Cours_Electromagnetisme et Antennes 12-02-2014

Eléments d'Electromagnétisme

et Antennes

Thierry Ditchi

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Table des matières

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell

Table des matières

I. Equations de Maxwell ________________________________________________________ 1

1. Equations de Maxwell et signification physique ______________________________________ 1

2. Equations constitutives __________________________________________________________ 1

3. Dissipation d'énergie dans les milieux ______________________________________________ 2

4. Relations de continuité___________________________________________________________ 4

5. Potentiels vecteurs et scalaires ____________________________________________________ 4

A. Potentiel vecteur _________________________________________________________________________ 4

B. Potentiel scalaire _________________________________________________________________________ 5

C. Jauges__________________________________________________________________________________ 5

D. Equations de propagation des potentiels - Potentiels retardés _______________________________________ 5

II. Ondes électromagnétiques ___________________________________________________ 7

1. Equation de propagation_________________________________________________________ 7

2. Solutions générales – Cas de l'onde plane et de l'onde sphérique ________________________ 7

A. Solutions générales _______________________________________________________________________ 7

B. Ondes planes ____________________________________________________________________________ 7

C. Ondes sphériques _________________________________________________________________________ 8

III. Ondes TEM – Ondes Planes__________________________________________________ 9

1. Propriétés des ondes TEM _______________________________________________________ 9

2. Régime alternatif ______________________________________________________________ 10

3. Ondes planes monochromatiques_________________________________________________ 11

A. Définition______________________________________________________________________________ 11

B. Notation complexe _______________________________________________________________________ 11

4. Polarisation d'une onde électromagnétique_________________________________________ 11

A. Polarisation rectiligne ____________________________________________________________________ 11

B. Polarisation circulaire et elliptique___________________________________________________________ 11

C. Exemples d'ondes polarisées _______________________________________________________________ 11

5. Réflexion d'une onde sur un métal ________________________________________________ 11

A. Position du problème _____________________________________________________________________ 11

B. Calcul de l'onde réfléchie__________________________________________________________________ 11

IV. Energie électromagnétique__________________________________________________ 13

1. Théorème de Poynting__________________________________________________________ 13


A. Dans un milieu quelconque ________________________________________________________________ 13

B. Dans un milieu LHI ______________________________________________________________________ 13

2. Bilan énergétique dans un milieu LHI _____________________________________________ 13

3. Energie électromagnétique dans le vide____________________________________________ 15

A. Le vecteur de Poynting en tant que vecteur surfacique de puissance elm _____________________________15

B. Ondes TEM ____________________________________________________________________________ 15

4. Vecteur de Poynting complexe ___________________________________________________ 16

V. Caractéristiques d'une antenne ______________________________________________ 17

1. Rappel sur les coordonnées sphériques et les puissances par unité d'angles solides ________ 17

A. Coordonnées sphériques __________________________________________________________________ 17

B. Angles solides et puissances par unité d'angle solide_____________________________________________ 17

2. Quelques exemples d'antenne ____________________________________________________ 18

3. Caractéristiques des antennes____________________________________________________ 18

A. Polarisation de l'onde émise________________________________________________________________ 18

B. Diagramme de rayonnement _______________________________________________________________ 19

C. Directivité _____________________________________________________________________________ 21

D. Gain __________________________________________________________________________________ 21

E. PIRE__________________________________________________________________________________ 22

F. Surface effective ou surface de captation ______________________________________________________ 23

G. Impédance équivalente et Résistance de rayonnement ___________________________________________ 23

VI. Applications______________________________________________________________ 25

1. Calcul de la tension en réception (exercice)_________________________________________ 25

2. Bilan de liaison – Formule de Friis________________________________________________ 26

3. Calcul de la portée d'une liaison (exercice) _________________________________________ 27

4. Dipôle de Hertz (exercice) _______________________________________________________ 27

VII. Réseaux d'antennes ______________________________________________________ 29

1. Alignement de 2 antennes _______________________________________________________ 29

2. Alignement de N antennes identiques _____________________________________________ 30

A. Facteur de réseau (sources isotropes)_________________________________________________________ 30

B. Principe du balayage électronique ___________________________________________________________ 32

C. Principe de multiplication des diagrammes ____________________________________________________ 33

VIII. Techniques de mesure ____________________________________________________ 35


IX. Bibliographie_____________________________________________________________ 37


1

I. Equations de Maxwell

1. Equations de Maxwell et signification physique

( )div D ρ=

Maxwell Gauss

( ) 0div B =

Maxwell Thomson

( ) Brot E

t

∂= −∂

Maxwell Faraday

( )HD

rot Jt

∂= +∂

Maxwell Ampère

int.Surf fermée

QD dS=∫∫

Théorème de Gauss

. 0Surf fermée

B dS=∫∫

Flux conservatif

de

dt

Φ= − Induction électromagnétique

int.C

H dl I=∫

Théorème d'Ampère en régime continu

D

est le champ vectoriel "déplacement électrique",

E

est le champ vectoriel "champ électrique",

B

est le champ vectoriel "induction magnétique" ou 'champ magnétique",

H

est le champ vectoriel est "excitation magnétique",

ρ est la densité volumique de charge électrique,

j

est la densité de courant électrique,

intQ est la charge totale contenue dans la surface fermée,

Φ est le flux du champ magnétique à travers la surface fermée,

intI est le courant total traversant une surface quelconque de contour C.

2. Equations constitutives

Dans le vide les champs précédent sont reliés par les relations suivantes :

0D Eε=

et 0B Eµ=

où 0ε est la permittivité diélectrique du vide et 0µ est la perméabilité magnétique

du vide. On a : 0 9

1/

36 10F mε

π= et 7

0 4 10 /H mµ π −=

Dans un milieu quelconque :

0D E Pε= +

où P

est la polarisation électrique induite par l'application du champ et la polarisation

électrique permanente modifiée par l'application du champ E

.


2

0

BH M

µ= −

où M

est l'aimantation (la polarisation magnétique) du milieu induite pas l'application du

champ B

ou permanente et modifiée par l'application du champ B

.

Dans un milieu diélectrique Linéaire Homogène et Isotrope (LHI) :

Dans ces milieux, la polarisation électrique induite est proportionnelle au champ électrique et colinéaire,

0P Eε χ=

et donc D Eε=

où ( )0 1ε ε χ= + .

On a de la même manière pour la polarisation magnétique, 0

mM Bχµ

=

d'où B

Hµ

=

où ( )

0

1 m

µµχ

=−

.

Les polarisations permanentes sont nulles.

On a donc plus simplement dans ces milieux : D Eε=

et B Eµ=

avec 0rε ε ε= et 0rµ µ µ=

Dans notre cas, on ne traitera que des matériaux non magnétiques. 0µ µ=

3. Dissipation d'énergie dans les milieux

2 phénomènes sont responsables de la dissipation de l'énergie électromagnétique dans les milieux : les

pertes par effet Joule s'il y a des conducteurs et les pertes diélectriques regroupant toutes sortes de

phénomènes de dissipation ayant pour siège les matériaux non conducteurs.

On ne reviendra pas sur les pertes dans les conducteurs.

En ce qui concerne les pertes diélectriques, on peut les expliquer par l'interaction de l'onde

électromagnétique avec la matière, c’est-à-dire du champ électrique avec les noyaux (chargés positivement)

et les nuages électronique (chargés négativement). Les forces électriques et magnétiques induisent des

déformations des atomes et des molécules, et une réorientation des dipôles électriques ou magnétiques

permanents s'ils existent.

+ + + +

+ + + +

E

Atome "au repos" Atome déformé par un champ électrique

p

+ -

Ces forces travaillent, et donc consomment de l'énergie. Lorsque les champs varient lentement (régime

temporel "quasi-statique"), les déformations restent synchrones avec les champs elm appliqués et les

énergies nécessaires à ces déformation sont récupérées lorsque le matériau revient à l'équilibre, c’est-à-dire


3

quand les champs appliqués reviennent à zéro. Lorsque les variations sont plus rapides, ces déformations

prennent du retard par rapport aux champs elm appliqués, et une partie de l'énergie fournie à la matière pour

la déformer, est perdues. On peut comparer ce phénomène à celui de la charge d'un condensateur (ou d'une

bobine). Un condensateur que l'on charge par un courant produit en son sein un champ électrique en phase

avec le courant de charge. Si ce condensateur n'est pas parfait (courant de fuite dans la résistance parallèle

à C), cette résistance induit un retard. C'est cette résistance, responsable du déphasage du champ interne

qui consomme.

Dans les matériaux non magnétiques, en régime purement sinusoïdal et en notation complexe, on peut tenir

compte de ces phénomènes en introduisant une permittivité complexe.

On note alors ( )0 ' "jε ε ε ε= − .

remarque : ( )0 ' "D j Eε ε ε= −

et 0D E Pε= +

donc P

est déphasé par rapport à D

On défini encore la tangente de perte '

"

εεδ =tg qui est une constante couramment utilisée pour caractériser

les pertes d'un matériau isolant.


4

4. Relations de continuité

A l'interface entre 2 milieux différents, certaines composantes du champ électromagnétique peuvent varier.

Les relations suivantes permettent de calculer ces discontinuités.

n2 n1D D− = σ

discontinuité de la composante normale de D .

12 tt EE = continuité de la composante tangentielle de E

1212 njHH stt ∧=− discontinuité de la composante tangentielle de H

12 nn BB = continuité de la composante normale de B

1

2

12n

5. Potentiels vecteurs et scalaires

A. Potentiel vecteur

Comme 0)( =Bdiv alors )(/ ArotBA =∃ A est appelé potentiel vecteur.


5

B. Potentiel scalaire

On rappelle que t

BErot

∂∂−=)( alors dSArot

tdSB

tdSErot

SSS.)(..)( ∫∫∫∫∫∫ ∂

∂−=∂∂−= S∀

alors ∫∫ ∂∂−=

CCdlA

tdlE .. c'est-à-dire 0. =

∂∂+∫C dl

t

AE C∀

On peut alors dire que

∂∂+

t

AE est un gradient, c'est-à-dire que )(/ Vgrad

t

AEV −=

∂∂+∃

On peut enfin écrire : t

AVgradE

∂∂−−= )( V est appelé potentiel scalaire.

C. Jauges

A n'est pas unique car on peut lui ajouter n'importe quel gradient d'une fonction scalaire f sans que son

rotationnel ne change. En effet

=

+ ArotfgradArot )( car [ ] 0)( =fgradrot .

De même, le potentiel V n'est pas unique car on peut ajouter n'importe quel constante V0 à V sans que cela

ne change son gradient. En effet )()( 0 VgradVVgrad =+ .

Parmi l'infinité de potentiels scalaires et vecteurs, on peut chercher à trouver ceux dont l'expression

simplifiera le calculs des champs. Coulomb et Lorentz ont découvert des relations supplémentaires qui

restent compatibles avec les équations de l'électromagnétisme, qui restreignent le nombre de possibilité

pour ces potentiels et qui simplifient les équations différentielles dont les solutions sont les champs

électromagnétiques. Ces relations sont appelées Jauges.

a. Jauge de Coulomb

Lorsque que l'on étudie des systèmes composés de charge immobiles, c'est-à-dire dans le cadre de

l'électrostatique, on peut prendre la relation de Jauge suivante : 0)( =Adiv .

b. Jauge de Lorenz

Dans le cas de systèmes comportant des courants constant (magnétisme) ou de courants variables

(électromagnétisme), on peut prendre comme relation de Jauge : 0)( =∂∂+

t

VAdiv µε

D. Equations de propagation des potentiels - Potentiels retardés

L'utilisation de la jauge de Lorenz permet de déterminer les équations différentielles suivantes :

ερεµ −=

∂∂−∆

2

2

t

VV et j

t

AA µεµ −=

∂∂−∆

2

2

Ces équations sont des équations de propagation dont les solutions sont des ondes. Pour que ces solutions

correspondent aux solutions obtenues dans le cadre de l'électrostatique ou de la magnétostatique, c'est-à-


6

dire en passant à des systèmes permanents (charges immobiles ou courant constant), on écrits ces

solutions sous la même forme que dans le cas des régimes permanents en y rajoutant la notion de retard et

de temps de propagation. Les solutions retenues s'écrivent alors :

τρ

πεd

SM

v

SMtS

tMVsourcesS∫∫∫ ∈

−=

),(

4

1),( et τ

πµ

dSM

v

SMtSj

tMAsourcesS∫∫∫ ∈

−=

),(

4),(

où M est le point d'observation, S sont les points où il existent des charges ou des courants, et v est la

vitesse de propagation de V et A dans le milieu considéré.

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Ondes électromagnétiques

7

II. Ondes électromagnétiques

1. Equation de propagation

( )div D ρ=

( ) 0div B =

( ) Brot E

t

∂= −∂

( )HD

rot Jt

∂= +∂

diélectrique LHI

D Eε=

et B Eµ=

loin des sources

0ρ =

0j =

( ) 0div E =

( ) 0div B =

( ) Brot E

t

∂= −∂

( )HD

rott

∂=∂

On calcule ( )( ) ( ) ( )2

2

Erot rot E rotB rotH

t t tµ ε µ∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

or ( )( ) ( ( ))rot rot E grad div E E= − ∆

d'où 2

20

EE

tε µ ∂∆ − =

∂

et de la même manière 2

20

HH

tε µ ∂∆ − =

∂

Ces 2 équations différentielles sont des équations de propagation.

2. Solutions générales – Cas de l'onde plane et de l'onde sphérique

A. Solutions générales

La solution générale de ces équation de propagation sont une combinaison linéaire d'ondes se propageant

dans n'importe quelle direction u

à la vitesse 1

vε µ

= . ( )u

u

uE E t

v= ±∑

B. Ondes planes

Si l'onde se propage uniquement dans une direction donnée u

et si le champ est uniforme sur tout plan

perpendiculaire à u

alors on peut écrire cette solution sous la forme d'une onde plane :

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Ondes électromagnétiques

8

prenons par exemple zu u=

0( ) ( )z

E E z f tv

= ±

plan où E

est constant

z

C. Ondes sphériques

si la source est ponctuelle ou si on se trouve à une grande distance d'une source de taille finie, les ondes

sont alors sphériques et se propagent selon la direction ru

le vecteur de base radial en coordonnées

sphérique.

sphère sur laquelleE

est constant

r

0( ) ( )r

E E r f tv

= −

le module et la direction de 0E

peut dépendre de z

la forme de f dépend de la

dépendance temporelle du

générateur

Eléments d'électromagnétisme Ondes TEM – Ondes Planes

9

III. Ondes TEM – Ondes Planes

1. Propriétés des ondes TEM

On a vu dans le chapitre précédent que le champ électrique et que l'exitation magnétique étaient solutions

des équations suivantes :

2

20

EE

tε µ ∂∆ − =

∂

et 2

20

HH

tε µ ∂∆ − =

∂

Si on choisit d'étudier une onde qui se propage dans une direction unique (par exemple une onde plane se

propageant selon zu

en coordonnées cartésienne ou une onde sphérique se propageant selon ru

en

coordonnées sphériques ):

0( ) ( )z

E E z f tv

= ±

ou 0( ) ( )r

E E r f tv

= −

qu'alors que la composante des champs transversale à la propagation est nulle :

zE = zH = 0 ou rE = rH = 0

On dit que ces ondes sont TEM (transverse Electro Magnétique ).

direction de

propagation

E

H

On montre également que les champs transverses sont reliés par la relations suivantes :

1u E H

vµ∧ =

III.1

où u

est la direction de propagation et v la vitesse de propagation.

Les champs E

et H

sont perpendiculaires entre eux.

direction de

propagation

E

H


10

comme la vitesse de propagation est liée aux propriétés électriques et magnétiques du milieu de

propagation par 1

vεµ

= , leurs amplitudes sont reliées par la relation suivante :

E

H

µε

=

On appelle µζε

= l'impédance d'onde du milieu ( notée aussi η ).

2. Régime alternatif

Quand la source est sinusoïdale le champ s'écrit :

On définit le vecteur d'onde k uv

ω=

. On a alors :

0 cos( )E E t k rω= −

en notation réelles ou ( )0

t k rE E eω −=

en notation complexe où r

est la position

dans l'espace. Le vecteur d'onde indique la direction de propagation de l'onde et son module correspond à la

constante de propagation.

L'équation III.1 devient dans ces conditions :

k E Hω µ∧ =

E

H

k

Le trièdre formé par ( E

, H

, k

) est direct.


11

3. Ondes planes monochromatiques

A. Définition

B. Notation complexe

a. Notation

b. Intérêt

c. Amplitude complexe

4. Polarisation d'une onde électromagnétique

A. Polarisation rectiligne

B. Polarisation circulaire et elliptique

C. Exemples d'ondes polarisées

a. Ondes polarisée circulaire droite

b. Ondes polarisée rectiligne

c. Polariseur

5. Réflexion d'une onde sur un métal

A. Position du problème

B. Calcul de l'onde réfléchie


12

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Energie électromagnétique

13

IV. Energie électromagnétique

1. Théorème de Poynting

A. Dans un milieu quelconque

On pose P E ^ H=

( E et H

= champs réels)

On a div(P ) div(E ^ H) H.rot(E) E.rot(H)= = −

or ( ) Brot E

t

∂= −∂

et ( )HD

rot Jt

∂= +∂

donc B D

div(E ^ H) H. E. Jt t

∂ ∂= − + ∂ ∂

d'où V V

B Ddiv(E ^ H)d H. E. J d

t t

∂ ∂τ = − + τ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫

cad S V V

B DE ^ H .dS H. E. d J.E d

t t

∂ ∂ = − + τ − τ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

égalité de Poynting

B. Dans un milieu LHI

on a dans un tel milieu D Eε=

et = B Hµ

d'où

22D E 1 E 1

E. E. Et t 2 t t 2

∂ ∂ ∂ ∂ = ε = ε = ε ∂ ∂ ∂ ∂

et

22B H 1 H 1

H. H. Ht t 2 t t 2

∂ ∂ ∂ ∂ = µ = µ = µ ∂ ∂ ∂ ∂

L'égalité de Poynting devient donc :

2 2

S V V

1 1E ^ H .dS H E d J.E d

t 2 2

∂ = − µ + ε τ − τ ∂ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

2. Bilan énergétique dans un milieu LHI

On reconnaît dans l'égalité précédente le terme : 2 21 1

H E2 2

µ + ε

qui est la densité d'énergie

électromagnétique notée emω (en J/m3) .

De plus, on montre que j.E

est la densité de puissance dissipée ( en W/m3) (voir remarques plus bas)

L'égalité de Poynting que l'on peut écrire comme suit :

2 2

V S V

d 1 1H E d P.dS j.E d

dt 2 2

µ + ε τ = − − τ

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫


14

est donc interprétable comme suit :

2 2

V S V


dt 2 2

µ + ε τ = − − τ

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫

On voit donc que SP.dS∫∫

représente la puissance sortante de V ( à travers S).

P

est donc la densité surfacique de puissance ( puisque son flux à travers S est la puissance sortante).

En généralisant ce raisonnement, on admettra que le vecteur de Poynting P

représente la densité

surfacique de puissance transportée par la propagation de l'onde électromagnétique, et que son flux à

travers une surface quelconque représente la puissance traversant cette surface :

SP.dS∫∫

= flux de puissance traversant S hypothèse de Poynting

Remarque :

On peut vérifier que la densité volumique de puissance dissipée par le champ dans un milieu chargé vaut j.E

.

Calculons le travail des forces électriques et magnétique fournis aux charges mobiles par l'onde électromagnétique.

On note ρ est la densité de charges libres de se déplacer sous l'action des champs électriques et magnétique, j

le courant lié à

ces charges en déplacement et dτ est un élément de volume contenant la densité de charge ρ .

La force elm agissant sur la charge élémentaire dq dρ τ= en mouvement v

vaut :

v ^dF d E d Bρ τ ρ τ= +

Le travail fourni par cette force sur un déplacement dl

vaut :

. .v ( v ^ ).vdW dF dl dF dt d E d B dtρ τ ρ τ= = = +

qui devient : vdW E dt dρ τ=

(on retrouve le fait que travail de la force magnétique est nulle)

La densité volumique de puissance fournie aux charges par le champ elm ( qui est donc la densité de puissance dissipée du point

de vue du champ électromagnétique) vaut donc : vdW

dP E ddt

ρ τ= =

et en notant vj ρ=

la densité surfacique de courant, on a la puissance dissipée dans le volume dτ : .dP j E dτ=

ou la

densité de puissance dissipée : .j E

Il y a beaucoup d'autres causes de pertes dans les matériaux (dues aux dipôles électrique, aux charges liées au réseau, etc... )

variation d'énergie dans le volume V

= la puissance entrante dans le volume V puissance dissipée dans le volume V

puissance sortante

donc


15

3. Energie électromagnétique dans le vide

A. Le vecteur de Poynting en tant que vecteur surfacique de puissance elm

dans le vide il n'y a pas de charges ni de courant : 0ρ = et 0j =

et les champs sont reliés entre eux par

les relations constitutives simples suivantes : 0D Eε=

et 0B Hµ=

.

Le théorème de Poynting devient : 2 2

V S V


dt 2 2

µ + ε τ = − − τ

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫

où 2 2

em 0 0

1 1H E

2 2ω = µ + ε

c'est à dire : em

S

dWP.dS

dt= − ∫∫

qui signifie que si l'énergie électromagnétique Wem varie au cours du temps, ce ne peut être que parce que

l'énergie entre (ou sort) du volume V. La puissance sortante s'exprime comme le flux du vecteur de Poynting

à travers S.

Le vecteur de Poynting est donc la densité surfacique de puissance transportée par l'onde.

B. Ondes TEM

Dans le cas d'une onde TEM, E

, H

et k

forment un trièdre direct, et les modules de ces champs sont

reliée par : 00

0

E

H

µ ζε

= = impédance d'onde dans le vide dont la valeur vaut 120π.

Le vecteur de Poynting : P E ^ H=

devient 2

0

k E kP E H

k k= =

ζ

est donc un vecteur qui pointe dans la

direction de propagation dans la direction du vecteur d'onde k

.

Si l'onde est de plus monochromatique (régime sinusoïdal), on peut noter 0 cos( )E E t krω= −

et le vecteur

de Poynting devient : 2 2

0

0

E cos ( t k.r) kP

k

ω −=ζ

.

On note Pℑ =

l'intensité de l'onde (où X est la moyenne temporelle de X )

L'intensité dans le cas d'une onde plane monochromatique vaut : 20

0

1

2

E

ζℑ = . Elle exprime la densité

surfacique moyenne portée par l'onde plane pendant sa propagation (en W/m2).

Son flux à travers une surface S exprime la puissance moyenne incidente sur celle ci.


16

4. Vecteur de Poynting complexe

En régime sinusoïdal, pour calculer le vecteur de Poynting, il est nécessaire de revenir d'abord en notation

réelle. Ne pas le faire conduit à une erreur grave.

Pour éviter cela, on peut définir un nouveau vecteur de Poynting appelé Π

appelé vecteur de Poynting

complexe : *1

^2

E HΠ =

où E

et H

sont cette fois en notation complexe ( *X est le conjugué de X ).

On montre alors facilement que : ( )P e Πℑ = =ℜ

Pour calculer la puissance rayonnée à travers une surface S on peut alors utiliser le vecteur de Poynting

complexe ce qui évite de devoir repasser en notation réelle :

Se .dS ℜ Π ∫∫

= flux de puissance traversant S

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Caractéristiques d'une antenne

17

V. Caractéristiques d'une antenne

1. Rappel sur les coordonnées sphériques et les puissances par unité

d'angles solides

A. Coordonnées sphériques

r θ

ϕ

M

B. Angles solides et puissances par unité d'angle solide

r

θ

ϕ

M

dS


18

2. Quelques exemples d'antenne

antennes filaires

ℓ << λ

dipôle

λ/2

antenne demi-onde

λ/2

antenne yagi

- antenne hélicoïdale

antennes imprimée

patch rectangulaires

(ici en réseau à 2 dimensions)

(ou circulaires, triangulaires ..)

PIFA

antennes en guide d'onde

guide fendu

cornet pyramidal

antennes à reflecteur

antenne parabolique

….

3. Caractéristiques des antennes

A. Polarisation de l'onde émise

reflecteur

antenne secondaire


19

- dipôle antenne, antenne lambda/2, antennes filaire rectiligne ∀ polarisation rectiligne

E

- antenne hélicoïdale polarisation circulaire

B. Diagramme de rayonnement

a. Diagramme

diagramme en champ : max

( , , )( , )

E rf

E

θ ϕθ ϕ =

diagramme en puissance : max

( , , )( , )

rr

θ ϕθ ϕ

ℑ=

ℑ ou

max

( , )( , )

Ur

U

θ ϕθ ϕ =

où ( , , )r θ ϕℑ est l'intensité de l'onde c'est-à-dire la valeur moyenne du module du vecteur de

poynting P

à la distance r dans la direction θ et ϕ ( en W / m2).

et où ( , )U θ ϕ est la puissance moyenne rayonnéepar unité d'angle solide dans la direction θ et

ϕ (en W / m2).

diagrammes en dB : [ ] [ ]20 log ( , ) 10 log ( , )f rθ ϕ θ ϕ=


20

diagramme de rayonnement - représentation

linéaire

représentation polaire 3D du diagramme d'un

dipole

représentation polaire 2D (yagi) - coupe dans le

plan E

Coupe dans le plan E du diagramme d'un dipôle

b. Définitions sur le diagramme

lobe principal

lobes secondaires

lobe de périodicité

Ouverture à -3dB

2θ-3dB


21

C. Directivité

( , )( , )

UD

U

θ ϕθ ϕ =

où '

1( , )

4 tout l espace

U U dθ ϕπ

= Ω∫∫ est la puissance moyenne par unité d'angle solide, c'est dire la puissance

totale rayonnée divisée par 4π.

La directivité représente la puissance rayonnée dans une direction comparée à celle d'une antenne isotrope

rayonnant au total la même puissance.

Comparaison de l'antenne à caractériser et de l'antenne isotrope rayonnant la même puissance totale

On définit la directivité en dB par la relation : 10log( )dBD D=

Quand on donne la directivité d'une antenne sans préciser de direction, il s'agit de la valeur maximale de la

fonction D(θ,ϕ)

D. Gain

alim

( , )( , )

/ 4

UG

P

θ ϕθ ϕπ

=

alim / 4P π représente la puissance rayonnée par unité d'angle solide par une antenne isotrope et sans perte ,

Le Gain représente la puissance rayonnée dans une direction comparée à celle d'une antenne isotrope

sans perte alimentée avec la même puissance.


22

Comparaison de l'antenne à caractériser et de l'antenne isotrope sans perte alimentée avec la même puissance

On définit le gain en dB par la relation : 10log( )dBG G=

Remarques :

- Le Gain est inférieur à la directivité car les pertes diminuent la puissance totale rayonnée. Le gain tien

compte des pertes alors que la directivité non.

- Le Gain n'est jamais supérieur à 1.

- Lorsque l'antenne est sans perte, le gain et la directivité ont la même valeur : ( , ) ( , )D Gθ ϕ θ ϕ=

- Quand on donne le gain d'une antenne sans préciser de direction, il s'agit de la valeur maximale de la

fonction G(θ,ϕ)

- D'une manière générale, la directivité ou le gain d'une antenne sera d'autant plus grand que l'antenne est

grande.

- Plus la directivité ou le gain d'une antenne est grand plus le lobe principal est étroit et donc l'ouverture

à -3dB est faible.

Grand Gain

Gain moyen

Gain =1 (antenne isotrope sans perte)

Exemples :

Une antenne de gain 40dB, c'est-à-dire 104 en linéaire rayonne 104 fois plus de puissance dans la direction

du maximum que ne le ferai une antenne isotrope sans perte alimentée avec le même générateur.

Remarque : Une antenne étant passive, la puissance totale ne peut être supérieure à la puissance

d'alimentation. Si le gain vaut 104 dans la direction du maximum, la puissance rayonnée dans d'autres

directions ne peuvent donc qu'être très inférieure à celle d'une antenne isotrope.

E. PIRE

La PIRE (Puissance Isotrope Rayonnée

Equivalente) d'une antenne est la


23

puissance qu'il faudrait fournir à une

antenne isotrope sans perte pour que

celle-ci rayonne la même puissance

dans la direction du maximum de

l'antenne.

PIRE = G . P0

Où G est le gain de l'antenne et P0 est la

puissance d'alimentation.

Direction du

maximum

Antenne isotrope alimentée avec une

puissance =PIRE=G P0

Antenne de Gain G alimentée avec une

puissance = P0

F. Surface effective ou surface de captation

En réception si une antenne est éclairée par une onde incidente plane d'intensité ℑ , alors la puissance

détectée en sortie d'antenne notée Preçue vaut : .reçue cP S= ℑ où Sc est la surface effective de l'antenne

encore appelée surface de captation.

Sc est en fait la surface équivalente de l'antenne, c'est-à-dire la surface qu'il faudrait placer devant l'onde

incidente pour écranter une puissance égale à Preçue.

La surface effective est inférieure ou égale à la surface réelle d'une antenne lorsque celle-ci est une

ouverture (trou dans plan, réflecteur type parabole )

Le théorème de réciprocité montre que le gain et la surface effective sont reliées par la relation suivante :

2

4=cS

G

λπ

G. Impédance équivalente et Résistance de rayonnement

La résistance de rayonnement rR est la résistance qu'il faut mettre à la place de l'antenne pour dissiper la

même puissance que la puissance totale rayonnée par l'antenne. L'impédance équivalente aZ d'une

antenne vaut a a aZ R jX= + . aR se décompose en 2 partie : la résistance de rayonnement et la résistance

équivalente de perte a r pertesR R R= + .

Par exemple en émission, si on remplace l'antenne par son impédance équivalente, la puissance

consommée par la résistance de rayonnement ou par l'antenne est identique du point de vue du générateur.

Définition :


24

I

Z0 Z0

Za V e e V I

rayP

V est la tension d'alimentation de l'antenne

I est le courant d'alimentation de l'antenne

aZ est l'impédance équivalente de l'antenne

a a aZ R jX= + où a r pertesR R R= +

* * 20

1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2a a aP e V I e Z I I I e Z= ℜ = ℜ = ℜ

2 20 0

1 1( )

2 2a a r pertes ray dissipéeP I R I R R P P= = + = +

20

1

2ray rP I R=

Par exemple, l'impédance équivalente d'une antenne dipolaire dépend de la longueur du dipôle.

- 8 Ω pour le dipôle de longueur λ/10 (calculé en considérant le courant uniforme sur le dipôle)

- 2 Ω pour le dipôle de longueur λ/10 (calculé en considérant le courant est réparti plus physiquement, c'est

à dire maximum au centre et nul aux 2 extrémités)

- 73Ω pour un dipôle demi-onde à la fréquence de résonnance.

Eléments d'électromagnétisme et Antennes Applications

25

VI. Applications

1. Calcul de la tension en réception (exercice)

*aZ Vr V

aZ

V *aZ

I

I I ℑ

On désire calculer la tension détectée en sortie d'antenne connaissant l'intensité de l'onde plane incidente

sur celle-ci ou l'amplitude du champ électrique incident.

L'antenne, supposée sans perte, possède un gain G et une impédance équivalente a r aZ R jX= + .

Le récepteur est adapté à l'antenne et possède donc une impédance d'entrée de *aZ (c'est la condition pour

que toute la puissance disponible en sortie d'un générateur (ici l'antenne) soit transférée à la charge (ici

Z*a) )

La densité de puissance de l'onde plane incidente sur l'antenne est notée ℑ et est reliée à l'amplitude du

champ électrique 0E par : 20

0

1

2

E

ζℑ =

La puissance détectée par l'antenne vaut donc par définition de la surface de captation :

.r cP S= ℑ

Le théorème de réciprocité conduit à la relation entre le gain et la surface de captation de l'antenne :

2

4cS

G

λπ

=

La puissance détectée par l'antenne vaut donc :

22 20

0

1

4 2 4r

EP G G

λ λπ ζ π

= ℑ = (1)

La puissance transmise au récepteur vaut :

*1( )

2rP e VI= ℜ

Et la tension et le courant sont reliés par : *aV Z I=

On a donc : * *1( )

2r aP e Z I I= ℜ cad 2 *0

1( )

2r aP I e Z= ℜ


26

cad : 20

1

2r rP I R=

or : 0 00 * 2a a r

V VI

Z Z R= =

+

donc : 2

0

8rr

VP

R= (2)

En combinant les relations (1) et 2) on montre donc que l'amplitude la tension 0V est reliée à l'amplitude du

champ incident 0E par : 0 0

0

rR GV E

λπζ

=

2. Bilan de liaison – Formule de Friis

Une antenne d'émission est face à une antenne de réception. On suppose que les 2 antennes sont orientées

dans la direction de leur maximum d'émission et de réception et sont disposées à une distance r l'une de

l'autre. On veut calculer la puissance détectée Pr dans l'antenne de réception connaissant la puissance Pe

alimentant l'antenne d'émission. On connait les caractéristiques des antennes utilisées, à savoir les gains de

l'antenne d'émission Ge et de réception Gr.

rP

ℑ

eP

r

Ge Gr

Le gain de l'antenne d'émission Ge s'écrit en fonction de la puissance surfacique par unité d'angle solide U

par : / 4e

e

UG

P π=

L'intensité de l'onde au niveau de la réception vaut : 2

U

rℑ =

L'intensité de l'onde ℑ au niveau de l'antenne de réception est donc reliée au gain de l'antenne d'émission

par : 24

e eG P

rπℑ =

D'après la formule (1) du paragraphe précédent on a :

2

4r rP Gλπ

= ℑ

ce qui donne :

2

4r e r eP G G Pr

λπ

=


27

Cette formule, connue sous le nom de formule de Friis, permet de faire un bilan de puissance.

3. Calcul de la portée d'une liaison (exercice)

On utilise 1 dipôles (voir l'expression du champ rayonné par un dipôle élémentaire dans l'exercice "Dipôle de

Hertz" au paragraphe 4 ) pour transmettre la température mesurée par un capteur. Le récepteur, muni d'un

dipôle identique, est situé à la distance d du capteur. La fréquence d'émission- réception choisie est

f = 400MHz, et les dipôles ont une longueur de 5 cm. La puissance émise par le capteur vaut 0dBm, c'est-à-

dire 1mW. La puissance minimum en dessous de laquelle le récepteur ne peut plus reconnaître l'information

vaut 10 nW.

Calculer la distance maximale d de transmission de l'information.

4. Dipôle de Hertz (exercice)

Un dipôle, de longueur L (L<< λ), est situé dans l'espace libre à l'origine du repère spatial et dirigé selon

l'axe Oz. Le dipôle est parcouru par un courant uniforme sur la longueur du dipôle, d'amplitude

complexe 0j tI e ω .

x

y ϕ

z

M

θ r

On rappelle le champ électromagnétique rayonné par le dipôle, en coordonnées sphérique :

0 2 2

0 2 2

2 2cos( )

4

1sin( ) 1

4

0

jkr

r

jkr

j eE j k I L

kr rk r

j eE j k I L

kr rk r

E

θ

ϕ

ζ θπ

ζ θπ

−

−

= − +

= − − + +

=

0

0

sin( ) 14

r

jkr

H

H

j eH j k I L

kr r

θ

ϕ θπ

−

=

= = −

où 0ζ est l'impédance d'onde du vide : 00

0

120µζ πε

= = ; k est la norme du vecteur d'onde : 2

kπλ

=

Champ proche

1°) En champ proche ( r<< λ), donner une approximation du champ. Comparer au champ électrique généré

par un dipôle électrostatique et au champ magnétique généré par un fil parcouru par un courant constant.


28

(on rappelle qu'un dipôle électrostatique génère un champ électrique [ 3 3

0 0

2 cos( ) sin( )

4 4r

P PE u u

r r θθ θ

πε πε= +

] et qu'un fil

parcouru par courant constant et uniforme génère un champ [ 2

sin( )

4

I LH u

rϕ

θπ

=

] )

Quelle est la nature du champ électromagnétique ?

Champ lointain

2°) En champ lointain ( r>>λ), donner une approximation du champ. Quelle structure a le champ.

3°) Calculer la puissance rayonnée Pr à travers une surface sphérique centrée sur l'antenne de rayon r

quelconque. On donne 3

0sin ( ) 4 / 3d

πθ θ =∫

4°) Tracer le diagramme de rayonnement du dipôle. Donner l'ouverture à 3dB du dipôle.

5°) Calculer la résistance de rayonnement Rd . A.N. L/λ =0.01 puis 0.1.

6°) Calculer la directivité du dipôle.

7°) Sachant que le dipôle étudié est parfaitement adapté et sans perte, calculer le gain du dipôle.

8°) On utilise le dipôle en réception pour mesurer une onde incidente plane d'amplitude E

polarisée selon

zu

. On notera a r aZ R jX= + l'impédance de rayonnement du dipôle. Le dipôle est relié au récepteur

d'impédance équivalente Z. Le dipôle se comporte vis-à-vis du récepteur comme un générateur de fem e et

d'impédance interne aZ . Le récepteur est adapté au dipôle, c'est-à-dire que *aZ Z= .

ce qui peut se modéliser par

Calculer la puissance fournie au récepteur en fonction de e. ( On trouve 2

* 01( )

2 8 r

eP e V I

R= ℜ = )

Calculer e en fonction du champ incident | E

| .

Calculer la surface de captation du dipôle Sc.

Comparer Sc au Gain du dipôle.

Récepteur

iE

k

Za

Z e

Antennes Réseaux d'antennes

29

VII. Réseaux d'antennes

1. Alignement de 2 antennes

On considère deux antennes ponctuelles isotropes, distantes de d et alimentées en phase, qui rayonnent

une même onde électromagnétique de longueur d’onde. On appelle E0, l’amplitude complexe du champ

électrique rayonné à la distance R>>λ.par la source 2.

L’origine des phases est prise à l’origine des coordonnées (x, y, z).

ϕ

d

2 1

vers point d'observation

à grande distance

Alignement de deux antennes isotropes

Le déphasage ψ du champ émis par l’antenne 1 par rapport à l’antenne 2, pour un point d’observation situé

dans la direction repérée par l’angle ϕ par rapport à la direction de l’alignement est dû à la différence de

marche et est donné par :

ϕλπ=ψ cos

d2

L’origine des phases étant prise sur l'antenne 2, on peut considérer que l’onde issue de l’antenne 1 a un

retard de phase de ψ .

Le champ total créé à la distance r par les deux antennes est donc égal à :

( ) ( )j j /2 j /2 j /20 0E E 1 e E e e e− ψ − ψ ψ − ψ= + = +

soit à : j /2 j /20 0

dE 2 E e cos 2 E e cos cos

2− ψ − ψψ π = = ϕ λ

Il est de révolution autour de l’axe de l’alignement (axe 0x).


30

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.8

0.6

0.4

0.2

0

.

Diagramme de rayonnement dans le plan (x0y) de 2 sources isotropes en phase, distantes de λ/2

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.8

0.6

0.4

0.2

0

.

Diagramme de rayonnement dans le plan (x0y) de 2 sources isotropes déphasees de π, distantes de λ/2

2. Alignement de N antennes identiques

On désire calculer le rayonnement d'un alignement d'antenne identique réparties régulièrement, toutes

alimentées avec la même puissance

A. Facteur de réseau (sources isotropes)

Dans un premier temps, considérons des antennes isotropes.


31

Chaque antenne n° p est alimentée par une tension d'amplitude identique de phase (p-1)*δ. L'origine des

phase est prise sur l'antenne n°1. Le déphasage total entre les ondes émises par deux antennes adjacentes,

dans la direction ϕ, est égal à : δ+ϕλπ=ψ cos

d2

.

ϕ

d

p 2 1N

Alignement de N antennes identiques distantes de d

On appelle 0

E , le champ rayonné dans la direction ϕ, à la distance R>>λ par l’antenne 1. Ce champ est

indépendant de ϕ et ne dépend que de la distance r puisque le rayonnement est isotrope.

Le champ total rayonné par les N antennes dans la direction ϕ a donc pour expression :

j 2 j j (N 1)0E E 1 e e e− ψ − ψ − ψ − = + + + + …

jN jN /2 jN /2 jN /2j(N 1)

20 0 0j j /2 j /2 j /2

sin N1 e e e e 2

E E E E e1 e e e e sin

2

ψ− ψ − ψ ψ − ψ −

− ψ − ψ ψ − ψ

ψ − − = = ψ− −

Le diagramme de rayonnement en champ F(θ,ϕ) est égal à :

sin N1 2

F( )N sin

2

ψ ψ = ψ où

2d cos( )

πψ = ϕ + δλ

La fonction F(ψ) qui représente le diagramme de rayonnement en champ de n antennes isotropes identiques

est appelée facteur de réseaux.


32

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F Ψ( )

Ψ

.

Facteur de réseaux de 6 antennes isotropes en phase (δ=0)

B. Principe du balayage électronique

D’après la formule du facteur de réseau, le maximum de rayonnement est toujours obtenu dans la direction

ϕm telle que ψ = 0 c’est-à-dire dans la direction pour laquelle les ondes émises par les différents points

source s’ajoutent en phase. Ceci correspond à la condition : d2

cosm π

λδ−=ϕ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

delta=0

delta=pi/2

delta=3 pi/2

delta=pi

Facteur de réseaux de 8 antennes isotropes distante de λ/2, pour delta variant de 0 à π


33

On peut faire varier électroniquement le déphasage δ entre les alimentations de deux antennes adjacentes

pour faire varier la direction du maximum de rayonnement. On peut ainsi balayer différentes régions de

l’espace. C’est le principe du balayage électronique.

Dans l’exemple précédent, 8 sources identiques isotropes sont alimentées avec différentes lois de

déphasage. On observe que selon le déphasage entre antennes successives, le maximum du lobe principal

tourne de la direction ϕ = π/2 à la direction ϕ = π.

C. Principe de multiplication des diagrammes

Le diagramme de rayonnement en champ fa(θ,φ) d’un réseau de N antennes non isotropes, caractérisées

par le même diagramme de rayonnement f(θ,φ) est égal au produit suivant :

af ( , ) f ( , ) F( , )θ ϕ = θ ϕ × θ ϕ

où F(θ,φ) est le facteur de réseaux des N antennes isotropes


34

Antennes Techniques de mesure

35

VIII. Techniques de mesure

Antennes Techniques de mesure

36

Antennes Bibliographie

37

IX. Bibliographie

Electromagnétisme – Fondements et applications

J.P. Peres, R.Carles, R.Fleckinger, Masson

Les bases de l'électromagnétisme

M. Hulin, J.P.Maury, Dunod

http://www.amanogawa.com/

Un site avec plein d'aplets et de polycopiés sur les circuits, les lignes, l'électromagnétisme et les

antennes

http://www.falstad.com/mathphysics.html

plein d'aplets

http://www.ta-formation.com/cours-ant/e-antennes.pdf

Jean-philippe Muller - polycopié d'antennes

Cours_Electromagnetisme et Antennes 12-02-2014

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