COURS TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES

A. Notation - Dfinition

Dfinition : une suite numrique (un) est une application de dans .

On note (un) la suite de nombres u0, u1, u2,..., un, ... Le nombre un est le terme dindice n (ou de rang n). uo est le

premier terme de la suite.

Exemples : un = 3n ( formule explicite en fonction de n ) , un = (1 + 5/100)

n , un+1 = 3un + 2 et uo donn ( formule

rcurrente : un terme de la suite scrit en fonction du ou des prcdents ), un+2 = un + 1 + un et uo donn ...

B. Les suites arithmtiques

La suite (un) est une suite arithmtique sil existe un nombre rel r tel que pour tout naturel n , un+1 = un + r.

Le rel r est appel la raison de la suite.

Proprits : Pour tout entier naturel n , un = u0 + nr . Pour tous entiers naturels n et p , un = up + ( n p ) r .

Somme de n termes conscutifs dune suite arithmtique : S = n (demie somme des termes extrmes) .

Exemples : u0 + u1 +...+ un = k=0

k=n

uk = (n+1)

u0u

n

2 ; 1 + 2 + 3 + ... + n =

n n1

2 .

C. Les suites gomtriques

La suite (un) est une suite gomtrique sil existe un nombre rel q tel que pour tout naturel n , un+1 = qun .

Le rel q est appel la raison de la suite.

Proprits : Pour tout entier naturel n , un = u0 qn . Pour tous entiers naturels n et p , un = up q

(n p) .

Somme de n termes conscutifs dune suite gomtrique : S = premier terme 1qn1

1q si q 1 ,

et S = n premier terme si q = 1.

Exemple : u0 + u1 +...+ un =k=0

k=n

uk

= u0 1qn1

1q.

D. Sens de variation dune suite

Dfinition : Soit (un) une suite de nombre rels. La suite (un) est croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 un .

La suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 > un .

La suite (un) est dcroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 un .

La suite (un) est strictement dcroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 < un .

Technique : a) on peut chercher comparer un+1 un 0, ou si tous les termes de la suite sont strictement positifs,

comparer u

n1

un

1.

Si pour tout entier naturel n, un+1 un 0, alors un+1 un et la suite (un) est croissante.

Si pour tout entier naturel n, un+1 un 0, alors un+1 un et la suite (un) est dcroissante.

b) Si un = f(n) , alors les variations de f sur [0 ; + [ donne les variations de (un).

Exemple : sens de variation dune suite arithmtique : f(n) = u0 + nr , f est une fonction affine;

si r > 0, (un) est strictement croissante ; si r < 0, (un) est strictement dcroissante ; si r = 0, (un) est constante.

E. Suites majores, minores, bornes

Dfinition : Soit (un) une suite de nombre rels. La suite (un) est majore sil existe un nombre rel M tel que,

pour tout entier naturel n, un M.

La suite (un) est minore sil existe un nombre rel m tel que, pour tout entier naturel n, un m.

La suite (un) est borne si elle est la fois majore et minore.

Technique : pour montrer quune suite est majore ( ou minore ), et si un = f(n) , alors on cherche majorer ( ou

minorer ) f(x) sur [0 ; + [ .

Exemple: un = n

n1. Cette suite est majore par 1 et minore par 0. Elle est donc borne par 0 et 1.

F. Limite dune suite

1. Dfinition : Une suite (un) est une suite convergente vers le nombre rel l si tout intervalle ouvert contenant l

contient tous les termes de la suite partir d'un certain rang. Le nombre rel l est la limite de la suite (un), on crit

limn

un = l .

Une suite est divergente si elle nest pas convergente ( sa limite est infinie ou nexiste pas ).

2. Technique : si un = f(n) , alors la limite de la fonction f en + est la limite de la suite (un).

3. Thormes ( de comparaison ) : Si, partir dun certain rang, un vn et si lim

n

un = + , alors lim

n

vn = + .

Si, partir dun certain rang, unl vn et si limnv

n = 0, alors limn

un = l .

Si, partir dun certain rang, un vn et si les deux suites convergent, alors lim

n

un lim

n

vn .

Thorme des gendarmes: Si, partir dun certain rang, un vn wn et si lim

n

un = lim

n

wn = l , alors lim

n

vn = l .

Dmonstration du thorme des gendarmes: La suite (un) converge vers l, donc tout intervalle ouvert contenant l

contient tous les termes de la suite (un) partir d'un certain rang n1 . De mme, la suite (wn) converge vers l, donc

tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite (wn) partir d'un certain rang n2 . En prenant

n0 = max(n1, n2), tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite (vn) partir du rang n0

puisque un vn wn . Donc la suite (vn) converge vers l.

4. Exemples:

Soit la suite (un) dfinie par un = n

n1. On a un = f(n) avec f(x) =

x

x1. Comme lim

x

f x = 1, alors

limn

un = 1 et cette suite converge vers 1.

Soit la suite (un) dfinie par un = 2n . Pour tout entier naturel n, un > 0 et un + 1 > un , donc la suite est

strictement croissante, minore par 1 et non majore. limn

un = +, donc la suite est divergente.

Soit la suite (un) dfinie par un = 2 n1n

n1. On considre alors les suites (vn) et (wn) dfinies par

vn = 2 n1

n1 et wn =

2 n1

n1. Alors, pour tout entier naturel n, vn un wn . De plus,

limn

un = lim

n

2 n1

n1= 2

et limn

wn = lim

n

2 n1

n1 = 2, donc par le thorme des gendarmes, lim

n

un = 2.

5. Suites monotones convergentes:

Thorme: Toute suite croissante et majore converge.

Toute suite dcroissante et minore converge.

Remarque: si la suite (un) est croissante et majore par un rel M, alors la limite de (un) est infrieure ou gale

M; cette limite n'es pas ncessairement M.

Exemple: La suite (un) dfinie par un + 1 = un1 et u0 = 0 est croissante et majore par 2; elle converge donc

mais sa limite n'est pas 2 mais le nombre d'or 15

2. (A dmontrer !)

Proprits: Si (un) converge vers l, et si (un) est croissante, alors pour tout n de , un l.

Si (un) converge vers l, et si (un) est dcroissante, alors pour tout n de , un l.

G. Reprsentation graphique dune suite

Si la suite (un) a son terme gnral dfini en fonction de n,

on reprsente la suite dans un repre du plan, par un

ensemble de points de coordonnes (n; un). Cette

reprsentation graphique permet de visualiser les variations

de la suite et ventuellement la convergence.

Exemple: un = n

n1. Les sept premiers termes de la suite

sont reprsents ci-contre. On peut conjecturer que la suite

est strictement croissante et qu'elle converge vers 1.

Si la suite (un) est dfinie par rcurrence, de la forme

un+1 = g(un), on reprsente la suite dans un repre du plan, en

utilisant la reprsentation graphique de la fonction g et la droite

d'quation y = x : On place u0 sur l'axe des abscisses, puis u1

comme image de u0 par la fonction g, puis on ramne u1 sur l'axe

des abscisses en utilisant la droite d'quation y = x , puis u2 comme

image de u1 par la fonction g, puis on ramne u2 sur l'axe des

abscisses en utilisant la droite d'quation y = x , etc...

Exemple: un+1 = 0,8un + 4 et u0 = 1.

Les sept premiers termes de la suite sont reprsents ci-contre.

On peut conjecturer que la suite n'est ni croissante, ni dcroissante

et qu'elle converge vers l, o l est solution de

l'quation 0,8x + 4 = x, soit l = 20/9.

H. Suites adjacentes

Dfinition: On dit que deux suites (un) et (vn) dfinies sur sont adjacentes si et seulement si les trois conditions

suivantes sont ralises:

(un) est croissante et (vn) est dcroissante;

Pour tout entier naturel n, un vn ;

limn

unv

n = 0.

Exemple: un = 1 1

n1 et vn = 1 +

1

n1 sont des suites adjacentes.

Thorme: Si les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes, alors elles convergent vers la mme limite.

Dmonstration: la suite (un) est croissante, donc pour tout entier naturel n, u0 un vn ; de mme la suite (vn) est

dcroissante, donc pour tout entier naturel n, un vn v0 . Donc la suite (un) est croissante et majore par v0 ,

donc elle converge vers un rel l. La suite (vn) est dcroissante et minore par u0 , donc elle converge vers un rel

l'. La suite ( un vn ) converge donc vers l l' . Or lim

n

unv

n = 0, donc l l' = 0, et l = l'.

De plus, pour tout entier naturel n, un l vn .

Les deux suites de l'exemple prcdent converge vers 1.