UE 41c : Mcanique du Solide

DEUG Sciences de la Matire 2me anne

Notes de cours

Exercices Sujets dexamen

P.Fertey

Laboratoire de Cristallographie et Modlisation des Matriaux Minraux et Biologiques UPRESA CNRS N 7036 - Universit Henri Poincar, Nancy I Facult des Sciences,

BP 239 54506 Vandoeuvre-ls-Nancy, France

Tl : 03 83 91 25 69 Fax : (33) (0)3 83 40 64 92 courriel : pfertey@lcm3b.uhp-nancy.fr

- 1 - Sommaire

SOMMAIRE RAPPELS DANALYSE VECTORIELLE 3 I GENERALITES 3 II RAPPELS DE CALCUL VECTORIEL 3 III ELEMENTS DE REDUCTION DUN SYSTEME DE VECTEURS 5 CINEMATIQUE 7 I REFERENTIEL 7 II RAPPELS 8 III CINEMATIQUE DU SOLIDE 11 IV COMPOSITION DES MOUVEMENTS (CHANGEMENT DE REFERENTIEL) 16 V MOUVEMENT DE DEUX SOLIDES EN CONTACT 20 CINETIQUE 23 I CENTRE DE MASSE 24 II QUANTITE DE MOUVEMENT MOMENT CINETIQUE 27 III REFERENTIEL BARYCENTRIQUE 29 IV 1er THEOREME DE KOENIG 29 V MOMENT CINETIQUE DUN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR DUN POINT FIXE 30 VI ENERGIE CINETIQUE 31 VII MATRICE DINERTIE 33 DYNAMIQUE 41 I FORCES 41 II PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE DES SYSTEMES 42 III THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES 46 IV THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE 47 FORCES DE FROTTEMENT 53 I GENERALITES 53 II LOIS DU FROTTEMENT SOLIDE 54 III TRAVAIL DES FORCES DE FROTTEMENT 58 ANNEXES 61 ANNEXE A 61 ANNEXE B 63 ANNEXE C 65 EXERCICES 67 ANNALES 75 Rfrences bibliographiques 83

- 2 - Sommaire

- 3 - Rappels danalyse vectorielle

RAPPELS DANALYSE VECTORIELLE

I GENERALITES

La mcanique a pour objet ltude des mouvements et des dformations que subissent les corps sous linfluence de diverses causes qui peuvent agir sur eux. Ces diverses causes sont reprsentes, du point de vue de leurs actions mcaniques, par des grandeurs qui sont toutes de mme nature : les forces.

Du point de vue mathmatiques, ces influences sont reprsentes par des grandeurs vectorielles. Ainsi, une force donne est associ un vecteur, caractris par une direction, un sens, une intensit et un point dapplication. Du point de vue du formalisme mathmatique, ltude du mouvement dun systme soumis un ensemble de forces implique donc, dans un premier temps, la caractrisation de cet ensemble de forces par ses lments de rduction. Ce sont ces lments de rduction qui interviennent dans le principe fondamental de la dynamique, permettant de comprendre lorigine dun changement dans le mouvement du systme.

Ce chapitre a pour objectif de rappeler les concepts de base de lanalyse vectorielle.

II RAPPELS DE CALCUL VECTORIEL

La position dun point matriel M dans un espace rapport un repre ( )kjiO &&& ,,, est dtermin par le vecteur position OM . Trs souvent le repre est orthonorm. La projection du vecteur OM sur les axes du repres dfinit les 3 paramtres ncessaires la caractrisation de la position du point M.

Diffrents repres dtude sont possibles, en fonction de la symtrie du problme tudi. Rappelons les principales coordonnes rencontres :

i) les coordonnes cartsiennes : x, y et z, ii) les coordonnes cylindriques : r, et z, iii) les coordonnes sphriques : r, et .

1. Produit scalaire

Le produit scalaire uv && reprsente la projection de v& sur u& : le produit scalaire est un nombre rel positif ou ngatif (un scalaire).

cosuvuv &&&& = si ( )321 ,, eee &&& est une base orthonorme :

332211 evevevv&&&&

++=

332211 eueueuu&&&&

++=

=

=

3

1iiiuvuv

&&

.

2. Produit vectoriel

Le produit vectoriel vuw &&& = est un vecteur tel que : ( )wvu &&& ,, forme un tridre direct (rgle de la main droite, du tir bouchon)

sinvuw &&& = reprsente laire du paralllogramme construit sur u& et v& .

u&

v&

u&

v&

u&

v&w

&

u&

v&w

&

- 4 - Rappels danalyse vectorielle

Proprits : antisymtrie : uvvu &&&& = ,

0&

&&&

== vuw si 0&

&

=u ou 0&

&

=v ou vu&& // ,

Remarque : le vecteur vuw &&& = est un vecteur axial : son sens est li la convention dorientation de lespace ( la diffrence dun vecteur dit polaire dont le sens est indpendant de la convention dorientation de lespace).

Dans la base orthonorme ( )321 ,, eee &&& : 332211 evevevv&&&&

++=

332211 eueueuu&&&&

++=

1221

3113

2332

vuvu

vuvu

vuvu

vu

=&&

.

3. Double produit vectoriel

( ) ( ) ( )vuwwuvwvu &&&&&&&&& =

Si evu &&& == est un vecteur unitaire.

( ) ( ) wweewee &&&&&&& = donc ( ) ( )weeweew &&&&&&& += ,

ce qui donne un moyen simple de trouver la composante de w& dans un plan perpendiculaire e& : ( )wee &&& .

4. Moment en un point

Soit la rsultante F&

des forces agissant sur un corps, applique au point A. Soit G le centre de masse du corps. Les effets de la force sont de types :

Si le support de la force passe par le point G, le corps subira une translation sous leffet de cette force : le mouvement du corps est analogue celui dun point matriel subissant la force F

&

.

Si le support de F&

ne passe pas par le point G, le corps amorce un mouvement de rotation autour de G. La rotation sera dautant plus efficace que F

&

est grande et/ou que le bras de levier (i.e. la distance du support de la force au point G) est grand.

Par dfinition, on appelle moment de F&

au point G, le vecteur ( ) FGAFM G &&& = .

En un autre point O : ( ) ( ) FOGFMFOAFM GO &&&&&& +== .

GFAGFA

G

F

AG

F

A

e&

w&

( )wee &&& ( )wee &&&

e&

w&

( )wee &&& ( )wee &&&

- 5 - Rappels danalyse vectorielle

Remarque : moment par rapport un axe Par dfinition, on appelle moment de F

&

par rapport un axe , la projection sur laxe du moment de F

&

en un point O de laxe . Si e&

est un vecteur directeur de laxe : ( ) ( ) = eFMFM O &&&& .

Ce moment est indpendant du choix de O sur laxe .

III ELEMENTS DE REDUCTION DUN SYSTEME DE VECTEURS

Soit un ensemble de vecteurs if&

appliqus aux points Ai (i variant de 1 n). Cet ensemble de vecteurs est caractris par ses lments de rduction :

i) le vecteur somme ou rsultante : =

=

n

iifF

1

&&

ii) le vecteur moment en un point Q ou moment rsultant : =

=n

iiiQ fQAM

1

&&

.

1. Elments de rduction dun systme de forces concourantes

Soit un ensemble de vecteurs forces if&

appliqus aux points Ai (i variant de 1 n), tels que les support des if

&

soient concourants en C.

=

=

n

iifF

1

&&

FQCfQCfQCMMn

ii

n

iiCQ

&&&&&

==+= == 11

puisque 0&&

=CM .

Un systme de vecteurs dont les support sont concourants est donc quivalent un vecteur unique F&

.

2. Elments de rduction dun systme de forces appliques un solide

Soit un ensemble de vecteurs forces if&

appliqus aux points Ai (i variant de 1 n), dun corps solide S :

=

=

n

iifF

1

&&

=

=n

iiiQ fQAM

1

&&

Il nest donc pas toujours possible de rduire un systme de vecteur un vecteur unique. Dans le cas ci-dessus, il nest en effet pas possible de choisir Q tel que FQCMQ

&&

= car QM&

nest pas

perpendiculaire F&

.

C f1A1

f2f3 A2A3

C f1A1

f2f3 A2A3

f1A1 f2

f3

A2

A3f1

A1 f2

f3

A2

A3

- 6 - Rappels danalyse vectorielle

Cependant, il est toujours possible de rduire un ensemble de vecteurs un vecteur rsultant et un moment rsultant en un point Q :

3. Elments de rduction dun systme de forces parallles

Soit un ensemble de vecteurs forces if&

appliqus aux points Ai dabscisses xi (i variant de 1 n), dont les support sont parallles.

=

=

n

iifF

1

&&

kfxjfixfOAMn

iii

n

iii

n

iiiO

&&&

&&

===

=== 111 avec jik &&

&

=

Existe-t-il un point C o serait appliqu la rsultante F&

et tel que FOCM O&&

= ?

Puisque F&

et OM&

sont perpendiculaires, le point C existe et

=

ii

iii

C ffx

x .

Le point C dfinit le centre de forces parallles.

Application : dans le cas o gmf ii&

&

= (force de gravitation) le centre de force nest autre que le centre de gravit.

4. Couple / Glisseur

Lorsque les lments de rduction dun systme de vecteurs if&

sont tels que la rsultante est nulle ( 0

&&

=F ), quels que soient les points P et Q : MMM PQ&&&

== .

Le systme de vecteurs est quivalent 2 vecteurs u& et v& tels que : vu && = . Ces deux vecteurs forment un couple.

Lorsque les lments de rduction dun systme de vecteurs if&

sont tels que le moment rsultant en

un point Q est nul ( 0&&

=QM ), quel que soit le point P : FPQM P&&

= .

Le systme de vecteurs est quivalent un seul vecteur u& , dont le moment en P est indpendant du point dapplication O de F

&

pris sur le support de F&

(le point dapplication de F& peut glisser sur son support). Ce vecteur dfinit un glisseur.

Remarque : un systme de vecteurs quelconques peut toujours se rduire un glisseur et un couple (donc 3 vecteurs dont 2 forment un couple).

f1A1 f2

f3

A2

A3

QF

MQ(F)f1A1 f2

f3

A2

A3f1

A1 f2

f3

A2

A3

QF

MQ(F)MQ(F)

f1A1 f2

f3A2A3 A4

f4

(x1)

(x2)

(x3) (x4)ij f1

A1 f2f3A2

A3 A4

f4

(x1)

(x2)

(x3) (x4)ij

- 7 - Cinmatique

CINEMATIQUE1

I REFERENTIEL

Un objet est en mouvement par rapport un autre si sa position, mesure par rapport au second objet, change en fonction du temps. Tout mouvement nest donc dfini que par rapport un systme de rfrence donn : un repre despace et un repre de temps lis un observateur donn.

Un rfrentiel est donc par dfinition, un systme daxes lis un observateur muni dune horloge dfinissant un temps t.

Le repre despace est caractris par une origine O et une base de 3 vecteurs ( )kji &&& ,, que lon peut supposer orthonorms.

Du point de vue de la cinmatique, tous les rfrentiels sont quivalents pour la description des mouvements. Il nest donc pas ncessaire de privilgier un rfrentiel particulier. Il faut nanmoins prciser le rfrentiel de lobservateur car deux observateurs placs dans deux rfrentiels en mouvement relatif dcriront de faon diffrente le mouvement dun mme systme. Autrement dit, les trajectoires dun mme systme peuvent tre diffrentes pour deux observateurs lis des rfrentiels en mouvement relatif.

Cependant, le choix du rfrentiel nest pas anodin pour lexplication du mouvement. Les rfrentiels galilens (ou dinertie), dont la premire loi de Newton postule lexistence, jouent un rle privilgis puisque la deuxime loi de Newton est toujours applicable sans prcautions particulires :

( )MdtpdF R

R

&&

&

=

= ,

si F&

est la rsultante des forces appliques au systme ponctuel M de masse m dans le rfrentiel dinertie R.

Pour un rfrentiel non galilen Rm (en mouvement non rectiligne uniforme), la deuxime loi de Newton est encore valable si, la rsultante F

&

, sont ajoutes les forces dinertie (dentranement et de Coriolis) :

RmCoriolisent dt

pdmmF

=

&

&&

&

.

Le mouvement est donc toujours relatif puisque sa description est lie un systme de rfrence particulier choisi par lobservateur. On peut alors se demander comment peuvent tre relies entre elles des observations faites par des observateurs diffrents. Si lexprience quotidienne nous enseigne quun objet ne peut avoir la mme vitesse par rapport deux observateurs en mouvement relatif, cette constatation ne sapplique pas la vitesse de la lumire qui est la mme dans nimporte quel rfrentiel. Ce paradoxe fut rsolu en 1905 par Einstein qui exposa son principe de relativit : toutes les lois de la nature doivent tre les mmes pour tout observateur en mouvement relatif uniforme de translation . Cette affirmation implique que le temps lui mme nest plus une grandeur absolu (indpendant du rfrentiel choisi) mais dpend galement du systme de rfrence de lobservateur. En effet, si la vitesse de la lumire est indpendante du rfrentiel, la vitesse tant dfinie par le rapport de la distance parcourue au temps mis pour parcourir cette distance, la

1 Etude des mouvements des corps indpendamment des causes qui les produisent.

- 8 - Cinmatique

grandeur temps doit tre modifie si le quotient des deux reste invariant. Ainsi, lintervalle de temps entre deux vnements nest pas le mme pour deux observateurs en mouvement relatif (concept de simultanit). Nanmoins, lorsque les deux observateurs sont en mouvement relatif avec une vitesse relative faible devant celle de la lumire, lhypothse de linvariance du temps (indpendant du rfrentiel) est une trs bonne approximation.

Dans la suite de ce cours, nous ferons lhypothse du temps absolu (il existe un temps absolu t dont la dfinition est indpendante du rfrentiel de lobservateur). R dsignera le rfrentiel li lobservateur, suppos galilen et rapport un repre despace orthonorm ( )),,, kjiO &&& .

II RAPPELS

1. Vitesse, Acclration dun point matriel

Le point M est repr dans R par le vecteur OM .

Si linstant t le point M est en en A et ttt += M est en A, par dfinition, la vitesse du point M dans le rfrentiel R est (attention la notation):

( )dtOMd

t

AAMVt

R ==

lim0

&

.

La vitesse est indpendante du choix du point fixe O et tangente la trajectoire.

De mme, lacclration du point M dans le rfrentiel R est dfinie par :

( ) ( )dt

MVdM RR&

&

= .

Avec kzjyixOM&

&&

++=

( ) kdtdzj

dtdyi

dtdxMVR

&&&&

++== ( ) kdt

zdjdt

ydidt

xdMR&

&&&

2

2

2

2

2

2

++= .

La vitesse et lacclration sont donc dfinies par rapport un systme daxes lis un observateur. Nanmoins, une fois ces deux grandeurs vectorielles dfinies, rien nempche dexprimer leurs composantes dans dautres repres despace.

Exemple : coordonnes cylindriques (rappel)

kzurOM r&

&

+=

( ) kdtdz

udtd

rudtdrMV rR

&

&&

&

++==

( ) kdt

zdu

dtd

rdtd

dtdr

udtd

rdt

rdM rR&

&&&

2

2

2

22

2

2

2 +

++

==

M

i

j

k

O

M

i

j

k

ur

uOr

- 9 - Cinmatique

2. Mouvement relatif de deux rfrentiels

Soit Rm un deuxime rfrentiel muni dun systme daxes orthonorms ( )mmmm kjiO &&& ,,, , en mouvement dans R.

2.1. Mouvement de translation

Rm est en translation dans R si la trajectoire de Om est quelconque mais les vecteurs de la base mobile gardent une direction fixe dans R au cours du temps :

0&

&&&

=

=

=

R

m

R

m

R

m

dtkd

dtjd

dtid

.

Exemples :

im

k

i jjm

km

OOm

k

i jO

im

jm

km

Om

Si la trajectoire de Om est une droite, Rm est en translation rectiligne dans R.

Si la trajectoire de Om est un cercle, Rm est en translation circulaire dans R.

Tous les points du rfrentiel mobile (qui sont fixes dans Rm) ont, dans R, des trajectoires identiques : toutes ces trajectoires sont superposables une trajectoire unique, par exemple, celle de Om.

Si de plus lacclration de Om dans R est constante, le repre mobile est en translation uniforme dans le rfrentiel R.

2.2. Mouvement de rotation

Lorsque le repre mobile Rm tourne autour dun axe de R, la vitesse dans R de nimporte quel point fixe Am de Rm est caractrise par la connaissance du vecteur rotation instantan

RRm

&

de Rm

dans R et par la position de Am : ( ) m

RRmmR OAAV =

&&

.

Sans nuire la gnralit de la dmonstration, les origines des deux rfrentiels sont supposes confondues (Om = O) : Rm est donc en rotation dans R autour de O.

Afin de simplifier la dmonstration, considrons le cas particulier o Rm est en rotation dans R autour de laxe kO

&

( )kkm && = .

- 10 - Cinmatique

kzjyixOA AmmAmmAmm&

&&

++=

( )R

AmR

mAm

R

mAmmR dt

kdz

dtjdy

dtid

xAV

+

+

=

&&&

&

puisque Am est fixe

dans Rm.

jiim&&&

sincos += jijm&&&

cossin +=

Ainsi ( ) mRRRRR

m jdtdji

dtdj

dtdi

dtd

dtid &&&&&&

=+

=

+

=

cossincossin ,

( ) mRRRRR

m idtdji

dtdj

dtdi

dtd

dtjd &&&&&&

=

=

+

=

sincossincos .

Donc ( ) [ ]mAmmAmR

mR iyjxdtdAV

&&&

=

Cependant : mm ikj&

&&

= et mm jki&

&&

= ,

do ( ) [ ]mAmmAmR

mR jkyikxdtdAV

&&

&&&

+

=

.

En posant kdtd

RRRm

&&

= lexpression de la vitesse de Am dans R sexprime simplement par :

( ) [ ]kzjyixkdtdAV mAmmAm

RmR

&&&

&&

++

=

puisque 0

&&&

= kk , soit

( ) mR

RmmR OAAV =&&

.

RRm

&

caractrise donc bien la rotation du repre mobile dans le rfrentiel R. Par dfinition R

Rm&

est le vecteur rotation instantan de Rm dans R (attention la notation).

Lexemple ci-dessus slargit au cas gnral o lorientation de laxe est quelconque. La dmonstration de lexistence du vecteur

RRm

&

est reporte dans lannexe A.

2.3. Mouvement hlicodal

Un mouvement hlicodal daxe est la combinaison dun mouvement de translation rectiligne paralllement laxe et dun mouvement de rotation autour de (ex. mouvement dune charge dans un champ magntique).

Remarque : le mouvement le plus quelconque de Rm dans R peut toujours se dcomposer, linstant t, comme la composition dun mouvement de translation et dun mouvement de rotation autour de la direction de translation (cf. champ des vitesse dans un solide).

i

j

k

im

jmO

- 11 - Cinmatique

2.4. Drivation dans un repre mobile

Si ( )tu& est une grandeur physique vectorielle dpendant du temps (ex. la vitesse dun point M), quelle est la relation entre ( )

dttud &

dans R et dans Rm note respectivement ( )

Rdttud

&

et ( )

Rmdttud

&

?

Soit ( ) kujuiutu zmmymmxm &&&& ++= .

( ) kdt

dudtjd

ujdt

dudtid

uidt

dudt

tudR

zm

R

mymm

R

ym

R

mxmm

R

xm

R

&

&

&

&

&

&

+

+

+

+

=

Si R

Rm&

dsigne le vecteur rotation de Rm dans R,

mRRmR

m idtid &&&

=

/ mRRmR

m jdtjd &&&

=

/ mRRmR

m kdtkd &&&

=

/ (cf. Annexe A).

( )mRRmymmRRmxm

R

zmm

R

ymm

R

xm

R

juiukdt

dujdt

dui

dtdu

dttud &&&&&&&&

++

+

+

=

//

soit ( ) ( )tudt

dudt

tudRRm

Rm

xm

R

&

&

&

+

=

/ .

III CINEMATIQUE DU SOLIDE

1. Dfinition du solide

Dans ce cours, nous nous intresserons uniquement au solide indformable. Un solide sera donc un corps assez dur pour que les dformations quil pourrait subir soient imperceptibles ; la forme du corps ne dpendra donc pas des actions exerces sur lui.

Si M1, M2, M3 et M4 sont quatre points quelconque du solide, la dfinition du solide indformable se traduit mathmatiquement par lune des deux relations suivantes :

21MM est indpendante du temps,

cteMMMM = 4321 .

2. Degrs de libert dun solide

Afin de dcrire le mouvement dun solide dans un rfrentiel donn, il convient de pouvoir prciser sa position et son orientation dans lespace au moyen de paramtres physiques appropris. Ces paramtres ont appels degrs de libert du solide.

M1 M2

M4M3

M1 M2

M4M3

- 12 - Cinmatique

Soit ( )sssss kjiOR &&& ,,,= un repre li au solide. Prciser la position et lorientation du solide dans R revient prciser la position et lorientation du rfrentiel Rs li au solide.

La position est donne par les coordonnes de Os dans R : xs, ys et zs (en pratique, Os est souvent confondu avec le centre de gravit du solide).

Lorientation du solide sera quant elle donne par lorientation de la base ( )sss kji &&& ,, dans ( )sss kji &&& ,, .

Pour simplifier, les origines O et Os des deux rfrentiels sont supposes confondues (ce qui nenlve rien la gnralit du passage de lorientation dune base une autre).

3 paramtres angulaires sont ncessaires : les angles dEuler, associs 3 rotations successives qui permettent de superposer la base ( )sss kji &&& ,, sur la base ( )kji &&& ,, . Ces trois rotations sont dtailles sur les figures ci-dessous.

O

i isj

ks

js

k

u

wO

ii isisjj

ksks

jsjs

kk

uu

ww

ks

k

u

w

v

ksks

kk

uu

ww

vv

k

u

vO

ij

kk

uu

vvO

iijj

rotation propre, afin damener le vecteur si

&

dans le

plan ( )ji &&, . La direction de u

&

dfinit la ligne des nuds : intersection dun plan perpendiculaire sk

&

avec le plan

horizontal ( )ji &&, .

nutation afin damener sk

&

en concidence

avec k&

. De plus v&

est dans le plan horizontal ( )ji &&, .

prcession afin damener u

&

en concidence avec i&

et v&

avec j& .

Ainsi, dans le cas gnral, le nombre de paramtres indpendants ncessaires pour prciser la position et lorientation du solide dans le rfrentiel R est gal 6 : 3 paramtres de position et 3 paramtres dorientation.

O

i isj

ks

js

k

O

ii isisjj

ksks

jsjs

kk

- 13 - Cinmatique

Une autre approche possible permettant de dnombrer le nombre de paramtres ncessaire la dfinition de la position et de lorientation dun solide est la suivante :

- la position dun point quelconque du solide (Os) est dtermine par ses coordonnes dans R (3 paramtres),

- soit A un second point du solide : lorsque le point Os est fix dans R, A peut encore se mouvoir autour de Os : il dcrit alors la surface dune sphre de rayon AOs . Il faut donc deux paramtres supplmentaires pour dterminer la position de A sur cette surface.

- lorsque les positions de Os et A sont fixes, le solide peut encore tourner autour de laxe joignant ces deux points. Il suffit donc dun dernier paramtre pour caractriser langle de cette rotation.

Finalement le nombre de paramtres ncessaires pour prciser la position et lorientation du solide dans R est encore de 3+2+1 = 6.

Remarque : Si le mouvement du solide est restreint par une liaison, le nombre de degrs de libert est alors infrieur 6. Par exemple, un solide en rotation autour dun axe fixe ne possde quun seul degr de libert (langle de rotation autour de cet axe).

3. Distribution des vitesses dans un solide

Puisque les points dun solide sont des distances fixes les uns par rapport aux autres, la connaissance de la vitesse, dans un rfrentiel donn, de lun dentre eux, doit permettre de dterminer la vitesse de nimporte quel autre point du solide.

Soit ( )sssss kjiOR &&& ,,,= un rfrentiel li un solide S en mouvement dans le rfrentiel galilen R. Soit A et B deux points quelconque du solide.

( ) ( )AVBVdtOAd

dtOBd

dtABd

RR

RRR

&&

=

=

Dautre part

ABdtABd

dtABd

RRs

RsR

+

=

/

&

o RRs /&

est le vecteur rotation instantan du solide S dans le rfrentiel R.

Ainsi, la relation cherche entre la vitesse de deux points quelconques dun mme solide scrit :

( ) ( ) ABAVBV RRsRR += /&&&

qui constitue la relation de distribution du champ des vitesses dans un solide. La connaissance du vecteur RRs /

&

est donc essentielle la caractrisation du champ des vitesses dans un solide.

- 14 - Cinmatique

Remarque 1 : au sens strict du terme, parler de vitesse du solide na pas de sens puisque chaque point du solide a une vitesse qui lui est propre. Par abus de langage, on dsignera cependant par vitesse du solide , la vitesse de son centre de masse.

Remarque 2 : La relation du champ des vitesses dans un solide permet galement de dcomposer le mouvement linstant t du solide en une composante translatoire (le long de la direction de RRs /

&

) et dune composante rotatoire (autour de la direction de RRs /

&

). La dmonstration est donne dans lannexe B.

Ainsi, tous les points du solide situs linstant t sur laxe de rotation instantane sont en translation dans le rfrentiel dtude.

4. Mouvements plans dun solide

4.1. Dfinition

Par dfinition, le mouvement dun solide est dit mouvement plan si tous les points qui le constituent ont des trajectoires planes et contenues dans des plans parallles.

Ltude dun tel mouvement peut donc se restreindre ltude dune tranche de solide contenue dans le plan du mouvement. La section choisie est gnralement celle qui passe par le centre de masse.

Remarque : le choix du rfrentiel fixe dtude est immdiat (deux vecteurs de base dfinissant le plan du mouvement, par exemple i

&

et j& ). Ainsi, dans un tel rfrentiel, le vecteur rotation instantane ne peut tre que perpendiculaire au plan du mouvement, donc port par laxe kO

&

.

Le tableau de la page suivante prsente quelques exemples de mouvements-plans.

4.2. Centre Instantan de Rotation (CIR)

Compte tenu de la remarque du paragraphe prcdent concernant la direction du vecteur instantan de rotation, par dfinition, le Centre Instantan de Rotation (donc un instant t donn) est lunique point I de la section pi du solide retenue pour ltude de son mouvement, telle que ( ) 0&& =IVR . A un instant t plus tard, le CIR correspond un autre point I.

Si M est un point quelconque de la section pi : ( ) ( ) IMIMIVMV RRsRRsRR =+= // &&&& Le point M (et par extension, le solide) est bien en rotation autour de I.

Rs/RRs/R

- 15 - Cinmatique

- 16 - Cinmatique

Cette dernire relation donne une construction gomtrique pour dterminer la position du CIR. ( ) IMMV RRsR = /&& : le CIR est lintersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesses du

solide, comme illustr sur la figure ci-dessous.

Exemple : chelle contre un mur : variation de la position du CIR au cours du mouvement.

A

B

tVA

O

CIR(t)

VB

A

B

tVAVA

O

CIR(t)

VBVB

A

B

CIR(t)VA

OVB

A

B

CIR(t)VAVA

OVBVB

linstant t linstant t=t+t

A

BO

base

roulante

A

BO

base

roulante

O

A

B

O

A

B

La base dfinit la trajectoire du CIR dans le rfrentiel fixe. La roulante dfinie la trajectoire du CIR dans un rfrentiel li au systme (lchelle dans lexemple ci-dessus). A chaque instant, ces deux courbes sont tangentes en un point.

IV COMPOSITION DES MOUVEMENTS (Changement de rfrentiel)

Soit un solide S3 (rfrentiel li R3) en mouvement par rapport un solide S2 (rfrentiel li R2) lui mme en mouvement par rapport un solide S1 (rfrentiel li R1). Le mouvement de S3 par rapport S1 est le compos des deux mouvements prcdents.

Ce paragraphe a pour objectif de rappeler les expressions liant les grandeurs cinmatiques exprimes dans des rfrentiels diffrents.

M1M2

M3

V R (M1)

CIR

V R (M3)V R (M2)

M1M2

M3

V R (M1)V R (M1)

CIR

V R (M3)V R (M3)V R (M2)V R (M2)

- 17 - Cinmatique

1. Point concidant

Soit M un point matriel mobile dans le rfrentiel R et dans un rfrentiel mobile Rm.

La trajectoire de M dans Rm est lensemble des positions occupes par le point M dans le rfrentiel mobile. Ainsi, chaque instant, le point matriel M est en concidence avec un point fixe de Rm.

2. Composition des vitesses

Soit Rm un deuxime rfrentiel muni dun systme daxes orthonorms ( )mmmm kjiO &&& ,,, , en mouvement dans R. Soit M un point matriel en mouvement dans chacun des deux rfrentiels.

MOOOOM mm +=

( )R

m

R

m

R

R dtMOd

dtOOd

dtOMdMV

+

=

=

&

En utilisant la formule de drivation dans des repres mobiles :

MOdt

MOddt

MOdmRRm

Rm

m

R

m +

=

/

&

.

Dans lexpression MOmRRm /&

, RRm /&

est le vecteur rotation instantane de Rm dans R et M le point concidant de Rm.

Ainsi : ( ) ( ) ( ) MOOVMVMV mRRmmRRmR ++= /&&&&

soit ( ) ( ) ( )MVMVMV eRmR &&& +=

o ( ) ( ) MOOVMV mRRmmRe += /&&& .

Remarque : la vitesse dentranement du point M est la vitesse dans R, linstant t, du point concidant de Rm (autrement dit, dun point fixe de Rm avec lequel M concide linstant t). Rm peut tre galement considr comme un rfrentiel li un solide en mouvement dans R. Ainsi, lexpression de la vitesse dentranement du point M rsulte directement de lapplication de la formule du champ des vitesses dans un solide, qui donne lexpression de la vitesse dun point du solide (celle du point concidant avec M, linstant t) en fonction de celle dun autre point (Om).

La formule de composition des vitesses est donc :

( ) ( ) ( )MVMVMV ntentrainemerelativeabsolue &&& +=

si ( )MVabsolue& dsigne la vitesse du point M dans le rfrentiel fixe, ( )MVrelative& sa vitesse dans le rfrentiel mobile et ( ) ( )MVMV ententraineme && = .

- 18 - Cinmatique

3. Composition des acclrations

Lexpression de la composition des acclrations se dduit immdiatement en appliquant la formule de drivation dans des repres en mouvement relatif la loi de composition des vitesses.

Ainsi : ( ) ( ) ( ) ( )MMMM ntentrainemeCoriolisrelativeabsolue &&&& ++=

avec : ( ) ( )R

Rabsolue dt

MVdM

=

&

& ( ) ( )Rm

Rmrelative dt

MVdM

=

&

&

( ) ( )MVM RmRRmCoriolis &&& = /2

( ) ( ) ( )MOMOdt

dOM mRRmRRmmR

RRmmRntentraineme +

+= ///

&&

&

&&

Remarque : champ des acclrations dans un solide.

En considrant un solide li au rfrentiel Rm, avec AOm = et BM = deux points quelconques du solide (donc immobiles dans Rm) et en appliquant la loi de composition des acclrations, il vient, avec

( ) 0&&

=

Rm

Rm

dtBVd

et RRm /&

la vitesse angulaire du solide dans R :

( ) ( ) ( )ABABdt

dAB RRmRRmR

RRmRR +

+= ///

&&

&

&&

qui donne la relation entre les acclrations de deux points quelconques du solide.

4. Composition des vecteurs rotations instantanes

Soit A et B deux points quelconques dun solide S (rfrentiel li Rs) en mouvement dans R et Rm.

( ) ( ) ( )AVAVAV eRmR &&& += o ( ) ( ) AOOVAV mRRmmRe += /&&& , avec des expressions identiques pour B.

De plus ( ) ( ) ABAVBV RRsRR += /&&& o RRs /& dsigne le vecteur rotation instantane de S dans R. De mme ( ) ( ) ABAVBV RmRsRmRm += /&&& o RmRs /& dsigne le vecteur rotation instantane de S dans Rm.

Ainsi, par soustraction membre membre des deux galits ci-dessus :

( ) ( ) ( ) ABAVBV RmRsRRsee += // &&&&

donc ( ) ( ) ( ) ( ) ABABAOBOAVBV RmRsRRsRRmmmRRmee === //// &&&&&&

- 19 - Cinmatique

quelques soient les points A et B do :

RRmRmRsRRs /// +=&&&

,

soit :

ntentrainemerelatifabsolu +=&&&

.

avec RRsabsolu /=&&

, RmRsrelatif /=&&

et RRmntentraineme /=&&

.

Cette expression permet ainsi de dcomposer la vitesse angulaire dun solide en une somme de vecteurs rotations instantanes autour daxes connues.

Exemple : expression du vecteur rotation en fonction des angles dEuler :

En reprenant les notations du paragraphe III.2 :

O

i isj

ks

js

k

u

wO

ii isisjj

ksks

jsjs

kk

uu

ww

ks

k

u

w

v

ksks

kk

uu

ww

vv

k

u

vO

ij

kk

uu

vvO

iijj

( ) ( ) sskwusksjsi kdtd &&

=

,,/,, ( ) ( ) udtd

kvuskwu&

&

=

,,/,, ( ) ( ) kdtd

kjikvu

&&

=

,,/,,

Attention au signe des vitesses angulaires, qui correspond ici une orientation des angles dans le sens trigonomtrique.

Ainsi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kjikvukvuskwuskwusksjsikjisksjsi &&&&

,,/,,,,/,,,,/,,,,/,, ++=

donc

( ) ( ) kdtd

udtdk

dtd

skjisksjsi

&

&

&&

++=

,,/,, .

Afin dexprimer les composantes de ( ) ( )kjisksjsi &

,,/,, dans un rfrentiel particulier, il suffit de dterminer les composantes des vecteurs unitaires dans le rfrentiel souhait.

- 20 - Cinmatique

On pourra ainsi vrifier les expressions suivantes :

dans la base ( )kjiO &&& ,,, :

&

+

+

+

cos

sincossincossinsin

/ RRs

dans la base ( )sss kjiO &&& ,,, :

&

+

+

cos

sincossincossinsin

/ RsRs .

V MOUVEMENT DE DEUX SOLIDES EN CONTACT

Soit un solide S1 (rfrentiel li R1) en mouvement par rapport un solide S2 (rfrentiel li R2) tel que S1 et S2 soient en contact tout instant. Le contact entre les deux solides est suppos ponctuel en un point I. Le mouvement de S1 et S2 est tudi dans le rfrentiel R suppos galilen.

En I concide linstant t, un point I1 appartenant S1 et un point I2 appartenant S2.

A linstant t plus tard, le nouveau point gomtrique de contact est I avec lequel concide un nouveau point I1 de S1 et un nouveau point I2 de S2.

Lensemble des points de S1 (S2) qui vont entrer en contact avec S2 (S1) au cours du mouvement dcrivent une courbe 1 (2) inscrite sur S1 (S2).

1. Vitesse de glissement

Par dfinition, la vitesse de glissement de S1 par rapport S2 est :

( ) ( )121 2/ IVSSv Rg&&

= .

Autrement dit, la vitesse de glissement de S1 par rapport S2 est dfinit par la vitesse, dans un rfrentiel li S2, du point I1 de S1 en concidence avec le point de contact I entre S1 et S2 linstant t. En abrg, on pourra galement noter

( ) ( )121 2/ SIVSSv Rg =&&

.

Daprs la loi de composition des vitesses,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21111 22 IVIVIVIVIV RReRR&&&&&

+=+=

puisque I2 est un point fixe du rfrentiel R2 li S2 et qu linstant t : III == 21 .

I IS1

S2

t t

I IS1

S2

t tS1

S22

1

pi

S1

S22

1

pi

- 21 - Cinmatique

Ainsi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 / SIVSIVIVIVSSv RRRRg == &&&&& .

Soit pi le plan tangent en I aux deux solides linstant t. Puisque les deux solides restent en contact permanent (pas dinterpntration ni dcartement de S1 par rapport S2), ( )1IVR& et ( )2IVR& appartiennent ncessairement au plan tangent. La vitesse de glissement est donc contenue dans le plan tangent aux deux solides linstant t.

2. Roulement, pivotement

Soit M1 un point de S1. A linstant t : puisque III == 21

( ) ( ) ( ) 1/111/11 11 IMIVMIIVMV RSRRSRR +=+=&&&&&

( ) ( ) ( ) 1/211/11 212122 / IMSSvIMIVMV RSgRSRR +=+=&

&

&&&

Si le vecteur rotation instantane de S1 par rapport S2 est dcompos en une composante normale

&

et une

composante parallle //&

au plan tangent en I au deux solides,

( ) ( ) 1111//211 /2 MIMISSvMV gR ++= &&

&

&

.

La signification physique des deux derniers termes est immdiate :

11// MI&

dfinit la vitesse de roulement de M1 dans R2,

11MI&

dfinit la vitesse de pivotement de M1 dans R2.

On peut rcapituler les diffrents types de mouvement de deux solides en contact (ponctuel) permanent :

00//&&

&&

==

00//&&

&&

=

00//&&

&&

=

00//&&

&&

( ) 0/ 21 && =SSvg adhrence roulement pivotement roulement avec pivotement ( ) 0/ 21 && SSvg glissement roulement avec glissement

roulement avec pivotement

roulement et pivotement avec

glissement

S1

S2

Ivg

S1/S2

pi

S1

S2

Ivgvg

S1/S2S1/S2

pi

- 22 - Cinmatique

3. Condition de non glissement

Daprs le tableau prcdent, le solide S1 se dplace sans glisser sur le solide S2 si tout instant

( ) 0/ 21 && =SSvg donc ( ) ( )21 SIVSIV RR = && .

Exemple dapplication : mise en rotation dun plateau

Soit le dispositif illustr sur la figure ci-dessous. Le disque D, de centre C, de rayon r roule sans glisser sur le plateau circulaire P de rayon R. Le plateau P tourne autour de son axe vertical la vitesse angulaire . Soit la vitesse angulaire de rotation du disque autour de son axe. Ce dernier est parallle au plan du plateau. Soit 0 la vitesse angulaire de rotation de laxe du disque autour de laxe vertical. Quelle relation existe-t-il entre ces diverses vitesses angulaires ? ( )kjiOR &&& ,,,= dfinit le rfrentiel fixe dtude suppos

galilen. Soit I le point de contact entre le disque et le plateau.

Soit ( )kuuOR rm &&& ,,, = le rfrentiel li laxe du disque tel que ruROI

&

= . Rm est en rotation dans R autour de laxe vertical la vitesse angulaire 0. Soit respectivement ID et IP les points du disque et du plateau en concidence avec I linstant t.

Puisque le roulement du disque sur le plateau se fait sans glissement : ( ) 0/ && =PDvg soit ( ) ( )PRDR IVIV && = .

Dautre part : ( ) ( ) DRDRDR CICVIV += /&&& avec kurRRmRmDRD &&&&& 0/// +=+= ( ) OCCVR = 0&&

et

( ) uRudtdROIIV PRPPR

&&

&&

=== /

Do :

( ) ( ) ( ) ( ) urRkruuRCIkuOCIV rDrDR &&&&&&&& ==++= 0000 ( ) ( ) ( ) uRIVurRIV PRDR &&&& === 0

Finalement

( )= 0r

R

qui constitue la relation cherche : plus le disque a un rayon petit, plus sa vitesse de rotation sera grande. Si laxe de rotation du disque tourne la mme vitesse angulaire que le plateau, le disque ne tourne pas sur lui mme !

k

O

P

Di

j

ru

0

I

k

O

P

Di

j

ru

0

I

- 23 - Cintique

CINETIQUE

Afin de comprendre lorigine du mouvement dun systme, il faut pralablement sintresser des grandeurs physiques qui caractrisent le mouvement du systme dans son ensemble.

Lexemple ci-dessous illustre la problmatique lie la caractrisation du mouvement dun systme quelconque, en particulier, celui dun solide indformable.

Le rfrentiel R dtude est suppos galilen. Ltude du mouvement de lobjet peut tre conduite en deux temps. Remarquons que cette dcomposition sapplique pour le mouvement le plus gnral dun systme quelconque.

i) ltude du mouvement du centre de gravit G (centre de masse) dans le rfrentiel R :

Le systme est alors assimil un point matriel (son centre de masse) affect de la masse totale du systme. Dans lexemple ci-dessus, la trajectoire de G est celle dun point matriel soumis au champ de la pesanteur : une trajectoire parabolique.

ii) Ltude du mouvement du systme autour de son centre de masse :

Le mouvement du systme dans le rfrentiel ( )kjiGRB &&& ,,,= (origine au centre de masse) est un mouvement de rotation autour du point G.

Pour ltude du mouvement du systme assimil son centre de masse, donc pour ltude du mouvement dun point matriel G dans un rfrentiel (galilen), la deuxime loi de Newton postule

i&

j&

O

k&

i&

j&

O

k&

G

i&

j&O

k&

( )GVR&G

i&

j&O

k&

i&

j&O

k&

( )GVR&

Gi&

j&k&

Gi&

j&k&

- 24 - Cintique

la relation entre la variation de la vitesse du point matriel G en fonction de la rsultante des forces F&

qui sy appliquent : ( )

R

R

dtMVd

mF

=

&

&

Ainsi, cette loi dfinit la masse m du point matriel M, grandeur intrinsque du systme, qui traduit sa facilit de raction (son inertie) lapplication de la force F& .

La grandeur vectorielle ( )MVmp R&& = ou quantit de mouvement, caractrise de manire plus globale le mouvement du point matriel puisquelle tient galement compte de la vitesse de ce

dernier. La deuxime loi de Newton Rdt

pdF

=

&

&

prcise donc le lien entre un changement dans le

mouvement du point matriel (une variation de sa quantit de mouvement) et lorigine de ce changement (la force F& ).

Par rapport la mcanique du point matriel, la principale nouveaut dans ltude du mouvement dun systme quelconque rside donc dans lanalyse du mouvement de rotation autour de son centre de masse.

Il faut donc galement caractriser linertie du systme dans un mouvement de rotation : la rpartition de la masse dans le volume dlimitant le systme joue ici un rle dterminant. Cette caractrisation de la distribution de la masse dans le systme conduit au concept doprateur dinertie ou matrice dinertie et fait appel, dans le cas le plus gnral six paramtres physiques caractristiques du systme tudi.

Par analogie avec ltude du mouvement du point matriel, une grandeur physique vectorielle, le moment cintique permettra alors de prciser de manire plus globale les proprits du mouvement de rotation (en prenant galement en compte les proprits du champ des vitesses dans le systme tudi). Cette grandeur cintique intervient dans les relations de la dynamique pour comprendre lorigine dun changement du mouvement de rotation (comme la quantit de mouvement permet de remonter lorigine dun changement du mouvement du point matriel).

Il est donc de premire importance davoir une vision globale de la rpartition (distribution) de la masse dans le systme afin de comprendre ses proprits dinertie. Les grandeurs intrinsques caractrisant la masse dun systme et sa rpartition au sein du systme permettent dexprimer simplement les grandeurs cintiques (comme la quantit de mouvement) du systme tudi qui apparaissent dans les lois de la dynamique (ex. 2me loi de Newton).

I CENTRE DE MASSE

1. Masse

Dans le cas dun systme constitu dun ensemble de N points matriels Ai de masse mi, la masse

totale du systme vaut =

=

N

iimM

1, qui traduit simplement la proprit dadditivit des masses en

mcanique newtonienne.

- 25 - Cintique

Remarque : lorsque le systme se dplace des vitesses proches de celle de la lumire (mcanique relativiste), la masse perd cette proprit dadditivit. Autrement dit, la masse totale dun systme relativiste constitu de deux sous systmes (relativistes) nest pas gale la somme des masses de chacun des sous systmes !

Pour une distribution continue de masse lintrieur dun volume V :

( )dVMdm = est la masse dun lment constitutif du systme, de volume dV situ autour du point M. ( )M caractrise la rpartition de la masse dans le systme tudi : ( )M dfinit la densit de masse au point M.

La masse totale du systme vaut : ( )= V dVMM

Si ( )),,, kjiOR &&&= est un rfrentiel galilen. Le point M dcrivant tout le volume V est repr dans R par le vecteur OM :

( )= V dzdydxzyxM ,,

2. Centre de masse

Les systmes tudis sont reprs dans le rfrentiel ( )kjiOR &&& ,,,= suppos galilen.

2.1 Systme discret

Soit un systme constitu dun ensemble de N points matriels Ai de masse mi.

Le centre de masse G du systme est dfini par :

=

=

=

== N

ii

N

iiiN

iii

m

OAmOGGAm

1

1

10&

.

2.2 Systme continu

Le centre de masse G dun solide caractris par la distribution de masse ( )M est dfinit par :

( ) ( )( ) ==

V

V

V dVM

dVOMMOGdVMGM

0

&

Les composantes du centre de masse sont donc :

( )( )( )

V

V

V

dzdydxzyxzM

dzdydxzyxyM

dzdydxzyxxM

OG

,,

1

,,

1

,,

1

M

O

ij

kM

O

ij

k

- 26 - Cintique

Remarque : le centre de masse est confondu avec le centre de gravit si le champ de la pesanteur peut tre considr comme constant dans tout le volume du systme tudi. Lannexe C prcise la dtermination du centre de gravit dans le cas contraire.

2.3 Proprits

Associativit : cette proprit dcoule de la dfinition du centre de masse.

Si Gk dsigne le centre de masse dun systme matriel Sk de masse Mk, le centre de masse du systme S constitu par la runion des N systmes Sk est le centre de masse des points Gk affects

des masses Mk : ==

=

Nk

kk

N

kk OGMOGM

11 (si les Sk nont pas dlments communs deux deux).

Exemple : centre de masse dune molcule dammoniac :

Le centre de masse G de la molcule dammoniac est le centre de masse de latome dazote et du centre de masse GH des atomes dhydrogne.

Symtrie matrielle :

Un systme S possde un lment de symtrie matrielle (un point, une droite, un plan) si les densits de masse ( )M et ( )M en un point M image dun point M quelconque de S par cet lment de symtrie sont gales.

MM

OM

MO

MM

H

D

MM

H

D

M

M

Hpi

M

M

Hpi

symtrie par rapport un point O

OMOM =

et ( ) ( )MM =

symtrie par rapport une droite D

HMHM =

et ( ) ( )MM =

symtrie par rapport un plan pi

HMHM =

et ( ) ( )MM =

Ainsi, le centre de masse des points M et M lis par llment de symtrie matrielle se trouve sur llment de symtrie. On peut donc en conclure la proprit suivante :

si un systme possde un lment de symtrie matrielle, ce dernier contient le centre de masse.

Exemple : dtermination de la position du centre de masse dun cne plein homogne.

Puisque le cne est de rvolution, le centre de masse G est situ sur laxe de rvolution. Il suffit donc de dterminer sa position exacte zc, coordonne dans le repre ( )kjiO &&& ,,, :

N

HH

HGH

GN

HH

HGH

G

i&

j&O

dz

z

r(z)z

h

R

i&

j&O

dz

z

r(z)z

h

R

- 27 - Cintique

( ) == VVc dvzMdvzMMz 1

avec dzrddrdv = et ( ) tghR

z

zr==

( )( )

4

42

0

32

0

2

0 0

2

0

hhR

Mdzz

hR

Mdzzrz

Mdzrddrz

Mz

hz

z

hz

z

hz

z

zr

r

c

=

=== ==

=

=

=

= = =

pi

pi

pi

pi

( )( )

3

32

0

22

0

2

0 0

2

0

hhRdzz

hRdzzrdzrddrdmM

hz

z

hz

z

hz

z

zr

rV

=

==== =

=

=

=

=

= = =

pipipipi

finalement :

hzc 43

= .

II QUANTITE DE MOUVEMENT MOMENT CINETIQUE

1. Dfinitions

Rappel : pour un point matriel M, de masse m, la quantit de mouvement dfinie dans un rfrentiel R est ( )MVmp R&& = .

Systme discret :

Pour un systme constitu dun ensemble de N points matriels Ai de masse mi, lensemble des vecteurs quantits de mouvement ip

&

des diffrents points matriels forment un systme de vecteurs qui sera caractris par ses lments de rduction :

la rsultante appele quantit de mouvement ou rsultante cintique du systme : ( ) ==

iiRi

ii MVmpP

&

&

&

,

le moment rsultant en un point Q du rfrentiel R ou moment cintique : ( ) ==

iiRii

iiiQ MVQAmpQA

&

&&

.

Systme continu :

Lextension de ces dfinitions au cas dun solide est immdiate :

( ) ( ) ( )MVdmMVdvMpd RR &&& == dfinit la quantit de mouvement de la particule de volume dv constitutive du systme, de masse ( )dvMdm = , situe en M et de vitesse ( )MVR& ,

( )dmMVQMpdQMd RQ &&& == dfinit son moment cintique au point Q.

M

O

ij

kM

O

ij

k

- 28 - Cintique

La quantit de mouvement totale du solide, ou rsultante cintique est donc :

( ) ( ) ( ) == V RV R MVdmMVdvMP &&&

tandis que le moment cintique rsultant vaut :

( ) ( ) ( ) == V RV RQ dmMVQMMVdvMQM &&&

2. Proprits lmentaires

Rsultante cintique :

Si G est le centre de masse du systme :

( ) 0&=V dVMGM donc ( )

0&

=

R

V

dt

dVMGMd soit ( ) 0&=

V

R

dvdtMGdM .

Ainsi :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0'&&&& ===

V RVRV RRV

R

dvMVMdvMGVdvMVGVMdvdtMGdM

do ( )GVMP R&& = .

La rsultante cintique ne dpend que de la masse totale du systme et de la vitesse de son centre de masse.

Moment cintique :

Soit Q un autre point du rfrentiel R : le moment cintique en Q scrit :

( ) ( ) ( ) +== V RV RQ dmMVQMQQdmMVMQ &&& ( ) ( ) ( ) QV RV RV RQ dmMVQQdmMVQMdmMVQQ

&

&&&

&

+=+=

do :

QQ PQQ &

&

&

+=

.

Le moment cintique du systme en un point Q peut simplement tre dtermin partir du moment cintique au point Q et de la rsultant cintique.

- 29 - Cintique

III REFERENTIEL BARYCENTRIQUE

Le rfrentiel barycentrique du systme S tudi, ou rfrentiel du centre de masse RB associ au rfrentiel dtude R est le rfrentiel en translation dans R tel que la quantit de mouvement totale du systme dans RB soit nulle.

Puisque ( ) 0* &&& == GVMPBR

, ( ) 0&& =GVBR

donc le centre de masse est fixe dans RB. Ainsi, lorigine du rfrentiel barycentrique est gnralement choisie au centre de masse du systme.

Pour tout point M du systme : ( ) ( ) GMGVMV RSRR += /&&&

Dans le rfrentiel du centre de masse, le systme est donc en rotation autour du point G :

( ) GMMV RSRB = /&&

.

IV 1ER THEOREME DE KOENIG

Ce thorme permet de calculer le moment cintique dun systme en un point Q en fonction du moment cintique valu dans le rfrentiel du centre de masse.

Soir G le centre de masse du systme tudi. Soit RB le rfrentiel barycentrique associ R.

GQPGQ +=&

&&

Dautre part, daprs la loi de composition des vitesses : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )GVMVMVMVMV RReRR BB

&&&&&

+=+=

Do :

( ) ( ) ( ) +== V RV RV RG dmGVGMdmMVGMdmMVGM B &&&&

( ) ( ) ( ) BBB

RGV RRVV RG

dmMVGMGVdmGMdmMVGM &&&&

&

==+= puisque G est le centre de masse du systme.

BRG

RG

&&

=

Le moment cintique dun systme en son centre de masse G dans le rfrentiel R est toujours gal au moment cintique du systme en G dans le rfrentiel barycentrique.

Finalement, le 1er thorme de Koenig scrit :

BRGQ PQG

&

&

&

+=

- 30 - Cintique

Le moment cintique dun systme est la somme du moment cintique au point Q du centre de masse affect de la masse totale du systme et du moment cintique par rapport au centre de masse, valu dans le rfrentiel barycentrique (moment cintique du systme en rotation autour de son centre de masse, calcul dans le rfrentiel du centre de masse).

V MOMENT CINETIQUE DUN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR DUN POINT FIXE

Lvaluation du moment cintique dun solide en rotation autour dun point fixe est particulirement intressante puisquelle permettra de dterminer le moment cintique du systme dans le rfrentiel barycentrique. Afin de simplifier les calculs, supposons que le systme S tudi est en rotation autour du point fixe O origine du rfrentiel dtude. Ainsi, quelque soit le point M de S :

( ) OMMV RSR = /&&

et

( ) ( ) == V RSV RO dmOMOMdmMVOM B /&&&

Lapplication vectorielle qui tout vecteur u& associe le vecteur ( ) ( ) = V dmOMuOMuI &&&

est une application linaire : ( ) ( ) ( )vIbuIavbuaI &&&&&&& +=+

o a et b sont deux nombres rels.

Cette application linaire est alors reprsente par la matrice [ ]OI dans le repre R (cf. cours de mathmatique).

Soient xI , yI , zI , xu , yu et zu les composantes, respectivement, de ( )uI && et u& dans R :

=

z

y

x

z

y

x

u

u

u

IIIIIIIII

III

333231

232221

131211

soit ( )[ ] [ ][ ]uIuI O &&& =

si ( )[ ]uI && et [ ]u& dsignent les matrices colonnes dont les coefficients sont les composantes dans R de de ( )uI && et u& respectivement :

[ ]

=

z

y

x

u

u

u

uu&&

- 31 - Cintique

Dans ce formalisme, lcriture du moment cintique au point O est immdiat. Pour RSu /=&

&

il vient en effet :

[ ] [ ][ ]RSOO I /= && [ ]

=

333231

232221

131211

IIIIIIIII

IO est la matrice dinertie du solide S, dfinie dans le rfrentiel R (cf.VII pour

le calcul de la matrice dinertie dun solide).

Remarque : puisque le solide nest pas fixe dans R, les coefficients de la matrice dinertie changent au cours du temps !! En pratique, il sera plus ais de dterminer la matrice dinertie dans une base lie au solide (gnralement, dans la base principale dinertie).

VI ENERGIE CINETIQUE

1. Dfinition

Rappel : pour un point matriel M, de masse m, repr dans le rfrentiel R, lnergie cintique

vaut : ( )MVmERc

2

21 &

= .

Lnergie tant une grandeur physique extensive (additive), pour un systme constitu dun ensemble de N points matriels Ai de masse mi, lnergie cintique totale du systme est donc :

( )=i

iic MVmE R2

21 &

.

Ainsi, pour un solide, lnergie cintique totale est dtermine par sommation (continue) sur lnergie cintique des particules constitutives du systme (de volume dv et de masse

( )dvMdm = ) :

( ) ( ) ( ) == VVc dmMVMVdvME RR 22 2121&&

.

2. 2me thorme de Koenig

Comme pour le calcul du moment cintique, lvaluation de lnergie cintique totale peut tre dcompose en deux termes, correspondants lnergie cintique du systme assimil son centre de masse G (et affect de toute la masse), et lnergie cintique de rotation autour du centre de masse.

Soit RB le rfrentiel barycentrique associ R et au systme S tudi .

M

O

ij

kM

O

ij

k

- 32 - Cintique

( ) ( ) ( ) ( )MVGVGMGVMVBRRRSRR

&&&&&

+=+= /

Ainsi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++== V RRVVVc dmMVGVdmMVdmGVMVdvME BRBRR &&&&& 21212121 222

( ) ( ) ( )++== V RRRcc dmMVGVEGVME BBR &&& 2121 2 avec = V dmM la masse totale du systme, et ( )= VRc dmMVE RBB 221

&

, lnergie cintique du systme dans le rfrentiel du centre

de masse.

Mais :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

==V

R

RV RRV RRdm

dtGMdGVdmMVGVdmMVGV

B

BB

&&&&&

( ) 0&& =

=

BR

VR dt

dmGMdGV par dfinition du centre de masse.

Le deuxime thorme de Koenig scrit donc :

( ) BR

Rcc EGVME +==

2

21 &

.

Lnergie cintique dun systme est la somme de lnergie cintique du centre de masse affect de toute la masse du systme et de lnergie cintique du systme correspondant son mouvement dans le rfrentiel barycentrique (nergie cintique de rotation autour du centre de masse).

3. Energie cintique dun solide en rotation autour dun point fixe

Du deuxime thorme de Koenig, apparat une nouvelle fois lintrt de ltude du solide en rotation autour dun point (fixe).

Comme dans le cas du calcul du moment cintique dun solide en rotation autour dun point, supposons que le systme S tudi soit en rotation autour du point fixe O origine du rfrentiel dtude.

Ainsi, quelque soit le point M de S :

( ) OMMV RSR = /&&

- 33 - Cintique

et

( ) ( ) ( ) ( )( ) === V RRSV RSRVc dmMVOMdmOMMVdmMVE R &&&&& //2 212121 puisque le produit mixte est invariant par une permutation circulaire des vecteurs.

( )( ) ORSV RRSc dmMVOME &&&& == // 2121 ORScE

&

&

= /21

.

Si [ ]RS /& dsigne une nouvelle fois la matrice colonne dont les coefficients sont les composantes dans R de kji zyxRS

&&&&

++= / , il vient :

[ ][ ][ ]RSORStc IE //21 =&&

avec [ ]RSt /& la matrice transpose de [ ]RS /& : [ ] ( )zyxRSt = /&

Rappel : si RS

RSe

/

/

= &

&

&

est le vecteur directeur de laxe instantan de rotation , [ ][ ][ ] = eIeI Ot && est le moment dinertie du systme par rapport laxe instantan de rotation donc :

2/2

1RS

IEc = .

Remarque : dans le rfrentiel R, les coefficients de la matrice dinertie (donc I) varient au cours du temps.

VII MATRICE DINERTIE

Afin de caractriser la rpartition de la masse dun systme par rapport une rotation autour dun axe, 6 coefficients indpendants sont ncessaires, qui permettent le calcul gnral du moment dinertie du systme par rapport cet axe de rotation.

1. Dfinition

Le moment dinertie du systme par rapport laxe est :

( )= V dvMrI 2

o r est la distance de M de S laxe .

Par dfinition, le moment dinertie est une grandeur additive : le moment dinertie par rapport un axe dun systme constitu de deux sous-systmes est gale la somme des moments dinertie par rapport cet axe de chacun des sous-systmes.

M

r

M

r

- 34 - Cintique

2. Moments et produits dinertie

Comment calculer le moment dinertie dun systme par rapport un axe quelconque ?

Pour simplifier la prsentation, supposons que laxe passe par lorigine du rfrentiel R dans lequel le solide est immobile (rfrentiel li au solide).

Soit e&

le vecteur directeur de : 1=e&

et kejeiee zyx&

&&&

++=

Soit H la projection orthogonale de M sur .

( ) ( ) === VVV dmOMedvMOMedvMHMI 222 &&

avec

xeyezexe

yezeOMe

yx

xz

zy

&

( ) ( ) ( )2222 xeyezexeyezeOMe yxxzzy ++=&

( ) ( ) ( ) yzzxyxzyx eezyeexzeexyeyxezxezyOMe 2222222222222 +++++=&

do :

yzzyzxxzyxxyzzzyyyxxx eeIeeIeeIeIeIeII 222222 ++++=

avec :

( ) +=V

xx dmzyI22

( ) +=V

yy dmzxI22

( ) +=V

zz dmyxI22

=V

xy dmxyI =V

xz dmxzI =V

yz dmyzI

Interprtation physique :

22 zy + est la distance de M laxe Ox,

22 zx + est la distance de M laxe Oy,

22 yx + est la distance de M laxe Oz,

Ixx, Iyy et Izz sont donc respectivement les moments dinertie du systme par rapport aux axes Ox, Oy et Oz.

Les Ixy, Iyz et Ixz sont appels produits dinertie.

O

M

rH

i&

j&

k&

O

M

rH

i&

j&

k&

O

M

i&

j&

k&

O

M

i&

j&

k&

- 35 - Cintique

Ces 6 coefficients ne dpendent que du systme (de sa rpartition de masse) et du repre dans lequel ils sont calculs, mais ne dpendent pas de laxe .

3. Oprateur dinertie

Les 6 coefficients caractristiques de la rpartition de la masse dun systme peuvent tre regroups dans une matrice symtrique 33 , [ ]OI dfinie dans la base ( )kji &&& ,, (et introduite dans le paragraphe V ci-dessus).

[ ]

=

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

O

IIIIIIIII

I .

Rappel : les colonnes de la matrice [ ]OI ne sont autres que les composantes de ( )iI && , ( )jI && , ( )kI && , images des vecteurs de la base ( )kji &&& ,, par lapplication linaire dfinie au paragraphe V.

[ ]OI est une matrice carre relle et symtrique appele matrice dinertie de S dont les coefficients sont calculs dans le rfrentiel R, ici li au systme.

Remarque : dans un autre rfrentiel, les coefficients de cette matrice auront donc dautres valeurs numriques !

4. Exemple : matrice dinertie dun cube homogne dans ses axes

Soit un cube homogne darte a. Dterminons sa matrice dinertie dans le repre (Oxyz) reprsent sur la figure ci-contre.

( ) ( )

+=+=2/

2/

2/

2/

2/

2/

2222a

a

a

a

a

aVxx dzdydxzydmzyI

+=2/

2/

2/

2/

2/

2/

22/

2/

2/

2/

2/

2/

2a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

xx dzzdydxdzdyydxI

[ ] [ ] [ ] [ ]2/

2/

32/

2/2/

2/2/

2/

2/

2/

32/

2/ 33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

axx

zyxzyxI

+

=

68322

53 aaaaI xx ==

avec 3a

M=

6

2aMI xx = .

Le calcul des moments dinertie par rapport aux axes Oy et Oz est analogue do :

6

2aMIII zzyyxx === .

O

x

y

z

a

O

x

y

z

a

- 36 - Cintique

===

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aVxy dydxyxadzdydxyxdmxyI

+==

0

2/

2/

0

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/ a

a a

a

a

a

a

a

a

a

xy dydxyxdydxyxadydxyxaI

en posant xu = donc dxdu =

02/

0

2/

0

2/

2/

2/

2/

0

2/

2/

0

2/

2/

2/

2/

=

+=

+=

a a a

a

a

aa

a a

a

a

a

xy dydxyxdyduyuadydxyxdyduyuaI

De mme 0=== yzxzxy III .

La matrice dinertie du cube homogne est donc :

[ ]

=

100010001

6

2aMIO .

Remarque : le repre (Oxyz) est un repre privilgi puisque la matrice dinertie est diagonale. (Oxyz) est appel le repre principal dinertie.

5. Axes et moments principaux dinertie

5.1 Dfinition

On peut dmontrer que pour un systme quelconque, il existe un rfrentiel li ce systme ( )321 ,,, PPPpP eeeOR &&&= dans le quel la matrice dinertie est diagonale. Les axes de ce rfrentiel dfinissent les axes principaux dinertie et les moments dinertie par rapport ces axes (I1, I2 et I3) sont les moments dinertie principaux :

[ ]

=

3

2

1

000000

II

II

PP RO.

Ainsi : ( )[ ] [ ] [ ]11, PROP eIeSI PP &&& = donc ( ) 131, PP eIeSI &&& = avec des relations analogues pour les deux autres

vecteurs du repre principal dinertie.

Remarque : du point de vue mathmatique, cette proprit dcoule des caractristiques de la matrice dinertie puisque toute matrice symtrique relle est diagonalisable.

5.2 Systme symtrique

La recherche du repre principal dinertie dun systme est grandement simplifie dans le cas o le systme possde des proprits de symtrie matrielle.

Axe de symtrie matrielle

Tout axe de symtrie matrielle est axe principal dinertie.

- 37 - Cintique

Afin de simplifier la dmonstration, supposons que le systme S possde un axe de symtrie matrielle parallle laxe Oz dun rfrentiel li S.

Pour dmontrer que laxe Oz est axe principal dinertie il suffit de montrer que ( ) kIkSI zz &&& =, , avec ( )

zz

yz

xz

III

kSI

&&

, donc que 0== yzxz II .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02/2/2/2/

=+=+== VVVVV

xz dvMzxdvMxzdvMzxdvMxzdvMxzI

car M(x,y,z) et M(x=-x, y=-y, z=z) sont lis par laxe de symtrie. Un calcul analogue conduit facilement 0=yzI . Donc ( ) kIkSI zz &&& =, .

Plan de symtrie matrielle

Toute direction perpendiculaire un plan de symtrie matrielle est axe principal dinertie.

L encore, la dmonstration est simplifie si lon suppose que le systme S possde un plan de symtrie matrielle parallle au plan Oxy dun rfrentiel li S.

Pour dmontrer que toute direction perpendiculaire au plan de symtrie est axe principale dinertie, on peut par exemple dmontrer que laxe Oz est axe principal soit : ( ) kIkSI zz &&& =, , avec ( )

zz

yz

xz

III

kSI

&&

, donc que 0== yzxz II .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02/2/2/2/

=+=+== VVVVV

xz dvMzxdvMxzdvMzxdvMxzdvMxzI

car M(x,y,z) et M(x=x, y=y, z=-z) sont lis par le plan de symtrie. De mme 0=yzI , do ( ) kIkSI zz &&& =, .

5.3 Applications

Tout tridre tri-rectangle dont deux de ses plans sont plans de symtrie matrielle dun systme est un tridre principal dinertie pour ce systme.

Tout tridre rectangle dont deux de ses axes sont axes de symtrie matrielle dun systme est un tridre principal dinertie pour ce systme.

MM

H

Ox y

zM

MH

Ox y

z

M

M

HpiO

x

y

z M

M

HpiO

x

y

z

- 38 - Cintique

Matrice dinertie cylindrique

Pour un cylindre homogne de rvolution (hauteur h, rayon R, masse M), laxe de rvolution est axe de symtrie. Tout plan passant par laxe de rvolution est galement plan de symtrie.

La matrice dinertie du cylindre dans toute base orthonorme ayant lun de ses vecteurs parallle laxe de rvolution a la forme suivante :

J

II

000000

si laxe de rvolution est parallle 3e&

,

avec 22

121

41 hMRMI += et 2

21 RMJ =

Matrice dinertie sphrique

Toute droite passant par le centre de masse dune sphre homogne (rayon R, masse M) est axe de symtrie.

La matrice dinertie de la sphre dans toute base orthonorme a donc la forme suivante :

I

II

000000

avec 2

52 RMI = .

6 Exemples de matrices dinertie (principales)

Corps homognes de masse M Moments et produits dinertie Cylindre creux

Ox

y

z

R

l

c

22

121

21 lMRMII yyxx +==

2RMI zz =

Cylindre

Ox

y

z

R

l

c

22

121

21 lMRMII yyxx +==

2

21 RMI zz =

Paralllpipde rectangle

O

x

y

za

b

c

( )22121

cbMI xx +=

( )22121

caMI yy +=

( )22121 baMI zz +=

- 39 - Cintique

Corps homognes de masse M Moments et produits dinertie Sphre creuse

Ox

y

z

R

2

32 RMIII zzyyxx ===

Demi-sphre creuse

Ox

y

z

R

2

32 RMIII zzyyxx ===

Sphre pleine

Ox

y

z

R

2

52 RMIII zzyyxx ===

Cne creux

O

z

h

R

xy

22

21

41 hMRMII yyxx +==

2

21 RMI zz =

Cne plein 22103

53 RMhMII yyxx +==

2

53 RMI zz =

7. Thorme dHuygens-Schteiner

Exemple : connaissant le moment dinertie dune sphre homogne par rapport lun de ses diamtres, quelle est la valeur du moment dinertie par rapport un axe tangent la sphre ?

Le thorme dHuygens donne immdiatement la rponse : 22

57 RMRMII G =+=

avec IG le moment dinertie par rapport un axe parallle et passant par le centre de masse G.

Dans le cas gnral, le thorme dHuygens permet de calculer le moment dinertie I dun systme par rapport un axe connaissant le moment dinertie I par rapport un axe parallle et distant de d :

G

R

G

R

- 40 - Cintique

2

dMII += .

Dmonstration :

Soit [ ]ROI la matrice dinertie dun systme dans le repre ( )kjiOR &&& ,,,= . Soit [ ] ROI la matrice dinertie du systme dans le repre ( )kjiOR &&& ,,,= translat de R tel que kcjbiaOO &&& ++= . Soit O le centre de masse du systme.

Par dfinition :

( ) +=V

zz dmyxI22

( ) ( ) ( )[ ] [ ] +++++=+++=+=VVV

zz dmybxabayxdmbyaxdmyxI 2222222222

( ) ( ) +++++=VVVV

zz dmybdmxadmbadmyxI 222222

puisque O est le centre de masse : 0 == VV

dmydmx .

Donc : ( )MbaII zzzz 22 ++= . De mme : ( )McbII xxxx 22 ++= et ( )McaII yyyy 22 ++=

Pour les produits dinertie :

( )( ) ( ) +=+++=++==V V

yxV

xy abMIdmaybxabyxdmbyaxdmxyI

de mme : acMII zxxz += et bcMII zyyz += .

d

d

- 41 - Dynamique des systmes matriels

DYNAMIQUE DES SYSTEMES MATERIELS

La dynamique des systmes matriels permet de comprendre le lien entre le mouvement dun systme et les causes de ce mouvement. Plus prcisment, la dynamique des systmes matriels sappuie sur le principe fondamental de la dynamique, qui est une extension de la relation fondamentale de la dynamique (deuxime loi de Newton) rencontre dans le cadre de la mcanique du point matriel. Dans ce contexte, le principe fondamental de la dynamique est un postulat. Le principe relie les grandeurs physiques caractristiques du mouvement, (les grandeurs cintiques) et les grandeurs physiques reprsentatives des actions exerces sur le systme (les forces et les moments).

Ainsi, connaissant les forces mises en jeu, ces relations permettent de prvoir le mouvement du systme (approche Newtonienne),

ou bien,

connaissant le mouvement du systme, les forces lorigine du mouvement peuvent tre dtermines (approche Lagrangienne).

Une approche nergtique du systme est galement possible travers le thorme de lnergie cintique (thorme des forces vives).

I FORCES

Les forces appliques un systme quelconque peuvent tre classes en diffrentes catgories.

1. Forces intrieures et forces extrieures

Soit le systme tudi S dfini par un ensemble de points matriels Ai . Ce systme est en prsence de points Bk.

Lensemble des forces exerces par les point Aj sur un point Ai ( ji ) constitue par dfinition lensemble des forces intrieures. Les forces exerces par les point Bk (qui nappartiennent pas au systme) constituent lensemble des forces extrieures.

Remarque : Soit S le nouveau systme tudi, les forces exerces par les diffrents points (Aj et Bk) les uns sur les autres sont alors toutes des forces intrieures.

Exemple : soit la balance constitue dun flau et de deux plateaux, en quilibre sur un couteau.

Si le systme tudi est le flau, 1F&

, 2F&

et 3F&

sont des forces extrieures. Si le systme tudi est constitu par le flau et les deux plateaux, 1F

&

et 2F&

sont

des forces intrieures, 3F&

est une force extrieure.

F1 F2

F3

- 42 - Dynamique des systmes matriels

2. Forces de liaison

Les forces de liaison appartiennent la catgorie des forces extrieures. Elles contraignent le dplacement du systme tudi. Par exemple , une liaison pivot impose un mouvement de rotation autour dun axe. Leffet des forces de liaison est donc de diminuer le nombre de degrs de libert du systme.

Gnralement, le calcul des forces de liaison est trs complexe car il dpend de la nature exacte des surfaces en contact. Leurs expression nest donc pas fondamentalement simple comme peut ltre lexpression de la force de gravitation ou la force de Lorentz... Aussi, bien que les forces de liaison rduisent le nombre de paramtres dont dpend le mouvement du systme (nombre de degrs de libert < 6), ltude de ce mouvement est toujours plus complexe quen leur absence. En particulier, leur nombre sont dautant dinconnues supplmentaires qui devront tre dtermines. Les lois phnomnologiques permettant de les dcrire (cf. lois de Coulomb du frottement solide) apporteront donc de prcieuses quations afin de permettre la rsolution du problme pos.

3. Forces distance

Finalement toutes les forces extrieures autres que les forces de liaison dfinissent les forces distance . La force de pesanteur, la force cre par un champ magntique ou un champ lectrique en sont des exemples. Contrairement aux forces de liaison, leurs expressions sont gnralement dtermines et napporte donc pas dinconnues supplmentaires dans le problme rsoudre.

Par exemple, la force de pesanteur exerce sur un point matriel de masse m plac dans le champ de pesanteur g& est donne par gmF &

&

= .

II PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE DES SYSTEMES

1. Enonc du principe fondamental

Le principe fondamental constitue une gnralisation de la relation fondamentale de la dynamique postule par Newton dans le cadre de la mcanique du point matriel, des systmes quelconques. Ltude du mouvement dun systme quelconque tant dcompos en deux temps (tude du mouvement de son centre de masse puis tude du mouvement autour du centre de masse), le principe fondamental donne les relations ncessaires la comprhension dun changement de chacun de ces mouvements.

Soit un systme matriel S dont le mouvement est repr dans un rfrentiel R suppos galilen. Soit Q un point fixe de R. Soit F

&

et QM&

la rsultante et le moment rsultant au point Q des actions exerces sur le systme :

extFFF&&&

+= int extQQQ MMM

&&&

+= int

o intF&

, extF&

, intQM

&

et extQM&

dsignent respectivement la rsultante des forces intrieures, la rsultante des forces extrieures, le moment rsultant des forces intrieures et le moment rsultant des forces extrieures au point Q.

- 43 - Dynamique des systmes matriels

Le principe fondamental de la dynamique des systmes matriels scrit :

=

=

extQ

R

Q

ext

R

Mdt

d

FdtPd

&

&

&

&

La premire relation vectorielle indique donc que le centre de gravit dun systme matriel quelconque (rigide ou dformable) a le mme mouvement quun point matriel libre o serait concentre toute la masse du systme et auquel seraient appliques toutes les forces extrieures (de rsultante extF

&

).

Dans le cas le plus gnral, ces deux quations vectorielles conduisent 6 quations scalaires. Dans le cas du mouvement dun systme libre (possdant 6 degrs de libert) ces 6 quations scalaires permettent de dterminer les 6 quations horaires du mouvement. Nanmoins, pour un systme li (ex. le systme est en contact avec un autre systme) les forces de liaison ajoutent des inconnues supplmentaires (les 3 composantes de la rsultante des force de contact et les 3 composantes du moment rsultant en Q des forces de contact). Ainsi, sans informations supplmentaires le problme pos ne sera pas soluble. Seul lintroduction dquations additionnelles (comme celles fournies par les lois du frottement solide) permettront de rsoudre le systme de N inconnues par la connaissance de N quations liant ces inconnues.

2. Remarques importantes

2.1 Rsultante dynamique

( )[ ] ( )GMGVMdtd

dtPd

RR

RR

=

=

&&

si G est le centre de masse du systme.

2.2 Moment dynamique rsultant :

( ) =V

RQ dmMVQM&

&

o Q est un point du rfrentiel R.

Si Q est fixe dans R :

( ) ( )RV

RR

Q dmMVOMQOdtd

dtd

+=

&

&

o O est lorigine du rfrentiel R.

( ) ( ) ( )

+

+

=

V V V R

RR

R

R

RR

Q dmdt

MVdQMdmMVdtOMddmMV

dtQOd

dtd

&

&&

&

- 44 - Dynamique des systmes matriels

( )Q

V R

R

R

Q Kdmdt

MVdQMdt

d &&

&

=

=

puisque le point Q est fixe. QK& est par dfinition le moment rsultant dynamique du systme dans R. Ainsi le principe fondamental de la dynamique scrit galement : extQQ MK

&&

= .

Si le point Q est mobile dans le rfrentiel R :

( )( ) ( ) ( )

+=

V V R

RRR

R

Q dmdt

MVdQMdmMVQVdt

d&

&&

&

( ) ( ) ( )

=+

V R

RRR

R

Q dmdt

MVdQMGVMQVdt

d&

&&

&

Le principe fondamental de la dynamique scrit :

( ) ( )

=+

=

extQRR

R

Q

ext

R

MGVMQVdt

d

FdtPd

&&&

&

&

&

.

2.3 Cas particuliers :

Q = G : extGR

G Mdt

d &&=

est toujours vraie.

Si Q une trajectoire parallle celle du centre de masse ( ) ( ) 0&&& = GVQV RR donc extQR

Q Mdt

d &&=

est galement vrifie.

2.4 Dans le rfrentiel du centre de masse :

Daprs le 1er thorme de Koenig : BRGQ PQG &

&

&

+=

extQ

RRR

RG

R

Q MdtPdQGP

dtQGd

dtd

dtd B &

&

&

&&

=

+

+

=

mais 0&&

=

PdtQGd

R

si Q est immobile ou a une trajectoire parallle celle de G.

Ainsi extQextR

RG

R

Q MFQGdt

ddt

d B &&&&=+

=

,

- 45 - Dynamique des systmes matriels

Donc QGFMdt

dext

extQ

R

RG

B

+=

&&&

soit extGR

RG M

dtd B &&

=

, que le rfrentiel barycentrique soit

galilen ou non (puisque le moment des forces dinertie au centre de masse est nul !).

2.5 Pour un systme isol

Dans le cas dun systme isol, le principe fondamental scrit

=

=

0

0

&

&

&

&

R

Q

R

dtd

dtPd

donc la rsultante cintique et le moment cintique du systme se conservent :

=

=

cte

cteP

Q&

&

.

2.6 Principe de la statique

Si le solide S est en quilibre, par dfinition, le vecteur vitesse de tout point M de S est nul tout instant. La relation du champ des vitesses dans un solide permet donc de conclure que dans ce cas :

( ) 0&& =GVR et 0/ && = RS donc la rsultante cintique et le moment cintique en nimporte quel point Q de R sont galement nuls.

En particulier, pour un solide S soumis des forces de liaison (solide en contact ponctuel), le principe fondamental de la dynamique permet dcrire :

=+

=+

00

&&&

&&&

liaisonI

extI

liaisonext

MM

FF si I est le point de contact.

avec

+=

+=II

liaisonI

liaison

MMM

NTF&&&

&&&

// en dcomposant les lments de rduction des actions de contact en

leurs composantes parallles et normales au plan tangent en I au solide S.

Tant que lquilibre persiste, les forces et moments des actions de contact sajustent pour maintenir les deux sommes ci-dessus gales zro. Rappelons que cet ajustement na lieu que dans la mesure o les conditions imposes par les lois de Coulomb du frottement solide sont satisfaites :

i) maintien du contact : 0>N ,

ii) non glissement : NfT S&&

< ,

iii) non pivotement : NM SI&&

- 46 - Dynamique des systmes matriels

III THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES

Soit S un systme constitu de deux sous-systme S1 et S2 en interactions et Q un point (fixe) du rfrentiel dtude R. Soit 12F

&

( 21F&

) la rsultante des forces exerces par S2 sur S1 (S1 sur S2), 12

QM&

( 21QM&

) le moment rsultant en Q des forces exerces par S2 sur S1 (S1 sur S2), 1F&

( 2F& ) la rsultante des autres forces exerces sur S1 (S2),

( )1QM

&

( ( )2QM&

) le moment rsultant en Q.

Le principe fondamental de la dynamique appliqu successivement S, S1 puis S2 scrit (avec des notations videntes) :

( ) ( )

+++=

+++=

211221

211221

QQQQR

Q

R

MMMMdt

d

FFFFdtPd

&&&&

&

&&&&

&

(1)

( )( )

+=

+=

1211

1211

QQR

Q

R

MMdt

d

FFdtPd

&&

&

&&

&

(2)

( )( )

+=

+++=

2122

2112212

QQR

Q

R

MMdt

d

FFFFdtPd

&&

&

&&&&

&

(3)

De plus : 21 PPP&&&

+= ( ) ( )21

QQQ &&&

+=

Par soustraction membres membres (1) - (2) - (3), il vient :

=+

=+

00

2112

2112&&&

&&&

QQ MM

FF

qui traduit le fait que les actions exerces par S1 sur S2 sont opposes aux actions exerces par S2 sur S1.

Application : si S est un systme quelconque, lensemble des forces intrieures est caractris par :

0int&&

=F et 0int&&

=QM .

- 47 - Dynamique des systmes matriels

IV THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE

1 Travail dune force

1.1 Rappels

Soit un point matriel M soumis la force F&

et se dplaant de A vers A entre t et t+dt : Le travail lmentaire de la force F

&

pour un dplacement lmentaire ldAA&

= est dfini par :

AAFW =&

avec ( )dtAAMVR

=

&

( )dtMVFW R= & cosAAFW =

&

si 0>W le travail lmentaire est moteur, 0

- 48 - Dynamique des systmes matriels

Remarque : diffrentielle totale Soit une fonction scalaire ( )tzyxU ,,, . La diffrentielle totale de U est par dfinition :

dtt

Udzz

UdyyUdx

x

UdU

+

+

+

=

Dans le rfrentiel R rapport une base orthonorme :

( ) kz

UjyUi

x

UUdgra&

&&

+

+

= .

Pour un dplacement infinitsimal du point M : kdzjdyidxld&

&&&

++= do

( ) dzz

UdyyUdx

x

UldUdgra

+

+

=

&

ainsi

( ) dtt

UldUdgradU

+=

&

Le travail lmentaire de la force F&

drivant du potentiel U scrit :

dtt

UdUldFW

+==

&&

Si de plus le potentiel est indpendant du temps dUW = et le travail le long dune trajectoire ne dpend alors que du point initial et du point final :

BA

B

A

B

ABAUUdUWW === .

En particulier le long dune courbe ferme 0===

dUWW .

Exemple : champ de force Newtonien Force centrale de la forme

r