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  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    1

    THEORIE DU CHAMP

    ELECTROMAGNETIQUE

    Cours rdig par : Dr. TILMATINE AMAR

    Facult des sciences de lIngnieur, universit de sidi-Bel-Abbs.

    INTRODUCTION

    Il existe trois rgimes distincts en lectromagntisme, chacun diffrent de lautre suivant la variation en

    fonction du temps.

    a) Rgime stationnaire (R.S)

    Phnomnes indpendants du temps 0= t ; Toutes les grandeurs lectriques et magntiques (E, H, q) sont constantes.

    R.S: Electrostatique (Chapitre 1) + Magntostatique (Chapitre 2)

    b) Rgime quasi-stationnaire (RQS)

    Phnomnes variables avec le temps 0 t (Chapitre 3);

    Exemple: )2cos(0

    ftqq = Si f 1 kHz Rgime variable

    c) Rgime variable (R.V)

    Phnomnes trs variables avec le temps

    Ne concerne que les hautes frquences > 1 kHz. Dans le RV le champ lectromagntique devient une onde lectromagntique qui se propage dans lair.

    SOMMAIRE :

    Chapitre I : Electrostatique

    Chapitre II : Magntostatique

    Chapitre III : Rgime Quasi-Stationnaire

    Chapitre IV : Rgime Variable- Equations de Maxwell

    Chapitre V : Propagation du champ lectromagntique

    Chapitre VI : Rflexion et transmission des ondes lectromagntiques.

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    2

    CHAPITRE I

    ELECTROSTATIQUE

    Dfinition : Llectrostatique est ltude des interactions lectriques entre des charges constantes et

    immobiles. Autrement dit, pas de courant lectrique.

    I. STRUCTURE ATOMIQUE DE LA MATIERE

    1. Latome

    Les lectrons sont des charges ngatives qui gravitent autour du noyau.

    En valeur absolue, les charges de llectron et du proton sont gales :

    Les caractristiques des particules sont indiques dans le tableau ci-dessous.

    Particule Masse Charge

    Electron

    Proton

    Neutron

    me = 9,1091.10-31

    kg

    mp = 1,6725.10-27

    kg

    mn = 1,6748.10-27

    kg

    - e

    + e

    0

    A ltat fondamental, il y a autant dlectrons que de protons : latome est une particule neutre.

    Latome est ionis sil cde ou acquiert un lectron :

    - cest un ion positif sil perd 1 ou plusieurs lectrons.

    - cest un ion ngatif sil gagne 1 ou plusieurs lectrons.

    2. Nuage lectronique

    Le nuage lectronique est form d'lectrons tournant grande

    vitesse autour du noyau selon des trajectoires trs complexes.

    Les lectrons sont rpartis sur les couches selon les quantits

    suivantes :

    K 2 N 32

    L 8 O 50

    M 18 P 72 Q 98

    3. Couches priphriques

    Dfinition : C'est la couche la plus extrme d'un atome. Ses

    lectrons sont appels lectrons priphriques ou lectrons de

    valence.

    La couche priphrique d'un atome ne peut pas possder plus de huit lectrons.

    Important : Les proprits lectriques dpendent des lectrons de la couche priphrique.

    Electron

    Noyau

    Le noyau comprend des :

    - charges positives appeles protons

    - particules neutres appeles neutrons

    Ce 1910.602,1 =

    N

    Figure 1

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    3

    Les bons conducteurs ont leur dernire couche incomplte. Ils cderont facilement leurs lectrons (lectrons libres).

    Les isolants ont leur dernire couche sature ou presque sature. Ils ne cderont pas facilement leurs lectrons (lectrons lis).

    Les semi-conducteurs sont des matriaux dont la dernire couche est forme de 4 lectrons. Le silicium et le germanium sont les semi-conducteurs les plus utiliss.

    II. LOI DE COULOMB (1785)

    Charles A. de Coulomb : ingnieur franais (1736 1806).

    Soient deux charges ponctuelles q1 et q2

    Force de Coulomb : 2

    0

    21

    4 r

    qqF

    =

    Units : F [N] ; q1, q2 [C] ; r[m]

    0 : constante dilectrique du vide. Vide, air 0 = 8,85 10

    -12 [F/m]

    12F 21F= = 2

    0

    21

    4 r

    qq

    La charge q1 exerce une force F12 sur q2, de mme que la charge q2 exerce une force F21 sur q1.

    Attraction et rpulsion :

    Si q1 et q2 ont mme signe Force de rpulsion. Si q1 et q2 ont des signes opposs Force dattraction.

    Une charge Q place dans une rgion o se trouvent plusieurs

    autres charges est soumise laction de toutes ces charges :

    F(P) = F1 + F2 + F3 +

    Exercice :

    Etant donn la disposition des charges de la figure, trouver

    la force rsultante applique sur la charge q3.

    Figure : Forces entre charges lectriques de signes identiques ou opposs

    r

    q2

    q1

    Figure

    F1 F2

    F3 q1

    q2

    q3

    r1

    r2

    r3

    P

    Q

    Figure

    A

    q1 r1

    Figure

    q2 B

    C q3

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    4

    Exercice :

    Deux charges ponctuelles sont situes sur l'axe des abscisses comme suit (voir figure). On donne Q1 =

    8.10-9

    C, Q2

    = -10

    -9 C. Estimer la force suivant laxe des x applique sur une troisime charge Q3

    =

    2.10-9

    C?

    III. CHAMP ELECTRIQUE

    1. Dfinition Le champ lectrique est une grandeur physique qui exerce une force lectrique sur une particule

    charge. Remarque : premire vue, il peut sembler que le champ lectrique na quune signification mathmatique, en loccurrence

    un vecteur qui permet de calculer aisment les forces. Mais le champ lectrique a deux autres caractristiques importantes.

    Dune part il sert liminer le concept daction a distance, cest lentit qui de proche en proche transmet linteraction dune

    charge a une autre. Le champ lectrique a, dautre part, vritablement une signification physique, car il possde de lnergie

    et de limpulsion.

    12220

    1

    20

    21 q44

    Eqr

    q

    r

    qqF12 ===

    La grandeur 2

    0

    1

    4 r

    qE1

    = est lexpression du champ lectrique cre par q1.

    De mme, sachant que : 21120

    2

    20

    21 q44

    Eqr

    q

    r

    qqF21 ===

    La grandeur 2

    0

    2

    4 r

    qE2

    = est lexpression du champ lectrique cre par q2.

    Sens du champ lectrique :

    Unit de E :

    Comme par dfinition nous avons E = F / q : donc [E] = N / C.

    En gnral on utilise une autre unit :

    Vu que E = -dV / dx : Alors [E] = V / m.

    2. Champ dun ensemble de charges Le champ lectrique produit par un ensemble de charges ponctuelles est gal la somme vectorielle des

    champs produits par toutes les charges.

    =

    =n

    i i

    i

    r

    q

    12

    041

    iuE

    q positive

    (E sortant ou divergent)

    E

    u

    q ngative

    (E rentrant ou convergent)

    E

    u

    uE2

    04 r

    q

    =

    u est un vecteur unitaire

    radial issu de la charge

    Figure : Le champ lectrique est un vecteur

    r

    q2

    q1

    Figure

    Q1 Q2 X

    1 cm 1 cm

    Q3

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    5

    Cas de 2 charges :

    3. Lignes de champ

    Dfinition

    Une ligne de champ est une ligne qui est tangente en chacun de ses points au champ lectrique en ce

    point.

    Exemple

    Ligne de champ uniforme :

    Cest une ligne de champ o le module est partout le mme en

    chacun de ses points et qui possde une seule direction.

    Exemple: Le champ existant entre deux plans chargs est

    uniforme (sera dmontr par la suite).

    Dplacement lectrique

    ED =

    Exercice :

    Quatre charges sont arranges sur les coins dun carr comme montr dans les figures ci-dessous.

    Dans quel case(s) le champ lectrique est-il gal zro au centre du rectangle ? Supposez que toutes les

    charges ont la mme valeur et la seule diffrence est le signe.

    IV. REPARTITION DES CHARGES

    1. Ligne charge

    == dlqdldq avec densit de charge linique (C/m)

    2. Surface charge

    ==S

    ss dsqdsdq

    avec s densit de charge surfacique (C/m2)

    3. Volume charg

    ==V

    vv dvqdvdq

    avec v densit de charge volumique (C/m3)

    +=+= 2121 uuEEE

    2

    2

    1

    1

    041

    r

    q

    r

    q

    +

    + +

    + Figure1

    + +

    - - Figure 2

    +

    -

    -

    + Figure 3

    q1

    q2

    E1

    E2 E

    r1

    r2

    Figure

    ligne de champ

    E4

    E3

    E2

    E1

    Figure

    Figure

    (C/m) dl (L) Figure 17

    s (C/m2)

    (S)

    dS

    Figure 18

    Figure 19

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    6

    Exercice :

    Calculer le champ et le potentiel lectriques produits par un filament rectiligne, infiniment long, portant

    une charge par unit de longueur. Exercice :

    Soit un disque de rayon R charg uniformment en surface avec une densit surfacique > 0.

    1) Calculer le champ lectrique E(M) en un point quelconque M sur laxe du disque.

    2) On fait tendre R vers linfini. En dduire lexpression du champ E(M).

    Solution :

    1) On choisit comme lment de surface dS une couronne circulaire comprise entre les cercles de rayons

    y et y+dy. Llment de surface dS porte une charge dq = dS

    Par raison de symtrie (il sagit dune surface quipotentielle), le

    champ cre par cette couronne en un point M dabscisse x est

    port par Ox et a pour expression :

    cosdEdEx=

    coscos4 220 r

    dSk

    r

    dSdEx ==

    avec

    dS= 2 y. dy

    cos = x / r

    et

    r2

    = x2 + y

    2

    Do

    ( ) ( ) 2/32202/322 2.2

    yx

    dyyx

    yx

    xdyykdEx

    +=

    +=

    Le champ total est donc galement port par Ox, et vaut ;

    ( ) ( )[ ]R

    R

    x yxx

    yx

    dyyxdEE

    0

    2/122

    00

    2/3220 22

    +=+

    ==

    ( )

    +=

    2/1220

    12 Rx

    xE

    2) Si on fait tendre R vers linfini, on dduit :

    02=E

    Autre solution :

    Le disque porte une charge totale 2

    ss RSq == La couronne comprise entre les cercles de rayons

    r et r+dr porte une charge dq :

    drr2dsdq ss == et cre au point M un potentiel dV :

    Soit donc :

    22

    s

    00 rx

    drr2

    41

    PM4

    dqdV

    +==

    O

    X

    M

    R

    dE dEx

    r

    Y

    Figure

    M x o

    Figure 16

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    7

    ( ) ( ) ( ) +=++

    =+

    =R

    0

    22R

    0 22

    22

    0

    sR

    0 220

    sxrd

    xr

    xrd

    4xr

    drr2

    4xV

    Do

    ( ) [ ]R0

    22

    0

    sxr

    2xV +=

    = ( ) ( )xxR2

    xV 22

    0

    s +=

    Au centre du disque (x=o):

    ( )0

    s

    2

    RoV

    =

    Ensuite, on calcule le champ

    ( )[ ]dx

    xxRd

    2dxdVE

    21

    22

    0

    s+

    ==

    do

    += 1

    xR

    x2

    E22

    0

    sm

    Pour 0x ,

    +=

    220

    s

    xR

    x12

    E

    Pour 0x ,

    +=

    220

    s

    xR

    x12

    E

    Exercice :

    Calculer le champ cre par un anneau mince charg uniformment, sur un point se trouvant sur laxe.

    Llment diffrentiel est dans ce cas un petit arc dangle d, de longueur a d. Sa charge vaut alors dadq= .

    Llment dq produit un champ ( )22020 44 bada

    r

    qdE

    +==

    A chaque charge dq lui correspond une charge dq qui produit un champ dE. Les composantes

    verticales de dE et dE qui sont gales et opposes, sannulent.

    Le champ rsultant produit par le cercle est donn par : cosdEdEr =

    Soit, donc : ( )

    cos4 220 +== ba

    dadEE

    ( ) 2/122cos bab

    rb

    +==

    ( ) ( ) ( ) abaabd

    ba

    ab

    ba

    dabE

    2444

    2/3220

    2

    0

    2/3220

    2/3220 +

    =+

    =+

    =

    dE

    dE dEn

    dEn

    dEr

    a

    b

    dq

    dq Figure 21

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    8

    Comme aQ 2= reprsente la charge totale de lanneau :

    V. DIPOLE ELECTRIQUE

    Le diple lectrique est une disposition trs intressante

    constitue de deux charges gales et opposes spares par

    une trs petite distance, quon retrouve particulirement

    lchelle atomique.

    Le moment lectrique dipolaire est donn par :

    p = q a,

    o a est dirig de la charge ngative vers la charge positive.

    Le potentiel cre par le diple au point P est :

    ( )21

    12

    0210 41

    41

    rr

    rrq

    r

    q

    r

    qV

    =

    =

    On peut crire daprs la figure : r2 r1 = a cos

    Si la distance a est trs petite par rapport r, on peut poser:

    r2 r1 = a cos et r1 r2 = r2

    Ce qui donne : 2

    04

    cos

    r

    qaV

    =

    Le calcul en coordonnes polaires donne deux composantes du champ lectrique :

    Une composante radiale Er : 3

    04

    cos2

    r

    p

    rVEr

    == ;

    Une composante transversale E : 3

    04

    sin1r

    pVr

    E

    =

    =

    Un diple plac dans un champ lectrique est soumis un couple qui tend laligner suivant la ligne de ce

    champ.

    ( ) 2/32204 babQ

    E+

    =

    P

    r1 r2

    +q -q

    a

    O

    r2 r1

    '

    r

    Figure

    P

    P

    r

    Z

    Er

    E

    E

    ur

    u

    Figure

    F = q E F = - q E

    Figure

    En prsence dun champ lectrique

    Figure

    Sans un champ lectrique

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    9

    VI. POTENTIEL ELECTRIQUE

    On considre une charge q1 place lorigine dun repre. On apporte une autre charge q2 de

    linfini jusqu une distance r = R de q1.

    Supposons q1 et q2 positives.

    Le travail fourni W pour vaincre la force de rpulsion de q1 est

    =R

    dW rF

    =R

    Fdr

    =R

    drEq 12

    avec 2

    0

    11

    4 r

    qE

    =

    =R

    drr

    qqW

    20

    21

    4=

    R

    rdrqq

    20

    21

    4= [ ]R

    r

    qq

    14 0

    21

    =

    R

    qq

    0

    21

    4

    Suivant le principe de conservation de lnergie, le travail fourni W est emmagasin par la charge q0 sous forme dnergie potentielle Ep,

    Soit W = Ep.

    On pose donc : 210

    21

    4Vq

    R

    qqEp ==

    avec R

    qV

    0

    22

    4= potentiel cre par q2

    On peut galement crire : 12VqEp=

    avec R

    qV

    0

    11

    4= potentiel cre par q1

    R

    qV

    04= est donc lexpression du potentiel cre par une charge q

    et VqEp= est lnergie potentielle dune charge q soumise un potentiel V.

    Unit

    soit en J/C car par dfinition qEV p /= ou bien en Volt, qui est lunit la plus utilise.

    Le potentiel cre par plusieurs charges en un point P peut tre dtermin partir de lexpression

    suivante :

    =

    =+++=n

    i i

    i

    r

    qq

    r

    q

    r

    q

    r

    qV

    10

    1

    30

    3

    20

    2

    10

    1

    4...

    444

    Conclusion : Une charge ponctuelle produit :

    Un champ (vectoriel) uE2

    04 r

    q

    = .

    Un potentiel (scalaire) r

    qV

    04= .

    Exercice :

    Les charges Q1 = +4 C, Q2 = -4 C, Q3 = +5 C, et Q4 = -7 C sont

    places sur un rectangle de longueur 5cm et de largeur 3cm, comme

    reprsent la figure. Calculer l'nergie potentielle de cette

    configuration de charges.

    q2 q2 q1 R Figure

    Figure

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    10

    Exercice :

    Trois charges ponctuelles sont apports de l'infini aux positions suivantes sur l'axe des abscisses: Q1 =

    5,2.10-6

    C x = -1 m, Q2 = 2,6.10-6

    C x = 0 m, et Q3 = 5,2.10-6

    C x = 1 m. Quelle est l'nergie

    potentielle de cette configuration de charges?

    Exercice :

    Deux charges Q1 = 1 C et Q2 = -1 C sont places aux sommets dun triangle quilatral, de 4 cm de

    ct.

    1. Calculer le potentiel au point P.

    2. Quelle est la direction du champ lectrique au point P?

    Exercice :

    Aux sommets dun carr ABCD de cot 2m sont places les

    charges suivantes :

    Q1= 2.10-8

    C ; Q2= -8.10-8

    C ; Q3= 2.10-8

    C ; Q4= 4.10-8

    C ;

    1. Calculer le champ et le potentiel lectriques au centre

    O du carr.

    2. Calculer le potentiel au point M milieu de AB.

    VII. RELATION ENTRE E et V Pour placer une charge q en un point o rgne un potentiel V, il faut fournir un travail W :

    = F.drW Ce travail est emmagasin par la charge q sous forme dnergie potentielle Ep :

    VqEp=

    W = Ep E.drE.drF.dr ==== dVdVqqdVqdEdW p Dautre part, on peut poser que :

    ( ) rgraduuuuuu zyxzyx d.VdzdydxzV

    yV

    xVdz

    zVdy

    yVdx

    xVdV =++

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    Daprs les quations 1 et 2, on obtient:

    Vgrad=E Conclusions:

    1) zyx uuuEzV

    yV

    xVV

    == grad

    Le champ lectrostatique a le sens des potentiels dcroissants.

    Suivant laxe des x, nous avons : xuExV= .

    Le champ lectrique est toujours dirig du potentiel le plus

    lev au potentiel le plus bas.

    2) ( ) 0V == gradrotrotE Daprs cette relation mathmatique, on dduit que le champ lectrostatique est non rotationnel. Cest--

    dire que la ligne de champ lectrique ne se referme jamais sur elle mme. Les lignes de champ

    lectrique ne se referment que sur des charges lectriques.

    3) 0. = dlE En effet, nous avons : 0.0.rot0rot === dlEdSEE Le long dun contour ferm quelconque, dans le quel on dfinit deux

    points A et B :

    0)()(... =+=+= ABBA VVVVA

    B

    B

    AdlEdlEdlE

    1

    X

    Y Q1 Q2

    Q3 Q4

    M

    O

    Figure

    2

    E

    V1>>>> V2 V2 V1

    E

    Figure

    Oui + _

    Figure

    Non

    Figure dl

    dl

    A

    B

    Figure 34

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    11

    VIII. SURFACE EQUIPOTENTIELLE

    Dfinition :

    Cest une surface o le potentiel est constant et partout le mme.

    Exemple: charge ponctuelle q

    r4

    qV

    0=

    Le potentiel est constant si on pose r = R = constante ;

    Chaque sphre de rayon R constant (R1, R2, R3) reprsente donc une

    surface quipotentielle.

    Rgle de base : le champ lectrique est toujours perpendiculaire la

    surface quipotentielle.

    Exercice :

    Montrer que le champ lectrique est perpendiculaire la surface quipotentielle.

    Solution :

    Soit OPQR un plan uniformment charg, cest donc

    une surface quipotentielle situe dans le plan XOY

    zyx uuuEzV

    yV

    xVV

    == grad

    Comme 0==

    yV

    xV donc zuE

    zV=

    Le champ lectrostatique est perpendiculaire la surface quipotentielle.

    Ligne quipotentielle :

    IX. THEOREME DE GAUSS

    1. Flux lectrique

    Flux lectrique : = dsE.e Flux magntique : = dsB.m

    Surface non ferme

    = cosdsEE.ds

    Surface ferme

    Surface globale = surface S1 (base suprieure) + surface S2 (base infrieure) + surface latrale S3.

    ++=321 SSS

    e 321 dSEdSEdSE ...

    Figure : Surface ferme

    dS3

    dS2

    dS1

    E E

    B

    Figure : Surface non ferme

    dS (S)

    Sens de parcours de la boucle = sens de dl

    R3

    R2 R1

    E

    E

    E

    Figure

    R Q

    P O X

    Z

    Y

    V constant

    0;0 ==

    yV

    xV

    Figure

    ligne quipotentielle

    E

    Figure

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    12

    Remarques:

    Les vecteurs dS relatifs la surface ferme sont perpendiculaires la surface considre et sortants.

    Quand le flux est positif, il est sortant . Quand il est ngatif, le flux est entrant . La notion de flux ne signifie pas vraiment quil y a un mouvement de quelque chose travers

    la surface.

    2. Thorme de Gauss

    =====

    d

    4

    q

    r

    cosdS

    4

    qcosdS

    r4

    q

    02

    02

    0

    e cosdSE.dSE

    d : Angle solide sous lequel on voit dS partir de q (cne). Pour une surface ferme = 4d On obtient alors

    00

    eq

    44

    q

    ==

    Donc =q

    E.ds

    Thorme de Gauss:

    Le flux lectrique travers une surface ferme quelconque est gal au rapport q/0, o q reprsente la somme des charges se trouvant lintrieur de cette surface.

    Autre dmonstration (plus simple) :

    On considre comme surface ferme une sphre de rayon r.

    les vecteurs E et dS sont tous les deux radiaux

    Donc : === dSr4q

    dSE.2

    0 dSE

    comme r est constant sur toute la surface de la sphre :

    0

    2

    20

    20

    444

    qrr

    qdS

    r

    q===

    Cas gnral :

    Les charges se trouvant lextrieur de la surface ferme ne

    sont pas considres dans le thorme de Gauss.

    Forme diffrentielle :

    ==V

    e dvdiv. EdsE ;

    si la charge est uniformment rpartie dans un volume V on pose :

    =V

    v dvq

    o v densit de charge volumique

    Do ==V

    v

    00V

    dv1q

    dvdiv

    E

    Soit donc, 0

    vdiv

    =E

    =

    =+++==n

    1i 0

    i

    0

    n

    0

    2

    0

    1 qq...qq

    .

    dSE

    dS

    E

    q

    Figure 40

    E

    dS

    r q

    Figure 41

    q1

    q2

    qn

    q'1

    q'2

    q'3 Figure 42

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    13

    Exercice : Champ dune charge ponctuelle

    On choisit comme surface ferme une sphre de rayon r. La surface de Gauss doit respecter la symtrie

    du problme, le champ en tout point de la surface doit tre constant.

    Exercice :

    On considre une sphre de rayon R possdant une charge superficielle q de densit s. Dterminer le champ lectrique lintrieur et lextrieur de la sphre.

    Exercice :

    Dterminer le champ lectrique produit par un filament rectiligne possdant une charge uniforme de

    densit , en utilisant le thorme de Gauss.

    3. Equations de Laplace et de Poisson

    ( )0

    v2VV.)Vgrad(divdiv ==== E

    Soit 0

    v

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    V

    y

    V

    x

    VV

    =

    +

    +

    = (Relation de Poisson)

    Si v=0 : 0z

    V

    y

    V

    x

    V2

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    +

    (Equation de Laplace)

    Exercice :

    Utiliser lquation de Laplace pour dterminer la distribution du potentiel et le champ lectrostatique

    dans la rgion situe entre deux plans parallles ports aux potentiels V1 et V2 (V1>V2). Exercice :

    Rsoudre lexercice prcdent, en considrant quil existe une charge volumique de densit v entre les deux plans.

    X. CAPACITE- CONDENSATEUR

    1. Conducteur unique

    C = q /V

    C : capacit du conducteur ; q: charge du conducteur ; V: potentiel du conducteur

    Unit : [C] = C / V ;

    En gnral on utilise comme unit le Farad et ses sous multiples

    [C]=Farad F

    Exemple: Sphre charge (que ce soit en volume ou en surface)

    R4CR4

    qV 0

    0

    ==

    2. Deux conducteurs (condensateur) :

    Si V1 et V2 sont les potentiels de ces conducteurs, la capacit du systme est dfinie par : 21 VV

    QC

    = .

    Tout systme constitu de deux conducteurs quelconques spars par un isolant est un condensateur.

    La capacit du condensateur est C = q / U .

    o U = V1 V2 reprsente la d.d.p entre les deux conducteurs.

    V1, V2 potentiels des deux conducteurs.

    Les condensateurs les plus connus sont :

    -q q

    V2 V1

    Figure : Condensateur plan

    Figure : Condensateur sphrique

    Sphre interne

    Sphre externe

    isolant

    Cylindre interne isolant

    Cylindre interne

    Figure : Condensateur cylindrique

    R

    q

    Figure 47

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    14

    Remarques :

    Les deux armatures portent des charges Q gales mais opposes. Q est la charge du condensateur.

    La capacit est indpendante de la tension et de la charge : elle constitue seulement le facteur de proportionnalit (constant) entre les deux. Elle dpend des paramtres gomtriques du

    condensateur.

    Exercice : Dterminer la capacit dun condensateur plan.

    Exercice : Calculer la capacit dun condensateur sphrique de charge Q, constitu de deux armatures

    sphriques concentriques de rayons R1 et R2.

    XI. ENERGIE ELECTROSTATIQUE Soient

    q, V: charge et potentiel du condensateur un instant t.

    Pour amener une charge supplmentaire dq au condensateur,

    on doit fournir un travail dW, afin de vaincre la rpulsion des charges

    existantes.

    Rappel VqW == F.dr Si nous apportons une charge supplmentaire dq, le travail effectu est :

    dW = V dq

    =

    =====

    m mmq

    mqq

    C

    qq

    Cdq

    C

    qdqVWdqVdW

    0

    2

    0

    2

    022

    1F.dr

    avec qm: charge maximale

    soit en gnral :

    C

    qW

    2

    2

    = ,

    ou bien comme V=q/C :

    qVW21= .

    Remarques :

    qVW21= est lnergie emmagasine par un systme (condensateur, ensemble de charges) suite un travail

    fourni.

    qVW= est lnergie potentielle que possde une charge q dans un potentiel V.

    Comme 0s

    E= et Sq s= , il vient :

    W=( )

    VEV21Sd

    dS

    S

    C

    q

    21 sss 2

    0

    2

    0

    0

    0

    2

    0

    22

    21

    21

    21

    =

    ===

    avec V volume du condensateur.

    VEW 2021=

    Conclusion: le champ lectrique emmagasine de lnergie lectrique de densit 2021 Ew = .

    Autre dmonstration :

    Considrons une sphre de rayon R quon se propose de charger. A un instant donn, supposons

    que la charge de la sphre est q. Le fait de charger la sphre exige un travail dW, car pour apporter une

    charge supplmentaire dq il faut vaincre la rpulsion de la charge q.

    dW = V dq ;

    Comme V = q / C,

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    15

    dqC

    qdW= .

    Le travail fourni pour porter la charge de la sphre de 0 qm est :

    C2

    qdqq

    C1W

    2m

    q

    0

    m

    ==

    tant donn que C = 4 0 R, on obtient :

    =

    R4

    q

    21W

    0

    2

    (1)

    Calculons lintgrale suivante :

    R

    dVE2

    Le volume dune sphre de rayon r est : 334 rV =

    Par consquent : dV = 4 r2 dr

    ( )R4

    q

    rdr

    4

    qdrr4

    r4

    qdVE

    20

    2

    R

    220

    2

    R

    2

    20R

    2

    ==

    =

    en substituant ce rsultat dans lquation (1), on obtient :

    =R

    dVEW 2021 .

    XII. INTERACTION ENTRE LE CHAMP ELECTRIQUE ET LA MATIERE

    1. Conducteur :

    Considrons un conducteur cylindrique plac entre deux plaques mtalliques soumises une tension U.

    le conducteur est en quilibre lectrostatique, cest--dire quil ne touche pas les deux lectrodes.

    Autrement, les charges seront mises en mouvement et natra un courant. Le conducteur nest plus en

    quilibre lectrostatique.

    Eapp : champ appliqu externe;

    Eint : champ interne cre par la nouvelle rpartition de charges ;

    Er : champ rsultant

    Dans un conducteur les lectrons sont libres de mouvement. Ds quon applique un champ lectrique,

    les lectrons se dplacent sous laction de ce champ, il en rsulte une nouvelle distribution de charges

    qui donne naissance un champ interne qui annule le champ appliqu.

    Conclusion : le champ lectrique dans un conducteur en quilibre est nul.

    0int== EEE

    appr

    R

    r

    Figure

    pas de champ appliqu

    0int=E

    Figure

    Eint

    Eapp

    Figure

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    16

    2. Isolant (dilectrique) : Polarisation lectrique :

    Dans un atome, les centres de gravit du noyau et des lectrons concident, par consquent le

    moment dipolaire moyen de latome est nul (Figure). Par contre aprs lapplication dun champ

    lectrique externe, le centre de gravit des lectrons est dplac dune certaine distance x par rapport au

    noyau : latome est alors polaris et devient un diple lectrique de moment p (Figure 61). Dans chaque

    atome est cre un champ Ep de sens oppos au champ appliqu.

    Les molcules peuvent avoir un moment dipolaire permanent, de telles molcules sont dites polaires.

    Les lectrons dans lisolant sont lis aux atomes. Quand on applique un champ lectrique, les

    lectrons ne se librent pas mais sont lgrement dplacs par rapport au centre de gravit de latome,

    cest la polarisation.

    Ep est appel champ de polarisation (Ep

  • Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine

    17

    FORMULAIRE DELECTROSTATIQUE

    Charges : Ponctuelles : Q [C] ; liniques : [C/m] Surfaciques : [C/m2] ; volumiques : [C/m3]

    Champs : D Dplacement ou Induction lectrique [C/m2] E Champ lectrique [V/m].

    ED =

    Loi de Coulomb : EF q= ;

    Charge ponctuelle : uE2

    04 r

    q

    = et

    r

    qV

    04 =

    Lois de base :

    =Ddiv ou 0

    int.Q

    = dSE

    0=Erot ou 0. = dlE

    Potentiel :

    = dlE.V ; dlE.=dV ; zyx uuuE zV

    yV

    xVgradV

    ==

    Tension :

    ==B

    A

    BAAB VVU dlE.

    Travail :

    ABBA qUW = Capacit :

    U

    qC=

    Densit dnergie lectrique : 2021 Ew = .

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    1

    CHAPITRE II

    MAGNETOSTATIQUE

    Une charge lectrique immobile cre un champ lectrique seulement; Une charge en mouvement (un courant) cre un champ lectrique et un champ magntique.

    Dfinition : la magntostatique est ltude des phnomnes magntiques statiques, gnrs par des courants

    constants uniquement (courant continu).

    I. LOI DAMPERE Le physicien danois Hans C. Oersted (1777 1851), en remarquant la

    dviation dune boussole place prs dun conducteur travers par un

    courant, fut le premier observer le magntisme cre par un courant

    lectrique.

    Conducteur rectiligne

    =

    2r4I

    rudlH ;

    H : champ magntique

    r = OP ; ur: vecteur unitaire de r

    =

    2

    0

    4 r

    I

    rudlB

    B : Induction magntique

    Remarque : La loi dAmpre est valable si lon suppose que le conducteur est infiniment long, donc les

    bornes de lintgrale sont de - +.

    Conducteur ferm :

    =2

    0

    r4

    I rudlB

    Avec

    0 permabilit magntique (vide, air) : mH /10.47

    0

    = B = 0H Units

    [ ] TTeslaB = ; [ ]mAH =

    Cas dun courant volumique :

    J densit de courant (A/m2) ;

    J = I / S, soit I = J S, ou bien plus gnralement : Figure : Conducteur volumique

    dS

    J

    L

    Courant

    rectiligne

    P

    O

    r

    ur dl

    I

    H(P)

    Figure

    dl

    Figure : Courant circulaire

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    2

    = J.dSI === JdVdlSJdlJ.dSdlI Le champ magntique dun courant cylindrique (volumique) est donn par :

    soit donc : == dvr4 20 ruJHB

    EXERCICE (Champ magntique cre par un courant rectiligne) Calculer le champ magntique H produit par un courant rectiligne infiniment long.

    EXERCICE (Champ magntique cre par une spire)

    Soit une spire circulaire de rayon a traverse par un courant I. Dterminer le champ magntique H dans un point P situ sur laxe de la spire.

    Solution :

    On obtient :

    ( )uH

    23

    22

    2

    2 Ra

    Ia

    +=

    ( )aIRH

    20max ==

    II. DIRECTION DU CHAMP MAGNETIQUE (Rgle de la main droite)

    a) Fil rectiligne : (Rgle de la main droite)

    b) Spire : (Rgle du tournevis)

    EXERCICE

    Un solnode est un courant form de plusieurs spires circulaires coaxiales, de mme rayon travers par un

    mme courant.

    Solution :

    Le champ sur laxe du solnode peur tre calcul en additionnant le champ cre par chaque spire.

    A la figure ci-dessous est reprsente une coupe longitudinale dans le solnode.

    Si N est le nombre total des spires, le nombre des spires dune partie dl est gal dlLN .

    Rappelons que le champ produit au point P par une spire est :

    = dvr4 2ruJH

    I

    B B

    I

    B B

    I

    B

    B

    B

    I I

    B

    I

    B

    H

    M

    P

    ur

    I

    dl

    O

    Figure

    R

    a

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    3

    ( ) 2/3222

    0

    2 La

    IaB

    +=

    dlLN Spires produisent linduction

    ( ) ( ) 2/3222

    02/322

    20

    22 La

    dlaLINdl

    LN

    La

    IadB

    +=

    +=

    Daprs la figure, on peut crire : tgLa= et

    22sin

    Laa+

    =

    soit,

    dadltgaL

    2sin==

    en substituant ces quations dans lexpression de dB, on obtient :

    ( ) dLINdB sin

    20 =

    ( ) ( )1200 coscos2sin22

    1

    == LINd

    LINB

    Si le solnode est trs long, nous avons en un point du centre 1 et, soit :

    LINB 0=

    Pour un point situ lextrieur, sur lune des extrmits, 2/ et 02 ou 1 et 2/2 ,

    soit : LINB

    20=

    soit la moiti de la valeur au centre.

    Remarque : le solnode est utilis pour produire un champ magntique passablement homogne dans une rgion limite de son centre.

    III. POTENTIEL MAGNETIQUE

    Comme q est un scalaire, qui produit un potentiel lectrique scalaire V ;

    Par analogie avec llectrostatique :

    Llment Idl est un vecteur, produit un potentiel magntique vectoriel A. AB rot=

    qui reprsente lexpression du potentiel A.

    IV. THEOREME DAMPERE

    1. Thorme dAmpre :

    =?H.dl

    = u.dlH.dl rI2

    Rappel :

    ( ) xzyx A.AAA =++= xzyxx uuuuA.u soit donc, la composante de A suivant laxe des x. Par analogie : dl.u = dl est la composante de dl suivant u. Comme par ailleurs, ruu , soit ru , donc aussi dlr ; dl reprsente donc un arc de cercle de rayon r drdl='

    uHr

    I2=

    = dVrJA

    4

    0

    L

    dl

    a

    1 2

    P

    l

    Figure

    H

    I

    Figure

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    4

    Par consquent :

    ) ===== IIdIrdrIHdl

    2

    0222H.dl

    Donc =IH.dl qui reprsente le thorme dAmpre.

    Remarque importante : I est un courant circulant lintrieur du contour ferm.

    2. Forme diffrentielle :

    =IH.dl est la forme intgrale du thorme dAmpre. Comme =

    S

    rotH.dSH.dl

    et que =S

    I J.dS ,

    On peut crire : =SS

    SrotH.d J.dS

    Soit donc : qui reprsente la forme diffrentielle du thorme dAmpre.

    Conclusion : JH=rot implique que le champ magntique est rotationnel, cest dire que les lignes de champ sont fermes, contrairement aux lignes de champ lectrique.

    Remarque :

    - Les lignes de champ magntique sont des courbes fermes car contrairement au champ lectrique qui a pour source des charges

    lectriques (part de la charge positive et arrive la charge ngative), il ny a pas de charges magntiques.

    EXERCICE On considre quatre conducteurs traverss chacun par un mme

    courant I (figure). Quelle est la direction du champ magntique

    au point P, centre du carr de cot d.

    EXERCICE Trois fils conducteurs portant un mme courant, sont situs aux

    coins d'un triangle quilatral, comme montr la figure 14.

    Dans quel cadran trigonomtrique se trouve la direction du

    champ magntique rsultant au centre de la triangle?

    EXERCICE

    Dterminer le champ magntique H lintrieur et lextrieur dun conducteur cylindrique plein travers

    par un courant I, de densit uniforme J. EXERCICE

    Utiliser le thorme dAmpre pour calculer le champ magntique lintrieur dun solnode comprenant

    n0 spires par unit de longueur et parcouru par un courant I0.

    JH=rot

    NON

    OUI

    Figure

    I1 I2

    I4 I3

    I1 = I2 = I3 = I4 = I

    Figure

    I3

    I II

    III IV

    I1

    I2

    Figure

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    5

    Solution :

    Pratiquement une bobine forme dun fil conducteur enroul suivant une hlice de petit pas est un solnode.

    Par consquent, lintrieur loin des extrmits de la bobine, les lignes dinduction sont sensiblement

    parallles laxe (le champ cre par chaque spire tant perpendiculaire son plan) ; le champ est donc

    uniforme.

    Choisissons un contour ferm MNPQ pour pouvoir appliquer le thorme dAmpre.

    Lapplication du thorme dAmpre sur ce contour donne :

    = IdlH. HLMNHQMHPQHNPHMNHdlH ==+++= ......

    H . QM = 0 et H . PN = 0 car H QM et H PN H . QP = 0 car lextrieur H 0.

    Dautre part, 00LInI= n0 : nombre de spires / mtre. do 00InH=

    000 InB = est linduction lintrieur du solnode.

    EXERCICE

    On considre une bobine torique de n spires traverse par un

    courant statique I. Dterminer le sens, la direction et la valeur

    du champ magntique cre lintrieur de la bobine.

    Solution :

    Le champ tant perpendiculaire aux spires, cest donc

    un cercle passant par le centre de chaque spire, dont le

    centre concide avec celui de la bobine.

    =nIHdl

    === nIHLrHdlH 2 avec rL 2= do

    LnIH=

    IV. FLUX MAGNETIQUE

    = B.dSm ; Unit [ ] WbWeberm = ; a) Surface non ferme

    Flux: reprsente la quantit de lignes de champ passant travers la surface.

    b) Surface ferme

    ( ) === 0dVrotdivdVdiv ABB.dS ; car AB rot=

    B

    Figure : Surface non ferme

    = 0B.dS

    M N

    P Q L

    Figure

    Ligne de champ

    magntique

    I R

    Figure

    Figure : Surface ferme

    B

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    6

    Forme diffrentielle :

    = 0B.dS est la forme intgrale de cette loi.

    === 0div0dvdiv BBB.dS

    est la forme diffrentielle.

    V. FORCE MAGNETIQUE

    1. Force de Lorentz :

    Une charge lectrique anime dune vitesse v et place dans un champ lectrique et magntique, subit la

    force suivante :

    ( )BvEF +=q ; me FFBvEF +=+= qq

    avec :

    EFe q= est la Force lectrique;

    Si 00 == eFq La force lectrique sannule si la charge est nulle.

    ( )BvFm =q est la Force magntique. La force magntique sannule si la charge est nulle ou immobile.

    Linduction magntique nexerce de force que sur une particule charge en mouvement (ou un courant).

    Conclusion:

    La force magntique nagit que sur une charge en mouvement, ou un conducteur travers par un courant.

    EXERCICE

    Un fil conducteur est travers par un courant (figure 5). Quelle est la direction de la force applique sur :

    un lectron se dplaant vers le fil ; un proton se dplaant paralllement au fil (fig. a). Supposez que l'lectron et le proton se dplacent

    dans le plan du papier.

    2. Force de Laplace : Considrons un conducteur cylindrique travers par un courant I.

    Soient :

    n : nombre de particules charges traversant le conducteur;

    e : charge lmentaire dune particule.

    La charge traversant le conducteur vaut alors :

    enq '=

    En posant Vnn '=

    n : nombre de particules/unit de volume ; V : volume du conducteur. On obtient :

    div B = 0

    S

    dl

    I

    B

    Figure

    Figure

    v I I

    v

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    7

    ( ) ( ) neSvdtdlneS

    dtdVneneV

    dtden

    dtd

    dtdqI ====== ' ;

    avec

    v : vitesse de dplacement des particules.

    Par consquent :

    nevS

    neSvSIJ === nevJ=

    Cette galit est galement valable en notation vectorielle :

    Dun autre ct, en reportant dans la loi de Lorentz la charge par unit de volume neq= , on obtient : ( )BvFm =q = BJBv =ne

    Pour un volume lmentaire dV : ( )dVd BJFm =

    pour tout le volume V :

    ( ) ( ) == BJBJFm dVdV

    Comme dlJ IdV= , on aboutit lexpression de la Force de Laplace: Remarque :

    Si I = 0 Fm=0 La force magntique nagit donc que sur un conducteur travers par un courant.

    EXERCICE

    Soient deux (2) conducteurs rectilignes identiques, parallles et traverss par les

    courants I1 et I2 (I1 = 10 A ; I2 = 5 A)..

    Calculer la force magntique F1 exerce sur le conducteur 1 et F2 exerce sur le conducteur 2.

    Remarque : Le sens de la force est dtermin grce la rgle de la main droite :

    EXERCICE

    Si chacun des trois fils de la figure 8 porte le mme courant,

    quelle est la direction de la force applique sur chacun des

    3 conducteurs par les deux autres (sans calculs).

    Conducteur C1 :

    vJ ne=

    = BdlFm I

    B Majeur

    I Index

    F Force

    Main droite

    Force

    Courant

    Induction

    Figure

    C1

    C2

    C3

    Figure

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    8

    EXERCICE

    Une spire carre de ct a parcourue par un courant I est place dans une induction magntique B perpendiculaire (Figure 14). La spire peut tourner autour dun axe .

    1) Calculer et reprsenter les forces agissant sur les cts MN, PQ, MQ et NP de la spire.

    2) En dduire le couple magntique agissant sur la spire.

    VII. ENERGIE MAGNETIQUE Wm

    On considre lexemple dune bobine torique comprenant n spires.

    Dterminer lnergie emmagasine quand le courant dans la bobine croit de 0 I.

    Considrons un circuit form par une inductance.

    A linstant t nous avons : dtdILU=

    En multipliant les deux membres par i dt de faon faire apparatre les nergies mises en jeu pendant dt :

    ( )221 LididiLdtUi ==

    Le terme U i dt reprsente lnergie fournie par le gnrateur, le terme ( )221 LiddW= correspond lnergie

    fournie pour tablir le courant i, nergie emmagasine dans linductance.

    Dmonstration :

    Par analogie avec llectrostatique o la densit de lnergie lectrostatique 2021 Ewe = , dmontrer que la

    densit de lnergie magntique est 2021 Hwm = .

    Considrons pour cela un tube lmentaire dinduction

    Posons

    dV = S dl Lnergie magntique localise dans llment de volume dV est :

    SdlHdVHdW 2020 21

    21 ==

    En tenant compte que le flux dinduction est constant dans le tube : B.S== dSB. et du thorme dAmpre : I= dlH. , on obtient :

    IdlHBSdlBBSdlSBW ==== 21

    21

    21

    21

    0

    2

    0

    Comme

    = L I

    2

    21

    21 LIIW ==

    Conclusion : le champ magntique emmagasine bien une nergie de densit wm = 0 H2.

    Autre dmonstration :

    Soit U la tension applique,

    Le travail fourni

    = UIdtW ;

    Or dtdnU =

    dtdsnB

    dtdBnS

    dtdnU ==

    =0

    B

    S dl

    Figure 28

    Ligne de champ

    magntique

    I R

    Figure

  • Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine

    9

    Soit == dInIdt

    dtdnW

    ===B H H

    dHnISdHnISdBnISW0 0 0

    00

    Comme n

    LHILnIH == (Exercice P6).

    do ===H H

    SLHdHHLSdHn

    LHnSW0 0

    2000 2

    1

    avec SLV= volume de la bobine o rgne H, on obtient :

    VHWm 2021= [J],

    est lnergie totale emmagasine dans le champ magntique H.

    202

    1 Hwm = [J/m3]

    est la densit dnergie magntique.

    VIII. RESUME DES LOIS DU REGIME STATIONNAIRE

    1. Thorme de Gauss

    =0

    qE.dS ;

    0

    =Ediv

    2. =0E.dl ; 0=Erot 3. Thorme dAmpre

    =IH.dl ; JH=rot 4. Thorme du Flux Magntique

    = 0B.dS ; 0=Bdiv

    ANALOGIE ENTRE LELECTROSTATIQUE ET LA MAGNETOSTATIQUE

    ELECTROSTATIQUE MAGNETOSTATIQUE

    Loi de Coulomb (champ lectrique) Loi de Biot & Savart (champ magntique)

    uE24 r

    qq =

    =

    24 rI

    I

    rudlHdl

    Dplacement lectrique Induction magntique

    ED = HB = Potentiel lectrique Potentiel magntique

    rqV4

    = = dvrJA

    4

    gradV=E AB rot=

    =0E.dl =IH.dl 0=Erot JH=rot

    = q

    E.dS = 0B.dS

    v

    div =E 0=Bdiv

    2

    21 Ewe = 2

    21 Hwm =

    0=E dans un conducteur 0H dans le conducteur

  • Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    1

    CHAPITRE III

    PHENOMENES DEPENDANT DU TEMPS (Rgime quasi-stationnaire)

    Le Rgime Quasi-Stationnaire ne concerne que les phnomnes variant avec le temps.

    Exemple

    ftitii 2sinsin 00 == tfjtj eEeEE 200 ==

    I. LOI DE FARADAY

    Loi de Faraday : Quand un flux magntique variable traverse un circuit conducteur ferm, il gnre

    (cre) un courant induit (ou une f.e.m) dans le conducteur. Cest le principe des gnrateurs.

    Remarque : le fonctionnement des gnrateurs dlectricit (gnrateurs courant continu, alternateurs) est bas sur le

    principe de la loi de Faraday.

    1) Induction B variable :

    Supposons I variable [I =I0 sin( t) par exemple].

    Linduction B au point quelconque M est ( )x

    tI

    x

    IB

    2

    sin

    2

    000 ==

    Comme linduction est variable, le flux = dSB. est galement variable et gnre un courant induit i dans la spire.

    i = e/R [A];

    R : rsistance de la spire [];

    dt

    de

    = : Force lectromotrice (f.e.m) induite [Volt]

    Remarque : e est appele f.e.m et non tension, car en lectricit la tension apparat entre deux points diffrents. On ne peut

    pas parler de Tension dans une spire ferme.

    2) Induction B constante :

    Si le courant I est constant, alors linduction B est constante :

    x

    IIB

    2

    )( 0= ; = dSB. = 0 et donc pas de courant induit (e = 0 ; i = 0)

    Si le courant I constant, mais la spire se dplace une vitesse v :

    En se dplaant, puisque la spire sloigne du courant I linduction

    B diminue est donc variable. Le flux magntique qui devient

    variable induit un courant i dans la spire.

    Loi de Faraday : dtde =

    i

    B(I)

    I

    Figure 1

    M

    x

    i

    B(I)

    I

    Figure 1

    M

    x v

  • Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    2

    EXRCICE 1

    Un cadre plan comportant N spires, chacune de surface S, est

    plac devant un fil rectiligne travers par un courant variable

    tII sin0= . Calculer le courant induit dans le cadre. Solution :

    == dSBdSB.

    x

    tI

    x

    IB

    2

    sin

    2

    000 ==

    Le flux traversant le cadre est :

    xaxLn

    bI

    xdxbIdxb

    x

    IdSB

    ax

    x

    +==== +

    222. 000

    Pour N spires : xaxLn

    bIN +=

    20

    La f.e.m induite dans le cadre est :

    tIxaxLn

    IbN

    dtdI

    xaxLn

    bN

    xaxLn

    bIN

    dtd

    dt

    de

    cos222 0000 +=+=

    +==

    tx

    axLn

    R

    bIN

    R

    ei

    cos2

    001

    +==

    EXERCICE 2

    Le mme cadre est plac devant un courant I constant, mais se

    dplaant vers la droite avec une vitesse constante v.

    Dterminer le courant induit dans le cadre.

    Solution :

    x

    IB

    2

    0= ; dS = b dx

    Remarque : dydxdS = , mais comme linduction B varie seulement suivant x, on pose dxbdS = . Le flux traversant le cadre est

    xaxLn

    bIN

    xdxbINdxb

    x

    INdSBN

    ax

    x

    +==== +

    222. 000

    La f.e.m est donne par :

    dxdv

    dtdx

    dxd

    dtde ===

    ( ) ( )axx baINxaxbINdxd +=+= 2112 00

    ( )axxvbaI

    Ne+

    =2

    0

    ( )RaxxvbaI

    NR

    ei

    +==

    2

    02

    a

    b

    I

    X x

    dx

    a

    b

    I

    v

    Figure 2

    X x

  • Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    3

    EXERCICE 3

    Le mme cadre est plac devant un fil rectiligne travers par un courant variable qui se dplace vers la

    droite avec une vitesse v constante. Calculer le courant induit dans le cadre.

    Solution :

    ( )RaxxvbaI

    Ntx

    axLn

    R

    bINiii

    ++

    +=+=

    2

    cos2

    00021

    Exemples de la loi de Faraday :

    - Lnergie lectrique dans les centrales est produite par. Dans les alternateurs, la tension est

    produite suivant le principe de la loi de Faraday. Le principe est de placer les conducteurs dans

    un flux magntique variable.

    - Le transformateur ne fonctionne quen courant alternatif car pour induire un courant dans

    lenroulement secondaire il faut un flux variable.

    - Les noyaux de fer utiliss dans les machines courant alternatif sont constitus de tles isoles

    les unes des autres. En effet, le flux tant variable il induit un courant dans le noyau lui-mme

    (courant de Foucault). Lisolant entre les tles sert augmenter la rsistance pour attnuer le

    courant. Par contre, les noyaux des machines courant continu sont des masses compactes, car il

    ny a pas de courant induit dans ce cas.

    - La foudre peut dtriorer des quipements situs plusieurs km du point dimpact. En effet, le

    champ magntique gnr par la foudre se propage et induit dans les installations des surtensions

    pouvant endommager les appareils fragiles.

    II. LOI DE LENZ : (signification du signe "moins")

    Loi de Lenz : "Linduction magntique propre du courant induit soppose la variation du flux

    principal".

    Exemple : soit un cadre qui se dplace vers la droite une vitesse v constante. Dterminer le sens de

    circulation du courant induit dans ce cadre.

    Linduction principale B(I) a un sens entrant dans le cadre.

    En sloignant du courant I le flux qui traverse le cadre

    diminue (variation = diminution de ). Loi de Lenz : Linduction propre B(i) du courant induit

    soppose cette variation (diminution de ) et aura le mme sens que linduction principale B(I) pour augmenter

    le flux (car linduction rsultante dans le cadre augmente

    Br = B(I) + B(i)).

    Rsultat : puisque B(i) a un sens entrant, le courant i

    circule dans le sens ABCD (Rgle du tire-bouchon).

    Remarque : Si le cadre se dplace vers le courant le flux cette-fois ci augmente.

    Loi de Lenz : Linduction propre B(i) du courant induit soppose cette variation (augmentation de

    ) et aura le sens oppos linduction principale B(I) pour diminuer le flux (car linduction rsultante dans le cadre diminue Br = B(I) - B(i)).

    Rsultat : puisque B(i) a un sens sortant, le courant i circule dans le sens ADCB.

    EXERCICE 3 Soit une spire place prs dun fil rectiligne travers par un courant I (figure 4). Dterminer le sens du

    courant induit dans la spire dans chaque rgion du courant.

    A B

    B

    I

    i

    B(I)

    B(i)

    v

    Figure 3 C D

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    4

    Solution :

    Linduction principale B(I) a un sens sortant.

    a) entre 0 et t0

    I=0 B=0 =0 pas de courant induit i=0. b) entre t0 et t1

    I augmente B(I) augmente augmentation de . Le courant induit i soppose cette augmentation B(i) oppos B(I) B(i) entrant, donc i circule dans le sens ABCD.

    c) entre t1 et t2

    I constant B constante constant

    0dtd

    e == i = 0.

    d) entre t2 et t3

    I diminue B diminue diminution de ; Le courant induit i soppose cette diminution B(i) mme sens que B(I) B(i) sortant, donc i circule dans le sens ADCB.

    III. FORMES INTEGRALE ET DIFFERENTIELLE

    1. Forme intgrale : Rappel

    - Conducteur rectiligne :

    La diffrence de potentiel U entre deux

    points dun conducteur rectiligne est donne

    par lexpression suivante :

    ==2

    1

    21

    L

    L

    VVU E.dl (voir chapitre 1)

    - Spire non ferme :

    La diffrence de potentiel dune spire non ferme est :

    ==B

    A

    BAAB VVU E.dl

    - Spire ferme :

    = E.dlU

    En consquence, la loi de Faraday peut tre mise sous la forme suivante :

    == E.dldtd

    e

    Comme = dSB.

    t2 t3 t4 O t

    I

    t0 t1

    Figure 4

    l O

    L2 L1

    V1 V2

    Figure 5

    B

    dl

    A VA

    VB

    Figure 6 dl

    A

    Figure 7

    a

    b

    I

    B(I)

    A B

    C D

    C D

    = B.dSE.dlt

  • Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps

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    5

    Remarque: Sil ny a pas de f.e.m produite par la loi de Faraday, 0=== aA VVU E.dl . La tension dans une spire ferme est nulle. Pour cette raison, on ne dit pas tension induite dans une spire ferme, mais plutt une f.e.m induite. En effet,

    la tension dans une spire ferme doit tre obligatoirement nulle, sauf dans le cas dun f.e.m induite par la loi de Faraday.

    2. Forme diffrentielle :

    =

    S

    .tdSBE.dl

    Lintgrale ferme E.dl peut tre transpose en une intgrale surfacique (voir rappel mathmatique) :

    =S

    rotE.dSE.dl

    On obtient :

    = dSBdSE .t

    .rot

    La forme diffrentielle de la loi de Faraday est donc :

    Remarque : daprs cette quation on peut conclure quun champ

    magntique variable (t

    B ) cre un champ lectrique E. Ce champ

    lectrique est lorigine du courant induit. En effet, cest ce champ qui

    produit dplacement des charges dans le conducteur et qui est lorigine

    du courant induit.

    Rgime stationnaire: 0rot =E E est non rotationnel. (le champ E ne se referme pas)

    Rgime dpendant du temps RQS : t

    rot= BE E est rotationnel (le

    champ E se referme).

    Remarque :

    Cest dans le cas seulement de la f.e.m induite par induction magntique o lon rencontre un champ lectrique ferm.

    EXERCICE

    En rgime stationnaire gradV=E , dmontrer quen RQS t

    gradV= AE .

    Solution :

    trot

    = BE

    Comme AB rot= , il vient que

    trotrot

    trot

    =

    = AAE

    soit

    ( ) 0t

    rot =+ AE

    Par analogie avec le RS

    gradV0rot == EE , on pose :

    trot

    = BE

    Sens positif

    du courant

    E

    Figure 8

  • Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps

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    6

    gradVt

    =+ AE

    Donc

    tgradV

    = AE

    IV. COMPARAISON ENTRE R.S et R.Q.S R.S et R.Q.S :

    = q

    E.dS ; =IH.dl ; = 0B.dS

    RS seulement =0E.dl soit 0rot =E gradV=E

    R.Q.S seulement :

    = B.dSE.dlt

    soit t

    rot= BE

    gradVt

    =A

    E

  • Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    1

    CHAPITRE IV

    REGIME VARIABLE Equations de Maxwell

    I. PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA CHARGE : (Rgime variable) Supposons une surface ferme comprenant une charge q lintrieur, et un courant I sortant. Principe de conservation de la charge : Courant sortant de S diminution de q dans S;

    do dt

    dqI = ;

    Comme == dtdq

    I J.dSJ.dS

    vu que (thorme de Gauss) == E.dSE.dS qq

    donc ( ) = E.dSJ.dS dtd

    soit =

    + 0.dSE

    J.dSt

    ou bien =

    + 0.dSE

    Jt

    Cette expression reprsente lquation de conservation de la charge. 1. Forme intgrale

    =

    + 0.dSE

    Jt

    est la forme intgrale de lquation de conservation de la charge.

    2. Forme diffrentielle

    Lintgrale de surface ferme ( ) + .dSEJ t peut tre transpose en une intgrale de volume =

    +=

    +V

    dvt

    divt

    0E

    J.dSE

    J

    Par consquent, ( ) 0=+ dvt

    div EJ

    ou bien autrement, sachant que =Ediv :

    ( ) 0=+ EJ divt

    div ;

    On dduit alors : 0=+t

    div

    J

    Figure 1 : Surface ferme S

    I

    q

  • Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    2

    Remarque :

    Les termes t

    et

    tE ne sont considrs que dans le cas du rgime variable, ils sont ngligeables dans

    les autres rgimes. Cest--dire que :

    en RS et RQS : 0t et 0

    tE (ngligeables)

    Donc, lquation d conservation de la charge dans ces cas devient : =0J.dS ou 0=Jdiv Remarque :

    La conservation de la charge est respecte, car lorsquun lectron sort par la borne ngative, il prend la place dun lectron

    libre dans la matire qui relie les deux bornes (car les bornes doivent tre relies par un conducteur pour que le courant

    circule), llectron ainsi chass va voler son tour la place dun lectron situ un peu plus proche de la borne positive, et

    ainsi de suite jusqu la borne positive, dans laquelle le dernier lectron de la chane va rentrer.

    Donc, lorsquun lectron sort de la borne ngative, au mme moment, un lectron rentre dans la borne positive. La batterie

    ainsi que le conducteur ne se sont donc pas chargs, ils sont toujours neutres, bien que le courant circule !

    II. LOI DE MAXWELL-AMPERE

    Daprs le thorme dAmpre JH=rot . On peut crire :

    ( ) JHJH divrotdivrot == Comme div rot =0, on obtient :

    0J=div

    Mais en rgime variable nous avons t

    div= J et non pas 0J=div !

    Par consquent, le thorme dAmpre JH=rot nest plus valable dans le rgime variable.

    Question : que devient le thorme dAmpre dans ce cas ? Rponse :

    Nous connaissons que (en R.S et R.Q.S) : JHJ == rotdiv 0 (1)

    Par analogie en rgime variable nous pouvons poser :

    trot

    tdiv

    +==

    +E

    JHE

    J 0

    Conclusion : Maxwell a transform le thorme dAmpre en rgime variable et a ajout le terme

    tE . Le thorme dAmpre devient dans ce cas :

    trot

    += EJH (forme diffrentielle)

    Forme intgrale :

    ( ) +=+=S S

    trot

    trot .dSEJH.dSEJH

    Lintgrale de surface S

    rotH.dS peut tre transpose en une intgrale linique ferme :

    = dlHH.dS .rotS

    On arrive alors lexpression diffrentielle suivante :

    +=S

    t.dS

    EJH.dl (Forme intgrale)

  • Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    3

    III. EQUATIONS DE MAXWELL

    Maxwell a tabli quatre quations fondamentales de llectromagntisme et qui sont :

    1. Equation de Maxwell-Gauss (MG) :

    Forme intgrale : = q

    E.dS

    Le flux lectrique passant travers une surface ferme est gal au rapport q

    .

    Forme diffrentielle : =Ediv

    Cest la charge lectrique qui est lorigine (source) du champ lectrique. 2. Equation de Maxwell-flux magntique (M) : Forme intgrale : = 0B.dS Le flux magntique passant travers une surface ferme est nul. Forme diffrentielle : 0=Bdiv Par analogie avec lquation MG, il nexiste pas de "charge magntique" dans la nature.

    3. Equation de Maxwell-Faraday (MF) :

    Forme intgrale :

    = B.dSE.dlt

    Un conducteur travers par un flux magntique variable est le sige dune f.e.m induite.

    Forme diffrentielle : t

    rot= BE

    Un champ magntique variable cre un champ lectrique variable. 4. Equation de Maxwell-Ampre (MA) :

    Forme intgrale : +=tEJH.dl

    Forme diffrentielle : t

    rot+= EJH

    Un champ lectrique variable (tE ) cre au mme titre quun courant (J) un champ magntique variable.

    Remarques : Les quations de Maxwell sont valables dans les trois rgimes.

    Pour obtenir les quations dans le rgime stationnaire, il suffit de poser 0=t

    .

    Pour obtenir les quations dans le rgime dpendant du temps (quasi-stationnaire), il suffit de

    poser : 0tE et 0

    t .

    Les quations de MA et MF montrent que les champs E et H sont lis entre eux Cest le champ lectromagntique.

    EXERCICE

    1. On considre dans le vide un champ lectrique ( ) yuE ztEm = sin . Dterminer le champ magntique H associ E. 2. On considre dans le vide un champ magntique ( ) xuH ztjHm += exp Dterminer le champ lectrique E associ H. 3. Que peut-on conclure ?

  • Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-

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    4

    Solution :

    1) M.A : tt

    rot 0=

    = HBE

    =

    =

    =

    zE

    0E0z

    00

    EEEzyx

    roty

    yzyx

    x

    zyxzyx

    u

    uuuuuu

    E

    Soit ( )t

    ztErot m

    =+=H

    uE x 00cos

    do ( ) ( ) CteztEdtztE mm +== xx uuH

    sincos00

    2) ( ) xuH ztjHm += exp M.A :

    trot 0

    += EJH

    dans le vide : 0=J

    do t

    rot 0 = EH

    soit ( )zH

    00Hz

    00

    HHHzyx

    rot x

    xzyx

    =

    =

    = y

    zyxzyx

    u

    uuuuuu

    H

    ( ) =+=t

    ztjexpHjrot 0mEuH y

    ( ) ( ) yy uuE ztjexpj1Hjdtztjexp

    Hj

    0

    m

    0

    m

    +=+=

    Donc ( ) CteztjexpH0

    m ++= yuE

    3) On peut conclure que : Un champ lectrique E variable cre un champ magntique H variable ; Un champ magntique H variable cre un champ lectrique E variable ; HE .

    IV. LOI DOHM LOCALISEE

    La loi dOhm localise est exprime par la relation suivante : EJ =

    o conductivit lectrique )1( m

    1=

    avec rsistivit )( m

    Exemples : - Cuivre : 11710.81,5 = m ; m= 810.7,1

    - Aluminium : 11710.54,3 = m ; m= 910.8,2

    - Silicium (semi-conducteur) : 11510..6,1 = m ; m= 310.25,6

    - Verre : 111210. m ; m 1210.

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    5

    Dmonstration : Soit un conducteur cylindrique de section S et de longueur L, soumis une tension U La loi dOhm gnralise scrit comme suit :

    RIU= (1) R : rsistance du conducteur Comme

    = dlSR

    , = dSJI , et = dlEU nous obtenons en substituant dans lquation 1 :

    JS

    EdSJdlS

    dlE ==

    Soit EJ=

    Ou bien EJ = Cette galit est galement valable en notation vectorielle : EJ = V. CONDITIONS LIMITES

    Soient deux milieux dilectriques diffrents (air et verre par exemple) spars par une interface frontire fictive de sparation- situe dans le plan YOZ par exemple. Question : Que devient le champ lectromagntique quant il passe dun milieu un autre ? Posons E = Et + En Et: composante tangentielle par rapport la surface de sparation (plan YOZ). En: composante perpendiculaire par rapport la surface de sparation. 1. CHAMP ELECTRIQUE

    a) Composantes tangentielles :

    La forme intgrale de lquation de MF est :

    = B.dSE.dlt

    Le contour ferm considr est un rectangle ABCD situ de part et dautre de la frontire.

    +++++==ABCDA

    1t1n2n2t2n AD.EMA.EBM.ECB.ENC.EDN.n1EE.dlE.dl

    Etant donn quon veut tudier le champ la frontire des deux matriaux, cest--dire les conditions limites du champ lectrique, on pose :

    0=== NCDNMBAM ,

    U

    L S

    E

    I

    Figure 2

    O

    Milieu 2 (verre) (2 , 2)

    Milieu 1 (air) (1 , 1)

    Z

    X

    Y

    E1

    En1

    Et1

    un

    ut E2

    En2

    Et2

    Figure 3

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    6

    On obtient alors :

    ( ) =+=ABCDA

    tttt EECBAD.ECB.Edl.E 1212 ,

    Par ailleurs, vu que :

    0AB , donc 0ABxBCS = On dduit que :

    0.tdSB

    En outre sachant que : AD=-CB on arrive

    ( ) 012 ==ABCDA

    tt EECBE.dl

    Soit donc Conclusion : les composantes tangentielles du champ lectrique sont gales.

    b) Composantes normales :

    La forme intgrale de lquation de MG est :

    =q

    E.dS

    On considre comme surface ferme un cylindre de longueur L.

    === qqq

    D.dSE.dSE.dS

    Soit ++= 33n22n11n .dSD.dSD.dSDD.dS On suppose le cas gnral o la surface de sparation porte une charge Sq s= . Par ailleurs, vu que lon tudie les conditions limites, on pose alors 0L , soit donc 0S3 . Do :

    22n11n22n11n SDSD.. +=+= dSDdSDD.dS Comme SSS 21 == :

    [ ] SDDS s1n2n == D.dS Soit donc s1n2n DD = Si 0s= qui est le cas le plus frquent, on aboutit alors :

    Ou bien 2

    1121122

    nnnn EEEE ==

    12 tt EE =

    1n2n DD =

    O

    Z

    D C

    B A

    Y

    X

    En2

    En2

    En1

    En1

    Et2 Et1 E2

    E1

    M

    N

    Milieu 1 Milieu 2

    Figure 4

    L

    (2 , 2)

    (1 , 1)

    Z

    dS3

    dS2

    dS1 Dn2 Dn1

    Y

    X

    D1

    D2

    s

    Milieu 1 Milieu 2

    Figure 5

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    7

    2. CHAMP MAGNETIQUE

    a) Composantes perpendiculaires :

    La forme intgrale de lquation de M est :

    =0B.dS Considrons comme pour le cas prcdent une surface cylindrique de longueur L. Lapplication de cette quation cette surface donne :

    0332211 =++= .dSB.dSB.dSBB.dS nnn la frontire entre les deux milieux (conditions limites) on doit poser :

    0L , soit donc 0S3 . On obtient alors :

    022112211 =+=+= SBSB nnnn .dSB.dSBB.dS Comme SSS 21 == : ( ) 0BBS 1n2n = Soit 1n2n BB =

    Ou bien : 2

    1121122

    nnnn HHHH ==

    Conclusion : les composantes perpendiculaires de linduction B sont gales.

    b) Composantes tangentielles

    La forme intgrale de lquation de MA est :

    dSEJ.dSH.dl .t

    +=

    Choisissons comme contour ferm un cadre ABCD situ de part et dautre de la frontire entre les deux milieux. Lapplication de lquation de M.A ce cadre donne :

    AD.HMA.HBM.HCB.HNC.HDN.HH.dlH.dl tnntnABCDA

    n 112221 +++++==

    A la frontire entre les deux milieux (conditions limites), on doit poser : 0=== NCDNMBAM .

    On obtient alors :

    AD.HCB.HH.dl tt 12 += Par ailleurs, vu que : AD=-CB On peut crire:

    O

    dS3

    L

    (2 , 2)

    (1 , 1)

    Z

    Y

    X

    B2

    dS2

    dS1

    Bn2 Bn1

    B1

    Figure 6

    O X

    Z

    D C

    B A

    Y

    Hn2

    Hn2

    Hn1

    Hn1

    Ht2 Ht1

    H2

    H1

    N

    M

    Figure 7

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    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    8

    )HH.(CBdl.H tt 12= (1) Dautre part, comme 0AB ,

    0ABxBCS = 0.tdSE

    Calculons maintenant J.dS . On considrera le cas gnral o la surface de sparation entre les deux milieux est une nappe de courant, quoi que ce cas est peu probable en pratique. Courant volumique: le courant I circule dans un conducteur volumique de section S (figure 8). La densit de courant dans ce cas est :

    SIJs =

    Cest une densit de courant surfacique. Nappe de courant : Le courant I circule dans une nappe (plan) de largeur L (figure 9). La densit de courant dans ce cas est :

    LIJl =

    Cest une densit de courant linique. Par consquent

    LJI l= Dans le cas donc o un courant surfacique circule dans la surface de sparation, le courant qui passe travers le cadre ABCD est :

    BCJI n= On ne considre que la partie du courant traversant le cadre,

    cest--dire la composante perpendiculaire au cadre. Cette

    condition est dicte par le thorme dAmpre lui mme.

    Comme zn JJ = et que zJ.u=zJ , on obtient ce qui suit :

    ( ) ( ) ( ) ( ) yxxyyxz uuJuJ.uuuJ.J.u BCBCBCBCI .==== soit ( ) CBuJ x .=I (2). En tablissant lgalit des quations (1) et (2), on obtient :

    ( ) ( )xt1t2 uJHH = .. CBCB

    S

    Figure 8 : Courant volumique

    I

    Figure 9 : Nappe de courant

    L I

    M

    Y

    B J Jt

    Jn

    A

    Jn

    Jt

    N D C

    X O

    Z

    J = Jn + Jt

    Figure 10

  • Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-

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    9

    Soit xt1t2 uJHH = En posant 12n comme tant le vecteur unitaire dirig du milieu 1 vers le milieu 2, on arrive : RESUME :

    12 tt EE = ;

    snn EE = 1122 (en gnral s = 0) ;

    1122 nn HH = ;

    12nJHH = 12 tt (en gnral J = 0). EXERCICE

    Soient deux milieux isolants diffrents. La surface de sparation entre les deux milieux est situe dans le plan XOY. On donne zyx uuuB 4,08,02,11 ++= .

    Dterminer linduction B2 rgnant dans le milieu 2.

    Solution :

    ++= zyx1 uuuB 4,08,02,1

    ++== zyx1

    1 uuuB

    H15

    4,0

    15

    8,0

    15

    2,11

    01

    soit ( )zyx1 uuuH 03,005,008,010

    ++=

    Dautre part, nous avons 12t1t2 nJHH = comme 0=J on pose

    12 tt HH = Les composantes tangentielles sont : xu et yu .

    do ( )yx0

    t1t2 uuHH 05,008,01 +==

    et donc yxt20t22t2 uuHHB 05,008,0 +=== La composante normale tant suivant zu , alors :

    zuB 4,01n = vu que 12 nn BB = , il vient:

    z4,0 uBn2= do zyxn2t22 uuuBBB 4,005,008,0 ++=+=

    12nJHH = 12 tt

    X

    O

    Milieu 2 (2=0 , 2=0)

    Milieu 1 (1=0 , 1=150)

    Y

    Z

    B1

    Bn1

    Bt1 B2

    Bn2

    Bt2

    Figure 11

  • Propagation du champ lectromagntique

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    1

    CHAPITRE V

    PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE ONDES ELECTROMAGNETIQUES

    I. DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE LA PROPAGATION

    Considrons une fonction physique = f(x) reprsente graphiquement par la courbe

    en trait plein, qui se propage dans le sens des x positifs. A la distance x = x0, nous obtenons la

    fonction = f(x-x0), la courbe a t dplace vers la droite dune quantit x0.

    de mme = f(x+ x0) correspond un dplacement vers la gauche.

    De toute vidence, la forme de la courbe na pas t modifie ; les mmes valeurs de se

    retrouvent.

    Si on pose x = v t, o v reprsente la vitesse de propagation de la courbe, on obtient

    une courbe voyageuse ; cest dire que = f(x-vt) reprsente une courbe se dplaant vers

    la droite et = f(x+ vt) reprsente une courbe se dplaant vers la gauche.

    Nous concluons quune expression mathmatique de la forme = f(x vt) est

    suffisante pour dcrire un phnomne physique qui se propage sans dformation, suivant le

    sens positif ou ngatif de laxe des x.

    Fonction sinusodale :

    Un cas spcialement intressant est dans lequel = f(x,t) est une fonction sinusodale :

    = f(x,t)= 0 sin (x vt).

    En remplaant x par (x + 2 / ), on obtient la mme valeur, soit :

    ( )[ ] ( )vtxvtxvtxvtx =+=

    +=

    +

    2sin2sin2 00

    donc

    2=

    = f(x+ vt) = f(x- vt) = f(x)

    x0 x0

    O

    x0 x0

    x

    Figure 1 : Translation sans dformation de la fonction = f(x vt)

  • Propagation du champ lectromagntique

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    2

    reprsente la priode dans lespace , cest dire que la courbe se reproduit gale elle

    mme tous les , qui est appele longueur donde. La quantit 2= reprsente alors le

    nombre de longueurs donde dans la distance 2 et est appel nombre donde.

    Par consquent, on peut crire :

    ( )txtx = sin),( 0 o

    vv 2==

    est la pulsation de londe.

    Puisque

    f 2= on a la relation importante :

    f = v.

    t = t0

    t = t0 +T/4

    t = t0 +T/2

    t = t0 +T

    t = t0 +3T/4

    X

    X

    X

    X

    X

    Figure 2

  • Propagation du champ lectromagntique

    Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar

    3

    Nous pouvons remarquer que, tandis que la situation physique se propage vers la

    droite, elle se reproduit identique elle mme dans lespace avec une priode : la longueur

    donde est la distance que progresse londe en une priode T.

    On adonc deux priodes :

    lune dans le temps T et lautre dans lespace , lies par la relation

    vTfv == .

    EXERCICE

    Montrer que lexpression dune onde progressive = f(x vt) peut scrire sous une autre

    forme = f(t+ x/v).

    ( ) ( )vxtvt

    vxvvtx

    vvvtx === )(

    donc ( )vxtvtx )( .

    Par consquent, pour londe sinusodale, on peut crire :

    ( ) ( ) ( )tvxvvtxtx == sinsin, 00

    comme v = ,

    ( ) ( ) ( )xtvxtvtx == sinsinsin 000

    II. EQUATION DE PROPAGATION DUNE ONDE QUELCONQUE

    Exemple : Onde de vibration sur une corde.

    Une vibration cre en "m" progresse vers "p"

    en gardant la mme forme, il sagit donc dune

    onde progressive.

    Si la propagation se fait vers les x > 0, on pose : ( ) ( )= trtr mp Propagation vers les x 0, on pose donc : ( ) ( )= trtr mp

    posons

    ( ) ( )tftrp = et ( ) ( ) ( ) ( )uf

    vxtftftrm ===

    Mur

    r

    x m m

    Sens de propagation

    de londe

    Figure 3

  • Propagation du champ lectromagntique

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    4

    avec

    vxtu =

    Calculons les drives premire et seconde de r par rapport au temps t

    ( ) ( ) ( ) ( )u'ftu

    u

    uf

    t

    uf

    t

    trm =

    =

    =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u''ftu

    u

    u'fu'f

    tt

    uf

    tt

    uf

    t

    tr2

    2

    2

    m2

    =

    ==

    =

    =

    soit ( )u''ft

    r2

    m2

    =

    (1)

    Calculons les drives premire et seconde de r par rapport x

    ( ) ( ) ( ) ( )u'fv1

    xu

    u

    uf

    x

    uf

    x

    tr

    xr mm =

    =

    =

    =

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )u''fv1

    xu

    u

    u'f

    v1u'f

    v1

    xx

    tr

    xx

    tr2

    m

    2

    m2

    =

    ==

    =

    soit ( ) ( )u''f

    v1

    x

    tr

    22

    m2

    =

    (2)

    En combinant les quations (1) et (2), on obtient :

    Cette quation reprsente lexpression mathmatique de lquation de propagation de la

    grandeur rm suivant laxe des x.

    Propagation suivant une direction quelconque

    2

    m2

    22

    m2

    2

    m2

    2

    m2

    t

    r

    v1

    z

    r

    y

    r

    x

    r

    =

    +

    +

    soit 2

    m2

    2m

    2

    t

    r

    v1r

    = (4)

    Equation diffrentielle de la propagation

    2

    2

    22

    21

    tvx

    =

    est lquation diffrentielle de propagation de la grandeur suivant laxe des x.

    La solution de cette quation est de la forme :

    ( ) ( ) ( )vtxfvtxftx ++= 11, Cette solution peut alors sexprimer comme la superposition de deux ondes se

    propageant en sens opposs. Evidemment, pour une onde se propageant dans un seul sens,

    seule lune des deux fonctions de lquation est ncessaire.

    2

    m2

    22

    m2

    t

    r

    v1

    x

    r

    =

  • Propagation du champ lectromagntique

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    5

    Exercice : montrer que lquation prcdente est bien la solution de lquation de propagation.

    ( ) ( ) )(, 11 ufvtxftx == avec vtxu =

    du

    d

    xu

    dux

    ==

    ; du

    dv

    tu

    dut

    ==

    Ensuite en calculant les drives secondes on obtient :

    2

    2

    2

    2

    du

    d

    du

    d

    xu

    udx

    d

    xx

    =

    =

    =

    ( )2

    2

    22

    2

    )(du

    dv

    du

    dvv

    udt

    d

    tu

    udt

    d

    tt

    ==

    =

    =

    en combinant ces deux quations pour liminer d2 / du

    2, nous obtenons lquation de

    propagation : 2

    2

    22

    21

    tvx

    =

    .

    Exercice : montrer que lquation sinusodale est bien la solution de lquation de

    propagation.

    ( )xt = sin0

    ( )xtx

    =

    cos0 ; ( )xtx

    =

    sin02

    2

    2

    (1)

    ( )xtt

    =

    cos0 ; ( )xtt

    =

    sin02

    2

    2

    (2)

    par consquent, en liminant ( )xt sin0 entre les quations (1) et (2), on obtient :

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    111tvtxtx

    =

    =

    =

    III. EQUATION DE PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE DANS

    LE VIDE

    1. Equation de propagation de E

    Les quations de Maxwell sont :

    =Ediv ; 0div =B ;

    tBE=rot ;

    trot

    += EJH

    En posant dans vide que :

    0J= ; 0= (milieu neutre).

    F/m 10858 120 == ., ; H/m 104 70 ==

    on obtient

    ( ) ( ) ( )HHEHBE rottt

    rotrotrottt

    rot 000 =

    =

    =

    =

    do ( ) ( )2

    2

    0000 tttrotrot

    =

    =

    EEE (5)

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    6

    dautre part, nous avons

    ( ) ( ) EEE 2= divgradrotrot

    comme 0div0

    ==

    E , on a :

    ( ) EE 2rotrot = soit donc, en tenant compte de lquation (5) :

    2

    2

    002

    t

    =E

    E (6) ;

    En comparant celle-ci avec lquation (4), savoir 2

    m2

    2m

    2

    t

    r

    v1r

    = , on dduit :

    soit

    s/m10.310.4.10.85,8

    11v 8712

    00

    ==

    Conclusion : Le champ lectrique E se propage dans le vide avec une vitesse sm103v 8 /.= .

    2. Equation de propagation de H

    ttrot 00

    =+= EEJH

    ( ) ( ) ( )EEH rottt

    rotrotrot 00 =

    =

    ( ) ( )2

    2

    0000 tttrotrot

    =

    =

    HHE (7)

    dautre part

    ( ) ( ) HHH 2divgradrotrot = comme 0vdi =B ,

    ( ) HH 2rotrot =

    soit donc, en tenant compte de lquation (7) :

    2

    2

    002

    t

    =H

    H (8) ;

    En comparant celle-ci avec lquation (4), savoir 2

    m2

    2m

    2

    t

    r

    v1r

    = , on dduit galement que :

    sm1031v 8

    00

    /.==

    Conclusion : Le champ magntique H se propage galement dans le vide avec une vitesse

    sm103v 8 /.= .

    002v1 =

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    7

    IV. VERIFICATION EXPERIMENTALE

    Contrairement la majorit des dcouvertes scientifiques qui commencent par des

    essais exprimentaux avant dtablir des lois thoriques (Loi de Coulomb, loi de Faraday), la

    dmonstration mathmatique (thorique) de la propagation du champ lectromagntique tait

    ralise bien avant que lexprience ne vienne confirmer la thorie de propagation du champ

    lectromagntique.

    Exprience de Hertz

    Vers la fin du dix-neuvime sicle, le physicien allemand Heirich Hertz (1857 1894)

    a prouv de manire indiscutable que le champ lectromagntique se propage bien dans le

    vide. Laccumulation dinformations des ondes lectromagntiques concernant leur

    production, leur propagation et leur absorption a ouvert la porte au monde merveilleux des

    communications tel que nous le connaissons aujourdhui. Avant que Hertz nait effectu ses

    expriences, lexistence des ondes lectromagntiques avait t prdite par Maxwell la suite

    dune analyse dtaille des quations du champ lectromagntique.

    Le systme form par les deux boules sphriques P1 et P2 aliment par une tension est

    un oscillateur, chaque tincelle (arc) qui apparat entre les deux sphres circule un courant i

    brusque et donc variable. Ce courant gnre un champ lectrique et un champ magntique.

    Rsultat de lexprience :

    Il apparat une tincelle aux bornes de la spire S1

    Interprtation :

    Lapparition de ltincelle montre quil existe une tension aux bornes de la spire S1 ,

    en fait cest une f.e.m induite par le champ magntique H cre par loscillateur, et qui sest

    propag jusqu S1. La spire S2 tant parallle au champ H, le flux magntique est nul et ne

    peut pas induire une f.e.m.

    Conclusion :

    Quand le champ lectromagntique est variable, il devient une onde qui se propage dans

    lair.

    P2

    P1

    S2

    O i

    Z

    X

    Y

    H

    E

    S1

    Figure 4

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    8

    V. ONDE PLANE

    Lexpression = f (t x) signifie qu un instant donn t, la fonction prend la

    mme valeur en tout point ayant une mme coordonne x. Mais x = const reprsente un plan

    perpendiculaire laxe des x (Figure). Par consquent, = f (t x) dcrit dans lespace une

    onde plane se propageant paralllement laxe des x.

    n est un vecteur unitaire dirig suivant laxe de propagation, appel vecteur de propagation.

    Londe lectromagntique est plane lorsque E et H forment un plan qui se propage dans une

    seule direction.

    Remarque :

    Les ondes lectromagntiques sont soit des ondes planes soit une combinaison dondes planes.

    Si r est le vecteur position dun point quelconque P du front donde, on a x = n . r et lon peut

    donc crire :

    ( )rn. = tf . Cette forme reste valable quelque soit la direction de n :

    n = nx ux + ny uy + nz uz.

    Dans le cas dune onde sinusodale se propageant dans une direction n quelconque, on crit :

    .

    Il est commode de dfinir un vecteur = n. il est habituellement nomm vecteur donde.

    Remarque : si la propagation a lieu dans lespace trois dimensions lquation donde doit

    tre modifie en consquence. Elle devient alors

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    21

    tvzyx

    =

    +

    +

    (1)

    Dans ce cas, on pose galement :

    = x ux + y uy + z uz.

    Pour une onde sinusodale, on obtient :

    ( )znynxnt zyx = sin0 (2) et,

    x

    X

    n r

    P

    Y

    Z

    Vecteur de propagation

    O

    ( )rn.sin0 = t

    t=t1, x=x1 t2, x2 t3, x3

    E

    H

    ux

    Y

    Z Figure 5 Figure 6

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    9

    2

    2

    2222

    vzyx

    =++= .

    Remarque : en plus des ondes planes, il existe des ondes cylindriques, sphriques

    Les ondes planes se propagent dans une seule direction (Figure 7). Les ondes cylindriques se propagent perpendiculairement laxe dun cylindre (Figure

    8).

    Les ondes circulaires qui se propagent dans toutes les directions suivant un plan (Figure 9).

    Les ondes sphriques se propagent dans toutes les directions (Figure 9).

    Remarque : londe circulaire qui se propage sur un plan est bi-dimensionnelle qui demande

    seulement deux coordonnes despace. Lquation pour cette onde est donc :

    2

    2

    22

    2

    2

    21

    tvyx

    =

    +

    .

    EXERCICE

    Montrer que lquation (2) vrifie lquation diffrentielle de propagation (1).

    Solution :

    ( )znynxnt zyx = sin0 ( )xt

    t =

    cos0 ; ( )xtt

    =

    sin02

    2

    2

    (3)

    O

    X

    Y

    Z

    n

    Figure 7

    Figure 8

    Figure 9

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    10

    ( )znynxntnx

    zyxx =

    cos0 ; ( ) ( )znynxntnx zyxx

    =

    sin022

    2

    2

    (3)

    par analogie avec lquation (3), on obtient :

    ( ) ( )znynxntny

    zyxy

    =

    sin022

    2

    2

    (4)

    ( ) ( )znynxntnz

    zyxz

    =

    sin022

    2

    2

    (5)

    En remplaant les expressions (3), (4) et (5) dans lquation diffrentielle de propagation, on

    obtient :

    ( )( )[ ]2220222

    2

    2

    2

    2

    sin zyxzyx nnnznynxntzyx

    ++=

    +

    +

    comme ( ) 1222 =++ zyx nnn ,

    ( )znynxntzyx

    zyx

    =

    +

    +

    sin02

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    comme par ailleurs,

    ( )znynxntt

    zyx =

    cos0 ; ( )znynxntt zyx

    =

    sin02

    2

    2

    on aboutit :

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    21

    tvzyx

    =

    +

    +

    EXERCICE

    Soit un champ sinusodal ( )tcosE0 uE= qui se propage suivant laxe des x. Rcrire les quations de Maxwell et lq