Cours Traitement Signal P1

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Ecole Polytechnique Universitaire de Paris Spcialit Electronique Informatique ELI, 3me Anne

Cours de traitement du signalPREMIERE PARTIE

ZARADER J.L

2008/2009

2

SOMMAIREBIBLIOGRAPHIE ...................................................................... 3 I GENERALITES ....................................................................... 4 1) - DEFINITIONS. ................................................................... 4 2) - CLASSIFICATION DES SIGNAUX. .............................................. 5 3) - QUELQUES SIGNAUX IMPORTANTS. ........................................... 7 II SERIES ET TRANSFORMEE DE FOURIER................................. 10 1) - SERIES DE FOURIER......................................................... 10 2) - DISTRIBUTIONS. .............................................................. 13 3) - TRANSFORMEE DE FOURIER (TF). ........................................ 16 III CONVOLUTION ET CORRELATION ....................................... 21 1) 2) 3) 4) 5) CONVOLUTION. ................................................................ CORRELATION. ................................................................ CAS DES SIGNAUX A PUISSANCE MOYENNE FINIE. ....................... ANALYSE SPECTRALE......................................................... FILTRAGE. ..................................................................... 21 26 29 30 36

IV ECHANTILLONNAGE ........................................................... 39 1) 2) 3) 4) ECHANTILLONNAGE IDEAL................................................... RECONSTRUCTION DU SIGNAL............................................... SOUS-ECHANTILLONNAGE. .................................................. ECHANTILLONNAGE PRATIQUE. ............................................. 39 42 43 45

V TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (T.F.D) ....................... 50 1) 2) 3) 4) TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL PERIODIQUE ET DISCRET. .. TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD). ........................... CONVOLUTION DISCRETE. ................................................... CORRELATION. ................................................................ 50 51 56 59

3

BibliographieL. Schwartz : " Thorie des distributions " ; Ed. Hermann E. Roubine : " Distributions Signal " ; Ed. Eyrolles J. Max : " Mthodes et techniques du traitement du signal " ; 2 Tomes ; Ed. Masson F. de Coulon : " Thorie et traitement des signaux " ; Ed. Dunod A. Spatar : " Thorie de la transmission de l'information " ; Ed. Masson M. Bellanger : " Traitement numrique du signal " ; Ed. Masson M. Kunt : " Traitement numrique des signaux " ; Ed. Dunod

4

I Gnralits1) - Dfinitions.Le signal est la reprsentation physique d'un phnomne qui volue dans le temps ou dans l'espace. Le traitement du signal (T.S) est une discipline technique qui a pour objet l'laboration, la dtection et l'interprtation des signaux porteurs d'informations. Cette discipline s'appuie sur la thorie du signal qui donne une description mathmatique des signaux. Cette thorie fait essentiellement appel l'algbre linaire, l'analyse fonctionnelle, l'lectricit et l'tude des processus alatoires. Historiquement, le traitement des signaux apparat au dbut d u XX ime s i c l e , e n m m e t e m p s q u e l ' l e c t r o n i q u e ( F L E M I N G , 1905, dtection et amplification de signaux faibles). On peut c e p e n d a n t n o t e r d e s p r e m i e r s t r a v a u x a u XIXime a v e c l ' i n v e n t i o n d u tlgraphe lectrique (MORSE, COOKE, WHEATSTONE, 1830), du tlphone (BELL, 1876) et de la radio (MARCONI, POPOV, 1895). Hormis la contribution apporte par FOURIER (1822, Travaux sur la propagation de la chaleur), la thorie du signal apparat en 1930 avec les premiers travaux de WIENER et KINTCHINE sur les processus alatoires, et ceux de NYQUIST et HARTLEY sur la quantit d'informations transmise sur une voie tlgraphique. Les contributions essentielles, au traitement du signal et la thorie du signal n'interviennent qu'aprs la seconde guerre mondiale. Invention du transistor en 1948, travaux de SHANNON sur la communication, de WIENER sur le filtrage optimal et de SCHWARTZ sur les distributions. Les applications du traitement du signal sont nombreuses ( Tlcommunication, Gophysique, Reconnaissance des formes, Biomdical, Acoustique, etc...). Exemples * Contrle Radar: fondamental. Ici l'analyse frquentielle joue un rle

5 * Codage de la Parole: La reconnaissance de la parole ncessite le traitement d'une grande quantit de donnes. Le codage permet de rduire cette quantit, en liminant les redondances et en conservant l'information utile. * Les Tlcommunications : Si les 17 Millions d'abonns au tlphone taient relis 2 2 il faudrait (17M)2/2 cbles. Heureusement les travaux sur la modulation, l'chantillonnage et la transmission permettent d'mettre, sur une mme voie, des milliers de messages.

2) - Classification des signaux.Il existe diffrents modes de classification : a) Morphologique : On distingue ici les signaux qui prennent des valeurs chaque instant t (Signal continu ) et les signaux qui n ' o n t d e v a l e u r s q u ' c e r t a i n s i n s t a n t s ti ( S i g n a l d i s c r e t ) .x(t) x(t)

t0 t t1 0 Discret t

Continu

b) Spectrale : On classe les signaux suivant la bande de frquences qu'ils occupent. x(t) x(t)

t

t

Signal variations lentes Signal "Basses Frquences"

Signal variations rapides Signal "Hautes Frquences"

c) Energtique : Les signaux peuvent tre nergie finie ou puissance moyenne finie.

6 Les signaux nergie finie vrifient la condition : Wx

=

+

x( t ) dt < + 2

On dit aussi qu'ils sont de carr sommable. Les signaux support born, c'est dire de dure limite, sont nergie finie. Les signaux puissance moyenne finie sont tels que :

0 < Px

=

1 lim T T

T 2 T 2

x(t)

2

dt

< +

Les signaux priodiques sont puissance moyenne finie. Remarques : - U n s i g n a l n e r g i e f i n i e a u n e p u i s s a n c e m o y e n n e n u l l e ( Px = 0 ) . -Un signal puissance moyenne finie (non nulle) possde une n e r g i e Wx i n f i n i e . On dfinit, par ailleurs : - La puissance instantane ( d'interaction ). Px ( t ) = x ( t ) x* ( t ) Pxy ( t ) = x( t ) y* ( t ) - La puissance moyenne (d'interaction) sur une dure T. 1 T 1 Pxy ( t 0 , T) = T Px ( t 0 , T) =

t0 + T

t0 t0 + T

x( t ) x * ( t ) dt x( t ) y * ( t ) dt

t0

- L'nergie moyenne (d'interaction) sur une dure T. Wx ( t 0 , T) = T Px ( t 0 , T) Wxy ( t 0 , T) = T Pxy ( t 0 , T) d) Typologique : On distingue ici les signaux suivant que leur volution est dterministe ou alatoire.Signal dterministe : Un signal dterministe peut tre prdit par un modle mathmatique connu. On distingue deux sous classes : - Les signaux priodiques x(t) = x(t + T). - Les signaux non - priodiques.

7Signal Alatoire : Le signal alatoire a un imprvisible. On le dcrit grce des outils densit de probabilits, moyenne, variance,...).

comportement statistiques (

3) - Quelques signaux importants.- P o r t e : T (t)2

T (t)2

=

T T 1 si t , 2 2 0 Ailleurs

T (t)2

1 t -T 2 - Echelon d'Heavyside : u(t) T 2

u( t )

=

1 si t 0 0 si t < 0 u(t)

1

t

- Signe : sgn(t) 1 si t > 0 0 si t = 0 - 1 si t < 0

sgn( t )

=

8 sgn(t) 1 t -1

- T r i a n g u l a i r e : T (t) T (t) t 1 si t T 0 Ailleurs < TT (t)

=

-T

t T

- Gaussienne : g(t) 1 y 2 t22 y2

g( t )

=

e

g(t) M= 1 y 2 61 % M t

y - Sinus Cardinal : sinc(t)

sinc( t ) =

sin( t ) t

9 sinc(t) 1

t

- Rgle de l'Hopital : Soient f(t) et g(t) deux fonctions continues et drivables en t0 et telles que : lim{f ( t )} = lim{ g( t )} = 0 (resp )t t0 t t0

Alors: f (t) lim t t 0 g( t ) Exemple : = f ' (t) lim t t 0 g' ( t )

sin( t ) lim t 0 t

=

lim{cos( t )}t0

=

1

10

II Sries et transforme de FOURIEROn prsentera dans ce chapitre les principaux mathmatiques ncessaires au traitement des signaux. outils

1) - Sries de FOURIER.C o n s i d r o n s l e s f o n c t i o n s gn (t) d f i n i e s p a r : g n (t) = e+ 2 j nt T

= e + 2 jn0 t avec, 0 =

1 et n T

On peut facilement montrer que ces fonctions sont orthogonales, c'est dire :g n ( t ), g * ( t ) m Dem :g n ( t ), g ( t )* m

=

1 T

( T)

g n ( t ) g * (t) dt = m

0 si n m 1 si n = m

=

1 T

T 2 T 2

e

2j

( n m) t T

dt

g n ( t ), g * ( t ) m

=

1 (e j( n m) e j( n m) ) 2 j(n - m)

=

0 si n m sin(n - m) = (n - m) 1 si n = m

Soit f(t) un signal priodique de priode T (T>0). Si f(t) possde un nombre fini de sauts sur une priode, alors il existe u n e s u i t e Cn t e l l e q u e : f (t) =

n= -

C

+

n g n (t)

=

n= -

C

+

ne

+ 2 j

nt T

Cette srie converge vers f(t), si f(t) est continue en t. Elle 1 f (t+ ) + f (t ) , s i f ( t ) p o s s d e u n s a u t e n t . L e s C n converge vers 2 sont couramment appeles raies, composantes ou harmoniques du signal et se calculent par projection: Cn = f ( t ), g * ( t ) n = 1 T

( T)

f (t) e

2 j

nt T

dt

11 1 f ( t ) dt T (T) - C1 : 1re H a r m o n i q u e o u f o n d a m e n t a l e d u s i g n a l f ( t ) . - C n : c o n t r i b u t i o n d e l a n ime h a r m o n i q u e . - C0 : c o m p o s a n t e c o n t i n u e = Proprits :(f (t) = f * ( t )) - S i f ( t ) r e l l e a l o r s C n = C* n ( f (t) = f * ( t ) = f (-t)) - S i f ( t ) r e l l e e t p a i r e a l o r s Cn r e l - S i f ( t ) r e l l e e t i m p a i r e a l o r s C n i m a g i n a i r e ( f (t) = - f (-t) = f * ( t ) )

Note : L'expression entre parenthses est une indication pour la dmonstration. Exemples : 1 ) S o i t C n u n e s u i t e d f i n i e p a r : C1 = C 1 = Dterminer f(t)?f (t) =A et C n = 0 , si n (1,-1) . 2

n = -

C

+

n

e

+ 2 j

nt T

=

t t A 2 j 2 j T T (e + e ) 2

=

A cos(

2 t ) T

2) On considre le signal carr priodique f(t) dfini par :f(t)

1 -T 2

2

2

t T 2

Calculer son spectre. 2 j nt 2 T e 2

Cn

=

1 T

T 2 T 2

f (t) e

2 j

nt T

dt

=

1 T

+ 2 2

e

2 j

nt T

dt =

1 T

n 2 j T

Cn =

1 T

n sin 2 2T = sinc ( n ) n T T T

12 - L e s i n c c o n s t i t u e l ' e n v e l o p p e d e s Cn Cn

1

-1

-1 T 1 T

1

n T

Relation de PARSEVAL :

La relation de PARSEVAL montre qu'il y a "conservation" de la puissance Pf lorsque l'on passe d'une reprsentation temporelle une reprsentation frquentielle. En effet, on a : 1 Pf =< f(t), f (t) > T*

2

( T)

f (t)

dt =

n =

C

+

2 n

Dem :

Pf

=

1 T

(T)

f(t) f ( t ) dt

*

=

n = - m = -

C

+

+

n

C * < g n ( t ), g * ( t ) > m m

d ' o : Pf = Exemple :

n =

m

2

Cn

2t ) l a p u i s s a n c e e s t Pf = D a n s l e c a s d u s i g n a l A cos( T

n =

+

2

Cn

=

A2 2

On trouve souvent la dcomposition en sries de FOURIER sur une base de fonctions sinus et cosinus : f (t) Dem : f (t) =n n + 2 j t 2 j t Cne T + C- ne T n = - n = 1 + t t C 0 + (C n +C n ) cos(2 n ) + j (C n - C n ) sin(2 n ) T T n =1

=

a0 2

+

a n =1 +

+

n

cos(2

n n t) + b n sin(2 t) T T

Cne

+

+ 2 j

n t T

= C0 +

f (t) = d'o :

13 an bn 2 2nt ( T) f ( t ) cos( T ) dt T 2 2nt = j (C n - C n ) = ( T) f ( t ) sin( T ) dt T 1 Cn = (a - j b n ) 2 n = Cn + C n =

L e s p e c t r e d u s i g n a l , r e p r s e n t p a r l e s Cn , p e u t t r e d c o m p o s en : - Un spectre d'amplitude = - Un spectre de puissance =- Un spectre de phase = Remarques - L a d c o m p o s i t i o n e n Cn i n t r o d u i t l a n o t i o n d e " f r q u e n c e s ngatives ". Ces frquences n'ont aucun sens physique, elles permettent uniquement de simplifier le calcul. - Dans le cas o le signal f(t) est rel, le spectre d'amplitude est s y m t r i q u e c a r C n = C* n d ' o C n = C n .

CnCn2

=

1 2

a2 + b2 n n bn ) an

Arg(C n )

=

Arctg(

2) - Distributions.Nous nous intresserons, dans ce paragraphe, la distribution de DIRAC. Pour de plus amples renseignements sur la thorie des distributions, on pourra consulter les ouvrages L. SCHWARTZ et E. ROUBINE. Les distributions gnralisent numriques, en simplifiant certaines l'analyse classique. la notion de fonctions oprations effectues par

L a d i s t r i b u t i o n d e D I R A C , n o t e ( t ) , t i e n t u n e p l a c e particulirement importante en traitement du signal. En effet, elle intervient dans un grand nombre d'applications telles que l'chantillonnage, la modulation ou le filtrage. La distribution de DIRAC est aussi appele Pic ou Impulsion de DIRAC. Certains auteurs parlent abusivement de "fonction" de DIRAC et la dfinissent par :

14 ( t ) = 0 si t 0 ( t ) = + si t = 0 + - ( t ) dt = 1 Cette dfinition n'a aucun sens car une fonction presque partout nulle serait d'aire nulle.

Une approche "plus rigoureuse" consiste considrer la d i s t r i b u t i o n d e D I R A C c o m m e l a l i m i t e d e f o n c t i o n s fn ( t ) d ' a i r e unitaire et de support born : + f ( t ) dt = 1 - n ( t ) = lim f n ( t ) n +

[

]

On peut prendre par exemple une suite de fonctions rectangles : f (t) n

n 2 -1 n 1 n t

Il est vident qu'au passage la limite on obtient un "rectangle infiniment troit et infiniment haut", mais dont l'aire reste unitaire. S i l ' o n c e n t r e l e s f o n c t i o n s fn ( t ) a u t o u r d ' u n ( f n ( t - t 0 )) , l a l i m i t e d o n n e u n p i c d e D I R A C d c a l . (t) (t- to )

point

t0

0 Proprits

t

to

t

- Produit par une fonction f(t) : ( t ) f ( t ) = f ( 0) ( t ) ( t t 0 ) f ( t) = f ( t 0 ) ( t t 0 )

15 Cela signifie que l'aire associe u n i t a i r e , m a i s v a u t f ( 0 ) o u f ( t0) .- Intgration :

au

pic

de

DIRAC

n'est

plus

D'aprs les rsultats prcdents on a :

+

( t - t 0 ) f ( t ) dt

=

+

( t - t 0 ) f ( t 0 ) dt

= f (t 0 )

et bien sr

+

( t ) dt

=

+

( t - t 0 ) dt

= 1

Pour en terminer avec les distributions, on citera le peigne |_ I _ |T ( t ) . Cette distribution est constitue d'une de Dirac, not suite d'impulsions de Dirac, rgulirement espaces d'une dure T. (t)

T

-3T -2T -T|_ I _ |T ( t ) =

0

T

2T 3T

t

n =

(t

+

nT)

Le produit de cette distribution par une fonction f(t) donne une suite d'impulsions de Dirac d'aire gale f(nT) : f ( t ) |_ I_ |T ( t ) = f ( t )

n =

( t

+

- nT) =

n =

f ( nT) (t

+

- nT)

O n p o s e : fe ( t ) = f ( t ) | _ I_ |T ( t )

O n d i t q u e fe ( t ) e s t u n e f o n c t i o n c h a n t i l l o n n e .

16t -2T -T 0 T 2T T (t)

-2T

-T

0

T

2T

t

3) - Transforme de FOURIER (TF).La transformation de FOURIER est une extension de la dcomposition en srie de FOURIER, mais pour des signaux quelconques. Intuitivement on peut considrer un signal non p r i o d i q u e c o m m e u n s i g n a l d o n t l a p r i o d e T + . Ainsi la somme discrte et le facteur 1/T intervenant dans la dcomposition en srie de FOURIER deviennent respectivement une intgrale, et une petite variation de frquence df. On dfinit la Transforme de Fourier (TF), note X(f), du signal x(t) par: TF { x( t )} = X( f ) = TF-1

{ X( f )}

= x(t)

x( t ) e2jft dt + = X( f ) e +2 jft df +

X(f) est la superposition d'une infinit de s'tendent, dans le domaine frquentiel, de +. Exemple : C o n s i d r o n s l a f o n c t i o n p o r t e x ( t ) = (t)2

raies

qui

x( t )

=

- 1 si t , 2 2 0 Ailleurs

On a :X( f ) =

+

x( t ) e 2 jft

2 jft

dt

=

2

2

e 2 jft dt

[eX( f ) =

]

2 2

2 jf

=

sin( f) f

=

sinc( f)

17 x(t) X(f)

2

2

t-1

f 1

Notation : Dans la suite du cours, les signaux seront reprsents par des minuscules x, s, f, etc..., les TF correspondantes par des majuscules X, S, F, etc ... Le temps par la variable t ou et la frquence par f ou Dfinitions : - S p e c t r e d ' a m p l i t u d e = X( f ) 2 - S p e c t r e ( o u d e n s i t s p e c t r a l e ) d e p u i s s a n c e = X( f ) Im - Spectre de phase = Arctg Re Remarques : - Il est souvent plus ais d'interprter certains phnomnes physiques dans le domaine frquentiel. C'est l'intrt essentiel de la TF (Ex: poursuite Radar). montre l'existence d'une - L a s y m t r i e e n t r e l a TF e t l a TF-1 dualit entre temps et frquences. Toutes les informations contenues dans le signal sont contenues dans le spectre. - La dimension des variables t et f est la seconde et le Hertz. C e p e n d a n t o n p e u t a u s s i e x p r i m e r c e l a e n m t r e e t m t r e -1 , o n parle alors de frquences spatiales. Conditions d'existence de la TF Une fonction f(t) admet pour transforme de FOURIER la fonction F(f) si : a) f(t) borne b)

{X( f )} {X( f )}

= ( f )

-

+

f ( t ) dt

existe

c) les discontinuits de f(t) sont en nombre limit. Une grande partie des signaux tudis rpondent ces conditions. Ceci est d, en partie, au fait qu'ils sont observs sur une dure finie.

18 Attention ces conditions ne sont pas ncessaires lorsqu'il s'agit de distributions. Les fonctions priodiques ou les d i s t r i b u t i o n s ( t ) e t |_ I_ |T ( t ) o n t d e s T F . Proprits :- L i n a r i t : TF e t TF 1 s o n t d e s o p r a t e u r s l i n a i r e s .

C , x(t) + y(t) 1 . X(f ) + Y(f ) TF

TF

- Similitude : Une dilatation dans le domaine temporel correspond une contraction dans le domaine frquentiel

a R , f(at) Dem : En posant at = t'

1 f F a a

+

f (at ) e

2 jft

dt

=

1 Signe(a ) a

+

-

f (t' ) e

f 2 j t ' a

dt ' =

1 f F a a

- Translations :x( t - t 0 ) exp( 2 jft 0 ) X( f ) X( f - f 0 ) exp( +2 jf 0 t ) x( t )TF 1 TF

Dem : En posantt - t 0 = t' = e 2 jft 0 +

+

x( t - t 0 ) e 2 jft dt

x( t ' ) e 2 jft ' dt '

= e 2 jft 0 X( f )

Dmonstration identique pour la translation de frquence.- Drivation en temps :

dx( t ) 2 jf X( f ) dt d n x( t ) (2 jf) n X( f ) dt n Dem:

19d x( t ) dt n d n x( t ) dt nn

dn =

[

+

-

X( f ) e 2 jft df d tn

]

=

+

-

d n (e 2 jft ) X( f ) df d tn

= TF 1 { (2 jf ) n X( f )}

- Drivation en frquence :dX( f ) TF 1 - 2 jt x( t ) TF df n d X( f ) (-2 jt ) n x( t ) df n

- Parit :

Si x(t) est un signal rel et pair alors son spectre X(f) est rel et pair. Dem :t' = - t

X (f ) = x ( t )e

+

2 jft

dt = x ( t )e*

+

2 jft

dt =

+

x ( t ' )e 2 j( f ) t dt '

X(f ) = X( f ) X(f ) pair+ X(f ) = x ( t )e 2 jft dt = X(f )* X(f ) rel -

Si x(t) impair.

est

rel

et

impair,

son

spectre

X(f)

est

imaginaire

et

- Si x(t) est de carr sommable alors X(f) est de carr sommable Les transformes connatre

x( t ) = ( t ) X( f ) = 1 x( t ) = 1 X( f ) = ( f ) x( t ) = e + 2 jf0 t X( f ) = ( f - f 0 ) x( t ) = ( t - t 0 ) X( f ) = e 2 jft 0 1 j 0 e ( f - f 0 ) + e j 0 ( f + f 0 ) 2 1 j 0 x( t ) = sin(2 f 0 t + 0 ) X( f ) = e ( f - f 0 ) - e j 0 ( f + f 0 ) 2j n 1 1 + | _ I_ | 1 ( f ) = x ( t ) = | _ I_ |T ( t ) X ( f ) = (f - T ) T T n = T x( t ) = cos(2 f 0 t + 0 ) X( f ) =

[

]

[

]

Ces fonctions seront utilises frquemment, par la suite.Relation de PARSEVAL

20 Cette relation est comparable celle qui existe pour des signaux priodiques. Soit x(t) un signal de carr sommable (ou nergie finie ) et qui admet X(f) pour TF, on a : Wx = Dem :

+

2

x( t )

dt

=

+

2

X( f )

df

+

2

x( t )-

dt

=

[+

+

-

+ +

X( f ) X * ( f ' )

[

X( f ) e

2 jft

df

+

e 2 jt ( f ' f ) dt df df '

]

][

+

X( f ' ) e

2 jf ' t

df '

]

*

dt =

L'expression entre crochets est gale la TF de la fonction unit , c a l c u l e l a f r q u e n c e f ' - f , s o i t ( f ' f ) :

+

2

x( t )

dt

=

+

X( f )

[2

+

X * ( f ' ) ( f ' f )df ' df

]

avec :+

X * ( f ' ) ( f f ' )df ' = X * ( f )2

d ' o :+

x( t )

dt2

=

+

X( f ) df

X( f ) est appele densit spectrale d'nergie ou parfois, abusivement, densit spectrale de puissance. On peut montrer de la mme faon que, pour deux signaux x(t) et y(t), l'nergie d ' i n t e r a c t i o n Wxy v r i f i e l a r e l a t i o n :Wxy =

+

x( t ) y * (t) dt

=

+

X(f)Y * ( f ) df

21

III Convolution et Corrlation1) - Convolution.La convolution est un oprateur fondamental en traitement du signal. Il provient de la thorie des systmes linaires et invariants. Soit h(t) la rponse impulsionnelle du filtre, c'est dire la rponse du filtre lorsque l'entre est un impulsion de Dirac:(t)

FILTRE

h(t)

La relation entre une entre quelconque x(t) et la sortie y(t) du filtre est la convolution:y(t) = x( t ) * h( t ) =

+

x( u) h(t - u) du

x(t)

Filtre de rponse Impulsionnelle h(t)

y(t)

Interprtation S o i t h1 ( t ) l a r p o n s e d u s y s t m e u n e i m p u l s i o n d e l a r g e u r t 1 et de hauteur . h 1 ( t ) t e s t d o n c l a r p o n s e u n e i m p u l s i o n d e t l a r g e u r t e t d e h a u t e u r u n i t . Dcomposons le signal x(t) en h a u t e u r x ( 0 ) , x ( t ) , x ( 2 t ) , . . . , x ( k t ) . x(t) x(0) x(k t) une suite d'impulsions de

t

kt

t

La contribution apporte par chaque impulsion de hauteur x ( i t ) e s t :

22 y ( 0 ) = x ( 0 ) h 1 ( t 0) t ; y ( t ) = x ( t ) h 1 ( t - t ) t ; . . . ; y ( i t ) = x ( i t ) h 1 ( t - it ) t . En appliquant le principe l'instant t est donne par : y( t ) = de superposition, la sortie

k = -

x( kt ) h ( t1

+

- kt ) t

S i t d e v i e n t t r s p e t i t a l o r s l ' i m p u l s i o n t e n d v e r s u n p i c d e D i r a c e t , p a r c o n s q u e n t , l a r p o n s e h1 (t) t e n d v e r s l a r p o n s e impulsionnelle h(t). On trouve pour y(t):y( t ) =

+

x( u) h( t u) du

Proprits - Commutativit : - Distributivit : : - Associativit x(t)*g(t) = g(t)*x(t) [x(t) + s(t)]*g(t) = x(t)*g(t) + s(t)*g(t) [x(t)*s(t)]*g(t) = x(t)*[s(t)*g(t)]+

- ( t ) l m e n t n e u t r e : ( t ) * g ( t ) = (u)g ( t - u ) du = g ( t )-

- ( t t 0 ) l m e n t d e t r a n s l a t i o n :( t t 0 ) * g ( t ) = (u t 0 )g ( t - u ) du = g ( t - t 0 )- +

- Drivation : (x(t)*y(t))' = x'(t)*y(t) = x(t)*y'(t) On en dduit que la convolution par le peigne |_ I_ |T ( t ) a p o u r e f f e t d e p r i o d i s e r l e s i g n a l . E n e f f e t : de Dirac

+ | _ I_ | T ( t ) * g( t ) = ( t nT) * g( t ) = n = Exemple :

n =

[( t nT) * g( t )]

+

=

n =

g( t nT)

+

T T . Le produit de Soit g(t) un signal dfini sur l'intervalle , 2 2 c o n v o l u t i o n |_ I_ |T ( t ) * g ( t ) r e s t i t u e u n s i g n a l p r i o d i q u e :g(t) -T 2 T 2 g(t)* (t)

T

t

t

- Produit de convolution de Dirac:

23

( t t 1 ) * ( t t 2 ) = ( t t 1 t 2 )Exemple :Soit x( t ) =

T 2

( t ) et g( t ) =

T

( t T) . Calculons y(t) .

x(t) 1 t

g(t)

1 -T 2 d'o : g(t-u) 1 T 2

2T

t

u t-2T t

et :y(t) = x(t) * g(t) T t

-T 2

T 2

3T 2

5T 2

Thorme de PLANCHEREL Soient x(t) et y(t) deux signaux ayant pour transforme X(f) et Y(f). PLANCHEREL a dmontr que : TF( x( t ) * y( t ) ) = X( f )Y( f ) TF( x( t ) y( t ) ) = X( f ) * Y( f ) Dem :

24TF{ x( t ) * y( t )} = TF{ x( t ) * y( t )} =

+

+

+ x( u) y( t u) du e 2 jtf dt = _

+

+ x( u) y( t u) e 2 jtf dt du _

+ x( u) y( ) e 2 jf d e 2 jfu du = X( f )Y( f ) _

La seconde relation se dmontre de la mme faon. Application : Ce thorme est utilis dans de nombreuses applications. Prenons l'exemple du tlphone o le problme est de transmettre simultanment et sur un mme canal de transmission un grand nombre de messages. Considrons, dans un premier temps, un message x(t) qui occupe la bande [-4KHz, 4KHz] (bande passante de la voix humaine dfinie par les Tlcommunications). Comment translater son spectre X(f) autour des frquences fo et -fo?. Pour raliser c e l a i l s u f f i t d e m u l t i p l i e r x ( t ) p a r cos( 2 f0 t ) . D ' a p r s l e t h o r m e de PLANCHEREL on a : ( f f 0 ) + ( f + f 0 ) y( t ) = x( t ) cos(2 f 0 t) Y( f ) = X( f ) * 2 X( f f 0 ) X( f + f 0 ) y( t ) = x( t ) cos(2 f 0 t) Y( f ) = + 2 2X(f)

-4 KHz

4 KHz

f

Y(f) X(f-fo) X(f+fo)

-fo-4

-fo

-fo+4

f fo-4 fo fo+4

Cette opration est appele modulation d'amplitude sans porteuse ( MASP ), bien que fo soit appele porteuse. Il existe d'autres types de modulations (frquence, phase,...). On pourra consulter sur ce point l'ouvrage de A.SPTARU.

25 En conclusion, si l'on dsire transmettre simultanment et s u r u n e m m e l i g n e l e s s i g n a u x x1 ( t ) , x 2 ( t ) , .. , x n ( t ) , i l s u f f i t d e construire le signal y(t) : y( t ) = x 1 ( t ) cos(2 f 1 t ) + . . + x n ( t ) cos( 2 f n t ) o f1 , f2 ,..., f n s o n t l e s p o r t e u s e s a s s o c i e s x1 ( t ) , x 2 ( t ) , .. , x n ( t ) .Y(f) X 2(f-f2) X 1(f-f1) 2 -f3 -f2 -f1 f1 f2 f3 2 X 3(f-f3) 2 f

E n r c e p t i o n , p o u r r e t r o u v e r l e m e s s a g e xi ( t ) , i l f a u t f i l t r e r y ( t ) p a r u n f i l t r e p a s s e - b a n d e [ fi 4 KHz , fi + 4 KHz ] p u i s d m o d u l e r l e signal de sortie du filtre ( translation du spectre autour de l'origine des frquences ) afin que le message soit audible. Relation entre srie de Fourier et TF Soient x(t) un signal priodique de signal tronqu sur une priode dfini par : T _ T x( t ) si t , x T (t) = 2 2 0 Ailleurs

priode

T

et

xT ( t ) l e

On a : x( t ) = x T ( t ) * | _ I_ |T ( t )

d'o : X( f ) = 1 X ( f ) | _ I_ | 1 ( f ) T T T

Soit encore : (1) X( f ) = 1 T

n =

X

+

T

n f T

n T

De plus le signal x(t) tant priodique, il s'crit aussi :

26 (2)x( t ) =

n =

Cne

+

2 j

n t T

et

X( f )

=

n =

C

+

n

f

n T

En comparant les expressions ( 1 ) et ( 2 ) on trouve :

Cn

=

n XT T T

Le spectre du signal priodique est donc obtenu, un facteur prs, aprs chantillonnage du spectre du signal tronqu.

2) - Corrlation.Soient x(t) et y(t) deux signaux nergie finie, la fonction d ' i n t e r c o r r l a t i o n C xy ( ) est dfinie par :C xy ( ) =

+

-

x( t ) y * ( t ) dt

Ce produit scalaire mesure les similitudes en forme et position des signaux. Ces similitudes peuvent voluer au cours du t e m p s . O n r e m a r q u e d e p l u s , q u e C xy ( ) r e s t i t u e l ' n e r g i e d ' i n t e r a c t i o n e n t r e l e s s i g n a u x x ( t ) e t y(t - ) . S i C xy ( ) = 0 o n d i t q u e l e s s i g n a u x x ( t ) e t y ( t ) s o n t d c o r r l s ou orthogonaux. Exemple Un radar met une impulsion sinusodale x(t) sur un objet fixe et reoit le signal bruit y(t).

x(t)

y(t) Objet

Radar Emetteur - Rcepteur

27 x(t) 1 t T C xy (t) t y(t)

tL e m a x i m u m 0 d o n n e l a d i s t a n c e l ' o b j e t . E n e f f e t s i v0 e s t l a vitesse de propagation de l'onde on a :

d

=

v00 2

trajet Aller et Retour

S i x ( t ) = y ( t ) , C xx ( ) e s t a p p e l f o n c t i o n d ' a u t o c o r r l a t i o n d u signal x(t). Proprits - La fonction d'intercorrlation vrifie la relation :C xy ( ) = C * ( ) yx

Dem :C xy ( ) =

+

-

x( t ) y * ( t ) dt

C xy ( ) = d'o:

[

+ = x * ( t '+ ) y( t ' ) dt ' t - = t'

*

+

y( t ' ) x * ( t '( )) dt '

]

*

C xy ( ) = C * ( ) yx

O n e n d d u i t q u e C xx ( ) e s t s y m t r i e h e r m i t i e n n e : C xx ( ) = C * ( ) xx Et si x(t) est rel sa fonction d'autocorrlation est paire. - L ' n e r g i e t o t a l e Wx d ' u n s i g n a l x ( t ) e s t :

Wx

=

+

2

-

x( t ) dt

=

C xx (0) > 0

28 -Le thorme de Cauchy-Schwartz conduit aux relations suivantes C xx ( ) C xy ( )2

C xx (0) C xx (0)C yy (0)

Thorme de Wiener-Kintchine Soient x(t) et y(t) deux signaux nergie finie. La TF de la fonction d'intercorrlation est gale la densit interspectrale d'nergie (ou densit spectrale mutuelle ). TF C xy ( ) Dem :TF C xy ( )

{

}

= S xy ( f ) = X( f )Y * ( f )

{

}

=+

+

-

C xy ( )e 2 jf d = S xy ( f )

S xy ( f ) = S xy ( f ) =

+

+ x( t ) y * ( t ) dt e 2 jf d = - x( t ) e 2 jft dt

+

+ y * ( t ) e 2 jf d dt x( t ) - t' = t -

+

y * ( t ' ) e + 2 jft ' dt '

S xy ( f ) = X( f )

[

+

y( t ' ) e 2jft ' dt '

]

*

= X( f ) Y * ( f )2

S i x ( t ) = y ( t ) a l o r s S xx ( f ) = X( f )

.

S xx ( f ) e s t l a d e n s i t s p e c t r a l e d ' n e r g i e . C ' e s t u n e f o n c t i o n r e l l e positive.

Relation Convolution - Corrlation S i C xy ( ) e s t l ' i n t e r c o r r l a t i o n d e s s i g n a u x x ( t ) e t y ( t ) a l o r s :C xy ( ) = x( ) * y * ( )

Dem : TF C xy ( ) d'o

{

}

= S xy ( f ) = X( f ) Y * ( f )

C xy ( ) = TF 1 S xy ( f ) avec

{

}

= x( t ) * TF 1 {Y * ( f )}

29 TF 1 {Y * ( f )} =

+

Y * ( f )e 2 jf df =

[

+

Y( f )e 2 jf ( ) df

]

*

= y * ( )

3) - Cas des signaux puissance moyenne finie.Dans le cas o les signaux sont puissance moyenne finie, la convolution s'crit : 1 lim T + T

x( t ) * y( t ) =

T 2 T 2

x( u) y( t u) du

De mme la corrlation est dfinie par : 1 C xy ( ) = lim T + T

2T x( t ) y* ( t ) dt 2

T

mme

Si de plus les x(t) et y(t) sont priodiques et de p r i o d e T0 , o n p e u t s i m p l i f i e r l e s e x p r e s s i o n s p r c d e n t e s :x( t ) * y ( t ) = C xy ( ) = 1 T0 1 T0

2

T0 2 T0 2

x( u) y( t u) du

T0 2 T0

x( t ) y * ( t ) dt

Densit interspectrale de puissance La TF de la fonction d'intercorrlation de deux signaux puissance moyenne finie est appele densit interspectrale de p u i s s a n c e S xy ( f ) TF C xy ( )

{

}

= S xy ( f )

Soient x(t,T) et y(t,T) deux signaux nergie finie dfinis par : x( t ) si t x( t , T) = 0 Ailleurs T T , 2 2 et y( t , T) = y( t ) si t 0 Ailleurs T T 2 , 2

x(t) et y(t) sont tels que : x( t ) =T +

lim {x( t , T)}

et y( t ) =

T +

lim { y( t , T)}

Soient X(f,T) et Y(f,T) les transformes de x(t,T) et y(t,T). On dmontre que:

30S xy ( f ) = X( f , T) Y * ( f , T) lim T + T

Dem : L a p u i s s a n c e t o t a l e Pxy e s t : (1)Pxy =

+

-

S xy ( f ) df

Mais aussi :Pxy = lim 1 T

T +

T 2 T 2

x( t ) y * ( t ) dt =

T +

lim

1 T

+

-

x( t , T)y * ( t , T) dt

d'o, en appliquant la relation de PARSEVAL pour les signaux nergie finie x(t,T) et y(t,T) : (2) Pxy = lim 1 T

T +

+

-

X( f , T)Y * ( f , T) df

En identifiant (1) et (2) :S xy ( f ) = X( f , T)Y * ( f , T) lim T T

Si x(t) = y(t), la densit spectrale de puissance est: S xx ( f ) =2 1 lim X( f , T) T + T

4) - Analyse spectrale.L'analyse spectrale des signaux tient une place importante dans un grand nombre d'applications ( Tlcommunications, Gophysique, Biochimie,..). On peut citer comme exemple, l'analyse spectrale de signaux de parole qui fournit une indication sur le sexe du locuteur. En effet, les signaux de parole sont en grande partie voiss (quasi-priodiques). La hauteur de la frquence fondamentale est d'environ 100-150 Hz pour un homme, 150-250 Hz pour une femme et peut aller jusqu' 400 Hz pour un enfant. Un autre exemple est celui de la poursuite d'une cible mobile. Le signal rflchi par la cible fournit des informations sur la vitesse et la position de l'objet. Ambigut: Dure d'un signal-Largeur spectrale.

31 En thorie un signal de dure finie ( support born ) possde un spectre de largeur infinie ( support infini ). Corrlativement, un spectre support born correspond un signal de dure illimite. Exprimentalement, le problme est le suivant: "Comment tudier un signal, sur une dure limite T ( donc avec un spectre support infini ), avec un instrument qui a une bande passante finie ?". Il est vident que, si la puissance du signal dcrot rapidement en fonction de la frquence, on a intrt utiliser un instrument dont la bande passante est trs suprieure la bande utile du signal. L'effet du filtrage ( passage du signal dans l'instrument ) est alors rduit. La notion de bande utile est lie l'application. Soit x(t) un s i g n a l d ' n e r g i e t o t a l e Wx e t d e d e n s i t s p e c t r a l e d ' n e r g i e S xx ( f ) . O n d f i n i t l a b a n d e u t i l e Bu p a r :F = 1 Wx

+

f 2 S xx ( f ) df

et

Bu = 2 F

avec choisi arbitrairement. Sxx(f)

F

Bu

f

D e m m e o n d f i n i t l a d u r e u t i l e Du d ' u n s i g n a l x ( t ) p a r :

D u = 2Tet :T = 1 Wx

avec

choisi arbitrairement.

+

t 2 x 2 ( t ) dt

32 x (t)2

T

Du t

En utilisant la relation relation d'incertitude :

de

Cauchy-Schwartz

on

en

dduit

la

B u D u Cte Cette relation montre qu'un signal (resp. un spectre) fluctuations rapides possde un spectre (resp. un signal) large. Dem : En utilisant la relation de Cauchy-Schwartz :

+

t x( t )

dx( t ) dt dt

2

+

-

t 2 x( t ) dt

2

+

-

dx( t ) dt dt

2

En intgrant par partie, on trouve :

+

t x( t )

dx( t ) dt = dt

1 [ t x 2 ( t )] + 2

1 2

+

x 2 ( t ) dt =

-

Wx 2

de plus :

+

dx( t ) dt

2

dt = 4 2

+

f 2 S xx (f) df = 4 2 Wx F 2

d'o :Wx2 4 4TF Wx T 2 4 2 Wx F 2 1 d' o D u Bu

Fentres d'observation. L'analyse d'un signal ne peut s'effectuer que sur une dure f i n i e t 0 , t1 . S i x ( t ) e s t l e s i g n a l i n i t i a l , l e s i g n a l o b s e r v s ( t ) s'crit :

33 s(t) = x(t)f(t) o f ( t ) e s t n u l l e e n d e h o r s d e t 0 , t1 . f ( t ) d'observation ou fonction de pondration. Exemple : Fentre rectangulaire 1 si t t 0 , t 1 f (t) = 0 Ailleurs est appelefentre

[

]s(t) = x(t) f(t) 1 t1 t0

x(t)

t

t

La fentre idale est celle qui ne modifiera pas le spectre X(f) du signal x(t), c'est dire telle que : S( f ) = X( f ) * F( f ) = X( f ) on en dduit :F( f ) = ( f ) f ( t ) = 1

L a f o n c t i o n u n i t ( f ( t ) = 1) d f i n i e s u r ] ,+[ n ' e s t p a s u n e fentre. On en dduit cependant que la transforme de Fourier d'une fentre "satisfaisante", c'est dire modifiant peu X(f), doit s'approcher du pic de Dirac. La fonction Porte

T 2

(t) , a p p e l e a u s s i f e n t r e n a t u r e l l e f u t l a

premire utilise. Sa transforme P(f) est : P(f) = TF T ( t ) 2 = T sinc( fT)

P(f) est constitu d'un lobe principal et de lobes secondaires. Comme on le verra, toutes les transformes de Fourier de fentres de pondration possdent un lobe principal et des lobes secondaires .

34 P(f) Lobe principal

f1 1 T

f

Lobes secondaires Pour restituer au mieux le spectre X(f), il faut que le lobe principal soit le plus troit possible. De plus pour viter une dispersion (leakage) de l'nergie vers des frquences loignes, il faut que les lobes secondaires soient faibles. Pour comparer les diffrentes essentiellement deux critres: fentres on utilise

- La largeur de Bande mi-hauteur : B - L ' a m p l i t u d e r e l a t i v e d u 1er l o b e s e c o n d a i r e : Q Q = 20 Log 10 P( f 1 ) P(0)

O P ( f1 ) e s t l ' a m p l i t u d e m a x i m a l e d u 1er l o b e s e c o n d a i r e . 1 et Q= -13 dB. Dans le cas de la fentre naturelle on trouve B = T B dfinit la rsolution ou pouvoir sparateur du spectre. Si X ( f ) e s t c o n s t i t u d e d e u x r a i e s a u x f r q u e n c e s t r s p r o c h e s f1 e t f2 ( f1 f2 < B ) , i l n e s e r a p a s p o s s i b l e d e l e s d i s t i n g u e r . S(f)

f1

f2

f

La fentre naturelle est peu utilise, en analyse spectrale, car elle prsente des lobes secondaires de forte amplitude. Un

35 trs grand nombre de fentres ont t proposes. Celles ci sont gnralement choisies en fonction de l'application. Fentre de Bartlett (1950): Elle correspond la fonction triangle T (t) :2

t T T 1 - 2 si t , T (t) = 2 T 2 0 Ailleurs 2 avec:

T (t) =2

2 T

T 4

(t) *

T 4

(t)

d'o: TF T ( t ) = 2 On a: B = T T sinc 2 f 2 2 2 et Q = -26 dB T

Fentre de Hanning : (J. VAN HANN) Elle est dfinie par :2 t 1 T T H N ( t ) = (1 + cos ) si t - , 2 T 2 2 H N ( t ) = 0 Ailleurs

B =

2 et Q = -32 dB T

H N (t)

-T 2

t T 2

H N (f ) =

1 1 1 1 1 P( f ) + P f + + P f , avec: P( f ) = TF T ( t ) 2 4 T 4 T 2

36 Fentre de Hamming : R.W. HAMMING a tudi une famille de fonctions dfinies par:2 t T T H m ( t ) = + (1 - ) cos( ) si t - , T 2 2 H m ( t ) = 0 Ailleurs

L a v a l e u r d e q u i m i n i m i s e Q e s t = 0 , 5 4 . O n a a l o r s B =Q = -52 dB . P o u r = 1 , on retrouve la fentre de HANNING. 2

2 et T

5) - Filtrage.Soit S un filtre de rponse impulsionnelle h(t). Soient x(t) l'entre de ce filtre et y(t) la sortie : y(t)=h(t)*x(t) On appelle chelon. y ind ( t ) =rponse

et

Y(f)=H(f)X(f) la rponse du filtre un

indicielle,

1 si t 0 h(t) * u(t) avec u(t) = 0 ailleurs La rponse indicielle s'obtient impulsionnelle. En effet : y ind ( t ) = y ind ( t ) =t' = t -

en

intgrant

la

rponse

+

- t

u( ) h( t ) d = h( t ' ) dt '

+

0

h( t ) d

-

d'o :y ind ( t ) =

t

-

h( t ' ) dt '

H(f) est la fonction de transfert et H(0), le gain statique du filtre. Un filtre est dit ralisable si sa rponse impulsionnelle est c a u s a l e ( h(t) = 0 , t < 0 ) . C e c i t r a d u i t l e f a i t q u ' i l n e p e u t y avoir d'effets avant la cause. On appelle rponse harmonique, la rponse du filtre une entre de type : x( t ) alors : y( t ) d'o : = = e 2 jf0 t e 2 jf0 t * h( t )

37 Y(f) = (f-fo)H(f) = H(fo) (f-fo) soit, aprs transformation inverse : y( t ) y( t ) = H(f 0 )e 2 jf0 t = H ( f 0 ) x( t ) = H ( f 0 ) e j ( f0 ) x( t )

Cette relation est intressante pour l'identification des systmes. En effet, lorsque le filtre est inconnu ( Boite Noire ), i l s u f f i t d e f a i r e v a r i e r f0 e t d ' o b s e r v e r l a s o r t i e y ( t ) p o u r connatre les caractristiques frquentielles du filtreDrivation :

( H(f ) ,0

( f 0 ) .

)

Soit y(t) la sortie d'un filtre, de rponse impulsionnelle h(t).

y' (t) = x' (t) * h(t) = x(t) * h' (t)Dem : TF{ y' ( t )} = Y( f ).2 jf = 2 jf . X( f ). H ( f )

TF 1 [2 jf . X( f )] H ( f ) et 1 TF [2 jf . H ( f )] X( f ) Stabilit :

{ {

}= }=

x' ( t ) * h( t ) h' ( t ) * x( t )

Un filtre est stable si pour toute entre borne, la sortie reste borne. On peut montrer qu'une condition ncessaire et suffisante pour qu'un filtre soit stable est que sa rponse impulsionnelle soit absolument intgrable :

Filtres cascades :

+

h( ) d existe .

C o n s i d r o n s N f i l t r e s F1 , F2 , .., FN h1 ( t ) , h 2 ( t ) , .. , h N ( t ) . x(t) h 1 (t) h 2 (t) h 3 (t)

de rponse impulsionnelle

hN(t)N

y(t)

y( t ) = x( t ) * h 1 ( t ) * h 2 ( t ) * . . . * h N ( t ) Frquence de coupure :

et

Y ( f ) = X( f )

H (f )i i = 1

38 L a d f i n i t i o n d e l a f r q u e n c e d e c o u p u r e Fc e s t : En Traitement du signal :Fc

est telle que :

f > Fc ; H ( f ) = 0 .

En Automatique :Fc e s t t e l l e q u e : H ( Fc ) = 1 .

En Electronique : F c e s t t e l l e q u e : H ( Fc )2

Max H ( f ) = 2

(

2

)

.

39

IV Echantillonnage1) - Echantillonnage idal.L'volution constante, observe depuis 15 ans dans le domaine des circuits intgrs, a transform le monde des applications. En effet, la puissance des calculateurs, et plus particulirement des processeurs spcialiss en traitement du signal, permet de traiter numriquement un grand nombre de problmes. Rendant obsoltes certains traitements analogiques. De plus le numrique autorise des oprations interdites en analogique (Filtrage Non-Causal, modulation temporelle, ...). Cette numrisation du signal ncessite dans un premier temps l'chantillonnage du signal puis sa quantification . - L'chantillonnage correspond une discrtisation en temps du signal. - La quantification permet d'associer une valeur numrique l'chantillon prlev. C'est une discrtisation en amplitude. Les valeurs discrtes obtenues sont codes sur un ou plusieurs bits.x(t)

t -Te T 2T e e

L'objectif du traitement numrique du signal est d'extraire les informations contenues dans le signal analogique initial x(t). Il est donc impratif de conserver ces informations aprs chantillonnage. Pour cela nous tudierons les diffrentes oprations temporelles et frquentielles effectues.xe ( t ) le signal Soient x(t) le signal analogique et c h a n t i l l o n n . S o i e n t Te l a p r i o d e d ' c h a n t i l l o n n a g e e t Fe = 1 Te l a f r q u e n c e d ' c h a n t i l l o n n a g e . L e s i g n a l xe ( t ) e s t o b t e n u p a r multiplication de x(t) par un peigne de Dirac.

x e ( t ) = x( t ) | _ I_ |T ( t ) = x( t ) ( t - n Te )-

+

40 d'o : x e (t) =n = -

x( nT )( t - n T )e e

+

Pour ne perdre aucune information, t r a n s f o r m a t i o n ( x( t ) x e ( t ) ) s o i t r v e r s i b l e . D t e r m i n o n s l e s p e c t r e Xe ( f ) d u s i g n a l xe ( t ) :X e (f ) = TF{x e ( t )} = TF{x ( t ) | _I_ |Te ( t )} X e (f ) = X(f ) * TF{| _I_ |Te ( t )} = X(f ) * X e (f ) = 1 Te 1 Ten =

il

faut

que

cette

f T

+

n e

n =

X(f ) * f T

+

n e 1 Te

X e (f ) =

n =

X f

+

n Te

C e t t e r e l a t i o n m o n t r e q u e Xe ( f ) e s t o b t e n u e , u n f a c t e u r p r s ( 1 Te ) , p a r u n e s i m p l e p r i o d i s a t i o n e n f r q u e n c e d u s p e c t r e X( f ) . L e s p e c t r e e s t r e p r o d u i t t o u s l e s Fe = 1 Te . C e t t e p r i o d i s a t i o n p e u t s'effectuer suivant trois cas de figures:1 ) : X( f ) e s t s u p p o r t b o r n , s a f r q u e n c e d e c o u p u r e e s t Fc e t Fe > 2 Fc .

X(f)

Te Xe(f)

-Fc

Fc

f

-2Fe

-Fe

-Fc

Fc

Fe

2Fe

f

On constate qu'au prix d'un simple filtrage passe-bas idal, d e f r q u e n c e d e c o u p u r e Fe / 2 , o n r e t r o u v e X( f ) , d o n c x ( t ) : Les informations initiales ne sont pas perdues. L a t r a n s f o r m a t i o n ( x( t ) x e ( t ) ) e s t r v e r s i b l e . On a correctement chantillonn le signal.2 ) : X( f ) e s t s u p p o r t b o r n , s a f r q u e n c e d e c o u p u r e e s t Fc Fe < 2 Fc et

41 X(f) Te Xe(f)

-Fc

Fc

f

-2Fe -Fe

Fe 2Fe

f On ne peut pas

I l e s t c l a i r q u e l e s p e c t r e i n i t i a l X( f ) e s t d f o r m . o b t e n i r X( f ) p a r t i r d e X e ( f ) , d o n c :

Les informations initiales sont perdues. La transformation est irrversible. On a mal chantillonn le signal. Remarque : S i a p r s l ' c h a n t i l l o n n a g e l e s s p e c t r e s t r a n s l a t s X( f ) s e chevauchent, on dit qu'il y a repliement spectral, recouvrement spectral ou encore "aliasing".3 ) : X( f ) e s t s u p p o r t n o n - b o r n .

Dans ce cas, il est vident qu'il y aura repliement spectral. X(f) Te Xe(f)

f Il apparat donc impossible d'chantillonner un tel signal.

f

En pratique, on filtrera le signal x(t) par un filtre passe bas d e f r q u e n c e d e c o u p u r e Fc , p u i s o n c h a n t i l l o n n e r a l e s i g n a l d e s o r t i e d u f i l t r e u n e f r q u e n c e Fe > 2 Fc . x(t) Filtre Passe-Bas Fc y(t) Echantillonneur Fe ye (t)

T H E O R E M E D E S H A N N O N : " U n s i g n a l x ( t ) s p e c t r e X( f ) born sur l'intervalle [-Fc,Fc] est correctement chantillonn si Fe > 2 Fc . "

Exemple : x( t ) = cos(2Fo t ) Fc = Fo et Fe > 2 Fo .

42

2) - Reconstruction du signal.P o u r r e t r o u v e r x ( t ) p a r t i r d u s i g n a l c h a n t i l l o n n xe ( t ) , s u p p o s e r a q u e l e s i g n a l a t c o r r e c t e m e n t c h a n t i l l o n n ( Fe > ) . D t e r m i n e r x ( t ) r e v i e n t i s o l e r X( f ) d a n s X e ( f ) . C e c i p o s s i b l e e n m u l t i p l i a n t X e ( f ) p a r u n e p o r t e e n f r q u e n c e Fe ( f )2

on 2 Fc est de

h a u t e u r Te :X( f ) = Te X e ( f )

Fe 2

(f )

Fe 2

(f)

Te Xe(f) 1

-2Fe

-Fe

-Fe 2

Fe 2

Fe

2Fe

f

x( t ) x( t ) x( t ) x( t )

TF 1 {X( f )} = Te TF 1 X e ( f ) = Te x e ( t ) * TF 1 Fe ( f ) 2 = = Te+ n =

Fe 2

( f )

x( nT )( te e

+

nTe ) * Fe sinc ( Fe t )

=

n =

x( nT ) (( t

nTe ) * sinc ( Fe t ))

d'o : x( t ) =n =

x( nT ) sinc (e

+

Fe ( t nTe ))

C'est la formule d'interpolation de SHANNON. Remarques : 1) Cette formule n'est pas utilisable en temps rel car elle ncessite la connaissance l'instant t de tous les chantillons ( + ) . 2)Sur-chantillonner n'apporte aucune information supplmentaire. 3 ) L e s f o n c t i o n s s n ( t ) = sinc ( Fe ( t nTe )) s o n t o r t h o g o n a l e s . O n e n dduit que toute fonction spectre born [-Fc,Fc] peut tre d c o m p o s e s u r l a b a s e {s n ( t )} .

43 4 ) E n s u p p o s a n t sn ( t ) t r s p e t i t l o r s q u e n c r o t , o n a p p r o c h e l a formule d'interpolation en tronquant la formule un petit nombre d'chantillons.x( t )

N n= 2

x( nT ) sinc (e

N 2

Fe ( t nTe ))

Formule de POISSON S o i t X( f ) l a T F d e x ( t ) . S o i t T u n r e l q u e l c o n q u e , o n a :

p =

x( pT)

+

=

1 T

q =

X T

+

q

Dem :

p =

+

+

x( pT) x( pT)

= =

p =

+

+

+

X( f ) e 2 jfpT df

p =

+ X( f ) e 2 jfpT df p =

avec I( f ) = Par suite I( f ) = TF{| _ I_ |T ( t )} = d ' o :p = + + p =

e

+

2 jfpT

TF

1

{I( f )}

=

p =

( t

+

+ pT) =

| _ I_ |T ( t )

1 | _ I_ |T ( f ) = T q X( f ) f df T 1 T

1 T

q =

f

+

q T

x( pT)

=

1 T+

q =

+

Soitp =

x( pT)

=

q =

X T

+

q

3) - Sous-chantillonnage.On appelle sous-chantillonnage, l'chantillonnage d'un signal une frquence infrieure celle de SHANNON, c'est d i r e t e l l e q u e Fe < 2 Fc . C e c i n ' e s t p o s s i b l e q u e d a n s l e c a s suivant. Soit x(t) un signal dont le spectre est nul en dehors des b a n d e s [ F0 B , F0 + B ] [ F0 B , F0 + B ] . ( E x : M o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e d e p o r t e u s e F0 ) .

44 X(f) X_ X+

-Fo-B

-Fo

-Fo+B

Fo-B

Fo

Fo+B

f

d e s s p e c t r e s e n t r e l e s b a n d e s [ F0 B , F0 + B ] e t [ F0 B , F0 + B ] , e n t r a n s l a t a n t l e s m o t i f s X+ e t X d a n s c e t t e b a n d e e t e n p r e n a n t s o i n q u e X+ e t X n e s e c h e v a u c h e n t p a s . S u p p o s o n s q u e l a k ime t r a n s l a t e d e X p r c d e X + , s a n s r e c o u v r e m e n t , e t q u e l a k +1ime t r a n s l a t e s u i v e X + , t o u j o u r s s a n s recouvrement : X(f) kFe X_-Fo-B -Fo -Fo+B Fo-B Fo

O n s u p p o s e q u e F0 >> B , l e s i g n a l e s t d i t b a n d e t r o i t e . Selon SHANNON, on devrait chantillonner x(t) avec une frquence Fe > 2 ( F0 + B ) . C e p e n d a n t , o n p e u t e x p l o i t e r l a n u l l i t

Fe X+Fo+B

f

kFe-Fo+B

(k+1)Fe-Fo-B

Les bornes de ces translates doivent vrifier les relations : k Fe F0 + B < F0 B ( k + 1) Fe F0 B > F0 + B

S o i t p o u r Fe , l a c o n d i t i o n : 2 ( F0 + B) 2 ( F0 B) < Fe < k +1 k Il faut de plus que :2 ( F0 + B) k +1 < 2 ( F0 B) k

On obtient la condition suivante sur k:

45 k < Exemple : S i F0 = 10 Hz et B = 5 10 HzSi k = 99 Si k = 24 6 3

F0 B 2B

avec k N

alors

2,01 10 6 1, 99 10 6 k 1

On veut que la distorsion sur X(f) due H(f), soit infrieure 1 % , p o u r l a f r q u e n c e Fc . C ' e s t d i r e : X( Fc ) - X( Fc ) H ( Fc ) X( Fc ) Soit:1 H ( Fc ) < 1 % 1 sinc ( Fc ) = 1 sinc < 1 % 2

< 1%

d ' o sinc > 0,99 2 ou encore par dveloppement limit : 1 1 6 2 2

> 0,99

< 0,16

47 Exemple : Si on chantillonne la limite de SHANNON = 1 soit < 0,16 L'ouverture 0,16 Te . d e l a p o r t e n e p e u t d o n c t r e s u p r i e u r Te , s o i t 1 2 Fc on a :

< 0,16 Te et Te =

< 0,16 Te

Te max 0,16 et = Te avec Te = 1 13,2 Fc

S i p a r c o n t r e , o n a max = 1 alors = Application

Une application de l'chantillonneur moyenneur est la Modulation par Impulsions Codes (MIC). Pour diminuer les cots de la transmission tlphonique de signaux numrique, on utilise un mme chantillonneur pour plusieurs voies. On procde de la faon suivante : - soient Te l a p r i o d e d'ouverture de la porte et transmettre. m1(t) d'chantillonnage, le temps m1 ( t ), m2 ( t ), ..., m N ( t ) l e s s i g n a u x

m (t)2

0

Te m3(t)

t

Te +

t

2

t

48 A c h a q u e f i n d ' a c q u i s i t i o n d ' u n c h a n t i l l o n d u m e s s a g e mi ( t ) l ' c h a n t i l l o n n e u r c o m m u t e s u r l e m e s s a g e mi +1 ( t ) . O n u t i l i s e a i n s i l ' c h a n t i l l o n n e u r d u r a n t t o u t e l a p r i o d e Te ( = 1 2 5 s ) . S i = 4 s T a l o r s l e n o m b r e d e s i g n a u x t r a n s m i s e s t N = e = 30 + 1. C e s y s t m e est appel MIC 30 Voies ( + 1 voie de synchronisation ). Reconstitution pratique du signal : De mme que l'chantillonnage idal est irralisable, la reconstitution du signal x(t) partir de la formule d'interpolation de Shannon est impossible. On utilise donc des interpolateurs plus simples. Appelons y(t) le signal reconstitu.Interpolateur d'ordre 0 ou "Bloqueur ".

y(t) est constant par morceaux. x(t) y(t)

Te

t

y( t ) = x e ( kTe ) ou encore :y( t ) =k =

pour t kTe , ( k + 1) Te

[

[

x

+

e

Te ( kTe ) Te t kTe 2 2

Posonsh( t ) =

+ +

Te 2

Te t alors : 2e

y( t ) = y( t ) =

k =

x x

( kTe ) h ( t kTe ) ( kTe ) ( t kTe ) * h( t )

k =

e

y( t ) = x e ( t ) * h( t ) d'o : Y( f ) = X e ( f ) H ( f )

49 Comme pour l'chantillonnage pratique, on remarque que Xe ( f ) e s t m o d i f i p a r H ( f ) . L a d i s t o r s i o n s e r a d ' a u t a n t p l u s f a i b l e que le spectreH(f )

(=

sinc ( f Te

)

sera tendu, c'est dire que

Te

sera petit. On a donc, dans ce cas, intrt sur-chantillonner le signal ( Fe>>2Fc ). Remarque : Pour avoir Y(f)=X(f), il faut que H(f) soit une porte de demi-largeur Fe/2. Par consquent, h(t) doit tre un sinus cardinal. On retrouve la formule d'interpolation de SHANNON.Interpolateur d'ordre 1.

Les points sont relis par une droite. x e (( k + 1) Te ) x e ( kTe ) y( t ) = x e ( kTe ) + ( t kTe ) Te

x(t) y(t) t

50

V Transforme de Fourier Discrte (T.F.D)1) Transforme de priodique et discret. Fourier d'un signal

S o i t x ( t ) u n s i g n a l d f i n i a u x i n s t a n t s kTe , p r i o d i q u e e t d e p r i o d e T = NTe :+ x( t ) = x(kTe ) (t - kTe ) k = - x( t + NTe ) = x(t)

L e s i g n a l t r o n q u s u r u n e p r i o d e , xT ( t ) , s ' c r i t :N 1

x T (t) = d'o

x(kTe ) ( t kTe )N 1

k=0 +

x(t) = x T ( t ) * T (t) = Alors X(f) = X( f ) =

x(kTe ) ( t kTe ) * n f NTe

k=0 +

n = -

(t - nT)

x(kT ) ee k=0

N -1

- 2 jfkTe

1 NTe

n = -

1 NTe

n = -

+

nk n - 2 j N x(kTe ) e f - NT k = 0 e N -1

S o i t X( n) =

N -1

x(kTe ) e

- 2 j

kn N

k=0

X( f ) =

1 NTe

n = -

X(n) f

+

-

n NTe

prvu, le spectre n'est dfini qu'aux frquences 1 1 ( car le signal est priodique (T) ). De plus = multiples de NTe T l e s i g n a l x ( t ) t a n t d i s c r e t ( Te ) , l e s p e c t r e e s t p r i o d i q u e e t d e 1 = Fe priode Te Dem :

Comme

51 1 1 X f + = Te NTe

n = -

+

( N n) X(n) f + NTe

Si N-n=-n' X f + 1 = Te 1 NTe

n' = -

+

X(n'+N) f

n' NTe

AvecX( n '+ N ) =

N -1

x(kTe ) e

- 2 j(n'+N)

k N

=

N -1

x(kTe ) e

- 2 j

n' k N

k=0

k=0

d'o X( n'+ N ) = X(n' ) et 1 X f + = X(f) Te

Conclusion : Le spectre X(f) est entirement dfini par les raies X(n), pour n variant de 0 N-1. X(f)

0 1

N-1 N

n NTe

2) - Transforme de Fourier Discrte (TFD).Dfinition : La transforme de Fourier discrte, sur N points, du signal discret x(k) est dfinie par : T F D N {x(k)} = X(n) = avec WN = e2 j N

x(k) Wk=0

N -1

- nk N

= Facteur de Rotation.

Les notations x(k) (chantillonnage temporel) et Remarque : X(n) (chantillonnage frquentiel) sont abusives. On devrait crire:

52 x( kTe ) X( n f ) 1 1 = NTe T raies du spectre.f

a v e c f =

f e s t l ' c a r t e n t r e d e u x rsolution ou pas en frquence

est

appel

PropritsN N . WN k = 1; WN2 = -1 N

. WN2

k

k = (-1) k ; WN k = WN

- L a T F D N {x( k )} e s t p r i o d i q u e s u r N p o i n t s . - La formule d'inversion est donne par : x( k ) = T F D-1 N

{X( n)}

= T F D I N {X( n)} =

1 N

N -1 + X( n) WN nk

n=0

On en dduit que x(k) = x(k+N). - Si x(k) est rel alors :X( N - n) = X(-n) =

N -1 + x(k) WN nk *

k=0

N -1 X( N - n) = x(k) WNnk k = 0

X( N - n) = X(n) * Cette proprit est particulirement importante pour les applications, car elle permet de diviser par 2 le temps de calcul. En effet, la connaissance de X(n) pour n allant de 0 N/2 suffit calculer X(n), pour tout n. Lien entre TF et TFD Hlas, les signaux physiques ne sont pas aussi coopratifs (discrets et priodiques). Ils sont le plus souvent quelconques (continus et apriodiques). Pour tudier ces signaux, l'aide d'une TFD, il faut procder un chantillonnage, une troncature, puis une priodisation du signal. On peut alors appliquer la T.F.D. Ces trois oprations ont pour effet de modifier le spectre X(f) du signal x(t). Ex : S i x ( t ) = e at u( t ) , a v e c a > 0 e t u ( t ) = c h e l o n , a l o r s :

53 X( f ) = 1 a + 2jf etX( f ) = 1 a 2 + 4 2 f 2

Signalx(t)

SpectreX(f)

t

f

A p r s c h a n t i l l o n n a g e u n e p r i o d e Te :xe (t) = x(t) (t) 1 Xe (f) = X(f)* Te1 (f) Te

Te

0

Te

t

-Fe

Fe Recouvrement spectral

f

Aprs troncature du signal sur N points :xeTr (t) = xe(t)NTe 2

( t - NTe ) 2

XeTr (f) = Xe(f)* sinc

0

Te

(N-1)Te

t " Clapotis " d la convolution par le sinus cardinal

f

Aprs priodisation du signal:

54xeTr (t) *NTe

(t)

1 NTe

XeTr (f)

1 NTe

(f)

0

Te

NTe

t

0

1 NTe

(N-1)Te NTe

f

Remarques : - Si le signal est dj dure limite alors, le clapotis disparat, seul le phnomne de recouvrement subsiste. - Pour attnuer les clapotis on utilise en pratique des fentres de pondration discrtes (Cf Ch.III-4: Analyse spectrale) telles que: . H a n n i n g = w( k) = 1 2 k 1 - cos N , 2 k -N / 2 , N / 2

k 0, N -1

. Bartlett

=

w(k) = 1 -

k 0, N -1

L a t r a n s f o r m e X p ( n) d u s i g n a l x ( k ) p o n d r e s t : X p ( n) =

N -1 w(k) x(k) WNnk

k=0

Cas des signaux continus priodiques Prenons l'exemple du signal x(t) dfini par : x( t ) = cos(2 f 0 t ) a l o r s X( f ) = 1 (f - f 0 ) + (f + f 0 ) . 2

[

]

A p r s t r o n c a t u r e d u s i g n a l , s u r u n e d u r e T = N Te , l e s p e c t r e X ( f ) e s t l a s o m m e d e d e u x s i n u s c a r d i n a u x c e n t r s e n f0 e t f0 . A p r s c h a n t i l l o n n a g e u n e f r q u e n c e Fe , l e s p e c t r e d e v i e n t priodique. X(f) est finalement reprsent, sur la bande de f r q u e n c e [ 0 , Fe ] , p a r :

55 X(f) N 2

Fo 1 NTe 1 NTe

Fe-Fo

f

Fo -

Fo +

Deux cas se prsentent pour le calcul de la T.F.D. p , a v e c p e n t i e r [0, N - 1] , a l o r s l e s p e c t r e X ( n ) e s t N Te donn par : S i f0 =N si n = p ou n = N - p X( n) = 2 Ailleurs 0

D a n s c e c a s l a p ime c o m p o s a n t e c o r r e s p o n d e x a c t e m e n t l a n correspondent alors aux f r q u e n c e f0 . L e s r a i e s l o i g n e s d e N Te zros du sinus cardinal. p , p N. N Te Dans ce cas X(n) correspond un chantillonnage de X(f), tel que : S i f0 X(n) N 2

np-1 Fo p NTe NTe NTe

Conclusion:

priodique sont p . C'est dire si i d e n t i q u e s , u n t e r m e d ' a m p l i t u d e p r s , s i f0 = N Te

La

TF

et

TFD

de

ce

signal

56 l'on tronque N Te = p T0 ) . le signal sur un nombre entier de priodes (T =

3) - Convolution discrte.Comme nous le verrons, dans le chapitre suivant, il existe un algorithme de calcul rapide de la TFD appel Transforme de Fourier Rapide (TFR). Nous allons essayer, dans ce paragraphe, de dterminer une relation entre convolution et TFD. Cette relation permet de considrablement diminuer le temps de calcul de la convolution, si l'on utilise la TFR. Cas des signaux priodiques. Soient x(k) et y(k) deux signaux priodiques et de priode N. Le produit de convolution de ces signaux est donn par : z( k ) = x(k) * y(k) =

i=0

N -1

x(i) y(k - i)

On peut montrer que la TFD de z(k) est :Z( n) = T F D {z(k)} = X(n) Y(n)

Dem :Z( n) = T F D {z(k)} Z( n) = N -1 = x(i) y(k - i) WNn k k = 0 i = 0 N -1

i=0

N -1

N -1 x(i) y(k - i) WNn k k = 0

Posons k - i = k' Z( n) =

i=0

N -1

N -1- i x(i) y(k' ) WNn k' WNn i k' = -i

soit S :N -1- i

S =

y(k' ) WNn k' =

k' = -i

-1

y(k' ) WNn k' +

N -1- i

-1 y(k' ) WN

k' = -i

k=0

Comme y(k') est priodique sur N points S = d'o

N -1 y(k' ) WNn k' +

N -1- i

y(k' ) WNn k'

k' = N - i

k' = 0

57 S =

N -1 y(k' ) WNn k' = Y(n)

k' = 0

Par suite : Z( n) =

i=0

N -1 x(i) WNn i Y(n) = X(n) Y(n)

On peut donc calculer le produit de convolution partir du calcul de trois TFD, dont une inverse: z( k ) = T F D -1 T F D{x( k )} T F D{ y( k )} Cas des signaux dure finie. S o i e n t xT ( k ) e t yT ( k ) d e u x s i g n a u x d f i n i s r e s p e c t i v e m e n t s u r Nx e t Ny p o i n t s . P o u r c a l c u l e r l e p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n , l ' a i d e d e l a r e l a t i o n p r c d e n t e , i l f a u t p r i o d i s e r xT ( k ) e t yT ( k ) s u r u n e mme priode N. On pourra alors calculer les TFD sur les signaux priodiques et en dduire z(k). Le problme est : "Comment choisir N?". Prenons l'exemple de deux signaux dfinis par: 2 si k [0,5] x T ( k) = 0 Ailleurs A v e c Te = 1 e t N x = N y = 6 xT (k) 2 1 k 0 1 et : z T (k) = xT (k) * yT (k) 12 k 0 1 5 6 10 5 6 0 1 5 6 k yT (k) ; 1 si k [0,5] y T (k) = 0 Ailleurs

{

}

zT ( k ) e s t d f i n i s u r N ( = 1 1 ) p o i n t s . C ' e s t d i r e a v e c N = N x + N y - 1 . Soient x(k) et y(k) les signaux priodiques.

58- Si N = 11x(k) 2 1 k 0 1 5 6 11 0 1 5 6 11 k y(k)

d'o :z(k) = x(k) * y(k)

12 k 0 1 5 6 10

A v e c z( k ) =- Si N = 6

i=0

10

x(i) y(k - i)

x(k) 2 1 k 0 1 5 65

y(k)

k 0 1 5 6 11

11

d ' o z( k ) =

x(i) y(k - i)i=0

= 12z(k) = x(k) * y(k) 12

k 0 1 5 6 11

- A l ' v i d e n c e l e p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n e s t b i a i s s i N < N x + N y -1 - S i N > N x + N y -1 a l o r s z ( k ) e s t n u l l e p o u r k N x + N y , N En conclusion pour calculer le produit de convolution de signaux dure finie il faut:

59 P r o l o n g e r xT ( k ) e t yT ( k ) p a r d e s z r o s j u s q u ' k = N - 1 = Nx + Ny - 2. Calculer les TFD des deux nouveaux signaux. Calculer la TFD inverse du produit. En principe le signal z(k) est rel, mais la TFD inverse restitue, le plus souvent, un signal complexe dont la partie imaginaire est non-nulle (trs petite). Ceci est d aux erreurs d'arrondis durant le calcul. Cas des signaux nergie finie . Soient x(k) et y(k) deux signaux nergie finie. Le produit de convolution z(k) est donn par : z( k ) = x(k) * y(k) =

i = -

+

x(i) y(k - i).

On peut se ramener au calcul par TFD si l'un des signaux est dure finie. On utilise alors la technique dite de convolution sectionne (Cf.KUNT).

4) - Corrlation.Les relations et proprits de la corrlation sont analogues celles tablies pour la convolution. Si x(k) et y(k) sont nergie finie : C xy (k) =

i = -

+

x(i) y * (i - k).

Si x(k) et y(k) sont priodiques et de mme priode NN 1

C xy (k) =

i=0

x(i) y * (i - k).

On peut montrer dans ce cas que : S xy ( n) = T F D N C xy ( k ) = X( n)Y * ( n) Si les signaux x(k) et y(k) sont dure finie, l ' i n t e r c o r r l a t i o n C xy ( k ) s ' o b t i e n t e n c a l c u l a n t l e s T F D d e x ( k ) e t y ( k ) s u r N p o i n t s , a v e c N = N x + N y -1 . S xy ( n) = T F D N {x( k )} T F D * { y( k )} N

{

}