Course élasticité

UE MSF IFI 2012

Ecole des Mines d’Albi-Carmaux

THEORIE DE L’ELASTICITE

Cours de Gérard BERNHART

Equipe pédagogique :

F. Berthet

O. De Almeida

M. Guichon

L. Robert

F. Schmidt (responsable de l’UE MSF)

V. Velay (responsable de cours)

Edition 2009/2010

UE MSF IFI 2012 Elasticité

Ecole des Mines d’Albi-Carmaux Elasticité – page 2

SOMMAIRE : Théorie de l’élasticité

Chapitre 1 : Loi de comportement élastique - Loi de Hooke.................................................... 3

1.1. Loi de Hooke ........................................................................................................................................3 1.1.1. Hypothèse d'existence de l'état initial .....................................................................................................3 1.1.2. Hypothèse de linéarité ............................................................................................................................3 1.1.3. Hypothèse d'isotropie .............................................................................................................................4 1.1.4. Hypothèse d'homogénéité .......................................................................................................................4 1.1.5. Thermo-élasticité ....................................................................................................................................5

1.2. Elasticité et réalité ...............................................................................................................................5 1.2.1. Expérience d'essai de traction.................................................................................................................5 1.2.2. Limite conventionnelle d'élasticité .........................................................................................................6 1.2.3. Module d'Elasticité et coefficient de Poisson .........................................................................................6

1.3. Energie de déformation élastique ......................................................................................................8

Chapitre 2 : Resolution des problèmes d’elasticité - Elasticité plane ...................................... 9

2.1 Méthode générale de résolution d'un problème d'élasticité.......................................................9 2.1.1 Equations et inconnues................................................................................................................................9 2.1.2 Résolution "en déplacements" : méthode de Lamé-Clapeyron ou de Navier ............................................10 2.1.3 Résolution "en contrainte" : Méthode de Beltrami ...................................................................................10 2.1.4 Principe de superposition..........................................................................................................................11

2.2 Elasticité plane : ...........................................................................................................................11 2.2.1 Définition ..................................................................................................................................................11 2.2.2 Force volumique uniforme : fonction de contrainte d'Airy .......................................................................12

2.3 Cas particulier : déformation plane ...........................................................................................14 2.3.1 Définition ..................................................................................................................................................14 2.3.2 Forme de εσ,,U

r...................................................................................................................................14

2.4 Cas particulier : contrainte plane...............................................................................................15 2.4.1 Définition .................................................................................................................................................15 2.4.2 Forme du tenseur des contraintes et déformations ....................................................................................15

2.5 Elasticité sur corps de revolution................................................................................................16 2.5.1 Définition du corps de révolution .............................................................................................................16 2.5.2 Corps de révolution sans moment de torsion suivant 3xO

r ou corps axi-symétrique ..............................16

2.5.3 Corps de révolution en torsion pure..........................................................................................................17 2.5.4 Elasticité plane en coordonnées cylindriques............................................................................................18

2.6 Méthode expérimentale en élasticité : mesures de déformations superficielles par jauges de déformation...............................................................................................................................................18

2.6.1 Jauges de déformation...............................................................................................................................18 2.6.2 Détermination du tenseur des contraintes en un point avec une rosette extensométrique .........................19

Chapitre 3 : Critere de limite élastique des corps isotropes..................................................... 21

3.1 Notion de critère de limite élastique ..........................................................................................21 3.1.1 Définition ..................................................................................................................................................21 3.1.2 Allure des courbes intrinsèques des différents matériaux .........................................................................22

3.2 Les critères de limite élastique de matériaux isotropes ductiles..............................................23 3.2.1 Critère de Von Mises ................................................................................................................................23 3.2.2 Critère de Tresca.......................................................................................................................................24

Références : ..................................................................................................................................... 26



Chapitre 1 : L OI DE COMPORTEMENT ELASTIQUE - LOI DE HOOKE

1.1. LOI DE HOOKE

L'expérience montre que de nombreux milieux solides déformables ont un comportement satisfaisant aux hypothèses suivantes quand la température n'intervient pas :

1.1.1. Hypothèse d'existence de l'état initial

Pour une température θ0 fixée et constante, on admet qu'il existe, en l’absence de toute force extérieure, un état initial dit état quasi-naturel où le matériau est dénué de toutes contraintes tel que le tenseur des contraintes :

0)M( =σ en tout point M du milieu

Cet état sert également d'état de référence des déformations, c'est à dire :

0)M( =ε en tout point M.

Nous supposerons, également que l’état de déformation du corps est indépendant du temps t. Cette hypothèse n’est qu’approchée car la plupart des solides ont des propriétés qui peuvent varier avec le temps : phénomènes de fluage, de relaxation, de recouvrance, …

Toutes les relations entre contraintes et déformations sont écrites à partir de cet état naturel.

1.1.2. Hypothèse de linéarité

A partir de l'état initial, l'hypothèse de linéarité permet de relier les variations des composantes du tenseur des contraintes σij , aux composantes du tenseur des déformations infinitésimales (petites déformations) εij , par des fonctions linéaires et homogènes :

klijklij ελ=σ i,j,k,l = 1,2,3 (éq II-1.1)

Les λ ijkl ne dépendent que des propriétés du milieu et sont des fonctions du point M ; elles sont les composantes d'un tenseur du quatrième ordre, dit tenseur d'élasticité au point M.

Le tenseur d'élasticité λ ijkl est symétrique en i,j puisque σij l'est , et en k,l parce que εkl

l'est. Ses composantes sont homogènes à des pressions. Il a donc 36 composantes. C’est le cas général d’un corps élastique anisotrope.

On note souvent :

klijklij C ε=σ Cijkl Tenseurs des complaisances

ou inversement

klijklij S σ=ε Sijkl Tenseurs des souplesses

Règle de contraction des indices et écriture matricielle de la loi de comportement élastique :

A partir de la règle de contraction des indices il est possible d’écrire ce tenseur d’ordre 4 sous la forme d’une matrice 6x6.



11 1 22 2 33 3 23 4 31 5 12 6

( )

εεεεεε

=

εεεεεε

=

σσσσσσ

=

σσσσσσ

12

31

23

33

22

11

ij

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

12

31

23

33

22

11

C

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

Sous cette forme l’ensemble des méthodes de calcul matriciel sont utilisables, en particulier l’inversion.

1.1.3. Hypothèse d'isotropie

De nombreux matériaux peuvent être considérés d'un point de vue macroscopique comme des matériaux isotropes, c'est à dire que les propriétés ne dépendent pas de la direction. Les exceptions les plus connues sont les matériaux composites, le bois, les nids d'abeilles,…

Le tenseur d'élasticité qui ne dépend que des propriétés du milieu doit donc être un tenseur isotrope (les composantes dans une base euclidienne arbitraire doivent être invariantes par une transformation orthonormée).

Les propriétés des tenseurs isotropes d’ordre 4 permettent d’écrire le tenseur λijkl sous la forme :

( )ijkl ij kl ik jl il jkλ = λ δ δ + µ δ δ + δ δ

Où λ et µ sont deux scalaires, fonctions du point et caractéristique du milieu et δij est le symbole de Kronecker ( δij=1 si i = j et δij=0 si i # j )

La loi linéaire (1-1) se met donc sous la forme :

ij2ij)(trij εµ+δελ=σ (éq II-1.2)

La relation (2-2) est l’expression de la loi de comportement élastique et isotrope ou loi de Hooke.

λ et µ sont les coefficients d'élasticité de Lamé et sont homogènes à des pressions

Les tenseurs des contraintes σ et des déformations ε ont les mêmes directions principales.

1.1.4. Hypothèse d'homogénéité

D'un point de vue macroscopique, le milieu solide considéré est supposé homogène (au moins par morceaux ) ou homogène équivalent (on fait abstraction de l’héterogénéité locale, ex cas du béton), c'est à dire que les propriétés sont constantes en tout point.

λ et µ sont donc des coefficients constants en tout point du milieu.

Pour un matériau isotherme, homogène et isotrope deux constantes suffisent pour décrire le comportement du matériau.



1.1.5. Thermo-élasticité

Quand le matériau est soumis à une variation de température entre un état initial θ0 et un état final θ, alors la relation contrainte déformation thermo-élastique isotrope s’écrit :

ijij0ij 2))()23()(tr( εµ+δ⋅θ−θαµ+λ−ελ=σ (éq II-1.3)

avec α coefficient de dilatation thermique

1.2. ELASTICITE ET REALITE

1.2.1. Expérience d'essai de traction

Lorsqu'on exerce un effort de traction, lentement croissant, sur une éprouvette, la courbe contrainte, allongement relatif varie comme suit (sur une éprouvette type acier) :

Figure II-1.1 : courbe typique d’écrouissage d’un matériau métallique

On distingue 2 zones :

- un domaine élastique qui se caractérise par un retour à sa longueur initiale, si l'on supprime l'effort;

- un domaine plastique qui se caractérise par une déformation irréversible (plastique) de l'éprouvette. Pour les matériaux métalliques, la plasticité est induite par le mouvement des dislocations dans le matériau (cf cours IFI2 de science des matériaux) ; pour les matériaux polymères elle est due au glissement des chaînes macro-moléculaires.

La loi de Hooke décrit le domaine élastique. C'est cette zone qui est étudiée dans ce cours et c'est dans cette zone que doivent, en général rester les matériaux lors du dimensionnement des structures, pour pouvoir espérer une durée de vie importante. Quelques lois de comportement plastiques sont étudiées en option matériaux, puisque l’aspect plastique permet au produit mis en forme de conserver sa géométrie (emboutissage, forge, injection)

Rm Ru R0,2 Rupture

σσσσ0 Début de la striction Localisation de la déformation Plastique

E (module Ecoulement plastique d’Young) Début de l’écrouissage

allongement de 0,2%



1.2.2. Limite conventionnelle d'élasticité

La limite entre le domaine élastique et plastique est expérimentalement difficile à cerner.

La limite conventionnelle d'élasticité R0,2 est définie par la contrainte à laquelle il faut soumettre le matériau pour qu’après décharge l’éprouvette conserve une déformation permanente de 0,2 % ; elle est exprimée en MPa.

La limite conventionnelle d’élasticité est la valeur donnée dans les tables de propriétés des matériaux (document fournisseurs).

Attention ! ! : Elle est définie dans le domaine plastique. Un dimensionnement d'une structure nécessite donc de prendre des coefficients de sécurité (marges) par rapport à la limite élastique conventionnelle.

1.2.3. Module d'Elasticité et coefficient de Poisson

La compréhension physique de λ et µ n'est pas immédiate. Expérimentalement, lorsque l'on réalise un essai de traction, on met en évidence deux autres coefficients d'élasticité E et ν.

Figure II-1.3 : Schématisation d’un essai de traction

SF

11 =σ et 02313123322 =σ=σ=σ=σ=σ

113322

1111 E

εν−=ε=εε=σ

E : Module d’Elasticité (dit module d’Young) est le rapport entre la contrainte longitudinale et l’allongement relatif dans la même direction. E est souvent exprimé en GPa (Giga Pascal)

ν : le coefficient de Poisson est le rapport entre la contraction transversale et l’allongement longitudinal

E et ν sont des constantes positives et on démontre de manière théorique que 0 < ν < ½.

Quelques valeurs pour des matériaux typiques :

X2

X1

Figure II-1.2 : limite conventionnelle d’élasticité

E

F F

ε

0,2 %

σ

R0,2



E (Gpa)

Module d’Young

ν

coefficient de poisson

ρ (103 kg/m3)

masse volumique

α (10-6 K-1)

coefficient de dilatation

Aluminium

Alliage AU4G

71

75

0,34

0,33

2,6

2,8

23

23,5

Acier de construction

Acier inox 18-10

Invar

Fonte grise courante

210

203

140

90 à 120

0,285

0,29

0,29

0,29

7,8

7,9

8,7

7,1

13

16,5

0,9

9 à 11

Zinc

Cuivre

Béryllium

Bronze au béryllium

Titane

78

100

300

130

105

0,21

0,33

0,05

0,34

0,34

7,15

8,9

1,85

8,25

4,5

30

17

12

17

9

Verre

Plexiglass

60

2,9

0,2 à0,3

0,4

2,5 à 2,9

1,8

3,4 à 5,9

80 à 90

Caoutchouc 0,02 0,5 1 160

Béton en (200 kg)

Compression (300 kg)

(400 kg)

10

11

13

0,15

0,15

0,15

2 à 2,4

14

Tableau II-1.1 : exemples de propriétés élastique de matériaux

E et ν sont reliés à λ et µ par les relations suivantes :

µ+λ

µ+λµ= )23(E

)(2 µ+λλ=ν (éq II-1.4)

ou

)1)(21(

Eν+ν−

ν=λ G)1(

E21 =

ν+=µ (éq II-1.5)

Ceci permet de re-écrire la loi de comportement élastique sous la forme :

ijijij 1E

)(tr)1)(21(

E εν+

+δεν+ν−

ν=σ (éq II-1.6)

ou

ijijij E1

)(trE

σν++δσν−=ε (éq II-1.7)

le comportement thermo-élastique s’exprime par :

( ) ijij0ij E1

)(trE

σν++δ

θ−θα+σν−=ε (éq. II-1.8)



1.3. ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE

Quand un barreau est chargé uniformément en tension (figure II-1.3), le travail des forces appliquées lors le l’élongation s’exprime sous la forme :

dzdydx21dW xx εσ= = Wel dx dy dz

en effet l’élément de volume n’est soumis qu’à une contrainte normale σx , et l’effort dF=σxdydz crée un travail pendant l’élongation dU=εxdx ; la relation entre ces deux composantes pendant le chargement étant linéaire, le travail peut être calculé par l’aire sous la courbe. Wel est l’énergie élastique par unité de volume.

Figure II-1.3 : schématisation de l’énergie élastique

Par généralisation, lorsqu’un corps élastique est amené d'un état initial à un état final, le travail de déformation accumulé sur le domaine par unité de volume où l’énergie élastique par unité de volume s’exprime par la relation :

εσ=εσ= ∑ :21

Wou21

W elj,i

ijijel (éq. II-1.9)

ou en l’exprimant en fonction des contraintes seulement

)I)1(2I(E21

W 22Iel ν+−= (éq. II-1.10)

II et III invariants du tenseur des contraintes (cf partie I de MMC).

L’énergie élastique est indépendante du repère choisi. Elle ne dépend pas du trajet de chargement.

Si l'on explicite Wel en fonction de εij, on démontre que :

elij

ij

w∂σ =∂ ε

(éq. II-1.11)

σx

dz

dy

dF=σx dy dz

dU=εx dx

σx

dx

dz



Chapitre 2 : R ESOLUTION DES PROBLEMES D’ELASTICITE - ELASTICITE PLANE

2.1 METHODE GENERALE DE RESOLUTION D 'UN PROBLEME D 'ELASTICITE

2.1.1 Equations et inconnues

L'étude du comportement d'un solide élastique a conduit à considérer :

- 3 déplacements : (Ui)

- 6 composantes du tenseur des déformations : (εij)

- 6 composantes du tenseur des contraintes : (σij)

soit 15 fonctions inconnues.

On dispose de 15 équations pour résoudre le problème :

- 6 équations géométriques

∂∂

+∂∂

=εi

j

j

iij x

U

xU

21

(éq. II-2.1)

- 3 équations d'équilibre statique du volume élémentaire ( fr

forces volumiques)

( ) 0div fσ + =uuuuuuur r

(éq. II-2.2)

- 6 relations contraintes déformations

( ) 2tr Iσ = λ ε + µ ε (éq. II- 2.3)

La résolution d’un problème d’élasticité exige d’intégrer ce système d’équations différentielles en tenant compte des conditions aux limites (en efforts et en déplacements, figure II-2.1).

- conditions aux limites en contraintes :

σ • = ∀ ∈ ∂Ωrr

S Fn t M

- conditions aux limites en déplacement :

S UU U M= ∀ ∈ ∂Ωr r

-

Nous admettrons que la solution existe et qu’elle est unique. Cependant la solution exacte des problèmes d’élasticité n’est connue que dans certains cas particuliers. Les méthodes de résolutions par les techniques numériques basées sur les éléments finis (cf cours de IFI3) permet actuellement de résoudre

les problèmes d’élasticité en utilisant une discrétisation du milieu. Cependant la connaissance d’une solution analytique peut être intéressante car elle permet des études paramétriques rapides. Historiquement (avant l’existence des ordinateurs) deux techniques semi-inverses ont été utilisées pour résoudre les problèmes d’élasticité : méthode de Navier (ou Lamé-Clapeyron) et méthode de Beltrami.

Str

fr

ΩΩΩΩF ΩΩΩΩU

US

Figure II-2.1 : conditions aux limites



Une méthode semi inverse consiste à choisir à priori une champs de déplacement (respectivement un champ de contrainte) et à vérifier que ce champs satisfait aux équations d’élasticité, et que les solutions en contrainte (respectivement en déplacement) vérifient les conditions aux limites du problème.

2.1.2 Résolution "en déplacements" : méthode de Lamé-Clapeyron ou de Navier

Cette méthode consiste à utiliser le champ de déplacement )x(Urr

comme inconnue du problème. La méthode est alors la suivante :

(i) On se donne une solution de forme simple )x(Urr

satisfaisant aux conditions en limites en déplacement et éventuellement à certaines conditions de symétries.

(ii) )x(Urr

doit satisfaire aux conditions d'équilibre local dite de Navier ou de Lamé et Clapeyron (issue de l’équation 2.2) :

( ) ( ( )) 0f U grad div U+ µ ∆ + λ + µ =uuuuuuuuuuuuuuurr r r r

(éq. II-2.4)

(iii) Le champ )x(Urr

est alors élastostatiquement acceptable et en utilisant les équations 2.1

et 2.3 il est possible de calculer σ . Ce tenseur doit vérifier les conditions en contraintes sur les frontières.

Si toutes les conditions sont remplies, la solution proposée initialement convient et est unique. Sinon, il convient d’essayer une autre forme du champ de déplacement.

2.1.3 Résolution "en contrainte" : Méthode de Beltrami

Cette méthode consiste à utiliser le tenseur des contraintes σ comme inconnue du problème. La méthode est alors la suivante :

(i). On se donne un champ de contraintes σ de forme simple et satisfaisant aux conditions en contraintes données sur certaines frontières et s’il y a lieu à certaines conditions de symétrie.

(ii) σ doit satisfaire aux conditions générales de Beltrami, c'est à dire :

- équation d'équilibre : équation 2.2

- conditions de compatibilité des déformations (cf partie 1 de ce cours), qui exprimées en contrainte deviennent :

t 1grad(f ) (grad(f )) div(f ) I grad(grad(tr( ))) 0

1 1ν+ + + ∆σ + σ =− ν + ν

uuuuuuuuuuuuuurr r r

(éq II-2.5)

Cas particulier important :

. si fr

est à diverge nulle

. et fr

est uniforme (exemple corps soumis au champ de pesanteur)

Ces relations se réduisent à :



σ + =

∆σ + σ =+ ν

uuuuuuur r

uuuuuuuuuuuuuur

( ) 0

1( ( ( ))) 0

1

div f

grad grad tr (éq II-2.7)

(iii) Le champ σ est élastostatiquement acceptable et il est possible de calculer le champ

de déplacement )x(Urr

par intégration des équations 2.1 .

Ce champ de déplacement doit vérifier les conditions aux limites. Si toutes les conditions sont remplies, la solution proposée initialement convient et est unique. Sinon, il convient d’essayer une autre forme du champ de contrainte.

2.1.4 Principe de superposition

S’il est possible de décomposer un cas de chargement en plusieurs cas simplifiés, la solution du problème d’élasticité (champ de déplacement et champ de contrainte) est la somme des cas simplifiés (élasticité linéaire).

2.2 ELASTICITE PLANE :

2.2.1 Définition

On dit que l'on est dans un cas d’élasticité plane si :

(i) une direction privilégiée est direction propre de σ (donc de ε ) en tout point du solide (nous prendrons cette direction pour axe 3xO

r )

et de plus

(ii) que les composantes de σ sont indépendantes de la coordonnée x 3 (donc celle de ε aussi).

La première hypothèse implique que :

σσσσσ

=σ

33

2212

1211

00

0

0

et

εεεεε

=ε

33

2212

1211

00

0

0

La deuxième hypothèse :

0xxxx

0xxxx

3

33

3

22

3

12

3

11

3

33

3

22

3

12

3

11

=∂ε∂

=∂ε∂=

∂ε∂=

∂ε∂

=∂σ∂

=∂σ∂=

∂σ∂=

∂σ∂

(éq. II-2.8)

A partir de ces relations les conditions de compatibilité en déformation et en contrainte s’expriment par :

cxbxa

0xxxx

2133

21

122

2

112

21

222

++=ε

=∂∂

ε∂−∂

ε∂+∂

ε∂ (éq II2.9)



( )

( ) )cxbxa(E

0xxxxxx

21221133

221122

2

21

2

21

122

2

112

21

222

+++σ+σν=σ

=σ+σ

∂∂+

∂∂ν−

∂∂σ∂−

∂

σ∂+∂

σ∂ (éq. II-2.10)

La forme du champ de déplacement en élasticité plane s’exprime de la forme :

( )

( )γ++β+α++=

+β−−=

+α−−=

32132313

21232

32

21132

31

xcxxxxbxxaU

x,xhxx2b

U

x,xhxx2a

U

(éq. II-2.11)

où a,b,c, α,β,γ sont des constantes et h1 et h2 sont des fonctions linéaires de x1 et x2. Ce champ est défini à un déplacement d’ensemble près.

Ainsi si ( ) 00xUrrrr

== alors ( ) ( ) 00,0h0,0het0 21 ===γ

Conséquences :

(i) les points situés initialement dans un plan x 3= k, orthogonal à la direction propre privilégiée, sont situés, après déformation, dans un même plan ; autrement dit, une section plane droite normale à Ox3 reste plane.

(ii) Les conditions générales de Lamé-Clapeyron impliquent que les tensions suivant Ox 3 sont indépendantes de x3 , et que les tensions suivant des directions orthogonales à Ox3 sont elles mêmes orthogonales à Ox3 et indépendantes de x3.

(iii) Les conditions générales de Beltrami imposent qu’en tout point du milieu la

force volumique doit être en tout point orthogonale à Ox3 ( )0f,f,ff 321 =r

.

2.2.2 Force volumique uniforme : fonction de contrainte d'Airy

On appelle "fonction de contrainte d'Airy" de l'état d’élasticité plane, lorsque le champ de la

force volumique est uniforme ( )0f,kcstef,kcsteff 32211 =====r

, une fonction biharmonique

( )21 x,xΦ telle que 0=∆∆Φ

Dans ce cas, les conditions générales de Beltrami se simplifient :



( )cxbxaE)xkxk(

xx

xkx

xkx

21221133

21

2

12

2221

2

22

1122

2

11

+++−−∆Φν=σ∂∂Φ∂−=σ

−∂

Φ∂=σ

−∂

Φ∂=σ

(éq. II-2.12)

Dans le cas où il n’y a pas de force volumique ces conditions se résument à :

( )cxbxaE

xx

xx

2133

21

2

12

21

2

2222

2

11

+++∆Φν=σ∂∂Φ∂−=σ

∂Φ∂=σ

∂Φ∂=σ

(éq. II-2.13)

L’avantage de ce type de résolution réside dans le fait que le choix des fonctions biharmoniques est nécessairement limité. Le choix devra être guidé par les conditions aux limites qu’il conviendra de satisfaire. Plus elle seront complexes, plus la fonction d’Airy devra être d’ordre élevé.

Méthode de résolution générale par une méthode d'Airy

(i) Choisir une fonction ( )21 x,xΦ biharmonique inspirée des conditions aux limites en contrainte

(ii) Calculer le tenseur des contraintes à l'aide des équations (2.12) ou (2.13)

(iii) Vérifier que toutes les conditions aux limites en contraintes sont satisfaites

(iν ) Calculer le tenseur des déformations ε

(ν ) Intégrer le tenseur des déformations pour obtenir le champ de déplacement (cette opération est délicate)

( νi ) Vérifier que les conditions aux limites en déplacement sont satisfaites.



2.3 CAS PARTICULIER : DEFORMATION PLANE

2.3.1 Définition

Utilisé pour les constructions, murs de soutènement, barrages poids, ballast, tunnel (figure II-2.2), ou les cas de tubes avec pression latérale, il correspond à des milieux cylindriques dans la direction Ox3 dont les extrémités sont encastrées ; les charges appliquées sont dans un plan orthogonal à Ox3 et ne varient pas selon cette direction. Si la pesanteur n’est pas négligeable, elle est perpendiculaire à Ox3.

Figure II-2.2 : déformation plane : cas du barrage poids

2.3.2 Forme de εσ,,Ur

Pour tout point x du milieu, on a :

( ) 0xU

xU

et0xU3

2

3

13 =

∂∂

=∂∂

=

( )

σ+σνσσσσ

=σ

εεεε

=ε

2211

2212

1211

2212

1211

00

0

0

et

000

0

0

et

( )

( )

122

1

1

2

1122

2

2

2

2211

2

1

1

E)1(2

xU

xU

E1

E1

xU

E1

E1

xU

σν−=∂∂+

∂∂

σν+ν−σν−=∂∂

σν+ν−σν−=∂∂

(éq. II-2.14)

Relations d’Airy en déformation plane :

X2

X1

X 3

X 2

X 1



)xkxk(

xx

xkx

xkx

221133

21

2

12

2221

2

22

1122

2

11

−−∆Φν=σ∂∂Φ∂−=σ

−∂

Φ∂=σ

−∂

Φ∂=σ

(éq. II-2.15)

2.4 CAS PARTICULIER : CONTRAINTE PLANE

2.4.1 Définition

Il décrit les plaques minces chargées dans leur plan (figure II-2.3)

. épaisseur constante 2h très petite dans la direction Ox3

. forces volumiques perpendiculaires à Ox3

. les deux faces de la plaque x3 = ± h sont libres de contraintes

. les contraintes exercées sur le contour ne dépendent pas de x3 et sont orthogonales à Ox3.

Figure II-2.3 : contraintes planes

2.4.2 Forme du tenseur des contraintes et déformations

( )

11 12 11 12

12 22 12 22

11 22

0 0

0 0

0 0 00 0

1

et

ε ε σ σε ε ε σ σ σ

ν ε εν

= =

− + −

les composantes sont indépendantes de x 3

Relations d’Airy en contrainte plane :

2h

X 3

X 2

X 1



0xkx

xxxk

x

332221

2

22

21

2

121122

2

11

=σ−∂

Φ∂=σ

∂∂Φ∂−=σ−

∂Φ∂=σ

(éq. II-2.16)

2.5 ELASTICITE SUR CORPS DE REVOLUTION

2.5.1 Définition du corps de révolution

Considérons un solide élastique ayant une géométrie de révolution (figure II-2.4) et tel qu’il ne soit sollicité que par des forces volumiques ou superficielles, qui admettent le même axe de révolution.

Figure II-2.4 : milieu de révolution

Notons 3xOr

cet axe de révolution, prenons un point de 3xOr

comme origine du repère et utilisons

les coordonnées cylindriques )x,,r( 3θ . Les écritures des opérateurs, tenseurs et équations en

coordonnées cylindriques sont jointes en annexe 1

Le champ de force volumiques étant de révolution, on a :

0ff

et0f3r =θ∂

∂=

θ∂∂

=θ (éq. II-2.17)

Comme toute section méridienne doit être sollicitée de manière identique, le champ de

déplacement doit être tel que : 0U

=θ∂

∂r

2.5.2 Corps de révolution sans moment de torsion suivant 3xOr

ou corps axi-symétrique

Dans ce cas tout plan méridien se déforme en restant dans un même plan, c’est à dire que :



0UU

et0U3r =

θ∂∂

=θ∂

∂=θ (éq. II-2.18)

et le tenseur des déformations se simplifie comme suit

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=ε

3

33

3

r

r

3

3

rr

x

U0

r

U

xU

21

0Ur1

0

r

U

xU

21

0r

U

En utilisant la loi de comportement élastique linéaire (éq. 1.2) le tenseur des contraintes prend la forme :

( )

( )

( )

∂∂

µ+ελ

∂∂

+∂∂

µ

µ+ελ

∂∂

+∂∂

µ∂

∂µ+ελ

=σ

3

33

3

r

r

3

3

rr

x

U2tr0

r

U

xU

0Ur

2tr0

r

U

xU

0r

U2tr

avec 3ijij

x,,rj,ipour0 θ==θ∂

σ∂=

θ∂ε∂

2.5.3 Corps de révolution en torsion pure

Dans ce cas 0)x,r(U 3 ≠r

mais on fait l’hypothèse que 0UU 3r == (comme pour le cylindre de

révolution sollicité en torsion pure) et le tenseur des déformation et des contraintes s’expriment par :

∂∂

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

=ε

θ

θθθ

θθ

0xU

21

0

x

U

21

0r

U

r

U

21

0r

Ur

U21

0

3

3

soit 0)(tr =ε et donc :



∂∂

µ

∂∂

µ

−

∂∂

µ

−

∂∂

µ

=σ

θ

θθθ

θθ

0xU

0

x

U0

r

U

r

U

0r

Ur

U0

3

3

2.5.4 Elasticité plane en coordonnées cylindriques

Un corps est en élasticité plane lorsque la direction 3xOr

est direction propre en tout point M de σ

(et donc de ε ) , dans ce cas les composantes de ces tenseurs dans le repère des coordonnées cylindriques est :

εεεεε

=ε

σσσσσ

=σ θθθ

θ

θθθ

θ

33

r

rrr

33

r

rrr

00

0

0

00

0

0

2.6 METHODE EXPERIMENTALE EN ELASTICITE : MESURES DE DEFORMATIONS SUPERFICIELLES PAR JAUGES DE DEFORMATION

2.6.1 Jauges de déformation

Une jauge de déformation est constituée par une grille réalisée (figure II-2.5) avec un fil électrique fixée sur un support polymère très fin. Elle est collée en un point d’une structure où l’on désire déterminer la valeur du tenseur des déformations et des contraintes. Si le collage est correct, le capteur se déforme comme la structure.

Lors de la déformation de la structure, la grille se déforme, et la longueur du fil métallique varie. En faisant l’hypothèse que cette déformation se fait en traction simple (grande longueur des fils), la variation de résistance du fil peut être reliée à la variation de longueur du fil par la formule classique :

Sl

R ρ= avec ρ résistivité, l longueur du fil,

et S section du fil

Dans ce cas on peut démontrer que :

11kRR ε=∆

avec k facteur de jauge.

Le facteur de jauge est directement lié à la nature des matériaux utilisés pour la grille et du procédé de fabrication de la grille. Il est déterminé par le fabricant pour chaque lot de production et est indiqué sur les documents d’accompagnement des jauges.

Le capteur ainsi réalisé est ponctuel et directionnel.

Figure II-2.5 : jauge de déformation



Les allongements relatifs sont souvent de l’ordre de 10-5. Il faut donc pouvoir mesurer des variations relatives de résistance avec précision. Pour cela la jauge de déformation est intégrée à un pont de Wheatstone à quatre résistance.

2.6.2 Détermination du tenseur des contraintes en un point avec une rosette extensométrique

Soit M un point de la surface libre S d’une structure où l’on désire déterminer le tenseur des déformations et des contraintes. En surface on est en présence d’un état de contrainte plane, et si on note M x1x2x3 le repère orthonormé lié à la surface ou x3 est normal à la surface, le tenseur des contraintes de des déformations dans ce repère s’écrivent (cf 2.4.2) :

( )

11 12 11 12

12 22 12 22

11 22

0 0

0 0

0 0 00 0

1

et

ε ε σ σε ε ε σ σ σ

ν ε εν

= =

− + −

Pour déterminer ces tenseurs, il est nécessaire de pouvoir effectuer au point M trois mesures. Pour cela on utilise une rosette à 3 jauges (figure II-2.6)où les jauges sont positionnées 45° ou 120° l’une de l’autre.

Figure II-2.6 : rosettes de déformations

Considérons le cas particulier où les rosettes font une angle de 45° entre elles (figure II-2.7) et où les directions des deux jauges à 90° sont collées s elon les directions du repère.

Notons ces jauges A, B, C et ,,, cba εεε les déformations

mesurées par ces jauges.

Comme les directions des jauges et du repère sont confondues nous pouvons écrire :

c22a11 et ε=εε=ε ; d’autre part comme les

composantes de

0,

22

,22

sontnbr

Figure II-2.7 : rosette à 45°

45°

Jauge C

Jauge B

Jauge A

X2

X1



122211b 21

21 ε+ε+ε=ε , relation qui permet de déterminer 12ε .

Les contraintes et 33ε peuvent être déterminées à partir de la loi de comportement

élastique (E,ν) par les relations (1.6) à savoir :

( ) ( ) ( ) 1212221133112222221111 E1

EE1

E1 σν+=εσ+σν−=εσν−σ=εσν−σ=ε



Chapitre 3 : C RITERE DE LIMITE ELASTIQUE DES CORPS ISOTROPES

3.1 NOTION DE CRITERE DE LIMITE ELASTIQUE

3.1.1 Définition

En généralisant la notion de limite d’élasticité en traction définie § 221 (figure II-3.1),

Figure II-3.1 : traction figure II-3.2 : critère de limite élastique

on appelle critère de limite élastique d’un milieu isotrope, une fonction scalaire f du tenseur des contraintes σ qu’il ne faut pas dépasser pour ne pas avoir de déformations permanentes (figure II-3.2). Cette fonction est de la forme ::

( )( ) matériauduélasticité'ditelim0,f

élastiquentcomporteme0,f

sij

sij

⇔=σσ

⇔<σσ (éq II-3.1)

La fonction f, encore appelée fonction de charge, sert à mesurer l’intensité de la sollicitation subie par un élément de matière, cette intensité est comparée à une valeur seuil déterminée expérimentalement (en général la limite d’élasticité en traction simple).

Dans le cas d’une matériau isotrope, il n’existe, dans l’espace physique, aucune direction ni aucun repère privilégié en ce qui concerne le matériau. La fonction scalaire f ne doit donc pas faire intervenir un repère particulier et s’exprime :

- soit comme une fonction symétrique des contraintes principales

- soit comme une fonction des invariants de sdeou,σ (tenseur déviateur de contrainte).

La représentation géométrique du critère de limite élastique pourra se faire soit dans le repère des contraintes principales, soit dans le repère lié à la facette ( )τσ ,n (représentation de Mohr).

Dans cette dernière représentation, la courbe précédente (aussi appelée courbe intrinsèque) représente l’enveloppe des tricercles des contraintes limites tangents pour différentes sollicitations. Cette représentation permet surtout, pour une sollicitation donnée, en un point M, de déterminer les facettes les plus exposées. On peut en déduire l'éventuel mode de rupture dans le plan de la facette concernée. Les courbes intrinsèques peuvent être déterminée expérimentalement.

ε

0,2 %

σ

R0,2

σ0

σ1

σ2

élasticité

plasticité

f(…)=0



3.1.2 Allure des courbes intrinsèques des différents matériaux

a) Les matériaux fragiles

De tel matériaux résistent "mal" à la traction.

On écrit simplement :

sI σ≤σ

avec IIIIII σ<σ<σ

La facette la plus sollicitée a pour normale nI.

Les aciers, la fonte, le béton, les céramiques, le verre sont des exemples de matériaux fragiles.

Figure II-3.3 : courbe intrinsèque pour matériau fragile

c) Les matériaux aréniens (ou pulvérulents)

Le critère de Coulomb permet de définir la limite élastique de tels matériaux :

φ⋅σ−≤τ tgC

C est la cohésion du matériau

φ est l'ange de frottement interne.

Ce critère s’applique aux poudres, argiles, au sable, …

Figure II-3.4 : courbe intrinsèque pour matériau arénien

b) Les matériaux ductiles

Ces matériaux résistent "mal" au cisaillement. Les critère de Tresca et Von Mises sont souvent utilisés pour décrire limite d’élasticité (cf § suivant)

Les normales aux facettes les plus sollicitées appartiennent au plan ( )IIII n,n

rr

La plupart des matériaux métalliques (les aciers doux, l’aluminium, le cuivre, etc…) sont des exemples de matériaux ductiles.

Figure II-3.5 : courbe intrinsèque pour matériau ductile

σn

τ

φ C

σn

τ



3.2 LES CRITERES DE LIMITE ELASTIQUE DE MATERIAUX ISOTROPES DUCTILES

Dans la plupart des matériaux métalliques, l’expérience à montrer qu’une compression sphérique n’admet pratiquement pas de limite de rupture (indépendance vis-à vis de la compression hydrostatique) ; par ailleurs les déformations plastiques sont le résultat de glissements de cisaillement intercristallins gouvernés par la contrainte de cisaillement. Il est donc approprié d’utiliser les invariants du tenseur déviateur des contraintes pour introduire une séparation entre la pression hydrostatique et la partie déviatrice :

( )13

S tr I= σ − σ

L’expression générale des critères isotropes de plasticité incompressible s’exprime donc sous la forme :

( ) 0,J,Jf s32 =σ

J2 et J3 deuxième et troisième invariant du tenseur déviateur des contraintes.

3.2.1 Critère de Von Mises

Dans le critère de Von Mises, on considère que le seuil de plasticité est lié à l’énergie élastique de cisaillement (ou de distorsion). Cela revient à négliger l’influence du troisième invariant et à prendre une expression linéaire pour la fonction f, telle que :

( ) 0,Jf s2 =σ (éq II-3.2)

En effet l’énergie élastique de distorsion s’exprime par : (avec E tenseur déviateur des déformations)

S:SG41

E:S21

Wdel == (éq II-3.3)

Ecrivons que cette énergie d’un état tridimensionnel est égale à celle d’un état unidimensionnel de traction pure de seuil sσ . Pour un état de contrainte uniaxial

σ=σ

000

000

00s

s le déviateur vaut :

σ−σ−

σ=

s31

s31

s32

00

00

00

S

Donc 2sG6

1S:S

G41 σ= soit : 0

31

S:S21 2

s =σ−

La fonction 3.2 s’exprime donc par : 0J 2s3

12 =σ− (éq. II-3.4)

Si nous appelons 2eq J3=σ , contrainte équivalente de Von Mises, nous pouvons traduire un

état tridimensionnel complexe par un état unidimensionnel équivalent défini par le seuil sσ . Ceci

est en particulier vrai pour la limite d’élasticité initiale en traction du matériau 0σ .

Le critère de limite d’élasticité au sens de Von Mises s’exprime donc par la relation :

00eq =σ−σ (éq II-3.5)



ou ∑ ∑∑ σ−σσ====σj,i k

2kk2

1jiij2

3

j,ijiij2

323

2eq )(SSS:SJ3 (éq II-3.6)

Les expressions développées du critère de Von Mises sont :

- dans l’espace des contraintes à 6 dimensions :

( ) ( ) ( ) ( ) 20

213

223

212

21133

23322

22211 26 σ⋅=σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (éq II-3.7)

- dans l’espace des contraintes principales à 3 dimensions :

( ) ( ) ( ) 20

2IIII

2IIIII

2III 2 σ⋅=σ−σ+σ−σ+σ−σ (éq II-3.8)

Dans ce dernier cas (figure II-3.6) c’est l’équation d’un cylindre à base circulaire axé sur la trisectrice du repère

( )IIIIII ,, σσσ et de rayon 032R σ= .

En contrainte plane (σIII =0) et l’intersection de ce cylindre avec le plan

),( III σσ est une élipse (figure II-3.7)

Figure II-3.6 : représentation du critère de Von Mises et de Tresca dans le repère des contraintes principales

Si l’on est dans un état de cisaillement pur S

000

00

00

=

ττ

=σ car ( ) 0tr =σ

alors ( ) 022

23

eq σ=τ+τ=σ soit 30

maxσ

=τ (éq. II-3.9)

3.2.2 Critère de Tresca

Dans le critère de Tresca on considère que le seuil de plasticité est lié à la contrainte de cisaillement tangentielle maximale.

La contrainte de tangentielle maximale correspond au ( )IIIIIIIIIIII ,,Sup σ−σσ−σσ−σ

et le critère de Tresca s’exprime par : ( ) 0jiji

Sup σ=σ−σ≠

(éq. II-3.10)

σI

σII

σIII

Von Mises

Tresca



Dans l’espace des contraintes principales, le critère de Tresca est représenté par un prisme à base hexagonale dont l’axe est la trisectrice du repère ( )IIIIII ,, σσσ . Il s’inscrit dans le cylindre de Von Mises (figure II-3.6).

En contrainte plane, sa représentation est comparée à celle de Von Mises sur la figure II-3.7.

L’écart entre Von Mises et Tresca ne dépasse pas 15 %.

Dans une sollicitation de cisaillement pur, il s’écrit :

20

maxσ=τ

Figure II-3.7 : représentation des critères de Von Mises et de Tresca en contrainte plane dans le repère des contraintes principales.

Ce critère s’interprète très facilement dans la représentation de Mohr (figure II-3.8), où il

correspond à deux droite parallèle d’ordonnée 20σ

± . Physiquement cela signifie que le

comportement du matériau demeure élastique tant que la cission sur une facette d’orientation quelconque ne dépasse pas la valeur σ0/2. Ceci explique le nom de « critère de cission maximale » donné au critère de Tresca.

Figure II-3.8 : représentation de Mohr du critère de Tresca

σ

σ0/2 τ

Von Mises

σΙ

σII Tresca

+σ0

+σ0

-σ0



Le début de plastification apparaîtra toujours sur la facette qui fait un angle de 45° dans le plan ( )IIII ,σσ en faisant le classement usuel ( )IIIIII σ≥σ≥σ .

REFERENCES :

- D . Bellet, J.J. Barrau : Cours d’élasticité, Cepadues-editions 1990

- M. Kerguignas, G. Caignaert, résistance des matériaux, Edition Dunod 1997

- D. Francois, A. Pineau, A. Zaoui, Elasticité et plasticité, Edition Hermes 1992

- S. P. Timoshenko, Theory of elasticity, McGraw-Hill international editions, 1970

- R. G. Budynas, Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill international editions, 1999

- J. Salencon, Mécanqiue des Milieux continus, Ecole polytechnique, Tome 1.

- E. J. Hearn, Mechanics of Materials, Butterworth-Heinemann 1999

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