Cours MEC3400 Éléments finis en mécanique du Solide 7 édition … · [5] "Finite Element...

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Cours MEC3400

Éléments finis en mécanique du Solide 7e édition

Notes de cours

Luc Marchand

Georges McIntyre

Martin Lévesque

Département de Génie Mécanique,

École Polytechnique de Montréal

Août 2008

Tous droits réservés Luc Marchand, Georges McIntyre, Martin Lévesque, École Polytechnique de Montréal, 2008

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TABLE DES MATIÈRES

1 MÉTHODES APPROXIMATIVES POUR LA RÉSOLUTION DES PRINCIPAUX PROBLÈMES D’INGÉNIERIE ......... 1-1

1.1 LES PRINCIPAUX PROBLÈMES D'INGÉNIERIE ........................................................................................................ 1-1

1.1.1 Problèmes avec conditions aux rives ................................................................................................. 1-4

1.1.2 Problèmes aux valeurs propres .......................................................................................................... 1-5

1.1.3 Problèmes de diffusion ...................................................................................................................... 1-6

1.1.4 Problèmes dynamiques ...................................................................................................................... 1-6

1.2 MÉTHODE DE RÉSOLUTION APPROXIMATIVE ...................................................................................................... 1-7

1.2.1 Forme de l’équation différentielle...................................................................................................... 1-7

1.2.2 Méthode générale de résolution ........................................................................................................ 1-7

1.2.3 Exemple............................................................................................................................................ 1-10

1.3 SOLUTION PAR LES MÉTHODES DE RÉSIDUS PONDÉRÉS ....................................................................................... 1-12

1.3.1 Collocation par points ...................................................................................................................... 1-13

1.3.2 Collocation par sous domaines ........................................................................................................ 1-14

1.3.3 Méthode des moindres carrés ......................................................................................................... 1-15

1.3.4 Méthode de Galerkin ....................................................................................................................... 1-18

1.3.5 Comparaison entre les différentes méthodes .................................................................................. 1-19

1.4 MÉTHODE VARIATIONNELLE DE RITZ .............................................................................................................. 1-20

1.4.1 Méthode .......................................................................................................................................... 1-20

1.4.2 Exemple numérique ......................................................................................................................... 1-22

1.5 EVALUATION DE LA PRÉCISION DES SOLUTIONS (ÉTUDE DE LA CONVERGENCE) ........................................................ 1-22

1.6 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES ...................................................................................................................... 1-26

2 MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION .................................................................................................. 2-1

2.1 CONDITIONS AUX RIVES: NOMENCLATURE ........................................................................................................ 2-1

2.2 INTERPOLATION........................................................................................................................................... 2-3

2.2.1 Fonctions d’interpolation ................................................................................................................... 2-3

2.2.2 Méthode matricielle d'interpolation ................................................................................................ 2-10

iii

2.2.3 Solution à plusieurs éléments .......................................................................................................... 2-11

2.2.4 Méthode d'interpolation de LAGRANGE .......................................................................................... 2-12

2.2.5 Utilisation d'éléments d’ordre supérieur ......................................................................................... 2-13

2.2.6 La méthode matricielle d’interpolation appliquée à un élément poutre ......................................... 2-15

2.3 INTÉGRATION PAR PARTIES ............................................................................................................................ 2-19

2.3.1 Une dimension ................................................................................................................................. 2-19

2.3.2 En deux et trois dimensions ............................................................................................................. 2-19

2.3.3 Exemple d'application. ..................................................................................................................... 2-21

2.3.4 Autre classification des conditions aux rives (Selon la méthode d'application) ............................... 2-24

2.4 EXEMPLES NUMÉRIQUES ............................................................................................................................. 2-25

2.4.1 Exemple no. 1 – Application de la méthode matricielle et de l'intégration par parties ................... 2-25

2.4.2 Exemple no. 2, Méthode matricielle avec valeurs constantes ......................................................... 2-37

2.4.3 Exemple no.3 – Analogie avec le barreau droit ............................................................................... 2-44

2.5 EXERCICES ................................................................................................................................................ 2-47

2.5.1 Interpolation .................................................................................................................................... 2-47

2.5.2 Intégration par parties et Galerkin .................................................................................................. 2-50

3 DÉVELOPPEMENT D’UN ÉLÉMENT FINI POUTRE-COLONNE ....................................................................... 3-1

3.1 ÉQUILIBRE .................................................................................................................................................. 3-2

3.2 CHOIX DE LA FONCTION D'ESSAI ...................................................................................................................... 3-4

3.3 FORME INTÉGRALE FAIBLE ............................................................................................................................. 3-5

3.4 SOLUTION PAR ÉLÉMENTS FINIS ...................................................................................................................... 3-7

3.5 CALCUL DE LA CHARGE CRITIQUE DE COLONNES DROITES .................................................................................... 3-15

3.5.1 Système d'équations pour un élément ............................................................................................. 3-15

3.5.2 Exercice no.1 : Colonne rotule-rotule (1 élément) ............................................................................ 3-15

3.5.3 Exercice no.2 : Colonne encastrée-libre (1 élément) ........................................................................ 3-16

3.5.4 Exercice no.3 : Colonne rotule-rotule (2 éléments finis de longueur L) ............................................ 3-17

3.6 EXERCICES ................................................................................................................................................ 3-19

iv

4 CONVERGENCE D’UNE SOLUTION PAR ÉLÉMENTS FINIS ............................................................................ 4-1

4.1 CONDITIONS DE CONVERGENCE ...................................................................................................................... 4-1

4.1.1 Représentation constante .................................................................................................................. 4-1

4.2 CONTINUITÉ ............................................................................................................................................... 4-2

4.2.1 Classe ................................................................................................................................................. 4-3

4.3 TAUX DE CONVERGENCE DE LA FONCTION D'ESSAI .............................................................................................. 4-3

4.4 TAUX DE CONVERGENCE DU FLUX .................................................................................................................... 4-5

4.5 POINTS DE SURCONVERGENCE ........................................................................................................................ 4-7

4.6 CONCLUSION ............................................................................................................................................ 4-13

5 TRANSFORMATIONS DU SYSTÈME MATRICIEL D'UN ÉLÉMENT.................................................................. 5-1

5.1 TRANSFORMATION DE COORDONNÉES ............................................................................................................. 5-1

5.1.1 Matrice de rotation ............................................................................................................................ 5-2

5.2 TRANSFORMATION D'UN VECTEUR .................................................................................................................. 5-2

5.3 CALCUL DE LA MATRICE DE ROTATION .............................................................................................................. 5-4

5.3.1 Matrice de rotation d'un élément à deux dimensions ....................................................................... 5-5

5.3.2 Matrice de rotation d'une poutre ...................................................................................................... 5-7

5.4 CHANGEMENT DE BASE EN ÉLÉMENTS FINIS ..................................................................................................... 5-11

5.5 AUTRES TRANSFORMATIONS ........................................................................................................................ 5-13

5.5.1 Libération (relaxation) de degrés de liberté d'un élément ............................................................... 5-13

5.5.2 Les fonctions de contraintes ............................................................................................................ 5-14

5.5.3 Les éléments rigides ......................................................................................................................... 5-16

5.6 SYMÉTRIE ET ANTISYMÉTRIE ......................................................................................................................... 5-18

5.6.1 Symétrie par réflexion ...................................................................................................................... 5-18

5.6.2 Antisymétrie (des charges) .............................................................................................................. 5-19

5.6.3 La symétrie cyclique ......................................................................................................................... 5-19

5.7 EXEMPLE DU DÉVELOPPEMENT ET DE L'UTILISATION DE LA MATRICE [P] ................................................................ 5-22

6 FORMULATION DES ÉLÉMENTS ISOPARAMÉTRIQUES ............................................................................... 6-1

v

6.1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 6-1

6.1.1 Famille de Lagrange ........................................................................................................................... 6-2

6.1.2 Famille de Serendip ............................................................................................................................ 6-4

6.1.3 Interpolation linéaire ......................................................................................................................... 6-4

6.1.4 Interpolation quadratique ................................................................................................................. 6-5

Propriétés des fonctions d'interpolation .......................................................................................................... 6-5

6.2 FONCTIONS DE FORME DES ÉLÉMENTS BIDIMENSIONNELS (SURFACE 2D) ................................................................ 6-6

6.3 FONCTIONS DE FORME DES ÉLÉMENTS TRIDIMENSIONNELS (SOLIDE 3D) ................................................................. 6-9

6.4 INTERPOLATION DES FONCTIONS D’UN PROBLÈME ............................................................................................ 6-11

6.5 DÉRIVÉES D'UNE FONCTION PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES CARTÉSIENNES ...................................................... 6-13

6.5.1 Exemple............................................................................................................................................ 6-14

6.6 INTÉGRATION DES EXPRESSIONS .................................................................................................................... 6-15

6.6.1 Méthode d'intégration numérique .................................................................................................. 6-16

6.7 EXERCICES ................................................................................................................................................ 6-17

7 LES ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ANALYSE DES STRUCTURES .......................................................................... 7-1

7.1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 7-1

7.1.1 Problèmes linéaires ............................................................................................................................ 7-1

7.2 LES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS ............................................................................................................................ 7-3

7.3 THÉORÈME DE L’ÉNERGIE POTENTIELLE MINIMALE .............................................................................................. 7-4

7.3.1 Énergie de déformation interne ......................................................................................................... 7-4

7.3.2 Potentiel des charges extérieures ...................................................................................................... 7-5

7.3.3 Application à la méthode des éléments finis ..................................................................................... 7-5

7.4 ÉLÉMENTS DE BARRE ET DE POUTRE ................................................................................................................. 7-6

7.4.1 Éléments de barre [4] ......................................................................................................................... 7-6

7.4.2 Éléments de poutre [4] ....................................................................................................................... 7-7

7.4.3 Matrices de rigidité ............................................................................................................................ 7-8

7.5 LES ÉLÉMENTS MEMBRANE .......................................................................................................................... 7-13

vi

7.5.1 Introduction [4] ................................................................................................................................ 7-13

7.5.2 Les principaux éléments membrane [4] ........................................................................................... 7-15

7.5.3 Les états plans ................................................................................................................................. 7-18

7.5.4 Énergie de déformation ................................................................................................................... 7-22

7.5.5 Potentiel des charges ....................................................................................................................... 7-24

7.5.6 Énergie potentielle (Équation du mouvement) ................................................................................ 7-26

7.5.7 Remarque sur l'intégration .............................................................................................................. 7-26

7.5.8 Remarques sur la forme géométrique des éléments ....................................................................... 7-27

7.5.9 Erreurs communes de maillage........................................................................................................ 7-28

7.6 PLAQUES EN FLEXION ................................................................................................................................. 7-31

7.6.1 Introduction ..................................................................................................................................... 7-31

7.6.2 Hypothèses simplificatrices de la théorie des plaques ..................................................................... 7-32

7.6.3 Fonctions de déplacement d'une plaque ......................................................................................... 7-33

7.6.4 Théorie de KIRCHOFF (Théorie des plaques minces) ........................................................................ 7-34

7.6.5 Théorie de MINDLIN (Plaques avec cisaillement transversal) .......................................................... 7-36

7.6.6 Contraintes ...................................................................................................................................... 7-39

7.6.7 Remarques sur les théories de Kirchoff et de Mindlin ...................................................................... 7-39

7.7 LES COQUES ............................................................................................................................................. 7-40

7.7.1 Éléments plats. ................................................................................................................................. 7-40

7.7.2 Éléments isoparamétriques ............................................................................................................. 7-42

7.8 ÉLÉMENT SOLIDE AXISYMÉTRIQUE ................................................................................................................. 7-47

7.8.1 Introduction [4] ................................................................................................................................ 7-47

7.8.2 Relations déformations-déplacements ............................................................................................ 7-48

7.8.3 Hypothèses du problème axisymétrique .......................................................................................... 7-49

7.8.4 Relations contraintes-déformations ([3], chapitre 9) ...................................................................... 7-50


7.8.6 Fonctions de déplacement et critères de convergence .................................................................... 7-51

vii

7.9 ÉLÉMENTS DE VOLUME (SOLIDES 3D) ............................................................................................................ 7-52

7.9.1 Introduction [4] ................................................................................................................................ 7-52

7.9.2 Éléments finis de volume ................................................................................................................. 7-54

7.9.3 Relations déformations-déplacements ............................................................................................ 7-55

7.9.4 Relations contraintes-déformations ................................................................................................ 7-55


7.9.6 Fonctions de déplacement et critères de convergence .................................................................... 7-56

8 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DYNAMIQUES ............................................................................................8-58

8.1 SYSTÈME À UN SEUL DEGRÉ DE LIBERTÉ, UNE BRÈVE RÉVISION ............................................................................. 8-58

8.1.1 Vibration libre sans amortissement ................................................................................................. 8-58

8.1.2 Vibration libre avec amortissement ................................................................................................... 8-3

8.1.3 Vibration forcée avec amortissement ................................................................................................ 8-7

8.1.4 Détermination expérimentale du facteur d'amortissement ............................................................ 8-10

8.2 PROBLÈMES DYNAMIQUES ........................................................................................................................... 8-13

8.2.1 Fréquences naturelles de vibration .................................................................................................. 8-13

8.2.2 Méthode de réduction de GUYAN (Condensation statique) ............................................................ 8-15

8.2.3 Orthogonalité des vecteurs propres { Di } ........................................................................................ 8-18

8.3 RÉPONSE D'UN SYSTÈME DYNAMIQUE ............................................................................................................ 8-20

8.3.1 Méthode de superposition des modes ............................................................................................. 8-20

8.3.2 Remarques sur l'amortissement ...................................................................................................... 8-23

8.4 MÉTHODE D'INTÉGRATION DIRECTE ............................................................................................................... 8-27

8.5 EXEMPLES DE CALCUL, FRÉQUENCES NATURELLES ET MODES VIBRATOIRE .............................................................. 8-31

8.5.1 Système à deux masses avec ressorts .............................................................................................. 8-31

8.5.2 Colonne encastrée-libre ................................................................................................................... 8-34

8.6 EXERCICES ................................................................................................................................................ 8-39

9 INTRODUCTION À ANSYS .......................................................................................................................... 9-1

10 PROBLÈMES SUPPLÉMENTAIRES, COURS 1 À 9 .........................................................................................10-1

viii

RÉFÉRENCES

[1] “Finite Element Analysis, from Concept to Applications”, David S. Burnett, Addison-Wesley Publishing

Company, 1987, ISBN 0-201-10806-2.

Reproduction des figures 3.4, 3.6, 3.8, 3.9, 3.10, 3.12, 3.13,4.5,5.1, 5.2, 5.4, 5.6, 5.9, 5.11, 5.14, 9.2, 9.4 à

9.7, 13.48, 13.63, 13.64

[2] “Concepts and Applications of Finite Element Analysis”, Robert D. Cook and al., John Wiley and Sons, Inc.,

Fourth edition, 2001, ISBN 0-471-35605-0.

Reproduction des figures 3.2-1,6.4-2, 6.4-3, 10.3-1, 10.3-3

[3] "Résistance des matériaux", A. Bazergui et al., Éditions de l'École Polytechnique de Montréal, 3ième

éditions,

2003

[4] "Modélisation des structures – Calcul par éléments finis", Jean-Charles Craveur, Dunod, 2ième

édition, 2001,

ISBN 2 10 005547 X

Reproduction partielle ou totale des pages 35, 36, 41, 75, 79 à 81, 91, 92, 117, 131 à 133.

[5] "Finite Element Analysis – Theory and Application with ANSYS", Saeed Moaveni, Pearson Education Inc., 2nd

Edition, 2003, ISBN 0-13-111202-3.

Reproduction de: Table 1.1, Fig. 6.1, pages 129 à 136 ( Chap. 3), 345 à 375 et 391 à 396 (Chap. 8)

1-1

Chapitre 1

1 MÉTHODES APPROXIMATIVES POUR LA RÉSOLUTION DES PRINCIPAUX PROBLÈMES D’INGÉNIERIE

Dans ce premier chapitre nous allons exposer les méthodes fondamentales pour résoudre

approximativement les principaux problèmes d'ingénierie. Dans le chapitre 2 nous apporterons des

raffinements à l’une de ces méthodes fondamentales afin d’obtenir “la méthode des éléments finis” ou

MEF.

1.1 Les principaux problèmes d'ingénierie

En général, pour résoudre les problèmes d’ingénierie, nous construisons des modèles mathématiques

pour représenter des phénomènes physiques. Dans plusieurs cas, ces modèles sont faits d’équations

différentielles avec un ensemble de conditions initiales ou de conditions aux rives. Les équations

différentielles sont développées en appliquant des lois fondamentales à un système ou à un volume de

contrôle. Ces équations représentent une loi de conservation comme l’équilibre des forces, de l’énergie

ou des masses. Pour les systèmes relativement simples, comme par exemple dans le cas de problèmes

unidimensionnels, il est souvent possible de trouver la solution exacte du problème. Cette solution

analytique nous permet de connaître de façon détaillée la réponse en tout point du système, sous des

conditions spécifiques. La Table 1.1 qui suit, illustre quelques uns de ces cas simples.

Il existe une grande variété de problèmes pratiques d’ingénierie pour lesquels il est impossible de

trouver une solution mathématique exacte. Cela peut provenir du fait que les équations différentielles

représentant le système sont trop complexes ou cela peut être causé par les difficultés générées lors du

traitement des conditions initiales et des conditions aux rives du problème. Quoiqu’il en soit, pour

résoudre de tels problèmes, nous faisons appel à des solutions numériques approximatives. À la

différence des solutions analytiques qui nous donnent le comportement exact en tout point du système,

les solutions numériques nous donnent seulement une approximation de la réponse exacte à certains

points particuliers que l’on nomme les nœuds. Il y a deux grandes classes de méthodes numériques : 1-

la méthode des différences finies, 2- la méthode des éléments finis.

1-2

Avec la méthode des différences finies, une équation différentielle est écrite pour chaque nœud, les

dérivées étant remplacées par des équations de différences finies. Cette approche donne un ensemble

d’équations linéaires qu’il faut résoudre par la suite. La méthode des différences finies est facile à

comprendre et à appliquer à des problèmes simples. Cependant, elle devient difficile à appliquer si la

géométrie du système ou les conditions aux rives sont complexes. Ceci est particulièrement le cas avec

les problèmes traitant des matériaux non-isotropes.

Chapitre 1 – Méthodes approximatives pour la résolution….

1-3

Table 1.1 – Exemples de problèmes d'ingénierie modélisés par des équations différentielles avec

conditions aux rives ou conditions initiales.

Quant à elle, la méthode des éléments finis utilise une formulation intégrale plutôt que les équations

différentielles pour créer un système d’équations algébriques. De plus, une fonction continue est

utilisée pour représenter la solution approximative de chaque élément. La solution complète du modèle

est générée en assemblant les solutions individuelles de tous ces éléments tout en s’assurant qu’il y a

continuité aux rives entre les éléments. Par rapport aux autres méthodes numériques, la méthode des

éléments finis présente les avantages suivants :

- Applicable à tout problème de champ, incluant : mécanique du solide, transfert de chaleur, champ

magnétique, écoulement des fluides, etc..


1-4

- Il n’y a pas de restriction sur la géométrie des modèles.

- Pas de restriction également sur les conditions aux rives et les types de chargement.

- On peut modéliser différents comportements de matériau dans le même modèle (ex : matériau

isotropique (métal) et non-isotropique (composite)

- On peut combiner des composantes (éléments) ayant des comportements différents dans un

modèle É.F. (ex. poutres avec plaques).

- Un modèle ÉF ressemble de très près à la structure réelle.

- La réponse approximative peut être facilement améliorée en raffinant le maillage de tout le

modèle ou de seulement une partie de celui-ci.

1.1.1 Problèmes avec conditions aux rives

a) En une dimension

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxUxdx

xdUx

dx

d =+

− βα (1.1)

où : α (x) et ß(x) sont des coefficients

f(x) est le chargement

U(x) est une fonction inconnue

Il y a deux types de conditions aux rives: celles qui s'appliquent à la fonction U(x) et celles qui

s'appliquent à son flux φ(x)1.

1 φ(x) =-α(x) dU/dx


1-5

à x = xa ( )a aU x U= ou ( ) ( )a

dU xx

dxα φ

− =

à x = xb ( )b bU x U=

ou ( ) ( )b

dU xx

dxα φ

− =

b) En trois dimensions

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyxfzyxUzyxz

zyxUzyx

zy

zyxUzyx

yx

zyxUzyx

xzyx ,,,,,,

,,,,

,,,,

,,,, =+

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂− βααα

Notation matricielle { } { }x

T

y

z

U U f

αα β

α

− ∇ ∇ + =

Conditions aux rives { }Usur U; sur x

y

z

Uφ

αφ α

α

Σ → Σ → = − ∇

1.1.2 Problèmes aux valeurs propres

1D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dU xd

x x U x x U xdx dx

α β λ γ

− + − =

(1.2)

Conditions aux rives : à 0 ou 0

à 0 ou 0a a

b b

x a U

x b U

φφ

= = == = =

3D

Ua domaine de solution Ub

ou ou


1-6

{ } { }x

T

y

z

U U U f

αα β λγ

α

− ∇ ∇ + − =

avec 0 sur

0 sur

UU

ϕφ

= Σ

= Σ

1.1.3 Problèmes de diffusion

1D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,, ,

U x t U x tx x x U x t f x t

t x xµ α β

∂ ∂∂− + = ∂ ∂ ∂

3D { } { } ( ), , ,x

T

y

z

UU U f x y z t

t

αµ α β

α

∂ − ∇ ∇ + = ∂

Même type de conditions aux rives que pour 1.1.1, mais aussi fonction du temps t.

1.1.4 Problèmes dynamiques

1D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txftxUxx

txUx

xt

txUx

t

txUx ,,

,,,2

2

=+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂ βαµρ

3D { } { } ( )2

2, , ,

x

T

y

z

U UU U f x y z t

t t

α

ρ µ α β

α

∂ ∂ + − ∇ ∇ + =

∂ ∂

Dans les équations précédentes, U(x,y,z,t) représente la fonction inconnue et nous l'avons traitée

comme une quantité scalaire (température par exemple). Dans plusieurs problèmes, U(x,y,z,t) est une

quantité vectorielle (déplacements ou vitesses par exemple).


1-7

( ) ( ) ( ) ( ) ktzyxwjtzyxvitzyxutzyxUvrr

,,,,,,,,,,,, ++=

Nous avons alors pour chaque type de problèmes, des ensembles d'équations aux dérivées partielles

semblables aux précédentes. Ces équations seront habituellement couplées entre elles.

1.2 Méthode de résolution approximative

Nous allons maintenant développer une méthode de résolution approximative qui est générale, mais

nous nous concentrerons plus spécifiquement sur les problèmes avec conditions aux rives. Pour des

raisons de simplicité, les exemples présentés seront dans un espace à une dimension.

1.2.1 Forme de l’équation différentielle

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxUxdx

xdUx

dx

d =+

− βα (1.2)2

U(x) → Solution exacte. En une dimension elle existe dans la majorité des cas.

U*(x) → Solu_on approxima_ve. Elle sera obtenue par la MEF.

1.2.2 Méthode générale de résolution

La méthode générale de résolution comprend trois grandes étapes.

1 - Définir une fonction d'essai U*(x) de forme :

2 Bien que simple, cette forme d’équation différentielle est utilisée dans plusieurs applications comme : la flèche

d’un câble, la déformation axiale d’un barreau élastique, et dans des modèles 1D de distribution de température,

de potentiel électrique ou magnétique, d’écoulement d’un fluide incompressible.


1-8

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*0 1 1 2 2 3 3 ...U x x a x a x a x etc= Φ + Φ + Φ + Φ +

(1.3)

où Φi : fonctions d’essai

ai : nombre fini de coefficients indéterminés (degrés de liberté ou DL)

Généralement, Φ0 sert à définir les conditions aux rives

2 - Appliquer un critère d'optimisation

Afin de déterminer les valeurs numériques des coefficients ai, les meilleures possible, il

existe deux types de méthodes.

i) Méthodes de résidus pondérés

a) Collocation par points

b) Collocation par sous-domaines

c) Moindres carrés

d) Galerkin

ii) Méthode variationnelle de Ritz

Par exemple: Déplacements virtuels

Energie potentielle minimale

Etc ...


1-9

3 - Estimation de la précision

L’erreur E(x) est définie comme la différence entre la solution exacte et la solution

approximative :

( ) ( ) ( )x*UxUxE −= (1.4)

Normalement l'erreur est inconnue puisque la solution exacte U(x) n’est pas connue.

Cependant, il existe deux méthodes pratiques pour estimer l'erreur. Elles seront discutées plus

loin.

La Figure 1.1 résume la méthode générale de solution par MEF.

Solution d’essai Critère d’optimisation Solution approximative

Précision incertaine ou inacceptable

Figure 1.1


1-10

1.2.3 Exemple

Soit l'équation différentielle suivante : ( )

2

2dU xdx

dx dx x

=

(1.5)3

avec les conditions aux rives suivantes : ( ) ( ) ( )2.0

11 2 et 2

2x

dU xU x x x

dxφ

=

= = = = − =

Solution d'essai

Soit ( ) 33

2210

* xaxaxaaxU +++= une fonction d'essai polynomiale cubique.

Nous pourrions, au besoin, prendre plus de termes. Les séries polynomiales sont les plus

générales et les plus simples du point de vue des opérations mathématiques. C’est pourquoi on

les préfère en pratique. Cependant, on peut choisir d'autres types de fonctions.

Cette solution doit satisfaire les conditions aux rives. Ici, nous allons établir la valeur des

coefficients de la fonction d'essai par la méthode traditionnelle. Plus tard nous verrons qu'il est

beaucoup plus simple d'y parvenir avec des manipulations mathématiques (intégration par

parties) consécutives à l'application d'un critère d'optimisation.

Application des conditions aux rives

3 La solution exacte de l’équation (1.5), pour les conditions aux rives spécifiées, est : U(x)=2/x+½log(x) et pour le

flux φ(x)=-x dU/dx=2/x-½. Nous l’utiliserons pour vérifier la précision des résultats obtenus par la MEF.

Domaine de solution

x = 1 x = 2


1-11

Il faut:

( )

( )

*0 1 2 3

*1 2 3

1.0 2.0 (a)

12.0 2 8 24 (b)2

U x a a a a

dUx x a a a

dxφ

= = = + + +

= = − = = − − −

Nous avons ainsi deux équations ce qui permet de déterminer deux coefficients.

324

93210

3241

1

1132 (a)

124 (b)

aaaaaa

aaa

++=−−−=⇒

−−−=⇒

Donc

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

* 2 39 14 42 3 2 3 2 3

2 314 2 3

214 2 3

0 2 1 3 2

( ) 3 11 4 12

9 3 4 11 12

2 1 1 3 1 11

U x a a a a x a x a x

x a x x a x x

x a x x a x x x

x a x a x

= + + − + + + +

= − + − + + − +

= − − + − − + − + −

= Φ + Φ + Φ

(1.6)

où Φ1 et Φ2 sont des fonctions d’essai également nommées fonctions de pondération.

Flux

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

* 2 314 2 3

1 12 4 2 3

0 1 22 3

4 2 12 3

2 2 2 3 2 2

dUx x x a x x a x xdx

x a x x a x x x

d d dx a x a x

dx dx dx

φ = − = + − + −

= + − + − − + − − +

Φ Φ Φ = − + − + −

(1.7)


1-12

Figure 1.2 – Fonctions d’essai et flux des fonctions d’essai de l’exemple 1.2.3

1.3 Solution par les méthodes de résidus pondérés

Si U(x) est la solution exacte du problème précédent, à partir de l’éq. (1.5) nous devons obtenir:

( )

2

20

dU xdx

dx dx x

− =

Pour la solution approximative U*(x) nous aurons cependant:

( ) ( )

( ) ( )

*

2

2 214 2 3

2; 0

4 1 3 3 4 2

dU xdR x a x

dx dx x

x a x a x

= − ≠

= − + − + − −

(1.8)

où R(x,a) est défini comme étant le résidu


1-13

La méthode des résidus pondérés consiste à déterminer les valeurs numériques de a2 et a3 pour que le

résidu R(x ; a) devienne le plus petit possible à tous les points du domaine de solution.

Si par chance on trouve ( ) ( ) 0.20.1pour 0, que tel* <<= xaxRxU

alors ( ) ( )xUxU =* solution exacte du problème,

autrement U*(x) est une solution approximative.

L'application d'une méthode de résidus pondérés donne un ensemble d'équations algébriques linéaires.

La solution de ces équations donne les meilleurs valeurs possibles des coefficients ai que l’on désigne

également comme des degrés de liberté généralisés.

1.3.1 Collocation par points

Pour chacun des coefficients indéterminés ai, on doit choisir un point xi et forcer le résidu à zéro à ce

point :

( ); 0.0iR x a =

Exemple numérique

( ) ( ) ( )2 21

4 2 3; 4 1 3 3 4 2R x a x a x a x= − + − + − −

Soient ( )( )

4 4 4 113 3 3 81 2 3 2

5 5 8 973 3 3 1002 2 3 3

; 4 0.0 2.0993 solution

; 13 0.0 0.3560

x R x a a a a

x R x a a a a

= ⇒ = = + − = == ⇒ = = + − = = −

Donc ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

* 2 314

* 2 314

9 2.0993 3 4 0.3560 11 12

2.0993 4 2 0.3560 12 3

U x x x x x x

dUx x x x x x xdxφ

= − + − + − − +

= − = + − − −


1-14

Figure 1.3 – Solution par collocation par points (ŨC ≡ U*, Cτ% ≡ φ*)

1.3.2 Collocation par sous domaines

Pour chacun des paramètres indéterminés ai, il faut choisir un intervalle ∆xi dans le domaine de

solution et poser:

( )1; 0.0

ixi

R x a dxx ∆

=∆ ∫ (moyenne du résidu nulle) (1.9)

Exemple numérique

Soient 1x 1.0 1.5x∆ ⇒ < < et 2 1.5 2.0x x∆ ⇒ < <

1.5 222 31.0 2

2.0 2 322 31.5

1 24( 1) 3(3 4) 0.0 2.54174solution

0.42591 24( 1) 3(3 4) 0.04

x a x a dx axax a x a dx

x

− + − + − − = = = − − + − + − − =

∫

∫

Donc


1-15

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

* 2 314

* 2 314

9 2.5417 3 4 0.4259 11 12

2.5417 4 2 0.4259 12 3

U x x x x x x

dUx x x x x x xdxφ

= − + − + − − +

= − = + − − −

Figure 1.4 – Solution par collocation par sous-domaine (ŨS ≡ U*, Sτ% ≡ φ*)

1.3.3 Méthode des moindres carrés

On minimise par rapport aux ia l’expression suivante ( )∫D dxaxR ;2

Donc: ( ) ( ) ( )∫ ∫ =

∂∂=

∂∂

D Dii

dxa

axRaxRdxaxR

a0.0

;;2;2 (1.10)

( )axR ;2 toujours positif.


1-16

Exemple numérique

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2.0 2.0 21 24 2 31.0 1.0

2

2.0 2.0 2 21 24 2 31.0 1.0

3

; 4 1 3 3 4 4 1 0.0

; 4 1 3 3 4 3 3 4 0.0

x

x

RR x a dx x a x a x dx

a

RR x a dx x a x a x dx

a

∂ = − + − + − − − = ∂∂ = − + − + − − − = ∂

∫ ∫

∫ ∫

3816.0 3155.2 Solution 32 −==⇒ aa

Donc ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

* 2 314

* 2 314

9 2.3155 3 4 0.3816 11 12

2.3155 4 2 0.3816 12 3

U x x x x x x

dUx x x x x x xdxφ

= − + − + − − +

= − = + − − −

Figure 1.5 – Solution par la méthode des moindres carrés (ŨL ≡ U*, Lτ% ≡ φ*)


1-17


1-18

1.3.4 Méthode de Galerkin

Pour chacun des paramètres Ni(x), on pose : ( ) ( )∫ =D i dxaxRxN 0.0; (1.11)

où Ni(x) sont des fonctions de pondération qui sont aussi les fonctions d’essais (Φ1, Φ2)

La méthode force à zéro une moyenne pondérée du résidu sur le domaine de solution. Chacune

des fonctions d’essai est utilisée comme fonction de pondération.

Exemple numérique

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )2

2

2.0 21 24 2 31.0

2.0 2 21 24 2 31.0

4 1 3 3 4 1 3 0.0

4 1 3 3 4 1 11 0.0

x

x

x a x a x x dx

x a x a x x x dx

− + − + − − − − =

− + − + − − − + − =

∫

∫ Solution

−=

=

3477.0

1378.2

3

2

a

a

Donc ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

* 2 314

* 2 314

9 2.1378 3 4 0.3477 11 12

2.1378 4 2 0.3477 12 3

U x x x x x x

dUx x x x x x xdxφ

= − + − + − − +

= − = + − − −


1-19

Figure 1.6 – Solution par la méthode de Galerkin (ŨG ≡ U*, Gτ% ≡ φ*)

1.3.5 Comparaison entre les différentes méthodes

Une comparaison entre les différentes méthodes est présentée à la figure ci-dessous. On peut y

constater que la solution obtenue avec la méthode de Galerkin est la plus près de la solution analytique

exacte.


1-20

Figure 1.7 – Comparaison entre les différentes solutions

1.4 Méthode variationnelle de Ritz

Cette méthode de solution est basée sur une branche des mathématiques appelée "Calcul des

variations".

1.4.1 Méthode À partir de l’équation différentielle (1.1), on pose :

( ) ( ) ( ) ( )2

1

0.0x

x

d dUU x x U x f x dx

dx dxδ α β − + − =

∫

( )xUδ ... petite variation continue mais arbitraire de la fonction


1-21

En intégrant par parties l’expression précédente et suite à des manipulations mathématiques nous

obtenons une forme intégrale de l'équation différentielle c’est ce qu’on nomme la forme faible de

l’équation différentielle.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

11

221 1

2 2 x

x

xx

dU dUI U x x U x f x U x dx x U x

dx dxα β α

= + − −

∫ (1.12)

L’équation différentielle est satisfaite lorsque la première variation de l’intégrale précédente par rapport

à la fonction U devient stationnaire. Cette méthode est purement mathématique.

( ) 0.0=UIδ

Pour trouver une solution, la méthode de Ritz consiste à poser:

*UU =

Après l’intégration par parties de (1.12) nous avons: ( ){ } ( )... etc,,,; 321* aaaIaxUI =

Pour obtenir la valeur stationnaire de cette intégrale on pose: ∑ =∂∂= 0.0i

i

daa

IdI

Comme les coefficients ai peuvent être variés indépendamment, cette dernière relation sera satisfaite si

nous avons :

0.0=∂∂

ia

I

Nous obtenons ainsi autant d’équations linéaires que nous avons d’inconnus ai .


1-22

1.4.2 Exemple numérique

Nous avons: ( )

2

20.0

dU xdx

dx dx x

− =

avec

( )

21

0.2

0.21

=

−

==

=xdx

dUx

xU

La forme intégrale de l’équation différentielle précédente est donnée par:

( ) ( )2.02

2.01

2 21.01.0

2x

x

dU dUI U x U dx x U x

dx x dx

=

=

= + + −

∫

avec ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]1113112)( 2324

1* −+−+−−+−−= xxxaxxaxxU réf. éq. (1.6)

En posant 0.0 et 0.032

=∂∂=

∂∂

a

I

a

I

nous obtenons deux équations avec deux inconnus a2 et a3

La solution donne: a2 = 2.1378 et a3 = -0.3477

La méthode variationnelle de Ritz, lorsque la forme intégrale de l'équation différentielle existe, donne

exactement les mêmes résultats que la méthode des résidus pondérés, critère de Galerkin (Figure 1.7).

L’application de la méthode variationnelle est souvent difficile et le succès dans la recherche d'une

forme intégrale de l'équation différentielle n'est pas assuré. La méthode des résidus pondérés de

Galerkin nous amène toujours à une solution. C'est la méthode habituellement utilisée.

1.5 Evaluation de la précision des solutions (étude de la convergence)


1-23

Il est difficile d'évaluer la précision d'une ou de plusieurs solutions numériques. La solution exacte est

habituellement inconnue puisque nous utilisons une méthode approximative de résolution. En

comparant les solutions précédentes, obtenues en utilisant plusieurs méthodes différentes, nous avons

une indication sur la précision des résultats. Toutes ces solutions peuvent cependant être loin de la

solution exacte. Nous pouvons aussi effectuer une étude de la convergence.

Étude de la convergence

Lorsqu'un seul critère d'optimisation est utilisé, comme celui de Galerkin par exemple, nous calculons

une série de solutions, ( ) ( ) ( )xUxUxU *3

*2

*1 ,, , etc., en utilisant des fonctions d'essai progressivement

meilleures (plus de termes).

Nous avons convergence si : ( ) ( ) 0.0*1

* →− − xUxU nn pour ∞→n (Figure 1.8a)

La convergence vers une mauvaise solution (Figure 1.8b) est également possible si les fonctions d'essai

ne satisfont pas conditions suivantes :

a) Ces fonctions doivent être complètes (completeness).

b) Elles doivent être continues.

Figure 1.8 – Représentation schématique du phénomène de convergence, (a) vers une solution exacte,

(b) vers une solution erronée.


1-24

Les critères de convergence seront étudiés en détails, au chapitre 4. Cependant, nous pouvons déjà

mentionner qu’il y a deux façons fondamentales de conduire une étude de convergence dans le cas d’un

modèle d’éléments finis.

La méthode "h", où "h" est la dimension caractéristique de l'élément. Tout en gardant la même fonction

d'essai pour les éléments du modèle, on augmente le nombre d'éléments en raffinant le maillage du

modèle. Cela équivaut à augmenter le nombre de degrés de liberté dans le modèle.

La méthode "p", où "p" signifie polynôme. Dans ce cas, on conserve le même maillage du modèle mais

on augmente le nombre de coefficients de la fonction d'essais en utilisant un polynôme de degré plus

élevé. En augmentant le nombre de coefficients de la fonction d'essai, on augmente aussi le nombre de

degrés de liberté dans le modèle. La Figure 1.9, donne un exemple des résultats obtenus lorsqu'on

augmente le degré du polynôme de la fonction d'essai utilisée pour résoudre l'équation différentielle.

Nous remarquons un rapprochement entre les solutions lorsque le nombre de DL augmente, ce qui est

indicateur de la convergence de ces solutions vers la solution exacte.


1-25

Figure 1.9 – Solutions approximatives obtenues avec la méthode Galerkin et un nombre croissant de

degrés de liberté. Valeurs aux rives (BC) calculées pour chaque solution (Ũ ≡ U*, τ% ≡ φ*)


1-26

1.6 Exercices supplémentaires

Problème 1.1

L'équation différentielle d'un câble suspendu est donnée par l'expression suivante:

( )0

d dW xT g x L

dx dxρ − = − < <

où W(x) est la flèche verticale du câble. Le câble à une longueur L=10 m, une tension horizontale T=98

N, une masse par unité de longueur ρ= 1kg/m et subit l'accélération terrestre g=9.8 m/s2. Les conditions

aux rives sont W(x=0) =0.0 et W(x=10)=0.0. Quelle est la flèche du câble à x=L/2 et à x=L/4 ?. Pour

trouver la solution,

a) Utilisez la méthode des résidus pondérés (critère au choix) et la fonction d'essai polynomiale

quadratique suivante: 2321

* );( xaxaaaxW ++= .

b) Comparez vos résultats avec la solution exacte suivante: 20/)10()( −= xxxW .

c) Développez trois solutions approximatives en utilisant la méthode de Galerkin et les trois

fonction d'essais suivantes:

*1 1

*2 1 2

*3 1 2 3

( ; ) sin10

3( ; ) sin sin

10 10

3 5( ; ) sin sin sin

10 10 10

xW x a a

x xW x a a a

x x xW x a a a a

π

π π

π π π

=

= +

= + +

Note: W1*, W2

*, W3* satisfont directement les conditions aux rives

Ces solutions convergent-elles vers la solution exacte?

Réponses:


1-27

Problème 1.2

Soit l'équation différentielle suivante:

210)(

)1( <<=

+ xdx

xdUx

dx

d

Les conditions aux rives sont U(x=1) = 1 et φ(x=2) = 1. Le flux est égal à dx

dUx )1( +−=ϕ

a) Développez une solution approximative avec la méthode de Galerkin et une fonction d'essai

polynomiale quadratique 2321

* );( xaxaaaxU ++=

b) Développez une seconde solution avec une fonction d'essai polynomiale cubique: * 2 3

1 2 3 4( ; )U x a a a x a x a x= + + +

Y a t'il convergence vers la solution exacte donnée ci-dessous?

Solution exacte: ( 1)

( ) 1 ln ( ) 12

xU x xφ+ = − =

Réponses:

Problème 1.3


1-28

Soit la même équation différentielle qu'au problème 1.2, mais avec les conditions aux rives suivantes:

U(x=1)=1 et U(x=2)=2.

a) Développez une solution approximative avec la méthode de Galerkin et une fonction d'essai

polynomiale quadratique 2321

* );( xaxaaaxU ++=

b) Développez une seconde solution avec une fonction d'essai polynomiale cubique: * 2 3

1 2 3 4( ; )U x a a a x a x a x= + + +


Solution exacte :

ln( 1) ln(3/ 4)( )

ln(3/ 2)

1( )

ln(3/ 2)

xU x

xφ

+ +=

−=.

Réponses:

Problème 1.4

Soit l'équation différentielle suivante:

( )2 4 3 2( ) 130 204 351 110 0 4

12

d dU xx x x x x x

dx dx = − + − + < <

Les conditions aux rives sont, U(x=0) = 1 et U(x=4) = 0. Utilisez la méthode de Galerkin pour développer

deux solutions approximatives, la première avec un polynôme quadratique et la seconde avec un

polynôme cubique.


1-29


Solution exacte ( ))2411011734324

1)( 234 ++−+−= xxxxxU

Réponses:

Problème 1.5

Soit un corps possédant une source interne de chaleur qui dissipe sa chaleur dans son environnement

selon l'équation différentielle suivante:

0)()( >=+ tftkT

dt

tdTc

Il s'agit d'une équation différentielle d'ordre 1 qui décrit le changement température dans le temps

(problème transitoire) où: T(t) est la température, t est le temps écoulé à partir de 0, c est la capacité

thermique (c=1 cal/cm3-°C), k est le coefficient des pertes par convection (k=0.1 cal/s-cm3-°C) et f est la

source interne de chaleur (f=2 cal/s-cm3).

La condition initiale (condition aux rives) est T(t=0) = T0 = 40°C. Évaluez la température aux temps t = 5 s

et t = 10 s. Développez une solution approximative avec la méthode Galerkin et un polynôme

quadratique. Comparez vos résultats à ceux obtenus avec la solution exacte donnée ci-dessous.

Solution exacte : ))(/(

)( 00

ttck

k

fT

k

ftT e −−

−+=

Réponses:


1-30


1-31

2-1

Chapitre 2

2 MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION

Pour les problèmes pratiques courants qui sont habituellement complexes, la méthode de résolution du

chapitre 1 est laborieuse et peu systématique. Dans ce chapitre nous allons introduire des méthodes qui

vont simplifier considérablement la résolution en la rendant beaucoup plus systématique.

Nous allons commencer par traiter de la nomenclature des conditions aux rives afin d'éviter les

ambiguïtés à ce sujet. Nous poursuivrons ensuite avec l'interpolation et les propriétés des fonctions

interpolées. Nous traiterons finalement l'intégration par parties et nous discuterons de ses avantages.

2.1 Conditions aux rives: Nomenclature

Forme des équations différentielles:

2 2 -1

2 2 -1 1 02 2 -1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )

m m

m mm m

U x U x dU xd dx x x x U x f xa a a adxdx dx

+ + + + = (2.1)

La dérivée d’ordre supérieur est PAIRE

Dans la majorité des problèmes d’ingénierie, m=1 ou m=2

1 - Conditions aux rives Essentielles (Dirichlet, cinématique, déplacement).

Ce sont les conditions reliant U(x) et ses dérivées jusqu'à l'ordre (m-1).

2-2

2 - Conditions aux rives Naturelles (Neumann, dynamique, force)

Sont les conditions reliant les dérivées de U(x) de l'ordre (m) à (2m-1).

Exemple: Soit l'équation différentielle permettant la résolution d'une poutre en flexion.

( )2 2

2 2- ( ) 0

v xd d EI q x dx dx

=

où m=2

q(x)

Lx

Figure 2.1

Chapitre 2 – Méthodes pratiques de résolution

2-3

À l’encastrement:

Conditions essentielles (Dirichlet, déplacement) : 0

(0) 0 ; 0x

dvv

dx =

= =

Conditions naturelles (Neumann, Force) :

0 02 2

2 2x=L x=L

v d vd dM(L) = EI V(L) = EI = dxdx dx

= −

2.2 Interpolation

L'interpolation permet de définir une fonction d'essai en utilisant les valeurs de la fonction et de ses

dérivées jusqu'à l'ordre (m-1) à certains points du domaine de solution (noeuds). La Figure 2.2 qui suit,

illustre l’utilisation d’une fonction

d’interpolation (fonction d’essai) linéaire utilisée

pour représenter approximativement le profil de

température le long d’une ailette de

refroidissement. On remarquera qu’aux nœuds

(1 et 4), la température de la fonction

d’interpolation est égale à celle du profil réel de

température. Ainsi, avec une telle fonction

d’interpolation, nous sommes en mesure

d'appliquer directement les conditions

essentielles (Dirichlet) sur la fonction d'essai.

Plus loin, lorsque nous diviserons le domaine de

solution en plusieurs sous-domaines (éléments)

nous n'aurons plus à nous préoccuper des

conditions essentielles aux frontières de chacun

des sous-domaines. La continuité sera assurée.

2.2.1 Fonctions d’interpolation

Figure 2.2


2-4

La méthode que nous allons utiliser en premier lieu est la plus générale. Bien qu’elle soit assez

fastidieuse, sa compréhension nous permet de bien saisir les principes qui régissent l’interpolation.

Nous allons développer la solution à un problème unidimensionnel avec des fonctions d’interpolation

linaires. Le concept d'élément sera également introduit.

2.2.1.1 Solution d'un problème unidimensionnel avec un seul élément

Soit un seul élément couvrant tout le domaine de solution. Comme fonction d’interpolation, nous

désirons un polynôme qui a des propriétés spéciales aux rives :

- vaut 1 au nœud associé à la fonction d’interpolation

- vaut 0 à tous les autres nœuds

Comme nous le verrons plus loin, cette approche est avantageuse du point de vue calcul lorsqu’il y a

plusieurs éléments dans le modèle.

Exemple 1

Équation d’une droite (Figure 2.3)

*1 2( : )U x xα α α= +

Cette forme n’est pas appropriée

pour le calcul par É.F.

Exemple 2

Figure 2.3


2-5

Choisissons une fonction où chaque coefficient ai représente la valeur de la fonction d’essai à un point

spécifique du domaine, point que l’on désigne comme un nœud (Figure 2.4).

*1

*2

( , )

( , )

a

b

U x a a

U x a a

=

=

En reprenant le polynôme du premier degré précédent, on

trouve que :

1 2 a 1

1 2 b 2

x a

x a

α αα α

+ =+ =

donc 1 2 2 11 2

b a

b a b a

x a x a a a

x x x xα α− −= =

− −

La nouvelle forme de la fonction d’essai sera:

* 1 2 2 1( ; ) b a

b a b a

x a x a a aU x a x

x x x x

− −= + − −

En réarrangeant pour mettre en évidence les coefficients

*1 2

*1 1 2 2

*1 1 2 2

( ; )

( ; ) ( ) ( )

( ; ) ( ) ( )

b a

b a b a

x x x xU x a a a

x x x x

U x a a x a x

U x a a N x a N x

− −= + − −

= Φ + Φ

= +

où Φ1(x), Φ2(x) sont les fonctions d’interpolation d’un élément

et N1(x), N2(x) sont les fonctions de forme d’un élément (identiques à Φ1(x), Φ2(x))

Figure 2.4


2-6

On peut remarquer que les expressions « fonction d’interpolation » et « fonction de forme »

représentent la même chose et sont donc interchangeables. Dans le texte qui suit, nous utiliserons

indifféremment l’une ou l’autre de ces expressions.

Propriétés des fonctions d’interpolation (ou de forme)

Les fonctions d’interpolation sont égales à l’unité pour un nœud et sont nulles pour les autres nœuds du

domaine de solution (Figure 2.5).

1

1

2

2

( ) 1

( ) 0

( ) 0

( ) 1

a

b

a

b

x

x

x

x

Φ =Φ =Φ =Φ =

Généralisation

En substituant au nœud 1, x1 pour xa et au nœud 2, x2 pour xb, nous obtenons :

2 11 2

2 1 2 1

( ) ( )

( ) Kronecker Deltai j ij

x x x xx x

x x x x

x δ

− −Φ = Φ = − −

Φ =

Propriétés du Kronecker Delta, δij

1 si

0 si ij

ij

i j

i j

δδ

= =

= ≠

Une approche alternative pour développer les fonctions d’interpolation consiste à travailler directement

à partir des propriétés d’interpolation désirées :

Figure 2.5


2-7

*1 1 2 2

1 1 2

2 1 2

( , ) ( ) ( )

si ( )

( )

U x a a x a x

x x

x x

β βγ γ

= Φ + ΦΦ = +Φ = +

Pour Φi(x), les valeurs aux nœuds sont :

21

1 2 1 2 1

1 2 22

2 1

1

0 1

x

x x x

x

x x

ββ ββ β β

=+ = −

+ = = −−

La solution est similaire pour les coefficients 1 2 2 et de ( ) xγ γ Φ

La valeur des fonctions d’interpolation est donc, égale à :

2 11 2

2 1 2 1

( ) ( )x x x x

x xx x x x

− −Φ = Φ =

− −

Ce résultat est identique au précédent.

2.2.1.2 Solution avec deux éléments

Le domaine de solution est maintenant divisé en deux éléments (ou sous-domaines) et les fonctions

d’interpolation précédentes sont appliquées à chaque élément.

Figure 2.6

Au point xc, situé au nœud inter élément dans la Figure 2.6, nous devons avoir continuité de la solution

(U*, dU*/dx, etc…). Par exemple, dans le cas de la solution de l’équation (1.5), cela implique continuité

de la fonction U* et du flux φ*. Ces deux conditions de continuité sont en fait des conditions aux rives

qui s'appliquent aux deux éléments au niveau de leur nœud commun situé à xc. L'équation différentielle

(1.5) étant de deuxième degré (m=1), la continuité de U* est donc une CR essentielle (Dirichlet) tandis

que la continuité du flux φ* est une CR naturelle (Neuman), étant donné que le flux est égal à –x dU*/dx.

Ces conditions de continuité s’expriment de la façon suivante :


2-8

( ) ( )

( ) ( )

* 1 * 2

* 1 * 2

( ) ( ) condition aux rives essentielle

( ) ( )-x -x condition aux rives naturelle

c c

c c

x x x x

U x U x

dU x dU x

dx dx= =

=

=

Les fonctions d’essai des deux éléments sont :

( ) ( )* 1 * 2

1 1 2 2 3 3 4 4

Élément(1) Élément(2)

( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( )U x a a x a x U x a a x a x= Φ + Φ = Φ + Φ

Une illustration de ces fonctions d'essai est donnée à la Figure 2.7.

Figure 2.7

En appliquant sur U* la condition aux rives essentielle précédente, il s’en suit que :

1 2 3 4

2 3

0 1 1 0

et de façon générale i j

a a a a

a a

a a

∗ + ∗ = ∗ + ∗=

=


2-9

Au nœud inter élément, nous avons donc la même valeur du coefficient a, ce qui implique que la CR

essentielle est satisfaite exactement.

Pour la suite de la solution, la condition de continuité du flux au point xc sera utilisée, de même que les

autres CR qui s’appliquent aux nœuds situés aux deux extrémités du domaine de solution. Le

développement complet de la solution mathématique pour le modèle à deux éléments est trop long

pour être présenté dans le présent texte. Les lecteurs intéressés pourront le trouver dans le chapitre 4

de la référence [1]. On peut cependant voir la solution obtenue à la

Figure 2.8 qui inclut également la solution avec un seul élément pour fin de comparaison. Il est crucial

de mentionner que le développement mathématique permet de tirer deux importantes conclusions en

ce qui concerne la satisfaction des CR lors de la solution:

1) Les conditions aux rives essentielles sont satisfaites exactement.

2) Les conditions aux rives naturelles sont satisfaites approximativement.

Les exemples d’application présentés plus loin viendront corroborer ces deux conclusions.


2-10

Figure 2.8 – Solutions avec 1 et 2 éléments ((Ũ ≡ U*, τ% ≡ φ*)

2.2.2 Méthode matricielle d'interpolation

Pour illustrer de façon simple la méthode matricielle qui sert à développer les fonctions d’interpolation

(fonctions de forme), nous allons utiliser un problème unidimensionnel de transfert de chaleur.

Ti

xL

Tj

T(x)=a0+a1x

1 2

Figure 2.9

Soit un élément de longueur L dans un domaine tel qu’illustré à la Figure 2.9

Les valeurs aux rives sont : i

j

à x=0 T(x)=T

à x=L T(x)=T

Pour interpoler la température, nous utilisons un polynôme d’ordre 1 tel que :

0 1

0

1

( )

1 où 1 est la base polynomiale

T x a a x

ax x

a

= +

=

Aux rives :


2-11

{[ ]

{

0

1 0

10

.1

à 0 1 01 0

1à 1

DL C.Rgénéralisés

ii

j

i

ax T

a T a

T aLax L T L

a A

= =

= = =

123

où [A] est la matrice d’interpolation

Pour obtenir la valeur des degrés de liberté généralisés, nous avons :

0 1

1

i

j

TaA

Ta−

=

Donc 1( ) 1

Fct de formede chaque noeud

i i

i jj j

T TT x x A N N

T T−

= = 14243

Le calcul des fonctions de forme s’effectue de la façon suivante :

1 0 01 11 1 1 1

L LA

A L−

= = − −

1

2ij

1

2

0 11( ) 0 0

satisfait à (Kronecker) 0 01

(0 )1

i

j

x N L LN L x N LL

x L N LxN x

L L N L L

δ

= = == − = =⇒ = = == + =

= =

2.2.3 Solution à plusieurs éléments


2-12

La Figure 2.10 illustre une courbe de distribution de

température en fonction de x. Le domaine de solution est

divisé en plusieurs éléments linéaires afin de suivre

approximativement la courbe de température. Pour

chaque élément on utilise des fonctions de forme

identiques qui satisfont au Kronecker delta. Cela a pour

conséquence que:

1) La valeur d'une fonction Ni est nulle à tous les nœuds sauf au nœud i.

2) Lors de l'assemblage de la matrice globale [K] du

modèle qui comprend toutes les valeurs des

matrices locales de chaque élément, on s'assure d'avoir des valeurs Kij nulles partout à

l'exception des DL de l'élément. Nous obtenons donc une matrice globale avec peu de valeurs

non nulles et ces valeurs sont regroupées autour de la diagonale de la matrice (matrice bande).

Le traitement mathématique subséquent s'en trouve grandement allégé.

[ ]

11 12

21 22 23

32

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

K K

K K K

KK

=

O O

O O O

O O O

O O

Nous verrons plus loin dans ce chapitre ce qu'est la matrice [K] et comment les valeurs Ni servent à son

calcul.

2.2.4 Méthode d'interpolation de LAGRANGE

Figure 2.10

T(x)

1

Ti

Tj

Élé

me

nt

x(noeud)

i jxL


2-13

La méthode d'interpolation de Lagrange permet d'obtenir directement des fonctions d'interpolation.

Elle utilise uniquement les valeurs nodales de la fonction ce qui limite son utilité aux équations

différentielles d'ordre 2.

La fonction interpolée est donnée par:

1 1 2 2 3 31

( )n

i ii

f x N f N f N f N f=

= = + + +∑ K

avec 1

omettant

où n = nombre de noeuds de l'élément

nk i

ik i k i i

x x x xN

x x x x=

− −= − − ∏ (2.2)

Reprenons l’exemple précédent pour calculer aux nœuds 1 et 2 (i et j), les fonctions de forme de

l’élément à l’aide de l’équation (2.2).

21

1 2

12

2 1

0Résultat identique à la méthode matricielle

0

0

x x x L L xN

x x L L

x x x xN

x x L L

− − − = = = − − − − = = =− −

2.2.5 Utilisation d'éléments d’ordre supérieur

Jusqu'à maintenant nous avons fait appel à des fonctions d'interpolation linéaires. Comme le montre la

Figure 2.2, il est possible de représenter un phénomène physique de nature non-linéaire avec plusieurs

éléments qui utilisent des fonctions d'interpolation linéaires. Cependant, dans plusieurs cas, il est

avantageux d'avoir recours à une interpolation non-linéaire pour diminuer le nombre d'éléments requis

et pour augmenter la précision des résultats pour les points situés entre les nœuds. Dans le cas d'un

problème unidimensionnel, pour faire une interpolation non-linéaire, il suffit d'ajouter un nœud

intermédiaire ou plus à l'élément.


2-14

T(x)

1 3 5 7 9 11

T2 T3 T4 T5T1

Élé

men

t

x

T1 T2 T3

xL/2 L/2

Élément no. 1

Figure 2.11

La Figure 2.11 illustre une courbe de distribution de température en fonction de x. Cette distribution est

modélisée à l'aide d'éléments à trois nœuds. Si on regarde l'élément no. 1, avec les températures aux

trois nœuds connues (T1, T2, T3), on peut interpoler de façon non-linéaire sur tout l'élément. Dans ce

cas, cela exige une fonction d'interpolation de type polynôme quadratique puisque l’élément possède

trois degrés de liberté, il faut donc une fonction qui a trois coefficients (DL généralisés):

20 1 2

0

21

2

( )

1

T x a a x a x

a

x x a

a

= + +

=

Calculons la matrice d'interpolation [A] en appliquant les CR de température


2-15

[ ]{ }1 0

22 1

23 2

2

12

1 1

2 12 1 2 3 2

3 3

1 0 0

1 2 4

1

0 01

où 3 4

2 4 2

( ) 1

i

T a

T L L a A a

T L L a

L

A L L LL

T T

T x x x A T N N N T

T T

−

−

= =

= − − −

= =

et 2 11 2 3 1N N N x x A− = (2.3)

La valeur des trois fonctions de forme peut-être trouvée en complétant le calcul matriciel. On peut

également obtenir directement ces valeurs en faisant appel à la méthode de Lagrange qui n’exige pas le

développement et l’inversion de la matrice d'interpolation [A].

Par exemple pour le nœud 1:

( )( )

( )( )( )( )

( )( )2

2 31

1 2 1 3

2( ) 1 3 2

2

x x x x x L x L x xN x

x x x x L L L L

− − − − = = = − + − − − −

Comme exercice, il est suggéré de calculez la valeur de N2 et N3 par la méthode de Lagrange puis de

comparer avec celles que donnent l’équation (2.3).

2.2.6 La méthode matricielle d’interpolation appliq uée à un élément poutre


2-16

Dans ce nouvel exemple, nous allons calculer les fonctions de forme de l’élément de poutre à deux

nœuds qui est illustré à la Figure 2.12. Il s’agit d’un élément fini typique de la mécanique du solide sur

lequel nous reviendrons au chapitre 6. Chaque nœud possède deux degrés de liberté, un pour la flèche

(vi) et un autre pour la pente (θi). Donc au total, l’élément possède quatre DL.

vi

xL

vj

v(x)

jθiθ θ(x)

Figure 2.12

Nous devons choisir une fonction d’interpolation qui assure la continuité à la fois de la flèche v(x) et de

la pente θ(x). Puisque nous avons un total de quatre DL avec cet élément, nous choisissons une fonction

de type polynôme cubique qui possède quatre coefficients, donc quatre DL généralisés.

0

12 3 2 30 1 2 3

2

3

0

12 21 2 3

2

3

( ) 1

( )( ) 2 3 0 1 2 3

a

av x a a x a x a x x x x

a

a

a

adv xx a a x a x x x

adx

a

θ

= + + + =

= = + + =

Appliquons les conditions aux rives pour obtenir la matrice d’interpolation [A]


2-17

0

12 3

22

3

à 0 1 0 0 0

0 1 0 0

à 1

0 1 2 3

i

i

j

j

v ax

a

v ax L L L L

aL L

A

θ

θ

= =

=

144424443

2 3 11 2 3 4( ) 1

i i

i i

j j

j j

v v

v x x x x A N N N Nv v

θ θ

θ θ

−

′ ′ = =

L’indice ′ dans N'2 et N'4, indique que la fonction de forme est associée à la dérivée de v(x).

[ ]

4

41

4 2 3 2 3

2 2

0 0 0

0 0 01

3 2 3

2 2

L

LA

L L L L L

L L L L

−

= − − −

−

donc

4

42 3

1 2 3 4 4 2 3 2 3

2 2

0 0 0

0 0 011

3 2 3

2 2

L

LN N N N x x x

L L L L L

L L L L

′ ′ = − − −

−


2-18

( )

( )

( )

2 34 2 2 3

1 4

2 34 3 2 2 3

2 4

2 32 2 3

3 4

4 4

Valeurs aux noeuds (i,j)

10 3 2 1 3 2 (1,0)

10 2 2 (0,0)

10 0 3 2 3 2 (0,1)

1

x xN L x L x Lx

L L L

x x xN L x L x L x L

L L L L

x xN L x Lx

L L L

NL

= + ∗ − + = − + =

′ = + − + = − + =

= + − − = − =

′ = ( )2 3

3 2 2 30 0 3 (0,0)x x

L x L x LL L

+ − + = − + =


2-19

Conclusion

( )

( )( ) 0.0 mais (à vérifier en exercice)

i j ij

i ji j ij

N x

dN xN x

dx

δ

δ

=′

′ = =

2.3 Intégration par parties

Les solutions par les méthodes de résidus pondérés telles que celles des moindres carrées ou bien de

Galerkin, font appel fréquemment à l’intégration par parties pour trouver la solution.

2.3.1 Une dimension

Nous savons que: ( )( ) ( ) ( ) ( )d dg df

f x g x f x g x dx dx dx

= +

On peut donc écrire: ( )2 2

2

1

1 1

( ) - ( ) ( ) ( )x x

x

xx x

dg df f x dx g x dx f x g x

dx dx= +∫ ∫ (2.4)

2.3.2 En deux et trois dimensions

Ici il est beaucoup plus simple d'utiliser la notation matricielle. Considérons l'identité suivante,

où u est un scalaire et Vr

un vecteur:

V u + V u = )V(u rrr

•∇•∇•∇

En intégrant sur le volume cette identité et en réarrangeant les termes nous avons:

V V V u V dV = (u V) dV - u V dV∇ • ∇ • ∇ •∫ ∫ ∫r r r


2-20

Selon le théorème de la divergence nous avons:

V S V dV = V n dS∇ • •∫ ∫r r r

En appliquant le théorème de la divergence sur la deuxième intégrale de l'équation précédente

nous avons finalement:

dV Vu - dS nVu = dV Vu VSV

rrrr•∇∫•∫•∇∫ (2.5)


2-21

2.3.3 Exemple d'application.

Reprenons l'équation différentielle (1.5) du chapitre précédent.

2

d dU(x) 2 x =

dx dx x

avec 2 x 1 ≤≤

et appliquons les conditions aux rives suivantes :

( 1) 2U x = = et 2

( 2) 1/ 2-x

dU x x

dxφ

=

= = = (flux)

Considérons une fonction d'essai pour l’interpolation ayant la forme suivante:

[ ]{ }1

*21 2( ) ( ) ( ) ( ) ii

u

x N x N x N x U u u

= =

L

M

(2.6)

où Ni(x) sont les fonctions de forme et ui les valeurs nodales de la fonction d'essai.

Soit le résidu ( );*

2

d (x) 2dUR x a x dx dx x

= −

Pour alléger la notation, nous remplaçons U* par U, et φ* par φ. En utilisant la méthode des résidus

pondérés, critère de Galerkin nous avons:

Galerkin b b

a a

x x

i i 2x x

d dU 2 (x) R(x;a) dx = (x) x - dx = 0N N

dx dx x

∫ ∫

ou encore ( ) 2

2b b

a a

x x

ii

x x

d dU (x) x dx = x dxN N

dx dx x

∫ ∫ (2.7)


2-22

Intégrons par parties le membre de gauche de l'équation (2.7). En une dimension, l'intégration par

parties est obtenue de l'équation (2.4) :

Soient: ( ) if x = (x)N et dg d dU

= x dx dx dx

alors dx

(x)dN = dx

df i et ( ) dUg x = x

dx

Après intégration nous avons donc:

bb b

a aa

xx xi

i i 2x xx

(x) dU dU 2dN- x dx + x = dxN Ndx dx dx x

∫ ∫ (2.8)

Puisque le flux est égal à : dU

(x) = x dx

φ −

(2.9)

Alors en introduisant (2.9) dans (2.8) nous obtenons

( )b b

b

a

a a

x xxi

i i2 xx x

(x) dU 2dN x dx = dx (x) (x)N Ndx dx x

φ − −

∫ ∫ (2.10)

Afin d'alléger la notation dans les équations qui suivent, nous allons introduire la notation tensorielle

pour la dérivée des fonctions de forme:

2

2..i i

i,x i,xxdN d N etcN Ndx dx

≡ ≡

Pour les "n" équations nécessaires à la détermination des "n" inconnues et en remplaçant la fonction

U(x) par sa fonction d'essai interpolée, [ ] { } u N = U(x) ii , nous obtenons:


2-23

[ ] [ ]

[ ]

{ } [ ]

{ }1

1, 1 1 1

2, , 2 2 22

2

b

b b

a a

a

b b

a a

x

xx x

x i x

x x

x

x xT T

i,x i,x i i 2x x

FK

N u N N

x N N u dx N dx N (x)x

2 x dx = dx N N u N

x

φ

= − −

− −

∫ ∫

∫ ∫

M M M M

14444244443 144424443

[ ]( ){ }

{ }

2

b

a

xTi

x

F

F

(x)N φ1442443

144444424444443

(2.11)

Le résultat sous forme simplifiée est : [ ] { } { } F = u K i

où [K] : matrice de rigidité (symétrique)

{F} : vecteur de charge (incluant les conditions de flux aux rives).

{ui}... degrés de liberté inconnus (valeurs aux rives)

Prenez note que le vecteur de charge {F} sert à appliquer les CR naturelles (Neuman) tandis que le

vecteur {ui} sert à appliquer les CR essentielles (Dirichlet).

2.3.3.1 Avantages de l'intégration par parties

1) Réduction l'ordre des dérivées sous l'intégrale du résidu ce qui facilite la satisfaction des

conditions de convergence (fonctions complètes et continues).

2) Obtention d'une matrice de rigidité [ K ] symétrique ce qui exige moins de mémoire de stockage

et facilite le calcul de la solution.

3) Création du terme [ ]( ) b

a

xT

ix

(x)N φ permettant l'application directe des conditions de flux aux

rives et d'une façon plus générale, création d'un vecteur de charge {F} qui permet d'appliquer

toutes les CR naturelles.


2-24

2.3.4 Autre classification des conditions aux rives (Selon la méthode d'application)

1 -Forcées (constrained), lorsqu'elles sont appliquées directement sur la fonction d'essai

(fonction d'interpolation). Elles sont satisfaites exactement.

2 -Libres (unconstrained), lorsqu'elles sont appliquées sur les termes qui apparaissent lors de

l'intégration par parties de l'équation du résidu. Dans ce cas, elles sont satisfaites

approximativement.

2.3.4.1 Remarques sur l'intégration par parties

Le terme intégré par parties est:

dx dx

U d N 2m

2m

i

x

x

b

a

∫ ("2m" conditions aux rives)

Après une première intégration, nous obtenons:

∫ dx

U d N + dx dx

U d dxdN -

1-2m

1-2m

i

x

x1-2m

1-2mi

x

x

b

a

b

a

(2.12)

Un terme de condition aux rives naturelle est créé dans lequel la dérivée de U(x) est réduite de 1.

L'intégrale est remplacée par une autre dans laquelle la dérivée de U(x) est réduite de 1 et la dérivée de

Ni est augmentée de 1. Le terme situé à droite de l'équation (2.12) permet d'appliquer une CR naturelle

(libre) à la dérivée 2m-1 de U.

Après "m" intégrations :

∫ dx

U d dx

N d + ... + dx

U d N + dx dx

U d dx

N d -m

m

1-m

i1-m x

x1-2m

1-2m

i

x

xm

m

m

imx

x

b

a

b

a

b

a

Nous avons alors "m" conditions essentielles forcées et "m" conditions naturelles libres.


2-25

Après "2m" intégrations :

∫ U(x)

dx

N d + ... + dx

U d N + dx U(x) dx

N d -2m

i2m x

x1-2m

1-2m

i

x

x2m

i2mx

x

b

a

b

a

b

a

Les "m" conditions naturelles et les "m" conditions essentielles sont toutes libres ("2m" conditions

libres).

En général, on intègre par parties "m" fois seulement, afin de réduire au minimum l'ordre des dérivées

sous l'intégrale. Cela nous assure de la continuité et de la convergence de notre solution.

On a alors: "m" conditions essentielles qui sont forcées.

"m" conditions naturelles qui sont libres.

2.4 Exemples numériques

Les exemples qui suivent vont mettre en application la méthode matricielle et l'intégration par partie.

Pour solutionner, nous utiliserons également la méthode des résidus pondérés avec le critère de

Galerkin. Le problème posé par l'équation (1.5) du chapitre sera repris et des solutions avec 1, 2 et 5

éléments sont développées. La comparaison des résultats obtenus par la MEF avec la solution exacte

permettra de dégager plusieurs conclusions importantes.

2.4.1 Exemple no. 1 – Application de la méthode mat ricielle et de l'intégration par parties

Reprenons l'équation différentielle (1.5)

avec 1

2

*

2

x=2

U(x = 1) = 2d (x) 2dU x = 1 x 2 dU

(x = 2) = = -x dx dx xdx

φ

≤ ≤


2-26

Figure 2.13

Précédemment, nous avons développé une fonction d'essai pour l'interpolation ayant la forme suivante:

[ ] [ ]{ }1 2

1

*2 ii

u

(x) = N (x) N (x) = N (x) U u u

L

M

(2.13)

En utilisant la méthode des résidus pondérés, critère de Galerkin, et après intégration par parties, nous

avons obtenus la forme intégrale suivante:

[ ] [ ] { } [ ] [ ]( )b b

b

aa a

x x xT T Ti,x i,x i i i2

xx x

2 x dx dx (x)N N u N N

xφ

= − −

∫ ∫ (2.14)

Pour obtenir une solution numérique en utilisant la MEF, nous allons subdiviser le domaine de solution

en sous-domaines ou éléments, et pour chacun de ces éléments nous utiliserons une fonction

d'interpolation linéaire.

Figure 2.14


2-27

Soit: [ ]

[ ]

0*0 1

1

*

**

( ) 1

1( ) ( )

( ) 1 1

i

i jj

i

j

i

j

uaU x a a x x N N

ua

uU x L x x

uL

udU xx x

udx Lφ

= + = =

= −

−= − = −

Notons que chaque élément utilise un système local de coordonnées où 0≤x≤L (Figure 2.14). Le

problème est cependant formulé dans un système global de coordonnées (Figure 2.15). Pour obtenir la

solution au niveau d'un élément, nous remplaçons, dans l'intégrale du résidu, la valeur de x par X=(Xi + x)

où Xi est la coordonnée globale du nœud "i" de l'élément. Nous devons maintenant évaluer l’effet de

ce changement sur la dérivée de U.

Figure 2.15

1

i

i

X X x

x X X

dU dU dx dU

dX dx dX dx

= += −

= ⋅ = ⋅

Comme on peut le voir, il n'y a pas de changement d'échelle. Réécrivons (2.14) en coordonnées globales

(X remplace x)

[ ] [ ][ ]

{ } [ ]( )

{ }

[ ]( ){ }2

1

0 0 0( )

LL LT T Ti,x i,x i ii i2

iK F

F

2 X x dx = dx - (x)N N u N N

X xφ

+ − +

∫ ∫144444424444443 1442443

1444442444443


2-28

Calcul de [K]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

0

,

20

( )

1 1( ) 1 1

1 1 1 11 1( )

1 1 1 12

LT

i,x i,xi

i i x

Li

i

K X x dxN N

où N L x x NL L

XK X x dx

LL

= +

= − = −

− − = + = + − −

∫

∫

Calcul de {F1}

{ } [ ]( )

( )( )1 2 2

0 0

2 1 2L LT

i

i i

L xF dx dxN

LX x X xx

− = − = − + +

∫ ∫

après intégration

{ }1

ln2

=

ln

i

i i

i

i i

X LL

X XF

L X L L

X X L

+−

−

+− +

Calcul de {F2}, utilisons les propriétés du Kronecker δij

{ } [ ]( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1 1

20

2 2

0 0 0

0 0

L iTi

j

N L L NF (x)N

N L L N L

φφ φ φφ

φφ φ φ

= − = − + = = −−

Finalement, pour un élément nous obtenons le système matriciel suivant:


2-29

ln1 11 2

1 12ln

i

i ii ii

j ji

i i

X LL

X XuXuL L X L L

X X L

φφ

+−

− + = − + −− + − +

(2.15)

Forme finale K K

K Kii ij i i

ji jj j j

u F

u F

=

En terme de mécanique du solide, le coefficient Kij représenterait la force exercée par l'élément sur le

nœud "i", lorsque se produit un déplacement unitaire du nœud "j" (uj=1).

i ii i ij jF K u K u= +

2.4.1.1 Solution avec un seul élément

Figure 2.16

1 1

2 2

1.0 1.00.6137 1.5 1.5

2.0 0.3863 1.5 1.5i

i

i

X Lu

X LuX

φ

φ

= = − − + + = = − − −

En substituant les valeurs aux rives


2-30

1

122

2.00.6137 1.5 1.5

0.3863 1.5 1.5 u

φ − − + = − − −

La deuxième équation donne :

1

22

2

0.3863 1.5 2.0 1.5

1.4091

u

u

− − = − ∗ + ∗=

Les valeurs de u1 et u2 étant maintenant connues, nous pouvons écrire les équations de U* et φ*.

[ ]* 2.01( ) ( )

1.4091U x L x x

L

= −

(2.16)

( ) ( ) [ ]

( )

* ** 2.01( ) 1 1

1.4091

1 0.5909

i i

dU dUx X X x X x

dX dx L

x

φ = − = − + = − + −

= + ∗ (2.17)

Au centroïde de l’élément: *2( ) 0.8864 (solution exacte =0.8333)Lxφ = =

Les deux dernières équations permettent de tracer la variation de U* et φ* dans le domaine de solution.

On remarque dans la Figure 2.17 que U* est assez près de la solution exacte et la CR essentielle est

satisfaite exactement (U*(X=1) = 2.0). Pour le flux, les valeurs φ* sont éloignées de la solution exacte et la

CR naturelle n’est satisfaite qu’approximativement. Cependant, on remarque qu’au centroïde de

l’élément (X=1.5), la valeur φ* est très proche de celle de la solution exacte. Cette proximité s’explique

par le fait que nous nous trouvons à un point de surconvergence dans l’élément, position où l’erreur est

moindre pour le calcul du flux. Les points de surcongervence seront expliqués en détails au chapitre 4.


2-31

x x

* ( )U x* ( )xφ

SolutionexacteSolution

exacte

Figure 2.17 –Solution exacte vs solution par MEF à 1 élément

2.4.1.2 Solution avec deux éléments

Figure 2.18

Élément no. 1

12

1 1

2 2

1.00.3781 2.5 2.5

1.5 0.2885 2.5 2.5i

i

i

X Lu

X Lu

X

φ

φ

= =− −

+ =+= − − −

Élément no. 2

12

2 2

3 3

1.50.1826 3.5 3.5

4 0.1507 3.5 3.53i

i

i

X Lu

X Lu

X

φ

φ

= =− −

+ =+= − − −

Assemblage des matrices des éléments pour obtenir la matrice globale


2-32

1 1

2

3 3

0.3781 2.5 2.5 0

0 0.4711 2.5 6.0 3.5

0.1507 0 3.5 3.5

u

u

u

φ

φ

−

− = − − − −

Substituons les valeurs des deux CR

1

2

12 3

0.3781 2.5 2.5 0 2.0 (1)

0 0.4711 2.5 6.0 3.5 (2)

0.1507 0 3.5 3.5 (3)

u

u

φ −

− = − − − −

Avec les équations (2) et (3) on obtient les déplacements inconnus u2 et u3.

2

12 3

2 2

3 3

0 0.4711 2.5 6.0 3.5* 2.0

0.1507 0 3.5 3.5

4.5289 6.0 3.5 1.5513sol. exa

0.6507 3.5 3.5 1.3654

u

u

u u

u u

− − − = + − −

− = ⇒ = − −

1.5361cte

1.3466

Équation du flux

( ) ( )[ ] ( ) ( )*

*

*(1) *(2)

*(1) *(2)2 2

1 1( ) 1 1

Élément no. 1 Élément no. 2

( ) 0.8974( 1) ( ) 0.3718( 1.5)

au centroïde

( ) 1.122 (exact=1.10) ( ) 0.6507 (exact=0.6429)

i

i i i i jj

L L

udUx X x X x X x u u

udx L L

x x x x

φ

φ φ

φ φ

= − + = − + − = − + −

= + = +

= =

En observant la Figure 2.19, nous remarquons que les solutions trouvées pour U* et φ* se rapprochent

des valeurs exactes. Déjà, avec seulement deux éléments, il est évident que nous convergeons vers la

solution exacte. On remarque aussi que le flux au centroïde des éléments est très près de la valeur


2-33

exacte. Ailleurs dans le domaine de solution, la valeur calculée du flux demeure cependant

approximative.

x x

* ( )U x* ( )xφ

Solutionexacte

Solutionexacte

Figure 2.19 Solution exacte vs solution par MEF à 2 éléments

2.4.1.3 Solution avec cinq éléments

Figure 2.20

Élément 1

L=0.2 Xi=1.0 1 1

2 2

0.1768 5.5 5.5

0.1565 5.5 5.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 2


2-34

L=0.2 Xi=1.2 2 2

3 3

0.1252 6.5 6.5

0.1129 6.5 6.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 3

L=0.2 Xi=1.4 3 3

4 4

0.0933 7.5 7.5

0.0853 7.5 7.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 4

L=0.2 Xi=1.6 4 4

5 5

0.0722 8.5 8.5

0.0667 8.5 8.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 5

L=0.2 Xi=1.8 4 5

5 6

0.0575 9.5 9.5

0.0536 9.5 9.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Assemblage:

1 1

2

3

4

5

6 6

0.1768 5.5 5.5

0 0.2817 5.5 12.0 6.5

0 0.2062 6.5 14.0 7.5

0 0.1575 7.5 16.0 8.5

0 0.1242 8.5 18.0 9.5

0.0536 9.5 9.5

u

u

u

u

u

u

φ

φ

− − − − − − = − − − −

− −

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Appliquons les deux CR, u1 = 2.0 et φ6=1/2 et utilisons les équations (2) à (6) pour trouver les

déplacements des nœuds 2 à 6.

2

3

4

5

12 6

0 0.2817 12.0 6.55.50 0.2062 6.5 14.0 7.50

2.00 0.1575 7.5 16.0 8.500 0.1242 8.5 18.0 9.50

0.0536 9.5 9.50

u

u

u

u

u

− − − −

− = ∗ + − − − − − −


2-35

2 2

11 15 3 3

4 4

51 55 5 5

6 6

10.7183 1.7594 1

0.2062 1.5992

sol. exacte=0.1575 1.4878

0.1242 1.4081

0.5536 1.3498

u u

k k u u

u u

k k u u

u u

− = → =−

− −

K

M O M

L

.7578

1.5968

1.4850

1.4081

1.3466

Calcul du flux:

( ) ( )[ ] ( )( )*

*

*1

*2

*3

*4

*5

1( ) 1 1 5

à x = L/2 = 0.1 sol. exacte

( ) 1.2030 (1 ) 1.3223 1.3182

( ) 0.8010 (1.2 ) 1.0413 1.0385

( ) 0.5570 (1.4 ) 0.8355 0.8333

( ) 0.3985 (1.6 ) 0.6775 0.6765

i

i i i i jj

udUx X x X x X x u u

udx L

x x

x x

x x

x x

φ

φφφφφ

= − + = − + − = ∗ + −

= +

= += +

= +

( ) 0.2915 (1.8 ) 0.5539 0.5526x x= +


2-36

* ( )U x* ( )xφ

x x

Solutionexacte

Solutionexacte

Figure 2.21-Solution exacte vs solution par MEF à 5 éléments

Remarques

1) Dans le cas du vecteur de chargement {F}, la somme des flux entre deux éléments donne

toujours zéro. Il ne reste que les deux flux aux rives du domaine dont un est une CR connue (φ6).

2) Plus nous augmentons le nombre d’éléments (raffinement du maillage), plus nous convergeons

vers la solution exacte (Figure 2.21).

3) Pour φ*, ce sont les valeurs au centroïde de chaque élément qui convergent vers la solution

exacte.

4) Pour U*, ce sont les valeurs nodales qui convergent le plus vers la solution exacte.


2-37

2.4.2 Exemple no. 2, Méthode matricielle avec valeu rs constantes

But: Simplifier la résolution numérique par l'utilisation de valeurs constantes moyennes.

Nous pouvons réduire considérablement l'effort de calcul en utilisant, au niveau de chaque élément, des

valeurs constantes moyennes pour k(x) et f(x) de l'équation différentielle. Par exemple, l'équation (1.5)

peut s'écrire:

( ) ( )

( )avec Propriété du domaine de solution

et ( ) Fonction de chargement

*

2

d (x)dU k x = f xdx dx

k x X

2f x

X

=

=

L'intégrale du résidu est donnée par:

[ ] [ ] { } [ ] [ ]( )( ) ( )b b

b

aa a

x x xT T Ti,x i,x i i i

xx x

k x dx = f x dx (x)N N u N N φ− −∫ ∫

Pour k(x) et f(x), nous pouvons utiliser les valeurs calculées au centroïde des éléments, soit à x=L/2.

Ainsi pour un élément nous obtiendrons:

[ ] [ ][ ]

{ } [ ]{ }

[ ]( ){ }2

1

20 0 0

2( 2)

( 2)

LL LT T Ti,x i,x i ii i

iK F

F

X L dx = dx (x)N N u N NX L

φ+ − −+∫ ∫

1444442444443 144244314444244443

Calcul de [K]

[ ] ( ) [ ] [ ] ( )

[ ]

20

1 12 2

1 1

1 111 12

LT

i,x i,xi i

i

LK X L dx X L N N

L

XK

L

− = + = + −

− = + −

∫


2-38

Calcul de {F1}

{ }( )

[ ]( )

{ }( )

1

0

1

1

22 2 1

1

2 1

LT

i2 2

i i

2

i

2 2 LF dx N

X L X L

LF

X L

= − = − + +

= − +

∫


2-39

Calcul de {F2}, utilisons les propriétés du Kronecker δij

{ } [ ]( )20

L iTi

j

F (x)Nφ

φφ

= − = −

Finalement, pour un élément nous obtenons donc le système matriciel suivant:

( )

1 1 11

1 1 12 2

i ii2

j ji

uX L

uL X L

φφ

− + = − + −− +

Solution avec un seul élément (Propriété + chargement moyen)

1

12 2

2.00.4444 1.5 1.5 (1)1.0

1.0 0.4444 1.5 1.5 (2)

iX

L u

φ − = − = = − −

avec la deuxième équation

1

2 2

2

0.4444 1.5* 2 1.5

1.3704 (Exacte = 1.347)

u

u

− − + ==


2-40

Solution avec deux éléments (Propriété + chargement moyen)

1

2 2

22

12 3

2.00.3200 2.5 2.51.0

0.5 0.3200 2.5 2.5

0.1633 3.5 3.51.5

0.5 0.1633 3.5 3.5

i

i

X

L u

uX

L u

φ

φφ

− = − = = − −

− = − = = − −


2-41

Assemblage

1

2

12 3

0.3200 2.5 2.5 2.0 (1)

0 0.4833 2.5 6.0 3.5 (2)

0.1633 3.5 3.5 (3)

u

u

φ − − = − − − −

Avec les équation (2) et (3)

2

12 3

2 2

3 3

0 0.4833 2.5 6.0 3.5*2.0

0.1633 0 3.5 3.5

4.5167 6.0 3.5 1.5414 1.5361 exacte

0.6633 3.5 3.5 1.3518 1.3466

u

u

u u

u u

− − − − = − −

− = ⇒ = − −

Solution avec cinq éléments (Propriété + chargement moyen)

Attention : les numéros des nœuds ne sont pas séquentiels le long de l’axe x.

Élément 1

Xi=1.0 L=0.2 4 4

1 1

0.1653 5.5 5.5

0.1653 5.5 5.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 2


2-42

Xi=1.2 L=0.2 1 1

6 6

0.1183 6.5 6.5

0.1183 6.5 6.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 3

Xi=1.4 L=0.2 6 6

3 3

0.0889 7.5 7.5

0.0889 7.5 7.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 4

Xi=1.6 L=0.2 3 3

2 2

0.0692 8.5 8.5

0.0692 8.5 8.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Élément 5

Xi=1.8 L=0.2 2 2

5 5

0.0554 9.5 9.5

0.0554 9.5 9.5

u

u

φ

φ

− − = − −

Assemblage (dans l’ordre des numéros de nœuds)

1

2

3

4

12 5

6

0 0.2836 12.0 0 0 5.5 0 6.5

0 0.1246 0 18.0 8.5 0 9.5 0

0 0.1581 0 8.5 16.0 0 0 7.5

2.00.1653 5.5 0 0 5.5 0 0

0.0554 0 9.5 0 0 9.5 0

0 0.2072 6.5 0 7.5 0 0 14.0

u

u

u

u

u

φ

− − − −

− −− = −

− −

− −

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Avec les équations (1), (2), (3), (5) et (6)


2-43

1

2

3

12 5

6

0 0.2836 5.5 12.0 0 0 0 6.5

0 0.1246 0 0 18.0 8.5 9.5 0

*2.00 0.1581 0 0 8.5 16.0 0 7.5

0.0554 0 0 9.5 0 9.5 0

0 0.2072 0 6.5 0 7.5 0 14.0

u

u

u

u

u

− − − −

− − = − − − − − −

[ ]

1 1

2 2

3 3

5 5

6 6

10.7164 1.7584 1.7578

0.1246 1.4058 1.4081

Exacte=0.1581 1.4858 1.4850

0.5554 1.3474 1.3466

0.2072 1.5976 1.5968

u u

u u

K u u

u u

u u

− = ⇒ =−

−

−

Conclusions:

1) L’examen des solutions avec 1, 2 et 5 éléments montre que nous convergeons aussi rapidement

que lorsque k(x) et f(x) sont des variables. Nous sommes également plus près de la solution

exacte.

2) Avec des valeurs constantes pour k(x) et f(x), les calculs sont plus systématiques et plus rapides.

3) La solution avec cinq éléments montre ce qui arrive à la matrice [K] lorsque les numéros de

nœud ne sont pas séquentiels dans la matrice du modèle. Nous observons alors une dispersion

des termes dans toute la matrice ce qui alourdit les calculs subséquents.


2-44

2.4.3 Exemple no.3 – Analogie avec le barreau droit

Considérons un logiciel pour l’analyse des structures qui offre un barreau droit supportant la

traction/compression.

Théorie de la résistance des matériaux

Soit un barreau dont la section à une surface unitaire ; A=1.0

Équilibre d'un élément infinitésimal

Alors : 0 avecxx x x

d duF E E

dx dx

σ σ ε+ = = =

donc : *

2

2( ) ( )x

d du d dUE F k x f x

dx dx dx dx x

= − ↔ = =

Flux : *

* ( )x

du dUE k x

dx dxσ φ− = − ↔ = −

Analogie entre l’élément barreau et le problème de l’équation (1.5) dans un système global

*

**

2

Barreau équation (1.5)

u(x) U ( )

( )

2( )

( )

x

x

x

dUx X

dx

F f xX

E k x X

σ φ

↔

− ↔ = −

−↔ − =

↔ =

Élément


2-45

Chargement équivalent sur l’élément (en coordonnées globales)

( )2 2

2 2Force Totale = ( ) * * *

2i

F x L L LX LX

= − = −+

Le chargement est réparti également sur les deux nœuds, donc :

( )2 2

2

i j

i

L LF F

XLX= = − =

+

Maillage

Données


2-46

ÉLÉMENT E X= 2i j

LF FX

= =

1 1.1 0.1653

2 1.3 0.1183

3 1.5 0.0889

4 1.7 0.0692

5 1.9 0.0554

Charges et conditions aux rives

Outputs

U*i ≡ ui

φ*(centroïde de l’élément) ≡ -σx (élément)


2-47

2.5 Exercices

2.5.1 Interpolation

Problème 2.1

Nous utilisons une fonction d'interpolation linéaire pour approximer la distribution de température le

long d'une ailette de refroidissement (voir figure ci-dessous). Des éléments linéaires 1D sont employés

pour modéliser l'ailette. Les températures nodales sont connues et données dans le vecteur qui suit.

Quelle est la température aux positions:

(a) x = 4cm (mesuré à partir du nœud 1)

(b) x = 8 cm

=

20

34

41

50

4

3

2

1

T

T

T

T

Réponses: 36.3°C, 25.6°C

Rappel:

Pour un élément à 2 nœuds (un seul DL par nœud):

=2

1

21)(T

TNNxT .

Les fonctions de forme peuvent être calculées avec:


2-48

la méthode matricielle: [ ] [ ]1.. −= AepolynomialbaseNN ji

ou avec la méthode de Lagrange:

élémentldansnoeudsdenbren

xx

xx

xx

xxN

ii

i

ki

kn

ki

'

)(

)(omettant

)(

)(

1

=−−

−−

= ∏=

Problème 2.2

La flèche d'une poutre en porte-à-faux est approximée par des éléments linéaires 1D (fct d'interpolation

linéaire). Les valeurs nodales de la flèche sont données dans la figure qui suit.

(a) Quelle est la flèche à la position x = 2 ft,

(b) Évaluer la pente de la poutre au nœud 5.

Rappel: La pente est calculée avec la dérivée de la flèche.

Réponses: a) 0.012775 mm; b) 0.012475

Problème 2.3


2-49

La distribution de température dans une plaque métallique est approximée avec des éléments linéaire

1D. Une source de chaleur est enfouie dans la plaque. La position des nœuds et les températures

nodales sont données dans la figure qui suit. Quelle est la température de la plaque à x = 2.5 cm si on

utilise pour les éléments:

(a) une fonction d'interpolation linéaire (2 nœuds par élément)

(b) une fonction d'interpolation quadratique (3 nœuds par élément)

Réponses: a) 113.5°C; b) Nœuds 2, 3 et 4: 113.75°C; Nœuds 3, 4, et 5: 113.75°C

Problème 2.4

Dans la pièce présentée à la figure ci-dessous, la flèche aux nœuds 2 et 3 est respectivement 0.02 mm et

0.025 mm. Aux nœuds 1 et 4, la pièce est encastrée. On modélise cette pièce à l'aide d'éléments

linéaires. Calculez la flèche aux points A et B.


2-50

Réponses: Point A: 0.012 mm; Point B: 0.023 mm

Problème 2.5

La figure suivante représente une colonne d'acier qui supporte plusieurs étages d'un édifice. Le

déplacement vertical des nœuds sous la charge est donné dans le vecteur qui suit. Calculez le

déplacement des noeuds A et B en utilisant des éléments linéaires. Les noeuds A et B sont

respectivement situés au milieu des éléments (3) et (4).

Réponses: Point A: 0.06644 in.; Point B: 0.07973 in.

2.5.2 Intégration par parties et Galerkin

Refaire les exercices 1.1 à 1.5 du Chapitre 1 avec un ou plusieurs éléments. Commencez fois-ci, par

appliquer la méthode des résidus pondérés, critère de Galerkin, puis intégrez par parties l’expression

obtenue.

3-1

Chapitre 3

3 DÉVELOPPEMENT D’UN ÉLÉMENT FINI POUTRE-COLONNE

Dans ce chapitre, nous allons faire le développement complet des équations matricielles d’un élément

fini qui représente le comportement d’une poutre-colonne sur fondation élastique avec courbure initiale

(Figure 3.1). Ce type d'élément peut être utilisé pour résoudre un problème complexe comme, par

exemple, celui du flambement d'un couvert de glace sur un lac ou une rivière. Bien qu’à prime abord, il

s’agisse d’un problème de la mécanique du solide qui apparaît difficile à résoudre d’un point de vue

analytique, nous allons voir comment nous pouvons développer facilement les équations d’un élément

fini qui représente fidèlement ce comportement. Pour ce faire, nous allons faire appel aux notions vues

aux chapitres 1 et 2.

Notre solution comprendra quatre grandes étapes:

1. Développement des équations d’équilibre d'un élément infinitésimal qui nous donneront

l'équation différentielle à résoudre.

2. Choix de l'élément poutre et de sa fonction d'essai (polynôme).

3. Solution par la méthode des résidus pondérés, critère de Galerkin et obtention de la forme faible

de l'équation différentielle par l'application de l'intégration par parties.

4. Développement des matrices et autres termes.

3-2

Figure 3.1

Nomenclature

EI: Rigidité en flexion

k : Coefficient de fondation

M : Moment fléchissant

P: Charge axiale (compression)

q(x): Charge répartie

R: Rayon de courbure initial 2

2

1 d y

R dx

≅

y(x): Courbure initiale

V : Effort tranchant

v(x) : Flèche (flexion)

3.1 Équilibre

Pour trouver l’équation fondamentale du comportement de notre élément poutre-colonne, nous allons

commencer par faire l’équilibre de l’élément infinitésimal illustré à la Figure 3.2.

0yF =∑

Chapitre 3 – Développement d'un élément fini poutre-colonne

3-3

( )

( )

0

divisons par

0

V qdx k v y dx V dV

dx

dVq k v y

dx

− + − + + + =

− + + =

donc

( )dVq k v y

dx= − + + (3.1)

0ZM =∑ (au centroïde de l'élément)

( ) 02

dxM Vdx dV P d v y M dM− + + + + + + =

En négligeant le terme d'ordre supérieur,

divisons par dx ( )

0d v y dM

V Pdx dx

++ + = (3.2)

dérivons par rapport à x ( )2 2

2 20

d v ydV d MP

dx dx dx

++ + =

Introduisons (3.1) dans l’équation précédente

( )2 2 2

2 2 2( ) 0

d v y d d vq k v y P EI

d x dx dx

+ − + + + + =

Rappel poutre : 2

2

M d v

EI dx=

Regroupons les termes de v à gauche

Figure 3.2


3-4

( )22 2

2 2 2( )

d v yd d vEI P q k v y

dx dx d x

+ + = − +

(3.3)

Ceci est l’équation différentielle qui représente le comportement de notre élément poutre-colonne.

L'ordre de l'équation est 2m=4, donc m=2. La prochaine étape est le choix d'une fonction d'essai.

3.2 Choix de la fonction d'essai

Pour que la solution converge, il faut:

1. Une représentation constante de la fonction v et de ses "m" premières dérivées. Dans le cas

présent, puisque m=2 :

( )

2

2

20 1 2

représentation constante

donc

obligatoire

dv d vv

dx dx

v x a a x a x= + + +KK1442443

2. Continuité de la fonction et de ses "m-1" premières dérivées

( ) 20 1 2

continuité

donc

obligatoire

dvv

dx

v x a a x a x= + + +KK1442443

3. Un élément poutre en flexion dans le plan x-y (Figure 3.3). Pour cela il faut "m" degrés de

liberté par nœud, soit deux DL: un déplacement (flèche) et une rotation (pente). Au total nous

avons quatre degrés de liberté dans l'élément. Nous avons donc besoin d'une fonction d'essai

qui nous fournit au moins quatre degrés de liberté généralisés. Un polynôme cubique satisfait

cette condition.

( ) 2 30 1 2 3v x a a x a x a x= + + +


3-5

{ }

0 1

1 12 3 2 3 1

2 2

3 2

1

1

1 2 3 4

2

2

( ) 1 1

i i

a v

av x x x x x x x A

a v

a

v

N N N N Nv

θ

θ

θ

θ

−

= =

′ ′= = ∆

Les fonctions de forme de cet élément ont déjà été calculées au chapitre 2 (voir 2.2.5).

3.3 Forme intégrale faible

En combinant l'intégration par parties et la méthode des résidus pondérés, critère de Galerkin,

développons la forme faible de l'équation différentielle (3.3).

Résidu

( )22 2

2 2 2( ; ) ( )

d v yd d vR x a EI P q k v y

dx dx dx

+ = + − + +

(3.4)

Galerkin

( ) ( )22 2

2 2 2

21

( ) 0b

i

a

d v yd d vN x EI P q k v y dx

dx dx dxII

+ + − + + =

∫142431442443

(3.5)

Intégrons par parties le terme I1 (2 fois) et le terme I2 (1 fois) pour obtenir la forme faible

Figure 3.3


3-6

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 ,2 2 2 2

2 2 2

, ,2 2 2

2

, ,2

( )

( )

( ) ( )

bb b

i i x i

a a a

bbb

i xx i x iaa a

b

i xx i x

a

d d v d d v d d vI N x EI dx EI N x dx N x EI

dx dx dx dx dx dx

d v d v d d vEI N x dx N EI N x EI

dx dx dx dx

d vEI N x dx N x M x

dx

= + = − +

= − +

= − ∗

∫ ∫

∫

∫ ( )b

b

iaa

dMN x

dx +

Pour l'ensemble des équations de Galerkin

( )2

1 , ,2( )

bb bT T T

i xx i x ia

aa

d v dMI N EI dx N M x N

dx dx

= + − + ∫ (3.6)

Intégration de I2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 ,2( )

bb b

i i x iaa a

d v y d v y d v yI N x P dx P N x dx N x P

d x dx dx

+ + += + = − +

∫ ∫

Pour l'ensemble des équations de Galerkin

( ) ( )

2 ,

bb

T T

i x iaa

d v y d v yI N P dx N P

dx dx

+ + = − + ∫ (3.7)


3-7

Sachant que:

{ }

{ }

{ }

,

2

,2

( ) i i

i x i

i xx i

v x N

dvN

dx

d vN

dx

= ∆

= ∆

= ∆

Réécrivons l'équation (3.5) pour l'ensemble des équations de Galerkin en remplaçant les termes I1 et I2

par les équations (3.6) et (3.7). Regroupons à gauche tous les termes de ∆i , et à droite tous les termes

de charge.

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

{ }

, , , ,

,

matrice de rigidité matrice matrice

de compression de fondation

b b bT T T

i xx i xx i i x i x i i i i

a a a

bT

i x

a

K C F

Ci

N EI N dx N P N dx N k N dx

dyN P dx

dx

∆ − ∆ + ∆ =

∫ ∫ ∫

∫

14444244443 1442443 1442443

( )

{ } { }

( )( )

,

( ) compression initiale

Dernier terme

( )( ) ( )

bT

i a

b bb bTT T T

i i x i ia

a aa

N V xq Fi

dM d v yN q x ky dx N M x N N P

dx dx

−

+ + − + − − ∫

14444444244444443144424443144424443

1444444444442444444444443

(3.8)

Dans le dernier terme nous avons remplacé ( )d v ydM

Pdx dx

+− − par V(x), d'après l'équation (3.2).

3.4 Solution par éléments finis

Soit l'élément de poutre en flexion tel que montré à la Figure 3.3.

Fonction d'essai pour la flèche


3-8

( ) { } { }2 3 11 i i iv x x x x A N− = ∆ = ∆

Avec

2 3 1

2 1,

1,

1

0 1 2 3

0 0 2 6

i

i x

i xx

N x x x A

N x x A

N x A

−

−

−

=

=

=


3-9

Matrice d'interpolation

[ ]

4

41

4 2 3 2 3

2 2

0 0 0

0 0 01

3 2 3

2 2

L

LA

L L L L L

L L L L

−

= − − −

−

Matrice de rigidité

Pour ce calcul on doit faire appel à la règle de transposition. Rappel:

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ]

soit

alorsT T T T

P A B C

P C B A

=

=

[ ] , ,

0

1 1

0

0

00 0 2 6

2

6

LT

i xx i xx

LT

K N EI N dx

A EI x A dx

x

− −

=

=

∫

∫

Vu que [A] et EI sont des termes constants, alors on peut les sortir de sous l'intégrale


3-10

[ ]

2

1 1 1 1

0 0

2

1 132

2 3

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2 0 0 4 12

6 0 0 12 36

0 0 2 6

0 0 0 0 12 6 12 6

0 0 0 0 6 4 6

0 0 4 6

0 0 6 12

L LT T

L

T

x

x x x

K EI A x dx A EI A dx A

L L

L L LEIEI A A

Lx x

x x

− − − −

− −

= =

− −

= =

∫ ∫

2

2 2

2

12 6 12 6

6 2 6 4

L

L L

L L L L

− − − −

En procédant d'une façon similaire au calcul de la matrice [K], nous pouvons obtenir toutes les autres

matrices de l'équation (3.8)


3-11

Matrice de compression

[ ]2 2

2 2

, ,

0

36 3 36 3

3 4 3

36 3 36 3

3 3 4

30

LT

i x i x

L L

L L L L

L L

L L L L

PC N P N dx

L

−

− −

− − −

− −

= =

∫

Matrice de fondation

[ ]2 2

2 2

0

156 22 54 13

22 4 13 3

54 13 156 22

13 3 22 4

420

LT

i i

L L

L L L L

L L

L L L L

kLF N k N dx

−

−

−

− − −

= =

∫

Traitement de q(x) et y(x)

Figure 3.4

Soit y(x), la courbure initiale de la poutre que nous représentons par une fonction d'interpolation

quadratique (Figure 3.4).

{ } { } [ ]{ }

{ }

2 2 2 10 1 2

,

( ) 1 1i i i i

i x i

y x a a x a x x x a x x B y M y

dyM y

dx

− = + + = = =

=

Utilisons la même approche pour la charge répartie


3-12

{ } [ ]{ }2( ) 1 i i iq x x x a M q = =

Matrice d'interpolation [B] utilisée pour y(x) et q(x)

[ ] ( )

2

2 12

2

1 0 0 0 01

1 2 2 et 3 4

1 2 4 2

L

B L L B L L LL

L L

−

= = − − −

(réf. p. 2-10)

Calcul des charges initiales

Charge de compression initiale

{ } { }1

, , 2

0

3

3 0 3

2

3 0 3

2

3

LT

i i x i x i

L L L

L L L

yP

C N P M dx y yL

y

−

− −

−

−

= =

∫

Charge de fondation initiale

{ } { }1

2

0

3

11 20 1

4 0

1 20 11

0 4

60

LT

i i i i

L L

L L

ykL

F N k M dx y y

y

−

−

− −

= =

∫

Charges réparties


3-13

{ } { }1

2

0

3

11 20 1

4 0

1 20 11

0 4

60

LT

i i i

L L

L L

qL

q N M dx q q

q

−

−

− −

= =

∫

Si q1= q2= q3= q= constante, alors :

{ }

30 6

5

60 1230 6

5

L LqL qLq

L L

= =

− −

Dernier terme

( ) ( )( )

, 00

,0

1, 1,1 1

2, 2,2 2

3, 3,3 3

4, 4,4 40

"Dernier terme" = ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (0)

L LT T

i x i

LT T

i x i

x x

x x

x x

x xx Lx L x

N M x N V x

N M x N V x

N NN N

N NN NM L V L M

N NN N

N NN N== =

+

= +

′ ′′ ′ = + − − ′ ′′ ′

0

(0)

x

V

=

Sachant que: , ,0 N 0i ij i i x i x ijN N Nδ δ′ ′= = = =

Alors

1

1

2

2

(0)

(0)"Dernier terme"

( )

( )

VV

MM

VV L

MM L

−− −− = =


3-14

Nous obtenons finalement le système matriciel suivant pour la poutre-colonne sur fondation élastique

avec courbure initiale.

2 2 2 2

3

2 2 2 2

12 6 12 6 156 22 54 13 36

6 4 6 2 22 4 13 3

420 3012 6 12 6 54 13 156 22

6 2 6 4 13 3 22 4

MATR. RIGIDITÉ [K] MATR. FONDATION [F]

L L L L

L L L L L L L LEI kL P

L LL L L L

L L L L L L L L

− −

− −+ −

− − − −

− − − −

14444244443 1444442444443

1

2 2

1

2

2 2

2

i

3 36 3

3 4 3

36 3 36 3

3 3 4

MATR. COMPRESSION [C]

3 0 3

2

3 3 0 3

2

CHARGESCOMPRESSION

{C }

L L

L L L L

L L

L L L L

L L LP

L

L L L

ν

θ

ν

θ

−

− −

− − −

− −

−

− −=

−

−

14444244443

1442 3

{ } { }

1

1

2

2

i

11 20 1 6

4 0

60 121 20 11 6

0 4

CHARGES CHARGESFONDATION RÉPARTIES

{F } {q}

i i

V

ML L LkL qLy y

V

ML L L

−−

−− + +

−

− − −

44 1442443 123

(3.9)

Sous une forme plus condensée

[ ] [ ] [ ]( ){ } { } { } { }

1

1

2

2

i i i

V

MK C F C F q

V

M

− − − + ∆ = − + +

(3.10)


3-15

3.5 Calcul de la charge critique de colonnes droite s

Nous allons maintenant comparer des valeurs obtenues avec notre élément fini, avec des résultats

analytiques pour des cas classiques de colonnes droites. Plus précisément, nous allons calculer les

charges critiques de flambement de colonnes en solutionnant un problème aux valeurs propres. Soit une

poutre-colonne ayant les propriétés suivantes :

i) Initialement droite → y(x)=0

ii) Sans fondation élastique → k=0

iii) Avec charge répartie constante → q1 = q2 = q3 = q

3.5.1 Système d'équations pour un élément

Simplifions l'équation (3.9) en introduisant les trois conditions précédentes.

2 2 2 2

3

2 2 2 2

MATR. RIGIDITÉ [K] MATR. COMPRESSION [C]

12 6 12 6 36 3 36 3

6 4 6 2 3 4 3

3012 6 12 6 36 3 36 3

6 2 6 4 3 3 4

L L L L

L L L L L L L LEI P

LL L L L L

L L L L L L L L

− −

− − −−

− − − − − −

− − −

14444244443 14444244443

1

1

2

2

1

1

2

2

6

12 6

V

M

V

M

LqL

L

ν

θ

ν

θ

−

−+

= −

(3.11)

3.5.2 Exercice no.1 : Colonne rotule-rotule (1 élém ent)


3-16

Conditions aux rives

Aucune charge répartie q = 0

à x = 0 → v1 = M1 = 0.0 et à x=L → v2 = M2 = 0.0

1

2

1

2

2 2 2 2

3 2 2 2 2

2

4 2 40

302 4 4

2 1 4 10

601 2 1 4

L L L LEI P

LL L L L L

PL

EI

θ

θ

θ

θ

− − = −

− − = −

Posant

22 2

2

det (2 4 ) (1 ) 060

det 15 18 3 0

PL

EIα α α

α α

= − → = + − − =

= + + =

Racines

2 118 18 4*15*3130 5

αα

α

= −− ± − = = −

Avec 2 2

2 2 21 12 Exact= 9.865 60 cr

PL EI EI EIP

EI L L L

πα = − = − → = ≅

3.5.3 Exercice no.2 : Colonne encastrée-libre (1 él ément)



3-17

Aucune charge répartie q = 0

à x = 0 → v1 = θ1 = 0.0 et à x=L → V2 = M2 = 0.0

2

2

2

2

3 2 2

2

2 2

12 6 36 30

306 4 3 4

12 6 36 30

306 4 3 4

vL LEI P

L LL L L L

vL LPL

EIL L L L

θ

θ

− − − = − −

− − − = − −

Posant

( ) ( ) [ ]

2

2 2

22

2

12 36 6 30

30 6 3 4 4

det 12 1 3 4 1 3 ( 2) 0

det 45 52 4 0

L LPL

EI L L L L

L L

α αα

α α

α α α

α α

− − + = + → =

− + − −

= − ∗ − − − =

= − + =

Racines

2 1.072752 52 4*45*4

0.082990

αα

α =− ± − = =

Avec 2 2

2 2 20.0829 2.48 Exact= 2.46

30 4cr

PL EI EI EIP

EI L L L

πα = = + → = =

3.5.4 Exercice no.3 : Colonne rotule-rotule (2 élém ents finis de longueur L)



3-18

q = 0 Aucune charge répartie

à x = 0 → v1 = M1 = 0.0

à x=2L → v3 = M3 = 0.0

Puisqu’il n’y a pas de charge appliquée au nœud 2

à x = L → V2(1)

= −V2(2) et M2

(1) = −M2

(2)

Assemblage des matrices

2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

12 6 12 6 36 3 36 3

6 4 6 2 3 4 3

12 6 24 0 12 6 36 3 72 0 36 3

306 2 0 8 6 2 3 0 8 3

12 6 12 6 36 3 36 3

6 2 6 4 3 3 4

L L L L

L L L L L L L L

L L L LEI P

LL L L L L L L L L L L

L L L L

L L L L L L L L

− −

− − −

− − − − − −−

− − − −

− − − − − −

− − −

1

1

1

1

2

2

3 3

3 3

0

0

V

M

V

M

ν

θ

ν

θ

ν

θ

−

−

=

Éliminons les colonnes (1) et (5) parce que v1 = v3 = 0.0 et les rangées (1) et (5) parce que les efforts

tranchants V1 et V3 sont indéterminés. Il reste une matrice 4x4.

2 2 2 21

2

3 2 2 2 2 2 22

2 2 2 23

0

0

0

0

4 6 2 4 3

6 24 0 6 3 72 0 3

302 0 8 2 0 8

6 2 4 3 4

L L L L L L

L L L LEI P

LL L L L L L L

L L L L L L

θ

ν

θ

θ

− − − − − − = − − −

Lt


3-19

Racines

12

2

22 2 2

0.08287 ( )

0.430

...

Pour une poutre de longueur totale 2 , ( /2)

9.94 Exact= 9.8696

t t

crt t t

critiquePL

EIetc

L L L L

EI EI EIP

L L L

αα α

π

== + → =

= =

= =

Note : Avec un modèle à trois éléments on obtiendrait 2

9.8852crt

EIP

L=

3.6 Exercices

Problème 3.1

Obtenez le système matriciel d'un élément fini pour le calcul de la déflexion d'un câble de longueur L,

soumis à une tension uniforme T, supportant une charge transversale répartie f et qui repose sur une

fondation élastique de coefficient k. Développez les équations avec la méthode des résidus pondérés,

critère de Galerkin, et utilisez la fonction d'interpolation linéaire suivante:

0 1( )v x a a x= +

L'équation différentielle dans le cas de petites déflexions est:

0)()0( rivesaux conditions02

2

===+− Lvvfkvdx

vdT

Réponse: La formulation de l'élément fini est

1 1 2 1 1

où le flux ( ) -1 1 1 2 16 2

i i

j j

vT kL fL dx T

vL dx

φ νφφ

− + = + = −−

où L est la longueur de l’élément (dans la figure ci-dessous, cette longueur est notée ∆x)


3-20

Problème 3.2

À l'aide d'un modèle composé de cinq É.F. de câble (probl. 3.1), calculez la flèche d'un câble fixé à ses

deux extrémités (ν1 = ν6 = 0.0) pour les conditions suivantes: L=3.048m (120 po.), T=2.669 KN (600 lb),

k=3.448 KPa (0.5 lb/po2), f =350.3 N/m (2 lb/po). Pour calculez les valeurs nodales des flèches du câble,

utilisez un logiciel comme Matlab pour inverser la matrice globale.


3-21

Réponse:

0.001

47.112

65.793( )

65.794

47.115

0.006

mm

ν

ν

ν

ν

ν

ν

=

Problème 3.3

Le transfert de chaleur d'une ailette de refroidissement est donné par l'équation différentielle suivante:

2

1 2 3 12 0 conditions aux rives: (0) , 0bx L

d T dTc c T c T T c

dx dx =

+ + = = − =

où c1 = k A c2 = -h p c3 = h p Tf

A=aire de la section; h= coefficient de transfert de chaleur par convection;

k=conductibilité thermique; L= longueur; p=périmètre de l'ailette;

Tf= température du fluide entourant l'ailette; Tb=température à la base de l'ailette

W= largeur (unitaire)

Développez les équations d'un élément fini qui permettra trouver une solution approximative pour la

température le long de l'ailette. Utilisez avec la méthode des résidus pondérés, critère de Galerkin, et

utilisez également une fonction d'essai linéaire: xaaxT 10)( +=

Réponse:

1

31 2

1

1 1 2 1 1

1 1 1 2 16 2i

j

x xi i

j j

x x

dTc

dxT T c Lc c LT TL dT

cdx

=

=

− − − + = + − +

où L est la longueur de l’élément.


3-22

4-1

Chapitre 4

4 CONVERGENCE D’UNE SOLUTION PAR ÉLÉMENTS FINIS

Par définition, une solution par éléments finis est convergente si elle tend vers la solution exacte lorsque

la dimension de tous les éléments d'un maillage tend vers zéro.

4.1 Conditions de convergence

Pour nous assurer d'une solution convergente, la fonction d'essai doit satisfaire à certaines conditions,

autrement il est possible que la solution par éléments finis converge vers une solution erronnée.

Forme de l'équation différentielle du résidu:

2 2( -1) 2

2 2( -1) 2, , ... , , ( ) , ( ) 0

m m

m m

U U Ud d d U x f x dx dx dx

=

(4.1)

Forme de l'équation du résidu, après "m" intégrations par parties avec Galerkin

( -1) ( -1)

( -1) ( -1), , ... , , , ( ) 0

b

a

x m m m mi i i

i im m m mx

U U dU d d d N d d N N U f x dx N Ndx dxdx dx dx dx

=

∫ (4.2)

4.1.1 Représentation constante

La fonction d'essai U(x) et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre "m", apparaissant sous l'intégrale du résidu,

doivent avoir une représentation constante dans l'élément lorsque la dimension des éléments tend vers

zéro.

4-2

Exemple: Si m = 2, alors il faut que la base polynomiale de la fonction d'essai contienne au moins

les termes suivants:

U(x) = a0 + a1 x + a2 x2

On aura alors la possibilité d'avoir: U(x) = a0 dU/dx = a1 d2U/dx2 = a2

Cette condition est absolument nécessaire pour assurer la convergence d'une solution. Elle s'explique de

la façon suivante: À la limite lorsque les éléments deviennent très petits, la fonction U(x) et toutes ses

dérivées sous l'intégrale du résidu deviennent pratiquement constantes dans le domaine de l'élément et

doivent avoir la possibilité d'une représentation constante.

4.2 Continuité

Dans le domaine d'un élément et à la frontière entre deux éléments, la fonction U(x) de même

que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre "m-1" doivent être continues.

Exemple: Si m = 2, alors il faut que: U(x) et dU/dx soient continues.

Cette condition s'explique de la façon suivante: Lorsque la dérivée (m-1) n'est pas continue, la dérivée

m devient infini et l'intégrale de cette dernière dérivée (équation du résidu) devient indéterminée.

Entre les éléments, cette condition n'est pas toujours nécessaire et dans certains cas lorsqu'elle n'est

pas satisfaite, l'élément converge plus rapidement.

Avec des éléments finis 1D, la continuité aux noeuds est relativement facile à obtenir en utilisant comme

degrés de liberté une fonction U dont la dérivée doit être continue. Cependant, avec les éléments à

deux et trois dimensions, la continuité implique aussi la continuité le long des côtés (deux dimensions)

ou des faces (trois dimensions) de l'élément. Cette dernière condition est habituellement très difficile à

réaliser. Des essais numériques ont permis de constater que beaucoup d'éléments 2D et 3D étaient

convergents avec la continuité aux noeuds seulement.

4-3

On peut expliquer ce résultat de la façon suivante. Lorsque la dimension d'un maillage diminue de plus

en plus, les noeuds se rapprochent les uns des autres et, dans l'ensemble, le milieu devient de plus en

plus continu. À la limite, pour des éléments infiniment petits, les noeuds sont très près les uns des

autres et nous avons en pratique continuité des côtés et des faces.

4.2.1 Classe

Une fonction est dite de classe Cn , dans un domaine de solution, si la fonction et toutes ses dérivées

jusqu'à l'ordre "n" sont continues dans le domaine.

Exemple, fig. 4.1: Si U(x) seulement est continu, alors U(x) est C0 .

Si U(x) et dU(x)/dx sont continus, alors U(x) est C1 .

Pour satisfaire la condition de continuité, la fonction d'essai U(x) dans l'équation (4.2) devra être de

classe Cm-1.

Figure 4.1– La fonction φ1 est une classe C0 alors que la fonction φ2 est une C1.

4.3 Taux de convergence de la fonction d'essai

L'erreur ponctuelle d'une solution approximative par éléments finis est donnée par:

4-4

E(x) = U(x) - U(x)% (4.3)

où U(x) solution exacte

Ũ(x) solution approximative (idem à U*(x))

La solution exacte U(x) étant inconnue, nous pouvons cependant la représenter par une série de Taylor,

au voisinage d'un point x dans l'élément (Figure 4.2).

... + )x - (x c + ... + )x - (x c + )x - (x c + c = U(x) nn

2 ˆˆˆ 210

où

dx

Ud n!

1 = c n

n

x = x

n

ˆ

La solution approximative est donnée par un polynôme complet de degré "p".

ˆ ˆ ˆ

2 p0 1 2 p

2 p0 1 2 p

U(x) = + x + + ... + a a a x a x

= + (x - x) + (x - x + ... + (x - x) )a a a a

%

Lorsque la dimension du maillage tend vers zéro (convergence vers la solution exacte) nous avons alors

la valeur des termes de degrés ≤ p dans Ũ(x) qui tend vers celle des termes ≤ p dans U(x). Nous avons

alors:

ˆ ˆp+1 p+2p+1 p+2E(x) = U(x) - U(x) (x - x + (x - x + ...) )c c→%

Pour h |)x - (x| ≡ˆ petit, le terme dominant est )x - (x 1+pˆ et nous avons:

x

hun élément

x

Figure 4.2

4-5

Erreur normalisée = p+1U(x) - U(x) C h

U(x)≤

% (4.4)

Une autre notation est aussi utilisée où la lettre "O" signifie "Ordre de l'erreur":

h O U(x)

(x)U - U(x) 1+p≤

~

Nous pouvons aussi écrire à partir de (4.4):

h 1) + (p + C U

U - U loglog

~log ≤ (4.5)

Dans un graphique log-log, l'équation (4.5) est une droite ayant une pente (p+1). Cette pente est une

indication du taux de convergence. Voir la Figure 4.3(a).

4.4 Taux de convergence du flux

Le flux étant donné par la dérivée d'ordre "m" de la fonction d'essai, nous avons:

dx

(x)Ud = (x)m

m ~~ ατ

Un raisonnement identique à celui utilisé pour la fonction d'essai U(x) donne:

Erreur normalisée = h D (x)

(x) - (x) mp 1

~+−≤

τττ

(4.6)

De la même façon, nous pouvons écrire:

h 1)m(p + D -

loglog~

log +−≤τ

ττ (4.7)

4-6

Encore une fois, sur un graphique log-log (Figure 4.3 (a)), nous avons une droite ayant une pente de (p-

m+1) qui est une indication du taux de convergence du flux.

Exemple:

Soit l'équation différentielle suivante avec ses conditions aux rives.

5 < x < 0 12 - x + x 6 + x - = U(x) + dx

U(x)d - 232

2

avec 10 = 0)=U(x et 5 = dx

dU(x) - = )(x 5=τ

En utilisant la fonction d'essai linéaire suivante, [ ] { }1( ) [1 ] iU x x A

−= ∆%

où {Δ} est le vecteur des degrés de liberté

nous avons p=1 et m=1, donc:

1 1 1 2pU - U Ch Ch Ch

U+ +≤ ≤ ≤

%

1 1 1 1p m - D h Dh Dhτ τ

τ− + − +≤ ≤ ≤

%

La Figure 4.3(a) représente graphiquement (échelles log-log), pour un point ordinaire de l'élément,

l'erreur de la fonction d'essai et du flux, en fonction du nombre d'éléments utilisés pour obtenir la

4-7

solution. La pente de ces courbes est une indication du taux de convergence. Lorsque le nombre

d'éléments est grand, nous obtenons effectivement le taux de convergence qui est prévu par les

équations précédentes. Il est aussi à noter que pour un maillage plus grossier, le taux de convergence

est supérieur à celui prévu par la théorie. La figure (fig. 4.3 (b)) illustre aussi les solutions obtenues avec

les trois premiers maillages.

4.5 Points de surconvergence

Les deux graphiques de la Figure 4.3(a) indiquent les taux de convergence pour un élément linéaire

lorsque l'erreur est calculée à un point ordinaire de l'élément. Il existe cependant des points dans

l'élément où le taux de convergence est supérieur à celui que nous donne la théorie précédente pour un

point ordinaire. Ces points sont appelés points de surconvergence.

Les figures 4.4 à 4.7 indiquent les taux de convergence à des points ordinaires ainsi qu'à d'autres points

spécifiques de l'élément, pour un élément linéaire (fig. 4.4), quadratique (fig. 4.5), cubique (fig. 4.6) et

quartique (fig. 4.7). Dans le cas de la fonction d'essai, les meilleurs points de surconvergence

correspondent aux noeuds inter-éléments. Dans le cas du flux, les points de surconvergence sont les

points de Gauss dont le nombre est égal à p-m+1.

La théorie servant à expliquer le phénomène de surconvergence est complexe et trop longue pour être

présentée dans le cadre de ce cours. En se basant sur les résultats numériques présentés dans les figures

4.4 à 4.7 nous pouvons cependant énoncer les deux règles suivantes.

Première règle

Aux noeuds inter-éléments, la fonction (x)U~

converge à un taux de l'ordre de (h2p), comparé à un

taux de l'ordre de (hp+1) pour un point ordinaire. Il est à noter que "p" représente le degré du

polynôme de la fonction (x)U~

tandis que "h" est la dimension relative de l'élément.

4-8

Figure 4.3– (a) Erreur de la fonction Ũ et du flux τ% à un point ordinaire pour un élément linéaire. Le

taux de converge est indiqué par les pentes. (b) Comparaison entre les solutions exactes et les solutions

par É. F. pour les trois premiers maillages.

4-9

Deuxième règle

Aux points de Gauss de l'élément, le flux dx

(x)Ud k - = (x)m

m ~~τ converge à un taux de l'ordre de (hp-

m+2), comparé à un taux de l'ordre de (hp-m+1) pour un point ordinaire. Le nombre de points de Gauss

est égal à p-m+1 et la position exacte de ces points est donnée dans des tables de mathématiques.

La deuxième règle est basée sur plusieurs arguments, les principaux étant les suivants :

Une solution par éléments finis utilisant Galerkin et l'intégration par parties correspond à toutes

fins pratiques, à un lissage par moindres carrés du flux. Par exemple:

avec ( ) { }

mmi

m m

N U x dd(x) = - k = - k dx dx

τ ∆

%%

la forme intégrale est { }b

a

-1x m mi i

m mx

N Nd d k dx + ... = 0dx dx

∆ ∫

Selon la théorie des polynômes, si un polynôme de degré "q" représente un lissage par moindres carrés

d'un polynôme de degré "q+1", ces deux polynômes sont égaux (se coupent) aux (q+1) points de Gauss.

En d'autres mots, si le flux est donné par un polynôme de degré "q", aux points de Gauss nous avons la

précision d'un polynôme de degré "q+1" (voir figure 4.8).

4-10

Figure 4.4– Éléments 1D linéaires. Erreur de la fonction Ũ et du flux τ% aux points ordinaires et

surconvergents.

Figure 4.5– Éléments 1D quadratiques. Erreur de la fonction Ũ et du flux τ% aux points ordinaires et

surconvergents

4-11

Figure 4.6– Éléments 1D cubiques. Erreur de la fonction Ũ et du flux τ% aux points ordinaires et

surconvergents.

Figure 4.7 – Éléments 1D quartiques. Erreur de la fonction Ũ et du flux τ% aux points ordinaires et

surconvergents.

4-12

3 points de Gauss1ξ = − 1ξ =

Degré (q+1) = 3

( 2)qτ =%

0

2 points de Gauss1ξ = − 1ξ =

Degré (q+1) = 2

( 1)qτ =%

0

1 point de Gauss

ξ

1ξ = − 1ξ =

Degré (q+1) = 1

( 0)m

m

d Uq

dxτ ==

%%

0

( )2

0

1 1p m

E D h

ξ =− + =

=

( )3

1

31 2p m

E D h

ξ = ±

− + =

=

( )4

30

51 3p m

E D h

ξ ξ= ± =

− + =

=

Figure 4.8 – Erreur du flux aux points de Gauss en fonction du polynôme utilisé.

4-13

4.6 Conclusion

Dans cette présentation, nous avons traité du taux de convergence que nous pouvons obtenir d'une

solution par éléments finis. Ces notions sont importantes lorsque nous devons décider du type

d'élément et de la finesse du maillage à utiliser. Souvent, nous devons répéter l'analyse en utilisant un

maillage différent afin de nous assurer que nous avons des résultats convergents. Par exemple, en

doublant la finesse d'un maillage, un élément ayant une erreur de l'ordre de (h3) verra son erreur

réduite par un facteur de 8 [ h3 = (1/2)3 ]. Si les deux maillages donnent des résultats à peu près

semblables, nous saurons alors que nous avons convergé vers la solution exacte du problème.

Les règles que nous avons établies dans ce chapitre sont toujours valides. Dans la pratique courante,

nous n'avons pas trop à nous préoccuper de la méthode utilisée pour le calcul des flux (contraintes) dans

un maillage. Les firmes qui commercialisent les logiciels d'éléments finis utilisent habituellement des

algorithmes éprouvés (souvent confidentiels) afin de nous donner les meilleurs résultats possibles. Par

exemple, avec certains logiciels, les contraintes sont calculées aux points de Gauss et ensuite

extrapolées aux noeuds de l'élément. Une moyenne peut ensuite être calculée entre les résultats

obtenus de tous les éléments connectés à un noeud.

Souvent, en utilisant un logiciel d'éléments finis, nous ignorerons le comportement d'un élément pour

un chargement particulier. Le comportement de l'élément dépendra généralement de certains

algorithmes utilisés pour en améliorer les performances. Il sera alors tout indiqué d'effectuer des essais

numériques sur des problèmes ayant une solution connue.

5-1

Chapitre 5

5 TRANSFORMATIONS DU SYSTÈME MATRICIEL D'UN ÉLÉMENT

En éléments finis, plusieurs transformations sont nécessaires pour donner à un élément les propriétés

désirées. Parmi les transformations les plus importantes nous avons:

- Les transformations de coordonnées

- L'imposition de contraintes spéciales pour modifier le comportement d'un élément.

- La relaxation (libération) des degrés de liberté de l'élément.

5.1 Transformation de coordonnées

Le système matriciel d'un élément est toujours déterminé dans le système local de coordonnées de

l'élément afin d'en simplifier le calcul. Ainsi, les déplacements (degrés de liberté) de l'élément sont

orientés dans la direction des coordonnées locales de l'élément.

Pour obtenir le système matriciel de l'ensemble d'un maillage nous devons ensuite réaliser l'assemblage

des matrices de chacun des éléments qui le composent. Cependant, avant de procéder à cet assemblage

nous devrons effectuer les transformations nécessaires pour orienter les déplacements de l'élément

dans la direction des coordonnées de déplacement des nœuds (système de coordonnées global). Ce

système est le seul qui est commun à tous les éléments. Pour simplifier la nomenclature nous allons

l'appeler le système global de coordonnées.

5-2

5.1.1 Matrice de rotation

Considérons le cosinus des angles entre chacun des axes de deux systèmes de coordonnées différents

(Figure 5.1). Posons aussi que x’, y’ et z’ sont de longueur unitaire.

Figure 5.1

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

x x x i x y j x z k

y y x i y y j y z k

z z x i z y j z z k

′ ′ ′ ′= + +

′ ′ ′ ′= + +

′ ′ ′ ′= + +

rr r

rr r

rr r

Ces cosinus directeurs peuvent être représentés par

une matrice [ R ] que nous allons appeler matrice de

rotation.

cos( , ) cos( , ) cos( , )

[ ] cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

x x x y x z

R y x y y y z

z x z y z z

′ ′ ′ ′ ′ ′=

′ ′ ′

(5.1)

Il est à noter que cette matrice n'est pas symétrique puisque par exemple:

12 21cos( , ) cos( , ) x y y x R R′ ′= ≠ =

On peut cependant démontrer qu'elle est orthogonale, c'est-à-dire que:

-1[ [] ]T R R = (5.2)

5.2 Transformation d'un vecteur

En notation matricielle, un vecteur peut être représenté en utilisant ses trois composantes dans la

direction de chacun des axes d'un système de coordonnées de référence (Figure 5.2).

Chapitre 5 – Transformations du système matriciel d’un élément

5-3

Figure 5.2

{ } { }

{ } { }

x x

y y

z z

v v V V v v

v v

avec V V

′

′

′

′= =

′≡

r r

r r


5-4

En projetant les composantes du vecteur Vr

dans la direction des axes x', y' et z' nous aurons:

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

x x y z

y x y z

z x y z

x x x y x zv v v v

y x y y y zv v v v

z x z y z zv v v v

′

′

′

′ ′ ′= + +′ ′ ′= + +′ ′ ′= + +

Ou encore: { } [ ]{ }etx x

y y

z z

v v = [ R ] V R Vv v

v v

′

′

′

′ =

r r (5.3)

Les déplacements, les forces de même que les rotations (lorsqu'elles sont petites) sont des quantités

vectorielles. Nous pouvons donc écrire:

Déplacements -1

{ } [ ]{ }[ ]

puisque { } [ { }]TT

u u d R d

v R vR R d R d w w

′ ′ = ′ = =′= ′

r r

r r

Forces { } [ ]{ }

[ ]{ } [ { }]

x x

y y T

z z

F F F R F

R F F F R F

F F

′

′

′

′ = = ′=

r r

r r

Rotations { } [ ]{ }

[ ]{ } [ { }]

x x

y y T

z z

R

R R

θ θ θ θθ θ

θ θθ θ

′

′

′

′ = = ′=

r r

r r (si θ est petit)

5.3 Calcul de la matrice de rotation

Pour obtenir la matrice de rotation nécessaire à un changement de coordonnées, la méthode la plus

efficace est l'algèbre vectorielle. La matrice de rotation est obtenue directement des vecteurs unitaires


5-5

orientés dans la direction des axes du système local de coordonnées, ces vecteurs unitaires étant définis

par rapport aux axes du système global de coordonnées (Figure 5.3).

Figure 5.3

x y z

x y z

x y z

u i j ku u u

v i j kv v v

w i j kw w w

= + +

= + +

= + +

rr rr

rr rr

rr rr

[ ]x y z

x y z

x y z

u u u

R v v v

w w w

=

(5.4)

5.3.1 Matrice de rotation d'un élément à deux dimen sions

Pour déterminer la matrice de rotation d'un élément à deux dimensions (un élément membrane par

exemple), les coordonnées globales d'au moins trois des noeuds de l'élément doivent être connues.

Généralement, l'axe local u sera parallèle à l'arête 1-2 de l'élément (Figure 5.4), l'axe local v sera

perpendiculaire à u mais dans le plan de la plaque et l'axe local w sera perpendiculaire au plan u-v.

u-v-w, système local

x-y-z, système global


5-6

Figure 5.4

Soient Ur

// à l'arête 1-2

Ar

// à l'arête 1-3

Avec la notation xij = xi - xj

nous avons:

2121 21

3131 31

U = i + j + kyx z

A = i + j + kyx z

rr r r

rr r r

31 2121 31

21 21 3121 31 2121

3131 21 3131 31 21

-

-

-

x

y

z

y yW z z i j k W U A yx W x xz z z

y y yx z W x x

== × = ⇒ =

=

r r r

rr r

21 21

2121

2121 2121 21

-

-

-

x y z

x y z y z x

z x y

yV W Wz i j k V W U W W W V W x W z

y yx z V W W x

== × = ⇒ =

=

r r r

r r r

Finalement, en normalisant les trois vecteurs W V Urrr

,, nous obtenons la matrice de rotation.

Longueur des vecteurs :


5-7

W + W + W = L V + V + V = L z + y + x = L 2z

2y

2xW

2z

2y

2xV

221

221

221U

Vecteurs unitaires selon les axes u, v, w:

2121 21

1( )

1( ) [ ]

1( )

U

x y z

x y z x y zV

x y z

x y zW

u i j k yx zL

u u u

v i j k R V V V v v vL

w w w

w i j k W W WL

= + +

= + + = = + +

rr rr

rr rr

rr rr

5.3.2 Matrice de rotation d'une poutre

Dans le système de coordonnées local d'une poutre (Figure 5.5), nous avons l'axe longitudinal u et les

deux axes principaux de sa section, v et w. L'orientation de l'axe u est facilement obtenue des

coordonnées des deux noeuds aux extrémités de la poutre.

2121 21

1( )

U

u i j kyx zL

= + +rr rr

où z + y + x = L x - x = x 221

221

221Ujiij


5-8

Figure 5.5- Système de coordonnées local d’une poutre

Pour définir l'orientation des axes principaux de la section, les trois méthodes suivantes sont utilisées :

a) On donne les coordonnées d'un troisième point situé dans le plan u-v de la poutre. Ce point doit

être situé du côté positif de l'axe v. C'est une méthode que nous retrouvons dans

MSC/NASTRAN et également dans ANSYS.

b) On donne les composantes d'un vecteur 0Vr

situé dans le plan u-v de la poutre. Ce vecteur doit

avoir une composante dans la direction positive de v. Cette méthode est celle que nous

utilisons le plus souvent dans MSC/NASTRAN.

c) On donne l'inclinaison de l'axe principal v de la poutre par rapport à un plan de référence. Par

exemple, ce plan de référence peut être le plan défini par l'axe local u de la poutre et l'axe z du

système global de coordonnées. Ce peut aussi être le plan x-y global qui sert de plan de

référence. Cette méthode est utilisée par certains logiciels (ex. ANSYS, MSC/PAL2).


5-9


5-10

5.3.2.1 Obtention de la matrice de rotation d’une poutre

Cas a)

On détermine un vecteur 0Vr

qui sera nécessairement dans le plan u-v de la poutre à l’aide des

coordonnées des points 1 et 3 (Figure 5.5). La matrice de rotation est ensuite déterminée en utilisant la

méthode du cas (b).

031 3131V x i j z ky= + +

rr r r

Cas b)

Connaissant le vecteur 0Vr

et le vecteurur

, les deux étant dans le plan u-v de la poutre, nous avons:

021 2121

0 0 0x y z

i j k W U V x z y

V V V

= × =

r r r

r r r et

21 2121

x y z

i j k V W U W W W

x zy

= × =

r r r

r r r

En normalisant les trois vecteurs W V Urrr

,, , nous aurons les trois rangées de la matrice de rotation.

Cas c) - ANSYS

Pour définir l'orientation des axes principaux de la section d’une poutre avec le logiciel ANSYS, nous

donnons l’angle d’inclinaison θ de l’axe local v de la poutre par rapport au plan x-y du système global

(Figure 5.6). Cet angle est positif autour de la direction positive de l’axe longitudinal u de la poutre. Il est

mesuré à partir d’un vecteur nr

normalisé, qui est à la fois parallèle au plan global x-y (perpendiculaire à

l’axe global z) et perpendiculaire à l’axe local u. Ce vecteur de référence nr

est obtenu par le produit

vectoriel de Zr

global par Ur

local qui nous donne le vecteur Nr

que nous devons ensuite normaliser.

Nous connaissons: ( )2121 21

2121 212 2 221 21 21

1U

U

u i j kyx zLU i j k yx zL x y z

= + += + + = + +

rr rrrr r r

( )21 21

2 221 2121 21 21

10 0 1 N

N

i j k n y i x jLN Z UL y xx y z

= − += × = = +

rr r r rrr r r


5-11

Figure 5.6

Ensuite, nous posons: x y zv = i + j + kv v vrr rr

où , et x y zv v v sont les composantes inconnues du

vecteur vr

qui seront déterminées à l'aide des deux équations vectorielles suivantes.

Produit vectoriel sin 3 inconnues ,

Produit scalaire ( ) cos cos 3 équations indépendantesx y zn v u v v et v

n v n v

θθ θ

× = = =

r r r

r ro

Finalement le dernier vecteur unitaire, nécessaire pour définir la matrice de rotation, est obtenu de la

façon suivante:

w u v= ×r r r

5.4 Changement de base en éléments finis

Matrice de passage:


5-12

La première étape consiste à établir une relation matricielle entre les degrés de liberté [DL'] des noeuds

de l'élément dans son système local de coordonnées, et les degrés de liberté [ DL ] des mêmes noeuds

par rapport au système de coordonnées global de l'ensemble de la structure. Nous appelons "matrice de

passage" [ P ] cette relation.

{ } { }' [ ]DL P DL= (5.5)

Lorsque nous effectuons un changement de coordonnées, la matrice de passage [P] est déterminée à

partir des éléments de la matrice de rotation [R]. Par exemple, pour l’élément de poutre de la Figure 5.7

nous aurons:

Figure 5.7

[ ]

1 1

1 1

2 2

2 2

P

R 0 0 0 d d0 R 0 0

= 0 0 R 0d d0 0 0 R

θ θ

θ θ

′

′

′

′

r r

r r

r r

r r

144424443

(5.6)

Pour la membrure en traction/compression de la Figure 5.8 nous avons:

Figure 5.8

[ ]

1

1

11 12 131 1

11 12 132 2

P 2

2

u

v

0 0 0 u wR R R =

0 0 0u uR R R

v

w

′

′

14444444244444443

(5.7)


5-13

L’équation (5.7) démontre que la matrice de passage [P] n'est pas toujours une matrice carrée.

Changement de base

L'expression de l'énergie potentielle minimum que nous utiliserons au chapitre 7 lors du calcul (dans un

système local de coordonnées) des différentes matrices d'un élément, est donnée par l’équation

suivante :

.

potentiel des chargesénergie de déformation

1{ [ ]{ } -{ { }} }

2T T

equ DL K DL DL F′ ′ ′ ′ ′Π =1442443144424443

(5.8)

En utilisant la relation (5.8) et la matrice de passage [P] nous pouvons écrire:

[ ]

{ }.

1{ [ [ ][ ]{ } -{ [ { }} }] ]

2eq

T TT Tequ

K F

DL P K P DL DL P F

′ ′Π =1442443 1442443

(5.9)

En posant:

. .

[ ] [ [ ][ ]]

{ } [ { }]

T

Tequ equ

K P K P

F P F

′=

′=

(5.10)

Nous avons alors:

.{ [ ]{ } -{ { }} }T Tequ DL K DL DL FΠ = (5.11)

5.5 Autres transformations

5.5.1 Libération (relaxation) de degrés de liberté d'un élément

Dans une structure, nous avons souvent des connexions qui ne permettent pas le transfert de certaines

charges ou qui les permettent mais de façon très réduite. Lorsqu'un élément doit être raccordé à une


5-14

structure par l'intermédiaire d'une telle connexion, les degrés de liberté de l'élément qui ne sont pas

fixés rigidement à la structure sont indépendants de ceux de la structure. Avant d'assembler les matrices

de l'élément nous devons libérer ces degrés de liberté.

Considérons la matrice de rigidité d'un élément avec ses degrés de liberté "maîtres", ∆∆∆∆m, fixés

rigidement à la structure, et ses degrés de liberté "esclaves", ∆∆∆∆e, qui sont indépendants de ceux de la

structure.

[ ]

0

mm me mm

em ee e

K

F K K =

K K

′

∆ ∆ 1442443

(5.12)

Il est à noter qu'au niveau de l'élément, les forces Fe associées aux degrés de liberté esclave ∆e sont

nulles puisque ces degrés de liberté sont entièrement libres. En utilisant la deuxième partition de la

matrice précédente nous avons:

{ } { } { } K + K = 0 eeemem ∆∆ d'où { } { } K K - = mem-1eee ∆∆ (5.13)

Nous pouvons donc écrire la matrice de passage suivante:

{ } [ ] { } P = K K -

I = mm

em1-

eee

m ∆∆

∆∆

(5.14)

Avant d'assembler la matrice [K] de cet élément à celle de la structure, nous aurons à effectuer la

transformation suivante:

[ ] [ ] [ ] [ ] P K P = K T ′

[ K ] est une matrice réduite ayant seulement les degrés de liberté { ∆m }.

5.5.2 Les fonctions de contraintes


5-15

Afin d'obtenir un modèle numérique satisfaisant d'une structure, nous avons souvent des conditions

spéciales à imposer entre les degrés de liberté de cette structure. Ces conditions spéciales sont appelées

"fonctions de contraintes" ou en anglais "multipoint constraints". Lorsque nous utilisons le logiciel

NASTRAN, ces fonctions de contraintes doivent être entrées dans le format suivant (commande MPC).

[ ] mmm ee

e

= 0A A ∆

∆ (5.15)

En utilisant cette dernière expression, nous pouvons écrire:

-1e ee mm m{ } = - { }A A∆ ∆ (5.16)

Dans cette dernière expression, les degrés de liberté esclaves { ∆e } sont entièrement dépendants des

degrés de liberté maîtres {∆m}. Nous devons donc les éliminer du système global d'équations. Lorsque la

solution {∆m} du système d'équations réduit aura été déterminée nous pourrons alors calculer la valeur

des degrés de liberté esclaves {∆e} en utilisant l’équation (5.16).

Reprenons le système global d'équations, avant l'imposition des fonctions de contraintes.

∆

∆

e

m

eeem

memm

e

m

KK

K K =

F

F (5.17)

En utilisant l'équation (5.16) nous pouvons écrire la matrice de passage suivante.

-1

{ } [ ] { }-

mm m

e ee mm

I P

A A

∆ = =∆ ∆ ∆ (5.18)

Les fonctions de contraintes seront imposées en effectuant la transformation des matrices suivantes:

[ ] [ [ ] [ ]]

{ } [ { }]

T

T

K P K P

F P F

′=′=

Encore une fois, [K] est une matrice réduite ayant seulement les degrés de liberté {∆m}.

Exemple : La commande MPC de NASTRAN


5-16

MPC, SID, Gm, Cm, Am, G1, C1, A1

, , G2, C2, A2, etc ...

SID ... No. d'ensemble.

Gi ... No. de noeud.

Ci ... No. de degré de liberté.

Ai ... Coefficient.

- Une carte MPC est nécessaire pour chacune des fonctions de contraintes.

- Le degré de liberté identifié par l'indice "m" est "esclave". Il est entièrement défini par les

autres degrés de liberté et n'est plus une inconnue. Il sera éliminé du système d'équations à

résoudre.

5.5.3 Les éléments rigides

L'élément rigide sert à relier « rigidement » plusieurs noeuds d'un maillage. C'est un élément

extrêmement utile pour raccorder des éléments de nature différente ou encore pour modéliser des

éléments ayant une rigidité très grande par rapport aux autres éléments. Par exemple dans NASTRAN,

le vecteur d’excentricité de la commande CBAR et la commande RBE2 définissent tous deux des

éléments rigides.

Cet élément est en fait une transformation qui n'affecte

aucunement le conditionnement de la matrice de

rigidité comme le ferait par exemple un élément

élastique ayant une rigidité de plusieurs ordres de

grandeur supérieurs aux autres éléments.

Dans l'espace, six degrés de liberté seulement

sont nécessaires pour définir toutes les

configurations possibles d'un élément rigide.

Considérons l'élément rigide illustré dans la

Figure 5.9. Les configurations de cet élément

peuvent être définies entièrement par les six

degrés de liberté du noeud maître "m". Les


5-17

degrés de liberté des noeuds esclaves "e" sont

entièrement déterminés par ceux du noeud maître et

seront éliminés du système d'équations.

Les degrés de liberté d'un noeud esclave "e" sont

déterminés par ceux du noeud maître "m" à l'aide des

relations suivantes.

Figure 5.9

emem em e m

e m mmx my mzm

R = i + j + ky = x z

= + R = i + j + k D D

θ θθθ θ θθ

×

rr r r r r

rr rr rr rr (5.19)

Le rayon vecteur Rr

est rigide et il est défini par les coordonnées du noeud esclave et du noeud maître avec

la notation xem = xe - xm.

Le déplacement De

rθ du noeud esclave "e" causé par la rotation mθ

rdu noeud maître est donné par:

-

-

-

ex emmy mz em

ey emmx my mz mz em mxe m

emem em

ez mx my emem

yD z

i j k R xD zD

y x z

y xD

θ

θθ

θ

θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ

== × = = =

r r r

r rr (5.20)

Nous pouvons maintenant écrire une matrice de passage pour le noeud esclave "e".


5-18

ex em mxem

ey em myem

ez mzemem

ex mx

ey my

ez mz

P

1 0 0 0 - yD z D0 1 0 - 0 xD z D0 0 1 - 0y xD D

= 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

θ θθ θθ θ

14444444244444443

(5.21)

5.6 Symétrie et antisymétrie

5.6.1 Symétrie par réflexion

Dans une structure, nous avons souvent deux moitiés identiques qui

sont chargées de façon identique. En prenant l'une de ces moitiés

avec ses charges et en la plaçant devant un miroir nous verrions par

réflexion, l'ensemble de la structure et des charges. C'est ce qui

justifie le nom que nous donnons à ce genre de symétrie: symétrie

par réflexion.

Nous savons aussi que les deux moitiés de la structure sont séparées

par le plan de symétrie qui demeure plan après déformation. Il faut

donc que la translation normale au plan de symétrie, de même que les deux rotations qui sont dans le

plan de symétrie, soient nulles (Figure 5.10).

0 = R = R = T 21n (5.22)

Figure 5.10


5-19

5.6.2 Antisymétrie (des charges)

Nous pouvons aussi avoir un plan de symétrie géométrique avec des charges disposées symétriquement

par rapport à ce plan. Cependant, ces charges de modules égaux sont de sens contraires de part et

d'autre du plan de symétrie géométrique. Par exemple en plaçant un miroir dans le plan de symétrie, les

charges réfléchies de la première moitié seront identiques (modules) mais de sens contraire à celles de

la deuxième moitié (Figure 5.11). C'est ce que nous appelons de l'antisymétrie.

Les conditions cinématiques à imposer sur un plan d'antisymétrie sont exactement l'inverse de celles

que nous imposons sur un plan de symétrie. Les deux translations dans le plan d'antisymétrie de même

que la rotation perpendiculaire au plan d'antisymétrie sont nulles.

0 = R = T = T n21 (5.23)

Figure 5.11

5.6.3 La symétrie cyclique


5-20

Dans beaucoup d'applications, nous avons une symétrie particulière que nous appelons symétrie

cyclique. Prenons, par exemple, le rotor de pompe illustré sur la Figure 5.12. Dans ce rotor, nous avons

quatre secteurs qui sont géométriquement identiques et qui sont soumis aux mêmes charges. Il est donc

inutile de modéliser le rotor au complet. Nous pouvons simplement modéliser la partie répétitive de la

géométrie. La difficulté ici est que nous ne pouvons identifier aucun plan de symétrie entre les secteurs

du rotor puisque aucun ne demeure nécessairement plan après déformation. Nous pouvons cependant

utiliser la procédure suivante pour prendre avantage de la symétrie cyclique.

Figure 5.12

Procédure d'analyse

1) On fait le maillage de la partie répétitive seulement de la géométrie. Dans le cas de la Figure

5.12, on maille uniquement le quart de la géométrie, soit la section hachurée.

2) Les arêtes AA et BB du maillage peuvent être des droites ou des lignes courbes, cependant elles

doivent géométriquement être identiques.

3) Le long des arêtes AA et BB, les noeuds doivent coïncider exactement et les degrés de liberté

doivent être orientés exactement de la même façon par rapport aux arêtes (système local).

4) Les degrés de liberté correspondants le long des arêtes AA et BB sont égaux. Nous devons donc

imposer les conditions suivantes à l'aide de fonctions de contrainte.


5-21

[ ] ou encore : 1 -1 0BB A

A

D = =D DD

rr r

r (5.24)

Matrice de passage [P]

Soit { }IDr

les autres degrés de liberté du secteur modélisé. La matrice de passage est obtenue de

la façon suivante:

[ ]1 0

0 1

0 1

I

I I

A

A A

B

D D D

PDD D

D

= =

rr r

rr r

r


5-22

5.7 Exemple du développement et de l'utilisation de la matrice [P]

Soit un modèle ÉF à deux éléments poutre tel qu'illustré dans la figure qui suit. Le nœud 2 est une rotule

qui permet la rotation θz. Également au nœud 2, une force externe P=1 est appliquée.

[ ]2 2

12 233

2 2

12 6 12 6 12 6 12 6

6 4 6 2 1 6 4 6 2

12 6 12 6 1.0 12 6 12 6

6 2 6 4 6 2 6 4

L L

L L L L LEIK K K

L L L EI

L L L L

− − − = − = = = − − − = − − − − −

Pour représenter la rotule au nœud 2, transformons la matrice K de l’élément 2-3 pour libérer la

rotation.

2 2

2 2

3 3

3 3

12 6 12 6

0 6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

F v

M

F v

M

θ

θ

− = − =

− − − −

Équation de la 2ième rangée

( )2 2 3 3

2 2 3 3

6 4 6 2 0

16 6 2

4

v v

v v

θ θ

θ θ

+ − + =

= − − +

Donc


5-23

[ ]{ }

223 3 1

2 2 223

33

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

mm

e

P

vv

vv

P

θ

θθ

− + − =

∆ = ∆ ∆

144424443

[ ] [ ]23

12 6 12 63 3 3

6 4 6 23 3 3

12 6 12 63 3 3

6 2 6 4

TL

K P P

− −

− ′ = = − −

− − − − −

Nouveau système matriciel pour l’élément 2-3

2 2

3 3

3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

F v

F v

M θ

− = − − −

(5.25)

Système matriciel pour l’élément 1-2

1 1

1 1

2 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

F v

M

F v

M

θ

θ

− − =

− − − −

(5.26)

Assemblage des matrices (5.25) et (5.26) pour obtenir K global


5-24

( )

1 1

1 1(1) (2)

2 2 2(1) (2)

2 2 2

3 3

3 3

12 6 12 6 0 0

6 4 6 2 0 0

12 6 12 3 6 3 3

6 2 6 4 0 0

0 0 3 0 3 3

0 0 3 0 3 3

F v

M

F F v

M M

F v

M

θ

θ

θ

− − + − − + − − = + − − −

−

(5.27)

Conditions aux rives essentielles

1 1 3 3 0.0 (encastrement)v vθ θ= = = =

Conditions aux rives naturelles

(1) (2)2 2

(1) (2)2 2

0.0 (rotule)

1

M M

F F P

+ =

+ = =

Application des CR pour simplifier le système matriciel (5.27)

2

2 2

15 6

0 6 4

P v

M θ−

= = −

Donc 2

2

4 616 15 024

v P

θ

=

et 2

2

16

14

v P

Pθ

=

=

Calcul des forces aux extrémités de chaque élément


5-25

Se fait à l’aide des matrices K de chaque élément, en utilisant les valeurs de v2 et θ2 trouvées

précédemment. Peut aussi être fait avec la matrice globale.

1 162

131

6231

42

121

1

2

2

Force élément 1-2 Force élément 2-3

12 6 12 6 03 3 3

6 4 6 2 03 3 3 0

12 6 12 63 3 3 0

6 2 6 4

FF P

MF

F PM

M P

F

MP

F

M

− − − = = − − − − − − −

− − =

1221

2 1231

2 1230

F

F P

M

= −

On remarquera que la force F2 obtenue pour chaque élément est égale à 0.5, ce qui signifie que la force

totale appliquée sur le nœud 2 est : 2 TOTALE 0.5 0.5 1.0 F P= + = =

La rotation de l’élément 1-2 est égale à 0.25 P, tandis que celle de l’élément 2-3 est égale à :

( )2 2 3 3

1 1 16 6 2 (6 0 0) 0.25

4 4 6v v P Pθ θ= − − + = − × + + = −

Donc les deux éléments ont des rotations égales mais de signe contraire au point 2, ce qui est tout à fait

logique puisqu’ils ont la même longueur, les mêmes propriétés EI et les mêmes conditions aux rives

(encastrement-rotule).

6-1

Chapitre 6

6 FORMULATION DES ÉLÉMENTS ISOPARAMÉTRIQUES

6.1 Introduction

La formulation isoparamétrique permet d’obtenir des éléments quadrilatéral (2D) et hexaèdre (3D) qui

ont des formes non rectangulaires. C’est une formulation versatile qui sert à développer des éléments

de type plan, solide, plaque ou coque.

La détermination des fonctions de forme des éléments rectangulaire ou cubique est relativement facile

à obtenir, mais en pratique ces éléments sont d'une utilité limitée car ils peuvent difficilement servir à

mailler une géométrie complexe, spécialement dans le cas où il faut passer d’un maillage grossier à un

maillage fin dans le but de connaître le comportement d’une région critique du modèle. La

détermination des fonctions de forme d'un élément de géométrie simple mais dont les sommets et les

nœuds milieux éventuels ont des coordonnées globales (x,y) ou (x,y,z) quelconques est quasiment

impossible analytiquement.

Les éléments isoparamétriques dont nous allons discuter dans ce chapitre peuvent être de formes non-

rectangulaires et avoir aussi des côtés courbés. Pour ce faire, ils utilisent un système local de

coordonnées normalisées (coordonnées naturelles orthogonales) dont son origine est située au

centroïde de l’élément. Pour un élément en deux dimensions nous avons un système d’axes (ξ,η) et

pour les éléments tridimensionnels le système d’axes est (ξ,η,ζ). Dans ces systèmes de coordonnées

normalisées, les axes sont orthogonaux entre-eux et ils varient toujours entre les valeurs -1 et +1. Le

système de coordonnées normalisées sert à représenter un élément physique réel par un élément de

référence qui est un carré ou un cube. L'avantage de cette approche est que les fonctions de forme sont

relativement faciles à déterminer pour les éléments très particuliers que sont le carré de côté 2 et le

cube de côté 2. Ces éléments, décrits dans le système de coordonnées normalisées, sont appelés

éléments de référence ou éléments parents et ils permettent d'écrire simplement les conditions de

continuité sur les bords. Ils jouent un très grand rôle en pratique car pour évaluer les caractéristiques de

raideur de la plupart des éléments vrais, on se ramène aux éléments parents qui leur correspondent.

L'utilisation de cette approche exige une transformation du système de coordonnées qui produit des

formes algébriques qui sont difficiles à intégrer exactement. Il faut donc avoir recours à des méthodes

d'intégration numérique qui sont plus exigeantes en temps de calcul. Ce sujet sera discuté à la fin du

chapitre.

6-2

Pour les éléments présentés dans ce chapitre, les mêmes fonctions de forme sont utilisées pour

interpoler à la fois la variable champ (ex. déplacement, température) et la géométrie de l'élément.

Ainsi, le déplacement ou la température d'un point quelconque de l'élément peut être calculé à partir

des valeurs nodales (D.L.) de déplacement ou de température, et les fonctions de forme [ ]N qui sont

développées dans le système de coordonnées normalisées (ξ,η,ζ). Similairement, la position d'un point

quelconque de l'élément dans le système global (x,y,z) peut être exprimée à

partir des coordonnées globales des nœuds et des fonctions de forme N % qui sont aussi développées

dans le système de coordonnées normalisées (ξ,η,ζ). La représentation mathématique des deux

énoncés précédents est la suivante:

- [ ]{ }Tu v w N d= , avec { }d les déplacements des nœuds et wvu le déplacement

d'un point quelconque de l'élément;

- { }Tx y z N c =

% , avec { }c les coordonnées globales des nœuds et zyx la position

d'un point quelconque de l'élément.

Si les matrices [ ]N et N % sont identiques, alors l'élément est appelé isoparamétrique. Si N

% est

d'un degré inférieur à [ ]N , l'élément est subparamétrique, et si N % est d'un degré supérieur à [ ]N ,

on dit alors que l'élément est superparamétrique.

6.1.1 Famille de Lagrange

Une façon simple de générer des fonctions de forme pour les éléments rectangulaires ou cubiques

orientés parallèlement aux axes structuraux (ou normalisés) consiste à effectuer des produits de

polynômes de chaque variable, la continuité le long des bords devant être respectée d'un élément à

celui qui lui est adjacent. Cette condition de continuité impose qu'il y ait exactement (n+ 1) valeurs

connues sur les bords (arêtes) d'un élément de degré n, donc le nombre total de nœuds d'un élément

sera n x nombre d'arêtes. En supposant une approximation linéaire selon chaque axe, on détermine:

u(x,y) = (ao+a1 x)(bo+b1 y) ou u(x,y,z) =(ao+a1 x)(bo+b1 y)(c0+c1z)

Chapitre 6 – Formulation des éléments isoparamétriques

6-3

Ce même type de développement peut être réalisé pour des interpolations quadratiques, cubiques ou

plus selon chaque direction. Pour des degrés supérieurs à 1, il est nécessaire de définir des noeuds sur

chaque arête (Figure 6.1) mais aussi des noeuds internes, ce qui enrichit le comportement de l'élément

mais augmente le nombre de degrés de liberté de l'élément.

Figure 6.1 - Position des noeuds pour le carré de Lagrange

Les fonctions de forme associées à ces noeuds internes, appelées « modes bulles », n'ont pas d'incidence

sur les éléments voisins (Figure 6.2). C'est la raison pour laquelle on élimine parfois des degrés de liberté

internes par condensation, le temps nécessaire pour cette opération au niveau de chaque élément étant

nettement compensé par le gain de temps résultant de la réduction de taille du système à résoudre.

Tous calculs faits, les fonctions de forme Ni sont des produits pour chaque direction des polynômes de

Lagrange d'où le nom donné à cette famille. On peut aussi les construire directement par application de

la formule les définissant. Pour une barre du premier degré parallèle à l'axe des x, avec x1 = 0 et x2 = L,

Au second degré, on calcule directement avec x1 = 0, x2 = L/2 et x3 = L,

Même lorsqu'il s'agit de fonctions de forme associées à des degrés de liberté dans le plan de l'élément,

la représentation graphique qui en est faite est transversale, ce n'est que la valeur prise par la fonction

en un point. La Figure 6.3 illustre la fonction de forme associée à un noeud d'élément quadrangulaire


6-4

bilinéaire : elle prend la valeur 1 sur le noeud considéré et 0 sur les autres pour garantir la condition de

continuité inter-éléments.

Figure 6.2– Mode bulle associé à un noeud

interne

Figure 6.3 – Fonction de forme associée à un

noeud sommet

6.1.2 Famille de Serendip

On ne rajoute des noeuds que sur les arêtes des éléments pour augmenter leur degré (Figure 6.4). Au

premier degré, les éléments de Lagrange et de Serendip sont identiques. Au second degré, le rectangle

de Serendip est défini par 8 noeuds alors que celui de Lagrange est défini par 9 noeuds (Figure 6.1). Les

fonctions de forme de ces éléments sont classiques et connues. Comme nous le verrons plus loin, ces

fonctions de forme sont faciles à construire pour les deux familles si les éléments ont des bords droits

parallèles aux axes structuraux (ou normalisés), si les quadrilatères sont des rectangles ou des carrés, et

les hexaèdres des cubes.

Figure 6.4-Carré de Serendip, position des noeuds

6.1.3 Interpolation linéaire


6-5

Figure 6.5

( )( )( )

121

121

121

(1 )

(1 )

(1 )

L

L

L

ξ ξη ηζ ζ

= −

= −

= −

( )( )( )

122

122

122

(1 )

(1 )

(1 )

L

L

L

ξ ξη ηζ ζ

= +

= +

= +

(6.1)

6.1.4 Interpolation quadratique

Figure 6.6

( )( )( )

121

121

121

( 1)

( 1)

( 1)

Q

Q

Q

ξ ξ ξη η ηζ ζ ζ

= −

= −

= −

( )( )( )

22

22

22

(1 )

(1 )

(1 )

Q

Q

Q

ξ ξ

η η

ζ ζ

= −

= −

= −

( )( )( )

123

123

123

(1 )

(1 )

(1 )

Q

Q

Q

ξ ξ ξη η ηζ ζ ζ

= +

= +

= +

(6.2)

Propriétés des fonctions d'interpolation

Ni (noeud j) = δij (Kronecker Delta)

ξ, η, ζ

ξ, η, ζ


6-6

6.2 Fonctions de forme des éléments bidimensionnels (surface 2D)

Élément bilinéaire - 4 nœuds (Lagrange)

Figure 6.7

Élément biquadratique - 9 nœuds (Lagrange)

Figure 6.8

Élément quadrilatéral - 8 nœuds (Serendip)

Figure 6.9

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

141 1 1

142 2 1

143 2 2

144 1 2

1 1

1 1

1 1

1 1

N L L

N L L

N L L

N L L

ξ η ξ ηξ η ξ ηξ η ξ ηξ η ξ η

= = − −

= = + −

= = + +

= = − +

(6.3)

ξ


6-7

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

141 1 1

142 3 1

143 3 3

144 1 3

2125 2 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

etc....

N Q Q

N Q Q

N Q Q

N Q Q

N Q Q

ξ η ξη ξ ηξ η ξη ξ ηξ η ξη ξ ηξ η ξη ξ η

ξ η ξ η η

= = − −

= = + −

= = + +

= = − +

= = − −

(6.4)

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

2125 2 1

2128 1 2

1 12 21 1 1 5 8

2 21 1 14 4 4

14

14

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

N Q L

N L Q

N L L N N

ξ η ξ η

ξ η ξ η

ξ η

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

ξ η ξ η

= = − −

= = − −

= − −

= − − − − − − − −

= − − − + − +

= − − − + +(6.5)


6-8

Figure 6.10– Élément Lagrange 2D à 9 nœuds. De gauche vers la droite, représentation graphique des

fonctions d’interpolation N9, N5 et N1.

Figure 6.11- Élément Sérendip 2D à 8 nœuds. Représentation graphique des fonctions d’interpolations

N5, N8 et N1.

N1


6-9

6.3 Fonctions de forme des éléments tridimensionnel s (solide 3D)

Élément trois dimensions - 8 nœuds (Lagrange)

Figure 6.12

Élément trois dimensions - 20 nœuds

(Serendip)

Figure 6.13

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

181 1 1 2

182 2 1 2

183 2 2 2

188 1 2 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

etc.....

1 1 1

N L L L

N L L L

N L L L

N L L L

ξ η ζ ξ η ζξ η ζ ξ η ζξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ ξ η ζ

= = − − +

= = + − +

= = + + +

= = − + −

(6.6)

ζ

ζ


6-10

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

2149 2 1 2

21412 1 2 2

21413 1 1 2

1 1 12 2 21 1 1 2 9 12 13

18

18

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 (2 )

N Q L L

N L Q L

N L L Q

N L L L N N N

ξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ

ξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ ξ η ζ

= = − − +

= = − − +

= = − − −

= − − −

= − − + − + − + − −

= − − − + + + −

(6.7)


6-11

6.4 Interpolation des fonctions d’un problème

Les fonctions de forme ou fonctions d'interpolation d'un élément peuvent être utilisées pour interpoler

n'importe laquelle des fonctions d'un problème, si nous connaissons les valeurs nodales de cette

fonction. Voici quelques exemples.

Fonction quelconque φ (ex. température)

Figure 6.14

Fonctions de déplacement

Figure 6.15

( )

( ) ( ) { }

1

2

1 2 3 4

3

4

,

ou encore , ,i i

N N N N

N

ϕ

ϕϕ ξ η

ϕ

ϕ

ϕ ξ η ξ η ϕ

=

=

(6.8)


6-12

( )( )

( )( )

{ }{ }

1

2

3

1 2 3 4 4

1 2 3 4 1

2

3

4

, 0 0 0 0

, 0 0 0 0

, 0ou encore

, 0

i i

i i

u

u

u

u N N N N u

v N N N N v

v

v

v

u N u

v N v

ξ η

ξ η

ξ η

ξ η

=

=

(6.9)


6-13

Coordonnées cartésiennes

Figure 6.16

( ) ( ) [ ]

1 1

2 2

1 2 3 4

3 3

4 4

, ,

x y

x yx y N N N N

x y

x y

ξ η ξ η

=

( ) ( ) ( ) { } { }, , ,i i ix y N x yξ η ξ η ξ η = (6.10)

6.5 Dérivées d'une fonction par rapport aux coordo nnées cartésiennes

En utilisant la règle de différentiation en chaîne nous pouvons écrire :

Figure 6.17

[ ]ou encore J

x y x y

x y x

x y x yyx y

x

y

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕξ ξ ξ ξ ξ ξ

ϕϕ ϕ ϕ ϕη η η η η η

ϕ ϕξ

ϕϕη

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ =

∂∂ ∂∂

(6.11)

La matrice [ J ] porte le nom de matrice jacobienne. Pour obtenir les dérivées cartésiennes de la fonction

φ, nous pouvons multiplier les deux membres de l'équation précédente par la matrice jacobienne

inverse [ J ]-l.


6-14

Ainsi nous aurons: [ ] 1J

x

y

ϕϕξ

ϕ ϕη

−

∂ ∂ ∂∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

6.5.1 Exemple

Pour un élément quadrilatéral de quatre noeuds en deux dimensions nous avons :

Figure 6.18

[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] { } { }[ ]J avec , , ,i i i

x y

x y N x yx y

ξ ξξ η ξ η ξ η

η η

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

Donc : [ ] { } { }{ } { }{ } { }

, , ,

, , ,

J i i i i i

i i

i i i i i

N N x N yx y

N N x N y

ξ ξ ξ

η η η

= =

Pour cet élément nous avons les fonctions de forme (interpolation) suivantes :

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )14 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )iN ξ η ξ η ξ η ξ η = − − + − + + − +

Donc : [ ]( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

3 3

4 4

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )1J

4 1 1 1 1

x y

x y

x y

x y

η η η η

ξ ξ ξ ξ

− − − + − + = − − − + + −


6-15

Puisque qu'une fonction quelconque est donnée par : ( ) ( ) { }, ,i iNϕ ξ η ξ η ϕ =

Alors : [ ] [ ] { },1 1

,

J Ji

i

i

Nx

N

y

ξ

η

ϕϕξ

ϕϕ ϕ

η

− −

∂ ∂ ∂∂

= = ∂ ∂ ∂ ∂

De façon analogue nous pouvons écrire :

[ ] [ ], , 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,1 1

, , 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,

J Ji x i x x x x

i y i y y y y

N N N N N N N N N N

N N N N N N N N N N

ξ ξ ξ ξ ξ

η η η η η

− − = ⇒ =

6.6 Intégration des expressions

Pour obtenir le système matriciel d'un élément, nous avons des expressions à intégrer sur le volume de

l'élément qui ont la forme suivante. Dans le cas d'un élément de membrane à deux dimensions, nous

avons:

avec dV t dA dA d dξ η= = ×

Figure 6.19


6-16

0

0

x yd i j d

x yd i j d

i j k x y

x ydA d d k d d

x y

x y

ξ ξξ ξ

η ηη η

ξ ξξ η ξ η

ξ ξη η

η η

∂ ∂= + ∂ ∂

∂ ∂= + ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂

r r r

r rr

rr r

rr

Donc, l'élément de volume élémentaire est donné par: [ ] abs JdV t dA t d dξ η= =

6.6.1 Méthode d'intégration numérique

Nous utilisons des méthodes numériques d'intégration qui nous permettent d'obtenir une approximation de

l'intégrale. En une dimension, ces méthodes ont la forme suivante :

( ) ( )1

11

I In

nl nli

d wξ ξ ξ+

=−

=∑∫

Dans cette expression, n représente le nombre de points d'intégration, wnl, est le poids donné au point

d'intégration et I (ξnl) représente la fonction à intégrer évaluée au point d'intégration.

Il existe plusieurs méthodes d'intégration numérique. La plus simple est celle de Newton-Cotes qui intègre

exactement, avec n points également espacés, un polynôme de degré n-1. Pour une fonction plus complexe,

l'erreur d'intégration est de l'ordre de hn, où h est l'intervalle d'intégration. Les formules d’intégration les

plus connues sont la méthode du trapèze (deux points d'intégration, intégration exacte d'un polynôme

linéaire, erreur de l'ordre de h2) et la règle de Simpson (trois points d'intégration, intégration exacte d'un

polynôme du second degré, erreur de l'ordre de h3). Les points d'intégration également espacés rendent

cette dernière méthode particulièrement utile pour les calculs manuels.


6-17

Lorsque nous utilisons un ordinateur, il est plus avantageux d'utiliser la méthode des quadratures de Gauss.

Cette méthode est beaucoup plus précise puisque, avec n points d'intégration, elle intègre exactement un

polynôme de degré 2n-1. Pour les fonctions plus complexes, l'erreur d'intégration est de l'ordre de h2n . Les

poids wnl , ainsi que les points d'intégration de Gauss I(ξnl) ont été calculés à partir de la théorie des

polynômes et sont présentés dans de nombreuses références.

6.7 Exercices

Problème 6-1

L'élément quadrilatéral illustré dans la figure (a) ci-dessous, est modélisé à l'aide d'un élément

isoparamétrique bilinéaire (fig. b). Évaluez la valeur du Jacobien aux quatre points de Gauss montrés dans la

figure (b).

Fig. (a) Fig. (b)


6-18

Rép.:

11 1

2 3 4

1.5 0.606 0.592 0.223

0.5 1.606 0.184 0.553

1.5 0.894 1.5 0.606 1.5 0.894

0.5 1.606 0.5 1.894 0.5 1.894

J J

J J J

− − = = −

= = = − − −


6-19

Problème 6-2

Nous utilisons un élément isoparamétrique bilinéaire pour modéliser la distribution de température dans

une paroi d'un cylindre (Figure ci-dessous). Calculez la température et le gradient de température (∇T) au

point de coordonnées: r = 1.2 cm, z = 1.4 cm.

Rép. partielle: T(1.2, 1.4) = 47.11°C


6-20

7-1

Chapitre 7

7 LES ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ANALYSE DES STRUCTURES

7.1 Introduction

Dans ce chapitre nous étudierons les principaux types d’éléments qui sont disponibles, dans les logiciels

d'éléments finis, pour réaliser des modèles numériques efficaces pour l'analyse des contraintes.

La majorité des structures mécaniques sont des assemblages plus ou moins complexes de poutres et de

plaques. Souvent, ces assemblages forment des surfaces courbes dans l'espace qui sont appelés coques.

Dans certains cas, ces structures sont des solides axisymétriques avec chargement axisymétrique tandis

que dans d'autres cas, on doit les considérer comme des solides à trois dimensions.

Il est évidemment toujours possible de modeler ces différentes géométries (une poutre par exemple) en

utilisant uniquement des éléments solides à trois dimensions. Les modèles numériques requis seraient

alors énormes si on veut obtenir une précision raisonnable. Le pire serait cependant la préparation des

données et l'interprétation des résultats qui deviendraient des opérations extrêmement fastidieuses.

Nous avons donc intérêt à construire nos modèles numériques en utilisant les éléments appropriés.

Pour obtenir des modèles numériques précis et efficaces, il faut cependant connaître la théorie de base

des différents éléments et surtout comprendre les hypothèses simplificatrices et reconnaître le domaine

de validité des éléments. C'est le but de ce chapitre.

7.1.1 Problèmes linéaires

La très grande majorité des problèmes pratiques sont linéaires ou peuvent être linéarisés sans erreurs

appréciables. Il existe aujourd'hui plusieurs logiciels pour l'analyse des problèmes non-linéaires

7-2

(ABAQUS, ADINA, ANSYS, NASTRAN, etc.). Il y a quelques années, ce type de problèmes relevait surtout

du domaine de la recherche, mais les logiciels actuels rendent la solution des problèmes non-linéaires

beaucoup plus abordable à l'ingénieur praticien. Pour ce type de problèmes, les logiciels utilisent

habituellement les mêmes éléments que pour les problèmes linéaires. Cependant, les méthodes de

résolution sont presque toujours itératives. Dans le cadre de ce cours, nous allons nous limiter

uniquement à la solution des problèmes linéaires. L'étudiant intéressé au sujet particulier des

problèmes non-linéaires pourra facilement trouver de l'information dans les références [2] et [5].

Pour qu'un problème soit linéaire, il faut que le matériau et la géométrie aient un comportement

linéaire.

Problème avec matériau linéaire

Le matériau est parfaitement élastique et réversible. Les relations contraintes-déformations sont

linéaires et il n'y a aucune dissipation d'énergie lors du chargement et du déchargement. Lorsqu'on

enlève les charges, un matériau linéaire reprend immédiatement sa configuration initiale. Il n'y a aucune

déformation plastique et aucun effet visqueux.

Problème géométriquement linéaire

Les gradients de déplacement sont suffisamment petits pour pouvoir négliger leurs produits (de l'ordre

de 10-3 m/m). Les relations déformations-déplacements sont alors linéaires. Par exemple:

2 2 2

x

u u v w u = 1 + 2 + + + - 1

x x x x xε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.1)

De plus, les déplacements doivent être suffisamment petits pour que l'effet d'une charge demeure

pratiquement inchangé lors de l'application d'une autre charge. Le principe de superposition doit

s'appliquer. Les contraintes et les déformations totales sont la somme des contraintes et des

déformations causées par chacune des charges agissant seule sur la structure.

Chapitre 7 – Éléments finis pour l'analyse des structures

7-3

7.2 Les principaux éléments

Dans ce chapitre, nous allons étudier les principaux éléments qui sont utilisés régulièrement en

éléments finis dans les analyses linéaires. Ces éléments sont les suivants:

- Éléments barre et poutre (traction, torsion et flexion dans les deux plans)

- Élément membrane (2D, état plan de contrainte et de déformation)

- Élément de plaque en flexion (plaque de Kirchhoff et plaque de Mindlin)

- Élément de coque plat et isoparamétrique

- Élément axisymétrique (géométrie et chargement axisymétrique)

- Élément solide à trois dimensions

Le but principal de cette partie du cours est d'apprendre les particularités ainsi que les limitations de

chacun des éléments que nous utilisons pour construire le modèle numérique d'une structure. Il faut en

effet capturer, avec ces éléments, les principales caractéristiques du comportement de la structure.

Cette tâche est difficile et aucun logiciel d'éléments finis ne peut remplacer le jugement et l'expérience

de l'ingénieur.

Les détails importants à retenir de chacun des éléments sont les suivants:

• Les hypothèses de base et les limitations des théories sur lesquelles sont basées chacun des

éléments.

• Selon les noeuds de l'élément, l'ordre des polynômes utilisés pour représenter les déplacements

ainsi que l'ordre des polynômes représentant les contraintes. Ces détails sont importants pour

l'étude de la convergence d'un maillage.

• Il faut aussi connaître les conséquences des distorsions d'un élément sur son comportement.

• Les degrés de liberté actifs aux noeuds de l'élément selon le système d'axes utilisé.

• Les contraintes actives de l'élément.


7-4

• Plusieurs sociétés commercialisent et maintiennent des logiciels d'éléments finis. Ces sociétés

utilisent souvent des algorithmes numériques particuliers afin d'améliorer le comportement des

éléments de leurs logiciels.

7.3 Théorème de l’énergie potentielle minimale

Le théorème de l'énergie potentielle minimale est la forme intégrale faible des équations différentielles

d'équilibre. Ce théorème est à la base du développement de pratiquement tous les éléments

nécessaires pour l'analyse mécanique des structures par éléments finis.

Énergie potentielle: W - U = π (7.2)

Par définition, la fonction ππππ est l'énergie potentielle du système, U est l'énergie de déformation interne

et W représente le potentiel des charges extérieures.

"Parmi les configurations admissibles d'un système conservateur, celle qui satisfait les équations

d'équilibre rend l'énergie potentielle stationnaire par rapport à de petites variations admissibles des

déplacements."

L'état d'équilibre est donc obtenu en posant: 0 = W d - U d = dπ (7.3)

7.3.1 Énergie de déformation interne

Sous forme matricielle, si les contraintes sont données par:

{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0 0E Eσ ε ε σ= − + (7.4)

où [ E ] ... matrice d'élasticité. (Relations contrainte-déformation)

{ ε } ... déformations élastiques ou "mécaniques" du système.


7-5

{ εo } ... déformations initiales. (par exemple, les dilatations thermiques α ∆T)

{ σo } ... contraintes initiales.

alors, l'énergie de déformation prend la forme suivante:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { }( )10 02

T T T

VU E E dVε ε ε ε ε σ= − +∫ (7.5)

Nous devons nous souvenir ici que la première variation de l'énergie potentielle doit être prise par

rapport aux déplacements. Dans l'équation précédente, la déformation totale { εεεε } est le seul paramètre

qui est fonction des déplacements.

7.3.2 Potentiel des charges extérieures

1 1

n m

x y z x y z i i j jV Si j

W uF vF wF dV uT vT wT dS P Mδ θ= =

= + + + + + + + ∑ ∑∫ ∫ (7.6)

où les Fi représentent des forces massiques, les Ti des forces de surface, Pi des forces ponctuelles et Mj

des moments ponctuels.

7.3.3 Application à la méthode des éléments finis

En éléments finis, les fonctions de déplacements sont définies par leurs valeurs nodales que nous

appelons les degrés de liberté {∆i } de l'élément. C'est donc par rapport à ces degrés de liberté que nous

prendrons la première variation de l'énergie potentielle.

0=∆∆∂

∂∆

∆∂∂

∆∆∂

∂∑ i

i

n

1 = i2

21

1

d = ... + d + d = dππππ (7.7)

Comme les degrés de liberté peuvent varier indépendamment les uns des autres, il faut donc:


7-6

0 = = ... = = i21 ∆∂

∂∆∂

∂∆∂

∂ πππ (7.8)

Nous obtenons ainsi une équation pour chacun des degrés de liberté de l'élément.

La forme quadratique

Après l'intégration sur le volume d'un élément, l'énergie potentielle prendra la forme suivante:

{ } [ ] { } { } { } { } { }T T Ti i 1 i 2i = 1/2 K - - - etcF Fπ ∆∆ ∆ ∆ (7.9)

Le premier membre de droite est appelé forme quadratique. En utilisant la méthode matricielle, la

première variation de l'énergie potentielle par rapport au vecteur des degrés de liberté est donnée par:

{ } [ ] { } { } { }1 .i 2i

= K - F - - etc = 0F

π∂∆∂ ∆

(7.10)

ou encore: { } { } [ ] { } K = etc + F + F i21 ∆

7.4 Éléments de barre et de poutre

7.4.1 Éléments de barre [4]

Une barre est un élément de structure dont les dimensions transversales sont petites par rapport à la

longueur et qui ne travaille qu'en traction-compression le long de son axe, ce qui la différencie de la

poutre. La section, généralement constante, peut néanmoins évoluer lentement en forme et en taille le

long de l'élément. Les barres sont utilisées pour la modélisation des structures articulées car, ne

reprenant ni moments ni efforts tranchants, elles sont naturellement rotulées à leurs deux extrémités.

Elles peuvent être considérées comme des poutres particulières. La barre est un élément à définition

linéique, dont la topologie peut être définie par des mailleurs automatiques linéiques, seule la fibre

neutre de l'élément (ligne passant par le centre de gravité de toutes les sections droites) est définie.

Bien que de géométrie uni-directionnelle, les barres sont employées dans des modélisations bi ou tri-

dimensionnelles. Elles peuvent être utilisées comme des jauges de déformation, permettant de lire la

déformation ou la contrainte sur le bord d'un élément bi ou tri-dimensionnel. N'ayant de raideur que

selon leur axe, elles peuvent également être utilisées comme des ressorts à condition que ceux-ci aient

une longueur non nulle ou supposée telle : il suffit d'ajuster les paramètres E, A et L (k = EA/L).


7-7

Les déformations dans la section d'une barre soumise à un effort axial, induites par l'effet de Poisson, ne

sont pas prises en compte. C'est pour cette raison qu'il n'est pas nécessaire de donner le coefficient de

Poisson pour caractériser le matériau constitutif d'une barre. La contrainte et la déformation sont uni-

axiales dans le repère propre de l'élément, reliées par le module de Young (σ = E ε).

Contrairement aux autres éléments finis, découper une barre physique en plusieurs éléments finis de

barre n'améliore pas la convergence vers la solution, bien au contraire. Une barre physique se modélise

par un seul élément fini de barre. Il ne faut pas raffiner le maillage car de ce fait, on introduit une

succession de rotules (ou de charnières pour les problèmes plans) entre les éléments: le programme

détecte et bloque ces pivots nuls, dénaturant ainsi le problème et la solution.

7.4.2 Éléments de poutre [4]

La poutre, tout comme la barre, est un élément de structure dont les dimensions transversales sont

généralement petites par rapport à la longueur. La section, souvent constante (la poutre est alors dite

prismatique), peut évoluer lentement et continûment en forme et en dimension. La fibre neutre,

souvent rectiligne, est la ligne qui passe par le centre de gravité de toutes les sections droites de la

poutre. La poutre est l'élément de base en Résistance Des Matériaux et est très utilisée en construction

mécanique, soit seule dans un treillis plan ou spatial, soit comme raidisseur dans les structures à

panneaux minces. La poutre est susceptible de reprendre les efforts et les moments dans toutes les

directions, ce qui la différencie de la barre qui ne travaille qu'en traction-compression selon son axe.

C'est un élément à définition linéique, qui n'est décrit que par sa fibre neutre et dont la topologie peut

être définie par des mailleurs automatiques linéiques. Le profil d'une poutre (topologie d'une section

droite quelconque) n'est pas décrit géométriquement, sauf cas particulier dans certains codes de calcul ;

il est caractérisé par ses axes d'inertie et les moments d'inertie. Il est donc nécessaire de compléter la

définition de la fibre neutre par l'orientation de la section autour de la fibre neutre de manière à calculer

correctement la raideur de la poutre en positionnant les axes principaux d'inertie du profil et en

introduisant les moments d'inertie. Les axes propres x, y et z de la poutre peuvent ne pas être

confondus avec les axes principaux d'inertie de la poutre IY, et IZ : c'est par exemple le cas pour les

cornières de section en L.

Contrairement à l'élément de barre, le coefficient de Poisson du matériau constitutif de la poutre est

nécessaire car il sert à déterminer sa rigidité torsionnelle et l'énergie de cisaillement dans le cas où elle


7-8

est déformable à l'effort tranchant. Outre la topologie, il faut obligatoirement fournir à un programme

d'analyse linéaire les caractéristiques suivantes:

• module de Young,

• coefficient de Poisson ou module de cisaillement,

• section,

• orientation des axes principaux d'inertie du profil,

• constante de torsion et moments quadratiques de flexion.

Pour des poutres déformables à l'effort tranchant (L < 20 h), il faut en outre donner les sections réduites

(aires effectives) dans le repère principal d'inertie pour déterminer l'énergie de cisaillement.

7.4.3 Matrices de rigidité

La membrure droite est le seul élément pour lequel nous pouvons déterminer les matrices de rigidité en

utilisant les méthodes classiques de la résistance des matériaux, et en particulier le théorème de

Castigliano. Nous ne reviendrons pas ici sur ces méthodes. Seules les matrices de rigidité relatives aux

différents modes de chargement sont données.

Traction et compression

u

u

11-

1-1

L

E A =

F

F

2

1

x2

x1 (7.11)


7-9

Figure 7.1


7-10

Torsion

11-

1-1

L

JG =

M

M

x

x

x2

x1

θ

θ

2

1 (7.12)

Flexion dans le plan X-Y

1

2

y1 1

2 2y yz1 zz

3y2 2y

2 2z2 zy y

12 6L -12 6L vF6L -6L(4 + ) (2 + ) L LE M I = -12 -6L 12 -6L (1 + ) vF L

6L -6L(2 + ) (4 + ) M L L

φ φ θφ

φ φ θ

(7.13)

où y2sy

zy k

L AG I E 12

= ×φ

Flexion dans le plan X-Z

1

2

z1 1

2 2y1 yy z z

3z2 2z

2 2y2 yz z

12 -6L -12 -6L wF

-6L 6L(4 + ) (2 - ) E M L LI =

-12 6L 12 6L (1 + ) wF L

-6L 6L(2 - ) (4 + ) M L L

φ φ θφ

φ φ θ

(7.14)

Figure 7.2

Figure 7.3


7-11

où z2sz

y

z kL AG I E 12

= ×φ

φy et φz effet du cisaillement transversal (effort tranchant) selon y et z. Il devient négligeable

lorsque L >> h, h représentant la hauteur de la poutre.

ky et kz coefficients de section réduite pour le calcul des déformations de cisaillement selon les

axes y et z.

Asy et Asz aires effectives en cisaillement selon les axes y et z.

Figure 7.4


7-12

Matrice de rigidité de la poutre (12 degrés de liberté) (7.15)

Figure 7.5


7-13

7.5 Les éléments membrane

7.5.1 Introduction [4]

Une membrane est une structure plane dont une dimension est très petite par rapport aux deux autres

et qui n'est sollicitée que par des charges dans son plan lorsqu'elle est bidimensionnelle. Les

membranes peuvent en effet être soit bidimensionnelles soit tridimensionnelles, mais dans le repère

propre attaché à chaque élément, le comportement mécanique est de l'état plan de contrainte. Une

sphère mince sous pression interne peut être modélisée par un ensemble de facettes planes, chaque

facette pouvant n'être soumise, selon les conditions aux limites, qu'à des efforts plans…. Dans la

pratique, on préfère utiliser des coques dans l'espace et on réserve les membranes pour des modèles

géométriquement bidimensionnels….. On se limitera dans ce chapitre aux éléments de membranes

bidimensionnelles.

Par définition, les membranes n'ont pas de raideur transversale. L'épaisseur e est toujours dirigée selon

l'axe z. Le plan de symétrie situé à mi-épaisseur est conventionnellement le plan xOy et porte le nom de

feuillet moyen. Il n'y a aucune charge transversale sur la membrane donc la contrainte σz, est nulle sur

ses peaux et en tout point intérieur. Aucun effort tranchant n'est appliqué perpendiculairement au plan

de la membrane donc les contraintes τxz et τyz sont nulles. Aucun moment ne peut être appliqué autour

d'un axe quelconque du plan, car cela engendrerait des contraintes τxz et τyz et un déplacement

transversal perpendiculaire au feuillet moyen, contraire aux hypothèses de membrane. Par contre, la

déformation εZ, est non nulle. Elle correspond à la variation relative d'épaisseur de la membrane sous la

charge appliquée (effet de Poisson).

Figure 7.6 - Feuillet moyen et axes d'une membrane


7-14

Une caractéristique du comportement membranaire est la symétrie du champ de contrainte par rapport

au feuillet moyen : sous l'action d'une charge dans le plan, la contrainte est uniformément répartie dans

l'épaisseur


7-15

Figure 7.7 - Contraintes dans l'épaisseur de la membrane

La membrane est un élément de l'élasticité bidimensionnelle à définition surfacique, seul est décrit son

feuillet moyen. Outre la topologie, il faut obligatoirement fournir à un programme d'analyse linéaire,

pour un matériau isotrope, les caractéristiques suivantes :

• Module de Young,

• Coefficient de Poisson,

• Épaisseur.

Masse volumique, coefficient de dilatation thermique ne sont nécessaires que pour certains types de

calculs : analyse modale, réponse dynamique, calcul statique sous chargement thermique.

7.5.2 Les principaux éléments membrane [4]

Il existe généralement deux éléments de membrane, un triangulaire et un quadrangulaire, définis

conventionnellement dans le plan xOy (voir Figure 7.8). Au premier degré, ces éléments ont des bords

géométriquement rectilignes. Chaque noeud possède deux degrés de liberté de translation dans le plan,

notés u et v. Le triangle est topologiquement défini par 3 noeuds et a 6 degrés de liberté. Le quadrangle

est topologiquement défini par 4 noeuds et a 8 degrés de liberté. Ces éléments sont en général

sensiblement trop raides et il en faut un grand nombre pour converger vers la solution attendue. Il

existe néanmoins dans certains codes des éléments « extérieurement » du premier degré, à bords

rectilignes, mais qui, de par leur construction (intégration sélective du cisaillement), donnent

d'excellents résultats.


7-16

Les membranes sont souvent disponibles au second degré. Le degré des champs de déplacement est

enrichi par l'adjonction d'un noeud supplémentaire sur chaque bord. C'est le noeud milieu qui possède

lui aussi les deux degrés de liberté de translation dans le plan u et v. Il devient alors possible de prendre

en compte la courbure géométrique de l'élément. Le triangle est défini par 6 noeuds et 12 degrés de

liberté, le quadrangle par 8 noeuds et 16 degrés de liberté (Figure 7.8). Ces éléments sont plus souples

que ceux du premier degré et le raffinement du maillage peut parfois sembler grossier bien que la

solution soit numériquement satisfaisante.

Figure 7.8 - Éléments membranes linéaires et quadratiques

Triangles ou quadrangles ?


7-17

Les éléments triangulaires ont une « mauvaise réputation » bien qu'ils présentent un certain nombre

d'avantages par rapport aux quadrangles. N'importe quelle surface plane ou non, avec ou sans trou,

peut être maillée sans trop de problèmes avec des éléments triangulaires ce qu'il n'est pas toujours

possible ou facile de réaliser avec les autres types d'éléments. Cependant, à nombre égal de degrés de

liberté, les quadrangles convergent plus vite vers la solution et les limitations informatiques d'il y a

quelques années ont forgé leur réputation. Il est vrai que couper un quadrangle du premier degré selon

une de ses diagonales et le remplacer par deux triangles du premier degré n'augmente pas la taille du

modèle mais le modifie de plusieurs façons. En pratique, on ne procède jamais de cette façon : quand

un maillage comporte des quadrangles, on les garde.


7-18

7.5.3 Les états plans

Considérons une plaque, plus ou moins épaisse, dans un système de coordonnées cartésien ayant son axe Z

perpendiculaire au plan de la plaque (sens de l'épaisseur). Si toutes les charges agissent dans le plan XY de la

plaque et sont uniformément réparties sur l'épaisseur de la plaque, nous aurons:

y) (x, v = v y) (x,u =u

y) (x, = y) (x, = y) (x, = xyxyyyxx ττσσσσ

Relations déformations-déplacements

x

x

y y

xy

xy

u u =

x x v v

= = y y

u v u v = + +

y x y x

εε

ε εγ

γ

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

(7.16)

Selon les possibilités de la déformation εz dans le sens de l'épaisseur de la plaque (déformation due à l'effet

de Poisson), nous pouvons obtenir la solution d'un problème selon l'une ou l'autre des deux hypothèses

suivantes.

7.5.3.1 État plan de contrainte

Hypothèse: 0 = = = zyzxz ττσ (7.17)

- Les contraintes pouvant agir sur n'importe lequel des plans XY de la plaque sont nulles.

- Selon cette hypothèse, il ne doit y avoir absolument aucune restriction à la déformation εz due à l'effet

de Poisson (sens de l'épaisseur de la plaque). Autrement σz serait différent de zéro.


7-19

- Cette hypothèse s'applique principalement aux plaques minces et elle demeure valide dans le cas

d'une plaque épaisse lorsque les gradients de contraintes agissant dans le plan XY sont faibles.


7-20

Relations entre les contraintes et les déformations

1( - ) 1 - 0

1- 1 01

( - )0 0 2 (1 ) 0

2 (1 )

x x yx x

y yy y x

xyxy

xyxyxy

T E T

T E E

G E

ν αε σ σ ν αε σν αε σν αε σ σ νγ τ

ντγ τ

= + ∆ = + ∆ = + ∆ +

+= = { } [ ]{ } { } C Tε σ α= + ∆

(7.18)

En posant -1[ ] [ ] E C= (7.19)

Alors { } [ ] { } - [ ] { } E E Tσ ε α= ∆ (7.20)

où 2

12

1 0

[ ] 1 01 -

0 0 (1 - )

E

E

νν

ν ν

=

(7.21)

7.5.3.2 État plan de déformation

Hypothèse: 0z zx zy γ γε = = = (7.22)

- Les déformations dues à l'effet de Poisson dans le sens de l'épaisseur de la plaque sont totalement

bloquées.

Il existe en pratique des cas où nous retrouvons cette condition εz = 0. Par exemple, dans une plaque plus

ou moins épaisse même s'il n'existe aucun mécanisme apparent pour bloquer cette déformation, la

déformation de Poisson peut être bloquée plus ou moins complètement par le matériel adjacent lorsque le

gradient de (σx + σy) est très élevé.

Relations entre les contraintes et les déformations


7-21

Avec εz = 0, nous avons:

1[ - ( )] 0 ( )z z x y z x y T donc E T

Eν α ν αε σ σ σ σ σ σ= + + ∆ = = + − ∆

En remplaçant cette valeur de σz dans les relations contraintes-déformations du cas général, nous

obtenons:

( ) ( )

( ) ( )

( )

11 - 1

11 - 1

2 (1 )

1 - 01

- 1 0 1

0 0 2

x yx

y xy

xyxyxy

x x

y y

xyxy

TE

T E

G E

E

ν ν σ ν ν αε σ

ν ν σ ν ν αε σ

ντγ τ

ν ν αε σν ν ν νε σ

γ τ

+ = − + + ∆

+ = − + + ∆

+= =

− + = − + +

( )

0

{ } [ ]{ } 1 { }

T

C T

α

ε σ ν α

∆

= + + ∆

(7.23)

En posant -1[ ] [ ] E C=

alors { } [ ] { } - (1 ) [ ] { } E E Tσ ε ν α= + ∆


7-22

où

12

1 - 0

[ ] 1 - 0(1 ) (1 - 2 )

0 0 (1 - 2 )

E

E

ν νν ν

ν νν

= +

(7.24)

Remarque: Nous pouvons obtenir la solution d'un l'état plan de déformation en utilisant celle d'un état

plan de contrainte si nous modifions les constantes élastiques de la façon suivante:

* **2

(1 )1 - 1 -

E E

ν α νν ανν= = = + (7.25)

7.5.4 Énergie de déformation

10 02 { [ ] { } - { [ ] { } { { }} } }T T T

V V VU E dV E dV dVε ε ε εε σ= +∫ ∫ ∫ (7.5)

Fonctions de déplacement et critères de convergence

En remplaçant les déformations { ε } dans l'équations (7.5) par les équations (7.16) nous obtenons des

dérivées premières sous l'intégrale de l'énergie de déformation. Pour obtenir des éléments convergents,

seule la continuité des fonctions de déplacement est donc nécessaire. Pour obtenir la continuité des

déplacements entre les éléments les seuls degrés de liberté nécessaires aux noeuds sont les valeurs nodales

des deux fonctions de déplacement u(x, y) et v(x, y).

{ }{ }

1 2 3

1 2 3

( , ) [ ... ] { }

( , ) [ ... ] { }

ii i

i i i

u u uN N N u N

v v N N N v N v

ξ ηξ η

= → = = (7.26)

Encore une fois, les seuls degrés de liberté actifs aux noeuds d'un élément membrane sont les translations

Tx (ui) et Ty (vi).

Énergie de déformation

En utilisant les équations (7.16) et (7.26) nous obtenons le vecteur déformation.


7-23

{ } { }{ }

,

,

, ,

/ 0

/ 0

/ /

{ } [ ] { }

x i xi

y i y

ii y i xxy

i

u x Nu

v y Nvu y v x N N

N

εε ε

γ

ε

∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

′= ∆

(7.27)

Nous pouvons définir la température de l'élément de la même façon que nous avons défini ses fonctions de

déplacement, soit par le produit des fonctions de forme de l'élément et des valeurs nodales de la

température.

( ) ( )[ ] { } T ηξ,N ηξ,T ii=

Ainsi les déformations thermiques de l'élément seront données par:

} T{ η),(ξ N } α { η),(ξ T } α { = } ε { ii0 = (7.28)

En remplaçant les équations (7.27) et (7.28) dans l'expression de l'énergie de déformation (7.5) et en

l’absence de contraintes initiales {σo} nous obtenons:

[ ] [ ]

102

12

{ [ ] { } - { [ ] { } } }

{ { } - { } } [ ] [ ] [ { } [ ] ]

T T

V V

T T TT

iV V

K

U E dV E dV

U N E N dV N E N

ε ε ε ε

α

= ∫ ∫

= ∆ ∆ ∆′ ′ ′∫ ∫1444442444443

{ }i

Q

TdV

1444442444443

12

{ [ ] { } - { [ ] { }} }T T

iU K Q T= ∆ ∆ ∆ (7.29)


7-24

7.5.5 Potentiel des charges

7.5.5.1 Charges massiques et matrice de masse [M]

Les forces massiques d'inertie sont données par le produit de la masse spécifique "ρ" du matériau et de

l'accélération. Elles s'opposent à l'accélération. Le potentiel de ces forces est donc:

- oùe m mV V D F dV D D dV F DW ρ ρ= = = −∫ ∫

r rr r r r&& &&o o (7.30)

Dans un élément membrane, les deux composantes du vecteur déplacement sont définies par l'équation

(7.26). De plus, nous pouvons définir l'accélération de la même façon que les déplacements, soit par le

produit des fonctions de forme et des valeurs nodales de l'accélération.

{ }{ }

ii

i i

0 u ( , ) u ND = =

0v ( , ) N v

ξ ηξ η

r (7.31)

{ }{ }

ix im

y i i

0 u ( , ) u F N = = - D = - = - F 0v ( , )F N v

ξ ηρ ρ ρ

ξ η

r && &&r &&&& &&

En remplaçant les équations (7.31) dans (7.30) nous obtenons:

{ } { } [ ][ ]

{ }{ }

TiT T i i

e i i TVi ii

0 0 u N N = - u v dV W

00 N vNρ

∫

&&

&&

T = - { ∆ [ M ] { ∆ }}e i iW && (7.32)

où [M] est la matrice masse.

7.5.5.2 Charges visqueuses et matrice d'amortissement [C]


7-25

Comme dans le cas précédent, il est toujours possible, mathématiquement, de définir des forces visqueuses

qui s'opposeraient à la vitesse. Ces forces seraient données par le produit d'un coefficient de viscosité

interne "c" du matériau par la vitesse. La vitesse pourrait être définie, comme les déplacements et les

accélérations, par le produit des fonctions de forme de l'élément et des vitesses nodales.

{ }{ }

0( , )

0( , )

e vV V

ix iv

y i i

D dV c D D dVW F

u u F N c c F v F N v

ξ ηξ η

= = −∫ ∫

= = − = −

rr rr &o o

& &r

& &

(7.33)

En procédant ainsi, le potentiel de ces forces visqueuses serait donnée par:

- { [ ] { }} Te i i C W = ∆ ∆& (7.34)

Cette approche n'est cependant pas très réaliste. Premièrement, le coefficient de viscosité interne n'existe

pas et l'amortissement n'est pas nécessairement visqueux. L'amortissement est le résultat d'une dissipation

d'énergie qui fait intervenir plusieurs mécanismes complexes. Lorsque nous étudierons les méthodes de

résolution des problèmes dynamiques au chapitre 8 nous verrons comment considérer, de façon pratique,

l'amortissement d'une structure.

Note : Attention de ne pas confondre la matrice d’amortissement [C] de l’équation (7.34) et les matrices de

flexibilité [C] que l’on retrouve dans les équations (7.18) et (7.23).

7.5.5.3 Potentiel des charges concentrées sur les noeuds d'un élément

Le potentiel des forces concentrées sur les noeuds d'un élément est donné par:

{ } { }{ }{ }1 1 1

{ { }}

n n nxiT T

xi yie i ik i ikk i i yi

Te i i

F u v W u vF FF

F

F W

δ= = =

= = + =

= ∆

∑ ∑ ∑r r

o

(7.35)

Tous les autres types de forces mécaniques donneront aussi un potentiel identique à l'équation (7.35).


7-26

7.5.6 Énergie potentielle (Équation du mouvement)

En remplaçant les équations (7.29), (7.32), (7.34) et (7.35) dans l'équation (7.5) nous obtenons l'énergie

potentielle de l'élément. L'énergie potentielle d'un maillage est la somme de l'énergie potentielle de chacun

de ses éléments. Cette énergie potentielle est donnée par:

eU WΠ = −

12 { [ ] { }-{ [ ] { } { [ ] { } { [ ] { }-{ { }} } } } }T T T T T

i meci i i i i i i i K Q M C T Fπ = ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆&& & (7.36)

L'état d'équilibre est obtenu lorsque, en faisant varier les degrés de liberté, l'énergie potentielle du maillage

devient stationnaire.

[ ] { } - [ ] { } [ ] { } [ ] { } -{ } 0{ }

[ ] { } [ ] { } [ ] { } { } [ ]

i meci i i

meci i i

K Q M C T F

M C K Q F

π∂ = ∆ + ∆ + ∆ =∂ ∆

∆ + ∆ + ∆ = +

&& &

&& & { }i T

(7.37)

7.5.7 Remarque sur l'intégration

Les expressions que nous avons sous les intégrales des matrices [ K ] et [ M ] sont complexes et

généralement les intégrales sont effectuées en utilisant la méthode d'intégration numérique de GAUSS.

Avec "n" points d'intégration, cette méthode intègre exactement un polynôme de degré (2n - 1). Lorsque

nous intégrons les expressions des matrices [ K ] et [ M ] il est possible d'obtenir des intégrations exactes en

utilisant un nombre suffisant de points d'intégration. Cependant, les éléments ainsi obtenus sont souvent

"trop" rigides ou encore possèdent des comportements sous certaines charges qui sont indésirables.

Afin d'améliorer le comportement de leurs produits, les sociétés commerciales qui développent et

maintiennent des logiciels d'éléments finis ont généralement recourt à l'intégration réduite. Certains termes

des matrices sont intégrés en utilisant moins de points d'intégration que le nombre nécessaire pour obtenir

une intégration exacte. Les éléments ainsi obtenus sont plus flexibles et possèdent des comportements plus

désirables.


7-27

Les algorithmes d'intégration réduite utilisés par les sociétés commerciales sont habituellement

confidentiels. Même si les algorithmes utilisés étaient connus, le comportement d'un élément sous

certaines charges serait très difficile à prévoir théoriquement. Lorsque nous utilisons un logiciel d'éléments

finis pour la première fois, il est donc fortement recommandé d'effectuer des essais numériques avec les

éléments utilisés, particulièrement si nous prévoyons des gradients de contraintes sévères. Ces essais

peuvent être effectués sur des problèmes possédant une solution connue, par exemple, des poutres de

section rectangulaire avec un rapport longueur/profondeur très faible soumises à de la flexion avec et sans

cisaillement.

7.5.8 Remarques sur la forme géométrique des élémen ts

Pour éviter divers problèmes et obtenir de bons résultats lors d'une analyse, les règles suivantes

devraient être respectées. La forme géométrique de l'élément quadrilatéral devrait tendre vers celle du

carré et l'élément triangulaire vers celle du triangle équilatéral. De plus, l'angle au sommet d'un élément

doit toujours être inférieur à 180°. Dans un élément isoparamétrique (quadratique) l'angle de l'arc

circulaire, définie par les trois noeuds le long d'un côté, devrait être inférieur à 45°. Finalement, le noeud

situé le long du côté (arête) d'un élément isoparamétrique devrait être, si possible, en plein centre du

côté. Sa distance maximale du centre du côté ne devrait jamais dépasser le quart de la longueur du côté.

Lorsque cette distance est égale au tiers de la longueur du côté, le sommet voisin devient un point de

singularité.

Les figures Figure 7.9 et Figure 7.10 décrivent les distorsions d'élément qui réduisent la précision des

résultats obtenus. Il est à noter que les distorsions présentées s'appliquent également aux éléments 3D.

Figure 7.9 – Limites géométriques des éléments isoparamétriques quadratiques : (a) α < 180°;

(b) le nœud d’arête doit se situer à ± L/4 du centre de l’arête; (c) β ≤ 45°


7-28

Figure 7.10 – Distorsion des éléments qui réduisent la précision des résultats

7.5.9 Erreurs communes de maillage

Lorsqu'on utilise dans un modèle d'éléments finis un mélange d'éléments linéaires et quadratiques, il

faut porter une attention toute particulière à la compatibilité des déplacements sur les côtés ou faces

inter-éléments. La première (Figure 7.11) des trois figures qui suivent, illustre la bonne façon de

connecter les éléments. Les figures Figure 7.12 et Figure 7.13 montrent des exemples d'incompatibilité

dans les connexions inter-éléments.


7-29

Figure 7.11 – Façon correcte de combiner les éléments : faire coïncider les nœuds de sommet et d’arête

et garder le même nombre de nœuds d’arête pour les éléments adjacents.

Figure 7.12 – Exemples de combinaisons d’éléments différents qui détruisent la continuité des

déplacements le long des arêtes.

LST : élément triangulaire quadratique à 6 noeuds; CST: él. triangulaire linéaire à 4 noeuds; Q4: él.

quadrangle linéaire à 4 noeuds ; Q6 él. quadrangle à 4 nœuds utilisant des fonctions d'interpolation qui

éliminent l'effet du verrouillage en cisaillement; Q8 él. quadrangle quadratique à 8 noeuds.

Figure 7.13 – Autres exemples de (mauvaises) connections qui détruisent la continuité des

déplacements.


7-30


7-31

7.6 Plaques en flexion

7.6.1 Introduction

Une plaque en flexion est un corps à trois dimensions, mais dont l'épaisseur est faible par rapport aux deux

autres dimensions. Elle supporte des charges perpendiculaires à sa surface ou des moments de flexion

autour des axes qui sont parallèles à sa surface.

Figure 7.14

La Figure 7.14 illustre une plaque avec les contraintes qu'elle doit supporter. De façon analogue à une

poutre, il existe dans la plaque en flexion un feuillet moyen ou plan neutre. Sur la Figure 7.14 (a) les axes x

et y passent par le feuillet moyen et l'axe z lui est perpendiculaire. Par définition les composantes de

contraintes σx, σy et τxy sont nulles au feuillet moyen.

La Figure 7.14(b) illustre les efforts résultant associés aux composantes de contrainte. Par convention, les

indices associés aux efforts résultants sont les mêmes que ceux des composantes de contraintes produites

par ces efforts. Les efforts positifs produisent des composantes de contrainte positives au-dessus du

feuillet moyen. Ainsi, le moment Mxx est la résultante de la composante de contrainte σx, Myy celle de la

a) b)


7-32

contrainte σy et Mxy la résultante de τxy. Les moments résultant Mxx et Myy sont des moments de flexion

tandis que le moment résultant Mxy est appelé moment de torsion parce qu'il provoque une torsion de la

plaque. Les résultantes Qx et Qy sont les efforts tranchants qui sont respectivement responsables des

contraintes de cisaillement transversales τxz et τyz. Le cisaillement transversal est habituellement

négligeable dans une plaque mince mais devient très important dans une plaque épaisse ou une plaque

sandwich.

7.6.2 Hypothèses simplificatrices de la théorie des plaques

1) Les sections transversales planes avant déformation, demeurent planes après déformation.

- Selon la théorie de Kirchoff, qui néglige le cisaillement transversal, elles demeurent aussi

perpendiculaires au feuillet moyen.

- Selon la théorie de Mindlin, qui considère les effets moyens du cisaillement transversal, les

sections planes demeurent planes mais pas nécessairement perpendiculaires au feuillet

moyen.

2) Les pentes du feuillet moyen sont petites. Cette hypothèse nous conduit à une simplification

importante qui rend le problème géométriquement linéaire. La courbure de la plaque peut ainsi

être donnée approximativement par la dérivée seconde de la flèche.

2

22

3 22x 2

w1 wx =

xw

1 + x

ρ

∂∂∂ ≈∂ ∂

∂

(7.38)

3) La composante de contrainte σz = 0. Elle est négligeable par rapport aux autres composantes.

4) Le feuillet moyen ne subit aucune déformation normale et les déplacements u et v sont nuls.


7-33

x y z

u(x, y,z) = v(x, y,z) = 0

z = 0

= = = 0ε ε ε

(7.39)

Cette hypothèse est toujours valide lorsque la déflexion w de la plaque est égale ou inférieure à

l'épaisseur t de la plaque. Lorsque la déflexion est plus grande que l'épaisseur de la plaque, cette

hypothèse demeure valide si l'hypothèse 2 est valide et si les deux rayons de courbure principaux sont

de même signe. Dans le cas contraire, la plaque prend la forme d'une selle de cheval et des effets

membranes secondaires sont créés. Ces effets membranes qui résultent de la déformation de la plaque

ne sont pas linéaires et sont négligés par la théorie des plaques.

7.6.3 Fonctions de déplacement d'une plaque

La Figure 7.15 illustre les trois composantes de déplacement des points de la plaque. La composante de

déplacement w (selon z) représente la déflexion au feuillet moyen de la plaque et elle est fonction

uniquement de x et de y. Selon l'hypothèse 4, les déplacements u et v sont nuls au feuillet moyen et

selon l'hypothèse 1, les sections demeurent planes après déformation. Les déplacements u et v varient

donc linéairement sur l'épaisseur de la plaque et dépendent de la coordonnée z et des rotations θx et θy

au feuillet moyen. Nous avons:

Figure 7.15

y

x

w (x, y) 0

u(x, y,z) = z (x, y)

v(x, y,z) = z (x, y)

θ

θ

≠

+

−

(7.40)


7-34

7.6.4 Théorie de KIRCHOFF (Théorie des plaques minc es)

Les sections planes avant déformation, demeurent planes et perpendiculaires au feuillet moyen de la

plaque après déformation (Figure 7.16). Nous avons donc:

x

y

2

x 2

2

y 2

2

xy

xz

yz

w(x, y) 0w

= y

w u(x, y,z) = z

xw

= x

wv(x, y,z) = z

y

u w = = z

x xv w

= = z y y

u v w = + = 2z

y x x y

u w = + = 0

z x

θ

θ

ε

ε

γ

γ

γ

≠∂

∂ ∂ − ∂∂−

∂ ∂−∂

∂ ∂−∂ ∂∂ ∂−∂ ∂

∂ ∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂v w

= + = 0z y

∂ ∂∂ ∂

(7.41)

Figure 7.16


7-35

Il est à noter que les composantes de déformation γxz et γyz sont nulles et que le cisaillement transversal

(selon z) est complètement négligé. Nous devons aussi souligner que le seul paramètre indépendant du

problème est la déflexion w(x,y). En effet, les déplacements et les déformations (contraintes) sont

entièrement définis par w(x,y) et par ses dérivées.

Critères de convergence

Reprenons l'expression de l'énergie de déformation:

1

2{ [ ] { }} T

VU E dVε ε= ∫

Sous l'intégrale du résidu, nous avons ici des dérivées secondes de la déflexion w(x,y).

- Pour avoir la possibilité d'une représentation constante de la fonction w(x,y), de ses dérivées

premières et de ses dérivées secondes, la fonction w(x,y) devra nécessairement inclure les termes

suivants:

{ }2 2( , ) [1 ... ] iw x y x y xy etc ax y=

- De plus, nous devons avoir continuité de la fonction w(x,y) et de ses dérivées premières. Aux noeuds

de l'élément, la continuité est assurée si nous prenons les degrés de liberté suivants:

x

w =

y

w = w yixii ∂

∂−∂∂

θθ


7-36

7.6.5 Théorie de MINDLIN (Plaques avec cisaillement transversal)

Les sections planes avant déformation, demeurent planes mais pas nécessairement perpendiculaire

au feuillet moyen après déformation (Figure 7.17). Nous avons:


7-37

x

y

y

x

yx

xy

y xxy

xz

w(x, y) 0w

y

u(x, y,z) = z (x, y)

w

x v(x, y,z) = z (x, y)

u = = z

x xv

= = z y y

u v = + = z

y x y x

u =

θ

θ

θθ

θε

θε

θ θγ

γ

≠∂ ≠ ∂∂≠ −

∂ −

∂∂∂ ∂∂ ∂−∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂ ∂ ∂

∂y

xyz

w w + = +

z x xv w w

= + = z y y

θ

γ θ

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ −∂ ∂ ∂

(7.42)

Figure 7.17


7-38

Ici les composantes de déformation γxz et γyz ne sont pas nulles et nous considérons les effets du

cisaillement transversal. Nous observerons aussi que les rotations θx(x,y) et θy(x,y) sont complètement

indépendantes de la déflexion w(x,y). Le problème (déplacements, déformations et contraintes) est

défini par les trois paramètres indépendants w(x,y), θx(x,y) et θy(x,y).

Critères de convergence

Considérons l'expression de l'énergie de déformation: 1

2{ [ ] { }} T

VU E dVε ε= ∫

Sous l'intégrale du résidu, nous avons ici les dérivées premières des trois paramètres indépendants

suivants:

w(x,y) θx(x,y) et θy(x,y).

La représentation constante exige les termes suivants pour les trois fonctions indépendantes :

{ }{ }{ }

( , ) [ 1 ... ]

( , ) [ 1 ... ]

( , ) [ 1 ... ]

i

x i

y i

w x y x y etc a

x y x y etc b

x y x y etc c

θθ

=

=

=

De plus, les trois fonctions indépendantes doivent êtres continues. Cette exigence est assurée si nous

avons aux noeuds de l'élément les degrés de liberté suivants:

θθ yixii w

Nous remarquerons que les degrés de liberté sont les mêmes pour les deux théories.


7-39

7.6.6 Contraintes

Puisque σz = 0 (composante négligeable par rapport à σx et σy) nous utiliserons les mêmes relations

contraintes-déformations que pour l'état plan de contrainte. Pour l'élément plaque de Kirchoff et celui

de Mindlin nous aurons:

2

12

1 0

1 0(1 - )

0 0 (1- )

x x

y y

xy xy

E

νσ ε

νσ εν

ν γτ

=

(7.43)

ou encore { } [ ]{ } E σ ε= (7.44)

Pour la plaque de Mindlin, nous aurons en plus:

1 0

2 (1 ) 0 1

xz xz

yz yz

E

γτν γτ

= +

(7.45)

ou encore { } [ ] { } G τ γ= (7.46)

7.6.7 Remarques sur les théories de Kirchoff et de Mindlin

Dans une plaque sandwich ou encore dans une plaque très épaisse, le cisaillement transversal est

important et l'analyse devrait être basée sur la théorie de Mindlin.

Dans les cas où le cisaillement transversal est faible ou négligeable, la théorie de Kirchoff donne de

meilleurs résultats. En effet, sous ces conditions, l'élément de Mindlin peut devenir très rigide et même

se "verrouiller" sur le cisaillement. Dans les logiciels d'éléments finis on utilise différentes méthodes

pour combattre cette tendance, entre autres des techniques d'intégration réduite pour l'énergie de

déformation.


7-40

7.7 Les coques

- Les coques forment dans l'espace des surfaces courbes. Elle sont minces par rapport à leurs autres

dimensions.

- La géométrie est définie par l'épaisseur de la paroi et par la forme du feuillet moyen. La forme

géométrique du feuillet moyen est définie par deux rayons de courbure principaux mesurés

perpendiculairement au feuillet moyen et mutuellement perpendiculaire l'un à l'autre.

- En général les coques supportent les charges externes principalement par effet membrane.

Cependant, au voisinage des discontinuités (charges concentrées, changements brusques de

géométrie) elles doivent aussi supporter des flexions qui peuvent être relativement élevées.

7.7.1 Éléments plats.

Pour résoudre les problèmes de coque nous pouvons utiliser des éléments plats qui peuvent être de

forme triangulaire ou quadrilatérale. L'élément de coque triangulaire est illustré sur la Figure 7.18 avec

ses degrés de liberté actifs.

Figure 7.18 – Éléments de coque triangulaire; à gauche l'effet membrane, à droite l'effet flexion


7-41

Effet membrane [ ]

vi

u K

i

m (7.47) Effet flexion [ ]

θ

θ

yi

xi

i

f

w

K (7.48)

Cet élément est simplement une superposition d'un élément membrane en état plan de contrainte ou

de déformation et d'un élément plaque (flexion) de type Kirchoff ou Mindlin. Comme l'élément est plat,

il n'y a aucun couplage entre l'effet membrane et l'effet flexion. La matrice de rigidité de l'élément de

coque triangulaire à la forme suivante.

[ ]{ }[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

{ } { }6 6 6 3 6 9

3 6 3 3 3 9

9 6 9 3 9 9

0 0

0 0 0

0 0

xii

yim i

zi zi

i zif

xi xi

yi yi

Fu

FK v

K M

w FKM

M

θ

θθ

× × ×

× × ×

× × ×

∆ = =

(7.49)

- Les sous-matrices [ Km ] et [ Kf ] sont entièrement découplées. Il n'y a pas de couplage au niveau de

l'élément entre l'effet membrane et l'effet flexion.

- L’élément coque plat est convergent et donne de bons résultats si l'angle entre deux éléments

adjacents est inférieur à 10°.

- Les degrés de liberté θzi peuvent être problématiques. Ces degrés de liberté sont souvent appelés

"perforants" (drilling).

Tous les logiciels permettent initialement à chacun des noeuds d'un maillage les 6 degrés de liberté

classiques ( Tx, Ty, Tz, θx, θy, θz ). Lorsque tous les éléments coque connectés à un noeud sont dans le

même plan, il n'y a aucune composante de rigidité pour θz à ce noeud. Ce D. de L. peut physiquement

tourner librement sur lui-même. Le noeud possède alors un mouvement rigide et la matrice est

singulière. Il existe plusieurs façons de contourner cette difficulté.


7-42

a) La méthode la plus efficace est simplement de fixer ou d'éliminer ce degré de liberté.

(Commandes SPC et MPC de Nastran)

b) Certains logiciels nous offrent la possibilité de remplacer la partition centrale de la matrice

assemblée (7.49) de l'élément de coque par (7.50):

1 1

2 2

3 3

z z

z z

z z

1.0 -0.5 -0.5 M

= E V -0.5 1.0 -0.5 M

-0.5 -0.5 1.0M

θ

α θ

θ

(7.50)

où V : volume de l'élément;

E : module d'élasticité

α. : nombre arbitraire < 0.3

Nous introduisons ainsi une rigidité artificielle pour les D. de L. θzi. Cette rigidité artificielle qui est

découplée des autres D. de L. actifs ne les affecte aucunement. De plus, cette rigidité artificielle permet

la rotation rigide de l'élément autour de z (Avec θz1 = θz2 = θz3 nous avons Mzi=0).

Les valeurs α, V et E sont introduites afin d'obtenir des termes de rigidité ayant le même ordre de

grandeur que ceux des autres D. de L de l’élément.

7.7.2 Éléments isoparamétriques

Une coque de géométrie quelconque peut être modélisée en utilisant l'élément solide à trois

dimensions illustré sur la Figure 7.19(a).

Cependant, même pour des coques épaisses, les trois noeuds distribués sur l'épaisseur de l'élément

possèdent beaucoup plus de D.L. (total de 9 D.L. par ligne verticale) que nécessaire pour modéliser le

comportement en épaisseur de la coque.


7-43

En enlevant le noeud central (Figure 7.19(b)) nous avons encore 6 D. de L. sur l'épaisseur, le

déplacement w3 est linéaire et ε3 = ∂w3/∂x3 = constante. Lorsque la coque est mince les termes de

rigidité associés à ε3 sont beaucoup plus grands que les autres termes et provoquent des difficultés

numériques.

Ces difficultés peuvent être évitées en contraignant les deux noeuds adjacents sur l'épaisseur à avoir le

même déplacement w3 (donc ε3 = 0). Il nous reste alors 5 D.L. actifs qui sont associés à chaque paire de

noeuds adjacents sur l'épaisseur. Ces 5 D.L. peuvent être remplacés par ceux d'un seul noeud situé au

feuillet moyen de la coque. Les D.L. sont alors les trois translations ainsi que les deux rotations agissant

dans le plan du feuillet moyen de la coque. L'élément qui en résulte est illustré sur la Figure 7.19(c). A

cause des trois noeuds le long de chacun de ses cotés, cet élément peut avoir une géométrie courbe et

nous l'appelons isoparamétrique.

Les cinq D. de L. de l’élément isoparamétrique définissent le mouvement d'une normale au feuillet

moyen. Cette normale demeure droite mais pas nécessairement perpendiculaire au feuillet moyen. Cet

élément peut être de type MINDLIN et considérer le cisaillement transversal γ31 et γ32. Les éléments de

ce type n'ont pas tous nécessairement 8 noeuds. Les éléments les plus populaires ont entre quatre et

neuf noeuds selon les fonctions de forme utilisées. Il est à noter que le D. de L. rotation perpendiculaire

au feuillet moyen est toujours absent dans cet élément.

Figure 7.19 – Éléments de coque isoparamétriques

.


7-44

7.7.2.1 Géométrie et déplacements

En utilisant les données géométriques il est possible de définir, à chacun des noeuds "i" de l'élément et

en fonction des axes cartésiens, trois vecteurs unitaires mutuellement perpendiculaires l'un à l'autre.

Les vecteurs unitaires n1i et n2i sont dans le plan du feuillet moyen et le vecteur n3i sera perpendiculaire

au feuillet moyen (Figure 7.20).

Les degrés de liberté rotation α1i et α2i sont respectivement dans les directions de n1i et n2i. Les

coordonnées cartésiennes d'un point (ξ, η, ζ) de l'élément sont alors données par:

2

2

2

0 0( , )( , , ) ( , ) 0 0

( , , ) 0 ( , ) 0 0 0( , )

( , , ) 0 0 ( , ) 0 0 ( , )

i

i

i

tii i

ti i i

ii ti

N x N x

y yN N

z N z N

ζ ξ ηξ η ζ ξ η

ξ η ζ ξ η ζ ξ η

ξ η ζ ξ ηζ ξ η

= +

3

3

3

x i

y i

z i

n

n

n

(7.51)

où Ni(ξ, η) sont les fonctions de forme de l'élément.

les trois composantes cartésiennes du vecteur unitaire n3i qui varient selon ξ et

η.

Les déplacements d'un point de l'élément sont donnés par:

n

n

n

= n

z3i

y3i

x3i

3i


7-45

2

2

2

( , , ) ( , ) 0 0

( , , ) 0 ( , ) 0

( , , ) 0 0 ( , )

0 0( , )

0 0( , )

0 0 ( , )

i

i

i

i i

i i

i i

ti

ti

ti

u N u

v N v

w N w

N

N

N

ξ η ζ ξ η

ξ η ζ ξ η

ξ η ζ ξ η

ζ ξ η

ζ ξ η

ζ ξ η

=

+

1 2

1

1 2

2

1 2

x i x i

i

y i y i

i

z i z i

n n

n n

n n

α

α

(7.52)


7-46

Finalement, les déformations et les contraintes sont obtenues de la façon suivante:

x 1x 1

y 2y 2

z z

y x 12xy 12

z x 13xz 13

z y 23yz 23

u,

v,

w 0 0, =

u + v , ,

u + w, ,

v + w, ,

ε ε σ

ε ε σ

ε

γ γ τ

γ γ τ

γ γ τ

⇔ ⇔

(7.53)

Figure 7.20


7-47

7.8 Élément solide axisymétrique


Lorsqu'une structure a une géométrie, des chargements, des conditions aux rives qui présentent une

symétrie de révolution et que la loi constitutive est indépendante du choix du plan contenant l'axe de

révolution de la structure, il y a axisymétrie. La structure peut être modélisée simplement dans n'importe

quel demi-plan contenant l'axe de révolution : c'est, par abus de langage, le plan méridien, (on devrait dire

le demi-plan méridien) et le modèle est dit axisymétrique (voir Figure 7.23).

Ce type de modélisation présente deux avantages appréciables : tout d'abord une grande simplification

dans l'introduction des données et une diminution très sensible de leur volume, ensuite un gain de temps

CPU, d'entrées-sorties et d'espace disque. On ramène une analyse tridimensionnelle à un calcul

bidimensionnel. En effet, la connaissance du champ de déplacements dans le plan méridien (déplacements

axiaux et radiaux en tout point) permet à elle seule de déterminer la solution tridimensionnelle complète. Il

n'est pas rare de faire, en pré-dimensionnement, des calculs axisymétriques sur des structures qui ne le sont

pas tout à fait, de manière à avoir un ordre de grandeur des déplacements et des contraintes. C'est par

exemple le cas de brides, où on remplace la couronne localement percée par un matériau homogène

axisymétrique équivalent (Figure 7.21). Outre la topologie, il faut obligatoirement fournir à un programme

d'analyse linéaire, pour un matériau isotrope, les caractéristiques suivantes:

• Module de Young,

• Coefficient de Poisson,

• Épaisseur des coques axisymétriques.

• Masse volumique, coefficient de dilatation thermique ne sont nécessaires que pour certains

types de calcul.


7-48

Figure 7.21 - Bride boulonnée, structure réelle vs modèle axisymétrique

Éléments finis axisymétriques

Il existe dans la plupart des logiciels de calcul une bibliothèque spécialisée comportant divers éléments

axisymétriques pour traiter ces situations. Dans le plan méridien r-z, les mailleurs automatiques

bidimensionnels de tous types peuvent être utilisés pour les parties massives nécessitant des éléments de

volumes axisymétriques, les mailleurs linéiques pour les parties élancées nécessitant des éléments de

coques axisymétriques.

7.8.2 Relations déformations-déplacements

Pour un solide en trois dimensions dans un système de coordonnées cylindrique, les relations déformations-

déplacements sont données dans [3] au chapitre 8.

Figure 7.22

θγ

γ

θγ

ε

θε

ε

θ

θ

θ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

w

r

1 +

z

v =

r

w +

z

u =

u

r

1 +

r

v -

r

v =

z

w =

r

u +

v

r

1 =

r

u =

z

rz

r

z

r


7-49

7.8.3 Hypothèses du problème axisymétrique

Un solide axisymétrique est caractérisé par:

- une géométrie axisymétrique

- un chargement axisymétrique

Dans ces conditions, tous paramètres sont constants dans la direction circonférentielle θ; Les contraintes et

les déplacements sont les mêmes dans tous les plans passant par l'axe axisymétrique. Le problème est à

deux dimensions. Nous avons:

0 = v 0 = θ∂∂

(7.54)

Les déplacements actifs sont donc:

z) (r,u =u et z) (r, w= w

Après application de (7.54), les relations déformations-déplacements deviennent :

[ ]

0 0

r

r

z

z

rzrz

r z

u u

rru

ur

w r

z wu w z z r

u w z r

θ

θ

θ θ

ε

εε

εε ε

εγ γ

γ γ

∂= ∂ ∂ ∂ = ∂ = = = ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ = =

(7.55)

Figure 7.23


7-50

7.8.4 Relations contraintes-déformations ([3], chap itre 9)

1[ - ( )]

1[ - ( )]

1[ - ( )]

2 (1 )

r r z

r z

z z r

rzrzrz

TE

TE

TE

G E

θ

θ θ

θ

ν αε σ σ σ

ν αε σ σ σ

ν αε σ σ σ

ντγ τ

= + + ∆

= + + ∆

= + + ∆

+= =

(7.56)


Alors { } [ ]{ } [ ]{ } T E - E = ∆αεσ où

[ ]

12

1 - 0

1 - 0

(1 )(1 - 2 ) 1 - 0

0 0 0 (1 - 2 )

EE

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν ν ν

ν

=

+

(7.57)

{ } [ ]{ } { }

1 - - 0

- 1 - 01

- - 1 0

0 0 0 2 (1 ) 0

r r

z z

rzrz

T

E

C T

θ θ

ν ν αε σ

ν ν αε σ

ν ν αε σ

γ ν τ

ε σ α

= + ∆ +

= + ∆

Figure 7.24


7-51


10 02 { [ ] { } - { [ ] { } { { }} } }T T T


7.8.6 Fonctions de déplacement et critères de conve rgence

Les fonctions de déplacement de l'élément auront la forme suivante.

→

w

u

N

N =

w

u

} w {] ...NNN [ = ) ,( w

} u {] ...NNN [ = ) ,(u

i

i

i

i

i321

i321

ηξηξ

(7.58)

Les raisons qui justifient le choix de ces fonctions de déplacement sont les mêmes que celles qui sont

évoquées pour élément solide 3D (voir 7.9.6).

On observera ici que le problème est à deux dimensions. Lorsque nous maillons un solide axisymétrique,

nous utilisons des éléments à deux dimensions et seule une coupe du solide dans un plan passant par l'axe

axisymétrique est maillée. On remarquera aussi que les seuls degrés de liberté actifs aux noeuds d'un

maillage sont les translations Tr (ui) et Tz (wi), tel que montré dans la Figure 7.25.

Figure 7.25


7-52

7.9 Éléments de volume (solides 3D)


Un élément de volume est un élément tri-dimensionnel dont toutes les dimensions sont du même ordre

de grandeur. On l'utilise pour la modélisation des pièces massives ou des parties massives dans une

structure. Aucune hypothèse n'est faite a priori sur le champ de contrainte ni sur le champ de

déformation : c'est de l'élasticité tri-dimensionnelle. C'est un élément à définition volumique, dont la

géométrie est explicitement décrite. C'est un élément coûteux lors de l'introduction des données,

souvent plus longue et plus fastidieuse que pour les autres types d'éléments. Il est également coûteux

dans la phase de résolution car, à nombre égal de degrés de liberté, les matrices sont plus peuplées et la

largeur de bande ou de front est plus importante que dans le cas de problèmes à définition surfacique.

Vu l'évolution des programmes de maillage automatique, la puissance des machines actuelles et la

capacité des disques, l'utilisation de ce type d'éléments est néanmoins fréquente. Il en existe de

plusieurs formes comme le montre la Figure 7.26: hexaèdres, prismes et tétraèdres.


7-53

HEXAÈDRES

PRISMES

TÉTRAÈDRES

Fonction d’interpolationlinéaire

Fonction d’interpolationquadratique

8 noeuds 20 noeuds

6 noeuds 15 noeuds

4 noeuds 10 noeuds

Figure 7.26 - Éléments de volume (Solides 3D)

Dans un grand nombre de modèles industriels, la génération de ces éléments se fait par extrusion

globale ou locale à partir d'une géométrie surfacique. Les éléments sont alors des prismes, issus de

triangles ou des hexaèdres issus des quadrangles. Dans le cas de pièces pour lesquelles l'extrusion n'est

pas possible, il existe deux techniques de maillage automatique : le maillage réglé (ou transfini) 3D ou le

maillage libre 3D. Le maillage réglé est contraignant car il est nécessaire de découper la structure en

blocs de forme simple, d'imposer un nombre de noeuds adéquats sur chaque arête. En contrepartie, le

nombre d'éléments et leur qualité sont maîtrisés. Selon que le mailleur réglé 3D accepte ou non

certaines dégénérescences, les éléments générés sont des hexaèdres, des prismes voire des tétraèdres.


7-54

Les mailleurs libres 3D génèrent des tétraèdres, basés sur une formulation de type triangulaire dont ils

ont les inconvénients au niveau calcul. Ces mailleurs permettent cependant de remplir n'importe quel

volume sans être obligé de le découper en blocs et d'ajuster les noeuds sur des faces en regard, d'où un

gain de temps précieux pendant la phase de maillage qui est de loin la plus coûteuse dans une étude

industrielle. Cependant, s'il est facile de contrôler la qualité des éléments surfaciques générés par des

mailleurs automatiques 2D ou 3D surfaciques, il est plus difficile de contrôler la qualité des mailles

générées à l'intérieur des volumes bien qu'un certain nombre de tests basés sur des critères

géométriques soient maintenant disponibles. Comme il n'existe pas d'algorithme permettant de

regrouper plusieurs tétraèdres en un hexaèdre, équivalent à la recombinaison de triangles en

quadrangles pour les maillages surfaciques, et que les éléments sont généralement du second degré, il

en résulte une augmentation très sensible du nombre de degrés de liberté, de la taille des matrices. de

la largeur de bande ou de front, du temps et du coût de calcul.

Outre la topologie, il faut obligatoirement fournir à un programme d'analyse linéaire, pour un matériau

isotrope, les caractéristiques suivantes:

• module de Young,

• coefficient de Poisson.

• Masse volumique, coefficient de dilatation thermique ne sont nécessaires que pour certains

types de calcul.

7.9.2 Éléments finis de volume

Il existe des tétraèdres, des prismes et des hexaèdres du premier degré, donc à bords rectilignes, ou de

degré plus élevé (deux ou trois), à bords rectilignes ou non, souvent isoparamétriques. Les éléments du

premier degré sont en général trop raides et nécessitent un raffinement important du maillage pour

donner une solution numériquement satisfaisante. Les éléments du troisième degré sont très coûteux et

n'améliorent généralement pas de façon sensible les résultats obtenus, à maillage identique, avec des

éléments du second degré. C'est la raison pour laquelle on utilise des éléments de volume au second

degré, car ils offrent un bon compromis entre précision et coût du calcul.

Chaque noeud sommet et chaque noeud milieu s'il existe possède trois degrés de liberté de translation

dans les trois directions de l'espace, notés u, v et w, tous alimentés en raideur. Il n'y a pas de rotation

définie aux noeuds d'un élément volumique. L'hexaèdre du second degré est topologiquement défini


7-55

par 20 nœuds et sa matrice de raideur est carrée de dimension 60 x 60. Il en existe à 27 noeuds, basés

sur une formulation de type Lagrange, mais dont l'utilisation industrielle reste marginale et qui

n'améliore pas de façon sensible les résultats par rapport aux éléments à 20 noeuds.

7.9.3 Relations déformations-déplacements

Réf. [3], chapitre 8

[ ]

x

xy

y

zz

xyxy

xz

xzyz

yz

uu x x v

v y

yww

zz

u v u v y x y xu w

u w z x

z xv w

v wz y z y

ε

εε

εε ε

εγγγ

γγ

γ

∂∂ ∂=

∂ ∂ ∂= ∂ ∂

∂ ∂= ∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= + ∂ ∂∂ ∂ +∂ ∂

(7.59)

7.9.4 Relations contraintes-déformations

Réf. [3], chapitre 9


7-56

1 - - 0 0 0

- 1 - 0 0 0

- - 1 0 0 01

0 0 0 2 (1 ) 0 0

0 0 0 0 2 (1 ) 0

0 0 0 0 0 2 (1 )

x x

y y

z z

xyxy

xzxz

yzyz

E

ν νε σ

ν νε σ

ν νε σ

γ ν τ

γ ν τ

γ ν τ

=

+ + +

{ } [ ]{ } { }

0

0

0

T

C T

α

α

α

ε σ α

+

= +(7.60)


alors { } [ ]{ } - [ ]{ } E E Tσ ε α=

où:

12

12

12

1 - 0 0 0

1 - 0 0 0

1 - 0 0 0[ ]

(1 )(1 - 2 ) 0 0 0 0 0(1 - 2 )

0 0 0 0 0(1 - 2 )

0 0 0 0 0 (1 - 2 )

E E

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν

ν

=

+

(7.61)


10 02 { [ ] { } - { [ ] { } { { }} } }T T T


7.9.6 Fonctions de déplacement et critères de conve rgence

1[ - ( )]

1[ - ( )]

1[ - ( )]

2 (1 )

x x y z

y y x z

z z x y

xy yzxzxy xz yz

TE

TE

TE

G G G

Eavec G

ν αε σ σ σ

ν αε σ σ σ

ν αε σ σ σ

τ ττγ γ γ

ν

= + + ∆

= + + ∆

= + + ∆

= = =

=+


7-57

En remplaçant les relations déformations-déplacements (7.59) dans l'expression de l'énergie de

déformation (7.5) on observera que sous l'intégrale de l'énergie de déformation, nous aurons des dérivées

premières des trois fonctions de déplacement u, v et w.

Convergence

- Les fonctions ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre "m" (m = 1), sous l'intégrale du résidu

(énergie potentielle), doivent avoir une représentation constante. Les trois fonctions u, v et w

devront donc inclure un terme constant ainsi que tous les termes linéaires.

( )( )( )

i

i

i

u ξ,η,ζ = [ 1 ξ η ζ ... ] { }a

v ξ,η,ζ = [ 1 ξ η ζ ... ] { }b

w ξ,η,ζ = [ 1 ξ η ζ ... ] { }c

(7.62)

- Les fonctions ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre "m - 1" (m - 1 = 0), sous l'intégrale du

résidu doivent être continue. Dans le cas des éléments solides 3D, seules les fonctions doivent êtres

continues. En interpolant les fonctions précédentes de façon à les définir en fonction des valeurs

nodales des déplacements, nous assurerons la continuité des fonctions de déplacement entre les

éléments. Les fonctions de déplacement prendrons alors la forme suivante et les seuls degrés de

liberté actifs seront les trois translations ui, vi et wi à chacun des noeuds de l'élément.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , ) [ ... ] { }

( , , ) [ ... ] { }

( , , ) [ ... ] { }

i ii

i i i

ii i

u N uu N N N uv v N N N v N v

w N N N w w N w

ξ η ζξ η ζξ η ζ

= = → = =

(7.63)

où ( , , )i N ξ η ζ sont les fonctions d'interpolation ou encore les fonctions de forme. Nous

aurons une fonction de forme Ni pour chacun des noeuds "i" de l'élément.

w ,v ,u iii sont les trois déplacements à chacun des noeuds "i" de l'élément ou encore les

degrés de liberté de l'élément.

Nous n'entrerons pas ici dans le détail des développements mathématiques de ces éléments, car nous

l'avons déjà fait précédemment dans le cas des éléments membranes.


8-58

Chapitre 8

8 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DYNAMIQUES

8.1 Système à un seul degré de liberté, une brève r évision

Dans cette introduction nous allons étudier un système simple ayant un seul degré de liberté. Il est

important de bien comprendre le comportement d'un tel système avant d'entreprendre l'étude de

systèmes plus complexes. La figure 8.1 illustre un système composé d'une masse M, d'un ressort linéaire

de constante K et d'un amortisseur visqueux C. L'équation différentielle d'équilibre permettant la

résolution de ce système, lorsqu'il est excité par une force F(t), est donnée par:

( )M u C u K u F t+ + =&& & (8.1)

8.1.1 Vibration libre sans amortissement

Dans ce cas nous avons: F(t) = 0 et C = 0

L'équation (8.1) devient: 0 =u K + u M && (8.2)

M

KC

Figure 8.1

8-2

En divisant les deux membres de cette équation par M et en posant: M

K = 2ω

Nous obtenons: 0 =u + u 2ω&&

La solution de cette équation est donnée par:

( )φωωω + t C = t C + t C = u(t) 21 sincossin (8.3)

où M

K = ω est la période naturelle du système en rad/sec

π

ω 2

= f est la fréquence naturelle de vibration en Hertz

Dans l’équation (8.3), C1 et C2 ou encore C et φ sont des constantes d'intégration (système d'ordre 2) qui

seront déterminées par les conditions initiales du problème.

Chapitre 8 – Résolution de problèmes dynamiques

8-3

Exemple: Soit le cas où nous relâchons le système après lui avoir donné un déplacement initial u =

h.

Pour t = 0 nous avons donc: h =u et 0 = u&

L'équation (8.3) donne: φωω

φ C = C = 0 = u

C = C = h =u

1

2

cos

sin

& d'où

h = C

0 = C

2

1 et

2

C = h

= πφ

Donc: ( ) /2 + t h = t h =u πωω sincos

8.1.2 Vibration libre avec amortissement

Dans ce cas nous avons: 0 =u K + u C + u M &&&

ou encore: 0 =u M

K + u

M 2

C 2 + u

n

n &&&ωω

En posant: M

K = nω fréquence naturelle du système sans amortissement.

et MK 2

C =

M2

C =

nωξ facteur d'amortissement.

u

t

Figure 8.2


8-4

Nous obtenons: 0 =u + u 2 + u 2nn ωωξ &&& (8.4)

La solution de cette équation différentielle est de la forme tu = C eλ

La vitesse et l'accélération sont: e C = u t λλ& et e C = u t 2 λλ&&

En remplaçant dans l'équation (8.4) nous obtenons: 0 = ) + 2 + ( e C 2nn

2t ωλωξλλ

Puisque 0 tC eλ ≠ alors il faut: 0 = + 2 + 2nn

2 ωλωξλ

Les racines de cette équation sont: ( )

( ) 1 - =

4 - 4 2 1/2 =

2n

2n

2n

2n1,2

ξξω

ωωξωξλ

±−

±− (8.5)

Nous avons trois cas possibles selon la valeur de ξ.

a) Pour ξξξξ > 1, nous avons deux racines réelles négatives et distinctes.

1 21 2

t tu = + C e c eλ λ (8.

C'est un mouvement apériodique (sans vibration) avec

décroissance logarithmique.

Nous avons suramortissement.


8-5

b) Pour ξξξξ = 1, nous avons deux racines réelles égales: ξωλλ n21 = = −

n1 2

- t u = ( + t ) C C e ω (8.7)

C'est encore un mouvement apériodique

avec décroissance logarithmique. Nous avons

l'amortissement critique

c) Pour ξξξξ < 1, nous avons deux racines imaginaires : ( ) - 1 i - = 2n2 1, ξξωλ ±

En posant ξωω 2nd - 1 = alors ωωξλ dn2 1, i - = ±

et nous obtenons: )e C + e C ( e = e C + e C =u t i -2

t i1

t -t 2

t 1

ddn21 ωωωξλλ

En utilisant la relation: θθθ i = e i sincos ±±

Figure 8.3

Figure 8.4


8-6

nous avons: ( ) ( )[ ] t C - C i + t C + C e =u d21d21t - n ωωωξ sincos

Puisque le déplacement est une quantité réelle, posons: C + C = A 211 et ) C - C ( i = A 212

Alors nous obtenons finalement: ( )

) + t ( e A =

t A + t A e =u

dt -

d2d1t -

n

n

φωωω

ωξ

ωξ

sin

sincos (8.8)

C’est un mouvement période avec sous-amortissement (Figure 8.5).

Figure 8.5

Remarque: Nous avons amortissement critique pour ξ = 1, donc:

1 = MK 2

C = ccξ d'où MK 2 = Cc (8.9)

En résumé:

Pour ξ > 1 suramortissement avec mouvement apériodique (sans oscillation).

Pour ξ = 1 amortissement critique avec encore un mouvement apériodique.


8-7

Pour ξ < 1 sous-amortissement avec mouvement périodique (vibratoire).

8.1.3 Vibration forcée avec amortissement

Dans le cas d'une excitation harmonique nous avons:

t F =u K + u C + u M ωsin&&& (8.10)

La solution complète de cette équation différentielle est la somme de la solution complémentaire et de

la solution particulière. La solution complémentaire est obtenue en posant F(t) = 0. C'est la solution

obtenue au paragraphe précédent et elle correspond à un régime non-permanent lorsque l'excitation

débute ou prend fin.

( )sinnc d

- t = A t + u eξ ω φω où - 1 = 2nd ξωω

Il nous reste à déterminer la solution particulière. Cette solution, qui correspond à un régime vibratoire

permanent, prend la forme suivante.

t B + t B = u 21p ωω cossin (8.11)

En remplaçant (8.11) dans (8.10) nous obtenons:

( )[ ] ( )[ ] t F = t B M- K + B C + t B C - B M- K 22

1212 ωωωωωωω sincossin

En comparant maintenant les deux membres de cette dernière équation nous avons:

( ) F = B C - B M- K 212 ωω et ( ) 0 = B M- K + B C 2

21 ωω


8-8

La solution de ces deux dernières équations nous donne:

( )

( ) ( ) C + M- K

M- K F = B 22 2

2

1ωω

ω et

( )( ) ( ) C + M- K

C F - = B 22 22

ωωω

La solution particulière est donc:

( ) ( )( )[ ] t C - t M- K

C + M- K

F = u 2

22 2p ωωωωωω

cossin (8.12)

En exprimant cette dernière équation en fonction de l'amplitude et du déphasage nous avons:

( ) - t A = up φωsin (8.13)

où ( ) ( ) C + M- K

F = A

22 2 ωω amplitude du mouvement vibratoire.

ω

ωφ2

1 -

M- K

C tg = déphasage du déplacement par rapport à l'excitation.

En divisant par K, le numérateur et le dénominateur des expressions de l'amplitude et du déphasage

nous avons:

( ) ( ) C/K + M/K- 1

F/K = A

22 2 ωω

ωωφ

2

1 -

M/K- 1

C/K tg =


8-9

En posant: K

F = u0 le déplacement sous charge statique,

avec M

K = 2nω et

ωξ

ωξ

nn

2 = C/K

2

C/K =

M/K 2

C/K =

MK 2

C = →

Nous obtenons finalement:

[ ]2 220

1

1- ( / 2 ( / ))n n

u

u ω ξ ωω ω=

+

amplification du mouvement

-1

2

2 ( / )

1- ( / )n

n

tg

ξ ω ωφω ω

=

déphasage

Les deux diagrammes suivants représentent l'amplification et le déphasage du mouvement vibratoire en

fonction du rapport ωω n / et du facteur d’amortissementξ .


8-10

Figure 8.6– Réponse en fréquence et déphasage en fonction du rapport de fréquence pour différentes

valeurs d’amortissement

8.1.4 Détermination expérimentale du facteur d'amor tissement

L'amortissement d'un système vibratoire est complexe et très difficile à déterminer. Il est provoqué par

des frottements, des effets d'hystérésis et par d'autres phénomènes

dissipateurs d'énergie.

Figure 8.7


8-11

On peut le déterminer expérimentalement en donnant au système une impulsion et en mesurant

ensuite son déplacement en fonction du temps (Figure 8.7). C'est un problème de vibrations libres avec

amortissement. La réponse du système est donnée par l’équation (8.8).

Le rapport de l'amplitude entre deux cycles successifs dd( T t = 2 / )π ω= ∆ nous donne:

n

1 n d

2- (t + 2 / )n d

- t2 ( / )A u e = = e

A euξ πω ω

ξ ωπ ξ ω ω

Le décrément logarithmique est défini par:

) / ( 2 = ) u / u ( = dn21 ωωξπδ ln où ξωω 2nd - 1 =

Donc ξξπδ

221

- 1

2 = ) u / u ( = ln

En résolvant l'équation précédente pour obtenir le facteur d’amortissement ξ, nous avons:

δπ

δξ22 + ) (2

= avec u

u = 2

1

lnδ (8.14)

Pour un facteur d'amortissement faible nous avons u u 21 ≈ et 1 <<δ d'où: π

δξ 2

=

Lorsque la différence entre u1 et u2 est trop faible, on peut mesurer l'amplitude de deux oscillations

séparées par N cycles. Nous avons alors:


8-12

δπ

δξ22 + ) N 2 (

= avec

uu =

N

1lnδ (8.15)


8-13

8.2 Problèmes dynamiques

Nous savons déjà que la solution d'un problème dynamique en éléments finis est donnée par un

ensemble d'équations différentielles couplées ayant la forme suivante.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } (t) F = D(t) K + (t) D C + (t) D M &&& (8.16)

où [ ] M ... matrice masse.

[ ] C ... matrice d'amortissement.

[ ] K ... matrice de rigidité.

{ } , { } ,{ } D D D && & ... vecteurs d'accélération, de vitesse et de déplacement.

{ ( ) } F t ... excitation.

Nous savons aussi que la réponse d'un système excité à une fréquence voisine de l'une de ses

fréquences naturelles de vibration peut être relativement grande, dépendant de l'amortissement du

système. Plus l'amortissement sera faible, plus l'amplitude de la réponse sera élevée.

Souvent, lors de la conception d'un système, les fréquences d'excitation sont connues et bien définies. Il

est logique à ce stade de modifier les paramètres du système (rigidité et/ou masse ) de façon à ce que

ses fréquences naturelles de vibration soient le plus loin possible des fréquences d'excitation. Dans ces

conditions, la détermination des fréquences naturelles de vibration est d'un intérêt pratique

considérable.

8.2.1 Fréquences naturelles de vibration

Les fréquences naturelles et les modes de vibration sont obtenus de l'équation (8.16) pour une

excitation nulle et en supposant que l'amortissement est négligeable. Nous avons alors:


8-14

[ ]{ } [ ]{ } 0 = (t) D K + (t) D M && (8.17)

Le système est animé d'un mouvement harmonique et la solution de l'équation (8.17) aura la forme

suivante.

{ } { } i t D (t) = D eω (8.18)

où { D } ... vecteur des amplitudes.

En dérivant (8.18) deux fois, nous avons: { } { }2 i t D (t) = - D eωω&&

En remplaçant maintenant dans (8.17) nous obtenons:

[ ] [ ]( ){ }2 i t K - M D = 0eωω (8.19)

Puisque eiωt ≠ 0 il faut donc que:

[ ] [ ]( ){ } 0 = D M - K 2ω (8.20)

L'équation (8.20) correspond à un problème aux valeurs propres. La solution triviale { D } = 0 ne nous

apporte rien puisqu'elle correspond à la position de repos du système. Les autres solutions sont

obtenues en posant le déterminant de la matrice des coefficients de l'équation (8.20) égal à zéro.

[ ] [ ] 0 = M - K 2ω (8.21)

En résolvant l'équation (8.21) nous obtiendrons pour chacune des équations du système, une valeur

propre différente ωi2. Les racines carrées de ces valeurs propres représentent les fréquences naturelles

de vibration du système en radian par seconde. La fréquence en Hertz est obtenue en divisant cette

valeur par 2π.


8-15

π

ω 2

= f ii

En substituant chacune de ces valeurs propres ωi2 dans l'équation (8.20) nous obtiendrons un vecteur

propre {Di}. Ce vecteur donne l'amplitude relative du déplacement des D. de L. du système (la

déformée) lorsque le système vibre à sa fréquence naturelle ωi.

[ ] [ ]( ){ } 0 = D M - K i2iω (8.22)

Il est à noter que chaque valeur propre ωi introduit une relation linéaire entre les équations de (8.22). La

matrice des coefficients est singulière et chaque vecteur propre est déterminé à une constante près qui

reste indéterminée. En d'autres termes, le vecteur propre représente le mode de vibration

correspondant à la fréquence naturelle ωi sans donner aucune indication sur l'amplitude réelle des

vibrations.

Lorsque les matrices [ M ] et [ K ] sont toutes les deux définies positives, toutes les valeurs propres sont

positives. Un système possédant des mouvements rigides est positif semi-défini. Il y aura alors une

valeur propre nulle associée à chacun des mouvements rigides qu'il possède. Il est toujours possible que

des termes sur la diagonale de la matrice masse (termes Mii ) soient nuls et même négatifs. Associé à

chacune des valeurs nulles Mii nous aurons une valeur propre infinie, et associé à chacune des valeurs

négatives Mii nous aurons une valeur propre ωi2 négative et donc une fréquence naturelle imaginaire.

Certains algorithmes pour l'extraction des valeurs propres exigent une matrice masse définie positive, et

ne fonctionnent donc pas si la diagonale de la matrice masse contient des valeurs nulles ou négatives.

Lorsque nous avons une valeur nulle nous pouvons cependant l'éliminer du système d'équations par une

condensation statique.

La solution de l'équation (8.20) peut être obtenue par différentes méthodes (Jacobi, QR, etc..). Ces

méthodes de solution sont bien documentées et chacune possède ses avantages et ses inconvénients. À

ce stade de notre étude il est inutile d'expliquer en détails chacune de ces méthodes.

8.2.2 Méthode de réduction de GUYAN (Condensation s tatique)

En éléments finis, l'analyse statique de problèmes ayant 10,000 degrés de liberté ou plus est

relativement fréquente. L'analyse dynamique de problèmes ayant seulement 1000 degrés de liberté est


8-16

difficile, principalement à cause de l'effort de calcul nécessaire à l'extraction des valeurs propres et au

calcul des vecteurs propres.

On peut cependant utiliser la condensation statique pour réduire le nombre de degrés de liberté et ainsi

réduire la quantité de calcul nécessaire à la résolution du problème aux valeurs propres. La

condensation statique dégrade la précision des résultats, mais cet effet est négligeable si nous

l'appliquons convenablement.

Nous présentons ici un algorithme connu sous le nom de "réduction de Guyan". L'équation (8.20) est

partitionnée de façon à regrouper ensemble les degrés de liberté maîtres {Dm} que nous voulons

conserver et les degrés de liberté esclaves {De} que nous désirons éliminer.

mm me mm me m2

T Tee ee eme me

0K K M M D - =

0K M DK Mω

(8.23)

L'hypothèse principale sur laquelle repose la réduction de Guyan est qu'aux fréquences les plus basses,

les forces d'inertie agissant sur les degrés de liberté esclaves sont négligeables par rapport aux forces

élastiques transmises par les degrés de liberté maîtres. En d'autres mots, nous supposons qu'à basse

fréquence, les déplacements des degrés de liberté esclaves { De } sont les mêmes que ceux qu'ils ont lors

du déplacement statique des degrés de liberté maîtres. Afin d'obtenir une relation entre { De } et { Dm }

nous allons ignorer temporairement la masse dans la partition inférieure de l'équation (8.23). En

développant cette partition nous avons:

[ ] { } [ ] { }{ } [ ] [ ] { } D K K - = D oùd

0 = D K + D K

mTme

1-eee

eeemTme

′ (8.24)

En utilisant cette dernière équation nous pouvons maintenant écrire:

[ ] { } [ ]oùm

m m-1 T -1 Te ee me ee me

I ID = { } = P P = D D

- - D K K K K

(8.25)


8-17

La matrice [P] est une matrice de passage. En remplaçant (8.25) dans (8.23) et en pré multipliant le

résultat par [PT] nous obtenons un problème aux valeurs propres de dimensions réduites qui ne fait

intervenir que les degrés de liberté maîtres {Dm}.

[ ] [ ]( ){ }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]où et

2r r m

T Tr r

= 0K M D

= K P = M P K P M P

ω−

(8.26)

Au besoin nous pouvons récupérer par la suite les degrés de libertés esclaves en utilisant l’équation

(8.24). Il est cependant préférable de considérer la masse des degrés de liberté esclaves que nous avions

négligée précédemment. En reprenant la deuxième partition de (8.23) nous avons:

2 2

-12 2

[ ] { } [ ] { } - [ ] { } - [ ] { } 0

d où { } - - - { }

T Tme m ee e me m ee e

T Te ee ee me me m

K D K D M D M D

D K M K M D

ω ω

ω ω

+ =

′ = (8.27)

Nous devons souligner ici que si les matrices [ K ] et [ M ] étaient des matrices bandes avant la

condensation statique, elles ne le sont plus après. Pour bénéficier de l'efficacité de cette technique, il

faut condenser un grand nombre de degrés de liberté soit de 50% jusqu’à plus de 90% des D. de L. du

modèle.

La Figure 8.8 illustre le maillage d'une plaque en flexion qui contient 30 noeuds actifs ayant chacun trois

degrés de liberté (wi, θxi et θyi), pour un total de 90 D.L.. Les fréquences naturelles obtenues pour le

système complet de 90 D. de L. sont données, de même que celles obtenues d'un système réduit à 6 D.L.

seulement. Ce dernier système est composé du déplacement wi des six noeuds encerclés. On remarque

que les deux systèmes donnent des réponses très similaires pour les deux premiers modes de vibration.

Pour les modes supérieurs, il y a une divergence croissante entre les fréquences obtenues car l’inertie

de D. de L. esclaves commence à prendre de l’importance.


8-18

Figure 8.8

8.2.3 Orthogonalité des vecteurs propres { Di }

Lorsque la matrice de rigidité et la matrice masse sont symétriques, on peut facilement démontrer que

les vecteurs propres sont orthogonaux par rapport à la matrice masse [ M ] et aussi par rapport à la

matrice de rigidité [ K ]. En utilisant l'équation (8.22) nous pouvons écrire:

[ ] { } [ ] { }2i ii K = M D Dω (8.28)

ou encore [ ] { } [ ] { }2j jj K = M D Dω (8.29)

Pré-multiplions l'équation (8.28) par {DjT} pour obtenir (8.30). Pour l'équation (8.29) pré-multiplions par

{DiT} puis transposons le tout. Puisque [ K ] et [ M ] sont symétriques, nous obtenons finalement

l'équation (8.31):

2{ } [ ] { } { } [ ] { }T Tj i j ii K M D D D Dω= (8.30)

2{ } [ ] { } { } [ ] { }T Tj i j ij K M D D D Dω= (8.31)

En soustrayant l'équation (8.31) de (8.30) nous avons:


8-19

( )2 2- { } [ ] { } 0Tj ii j M D Dω ω = (8.32)

Pour i ≠ j nous avons (ωi2 - ωj

2 ) ≠ 0 et il faut donc:

{ } [ ] { } 0Tj i M D D = (8.33)

(8.30) ou (8.31)donnent alors : { } [ ] { } 0Tj i K D D = (8.34)

Les produits représentés par les équations (8.33) et (8.34) étant nuls, on dit que les deux vecteurs

propres différents { Di } et { Dj }, sont orthogonaux par rapport aux matrices de masse et de rigidité. En

reprenant l'équation (8.35), pour i = j nous avons ωi2 - ωi

2 = 0, donc:

{ }[ ]{ } 0Ti i M D D ≠

Normalisation

Les vecteurs propres {Di} étant déterminés à une constante près, nous pouvons les normaliser par

rapport à la matrice masse [M].

Pour i = j, posons : { } [ ] { } 1Ti i M D D = (8.36)

Alors (8.30) donne : 2{ } [ ] { }Ti i i K D D ω= (8.37)


8-20

8.3 Réponse d'un système dynamique

Il est souvent nécessaire d'étudier la réponse d'un système en fonction du temps, lorsqu'il est soumis à

une excitation quelconque. Il faut alors résoudre l'équation (8.16) en utilisant une méthode

d'intégration directe ou encore par la méthode de superposition des modes. Nous allons considérer en

premier lieu la méthode de superposition des modes et nous reviendrons plus loin sur les différentes

méthodes d'intégration directe.

8.3.1 Méthode de superposition des modes

Lorsque le système d'équations (8.16) est linéaire, la méthode de superposition des modes est la plus

efficace. Elle consiste à découpler les équations du système (8.16) de façon à obtenir un ensemble

d'équations différentielles linéaires, indépendantes les unes des autres. En définitive, nous remplaçons

un système de "n" degrés de liberté par "n" systèmes ayant un seul degré de liberté. La solution de ces

équations indépendantes est alors beaucoup plus simple.

8.3.1.1 Matrice de passage

Considérons une matrice de passage [ P ] telle que:

{ ( ) } [ ] { ( ) } D t P X t = (8.38)

Dans cette dernière équation, les éléments du vecteur { D(t) } sont les degrés de liberté réels des noeuds

du maillage, tandis que, les éléments de { X(t) } sont appelés "degrés de liberté généralisés". En

remplaçant (8.38) dans l'équation (8.16) et en pré-multipliant le résultat par [PT] nous obtenons:

[ ] [ ] [ ] { ( ) } [ ] [ ] [ ] { ( ) } [ ] [ ] [ ] { ( ) } [ ] { ( ) }T T T T M P X t C P Xt K P X t F t P P P P+ + =&& & (8.39)

Pour découpler l'ensemble d'équations représenté par (8.39) il nous faut choisir la matrice de passage [

P ] de façon à ce que les produits suivants soient des matrices diagonales.


8-21

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

T

T

T

M P P

C P P

K P P

Pour la matrice masse [ M ] et la matrice de rigidité [ K ] le résultat recherché est obtenu en posant:

[ ] [ ]1 2 3{ }{ }{ }... P D D D= (8.40)

où { D1 }, { D2 }, etc... sont les vecteurs propres du système, obtenus de l'équation (8.22). Selon les

équations (8.33) à (8.37) nous avons alors:

2

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

T

Ti

M P I P

K P P ω

=

= (8.41)

La matrice de passage [ P ] est donc construite en plaçant des vecteurs propres les uns à la suite des

autres. Par exemple, les éléments de la colonne "i" de la matrice [ P ] sont ceux du vecteur propre { Di }.

En principe on devrait utiliser tous les vecteurs propres du système, la matrice de passage [ P ] serait

alors une matrice carrée. En pratique cependant, nous n'utiliserons que les vecteurs propres

correspondant aux fréquences naturelles les plus susceptibles d'être excitées. Ainsi, le nombre

d'équations différentielles indépendantes que nous obtiendrons de (8.39) sera égal au nombre de

vecteurs propres que nous aurons inclus dans la matrice de passage [ P ].

En examinant de nouveau les équations (8.38) et (8.40) nous pouvons maintenant interpréter les degrés

de liberté généralisés {X(t)} comme étant la contribution de chacun des modes de vibration à la réponse

du système.

8.3.1.2 Amortissement

La matrice d'amortissement [ C ] telle que nous l'avons développée lorsque nous avons discuté des

matrices des différents éléments est définie par un coefficient d'amortissement visqueux de nature

inconnue.


8-22

Puisque le produit [ PT ][ C ][ P ] doit donner une matrice diagonale, posons:

[ ] [ ] [ ] 2Ti i C P P ξω= (8.42)

où ξi est l'amortissement réel du système à la fréquence ωi.

L'équation (8.42) s'inspire du fait que nous désirons obtenir ainsi l'équivalent de "n" systèmes ayant

chacun un seul degré de liberté. Or, pour un système d'un seul degré de liberté nous avons une telle

expression. En remplaçant maintenant (8.41) et (8.42) dans (8.39) nous obtenons:

2{ ( ) } 2 { ( ) } { ( ) } { ( ) }Ti ii X t X t X t F t Pξω ω+ + =

&& & (8.43)

L'équation (8.43) représente un ensemble d'équations différentielles linéaires entièrement découplées.

Chacune des équations de (8.43) est indépendante des autres. Par exemple l'équation no.1 est donnée

par:

{ } { }21 11 11 11( ) 2 ( ) ( ) ( )Tt t t F t X DX Xξω ω+ + =&& &

À cause d'une excitation qui est habituellement définie numériquement, la solution de ces équations

différentielles est habituellement obtenue par des méthodes d'intégration numérique.


8-23

8.3.1.3 Conditions initiales pour la résolution de l'équation (8.43)

Reprenons l'équation (8.38): { D(t) } = [ P ]{ X(t) }

En prémultipliant les deux membres de (8.38) par [ PT ][ M ] nous obtenons:

[ ] [ ] { ( ) } [ ] [ ] [ ] { ( ) }T T M D t M P X t P P=

où [ PT ][ M ][ P ] = [ I ]

Donc { ( 0) } [ ] [ ] { ( 0) }T X t M D t P= = = (8.44)

De la même façon nous obtenons aussi la vitesse initiale:

{ ( 0) } [ ] [ ] { ( 0) }T X t M D t P= = =& & (8.45)

Lorsque tous les degrés de liberté généralisés {Xi} sont déterminés en fonction du temps, la réponse du

système est donnée par l'équation (8.38). Les degrés de liberté généralisés {Xi} représentent donc la

contribution de chacun des modes de vibration dans la réponse du système.

8.3.2 Remarques sur l'amortissement

Lorsque nous avons établi les matrices des différents éléments nous avions utilisé le concept d'un

coefficient d'amortissement visqueux interne. En pratique, ce concept n'est pas très réaliste,

l'amortissement dans une structure n'étant pas de nature visqueuse. C'est une dissipation d'énergie

causée par des mécanismes tels que les frottements, les effets d'hystérésis, le glissement dans les

connections, les déplacements d'air, etc... De plus l'amortissement varie très souvent avec la fréquence

de vibration.


8-24

Une étude détaillée des mécanismes d'amortissement serait très fastidieuse et incertaine. De plus, elle

conduirait inévitablement à une matrice d'amortissement non linéaire avec laquelle la méthode de

superposition des modes serait inutilisable. Comme alternative nous pouvons utiliser les "méthodes

d'amortissement spectrales". Ces méthodes sont basées sur l'observation expérimentale de

l'amortissement réel dans les structures. Elles nous permettent d'introduire un amortissement visqueux

dans un système en spécifiant un certain pourcentage du facteur d'amortissement critique ξ. Ce

pourcentage est habituellement déterminé expérimentalement en excitant le système à une fréquence

naturelle spécifique et en mesurant ensuite le décrément logarithmique du déplacement.

u

u = où + ) 2 (

= 2

1

2lnδ

δπδξ (8.46)


8-25

8.3.2.1 Méthode d'amortissement proportionnel de Rayleigh

La méthode de Rayleigh ou méthode d'amortissement proportionnelle, est la plus utilisée des méthodes

d'amortissement spectrales. La matrice d'amortissement [ C ] est remplacée par une combinaison

linéaire des matrices [ K ] et [ M ].

[ ] [ ] [ ] K M C α β+ = (8.47)

En pré multipliant par [ PT ] et en post multipliant par [ P ] nous avons:

( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]T T K M P C P P Pα β+ =

Introduisons (8.41) dans l’équation précédente

2 [ ] 2i i i I α β ξω ω + =

À une fréquence donnée ωi, nous avons donc :

ξωβωα ii2i 2 = + (8.48)

On détermine les valeurs des facteurs α et ß à partir de la mesure expérimentale des pourcentages

d'amortissement critiques ξ1 et ξ2, à deux fréquences naturelles différentes ω1 et ω2.

En utilisant (8.48) nous obtenons deux équations qui permettent la détermination des deux inconnus α

et ß.


8-26

2 12 121 1 2 21

2 1

2 1 2 2 11 22 2 2 2 2

2 1

2 ( - )( )2

( - )

2 ( - )2 ( )

( - )

a

b

ξ ξω ωαα β ξω ω ω ω

ξ ξω ω ω ωα β ξ βω ωω ω

=+ =+ = =

(8.49)

Connaissant les facteurs α et ß, le pourcentage d'amortissement critique ξi à la fréquence ωi est calculé

en utilisant l'équation (8.48).

ξi = 1/2 ( α ωi + β/ωi ) (8.50)

Les valeurs de ξi calculées à l'aide de l'équation (8.50) peuvent être utilisées dans l'équation (8.43) pour

obtenir la réponse du système.

La Figure 8.9 représente le pourcentage d'amortissement critique en fonction de la fréquence pour un

amortissement de Rayleigh. Elle illustre aussi la contribution respective de l'amortissement

proportionnel à la masse (β) et de l'amortissement proportionnel à la rigidité (α).

Figure 8.9


8-27

8.4 Méthode d'intégration directe

On résout le système d’équations (8.16), en traitant la variable temps par une méthode de différences

finies. En partant des conditions initiales de déplacement et de vitesse, la réponse de chacun des degrés

de liberté est obtenue à chaque intervalle de temps et la solution progresse d'un intervalle de temps à

l'autre.

Figure 8.10

Il est à noter que les équations (8.16) sont couplées les unes aux autres. La résolution d'un problème est

donc très fastidieuse et très longue. Cette méthode est cependant justifiable lorsque le système

d'équations (8.16) est non linéaire, par exemple, lorsque les matrices [ K ] et [ M ] sont des fonctions de

{ D } ou encore des fonctions du temps. Dans les références de langue anglaise ces méthodes sont dites

"Time marching". Nous allons limiter notre étude à une seule de ces méthodes afin de mieux en

comprendre le fonctionnement.


8-28

Méthode de CRANK-NICOLSON (Méthode trapézoïdale)

La méthode de Crank-Nicolson est largement utilisée en éléments finis puisqu'elle est

inconditionnellement stable, peut importe la longueur de l'intervalle de temps choisie. C'est une

méthode à "un intervalle" qui utilise uniquement l'information de l'intervalle de temps précédent.

Au cours d'un intervalle de temps ∆t, cette méthode est basée sur les approximations suivantes :

1 1

1(vitesse moyenne) - ( )

2t t t tD t tD D D D+ +∆ = ∆ → = + ∆& & (8.51)

1 1

1(accélération moyenne) - ( )

2t t t tD t tD D D D+ +∆ = ∆ → = + ∆& & & && && (8.52)

Figure 8.11

En utilisant (8.51) et (8.52) nous obtenons:

11

2( - ) -t tt t D DD D

t++ =

∆& & (8.53)


8-29

1 1

1

12

2( - ) -

2 2 ( - ) - - -

4 4( - ) - -

t t t t

t t t t t

t t t t

D D D Dt

D D D D Dtt

D D D Dtt

+ +

+

+

=∆

= ∆ ∆

=∆∆

&& & & &&

& & &&

& &&

(8.54)

À l'intervalle de temps (t+1) l'équation du mouvement s'écrit de la façon suivante :

11 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( 1) }tt t M C K F t DD D ++ ++ + = +&& & (8.55)

En remplaçant (8.53) et (8.54) dans (8.55) nous obtenons:

1 1 12

4 4 2[ ] ( - ) - - [ ] ( - ) - [ ]{ } { ( 1) }t t t t tt t t M C K F t D D D D DD D D

t tt+ + +

+ + = + ∆ ∆ ∆ & && &

En regroupant les termes semblables nous obtenons finalement:

12

2

4 2[ ] [ ] [ ] { }

4 2[ ] [ ] { }

4[ ] [ ] { } [ ] { } { ( 1) }

t

t

t t

M C K Dt t

M C Dt t

M C M F t D Dt

+ + + = ∆ ∆

+ ∆ ∆

+ + + + + ∆ & &&

ou encore: 1[ ]{ } { }eff t eff K D F+ = (8.56)


8-30

{ }

2

2 2

4 2avec [ ] [ ] [ ]

4 2 4[ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ]{ } { (

eff

eff t t t

M C K Kt t

M C M C M FF D D Dt t t

= + + ∆ ∆

= + + + + + ∆ ∆ ∆ & && 1) }t +

Conditions initiales

Au temps initial t = 0, le déplacement 0{ } D et la vitesse 0{ } D& doivent être connus. L'accélération

initiale est obtenue de l'équation du mouvement (8.16) au temps t = 0.

{ }-10 00 0{ } [ ] { } - [ ]{ } - [ ]{ } C K M F DD D=&& &

Méthode de résolution

Au temps t, connaissant le déplacement { }t D , la vitesse { }t D& et l'accélération { }t D&& :

1) L'équation (8.56) donne le déplacement 1{ }t D +

2) L'équation (8.53) donne la vitesse 1{ }t D +&

3) L'équation (8.54)donne l'accélération 1{ }t D +&&

Nous revenons ensuite à (8.16) pour le calcul des mêmes paramètres au temps t + 2 ∆t, et ainsi de suite

jusqu'au temps final. Nous avons déjà mentionné que la méthode trapézoïdale de Crank-Nicolson est

inconditionnellement stable. Cependant, étant une méthode linéaire, pour obtenir une précision

acceptable l'intervalle de temps ∆t devrait être égal ou inférieur à un dixième de la période T = 1/f d'un

cycle d'excitation.

1

0.1 0.1t T f

∆ ≤ =


8-31

8.5 Exemples de calcul, fréquences naturelles et mo des vibratoire

8.5.1 Système à deux masses avec ressorts

Équilibre

( )

( )2 2 2 2 1

1 1 1 1 2 2 1

0

0

M X k X X

M X k X k X X

+ − =

+ − − =

&&

&&

Équation du mouvement

[ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) 0M D t K D t+ =&&

1 1 2 2 11

2 2 2 22

00

0

M k k k XX

M k k XX

+ − + = −

&&

&&

Soient 2

4 N/mm

1 (N-s ) / mm 1000 kg

k

M

=

= →

Alors 11

22

1 0 8 40

0 1 4 4

XX

XX

− + = −

&&

&&

Solution

Posons que 1 1 11 2

2 2 22

i t i tX A AX

X A AXe eω ωω

= → = −

&&

&&

Donc


8-32

12

2

21

22

8 4 1 00

4 4 0 1

8 40

4 4

i t

i t

A

A

A

A

e

e

ω

ω

ω

ω

ω

− − = −

− − = − −

Calcul des racines, méthode du déterminant

( )( )2 2 4 2det 8 4 16 12 16 0ω ω ω ω= − − − = − + =

( )2

1 12 212

22 2

1.53 1.23712 12 4*16

10.47 3.236

ω ωω

ω ω

= → == ± − → = → =

Modes de vibration

Mode 1

( ) ( )

121

2 1

2 11 1

8 1.53 41.53 0

4 4 1.53

En fixant 1 alors 0.618

A

A

A A

ω− − = → =

− −

= =

Mode 2

( ) ( )

122

2 2

1 22 2

8 10.47 410.47 0

4 4 10.47

En fixant 1.0 alors 0.618

A

A

A A

ω− − = → =

− −

= = −

Résultats


8-33

11 1 1

22 2 2

0.6181.237 0.1972 1.0

1.03.236 0.5152 0.618

f D

f D

ωω π

ωω π

= = = =

= = = = −

Orthogonalité (vérification)

{ }[ ]{ }

{ }[ ]{ }

2 1

2 1

1 0 0.6180 1.0 0.618 0 ok

0 1 1.0

8 4 0.6180 1.0 0.618 0 ok

4 4 1.0

T

T

D M D

D K D

= → − =

− = → − = −

Normalisation des vecteurs propres

Nous désirons { }[ ]{ } 1Ti iD M D =

Mode 1

{ }1

1 0 0.6180.618 1.0 1.3819

0 1 1.0

0.618 0.52571

1.3819 1.0 0.8507D

=

= =

Mode 2

{ }2

1 0 1.01.0 0.618 1.3819

0 1 0.618

1.0 0.80571

1.3819 0.618 0.5257D

− = −

= = − −


8-34

Vérification de { }[ ]{ } 2Ti iD K D ω=

Mode 1 8 4 0.5257

0.5257 0.8507 1.53 ok4 4 0.8507

− = −

Mode 2 8 4 0.8507

0.8507 0.5257 10.47 ok4 4 0.5257

− − = − −

8.5.2 Colonne encastrée-libre

Soit une colonne droite ayant les propriétés suivantes:

E=200 x 109 N/m2 I=5 x 10-9 m4 A=1000 x 106 m2

ρ=4200 (N-s2)/m4 (4200 Kg/m3)

La colonne est modélisée avec deux éléments poutre

(flexion dans un seul plan).

Les matrices de rigidité et de masse de l'élément sont:


8-35

[ ] [ ]2 2

2 2

2 2

3

2 2

156 22 54 13

22 4 13 3

54 13 156 22

13 3 22 4

12 6 12 6

6 4 6 2

42012 6 12 6

6 2 6 4

L L

L L L L

L L

L L L L

L L

L L L LEI ALK M

L L L

L L L L

ρ

−

−

−

− − −

− − = = − − − −

Avec L=1m → 3 23

10 10420

EI AL

L

ρ −= =

L'équation du mouvement d'un élément devient

1 1

1 13 2

2 2

2 2

156 22 54 13

22 4 13 3

54 13 156 22

13 3 22 4

12 6 12 6

6 4 6 210 10 0

12 6 12 6

6 2 6 4

v v

v v

θ θ

θ θ

−

−

−

−

− − −

− −

+ = − − − −

&&

&&

&&

&&

Assemblage après application des conditions cinématiques

2 2

2 23 2

3 3

3 3

312 0 54 13

0 8 13 3

54 13 156 22

13 3 22 4

24 0 12 6

0 8 6 210 10 0

12 6 12 6

6 2 6 4

v v

v v

θ θ

θ θ

−

−

−

−

− − −

− −

+ = − − − −

&&

&&

&&

&&

(8.57)

Posons { } { } { } { }2( ) ( )i t i tD t D D t De eω ωω= → = −&&

(8.57) devient alors:


8-36

2

23 2 2

3

3

312 0 54 13

0 8 13 3

54 13 156 22

13 3 22 4

24 0 12 6

0 8 6 210 10 0

12 6 12 6

6 2 6 4

i t

v

ev

ωθ

ω

θ

−

−

−

−

− − −

− − − = − − − −

(8.58)

Réduction de Guyan

Soit { } { }2 2

3 3

e m

vD D

v

θ

θ

= =

Réécrivons (8.58)

2

33 2 2

2

3

24 12 0 6 312 54 0 13

12 12 6 6 54 156 13 22

0 6 8 2 0 13 8 3

6 6 2 4 13 22 3 4

10 10 0

v

vω

θ

θ

−

− −

− − − −

− −

− − − −

− =

Matrice de passage [P]

[ ] 18 2 0 6 3 31

72 4 6 6 12 9

T Tee me ee meK K K K−

− = = − =

− −

[ ]{ }

2

3 2

2 3

3

7 0

0 71

7 3 3

12 9

m

m

e

v

D v vP D

D vθ

θ

= = = −


8-37

Matrices réduites

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

3

2

96 3010

7 30 12

18336 361510

49 3615 5652

Tr

Tr

K P K P

M P M P−

− = =

−

= =

Fréquences naturelles et modes de vibration

3 2

22

3

96 30 18336 361510 100

7 4930 12 3615 5652

v

vω

− − − = −

(8.59)

Note: nous avons [ ] [ ]( ){ }2 0i iK M Dω− =

Multiplions par [ ] [ ]( ){ }1 1 2 0i iM M K I Dω− − → − =

(8.59) devient: 22

3

5031.97 1645.83 1 00

6933.93 2538.87 0 1i

v

vω

− − = −


8-38

Valeurs propres

{ } { }

2 21 2

1 2

1 2

1 2

184.588 7386.249

13.586 85.94

2.16 13.678

0.3395 0.699

1.0 1.0

f f

D D

ω ω

ω ω

= =

= =

= =

− = =

Fréquences obtenues avec le système non condensé (8.58)

1 2 3 42.16 13.64 46.14 133.9f f f f= = = =

Note : f3 et f4 ne peuvent être calculés à partir du système condensé car celui-ci ne possède que deux

degrés de liberté.


8-39

8.6 Exercices

Problème 8-1

Soit le système à deux masses et trois ressorts illustré dans la figure qui suit. Si m1=m2=0.1 kg, et k=100

N/m, trouvez les fréquences naturelles du système.

Réponses: ω12 = 1000 (rad/s)2, ω2

2 = 3000 (rad/s)2

Problème 8-2

Dans la figure à droite, on voit un poteau vertical de 30 cm de long qui est

encastré au sol. Le poteau est fait d'aluminium (E=70 GPa, ρ=2700 kg/m3) et a

une section circulaire de 20 cm2. À l'aide d'un modèle à 3 éléments, déterminez

ces fréquences naturelles de vibrations axiales. Calculez aussi les déplacements

des deux premiers modes de vibration, vérifiez leurs orthogonalités et

normalisez les. Les matrices de rigidité et de masse d'un élément barreau en

traction-compression sont les suivantes:

[ ] [ ]

−

−=

=

11

11

21

12

6 L

AEK

ALM

ρ

Réponses:

30 cm

A=20 cm2


8-40

Valeur exacte (solution analytique): 21 2 ALAE

ρπω =

Modèle É.F.: ω1= 0.270 x 105, ω2=0.8819 x 105, ω3=1.60 x 105 rad/s

Note: Il serait également intéressant de comparer ces résultats avec ceux obtenus à l'aide d'un modèle à

deux éléments.


8-41

Problème 8-3

Déterminez les deux premières fréquences naturelles de vibration axiale du barreau à sections variables

présenté dans la figure qui suit. Le barreau est fait d'un acier qui a les propriétés suivantes: E=200 GPa,

ρ=7800 kg/m3.

A=5 cm2 A=5 cm2A=3 cm2

30 cm 30 cm20 cm

Problème 8-4

Pour la poutre en porte-à-faux illustrée dans la figure qui suit, déterminez les deux premières

fréquences naturelles de vibration en flexion. Calculez les déplacements des deux premiers modes de

vibration, vérifiez leurs orthogonalités et normalisez les. Utilisez un modèle à un puis à deux éléments.

ρ=7800 kg/m3, E=200 GPa

5 cm

10 cm

1.5 m

Réponse exacte (analytique): 4241 03.22516.3AL

EIAL

EIρωρω ==

Problème 8-5

Déterminez les deux premières fréquences naturelles de la poutre en bois sur appuis simples qui est

illustrée dans la figure qui suit.


8-42

ρ = 700 kg/m3, E=10 GPa

5 cm

10 cm

3 m

Réponse exacte (analytique): AEI

L ρπω

2

1

=

Problème 8-6

Une structure a les caractéristiques suivantes d'amortissement: ξ1 = 0.03 à 5 Hz et ξ2 = 0.20 à 15 Hz

(mesures expérimentales). Déterminez les paramètres α et β nécessaires au calcul de l'amortissement

selon la méthode de Rayleigh.

9-1

Chapitre 9

9 INTRODUCTION À ANSYS

Lors des travaux en laboratoire qui se dérouleront durant la session, nous ferons appel à deux logiciels

d'éléments finis très populaires: MSC/Nastran et ANSYS.

Dans le cas de MSC/Nastran, une documentation très complète est disponible via le site Internet du

cours. Les nouveaux utilisateurs de ce logiciel devrait consulter en tout premier lieu le livre

"MSC/Nastran 2001 – Getting Started…..User's Guide", qui présente d'une façon simple et claire, une

introduction sur tous les sujets importants pour la réalisation de modèles d'éléments finis faits à l'aide

du logiciel Nastran. De nombreux exemples y sont aussi inclus.

Dans le cas du logiciel ANSYS, il existe une information très détaillée qui est accessible par le menu

d'aide interactif de ce programme. Cependant, nous ne possédons pas pour le moment, une

documentation qui pourrait être accessible pour consultation sur le site Internet du cours. Pour palier à

ce manque, nous avons inclus dans le présent chapitre, une courte documentation qui permettra à un

nouvel utilisateur de comprendre rapidement les principaux aspects du fonctionnement du programme

ANSYS. Cette documentation, tirée de la référence [5], comprend:

• Le chapitre 3.4 qui présente brièvement une vue d'ensemble du programme ANSYS incluant, le

démarrage, l'interface graphique, les menus principaux et les différents modes de sélection des

objets avec la souris.

• Le chapitre 8 qui explique plus en détails le fonctionnement du programme, comment créer un

modèle d'élément finis et comment obtenir les résultats voulus.

• Le tableau 8.2 qui donne une liste complète des différents éléments offerts par ANSYS.

10-1

Chapitre 10

10 PROBLÈMES SUPPLÉMENTAIRES, COURS 1 À 9

Voir pages suivantes

Problème 1

Soit le barreau de section variable présenté à la figure 1.

FIG. 1 – Schéma du barreau de section variable

On désire calculer le déplacement u(x) en x = 50 par la méthode des éléments finis. Pour cefaire, on fera l’hypothèse que la distribution de contrainte est uniforme dans toutes les sectionsdu barreau. Cette hypothèse est réaliste pour L assez grand. En effet, si on avait L = 0 on auraitun changement abrupt de section (i.e. un coin) et l’on sait que cela entraîne des concentrationsde contraintes à la racine du coin.

Comme le chargement consiste en une seule force axiale, ce problème est unidimensionnel etl’on ne tiendra compte que du déplacement en x uniquement. Le barreau est fait d’un matériaude module E = 1.

On demande de calculer le déplacement en x = 50 avec 3 maillages différents : un maillageà 1 élément, un maillage à 2 éléments et un maillage à 3 éléments. Dans chaque maillage, onprendra des éléments de même longueur. Par convention, on notera les noeuds de 1 à n + 1,où n est le nombre d’éléments, de x = 0 à x = 50. De plus, on désire comparer la solution paréléments finis avec la solution analytique de ce problème.

Finalement, on prendra une aire effective A(i) pour la section de chaque barreau (i). A(i) estcalculée de la manière suivante :

A(i) =1

2[A(xi) + A(xj)]

où xi correspond à la position du noeud i de l’élément (i).

Chapitre 10 - Problèmes suppl. pour les cours 1 à 9

10-2

Guides pour la solution

Pour arriver aux solutions finales, on vous propose le schéma suivant :

1. Exprimer la matrice de rigidité d’un barreau droit dans son repère local. On aura ainsi pourcet élément

{

f (i)}

=[

K(i)] {

u(i)}

.

2. Calculer les matrices de rigidité de chaque élément dans leurs repères locaux.

3. Calculer les matrices de rigidité de chaque élément dans le repère global. Il ne faut pasoublier d’augmenter les matrices

[

K(i)]

pour que :{

f (i)}

=[

K(i)]

{u}. On rappelle que{

f (i)}

et {u} représentent toutes les forces et déplacements du problème, même ceux quine sont pas attachés à cet élément (i).

4. Calculer la matrice de rigidité [K] du système avec la formule : [K] =∑

[

K(i)]

. On auraalors le système suivant à résoudre : {f} = [K] {u}.

5. Remplacer dans {f} et {u} les valeurs connues et inconnues.

6. Réorganiser le système d’équations pour trouver les valeurs de {u} qui sont inconnues.

La solution analytique

Si l’on trace un DCL, on peut voir par équilibre que la force qui s’applique sur chaque sectionest égale à F . Comme on a fait l’hypothèse que la contrainte σ est constante dans une section, onaura directement que :

σ(x)A(x) = F

On peut calculer directement A(x) à partir de la figure 1 qui est : A(x) = 10 − 325

x. On tire donc :

σ(x) =F

10 − 325

x

On sait que la déformation ε = dudx

, où u(x) est le déplacement. De plus, par la loi de comporte-ment, on a : σ = Eε. On tire donc l’équation différentielle à résoudre suivante :

du

dx=

F

E

1

10 − 325

x=

F

E

25

250 − 3x

Par intégration, on tire :

u(x) = −25

3

F

Eln[250 − 3x] + C

où C est une constante d’intégration. Comme l’on a que u(x = 0) = 0, on peut calculer C. Ontire donc :

u(x) =25F

3E

[

ln[250] − ln[250 − 3x]

]

En remplaçant F et E par leurs valeurs, on tire :

u(50) ∼= 7.636


10-3

Les solutions numériques

Le tableau 1 donne les solutions numériques. On peut remarquer que l’on s’approche de plusen plus de la solution exacte à mesure que le nombre d’éléments augmente. À la limite, quand ladimension des éléments sera infinitésimale, on atteindra la solution analytique. On parle alors deconvergence de la solution. Nous verrons ce sujet plus en détails dans le cours. Pour ce problèmeci, on remarque que pour seulement 3 éléments, la précision relative sur u(50) est de l’ordre de0.9%, ce qui peut être acceptable dans certaines conditions.

1 élément 2 éléments 3 éléments

{

u1

u2

}

∼={

07.14

}

u1

u2

u3

∼=

02.947.49

u1

u2

u3

u4

∼=

01.854.237.56

TAB. 1 – Solutions numériques du problème 1


10-4

Problème 2

Considérons la même pièce qu’au problème 1, sauf que cette fois-ci, ce n’est pas une force F

qui est appliquée mais un déplacement U = 7.636.Calculer, par la méthode des éléments finis, la force f en x = 50 ainsi que les déplacements

ui pour un maillage à 4 éléments de même longueur.

Attention : Il y a un petit piège au niveau de la réduction du système d’équations, saurez-vousle trouver ?

La solution exacte

La solution exacte de ce problème a été calculée au problème 3. On avait alors que pour uneforce F = 1 un déplacement de 7.636. Donc, f en x = 50 est donc égale à 1.

La solution numérique

Le système à résoudre est le suivant :

1

50

68 −31 0−31 56 −25

0 −25 44

u2

u3

u4

∼=

00

2.90

La solution de ce système est :

u2

u3

u4

∼=

1.362.984.99

Ce qui conduit à :

f1

f2

f3

f4

f5

∼=

−1.0064000

1.00548

On peut voir que −f1 6= f5, ce qui devrait être le cas si on avait équilibre. Cette différence estattribuable à l’arrondissement des valeurs aux différentes étapes des calculs. Si l’on voulait plusde précision, il aurait fallu garder plus de chiffres significatifs à chaque calcul. Si l’on avait faitles calculs avec toute la précision d’un ordinateur (sur 32 bits) on aurait −f1 ≈ f5 ≈ 1.005255...et la différence entre −f1 et f5 serait de l’ordre de 2.2 × 10−16.


10-5

Problème 3

Soit le problème du cadre de barreaux droits vu en classe représenté à la figure 2. !"#$%& "($!)*+! %& $&#,-#$./,,/&# !"#$ 012134$54"#(/6$ +*(,+"($!3*$7+*(,+"($!8$*&"($!9$! *&,($!$ +7&*+(#/:!("4,8;54"#(/ !"#$1 <)=(1)

(2)(3)

~F (2, 1)

1 2

3

x

y

! #$% #$ &$' ()*!+,+-' '),.*!+$'FIG. 2 – Cadre à barreaux droit vu en classe

On rappelle que E(1)A(1) = 100, E(2)A(2) = 50, E(3)A(3) = 200√

2, L(1) = 10, L(2) = 10 etL(3) = 10

√2.

Calculez les matrices de rigidité de chaque élément dans le repère global.

Guide pour arriver à la solution

1. Calculer les matrices de rigidité[

K(i)]

de chaque élément dans son repère local

2. Calculer les matrices de rotation[

R(i)]

de chaque élément

3. Calculer la matrice de rigidité de l’élément dans le repère global par la formule :[

K(i)]

=[

R(i)]T [

K(i)] [

R(i)]

4. Augmenter la matrice[

K(i)]

de sorte à avoir une relation entre toutes les forces et dépla-cements du problème (i.e. rajouter des colonnes et lignes de 0 pour les degrés de liberté etchargements qui ne sont pas attachés à l’élément (i))


10-6

La solution numérique

[

K(1)]

= 10

1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0

−1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

[

K(2)]

= 5

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 −10 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 1

[

K(3)]

= 10

1 1 0 0 −1 −11 1 0 0 −1 −10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

−1 −1 0 0 1 1−1 −1 0 0 1 1

On retrouve bien [K] =[

K(1)]

+[

K(2)]

+[

K(3)]

qui a été donnée en cours :

[K] =

20 10 −10 0 −10 −1010 10 0 0 −10 −10

−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5

−10 −10 0 0 10 10−10 −10 0 −5 10 15


10-7

Problème 4

La figure 3 montre une plaque mince de section variable qui supporte une force de 6700N.La plaque est faite d’un aluminium dont le module est 73 GPa. Il y a un trou dans la partiecentrale de la plaque, comme indiqué sur la figure. On désire traiter ce problème avec un modèleélément finis de trois éléments. Calculez les déplacements aux points B, C et D. Sur la base de cesdéplacements, calculez la force verticale de réaction au point A (qui devrait être égale à -6700Nsi on veut être en équilibre).

Conseil : Utilisez des barreaux de section constante dont la section est la moyenne de celles auxextrémités de chaque élément (i.e. pour le premier barreau, la section effective sera la moyennede celle au point A et au point B).

100 mm

62.5 mm

62.5 mm

125 mm

12.5 mm

50mm

6700 N

A

B

C

DÉpaisseur = 3.2 mm

x

FIG. 3 – Barreau de section variable troué

Réponse

uA

uB

uC

uD

=

0.00000.01910.07650.1084

mm


10-8

Problème 5 – Exercice sur les unités consistantes

On vous donne comme mandat d’étudier par éléments finis la viabilité de certaines modifica-tions sur un barrage hydro-électique dans le Nord du Québec. Le barrage est fabriqué de béton(E = 30GPa et ν = 0.28). Dans le fichier de commandes NASTRAN, on trouve les commandesMAT1 et GRAV suivantes :

$ Propriétés du béton

MAT1, 1, 3.0E+13, , 0.28, X

$ Accélération gravitationnelle

GRAV, 201, , 9.81E-03, 0.0, 0.0, -1.0

$

On pourra se référer à la liste des commandes NASTRAN postées sur le site web du cours, dansle menu « Références NASTRAN » pour la signification des champs de ces commandes.

Question a)

Dans quel système d’unités (triplet Longueur – Force – Temps) travaillez-vous ? La base detemps est la seconde.

Question b)

Si le béton a une masse volumique de 2320 kgm3 , quelle valeur allez-vous entrer pour le para-

mètre X de la commande MAT1 écrite plus haut ?

Réponses

Question a) km – kN – sQuestion b) 2.32E+12


10-9

Problème 6 – Problème sur les conditions de symétrie

Soit le problème 2D avec chargement et conditions aux rives suivant :

Ty = Rx = 0

x

y

F

2

F

2

Ty = Rx = 0

FIG. 4 – Figure du problème 6

A quelle structure complète ce problème est-il équivalent et pour quelle portion de la struc-ture obtiendra-t-on le champ de déplacements ?

Réponses

x

yF F

Zone pour laquelle

la solution est obtenue

FIG. 5 – Réponses au problème 6


10-10

Problème 1 - Exercice sur les MPC

Soit le problème à barreaux droits illustré à la figure 1. Le noeud 3 est attaché à un mécanismequi fait en sorte que le déplacement de ce noeud ne peut se faire que selon un axe défini parle vecteur ~γ. Le vecteur ~γ fait un angle de θ = 37◦ avec l’axe x global. Le problème est 2Duniquement et les seuls degrés de liberté qui ne sont pas fixés à 0 sont les Tx et Ty. On désireincorporer cette contrainte avec une commande MPC.

Questions :a) Écrire sous forme d’équation(s), les contraintes à imposer sur les degrés de liberté du

noeud 3.b) Écrire la (les) commande(s) MPC nécessaire(s).

Réponses

T3y − tan (37)T3x = 0MPC, 1, 3, 2, 1.0, 3, 1, -0.754

Note : La réponse n’est pas unique, il peut y avoir plusieurs possibilités qui soient équivalentes.

FIG. 1 – Figure du problème 1


10-11

(0,0) (1,0)

(1,1)(0,1)

Plaque Al

Barreauxacier

x

yx

y

1 2

34

FIG. 2 – Panneau de cisaillement du problème 2

Problème 2 - Exercice sur les panneaux de cisaillement

Soit le panneau de cisaillement à la figure 2. Ce panneau est en fait une plaque d’aluminium(E = 70GPa) sur laquelle est soudée des raidisseurs en acier (E = 180GPa). Il n’y a pas deraidisseur dans la direction y. La plaque est carrée et d’une épaisseur T = 0.1mm. Les barreauxont une section dont l’aire est de 0.03mm2. Ce panneau de cisaillement est attaché aux noeudsillustrés à la figure 2. Les noeuds ont déjà été définis par la commande GRID, l’aluminium par lacommande MAT1 où le MID = 1 et l’acier par la commande MAT1 où le MID = 2. Les distancessont en mm, les forces en N et le temps en s.

Écrivez toutes les commandes nécessaires pour définir ce panneau de cisaillement dans NAS-TRAN. Attention, ce petit problème est bourré de pièges.

Réponse :

CSHEAR, 1, 1, 1, 2, 3, 4

PSHEAR, 1, 1, 0.1, 0.0, 15.43, 0.0

Problème 3 - Exercice sur les combinaisons de chargements

La structure de la figure 3 présente un plan de symétrie géométrique et est soumise à unmoment autour de x :

Tous les degrés de liberté sont fixés à 0 aux noeuds 1 et 3. Comme la structure présente unplan de symétrie géométrique, vous ne maillez qu’une seule partie, comme illustré sur la figure.

a) Élaborez des cas de chargement, que vous combinerez, pour calculer la réponse dans la partiede gauche.

b) Écrivez l’équation qui combine ces cas de chargement pour calculer la réponse dans la partiede gauche.


10-12

Plan de symétrie

géométrique

Maillagex

y

Mx > 0

FIG. 3 – Figure pour le problème portant sur les combinaisons de chargement.

Réponses

M > 0 M > 0 M > 0 M >0x x x x

SYM ASYM

LC1 LC2

LCF =1

2(LC1− LC2)

Problème 4 - Exercice sur les MPC et les RBE2

Nous avons déterminé en classe une équation de contrainte à imposer sur le bouclier anti-radiation du TP1 afin de simuler une très grande rigidité en torsion du quadrilatère formé parles noeuds 2-3-20-21. On avait imposé que les déplacements en z de ces noeuds fassent en sortequ’ils demeurent toujours dans le même plan.

Maintenant, on se demande s’il serait possible d’imposer que ces quatre noeuds demeurentdans le même plan avec des éléments rigides RBE2.

QuestionMontrez que la commande :

RBE2, 1, 2, 345, 3, 20, 21

fait en sorte que les noeuds 2-3-20-21 demeurent dans le même plan.

Guide pour la solution

1. Établissez le déplacement Tz de chaque noeud esclave en utilisant les équations de contraintesassociées au lien rigide qui ont été données en classe.

2. Vérifiez que ces points demeurent dans le plan avec l’équation que nous avons obtenue enclasse lorsque l’on a développé la commande MPC pour la partie F du TP1.


10-13

Cours MEC3400 Éléments finis en mécanique du Solide 7 édition … · [5] "Finite Element...

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