Cours Meca01 Prof

Mcanique

Chapitre 1

Premiers pas en mcanique du point

PCSI1, Fabert (Metz) I Phnomnologie


Cest LE chapitre le plus important de la mcanique car cest celui qui contient toute la baseet tous les concepts fondamentaux. Une non matrise / connaissance parfaite de ce chapitre seraforcment handicapant un jour ou un autre.

Pour commencer, nous nallons pas chercher directement dcrire le mouvement des vagues surla mer : cest trop difficile pour une premire fois tant donn quelles se dforment. Nous nouscontenterons dans ce chapitre de faire bouger des choses trs simples.

I Phnomnologie

I1 Bouger !I1i monstration

G Regardons un pendule osciller et essayons de dcrire son mouvement.

Montrer le dbut du film avec le pendule.

G Comment dire quil bouge ? il faut imaginer un point de repre indpendant du pendule il faut regarder comment volue, par exemple, le centre du pendule par rapport ce point derepre

I1ii quest-ce qui bouge ?G Ici nous pouvons constater que la seule donne de la position du centre de la boule est suffisante

pour dcrire tout ce qui se passe.G Nous tudierons toujours cette anne la trajectoire de points matriels. Un seul la plupart du temps,

deux simultanment dans un chapitre ultrieur.

Un point matriel est un point gomtrique affect dune masse m > 0 exprime en kg.

G Un point matriel peut reprsenter deux choses : un tout petit objet par rapport lespace dvolution (ex : une molcule dans une pice) un point particulier dun grand objet : un coin, une extrmit ou . . . le centre de masse (ex :le centre de la Terre pour ltude dun satellite)

Tout objet solide indformable se comporte exactement comme un point matriellorsquil ne tourne pas sur lui-mme.

G Nous considrerons donc tout objet, si gros soit-il comme un unique point matriel du point devue mcanique et nous le dessinerons comme tel.

G Plus tard, pour les gros objets qui tournent ou se dforment, nous les dcouperons (par la pense)en morceaux si petits que chacun des morceaux pourra tre assimil un point matriel que nouspourrons alors tudier.

Matthieu Rigaut 1 / 43 Version du 2 janv. 2011

PCSI1, Fabert (Metz) I1 Bouger !I1iii bouger par rapport

Montrer la fin du film avec le pendule.

G En voyant la fin du film, il est (trs) tentant de dire en fait cest la camra qui bougeait . . . cequi serait dj une erreur !

G En effet au dbut, le pendule bougeait vraiment par rapport la camra et cest cela qui comptecar bien plus que le repre, il faut dfinir le rfrentiel.

G Dire cest la camra qui bouge (vs. le pendule bouge) cest croire et laisser croire que certaineschoses bougeraient de manire intrinsque et pas dautre. Ce qui est faux ! Il ny a pas de rfrentiel absolu , il ny a que des rfrentiels plus ou moins naturels (dont le fameux rfrentiel terrestre).

Le rfrentiel est ce par rapport quoi quelque chose bouge.

Un rfrentiel est toujours immobile par rapport lui-mme.

G Le rfrentiel est aussi arbitraire que possible : il sera possible de faire de la mcanique dans nimportequel rfrentiel.

G La plupart du temps, nous le ferons dans le rfrentiel naturel terrestre.G Le rfrentiel terrestre est si naturel quil pose des soucis et que lorsque nous disons quassis sur notre

chaise nous bougeons : environ 300 m.s1 par rapport au rfrentiel gocentrique environ 30 km.s1 par rapport au rfrentiel hliocentrique

G Il est difficile de ladmettre vritablement car nous le ressentons pas. En fait cest normal car nousverrons que nous ne ressentons pas la vitesse mais les forces, et les forces sont :

le poids qui nous fait tourner quelques centaines de mtres par seconde 1000 fois infrieure au poids pour nous faire avancer 30 km par seconde

G Une fois choisi ce par rapport quoi un objet bouge, il faut pouvoir dcrire la manire dont il bouge.

Un repre est la manire que nous avons de dcrire la faon dont un objet bouge parrapport un rfrentiel.

Il existe donc de multiples repre pour un mme rfrentiel.

G Le plus naturel des repre est le repre dit cartsien : 3 axes orthogonaux de centre O de base(~ux,~uy,~uz).

z

y

x

O

~uy~uz

~ux


PCSI1, Fabert (Metz) I1 Bouger !I1iv finalement, cest quoi un mouvement ?

G Nous pouvons penser naturellement la trajectoire, mais il y a bien plus que cela, il y a le fait quelobjet se mette bouger, sarrte, revienne en arrire, que le phnomne soit priodique, . . .

Le mouvement dun objet ou dun point matriel est lensemble des caractristiques quipermettent de dcrire son dplacement par rapport un rfrentiel : position, vitesse et

acclration.

La position dun point matriel sera repre par le vecteur positionOM (t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz

Le vecteur position a une norme en mtre.

La vitesse dun point matriel caractrise la manire dont la position change avec letemps et scrit :

~v(t) ,dOM (t)

dt

Le vecteur vitesse a une norme en m.s1.

G Linterprtation de la drive est bien cohrente avec la dfinition de la vitesse : dOM reprsente unepetite variation de position alors que dt reprsente une petite dure.

d ~OM (t)

dtreprsente donc bien

la manire dont la position change lorsque t change, ie. lorsque le temps scoule.

La vitesse dun point par rapport un rfrentiel est un vecteur dont les composantessont :

~v(t) =dx(t)

dt~ux +

dy(t)

dt~uy +

dz(t)

dt~uz

not

= x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz

G En effet :

~v(t) =dOM (t)

dt=

d

dt

(x(t) ~ux + y(t)~uy + z(t) ~uz

)=

d

dt

(x(t) ~ux

)+

d

dt

(y(t)~uy

)+

d

dt

(z(t) ~uz

)

La drivation de vecteurs se fait comme la drivation de fonctions usuelles. En

particulier, si ~u est un vecteur constant dans le temps,dx(t) ~u

dt=

dx(t)

dt~u.


PCSI1, Fabert (Metz) I2 Origine du mouvement

G Nous obtenons donc bien ~v(t) = dx(t)dt

~ux +dy(t)

dt~uy +

dz(t)

dt~uz

not

= x(t) ~ux + y(t) ~ux + x(t) ~ux.

Lacclration dun point matriel caractrise la manire dont la vitesse change avec letemps et scrit :

~a(t) ,d~v(t)

dt

Lacclration est aussi la drive seconde du vecteur position :

~a(t) =d2~r(t)

dt2

Le vecteur acclration a une norme en m.s2.

Lacclration dun point par rapport un rfrentiel est un vecteur dont lescomposantes sont :

~a(t) =d2x(t)

dt2~ux +

d2y(t)

dt2~uy +

d2z(t)

dt2~uz

not

= x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz

G La dmonstration est identique celle faite pour la vitesse.G Si nous cherchons dcrire un mouvement avec position, vitesse et acclration cest parce que leslois physiques font intervenir position, vitesse et acclration !

G Ce nest pas un choix arbitraire de sarrter la drive dordre deux.

I2 Origine du mouvementG Cest la question du jour : cause de quoi un objet se met-il bouger ?

I2i les forcesG La rponse naturelle est les forces .G Effectivement, mais attention, les forces ne sont pas ncessaires au mouvement (par rapport un

rfrentiel) mais la mise en mouvement par rapport ce rfrentiel.G Dfinir une force savre, au fond, dlicat cette notion est intimement lie au mouvement qui, lui-

mme, est dfini partir du rfrentiel, qui est dfini en lien avec les forces (cf. partie IV).G Il est bien plus facile de dcrire une force.

Une force se reprsente par un vecteur. Il faut donc trois choses pour la dcrireentirement :

soit les trois composantes du vecteur dans une base soit sa direction, son sens et sa norme en newton


PCSI1, Fabert (Metz) I3 Mouvement qualitatifI2ii forces distance

G Comme leur nom lindique, ces forces peuvent agir distance. Cest fondamentalement trange quandnous y rflchissons.

G Il y a : linteraction gravitationnelle, ie. le fait que des objets massiques sattirent (ce sera le poids la surface de la Terre)

linteraction lectromagntique, ie. le fait que des objets chargs aient des influences rci-proques

G Ces deux forces sont deux des quatre forces fondamentales de la physique. Les deux autres sont : linteraction nuclaire forte responsable de la cohsion du noyau atomique linteraction nuclaire faible responsable des dsintgrations

I2iii forces de contactG L aussi elles portent bien leur nom.

Ds que deux objets sont en contact lun avec lautre, ils exercent une force lun surlautre.

Quand deux objets ne sont pas en contact lun avec lautre, ils nexercent aucune forcelun sur lautre.

G Cest une rgle et une loi extrmement simple mais immuable : PAS CONTACT, PAS FORCE .G Le fait que certaines choses influencent distance le mouvement sera un guide intuitif pour la

rsolution et pour le choix des lois crire mais cela ne doit surtout pas guider lcriture des lois enelles-mmes.

I3 Mouvement qualitatifI3i la trop frquente confusion

G Reprenons le film du pendule, mais un vrai pendule cette fois.G La situation sera schmatise, un instant quelconque de la manire suivante.

m

G Quelles sont les forces qui sexercent sur la masse ? force distance : le poids force de contact : le fil, lair (frottement)

G Point na t besoin de savoir si la masse montait ou descendait ! La vitesse est indpendante de laliste des forces qui sexercent.


PCSI1, Fabert (Metz) II Il bouge !

Il est compltement inutile de connatre le mouvement dun corps pour dterminer lanature des forces qui sexercent sur lui.

G Tout comme il nest pas utile de savoir si un condensateur se charge ou se dcharge pour choisir entreC du(t)

dt!

G Ceci dit, cest vrai que pour avoir lexpression de certaines forces (les frottements), il faudra parfois : soit connatre le sens de la trajectoire soit faire des suppositions sur la trajectoire

I3ii le rle des frottementsG Pour mieux dterminer quelles lois crire, il est trs utile de simaginer qualitativement le mouvement

des objets tudis.G Quels sont les effets qualitatifs dun frottement ?G Nous pensons spontanment : frottement = ralentissement alors que cest physiquement faux.

Contre-exemple : les feuilles des arbres qui senvolent le tapis de caissire la voiture qui avance grce aux frottements de la route

II Il bouge !

G Dans cette partie, nous allons vritablement commencer dterminer a priori le mouvement dunpoint matriel, cest--dire apprendre trouver, partir dune situation relle dcrite,

II1 La loi outil : le principe fondamental de la dynamiqueII1i nonc

Dans un rfrentiel galilen, pour tout point matriel M de masse m subissant les forces~fi, nous pouvons crire :

~fi =

d~p(t)

dto ~p(t) = m~v(t)

~p(t) est appele la quantit de mouvement.

G Les rfrentiels galilens sont ceux dans lesquels le PFD est vrai. Cest une question un peu subtilede savoir quand un rfrentiel est parfaitement galilen ; nous verrons donc cela plus tard.

La quantit de mouvement caractrise le mouvement dun point matriel.

G La quantit de mouvement est une grandeur fondamentale en mcanique. La preuve, cest quelleapparat dans la loi fondamentale de la dynamique.


PCSI1, Fabert (Metz) II1 La loi outil : le principe fondamental de la dynamiqueL rcriture usuelle

G Bien que la quantit de mouvement soit la grandeur fondamentale, une rcriture usuelle du PFDsappuie sur le fait que la masse dun point matriel est une constante ce qui implique

d~p(t)

dt=

dm~v(t)

dt= m

dv(t)

dtet ainsi :

Dans un rfrentiel galilen, pour tout point matriel M de masse m subissant les forces~fi, nous pouvons crire :

~fi = m~a(t)

G Lorsquen 2e anne, il faudra tudier des choses dont la masse est variable, la mthode usuelle serade revenir la version originelle de la loi, savoir

dp(t)

dt=

~fi

II1ii lectureG Comme son nom lindique, cest un principe : il ne se dmontre pas ! Des multitudes dexpriences

nont pas russi le mettre en dfaut dans le cadre de ses limites, donc il est considr commereprsentant la ralit.

G Cest le principe fondamental de la dynamique. ne pas confondre avec le principe fondamentalde la mcanique qui, en soi, nexiste pas. Pour fabriquer la mcanique, il faut 3 lois, les 3 loisde Newton, celle-ci nest que la 2e. Le problme cest que les deux autres sont trop souventoublies . . .

G Il est applicable nimporte quel point matriel ! Cest un principe absolument universel et il seratoujours vrai.

G Ce principe relie les forces qui sexercent sur un point matriel un instant t lacclration cemme instant que possde ce point matriel ~a(t). Dun point de vue cause et consquence il est dslors difficile daffirmer que ce sont les forces qui causent lacclration.

G Cette loi relie force et acclration, il est donc possible de la faire fonctionner de deux maniresdiffrentes :

si les expressions des forces sont connues, alors ~a(t) est connue, ce qui donne, par projectionsur les vecteurs de la base, trois quations diffrentielles du second ordre et yapuka rsoudrepour avoir

OM (t)

si les expressions des forces ne sont pas connues, alors en connaissant ~a(t) il est possible,toujours par projection, de retrouver lexpression des forces

G Notons tout de suite quil y a une grande quantit de forces dont lexpression nest pas connues, cesont la plupart des forces de contact. Lutilisation du PFD sera alors dlicat car ses projections ferontsouvent intervenir des grandeurs inconnues.

G Nous pouvons maintenant rpondre la question quest-ce que la masse ?

La masse inertielle est la grandeur qui caractrise la capacit qua un point matriel rsister aux effets des forces.


PCSI1, Fabert (Metz) II2 Aborder un problme de mcaniqueII2 Aborder un problme de mcanique

G Il faut avant tout se souvenir quun problme de mcanique nest pas difficile car la partie analysephysique se fait de manire intuitive et que la partie analyse technique est quasi vidente.

G La difficult en mcanique, car il y en a bien une, cest de ne pas utiliser ses intuitions lors delutilisation des lois physiques : les explications des phnomnes sont, en effet, fort peu intuitives . . .contrairement aux phnomnes eux-mmes.

II2i analyse physique et techniqueG Lanalyse physique prliminaire consiste :

imaginer dans sa tte le film de ce quil se passe, il est important de voir les choses bouger etnotamment de dterminer sil existe plusieurs tapes notablement distinctes, ou si, la fin, lemouvement sarrte ou pas. Les tapes se distinguent par le fait que des forces agissent ou non.Par exemple si un objet est lanc puis heurte le sol, jusquau moment o il est en lair, cestune tape et aprs cen est une autre.

bien reprer ce qui est contraint (notamment les trajectoires) de ce qui ne lest pas penser aux grandeurs pertinentes : les grandeurs de descriptions du dispositif (masse, longueur,. . . ), les efforts qui agissent (forces, . . . ) et enfin les conditions initiales.

G Lanalyse physique doit dboucher sur une reprsentation dessine de la situation un instantscalne, ie. un instant non particulier (point matriel en position dquilibre, dans une positionde vitesse nulle, . . . ). Cest un genre de photo, donc il ne vaut mieux pas tracer la trajectoire (saufsi elle est contrainte) ni la vitesse.

G Lanalyse technique consiste : choisir quelle(s) loi(s) utiliser sur qui pour arriver la rponse utiliser un paramtre permettant les calculs les plus simples possibles

G Lors de cette analyse technique sont placs le centre du repre et les axe (Ox,Oy,Oz) ou les vecteurs(~ux,~uy,~uz).

II2ii trouver le systme

Un systme est une partie arbitraire (donc prciser explicitement) du dispositif tudipour lequel les lois seront crites.

G Lorsquil y a un seul point matriel mis en jeu dans le problme, la question ne se pose pas : lesystme tudi, ie. ce sur quoi nous allons crire des lois, ne pose aucune difficult de choix.

G Lorsquil y aura des dispositifs complexes, il faudra systmatiquement prciser le systme choisi.Nous verrons alors que, souvent, il sera pertinent non pas de subdiviser en plein de petits systmes,mais au contraire de faire des gros systme de manire crire les lois de la mcanique pour un grosmachin directement.

II2iii trouver les forcesG Une fois le systme (arbitraire) choisi, trouver les forces qui sexercent sur lui est extrmement simple :

regarder les forces distance : le poids la surface de la Terre ou lattraction graviationnelle loin de la surface linteraction lectromagntique si le point matriel est charg

dterminer les forces de contact : tout ce qui touche et uniquement ce qui touche lesystme exerce une force de contact


PCSI1, Fabert (Metz) II3 force distance : le poidsG Pour les forces de contact, rien de tel que de regarder le schma ralis : il suffit dentourer le systme

et de voir tout ce qui est en contact avec le trait.! Cest une des erreurs classiques en mcanique que de se tromper dans les forces que subissent des

objets sous la pression de lintuition. Ce nest pas parce que nous pouvons deviner a priori que telressort aura une influence sur le mouvement du point matriel que le point matriel subit la forceexerce par le ressort !

II2iv choisir le bon repreG Il est vident que pour des raisons naturelle, mieux vaut appeler z laxe vertical et garder x et y pour

les dplacements horizontaux, cest plus parlant.G Cela va avec les exemple, mais il est vident que lorsquun support est plan et quun objet glisse

dessus, il est largement prfrable que lun des axes du repre soit parallle avec le plan. Linconvnientcest qualors ~uz nest plus vraiment vertical.

O~ux

~uz

oui

O ~ux

~uz

oui

O~ux

~uznon

II3 force distance : le poidsII3i situation tudier analyse

G tudions voir ce quil se passe lorsquun objet, suffisamment petit pour pouvoir tre considr commeun point matriel, est lanc de la hauteur h avec une vitesse ~v0 sous un angle avec lhorizontale.

O~uz

~ux

h

~v0

~g

G Analyse physique : nous sentons bien que lobjet va suivre une trajectoire dabord montante puis descendantejusqu ce quil heurte le sol. Aprs, cest un autre problme que nous ntudierons pas

il ny a strictement aucune contrainte de mouvement pour le point matriel, il peut donc apriori bouger dans les trois directions de lespace

G Analyse technique : le choix du repre est assez vident : un axe parallle au sol, un autre vertical ici nous navons gure le choix : cest le PFD

G Ici le point matriel constitura le systme et le mouvement sera tudi par rapport au rfrentielterrestre.

G La liste des forces qui sexercent sur le point matriel sont :


PCSI1, Fabert (Metz) II3 force distance : le poids le poids (lvolution se droule la surface de la Terre) les actions de lair sur lobjet :

la pousse dArchimde : nglige ici la force de frottement : nglige ici

G Il reste uniquement le poids.

La chute libre correspond un mouvement o un objet est soumis uniquement sonpoids.

II3ii phnomnologie et caractristiques du poidsL phnomnologie

G Elle est connue ! Mais ne pas oublier et, surtout, vrifier une fois le rsultat obtenu.

Le poids a tendance entraner les objets vers le bas.

G Le poids est toujours prendre en compte pour toute volution qui se droule sur Terre ! Quelquesfois le poids sera ngligeable devant une autre force, mais il faudra de toute faon le prendre encompte avant de le ngliger.

L caractristiques

Le poids dun point matriel de masse m scrit ~P = m~g o ~g est lacclration depesanteur qui vaut ~g 9,81 m.s2.

G Si sur lensemble de la Terre, nous avons en toute rigueur ~g 6= Cte, nous pouvons nanmoinsconsidrer que ~g =

Cte dans une zone restreinte lchelle de la Terre, ie. trs grande lchelle

humaine.

Sauf cas trs particuliers de mouvements amples par rapport la Terre, nous pouvonsconsidrer que ~g = Cte.

G Nous verrons plus tard que le poids nest pas exactement lattraction gravitationnelle exerce par laTerre sur un point matriel : il y a un petit quelque chose en plus.

L une autre masseG Nous voyons aussi apparatre ici la masse dun corps. Toutefois son interprtation est physiquement

trs diffrente de celle rencontre dans le PFD.

La masse grave caractrise la capacit dun corps subir la gravit, ie. tre attir parles autres masses.

G Ce qui est tout simplement incroyable, cest que la masse grave soit gale la masse inertielle ! Etles mesures les plus prcises 1010 prs ne permettent pas de mettre en vidence de diffrence.


PCSI1, Fabert (Metz) II3 force distance : le poidsII3iii mouvement de la masseL quation diffrentielle rgissant lvolution

G crivons le PFD pour le point matriel. Comme laction de lair est nglige, il reste :

m~a(t) = ~P

~a(t) = ~g

Un mouvement est dit uniformment acclr si tout au long du mouvementlacclration est vectoriellement constante.

G Ici, nous avons bien un mouvement uniformment acclr.

L quation horaireG Projetons le PFD sur les 3 axes du repre et rsolvons les quations diffrentielles.G Notons que la physique est dj passe : elle tait dans le PFD. Ici, il faudra, comme pour les circuits

en rgime transitoire, faire attention aux conditions initiales qui seront, cette fois, bien plus facile dterminer.

Y mouvement sur ~uy

G En projection sur ~uy, le PFD scritd2y(t)

dt2= 0 ce qui est une quation diffrentielle simple rsoudre !

G En primitivant une fois nous avons : dy(t)dt

= Cte. Or linstant initial, comme le montre le schma,

nous avons vy(0) = 0 = Cte ce qui donnedy(t)

dt= 0.

G En primitivant une seconde fois, nous avons y(t) = Cte . Or linstant initial, nous avons y(0) = 0 =Cte ce qui donne

y(t) = 0 .

Un mouvement uniformment acclr est un mouvement plan.

Y mouvement sur ~ux

G Mme technique sachant que le PFD se projette en d2x(t)

dt2= 0 sur ~ux.

G Une premire intgration donne dx(t)dt

= Cte. Or linstant initial vx(0) = v0 cos = Cte ce qui

donne :dx(t)

dt= v0 cos.

G Une deuxime intgration donne x(t) = v0 (cos) t + Cte et comme x(0) = 0 = Cte nous trouvonsfinalement

x(t) = v0 (cos) t .

Y projeter un vecteur la physicienne

G Par exemple le vecteur ~v0.G Nous savons davance quil y a deux composantes, un cosinus et un sinus, reste savoir quelle

composante est quoi et, surtout, quel est le bon signe.G Mthode :

reprer selon quels vecteurs (orthogonaux !) il se dcompose, ici cest ~ux et ~uz


PCSI1, Fabert (Metz) II3 force distance : le poids reprer quel est langle qui change la projection, ici cest imaginer que = 0 et en dduire lequel des deux vecteurs porte le cosinus avec quel signe, icicest +v0 cos~ux

lautre composante sera sin, reste dterminer le signe avec la valeur particulire = 2,

ici cela donne +v0 sin~uzG Finalement nous avons ~v0 = v0 cos,~ux + v0 sin~uz.G Bien sr, il est fortement dconseill de se tromper dans la projection de vecteurs.! la mthode qui consiste trouver le bon triangle pour appliquer la bonne formule trigonomtrique

est pigeuse car rgulirement langle intressant et le vecteur projeter seront spars ; il faudraalors ramener langle intressant au niveau du vecteur ce qui causera moult dgts.

Y mouvement sur ~uz

G Toujours la mme technique. Le PFD se projette en d2z(t)

dt2= g sur ~uz.

G Une premire intgration donne dz(t)dt

= g t + Cte puis, avec vz(0) = v0 sin = Cte, nous trouvonsdz(t)

dt= g t+ v0 sin.

G Une deuxime intgration donne z(t) = 12g t2 + v0 (sin) t + C

te et comme z(0) = h = Cte , nous

obtenons

z(t) = h 1

2g t2 + v0 (sin) t .

L cas particulier dune vitesse initiale nulleG Si v0 = 0 alors nous avons :

y(t) = 0 et x(t) = 0 et z(t) = h 12g t2

Dans le cas dune chute libre sans vitesse initiale, la trajectoire est rectiligne.

G Limpact se fait linstant t0 tel que z(t0) = 0, ce qui donne :

0 = h 12g t0

2 t0 =

2 h

g

G La vitesse au point dimpact vaut alors dzdt

(t0) avec :

dz(t)

dt= g t dz

dt(t0) = g t0 = g

2 h

g=

2 g h

La vitesse aprs une chute libre de hauteur h sans vitesse initiale a une norme dev =

2 g h.

G Nous pouvons vrifier que cette loi est homogne et cohrente : plus la hauteur de chute est important,plus la vitesse acquise sera grande.

G Nous pouvons constater que cette vitesse est indpendante de la masse : ce qui est plus lourd netombe pas plus vite ou alors il faut quil y ait dautres forces en jeu, comme les frottements.


PCSI1, Fabert (Metz) II3 force distance : le poidsII3iv quelques caractristiques du mouvementL trajectoire

La trajectoire est lensemble des points par lequel est pass ou passera le point matrieltudi.

G Formellement parlant, cela signifie que le temps na pas dimportance pour la trajectoire. Il faut donclliminer des relations obtenue pour ne conserver que des quations en z et en x.

G Ici, il est facile dliminer t avec x :

x(t) = v0 (cos) t t =x

v0 cos

G Quil ny a plus qu introduire dans lexpression de z(t) :

z = 12g

(x

v0 cos

)2+ v0 sin

(x

v0 cos

)+ h

z = g

2 v02 cos2 x2 + (tan) x+ h

G Cest donc une parabole sauf si = 2

Lors dun mouvement uniformment acclr, la trajectoire est parabolique ou rectiligne.

Graphique 1

0

2

4

6

8

10

12

z

2 4 6 8 10 12 14

x

G Sur le graphique 1, nous pouvons visualiser quelques trajectoire v0 = Cte et pour diffrents anglesinitiaux.

L porte

G La porte est la distance parcourue entre linstant initial et limpact au sol.


PCSI1, Fabert (Metz) II3 force distance : le poids

O~uz

~ux

h

~v0

xp

~g

G Nous avons donc, par dfinition, z(xp) = 0, ce qui donne :

0 = g2 v02 cos2

xp2 + (tan) xp + h xp

2 2 v02 cos2 tan

gxp 2 h v0

2 cos2

g= 0

G En remarquant que 2 cos2 tan = 2 cos sin = sin(2), nous obtenons lquation suivante rsoudre :

xp2 v0

2 sin(2)

gxp 2 h v0

2 cos2

g= 0

G Le discriminant vaut = v04 sin2(2)

g2+

8 h v02 cos2

gqui est toujours positif sauf si h 6 0 . . .

G De plus les deux solutions sont telles que x1 x2 = 2 h v02 cos2

g6 0, il y en a donc une et une seule

de positive. Il sagit de :

xp =

v02 sin(2)

g+

v04 sin

2(2)

g2+

8 h v02 cos2

g

2

xp =v0

2 sin(2) +v04 sin

2(2) + 8 g h v02 cos2

2 g

G Nous somme loin du rsultat intuitif que la porte est maximale pour = 4.

Graphique 2

0

5

10

15

20

20 40 60 80

alpha

G Pour h = 0, le rsultat se simplifie en :


PCSI1, Fabert (Metz) II4 force de contact connue : les frottements fluides

xp =v0

2 sin(2) +v04 sin

2(2)

2 g=

v02 sin(2)

g

G Rsultat qui est bien maximal pour = 4.

II4 force de contact connue : les frottements fluidesII4i situation tudier analyse

G Nous cherchons dterminer ce qui se passe lorsquun caillou est jet du haut dun trs profondravin.

O

z

x

~v0

~g

G Analyse physique : le poids va entraner le caillou vers le bas comme il ny a pas de force sur ~uy ni de vitesse initiale sur ~uy, le mouvement se fera dans leplan (O,x,z)

la vitesse va tre si grande que les frottements nauront plus un effet ngligeables il ny a a priori aucune contrainte de mouvement

G Analyse technique : le repre est vident, autant mettre le centre au point de dpart il ny a que le PFD qui soffre nous

II4ii phnomnologie et caractristiques des frottements fluidesL phnomnologie

Lorsquun objet est plong dans un fluide et quil est en mouvement par rapport celui-ci, il subit une force de frottement fluide.

G Les fluides considrs sont dans lcrasante majorit des cas lair ou leau.

Les forces de frottement fluide ont tendance faire en sorte que la vitesse de lobjetdevienne gale celle du fluide.

G Ainsi :


PCSI1, Fabert (Metz) II4 force de contact connue : les frottements fluides si le fluide est au repos par rapport au rfrentiel dtude, lobjet ralentira par rapport aurfrentiel dtude (aspect intuitif des forces de frottement)

si le fluide est en mouvement par rapport au rfrentiel dtude, il a tendance entranerlobjet, donc le mettre en mouvement, cest le cas par exemple des rivire qui charrientles objets qui y sont plongs, ou du vent qui entrane les feuilles et les graines

L caractristiques

Pour un fluide au repos dans le rfrentiel dtude, la force de frottement estvectoriellement oppose au vecteur vitesse de lobjet subissant la force.

G Si le fluide nest pas au repos, il faut prendre en compte non pas la vitesse de lobjet par rapport aurfrentiel mais la vitesse de lobjet par rapport au fluide.

La force de frottement fluide a une intensit telle que : si la vitesse nest pas trop importante, elle est proportionnelle cette dernire, ie.~f = v, soit ~f = ~v : les frottements sont dits linaires

si la vitesse est importante, elle est proportionnelle au carr de la norme de la vitesse,ie. ~f = h v2, soit ~f = h v ~v : les frottements sont dits quadratiquesh et sont des constantes phnomnologiques qui dpendent de lobjet (matriau,

forme) et du fluide.

G La limite entre vitesse importante et vitesse peu importante dpend de lobjet et du fluide. Cettelimite sera discute en 2e anne.

G Dans le doute, sil faut prendre en compte des frottements fluides (parce quils sont physiquementncessaires ou parce que lnonc le demande), nous prendrons des frottements fluides qui permettentde faire des calculs formellement.

II4iii trajectoires avec le modle linaireL application des lois physiques

G Appliquons simplement le PFD au caillou une fois lanc :

~P + ~f = m~a(t) m~a(t) = m~g ~v(t)

L trouver la vitesseG Projetons le PFD sur ~uz :

mdvz(t)

dt= mg vz(t) dvz(t)

dt+

mvz(t) = g

G Ce qui est une quation diffrentielle dun type connu :

vz(t) = A et/ + vz,p(t) avec

=

m

G En cherchant vz,p = Cte, nous trouvons vz,p(t) = g soit vz(t) = A et/ g .G La condition initiale donne vz(0) = v0 sin = A g et ainsi

vz(t) = (g + v0 sin) e

t/ g .G Faisons de mme sur ~ux :


PCSI1, Fabert (Metz) II4 force de contact connue : les frottements fluides

mdvx(t)

dt= vx(t) dvx(t)

dt+

mvx(t) = 0 vx(t) = B e

t/

G Et avec la condition initiale vx(0) = v0 cos, nous trouvons

vx(t) = v0 cos e

t/ .G Nous pouvons alors constater que pour t :

vz(t) g = g m

: il y a une vitesse limite dautant plus grande que la masse est grande

et dautant plus faible que les frottements sont importants vx(t) 0 : il arrive un moment o lobjet navance quasiment plus, contrairement la chutelibre

L trouver la positionG Cette fois comme nous avons la vitesse, il suffit dintgrer en tenant compte des conditions initiales.

vz(t) =dz(t)

dt= (g + v0 sin) e

t/ g z(t) = (g + v0 sin) et/ g t+ Cte

G Avec la condition initiale z(0) = 0, nous trouvons ainsi :

z(t) = (g + v0 sin) (1 e

t/ ) g t

G De mme pour la position en x avec x(0) = 0 :

vx(t) =dz(t)

dt= v0 cos e

t/ x(t) = v0 cos et/ + Cte

x(t) = v0 cos (1 e

t/ )

G Nous pouvons alors constater que x(t) t v0 cos pourvu que le ravin soit suffisammentprofond nous avons. La porte maximale est obtenue pour un tir lhorizontale.

L trajectoiresGraphique 3 Graphique 4

20

15

10

5

0

5

z

2 4 6 8 10x

0

2

4

6

8

z

1 2 3 4 5 6 7

x

G Sur les graphiques 3 et 4, nous pouvons voir quelques trajectoires avec un frottement de type linaireet nous pouvons constater queffectivement la porte est la plus longue pour un tir lhorizontale . . .si la profondeur est assez grande.


PCSI1, Fabert (Metz) II5 force de contact connue : la force lastiqueII4iv trajectoire avec le modle quadratiqueL lois physiques

G crivons le PFD appliqu au caillou :

m~a(t) = ~P + ~f m~a(t) = m~g h v ~vG Projetons sur ~ux et ~uz sans oublier que v(t) =

vx2(t)+ vz2(t) :

mdvx(t)

dt= h v(t) vx(t)

mdvz(t)

dt= h v(t) vz(t)mg

dvx(t)

dt+

h

m

vx2(t)+ vz2(t) vx(t) = 0

dvz(t)

dt+

h

m

vx2(t)+ vz2(t) vz(t) = g

G Ce qui est un systme dquations diffrentielles pour le moins difficile rsoudre . . .

L trajectoiresG Numriquement, la rsolution de ces quations donne les trajectoires reprsentes sur le graphique 5.

Graphique 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

z(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x(t)

G Nous pouvons constater que les trajectoires sont sensiblement diffrentes de celles avec le frottementlinaire : elles sont moins arrondies.

II5 force de contact connue : la force lastiqueII5i une masse au bout dun ressort

G tudions les oscillations dune masse accroche au bout dun ressort vertical.

z

O

m

~g


PCSI1, Fabert (Metz) II5 force de contact connue : la force lastiqueG Analyse physique :

le poids va entraner la masse vers le bas mais cette dernire va tre rappele vers le haut : ilrisque dy avoir oscillations

nous allons supposer que le mouvement dure suffisamment longtemps, ie. quil est perptuel lchelle dobservation

le mouvement est contraint verticalement : les projections horizonttales du PFD ne pourrontpas servir dterminer le mouvement horizontale de la masse

G Analyse technique : le centre du repre est presque naturel. Parfois il est mis l o la masse est lquilibre. Case fait rgulirement mais cest pigeux au sens o le centre dpend alors prcisment de lasituation (masse, ressort) et risque peut-tre de fausser des rsultats si la fin un paramtre(masse, ressort) varie

pas de problme pour lapproche : cest un PFDG Liste des forces sexerant sur la masse :

force distance : le poids force de contatct :

la tension exerce par le ressort les contacts avec lair : la pousse dArchimde (nglige) et les frottements (ngligs)

II5ii phnomnologie et caractristiques de la force lastiqueL phnomnologie de laction dun ressort

G Prenons un ressort et comprimons le. Nous le sentons rsister la compression et ce dautantplus quil est comprim : le ressort cherche recouvrer sa longueur naturelle.

G Il en est de mme lorsque nous tirons un ressort.G Tant quun ressort nest pas trop tir ou trop comprim, il retourne ensuite sa longueur naturelle.G Si un ressort est trop tir, sa dformation devient permanente, il sagit dune dformation plastique.G Si un ressort est trop comprim, les spires se touchent les unes les autres, il devient subitement

incompressible

L caractristiques

Un ressort idal est un ressort sans masse, parfaitement lastique spires non jointives.Il est caractris par sa longueur naturelle 0 et sa constante de raideur k en N.m1.

G Il est prfrable de parler de longueur naturelle plutt que de longueur vide car la longueur vide nest pas identique la longueur naturelle lors de ressorts non idaux.

Plus la constante de raideur k dun ressort est grande, plus le ressort est dur.

G la limite : une constante de raideur infinie correspond une barre rigide une constante de raideur nulle correspond une absence de ressort


PCSI1, Fabert (Metz) II5 force de contact connue : la force lastique

La force quexerce un ressort idal sur un objet accroch une de ses extrmitsexprime sous la forme ~f = k () ~usortant o :

k est la constante de raideur , 0 0 est lallongement du ressort ~usortant est le vecteur unitaire toujours dirig vers lextrieur et tangent au ressort auniveau de ce qui subit la force

m~usortant

G Remarquons que ~usortant dpend de la position de la masse.

m2~us2

m1~us1

~f1 = k () ~us1 et ~f2 = k () ~us2

G Nous crirons toujours la force sous la forme k () ~usortant avant dexprimer ~usortant en fonction desvecteurs de la base utilise.

L et les lastiques

Les lastiques exercent une force lastique de type k () ~usortant en tirement etnexercent aucune force en compression.

G En fait lorsque nous essayons de comprimer un lastique, il devient lche et nexerce plus aucuneforce.

II5iii un mouvement dj connuL lois physiques

G crivons le PFD appliqu la masse et remarquons que ~usortant = ~uz :

~P k ((t) 0) ~usortant = m~a(t) m d2z(t)

dt2~uz = mg ~uz + k ( 0) ~uz

G En projection sur ~uz, cela donne :

md2z(t)

dt2= mg + k ((t) 0)

G Reste maintenant relier z(t) et (t) et cest l quil faut particulirement faire attention : cest de lapure gomtrie, il serait dommage de se tromper. Nous avons toujours (t) > 0 (cest une longueur)et ici nous avons z(t) < 0 ce qui donne, tant donn la position du centre O : (t) = z(t). Nousobtenons ainsi :

md2z(t)

dt2= mg + k (z(t) 0) d

2z(t)

dt2+

k

mz(t) = g k

m0

G Nous pouvons remarquer quil sagit dune quation diffrentielle du second ordre correspondant

des oscillations de pulations propre 0 =

k

m.


PCSI1, Fabert (Metz) III Trajectoires circulaire

La pulsation propre dune masse accroche un ressort de constante de raideur k vaut

0 =

k

m.

G Notons que mme verticalement, la gravit g (donc le poids) na aucune influence dans la pulsationpropre dune masse accroch au bout dun ressort.

G Si nous nous tions tromp dans le lien entre (t) et z(t), il y aurait eu une erreur de signe danslquation diffrentielle et cela aurait t reprable.

L quations horairesG Nous pouvons donc crire z(t) = A cos(0 t+)+zp(t) avec A et dpendant des conditions initiales.G Cherchons zp(t) sous la forme dune constante puisque le second membre de lquation diffrentielle

rgissant lvolution de la masse est constant. Nous trouvons zp(t) = 0 mgk

.

G Il sagit de la position dquilibre. Son expression est cohrente : elle est ngative et ce dautant plusque mg est grand ou que k est faible.

III Trajectoires circulaire

G Comme lindique le nom de cette partie, nous allons dsormais nous concentrer sur les trajectoirescirculaires.

Une trajectoire est circulaire lorsquelle forme un cercle ou un arc de cercle.

III1 Dcrire un mouvement circulaireIII1i phnomnologieL de nombreux exemples

G Bien sr il y a tout dabord les vraies trajectoires circulaires (au moins en premire approximation) :satellites autour de la Terre, Terre autour du Soleil, mange, . . .

G Mais il y a aussi les trajectoires circulaires qui ne font pas un cercle mais qui sont guids : le pendulesimple (guid par un fil) ou un wagonnet, une voiture (guid par des rails, une route, . . . )

L deux acclrationsG Considrons la portion de trajectoire circulaire ci-dessous o la situation est reprsente deux

instants t1 et t2 > t1 diffrents.

O

R

m t1

~v1

m t2

~v2


PCSI1, Fabert (Metz) III1 Dcrire un mouvement circulaireG Nous pouvons tout dabord constater que le vecteur vitesse est constamment tangent la trajectoire,

ce qui est, somme toute, normal.G De plus nous pouvons constater que la vitesse change de deux manires fondamentalement diffrentes :

en direction et en norme. le changement de direction est obligatoire pour une trajectoire circulaire sur laquelle tout objetest constamment oblig de tourner : sil y a changement de vecteur vitesse, il y aura toujoursacclration (mais pas au sens usuel). Cette acclration sera orthogonale la vitesse afin dela faire tourner.

le fait daugmenter la norme de la vitesse est un autre type dacclration qui correspondplus au sens usuel, mais qui nest en aucun cas obligatoire. Cette acclration se fera dans ladirection de la vitesse.

G Tout est bas sur la signification mme de lacclration : cest ce qui caractrise comme volue levecteur vitesse.

~a(t) =d~v(t)

dt=~v(t+ dt) ~v(t)

dt=~v2 ~v1

dt ~v2 = ~v1 + ~a dt

~v1~v2

~a dt

~v1~v2

~a dt

III1ii un repre vident pour un reprage simpleG Il ny a pas tellement besoin dergoter : lorsque nous avons affaire un mouvement circulaire, nous

avons tendance centrer le repre sur le centre de la trajectoire. Rjouissons-nous, ce qui parat leplus naturel conduira aux calculs les plus simples.

Pour reprer un point sur un cercle, il suffit de la donne dun seul nombre : (t).

y

xO

M

~ur

Tout le mouvement est contenu dans (t) lorsque la trajectoire est circulaire.

G Une fois le repre centr, nous pouvons constater que le reprage par x(t) et y(t) ne semble paspertinent : pour un mme x(t) il existe deux y(t) (sauf cas trop particulier pour tre intressants).


PCSI1, Fabert (Metz) III1 Dcrire un mouvement circulaireG Il parat plus naturel de reprer la position du point M par la seule donne de langle algbrique (t)

que nous prendrons, conventionnellement, partir de laxe (Ox).G Notons que les axes (Oxy) ne constituent pas vritablement le reprage (puisque nous allons reprer

avec (t)), mais plus le rfrentiel et est, en ce sens, indispensable.G Puisque nous allons avoir besoin de vecteurs position, vitesse, acclration, nous allons dfinir des

vecteurs idoines.

Le vecteur position dun point situ sur un cercle scritOM (t) , R~ur.

G La difficult de ce reprage, difficult qui nen est pas vraiment une, est quil faut savoir o sesitue le point M pour dessiner ~ur.

Le vecteur ~ur dpend de la position de M et est donc, en particulier, fonction du temps.

G Quand il faudra le driver (pour la vitesse) a posera quelques soucis.

III1iii la vitesse est toujours tangentielleG Nous admettrons trs provisoirement le rsultat suivant.

Pour un point M voluant sur une trajectoire circulaire de rayon R repr par (t), levecteur vitesse scrit

~v(t) = R (t) ~u

o ~u est le vecteur tangent la trajectoire dans le sens de .

y

xO

M

~ur~u

M~ur

~u

G Remarquons bien que ~v et ~u ne sont pas forcment dans le mme sens, surtout si (t) < 0 : ~u est unvecteur de reprage, il faut donc savoir, pour le dessiner, comment se repre M et o est M , inutilede savoir ce que fait M .

G Maintenant si nous savons par avance dans quel sens tourne M , autant prendre ~u dans le sens dela vitesse !

III1iv lacclration nest pas toujours normaleG Nous admettrons trs provisoirement le rsultat suivant.


PCSI1, Fabert (Metz) III2 force de contact inconnue : la tension exerce par un fil

Pour un point M voluant sur une trajectoire circulaire de rayon R repr par , levecteur acclration scrit

~a(t) = R 2(t)~ur +R (t)~u ou ~a(t) = v2(t)

R~ur +

dv(t)

dt~u.

G La partie sur ~ur correspond lacclration normale et cest celle qui permet de faire tourner le pointmatriel.

G La partie sur ~u correspond lacclration tangentielle et cest celle qui est responsable de laugmen-tation (ou de la diminution) de la norme du vecteur vitesse, comme cela se voit avec lexpressiondv(t)

dt~u.

G Notons que dans lexpression de lacclration tangentielle, ce nest pas le vecteur vitesse qui estdriv mais sa composante sur ~u.

dv(t)

dt=

dR (t)

dt= R

d(t)

dt= R (t) et

v2(t)

R=R2 2(t)

R= R 2(t)

III1v piqre de rappel prventiveG Toutes les expressions de la position, de la vitesse et de lacclration sont parfaitement matriser

puisque ce sont celles qui vont permettre de dcrire le mouvement circulaire.G Si la description du mouvement nest pas juste, les lois physiques ne peuvent pas tre bien transcrites

et, de l, quelle que soit les les qualits physiques dont quelquun peut faire preuve, il ne pourra pasaller loin.

III2 force de contact inconnue : la tension exerce par un filIII2i un pendule simple

G tudions les oscillations dun pendule simple, ie. dune masse accroche au bout dun fil.

O

m

~ur

~u

~g

G Analyse physique : il va y avoir des oscillations cause du poids qui entraine la masse vers le bas et qui remontegrce au fil. En ngligeant linteraction entre lair et la masse, les oscillations peuvent durertrs longtemps

il y a, cette fois, une contrainte du mouvement : la masse est accroche au bout dun fil, elleest donc toujours la distance du point dattache, cest un mouvement circulaire

G Analyse technique : le reprage va tre naturel : le centre O au point dattache et langle repr par rapport laverticale dont on sent quil sagit de la position dquilibre au repos

nous utiliserons le PFD


PCSI1, Fabert (Metz) III2 force de contact inconnue : la tension exerce par un filG La liste des forces qui sexercent sur la masse sont :

force distance : son poids ~P = m~g force de contact : la tension exerce par le fil ~T force de contact : les actions exerces par lair (pousse dArchimde nglige et frottementsfluides ngligs)

III2ii phnomnologie et caractristiques de la tension exerce par unfil

Un fil idal est un fil sans masse, sans raideur, parfaitement inextensible et infinimentsouple

G Un fil empche deux choses de sloigner de trop mais ninterdit pas quelles se rapproche.

Un fil idal exerce une force qui scrit ~T = T ~usortant avec T une norme inconnue et a priori fonction du temps ~usortant tangent au fil son extrmit

G Cest la difficult des forces exerces par les fils : la norme est a priori inconnue.! crire directement lintuition, la logique, la norme exerce par un fil, sans passer par une loi

physique, conduit une erreur . . . sauf dans les cas o cette norme est sans intrt.

III2iii mouvement du pendule simpleL traduction des lois physiques

G crivons le PFD :

~P + ~T = m~a(t) m~g + ~T = m~a

G Rien dextraordinaire, cest maintenant quil faut bien faire attention la description des forces : ~P = mg cos ~u mg sin ~u (gomtrie pure) ~T = T ~ur (loi physique du fil idal) ~a = 2(t) ~ur + (t) ~u (cinmatique)

O

m

~ur

~u

~T

~P

~g

L quation diffrentielle rgissant le mouvementG Projetons le PFD sur le vecteur ~u :


PCSI1, Fabert (Metz) III2 force de contact inconnue : la tension exerce par un fil

mg sin + 0 = m (t)

d2(t)

dt2+g

sin (t) = 0

G Ce nest pas une quation diffrentielle doscillations classiques cause du sin .G Les oscillations ne dpendent pas de la masse. Ce qui est trs avantageux pour les trapzistes : peu

importe la personne rceptionner, le top dpart est le mme pour tous.

Y cas des petits angles

G Lorsque |(t)| 1, nous avons sin (t) = (t) et alors lquation diffrentielle scrit :d2(t)

dt2+g

(t) = 0

G Cette fois il sagit bien doscillations de pulsation propre 0 =g

.

Pour un pendule simple de longueur il y a isochronisme des petites oscillations la

pulsation propre 0 =

g

.

G Isochrononisme signifie simplement que toutes les petites oscillations se font sur un mme rythme.

Y reprsentation graphique

Graphique 6

80

60

40

20

0

20

40

60

80

theta(t)

2 4 6 8

t

G Nous pouvons constater sur le graphique 6 que les oscillations de faible amplitude sont bien synchro-nes, contrairement celles de grande amplitudes qui ont tendance se dcaller progressivement.

L norme de la tension exerce par le filG Pour dterminer la norme de la tension que le fil exerce sur la masse, nous allons utiliser le revers du

PFD.G Pour cela projetons le PFD sur ~ur :

mg cos (t) T = m 2(t) T = mg cos (t)+m 2(t)G Pour linstant nous ne pouvons pas dterminer dexpression plus simple de T (t). Toutefois nous

pouvons dj constater que cette tension dpend bien de et quelle est maximale pour = 0,position pour laquelle non seulement cos est maximale pais aussi pour laquelle est maximale.


PCSI1, Fabert (Metz) III3 force de contact inconnue : action exerce par un supportGraphique 7 Graphique 8

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

2.5

80 60 40 20 0 20 40 60 80

G Sur le graphique 7, nous pouvons voir T (t) alors que sur le graphique 8, nous avons trac T ().G Nous constatons que la tension dpend non seulement de la position mais aussi du mouvement : = 0 la tension nest pas la mme suivant que les oscillations sont faible ou forte amplitude !

III3 force de contact inconnue : action exerce par un sup-port

III3i tomber dune bosseG Un objet est initialement pos au sommet dune bosse de forme circulaire. Il se met tomber du ct

bomb. O prcisment dcolle-t-il de la bosse ?

O

~g

G Analyse physique : lobjet est dans une position instable et va se mettre tomber un moment, il ne suivra pasla bosse jusquau bout.

tant que lobjet na pas dcolle, il va avoir une trajectoire circulaire. nous ngligerons dans ce problme tout phnomne de frottement tant donn que le problme est de dterminer sil y a contact ou pas, il va falloir se concentrersur la dtermination de la force de contact

G Analyse technique : cest une trajectoire circulaire, le reprage est immdiat il y a des forces inconnues, notamment la force de contact avec le support il faudra faireattention aux projections du PFD

G Liste des forces sexerant sur lobjet : force distance : le poids (videmment) force de contact : laction de lair (nglige) force de contact : laction du support


PCSI1, Fabert (Metz) III3 force de contact inconnue : action exerce par un supportIII3ii phnomnologie et caractristiques du contact avec un supportL phnomnologie

G Lorsquun objet est sur un support, il est important de savoir si lobjet peut, ou non, se sparer(dcoller) de son support.

G Si un objet peut dcoller, alors le support ne retient jamais lobjet, il ne fait que de le repousser.G En plus de cela il peut y avoir des frottements lorsque lobjet glisse sur le support.

L caractristique de laction exerce par le support

Laction exerce par un support sur un objet se dcompose en deux composantes : laction normale note ~RN dirige vers lextrieur du support caractrisant le fait quelobjet ne peut pas rentrer dans le support

laction tangentielle note ~RT parallle au plan du support et caractrisant les frotte-ments, appels frottements solides, entre lobjet et le support

~RN

~RT

Laction normale exerce par un support scrit ~RN = RN ~usortant avec : ~usortant normal au support au point de contact RN > 0 sil peut y avoir dcollement RN 0 sil ne peut pas y avoir de dcollement

G Comme pour la force exerce par le fil, sil arrive dcrire lintuition directement que la normede la raction normale vaut tant, cest soit juste et parfaitement inutile, soit faux et conduit deserreurs.

III3iii angle de ruptureL traduction du problme

G Ici tous les frottements sont ngligs, en particulier ceux dus au contact solide solide.G Laction du support se rduit donc la composante normale.G Le but du problme est de dterminer une rupture, cest--dire une fin de contact. Comme une force

de contact ne sexerce que sil y a contact, nous pouvons en dduire que sil ny a plus de force, il nya plus de contact.

Il y a rupture de contact entre deux objets ds lors que la norme de linteraction decontact entre les deux devient nulle.

G Nous allons donc chercher dterminer ~RN et pour cela, rien de tel quun bon vieux PFD !

L expression des lois physiqueG crivons le PFD sur lobjet et les expressions des forces


PCSI1, Fabert (Metz) III3 force de contact inconnue : action exerce par un support

~P + ~RN = m~a(t) avec

~P = mg cos ~ur mg sin ~u~RN = RN ~ur

G Projetons sur ~ur et ~u :

mR

2(t) = mg cos +RNmR (t) = mg sin

RN = mR 2(t)+mg cos (t)(t) g

Rsin (t) = 0

G La deuxime quation diffrentielle est celle vrifie par (t). Son criture canonique est

d2(t)

dt2 02 (t) = 0

Les solutions dune quation diffrentielle de forme canonique

d2(t)

dt2 02 (t) = qqch(t)

scrivent (t) = A cosh(0 t) +B sinh(0 t) + p(t)o A et B sont les constantes dintgration.

G Ici, cela signifie que (t) = A cosh(0 t)+B sinh(0 t), ie. que (t) diverge. Rien de plus normal pourune position dquilibre instable !

G La premire quation diffrentielle est insuffisante pour dterminer RN en fonction de la position, ie.en fonction uniquement de .

L manipulations usuellesG Multiplions lquation diffrentielle rgissant lvolution de (t) par (t) :

R (t) (t) g (t) sin (t) = 0 R2

d

dt

(2(t)

)+

d

dt

(g cos

)= 0

G Intgrons cette relation sans oublier les conditions initiales : (0) = 0 (dpart sans vitesse initiale)et (0) = 0 (dpart en haut) :

R

22(t) 0 + (g cos g) = 0 R 2(t) = 2 g (1 cos )

G Nous pouvons alors remplacer cette expression dans cette de RN , ce qui donne :

RN = m 2 g (1 cos ) +mg cos (t) RN = mg (3 cos 2)

G La force normale exerce sur le support sera nulle pour cos = 23et donc langle de rupture vaut

c = arccos

2

3= 48


PCSI1, Fabert (Metz) IV Mouvements plus complexes

IV Mouvements plus complexes

G Plus complexes, mais pas plus difficiles ! Avant cela, nous allons voir les deux dernires lois de lamcanique qui sont, parfois, bien utiles.

IV1 Premire loi de la mcanique : principe dinertieIV1i nonc

Il existe des rfrentiels dits galilens dans lesquels tout point matriel a une trajectoirerectiligne uniforme si et seulement si la rsultante des forces quil subit est nulle.

IV1ii lectureG Cest un nonc dense !

L postulatG Les rfrentiels galilens existent. Donc voil ! Maintenant il va falloir en trouver, cest une autre

paire de manches.

L proprit fondamentale dun rfrentiel galilenG tout point : en tout lieu, en tout temps.G trajectoire : dfinie par rapport au rfrentielG rectiligne : suivant une portion de droiteG uniforme : norme de vitesse constante

Un mouvement dun point matriel est dit uniforme si la norme de son vecteur vitesseest constant.

G somme des forces : cest appel aussi la rsultante des forcesG est nulle : cest bien la somme totale des forces qui doit tre nulle, pas seulement la somme dune

ou deux.

L 2e effet du postulatG Cest quelque chose quil est difficile de vritablement intgrer son mode de raisonnement, et

pourtant . . .

Les forces ne servent pas faire avancer mais modifier la quantit de mouvement dunpoint matriel.

G Cela se voit dans la 2e loi.

L utilit pratiqueG Cette loi nous permettra, dans un chapitre ultrieur (le 4 srement) de dire quand un rfrentiel est

ou nest pas galilen.


PCSI1, Fabert (Metz) IV2 Troisime loi de la mcanique : principe des actions rciproquesL le principe dinertie nest pas . . .

G Ce principe (pourtant souvent vu, lu, appris) est faux : Dans un rfrentiel galilen, un pointmatriel a une trajectoire rectiligne uniforme si et seulement si la rsultante des forces quil subit estnulle.

G Si tel tait le cas, il pourrait se dmontrer avec la 2e loi de Newton (le PFD) et deviendrait alorscompltement inutile en tant que loi !

IV2 Troisime loi de la mcanique : principe des actions rci-proques

IV2i nonc

Lorsque deux points matriels sont en interaction, alors :~fAB = ~fBA et ~fAB//AB

A

B~fBA

~fAB

IV2ii lectureG Tout dabord cest un nonc fondamentalement diffrent des prcdents car il parle de deux points

matriels.G La force que lun exerce sur lautre est tout instant gale loppose de celle que lautre exerce

sur le premier. Le fait que cela soit tout instant est gnant pour lintuition lorsque les pointsmatriels sont loigns. Le principe nest alors pas vritablement faux mais appliqu sous une autreforme.

L exemple du vas-y que je te pousseG tudions la situation suivante.

G Pourquoi lun va-t-il gagner ? Parce quil pousse plus fort que lautre ? Impossible. Ils se poussent auniveau des mains qui peuvent tre considres comme des points matriels lchelle de la situation :la force que lun exerce sur lautre est gale celle qui subit !

G Regardons bien ce qui permet lun des bonhommes davancer. Faisons la liste des forces : le poids : bof, ce nest pas lui qui va jouer un rle ici la force de contact exerce par ladversaire : a plutt tendance faire reculer


PCSI1, Fabert (Metz) IV3 Force de contact inconnue : les frottements solides rle dune poulie la force de contact exerce par le sol : il doit y avoir des forces tangentielles et tant que lepied ne glisse pas, celles-ci sont infrieures f RN

G Conclusion : pour gagner, mieux vaut : avoir de bonnes chaussures et un sol bien agrippant tre lourd de sorte quil sera plus facile de pousser dans le sol (RN grand)

G En plus de cela, daprs le PFD, plus la masse est imposante, plus les effets des forces subies estfaible. Mieux vaut donc tre lourd de telle sorte que laction de lautre nait que peu dinfluence (effetsumo).

L campingG Pourquoi la voiture avance-t-elle alors quelle tire la caravane autant que la caravane ne la tire ?

G Mme rponse que ci-dessus : grce aux frottements que la route exerce sur les pneus. Eh oui, uneroute sans frottement cest une route verglace, lgrement recouverte de produit vaisselle avec despneus lisses. Lexprience montre quil est ds lors trs difficile davance.

G Notons que les pneus, dans le cas recherch, ne glissent pas par rapport la route, sinon celaconstiturait un drapage.

IV3 Force de contact inconnue : les frottements solides rledune poulie

IV3i masse relie un ressortG Regardons la situation ci-dessous et cherchons la plage de valeurs dans laquelle doit se situer la

longueur du ressort pour que la masse M soit lquilibre compte tenu du frottement qui existeentre la masse et le plan inclin.

~uz

~ux

m ~g

G Analyse physique : la position est une position dquilibre : rien ne bouge si les frottements seuls peuvent retenir la masse, alors le ressort est inutile si le ressort aide soutenir la masse, alors il est tir et son action se fait par lintermdiairedu fil


PCSI1, Fabert (Metz) IV3 Force de contact inconnue : les frottements solides rle dune poulieG Analyse technique :

pas de mouvement ici, donc pas de PFD avec acclration pour parler du ressort, nous parlerons de sa longueur (t) alors que pour parler de limmobilitde la masse, nous utiliserons la base (~ux,~uz)

G Liste des forces qui sexercent sur la masse : force distance : le poids force de contact : la tension exerce par le fil force de contact : la force exerce par le support force de contact : laction de lair est nglig

G Le ressort nexerce aucune force sur la masse ! Et pourtant cest grce lui si la masse ne tombe pas !

IV3ii phnomnologie et caractristiques des frottements solidesG Quand un solide est pos sur un plan inclin, il peut parfois rester en quilibre. Cela prouve non

seulement lexistence de forces de frottements, mais en plus lexistence de frottements vitesse nulle !

Laction tangentielle exerce par un support dpend de si lobjet glisse ou non sur lesupport.

si lobjet glisse sur le support : la direction de ~RT est la mme que celle de la vitesse qua lobjet par rapport au

support ~RT est oppose la vitesse qua lobjet par rapport au support la norme de ~RT vaut ~RT = f ~RN o f est le coefficient de frottement

si lobjet ne glisse pas sur le support : la direction de ~RT est inconnue le sens de ~RT est inconnu la norme de ~RT vrifie ~RT 6 f ~RN o f est le coefficient de frottement

G Remarquons tout dabord que la force dpend de la vitesse de lobjet par rapport au support. Si lesupport est fixe, pas de problme, mais si le support bouge, cest une autre histoire. La logique etlintuition ne marche ( peu prs) que dans les cas o le support est fixe dans le rfrentiel dtude.

G Pour utiliser la force de frottement solide, il est ncessaire de connatre au moins un peu lvolutionde lobjet : nous prendrons alors lexpression adquate pour la force. Si lvolution nest pas du toutconnue, alors il faut faire une supposition, ce qui permet dcrire une loi connue mais il faut alorsvrifier une condition.

hypothse loi connue condition vrifier

lobjet glisse RT = f RN ~v 6= ~0lobjet ne glisse pas ~v = ~0 RT 6 f RN

IV3iii phnomnologie et rle dune poulieG Ici la poulie na pour rle que de tordre dans la bonne direction le fil, cest un simple guide.

Une poulie est dite idale si elle est sans masse et que sa rotation seffectue sansfrottement sur laxe.

G Autrement dit, lorsque quelquun tire un fil / une corde qui passe dans une poulie idale, il ne la sentpas du tout : il ne doit lutter ni contre sa mise en rotation ni contre les frottements qui lempcheraitde tourner.


PCSI1, Fabert (Metz) IV3 Force de contact inconnue : les frottements solides rle dune poulie

Lorsquun fil idal passe par des poulies idale, la tension que le fil exerce chacune deses deux extrmits est la mme chaque instant mais reste inconnue et de norme

variable.

G Cela revient dire que la poulie idale a un rle neutre dans lhistoire.

IV3iv quilibre de la masseL quilibre sans fil ressort

G Imaginons dans un premier temps que la masse nest pas soumise laction du fil. Cherchons voirdans quelle condition elle est lquilibre.

~uz

~ux

~RN

~P

~RT ~g

G Le PFD, dans le cas particulier de lquilibre scrit :

~P + ~RN + ~RT = ~0

{+mg sin +RT = 0mg cos+RN = 0

G Comme ici nous savons quil y a quilibre, nous pouvons crire (et nous lavons dj fait) que ~v(t) = ~0.G Cet quilibre est vrifi tant que ~RT 6 f ~RN or :

{RT = mg sinRN = mg cos +RN = 0

|RT | = mg sin 6 mg f cos

tan 6 f

G Ce rsultat est homogne et cohrent : il existe un angle maximal ne pas dpasser.G Il est tonnant que cet angle soit indpendant de la masse et pourtant . . .

L quilibre avec fil ressortG Notons f = tan0 et plaons-nous dans le cas o > 0 alors la masse ne peut pas tre en quilibre

avec la simple force de frottement exerce par le support.G Le PFD dans le cas de lquilibre scrit :

~P + ~RN + ~RT + ~T = ~0

{+mg sin +RT T = 0mg cos +RN = 0

G Or, avec un fil idal et une poulie idale, nous avons ~ffilmasse = ~ffilressort.G De plus, puisque le ressort est directement attach au fil, la 3e loi de Newton nous permet dcrire :


PCSI1, Fabert (Metz) IV4 Dynamique en coordonnes cylindro-polaires

~ffilressort = ~fressortfil = k ( 0)G Nous obtenons alors RT = k (q 0)mg sin et |RT | 6 f RN se traduit en :

f mg cos 6 k (q 0)mg sin 6 f mg cosmg cos sin0 6 k cos0(q 0)mg sin cos0 6 mg cos sin0

mg cos sin0 +mg sin cos0 6 k cos0(q 0) 6 mg cos sin0 +mg sin cos0mg sin( 0) 6 k cos0 (q 0) 6 mg sin( + 0)

0 +mg

k cos0sin( 0) 6 q 6 0 + mg

k cos0sin( + 0)

G Que raconte le rsultat ? quil existe une valeur minimale pour q suprieure 0 puisque > 0 que cette valeur minimale correspond au cas o RT < 0, ie. dirige vers le haut : la force defrottement empche aide le ressort empcher la masse de remonter

la valeur maximale correspond au cas o RT > 0 ie. dirige vers le bas : la force de frottementaide faire tomber la masse car le ressort tire trop fort vers le haut

IV4 Dynamique en coordonnes cylindro-polairesIV4i grandeurs cinmatiquesL objectif reprage

G Nous allons gnraliser le cas particulier du mouvement circulaire et chercher dcrire le mouvement(position, vitesse, acclration) dun point en coordonnes cylindro-polaires.

x

y

z

M

r

P

r

~uz

~ur

~u

Pour reprer un point en coordonnes cylindro-polaires, il faut trois nombres : r(t) > 0, la distance laxe privilgi (t), un angle z(t) la cote


PCSI1, Fabert (Metz) IV4 Dynamique en coordonnes cylindro-polairesL vecteur position

G En utilisant la relation de Chasles nous avons directement :OM =

OP +

PM = r ~ur + z ~uz

En coordonnes cylindro-polaire, la position est dcrite par la donne des troisgrandeurs (r,,z) et le vecteur position scrit

OM (t) = r(t) ~ur(t)+ z(t) ~uz

L vecteur vitesseG Drivons le vecteur position.

dOM (t)

dt=

dr(t) ~ur(t)

dt+

dz(t)

dt~uz =

dr(t)

dt~ur + r(t),

d~ur(t)

dt+

dz(t)

dt~uz

G Pour pouvoir driver ~ur(t), crivons ses composantes dans la base cartsienne fixe.

x

y

~ux

~uy

P

r

~u

~ur

G Nous avons ainsi :

{~ur(t) = cos (t) ~ux + sin (t) ~uy~u(t) = sin (t) ~ux + cos (t) ~uy

d~ur(t)

dt= (t) sin (t)+ (t) cos ~uy= (t) ( sin (t) ~ux + cos (t) ~uy)

Dans la base cylindro-polaire :d~urdt

= (t) ~u.

G Et finalement :

Dans la base cylindro-polaire, le vecteur vitesse scrit :

~v(t) = r(t) ~ur + r(t) (t) ~u + z(t) ~uz

L vecteur acclrationG Avant de driver le vecteur vitesse, regardons voir ce qui se passe lorsque nous drivons le vecteur ~u

par rapport au temps :

d~udt

= (t) cos (t) ~ux (t) sin (t) ~uy = (t) (cos (t) ~ux + sin (t) ~uy)


PCSI1, Fabert (Metz) IV4 Dynamique en coordonnes cylindro-polaires

Dans la base cylindro-polaire :d~udt

= (t) ~ur.

G Nous pouvons constater que driver un vecteur unitaire par rapport au temps revient tourner cevecteur de

2dans le sens de rotation et le multiplier par (t).

G Nous pouvons prsent driver le vecteur vitesse.

d~v(t)

dt=

d

dt

(r(t) ~ur + r(t) (t) ~u + z(t) ~uz

)=

dr(t) ~urdt

+dr(t) (t) ~u

dt+

dz(t) ~uzdt

= r(t) ~ur + r(t) (t) ~u + (r (t)+ r(t) (t)) ~u + (r(t) (t)) ((t) ~ur) + z ~uz

Dans la base cylindro-polaire, le vecteur acclration scrit :

~a(t) = (r(t) r(t) 2(t)) ~ur + (2 r(t) + r(t) (t)) ~u + z(t) ~uz

G Bien sr dans le cas du mouvement circulaire o r(t) = Cte et z(t) = Cte , nous retrouvons les rsultatsconnus :

v(t) = R ~u et ~a = R 2(t)~ur +R (t) ~u

IV4ii exemple du ressort tournantL problme

G Quelles sont les quations rgissant lvolution dune masse pose sur un plan sans frottement etrelie un ressort ?

x

y

O

M

~g

G Analyse physique : la masse va tourner autour du centre tout en oscillant le poids ne va pas intervenir puisque le mouvement se fait dans un plan horizontal le dispositif est totalement libre, il ny a pas de contrainte a priori de trajectoire

G Analyse technique : tant donn que la masse a tendance tourner autour du centre, mieux vaut utiliser lescoordonnes cylindro-polaire

ici les forces intervenant dans le mouvement (tension exerce par le ressort) sont toutes parfai-tement connues : un PFD ira trs bien.

G Liste des forces qui sexercent sur M :


PCSI1, Fabert (Metz) IV4 Dynamique en coordonnes cylindro-polaires force distance : le poids ~P = mg ~uz force de contact : la force normale exerce par le plan (sans frottement) ~RN = RN ~uz force de contact : la tension exerce par le ressort ~T = k () ~usortant

L mise en quationG crivons le PFD et projetons le sur ~ur, ~u, ~uz :

m~g + ~RN + ~T = m~a(t)

m z(t) = mg +RNm (r(t) r(t) 2(t)) = k (r(t) 0)m (2 r(t) (t)+ r(t) (t)) = 0

G Comme nous savons que le mouvement est plan, z(t) = 0 = Cte ce qui permet la premire quationde nous apprendre que RN = mg. Peut-tre que nous aurions pu le dire intuitivement. Pour une fois,cela aurait t vrai . . . mais parfaitement inutile.

G Les autres projections forment un systme dquations diffrentielles couples quil est dlicat dersoudre comme a . Nous verrons, dans longtemps, comment aborder ce genre de problme, cequi constitura un prliminaire ltude des satellites.

L un bon dpartG En supposant que les conditions initiales soient (0) = 0, r(0) = L et v(0) = v0, quelle relation doivent

vrifier ces conditions initiales pour que le mouvement soit circulaire ?G Supposons le mouvement circulaire. Alors la projection sur ~u conduit :

mr(t) (t) = 0 (t) = 0 (t) = Cte et v(t) = Cte

G Si le mouvement est circulaire (forcment de rayon L), alors il est uniforme donc se fait avec unevitesse de norme v0.

G Que nous apprend lautre projection ?

mL 2(t) = k (L 0) m v02

L= k (L 0)

mv0

2 = k L (L 0)


PCSI1, Fabert (Metz) Mcanique n1 2010 2011


Au niveau du cours

L Les dfinitionsG Sont savoir :

les dfinitions de position, vitesse, acclration les dfinitions de ressort idal, fil idal, poulie idale la dfinition de lacclration de pesanteur

L Les grandeursG Connatre :

les coordonnes cartsiennes, la base cartsienne les coordonnes cylindro-polaire, la base cylindro polaire

G Connatre les liens entre mtre, seconde, kilogramme, newton

L Les loisG Sont connatre :

les expressions de position, vitesse et acclration pour un mouvement quelconque en coor-donnes cartsiennes

les expressions de position, vitesse et acclration pour un mouvement circulaire les expressions de position, vitesse et acclration pour un mouvement quelconque en coor-donnes cylindro-polaire

la seconde loi de Newton la premire et la 3e loi de Newton

L la phnomnologieG Connatre :

la phnomnologie du poids, des forces de frottement la phnomnologie de la force exerce par un ressort la phnomnologie dun fil idal, dune poulie idale la phnomnologie de laction dun support

Au niveau de lanalyse

L Analyse physiqueG Il faut savoir imaginer qualitativement lvolution mcanique dun dispositif et surtout savoir ma-

triser ses impulsions intuitives explicatives.

L Analyse techniqueG Il faut savoir dterminer quel est le meilleur reprage (cartsien ou cylindro polaire) et agir en

consquence.

Matthieu Rigaut Fiche de rvision


Au niveau des savoir-faire

L outils mathmatiquesG Connatre parfaitement :

les drives temporelles des vecteurs de la base polaire

L petits gestesG Savoir :

faire un bilan de forces

L exercices classiquesG Savoir refaire :

la chute libre le ressort le pendule simple



Table des matires

I Phnomnologie 1

I1 Bouger ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I1i monstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I1ii quest-ce qui bouge ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I1iii bouger par rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I1iv finalement, cest quoi un mouvement ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I2 Origine du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I2i les forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I2ii forces distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I2iii forces de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I3 Mouvement qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I3i la trop frquente confusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I3ii le rle des frottements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II Il bouge ! 6

II1 La loi outil : le principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II1i nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

rcriture usuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II1ii lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II2 Aborder un problme de mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II2i analyse physique et technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II2ii trouver le systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II2iii trouver les forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II2iv choisir le bon repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II3 force distance : le poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II3i situation tudier analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II3ii phnomnologie et caractristiques du poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10une autre masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II3iii mouvement de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10quation diffrentielle rgissant lvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10quation horaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11cas particulier dune vitesse initiale nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II3iv quelques caractristiques du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II4 force de contact connue : les frottements fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II4i situation tudier analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II4ii phnomnologie et caractristiques des frottements fluides . . . . . . . . . . . 15

phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II4iii trajectoires avec le modle linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16application des lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16trouver la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16trouver la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II4iv trajectoire avec le modle quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Matthieu Rigaut Fiche de rvision


lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II5 force de contact connue : la force lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II5i une masse au bout dun ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II5ii phnomnologie et caractristiques de la force lastique . . . . . . . . . . . . 19

phnomnologie de laction dun ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19et les lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II5iii un mouvement dj connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20quations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

IIITrajectoires circulaire 21

III1 Dcrire un mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III1i phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

de nombreux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21deux acclrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III1ii un repre vident pour un reprage simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22III1iii la vitesse est toujours tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23III1iv lacclration nest pas toujours normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23III1v piqre de rappel prventive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III2 force de contact inconnue : la tension exerce par un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III2i un pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III2ii phnomnologie et caractristiques de la tension exerce par un fil . . . . . . 24III2iii mouvement du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

traduction des lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25quation diffrentielle rgissant le mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25norme de la tension exerce par le fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III3 force de contact inconnue : action exerce par un support . . . . . . . . . . . . . . . . 27III3i tomber dune bosse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III3ii phnomnologie et caractristiques du contact avec un support . . . . . . . . 27

phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27caractristique de laction exerce par le support . . . . . . . . . . . . . . . . 28

III3iii angle de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28traduction du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28expression des lois physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28manipulations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IVMouvements plus complexes 29

IV1 Premire loi de la mcanique : principe dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29IV1i nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29IV1ii lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30proprit fondamentale dun rfrentiel galilen . . . . . . . . . . . . . . . . . 302e effet du postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30utilit pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30le principe dinertie nest pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV2 Troisime loi de la mcanique : principe des actions rciproques . . . . . . . . . . . . 30IV2i nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31IV2ii lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31



exemple du vas-y que je te pousse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31camping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV3 Force de contact inconnue : les frottements solides rle dune poulie . . . . . . . . . 32IV3i masse relie un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32IV3ii phnomnologie et caractristiques des frottements solides . . . . . . . . . . . 33IV3iii phnomnologie et rle dune poulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV3iv quilibre de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

quilibre sans fil ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34quilibre avec fil ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

IV4 Dynamique en coordonnes cylindro-polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35IV4i grandeurs cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

objectif reprage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36vecteur acclration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

IV4ii exemple du ressort tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38un bon dpart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Analyse physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


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