CoursCh5

Automatique (AU3)De la boucle ouverte (BO) à la boucle fermée (BF)

−180 −135 −90 −45 0

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

−1 dB

−3 dB

−6 dB

−12 dB

−20 dB

−40 dB

Nichols Chart

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

45 janvier 2010

Charlotte [email protected]

mailto:[email protected]

Généralités sur la BF Fonctions de transfert en BO et BF L'abaque de Black-Nichols

Objectifs de ce cours

Connaître la structure de base d'une boucle fermée (BF) ;

relier le comportement en BF à celui de la boucle ouverte(BO) ;

utiliser l'abaque de Black-Nichols (en BO) pour déterminer lescaractéristiques temporelles et fréquentielles d'un système (enBF).

DUTA GEII (IUT Nantes) 45/01/2010 2 / 43


Plan du cours

1 Généralités sur la BFLimites de la boucle ouverteRetour sur les notions d'asservissement et de régulationExemple : régulation de niveau d'un bac

2 Fonctions de transfert en boucle ferméeDénitionsExpression de la FTBO et de la FTBFExemple (1) : application aux systèmes élémentaires

3 Utilisation de l'abaque de Black-NicholsDescription et intérêtsUtilisation pratique de l'abaqueExemple : Étude d'un asservissement de position à retourunitaire



Système en boucle ouverte

Boucle ouverte (BO) : actionneur + système dynamiqueInconvénients majeurs de la boucle ouverte :

sensibilité aux perturbations, aux incertitudes sur lesparamètres internes ;

impossible de modier les performances dynamiques ;

impossible de stabiliser un système naturellement instable ;

→ nécessité de contrôler la sortie et d'adapter la commande.



Structure générale d'un système en boucle fermée (BF)

Structure de contre-réaction [1927, H.S. Black (18981983)] Éléments :

Régulateur : comparateur et correcteur ; Processus instrumenté : actionneur, système, capteur.

Chaînes : directe (d'action) → puissance ; de retour (de réaction) → précision.



Retour sur les notions d'asservissement et de régulation

Systèmes asservis

But : suivre la consigne, quelles que soient ses variations (l'eet desperturbations est supposé nul).Exemples : table traçante, machine-outil usinant une pièce selon unprol donné, missile poursuivant une cible. . .



Retour sur les notions d'asservissement et de régulation

Systèmes régulés

But : la consigne étant xe, la sortie doit compenser l'eet desperturbations.Exemples : régulateur de vitesse, thermostat, pilote automatiqued'avion. . .



Performances (et quantications) d'un système asservi

Rapidité : quelle est la durée nécessaire pour que la sortieatteigne la valeur visée ? (→ temps de réponse à 2% ou 5%)

Stabilité : la sortie réussit-elle à se stabiliser ? Est-elle obtenueaprès de nombreuses oscillations ? (→ marges de stabilité)

Précision : pour un type d'entrée donné, quel est l'écart entrela consigne et la sortie ? (→ erreurs statique et de traînage)



Étude d'une régulation de niveau dans un bac

Description du système (cf. énoncé)

Un bac à parois verticales, de section plane S , est alimenté par unepompe de débit volumique qE . Une deuxième pompe extrait de ce bac undébit qS . Les débits ne dépendent que des vitesses de rotation despompes : qE = γω.La pompe d'alimentation est entraînée par un MCC à aimantpermanent :

R : résistance du circuit de l'induit ; L = 0 ;

λ : constante de couple du moteur ;

J : inertie totale ramenée sur l'arbre moteur ; f = 0 ;

Cr = βω : couple résistant dû à la pompe.

Le niveau n du liquide est mesuré par un capteur fournissant une tensionv proportionnelle à n : v(t) = αn(t).




Diagramme fonctionnel

Étude en boucle ouverte (1/2)

Calculer, en fonction des diérents paramètres, les expressionslittérales de G1(p) et G2(p).



Détermination de l'expression de G1(p)

Équations du MCC :

u(t) = Ri(t) + λω(t)

Jdω(t)

dt= λi(t)− βω(t)

Transformation dans le domaine de Laplace :

U(p) = RI (p) + λΩ(p)

JpΩ(p) = λI (p)− βΩ(p)

Expression de G1(p) :

G1(p) =Ω

U(p) =

λ

RJp + Rβ + λ2



Détermination de l'expression de G2(p)

Conservation du volume dans le bac :

V(t) = Sn(t)

dV(t)

dt= qE (t)− qS(t)

Transformation dans le domaine de Laplace :

SpN(p) = QE − QS

Expression de G2(p) :

G2(p) =N

QE − QS

(p) =1Sp




Étude en boucle ouverte (2/2)

On donne S = 0, 5m2 et α = 10V /m. Pour qs = 0, en régimepermanent :

u∞ = 50V ;

ω∞ = 1500 tr/min ;

qE∞ = 3, 6m3/h ;

v∞(t) = 0, 02(t − 2).

En déduire les expressions numériques de γ, G1(p) et G2(p).




On trouve :

γ =qE∞ω∞

=3,63600

1500×2π60

=2.10−5

πm3/rad

G1(p) =k

1 + τp

G2(p) =2p

où k est tel que k = ω∞u∞

soit k = π rad/s/V et τ est tel que

v∞(t) = u∞kγαS

(t − τ) soit τ = 2.



Structure de base d'une commande en BF

Fonctions de transfert principales :

A(p) : fonction de transfert de la chaîne directe (processus + correcteur) ;

R(p) : fonction de transfert de la chaîne de retour (capteur, éventuellementcorrecteur).

Cas particulierLorsque R(p) = 1, le système asservi est dit à retour unitaire.

But de l'asservissement : faire tendre ε(t) vers 0.



Dénition des FTBO et FTBF

Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) : mesure/écart

FTBO =Y (p)

ε(p)

Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : sortie/consigne

FTBF =X (p)

C(p)

RemarqueLa FTBF représente le comportement du système bouclé ; on verra dans la suite qu'ilpeut être estimé par l'étude de la FTBO.



Expression des FTBO et FTBF : cas général

Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :

FTBO =Y (p)

ε(p)= A(p)R(p)

Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) :

FTBF =X (p)

C (p)=

A(p)

1 + A(p)R(p)=

FTchaine directe

1 + FTBO



Expression des FTBO et FTBF : retour unitaire

Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :

FTBO =Y (p)

ε(p)= A(p)

Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) :

FTBF =X (p)

C (p)=

A(p)

1 + A(p)=

FTBO

1 + FTBO

Attention, la relation FTBO1+FTBO

n'est plus valable si le retour n'estpas unitaire !



Exemple : système intégrateur avec correcteur proportionnel

On a : A(p) = Kp. Le retour est unitaire donc :

FTBF =A(p)

1 + A(p)=

Kp

1 + Kp

=1

1Kp + 1

Soit H(p) = kF1+τFp

avec kF = 1 et τF = 1K

Conclusions :

Intégrateur → 1er ordre ;

écart statique nul (cf. cours sur la précision) ;

K règle la constante de temps de la FTBF → rapidité.



Exemple : 1er ordre avec correcteur proportionnel

On a : A(p) = K1+τp . Le retour est unitaire donc :

FTBF =A(p)

1 + A(p)= · · · =

kF1 + τFp

avec kF = K1+K

et τF = τ1+K

Conclusions :

1er ordre → 1er ordre ;

écart statique non nul ( quand K ) ;

t2% = 4τ en BO → 41+K

τ en B.F. : la rapidité augmente avecK .



Exemple : 2nd ordre avec correcteur proportionnel

On a : A(p) = Kωn2

p2+2ζωnp+ωn2. Le retour est unitaire donc :

FTBF =A(p)

1 + A(p)= · · · =

kFωnF2

p2 + 2ζFωnFp + ωnF 2

avec kF = K1+K

, ωnF = ωn√K + 1 et ζF = ζ√

K+1

Conclusions :

2nd ordre → 2nd ordre ;

écart statique non nul ( quand K ) ;

amortissement quand K : risque de devenir [plus]oscillant ;

temps de réponse identique (ζωn = ζFωnF )



Étude d'un asservissement à retour non unitaireUn asservissement, dont la consigne est c(t) et la sortie x(t),comporte dans sa chaîne directe un élément de fonction detransfert G (p) = 25

p2+2p+25et dans sa boucle de retour une fonction

de transfert de la forme K (1 + Tp).

1 Faire le schéma de l'asservissemement2 Déterminer la fonction de transfert H(p) = X (p)

C(p)

3 Quelles sont les valeurs de K et T pour lesquelles la réponseindicielle de cet asservissement présente les caractéristiquessuivantes : écart permanent de 1% et premier dépassement de25%?

4 Donner l'allure de la réponse indicielle correspondante enprécisant comment elle a été tracée.



Rappels : représentation dans le plan de Black

Plan de Black (Nichols plot) : → abscisse : phase (≤ 0o par convention) ; ↑ ordonnée : gain (en dB) ; courbe graduée par les pulsations ω.

Avantages de la représentation : multiplication des fonctionsde transfert ⇔ addition des gains et phases



Comment passer de la FTBF à la FTBO?

Énoncé du problème

Étant donné un système bouclé à retour unitaire, on supposedisposer de sa FTBO (analytique ou relevé). Comment peut-on endéduire sa FTBF, représentant le comportement du systèmecomplet ?

Éléments de réponse

Retour unitaire → FTBF = FTBO1+FTBO

On pourrait calculer point par point... trop fastidieux !

On utilise plutôt une transformation complexe z 7→ z1+z

oùz = FTBO(jω)

En pratique : utilisation de l'abaque de Black-Nichols



Description de l'abaque

Ensemble de courbes : iso-modules telles que

∣∣∣ z

1+z

∣∣∣ = C ste M (en dB) ;

iso-phases telles que arg(

z

1+z

)= C ste ψ (en o).

Si le point (ϕO , gO), représentant la FTBO à la pulsation ω,appartient aussi à l'iso-module de valeur M et à l'iso-phase devaleur ψ, alors FTBF (ω) = (ψ,M).

Propriétés graphiques :

abaque symétrique par rapport à la verticale passant par−180o ;

iso-modules : réseau centré par rapport à(−180o , 0dB) = −1 ;

iso-phases : réseau rayonnant depuis (−180o , 0dB) = −1.



Abaque de Black-Nichols



Exemple (1 graduation pour 10o et 1 dB)

Pour ω3 :gainFTBO ≈ 4.5dBgainFTBF = 0dBϕFTBO ≈ −110oϕFTBF ≈ −35o



Utilisation pratique de l'abaque

1 Tracé de la FTBO dans le plan de Black ;2 superposition de l'abaque (attention à garder les mêmes

échelles !) ;3 lecture des valeurs remarquables de la FTBF :

gain statique ; existence et caractéristiques de résonances ; pulsation de coupure



Lecture des résultats

gain statique : valeur de l'iso-module de l'abaque passant parle point ω = 0 rad/s (en dB) ;

existence et caractéristiques de résonances :

résonance ⇔ la FTBF passe par un maximum ; chercher l'iso-module de plus forte valeur à laquelle le lieu de

la FTBO est tangent ; sa valeur est le gain maximum en BF ; pulsation en ce point : ωR de la BF ; coecient de surtension : déni par

(MP)dB = (gain maximum)dB − (gain statique)dB

pulsation de coupure (à -3dB) : pulsation lue au pointd'intersection de la FTBO avec l'iso-module valant(gain statique)dB − 3dB .



Exemple



Exemple

Dans l'exemple, on a :

gain statique : -2dB ; existence d'une résonance :

gain à la résonance : 3dB ; pulsation de résonance : ω4 ; coecient de surtension :(MP)dB = 3dB − (−2dB) = 5dB ;

pulsation de coupure (à -3dB) : ω7, pulsation à l'intersectionavec l'iso-module -5dB.



Questions subsidiaires...

Et si la FTBO comporte un gain réglable K ?

Et si le retour de la boucle n'est pas unitaire ?

... Et pourquoi ne pas utiliser des outils tout faits (Black,Matlab, Scilab) ?



Et si la FTBO comporte un gain réglable K ?

On suppose que la FTBO s'écrit KA(p) avec A(0) = 1 :

Multiplication de la FTBO par K ⇔ multiplication du gain (en dB) par20 log(K) ⇔ translation verticale de la courbe de 20 log(K) ;

On trace A(p) dans le plan de Black ;

On translate la courbe de la valeur désirée du gain.

Avantages :

en un minimum de calculs, on peut analyser des FTBF pour diérentes valeursdu gain ;

on peut facilement régler le gain de la boucle ouverte en vue d'obtenir uneperformance donnée (valeur de la surtension, par exemple) pour le systèmeasservi : il sut de translater la courbe sur l'abaque de Black (cf. exercicesuivant).



Et si le retour de la boucle n'est pas unitaire ?On se ramène, grâce à l'algèbre des diagrammes, à un système comprenant une bouclefermée à retour unitaire :

m

On étudie la FTBF partielle Y

Cà partir de la FTBO partielle A(p)R(p) puis, en

divisant par R(p), on en déduit la FTBF complète X

C.



Étude d'un asservissement de position à retour unitaire

ÉnoncéOn s'intéresse à l'asservissement en position d'un moteur à aimantpermanent commandé par l'induit, dont la fonction de transfert Ω

U

est donnée par A(p) = 1p(1+0,2p) et dont la commande est

proportionnelle à l'écart : u(t) = K (c(t)− θ(t)).

Tracer dans le plan de Black la réponse fréquentielle de A(p)(utiliser les échelles de l'abaque fourni sur transparent) ;

En déduire la réponse fréquentielle dans le plan de Black dusystème de fonction de transfert KA(p) où K = 15 ;

En déduire les principales caractéristiques de la réponsefréquentielle du système en boucle fermée (surtension,pulsation de résonance, pulsation de coupure)



Calcul de la réponse fréquentielle de A(p)

On décompose A(p) en A1(p) (intégrateur) et A2(p) (1er ordre). On trace dans leplan de Bode les réponses asymptotiques de ces deux systèmes ; on calcule quelquespoints particuliers de A(p) :

ω 0.5 1 2 3 5 7 8 10 12.5 20

ω/ω0 0.1 0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.6 2 2.5 4

A1(dB) 6.02 0 -6.02 -9.54 -14 -17 -18 -20 -22 -26

A2(dB) -0.04 -0.17 -0.64 -1.33 -3 -4.71 -5.51 -7 -8.6 -14.15

A(dB) 6 -0.17 -6.66 -10.86 -17 -21.71 -23.5 -27 -30.60 -40.15

ϕ(A1) -90

ϕ(A2) -5.7 -11.3 -21.8 -31 -45 -54.4 -58 -63.4 -68.2 -76

ϕ(A) -95.7 -101.3 -111.8 -121 -135 -144.4 -148 -153.4 -158.2 -166



Réponse de A(p)



Réponse de 15A(p)On translate la courbe de 20 log(15) = 23.5 vers le haut :

On en déduit :

gain statique : 0dB ;

surtension : 5.1dB-0dB =5.1dB ;

pulsation de résonance : 8rad/s ;

pulsation de coupure : ≈ 12rad/s



Détermination du gain K pour obtenir une surtension de 1.3Remarque : ∀K , le gain statique de la FTBF vaut 0 dB. On translate la courbe deA(jω) de manière à tangenter l'iso-module de valeur 20 log(1.3) = 2.3dB.

On en déduit :

(K)dB = 16.5 et K = 6.7

surtension : 2.3dB ;

pulsation de résonance : 4.5rad/s ;

pulsation de coupure : 7.5rad/s



Comparaison et conclusions

Pour K = 15, la résolution analytique donne :

gain statique : 0dB ; pulsation propre : ωn = 5

√(3) = 8.66 rad/s ;

amortissement : ζ = 0.29 ; pulsation de résonance : 7.92 rad/s ; surtension : 1.80 (5.11dB) ; pulsation de coupure : 12.64 rad/s

Pour obtenir une surtension de 1.3, la résolution analytique donne :

ζ = 0.43 = 5/(2ωn) ; pulsation propre : ωn = 5K , d'où K = 6.76 ; pulsation de résonance : ωR = 0.8ωn = 4.5 rad/s ; pulsation de coupure : ωc = 1.34ωn = 7.8 rad/s

Par les deux approches, les résultats obtenus sont très voisins. En pratique, ledegré de précision est tout à fait acceptable.

Dans le cas où l'on ne dispose pas d'une solution analytique simple (retard pur,ordre plus élevé, . . .), seule la méthode de l'abaque reste utilisable.


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