Cours M1 Finance 2014-2015 (2) séance du 26...

Cours de gestion financière (M1)

Séance du 26 septembre 2014Théorie du portefeuille, CML

1

Harry Markowitz

William Sharpe

Séance du 26 septembre 2014 (2)Théorie du portefeuille, CML

Plan de la séance Finance et probabilités : causalité, déterminisme, modèles

aléatoires Finance comportementale et probabilités : biais cognitifs

Validité des stratégies contrarian ? Préférences des investisseurs

Plan « écart-type, espérance de rentabilité » Frontière efficiente des actifs risqués Concavité de la frontière efficiente Portefeuille risqué + actif sans risque Choix optimal de portefeuille, ratio de Sharpe Portefeuille tangent, « capital market line », portefeuille de

marché2

Finance et probabilités

Utilisation des probabilités pour la gestion financière

La notion de hasard « pur » Issue des jeux de « hasard » Tirage de dés non pipés, roulette, jeu à pile ou face Angle d’une aiguille lancée en l’air Souvent liée à une équirépartition des risques

Probabilités uniformes Tirage à pile ou face Deux événements : pile et face

Probabilité que la pièce tombe sur pile

Hasard pur défini par opposition au déterminisme3

Finance et de probabilités

Mais le numéro qui apparaît au moment du tirage d’un dé (non pipé) est parfaitement connu dès le lancer … Tout est gouverné par les équations de la mécanique Vitesse de lancer, angle, capacité d’absorption de l’énergie

cinétique de la surface Forte dépendance du tirage observé par rapport à une faible

variation des conditions initiales « Attracteurs étranges » : ensemble de conditions terminales ou

d’observations « fréquemment » observées « effet papillon », théorie du chaos, …

Dans des circonstances « normales », tout se passe comme si l’on avait un tirage équiprobable

Mais on peut s’en écarter très fortement Voir le numéro du magazine Pour la Science, novembre 2009, n°385

4

http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article‐les‐des‐sont‐pipes‐23561.php


Les évolutions génétiques issues des interactions avec l’environnement sont déterministes Mais si complexes, qu’une modélisation aléatoire est adaptée

Les générateurs de nombres aléatoires Par exemple, celui d’Excel qui permet de simuler une valeur

entre 0 et 1 selon une loi uniforme Réputé de qualité discutable, ce qui peut poser de graves

problèmes pratiques

Sont issus d’algorithmes purement déterministes À partir d’une racine donnée, on peut parfaitement déterminer

la suite de nombres « pseudo-aléatoires » « vu de loin », ces séquences déterministes sont assez similaires

à de « véritables » suites de nombres aléatoires.5


Remarque incidente Si on n’est pas capable de prévoir un phénomène aussi

simple que le résultat d’un lancer de dé Alors que l’on connait les causes

Vitesse de lancer, angle, nature de la surface

Et les relations entre les causes et les effets Les équations de la mécanique

Il est peu crédible de prétendre prédire l’évolution du cours de l’euro par rapport au dollar Les causes sont beaucoup plus nombreuses Certaines mal identifiées a priori, mal hiérarchisées Les mécanismes entre causes et conséquences sont complexes et

controversées

6

Rentabilités boursières : modèles aléatoires

Modélisation probabiliste des rentabilités boursières Le schéma standard de modélisation repose sur la connaissance par

les investisseurs d’un espace probabilisé

Espace probabilisé Ensemble d’états de la nature

Pour simplifier, toutes les valeurs possibles d’une rentabilité Probabilité

mesure de la « fréquence » des « événements ». « la probabilité que la rentabilité soit positive est de 50% »

Tribu de sous-ensembles de , appelés aussi événements Ces sous-ensembles vérifient certaines propriétés mathématiques Pour simplifier les choses, tout sous-ensemble de valeurs possibles sera

ici considéré comme un événement, c’est-à-dire que l’on pourra attribuer une probabilité à toute rentabilité

Dans l’exemple précédent, l’événement est « la rentabilité est positive »7


Modélisation probabiliste des rentabilités boursières Différentes classifications du risque et de l’incertain

Distinction remontant à l’économiste Frank Knight

Identification ou pas des scénarios (états de la nature) Du fait de nos limites cognitives, de notre rationalité limitée Exemple : les autorités financières américaines n’avaient pas

identifié le scénario de 2008, la faillite de Lehman Brothers, la quasi-faillite d’AIG et leurs implications sur le système financier

We also know there are known unknowns; that is to say we know there are some things we do not know. But there are also unknown unknowns - the ones we don't know we don't know.

And if one looks throughout the history of our country and other free countries, it is the latter category that tend to be the difficult ones.

D. Rumsfeld à propos de la politique américaine en Irak en.wikipedia.org/wiki/There_are_known_knowns

8


Connaissance ou pas des lois de probabilité Ex: lois de probabilité uniforme

les états de la nature sont équiprobables Analogie avec le jeu de dés

Loi « normale » ou gaussienne très souvent utilisée pour les rentabilités boursières Les états de la nature correspondant à des valeurs extrêmes ont des

probabilités d’occurrence plus faible Courbe « en cloche » Dépendant de deux paramètres (moyenne et écart-type)

On peut utiliser d’autres lois de probabilités, les lois normales sous-estimant la probabilité de krachs boursiers par rapport à des variations normales des cours boursiers

Fama ou Mandelbrot ont par exemple considéré des lois dites « stables » ayant des variances infinies

9

Rentabilités boursières : modèles aléatoires Connaissance ou pas des lois de probabilité

http://fr.reuters.com/article/frEuroRpt/idFRL6N0Q415T20140729?pageNumber=2&virtualBrandChannel=0

Annonce des résultats trimestriels 2014 de Deutsche Bank Dans la perspective du versement d'amendes et de règlements à

l'amiable et d'un éventuel besoin de fonds propres additionnels identifié dans le cadre des tests de résistance en cours sous l'égide la Banque centrale européenne, Deutsche Bank a levé en juin 8,5 milliards d'euros afin de renforcer son bilan.

"Il y a une incertitude de taille sur le calendrier et sur l'ampleur de l'impact potentiel. Par conséquent, le coût réel des frais de justice sur le bilan de l'exercice 2014 est imprévisible" a toutefois prévenu la banque.

Ici, la banque se refuse à communiquer une valeur moyenne ou un intervalle de confiance des coûts juridiques Peu d’éléments de comparaison, grande variabilité des sanctions,

durcissement ou pas de la politique judiciaire aux États-Unis10


Le non-déterminisme des cours boursiers (futurs) est un élément important de la théorie financière moderne Par opposition au « démon (ou au génie) de

Laplace » qui disposerait d’une intelligence … «Une intelligence … Rien ne serait incertain pour

elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. »

Pierre-Simon Laplace, 1814 Ceci remet en cause le rôle des analystes financiers,

des gérants de portefeuilles Mais pour des investisseurs « initiés », disposant

d’informations privilégiées et de capacités supérieures à traiter ces informations, « les dés sont pipés »

Voir Grossmann et Stiglitz pour une analyse plus poussée

11

Finance comportementale, probabilités

Des biais cognitifs ont été mis en évidence par les psychologues et les économistes Finance comportementale

D. Kahneman étudie les mécanismes cognitifs et les constructions déformées du passé et de l’avenir Biais de reconstruction, biais d’optimisme

Examine la prise de décision financière en faisant le lien entre psychologie, microéconomie et développement du capitalisme Part III Overconfidence Part IV Choices

12

Finance comportementale et probabilités

Mise en perspective de la théorie de l’utilité espérée Von Neumann et Morgenstern Principal outil de la théorie

microéconomique Et de ses limites en matière de

gestion des risques Aversion aux pertes Cadrage en gros plan Concepts très utiles pour tout

décideur financier

13

« Biais d’optimisme » Surestimation de ses capacités

Tendance à surévaluer les chances de succès et minimiser les risques d’échec

Notamment en matière d’investissements boursiers et au niveau des entreprises

Ne pas confondre initié et prétentieux ! Sous-estimer les capacités des

«adversaires » Si un vendeur trouve avantageux de vendre à

un prix donné, pourquoi lui acheter à ce prix ? Un teneur de marché (market maker) est-il un

concurrent ou un conseiller de ses « clients » ?

14

http://www.youtube.com/watch?v=qzJxAmJmj8w

http://www.philomag.com/les-idees/entretiens/daniel-kahneman-les-gens-sont-infiniment-compliques-7155

Finance et probabilités Hasard et incertitude créent un sentiment

d’insécurité D. Kahneman en équations :

Success = talent + luck Great success = a little more talent + a lot of luck.

Tendance à surévaluer le talent de ceux qui ont réussi par rapport à la part de la chancedans leur succès Cela ne veut pas dire qu’ils manquent de talent, ni

d’humour …

Un biais cognitif courant consiste donc à minimiser l’effet du hasard

Ceci contribue d’ailleurs à alimenter le besoin en prévisionnistes et experts « Financial gurus »

http://www.marketoracle.co.uk/Article43686.html 15

L’oracle d’Omaha …

Prévision à 3 ans du niveau des actions US, site marketoracle


Biais de sélection, biais du survivant Processus de sélection naturelle

Darwin place le hasard au centre de l’évolution Les gérants de portefeuilles qui se trompent font

perdre de l’argent à leurs clients disparaissent … Il ne subsiste que des gérants chanceux …

Éventuellement talentueux, mais avant tout chanceux

Tests statistiques de la mesure de performance en corrigeant ces biais

“False discoveries in mutual fund performance: Measuring luck in estimated alphas” Barras, Scaillet & Wermers Journal of Finance 2010

New York Times : The prescient are few http://www.nytimes.com/2008/07/13/business/13stra.html?_r=0

16

We are profoundly ignorant of the causes

producing (…) variations

and as we do not see the cause, we invoke cataclysms to desolate the world, or invent

laws on the duration of the forms of life!

Citations de Darwin


Considérons que des déterminismes complexes puissent être vus comme le fruit du hasard Est-on pour autant revenu au niveau zéro de la connaissance ? Non, car la connaissance est celle de la loi de probabilité qui

« gouverne » l’apparition du phénomène. Par exemple, la probabilité de tirer 421 est de … C’est une certaine connaissance

C’est ce à quoi prétend la finance moderne On a déplacé le champ de la connaissance Dans ce contexte, il est possible de prendre des décisions

intelligentes en matière de choix d’investissement17


Différence entre jeu de dés et évolution des cours boursiers ?

Dans le cadre d’une modélisation probabiliste Pour le jeu de dés (non pipés), on connaît a

priori la loi de probabilité d’apparition des numéros, par la nature même du jeu.

On ne connaît pas a priori la probabilité que la rentabilité boursière demain d’une action donnée soit positive. Certains pourraient penser que c’est ½ Mais ne prend pas en compte les primes de risque Rentabilité attendue augmente avec le risque Et l’asymétrie des rentabilités Moins de variations à la baisse, mais de plus

grande amplitude Krachs boursiers

18

Finance et probabilités Déterminer des probabilités d’occurrence d’événements

futurs À partir d’observations historiques ou par la répétition

d’expériences Objectif de la statistique inférentielle

Pour un jeu de dés, faire un grand nombre de lancers « tirages indépendants »

Calculer la fréquence d’apparition d’un nombre donné, disons 3 Nombre d’apparitions du nombre 3 rapporté au nombre de

tirages Ceci donne une bonne approximation de la probabilité

d’apparition de ce nombre Loi des grands nombres, théorème central limite

On parle d’approche fréquentiste et de probabilité objective19


Il faut pouvoir répéter un grand nombre d’expériences de « tirages » de dés de manière « indépendante » Situation idéale : tirages indépendants et

identiquement distribués (iid) Identiquement distribué veut dire que l’on

joue toujours au même jeu La loi de probabilité est la même à chaque

nouvelle expérience Ceci correspond à la notion de risque au

sens de Frank Knight (1921) Et correspond en première approche à des

« risques assurables »20

F. Knight


Une autre vision des probabilités Degré de croyance dans la survenance d’un événement ou dans

la plausibilité d’une hypothèse Souvent un événement de nature unique Ne se prêtant donc pas à une répétition d’expériences

Opinion personnelle dires d’expert, Opinion collective Probabilité que B. Obama soit réélu Selon vous-même, d’après les sondages, les bookmakers, … Certains auteurs comme Ramsey (1931) ou Savage (1954)

insistent sur la notion de « probabilité subjective » Ces degrés de croyance peuvent être réévalués en fonction des

interactions avec d’autres agents ou de nouvelles informations Ceci peut donner un caractère rationnel à ces « croyances »,

Keynes (1921)21

L. Savage


En finance, on retrouve cette dualité d’approches Approche classique, objective, fréquentiste des probabilités

appliquées aux rentabilités boursières Les principaux éléments de décision (espérance et écart-types des

rentabilités, …) peuvent alors être déterminés par des méthodes statistiques standard

Ces quantités sont supposées stables au cours du temps Approches privilégiant l’analyse des croyances subjectives

sur le futur telles que reflétées dans les prix de marché Ou en fonction des opinions d’expert Certains acteurs de marché peuvent considérer que de telles

probabilités « prospectives » peuvent être déterminées D’autres qu’elles sont indicatives avec un degré de confiance variable Les acteurs de marché ne pensent pas qu’on « joue » à un jeu dont les

règles seraient fixes22


Comment reconnaître l’aléatoire ? Comme le montre bien D. Kahneman, l’appréhension

cognitive de l’aléatoire n’est pas naturelle et demande un « effort » et une éducation de l’esprit Recherche de causalités a posteriori donnant l’illusion de liens de

cause à effet (narrative fallacy) Le « système 1 » du cerveau humain est une « machine

interprétative » (jumping to conclusions)

Exemples de biais cognitifs courants On suppose que les rentabilités boursières suivent une marche

aléatoire À la date courante, le « hit » prend la valeur 1 si la rentabilité est

positive, 0 sinon. Une chronique boursière va alors induire une suite de valeurs 101101

23

Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ?

Si l’hypothèse de marche aléatoire est vérifiée, alors les valeurs successives de 0 ou de 1 sont indépendantes et la probabilité d’obtenir la valeur 0 ou 1 est ½ Comme dans un jeu de pile ou face

Considérons maintenant les suites de valeurs suivantes 11111111 (le marché boursier est haussier à toutes les dates) 10101010 (les hausses compensent les baisses afin qu’il y ait autant de

hausses que de baisses) 11110000 (le marché suit d’abord une tendance haussière régulière et se

retourne) 10110011 (le marché évolue de manière erratique avec une tendance à la

hausse).

Quelles sont les évolutions qui vous semblent typiques d’une marché aléatoire et celles qui ne le sont pas? Quelles sont les évolutions les plus probables, les moins probables ?

24

Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ? L’exemple précédent illustre les problématiques associées au

big data et au data mining en matière financière

Autre exemple du même type

Graphique de gauche : distribution équirépartie « uniforme » totalement non aléatoire

Graphique de droite : distribution tirée d’une loi de probabilité uniforme

25

Comment reconnaître l’aléatoire ?

Londres au moment de la 2ième guerre mondiale: Répartition des impacts des V1

On remarque que les régions Nord-Est est Sud-Ouest sont épargnées

On a supposé que les Allemands évitaient de bombarder ces zones pour protéger leurs espions

26


« Contrarian vs momentum»

27

Warren Buffet

Les stratégies momentum parient sur l’extrapolationde tendances, les stratégies contrarian sur un retourà la moyenne. Dans un cas comme dans l’autre, onne croit à l’hypothèse de marchés efficients


Reprenons notre graphique et divisons le en 4 parties égales séparées par les diagonales

Les impacts sont maintenant régulièrement répartis … How We Know What Isn't So: The Fallibility of Human Reason in

Everyday Life, T. Gilovitch, http://bias123.com/clustering_illusion Un test statistique formel (Clarke, 1946) ne permet pas de rejeter

l’hypothèse d’une distribution uniforme http://jumpthecurve.net/change/unlearning-lesson-26-stop-looking-for-patterns/ http://www.squawkpoint.com/2013/01/patterns-in-data/

28


Recherche de « causalités » a posteriori « Narrative fallacy » (Nassim Taleb)

Reconstruction du passé afin de lui donner un sens Le jour où Saddam Hussein a été capturé, les prix des

bons du trésor américain ont augmenté Bloomberg transmis le flash d’information suivant US Treasuries rise; Hussein capture may not curb

terrorism ½ heure après, les prix des bons du trésor américain

repartent à la baisse et Bloomberg révise son gros titre US Treasuries fall; Hussein capture boosts allure of

risky assets Tendance à reconsidérer ses propres croyances

(passées) en fonction du futur réalisé Biais rétrospectif (Baruch Fischhoff) Exemple de la sortie de la Grèce de la zone euro 29

Finance et illusions statistiques

Les graphiques précédents ont une implication pratique pour la gestion financière… En abscisses, la rentabilité en 1, en ordonnées la

rentabilité en Les points de coordonnées , , , étant situés

en haut à gauche (deuxième quadrant) et en bas à gauche (quatrième quadrant)

Ou encore plutôt le long de la seconde bissectrice Il s’agit d’un « claire indication » en faveur d’une

stratégie « contrarian » Hausse tend à être suivie d’une baisse et vice versa « retour à la moyenne »

Acheter après une baisse et vendre après une hausse À ne pas confondre avec acheter au son du canon et

vendre au son du clairon

30

,

,

Buy to the sound ofcannons, sell to thesound of trumpetsNathan Rothschild 1810

Mais on a de bonnes raisons de penser qu’une baisse peut être suivie d’une hausse

Rothschild et la bataille de Waterloo Selon la « légende », la bourse de Londres était

suspendue à l’issue de la bataille de Waterloo Tous les opérateurs étaient à l’affût de ce

qu’allait faire le courtier des Rothschild En effet, ceux-ci disposaient d’un réseau

d’information privilégié qui leur permettrait de connaître l’issue de la bataille avant les autres

À un moment donné, on vit leur courtier s’agiter et donner des ordres de vente sur les « consols » des obligations perpétuelles émises par l’état anglais Rapportant typiquement un coupon de 3%

Il s’ensuivit un véritable krach, le prix des consols baissant d’environ 95%

31

Finance et prix des actifs

Rothschild et la bataille de Waterloo Ce qui permit aux Rothschild d’acheter au plus bas D’acheter à 0,05 et de revendre à 1 (pair) ou plus

Ceci est largement romancé Et non dénué d’arrière-pensées …

Le montant allégué des gains n’est pas compatible avec la taille du marché des obligations à l’époque

Selon Ferguson, N. Rothschild disposait d’un important stock d’or : « valeur refuge »

Pris de court par la rapidité de la victoire et ne pouvant vendre rapidement

« Couverture » en achetant des obligations d’état anglaises Au bon moment car il était effectivement un front runner À la différence du HFT, où la « force brute » (traitement le plus

rapide des nouvelles) est le principal facteur de gain Il fallait prendre en compte les stratégies des autres agents

comme dans le concours de beauté keynésien32

Il jouait à la baisse, et montait à mesure Que notre chute était plus profonde et plus sûre ; (….)Un million joyeux sortit de Waterloo ; Si bien que du désastre il a fait sa victoire.

Victor HugoContemplations, Melancholia, 1838

THE HOUSE OF ROTHSCHILDMoney's Prophets, 1798-1848

Finance et dynamique des prix des actifs

Il existe effectivement des situations où une forte baisse peut être succédée par une forte hausse des cours « cash-in the market », Allen et Gale (2004)

From Cash-in-the-Market Pricing to Financial Fragility http://www.nyu.edu/econ/user/galed/papers/paper04-09-03.pdf

En cas de crise de liquidité, des investisseurs ayant emprunté sont forcés de vendre à prix bradé leurs actifs « fire sales », une sorte de trou d’air dans les prix

Ceux qui sont en position de force sont les fournisseurs de liquidités Eux seuls disposent de quoi racheter ces titres

Exemple typique : la Fed, prêteur en dernier ressort au moment de la crise de 2008 Transparents suivants Accroissement des achats de créance hypothécaires, source de profit importante Reversement gigantesque de bénéfices au trésor public

33


Quantitative easing : augmentation du bilan et achats d’actifs risqués par la Fed après la faillite de Lehman

34

En orange, achats massifs de titres hypothécairesMBS : mortgagebacked securities

On voit qu’une partie importante des résultats est liée à l’achat de titres hypothécaires dépréciés.

Il faudrait décomposer les 45 milliards de dollars de résultats en plus-values sur titres, produits financiers (intérêts reçus) et pertes liées au non-remboursement

And it made $26 billion from its holdings of $1.1 trillion in government debt.

The Fed also made $45 billion from its portfolio of roughly $1 trillion in mortgage-backed securities.

The financial statements show that the Fed earned about $3.5 billion last year from the Maiden Lane subsidiaries it created to buy assets from the investment bank Bear Stearns and the insurance company American International Group

35

http://www.nytimes.com/2011/03/23/business/economy/23fed.html?_r=2&ref=business&


36http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2013/201301/index.html#fig3

Montants reversés par la Fed au trésor américain (en milliards de dollars)On constate une augmentation notable à partir de 2009 et une explosion dès 2010.

Le montant reversé en 2013 est de 79,6 milliards de dollars


Un timing parfait pour les achats ? Évolution de l’indice S&P500 depuis 1997

37


Un timing parfait pour les achats ?

38http://www.oftwominds.com/blogapr14/Fed-housing4-14.html

Les indications relatives auxdates d’achat de la Fed sonttirées du site cité et sont ànuancer. Les achats de la Fedn’ont pas tous eu lieu au meilleurmoment et ont été étalés. Onconstate néanmoins des achatsimportants dans les momentsopportuns et un allègement duportefeuille quand le marché estau plus haut.

Évolution de la richesse en jouant à pile ou face (gain de +/- un euro) : marche aléatoire

le tracé met en évidence des tendances A posteriori, peuvent être aussi bien haussières que baissières L’absence de tendance est l’exception, plutôt que la règle

En outre, les évolutions purement aléatoires présentent des aspects cycliques …


39

Sans être un statisticien, Fama a posé des questions importantes quant à la dynamique des prix des actifs financiers.

La notion d’efficience faible des marchés est associée à celle de marche aléatoire.

Ces différents concepts financiers ou statistiques ont été précisés par la suite

Le graphique de gauche montre l’évolution de la richesse en jouant à pile ou face (gain de +/- un euro) : marche aléatoire

Le graphique de droite représente l’évolution de la richesse d’un actionnaire américain entre 2007 et 2013 On aimerait bien dire que le marché devrait bientôt se retourner Alors que sous l’hypothèse de marche aléatoire, il peut aussi bien

continuer à monter que rebaisser


40

Finance : Comment reconnaître l’aléatoire ?

To the untrained eye, randomness appears as regularity or tendency to cluster

William Feller Les statisticiens Dickey et Fuller se sont intéressés à

diverses dynamiques souvent retenues pour les rentabilités boursières

Par exemple, , ∼ 0, Les statistiques permettant de tester diverses hypothèses

comme 0 ou 0 sont spécifiques 0, 0 correspond à l’absence de tendance et de

force de rappel Un rapide calcul montre que pour une volatilité annuelle

de 25%, on a en moyenne une augmentation de 20% pour un marché haussier Et une diminution de

41

Dickey

Feller

Fuller

Comment lit-on les données ?

Les deux systèmes cognitifs Système automatique ou système 1

Intuitif, instinctif Système réflectif ou système 2

Rationnel

42

Système automatique Système réflectifNon contrôlé ContrôléSans effort Exige des effortsAssociatif Déductif

Rapide LentInconscient Conscient

Exprime un talent Applique des règles


Deux tables (R. N. Shepard (1990), MindSights)

43

Comment lit-on les données ? Évaluation des dimensions des deux tables Le système 1 nous indique que la table de gauche est plus

longue et étroite que celle de droite Une estimation moyenne est que

La table de gauche est trois fois plus longue que large Celle de droite est une fois et demi plus longue que large

En fait, les dimensions des deux tables sont identiques Biais visuel Il ne suffit pas de voir pour croire …

Il s’agit d’une erreur de jugement Celui qui la commet est pourtant persuadé qu’il a raison Dès des raisonnements statistiques et de prise de risque sont

en jeu, ce type de biais est fréquent44


Deux tables (R. N. Shepard (1990), Mind Sights)

45

Parce que tu m’as vu, tu as cru. Heureux ceux qui n’ont

pas vu, et qui ont cru !Jean 20, 29

L’incrédulité de Saint Thomas

Pour aller plus loin

Nudge, la méthode douce pour inspirer la bonne décision

Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness

Richard H. Thaler et Cass R. Sunstein R. Thaler, université de Chicago

un des pères de la finance comportementale Behavioral finance

Partie 2 : l’argent 6 Demain, j’épargnerai plus 7 L’investisseur candide 8 Le crédit : la bouteille à l’encre

46

Finance, probabilités, statistiques et leur bon usage

Quelques références complémentaires sur les problèmes méthodologiques A Statistical Guide for the Ethically Perplexed

L. Hubert & H. Wainer http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439873687

Le livre ne concerne pas particulièrement la finance, mais on retrouve les mêmes problèmes méthodologiques dans d’autres domaines où les données sont importantes pour la prise de décision

4.3 : paris et le « spread betting », 5 : corrélation et 6 : prévision http://www.youtube.com/watch?v=6c1WDlTXceM (pour une

présentation par un des auteurs Transparents sont en accès libre, mais moins en rapport avec le cours

Ce que mesurent les probabilités M. Cozic & B. Walliser

http://www.centre-cournot.org/?wpfb_dl=114 Ontologique/objectif/irréductible/fréquentiste vs

épistémique/subjectif/radical/révélation

47

La théorie du portefeuille : préférences des investisseurs

Préférences moyenne-variance Rentabilité d’un portefeuille de titres Espérance et écart-type de la rentabilité d’un portefeuille de

titres Cas de deux titres (ou portefeuilles de titres) Cas où le coefficient de corrélation est égal à un Dépendance de l’écart-type de la rentabilité par rapport au

coefficient de corrélation Frontière efficiente des actifs risqués

Concavité de la frontière efficiente Capital Market Line

Actif sans risque + actif risqué Théorème de séparation en deux fonds

48

Théorie du portefeuille : préférences des investisseurs

Toutes choses égales par ailleurs, un investisseur préfère détenir une action dont l’espérance de rentabilité est élevée.

D’autres motifs peuvent intervenir dans les choix Développement durable, responsabilité sociale des entreprises

L’écart-type est une mesure du risque pris. Plus l’écart-type de la rentabilité est élevé, plus les rentabilités sont

dispersées Il est couramment admis que les investisseurs font preuve d’aversion

vis-à-vis du risque Il existe d’autres mesures des risques pris, mais l’écart-type reste la

plus populaire et la plus maniable

On considère donc souvent qu’un investisseur préfère détenir une action dont l’écart-type de rentabilité est faible

49


La variance, tout comme l’écart-type de la rentabilité d’un titre est une mesure du risque associé à ce titre On utilise souvent le terme « volatilité » en

finance pour faire référence à l’écart-type de la rentabilité

Il peut s’agir de la rentabilité d’un titre ou de la rentabilité d’un portefeuille de titres

Un titre dont la rentabilité est certaine a une variance nulle

Actif ou placement sans risque

50


On supposera dans la suite que les investisseurs sont averses vis-à-vis du risque

Dans notre formalisme, à espérance de taux de rentabilité donné

Ils préféreront un titre ou un portefeuille de titres dont la rentabilité a une variance plus faible

En microéconomie, l’aversion vis-à-vis du risque est associée au caractère concave de la fonction d’utilité

51


Plan « moyenne-écart-type » et préférences des investisseurs Préférences moyenne-variance Un investisseur préfère un titre (portefeuille) d’espérance de

rentabilité plus élevé à niveau d’écart-type de rentabilité donné Un investisseur préfère un titre (portefeuille) d ’écart-type de

rentabilité plus faible à niveau d’espérance de rentabilité donné

52

Écart‐type des rentabilités

Espérance des rentabilités

Titre 1

PE

1 1E E R

1

Titre 2

2

Le titre 2 est préféré au titre 12 2E E R

3

Le titre 3 ne peut être comparé au

titre 1

P

3 3E E R


Chapitre 1 : préférences des investisseurs Décision financière en situation de risque

Toute choses égales par ailleurs, un investisseur préfère un placement dont l’espérance de rentabilité est plus élevée

Toutes choses égales par ailleurs, un investisseur préfère un placement dont le « risque » est plus faible

Risques et opportunités

Introduction à la théorie de l’espérance de l’utilité Critère dominant en économie du risque et en finance de

marché Introduit par von Neumann et Morgenstern

S’applique aux choix en environnement « risqué » par des individus plutôt que des organisations

Alternatives : « prospect theory », finance comportementale

Éléments de microéconomie pour le chapitre 2. Présentation des préférences moyenne-variance

La lecture du chapitre 1 est facultative53


Préférences moyenne-variance et finance comportementale Le cadre précédent comporte de nombreux

avantages Il peut être relié de manière raisonnable à la

théorie microéconomique du risque Il permet de développer une ingénierie de la

gestion de portefeuilles Avec de nombreuses implications pratiques Ces implications peuvent être testées Il est connu et compris par une large

communauté de professionnels de la finance Ses limites sont également connues Il ne rend que partiellement compte des

avancées récentes dans la modélisation des attitudes des agents économiques vis-à-vis du risque

54

La théorie du portefeuille : frontière efficiente Plan « moyenne-variance »

Préférences moyenne-variance Un investisseur préfère un portefeuille d’espérance de

rentabilité plus élevé à niveau d’écart-type donné Un investisseur préfère un portefeuille d ’écart-type de

rentabilité plus faible à niveau d’espérance donné

55

Écart‐type des rentabilités

Espérance des rentabilités

Titre 1

PE

1 1E E R

Titre 2

2

Le titre 2 est préféré au titre 1

Le titre 3 ne peut être comparé au

titre 1

3 3E E R

2 2E E R

13 P

La théorie du portefeuille : frontière efficiente

Frontière efficiente des actifs risqués On part d’un ensemble de titres On s’intéresse aux portefeuilles

constitués à partir de ces titres Ensemble des portefeuilles de titres qui

à espérance de rentabilité donnée minimisent l’écart-type Ou des portefeuilles qui à niveau d’écart-

type des rentabilités donné maximisent l’espérance de rentabilité

On représente ces portefeuilles dans le plan écart-type de la rentabilité –espérance de rentabilité Les investisseurs ayant des préférences

moyenne-variance vont préférer des portefeuilles sur la frontière efficiente 56

Écart‐types des rentabilitésEn abscisses

Espérances des rentabilitésEn ordonnées

La théorie du portefeuille : frontière efficiente

57

à chaque point correspond un

portefeuille d’actifs risqués

Frontière efficiente des actifs risqués dans le plan (écart‐type des rentabilité, espérance des

rentabilités)

Portefeuille de variance minimale. La pente de la frontière efficiente

est infinie en ce pointÉcart‐type de la rentabilité

La zone située au dessus et à gauche de la frontière efficiente ne peut

être atteinte par aucun portefeuille

Frontière efficienteDes actifs risqués

La théorie du portefeuille : frontière efficiente Formalisation

Optimisation sur l’ensemble des titres

Sous contraintes

Ou minimisation de la variance (fonction quadratique) Sous contraintes linéaires Écritures matricielles On peut se ramener au cas de deux actifs risqués Frontière efficiente : branche d’hyperbole

58

1 , ,1

MaxI

I

X X P i ii

E X E

2 2 2

1 1 1,constante

I I I

P i i ij i j i ji i j j i

X X X

1I

ii

X

Frontière efficiente

Contribution d’Harry Markowitz Utilisation de la théorie des probabilités et des techniques

d’optimisation pour la constitution de portefeuilles

Ce recours à la modélisation a permis de définir de manière précise quels étaient les portefeuilles « efficients » Frontière efficiente des actifs risqués Capital Market Line

Ceci suppose de considérer les rentabilités comme des variables aléatoires La familiarité avec les probabilités et des statistiques est

utile Espérance, variance, écart-type, lois de probabilité…

59

Remise du prix Nobel

d’économie à H. Markowitz

La théorie du portefeuille : frontière efficiente Frontière efficiente des actifs risqués

http://www.viddler.com/explore/RoyalVideosTV/videos/367/ 3 minutes et 46 secondes

Would you elaborate on the efficient frontier? Par Harry Markowitz

60

La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente

La frontière efficiente est concave

61

On va démontrer que la situation présentée sur le graphique est impossible.

La corde reliant les points A et B doit être à droite et non à

gauche de la frontière efficiente

AEBE

A B

Corde ou segment de droite reliant les points A et B

Concavité de la frontière efficiente

Définition d’une fonction concave f Une fonction réelle f est concave si et seulement si :

Interprétation géométrique La corde reliant les points et est en

dessous du graphe associé à la fonction f :

Ici correspond aux coordonnées du point A correspond aux coordonnées du point B

62

On remarque que dans la définition de la concavité

La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente Fonction f concave : interprétation géométrique

63

A

B

A AE f

0 1X

Graphe de f

Corde reliant A et B

Le graphe de f est au‐dessus de la cordeL’étoile rouge est au‐dessus de l’étoile bleue

B BE f

1A Bf X X

1A BXE X E

1A BX X

PE

AB

La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente Fonction f concave : interprétation géométrique

64

A

B

A AE f

0 1X

Graphe de f


La corde est à droite du graphe de fL’étoile rouge est à gauche de l’étoile bleue

B BE f

1A Bf X X

1A BXE X E

1A BX X

PE

AB

65portefeuilles constitués de A et B

Remarque : pour tout niveau de corrélation, un portefeuille combinant A et B en quantités positives se

situe à gauche de la corde qui relie A et BDémonstration voir transparent suivant

La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente ,

66

A

B


Étape 2 :Z est sur la corde reliant A à B

Utiliser , ,,

ou

PE

AB

P Z

Étape 1 : P est à gauche de Z

67portefeuilles constitués de A et B

La frontière efficiente étant elle‐même à gauche de l’ensemble des portefeuilles combinant A et B, elle est concave

En effet un portefeuille efficient, d’espérance de rentabilité donnée aura un écart‐type inférieur ou égal au portefeuille de même espérance formé de A

et de B

Concavité de la frontière efficiente : résumé

On considère deux portefeuilles situés sur la frontière efficiente A et B

L’ensemble des portefeuilles constitués de A et B est à gauche du segment de droite reliant A et B Voir graphique précédent

La frontière efficiente est elle-même au-dessus et à gauche de cet ensemble de portefeuilles Voir graphique de droite

Par transitivité, la frontière efficiente est à gauche de la corde reliant A et B

68

Ils sont donc situés sous la frontière efficiente

Les portefeuilles constitués de A et de B sont eux‐mêmes des portefeuilles de titres

La frontière efficiente est concave

concavité de la frontière efficiente : résumé

69

On vient de démontrer que la situation présentée sur le graphique est impossible.

La corde reliant les points A et B doit être à droite et non à

gauche de la frontière efficiente

Ce qui caractérise la concavité

AEBE

A B

Corde ou segment de droite reliant les points A et B

Actif sans risque + actif risqué

Portefeuilles obtenus par combinaison d’un actif sans risque et d’un actif (ou portefeuille) risqué

70

PE

Actif sans risque

1 FE R

Espérance de rentabilité

2

‐ Écrivons l’espérance et l’écart‐type d’un portefeuille composé de l’actif sans risque A et de l’actif risqué B

‐ On noter la proportion de la richesse investie dans B

B

A

2E

P


On constitue un portefeuille constitué de deux actifs rentabilités des titres A et B Espérances des rentabilités : ,

écart-type de la rentabilité du titre B

Le titre A est « sans risque », sa rentabilité n’est pas aléatoire

Rentabilité du portefeuille , On va s’intéresser à l’espérance et à l’écart-type de

71


On constitue un portefeuille constitué de deux actifs Espérance de la rentabilité du portefeuille

Variance de la rentabilité du portefeuille

si , d’où

En éliminant , on obtient le lien entre espérance et écart-type

Relation affine entre et 72


73

2 11

2P P

E EE E

Portefeuilles combinant un actif sans risque et un actif risqué

Une quantité négative d’actif sans risque signifie que l’on emprunte au lieu de prêter au taux sans risque

(effet de levier)

On a supposé ici que le taux de prêt et le taux d’emprunt sont égaux (à )

Traiter le cas où les taux de prêt et d’emprunt sans risque diffèrent …


Relation affine entre et


74

Pour comprendre comment on se déplace sur la demi‐droite en fonction de la composition du portefeuille, il suffit de revenir à l’équation

Une quantité négative d’actif sans risque signifie que l’on emprunte au lieu de prêter au taux sans risque

(effet de levier)


⇒⇒

2 21 PX E E

Actif sans risque + actif risqué Sur la demi-droite précédente,

Interprétation financière du cas Le titre risqué B est vendu à découvert Revenons sur les équations donnant

Si

D’où :

C’est l’équation d’une demi-droite Voir la demi-droite orangée sur le transparent suivant

75

1 2 2 12 2 2

2 2 2 2

P

P P

E E X E EX X


76

2 11

2P P

E EE E

2 11

2P P

E EE E

2 0X

2 0X

Portefeuilles combinant actif sans risque et actif risquéPE

Les portefeuilles situés sur la demi‐droite orange AX sont dominés par ceux situés sur la demi‐droite AZ.

A

X


77

On ne peut pas comparer directement les portefeuilles B et C


78

On ne peut pas comparer directement les portefeuilles B et C

C’

En combinant C avec l’actif sans risque on peut obtenir le

portefeuille C’ qui domine B

Actif sans risque A

Le portefeuille d’actifs B ne sera donc jamais détenu par les investisseurs qui préfèreront C

Le portefeuille C est donc préféré à B dès que la pente de la demi‐droite AY est supérieure à celle de la demi‐droite AZ

C f B f

C B

E r E r

CE

C

BE

« Capital Market Line » (CML) En noir, frontière efficiente des actifs risqués Elle est concave, on la suppose sans angles En rouge, la demi droite d’origine l’actif sans risque

est tangente à la frontière efficiente des actifs risqués

79

Portefeuille tangent

En noir, frontière efficiente des actifs risqués

Portefeuille sans risque FR


« Capital Market Line » (CML)

En abscisses, niveau de risque d’un portefeuille En ordonnées, l’espérance de rentabilité

80





Portefeuilles sous‐optimaux

La CML maximise

« Capital Market Line » (CML) L’extrémité gauche de la CML correspond à un portefeuille

investi à 100% en actif sans risque La CML s’obtient en reliant ce point au point de tangence à

la frontière efficiente des actifs risqués

81




« Capital Market Line » (CML) Tous les portefeuilles sur la CML sont constitués de

placement sans risque et de portefeuille tangent En des proportions variables Théorème de séparation en deux fonds

Les individus détiennent plus ou moins d’actif risqué en fonction de leur aversion vis-à-vis du risque Pour atteindre un niveau de rentabilité supérieur à celui

du portefeuille tangent il est nécessaire d’emprunter pour acheter des titres

risqués Effet de levier Actionnaires d’une entreprise finançant une partie de leurs

actifs par endettement82

« Capital Market Line » (CML) Tous les investisseurs détiennent le même portefeuille

constitué de titres risqués Le portefeuille tangent

Et le placement sans risque Seules les proportions varient Pour un investisseur raisonnant en $, un placement sans

risque en € est risqué et vice-versa. Le portefeuille de marché est le portefeuille constitué de

tous les titres risqués offerts aux investisseurs À l’équilibre, les titres émis par les entreprises sont détenus

par les investisseurs Le portefeuille tangent est égal au portefeuille de marché

Égalité entre titres offerts aux investisseurs et titres détenus83


L’existence d’un unique portefeuille tangent est liée à la concavité de la frontière efficiente

84

Situation hypothétique où l’on pourrait avoir deux

portefeuilles tangents

Dans une telle situation, les

investisseurs ne détiendraient pas tous une fraction du portefeuille de

marché


Le meilleur portefeuille constitué d’actifs risqués est le portefeuille de marché Composé de tous les actifs existants Problèmes pratiques

Non divisibilité de certains actifs Immobilier, œuvres d’art, etc. On peut constituer une SCI pour partager la

propriété de ces actifs, mais cela est onéreux Non négociabilité de certains actifs

non cotées sur des marchés organisés Nombre considérable d’actifs négociés sur

des marchés organisés Portefeuilles avec un nombre raisonnable

d’actifs Indices boursiers ?

85

À la recherche du portefeuille de marché

« Capital Market Line » ex-ante (CML)

En abscisses, le niveau de risque d’un portefeuille En ordonnées, l’espérance de rentabilité

86


P



Portefeuille tangent=

portefeuille de marché

« Capital Market Line » (CML) On combine le portefeuille de marché Et l’actif sans risque

87

Portefeuille sans risque

P



Espérance de rentabilité du portefeuille de

marché

M

Écart‐type du portefeuille de marché

M FP F P

M

E RE R


Équation de la CML

FR

« Capital Market Line » (CML) La notion de prime de risque et de prix de marché du risque

88


P


M

M FP F P

M

E RE R


M F

M

E R

Prix de

marché du risque

Pente de la CMLÉtudiez

le cas oùM FE R

FR

« Capital Market Line » (CML) Effet de levier

On obtient des rentabilités supérieures à celles du portefeuille de marché en empruntant au taux sans risque

89


P


M

M FP F P

M

E RE R

Espérance de rentabilité À droite du

portefeuille de marché, les investisseurs empruntent au taux sans risque

P M

P M

E E

FR

« Capital Market Line » (CML) Ratio de Sharpe : maximal pour les portefeuilles efficients

90

Si le portefeuille de marché est efficient, son ratio de Sharpe

est maximalAEBE

A f

A

E R

B f

B

E R

Ici, A est préféré à B

La théorie du marché du capital : portefeuille de marché ?

Portefeuille de marché ? 250 premières capitalisations

boursières mondiales 1er octobre 2008 Prééminence des États-Unis

Capitalisation cumulée 11 000 milliards $ = NYSE

Source Vernimmen

La théorie du marché du capital : portefeuille de marché ?

92

Loi de probabilité(ou distribution)

des rentabilités annuellesde l’indice S&P 500

Indice Standard &Poor’s500 (SPX)

créé en 1920 basé sur 500 grandes sociétés cotées

aux États‐Unis

Loi de probabilité d’un proxy du portefeuille de

marché

Ici, on se limite à des titres cotés en bourse, des

sociétés « américaines » et des grosses capitalisations

La théorie du marché du capital : les pères fondateurs

93

http://www.youtube.com/watch?v=JmL1t--kBrM&feature=player_detailpage

Estimation de l’espérance de la rentabilité du portefeuille de

marché10mn36

Entretien avec Harry Markowitz


Finance moderne et prix Nobel d’économie (5’30)

94


Vidéo: entretien avec Harry Markowitz (8mn45) http://www.youtube.com/watch?v=R6X6wcWQ95k

95

Cours M1 Finance 2014-2015 (2) séance du 26...

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