Planche 252 ENTPE - EIVPI) On note E le R-espace vectoriel des suites reelles bornees ; l’ensemble F dessuites nulles a partir d’un certain rang est-il un ouvert de E ? Un ferme ?II) Resoudre l’equation homogene associee a (E) : x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3 cos(x)sur R∗

+ et sur R∗− (on pourra se ramener a une equation differentielle lineaire du

second ordre a coefficients constants via le changement de variable t = ln(|x|)).Resoudre (E) sur R∗

+ et sur R∗−. Quelles sont les solutions de (E) sur R ?

Planche 253 ENTPE - EIVP, II et III abordables des la 1ere anneeI) Soient n ∈ N∗, (Ai)1!i!n des evenements d’un espace probabilise.Montrer que la probabilite pour qu’aucun de ces evenements ne soit realise est au

plus egale a exp(−

n∑

i=1

P (Ai)).

II) Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme deE tel qu’il existe P ∈ R[X] verifiant P (0) = 0, P ′(0) = 0 et P (f) = 0.Montrer que E = Ker f ⊕ Im f ; que se passe-t-il en dimension infinie ?III) Une urne contient n boules numerotees de 1 a n ; on en tire des poignees(sous-ensembles eventuellement vides) que l’on suppose toutes equiprobables.SoitX la variable aleatoire qui, a une poignee, associe la somme des numeros tires :calculer l’esperance de X par trois methodes differentes (on pourra introduired’une part, pour tout i, la variable aleatoire Yi qui, a une poignee, associe 1 si ellecontient la boule numerotee i et 0 sinon ; on pourra aussi introduire la variablealeatoire Z qui a une poignee associe la somme des boules non tirees).

Planche 254 ENSEA, I abordable des la 1ere annee

I) Soit M =(A BC D

)∈ M2n(R) avec A ∈ GLn(R).

Montrer que rg(M) = n ⇔ D = CA−1B (on pourra s’interesser au noyau de M).II) Soient N ∈ N∗ et x un reel tel que |x| < 1.

Determiner le developpement en serie entiere de 1

(1− x)N+1·

Determiner E(X) ou X est une variable aleatoire reelle de loi de probabilite :

∀k ∈ N\0, 1, . . . , N − 1 = k ∈ N, k " N, P (X = k) =(k−1N−1

)pN (1− p)k−N .

Planche 255 ENSEA, II abordable des la 1ere annee

I) Convergence simple de la suite de fonctions fn(x) = ne−(nx)2 .Etudier la convergence uniforme sur tout intervalle [a,+∞[ avec a > 0.La suite converge-t-elle uniformement sur ]0,+∞[ ?II) Dans R3, determiner une base du plan P : x + y + z = 0, et de la droite

D : x =y

2= z

2.

Chercher une base dans laquelle la matrice de la projection u sur P parallelementa D est diagonale. Donner la matrice de u dans la base canonique de R3.

Planche 256 Telecom SudParis, abordable des la 1ere anneeI) Pour n ∈ N∗, on note N le nombre de diviseurs de n et P le produit de cesdiviseurs ; Trouver une relation entre n, N et P .II) Soient Ea,b l’ensemble des fonctions de classe C1 de [0, 1] dans R, telles que

f(0) = a, f(1) = b et I(f) =

∫ 1

0

f ′2(t)dt.

Calculer inff∈Ea,b

I(f) (on pourra considerer que Ea,b est l’ensemble des f telles

que f(0) = 0 et f(1) = b− a, auquel cas, f(x) =

∫ x

0

f ′(t)dt).

Planche 257 Telecom SudParis, incomplet

I) Elements propres de A =

(0 0 11 0 00 1 0

)∈ M3(C). Est-elle diagonalisable ?

Elements propres de aI3 + bA+ cA2 avec (a, b, c) ∈ C3.

II) Soit une suite (an) de complexes telle que∑

n"0

| an | converge.

Donner le theoreme d’integration terme a terme des series de fonctions.

Soit fn(x) = anxn

n!e−x ; montrer que

∑

n"0

fn est continue.

manque derniere question

Concours divers − option PC

Planche 258 ENTPE - EIVP, I et II abordables des la 1ere annee

i) Calculer limn→+∞

1n

( n∏

k=0

(n+ k))1/n

.

II) Soit A =(3 −21 0

); calculer An.

On definit la suite (un) par (u0, u1) ∈ R2 et un+2 = −2un + 3un+1.Exprimer un en fonction de n, u0 et u1. La suite converge-t-elle ?

III) Montrer que f(x) =

∫ π/2

0

cos(x sin t)dt est de classe C2 sur R.

Montrer que f est solution de l’equation xy′′ + y′ + xy = 0.

Planche 259 ENTPE - EIVP, II abordable des la 1ere annee

I) Existence et calcul de I =

∫ +∞

1

x−Arc tanx

x(x2 + 1)Arc tanxdx.

II) Soient A ∈ Mn(K) de colonnes C1, . . . , Cn et B de colonnes Ki =∑

j =i

Cj .

Calculer le determinant de B en fonction de celui de A pour n = 3, puis pourtout n = 0.

Planche 260 ENTPE - EIVP, I abordable des la 1ere anneeI) Montrer que, si f et g sont deux endomorphismes verifiant f g f = f , f get g f sont des projecteurs.Montrer que Im f = Im(f g) et que Ker f = Ker(g f).Montrer que si f g f = f et g f g = g, alors rg f = rg g.Montrer reciproquementt que si f g f = f et rg f = rg g alors g f g = g.II) Resoudre y′′ + xy = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0 a l’aide de series entieres.

Planche 261 ENTPE - EIVPI) Soit u un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension finie, tel queu3 = −u.Montrer que, si λ est valeur propre de u, λ3 = −λ.

Quelles sont les valeurs propres reelles de u ? Est-il diagonalisable sur R ?

Montrer que Keru est en somme directe avec Ker(u2 + Id).

Montrer que si F est stable par u et v la restriction de u a F , alors v2 = −id.

II) Montrer que, pour t ∈[0, π

2

], f(x, t) = ex sin t est developpable en serie

entiere.

Montrer que g(x) =

∫ π/2

0

f(x, t)dt est developpable en serie entiere, a l’aide de

wn =

∫ π/2

0

sinn tdt ; on precisera le theoreme utilise.

Planche 262 ENTPE - EIVP

I) Soit A ∈ Mn(R) ; montrer que si A2 + A + In = 0, alors n est pair et que siA3 +A2 +A = 0, alors rgA est pair.

II) Calculer∑

n"0

(−1)n∫ 1

0

x2n(1− x)dx de deux facons differentes et en deduire

la valeur de∑

n"0

(−1)n

(2n+ 1)(2n+ 2)·


I) Montrer que, en supposant egale a 12n

la probabilite de tirer l’entier n ∈ N∗,

on definit bien une probabilite.

Pour k ∈ N∗, on note Ak l’evenement ⟨⟨ l’entier n tire est un multiple de k ⟩⟩.

Exprimer P (Ak) en fonction de k ; calculer P (A2 ∪A3).

Montrer que, si B est l’evenement ⟨⟨ l’entier n tire est un nombre premier ⟩⟩,1332

! P (B) ! 209504

·

II) Montrer que (P |Q) =

2n∑

k=0

akbk, ou les ak et bk sont les coefficients de P et Q

respectivement, est un produit scalaire sur R2n[X].

Montrer que H = P ∈ R2n[X],

∫ 2

1

P (t)dt est un sous-espace dont on donnera

la dimension. Determiner H⊥ et d(1, H).


I) Soient (Xi)i∈N∗ une suite de variables aleatoires suivant une loi de Bernoulli

de parametre p, Yi = XiXi+1 et Sn =

n∑

i=1

Yi.

Determiner la loi de Yi, E(Sn) et V (Sn).

II) Rayon de convergence de S(x) =∑

n"0

sin(nθ)

n!xn pour θ ∈ R.

Montrer que S est solution de l’equation differentielle y′′ − 2 cos θy′ + y = 0 et endeduire S(x).

Planche 265 Telecom SudParisOn dit qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n est cyclique,s’il existe x ∈ E tel que

(x, f(x), . . . , fn−1(x)

)soit une base de E.

Soit f un endomorphisme de E diagonalisable ; a quelle(s) condition(s) sur sesvaleurs propres est-il cyclique ?



ACTIVITÉS PARALLÈLES

ANNÉE DE CRÉATION 1936DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Frédéric MEUNIER

STATUT Établissement privé reconnu par l’Etat, sous tutelle du ministèrede l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, Membre de laConférence des Grandes Ecoles et de l'UGEI.

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilité par la Commission des Titres d’IngénieurANNÉE D’HABILITATION 1957

LOGEMENT DES ÉLÈVES Externat, possibilité d’hébergement résidences universitairesTYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur cumulables avec bourses Efrei

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STAGES 12 mois de stage en moyenne sur 5 ans. Cycle ingénieur : stage industrielou humanitaire (1 mois), stage technique (4 mois), stage ingénieur (6 mois).Taux d’emploi net de 95%.

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RESPONSABLE DU CONCOURS Nicolas SICARDNOMBRE DE CANDIDATS EN 2015 1 400

NOMBRE DE PLACES EN 2016 105 places — MP : 35 ; PC : 20 ; PSI : 30 ; PT : 20NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015 246

DATE DU CONCOURS 2016 Pré-inscription du 06/12/2015 au 06/01/2016 sur scei-concours.frConcours e3a : 9 au 12 mai 2016Banque PT : 2 au 12 mai 2016Oraux les 25 et 26 juin 2016

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Concours divers − option PSI

Planche 266 ENSAM, I abordable des la 1ere anneeI) Avec Python : une balle se deplace dans une serie de n+1 cases ; au debut del’experience, elle se trouve dans la premiere et, a chaque item, avance d’une caseou reste immobile avec equiprobabilite.Ecrire une fonction tirer(n) qui renvoie la position finale de la balle (on pourrautiliser random, du module random).On reitere N fois l’experience ; donner une fonction Python qui prend en argu-ments n, N et k et qui renvoie la proportions de balles etant a la case k en positionfinale. On prendra n = 10 et N = 100.Tracer la courbe donnant cette proportion en fonction de k.Tracer la courbe theorique, apres avoir ecrit une fonction renvoyant

!nk

".

La probabilite que la balle avance d’une case est desormais de p ; modifier leprogramme et faire quelques essais.

II) Continuite et derivabilite de g(x) =

# 1

0

e−(1+t2)x2

1 + t2dt.

Determiner g a l’aide de h(x) =

# x

0

e−t2dt.

Trouver la limite de g en +∞ et en deduire celle de h.

Planche 267 ENSAM, abordable des la 1ere anneeI) Avec Python : on veut generer la liste des nombres premiers.Creer la liste L30 de 31 TrueEcrire l’algorithme modifier(L, p) tel que, si p = 0, le premier terme de L estFalse, si p = 1 le deuxieme terme de L est False et sinon le k-ieme terme de Lest False des que k = p est un multiple de p. Le tester sur quelque valeurs.Generer la liste des nombres premiers jusqu’a n, en ecrivant une fonctionpremiers(n). Dire si 823 417 est premier.

II) Equivalent en +∞ de In =

# 1

0

!ln(1 + x)

"ndx.

Planche 268 ENSAM, abordable des la 1ere anneeI) Avec Python : pour a ∈ R, on pose u0 = 0, 4 et un+1 = f(un, a) avecf(x, a) = ax(1− x)Ecrire une fonction f(x, a) qui renvoie sa valeur.Ecrire une fonction LU(N, a) qui renvoie les N premiers termes de la suite.Tracer, pour a = 2, 7, a = 3, 2 et a = 3, 7, les 30 premiers termes de la suite.Sur un graphe, tracer en fonction de a ∈ [0, 4] avec un pas de 0, 001, les valeursde un pour 200 ! n ! 250.II) Soit M ∈ On(R) de coefficients mij .

Montrer que

$$$$$%

1!i,j!n

mij

$$$$$ ! n !%

1!i,j!n

|mij | ! n3/2.

Planche 269 ENSAM, II abordable des la 1ere annee

I) Rayon de convergence de f(x) =%

n"0

n!1× 3× . . .× (2n+ 1)

x2n+1.

Montrer que f est solution de (x2 − 2)y′ + xy + 2 = 0 et exprimer f .II) Avec Python : ecrire une matrice A de taille 9 et une matrice B de taille 2dont les coefficients sont aleatoires de 0 a 9.Pour A et B de taille quelconque, ecrire une fonction d’arguments A et Bretournant True si B est un motif de A et False sinon.Ecrire une fonction retournant le minimum d’une matrice A.Ecrire une fonction retournant S =

%

i∈[[1,n]],j∈[[1,p]]

(aij − bij)2.

Ecrire une fonction retournant le motif de A le plus proche de B au sens desmoindres carres.


I) Pour α ∈ R, justifier l’existence de I(α) =

# +∞

0

sin(αx)

ex − 1dx.

Montrer que I(α) =%

n"0

an2 + b

ou a et b sont deux reels a determiner.

En deduire un equivalent de I(α) quand α tend vers +∞.II) Avec Python : les diviseurs propres d’un nombre sont les entiers naturelsqui lui sont strictement inferieurs et le divisent. Par exemple, pour 100 :1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50Ecrire une liste LDP qui, pour n ∈ N, renvoie la liste des diviseurs propres de n.Ecrire une fonction SDP qui, pour n ∈ N, renvoie la somme des diviseurs propresde n (pour 100 on trouvera 117).Un nombre parfait est egal a la somme de ses diviseurs propres ; ecrire une fonctionparfaits, qui pour K ∈ N, renvoie la liste des nombres parfaits inferieurs ou egauxa K, en affichant au fur et a mesure ⟨⟨p est parfait ⟩⟩.Deux nombres sont dits amicaux lorsque l’un est egal a la somme des diviseurspropres de l’autre et inversement ; ecrire une fonction amicaux qui, pour K ∈ N,renvoie la liste des couples de nombres amicaux tels que p < q ! K, en lesaffichant au fur et a mesure. Tracer les couples (p, q).

Planche 271 ENSAM, I abordable des la 1ere anneeI) Avec Python : dans une usine, certaines pieces d’un lot sont usagees en sortiede production ; un lot L = (u, z) est compose de u pieces defectueuses et z piecescorrectes. On prendra pour ce probleme u = 10 et z = 20.Expliquer le programme suivant dont on pourra se servir par la suite :def tirer(u, z) :

r = randint(1, u+ z)if r ! u : return 1else : return 0.

Ecrire un programme TA qui prendra pour arguments u, z et n et qui renvoieune liste de n tirages avec remise dans un lot. Tester pour n = 30.Ecrire un programme TS qui prendra pour arguments u, z et n et qui renvoie uneliste de n tirages sans remise dans un lot. Tester pour n = 30, n = 15 et n = 40 ;corriger le programme si necessaire.II) Prouver que f(x, y) = x ln y − y lnx admet un minimum local et le calculer.


I) Dire, suivant z ∈ C, si M =

&1 0 z1 1 01 0 1

'est diagonalisable.

Calculer Mn, n ∈ N pour z = 0.Donner les elements propres de M pour z = eiθ.

II) Avec Python : tracer f(x) = 1

1 + x2sur [−5, 5].

Donner la definition des polynomes de Lagrange.

Ecrire une fonction interpoler(h, x, a) ou h est la fonction a interpoler, x le pointou on l’evalue et a la liste des abscisses de l’interpolation.

Ecrire une fonction affiche(j) qui affiche f et le polynome de Lagrange P pourune liste de j+1 valeurs equireparties dans [−5, 5], puis tester cette fonction pourj ∈ 5, 10, 15, 20. Commenter.Commenter le resultat obtenu avec, pour abscisses, les points de Tchebitchev

ai = 5 cos(2i+ 1)π

2n, 0 ! i < n.


I) Soit u un vecteur fixe de R3 ; donner l’image et le noyau de f(x) = u ∧ x puiscalculer f f (on rappelle que a ∧ (b ∧ c) = (a|c)b− (a|b)c).Determiner la matrice A de f dans la base canonique et donner A2.

Calculer fn en fonction de α = ∥u ∥, f et f2, puis exp(f) =%

n=0

1n!

fn.

Comment determiner la nature geometrique de cet endomorphisme ?II) Avec Python : nombres de Flavius Josephe.

A la liste des entiers naturels non nuls, on enleve un nombre sur deux, puis un nom-bre sur trois et ainsi de suite jusqu’a l’infini : (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .) → (1, 3, 5, 7, . . .) → (1, 3, 7

Ecrire une fonction retirer qui, etant donnes une liste L et un indice i enleve leselements de la liste dont le rang est un multiple de i.

Ecrire une procedure permettant d’obtenir tous les nombres de Flavius Josepheentre 1 et 100.Ecrire une fonction FlaviusJosephe qui, pour n ∈ N∗, renvoie tous les nombresde Flavius Josephe inferieurs a n.

Ecrire une fonction U qui retourne le nombre Un de nombres de Flavius Josepheinferieurs a n.

Peut-on penser que la suite de terme general 4n

U2n

converge ?

Si oui, conjecturer sa limite l.

Ecrire une procedure donnant le premier entier n tel que|Un − l | < 10−3.

Planche 274 ENSAM, I abordable des la 1ere annee

I) Avec Python : le code creux consiste a coder un vecteur sans les zeros qu’ilcomporte et qui constituent une information inutile pour les calculs. Ce codecomporte une premiere liste des coordonnees non nulles et une seconde qui indiqueleur position. Par exemple, le vecteur (1, 2, 0, 5, 8, 0, 0, 0, 7) donne, en code creux[[1, 2, 5, 8, 9], [1, 2, 4, 5, 9]].

Ecrire une procedure permettant de coder un vecteur en code creux puis une autrepermettant de le decoder.

Ecrire une fonction realisant le produit d’un scalaire et d’un vecteur en code creux.

Ecrire une fonction realisant le produit scalaire de deux vecteurs en code creux.

Ecrire une fonction realisant la somme de deux vecteurs en code creux.

II) Pour f continue de R+ dans R, on pose T (f)(x) = 1x

# x

0

f(t)dt si x > 0 et

T (f)(0) = f(0).Montrer que f est un endomorphisme de l’espace E des fonctions continues deR+ dans R.Est-il surjectif ? Injectif ? Donner ses elements propres.

Planche 275 ENSAM

I) Avec Python : pour α > 0 et λ > 0, on pose Fα,λ(x) = 1− e−λxαsi x > 0 et

Fα,λ(x) = 0 sinon.Montrer que Fα,λ est une bijection de R∗

+ dans ]0, 1[.On cherche a evaluer la duree de vie d’un composant electronique grace a une loiuniforme U sur ]0, 1[. On pourra utiliser la fonction numpy.random.rand().

On note X = F−1α,λ(U) une variable aleatoire et Yn la variable qui permet de

modeliser la duree de vie d’un ensemble de n composants electroniques montesen serie.Ecrire une fonction f qui prend en argument un entier n = 0 et qui retourne laduree de vie de n composants electroniques montes en serie.Tracer un histogramme puis comparer a la courbe de F ′

α,λ. Que peut-on dire ?

II) Montrer que si P est un polynome impair, l’equation −y′(x) + xy(x) = P (x)admet une unique solution u(P ).Que dire de la parite de u(P ) ? Les resultats persistent-ils si P est pair ?Montrer que f , qui a P ∈ R2n+1[X] impair associe Xu(P ) est un endomorphismede l’espace des polynomes impairs de degre au plus 2n + 1, dont on donnera lamatrice dans la base canonique.

Planche 276 ENSAM, abordable des la 1ere annee

I) Avec Python : on dispose d’un fichier texte contenant les 1 000 premieresdecimales de π.Lire le fichier et le convertir en chaine de caracteres. Afficher les 10 premieres etles 10 dernieres decimales.Ecrire un programme permettant de verifier si une chaine de caracteres de taillep est incluse dans une chaine de taille n " p et qui retourne l’indice du premiercaractere si c’est le cas.Voir si les chaines 123456, 314159, 141592 et 0000 appartiennent aux 1 000premieres decimales de π.II) Soit f de classe C2 sur [0, a] telle que f ′(0) = f(0) = 0.

Montrer que

# a

0

$$ f(t)f ′′(t)$$ dt ! a2

2

# a

0

f ′′(t)2dt.

Peut-on obtenir une meilleure majoration ?



ANNÉE DE CRÉATION 1902DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Bernard CRETIN

STATUT Établissement Public - MENESRHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur

«Diplôme d’ingénieur» ENSMM (grade de master)

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Concours communs polytechniques : 193 placesNOMBRE DE PLACES PAR FILIÈRES MP : 43 - PC : 25 - PSI : 54 - PT : 46 - TSI : 19 - DEUG opt. Ph : 6

Admission sur dossier BTS : CIM, CPI, MAI, CIRA, CRSA, IPM et classes ATSDUT : GMP,GIM, MP, MAT, GEIILicence : en rapport avec les sciences pour l’ingénieur

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE Admission sur dossier : Master 1 en rapport avec les sciences pour l’ingénieur- Candidat ayant suivi à l'ENSMM le cycle préparatoire de Formation Continue.

ADMISSION SUR DOSSIER Le retrait s’effectue début février et le dépôt fin mai.

RESPONSABLE DU CONCOURS Concours communs polytechniques. Inscription : www.scei-concours.orgDate des concours communs polytechniques : Mai-juillet

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015 261 diplômés

ACTIVITÉS PARALLÈLES • BDE, BDSports, club de Robotique, d’Horlogerie, Gala, Éco MarathonShell, Course de l’EDHEC, 4L trophy, ISF, Drone.

• Association des anciens élèves : AIMMAPPARTENANCE À DES RÉSEAUX • Membre du réseau POLYMÉCA, de la CGE, de la CDEFI

LOGEMENT DES ÉLÈVES Crous et Résidences privatives sur le CAMPUSTYPE DE BOURSES Bourses – Prêts d’honneur

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS Droits universitaires 610€

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École Nationale Supérieurede Mécanique et des Microtechniques

26, rue de l’Épitaphe25030 Besançon cedex

Tél.: 03 81 40 27 00 fax : 03 81 80 98 70www.ens2m.fr — [email protected]

L’ÉCOLE

ADMISSION

Formation pluridisciplinaire pour le développement et la conception de produits ou sys-tèmes pluritechnologiquesLa formation est construite autour d’un projet original et unique consistant à allier l’in-génierie des systèmes mécaniques et micromécaniques, aux microsystèmes acousto-opto-électroniques pour concevoir les produits du futur dans les industries automobiles,aérospatiales, luxe & horlogerie, le biomédical.• Stage de découverte de l’entreprise : un mois• Stage d’application : un semestre.• Projet d’ingénierie : un semestre.



FORMATION


Page 38

Une mobilité à l'international, d'au moins trois mois, doit être réalisée sous laforme de semestres d’études, de stages industriels ou dans le cadre d’undouble diplôme. Nombreux partenariats universitaires en Europe, Russie,États-Unis, Canada, Chine, Japon, Corée, Brésil.


• Ingénierie des Systèmes de Production• Microtechniques et Microtechnologies• Mécanique, Ingénierie et Environnement• Matériaux et Surfaces• Microsystèmes et Santé• Énergie et Transports• Mécatronique• Ingénierie et Innovation• Mécanique des Matériaux et Procédés pour l’Industrie


Socrates, Erasmus, Université Franco-Allemande. Programme N + i, Brafitec

MOBILITÉ INTERNATIONALE

RÉSEAUX ET PROGRAMMESDOUBLES DIPLÔMES • Allemagne : Hochschule de Karlsruhe et TDU Ilmenau ;• Brésil : Universidad Federal de Uberlândia ;• Canada : Université de Sherbrooke ;• Espagne : École technique supérieure d'ingénieurs de Barcelone ;• Italie : Politecnico de Turin ;• Japon : Université Tokyo-Denki (TDU) ;• Maroc : ENIM ;• Russie : Université d’Énergétique et d’Électricité d'Ivanovo.

STAGES

ENSMM FTv7:ENSMM_FT 8/11/15 23:06 Page 1


I) Soient n reels a1, . . . , an tels que

n∑

i=1

a2i = 1.

On pose sii = 1− a2i et, pour i = j, sij = −aiaj .Trouver les elements propres de la matrice S de coefficients sij .

II) Montrer que G definie sur [0, 1] par G(x) = 12

∫ 1

0

|x− t | g(t)dt ou g est

continue de [0, 1] dans R, est de classe C2 et calculer G′′.Montrer qu’il existe deux reels a et b tels que f(x) = G(x)+ ax+ b verifie f ′′ = get f(0) = f(1) = 0.Existe-t-il d’autres fonctions f verifiant ces deux conditions ?

Planche 278 ENTPE - EIVPI) Montrer que si λ est une valeur propre d’une isometrie vectorielle u dans Eeuclidien, la dimension du sous-espace qui lui est associe est egale a son ordre demultiplicite.II) Extrema de f(x, y) = xy

√1− x− y sur T = (x, y) ∈ R2

+, 1− x− y ! 0.Planche 279 ENTPE - EIVP

I) Existence de I =

∫ +∞

0

sinxex − 1

dx ; montrer que I =∑

n!1

11 + n2 ·

II) Pour a ∈ R, donner les valeurs et vecteurs propres de u defini sur R[X] paru(P )(x) = (x− a)P ′(x).Trouver l’ensemble des polynomes divisibles par leur derivee.

Planche 280 ENTPE - EIVP, II abordable des la 1ere anneeI) Deux variables aleatoires independantes X et Y suivent la loi donnee parP (X = k) = P (Y = k) = p(1− p)k, p ∈ [0, 1].Donner la loi conjointe de U = max(X,Y ) et V = min(X,Y ) puis en deduire leslois de U et V ; sont-elles independantes ?Donner la loi de S = U + V ; admet-elle une esperance ?II) Pour f fixe dans L(Rn), donner le rang de l’endomorphisme φ, defini parφ(g) = g f , en fonction de celui de f .

Planche 281 ENSEA

I) Montrer que la serie de fonctions un(t) =(−1)ntn√

1 + n2· converge normalement

sur tout segment de [0, 1[. Que peut-on en deduire pour sa somme f ?

Quelle est la nature de la suite de terme general vn =

∫ 1

0

un(t)dt ?

Montrer que∑

vn converge.

II) Elements propres de M(θ) =

⎛

⎝1 + θ cos 2

θ−θ sin 2

θ−θ sin 2

θ1− θ cos 2

θ

⎞

⎠, avec θ ∈ R∗.

Est-elle diagonalisable ?

Planche 282 ENSEA, abordable des la 1ere annee

I) Montrer que Pn(x) =

n∑

k=1

xk − 1 admet une unique racine xn ! 0 et etudier la

suite (xn).II) Trouver tous les polynomes P ∈ R[X] verifiant P (X2) = P (X)P (X + 1).


I) Preciser l’endomorphisme canoniquement associe a M =

(0 −1 −1−1 0 −11 1 2

).

Montrer qu’il existe A ∈ M32(R) et B ∈ M23(R) telles que M = AB.Montrer que BA = I2.

II) Montrer que φ0(x) = 1π

∫ π

0

cos(x sin t)dt = 0 s’annule une et une seule fois

sur [0,π].

Planche 284 Telecom SudParis, I abordable des la 1ere anneeI) Montrer que si A ∈ Mn(R) est de rang 1, il existe (U, V ) ∈ (Rn)2 tels queA = UtV .Montrer que A est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.Trouver le polynome minimal de A.

II) Soit une suite de terme general un > 0 verifiantun+1

un= 1− λ

n +o( 1n

)quand

n tend vers +∞. Montrer que∑

un converge (on pourra faire un developpement

limite a l’ordre 1 devn+1

vnou vn = 1

nα ).

Planche 285 Telecom SudParisI) Montrer que (e−x2

)(n) = Pn(x)e−x2avec Pn ∈ C[X].

Montrer la convergence et calculer

∫ +∞

−∞Pm(x)Pn(x)e

−x2dx et la calculer.

II) Montrer que u(x) = a ∧ x ou a est fixe dans R3 est un endomorphisme de R3

dont on donnera le noyau et l’image.

Planche 286 Telecom SudParisI) Soit f une application non nulle et non constante de Mn(K) dans lui-meme,verifiant f(AB) = f(A)f(B).Montrer que A est inversible si et seulement si f(A) = 0.

II) Montrer la convergence et la continuite de f(x) =∑

n!0

(−1)n

n+ xsur R∗

+.

Montrer que f est equivalent a 1x en 0+.

Planche 287 Telecom SudParis

I) Convergence de I =

∫ +∞

0

sin tt

dt.

II) Soit u un endomorphisme symetrique d’un espace euclidien E, de valeurspropres λ1 " . . . " λn.Montrer que ∀x ∈ E, λ1 ∥x ∥2 "

(x|u(x)

)" λn ∥x ∥2.

Concours Banque PT

Planche 288 Groupe CachanI) Montrer que P = X3 + pX + q avec (p, q) = (0, 0) ne peut pas avoir de racinestriple.Montrer que P admet une racine double si et seulement si 4p3 + 27q2 = 0.Donner l’equation de la normale a Γ, d’equation y = ax2 en un point M d’abscisset non nulle.Determiner l’ensemble γ des points ou se coupent deux normales a Γ.Determiner l’enveloppe des normales a γ.II) Cours : theoreme des accroissements finis.

Planche 289 Groupe Cachan

I) Montrer que, pour α > 0 et β > 0, fα(x) =

∫ +∞

0

tα−1

t+ βe−xtdt est definie sur

R∗+. Montrer que fα est C1 sur R∗

+ et calculer f ′α.

En deduire ses variations et les limites aux bornes. Est-elle C∞ ?II) Cours : donner une CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable ; donnerplusieurs applications.

Planche 290 Groupe CachanI) Dans une urne contenant N boules numerotees de 1 aN , on tire, successivementet avec remise, p boules. On note X la variable aleatoire correspondant aumaximum des p numeros tires.Decrire (Ω, P ) modelisant l’experience.Calculer P (X " k) pour 1 " k " N et en deduire P (X = k).

On note un =

n∑

k=1

ka ; montrer que un est equivalent en +∞ a na+1

a+ 1·

II) Cours : equation du plan tangent a une surface f(x, y, z) = 0.

Planche 291 Groupe CachanI) Caracteriser et tracer la conique (C) d’equation y2 − x2 = 1.Donner une parametrisation

(x(t), y(t)

)de la courbe a l’aide des fonctions ch et

sh.Determiner une equation de la famille des normales (H) a (C).Determiner la developpee (γ) de (C) et la tracer apres etude.II) Cours : definition de l’esperance de la variable aleatoire X ; que valent E(XY )et V (X + Y ) ?

Planche 292 Groupe CachanI) Soient n un entier non nul, d un entier tel que d " n et Q un polynome dedegre d de Rn[X].Montrer que f defini par f(P ) = (QP )(n) est un endomorphisme.Trouver une condition necessaire et suffisante sur d pour que f soit un automor-phisme.Dans le cas ou n = 2 et Q = X − 1, trouver les elements propres de f .Meme question pour n = 2 et Q = X2 − 1.A quelle(s) condition(s) sur Q, f est-il diagonalisable ?II) Cours : definition du rayon de convergence.

Planche 293 Groupe CachanI) Montrer que f(x, y) = x4 + y4 − 2(x− y)2 n’est pas bornee.Trouver les points critiques et preciser leur nature si c’est possible.Montrer que le pont (0, 0) est un point col, c’est a dire qu’il n’est ni maximumlocal, ni minimum local.Calculer inf

(x,y)∈R2f(x, y).

II) Cours : enoncer et demontrer l’inegalite de Cauchy-Schwarz.

Planche 294 Groupe CachanI) On note D l’ensemble des fonctions continues sur R et telles que ∀p ∈ N,lim

x→±∞xpf(x) = 0.

Donner le domaine de definition de F (t) =

∫ +∞

−∞eitxf(x)dx pour f ∈ D.

Montrer que F est C1 sur ce domaine et calculer F ′.Montrer que F est C∞ sur ce domaine et calculer F (k) pour k ∈ N (on pourras’aider d’une conjecture et proceder par recurrence).II) Cours : donner la formule du binome de Newton pour deux reels.Donner Card

(P (E)

)quand E est de cardinal n ; justifier succinctement.

Montrer qu’il y a autant de parties de E de cardinal pair que de cardinal impair.

Planche 295 Groupe Cachan, abordable des la 1ere annee

I) Montrer que l’equation

∫ f(x)

x

et2dt = 1 definit une application f sur R.

Montrer que f est continue. Est-elle derivable ?II) Decrire les isometries vectorielles de R3.

Planche 296 Groupe CachanI) Soient u et v deux endomorphismes de C4 tels que u v = −v u etu u = v v = Id.Montrer que u et v sont de trace nulle et diagonalisables.Donner leurs valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres associes.Montrer que si (e1, e2) est une base de E1(u), alors

(v(e1), v(e2)

)est une base de

E−1(u).Montrer que u v est diagonalisable, donner ses valeurs et vecteurs propres.II) Cours : formule de Taylor-Young

Planche 297 ENSAM, II abordable des la 1ere anneeI) Donner le plan tangent au point de parametre (1, 1) a la surface d’equations

parametriques : S :

x = u2

y = uvz = 2u+ v

Donner une equation cartesienne de S.Montrer que l’intersection du plan tangent avec S est une droite ou un cone.II) Avec Python : une variable aleatoire Vn donne [0, 1], [−1, 0], [1, 0], [0,−1] eton definit Xn par X0 = [0, 0] et Xn+1 = Xn + Vn.Definir une fonction tirage donnant de facon equiprobable les listes Vn.Definir une fonction trajectoire donnant l’ensemble des listes Xn et les tracerpour n = 10, n = 100 et n = 1000.



ANNÉE DE CRÉATION 2014DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Éric MOREAU

STATUT Établissement Public, sous tutelle du Ministère de l’Enseignement Supé-rieur et de la Recherche, École d’ingénieurs de l’Université de Toulon.

HABILITATION TITRE INGÉNIEURS Diplôme habilité par la Commission des Titres d'Ingénieur (CTI)


1RE ANNÉE2E ET 3E ANNÉE

PARCOURS

STAGES

INTERNATIONAL

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Concours Communs Polytechniques : MP, PC, PSI, PT, TPC, TSI, DEUG-L2 (MATH)Admission sur dossier et entretien pour les titulaires d’une Licence ou d’un DUT

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE Admission sur dossier et entretien après un Master 1.

RESPONSABLE DU CONCOURS Pascale Azou-BriardNOMBRE DE PLACES EN 2016 75 places : 18 MP, 15 PC-PH, 25 PSI, 8 PT, 3 TPC, 3 TSI et 3 DEUG-L2 (Math)

DATE DU CONCOURS 2016 Se reporter aux dates des Concours Communs Polytechniques

VIE ÉTUDIANTE Le Bureau des Elèves (BDE), le Bureau des Sports (BDS), le Bureau desArts (BDA), Ies projets humanitaires (Ingénieurs sans Frontières, 4L Trophy),CRIS (Club de robotique), SAILING TEAM

FORUM ENTREPRISES Organisation annuelle d’un forum entreprises (en octobre)

LOGEMENT DES ÉLÈVES Le CLOUS de Toulon/La Garde dispose de résidences pour étudiants. Des rési-dences universitaires privées sont accessibles, ainsi que le parc locatif privé.

TYPE DE BOURSES Bourses de l'enseignement supérieurFRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS Droits Universitaires

publi

-info

rmat

ion

SeaTechÉcole d’Ingénieurs

Université de ToulonCS 60584

83041 TOULON CEDEX 9 - FRANCETél.: 04 83 16 66 60 - fax : 04 94 14 24 48

http://www.seatech.fr — [email protected]

L’ÉCOLE

ADMISSION


FORMATION



Page 40

SeaTech est une école d’ingénieur de l’université de Toulon. Issue du regrou-pement de Supméca Toulon et de l’ISITV, ses domaines scientifiques concer-nent la mécanique, les matériaux, l’hydrodynamique, les sciences des don-nées et des systèmes et l’informatique. Six parcours diversifiés sont proposésformant de façon privilégiée des ingénieurs pouvant mettre leurs compé-tences en application dans les sciences et technologies marines. Les com-pétences acquises par les élèves ingénieurs permettent une insertion élargiedans les secteurs de la défense, de l’énergie et de l’environnement, destransports et des sciences et technologies de l’information.Tronc CommunTronc commun et 6 parcours :- Systèmes Mécatroniques et Robotiques- Innovation Mécanique pour des Systèmes Durables- Génie Maritime- Modélisation et Calculs Fluides - Structures- Matériaux, Durabilité et Environnement- Mer et Systèmes d’information - IRIS (Informatique, Réseaux, Image, Signal)-1re année : 5 semaines minimum-2e année : 14 semaines. La mobilité internationale est fortement encouragée.-3e année : 22 semainesStages à l’étranger, doubles diplômes, échanges académiques (des boursesERASMUS ou autres sont proposées pour accompagner les étudiants lors deleur séjour à l’étranger).

SEATECH_FT_v7:ISITV_FT 8/11/15 23:08 Page 1


I) Montrer que f(x) =

∫ 1

0

e−x(1+t2)

1 + t2dt est continue et derivable sur R.

Calculer f ′.Montrer que g(x) = f(x2) est derivable sur R et donner g′.

Montrer que g(x)−(∫ x

0

e−t2dt)2

= π4

et en deduire la valeur de

∫ +∞

0

e−t2dt.

II) Avec Python : On donne u0 = a ; v0 = b ; un+1 =√unvn : vn+1 = 2

1un

+ 1vn

·

Ecrire la fonction incrementer([un, vn]) qui renvoie [un+1, vn+1] et la tester.

Ecrire la fonction f(a, b, n) qui renvoie [un, vn] et la tester.Executer f(2, 3, 10), f(2, 3, 20), f(2, 3, 50) ; quelles hypotheses peut-on faire surces deux suites ?Ecrire une fonction d’argument n qui confirme cette hypothese et en tracer lacourbe pour n ∈ [1, 9] avec un pas de 0, 1.

Planche 299 ENSAM, II abordable des la 1ere anneeI) Dans le plan affine euclidien, on note C le cercle de centre O et rayon 2, A etA′ les points de coordonnees respectives (−1, 0) et (1, 0), M un point de C.Determiner les coordonnees du point H, orthocentre du triangle AMA′ (c’est-a-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle).Quel est le lieu de H lorsque M parcourt le cercle C ?II) Avec Python : ecrire une fonction binaire qui prend en entree un entier natureln et renvoie, sous forme de liste, l’ecriture de cet entier en base 2 (par exemple,on aura binaire(5) = [1, 0, 1]).

Ecrire une fonction nombreDeUn qui prend en entree un entier naturel n etrenvoie le nombre de 1 contenus dans son ecriture en binaire (par exemple, onaura nombreDeUn(5) = 2).Un nombre est un 2-palindrome lorsque son ecriture en base 2 se lit de la mememaniere de gauche a droite que de droite a gauche (par exemple, 5 est un 2-palindrome).

Ecrire une fonction palindrome qui prend en entree un entier naturel n etdetermine si cet entier est un 2-palindrome ou non.Determiner tous les 2-palindromes inferieurs a 100.


I) Montrer que l’ensemble G des matrices complexes de la forme(a −bb a

)avec

a2 + b2 = 0 est stable pour le produit matriciel.

Pour A ∈ G et z ∈ C on pose hA(z) =az − b

bz + a; montrer que hA hA′ = hAA′ .

On donne z0 ∈ C et zn+1 = hA(zn) ; exprimer zn en fonction de a, b, z0 et n.II) Avec Python : pour un ensemble donne A = 1, 2, 3, 4 on definit, par exemple,le code C pour le sous-ensemble B = 1, 3 par CB = [1, 0, 1, 0].Donner les six codes possibles des sous-ensembles a deux elements d’un ensemblea 4 elements.Ecrire une fonction cardinal d’argument un code c, qui renvoie le cardinal dusous-ensemble.Ecrire une fonction intersection, d’argument deux codes c1 et c2 qui renvoiel’intersection de ces deux codes.Ecrire une fonction difference, d’argument deux codes c1 et c2 qui renvoie ladifference entre ces deux codes.Une liste NumImag contient les images d’une fonction f , endomorphismed’un espace E, NumImag(f) = [f(e0), f(e1), . . . , f(en−1)] ; ecrire une fonctiond’arguments NumImag et c qui donne le cardinal de f(A).

Planche 301 ENSAM, abordable des la 1ere anneeI) 10% des pieces d’une production sont mauvaises ; ont leur fait passer un testqui permet d’accepter 90% des bonnes pieces et de retirer 90% des mauvaises.Quelle est la probabilite qu’une piece soit acceptee ?Quelle est la probabilite qu’une piece soit bonne bien qu’elle ne soit pas acceptee ?Quelle est la probabilite qu’une piece soit mauvaise bien qu’elle soit acceptee ?Quelle est la probabilite qu’il y ait une erreur ?II) Avec Python : on donne une fonction chiffres qui retourne la liste de chacundes chiffres d’un entier n, ordonnee selon l’ordre des chiffres du nombre : expliquerson fonctionnement.Un nombre de p chiffres est dit narcissique si la somme de ses chiffres puissancep vaut lui-meme : 94 084 en est-il un ?Ecrire une fonction d’argument n qui repond en booleen a la question : n est-ilnarcissique ?Retourner tous les nombres narcissiques entre 0 et 10 000.Ecrire une fonction d’arguments n et N retournant le premier nombre narcissiqueplus grand que n et plus petit que N .Ecrire une fonction qui determine si un nombre premier est narcissique.Donner tous les nombres premiers narcissiques entre 0 et 10 000.

Planche 302 ENSAM, abordable des la 1ere anneeI) Avec Python : On appelle segment une liste de deux reels [a, b] avec a ! b.Determiner une fonction disjoints qui prend en argument deux segment i1 et i2et qui retourne un booleen de valeur True si les deux segments sont disjoints.Tous les elements d’une liste L sont des segments ; on dit qu’une telle liste est bienrangee si tous ses segments sont disjoints et sont ranges dans l’ordre croissant.Ecrire une fonction bien−rangee qui prend en argument une liste L et qui retourneun booleen de valeur True si la liste est bien rangee.Ecrire une fonction partition(L, x) qui prend en arguments une liste L bien rangeeet un nombre x, qui renvoie trois listes bien rangees :• une premiere liste contenant les segments dont chacun des elements est stricte-ment inferieur a x ;• une deuxieme liste contenant les segments qui contiennent la valeur x ;• une troisieme liste contenant les segments dont chacun des elements eststrictement superieur a x.Ecrire une fonction insertion(L, i), qui prend en argument une liste L bien rangeeet un segment i, qui renvoie :• une liste bien rangee, contenant les segments de L et i, si tout les segments deL et i sont disjoints ;

• une liste bien rangee, contenant les segments de L disjoints de i et l’union dessegments de L et de i non-disjoints, si les segments de L et i ne sont pas tousdisjoints.Exemples :Si L = [1, 2], [3, 4], [7, 8] et i = [5, 6], la fonction renvoie [1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8].Si L = [1, 2], [3, 4], [7, 8] et i = [5, 7], la fonction renvoie [1, 2], [3, 4], [5, 8].Si L = [1, 2], [3, 4], [7, 8] et i = [4, 7], la fonction renvoie [1, 2], [3, 8].II) Pour A et B de M2(R) fixees, montrer que f , defini par f(M) = AM −MBest un endomorphisme de M2(R).Donner sa matrice dans la base canonique.A quelle condition, necessaire et suffisante, f est-il nul ?Sous quelle condition est-il de rang 1 ?


I) Continuite et derivabilite sur R+ de f(x) =

∫ 1

0

√x+ t3dt.

Etudier les variations de f et calculer f ′′(x).II) Avec Python : on stocke les coefficients d’un polynome P dans la listeL = [an, an−1, . . . , a1, a0] ; ecrire une fonction valpol(L, x) qui evalue P en x.Ecrire une matrice A de taille 4 a coefficients non nuls.A l’aide des fonctions eye() et trace() de numpy, calculer A(A− tr(A)I4).

On donne B0 = M de taille 4, et Bk+1 = M(Bk +

− tr(Bk)

k + 1I4); construire la

liste L des coefficients de P (X) = Xn +

n∑

k=1

− tr(Bk−1)

kXn−k.

Tracer la courbe representative de P en fonction de X.

Planche 304 ENSAM, abordable des la 1ere anneeI) On note E l’ensemble des fonctions de classe C∞ et de periode T sur R.Montrer que l’application definie par f(g) = g′ est un endomorphisme de E.Est-il injectif ?

Montrer que Im f = g ∈ E,

∫ T

0

g(x)dx = 0 ; f est-elle surjective ?

Montrer que Ker f et Im f sont supplementaires dans E.

II) Avec Python : on donne u0 = N et un+1 =

un

2si n est pair

3un+1 si n est impair.

Tracer les termes de la suite pour N = 7 et N = 8.On suppose qu’il existe n tel que un = 1 : qu’est-ce que cela implique ?Donner une fonction qui renvoie la liste des termes de la suite jusqu’a celui quivaut 1 et l’indice n pour lequel un = 1.


I) Prouver que 4x3 + x2 − 1 admet une unique racine reelle α ∈ ]12, 32[.

On prendra la valeur approchee α = 0, 56.

Etudier la courbe

x(t) = cos t

y(t) = sin t+√

| cos t | et la tracer ; on a’ttachera a bien

choisir le domaine d’etude.II) Avec Python : ecrire et expliquer les lignes de codes suivantes :From random import randLR = rand(6)1 ∗ (LR < 0.5)Definir une fonction tirer d’argument n qui renvoie une liste de n elements

composee de tirages de Bernouilli de parametre 12·

L’instant d’apparition d’une sequence est le nombre d’elements d’une liste quicomporte la sequence en derniers elements. Par exemple, l’instant d’apparition de[1, 0, 1, 1] est de 7 dans [0, 1, 0, 1, 0, 1, 1].Definir une fonction T d’argument seq, une sequence composee aleatoirement de0 et de 1, renvoyant l’instant d’apparition de seq.Estimer numeriquement l’esperance de l’instant d’apparition de [1, 0, 1, 1].

Planche 306 ENSAM, II abordable des la 1ere anneeI) Tous les points de la surface S d’equation x− 8yz = 0 sont-ils reguliers ?Determiner le plan tangent a S en M(x, y, z) puis en A(8, 1, 1).

Determiner les plans tangents a S contenant la droite D :

z = 1x+ 4z = −2

II) Avec Python : on cherche les diviseurs propres d’un entier naturel p " 2.Ecrire une fonction s de parametre p, qui renvoie la somme des diviseurs propresde p si p " 2 et 0 sinon.Donner la liste des entiers tels que 2 ! p ! 1000 et s(p) = p.On pose a0 = p et an+1 = s(an) ; on suppose que (an) est constante ou periodique.Ecrire une fonction A de parametre p, qui renvoie la liste des an jusqu’a lapremiere repetition et la periode de la suite, ou 1 si la suite est constante.Ecrire une fonction qui, pour K ∈ N, renvoie la liste des couples de nombres (p, q)tels que p < q ! K,et tels que la somme des diviseurs propres de p vaut q etinversement. Tracer les couples (p, q).

Planche 307 ENSAM, I abordable des la 1ere anneeI) Avec Python : on definit (un) par la donnee de u0 et un+1 = f(un) avecf(x) = ax(1− x) ou a ∈ [0, 4].Ecrire une fonction d’arguments x et a qui renvoie f(x).Ecrire une fonction qui renvoie la liste des 30 premiers termes de la suite.Afficher, sur un meme graphique, les 30 premiers termes de la suite pour a = 1, 6,a = 2, 7 et a = 3, 4.Afficher, sur un meme graphique, les termes de la suite allant de 250 a 300, poura variant de 0 a 4, avec un pas de 0, 001.II) Combien y a-t-il de vecteurs de R4 dont deux coordonnees valent 1 et les deuxautres −1 ?

Montrer qu’ils sont tous vecteurs propres de M =

⎛

⎝0 X Y ZX 0 Z YY Z 0 XZ Y X 0

⎞

⎠ et donner

les valeurs propres associees.Trouver les quatre valeurs propres de M .Donner une condition necessaire et suffisante pour que M soit inversible.Donner une condition necessaire et suffisante pour que M soit une symetrie.



L’ENGEES est reconnue pour former depuis plus de 50 ans les ingénieurs dont lesdécideurs et entreprises ont besoin dans tous les domaines de l’eau et plusglobalement des services et projets relatifs à l’environnement. Elle continue des’adapter aux besoins des acteurs en développant des approches nouvelles desmétiers et des compétences, sans perdre de vue la force d’opérationnalitéimmédiate des ingénieurs qu’elle forme. Outre les connaissances techniques etscientifiques qui sont dispensées, les aspects économiques, juridiques et sociauxabordés permettent d’exercer le métier d’ingénieur en intégrant pleinement lesobjectifs de développement durable. L’accompagnement personnalisé favorisel’émergence et la conduite du projet professionnel de chaque étudiant/apprenti.En troisième année, l’étudiant peut suivre :Une voie d’approfondissement à l’ENGEES : Hydraulique Urbaine et Réseaux,Ressource en Eau et Territoires, Traitement des Eaux, Exploitation et Travaux, Déchets.Un double diplôme : masters cohabilités avec l’Université de Strasbourg, de Lorraineet l’ENSG de Nancy ; EM de Strasbourg ; EIVP ; Cranfield University (Royaume-Uni) ;Universidad de Cantabria (Espagne) ; Universidad Nacional del Litoral (Argentine) ; IAVHassan II de Rabat (Maroc) ; École de Technologie Supérieure de Montréal (Canada),UST Hanoï (Vietnam).Une formation dans un établissement partenaire : IRC Montpellier SupAgro -AgroParis Tech de Nancy - ENTPE - l’EHESP de Rennes - EOST Strasbourg et desécoles/universités étrangères (voir International).Accessible aux élèves issus des CPGE. Prépare au même diplôme que la formationd’ingénieurs sous statut étudiant. Alternance école/entreprise 15j/15j. Signature d’uncontrat d’apprentissage dans des entreprises privées ou collectivités.•Mobilité de 4 semaines minimum au cours du cursus.•26 accords (EUCOR, Erasmus, Arfitec, Brafitec, Brafagri, accords d’échange, deformation et de recherche….) avec 13 pays (Allemagne, Argentine, Belgique, Brésil,Canada, Espagne, Grande Bretagne, Maroc, Pologne, Roumanie, Suisse, Viêt-Nam,USA).

ANNÉE DE CRÉATION 1960DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Jean-François QUÉRÉ

STATUT Public sous tutelle du ministère de l’Agriculture, de l’Agroalimentaire et dela Forêt (MAAF), rattaché à l’Université de Strasbourg en qualité d’écoleexterne

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’IngénieurANNÉE D’HABILITATION 2010 (pour 6 ans)

L’ÉCOLE

RESPONSABLE DU CONCOURS BCPST "banque G2E" - PC+PSI+MP : “CCP”NOMBRE DE PLACES EN 2015 10 fonctionnaires, 52 non-fonctionnaires, 10 apprentis sur concours,

27 admis sur titres (dont 20 apprentis) et 3 par concours interneNOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2014 85

ACTIVITÉS PARALLÈLES BDE, Association des anciens élèves (AMENGEES), Aide au développement,Manifestation “À l’Eau la Terre ? Ici Strasbourg !”, Entreprise étudiante, etc.

RECHERCHE 4 unités mixtes de recherche : Laboratoire d’Hydrologie et de Géochimie deStrasbourg (LHyGeS), Laboratoire de Gestion Territoriale de l’Eau et del’Environnement (GESTE), ICube-équipe Mécanique des fluides (MécaFlu),Laboratoire Image Ville Environnement (LIVE).


FORMATION

LOGEMENT DES ÉLÈVES ExternatTYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur, gérées par le CROUS

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 1561€ en 2015, pour les élèves non-fonctionnaires sous statut étudiantRÉMUNÉRATION DES ÉLÈVES Élèves fonctionnaires uniquement : environ 1254€ net/mois (en 1ère année)


publi

-info

rmat

ionE.N.G.E.E.S.

École Nationale du Génie de l’Eauet de l’Environnement de Strasbourg

1, quai Koch - BP 6103967070 STRASBOURG Cedex

Tél. : 03 88 24 82 82 - Fax : 03 88 37 04 97http://engees.unistra.fr - [email protected]

RECRUTEMENT 1RE ANNÉE Sur concours • PC, PSI et MP : rattachement aux CCP (écrits et oraux)• BCPST : banque d'épreuves G2E (écrits et oraux)• Concours B ENSA, filière licence• Concours A TB

Sur titres et épreuves ATS et niveau bac+2 minimum en cohérence évidente avec la formationd’ingénieur de l’ENGEES

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE Pour les titulaires du grade de Master, Maîtrise mention AB ou accordsde partenariats bilatéraux.

ADMISSION


Page 42

SPÉCIFICITÉ DE L’ÉCOLE

3E ANNÉEVOIES D’APPROFONDISSEMENT

DOUBLES DIPLÔMES/CURSUS

STATUT APPRENTI

INTERNATIONAL

ENGEES_FTv7:ENGEES FT 8/11/15 23:12 Page 1


I) Soit S l’ensemble des fonctions de classe C1, telles que ∀x ∈ R, f(x) = xf ′(x2

).

Montrer que les fonctions polynomiales de S sont de degre au plus 2.Soit f de classe Ck dans S ;montrer que ∃(a, b) ∈ R2, f(x) = ax+ bx2 + o(xk).Soit f une fonction de S developpable en serie entiere, avec un rayon deconvergence r non nul ; montrer que f est polynomiale sur ]− r, r[ et en deduirequ’elle est polynomiale sur R.II) Avec Python : soit A0 = (1, 0) ; on definit la suite de points An tels que letriangle OAnAn+1 soit rectangle en An et AnAn+1 = 1.

On a donc :

⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

xn+1 =xn − yn√x2n + y2n

yn+1 =xn + yn√x2n + y2n

.

Ecrire la fonction A d’argument N renvoyant la liste des coordonnees des Npremiers points.Ecrire la fonction Afficher d’argument N qui affiche les N premiers points.Tester pour N = 60.Ecrire la fonction tours d’argument m qui renvoie le liste des valeurs de n pourlaquelle on atteint le k-ieme tour 1 ! k ! m.Afficher les 5 premiers tours avec des couleurs differentes.


I) On note f l’endomorphisme de R4 de matrice M =

⎛

⎝1 −1 1 −1−1 1 −1 11 −1 1 −1−1 1 −1 1

⎞

⎠

dans la base canonique.Calculer M2 et en deduire que f f = 4f .Montrer que f peut se mettre sous la forme f = h p ou p est une projectionvectorielle et h un endomorphisme de R4 a preciser.Determiner le noyau et l’image de f et en deduire une forme diagonalisee de M .II) Avec Python : pour un entier k, on note m(k) le plus grand entier puissancede 2 divisant k.Ecrire une fonction m(k) renvoyant ce nombre.

Montrer que cn = 12

(1 + n

m(n)

)est un entier pour tout n.

Ecrire une fonction c1(n) renvoyant cn et afficher cn pour 1 ! n ! 16.Soit n ∈ N ; que vaut c2n en fonction de cn ? Et c2n+1 ?

Ecrire une fonction c2(n) renvoyant cn sans passer par le calcul de ce terme.Une autre methode pour calculer cn revient a :• ecrire n en base 2 ;• effacer tous les zeros consecutifs en partant de la droite ;• ajouter 1 ;• effacer le zero obtenu.Apres avoir verifie a la main sur un exemple que cette methode peut fonctionner,ecrire une fonction c3(n) calculant ainsi cn.Comment montrer que le programme fonctionne reellement ?


I) Montrer que l’equation y′′(t)− 4y(t) = a | t |+ b ou a et b sont des reels, admetune unique solution de classe C2 sur R, qui admet des asymptotes en +∞ et −∞.II) Avec Python : on note En = [[1, n]] et on donne le tableau suivant :

Parties A Codes C

[ ] donne [0, 0] dans E2

[1] donne [1, 0] dans E2

[2] donne [0, 1] dans E2

[1, 2] donne [1, 1] dans E2

Ecrire une fonction prenant en argument deux codes C1 et C2, et retournant lecode de l’intersection des parties A1 et A2.Ecrire une fonction qui somme les chiffres de la partie A, a partir de son code C.On donne une fonction parties(n) qui retourne toutes les parties de l’ensembleEn.Trouver toutes les parties de En dont la somme vaut un entier k.

Planche 311 ENSAM

I) Une puce de deplace sur une droite ; au depart, elle est a la position n ∈ [[0, N ]].

A chaque saut, son abscisse augmente de 1 avec la probabilite p ∈ ]0, 1[ ou diminuede 1 avec la probabilite q = 1− p. Elle s’arrete une fois arrivee en 0 ou en N .L’espace probabilise est (Ωn,An, Pn).On considere les 3 evenements An : ”La puce s’arrete en 0” ; Bn : ”La puces’arrete en N” ; Cn : ”La puce ne s’arrete jamais”.On note Pn(An) = an, Pn(Bn) = bn et Pn(Cn) = cn.Donner une relation entre an, bn et cn ; calculer a0, aN , b0 et bN .Soient les evenements D : ”Le premier saut est vers la droite” et G = D ; montrerque pour n ∈ [[1, n − 1]], an = pan+1 + qan−1 et en deduire an en fonction de

n, p, q et N (on traitera separement le cas ou p = 12). Faire de meme pour bn.

Calculer an + bn et conclure.II) Avec Python : on cree un calendrier gregorien ; une date est representee parun triplet (jour, mois, annee) note (jr,ms, an).Le calendrier georgien n’est valable qu’a partir de 1582.Une annee est bissextile si son millesime est divisible par 4, mais pas par 100, ous’il elle est divisible par 400.Creer deux tableaux ML et MC contenant respectivement les mois comptant 31jours et 30 jours.Creer une fonction valide, prenant pour argument jr, ms et an, qui renvoie Truesi une date est valide, False sinon (on pourra creer une fonction bissextile(an)renvoyant True si l’annee est bissextile, False sinon).Creer une fonction nbs, prenant pour argument date1 et date2 (deux triplets) etrenvoyant le nombre de 29 fevrier entre ces dates.Creer une fonction comptant le nombre de jours entre 2 dates.

Concours TSI

Planche 312 CCS

Decrire une demarche pour resoudre le systeme

x′ − x = yx+ y = y′ + 3x

puis le

resoudre.

Planche 313 CCSRayon de convergence et calcul de

∑x3n.

Rayon de convergence et calcul de f(x) =∑

(1− x)x3n.

La serie de terme general 1(3n+ 1)(3n+ 2)

converge-t-elle ?

Montrer que 1(3n+ 1)(3n+ 2)

= a3n+ 1

+ b3n+ 2

ou a et b sont deux reels a

determiner.

Montrer que

N∑

n=0

1(3n+ 1)(3n+ 2)

=

∫ 1

0

1− x3(N+1)

1 + x+ x2 dx.

Montrer que

∫ 1

0

1− x3N

1 + x+ x2 dx tend vers 0 quand N tend vers l’infini.

Calculer∑

n!0

1(3n+ 1)(3n+ 2)

· Faire un calcul approche de cette serie a l’aide la

calculatrice ou d’un programme Python.

Planche 314 CCS

A =

⎛

⎝0 1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0

⎞

⎠ est-elle diagonalisable ?

Donner ses valeurs propres et les sous-espaces propres associes.Trouver une matrice reelle d’ordre 4 qui commute avec A.Montrer que l’ensemble E des matrices qui commutent avec A est un sous-espacevectoriel dont on donnera la dimension.Montrer que E est stable pour le produit matriciel.Trouver M telle que M3 = A.

Planche 315 CCP, abordable des la 1ere annee

I) Montrer l’existence et calculer

∫ 1

0

t3ndt pour n ∈ N∗.

Montrer que

∫ 1

0

t3n+3

1 + t3dt tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Etudier l’absolue convergence de∑ (−1)n

3n+ 1·

Calculer

N∑

n=0

(−t)3n pour t ∈ [0, 1].

Montrer que∑ (−1)n

3n+ 1converge vers

∫ 1

0

dt1 + t3

·

II) On note aij les coefficient de A ∈ Mn(K) ; ecrire la trace de A en fonctionde ses coefficients.Montrer que tr(tAtA) = tr(AA) ; calculer tr(tAA) en fonction des coefficients deA.Montrer que φ(A,B) = tr(tAB) est un produit scalaire sur A ∈ Mn(K).

Montrer que(tr(tAB)

)2 ! tr(tAA) tr(tBB).

Montrer que (trA)2 ! n tr(tAA) et dire quand il y a egalite.

Planche 316 CCP, abordable des la 1ere anneeI) Resoudre λ2 − λ− 2 = 0 ; on notera λ1 < λ2 les racines.Donner un exemple de matrice A verifiant A2 −A− 2In = 0.

On donne P = 1λ2 − λ1

(A − λ1In) et Q = 1λ2 − λ1

(A − λ2In) ; verifier que

P 2 = P et Q2 = Q.Calculer P +Q, PQ et QP et ecrire A comme combinaison lineaire de P et Q.

Montrer que, pour n " 2, An = 12(2n + (−1)n+1)A+ 1

2(2n−1 + (−1)n)In.

II) Resoudre u′(x) + 2xu(x) = 2x.

Verifier que 1u est solution de y′(x)−2xy(x)+2xy(x)2 = 0 et en deduire la forme

des solutions de cette seconde equation.

Planche 317 CCP, II abordable des la 1ere annee

I) Exprimer sin((a+ n)π

)en fonction de sin(aπ).

Exprimer 12

(cos

((a+ n)x

)+ cos

((a− n)x

))en fonction d’un produit.

Montrer que f , 2π-periodique, definie sur ]−π,π[ par f(x) = cos(ax) aveca ∈ ]0, 1[, est prolongeable par continuite sur R et la tracer sur ]−3π, 3π[.Calculer a0 puis les coefficients trigonometriques de f .

Montrer que cos(ax) =sin(ax)

aπ

(1 + a

∑

n!1

(−1)n cos(nx)

a2 − n2

).

Calculer∑

1a2 + n2 ·

II) Pour a et b deux reels distincts, on note f(x) =

∣∣∣∣∣c− x a− x a− xb− x c− x a− xb− x b− x c− x

∣∣∣∣∣.

Monter qu’il existe deux reels m et p tel que f(x) = mx + p ; calculer f(−b) etf(−a) et en deduire les valeurs de m et p.

Calculer

∣∣∣∣∣c a ab c ab b c

∣∣∣∣∣ puis, a l’ordre n,

∣∣∣∣∣∣∣∣

c a . . . a

b c. . .

......

. . .. . . a

b . . . b c

∣∣∣∣∣∣∣∣.



Portes

ouvertes05/12/1530/01/1605/03/16

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15 dominantes en cursus classique ou en apprentissage

électronique des systèmes pour l’Automobile et l’Aéronautique - énergie et Développement Durable génie électrique et transport - Big Data et transformation numérique - ingénierie télécom ingénier ie des services du numérique - Architecture et sécurité des Réseaux &YXSQEXMUYI IX 7SFSXMUYI .RHYWXVMIPPI .RK³RMIVMI HIW ]WX²QIW *QFEVUY³Wc Z³LMGYPI EYXSRSQI .RK³RMIVMI HIW ]WX²QIW *QFEVUY³Wc SFNIXW GSQQYRMGERXW 2³GEXVSRMUYI IX ,³RMI PIGXVMUYI ingénierie des systèmes médicaux - ingénieur d’Affaires informatique, réseaux et télécom ingénieur d’Affaires distribution énergie et signaux - ingénieur Finance

Admissions

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term s, Puissance 11

Dossier, entretiens :

term sti2D 1recER5EGIW2³HIGMRI (rentrée décalée)

548'&(c cycle ingénieur classique ou apprentissage

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e3a (mP, Pc, Psi), Banque Pt, ccP tsi, Banque DUt Bts, (SRG3EXMSREP&8

Dossier, entretiens :

DUt Bts domaine info-réseaux, l3, m1 domaine électronique

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cLAssEMENt sMBG

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en électronique, génie électrique

en 2014-2015

cLAssEMENt

UsINE NoUVELLE

des écoles d’ingénieurs du numérique post bac

en 2015

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DIGIscHooL

des écoles d’ingénieurs par les recruteurs

(41*)ƶ.3,3.*97*,37&1.8*

ENS − MPPlanche 1 Ulm

On considere un cylindre, de rayon a, charge lineiquement (−λl) plonge dans unesolution.Quelle contrainte doit-on imposer a ce systeme pour que ce soit possible ?(1)

Decrire qualitativement, puis quantitativement, la repartition des ions dans lasolution.

Planche 2 Lyon-Cachan-Rennes

On considere N particules dans une enceinte de volume V , a la temperature T ,avec un potentiel de paire ϕ(r) ou r designe la distance entre deux particules.

1. On definit le viriel par ν =!

i

−→F i.ri. Montrer que 2EC + ν = 0

2. Montrer que NkBT = PV − 2πkBTN2

V

" +∞

0

r2#1− e−ϕ(r)/kBT

$dr

Planche 3 Lyon - Cachan - Rennes

Effet optique d’une onde mecanique. Un faisceau laser de diametre 2,0mm,de longueur d’onde λ = 600 nm traverse une cuve remplie d’eau, d’epaisseure = 4,00 cm soumise a une onde mecanique de pression du type

P (z, t) = P0 + P1 cos(ωt) cos%2πλs

z&.

Un ecran est place a D = 10,0m du dispositif et on observe une intensitelumineuse en forme de sinuscardinal carre. Expliquer et proposer une application.

Planche 4 Lyon - Cachan - Rennes

On cherche a pieger une particule a l’aide d’un champ electrique : montrer quec’est impossible avec un champ statique.

Soit le potentiel U(x, y, z) =V0

4z2c(x2 + y2 − 2z2) cos(ωt) qui depend du temps ;

calculer les equations cartesiennes du mouvement de la particule.

Planche 5 Lyon, Cachan, Rennes [II) III) Abordable en Sup ]

I) On a un potentiel V (x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 qui regne dans l’espace.1) Quelles sont les consequences des equations de Maxwell sur a, b et c ?2) On considere que l’on a une symetrie cylindrique infinie, avec le plan (Oxy)qui est aussi un plan de symetrie. Quelles sont les consequences sur a, b et c ?3) On impose un champ B selon Oz. On abandonne un electron dans l’espace.Quelles sont les equations du mouvement ?II) On a une fibre optique dont l’indice varie selon la cote : n(z) = n0(1 − az2)ou n0 et a sont inconnues.On fait rentrer un rayon lumineux dans la fibre avec un angle d’incidence α. Quese passe-t-il ? Calculer l’equation de la trajectoire (en angle et en abscisse).

III) On a une particule de masse m soumise a une force centrale en − K

r2· Montrer

que les vecteurs−→L (moment cinetique) et a, defini par a := p∧

−→L −Kmur, sont

constants.

Planche 6 Lyon, Cachan, Rennes

Une particule de masse m est dans un potentiel V (x) = −g [δ(x− a) + δ(x+ a)]ou δ est la fonction de Dirac et g > 0.a) Trouver les etats propres lies. Quelle est la condition de quantification ?b) Discuter, a l’aide d’une resolution graphique, le nombre d’etats lies en fonctionde a.c) Expliquer en quoi ce qui precede peut constituer un modele simple de moleculeunidimensionnelle (ion moleculaire H+

2 par exemple).

Planche 7 Lyon, Cachan, Rennes

On considere une particule de rayon a et de masse volumique ρ dans un fluidevisqueux. Elle a un mouvement unidimensionnel et elle est soumise a une forcede frottement (dont on rappelle la norme : 6πηa ∥ v ∥) et une force F , de moyennenulle, et qui varie tres vite par rapport aux caracteristiques du mouvement.Donner l’allure asymptotique de < x2 >.

Planche 8 Ulm, Lyon, Cachan, Rennes

I) Soit deux charges q et −q, a distance d l’une de l’autre. Trouver l’equipotentielleV = 0. Donner le champ electrique dans cette zone.

Soit une particule quantique q qui evolue dans un potentiel V = − λ4z

· Donner

l’equation de Schrodinger que verifie cette particule. Puis l’equation verifiee parφ ou ψ = χ · φ.Comment peut-on resoudre ? Chercher des solutions en φ(z) = C · z · e−kz .Expliciter ω et k. Comment trouver C ? Donner zmoy .II)Soit un plan incline et une boule sur ce plan. Un petit chien est en haut decelle-ci. Le petit chien reste toujours au sommet de la boule. Decrire le mouvementde la boule. En deduire les differentes forces en jeu.

Planche 9 Ulm

On s’interesse a l’etude de la dilatation ou la contraction d’un materiau que l’onchauffe.

1) Introduire une grandeur qui caracterise cette dilatation ou cette contraction.Elle est notee α(2).

2) Que peut-on prevoir ?

3) Dans le cas du gaz, cela se dilate ou se contracte ? Et comment cela dependselon que le gaz est parfait ou pas (3) ? Qu’est-ce qu’un gaz parfait ?

4) On prend le cas d’une particule a une dimension. Elle est dotee d’une energie

potentielle Ep = 12kx2. Comment definir le ⟨⟨volume ⟩⟩ present dans α(4) ?

5) Calculer ce ⟨⟨volume ⟩⟩ typique en fonction de T . Comment varie-t-il avec T ?(La particule n’a pas de taille) Y a-t-il une dilatation ou une contraction(5) ?

6) C’etait un modele simple ou intervient une seule particule. Quelle est typique-ment la forme d’energie potentielle due a l’interaction entre plusieurs particules ?Quel est la puissance de 1/r pres de 0(6) ?

7) D’ou vient cette puissance 6 pres de 0 ?(7)

8) Qualitativement, comment dans ce cas le ⟨⟨volume ⟩⟩ typique varie en fonctionde T ? que vaut-il pour T = 0 ?(8)

9) Y a-t-il des cas ou il diminue ? Y a-t-il contradiction avec les lois de laphysique ?(9)

10) On prend maintenant un materiau type caoutchouc, elastique... qui consisteen un assemblage de polymeres. Un polymere est modelise par une succession debatonnets (en fait des vecteurs) colineaires a ex de norme a. Les batonnets sontaccroches les uns a la suite des autres (il peut donc y avoir des rebroussements,autant qu’on veut). Le dernier est soumis a une force F constante, qui joue le rolede la force de pression.

Comment caracteriser une configuration donnee de ces batonnets ?(10)

11) Quelle est l’energie dont le systeme est dote ? Montrer que l’on peut se ramenera un seul batonnet.(11)

12) Quel est le R moyen en fonction du x moyen d’un seul batonnet ?(12)

13) Etudier comment ce x moyen varie en fonction de T . Justifier qualitativement,pour T = 0 et T = ∞.(13)

Planche 10 Ulm

→i→

(cadherine 23)lien pointe

DC

!

!

dX

!!!!!

↑BC

↑

A

B

On s’interesse au comportement de l’oreille interne qui transforme un signalmecanique en un signal electrique. En A, on a une cellule ciliee de l’oreille interne.En B on a un zoom des cils. On les modelise par des ressorts de raideur k et delongueur a vide nulle, en paralleles. Au bout de chacun de ces ressorts, une trappeest susceptible de s’ouvrir grace a un changement de forme d’une proteine. Cechangement est caracterise par une difference energetique de ∆µ. On donne enordre de grandeur : X = 10nm et d = 5nm.

a quoi sert l’ouverture de cette trappe ?(14)

Reponse du systeme a une force F ?(15)

S est le nombre de trappes ouvertes. S, F varient-t-ils a Xequilibre fixe ? Si on

affichait F a l’oscilloscope, Que verrait-on ?(16)

Quelle est la probabilite pour qu’une trappe soit ouverte ? Fermee ? Que se passe-t-il a haute et basse temperatures ? Exprimer keff pour un seul systeme ressort-trappe ?

(1) Presence d’ions ⊕ dans la solution.(2) α = 1

V

%∂V∂T

&

P(3) Avec PV = nRT , α > 0, et pour un gaz quelconque, il faut prendre en compte les interactions entres particules.(4) C’est une longueur typique : en s’inspirant de la vitesse quadratique moyenne (expression a justifier rapidement) on a de meme la position quadratique moyenne.(5) On utilise le facteur de Boltzmann pour calculer la probabilite d’etre en une position donnee(6) C’est celle de Van der Waals. On a le graphe du type a

r6+ b

r12avec a < 0 et b > 0.

(7) On a des particules neutres. On raisonne avec deux particules. Elles sont neutres mais polarisables avec un champ E. On sait que les dipoles electriques creent un champen 1/r3, et l’energie potentielle qu’acquiert le premier dipole soumis au champ cree par le second est β · E donc en 1/r6.

(8) Pour T = 0, on est au minimum d’energie potentielle. La position quadratique moyenne augmente d’apres le graphe, quand T , donc Etot, augmente, et donc α > 0 :dilatation.

(9) Oui, si on s’arrange pour que la pente a gauche du minimum soit plus faible en norme que celle a droite du minimum. C’est le cas de l’eau, par exemple.(10) Il faut prendre la suite (u1, ..., un) de vecteurs, de la forme ui = ±aex.(11) On neglige Ec et on prend Ep = −F ·R ou R designe l’extension de tout l’ensemble. On se ramene a un batonnet par linearite.(12) C’est R = n(xmoyen).(13) On trouve avec les facteurs de Boltzmann que x moyen est en th(K/T ). Pour T = 0, c’est la configuration la plus stable et l’extension est maximale egale a n · a. Pour

T = ∞, R moyen vaut 0. Question : pourquoi 0 ? Le candidat : parce que l’entropie augmente.(14) Indice : on est entoure d’un liquide.(15) Indication : on est dans un fluide, et a cette echelle de taille, les frottements l’emportent largement.(16) Indication : exprimer S en fonction de la temperature du fluide.


particules dansNOn consid`

Lyon-Cachan-RennesPlanche 2

solution.eDecrire qualitativement, pu

Quelle ncontrainte doit-on impsolution.On considere un cylindre, de

UlmPlanche 1

, ` lVdans de olume

han-Rennes

uis quantitativement, la erepartition desimposer a ce systeme pour que ce soit possible

) plolλ−, charge le lineiquement (ade ayrayon

MP−ENS

selon que le gaz est3) Dans le cas du gaz,

2) Que peut-on prev

.(2)αElle est notee1) Introduire une grandeur

chauffe.On s’interesse a l’etudeet

UlmPlanche 9

T´

s ions dans la

(1)ossible ?

onge de dans une

? Qu’est ce qu’un ga(3)est aparfait ou pasgaz, cela se dilate ou se contracte ? Et

evoir ?

grandeur qui caractérise cette dilatation

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az par afait ?comment cela depend

dilatation ou cette contraction.

d’un matériau que l’on

lumineuse en foforme de sinuscardinal= 1DUn ecran est place a

) =z, t(P

00 cm soumise a une onde,= 4e= 60λde longueur d’onde

Effet optique d’une onde m

Lyon - Cachan -Planche 3

PV=TBNkMontrer que2.

νOn definitefinit le viriel par1.

ϕavec un potentiel de paireparticules dansNOn considere

uscardinal carre. Expliquer et proposer une0m du dispositif et on observe,= 10

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%) cosωtcos(1P+P0P0) =

onde mécanique de pression du type00 nm traverse une cuve remplie d’eaumécanique. Un faisceau laser de diam

- Rennes

B/k)r(ϕ−e−1#

2r

"

0

∞+"

0V

2TNBπk2−PV

= 0ν+CE. Montrer que 2i.riF−→

i

!=

edesigne la distance entre deuxr) our(ϕa, a la teVdans une enceinte de volume

(9)physique ?9) Y a-t-il des cas

? que vaut-il pTde8) Qualitativement,

7) D’ou v nient cette

Quel est la puissancement la forme d’énergie6) C’était un modelel

(La particule n’a pasvol⟨⟨5) Calculer ce

21=EpEppotentielle

4) On prend le cas

selon que le gaz est

une application.une intensite

u, d’epaisseur0mm,,amètre 2

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TB

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particules.,Tmperature

cas ou il diminue ? Y a-t-il contradiction

(8)= 0 ?Tl pourtyp⟩⟩volume⟨⟨t, comment dans ce cas le

(7)puissance 6 pres de 0 ?

?(6)puissance de 1/r pres de 0energie potentielle due a l’interaction nentrele simple ou intervient une seule particu

as de taille) Y a-t-il une dilatation ou une. CommTtypique en fofonction de⟩⟩ume

presen⟩⟩volume⟨⟨. Comment definir le2kx

d’une particule a une dimension. Elle est

? Qu est-ce qu un ga(3)est aparfait ou pas

tradiction avec les lois de la

pique varie en fofonction

tre plusieurs particules ?ule. Quelle est typique-

?(5)une ncontraction?Tment varie-t-il avec

?(4)αesent dans

est dotee d’une energie

az par afait ?

sont inconnues.aet0nuouOn a une fibre optique donII)

Quelles sont les équations duB3) On impose un champ

qui est aussi un plan de sym2) On considere que l’on a1) Quelles nsont les consequences

x, y,(VOn a un potentielI)

Planche 5 Lyon, Cachan,

calculer les equations cartési

) =x, y, z(USoit le potentiel

c’est impossible avec un champOn cherche a pieger une particule

Lyon - Cachan -Planche 4

) =z(ndont l’indice varie selon la cote :du mouvement ?

. On abandonne un electron dOzselonymetrie. Quelles sont les consequences sur

une symétrie cylindrique infinie, avec lb,auences des equations de Maxwell sur

qui regne dans l’e2cz+2by+2ax) =, z

Abordable en Sup)III)II[han, Rennes

esiennes du mouvement de la particule.

) qui depenωt) cos(2z2−2y+2x(c2z4

V0V0) =

hamp statique.particule a l’aide d’un champ electriqueelectrique :

- Rennes

=T= 0 etTpourEtudier commen´13)

moR12) Quel est le

a un seul batonnet.11) Quelle est l’éner

nComment caractéri

de la force de pression.autant qu’on veut).accroches les uns aabatonnets (en fait des

en un assemblage de10) On prend main

phy q

)2az−(10n) =

n dans l’espace.?cetb,ar

)Oxyle plan (?cet

espace.

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nd du temps ;

: nmontrer que

(13).∞. JuTmoyen varie en fonction dexcomment ce

moyen d’un seulxmoyen en fonction du

(11).energie dont le systeme est dote ? Montrer que

eriser une configuration donnee de ces abat

pression.constanFLe dernier est soumis a une force

la suite des autres (il peut donc y avoirde normexedes vecteurs) colinéaires a

de polymeres. Un polymere est modeliselisemaintenant un matériau type caoutchouc, elastiqe

stifier qualitativemennt,

(12)seul abatonnet ?

ue l’on peut se ramener

(10)atonnets ?

tnstante, qui joue le oroleoir des rebroussements,

. Les batonnets sontae par une succession deelastiqelastique... qui consiste

Ly Ca han, RennesPlanche 7

unidimensionnelle (ion moleculaireec) Expliquer en quoi ce qui pr

.adeb) Discuter, a l’aide d’une resolutionea) Trouver les états propres

est la fonction de DiracδuouestmUne particule de masse

Lyon, Cachan, RennesPlanche 6

constants.(momentL

−→que les vecteurs

On a une particule de masseIII)

se passe-t-il ? Calculer l’equationOn fait rentrer un ayrayon lumineux

Rennes

par exemple).2+eculaire H

precedeede peut constituer un modeleele simple

esolutionesolution graphique, le nombre d’états lilies. Quelle est la condition de quantification

0.g >Dirac eta−x(δ[g−) =x(Vest dans un potentiel

Rennes

−L−→

∧p:=a, defini parat cinétique) et

−soumise a une force centrale enmmasse

uation de la trajectoire (en angle et en abscisse).lumineux dans la fibre avec un angle d’incidence UlmPlanche 10

simple de moleculeecule

es en fonctiontification ?

)]a+x(δ) +a

, sontrKmu−

Monntrer·2r

K−abscisse).

. Queαd’incidence

→i→

cad( h´ eierri en 23) poenil i ent

C

↑BC

D

!

!

dX

!!!!!!

Soit un plan incline et uneII). Comment tketωExpliciter

Comment peut-on resoudreesoudre.φ·χ=ψuouφ

l’equation de Sc ohrodinger que

Soit une particule quantique

= 0. Donner le champ eleV, `q−etqSoit deux chargesI)

Ulm, Lyon, CachPlanche 8

Donner l’allure asymptotiquenulle, et qui varie t eres vitede frottement (dont on rappvisqueux. Elle a un mouvemeOn considere une particule

Lyon, Cachan, RennesPlanche 7

une boule sur ce plan. Un petit chien est.moyz? DonnerCt trouver

) =z(φesoudre ? Chercher des solutions en

ue verifieerifie cette particule. Puis l’equation

−=Vqui evolue dans un potentielque

ctrique dans cette zone.l’une de l’autre. Trouver l’eqdaa distance

han, Rennes

.>2< xue dee par rapport aux caracteristiques du

F) et un foe force∥v∥πηaelle la norme : 6ment unidimensionnel et elle est soumis

dansρet de masse volumiqueade ayrayon

Rennes

trapp ?t-il a haute et basseQuelle est la probabilit

a l’oscillFaffichait

est le nombre deS

eReponse du system

a quoi sert l’ouvert

ordre de grandeur :changement est carest susceptible de s’ouvlongueur a vide nulle,

on a un zoomBEnemecanique en un sig

On s’interesse au

est en haut de

.kz−e·z·C

uation verifierifiee par

Donner·z4λ−

equipotentielle

u mouvement., de moyenneF

se a une foforcedans un fluide

pour uneffkbasse températures ? Exprimerprobabilite pour qu’une trappe soit ouverte ? F

(16)loscope, Que verrait-on ?

varient-t-ils aS, Fde trappes ouvertes.

(15)?Fme a une foforce

(14)ure de cette trappe ?

= 5nm.d= 10nm etX:racteri ese par une difference ener eg´tiques’ouvrir agrace a un c nhangement de forme

ulle, en paralleles.eles. Au bout de chacun de cesom des cils. On les modeliseelise par des ressorts

, on a une cellule ciAgnal electrique. Encomportement de l’oreille ninterne qui

n seul systeme ressort-Fermee ? Que se passe-

fixe ? Si onequilibreX

. On donne enµe de ∆forme d’une protéine. Ce

ces ressorts, une trappeet dekressorts de raideur

iliee de l’oreille innterne.transforme un signal

(10)Oui, si on s’arrange pour que(9)dilatation.

= 0, on est au miniTPour(8), et l’energie potentie3/ren 1

On a des particules neutres.(7)

C’est celle de VanVan der Waals.Waals(6)

On utilise le facteur de Boltzmann(5)C’est une longueur typique(4)

0, etα >,nRT=PVAvec(3)P

&

∂T∂V

%V1=α(2)

dans la solution.⊕Presence d’ions(1)

de la boule. En deduireeduire les dicelle-ci. Le petit chien reste toujours

Soit un plan incline et uneII)

que la pente a gauche du minimum soit plus

mum d’energie potentielle. La positionelle qu’acquiert le premier dipole soumiOn raisonne avec deux particules. Elles

ave12r

b+6r

aaals. On a le graphe du type

Boltzmann pour calculer la probabilite d’êt: en s’inspirant de la vitesse quadratiquepour un gaz quelconque, il faut prendre

solution.

diffefferentes forces en jeu.toujours au sommet de la boule. Décrire leune boule sur ce plan. Un petit chien est

plus faible en norme que celle a droite du

quadratique moyenne augmente d’apreE·βis au champ cree par le second est

Elles nsont neutres mais polarisables avec un

0.b >0 eta <ec

etre en une position donneequadratique moyenne (expression a justifier rapidemen

prendre en compte les interactions entres particules.

trappe ?le mouvementest en haut de

du minimum. C’est le cas de l’eau, par exemple.

, augmtotE, doncTes le graphe, quand.6/rdonc en 1E

. On sait que les dipoles electrEchamp

nement) on a de meme la position quadratiqueparticules.

exemple.

0 :α >mente, et donc

riques creent un champ

quadratique moyenne.

L’officiel de la taupe numer

en fonctionSIndication : exprimer(16)Indication : on est dans un flui(15)Indice : on est entoure d’un(14)

moyen vaut 0. QuestionR,∞=TOn trouve avec les facteurs(13)

moyen).x(n=RC’est(12)Eet on prendcEOn negligeeglige(11), .1uIl faut prendre la suite ((10)

22ro

fonction de la température du fluide.fluide, et a cette echelle de taille, les frottemenliquide.

Question : pourquoi 0 ? Le candidat : parceK/moyen est en th(xde Boltzmann que

ed´signe l’extension deRuouR·F−=EpEp

a±=iu) de vecteurs, de l oa formen, ..., u

45Page

nottements l’emportent largement.

parce que l’entropie naugmente.= 0, c’est la configurationT). PourK/T

e tout l’ensemble. On se ramene a un ba.xae

Editions Officiel de l´MMXV⃝c⃝

n la plus stable et l’extension est maxim

atonnet par lineari ete.

la aTaupe Gyroscope

. Poura·nmale egale a


ANNÉE DE CRÉATION 1984DIRECTEUR DE L’ÉCOLE JY CHENEBAULT

STATUT Établissement publicHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur (CTI)

Labélisé EURACE

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE Concours Communs Polytechniques (MP-PC-PSI-PT-TSI)Sur dossier, tests et entretien pour DUT, L3 et L2 renforcé

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ENSI PoitiersÉcole Nationale Supérieure

d’Ingénieurs de Poitiers1 Rue Marcel Doré, Bâtiment B1, TSA 41105

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www.ensip.univ-poitiers.fr — [email protected]

RESPONSABLE DU CONCOURS Secrétariat des Concours Communs PolytechniquesNOMBRE DE PLACES EN 2015 102

VOIE ÉNERGIE MP :17 ; PC : 17 ; PSI : 20 ; PT : 6 ; TSI : 4VOIE EAU et GÉNIE CIVIL MP : 6 ; PC : 21 ; PSI : 7 ; PT : 2 ; TPC : 2

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2015 95DATE DU CONCOURS 2016 d’avril à juillet 2016 (Concours Communs Polytechniques)

Concours GGE : BCPST : 15

ACTIVITÉS PARALLÈLES Plus de 40 clubs et associations Association des Anciens de l’ENSIP : AAEE Associations des élèves : bureau des élèves, bureau des sports, ... Junior-entreprise HELIOS

AUTRES DIPLÖMES Masters et doctorats dans les instituts et laboratoires de recherche del’École Master international Turbulence

LOGEMENT DES ÉLÈVES Résidences du CROUSTYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur, bourses de mobilité

FRAIS DE SCOLARITÉ 2014/2015 610€ + Sécurité Sociale Étudiante 215€ + Médecine Préventive 5,10€

L’ÉCOLE

ADMISSION


FORMATION



Page 46

PARCOURSDE LA VOIE EAU et GÉNIE CIVIL

PARCOURS DE LA VOIE ÉNERGIE

Articulée autour d’un tronc commun « École » fort (1085 h) favorisant lapolyvalence des diplômés, la structure des diplômes est complétée pardes enseignements de spécialité communs à chacun des parcours (648h), puis par des contenus destinés à la formation d’ingénieurs spécialistes(550 h). Dans chaque diplôme, les élèves ingénieurs reçoivent donc envi-ron 76 % d’enseignement destiné à la formation d’ingénieurs généralistes.Les trois secteurs d’activité les plus concernés par le 1er emploi sont (parordre décroissant d’importance) l’énergie, le BTP construction et lessociétés d’études et de service.

Les 2 diplômes se déclinent en 5 parcoursConstruction et Géotechnique (CG)Traitement des Eaux et des Nuisances (TEN)Éclairage Acoustique Thermique (EAT)Énergétique Industrielle (EI)Maîtrise de l’Énergie Électrique (MEE)

En 2012, 38 accords d’échanges et de partenariat avec des universitésétrangères tant aux États-Unis qu’au Canada, en Europe ou en Chine...



ENSIP_FT_V7:ENSIP_FT 8/11/15 23:25 Page 1

ENS − PC

Planche 11I) Presentez les hypotheses de l’acoustique. Justifier en particulier les approxi-mations en comparant les ordres de grandeurs des quantites en jeu.II) Pour un gradient de temperature donne, a quelle condition sur ce gradientl’atmosphere est-elle stable ? C’est-a-dire (apres discussion avec le jury), a quellecondition sur

−−→grad (T ) une particule de fluide que l’on deplace de dz retourne-t-

elle ⟨⟨automatiquement ⟩⟩ a son altitude d’origine ? On peut faire, les hypothesesd’une atmosphere stratifiee constituee d’un gaz parfait a l’equilibre chimique,de l’egalisation instantanee des pressions et d’une transformation adiabatique(transfert thermique lent devant le transfert de travail) reversible (on neglige laviscosite du gaz) pour la particule de fluide.

Planche 12Un recipient cylindrique (ou parallelepipedique pour les applications numeriques)contient de l’huile en-dessous et de l’eau au-dessus, l’interface etant horizontale ;selon un parametre a determiner en fonction de constantes, determiner la condi-tion d’equilibre du systeme.

Ecole polytechnique − ENS Cachan − PSI

Planche 131. On modelise une chaıne d’atomespar une suite (xp) de points alignes,equidistants de a a l’equilibre. xp−1xp−2 xp+1xp xp+2

aetc.etc.

−→−→−→−→−→−→−→−→ aa a

Chaque atome xp se deplace a la vitesse vp et la force d’interaction entre atomesest donnee par F = −kx ou x represente l’allongement rectiligne.Donner l’equation du mouvement.2. Dans une modelisation en 3 dimensions,on note nv le nombre d’atome par unite devolume, constitue de lignes juxtaposees, iden-tiques a celle decrite en 1. On coupe le volumepar un plan Π, de surface A, perpendiculaireaux lignes d’atomes.A droite de Π, les atomes subissent un depla-cement δa.Donner l’expression du deplacement relatif desatomes, note S.

(Π)

Quelle est la force F exercee par la partie droite du volume sur la partie gauche ?Quelle est la pression T associee ? Montrer que T peut s’ecrire T = CS et onprecisera l’expression et l’unite de C.Dans une modelisation continue, on note ρ la masse volumique ; quelle estl’expression de S ? Appliquer le PFD a une tranche fine ; quelle equation obtient-on ? Quelle est la vitesse de propagation ?3. On modelise une chaıne de molecules par une suitede points alignes, alternativement de charge +q et −q,avec une distance a1 entre une molecule de charge −qet une de charge +q et une distance a − 2 = a − a1entre une molecule de charge +q et une de charge −q,au repos.

q+

−→−→−→−→−→−→a1 a2a2

−q q+ −qk2 k1

Les constantes d’interaction, k1 et k2, sont differentes suivant la distance.On applique un champ E ; determiner δa1 et δa2 en fonction de δa.On reprend, avec ces chaines, la modelisation en 3 dimensions de la question 2. ;on notera que les molecules n’etant pas equidistantes, cela induit un decalage :les molecules ne sont pas ⟨⟨en face⟨⟨alors que les atomes l’etaient.Quelle est la force F exercee par la partie droite du volume sur la partie gauche ?Quelle est la pression T associee ? Montrer que T peut s’ecrire T = CS − eE (onpourra remarquer qu’une tranche plus longue a plus de chance d’etre coupee parΠ.Modelisation continue : on applique une tension U0 a une tranche de longueur d ;calculer δd.

Planche 14On considere un tuyau de revolution, d’axe (Ox) et de surface transverse variableS(x). On note µ la masse volumique du fluide, p sa pression et v sa vitesse. Onest dans l’approximation acoustique. Lorsque le fluide est au repos, on note µ0 samasse volumique et p0 sa pression. On introduit µ′ = µ− µ0 et p′ = p − p0. Aurepos, la vitesse du fluide v0 est nulle.A − Etude du cas general1. Rappeler les conditions d’application de l’approximation acoustique.2. Demontrer que le fluide satisfait au systeme d’equations suivant :

χS(x)∂p

∂t+ ∂

∂x(S(x)v) = 0

µ0∂v∂t

+∂p

∂x= 0

3. Donner une signification physique a χ.

4. Determiner les equations en p et en v. On posera c2 = 1µ0χ

· Que represente

c ?B − Pavillon exponentielOn considere un pavillon exponentiel de surface variable S(x) = S0e2mx avec S0et m des constantes.1. Montrer que p et v satisfont a la meme equation.2.On cherche, en notation complexe, des solutions de la forme : v(x, t) = V (x)eiωt.A quelle equation satisfait V (x) ? Quelles sont les formes de solution selon lesvaleurs de la pulsation ω. A quelle condition sur la propagation est-elle possible ?Introduire une pulsation de coupure ωc.

3. Preciser la relation de dispersion. On se limite, par la suite a une propagationvers les x > 0. Definir et obtenir la vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupe vg .4. Relier p a v. En deduire leurs notations reelles si l’on convient d’une phasenulle pour v(0, 0).

5. On rappelle que e = 12χp2. Calculer les densites volumiques d’energie cinetique

⟨ec⟩, potentielle ⟨ep⟩ et mecanique ⟨em⟩. En deduire l’energie mecanique moyennede la tranche d’air qui, au repos, est situee entre x et x + dx. Determiner lapuissance moyenne ⟨P ⟩ fournie au niveau de l’abscisse x au repos, par le gazde gauche au gaz de droite. Deduire la vitesse de propagation de l’energie et lacomparer a vg . Commenter.6. Application numerique. c = 340m.s−1. Calculer m pour que la frequence decoupure soit fc = 50Hz. Quelles sont les vitesses de phase et de groupe pourf = 100Hz ? A partir de quelles frequences sont-elles egales a c a 1% pres ?

Ecole polytechnique − MP

Planche 15On prend un potentiel infini pour x < 0, nul entre 0 et a, et fini egal a V0 pourx > a. La question est de determiner une condition sur la particule pour qu’ellesoit dans un etat lie.

Planche 16

on considere deux dipoles elec-trostatiques, dans un meme plan,qui ont la possibilite de tournerautour d’axes, un pour chaquedipole, perpendiculaires a ce plan :trouver les positions d’equilibre.

p12

2θ1θ

d

p

Planche 17 [Abordable en Sup ]

Une spirale de pas h (de parametrage r(θ) = θ2π

h) comportant N >> 1 tours

(donc θ ∈ [0, N · 2π]) est reliee a un voltmetre entre ses deux extremites. Elle est

soumise a un champ normal au plan de la spirale B = B0 cos(ωt)uz .1. Determiner e(t).2. Quelle est l’utilite de ce dispositif ?3. Que se passe-t-il si la spirale a une forme helico-spirale de pas p (z(θ) = z

2π·p) ?

Planche 18On a une sphere de rayon R elastique et deformable. Quand on appuie dessus,

elle s’enfonce d’une epaisseur δ. On donne la loi de la force F (δ) = 4πa2ε δa . a

designe le diametre du disque ⟨⟨d’ecrasement ⟩⟩ qui est la section de la sphere avecle plan du sol ; ϵ est un module d’elasticite d’Young et s’exprime en GPa.1) On enfonce de δ0.a) Prevoir ce qui se passe.(17)

b) Commenter l’expression de v obtenue.2) Quelle est la duree pendant laquelle la sphere passe de l’enfoncement δ0 al’enfoncement 0 ?(18)

3) Expliquer pourquoi ε est d’un ordre de grandeur si important (en GPa),dans le cas particulier suivant. On considere une barre elastique fixee con-tre un mur et on tire juste sur la derniere couche d’atomes. On modelisela couche par une juxtaposition de cubes de cotes r0 au repos et les coinsdes cubes sont occupes par les atomes qui suivent un potentiel de la formeV (r) = V (r0)+V ′(r0)(r− r0)+V ′′(r0)(r− r0)2. Estimer la valeur de ε, sachantque la force est donnee par une loi similaire : F (δ) = 4πε.l0δ ou l0 est la longueurde la barre et δ encore l’allongement (r − r0).(19)

4) Tracer le graphe typique des energies potentielles entre particules.(20)

Planche 19Dire tout ce qu’il est possible de dire a proposd’une particule placee dans un puits de potentielinfini de largeur a.Deux puits de potentiel infinis de largeur a sontrelies par une barriere de potentiel V0 > E.Donner, sans calcul, la valeur du fondamental parrapport au precedent.Calculer la fonction d’onde.

E

x

ab

V0

a

Planche 20Un dipole magnetique est repere par son moment magnetique m, que l’on supposeproportionnel au moment cinetique.Quel est le mouvement de m dans un champ uniforme B = B0ez ?On rajoute un champ B1 tournant autour de l’axe ez a la vitesse ω ; on a doncB1 = B1 cos(ωt)ex +B1 sin(ωt)ey . Quel est desormais le mouvement de m ?

Planche 21 [Abordable en Sup ]On considere une voiture dont la masse est malrepartie. Ce qu’on modelise avec trois massesde masse 3m, 2m et m repartie sur une tigeindeformable aux extremites de laquelle on adeux ressorts de raideurs distinctes.1. Oscillations du systeme si la tige est astreintea rester a l’horizontale.2. Oscillations du systeme lorsque la tige peutosciller, les ressorts restant verticaux.

k,

3m

2 ℓ0k, ℓ0

m2m

(17) Raisonner energetiquement. Calculer la vitesse a laquelle ca repart du sol en calculant l’energie potentielle accumulee dans la sphere grace a la force de l’operateur. Il

s’agit de calculer

!F (δ)dδ, en faisant attention a ce que a est une fonction de δ.

(18) Utiliser que dt = dzv(z)

et integrer.

(19) Le travail de la force pour tirer vers soi la derniere couche de la longueur r− r0 est egal a la somme de toutes les energies potentielles elementaires accumulees par les n

cubes de la couche, qui se calcule avec V . Estimer ensuite V ′(r0) = 0 et V ′′(r0) ≈V (r0)

r20·

(20) C’est le graphe type Van der Waals (mais ici ce sont des solides) et V (r0) est de l’ordre de l’electron-volt. ε ≈ 1010 Pa.



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Planche 22On considere l’onde E(M, t) = E0 exp[i(kz − ωt)](ux + iuy), ou i est le nombre

complexe et ω la pulsation. E, ux, uy sont des vecteurs).1. Determiner la polarisation de l’onde.2. L’onde interagit avec un electron lie a un noyau fixe. L’electron est repere parson vecteur position r et il est soumis a 2 forces : une force de rappel elastique

f = −mω20 r et une force de frottements en − 1

τ m ˙r (ω0 pulsation, τ est homogene

a un temps et m est la masse de l’electron).Determiner la puissance moyenne cedee par l’onde a l’electron.

Planche 23 Chimie [Abordable en Sup ]

On donne ci-contre l’allure du diagrammepotentiel-pH du mercure :1. Placer les especes Hg(s), Hg2+(aq),

Hg2+2 (aq) et HgO(s).2. Pourquoi l’oxyde de mercure apparaıt-il et pas l’hydroxyde de mercure ?3. On donne la reaction suivante :HgO + H2O = Hg2+ + 2HO−

Calculer K0 et nommer la reaction.4. En deduire l’equation de la frontiereentre B et D.5. Pour maintenir le pH a 1, quel acidefaut-il utiliser ?

!

"

#

$

%&! " #

$%&

$%'

'

6. Une pile est constituee deHg(I) /Hg2+2 (10−3 mol · L−1 ) / / Hg2+2 (10−2 mol · L−1 )/Hg(I)

Calculer la fem de cette pile.7. Quand on ajoute de la soude jusqu’a pH = 13, on obtient du mercure Hg ; direqualitativement ce qui s’est passe.

Planche 24 Chimie [Abordable en Sup ]Pour augmenter la qualite de surface d’une piece en acier, on desire recouvrircette piece d’un alliage cuivre-zinc (laiton). Une methode pour realiser ce codepotde deux metaux est la reduction d’ions cuivre et zinc, en solution aqueuse,directement sur la piece metallique.

Donnees : RTF

ln 10 = 60mV/pH ; E(O2(g)/H2O

)= 1,23V ;

E(Cu2+

(aq)/Cu(s)

)= 0,34V ; E

(Cu+

(aq)/Cu(s)

)= 0,52V ;

E(Zn2+

(aq)/Zn(s)

)= −0,76V ; E

(H+

(aq)/H2(g)

)= 0,00V ;

pKd[Cu(CN)3]2− = 28,6 ; pKd[Zn(OH)4]2− = 17,7 ; pKa

(HCN/CN−

)= 9,3

1. Questions de cours a foison sur les potentiels de demi-equations mettant en jeules couples precedents en fonction du pH.On realise le montage represente ci-contre. La solution est a pH=1.2. Quel doit etre le signe de la f.e.m.E du generateur pour que la piece serecouvre de metal ? Justifier.3. Quelles sont les reactions susceptiblesd’avoir lieu a l’anode ? A la cathode ?4. On augmente progressivement |E| apartir de la valeur nulle. Determiner laplus petite valeur de |E|min pour laquel-le il y a un depot. Meme question pourun depot de (Zn + Cu).

Quelle est la reaction parasite qui a lieu ? Quelle consequence cela engendre-t-il ?On considere maintenant le couple Cu20/Cu+ de Ks = 10−30.5. Quel type de couple est-ce ? Qui est l’acide et qui est la base ?6. Quelle est la solubilite s de Cu20(s) dans une solution aqueuse a pH=14 ?On se place maintenant dans un milieu cyanure.7. β3 etant donne, reaction de Cu2O en milieu cyanure, solution basique (pH=14)de cyanure de sodium NaCN.8. Ecrire la reaction de dissolution de Cu2O(s) dans la solution d’ions cyanure.

Calculer la valeur numerique de la nouvelle constante d’equilibre K′s et com-

menter.9. Ecrire la demi-equation redox entre ces deux especes, en solution cyanuree.Deduire des donnees le potentiel standard E de Cu(CN)2−3 /Cu et calculer savaleur numerique.

Ecole polytechnique − ESPCI − PC

Planche 25 [1. Abordable en Sup ]1. On considere un cylindre horizontal, de rayon R, d’axe Oz et de momentd’inertie J par rapport a Oz. On enroule une ficelle de masse negligeable sur cecylindre. On accroche une masse m au bout du fil. Calculer la vitesse de rotationω acquise par le cylindre lorsque la masse est descendue d’une hauteur h.2. Le cylindre est maintenant considere comme isolant. On place des charges a sasurface. La charge totale du cylindre est maintenantQtot. Comment le mouvementest-il modifie ?

Planche 26

Un courant circule dans l’espace avec une densite ȷ =

si x ! 0 : ȷ = 0si x > 0 : ȷ = j0e−x/auz

Determiner le champ magnetique dans tout l’espace, y compris les constantes.

Planche 27 Chimie

I)

O O

O + Ph−NH−NH2APTS−→

OHN

Ph

N

Proposer un mecanisme.

II)

⎧⎨

⎩1.Fe|Fe(OH)2s

∣∣∣BaSO4

∣∣∣HgO|Hg; E(Fe2+/Fe) = −0, 44V

2.Pt|H2

∣∣∣BaSO4

∣∣∣HgO|Hg; E(Hg/HgO) = 0, 85V

a. Identifier l’anode et la cathode de chaque pile et donner les equations bilans.b. La f.e.m depend-elle du pH de la solution ?c. Prevoir l’evolution de la f.e.m :- au fur et a mesure que la pile debite ;- en fonction de la temperature.

Planche 28 Chimie

I) Une lame de platine trempe dans une solution aqueuse de Mn2+ et MnO4−

equimolaire a pH=0 et 298K. Donner la reaction et sa constante.Tracer la courbe intensite/potentiel.La reaction est spontanee mais lente, pourquoi ?Ou est-on, sur le diagramme, lorsque le systeme au repos ? Definition et proprietesdu potentiel mixte. Peut-on calculer numeriquement ce potentiel ?Donnees : E(MnO4− /Mn2+) = 1,51V, couple lent sur le platine, surtensions de+0, 15V et −0, 15V ; E(O2 /H2O) = 1,23V, couple lent, surtension +0, 05V.II) Dosage par les ions iodure : donner la reaction, l’etat du systeme a la demi-equivalence et le trace du diagramme intensite/potentiel ; que remarque-t-on surla hauteur des differents paliers de diffusion ?

Concours Commun Mines-Ponts − MP

Planche 29 [I) Abordable en Sup ]

I) 1) Determiner la fonction de transfertdu filtre et ses valeurs caracteristiques.2) On alimente le filtre avec un signalcreneaux impair de frequence f = 1678Hz,donner la forme du signal de sortie.

R

C

L

ve vsL

Rappel : la forme de ce type de signal est e(t) = a0+

∞∑

k=1

an cos(nωt)+bn sin(nωt)

avec a0 = 0 an = 0 et bn = 2Enπ (1− (−1)n)

3) On alimente le filtre avec un signal triangle de frequence f , lisible sur lesgraphes fournies.

entree sortiee s

t t

entree sortiee s

t t

Donner, dans chacun des deux cas, les valeurs de Q et f0, et interpreter les alluresde la reponse.Donnees : Pour 1), les valeurs de R, L, C etaient donnees, oubliees par le candidatmais l’examinateur a fourni, apres le calcul de H, les expressions formelles de Q etω0 et les valeurs numeriques correspondantes, a savoir Q = 150 et f0 = 5033Hz.

II) On considere un champ electrique de la forme−→E = E0ej(ωt−kz)ex On admet

que les champs−→E et

−→B sont nuls dans un conducteur parfait. On donne les

relations de passage entre deux milieux 1 et 2 :−→E2 −

−→E1 = σ

ε0n1/2 ;

−→B2 −

−→B1 = µ0j ∧ n1/2 ; µ0j = n1/2 ∧ (

−→B2 −

−→B1)

1) On place un conducteur parfait en z = 0. Montrer que les relations de passage

pour−→E impliquent l’existence d’une onde reflechie et donner son expression.

2) Qu’en est-il pour−→B ? Donner la nature de l’onde totale.

3) Montrer que ωk

= c

On ajoute un conducteur parfait en z = −L4) En introduisant un entier N , determiner quels types d’onde peuvent exister.

5) Qu’impliquent les relations de passage pour−→B ?

6) Quelle est la puissance moyenne traversant une surface z = cste ?Le candidat disposait au cours de l’epreuve d’un dossier comprenant les formulescanoniques des differents filtres du programme (1er et 2nd ordre) ainsi que lesrelations de composition des operateurs vectoriels.

Planche 30

I) La gaine interieure pleine, de rayon R1, ducable coaxial de hauteur h represente ci-contre, estparcourue par un courant I genere par un courantvolumique j1 = j1uz .L’armature cylindrique de rayon R2 et d’epaisseure, contenant la premiere gaine, est parcourue parun courant volumique j2 = j2uz . On negligera leseffets de bord ainsi que l’energie electromagnetiquestockee dans les zones ou 0 < r < R1 etR2 < r < R2 + e.1. Determiner le champ B(r, θ, z) en tout pointde l’espace en fonction de I, e, R1, R2 et autresconstantes necessaires. Tracer l’allure du graphede B.

←

R2

h

g

I

R1

E

R

2. Determiner l’energie electromagnetique stockee dans le cable coaxial.Quelle est alors son inductance ?II) a l’interieur d’un asteroıde spherique de rayon R, compose d’un materiauhomogene, de conductivite thermique λ, des processus radioactifs generent unepuissance volumique α. La temperature a la surface de l’asteroıde est Ts. On seplace en regime stationnaire.1. Determiner la temperature a l’interieur de l’asteroıde.2. Application numerique : on donne les valeurs de λ, α, Ts et la temperature defusion de l’asteroıde. Entre-t-il en fusion ?



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HEI_PC:HEI 09/11/2015 23:20 Page 1

Planche 31I) Un cable coaxial, d’axe Oz, de longueur H grande devant son rayon, est formed’un cylindre plein conducteur, de rayon R1 et d’un cylindre creux d’epaisseurnegligeable, de rayon R2 > R1. Un courant i circule uniformement selon uz dansle cylindre interieur, et uniformement selon −uz en surface du cylindre exterieur.Calculer le champ magnetique B en tout point de l’espace.Calculer l’inductance propre lineique L du systeme.On suppose l’intensite variable, de la forme i = I

√2 cos(ωt − kz) et que

l’expression trouvee pour B reste valable.Calculer E dans l’isolant (entre les deux cylindres) et etablir la relation dedispersion.II) Le schema ci-dessous represente une experience d’interferences par trousd’Young.

O

f′1

2a

L1 L2

M

ecran

f′2

x

F1

Donner l’expression de I en tout point de l’ecran.On utilise maintenant une source etendue de largeur 2b ; determiner I en toutpoint de l’ecran.Utiliser le critere de brouillage.

Planche 32 [I)Abordable en Sup ]

I)a. Donner la fonction de transfert de ce filtre, ainsi queses caracteristiques. Quelle est la nature de ce filtre ?b. Tracer les diagrammes de Bode asymptotique en gainet en phase. Expliciter le diagramme reel pour Q = 5.c. Expliquer l’interet d’un tel filtre en TP.d. Donner la fonction de transfert et le diagramme deBode en phase d’un filtre dephaseur de gain = 1.

i ≃ 0R

C

Lve vs

II) On considere une enceinte thermostatee a T1 = 373K et de volume V1 = 10L,initialement vide. On introduit une masse m = 0, 010 kg d’eau liquide a latemperature T1 et a la pression P = Patmosphere.a. Decrire, en le justifiant, l’etat final.b. On donne ∆hvap = 2, 3.103 kJ.kg−1 a T1.Determiner le transfert thermique echange, recu par l’eau.c. Donner la variation d’entropie.

Planche 33I) Cours. Etude des reseaux par transmission (formule des reseaux, intensite avecN fentes).II) Exercice. On considere une boule de rayon R, qui est un conducteur parfait,que l’on porte au potentiel V0. On prendra l’origine des potentiels nulle a l’infini1) Determiner la charge interieure a l’instant initial. En deduire la densite decharge surfacique.2) On note γ la conductivite de l’air. On ouvre l’interrupteur qui permet demaintenir la boule au potentiel V0. On suppose que l’air reste neutre a toutinstant. Determiner Q(t) et introduire un temps caracteristique.

Concours Commun Mines-Ponts − PC

Planche 34 [I) Abordable en Sup ]I) Question de cours : polarisation rectiligne de la lumiere. Loi de Malus.II) Pour passer la nuit, un inuit veut construire un igloo fait d’un mur constituede neige compactee de 4m2 de surface (la neige compactee est un bon isolant deconductivite thermique λ = 0,25W.m−1.K−1).1) Exprimer la resistance thermique des parois de l’igloo en fonction de l’epaisseurde la paroi, e.2) Pendant son sommeil, l’inuit degage 0,5MJ de chaleur par heure. Exprimerla puissance de l’inuit en tant que source de chaleur dans les unites du systemeinternational.3) Pendant la nuit, quand le feu a l’interieur de l’igloo s’est eteint, la temperatureinterieure est Tint= 20 o

¯C, tandis que celle a l’exterieur est Text = -40 o¯C. Si la

conduction thermique a travers les murs de l’igloo est le facteur dominant dansles pertes thermiques, quelle est la valeur de e pour que l’interieur de l’igloo nese refroidisse pas ?4) En fait, l’epaisseur est trop importante. Faire le bilan thermique en spherique.Trouver Rth en spherique en fonction des rayons interieur et exterieur de l’igloo,demi-spherique. Etude de la limite si e << Rint.

III) Analyse dimensionnelle : R = h2

e2avec e = 1,6.10−19 C

Planche 35I) Questions de cours :− Ordre de grandeur de la conductivite γ d’un metal. Quelle est sa dimension enLongueur-Masse-Temps-Intensite (ou MKSA) ?− Loi d’Ohm locale, puissance electrique locale ; pourquoi l’eclairement ne depend

que de−→E ?

− Effet Hall ; a quoi sert-il ?− Formules de Fresnel ;− Dualite onde-corpuscule.II) Dans un repere plan (O, ux, uy), on dispose deux charges fixes +q en (0, a) et−q en (0,−a). En negligeant la pesanteur, etudier le mouvement d’une charge q′

evoluant dans le plan a une distance r >> a.On suppose maintenant que le mouvement est circulaire (r est constant en fonctiondu temps). Que cela entraıne-t-il sur les equations du mouvement ?On obtient l’equation d’un type d’oscillateur. Quelle est sa periode ?

Planche 36

1) Un bateau est dans un lac ferme. Le marin decide de jeter l’ancre. Commentle niveau d’eau est-il affecte ?2) Il y a un trou au niveau de la cale. Comment varie le niveau d’eau pendantque le bateau coule ?

Planche 37

I) Dans le modele de l’atmosphere isotherme, donner l’expression de la pressionatmospherique. Donner un ordre de grandeur de la longueur caracteristique,commenter. Que vaut l’energie potentielle moyenne d’une molecule d’air ? Lacomparer avec l’energie cinetique.

II) Soit un cable coaxial forme de deux conducteursparfaits (les surfaces grises dans le schema) separespar du vide (le blanc). Le premier conducteur parfaitest un cylindre de rayon a, le second conducteurcommence a partir du rayon b. On se place dans lescoordonnees cylindriques, et on donne l’expressiondes champs electrique et magnetique resultants de

la propagation d’une onde :−→E = E(r) ei(kz−ωt)er,−→

B = B(r) ei(kz−ωt)eθ.

b

a

De plus on donne les relations de passage au voisinage d’un conducteur parfait :−→E2 −

−→E1 = σ

ϵ0next,

−→B2 −

−→B1 = µ0 j ∧ next.

1) On pose E(a) = E0. Que vaut E(r) ?2) Que vaut B(r) ?

3) Que valent la densite de charge surfacique σ et la densite de courant j ?4) Determiner l’equation de conservation de la charge dans le cas a une dimensionavec un cylindre charge en surface, on supposera cette relation vraie dans cetexercice, et en deduire une relation entre ω et k. Donner la vitesse de phase del’onde.Quel signal obtient-on au bout du cable lorsqu’on en envoie un signal creneau ?

Planche 38

I) Question de cours : Premier et deuxieme principes de la thermodynamique pourun systeme ouvert pour un ecoulement en regime permanent unidimensionnel.II) On prend une corde de longueur 2L fixee a ses extremites. En L on place unemasse M et on note y1(x, t) le mouvement transverse de la corde pour x entre 0et L et y2 celui entre L et 2L.1. Donner deux relations entre y1(L, t) et y2(L, t).2. Determiner les modes ω de la corde quand sin(ωL/c) = 0 et quandsin(ωL/c) = 0.3. Le mouvement peut il etre periodique ?

Planche 39

On considere un barrage de hauteur h >> ℓla longueur du tuyau d’evacuation, de sec-tion s. On s’interesse au regime transitoirede l’ecoulement une fois la vanne ouverte.On considere que la vitesse est uniformedans le tuyau. Ce dernier est incline d’unangle θ par rapport au barrage. Le fluideest considere parfait et incompressible.1. Determiner l’acceleration du fluide etmontrer que la pression varie lineairement.2. Que vaut la pression en A ?

↑θ

ℓ

h

gA

s

Vanne

Barrage

3. Montrer que l’acceleration peut se mettre sous la forme a = a0 − f(v) ou fest une fonction de la vitesse v et a0 une constante dependant des parametres duprobleme (h, ℓ, g, etc.)4. Determiner la vitesse v(t) dans le tuyau.5. Applications numeriques pour differentes valeurs de de h, ℓ et θ. Approxima-tions du probleme ? Commentaires ?

Concours Commun Mines-Ponts − PSI

Planche 40I) Le ressort est fixe est oscille. La cordeest attachee a une extremite au ressortet a l’autre au point (L, 0). Le ressort estde raideur k et de longueur a vide ℓ0.1) Determiner l’equation differentielleverifiee par y(x, t).2) Determiner les modes propres, enposant : y(x, t) = Y (x) cos(ωt) L

0k,ℓ

O

x

0ℓ

y

II) 1) Determiner le potentiel V , ainsi quele champ electrique E, pour tout z.2) Determiner la densite surfacique decharge σ sur l’armature du haut.3) Donner un moyen experimental dedeterminer la densite volumique de chargeρ dans l’armature du bas.

h0

ℓ

ρ

σ

Planche 41

I) Question de cours : Electromagnetisme dans le cadre de l’ARQS (le candidatrestitue ce qui lui semble a propos).II) On considere l’ecoulement permanent,incompressible et homogene selon l’axe(Ox) de deux fluides non miscibles entredeux plans infinis, chacun sur une hauteurh, de masses volumiques µ1 , µ1 et vis-cosites dynamiques η1, η2 .On impose les pressions : p(0) = p0,p(L) = pL. Determiner le champ desvitesses pour les deux fluides.

x

0

h2

L



Le tronc commun généraliste du cursus garantit la polyvalence des ingé-nieurs EIGSI. Il s’organise autour des enseignements de 5 départements :Sciences Fondamentales de l’Ingénieur, Mécanique et Énergétique, Élec-trique, Informatique et Automatique, Organisation et Managementd’Entreprise, Humanités et Connaissances Organisationnelles.

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STATUT Privé — Reconnue par l’étatHABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur

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EIGSI La RochelleÉcole d'Ingénieurs généralistes

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L’ÉCOLE

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Page 52


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EIGSI_FTv7:EIGSI 13/11/15 16:28 Page 1

Planche 42

Vous etes un plongeur et vous avez decouvert un tresor a 30 metres sous l’eau surun sol rocheux. Vous plongez avec un ballon de volume maximal de 20 litres pourpouvoir remonter le tresor. Vous gonflez le ballon pour sortir le tresor de l’eau.Quelle volume le ballon doit-il avoir pour faire decoller le tresor ?Est ce que vous allez pouvoir sortir le tresor de l’eau ?Masse du tresor : 30 kg ; volume du tresor : 15 litres.

Planche 43

I) On considere un condensateur a capacite variable. Il est constitue de deux demi-disques paralleles distants de e = 2mm. L’une des plaques est fixe, tandis quel’autre peut tourner autour de l’axe passant par son centre (du disque complet). Lerayon du disque complet est R = 2 cm. Lorsque la plaque mobile tourne d’un angleθ, La surface en regard des deux plaques, S0 varie et la capacite du condensateurfait de meme.1. Exprimer S0(θ = 0, lorsque la plaque mobile est parfaitement en face de l’autre.2. Exprimer alors la capacite du condensateur dans cette situation, en fonctionde R, e, ε0 et εr.3. On fait tourner la plaque mobile de θ. Quelle est la surface S(θ) de la portiondu disque mobile qui n’est plus en regard du disque fixe ?4. Quelle est alors, dans cette nouvelle position, la capacite C(θ) du condensateuren fonction de C0, R, e, ε0, εr et θ. En deduire l’expression de C(θ) en fonctionde C0 et θ.5. Le condensateur de capacite C0 porte une charge initiale Q0. La tension decharge U0 reste inchangee. Exprimer l’energie emmagasinee W (θ). Comment variecette energie lorsque θ augmente.II) On etudie une corde metallique, donc conductrice, de masse lineique µ, ettendue par une tension T entre deux points fixe x = 0 et x = L. Au repos,cette corde se confond avec l’axe des x. Autrement dit, la masse de la cordeest nulle. Elle est parcourue par un courant I(t) = I0 cos(ωt) et l’ensembledu dispositif est plonge dans un champ magnetique stationnaire non uniforme−→B = B0 sin

!πxL

"uy . On s’interesse alors a la petite vibration de la corde selon

l’axe Oz, z(x, t).1. Rappeler l’expression de la force de Laplace auquel est soumis un element de

longueur−→dℓ = dxux.

2. Montrer que z(x, t) verifie l’equation de propagation z =I0B0

Tsin

!πxL

"cos(ωt).

3. En regime sinusoıdal force, on cherche des solutions de la forme

z = A sin!πxL

"cos(ωt). Calculer A et commenter.

Planche 44

I) Un champ B constant regne entre deux cylindres coaxiaux de longueurs h etrayons r1 < r2. On y place une densite volumique n d’electrons, chacun d’entreeux soumis a la force de frottement F = − m

τ v.

1. Montrer qu’en regime permanent E = ρj+RHB∧ j, on donnera une expressionde ρ et RH .

2. Montrer que E = Kr ur et determiner K.

3. Apres l’avoir definie, calculer la resistance du systeme.

II) On note φ le potentiel gravitationnel defini par g = −−−→gradφ.

1. Determiner φ pour une sphere homogene de masse volumique ρ et rayon R.

2. L’energie potentielle gravitationnelle d’un corps celeste est Ep = 12

###ρφdI ;

calculer l’energie potentielle gravitationnelle du Soleil.3. Donner la duree de vie du Soleil en supposant que sa mort sera due a uneffondrement gravitationnel.On donne :La puissance recue par m2 a la surface de la Terre P = 1kW/m2.L’angle sous lequel on voit le Soleil de la Terre α = 32′ d’arc.La masse du Soleil MS = 1, 989.1030 kg et son rayon 696000 km.

Planche 45

I) On modelise l’arbre bronchique comme un ensemble de branches : la premiere,la trachee, se divise en 2 branches plus petites qui se diviseront egalement en 2,etc.On appelle ⟨⟨generation ⟩⟩ un ensemble de branches de meme longueur et memerayon.Pour la generation 1, p = 1, longueur l1 et rayon r1.

A chaque generation, on multiplie par h < 1 les grandeurs caracteristiques.On a 25 embranchements et on considere que la loi de Hagen-Poiseuille est valable

pour les 16 premieres : Pe − Ps = RHDV , avec RH =8ηL

πR4·

L’air est considere comme un gaz parfait de viscosite η, et on est en regimepermanent. On pose X = 2h3.1. Determiner le nombre N(p) de branches a la generation p.2. Determiner rp et lp en fonction de r1, l1, h et p.3. Determiner le volume Vp d’une branche de la generation p en fonction de V1,h et p. En deduire le volume total Vpt de la generation p, puis le volume V del’arbre bronchique.4. Determiner la resistance hydraulique Rp en fonction de R1, h et p. Determinerla resistance hydraulique totale R.5. Montrer que V tend vers +∞ quand n tend vers +∞ pour h > hc, une valeurcritique que l’on determinera.6. Donner un ordre de grandeur de la difference de pression pour les 16 premieresgenerations, dans le cas d’une inspiration normale.II) Un cylindre infini de rayon R, uniformement charge, de charge volumiqueρ, tourne a la vitesse constante ω autour de son axe ; determiner le champmagnetique sur son axe.

Concours Commun Centrale-Supelec − MP

Planche 46

On considere 6 fils paralleles, disposes commeaux sommets d’un hexagone regulier, et situes aune distance a de l’axe (Oz), parcourus par uncourant d’intensite +I et −I alternativement.Question 1a) Determiner les proprietes de symetries et

invariances ; en deduire la valeur de−→B (0).

b) Quelle transformation geometrique permet depasser de A1 a A4 ? De (A1, A4) a (A2, A5) ?

x

y

a

O A1

A2A3

A4

A5A6

+I

-I+I

-I

-I+I

De (A1, A4) a (A3, A6) ?(21)

c) On dispose d’un document Python : le code est tape et l’image affichee. Celle-ci

represente les lignes de champ de−→B . Orienter les lignes de champ.

Question 2Pour r ≪ a, le champ a pour expression B =

−6B0r2

a2(sin(3θ)ex + cos(3θ)ey)

a) Verifier les resultats trouves en question 1a)b) Un neutron, de masse m, de moment magnetique µ, de norme constante et a

tout instant parallele au champ B, est plonge a proximite de l’origine. Determinerl’energie potentielle du neutron.A quelle condition le neutron est-il stabilise au voisinage de l’origine ?Dans ce cas, determiner l’equation du mouvement du neutron en coordonneescartesiennes en fonction de (X0, Y0), position initiale du neutron et de (V0x, V0y)vitesse initiale du neutron.c) Donner une condition sur ∥v∥ pour que le neutron reste piege et dans le cas ouil s’echappe determiner par ou il le fait.Question 3

Avec deux fils seulement, quelle est la norme de−→B sur la mediatrice des deux

fils ? Generaliser aux six fils.

Planche 47On considere une echelle a deux montants,chacun de longueur 2L et de masse m, relieesau niveau du sol par un fil de longueur 2L.Le moment d’inertie de chacun des montantsest J = 4

3mL2. On negligera toute force de

frottements.1) Montrer que la force qu’exerce un montantsur l’autre est horizontale. A t = 0, le fil romptet le systeme qui etait a l’equilibre se met enmouvement.

sol

z

yA

B

C

On admet le theoreme du moment cinetique barycentrique (TMC) : on peutappliquer le theoreme du moment cinetique en prenant pour origine le centre demasse du systeme, meme si ce point n’est pas fixe, et en projection suivant unaxe fixe dans le nouveau referentiel.

2) Determiner l’equation du mouvement de B a t = 0.(22)

3)On remplacer le fil par un ressort. Etudier, dans l’approximation des petitsangles.

Planche 48

Un faisceau homocinetique d’isotopesvenant de −∞ aborde une marche depotentiel modelisee ci-contre.1. Quelle doit etre l’energie des par-ticules du faisceau pour qu’une partiesoit transmise ? Quelle est la differenceavec la mecanique classique ? Expli-quer comment appauvrir le melange.

V( )x

0V

0x

2. On considere un etat stationnaire ψ(x, t) = ϕ(x)e−iE/ht. Donner l’equationverifiee par ϕ et determiner ϕ.

3. On definit j = |ψ|2 hm k. Determiner les coefficients de transmission et de

reflexion.

4. On considere un melange de 80% de 1 H et de 20% de 2 H (deuterium). Quellesera la proportion de deuterium apres appauvrissement ? Comment ameliorer lamethode ?

Planche 49 [Abordable en Sup ]Donnee : le diagramme d’etat du CO2,sans valeur numerique.1. Donner les structures electroniques del’oxygene et du carbone, puis ecrire leurstructure de Lewis et celle du CO2, sachantque cette molecule a une structure lineaire.Quelle est la longueur moyenne, notee d,d’une liaison entre l’oxygene et le carbone ?2. La molecule de CO2 est-elle polaire ?Peut-on prevoir si cette molecule est facilea dissoudre dans l’eau ?

P

T

Solide(glace)

Point critique

Point triple

gaz(vapeur)

liquide

3. On a du CO2(g), comprime dans une bouteille a 20C, que l’on libere atemperature ambiante. Prevoir la temperature de formation de la carboglace.4. Le CO2 cristallise selon une structure cubique face centree de parametre demaille a = 550 pm avec les molecules de CO2 alignees selon la diagonale d’une face.Determiner la distance d′ entre deux atomes de carbone voisin. La comparer a d.5. Calculer la masse volumique de la carboglace.Questions supplementaires au cours de l’oral :- Qu’est ce qui fait que le CO2 se dissout dans l’eau ?- Sous quelle forme retrouve-t-on le CO2 dissous, et quel est son nom ? Quel estsa base conjuguee (et son nom).- Quel est l’ordre de grandeur de l’energie molaire d’une liaison de Van der Walls ?

(22) Indication : le TMC ne suffit pas, il faut donc utiliser une autre relation. De plus on ne demande l’equation qu’a t = 0, ce qui permet de simplifier certains termes, etde considerer sin(θ) et cos(θ) comme des constantes.



L’école Année de création : 1919

Directeur de l’école : Christophe Baujault / Lamia Rouai

Statut : Établissement d’enseignement supérieur privé, reconnu par l’Etat

Habilitation titre ingénieur :Habilité par la Commission des Titres d’Ingénieur (C.T.I.)

Visas et labels : Label EUR-ACE, Membre de la CGE (Conférence des Grandes Écoles), de l’UGEI (Union des Grandes Écoles Indépendantes), Campus France et de Laureate International Universities, de la CDEFI (Conférence des Directeurs des Ecoles Françaises d’Ingénieurs) et du CIDD (Consortium International des Doubles Diplômes)

Renseignements pratiques

Logement des élèves: Le service des admissions gère l’ensemble des possibilités proposées aux étudiants : partenariat avec de nombreuses résidences étudiantes, offres de particuliers, locations meublées, etc.

Type de boursesBourses de l’enseignement supérieur, Bourses ECE Paris.

Frais de scolarité 2015/168 950 € statut étudiant (Gratuit étudiants apprentis)

FinancementPrêts bancaires (taux préférentiels), apprentissage, rémunération des stages (1 année d’études), missions rémunérées par la Junior entreprise et la Jobservice’ECE.

Admission 1ère année du cycle ingénieur Maths Spé MP, PC, PSI (Banque d’épreuves e3a), PT (Banque d’Épreuves PT) (écrit + oral) : Pré-inscription obligatoire sur

www.scei-concours.fr du 10 décembre au 10 janvier 2016. Épreuves orales à l’ECE : juin/juillet 2016.

Math Spé TSI, ATS, BCPST (dossier et épreuves orales) : candidature en ligne sur concoursavenir.fr à partir du 06 janvier 2016. Épreuves orales du 23 mai au 30 mai 2016.

Nombre de candidats en 2015 : 3 350Nombre de places en 2015 : 190Date du concours 2016 : Mai à juillet 2016


Formation Spécificité de la formation :

Les étudiants reçoivent des enseignements accélérés en technologies au 1er semestre de la première année. Au second semestre, ils ont la possibilité de partir étudier en Afrique du Sud, Australie, Corée du Sud, Irlande, Suède, Bahreïn, Canada, États-Unis, Mexique. Ce séjour leur permet de poursuivre le programme, en anglais exclusivement.

Majeures et mineures : À partir de la 2e année les élèves s’orientent vers une majeure technologique (7), et une mineure professionnelle (9) :

Majeures : Nouvelles Énergies & Environnement Transports & Mobilité Santé & Technologie Systèmes

Embarqués Aéronautique et Automobile Finance et Ingénierie Quantitative Objets Connectés, Réseaux et Services Systèmes d’Information, Cybersécurité et Big data

Mineures : Ingénérie d’Affaires Management de Projet Marketing de l’Innovation Projet personnel Métiers de

la Création Numérique Métiers du Conseil International Métiers et Spécificités des Achats techniques Recherche

et Développement

Options d’approfondissement : Innovation et Entrepreneuriat, Design, Véhicules Hybrides et Electriques, Robotique, Calcul scientifique, Véhicules Communiquants, Aéronautique, Nanotechnologies, Information System Security, Internet New Generation, Data Scientist

International : En moyenne les élèves de l’ECE Paris effectuent 12 mois d’études à l’étranger, dans au moins deux universités partenaires différentes. L’ECE Paris compte en 2015, 125 accords internationaux dans 40 pays, dont 72 permettent d’obtenir des doubles diplômes. Les étudiants ont également la possibilité, selon les majeures d’enseignement, de suivre leur cursus à Paris intégralement en anglais, mais aussi d’effectuer un ou plusieurs stages à l’étranger.

Projets et VPE (Valorsation des Projets Etudiants) : L’originalité de la pédagogie réside dans l’accompagnement renforcé des Projets Pluridisciplinaires en Équipe (PPE) en 2e année du cycle ingénieur et des Projets de Fin d’Etudes (PFE) en 3e année, et dans l’obligation pour les étudiants de valoriser leur projet en dehors de l’école (partenariat avec une entreprise ou un laboratoire, participation à un concours national, création de start up, dépôt de brevet…).

Section apprentissage : Possibilité de suivre la formation par la voie de l’apprentissage sur les deux années du cycle ingénieur. La scolarité est prise en charge par l’entreprise et les élèves sont rémunérés.

Journées Portes Ouvertes : 19 décembre 2015, 6 février 2016, 19 mars 201637, quai de Grenelle – 75015 Paris

INFORMATIONS COMPLÈMENTAIRES

ECE Paris - Ecole d’Ingénieurs37, quai de Grenelle 75015 parisTel : 01 44 39 21 15 / www.ece.fr / [email protected]

Planche 50 [Abordable en Sup ]On considere trois ondes sismiques emises en S (seisme) et percues en M .

Leur vitesse de propagation de-pend du milieu traverse. Leslois de Descartes pour l’optiquesont supposees verifiees.1. Calculer la duree de par-cours des ondes directes (tD) etreflechie (tR). Que se passe-t-ilsi x >> H ?

S

H(T)

θ

I K J

M(D)

(R)

x

v1

v2 > v1

2. Pour x > xmin, il existe une onde transmise. Calculer θ en fonction de v1 etv2.3. Justifier l’existence de xmin. Calculer tT .4. Calculer xb pour lequel l’onde transmise etl’onde directe arrivent en meme temps.5. On donne les courbes ci-contre.Identifier les trois courbes sur la premiere figure.6. Determiner v1, v2 et H.7. Pourquoi l’onde transmise repart-elle du milieu2 ?

t(ms)

x(m)

5

10

12

Planche 51

Une particule d’air est eclairee par une onde provenant du soleil, de la forme

E = E0 cos!ω"t−x

c

#$ez . On obtient alors un dipole electrique p(t) = p0 cos(ωt)ez

ou p0 =e2E0/me

ω20 − ω2

·

1. Justifier la direction d’excitation de la molecule. Que represente ω0 ? On donneω0 ∼ 2.1016 rad.s−1. En deduire une approximation de p0 pour un rayonnementsolaire dans le domaine du visible.2. On note n le nombre de molecules par unite de volume dans l’atmosphere ;

chacune rayonne une puissance P =µ0p

20ω

4

12πc; justifier que la puissance volumique

rayonnee est pd = nP .3. Montrer que, pour une composante monochromatique donnee, l’intensite emisedecroit selon la loi Iλ(x) = Iλ(0) exp(−x/Hλ) ou Hλ est une hauteur dont ondonnera la dependance en ω.4. Calculer Hrouge et Hbleu.5. Expliquer la couleur du ciel au coucher du Soleil.

Planche 52

Miroir sans defaut Miroir avec un defaut

S

d

a

b

x

z

S

d

ax

zα

Dispositif de detection de defauts sur un miroir. On dispose d’une source Sau milieu d’une plaque receptrice, a une distance d du miroir plan (tous deuxperpendiculaires a Oz). La plaque est de demi-largeur a.1) Quel est l’eclairement en l’absence de defaut ?2) On suppose desormais qu’il y en a un. On note b la demi-largueur du defaut(en forme de triangle, avec un angle α avec le miroir).a) Expliquer qualitativement pourquoi on observe un phenomene d’interferences.En particulier, montrer que le systeme est equivalent a deux sources distinctesdont on precisera l’emplacement.b) Decrire les franges observees. Determiner une longueur caracteristique desfranges.c) La plaque est de precision r = 5µm et de demi-largeur a = 1, 0 cm. Quelleplage de α peut-on mesurer ?d) Pourquoi vaut-il mieux que l’on ait b > a ?

Planche 53 [Abordable en Sup ]On place n moles d’eau dans un cylindre delongueur L et de section S, dans un thermostata la temperature T . On place un piston aumilieu du cylindre et on le deplace lentementvers la droite. On donne la courbe de la force Fexercee par l’operateur pour maintenir le pistona l’equilibre, en fonction de la position du piston.

F

xx

F0

0A

BC

On suppose le liquide incompressible et on note Ps la pression de vapeur saturantede l’eau.1) Commenter ce graphique et l’experience.2) On suppose qu’initialement l’eau est sous forme entierement gazeuse. Retrouverla valeur de F en fonction de x. En deduire n et Ps en fonction de x0, F0, et desparametres du probleme.3) Donner le graphe de F (x) lorsque l’ea u est sous forme entierement liquide,puis dans le cas intermediaire.

Planche 54 [Abordable en Sup ]1) On souhaite envoyer un faisceau lumineux al’infini, en jouant sur des reflexions totales sur ledioptre cœur-gaine (fibre optique par saut d’indice).a. Calculer l’angle limite θlim pour qu’il y ait unetransmission a l’infini.b. Calculer ON = n0 sin θlim (ouverture numerique).

θ

Gaine

Cœur

R

ng

nc

ng < nc

n0 Gaine

2) On suppose que la gaine est de longueur L.a. Calculer la distance parcourue par le faisceau faisant un angle θlim avec lanormale et en deduire le chemin optique.b. On suppose que la duree d’emission est nulle, et on pose tmin et tmax la dureedes trajets minimal et maximal. Calculer tmax − tmin.3) Expliquer la notion de longueur de coherence.

Planche 55On dispose d’un Michelson, de lentilles, d’un filtre pour une valeur d’une longueurd’onde donnee, d’une lampe (au mercure je crois), d’un ecran. L’indice de l’airest suppose egal a 1.1) Realiser le montage pour observer des anneaux d’egales inclinaisons. Expliquerle nom de ⟨⟨montage a lames paralleles ⟩⟩.2) Calculer la difference de marche en un point M de l’ecran en fonction de r,distance de M au centre de la figure.

3) On pose p0 = k0 + ε. Montrer que R = f ′%

λe (m+ ε). Quelles sont les valeurs

de m possibles ?4) Un texte expliquait le principe d’un capteur CMOS, avec 2048 pixels espaceschacun de 14micrometres. Un capteur convertit un rayonnement en electricite. Cecapteur sert a etudier les interferences, notamment par les intensites.Expliquer pourquoi il faut placer le capteur au centre de la figure (la ou le capteurest colineaire a tous les diametres) ?Estimer l’ecart angulaire de la source lumineuse.5) A l’aide du script python, donner les valeurs de e et ε.Ce script affichait les differents rayons en fonctions de m et une droite affiney = ax+ b qui modelisait la premiere courbe.

Planche 56On a une tige de metal de longueur L, de conductivite λ = 100 S.I., en forme debarreau parallelepipedique de dimension a = 2 cm, b = 8 cm et L avec a << L etb << L. La tige est plongee en x = 0 ((Ox) l’axe de L) dans un metal fondu a latemperature T0. Le reste de la tige est en contact avec l’air a la temperature TAmais une fine couche d’air autour de la tige est a la temperature T (x) (on supposeque T ne depend que de x). On considere que les pertes sur les faces laterales dela tige suivent une loi de Newton de coefficient h ≈ 100 S.I.1. Ecrire l’equation differentielle verifiee par T en regime stationnaire. Faireapparaitre une longueur caracteristique de la propagation.2. On suppose que la tige est semi-infinie, trouver la repartition T (x) detemperature. Justifier l’approximation semi-infinie a l’aide des valeurs numeriques.3. Quelle est la puissance P evacuee par la tige ? La comparer avec la puissanceP0 fournie par le metal fondu.4. Historiquement, un monsieur faisait cette experience avec des tiges de metauxdifferents en utilisant 3 thermometres regulierement espaces (selon Ox). Ilsindiquaient alors 3 temperatures T1, T2, T3 et le monsieur calculait alors C. Ontrouve Ccuivre = 1,30 et Cfer = 1,75. Retrouver les conductivites thermiques desdeux metaux.

Planche 57Fusion de la glace par induction. On pose un barreau sur deux rails conducteursparalleles, distants de L = 50 cm, perpendiculairement a ces derniers. On ferme lecircuit par une resistance R = 1,0Ω que l’on place dans une enceinte calorifugeeavec une masse m = 1,0 kg de glace a la temperature T0 = −10C. On considereque la resistance du circuit est negligeable devant R. On impose au barreau unmouvement rectiligne sinusoıdal d’amplitude b et de frequence f selon (Ox). Ilregne dans la zone delimitee par les rails, entre −b et b un champ constant denorme B0 = 0,5T. On donne a = 2b = 25 cm ; la chaleur latente de fusion de laglace est 333 kJ.kg−1 et sa capacite thermique massique est de 2,06 kJ.kg−1.K−1.1) Expliquer qualitativement ce qui va se produire.2) Quelle frequence f doit on choisir pour que la glace commence a fondre aubout de 15 minutes ? Combien de temps faut-il alors pour que la glace fondecompletement ?3) On peut ameliorer le chauffage en utilisant N de ces circuits (qui partagenttous la meme resistance). On dispose de fils conducteurs, comment les utiliserpour optimiser le chauffage ?

Concours Commun Centrale-Supelec − PC

Planche 58 Les pattes du gecko [Abordable en Sup ]

1. Les forces de Van des Waals derivent du potentiel u(r) = − C

r6Sont-elles

attractives ou repulsives.2. L’integration du potentiel surfacique cree par les forces de Van der Waals entre

deux surfaces planes distantes de h est U(h) = − A

12πh2, avec A = 10−19 J.

Donner la norme de la force surfacique Π(h) associee. Quelle est sa limite quandh tend vers 0 ? D’ou vient le probleme ? Evaluer la valeur minimale h0 que peutprendre h.3. Quelle est la surface minimale de contactS, entre le plafond et les pattes d’un geckode masse m = 10 grammes, pour que le lezardreste accroche ?4. Les pattes sont recouvertes de setules, cha-cune offrant plusieurs milliers de poils de rayon0,2µm. De combien de setules le gecko a-t-ilbesoin pour rester accroche ? Pourquoi en a-t-il autant ?Comment fait-il pour courir tres vite au plafond ?(23)

Planche 59On considere une marche de potentiel, tq V (x < 0) = 0 et V (x > 0) = V0, et uneparticule d’energie E < V0 qui arrive de moins l’infini.1) Decrire le comportement de la particule classique.2) Modeliser grace au logiciel le comportement de la particule d’un point de vuequantique.2) Prouver que ϕ(x) est solution de l’equation de Schrodinger independante dutemps.3) Donner les expressions de ϕ(x) dans chaque milieu.4) Utiliser les relations de continuite pour ecrire les amplitudes des ondes reflechieset transmises, introduire r et t, donner leur signification physique.5) En deduire P (x) la densite de probabilite.6) Montrer qu’il y a interference dans le milieu x < 0 ; en deduire la masse de laparticule. Quelle est cette particule ?7) Montrer qu’il y a une onde evanescente dans le milieu x > 0 ; introduire unedistance caracteristique de penetration et donner une valeur a partir du logiciel.

(23) Consulter http ://culturesciences.chimie.ens.fr/content/les-forces-de-van-der-waals-et-le-gecko#LienVdW


50hePlanc [ ordableAbsismiondestroisere`considOn

donopagatiprdeestesviLeurL.esrevartueilimuddnpe

l’optiquropDescartesdeloisees.érifierifiveesóssupptson

1. par-deee´durlaCalculer(directesondesdescours tD) e

(eicheflere tR passe-t-ilseQue).

T)

upSen ]ensemise´sueqsismi S uescercpeteisme)eisme)(s

e-´dseL

uel’optiq

par-t) e

passe-t-il

S

H( )T

θ

(D))D

(R))R

en M .M

x

v1

55hePlancicMd’unosedispOn

d’uneee,´donnd’onde1.aegalegaleossuppesttagemonleealiserealiserR1)

denomle ⟨⟨ tagemonerence´ffdilaCalculer2)

dedistance M cenau

osepOn3) p0 = k0

uneourpfiltred’untilles,lendehelson,icecd’uncrois),jemercure(auelampd’une

1.egalesegalesd’anneauxdeserobservourptage

eleselesllparalamesatage ⟩⟩.toinpunenhemarcdeerence M ecran´l’de

figure.ladetrecen

+ ε eur qertno. M R = f ′%

λe (m+ ε Quelles).

longueurd’unealeurvunel’airdeL’indicean.rec´

uerpliqExinclinaisons.

defonctionenecran r,

aleursvlestsonQuelles( ).si > Hx >>> ?2. ruPo xx > nmi e utsixl e, iv2.3. del’existenceJustifier xmi4. Calculer xb leuqelrupo

emementennrrivadirectel’onde5. ci-conesrbcoulesdonneOn

ursesbcoursoitreslfiertiIden6. renimreteDe v1, v2 et H.7. esimsnartedno’liouqruPo2 ?

51hePlanc

alcetseria’delucitrapeUn

E = E0 cos!ω"t−x

c

#$ez n o. O

e2E /m

I K Jrelucla. Cesimsnare tdne one u θ fonctionen

nmi relucla. C tT .teesimsnartedno’ll

temps.emeˆtre.ci-con

e.figureerèmipralur

ueilimudelle-trapere

t(ms)

5

10

12

lielosudtnanevorpednoenurapeeria

euqirtceleelopin ds urolt aneitbn o p(t) =

J v2 > v1

defonction v1 et

x(m)

merfoaled,

) = p0 cos( tω )ez

p3) p

de m ?selbisspouaitpliqextetexnU4)morcim41ednucach

etudetudierasertcapteurquoiourpqueriExpltousaeairećolinestangultecar´’lmertiEsscriptdul’aideA5)haitcffiascriptCe

y = ax+ b dmoiqu

56hePlancmdetigeuneaOn

epipélelparallbarreau< Lb <<< tse egita. L

erature´temp T00T e r. L

r q f

%e ( Quelles).

vaOS,CMcapteurd’uneprincipleuaitennoyarnutitrevnocruetpacnU.sertemeslpartnotammenes,cnereterf´feinlesetudieraldeetrcentaucapteurelacerplfautliquoi

?etres)etres)diamlestouse.neusumilceoursaldeeraianguldealeursvlesredonnthon,yppyscript e et ε.

defonctionsenonsyraaytseren´ffdiles m.ebruoceremierpaltiasiled

longueurdeetaletalm L etivitcudnoce, d λ = 1dimensiondeueediqediqepip a ,mc= 2 b c= 8

neeegnolp x ((= 0 Ox edexaax’) l L na) dia’c levt acatnon ct eseegia te le dtsee r

Quelles

eséspacelspix2048ecveC.eteicirtcelenetneme

es.´tensitintescapteureluoa(lefigur

m neffiadroiteuneet

edemroffone,.I.S00= 1tem L ceav L<a <<< et

aa lu adnol ffoaten musnerutarepmea ta lr ai TAAT

( ) (uou p0 =e E0/me

ω20 − ω2

·

citationd’exdirectionlaJustifier1.ω0 ∼ 2.1016 rad.s−1 den d. E

vdudomaineledanssolairenoteOn2. n debrenomle

nassiupenuennayorenucach

esteeónnyraay pd = nP .compuneourpue,qtreronM3.

orcede ˆ loilaselonit Iλ(x) =enancendeep´dladonnera ω

Calculer4. H eguro et Hb eulbHcielducouleurlauerpliqEx5.

52hePlancax

teesen´reprQueecule.ecule.molaldecitation ωen doitamixorppe ane uriud p0 nurupo

isible.vl’atmosphdansolumevdeeunitpareculeseculeslom

ecn P =µ0p

20ω

4

12 cπnassiua pe luqrefiitsu; j

l’inee,ónnduehromatiqcmonotenosacompIλ p(ex(0) −x/Hλ u) o Hλ hauteuruneest

ω..

Soleil.duhercoucauciel

ax

ω0 ennon d? Otnemennoyaayr

;ere`l’atmosph

euqimuloe vcn

emiseétensitl’inontdonhauteur

hecoucfineunemaisequ T ueqendep´dne

unetensuivtigela1. ´ onequati´’leriEcr

longueuruneapparaitre2. queosesuppOn

Justifiererature.´temp3. puissancelaestQuelleP00P melparenifour4. ,tnmeequirotsHi

utilisanentserenff´ffedi3alorstuaienindiq

etrouv C vreicu = 1,.etaux´mdeux

57hePlancpecalgalednoisFu

era´templaaesttigeladeautourd’airhedeue x surertesplesueqere`considOn).

tcienffieocdeewtonNdeloi h ≈ S.I.100paree´fiier´veleltiennerff´ffedion T meigeren

pagation.proladeueeristiqćaractlongueurlaertrouvsemi-infinie,esttigelaquedesl’aideasemi-infinieimationxl’approJustifier

puissance P pmocaL?egitalrapeeucavefondu.etaletalm

vaecneirexpeettectiasifarueisnmonuespacteremennégulieguliretres`thermom3tutilisan

eratures´temp T11T , T22T , T33T monsieurleetet30 Cfer = 1, conductivleserRetrouv75.

rusuaerrabnuesopnOnoitcudnirap

erature T (x esoppun so) (deeraleseraleslatfaceslessur

S.I.aireFstationnaire.me

epartition´rla T (x e) dues.eriqúmnaleursvdes

ecnassiupalcevarerap

xuatemedsegitsedce(seloneséspac Ox Ils).

alorscalculaitmonsieur C n. Odesuesthermiqesítconductiv

sruetcudnocsliarxued

iroiM r sans defaeffaut

S

d

ax

deetection´ddeositifDispeceptrice,´rueplaqd’unemilieuau

aserialucidneprpe Oz plaqLa).enteneclairemeclaireml’estQuel1)u’ilqesormais´dosesuppOn2)unecva,gletriandeforme(en

aut iroiM r avec un defaefa

bz

S

d

ax

α

d’uneosedispOnmiroir.unsurautseffautsefddistanceuneaeceptrice, d planmiroirdudemi-largeurdeestueplaq a.

?utefaefaddel’absencenoteOnun.aenyu’il b demi-largueurla

angleun α .)riorimelceav

aut

z

sourced’une Sdeux(tousplan

auteffautefddudemi-largueur

pecalgalednoisFutsdistanneles,eles,parallesi´runeparcircuit

essamenuceav m = 1udecnatsiseralequgrectilitenemmouvenozalsnadengere

norme B0 = 0, .5TgJ.kk333estglace −

ualitativquerpliqEx1)uenceeq´frQuelle2)

etunim51edtubo?tetemen`compleliorereliorerameutpOn3)esistance).esistance).remeˆmlatous

hcelresimitporupo

C

rusuaerrabnuesopnO.noitcudnirapde L ecatnemerialucidneprep,mc0= 5

esistance R = 1, usnadecalpno’leuqΩ0= 1, erutarepmetalaecalgedg0 k T00T =

tnavedelbaegilgentsetiucricu R n. Od’amplitudeıdalüsosinneg b uenceeq´frdeet

ertne,sliarselrapeteimiled −b et b unennodnO a = 2b ruelahcal;mc5= 2

−1 estuemassiquethermiqecapacitsaetduire.proseavuiqectemenualitativ

uence f commenceglacelaueqourphoisircondoitopsrolali-tuaffaspmetedneibmoC?se

tutilisanenageffffahaucleeliorer N circuitscesdes,teuruccondfilsdeosedispOnesistance).

?egaffffauah

´SaltCC

sruetcudnocsliarxuedelemreffenO.sreinredseeeguffuirolacetniecneen

= −10 ere`dnsicoOnC.nuuaerrabue asopmi

uence f (selon Ox Il).detconstanhampcunalednoisuffuedetnetal

2deest , gJ.kk06 −1.K−1.

aufondreacommenceednofoecalgaleuqruo

tpartagenui(qcircuitsutilisersletcommens,

l´ PCemenvtitaualiquerpliqExa)queertrmon,ericultiparEn

l’emplacemenseraeci´prontdonnobservfrangeslesecrire´Db)

.angesfrecision´prdeestueplaqaLc)

deplage α rerusemno-tupeqmieuxaut-ilvuoiourqPd)

53hePlanc [ ordableAbplaceOn n dansd’eaumoles

longueur L sectiondeet S, derutaarepmetala T pn. O

leonetcylindredumilieucalennodnO.etiordalsrve

ourperateur´l’oppareeércexalednoitcnoffoneerbiliuqe’la

d’ineneènom´phuneobservonuoiourqptoursdeuxatenalvequi´teseme`tyssel

t.l’emplacemencaractlongueuruneeterminer´Dees.óbserv

ecision r = 5µ ruegral-imededtm e a = 1?

aitl’onue b > a ?

upSen ]decylindreundanstatsomrehtns una, dun aotsipne ucalpttemenleneplaceeplacedle

ecroffoaledebruoc Fpistoneltenirmainour

notsipudnoitisopa

F

x

F00F

0A

B

es.erencterf´ferencd’innctestisdicesour

desueeristiqćaract

, elleuQ.m0 c

x

C

ouconC

pattesLes58hePlanc

1. VdecesforLes

epulsiepulsirouesattractiv2. duonatiegr´tniL’

planessurfacesdeux

denormelaDonnerh D’o?0ersvtendprendre h.3. surfacelaestQuelleS d enoffoale pe lrtn, e

massede m rg0= 1?ehcaccroreste

epuS-ealrtneCnumomCsrou

okgecdupattes [ SupenordableAb

eltiotenpdutenvier´dsaalWWaaldesanVVan u

es.vepulsidecesforeslpareecrquefaciurseltiotenp

detesdistanplanes h est U(h) = − A

12 hπ(Πueaciqsurffaciqorcefforcelade h eu. Qeeicoss) a

?eme`problletienvu ´ euralvalueralEv

tactcondeminimalesurfaceokcen gu’s dettas pet ld edrazeleleuqruop,semmar

cele − PC

Sup ]

(r) = − C

r6st-elleSon

etrensaalWWaalderanVVande

2cev, a A 0= 1 −19 J.

dnaue qtimia lt sse elleemalnimi h0 tuepequ

alednoitcnoffone,erbiliuqela

incompressibleliquideleosesuppOnl’eau.de

uegraphiqceterCommenn1)tialemeninu’iqosesuppOn2)

dealeurvla F defonctioneneme.´problduetres`paramdegrapheelDonner3) F (xediairediaire.termincasledanspuis

54hePlanc [ ordableAbuneryovensouhaiteOn1)

dessurtouanjenl’infini,optiq(fibrecœur-gainedioptre

limitel’angleCalculera. θliml’infini.atransmission

Calculerb. ON = n0 sin θlim

.notsipudnoitisopa x0noteonetincompressible PssP apvdepressionla

erience.´pl’exetgazeuse.teremen`tiennformesousest’eaulttialemen

de x eriudedn. E n et PssP defonctionen

x ereitneemros fouot ssa u ee’e luqsro) lediaire.

upSen ]alumineuxfaisceauunlesurtotalesionseflexeflexr

d’indice).sautparueoptiqlim enutiayli’uqrupo

lim ue).eriqúmnerture(ouv

θ

G

ng

nc

ng < nc

n0 G

tesaturaneurap

erRetrouvgazeuse.x0, F00F sedt, e

,ediuqit lneme

neaiG

urCœ

R

neaiG

4. rtonspattesLesplusieurstranffffrocune

0,2µ biencomDem.aretserruopniosbe

?tautantilourpfait-iltCommenn

59hePlancmarcuneere`considOn

energie´d’particuleortemencompleecrire´D1)

acegraelisereliserdoM2).equitnaqu

ueqerProuv2) ϕ(xtemps.

eprexlesDonner3)relationslestiliserU4)

ha-c,esetuletulsdeteserecouvronyraaydesoilpdemilliersplusieurs

a-t-ilokgecleetulesetulessdebien-t-aneiouqruoP?ehcorcca

?plafondauvitees`trcourirour (23)

tqtiel,otenpdehemarc V (x < et0=0)V0E < 0V .infini’lsnimoedevirraiqu

ue.classiqparticuleladetortemenparticuleladetortemencomplelogicielau

x idorhce Sn doitauqe’e ln doitulosts) e

desssione ϕ(x .ueilie muqahs cna) damplitudeslesecrireóurpeuittinconnderelations

V (x > =0) V00V enut, e

uevdetoinpd’unparticule

udetnadnepedniregni

hiesecéfleflrondesdesamplitudes0 lim

gainelaueqosesuppOn2)parcouruedistancelaCalculera.heminceleduireeduiredenetnormaleee´durlaueqosesuppOnb.imal.maxetminimaljetstrades

longueurdeotionnlauerpliqEx3)

(23) ://culturesciences.cttphConsulter

reumneupataledleicffio’L

lim ue).eriq(ouv

longueurdeest L.gleanuntfaisanfaisceauleparparcourue

ue.optiqheminoseponetulle,nestemission´d’ t nmi et

Calculerimal. t xma − t nmi .erence.ćohdelongueur

es-dct/les-fortenmie.ens.fr/conih://culturesciences.c

or 22

gle θlim alceav

t xma eedurla

relationslestiliserU4)trointransmises,et

eduireeduiredEn5) P (x) layu’ilqtreronM6)

estQuelleparticule.yu’ilqtreronM7)

eristiqćaractdistance

o#LienVdWkaals-et-le-gecan-der-wv-e

egPa 55

amplitudeslesecrireourpeuittinconnderelationsduiretro r et t n poitacfiingisruer lenno, d

.etilibabore pe de dtisnea d) lmilieuledanserenceterf´ferenceina x < ne0 ;

?particulecetteestmilieuledansteanescenevóndeunea

aleurvunedonneretetrationén´pdeueeristiq

c⃝⃝ VMMX ´ ldeleciffiOonstiEdi

hieseceflrondesdesamplitudes.euqisyh

aledessamaleriuded

x > enueriudortni0 ;el.logicidupartiraaleur

eopcosryGeaupTaal


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DATE DU CONCOURS 2016 Date limite d’inscription au concours : 15/01/2016

L’ÉCOLE

ADMISSION


FORMATION


Page 56

L'ESME Sudria propose une formation pluridisciplinaire de haut niveau quiouvre à ses étudiants les portes des secteurs des technologies d'avenir.Chacun peut ainsi évoluer professionnellement dans un secteur qui lepassionne : transports ou énergie, numérique ou robotique, mobilité etcommunication, santé et aide à la personne.Les étudiants découvrent l’ensemble des grands Domaines d’application :Énergies, Systèmes et Environnement ; Systèmes Embarqués et électro-nique ; Images, Signaux et Réseaux ; Intelligence Numérique et Data.L’étudiant choisit un parcours parmi les suivants :

• Expertise Ingénieur : projets de recherche et d'innovation ;• Management : parcours managérial intégré à l'ISG ;• International : double-diplôme avec une université partenaire ;• Recherche et Développement : double diplôme, puis doctorat éventuel ;• Entrepreneuriat : création d'entreprise, l’incubateur de l'ESME Sudria.Au sein du parcours précédent, l’étudiant choisit une majeure parmi : • Systèmes énergétiques durables• Optimisation de la consommation énergétique• Mécatronique et robotique• Systèmes embarqués et objets connectés• Traitement du signal et imagerie médicale• Réseaux, connectivité et mobilité• Systèmes d’informations et big data• Ingénierie financière• Intelligence numérique et virtualisation• Avionique, espace et commande• Supply Chain management• Engineering management• Management du développement durable et RSE• Consulting et stratégie des entreprisesDe nombreux doubles diplômes sont possibles avec d’excellentes univer-sités sur tous les continents : Afrique du Sud, Allemagne, Australie,Canada, Chine, Corée du Sud, Danemark, États-Unis, Grande-Bretagne,Hongrie, Irlande, Lettonie, Mexique, Pays-Bas, Roumanie, Suisse.12 semaines en 1re année, 15 semaines en 2e année et 24 semaines en3e année.

ESME FTV9_ESME FT 08/11/2015 23:28 Page1

UNE OUVERTURE SUR LES ENJEUX TECHNOLOGIQUES DE DEMAIN

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Santé et aide à la personne Intelligence numérique

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INGÉNIEuRS DETOuS LES POSSIBLES

Établissement privé d’enseignement supérieur. Cette école est membre de

Individualisation du parcours et professionnalisation5 parcours : expertise, management, international,

recherche-développement et entrepreneuriatOuverture à l’International : 35 universités partenaires

Entreprise et initiative : un réseau de 14 000 anciens

ANNÉE DE CRÉATION Création en 1948 DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Alain RIVIÈRE

STATUT Établissement publicHABILITATION TITRE INGÉNIEUR habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieurs (CTI)

RÉSEAUX Institut Polytechnique Grand Paris, Polyméca

RECRUTEMENT DE 1RE ANNÉE

RECRUTEMENT DE 2E ANNÉE

LOGEMENT DES ÉLÈVES Résidences Pierre Azou et Charles Michel Gougé à proximité de l’écoleTYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur

FRAIS DE SCOLARITÉ 2015/2016 610 € par an FRAIS DE SÉLECTION Frais fixés par les Concours Communs Polytechniques (CCP)

L’ÉCOLE

ADMISSION


FORMATION


SUPMÉCAInstitut Supérieur de Mécanique de Paris

publ

i-inf

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NOMBRE DE PLACES EN 2015NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2014

Paris : 43 MP, 19 PC, 43 PSI, 12 PT, 3 TSI200


PARCOURS PERSONNALISÉ

INSERTION PROFESSIONNELLE

INTERNATIONALSTAGES

Supméca forme des ingénieurs experts dans le domaine de la mécanique. L’ingé-nieur Supméca est reconnu pour ses compétences en ingénierie numérique, tanten conception qu’en modélisation et simulation des systèmes mécaniques et mé-catroniques. Il développe des capacités tout aussi prisées dans les matériaux et lagestion des systèmes de production. Supméca offre la possibilité de construire sa formation avec un large choix d’en-seignements dès la deuxième année et quatre parcours de spécialisation en der-nière année : - Matériaux, procédés et simulation- Simulation en conception mécanique- Modélisation en ingénierie mécanique- Systèmes de production et logistiqueLes échanges académiques et les doubles diplômes, en France comme à l’étran-ger, multiplient les opportunités pour l’étudiant d’accorder son profil avec son pro-jet professionnel.L’importance donnée à la pédagogie participative et à l’expérience internationaleprépare le futur ingénieur au fonctionnement par projet et à la réalité industrielle.Dès la première année les étudiants peuvent développer des projets sur une pla-teforme d’ingénierie collaborative internationale. En deuxième année, ils viventl’expérience d’un véritable bureau d’études et durant toute leur formation ils ontaccès à un équipement pédagogique en adéquation avec les pratiques industriellesles plus récentes. L’ensemble du parc informatique est équipé de logiciels de CAOde dernière génération, et les ateliers de l’école sont dotés d’outils de captation etde réalisation 3D. Ces atouts assurent à l’ingénieur Supméca une excellente in-sertion professionnelle principalement dans l’industrie aéronautique (52%), l’éner-gie (13%) et les transports (11%). 58 établissements partenaires dans 28 pays dont 10 doubles diplômes.12 mois de stage en France ou à l’étranger.

Concours Communs Polytechniques CPGE MP, PC, PSI, PT et TSIAdmissions sur titres pour les L3 Mathématiques, les DUT Génie mécanique et pro-ductique ou Mesures physiques ou les BTS Conception des produits industriels ouMécanique et automatismes industriels suivi d’une prépa ATSAdmissions sur titre pour les M1 Mécanique, Physique, Matériaux, Mathématiques ouInformatique appliquée

ACTIVITÉS PARALLÈLES Bureau des élèves, Junior entreprise Clubs sportifs : arts martiaux, aviron, badminton, basket, danse, escalade, football,

rugby, handball, natation, tennis, tennis de table, voile, volley, etc. Clubs de loisirs : photo, cuisine, robotique, aéronautique, ECOstudent (développe

ment durable), jeux vidéo, etc. Association des anciens élèves.

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SUPMECAv8:FT 09/11/2015 23:30 Page 1

Planche 60On considere une grue schematise par un bras metallique de longueur 2L, reliea un support triangulaire par une liaison pivot supposee parfaite. La masse del’ensemble est m. Le coefficient de frottement du support sur le sol est F et on

donne les moments d’inertie JO = 43mL2 et JG = 1

3mL2

1. A t = 0, on lache la bras verticalement. Etablir, de deux facons, l’equation dumouvement du bras.2. Peut-on avoir decollement du support avant glissement ?

Planche 61On considere 2 tubes minces (T1) et (T2), de longueur L avec R1 < R2 << L.L’espace entre les deux tubes est occupe par un gaz dont les proprietes sontinitialement assimilables a du vide.Initialement, (T1) est charge de charge Q. A t = 0, on ionise le gaz, de sorte qu’ilsoit assimilable a un conducteur ohmique.A l’etat final, (T1) est decharge et (T2) est charge de charge Q.1) Calculer les champs electromagnetiques initiaux, finaux et a l’etat transitoire.2) Faire un bilan d’energie sur le systeme entre l’etat initial et final.Indication : Utiliser l’equation de Maxwell-Ampere pour determiner E a l’etattransitoire.

Planche 62On souffle dans une paille, maintenue verticalement a une hauteur D du sol. Lechamp des vitesses entre la paille et le sol v(r, z) = k1rur − k2zuz . Au sommetde la paille, v0 = −v0uz .1.a. Tracer les lignes de courant.1.b. L’ecoulement est-il irrotationnel ? Interpreter.1.c. Trouver la relation entre k1 et k2 puis les exprimer en fonction des donnees.2. On place, sous la paille, une assiette remplie d’une hauteur d’eau e.On note h(r) la profondeur dans le trou forme, r etant la distance a l’axe du trou,hemispherique, rayon R.a. Trouver la relation entre v0 et h(r) avec le theoreme de Bernoulli.b. Determiner une seconde relation avec h(r).(24)

c. Donner une equation du second ordre verifiee par h(r).d. Trouver la vitesse v0min afin de faire un trou de profondeur e.L’informatique fournit differentes courbes R = f(v0), a analyser afin de repondrea la question suivante : peut-on faire un trou de rayon aussi grand que l’on veut ?

Planche 63Une sphere creuse, de masse m, et conductrice, charge surfacique σ, est constitueede deux hemispheres. l’un reposant sur l’autre. Il y a contact electrique entre lesdeux hemispheres.L’hemisphere inferieur est fixe et relie a la terre. L’autre repose dessus grace ason poids.On applique un potentiel V . La force alors exercee sur une surface dS de la sphere

est donnee par d−→F = σ2

2ε0dSn.

1. Pour quelle valeur de V l’hemisphere superieur decolle-t-il ?

2. Interpreter la forme de d−→F .

Planche 64 [Abordable en Sup ]Un fil de longueur ℓ est en orbite autour de la Terre. Dispose verticalement, sonpied est a une distance h du sol terrestre. On suppose que le file est toujoursdispose radialement, son prolongement passant par le centre de la Terre.1. Donner la vitesse de rotation du fil.2. Si h = 80 km, quelle doit etre la longueur du fil pour qu’il soit immobile dansle referentiel terrestre (θfil = θTerre) ?On donne RT = 6,4.103 km et MT = 6,0.1024kg.

Planche 65 ChimieI) On s’interesse a la synthese suivante

OH MsCl,Et3N

LiBrA

avec Ms (groupe Mesyl)= S

O H3C

O

1. Donner la derniere etape du mecanisme qui donne A. Quel compose est A ?

2. On s’interesse a l’acetate d’ethyle relie a une cetone :

O O

OEtO O

OEt

NaH

0CB

BrLi

0CC

B et C sont des composes ioniques non-isoles. Donner leur formule. On fait reagir

A avec C. On obtient D :

O O

OEt

Quel est le mecanisme ? Pourquoi obtient-on preferentiellement celui-ci ?3. Qu’aurait-on obtenu si on avait fait reagir A avec B ?

DNaH

E :

O O

OEt

(EtO)2P(O)Cl

P(O)−(EtO)24. Quel est le mecanisme pour passer de D a E ?5. La suite de la reaction n’est pas etudiee :

E−→ F :

O

OEt

On obtient par la suite G :OH

6. Comment aurait-on pu passer de F a G ?7. Expliquer l’interet de cette synthese.

II) Dans le toluene, l’acide salicylique (Acide 2-hydroxybenzoıque) peut sedimeriser par des liaisons non covalentes. Dans l’eau, on n’observe pas cettedimerisation.L’acide salicylique introduit dans un melange eau-toluene, les deux ne sont pasmiscilbles, se dissout dans les deux solvants et on observe l’equilibre suivant deconstante K1 : A(eau) A(toluene)Dans le toluene a lieu l’equilibre suivant de constante K2 :2A (toluene) A2(toluene)On note :− Ca : concentration de l’acide salicylique sous forme neutre dans la phaseaqueuse ;− C0 : la concentration totale de l’acide salicylique sous forme monomere etdimere dans le toluene.1. Exprimer K1 et K2 en fonction des donnees de l’enonce.2. A 22C, les resultats experimentaux sont les suivants :

Ca 0,50.10−2 1,02.10−2 2,11.10−2 2,94.10−2 4,08.10−2

C0 0,80.10−2 2,40.10−2 8,01.10−2 14,50.10−2 26,40.10−2

On donne aussi :

T (C) 0,0 41,4 52,5

K2 177 41 29

Evaluer l’enthalpie de dissociation de l’acide salicylique dans le toluene.

Planche 66Soit un conducteur de conductivite γ occupant le demi-espace x > 0.1) Donner, dans l’ARQS, la loi d’Ohm locale et les equations de Maxwell.2) On considere un champ

−→E se propageant dans le conducteur a une pulsation

ω. Etablir ∂−→E∂t

= D ∂−→E

∂x2. Commenter. Exprimer D en fonction des donnees du

probleme.3) On pose

−→E =

−→E0ei(kx−ωt). Exprimer k2

4)Mettre−→E sous la forme

−→E =

−→E0e−x/δei(−x/δ−ωt). Exprimer δ, donner son

nom, sa realite physique, et son ordre de grandeur pour le cuivre et un signal defrequence 50 Hz.5) On s’interesse a l’interface vide-conducteur sachant que :- le champ electrique est continu en x = 0 ;- le champ magnetique est continu en x = 0 ;- la reflexion/transmission n’a pas d’effet sur la polarisation.On s’interesse a une OPPH polarisee rectilignement selon −→uy ; etablir l’expressiondes coefficients r et t en fonction des donnees du probleme.Aucune donnee numerique n’est fournie. Un fichier Python est disponible pendantla preparation : son execution affiche une animation montrant la transmission etla reflexion d’une OPPH sur un conducteur. Il est possible de le modifier. C’estl’objet de la derniere question :6) Faire varier une donnee pertinente du probleme et analyser.

Concours Commun Centrale-Supelec − PSI

Planche 67On etudie le sechage d’une eponge spherique, entierement mouillee a l’etat initial,modelisee par le schema ci-dessous. On suppose la temperature T et le volume Vde l’eponge constants. On note Pext la pression exterieure, Pv,sat la pression devapeur saturante de l’eau, D le coefficient de diffusion de la vapeur d’eau.Donnee : pour tout r tel que R(t) < r < R0 (i.e. la partie seche), la densite

particulaire d’eau n∗(r, t) verifie, en regime permanent : ∂n∗

∂r= −

ϕ

4πDr21) Determiner l’equation differentielle verifiee par R(t) ; en deduire l’expressionde τ , temps de sechage de l’eponge.2) Application numerique.

ϕ ( t ) : flux de vapeur d’eauqui s’echappe de l’epongeR0 : rayon initial

R(t)

partie mouillee

partie seche : l’eau est a l’etat devapeur et diffuse vers l’exterieur

´´

Planche 68On fait bouger verticalement un noyau magne-tique dans une bobine. La position de la basedu noyau est reperee par x.1. Comment l’inductance L de la bobine evolue-t-elle avec x ?2. En utilisant le modele L(x) = LM−λx, avecLm ! L ! LM , et 0 ! x ! xM , determiner λ.3. Donner l’energie magnetique contenue dansla bobine.4. Quelle est la force exercee entre le noyau etla bobine ?5. La bobine est sous tension U(t) et possedeune resistance R. Determiner l’equation elec-trique reliant U , i et L.6. La seule force s’exercant sur le noyau est F .Quelle est l’equation mecanique ?

M

x

bobine

support

Noyau magnetique

x

0

t

U

i

uayoneluotnemoMtouche le support

´

7. A partir des relations obtenues precedemment, donner deux equations diffe-rentielles couplees reliant U , i et L.Ce systeme couple est-il facile a resoudre ?8. Peut-on, a partir de ces equations, justifier pourquoi l’intensite decroıt justeavant que le noyau touche le support ?

(24) Statique des fluides.



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LE CYCLE INGÉNIEUR7LWXODLUHVG¶XQEDFVFLHQWL¿TXHRXWHFKQLTXHRSWH]SRXUla réussite et l’innovation grâce au cycle ingénieur de l’école d’ingénieurs CESI. 'pYHORSSH]HQDQVWRXWHVOHVFRPSpWHQFHVQpFHVVDLUHVjO¶H[HUFLFHde cette fonction, dans un contexte national ou international, entre adaptabilité, innovation, évolution. Sous statut étudiant : généraliste, informatiqueEn apprentissage (être âgé de moins de 26 ans) : généraliste, systèmes électriques et électroniques embarqués, BTP

Planche 69

I) Question de cours : Expose sur les ondes sonores dans un fluide.II) on dispose d’un bac d’eau et un tuyau, de longueur ℓ et de section s est disposea la verticale au dessus du bac, le bas du tuyau affleurant a la surface de l’eau etun courant d’air sec circule en haut du tuyau. Il y a evaporation des particulesd’eau.1) Determiner la densite moleculaire d’eau n en bas, n0, et en haut du tuyau, nℓ.2) Sachant qu’une masse m0 d’eau s’evapore en une journee, calculer le coefficientde diffusion des particules d’eau D. Discuter de la valeur obtenue.Donnees : ℓ = 1,m ; s = 20 cm2 ; m0 = 65mg ; Pression de vapeur saturantea 25C : Pvap = 3200Pa ; Masse molaire de l’eau : M = 18015 kg.mol−1 ;R = 8.314 J.K−1.mol−1 ; Na = 6,02.1023mol−1.


1. Construire le schema fonctionnel d’une pompe a chaleur et indiquer le sens reeldes echanges.Donner l’expression de l’efficacite energetique maximum et les hypotheses utilisees.Faire une application numerique pour des valeurs de temperature realistes.2. Reprendre la question precedente avec un moteur, sans application numerique.3. On dispose de trois solides de meme capacite thermique C et aux temperaturesinitiales T1,0 = 100K, T2,0 = T3,0 = 300K.Sans apport d’energie exterieur, en utilisant des machines thermiques, commentchauffer un des solides (lequel ?) a une temperature maximale ? Quelle est cettetemperature ?


Les statues se recouvrent d’une couche de carbone. Pour la retirer et redonnerl’eclat originelle a la statue on use d’un laser. Un Laser en regime force, emet aune frequence de 20Hz ; pendant 10ns. L’energie par impulsion est de 1, 0 J.Quelle est la puissance instantanee de ce Laser ? Sa puissance moyenne ? Pourquoiutiliser un tel laser ?Montrer qu’on peut obtenir la sublimation du carbone avec un tel laser.Donnees : enthalpie molaire de sublimation du carbone : 718,4 kJ.mol−1

masse volumique du carbone : 2 250 kg.m−3

Capacite thermique massique du carbone 710 J.Kg−1.K−1.


On considere une goutte d’eau indeformable modelisee par une boule de rayon aet de masse volumique uniforme ρ, en chute libre dans l’atmosphere soumise a

une force de trainee F = −6πη av1 + l/a

·

Determiner la vitesse limite vlim atteinte par la goutte.Application numerique : a = 0, 1mm ; η = 1, 81.10−5 Pa.s. Commenter.Determiner le temps de chute pour un nuage situe a 8 km de haut.2me approche.On considere maintenant que la goutte rencontre sur son passage des micro-gouttes qui s’agglutinent, et par consequent la masse de la goutte varie telle

que 1(m(t)

dmdt

= λv(t), avec λ donne. On ne connait plus la force de trainee.

Montrer RIGOUREUSEMENT que la somme des forces vaut−→F = d

dt(m(t)v(t)).

Determiner l’equation differentielle verifiee par v(t) et la nouvelle vitesse limitevlim.


On etudie une centrale nucleaire et son systeme de refroidissement. Cette centralefournit une puissance P = 1800MW. Le refroidissement s’effectue par l’utilisationde l’eau du canal voisin dont le debit est D = 50m3. s−1.1. On modelise la centrale par une machine ditherme donc la source chaude est lereacteur nucleaire de temperature 320C et la source froide est l’eau du canal detemperature 10C. Determiner le rendement de la centrale sachant qu’il equivauta 60% du rendement de Carnot.2. Evaluer la variation de temperature de l’eau du canal.3. On souhaite refroidir l’eau avant de la rejeter, on utilise pour cela le contact dutuyau avec l’atmosphere. Quelle est la longueur de tuyau necessaire ? On exprimela loi de Newton par : dΦ = h.(T (x)− Tatm).dS avec h = 10W.m−2.K−1.Donnees : ρ = 1000 kg.m−3 ; c = 4,185 kJ.kg−1.K−1.

Concours Communs Polytechniques − MP

Planche 74

I) Une onde electromagnetique plane progressive harmonique se propage dans unplasma contenant N electrons par unite de volume. Son champ electromagnetiques’ecrit : E = Emei(ωt−kx) et B = Bmei(ωt−kx) avec Em = Emez .Donnees : −→rot (−→rotA) =

−−→grad (div A)−∆A ; c = 3.108 m.s−1 ; µ0 = 4π10−7 H.m−1 ;

e = 1, 6.10−19 C ; me = 9, 1.10−31 kg ; N = 1020 m−3

1) Calculer le module de la vitesse en negligeant la force magnetique.2) Verifier qu’avec cette valeur on peut bien negliger la force magnetique.

3) Calculer la densite volumique de courant j.

4) Determiner l’equation de propagation du champ electrique E a l’aide desequations de Maxwell.5) Determiner l’equation de dispersion. En deduire une pulsation limite flim etetudier les deux cas f < flim et f > flim. Determiner la vitesse de groupe et lavitesse de phase dans ce dernier cas.II) On considere la reaction : CaCO3 (s)

CaO(s) +CO2 (g)

1) Quels sont les noms usuels de CaO et CaCO3 ? Quelles sont leurs utilisationsindustrielles ?2) On donne les pressions suivantes a l’equilibre : P (1000K) = 0,119 etP (1200K) = 4,25. Calculer ∆rH0 et ∆rS0, supposes independants de T .3) On donne P (1080K) = 0,583. Verifier que cela correspond.4) Dans une enceinte initialement vide de volume de V = 40L maintenue a 1080K,on place 1 mol de CaO(s) .

a) On ajoute n mol de CO2 (g) . Rien ne se passe avant qu’on atteigne la pressiond’equilibre. Pourquoi ?b) Calculer n minimal pour atteindre la pression d’equilibre.c) Calculer n maximal pour rester a la pression d’equilibre.

Planche 75

I) On dispose d’un barreau de section s = 2 cm2 compose de deux parties :

- une premiere en cuivre de conductibilite λ1(Cu) = 380W.K−1.m−1 et delongueur L1 = 80 cm ;

-une seconde en aluminium de conductibilite λ2(Al) = 200W.K−1.m−1 et delongueur L2 = 50 cm.

La surface laterale du barreau est isolee. On maintient les extremites libres a latemperature T1 = 0C pour le cuivre, et T2 = 180C pour l’aluminium.

1. Determiner la temperature Ts de la soudure entre les deux metaux.

2. Determiner le gradient de temperature dans la partie en cuivre et celle enaluminium.

3. Determiner la densite de courant thermique et le transfert thermique Q quitraverse la jonction chaque minute.

4. Determiner La resistance thermique de l’ensemble.

5. Applications numeriques. Calculer Ts et Q.

II) Probleme ouvert. Theme : Nuage, formation et devenir

On pourra aborder :

- les liens solide/liquide et liquide/vapeur de l’eau dans le nuage (thermo) ;

- la chute d’une goutte d’eau (meca) ;

- les particules en suspension (meca) ;

- l’apparition de charges dans le cas de la formation d’un nuage (electrostatique).


Un carre PQRS, de cote ℓ, est parcourupar un courant i. Il glisse sans frotte-ment, a une vitesse v, le long d’une barremetallique, horizontale, parallele a l’axe(Ox). Il passe de la zone 1 (x < 0 a a zone2 (x > 0. La vitesse initiale du cadre est

v = v0ex. Il y a un champ magnetique−→B

tel que :

− dans la zone 1,−→B = 0 ;

− dans la zone 2,−→B = Bey ;

−→B

0v x

R

O

e−→

z

xy

Q

P S

zone 1 zone 2

1.a. Quel est le sens du courant i ?

b. Calculer la fem induite. Trouver une relation entre v et i.

c. Le signe de i est-il coherent avec le sens donne a la premiere question.

2.a. Exprimer toutes les forces qui s’exercent sur le cadre.

b. Etablir l’equation differentielle du mouvement.

c. La resoudre pour exprimer v. Conclure.

Planche 77 [II) Abordable en Sup ]

I) (8 points) On considere un Michelson en coin d’air avec e = 6,5mm, et unelampe emettant une lumiere monochromatique, de longueur d’onde λ = 650 nm.

1. Dessiner le dispositif puis etablir la formule de la difference de marche enfonction de e et de l’angle d’incidence i.

2. Quels sont les rayons des trois premiers anneaux d’interferences ?

II) (12 points) On considere un systeme (S) constitue d’une corde, inextensible, demasse lineique µ, de longueur totale L, attachee a un pont par une extremite. Uneboule de masse M , ponctuelle, posee sur le pont, est attachee a l’autre extremitede cette corde. La corde pend dans le vide (et remonte jusqu’a la boule). Lahauteur du pont est superieure a la longueur de la corde. L’origine de l’energiepotentielle est fixee quand la masse est sur le pont. A t = 0, on pousse la boulequi tombe, sans vitesse initiale.

1. Quelle est l’energie mecanique du systeme (S) =corde+boule a t = 0 ?

2a. Quelle est l’energie potentielle de la partie de la corde au dessus de la masse ?

2b. Demontrer que l’energie potentielle de (S) peut se mettre sous la formeA.µ.g.(2zL− z2) , avec A constante.

3. Que doit-on supposer pour que le systeme soit conservatif ?

4. En utilisant le theoreme de l’energie mecanique, donner la vitesse de la bouleen fonction de z, sa position reperee a partir du point de depart.

5. Calculer sa vitesse quand elle arrive en z = L. Etudier le ca limite L = 0.

Planche 78I) On considere le systeme mecanique constitue d’unebarre de masse m, de longueur OA = 2a et de moment

d’inertie I = 34ma2. A l’equilibre, la barre, fixee en O, est

horizontale.1. Donner la longueur du ressort a l’equilibre en fonctionde la longueur a vide ℓ0 et la raideur k.2. valeur du moment d’inertie ?

0k, ℓ

O A

3. Donner l’equation du mouvement, puis pour les petits angles.

4. Quelle est la periode des oscillations ?

II) Le systeme a etudier est constitue d’une barre cylindrique de rayon a, delongueur L, avec un thermostat d’eau bouillante a une extremite. Temperatureexterieure est θ. Les pertes s’effectuent par les parois : puissance dP = h(T − θ).

1. Quelle est l’equation verifiee par T (z, t) ? Dans le cas stationnaire ?

2. On suppose T (z = L) = θ. Montrer qu’il existe une longueur caracteristique δ,a exprimer en fonction de a et h. Trace le profil de temperature.

3. Determiner et tracer le profil de temperature d’une barre, aux parois calorifu-gees, placee entre deux thermostats. Bilan entropique.



Planche 79 [II) Abordable en Sup ]I) On considere un solide infini de rayon a. Il est parcouru par un courantI = I0 cos(ωt). On donne B = 0 si r > a, B = µ0nIez si r < a.1) A l’aide de l’equation integrale de Maxwell Faraday, trouver E. (On supposeE de la forme E(r, t)eθ.2) Quelle est la puissance moyenne dissipee par Effet Joule sur un cylindre d’axeOz de hauteur H et de rayon b < a.II) La Terre (masse M) tourne autour d’elle-meme selon Ω. Un satellite tourneautour de la Terre.1) Montrer que si la trajectoire est geostationnaire (de rayon R) le mouvementest plan.2) Exprimer R en fonction de G, M et Ω.3) Donner un ordre de grandeur de R.4) Quelle est l’energie potentielle d’un point de masse m a la distance r de laterre ? Quelle est l’energie cinetique d’un satellite geostationnaire ?5) O represente un point a la surface de la Terre (rayon RT ) a la latitude λ. Test le centre de la terre. Au debut, le satellite est en O, quelle est son energie ?6) Quelle est l’energie minimale a fournir au satellite pour qu’il aille sur l’orbitegeostationnaire ? Conclure ?

Planche 80 [I) Abordable en Sup ]I) Dans une salle de cine-ma, on lit, a l’aide d’unprojecteur, une pellicule delargeur b sur un ecran (E)de largeur L. On le mo-delise par une source lu-mineuse et une lentille con-vergente suivant le schemaci-contre. On note d la dis-tance de la pellicule a l’ob-jectif et D celle de la pel-licule a l’ecran.

f′

LD

F F′OA

Bd

↑

(E)

1. Tracer l’image A′B′ de AB a l’aide de 3 rayons differents.2. Montrer que, pour que d existe, il faut une condition sur D et f ′.3. Donner l’expression du grandissement transversal Gt et montrer qu’une seulevaleur de d est possible.4. Calculer d et f ′ pour b = 24mm, L = 5m et D = 40m.II) On rappelle qu’a l’exterieur d’un solenoıde infini, le champ magnetique estconsidere comme nul.Un solenoıde infini d’axe zz′ est constitue de deux cylindres coaxiaux de rayonsR1 < R2 entre lesquels s’enroulent n fils par unite de longueur, m fils par united’epaisseur, tous parcourus par un courant I.

1. Donner les symetries et invariances de E puis calculer B en tout point del’espace.2. On suppose maitenant q’une charge volumique ρ uniforme est repartie entreles deux cylindres qui forment un tube en rotation autour de zz′ a vitesse ω.

Donner l’expression du vecteur densite de courant z et determiner B en tout pointde l’espace.Montrer que l’on aurait pu obtenir ce resultat a l’aide de la question 1.


I) Etude d’un cycle moteur reel.

On dispose de ce diagramme PV etdu schema representatif du fonction-nement d’un moteur 4 temps.1. Le melange de gaz reste-t-il iden-tique au cours du cycle ? Que peut-onen deduire concernant les γi ?2. Identifier les differentes transforma-tions du cycle reel sur le diagrammePV .3. Determiner un cycle theorique mo-delisant le cycle moteur en utilisant destransformations reversibles isochores,isobares et adiabatiques. Determinerles equations correspondantes a chaquetransformation.4. Comparer le cycle reel et le modeletheorique, segment par segment.5. a quoi correspond l’aire du cycle ?

V

P

C

E

BA

v1 v2

II) Etude d’un cable coaxial.On dispose de l’image d’un cable coaxial,de rayon interieur R1 et exterieur R2.1. Calcul de la capacite lineique.Dans le dielectrique, l’ame est parcouruepar un courant I, et ce courant revientpar le blindage.

Blindage

Isolant

Ame

On fixe le potentiel V = U au niveau de l’ame, et V = 0 au niveau du blindage,de telle sorte que l a charge au niveau de l’ame vaut +Q et celle au niveau dublindage vaut −Q. On remplace la permittivite du vide par la permittivite reelle :ε0 · ε. Determiner la capacite lineique du cable, sachant que Q1m = C1m · U .

2) Calcul de l’inductance lineique : On donne la densite d’energie volumique :

wmagn = B2/2µ0 et l’energie volumique : W =

!!!wmagndτ . Determiner l’in-

ductance lineique.

Planche 82I) Modele de l’atmosphere polytrope. C’est l’atmosphere classique, sauf quela temperature varie selon la loi T = T0 − λz, avec 0 ! z ! 10 km,λ = 6,5.10−3 K.m−1 et T0 = 288K. Pour z = 0, on a P = P0. On donneg = 9,81m.s−2 , R = 8,314 S.I et M = 29 g.mol−1. On suppose l’air a l’equilibredans le referentiel terrestre (repere cartesien avec (Oz) pour verticale ascendante).

Montrer que P est de la forme P = P0."

TT0

#qet calculer q.

II)

1.a. Presenter brievement le role des vis (1) a (7).1.b. Quel est le role de la compensatrice ?1.c. Quelles sont les configurations possibles de l’interferometre ?2. On utilise une lampe au sodium dont on etudie le doublet λ1 = 589 nm,λ2 = λ1 +∆λ avec ∆λ << λ1. On a un eclairement uniforme.a. Quel phenomene est du a la presence de plusieurs longueurs d’onde ?b. Que dire des ordres d’interferences pour chaque longueur d’onde ?c. Comment trouver ∆λ ?

Planche 83I) (9 points) Un point materiel M glissesans frottement sur un cerceau de rayonR, tournant autour d’une barre ∆ a unevitesse angulaire constante ω.1) Exprimer les accelerations γr, γe etγc dans la base (ur, uθ).2) Etablir l’equation differentielle verifieepar θ.3) Que devient cette equation differen-tielle lorsque le point M atteint unequilibre relatif ? On pourra faire uneresolution graphique.

ω

g

∆

θ

uθ

ur

O

M

II) (11 points) Un plasma dilue est compose d’electrons, et d’ions dont la vitesse

est negligeable (densite particulaire n). On pose ωp =

$ne2

mϵ0. On cherche les

ondes electromagnetiques pouvant passer a travers ce plasma. On s’interesse aune onde plane, progressive, monochromatique de vecteur d’onde k, de pulsationω, d’amplitude E0.1) Exprimer le champ electrique de l’onde en notation complexe.2) Montrer que le champ magnetique est egalement une onde plane progressivemonochromatique dont on precisera la pulsation et l’amplitude.3) Que dire du triedre (E, B, k) ?4) En s’appuyant sur les equations de Maxwell, calculer le vecteur densite decourant volumique ȷv en fonction de E.5) Faire l’inventaire des forces s’exercant sur un electron, puis, en appliquant leprincipe fondamental de la dynamique, montrer qu’il existe une constante α telleque ȷv = iαE ou i2 = −1.6) Etablir la relation de dispersion.7) Tracer la courbe k(ω).8) Pour quelles valeurs de ω, l’onde electromagnetique peut-elle passer ?9) On se place desormais dans ce cas de figure.

a) Determiner la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Etablir une relationentre ces deux vitesses, et tracer ces deux vitesses sur un graphe. Commenter.b) Calculer le vecteur de Poynting R.

c) Evaluer l’energie electromagnetique volumique.


I) On etudie la propagation d’une ondeelectromagnetique de la forme :

−→E = Em sin

%π xa

&exp(i(ωt− kz))ux

dans un guide d’onde suppose parfait.

1. Determiner le champ−→B . Est il trans-

verse ?

x

y

za

b

2. Determiner l’equation dont E est solution, en deduire l’equation de propagation.3. Determiner l’expression du vecteur de Poynting ainsi que celle de la puissancemoyenne.

II) On etudie un piston calorifuge de sectionS. Le dessin ci-contre decrit l’etat initial.Dans le compartiment initialement vide setrouve un ressort de raideur k, dans l’autre setrouve un gaz. On lache le ressort, determinerle deplacement x du piston. Calculer la varia-tion d’entropie.

P0

hvide

T0

V0

ℓ0

k


79hePlanc [II) ordableAbI) solideunere`considOnI = I0 cos( tω donneOn). B

tinuationeq´l’del’aideA1)E formelade E( tr, )eθ.

mopuissancelaestQuelle2)Oz hauteurde H onyraaydeetI)I es(masererTLa M uo) t

erre.TladeautourjectoiretralasiueqtreronM1)

pSuenordable ]onyraaydeinfini a apuruocrat psl e. I

is= 0 ar > , B = µ0 enI z si ar < .ertrouv,yradaayaFlelwaxMdeegraleegralet E. (

cyunsurJouleetffEparee´dissipenneymoon b < a.

an s. UΩnolesemem-elle’r duotuaenru

onyraay(dennaireotieosta´gestjectoire R) l

tnaruon cr ua

esoppusnO. (

ed’axlindrecy

enruotetilleta

tnemevuoe m) l

l’inductancedeCalcul2)

w ngma = B2/2µ0 et

ue.eiq´linductance

82hePlancI) mta’ledeledMo

arieverature´templaλ = 6,5.10−3 K.mg = 9, m.s81 −2 , R

edensitladonneOn:ueeiq´linl’inductance

:ueolumiqveienerg´l’et W =

!!!!!wma

rehpsomta’ltse’C.eporytloperehpsomloilaselonarie T = T00T − zλ ev, a

−1 et T00T ruoP.K88= 2 z ano,= 0= 8, etS.I314 M lom.g9= 2 −1 pusn. O

:ueolumiqvenergie´d’

ngma dτ -ni’lrenimrete. D

equfuas,equissalcerc 0e ! z ! m,k10a P = P00P ennodn. O

erbiliuqe’a lr aia’e lsoppjectoiretralasiueqtreronM1)plan.estprimerEx2) R defonctionen

grandeurdeordreunDonner3)otenpenergie´l’estQuelle4)cinenergie´l’estQuelle?terre

5) O atoinpunteesen´repruAterre.ladetreencleest

minimaleenergie´l’estQuelle6)?erulcnoC?eriannoitatsoege

80hePlanc [I) ordableAbI) e-íncdesalleuneDans

d’unl’aidealit,onma,deelliculepunejecteur,pro

largeur b (ecranúnsur E)largeurde L -oe mn l. O

onyraay(dennaireotieostagestjectoire R) l

de G, M .Ωetdegrandeur R.

massedetoinpd’untiellenn m sidala?eostationnaire´gtesatellid’unueetiqćin

ony(raerreTaldeacesurfla RT aa l) àenestsatelliteleebut,ebut,d O t sse elleu, q

ailleu’ilqourpsatelliteuafourniraminimale

Supenordable ]

LD

d →→→→

tnemevuoe m) l

ecnats r lade

edutital λ. T?eigrenenot stebi’orlsuraille

(E)

g = 9, m.s81 , Rterrestretielerenef´feefrledans

equrertnMo P est

I)I

−→−→−→→

S

= 8, etS.I314 M lom.g9= 2 pusn. O(ecvaesienćartere`(repterrestre Oz r vuo) p

formelade P = P00P ."

TT00T

#qcalculeret

ensatricepCom

O

2O

2M

M

(6)

(2)(1)

erbiliuqea lr aiae lsopp.)etnadnecse alacitrer v

q.

1

(5)(3)

-ulecruosenurapesiledecon-tillelenuneetmineuse

amehcseltnnaviusetnegrvenoteOntre.ci-con d dis-la

l’ob-aculeellipladetancetefjecti D el-pladecelle

ecran.´l’alicule

A

B

l’imageracerT1. A′B′ de ABuequropue,qtreronM2. d

grandissemendupressionl’exnnerDo3.edruelva d ossible.pest

Calculer4. d et f ′ rupo b = 2I)I er´l’extaqu’aellerappOn

ul.ncommeeerćonsidxea’dinfiniedıonelosUn zz

R1 < R2 s’enroulenuelslesqtreentousi´d’

f′

F F′OA

B↑d

↑B

AB .stnereff´ffeidsnoyaayr3ededia’lasurconditionuneutfailiste,ex D et f ′

ersaltransvtgrandissemen Gt trermonet

,mm4= 2 L tem= 5 D .m0= 4magnhampcleinfini,ıdeëno´sold’unerieur

′ iauxcoaxlindrescydeuxdeeconstituestts’enroulen n longueur,deeunitparfils m

t I

→→→→

′.seuleu’uneqtrer

estetique´magn

onsyraaydeiauxeunitparfils

−→→

−→−→S

eparatr´S

1.a. evìbrterenes´Pr1.b. olroleestQuel1.c. lestsonQuelles2. uneutiliseOnλ2 = λ1 ∆+ λ ceava. eneènom´phQuelb. orddesdireQuec. ertrouvtCommen

83hePlancI) oinpnUts)oinp(9

ice

O

1O(7)

(7).a(1)svideseololreltemennev?ensatricecompladeole

eromterf´fel’indeossiblespconfigurationslesdoubletleetudieetudieontdondiumsoauelamp

∆ λ<<<<λ 1 roffoint unemerialcenn a u. Olongueursplusieursdeesence´prlaaudestene

longueurhaquecourperencesterfed’inresord∆er λ ?

erielerielmattoin M glisse

(5)

(4)

?etreèromdoublet λ1 ,mn98= 5

.em?d’ondelongueurs

?d’ondelongueur

parcourustousepaisseur,d’

etetries´msylesrneDon1.l’espace.

’uneqtmaitenanosesuppOn2.ormenffouiqresndlicydeuxles

ecteurvdupressionl’exDonnerl’espace.de

ouptiaruano’lequrertnMo

81hePlanc [I) ordableAb

Admission Comp

tcouranunpar I.

deariancesvin E culerlcapuis B touten

ueolumiqvehargc’une ρ restuniformedeautourrotationenetubuntormen zz′ a

tcourandeedensitecteur z eterminer´det B

oitsequalededia’latatluserecrinetbo

Supenordable ]

phapcEbustionmCoCompression

detoinptout

treenepartie´ressetiv ω.

toinptouten

.1no

tnemep

I) oinpnUts)oinp(9surtrottemenffrottemensans

R r duotut ananruo, tocerialugnaessetvi

acclesprimerEx1)γc (baseladans ur

2) ´ onequati´’lriEtablpar θ.

cettetienndevQue3)pleuelorsqtielleO?fitalererbiliuqeuqihpargnoitulosere

I)I nUts)oinp(11

(densitegligeableegligeablenest

etiqelectromagnelectromagnondes

erielmattoin M glisseonyraydecerceauunsurena u`∆errae bnu’r d

etnatsno ω.erationsélelacc γr, γe et

r u, θ).ee´fiier´veleltiener´ffdion

eren-´ffdiuationeqćettetoinp M untattein

enueriafarruopnO.eu

ω

∆

etelectrons,electrons,d’eoscompestediluplasma

particulairee(densit n osepOn). ωp =

$

plasma.ceersvtraapassertannouvpuesetiq´

g

θ

uθ

ur

O

M

itessevlatdond’ionset$ne2

ϵm 0see lhcrehn c. O

aeresse´ts’inOnplasma.

↓I) ´ moteurecyclund’Etude

diagrammecedeosedispOndutatifesen´reprema´hscdu

temps.4moteurd’untnemen1. te-t-iesrgazdeangeelelmLe

Que?clecyducoursauuetiq

↓↑.eeleelr

diagramme PV etfonction-du

temps.den-ilte-t-i

eut-onpQue

P

C

↑

etiqelectromagnprogressivplane,ondeune

ω edutilpma’, d E0.hampcleprimerEx1)

cleueqtreronM2)donhromatiquecmonoedreedretridudireQue3)surtans’appuyEn4)

ueolumiqvtcourantaireenvl’inaireF5)

tfondamenneprincipequ vvȷ = i Eα iuou 2

relationlaEtablir6)ecourblaercraT7)

aleursvuellesqourP8)esormais´decaplseOn9)

vlaeterminer´Da)

plasma.passerpetiqecteurvdeuehromatiqcmonoe,progressiv

complexnotationenl’ondedeueelectriqelectriqhampondeunetegalemenegalemenestueetiq´magnhampc

l’amplitude.etpulsationlaseraeci´prontdon(edre E, B, k) ?

calculerell,waxMdeuationseqéslsurvvȷ defonctionen E.

electron,electron,unsurtcanercs’exforcesdestaireisteexu’ilqtrermontue,namiqdyladetal

= −1.ersion.dispderelation

e k(ω).dealeurs ω uee puqitengamortceleedno’, l

figure.decascensdaesormais

e.groupdeitessevaletphasedeitessev

plasma.d’onde k noitaslue p, d

e.complexeprogressivplaneonde

l’amplitude.

deedensitecteurvle

letuanappliqenpuis,teconstanuneiste α telle

?ressae plle-tu

e. ´ onatielruneriEtablQuecytiqlestconcernanneduireeduireden γi

2. trtesener´ffdieslfiertiIdendiagrammelesureeleelrclecydutions

PV .3. oehetelcycnurenimreteDe

tuneruetomelcyceltnasiledeersiblesev´rtransformations

Dues.diabatiqaetisobarestesondancorrespuationseq´les

transformation.4. eteeleelrcycleleComparer

segmenpartsegmenue,eoriq´th5. deria’ldnopserrociouqa

I)I ´ alcoaxieablcaund’Etudecanud’l’imagedeosedispOn

ruerie´tinonyrayde R1 texet

pi ?

ma-foranstrdiagramme

-omeuqirosedntasilit

hores,cisoneretermi´Duehaqcates

eleeledmolet.segmen

?elcycud

A

v1

.alcoaxial,ablecable

erieur´ R2.

V

E

B

v2

vlaeterminerDa)itesses,vdeuxcesetrenecteurvleCalculerb)

c) ´ egiener´’lueralEv

84hePlanc [II) Ab

I) propalaetudieetudieOndeuqitengamortcele

−→E = Em sin

%π xa

d’ondeguideundans

hampcleretermine´D1.?esrve

uationeq´l’eterminer´D2.pressionl’exeterminer´D3.

enne.ymo

e.groupdeitessevaletphasedeitessevgraunsuritessesvdeuxcesrcetraetitesses,

tingnyoPdeecteur R.

que.umiolvueqetiómagnectrelele

upSenordableAb ]

onded’unegationpropa:emroffoaled

xa

&p(i(ex tω − kz))ux

parfait.eosp→

d’onde

hamp−→

supp

B -snarl tits. E

x

y

tdonuation E eq´l’eduireeduiredensolution,estueqainsitingnyoPdeecteurvdupression

e. onatielruneriEtablter.Commenphe.gra

za

b

propagation.deuationeqpuissanceladecelleue

1. enlieitccapaladeCalculestamel’aue,electriqelectriqdielDans

tcourannunpar I uoe cct, eblindage.lepar

tielotenplefixeOn V = U auhargecalueqsortetellede

autvblindage −Q lpmen r. Oε0 · ε ticapaa cr lenimrete. D


eique.parcourueest

tneivertnar

ag

a

ndiBl

Isol nttn

etame,l’adeeaunivau V uaevinua= 0+autvame’aldeeauvniauharge Q celleet

imrea pr lae pdiu ve de dtivittimrepae lcaleut qnahca, selbau ce duqienie le l Q1m =

or 22

Ame

,egadnilbududueaunivau:elleee r´tivitti

= C1m · U .

y

I)I punetudieetudieOnS tnoc-icnissee d. L

compartimenleDansderessortunetrouv

Ongaz.unetrouvteplacemenneplacemendle x du

tropie.d’enntion

egPa 62

sectiondeecalorifugstonip.laitint iate’t lircee drt

seidevtinitialementcompartimenraideurde k ee srtua’lsna, d

eterminer´dressort,leheaclaaria-vlaCalculerpiston.du h


P00P

hidev

T0

V00V

ℓ0

k

eopcosryGeaupTaal


Concours Communs Polytechniques − PC

Planche 851) On dispose d’ un reseau de N fentes, separees d’une longueur a = 0,1mm. Onenvoie un rayon incident de longueur d’onde λ et formant un angle θ0 avec lanormale du reseau. Trouver l’angle θp, angle de sortie des rayons du reseau, telque l’on ait des interferences constructives.2) On s’interesse a une lampe spectrale possedant un doublet de longueurs d’ondeλ1 = 576,96 nm et λ2 = 579,07 nm. Trouver θ0 sachant que le rayon correspondanta la longueur d’onde λ2, a l’ordre 1, sort en incidence normale.3) On ajoute, apres le reseau, une lentille de distance focale f ′ = 20 cm et un ecransitue dans le plan focal de la lentille. Trouver x, impact sur l’axe vertical de l’ecrandes rayons lumineux ayant traverse le reseau, pour l’ordre 1, avec λ1, pour l’ordre2 avec λ1 et ensuite avec λ2. Le doublet est identifiable si la distance separant 2impacts est superieure a 0,5mm. Trouver l’ordre p pour lequel la separation estvisible.4) On envoie a present des macromolecules de masse molaire M = 515 g.mol−1.Que se passe-t-il qualitativement ?5) Trouver v la vitesse des macromolecules a l’impact.Donnees : nombre d’Avogadro Na = 6,02.1023mol−1 ; constante de Planckh = 6.63.10−34m2.kg.s−1

Planche 86I) On dispose d’un conducteur qui occupe le demi espace x < 0, le champ est nuldans cette partie de l’espace et il n’y a pas de charges. Le conducteur possede unecharge superficielle σ en x = 0.

1) Montrer que le champ E est de la forme−→E = f(x).ux. Determiner l’expression

de f .2) En deduire le potentiel electrostatique.On ajoute une densite volumique de charge ρ entre x = 0 et x = L.3) Determiner l’expression du champ total.4) Determiner une condition sur ρ pour avoir ecrantage dans la partie x > L.5) Tracer ||Etot|| et ||Etot||2 en supposant cette condition verifiee.

II) Canalisation coudee. Determiner les expression de fx et fy , f etant la forceexercee par le liquide sur la canalisation.Application numerique avec des valeurs du debit massique, de la surface, de lamasse volumique et de la pression.

Planche 87 ChimieI) Question de cours. Protection des fonctions carbonyles (Bilan et procede ) (Pasde mecanismes)II) Question ouverte. Vous avez a disposition :− tous composes organiques possedant au maximum deux carbones ;− le 4-bromobutane-2-one ;− des composes mineraux.Proposer une synthese du 5-hydrohexane-2-one.III) On etudie la reaction Ni(s) + 4 CO(g) = Ni(CO)4. [Ni(CO)4] peut etre soitliquide, soit solide.1) A l’aide des donnees thermodynamiques fournies, etablir, en fonction de latemperature absolue T , les expressions de l’enthalpie libre standard de la reaction,pour une temperature entre 273 et 316K et pour T entre 316 et 473K. Pouvait-onprevoir le signe du coefficient de T dans l’expression de l’enthalpie libre standardde reaction ? Quelles sont les donnees supplementaires necessaires si on veut tenircompte de la variation des enthalpies et des entropies standard de reaction avecla temperature T ? Comment les utilise-t-on ?2) Quelle est la variance d’un systeme compose de nickel solide, CO gazeux etde Ni(CO)4 liquide ? Influence de P a temperature constante ? Influence de T apression constante ?3) Meme question pour un systeme compose de nickel solide, CO gazeux et deNi(CO)4 gazeux.En pratique, on se place sous une pression totale de 20 bar. En se placant ainsi sousune pression plus elevee, il est possible de faire la synthese du nickel carbonyle aune plus haute temperature,4) Quel peut etre l’interet de faire cette synthese a plus haute temperature ?5) Determiner la temperature de vaporisation de Ni(CO)4 sous une pression de20 bar. Quel sera l’etat physique de Ni(CO)4 a 433K et 20 bar ?6) Ecrire l’enthalpie libre en fonction de P , T et la fraction molaire en Ni(CO)4 dumelange gazeux en equilibre avec du nickel en exces, sous une pression de 20 bar aa 433K. La teneur du melange est-elle proche de 90, 70, 50 ou 30 % en Ni(CO)4 ?7) On souhaite un rendement de 80% a quelle temperature se place t-on ?8) On a du Ni(CO)4 et on veut du nickel pur ; a quelle temperature se place t-on ?Donnees :

Especes chimiques Ni(s) CO(g) Ni(CO)4 (ℓ)

∆fH298(kJ.mol−1) −111 −632

Sm,298(J.K

−1mol−1) 30 198 320

Temperature d’ebullition du Ni(CO)4 sous P = 1bar : Teb = 316K ;Enthalpie standard de vaporisation du Ni(CO)4 : ∆vapH = 30 kJ.mol−1 ; ’R = 8,31 J.K−1mol−1.

Relation : ∆rS =∆rH

TPlanche 88I) On considere un radar qui envoie un signal, une onde electromagnetique, defrequence 10,0GHz sur une voiture qui approche a vitesse constante V0. Cettederniere reflechie le signal sur le radar. Puis le signal est traite par le radarde la maniere suivante : il multiplie le signal emis par le signal recu et il luiapplique un filtre passe bas judicieux. On observe la sortie a l’oscilloscope et on

voit f = 2,80.103 Hz. On rappelle que cos(a) cos(b) = 12cos(a + b) + cos(a − b)

freception =1 +

v

c

1−v

c

.femission.

Trouver V0 et proposer un filtre passe bas adapte.II) On considere un fluide − le methane (M = 16 g.mol−1) − qui subit unedetente adiabatique de debit massique Dm = 2,5 kg/s, de maniere permanente. Enamont du detendeur P1 = 80bars, T1 = 300K, v1 = 0,0170m3.kg−1 est le volumemassique , h1 = 1120 kJ.kg−1 est l’enthalpie massique et s1 = 9,10 kJ.kg−1.K−1

est l’entropie massique. La surface de l’ecoulement est S constante.

En aval, P2 = 3bars, La surface de l’ecoulement est aussi S, constante.

Q1. On neglige l’energie cinetique massique, montrer que la detente est isen-thalpique, et en deduire T2. Comment se nomme cette detente ? Dans ces con-ditions, le volume massique est v2 = 0,522m3.kg−1, l’enthalpie massique esth2 = 1200 kJ.kg−1 et l’entropie massique est s2 = 11,10 kJ.kg−1.K−1.

Q2. Trouver V1 la vitesse du fluide en amont et V2 la vitesse du fluide en aval,supposees uniformes. L’hypothese concernant l’energie cinetique est-elle verifiee ?

Q3. La temperature d’equilibre liquide vapeur est de 128K.

On donne hvap sat = 820 kJ.kg−1 et hliq sat = 342 kJ.kg−1, les enthalpies devapeur et de liquide satures. Montrer que le systeme est diphase et donner le titremassique en vapeur.

Planche 89

I) Une source de lumiere monochromatique S et utilisee ans le montage suivant :

Lame de mica

(2) (1)

Lame semi-re echissante

F′

S

Une lame de mica d’indice n et d’epaisseur e est placee a gauche. On etudie lesinterferences a droite a l’aide d’un spectroscope place en F ′. On appelle Ψ ledephasage induit par la propagation de l’onde entre la face 1 de la lame de micaet le spectroscope. On appelle ⟨⟨onde 1 ⟩⟩ l’onde reflechie sur l’interface air-mica,et ⟨⟨onde 2 ⟩⟩ l’onde reflechie sur l’interface mica-air. Pour l’interface air-mica,r = −0,22 et t = 0,78. Pour l’interface mica-air, r? = 0,22 et t = 1,22.

1) Calculer la difference de marche entre l’onde 1 et l’onde 2

2) Exprimer s1(F?) et s2(F?) en fonction de Ψ.

3) Calculer I(F ′), l’intensite en F ′, et le contraste C, en faisant apparaıtre

α = r′tt′

r ·

4) On utilise une source de lumiere blanche pour eclairer le montage. Trouver λtel qu’on observe des franges sombres sur le spectre.

5) Entre λ1 = 470 nm et λ2 = 630 nm, on observe 40 franges sombres. Determinere.

II) On considere le circuit c-contre.Calculer de la fonction de transfert etanalyse d’un diagramme de Bode passe-bande avec ω = 1000Hz

ve vs

Planche 90

I) 1. Donner la signification de l’acronyme LASER.

2. Quelle est la puissance d’un laser utilise en TP ? Pourquoi les laser sont-ilsconsideres dangereux pour l’oeil compare a une lumiere blanche provenant d’uneampoule a incandescence classique 100 W ?

3. On donne le schema d’une coupe longitudinale d’un laser avec une longueur Lentre les deux miroirs.

Une breve explication du fonctionnement des miroirs dans un laser etait donnee.

Lorsqu’un photon passe dans le miroir tres peu transparent, il a une probabiliteT de sortir de la cavite qui correspond au facteur de transmission. On definitR = 1− T et tar = 2L/c.

a. Que representent ces grandeurs ?

b. Quelle est la probabilite que le photon sorte de la cavite dans l’intervalle[tar, 2tar] ?

c. On montre par recurrence que la probabilite que le photon sorte de la cavitedans l’intervalle [ntar, (n+1)tar] est T.Rn−1. Montrez que le temps de vie moyen

d’un photon tvie s’ecrit tvie = 2 Lc T .

d. Calculez tvie et Pinc (Pinc est la puissance incidente, representee, sur le schema,par une fleche dans la cavite du miroir vers le miroir peu transparent), pour unlaser He-Ne de puissance P = 10mW, T = 5%, λ = 672 nm.

II) 1. On definit la temperature telle que :

dTdz

= −C (C = 6, 00.10−3 K/m)

Donner la temperature a Chamonix (1050m) et au sommet du Mont Blanc(4810m)

2. En utilisant la loi de l’hydrostatique, etablir la loi de pression decrivantl’evolution de la pression dans la troposphere. On pourra definir la constante

χ =gM

RC· Calculer la pression a Chamonix puis au sommet du Mont Blanc.

Donnees : p0 = 1013 hPa, g = 9,8m/s, M = 29 g/mol



Planche 91 [Abordable en Sup ]I)On donne le diagramme (P,H) d’un fluide frigorigene. L’echelle de la pressionP est logarithmique.

50,00

40,00

30,00

20,00

10,00

9,00

8,00

7,00

6,00

5,00

4,00

3,00

2,00

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

Pression (Bar) Échelle logarithmique

120

140

16

0

1

80

200

220

24

0

2

60

280

300

32

0

3

40

360

380

40

0

4

20

440

46

0

4

80

500

520

54

0

5

60

580

Enth

alpi

e (k

J/kg

)

x =

0,10

0,

20

0,

30

0,

40

0,

50

0,

60

0

,70

0,80

0,9

0

-4

0

-20

0

20

40

60

80

1

00

120

140

1

60

0,80

0,70

0,60

0,50

0,80

0,40

0,30

0,20

0,15

0,10

0,09

00,

080

0,07

0

0,06

0

0,05

0

0,04

0

0,03

0

0,02

0

0,01

5

0,01

00,

0090

0,08

00,

0070

0,00

600,

0050

0,00

400,0

030

0,002

0

1. Representer le diagramme (P,H) d’un fluide, en faisant apparaıtre la courbede saturation, la localisation des domaines liquide, de vapeur seche et de domainebiphase (Liquide + Vapeur) et en representant quelques isothermes.2. Rappeler le lien entre enthalpie et temperature pour un gaz parfait. En quoiles isothermes et isenthalpes du domaine de vapeur seche (du diagramme fourni)permettent-elles de dire que le fluide frigorigene n’est pas un gaz parfait ?Dans une installation frigorifique, le fluide suit un parcours en passant par lescomposants suivants :− compresseur : passage de P = 2bar a P = 10bar ; evolution adiabatiquereversible ;− condenseur : la pression demeure a P = 10bar ;− detendeur : passage de P = 10bar a P = 2bar ; evolution adiabatiqueIRREVERSIBLE ;− evaporateur : la pression demeure a P = 2bar.Precisions dans l’enonce :− expression du Premier Principe en reacteur ouvert : ∆H = Q + Wu avec Wutravail utile massique hors travail des forces de pression ;− en domaine de vapeur seche, l’isentrope a une tres forte pente (quasi verticale).3. a. Quelle grandeur d’etat demeure constante lors du passage du fluide dans ledetendeur ? Comment appelle-t-on ce type de detente ? Citer une manipulationexperimentale pour realiser une telle detente.b. D’apres les isobares et isenthalpes du domaine biphase, que peut-on dire dufluide frigorigene ?4. Placer les quatre etats du fluide sur le diagramme (P,H) fourni. DeterminerP , T , H et le titre dans chacun de ces etats.5. Determiner les valeurs numeriques des transferts energetiques associes auxpassages entre etats. En deduire le coefficient de performance du dispositif.Commenter.II) Soit un astre compose d’un fluide homogene, incompressible de masse volu-mique ρ, de forme spherique de rayon R.1. Determiner le champ de gravitation G(r) qui s’exerce en un point a l’interieurde l’astre.2. On suppose que la pression P est nulle a la surface de la sphere. Calculer lapression au centre de la sphere.

Planche 92 ChimieI) Cours. Travail maximum recuperable.II) On verse une solution de chlorure de sodium, 0,1mol.L−1, additionneed’orthophenantroline, dans un electrolyseur muni de deux electrodes. L’ortho-phenantroline reagit avec les ions Fe2+ pour former un complexe rose.Dans une premiere experience, l’une des electrodes est en platine et l’autre en fer.On observe au voisinage de l’electrode de platine que la solution est basique etqu’un degagement gazeux se produit. La solution prend une couleur rose.Dans une seconde experience, on remplace l’electrode de platine par une electrodeen zinc. Cette fois ci, on observe un precipite blanc Zn(OH)2(s) . On remarquequ’alors c’est au voisinage de l’electrode en fer que la solution est devenue basiqueet la solution ne presente plus une couleur rose.Comparer les deux piles. Donnees :

E(H2O/(H2)(g) ) = 0V, E(Zn2+/Zn) = −0,76V ; E(Fe2+/Fe) = −0,44V.

III) 1. Comment former N a partir deBr

?

2. +Cl2

1,4−dichlorobut−2−ene∆Cl

Cl

Cl

Cl

3,4−dichlorobut−1−ene

Expliquer en quoi on peut parler ici de controle cinetique ou thermodynamique.

3. Cl

Cl

Cl

ClDire comment obtenir le 1,4-dichlorobutane a partir du 1,4-dichlorobut-2-ene etdans quelles conditions.

4. • Cl

Cl

−→ (3) en presence de (Na+ ,NH−2 ) et N

• (3) (4) en presence de (EtO⊖ ,Na⊕ ) et N

• (4)hydrolyse

(5) =

OH

OEtOH

H2SO4

(6)

a) Donner les formules semi-developpees de (3), (4) et (6).

b) Decrire le mecanisme mis en jeu dans (3)−→(4).

c) Decrire le mecanisme mis en jeu dans (5)−→(6) et preciser le role de H2SO4 .

5. (6)+ Et2N−(CH2 )2 −OH −→ (7) + EtOH

(7) est l’ester C18H27NO2 (Caramiphene). Donner sa formule developpee.

6. (7)+ HO3S−(CH2 )2−SO3H −→

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⊕N H

O

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

2

⊖O3S−(CH2 )2−SO⊖3

Expliquer.

Concours Communs Polytechniques − PSI

Planche 93

On dispose d’un moteur a courant continu afin de l’utiliser en guise de monte-charge. Pour cela, on l’etudie prealablement en TP.

1 - Proposer un protocole experimental afin de mettre en evidence la relationE = KΩ et donc de determiner K. (On note E la force contre-electromotrice dumoteur et Ω la vitesse de rotation de l’arbre du moteur).

On suppose que le moteur est soumis a un couple resistant de frottements −Γfou Γf > 0.

2 - Determiner la grandeur a mesurer afin de determiner Γf .

On souhaite donc utiliser ce moteur en guise de monte-charge, une cordes’enroulant sur son arbre, et on note z l’acceleration verticale de la masse mattachee a la corde, sa position etant reperee par son ordonnee z a partir du sol.

4 - Ecrire une relation entre z et Ω.

5 - Etablir un PFD sur la masse m (on note T la tension du fil exercee sur lamasse).

6 - Ecrire les equations electriques et mecaniques du MCC.

7 - En deduire une equation differentielle verifiee par Ω.

8 - On ne dispose pas directement de variateur de tension sur le moteur continu.La tension du moteur est donc continue a ses bornes (la puissance du moteurest de 100W). Choisissez parmi les trois solutions proposees celle qui vous paraıtla meilleure (et justifiez qualitativement pourquoi les deux autres choix sont lesmoins judicieux) :

− Rheostat ;

− Amplificateur operationnel avec des resistances adaptees (on peut fairereference aux montages etudies en cours) ;

− Hacheur serie.

Planche 94

Un cable coaxial de longueur infinie est compose de deux cylindres de cuivre derayons R1 > R2 et separes par un dielectrique. Ils sont uniformement charges,le plus petit de charge −Q et le plus grand de charge Q. On leur applique lespotentiels respectifs U et 0. Les equations de Maxwell sont les memes que dansle vide, en remplacant ε0 par ε0εr

Calculer la capacite lineique du condensateur, sachant que Q = CU .



Planche 95 [I) et II) Abordable en Sup ]I) On s’interesse au circuit ci-contre ou le condensateur est initialement charge,VC(0) = U0.1. Determiner les valeurs de i et VC en t = 0+, a la fermeture du circuit, puis enregime permanent.2. Que mesure-t-on sur le diagramme ci-contre ? Comment doit-on s’y prendre ?Comment doit etre branche l’oscilloscope ?3. Determiner l’equation differentielle ve-

rifiee par i en fonction de ω0 = 1√LC

et

n = R2Lω0

.

4. Determiner la solution generale avecΩ = ω0

√1− n2. Que represente Ω ? Com-

ment peut-on l’evaluer ?5. Trouver une relation entre le rapport deY1 et Y2 et nω0. En deduire une relationentre ω0, nω0 et Ω.6. Proposer un montage pour compenserl’amortissement ? Ou doit-on effectuer lamesure dans ce cas ?

t

t1

Y1

Y2t2

i

R

L

C

VC

Planche 96 Posee avec des II) differents [IIbis) Abordable en Sup ]

I) On dispose une photo, vue de dessus, d’une pasteque dans un seau d’eau.On voyait que la pasteque n’etait pas totale-ment immergee. A partir de cette photo, cal-culez la densite de cette pasteque en listantrigoureusement les hypotheses formulees et enexprimant grossierement l’erreur commise. Lesdonnees que l’on peut extraire de la photosont : le diametre de la pasteque, le diametredu seau et le diametre de la section de lapasteque emergee. Donnees :

Volume elementaire en coordonnees spheriques : dτ = r2. sin(θ)dθ.dϕ ;Volume elementaire en coordonnees cylindriques : dτ = r.dr.dθ.dz.Calcul de la densite d’une pasteque.II) Exercice d’electromagnetique sur la couche entre la terre et l’ionosphere (situeea 60 km de la terre).Un texte presentait les ondes electromagnetiques de frequence 7,8Hz, qui, d’aprescertains, peuvent soigner les problemes de sante que developpent des astronauteslorsqu’ils sont dans un vol spatial.1) Rappeler un ordre de grandeur du rayon terrestre et du la circonference de laTerre.2) Expliquer pourquoi on peut appliquer le modele ⟨⟨deroule ⟩⟩.3) On a une onde magnetique dans la couche intermediaire supposee vide :B+

n (x, t) = B0n cos(ωnt − knx)y. Quel type d’onde est-ce ? Selon quelle direction

est elle polarisee ?4) Quelle relation existe-t-il entre B+

n (x, t) et B+n ((x+2πRT , t), avec RT le rayon

terrestre. Interpreter.5) en deduire l’expression de la frequence f1 de l’onde en fonction de RT et de c.6)calculer f1. Commenter.

7) il existe un second champ dans cette couche B−n (x, t) = B0

n cos(ωnt + knx)y.Calculer le champ total dans la couche. Quel type d’onde avons nous ? Determinerle mode propre n du champ.II bis) Dans un circuit electrique, on cherche a proteger une maison deselectrocutions. Pour cela on installe un detecteur. Si le courant ientrant(t) estegal au courant isortant(t) alors il n’y a pas d’electrocutions. Sinon l’intensite,perdue par la personne electrocutee, cree une intensite sinusoıdale non nulle∆i(t) = ientrant(t)− isortant(t). Le detecteur est constituee d’une bobine en formede tore qui vient entourer les fils contenant les courants isortant(t) et ientrant(t).Donner le champ magnetique B cree dans la bobine. Donner le flux du champB ; expliquer pourquoi une difference de courant entraıne un potentiel non nul aubornes de la bobine placee en circuit ouvert.


i) On considere un emetteur d’ultrasons, modelise par un circuit (R,L,C) serie,de pulsation propre ?ω0 et de facteur de qualite Q ≫ 1. Soit e(t) = E cos(ωt) latension a l’entree du circuit.1) − faire un schema du circuit ;− determiner l’equation differentielle verifiee par UR(t), tension aux bornes de laresistance, a l’aide de la loi des mailles ;− determiner UR, amplitude complexe de UR(t), en fonction de E, R, L, C et ω.

2) Donner la fonction de transfertH =UR

Esous la formeH =

H0

1 + jQ

!f

f0− f0

f

"

Identifier H0, Q, f0 ; quelle est la nature du filtre ?3) On donne ci-dessous le diagramme de gain du filtre. Trouver les valeurs de H0,f0, et Q. Que dire de la valeur de f0, au vu du contexte ?

Gain (dB)

log

!f

1Hz

"!4 60

0

−3

−50

!4 65!4 55

II) Soit un reservoir de surface S, domine a l’une de ses extremites a droite parune butte, par-dessus laquelle on fait passer un tuyau cylindrique de section s quisert de siphon pour vider le reservoir. On considere un debit volumique D, quiprovient de la fonte des glaces, et alimente en permanence le reservoir.On suppose :− que le siphon est initialement amorce (il y a de l’eau dans le tube, et l’eau s’enecoule) ;− que le siphon se desamorce des lors que h(t) < he (de l’air rentre dans lesiphon).1) Determiner la valeur minimale de s telle que l’eau du reservoir ne deborde pas.2) Determiner la valeur maximale de s telle que le siphonage ne se desamorce pas.On fournit toutes les valeurs numeriques, sauf s.Aucune hypothese n’est fournie, car l’exercice est plutot un probleme ⟨⟨ouvert ⟩⟩.

P0

H

h(t)ρ

D

surface S

section s

hs

h0

he

z

O

II) On considere une corde, fixee en unpoint A, et passant par une poulie. Unesphere de masse m y est suspendue.On fait apparaıtre des vibrations surcette corde et, dans un premier temps,on observe le premier phenomene re-presente ci-contre.Dans un second temps, on immerge lasphere dans un recipient contenant del’eau et on observe le second phenome-ne represente en dessous.Estimer le rayon de la sphere.

A

A

Concours divers − MPPlanche 98 TPE [II) Abordable en Sup ]I) Question de cours : Resistance thermique. Lois d’association des resistances.II) Exercice : On met en orbite circulaire un laboratoire spatial de masseM = 100 tonnes a une altitude h = 600 km de la surface de la Terre. On donneMT = 6.1024 kg , RT = 6400 km, g = 10m.s−2 mais pas G (constante degravitation universelle) meme sur la feuille qui recapitule tout un tas de formules.1)Donner la vitesse du laboratoire dans le referentiel geocentrique.2)Donner la periode de revolution en heures.3)Exprimer l’energie a fournir pour que le laboratoire se libere de l’attractionterrestre.On dispose de 2 petits satellites de masse m = 50 kg a bord du laboratoire. Lesastronautes larguent un satellite en haut du laboratoire a 7m de son centre et unautre a 7m en bas.4)Quelles vitesses ∆vH et ∆vB doit-on donner aux satellites pour qu’ils aient unetrajectoire circulaire dans le meme sens que le laboratoire ?

Planche 99 ICNA [Abordable en Sup ]On lance un point M de masse m et de vitesse v avec une vitesse de norme v0faisant un angle θ avec l’axe Ox soumis a une force de frottement de norme kv etoppose au vecteur vitesse.Donner l’equation differentielle verifiee par v puis par ses composantes. L’integrer,donner le comportement asymptotique de v, les equations horaires et verifier quesi τ = m

kest assez petit on est dans une situation de chute libre.

Planche 100 ICNA [Abordable en Sup ]On considere une lentille mince L de focale f ′ = +5 cm.

Donnees : relation de conjugaison : 1

OA′− 1

OA= 1

f ′ , grandissement transversal :

Gt =A′B′

AB= 0A′

OA1.a. La lentille est-elle convergente ? Divergente ? Quelle est sa vergence ?1.b. Calculer fi (distance focale image) et fo (distance focale objet).2.a. On place un objet lumineux AB, 10 cm avant la lentille, A etant situe surl’axe optique. Cet objet est-il reel ? Virtuel ? L’image est-elle reelle, virtuelle ?2.b. Representer la situation sur une figure en s’aidant de 3 rayons.2.c. Donner les caracteristiques de l’image (taille, nature, position).3. Meme question que 2., en placant l’objet 10 cm apres la lentille.

Concours divers − PCPlanche 101 CCEM [Abordable en Sup ]On sait que lorsqu’un glacon est plonge dans un verre d’eau liquide, l’eau liquiderefroidit. On a une masse m1 d’eau liquide a la temperature T1 et une masse m2d’eau glace a la temperature T2.

Determiner le rapport minimalm2m1

tel que toute l’eau liquide se transforme en

glace.Donnees : - Enthalpie massique de fusion de l’eau Lf = 330 kJ.kg−1 ;- Capacite calorifique massique de l’eau liquide c1 = 4000 J.kg−1.K−1 et solidec2 = 2000 J.kg−1.K−1 ;- Temperature de l’eau liquide T1 = 300K.Cette transformation est-elle facile a realiser ? Pourquoi ?



Planche 102 CCEMI) une ailette de refroidissement, modelisee par un cylindre d’axe (Ox), de rayonr et de longueur L, est fixee horizontalement par sa base, en x = 0, sur une paroiverticale dont la temperature est T1. La paroi et l’ailette sont en contact avec l’airambiant et temperature Te, avec lequel ils ont des echanges thermiques regis par laloi de Newton (ϕ = hS(T (x)−Te), S surface d’une section) avec un coefficient detransfert surfacique h. On souhaite calculer le flux thermique passant de la paroia l’air ambiant par l’intermediaire de l’ailette. On se place en regime stationnaireet on fait l’hypothese que la temperature dans l’ailette ne depend que de x.1. En appliquant le premier principe a la portion d’ailette comprise entre lesabscisses x et x+ dx, determiner l’equation verifiee par T (x).2. Resoudre et montrer que T (x) peut se mettre sous la forme

T (x) = A exp!xδ

"+B exp

!− x

δ

"+ Te,

ou δ est une constante a determiner. Quelles sont les conditions aux limites duprobleme ?Ces conditions conduisent aux expressions suivantes :

A =(T1 − Te)α exp

!− 2L

δ

"

1 + α exp!− 2L

δ

" , B =T1 − Te

1 + α exp!− 2L

δ

" avec α =λ− hδ

λ+ hδ·

3. Exprimer le flux thermique passant de la paroi a l’ailette, en conservant ⟨⟨A ⟩⟩

et ⟨⟨B ⟩⟩ sans les remplacer par les expressions.4. Le role de l’ailette est d’augmenter l’echange thermique entre la paroi et l’airambiant. Definir un nombre sans dimension caracterisant l’efficacite de l’ailetteen en donner une expression.Application numerique : r = 1mm, L = 10 cm, λ = 400W.m−1.K−1,h = 150W.m−2.K−1. L’ailette est-elle efficace ?II) Electrolyse de NaCl aqueuxa) On se propose de realiser l’electrolyse du chlorure de sodium en solutionaqueuse. Preciser les deux reactions en competition a l’anode et les deux reactionsen competition a la cathode. Quel est le bilan d’electrolyse ? Estimer la tensionminimale d’electrolyse, en supposant le bain maintenu en tampon acide (pH = 4,pour eviter la dismutation du dichlore), du seul point de vue thermodynamique.b) Le procede dit ⟨⟨au mercure ⟩⟩ utilise une anode en titane et une cathode enmercure liquide, le fond cathodique etant incline a 1 %, ce qui permet d’extraireles depots cathodiques (cathode dite circulante, le mercure extrait etant ensuiterecycle). D’apres les surtensions cinetiques sur titane, donnees en annexe, tracerles courbes intensite-potentiel a l’anode et en deduire la reaction anodique.c) Sachant que le mercure forme un amalgame de sodium ce qui ramene le poten-tiel standard du couple Na+/Na, desormais Na+/Na(Hg) a −1,70V et d’apresles surtensions cinetiques sur mercure, tracer les courbes intensite-potentiel a lacathode et deduire la reaction cathodique.d) Ecrire l’equation bilan de l’electrolyse et montrer graphiquement comment onpeut estimer la tension d’electrolyse pour un courant d’intensite i fixee. En donnerun ordre de grandeur.e) L’industriel applique en fait une tension de 3,9V, pour une densite de courantde 1A.cm−2. Pourquoi cet exces de tension ? Calculer la masse de sodiumamalgame en une heure par une nappe de mercure de section 200 cm2.Donnees :- E(Cl2aq/Cl− ) = 1,40V ;- E(Na+/Na) = −2,71V ;- E(O2/H2O) = 1,23V ;- Surtensions sur titane : ηa = 0,1V pour Cl2/Cl− et 1,4V pour O2/H2O ;- Surtensions sur mercure : ηc = −1,6V pour H+/H2 et 0,0V pour Na+/Na(Hg).

Planche 103 ENSEAI) Question de cours : Reglage d’un Michelson en coin d’air.II) Exercice : Effet retro d’un cerceauOn considere un cerceau de rayon R, de centre C, de masse m et de vitessesinitiales v0 et ω0. On rappelle le moment d’inertie d’un cerceau : J = mR2. Il ya des frottements solides de coefficient f .1) Positionner les vecteurs v0 et ω0 de telle sorte que l’on observe l’effet retro. Lecerceau glisse-t-il sur le sol a l’instant initial ?2) Trouver les expressions de xC(t) et ω(t), de l’abscisse du centre C et de lavitesse de rotation du cerceau.3) A quelle condition le cerceau peut-il revenir en arriere ?

4) A quelle condition le cerceau revient-il dans les mains du lanceur ?

Planche 104 Navale

Deux pieces d’acier C1 et C2 sont reliees pas unepoutre fine B, de longueur ℓ, en acier egalement.Du beton entoure tout le systeme et il est considereadiabatique.

C1 C2

ℓ

B

On considere la section de B tres petite devant celle de C1 et C2. On appellera cla capacite calorifique de l’acier et ρ sa masse volumique.C1 est a la temperature T1(t) et C2 a la temperature T2(t).A priori la temperature TB(M, t), dans la poutre, depend de M . Neanmoins onsupposera que TB est constante sur une section perpendiculaire a l’axe de la piece.1) On appelle ϕ(t) la puissance thermique dans la piece B. Calculer et nommer

la quantite :T1(t)− T2(t)

ϕ(t)·

2) Etablir les equations differentielles verifiees par T1(t) et T2(t).Resoudre ces equations en les decouplant a l’aide des changements de variables :σ(t) = T1(t) + T2(t) et δ(t) = T1(t)− T2(t).

Planche 105 Navale

On considere un condensateur cylindrique chargepar une tension U (dirigee de l’armature inte-rieure vers exterieure). L’armature interieure estparcourue par un courant surfacique I.On considere un electron de l’armature interieure.L’espace entre les armature est assimile a duvide. Determiner si l’electron va pouvoir migrersur l’armature exterieure et, si oui, donner lacondition pour qu’il puisse migrer.

U

I

.

Concours divers − PSI

Planche 106 ENTPE-EIVP [II) Abordable en Sup ]

I) Question de cours : ondes thermiques ; dispersion, effet de peau, ODGII) On considere un condensateur, constitue de deux plaques metalliques dehauteur H, de largeur L, de surface S = LH et distantes de e. L’espace entreles plaques est rempli d’eau (permittivite εr) jusqu’a une hauteur h < H, puispar du vide (permittivite ε0) au-dessus, sur la hauteur restante H − h.1) Dans le cas ou h = 0, determiner l’expression de la capacite C0 du condensa-teur, en fonction de S et e.2) Si h > 0, montrer que la capacite C1 du condensateur est egale a celle del’association en parallele de deux condensateurs, l’un de capacite C0 et l’autre de

capacite αh, ouα =ε0L(εr − 1)

e ·3) On utilise le montage ci-dessous :− determiner la relation entre R1 et C2 pour avoir Vs constante ;− comment retrouver C0 et C1 a partir de Vs ?

xk

sC2

R1

C1

C0

V2

V1

V

i(t)= i0 cos(ωt)

V3 = kV1V2

Planche 107 Telecom SudParis [II) Abordable en Sup ]

I) Une boıte de conserve est remplie d’eau et se vide par un petit orifice (1mm2)situe a sa base. Determiner le temps qu’il faut pour que la boite de conserve sevide entierement.II) On considere un circuit compose d’un condensateur, d’une resistance et d’ungenerateur de tension delivrant une tension continue E. On suppose initialementque le condensateur est decharge.1- Definir le rendement energetique du condensateur ρ et le calculer.2- On suppose a present que le generateur delivre une tension −E pendant unedemi periode puis une tension +E pendant la deuxieme demi-periode. Donner lenouveau rendement du condensateur et commenter.

Planche 108 ENSEA

I) 1- On considere un fil de longueur infinie de rayon a et de charge lineique λ.Donner le potentiel cree par le fil.2- On met deux fils a une distance d >> a. L’un a une charge lineique λ et l’autre−λ. Calculer la capacite lineique de ce systeme.Indication : on cherchera tout d’abord a determiner la difference de potentiel entreles deux fils.II) Question de cours : dessiner l’image d’un objet virtuel par une lentille diver-gente, cette image est-elle virtuelle ou reelle ?

Concours Divers − PT

Planche 109 Cachan

I)Donner les caracteristiques d’un ALIideal : impedance d’entree, de sortie ;cas reel.Pour le montage ci-contre, donner leslois entree/sortie, et les impedancesavec influence sur un autre systeme.

R

R !

"

2

1

vsve

II) On chauffe un cote d’une poutre cylindrique pour la faire passer de T0 = 25Ca Te = 350K. Il n’y a pas de transfert de chaleur avec l’air exterieur qui est atemperature T0.On note λ la conductivite thermique, c la capacite thermique massique et µ lamasse volumique.1. Donner l’equation de la chaleur et la demontrer.

On a de plus une perte d’energie suivant le modeledp

dS= hθ ou h est une grandeur

a determiner et θ = T − T0.2. On recouvre deux poutres de conductivites thermiques λ1 = λ2, d’une resinequi fond a Tf = 333K. Quand on chauffe les eux poutres, on constate que laresine fond jusqu’a x1 = 6, 5 cm sur la premiere et jusqu’a x2 = 13, 5 cm sur laseconde.Determiner λ2 en detaillant les hypotheses faites.


Equilibre de l’atmosphere terrestre. Donnees : R, T0, P0, Mair, µ : massevolumique1. Retrouver µ en fonction de R, T0, P , Mair

2. Retrouver l’equation statique de l’air, faire apparaıtreR.T0

Mair.g. Calculer.

3. Determiner P (z) puis ziso50% ou P = 12P0.

On change de modele : T (z) = T0(1− αz)

4. Demontrer que P (z) = P0(1− αz)β et que µ(z) = µ0(1− αz)β−1

Retrouver le type de filtre.Fonction de transfert.Retrouver la fonction de transfert avecun pont diviseur de tension.

R

L

e(t) s(t)




I) Circuit de Wien1) Quel est ce filtre , sans calculs ?2) Trouver la fonction de transfert3 Tracer le diagramme de bode.II) On a un systeme constitue dedeux sources (solides ou liquides),thermodynamiquement isolees, re-liees par une barre cylindrique con-ductrice.1) Exprimer les grandeurs thermodynamiques utiles et faire un schema precis.2) Dans quelles mesures peut on dire que la temperature est la meme en toutpoint ?4) Dans quelle mesure la temperature dans la barre est une fonction affine ?5) Trouver les equations de la temperature pour chacun des trois parties consti-tuant le systeme.6) Trouver la fonction affine.

Planche 112I) ElectromagnetismeOn considere une onde se propageant dans un metal non magnetique selon les xcroissants a la pulsation ω, polarisee rectilignement selon y.1. Caracteriser cette onde.2. Expliquer pourquoi le courant est nul dans le metal.3. Determiner la relation de dispersion de l’onde dans le metal.4. En emettant une hypothese sur la pulsation de l’onde, simplifier la relation dedispersion. A quel phenomene cela se rapporte-il ?II) ThermodynamiqueIl s’agit d’une approche documentaire sur la synthese de l’ammoniac liquide. Ondonne l’equation N2 + 3H2 2NH3 ainsi que les differentes etapes de la syntheseresumees par des schemas.(25) Questions :Justifier les conditions de la synthese.En quoi cela peut etre dangereuxQue fallait-il faire au niveau des canalisations pour eviter une explosion.Connaissez-vous Seveso ?


I) On considere le montage ci-contre.1) Determiner la fonction de transfert.Donner la frequence de resonance et lefacteur de qualite.

C

ve vs

L

R

2) On donne le diagramme de Bode ci-contre. Expliquer les differentes valeursde la pente.3) On met un signal triangulaire enentree. On obtient en sortie, pour dif-ferentes valeurs de R :− a)Une impulsion ;− b) Un signal carre.Commenter.

Pente +20 dB/dec.

Pente +40 dB/dec.

II) On considere une reaction polytropique, c’est-a-dire telle que δQ = a.dH.Montrer qu’il existe un reel k tel que P.V k = constante. Exprimer k en fonctionde a et γ.Pour chaque transformation usuelle (isobare, isotherme, insentropique, etc.),determiner les valeurs de a et k qu’il faudrait avoir.(26)

Planche 114I) Etude du fonctionnement d’une machine synchrone avec une bobine de Nspires, d’inductance L et de resistance R, libre de tourner autour d’un axe ala vitesse angulaire ω. Cette bobine etait plongee dans un champ magnetiquetournant a la vitesse ω0 (ω0 legerement superieure a ω).1. Determiner la fem d’induction.2. En supposant la fem sinusoıdale et en posant ωr = ω − ω0, determinerl’expression du courant induit.3. Discuter selon l’augmentation ou la diminution de ω0.II) On considere l’ecoulement d’un gaz parfait dans une tuyere adiabatique.

1. Etablir que h+ 12(v2) = 0 (v vitesse de l’ecoulement).

2. Exprimer P (pression en un point de la tuyere) en fonction de v, ρ et γ.3. En deduire la loi de Barre Saint-Venant, d’expression

v(x) =

!""# 2γ

γ − 1

P0ρ

$1−

%P (x)

P0

& γ−1γ

'

Planche 115 [Abordable en Sup ]Un moteur suit un cycle ditherme reversible et utilise comme combustible del’octane C8H18 . Il subit une compression isotherme avec un coefficient de com-

pressionVfinal

Vinitial= 1

8, suivi d’un echauffement adiabatique.

1) Calculer le rendement du moteur. Faire l’application numerique.Le moteur a en realite un rendement egal a 40% du rendement trouve.2) Calculer la consommation maximale en L/100 km.Donnees : γ = 1,4 ; vitesse max= 45 km/h ; puissance max= 4,4 kW ; frequencemax du moteur=7000 tr/min ; enthalpie de combustion=5000 kJ.mol−1 ; massemolaire de l’octane=114,23 g.mol−1 masse volumique de l’octane=703 kg.m−3

Planche 116 Cachan [Abordable en Sup ]

La source de tension V2 est choisie de telle maniere que V1 = 0.1- Determiner l’equation sa-tisfaite par iD.2- Montrer que pour une cer-taine valeur de R0, on peutse ramener a un oscillateur depulsation ω0 = 1√

LC. Quelle

influence va avoir une modifi-cation de L ?

!R R

C

L ,riD

R0

V1

+

D

V2

3- Donner la caracteristique du dipole D. Comment peut-on le realiser ?

4- A partir de cette etude, on branche les deux dipoles equivalents au montage 1comme sur le schema suivant. Pourquoi peut-on estimer ∆L grace a ce montage ?Detailler et preciser le raisonnement, expressions de U1, U2, etc.

L

+L

AmpliPasse-basMultiplieur

∆L

U2

U1

Planche 117 Cachan

On souhaite determiner la longueur d’onde λ de la raie du Cadmium avec unreseau : n = 470± 7mm.1. Decrire un montage experimental simple pour trouver cette longueur d’onde.2. Demontrer la formule des reseaux.

3. On se place en incidence normale. Angle mis en jeu α ≈ 59,5′, avec 1′ = 160

.

Ordre 2.Determiner λ et son incertitude.


I) 1- Donner la dimension de la viscosite dynamique.2- DOnner un ordre de grandeur pour l’eau et l’air.3- Definir et donner l’expression de la force de cisaillement.4- On admet que pour une conduite cylindrique de diametre R et de vitesse au

centre v0, la vitesse est v = 1η

r2

4dPdz

+ C. Que vaut la constante C ?

5- Representer v en fonction de r .6- Representer le champ de vitesse.7- Calculer le debit volumique.8- Calculer le rapport debit/section.

II) On considere le circuit ci-contre avecles donnees suivantes :- e1(t) = E

√2 cos(ωt) ;

- e2(t) = E√2 cos

(ωt+ π

3

);

- jRCω = 1.Determiner la reponse temporelle i(t).

R

C

e1(t)

2C

e2(t)i(t)

Planche 119

I) 1) Demontrer la formule d’une resistance thermique pour un mur de longueurL de surface S et de conductivite λ.2) On a un mur de pierre (λ1 = 3,50W.m−1.K−1) avec Tint = 20C etText = 0C, d’epaisseur e = 20 cm, de hauteur H et de longueur ℓ.A) Calculer la resistance thermique et le flux traversant le mur.On rajoute une plaque de polystyrene (λ3 = 0,04W.m−1.K−1) d’epaisseure′ = 2 cm avec, par dessus, une couche de placoplatre (λ3 = 0,21W.m−1.K−1)d’epaisseur e′′ = 12,5mm.B) Calculer la nouvelle resistance thermique et le nouveau flux. Commenter.On utilise un radiateur pour maintenir la piece a Tint = 20C pendant 30 jours.C) Calculer l’energie necessaire dans les deux cas.D) On donne le prix d’un kW.h (0.1euros). Calculer l’economie realisee.F) Commentez.II) Corrosion. On donne le diagramme E−pH del’aluminium. On fait une electrolyse d’une barred’aluminium dans de l’acide sulfurique avec uncourant j = 150mA.m−2.Determiner l’epaisseur de la couche d’alumine.masse volumique de l’aluminium : 2,6989 g.cm−3 ;masse molaire : 27,0 g.mol−1.

−1,6−2,3− 2,4

E

12,4 1440

Al 3+

Al

Al(OH)3 Al(OH)−4

pH


I) OPPM en incidence normale en x0 = 0 sur un conducteur parfait.-Proposer une forme pour une telle onde (f(x, t) = ...)-Donner la forme de l’onde reflechie.-Donner la forme de l’onde resultante. Commenter.-Que se passerait-il si le conducteur n’etait pas parfait ?

(25) L’ensemble du sujet et des schemas est facilement accessible sur la toile en tapant ⟨⟨synthese industrielle de l’ammoniac ⟩⟩ dans un moteur de recherche. Sinon, le lienwww.ac-paris.fr/portail/jcms/p2 925116/la-synthese-industrielle-de-l-ammoniac conduit a un fichier .doc complet.De meme, d’autres enonces sont disponibles dans l’esprit du nouveau programme : https ://www.ac-paris.fr/portail/jcms/p1 633226/pedagogie-cpge

(26) L’enonce ne le precisait pas mais il faut considerer un gaz parfait.



I) neWiedtiucriCcalculssans,filtreceestQuel1)transfdefonctionlaerrouvT2)oe be dmmargaie dr lecar3 T

I)I constitueme`systunaOnliqou(solidessourcesdeuxees,ísoltmenqueamindythermouelindriqcyrrebauneparees´li

pSuenordable ]

?calculstreansffe

.edodeeconstitu

uides),re-ees,´

con-ue

Cu

)t(iK

E

(R

Cv

)t(k)t(j

R

Cac116hePlanc

onitensdeceoursLauationeq´l’eterminer´D1-

partisfaite iD.ourpueqtreronnM2-

derualevtaine R0oscillateurunaramenerse

pulsation ω0 = 1√LCuneoirvaavinfluence

han [ SupenordableAb ]

on V22V ueqere`manitelledehoisiecest V11Vsa-uation

cer-uneour0 tuepn, o

deoscillateur

LCelleu. Q

difi-moune

R

C

L ,riDDi

1 .= 0

!R

R0

V1

+

V22V

lindriqcyparductrice.

thermondeursgralesprimerEx1)eutpmesuresuellesqDans2)

?tnipotemplamesureuelleqDans4)deuationseqéslerrouvT5)

eme.`stsylettuanne.ffiafonctionlaerrouvT6)

112hePlancI) ´ mesetiómagnectrEl

propageanseondeuneere`considOnpulsationalatscroissan ω, p

onde.cetteeriserĆaract1.couranleuoiourqpuerpliqEx2.derelationlaeterminer´D3.òthhtttÉn4.

hscunfaireteutilesuesnamiqdythermomlaesterature´templaueqdireoneut

tioncfonuneestbarreladanserature´temppartiestroisdeshacuncourperature´mptela

ne.

etiq´magnnonetaletalmundanstpropageannolet snemengilitcereesiralo, p y.

etal.etal.mledansulnesttcouranetal.etal.mledansl’ondedeersiondisp

simplifierl’onde,depulsationla

ecis.´prema´toutenemeˆm

?neffiationconsti-parties

lesselonetique x

derelationla

uneoirvaavinfluencedecation L ?

caractlaDonner3-

4- ` ettecedritraA pema´hsclesurcommeresicerepterelliatDe

L

+L ∆

U

difi-mouneD

oledipoduueeristiqćaract D o-tuet pnemmo. C

uqeselopidxuedselehcnarbno,edutee∆estimereut-onpuoiurqoPt.ansuivema L

edsnoisserpxe,ntemennosiarelr U1, U

∆L

U1

?resilaee rlno

1egatnomuastnelaviuL ?tagemonnceaacegra

U2 .ct, e

eseòthpyhunetemettanemettanEn4.ersion.disp ` nemonehpleuA q

I)I dynamiqueThermocumendohecoappruned’tagi’sIl

Nuationeq´l’donne 2 H+ 3 2 .samehecssedrapseemusere (25)

ladensonditioclesJustifierdangereetrêutpacelquoiEneaunivaufairefallait-ilQue?esoSevousConnaissez-v


I) tagemonleere`considOndefonctionlaeterminer´D1)

esonance´rdeuenceeq´rffrlaDonner

simplifierl’onde,depulsationlasurese?li-etropparesalecen

acammoni’ldeees`thynsalursertaicumen H2N 3 deesetap´teseren´ffdilesueqainsi

(25) :Questionsese.`thsyn

euxdangerexplosion.uneeviteróurpsisationlcanadeseau

pSuenordable ]

tre.ci-contransfert.de

leetesonance

C

derelationla

Onde.quiilacese`thnsylade

explosion.

CR

U

117hePlanc hanCac

eterminer´dsouhaiteOn:uaesere n 07= 4 ±

1. tnomnuerirceDe2. roffoalrerntomeDe

3. incidenceenplaceseOn

2.OrdrerenimretDe λ sonet

Passe-basultiplieurM

U22U

han

d’ondelongueurlaeterminer λ raielade.m7m

crevuortruopelpmislatnnemirepexeegat.xuaesersedelumr

jeuenmisAnglenormale.incidence α ≈

incertitude.son

mpliA

unecvaCadmiumdu

.edno’drueugnolettec

59,5′ 1cev, a ′ = 160

.

e.´tiqualdefacteur

diagrammeledonneOn2)eren´ffdilesuerpliqEx.etrcon

te.enpladetriangulairenalgsiunmetOn3)sortie,entobtienOnee.´tren

edsruelavsetneref´fe R :− ;impulsionnea)U− e.´rracsignalnUb)

ter.CommenI)

ve

ci-deBodealeursvteseren

entriangulairedif-ourpsortie,

Pente +20 dB/dec.

Pente

vs

L

e +40 dB/dec.

118hePlanc [II)

I) dimlaDonner1-ordreunDOnner2-

donneretefinirefinirD3-pueqtdmeaOn4-

trecen v0 essetia v, l

teresen´Repr5- v enhampcleteresen´Repr6-

ebitebitdleCalculer7-ortppraleCalculer8-

I)I leere`considOntesansuivees´donnles

- e1(t) = E√

(so2 c ω

SupenordableAb ]

ue.namiqdyeiscositvladeensiondiml’air.etl’eauourpgrandeurdeordre

t.cisaillemendeforceladepressionl’exdonnerediamdeuelindriqcyconduiteuneourp

tsee v = 1η

r2

4dPdz

+ C nocat luae vu. Q

defonctionen r .itesse.vdehamp

ue.olumiqvebitebit/section.ebit/section.dort

ecvatreci-concircuitle:tes

tω ) ;()

2C

t.etre R auitessevdeet

etnatsn C ?

C

(tt)()ti(tt)()tI)I eaction´runeere`considOnleernuetsxieli’querrtnMo

de a et γ.oitamroffosnarteuqachruPo

edsruelavselrenimretede a et

114hePlancI) ´ onnemenfonctiduEtude

d’inductancespires, L deeteriaulangitessevla ω tte. C

itessevlaattournann ω0 (ω0

1. udni’dmeffealrenimreteDe2. isfemaltanosuppsEn

induit.tcourandupressionl’ex3. tationugmenal’selonDiscuterI)I ecoulemenecoulemenl’ere`considOn´ 1

quetellea-direc’est-aolytropique,peactionk ueqtel VP. k remirpxE.etnatsno= c

rntesni,emrehtosi,erabosi(elleusunet k .riovatiardufali’qu (26)

uneecvaonehryncsnehimacuned’tonnemenesistance´rde R uotur aenruoe tderbi, l

p mmahn cusnae degnolt piateenibobetaerueirepeustnemeregele ω).

.noitcutanospenetedalıousni ωr = ω − ω0

induit.deutiondiminlaoutation ω0.

adiabatique.ere`tuyunedansparfaitgazd’untecoulemen

Qδ = a.dH.k fonctionen

,).cte,euqipo

deneobib Nae axn au’drueuqitengap m

0 renimrete, d

adiabatique.

e1(t) = E√

(so2 c ω

- e2(t) = E√

so2 c(

- ωCjR .= 1oprealrenimretDe

119hePlanc

I) latreremon´D1)L surfacede S deet

urmnuaOn2)TeextT = 0 epais´d’C,

siseralreluclCaA)plaqueunejouteraOn

e′ rap,cevamc= 2epaisseur´d’ e′′ 2= 1

uvnolaCalculerB)

tω ) ;(tω + π

3

);

elleropmetesn i(t).

e11e (tt)()t

ourpuethermiqesistance´rd’uneuleformeitconductivde λ.

(pierrede λ1 = 3, mW.05 −1.K−1) aepaisseur e ruetuahed,mc0= 2 H longueurdeet

eltnasrevartxuflelteequmirehtecnats(ene`yrolystpdeplaque λ3 = 0, mW.40

(ertalpocalpedehcuocenu,sussedr λ32, .m5m

eaunouvleetuethermiqesistance´relleuv

R

e2(tt)()ti(tt)()t

longueurdeurmunour

cev) a Ti tinT 0= 2 tC elongueur ℓ.

.rumem−1.K−1 ruessiape’) d3 = 0, mW.12 −1.K−1)

ter.enmmCo.fluxeau1. ´ queriEtabl h+ 1

2(v2) = 0

2. meriExpr P en(pression3. rarBdeoilalereduieduidEn

v(x) = #

115hePlanc [ ordableAbdelyccnutiusruetmoUn

Cctanel’o 8H18 e cnt uibul s. I

pressionVfi lfinaV

Vi linitiaV= 1

8i dviu, s

dutrendemenleCalculer1)endemerunetiealealrneamoteurLe

mationmconsolaCalculer2)

!""""#

() = 0 v .)tnmeeluoce’ledessetvi

defonctionenere)ere)tuyladetoinpun vonisesexprd’t,enant-VVenannSaie!"

#" 2γ

γ − 1

P00Pρ

$1−

%P (x)

P00P

& γ−1γ

'

Supenordable ]ocemmcoesilituteelbisrevermerehti

ffieon cc ueve amrehtosn ioisserpmoe c

.euqitabaidt anemeffuahcenu’i d

ue.eriqúmnl’applicationaireFteur.omduouvtrtendemenrdu40%aegalegaltnendeme

m.kL/100enimalemaxmation

v, ρ et γ.

edelbitsubmo-moe ct dnneic

e.óuv

B)radiateurunutiliseOnenergie´l’CalculerC)

irpelennodnO)Dtez.CommenF)

I)I OnCorrosion.aitfOnl’aluminium.

dansd’aluminiumtcouran j Am05= 1

siape’elrenimretDedeolumiquevmasse

27,0:molairemasse

120hePlanc [II)

I) edincienOPPMformeuneoser-Prop

thermiqaece`pilatenirmainourpradiateur Ti tinT 0= 2

cas.deuxlesdansecessaireńenergienoce’lreluclaC.)sorue1.0(hW.knu’dx

diagrammeledonne E− depHrrebad’uneseelectrolyelectrolyuneaitunecvauesulfuriql’acidede

m.A −2..enimula’dechuocaledrues

g.cm2,6989:l’aluminiumde −3 ;g.mol27,0 −1.

−1,6−2,3− 2,4

E

0

Al

SupenordableAb ]

ennormalencee x0 etcudnocnurus= 0(ondetelleuneourpforme f( tx, ) = ...)

0 .sruo0 jt 3nadneC p

.eesilaereimon

Al

l

12,4 1443+

Al

)l(OHA 3 )l(OHA−4

pH

.tiaffaraprue

mationmconsolaCalculer2):ees´Donn γ = 1, essetiv4 ;

tr/minmoteur=7000dumaxctane=114ol’demolaire , g.mol23

(25) desetujetsdueblemensL’ortail/jcms/p2www.ac-paris.fr/p

esénonc´d’autreseme,ˆmDe(26) pastaiseci´prelneeenonc´L’


m.kL/100enimalemaxmation4=xamecnassiup;h/mk54=xam , W4kkJ.molbustion=5000comdethalpieent;tr/min

g.mol−1 ctane=703l’odeolumiquevmasse

alurseblisaccestemenlfacitesemas´hcsortail/jcms/p2 these-industrielle-de-l-ammoniacn925116/la-sy

eaunouvdul’espritdansoniblesdisptsont.faipargazunerer´diconsutfalismai

or 22

ecneuqerfr;WkJ.mol−1 essa; m

kg.mctane=703 −3

deformela-Donnerdeformela-Donner

passerait-ilse-Que

ttapanneneltoia ⟨⟨ deindustrielleese`thnsythese-industrielle-de-l-ammoniac coc.dohierficunaconduit

:programmeeau .sirap-ca.www//:sptht

egPa 67

hie.ec´flerl’ondedeter.Commente.sultanerl’ondede

?parfaitpasetaitń’conducteurlesi

l’ammoniacde ⟩⟩ herccerdemoteurundansplet.mco

1p/smcj/liatrop/rffr edagogie-cpge633226/p


lienleSinon,he.herc

edagogie-cpge

eopcosryGeaupTaal



I) Sur Terre, on lache sur une rampe,d’une hauteur h, une masse, considereecomme ponctuelle, et qui acheve sa coursedans un tonneau (circulaire). Quelle est lacondition necessaire pour que la balle fasseun tour complet sans decoller ?

h

II) On considere un banc Kofler modelise par une barre de longueur L, sectionrectangulaire a×b, de conductivite λ, relie a une extremite a une resistance Rparcourue par un courant i. On suppose que la puissance degagee par effetJoule est integralement transmise au banc. Le banc subit des transferts convectifsmodelises par une puissance P = hS(Tbanc − Tair).1. Demontrer l’equation de la chaleur dans ce cas, deduire une equationdifferentielle sur T en regime permanent. Donner un profil de temperature.2. Questions qualitatives : que se passe t-il si l’on alimente par EDF ? Decrire cequ’on voit sur le banc si l’on met une poudre de temperature de fusion Tfusion ?Comment adapter R ? etc.II) Pour les atomes suivants, donner leur configuration electronique, leurselectrons de valence et de cœur, leur position dans le tableau ainsi que la famillea laquelle ils appartiennent et donner un isotope qui vous semble possible : C(z=6), Ca (z=20) et W (z=74).

Planche 122

I) Cuisson d’un œufOn assimile un œuf a une sphere de rayon R1 et de conductivite thermique λ1. Cetœuf est positionne dans un coquetier spherique de rayon R2 et de conductivitethermique λ1. On considere que le contact thermique œuf/coquetier est supposeparfait. On impose une source de chaleur volumique p dans l’oeuf uniquement.1. Rappeler la loi de Fourier.2. Retrouver l’equation differentielle de la temperature, en regime variable, enpresence un source de chaleur volumique p. Que devient cette equation sans lasource de chaleur ?On se place maintenant en regime permanent. On donne :

∆f = 1

r2∂

∂r

!r2

∂f

∂r

"+ 1

r2 sinϕ

∂

∂ϕ

!sinϕ

∂f

∂ϕ

"+ 1

r2 sin2 ϕ

∂2f

∂θ2, ϕ = colatitude.

3.a. Determiner l’equation differentielle verifiee par T1 et T2, temperaturesrespectives a l’interieur de l’oeuf et du coquetier.b. Determiner l’expression de T1 et T2 en introduisant des constantes d’integration.c. Determiner l’ensemble des conditions aux limites qui permettent d’obtenirl’expression des constantes d’integration.d. En deduire l’expression de T1 et T2.II) Pobleme ouvertDeterminer, en fonction des dimensions de votre corps, la vitesse de marchenaturelle. On rappelle que le moment d’inertie d’une tige rectiligne de masse

m et de longueur ℓ est 13mℓ2.

Planche 123 [I) Abordable en Sup ]I) 1. Si un ressort possede une raideur k, quelle est la raideur d’undemi-ressort ?2. On considere le systeme ci-contre ou ki et ℓ0i sont les raideurs etlongueurs a vide des ressorts a vide. Determiner les allongements∆ℓ1 et ∆ℓ2 a l’equilibre.3. Quelle est l’equation differentielle suivie par x1 et x2, les ecartsa la position d’equilibre ?4. On suppose que la masse m2 est fixee dans sa positiond’equilibre. La masse m1 est alors deplacee de xd de sa posi-tion d’equilibre et lachee sans vitesse initiale.Trouver l’equationregissant la trajectoire de m1.5. Quel est le rapport entre les questions 1. et 2. ?

k1

k2

ℓ01

ℓ02

m1

m2

O

II)• Enoncer les equations de Maxwell, locales et integrales. Demontrer lestheoremes associes.• Demontrer l’equation de d’Alembert.

• div−→B = 0. Si

−→B est a flux conservatif, que cela signifie-t-il pour les charges

magnetiques ?• Lignes de champ pour q > 0, q < 0 ?

Concours Divers − TSI

Planche 124 Centrale

1. Determiner l’ordre d’interfe-rence en fonction de x lorsquele fluide est au repos.2. Determiner la variation del’ordre d’interference si un flui-de traverse le tube a une vitessede 7m.s−1. Le coefficient dufluide est n = 1,337.

S

L

D

a

D = 20 cmL = 5 cma = 10mmλ = 585 nm

P

x

fluide


Le sujet decrit le principe de fonctionnement du laser MegaJoule, situe en Gironde.Le texte compte une dizaine de lignes et l’examinateur laisse du temps au candidatpour le lire soigneusement.Les informations importantes du texte sont :264 lasers concentrent leurs rayon vers une cible ; l’energie de ces 264 lasers estde E = 1, 8MJ et le temps d’emission est T = 4.10−9 s. On considere les rayonslaser comme des OPPM et on appelle S leur section.Calculer l’amplitude du champ electrique et magnetique associes a cette onde.Les cibles sont des atomes de deuterium et tritium, des isotopes de l’helium ; ceselements sont-ils ionises sous l’effet des lasers ?


On dispose d’une cuve de recuperation d’eau, cylindrique, dediametre a = 50cm. La hauteur d’eau est h = 1,8m.1. Dimensionner le trou a la base de la cuve pour remplir unarrosoir de 15 litres en 30 secondes.2. Determiner le temps necessaire pour vider entierement lacuve dans ce cas.3. On installe un robinet a 30 metres de la cuve et on cherche

a savoir quelle est la perte de pression ∆P = λµ.L.v2

2Ddans

le tuyau.

h

a

L’abaque ci-dessous donne λ, coefficient de perte de charges, en fonction du

nombre de Reynolds Re =µV Dη et du rapport ε

D· V est la vitesse du fluide

dans le tuyau. Donnees : ε = 0,02 ; D = 20mm ; µ = 103 kg.m−3 ; viscosite del’eau η = 10−3Pa.s.

34

57

23

45

72

34

57

23

45

72

34

57

2

34

57

23

45

72

34

57

23

45

72

34

57

2103

104

105

106

107

108

103

104

105

106

107

108

0,00

5

0,00

6

0,00

7

0,00

8

0,00

9

0,01

0

0,01

5

0,02

5

0,02

0

0,03

5

0,03

0

0,04

5

0,04

0

0,05

0

0,06

0

0,07

0

0,08

0

0,09

0

0,1

Nom

bre

deRey

noldsRe

Coefficientλ

Ecoulem

entlam

inaire

Ecoulem

entturbulent(tuy

auxlisses)

Rugosite relative εD

0,00

5

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

1

0,00

05

0,00

01

0,00

001

0,07

Planche 127

La blende (ZnS) est le principal minerai naturel comportant du zinc. La reactionsuivante, appelee grillage de la blende, permet sa transformation en oxyde de zincavant l’obtention du zinc pur par d’autres procedes metallurgiques.

ZnS(s) +32O2(g) −→ ZnO(s) +SO2(g)

Cette reaction se fait a 1 350K.

1. Calculer l’enthalpie standard de la reaction a 298K et a 1 350K. La reactionest-elle endothermique ou exothermique ?

2. Quelle est la temperature finale de la reaction pour un melange stœchiometrquede ZnS et d’oxygene, initialement a 298K, par la reaction a 1 350K, la transfor-mation etant supposee adiabatique ? On suppose que l’oxygene est introduit sousforme d’air (20% O2 , 80% N2 ).

3. La reaction est-elle auto-entretenue ?

4. En fait, la blende n’est pas pure et contient x% en mole de silice SiO2 (s). Quelledoit-etre la teneur maximale x du minerai en silice pour que la reaction demeureauto-entretenue ?

On donne les enthalpies standard de formation ∆fH a 298K :

ZnO ZnS SO2

∆fH(kJ.mol−1) -348,0 -202,9 -296,9

et les capacites calorifiques moyennes dans le domaine des temperatures en jeuZnO ZnS SO2 O2 N2 SiO2

Cp (J.K−1.mol−1) 51,6 58,1 51,1 34,2 30,7 72,5



Planche 128 CentraleOptique geometrique : mise au point d’un appareil photographique argentique.On donne un schema montrantle systeme optique a l’interieurde l’appareil.On associe l’objectif de l’appa-reil a une lentille convergentede distance focale f ′ = 50mm.On peut placer le film pho-tographique sur l’axe optiquea une distance comprise en-tre 50mm et 54, 5mm de lalentille.

Objectif

Diaphragme

Obturateur

Film

fD

1. Dans quelle zone peut on placer un objet pour que son image soit toujoursnette ? On appelle cette zone la profondeur de champ.2. On place un diaphragme(27) de diametre D derriere la lentille et on considereque la lentille et le diaphragme sont confondus. On appelle N l’ouverture maxi-

male, c’est a dire le rapport N =f ′

D·

On donne les valeurs standards de N : 1, 1.4, 2, 2,8, 4, . . . , 22,4, 32.On peut aussi regler le temps d’exposition a l’aide de l’obturateur(28) Te : 1mn,30 s, 15 s, 8 s, 4 s, . . . , 1/4000 s.Comment varie la puissance reue par le film photographique en fonction de N etde Te ?On donne la photo d’une regle graduee, ou l’on voit de 9 cm a 11 cm avec du floude 9.0 a 9,5 cm et de 10,5 a 11 cm et une petite croix rouge sur le trait des 10 cm,ainsi que la photo de la meme regle graduee, mais sans le flou ni la croix rouge.On considere que la photo est nette a partir du moment ou les taches floues restentinferieures a des grains de 0,02mm de diametre, la taille des grains de la pelliculeargentique.Comment varie la profondeur de champ en fonction de N et f ′ ?Faut-il prendre en compte l’effet de la diffraction ?

Planche 129

On considere un un tore d’axe Oz, a section circulaire, de rayon interieur RI etde rayon exterieur RE . Le premier but de l’exercice est de determiner le champmagnetique engendre par N spires enroulees sur ce tore et parcourues par uncourant d’intensite !. Pour un bobinage assez serre (spires quasi jointives), cettedistribution filiforme peut etre assimilee a une distribution surfacique de courants.

1) Considerations de symetrie. Quelle est la direction de−→B ? De quels parametres

depend!!!−→B!!! ?

2) Dessiner les lignes de champ.3) Appliquer le theoreme d’Ampere pour calculer le champ a l’interieur du tore.4) Determiner le flux a travers une spire et l’inductance mutuelle.5) Appliquer le theoreme d’Ampere pour calculer le champ a l’exterieur du tore.

Planche 130 CCP [I) Abordable en Sup ]

I) une bille de masse m, assimilable a un point materiel, est lachee a l’interieurd’ une demi-sphere de rayon R, sans vitesse initiale. On neglige les frottements eton repere la position de la bille par l’angle θ avec la verticale.1) Faire un bilan des forces s’appliquant sur la bille.2) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et en deduire l’equationdifferentielle qui regit le mouvement de la bille.3) Resoudre l’equation differentielle.4) Retrouver l’equation du mouvement en appliquant le theoreme des momentsdynamiques.5) Determiner la reaction du support a la bille.6 ) Calculer l’energie mecanique de la bille.7) Montrez que l’energie mecanique se conserve.8) Appliquer le theoreme du moment cinetique.9) Quelle methode est la plus efficace ?II) Combustion du methane : CH4 + 2H2 −→ CO2 + 2H2O (1)

photosynthese : 6CO2 + 6H2Olumiere−→ C6H12O6 + 6O2 (2)

Donnees : enthalpies de formation :−∆H

f (CH4 ) = −74,9 kJ.mol−1 ;

−∆Hf (H2 ) = 0,0 kJ.mol−1 ;

−∆Hf (CO2 ) = −393,5 kJ.mol−1 ;

−∆Hf (H2O) = −285,1 kJ.mol−1 ;

−∆Hf (O2 ) = 0,0 kJ.mol−1 ;

−∆Hf (C6H12O6 ) = 1274,0 kJ.mol−1.

1) Calculer l’enthalpie de reaction des equations (1) et (2).2) Les reactions sont-elles endothermique ou exothermique ? D’ou provientl’energie si la reaction est endothermique et a quoi sert l’energie liberee si lareaction est exothermique ?3) On introduit 1 l de methane avec de l’oxygene en exces. On considere le methanecomme un gaz parfait. On maintient la temperature constante a T = 298K et lapression constante a P = 1bar. Calculer la chaleur degagee par la reaction.3) Sachant que 1 tep (tonne equivalent petrole) est l’energie produite par lacombustion d’une tonne de petrole qui libere 41,86GJ. Quelle masse de methanefaut-il bruler pour obtenir la meme quantite d’energie ?4) il faut 7 g d’uranium pour produire la meme quantite d’energie. commenter.


La puissance thermique dissipee parconvection par une paroi de surface Set a la temperature Tparoi, en contactavec de l’air a la temperature Tair, estPth = h.S.

"Tparoi − Tair

#ou h est la

conductance thermique de la paroi. 1.Expliquer le phenomene attache a lafigure ci-contre.

2. Definir et expliquer la notion de resistance thermique.3. A l’aide du tableau suivant donnant les conductances thermiques, determinerle gain d’energie, en pourcentage, du a un double vitrage par rapport au simplevitrage. Meme question pour une renovation complete.

4. Pour la renovation du batiment, on change la chaudiere par une pompe achaleur. Expliquer pourquoi.

avant renovation apres renovation

Facade rue 1,45W.K−1.m−2 0,31W.K−1.m−2

Facade cour 2,20W.K−1.m−2 0,34W.K−1.m−2

Murs lateraux 1,05W.K−1.m−2 0,40W.K−1.m−2

Toiture 0,50W.K−1.m−2 0,12W.K−1.m−2

Fenetres 4,95W.K−1.m−2 2,00W.K−1.m−2

Porte 3,30W.K−1.m−2 2,00W.K−1.m−2

Planche 132I) 1. On considere le sodium 23

11Na. Donner sa structure electronique.2. On dispose d’un melange de Pb2+ + 2NO3 et de NA+ +CL− avec PbCl2qui peut precipiter. On donne Ks = 1,2.10−3. Les concentrations initiales sont$Pb2+

%= 0,01mol.L−1 et

$Cl−

%= 0,20mol.L−1.

L’etat final presente-t-il une solution limpide ?Determiner les concentrations finales.II)

On dispose du tableau ci-dessus donnant l’attenuation d’un signal (en dB/km)selon la frequence qui est utilisee et le type de cable qui le transporte.Expliquer le phenomene d’attenuation.III) Deux cylindres infinis concentriques, de rayons respectifs a < b sontparcourus par un courant I de meme valeur mais en sens contraire.

1. De quelle variable depend−→B (M), M etant un point quelconque de l’espace ?

Donner la direction du champ.2. Calculer le champ.3. Donner la puissance electromagnetique W .4. Memes questions pour le champ electrostatique.

Concours Divers − ATSPlanche 133 [III) Abordable en Sup ]I) On considere un cylindre infini d’axe (Oz) et rayon R. Dans chacun des deuxcas suivants, calculer les champ et potentiel en tout point de l’espace.1. Le cylindre est charge en surface avec une densite constante σ.2. Le cylindre est charge en volume avec une densite volumique variable

ρ(r) = ρ0Rr , ou r est la distance a l’axe du cylindre.

II) Deux boules identiques sont abandonnees sans vitesse initiale. B1 est en chutelibre tandis que B2 est posee sur un plan incline. On neglige les frottements dansun premier temps.1. A l’aide d’une methode energetique, calculer la vitesse finale dans les deux cas.2. Comparer les resultats.3. On sait que la difference de vitesse entre les deux cas est de 30% dont 5% sontdus aux frottements. Expliquer les 25% qui restent.III) L’azote est a l’intersection de la deuxieme ligne et de la cinquieme colonnedu tableau.1. Donner le nombre d’electrons de l’azote.2. Donner sa representation de Lewis.

Planche 134 [I) Abordable en Sup ]I) On considere le cycle theorique de Brayton, reversible :- 1 → 2 est une compression isentropique ou le gaz, parfait, passe de P1 a P2 ; on

pose α =P2

P1·

- 2 → 3 est une combustion isobare.- 3 → 4 est une detente isentropique.- 4 → 1 est un echappement isobare.1. Tracer le diagramme PV .2. Determiner le rendement en fonction de α et γ.II) On considere un cylindre infini d’axe (Oz) et rayon R, charge uniformementen surface avec une densite σ.Calculer les champ et potentiel en tout point de l’espace.


128hePlanc traleCenmise:etriqueéom´gOptique

tranmonema´hscundonneOnerie´tl’inaueoptiqeme`stsyle

l’appareil.de’appaldejectifl’obcieassoOnergenvcontillelenuneareil

calefodistancede f ′ m0= 5pho-filmleplacerutepOn

optiqel’axsuruetographiq

photographiqueappareild’untoinpauttran

erieur

-’appatenn.mm

pho-ueoptiq

Ob ectifj

fD

tique.argen

Obturateur

4. tavoneralruPoreuqilpxE.ruelach

edacFa

edacFa

etalsrMu

utiTo

rtenFe

iduachalegnachno,ntemitabudnoit.iouqruop

noitaovneretnnaav esàpr

eur 1, KW.54 −1.m−2 0, W.13

ruoc 2, KW.02 −1.m−2 0, W.43

xuare 1, KW.50 −1.m−2 0, W.04

er 0, KW.05 −1.m−2 0, W.21

ser 4 KW.59 −1.m−2 2 W.00

aepmopenuraperei

ationvnoeres

KW. −1.m−2

KW. −1.m−2

KW. −1.m−2

KW. −1.m−2

KW. −1.m−2optiqel’axsuruetographiqeesirpmocecnatsidenua

54etmm50tre , edm5mtille.lenn

oneutpzoneuelleqDans1.zonecetteeellappOn?nette

diaphragmeunplaceOn2. (27)

garhpaidelteellitnelalequ

ortrappledireac’estmale,

ardsstandaleursvlesdonneOntempsleeglereglerraussieutpOn

s,4s,8s,15s,30 . . . , 1/4000puissancelaarievtCommen

de TeeT ?egeglerd’unephotoladonneOn

9a9.0de , 01edtem5 c , a 15 à

ueoptiq-neal Diaphragme

imagesonueqourpjetobunplaceronhamp.cdeprofondeurlazone

(27) etre`diamde D ettillelennlaere`derrielleppaOn.sudnofonoctnosmeg N l’ouv

N =f ′

D·

deards N 2,2,4., 1: 1 , 48, ,, . . . 22, 32.4,l’obturateurdel’aideaositiond’exptemps (28)

s.4000fonctionenphotographiquefilmleparue¸re

cm11acm9deoitvl’onuoee,´gradueglere tr luseguorxiore ctitee pnt um ec1a 1

Film

toujourssoit

ere`considonet-maxiturerel’ouv

32.(28) TeeT ,nm: 1

defonction N et

flouduecvacm,mc01set dia

rtenFe

trPo

132hePlanc.1I) ere`considOn

2. d’unosedispOnretipicerptuepiqu$

Pb2+%= 0, mol.L01

te-t-ienes´prfinaletat´L’cnocselrenimretDe

I)I

25

30

ser 4, KW.59 1.m 2 2, W.00

e 3, KW.03 −1.m−2 2, W.00

diumsole 2311 leerutcurtsasrennoD.Na

Pbdeelangeelangemd’un 2+ ON+ 2 3 ANdeetennodOn. Ks = 1,2.10−3 necnos ce. L

mol.L−1 et$Cl−

%= 0, mol.L20 −1.

?dempiilonutiolsunelte-t-i.selanfisnoitarntec

coaxialableableC

equence´rfehauteljumeeablablC

phoneeleTdeeablablC

KW. 1.m 2

KW. −1.m−2

.equinortcelA+ L+ C − lCbPceav 2

tnos selaitins inoitartnt

!!!!!!!!

emeˆmladephotolaueqainsiestphotolaqueere`considOn0degrainsdesaerieuresinf´ferieures ,

ue.tiqargenprofondeurlaeiarvtCommen

’letpmocneerdnerpli-tuFa

129hePlanc

d’axetoreununere`considOnerieur´texonyrayde RE e p. L

rpaeengendretique´magn NunourP!.etensitin’dtcourann

etêutprmeifofildistribution

etrie.´msydeerationsĆonsid1)

dnepede!!!−→B!!! ?

hamp.delignesleDessiner2)

lanifloulesansmaisee,´graduegleegleremehesactalesuotmomendupartiranetteest

grainsdestaillelaetre,`diamdemm02

defonctionenhampcdeprofondeur N et f ′ ??noitcarffffridaledteffffee

d’axe Oz ninoyaaye rd,erialucrin coitcea s, aimretee dt dse ecicrexe’e ldtur beimere p

N parcouruesettorecesureesénroulspiresjoinuasiq(spireseserrassezobinagebunuesurfaciqdistributionuneaeeássimiletre

dedirectionlaestQuelleetrie.−→B euqe? D

rouge.croixlatrestenfloues

elliculeplade

rueiretn RI etpmahcelreni

unparparcouruescettees),tivjoin

ts.courandeue

sertemarapsle

25

0

5

(dB/km)

nuatio

nettA

10510

20

15

10

gradieablablC

equence(Hz)´rF810710610

´

deomonomoptiqueeablablCd’indicetngradie

aedonmultime

1010910

mee

hamp.cdelignessleDessiner2)d’Aemeèor´thleuerppliqA3)ersvtraafluxleeterminer´D4)

d’Aemeèor´thleuerppliqA5)

CCP130hePlanc [I) Ab

I) massedebilleune m ss, aonyraaydeere`sph-demiuned’billeladeositionplaere`repon

forcesdesbilanunaireF1)fondameneprincipleuerppliqA2)mouvletigeruiqtielleerenff´ffedieren´ffdiuationeq´l’esoudreesoudreR3)

duuationeq´l’erRetrouv4)ues.namiqdy

dueaction´rlaeterminer´D5)

hamp.erieur´tl’inahampclecalculerourpere`mpd’A

utuelle.ml’inductanceetspireuneersetl’exahampclecalculerourpere`mpd’A

Supenordable ]

ehcat ls, eleiretat mnion pa ue albalimisR s fee lgilgen n. Oelaitiniessetis vna, s

l’angleparbille θ .elacitrevalceavbille.lasurtuans’appliq

edueduiredenetuenamiqdyladetalfondamenle.billadetemenmouv

tielle.erenemeèor´thletuanappliqentemennmouv

bille.laaortsuppdu

tore.duerieur

tore.duerieur

rueiretni’a le ats etnnemettorffr

notiuaeq´l’eduire

tsmomenndes

tableauduosedispOnquenceeq´rffrlaselon

enom´phelqueriExplI)II lindrescyDeux

couranunparparcourus

1. ariablevuelleqDedirectionlaDonner

2. hamp.cleCalculer3. puissancelaDonner4. snoitseuqsemeMe

133hePlanc [IIII) unere`considOn

calculerts,ansuivcas

equence(Hz)rF

d’unuationen´l’atttdonnanci-dessustableauleuiqablecadeepytleeteeútilisestuiq

on.uatienáttd’eneènomresponsyraaydeues,triqconceninfinislindres

tcouran I consensenmaisaleurvemeˆmde

endep´dariable−→B (M), M uqtniopnutnate

hamp.cdudirectionhamp.

ueetiqélectromagnelectromagnpuissance W ..euqitatsortcelepmahcelruops

sreviDsrouconC − TAATSIII) SupenordableAb ]

(d’axeinfiniindrelycun Oz noyaayrt) e R. Dtoinptoutentielotenpethampclescalculer

dB/km)n(esignald’unorte.transple

sectifresp a < b tsontraire.con

?ecapse’ledeuqnocleu

TS

xues dednucahcsna. Dl’espace.denacemeigrene’lrelucla6 ) C

emenergie´l’ueqtrezonM7)duemeèor´thleuerppliqA8)pluslaestdeethoethomQuelle9)

I)I nethaemdunobustiCom

CO6:ese`thntphotosy 2 H+ 6 2

ormfformationdethalpiesen:ees´Donn−∆H

f (CH4 ) = −74, om.J9 k

−∆Hf (H2 ) = 0, lom.J0 k −1

−∆Hf (CO2 ) = −393, m.J5 k

−∆Hf (H2 =O) −285, m.J1 k

−∆Hf (O2 ) = 0, lom.J0 k −1

−∆Hf (C6H12O6 472) = 1 ,0 k

erdethalpiel’enCalculer1)

.ellia blee duqie.conservseueecaniq

ue.etiqćintmomendu?eccaffieplus

CH:ne 4 H+ 2 2 −→ CO2 H+ 2 2 1O (

2Oeremiul −→ C6H12O6 O+ 6 2 (2)

:ormationlo −1 ;

;

lom −1 ;

lom −1 ;

;

lom.J0 k −1.(2).et(1)uationseq´deseaction

)

calculerts,ansuivcas1. ctesendricylLe2. tesendricylLe

ρ(r) = ρ0Rr u, o r est

I)I idenoulesbDeuxueqtandislibre B2

temps.premierun1. ` menu’dedia’A l2. esesultats.rlesComparer3. dilaquesaitOn

ts.frottemenauxdusI)II latesazoteL’tableau.du

1. brenomleDonner2. esen´reprsaDonner

134hePlanc [I)

toinptoutentielotenpethampclescalculertanconsetidensuneecvafaceursenegharctidensuneecvaumeolvenegharct

lindre.cyduel’axadistancelaest

initiale.itessevsanseesábandonntsonuestiqidenegligeegligenOne.ínclinplanunsureeóspest

fiessetivalreluclac,euqitegreneedohteesultats.

estcasdeuxlestreenvitessedeerence´ffdit.restenuiq25%lesuerpliqExts.

deetgneileme`deuxialdeonectisterni’l

l’azote.deelectronselectronsd’breewis.Ldetationesen

upSenordableAb ]

l’espace.detetant σ.

eabliarvqueumiolvet

initiale. B1 utehcenestdanstsfrottemenleseglige

.sacxuedselsnadelan

tson5%tdonn%30deest

onnecoleme`nquicialde

t-ellessoneactions´rLes2)esteaction´rlasienergie´l’

?euqimrehtoxetsenoitcaereethanethanemdel1duittroinOn3)

mainOnt.iparfagazuncommeateconstanpression P b= 1

nne(totep1ueqthanSac3)pdetonned’unebustioncomalbteniroourperululbrlfaut-i

ourpd’uraniumg7fautil4)

131hePlanc traleCen

diquemitherancesspuiLadeparoiuneparectionvcon

erature´templaaet Tp iropaT , erutarepmetalaria’ledceav

P h.S"T T

#

D’ou?ueothermiqexouueendothermiqenergie´l’sertuoiqaetueendothermiq

ere`considOnes.`cexenene`gyxl’odeecvaethaneateconstanerature´templattienmaint T

ralrapeegagedruelahcalreluclaC.rabproenergie´l’estetrole)etrole)ptalenuiveqńne

41ere`libuiqetroleetrolep , masseQuelleGJ.86?egiener´d’ettiquanemeˆma

energie.´d’ettiuanqemeˆmladuireproour

paree´pisssurfacede S

tcatnocn, eer Ta raiT ts, e

o` h laest

tiennvproD’oulasieeér´libenergie

ethaneethanemleereàlteK89= 2

.noitcaerlaparduitepro

ethaneethanemdemasse

ter.commen

134hePlanc [I)I) leere`considOn- 1 → moe cnt us2 e

espo α =P22P

P1·

- 2 → mocent us3 e- 3 → tedent us4 e- 4 → ahcent us1 e1. margaidelrecaTr2. erelrenimreteDeI)I unere`dnsicoOn

uneecvasurfaceenhampclesCalculer

upSenordableAb ]:ersibleev´ryton,Bradeeorique´thcycletiaffara, pzae gu lu le ouqiportnesn ioisserpm

.erabosn ioitsubm.euqiportnese itnnet.erabost innemeppa

emm PV .ednoitcnofnetnemedne α et γ.(d’axeinfinicylindreun Oz noyart) e R

edensitune σ.l’espace.detoinptoutentielotenpet

ee dssa, pt P1 a P22P n; o

tnememroffoinuegrah, c

PtthP = .h.S"Tp iropaT − Ta raiT

#o`ladeuethermiqconductance

attaceneènom´phelqueriExpltre.ci-configure

2. onalreuqilpxeterinfieDe3. ` aviusuaelbatudedia’A l

ourcenpenenergie,´d’gainleuopnoitsequmeeM.egartvi


uou h laestparoi.la 1.

alaehattac

.euqimrehtecnatsiserednoiteuqimrehtsecnatcudnos celtnannot dna

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Index Mathematiques

AArithmetique 25, 256

CConique 291Courbe plane 288, 305

DDenombrements 18Determinant

Calcul 78, 220, 224, 317

EEndomorphisme 52, 75, 106, 114, 117, 119, 149, 231–232, 275, 302, 304

Endomorphisme nilpotent 21, 188, 235, 284Polynome d’endomorphisme 241, 253Projecteur 112, 124, 156, 194, 255, 260Rang 280

Equation differentielleSolution developpable en serie entiere 84, 100, 182, 234, 308Equation differentielle du premier ordre 75, 122, 176, 275, 316Equation differentielle du second ordre 77, 93, 129, 181, 196, 226, 251–252, 260, 310

Equation differentielle 239Espace euclidien

Distance a un sous-espace 204, 263Endomorphisme orthogonal 86, 158Endomorphisme symetrique 203, 287Matrice de Gram 129Orthogonalite 97, 101Produit scalaire 126, 231Produit vectoriel 273, 285Projecteur orthogonal 214Rotation 143, 221

Espace vectorielBase 219Base duale 32Dimension 121, 284Famille libre 93, 107, 125Forme lineaire 134Sous-espace vectoriel 48

Espace vectoriel normeNormes equivalentes 90

FFamille sommable 31Fonction complexe 9Fonction de carre integrable 20Fonction de deux variables 28, 48, 50, 132, 218

Equation aux derivees partielles 29, 88Extremum 11, 197, 240–241, 271, 278Point critique 293

Fonction reelle de la variable reelle 4, 14–15, 73, 172, 225Continuite 72, 140Derivation 10, 67Limite 13

GGeometrie euclidienne 8, 165, 299Geometrie dans l’espace 23

IInformatique ENS 33–35Integrale a parametre 45, 59, 70, 78, 91, 95, 102, 107, 120, 141, 167, 206, 220, 222, 229,

248, 258, 261, 266, 270, 277, 283, 289, 298, 303Integrale complexe 83, 163Integrale double 7, 50Integrale fonction d’une de ses bornes 41, 68, 218, 256, 295Integrale impropre/generalisee 16, 74, 80–81, 99, 109, 113, 118, 128, 146, 210, 221, 225,

244, 246, 249, 251, 259, 279, 285, 287Suite d’integrales 81, 119, 236, 267Theorie de l’integration 76, 276

MMatrice 43, 55, 70, 74, 76, 79, 127, 135, 250, 254, 258, 283, 286

Determinant 47, 60, 82, 85, 88, 91, 108, 118, 246, 259Exponentielle de matrice 47, 81Matrice antisymetrique 73, 89, 91, 184, 236, 300Matrice nilpotente 50, 234Matrice orthogonale 53, 66, 68, 179, 268Matrices semblables 104Matrice symetrique 30, 91, 130, 175Polynome annulateur 202, 238Polynome caracteristique 84, 174, 183Polynome de matrice 87, 162, 262, 316Polynome minimal 137Rang 95, 191, 230Trace 91, 315

NNombres complexes 133

PPermutation

Decomposition en produit de cycles 1Polynome 17, 77, 93, 116, 127, 282

Base 128, 132Division euclidienne 42Racines 67, 186, 225, 229, 232

Probabilites 27, 40, 75, 120, 127, 154, 250, 253Probabilite conditionnelle 301Variable aleatoire 64Fonction generatrice 123Loi de Bernouilli 56, 230, 264Variable aleatoire 36, 46, 54, 61, 69, 80, 94, 126, 144, 153, 157, 171, 254, 290Couple de variables aleatoires 109, 238, 247, 249, 280Loi geometrique 97, 110, 222Loi de Poisson 85, 105, 239Tirage 82, 92, 153, 161, 253, 263

Proprietes de N 96Python

Arithmetique 142, 267, 270, 299, 301–302, 306, 309–310Chaine de caracteres 276Ensembles 192, 300Fonction reelle de la variable reelle 164Geometrie euclidienne 308Integrale generalisee/Integrale impropre 185Interpolation de Lagrange 272Liste 267, 273–274, 302, 311Matrice 148, 173, 269, 303Nombres complexes 147Polynome 139, 147, 180, 303Probabilites 151, 266, 271, 275, 297, 305Reduction des endomorphismes 187Serie entiere 136, 160, 192–193Serie numerique 160, 169Suite 159, 268, 298, 304, 307Suite de fonctions 155Topologie d’espace vectoriel norme 145

QQuestion de cours

Application lineaire 186Binome de Newton 294Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble 294Diagonalisation 289Esperance 291Fonction genoratrice 115Formules de Taylor 296Inegalite de Cauchy-Schwarz 293Integration terme a terme 257Isometrie 295Loi binomiale 186Loi geometrique 186Plan tangent a une surface 290Probabilites 127Rayon de convergence 292Reduction des endomorphismes 21Serie de fonctions 81Theoreme des accroissements finis 288

RReduction des endomorphismes

Diagonalisation 19, 42, 59, 64, 71, 87, 98, 111, 113, 152, 157, 168, 195, 201, 205,216–217, 223, 225–226, 233, 237, 242–245, 248, 250, 257, 272, 281, 296, 309,314

Elements propres 58, 69, 103, 123, 133, 178, 209, 213, 218, 227, 240, 247, 265, 274,277–279, 292, 307

Polynome annulateur 109, 261Polynome caracteristique 131Sous-espace stable 49, 105, 122, 208Trigonalisation 90

SSerie de fonctions 86, 92, 96, 103, 106, 115, 117, 125, 138, 166, 189, 198–199, 211, 217,

228, 237, 243, 245, 257, 269, 281, 286Serie de Fourier 317Serie entiere 4, 38, 41, 58, 98, 108, 110, 112, 131–132, 177, 190, 207, 212, 220, 254,

261–262, 264, 313Serie numerique 22, 44, 99, 101, 104–105, 111, 121, 200, 215, 219, 221, 223, 225, 227,

230, 233, 235, 242, 246, 258, 313, 315Structure

Loi interne 31Structure d’algebre 18, 63Structure d’anneau 137Structure de corps 17, 94Structure de groupe 24, 52, 83, 152

Suite complexe 100Suite de fonctions 90, 114, 124, 255Suite reelle 5, 51–52, 87, 89, 102, 116, 130, 133, 219, 224, 231, 282Surface 297, 306Systeme differentiel 6, 39, 65, 186, 312

TTheorie des ensembles 72Topologie 2, 19, 62, 150, 252

Topologie d’espace vectoriel norme 3, 12, 26, 47, 57, 79, 94Trigonometrie 130, 228



Index Physique-Chimie

AAnalyse dimensionnelle 34Atomistique 121, 132–133

CChangement d’etat 32, 53, 57, 91, 101Chimie

Atomistique 121, 132–133Courbes Intensite Potentiel 102Cristallographie 49Diagramme Potentiel E-pH 23, 119Organique 23, 27, 65, 87, 92Oxydo-Reduction 23–24, 27–28, 92, 102, 119Solubilite 24, 132Solutions aqueuses 92Synthese organique 87Thermochimie 65, 74, 87, 112, 119, 127, 130

Conduction 34, 56, 75, 78, 102, 109, 111, 121Convection 56, 69, 73, 121Conversion de puissance 93Cristallographie 49Cycle thermodynamique 81, 91, 134

DDiffusion 69Diffusion 30, 67Dipole electrique 16Dipole magnetique 20

EBattements 116Electricite

Battements 116Cable coaxial 30–31, 81Circuit 29, 32, 89, 95, 97, 106–107, 109–111, 113, 118Condensateur 43, 106–107Diagramme de Bode 32, 89, 97, 111, 113Filtre 29, 32, 89, 97, 110–111Hacheur 93

ElectromagnetismeDipole magnetique 20Equations de Maxwell 5, 26, 61, 79, 83, 94, 123Induction 17, 57, 76, 96Plasma 83Rail de Laplace 57Solenoıde 80

Electromagnetisme 4, 17, 20, 25, 30–31, 44–45, 76, 80, 86, 93, 105,123, 132

Electrostatique 1, 8, 13, 33, 35, 40, 43, 63, 75, 94, 108, 133–134Electrostatique

Dipole electrique 16Equations de Maxwell 5, 26, 61, 79, 83, 94, 123

FForces de Van der Waals 58

HHacheur 93Haut-parleur 68

IInduction

Haut-parleur 68Interferences 52, 82, 85, 89Interferometre de Michelson 55, 77, 82, 103

LLois de Coulomb 18, 60, 103

MMachine Synchrone 114Machine Thermique 91, 115Magnetostatique 46Mecanique 7, 40, 44, 58, 64, 75, 77, 99, 133

Corde 38, 40, 43, 97Mecanique des fluides 7, 11–12, 36, 39, 41, 45, 62, 86, 97, 107,

114, 118, 126Mecanique du point 5, 13, 21, 72, 75, 77, 79, 83, 98–99, 121, 123,

130, 133Mecanique du solide 8, 25, 47, 60, 78, 122Force centrale 5, 79, 98

Frottement 99Theoreme de Gauss gravitationnel 91Gravitation 91Haut-parleur 68Lois de Coulomb 18, 60, 103Oscillateur 21, 123Referentiel non galileen 83Satellite 79

Mecanique quantique 19Michelson 55, 77, 82, 103

OOnde electromagnetique 29, 37, 51, 66, 74, 84, 88, 96, 112, 120, 125,

132Ondes 13, 38, 40

Ondes sonores 11, 14Optique 3, 55, 100, 117

Optique geometrique 5, 50, 54, 80, 108, 128Optique Physique 89Diffraction 128Interferences 31, 52, 55, 77, 82, 85, 89, 124Interferometre de Michelson 55, 77, 82, 103Lentilles 100Reseau 33, 85, 117Trous d’Young 31

Oscillateur 35Oxydo-Reduction 92

PParticule dans un champ electrique 4, 35Particule dans un champ electromagnetique 4–5, 105Particule dans un champ magnetique 20, 46Physique quantique 2, 6, 8, 15, 48, 59, 90

Equation de Schrodinger 6, 8Pompe a chaleur 70Propagation guidee 84Python 46, 55, 66

QQuestion de cours

Conductivite γ d’un metal 35Dualite onde-corpuscule 35Effet Hall 35Electromagnetisme dans le cadre de l’ARQS 41Formules de Fresnel 35Image d’un objet virtuel par une lentille divergente 108Loi d’Ohm locale 35Ondes sonores 69Ondes thermiques 106Polarisation rectiligne de la lumiere. Loi de Malus 34

RRayonnement 51Referentiel non galileen 83Reseau 85, 117Resistance thermique 34, 98, 104, 119, 131

SStatique des fluides 37, 42, 62, 82, 90, 96–97, 110Systemes Ouverts 88, 114

TTheoreme de Gauss gravitationnel 91Theorie du signal 88Thermochimie 74, 87Thermodynamique 38, 49, 71, 73, 75, 82, 84, 92, 113Thermodynamique 11, 30

Changement d’etat 32, 53, 57, 91, 101Cycle 81, 91, 134Facteur de Boltzmann 10Machine Thermique 115MachineThermique 91Moteur 70, 115Pompe a chaleur 70Resistance thermique 34, 98, 104, 119, 131Thermodynamique statistique 9–10, 37Systemes Ouverts 88

Transferts thermiques 30, 34, 56, 75, 78, 98, 102, 104, 109, 111, 119,121–122, 131

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