Cours_RDM_4_Flexion

RDM Résistance des matériaux RDM-4 Flexion

Lycée Ferry de Cannes sur 7 TSI2

Cours RDM-4 : Flexion

Les sollicitations en flexion sont très fréquentes dans les poutres (en architecture dès que les poutres ne sont pas soumises à 2 forces, pour les arbres de transmission à engrenages ou poulie courroie,…) .

1 Sollicitation de flexion Rappels: On parle de flexion dans une poutre lorsque le torseur de cohésion à la forme suivante : Flexion simple :

{�(��é��)}� = � 0��0��,��,�� ,��

Les essais de flexion permettent de vérifier les résultats de déformation et de résistance sur la pièce réelle (poutre en béton armée, aile d'avion,…).

2 Déformations en flexion Hypothèse des petits déplacements: les déformations de la poutre sont de faibles amplitudes (les variations du moment de flexion occasionnés par la déformation de la poutre sont négligeables). Les rotations des sections droites doivent donc rester petites. Déformée v(x) (souvent aussi notée y(x) au risque de confondre avec le paramétrage de l'ordonnée d'un point de la section): Dans l'hypothèse des petits déplacements, les déformations en flexion sont quantifiées par la déformée v(x) : déplacement du centre de gravité G de la section droite (mesuré perpendiculairement à la ligne moyenne non déformée). Flèche f : la flèche est la valeur maximum de la déformée : � = !"#$%$&v(�) Hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections droites restent droites après déformation.

Compétences attendues: idem RDM1 mai s appliquées à l a flexion.

Figure 2 : poutre en f lexion simple (Mfz=a.F et Ty=F)

x�� G

A a

F��

Figure 3 : déformée de la poutre (déformée identifie indiffé remment la fonction y(x) et sa représentation graphique amplifiée pour être visib le)

x�� A

F�� G

v(x)

x

La section droite reste droite après déformation

y�� θ(x)

Figure 1 : Simulation de la déformation des ailes d 'un nouvel avion (projet ONERA)

f



Rotation de la section droite autour du point G (ce ntre d'inertie de la section): θ(x) La conséquence de l'hypothèse de Navier-Bernoulli est que θ(x)=v+ (x) Variation de longueur des fibres de la poutre ( fibre = ensemble des points situés sur une ligne parallèle à la ligne moyenne): On constate expérimentalement que la ligne moyenne (ou fibre moyenne) constituée par l'ensemble des centres d'inertie des sections droites ne s'allonge pas. Il en résulte un changement de longueur des fibres supérieures ou inférieurs (sur la Figure 3 les fibres supérieures se raccourcissent et les fibres inférieures s'allongent). Afin de quantifier la déformation longitudinale des fibres de la poutre, on utilise la déformation longitudinale unitaire ε(x). La poutre étant courbe après déformation, on est amené à définir un volume élémentaire de poutre de longueur dx pour laquelle les arcs sont assimilables à des longueurs.

Ainsi ε(x) = -./-.-0-. Dans l'hypothèse des petits déplacements �12�1 = −�.56 On a doncε(x) = −7.898% = −�.θ+ (x) avec θ(x)=v+ (x) D'où l'allongement unitaire des fibres : ε(x) = −y.v;(x)

3 Validation expérimentale des hypothèses de la rd m Hypothèse de Barré Saint-Venant (en observant les déformations loin des appuis c'est-à-dire à une distance de l'ordre de grandeur de la plus petite des longueurs de la section droite) : on constate que les déformations sont uniformes sur la longueur de la poutre pour toute fibre parallèle à la fibre moyenne .

Hypothèse de Navier-Bernoulli : Les hypothèses de Navier-Bernoulli sont vérifiées dans le cas des flexions planes surtout et à condition que les sections droites aient un profil symétrique par rapport au plan d'étude. Elasticité du matériau: On observe dans les matériaux élastiques que la flèche est proportionnelle aux efforts qui provoquent la flexion. Cela est caractéristique de l'élasticité du matériau. Il faut de plus qu'en absence de charge la flèche résiduelle soit nulle. C'est le cas tant que les contraintes internes au matériau restent inférieures à la limite élastique.

4 Contraintes en flexion Contrainte normale σ : L'élasticité du matériau et le respect des hypothèses de Navier-Bernoulli conduisent (dans les conditions de Barré Saint-Venant) à établir que la contrainte est normale à la section droite d'une poutre soumise à de la flexion pur. Chaque fibre est en effet soumise à la traction-compression du fait de son allongement uniforme.

Figure 4 : déformation d'un volume élémentaire en flexion

x��

y��

G2 G1

dx

M2 M1

�122dθ(x)

y



Contrainte tangentielle (ou de cisaillement) τ : De plus dans le cas des flexions simples, l'effort tranchant supplémentaire génère des contraintes tangentielles dans la section. Liens entre les contraintes et le torseur de cohésion

=> =? τA(M).dSE

FG> . y�� +FGI. z� = ∬ GM��ΛC(M)��. dSE

Démonstration en coordonnées cartésiennes (exemple d'une section droite rectangulaire).

FG> . y�� +FGI. z� = ∬ (y.y��+ z. z�E )ΛOσ.x�� + τA. y�� + τQ .z�R. dS = ∬ SOy.τQ −Ez. τA). x�� + (z.σ). y�� − (y.σ). z�)T. dS Par identification : FG> = ∬ (z.σ).dSE et FGI = ∬ −(y.σ).dSE

5 Loi de comportement La loi de comportement qui traduit l'élasticité du matériau est la loi de Hooke.

Loi de Hooke : σ = E. ε avec σ :contrainte normale dans la section droite (en Pa), E : module d'Young en Pa (pour l'acier E=200 000MPa), ε : déformation unitaire de la section. L'objectif d'un problème de rdm est de déterminer la relation entre la déformation ou la contrainte et le torseur de cohésion. Les hypothèses sur les déplacements et la relation de comportement permettent d'obtenir cette relation pour un problème de flexion:

FGI =? −(y.σ).dS =? −y.(E. ε).dSEE =? −y.E. (−y.v; (x)).dSE = E.v; (x).? y1.dSE

Le moment quadratique se note : IWQ = ∬ y1. dSE

Cisaillement négligé en général On pourrait également déterminer l'expression de la déformation γ et de la contrainte tangente τ en fonction de l'effort tranchant T. En général, ces calculs ne sont pas traités car:

• la déformation due au cisaillement est souvent négligeable par rapport à la déformée due à la flexion,

• la contrainte tangente τ n'est généralement pas le facteur dimensionnant.

z�

y��

G(x,0,0)

M(x,y,z) dS=dy.dz

Figure 5 : Paramétrage

section



6 Bilan des équations utiles

6.1 Problème de résistance La définition intégrale de la contrainte sera avantageusement remplacée en flexion plane par les expressions suivantes.

Contrainte en flexion plane: σ = −XYZ[\Z . y ou σ = XY][\] . z

avec σ : la contrainte normale à la section (traction-compression) en Pa, Mfz (ou Mfy) les moments de flexion selon la direction z (ou y) en Nm, y est l'ordonnée (z la cote) d'un point M de la section droite en m, IWQ (ou IWA ): moment quadratique de la section autour de (G,z) (ou (G,y)) en ^_. Remarque: le signe "-" se retrouve en imaginant à droite de la poutre une force générant un moment positif et en vérifiant que l'on a une contrainte σ > 0 sur la fibre (de coordonnée y ou z algébrique) qui s'allonge.

Critère de résistance (traction-compression) : |b| ≤ def = dfg. avec σ : la contrainte normale à la section (traction-compression) en Pa, Rpe (ou σhi) : la résistance pratique élastique en Pa,

Re (ou σi) : la résistance élastique en Pa (souvent donnée en MPa), k : le coefficient de concentration de contrainte (s'il est donné), s : le coefficient de sécurité (s'il est donné).

6.2 Problème de déformation Loi de comportement en flexion:

v; (x) = XYZj.[\Z (ou encore y; (x) = XYZj.[\Z y(x) étant alors l'ordonnée de G)

v; (x) = − XY]j.[\] (ou encore z; (x) = − XY]j.[\] z(x) étant alors la cote de G)

avec v; (x) (ou y; (x), z; (x)): la dérivée seconde de la coordonnée du centre de gravité

perpendiculairement à l'axe de la poutre x (dérivé par rapport à x) en ^kl, E : module d'Young en Pa (pour les aciers : E=200 000MPa),

IWQ (ou IWA ): moment quadratique de la section autour de (G,z) (ou (G,y)) en ^_. Remarque:

- le signe "+" se retrouve en imaginant à droite de la poutre une force générant un moment positif et en vérifiant que l'on a un rayon de courbure (v; (x)) > 0 si son centre est dirigé dans le sens de la coordonnée positive (+y),

- le signe "-" se retrouve de la même façon pour un centre de courbure en –z. Conditions de déformations aux limites : Les 2 constantes d'intégration s'obtiennent par les conditions de déplacements aux limites :

- déplacements imposés (souvent nuls) des appuis en A, B,…: v(xA)=0, v(xB)=0,… - pentes imposées (souvent nulle) par la symétrie du problème ou par une liaison

(encastrement par exemple) en A, B,… : v+(xA)=0, v+(xB)=0,… - continuité de la poutre ou/et de sa pente en un point limite de tronçon :

v(xA-)= v(xA+) ou/et v+ (xA-)= v+ (xA+)



6.3 Moment quadratique des formes usuelles (mnI = ∬ >o .pqq ):

Module de flexion mnI> :

Les constructeurs donnent souvent le module de flexion [\ZA de leurs profilés.

6.4 Notations Confusion y, z, v , v(x), y(x), z(x) : Pour éviter les confusions, on soignera les notations:

• y, z, ou v : les coordonnées d'un point M de la section droite, • v(x), y(x) et z(x) : les coordonnées du centre d'inertie G de la section droite de la

poutre déformée. Références : "Mécanique des systèmes et des milieux indéformables" de L.Chevalier Edition Ellipses "Mécanique 2" de P. Agati Chez Dunod Base de donnée des matériaux : CesEdupack

x�� z�

z�

IWQ= π. D_64

IWQ= b. hx12

IWQ étant une sommation, si le profilé est un tube, on enlève au moment quadratique de la section pleine le moment quadratique de la forme creuse.



Annexe 1 : Formulaire des flèches en flexion pour u ne poutre sur 2 appuis:

Annexe 2 : Formulaire des flèches en flexion pour u ne poutre encastrée:



Annexe 3 : formulaire des déformées pour quelques c as de charges

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