Cours Laisons

MPSI/PCSI SI, cours sur les liaisons

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MODELISATION CINEMATIQUE ET GEOMETRIQUE DES LIAISONS

I. INTRODUCTION. But de la modélisation : On modélise un mécanisme afin de mettre en évidence :

les efforts mis en jeu, c'est le domaine de la statique, les mouvements relatifs de ses composants, c'est le domaine de la cinématique, les puissances transmises, c'est le domaine de la dynamique.

Degré de liberté : Une pièce libre dans tous ses déplacements est une pièce qui n'a aucune liaison avec une autre pièce. Dans ce cas elle peut se déplacer en translation et en rotation suivant trois axes (6 degrés de liberté). Définir la liaison entre deux pièces revient à préciser le nombre de degrés de liberté possibles entre ces deux pièces. A un degré de liberté supprimé correspond un degré de liaison. Dans tous les cas, dans une liaison entre deux pièces : Nbre de degrés de liberté + Nbre degrés de liaison = 6

Liaisons normalisées : Les mécanismes sont constitués de solides liés.

Afin de simplifier l'étude des mécanismes, on associe aux liaisons réelles des modèles. Ces modèles font l’objet d’une norme, on parle de liaisons normalisées. On distingue : Les liaisons élémentaires : obtenues par contact entre des surfaces géométriques

élémentaires appartenant aux deux pièces. On fait les hypothèses suivantes : le contact s'établit théoriquement en un point, une portion de ligne ou d'une surface

de définition géométriquement simple: point, droite, cercle, plan, cylindre, sphère, surface hélicoïdale.

les surfaces de chacune des pièces sont supposées géométriquement parfaites et le maintien du contact est toujours assuré. Ces surfaces de contact sont appelées surfaces fonctionnelles.

la liaison est sans jeu.

Les liaisons composées, réalisées par une association de 2 liaisons élémentaires.


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II. LES LIAISONS ELEMENTAIRES. 2.1. Liaison sphère plan (ponctuelle). Réalisation : contact sphère/plan

Schématisation dans le plan Schématisation dans l’espace

Degré de liberté : 5 Rotation : 3 Translation : 2

Caractéristiques géométriques : Normale ),( zA

A : point de contact

Torseur cinématique :

Az

yy

xx

vv

V

01/2

2.2. Liaison sphère cylindre (linéaire annulaire). Réalisation : contact sphère/cylindre

Schématisation dans le plan

Schématisation dans l’espace


Caractéristiques géométriques : Centre A, direction y


Az

yy

x

vV

0

01/2


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2.3. Liaison cylindre plan (linéaire rectiligne). Réalisation : contact cylindre/plan



Az

yy

x

vv

V

0

01/2


Caractéristiques géométriques : Ligne de contact ),( yA

,

direction normale z

2.4. Liaison pivot glissant. Réalisation : contact cylindre /cylindre



A

yy vV

00

001/2


Caractéristiques géométriques : Axe ),( yA


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2.5. Liaison rotule (sphérique). Réalisation : contact sphère/ sphère



Caractéristiques géométriques : Centre A


Az

y

x

V

000

1/2

2.5. Liaison appui plan. Réalisation : contact plan/plan



Caractéristiques géométriques : Normale z


Mz

y

x

vv

V

000

1/2


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III. LES LIAISONS COMPOSEES. 3.1. Liaison pivot. Réalisation :





A

yV

00000

1/2

3.2. Liaison glissière. Réalisation :




Caractéristiques géométriques :

Direction y


000

001/2 yvV en tout point


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3.3. Rotule à doigt (sphérique à doigt). Réalisation :



Caractéristiques géométriques : Centre A, rotation ),( zA

interdite


A

y

x

V

0000

1/2

3.4. Liaison hélicoïdale. Réalisation :



Exemple : une vis et un écrou


A

yy vV

00

001/2

Quand on tourne d’un tour, on avance du pas p

Degré de liberté : 1 Rotation : 1 Translation : 1 (conjuguées)


, pas p


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IV. GRAPHE ET SCHEMA. 4.1. Exemples. Schéma cinématique dans l’espace

Schéma cinématique dans le plan

Graphe des liaisons :

4.2. Graphe des liaisons. Il permet de faire le bilan des solides et des liaisons d’un mécanisme. Les ronds représentent les pièces. Les traits représentent les liaisons. 4.3. Schéma cinématique. Il permet la compréhension des mouvements du mécanisme. Il représente, dans le plan ou dans l’espace, les pièces et les liaisons normalisées.


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V. COMPOSITION DE LIAISONS. 5.1. Liaisons en parallèle. Deux solides sont en liaisons parallèles si la chaîne de solide est de la forme :

Liaison équivalente : Le torseur cinématique de la liaison équivalente doit être compatible avec les torseurs cinématiques des liaisons L1 et L2.

MMM VLVLVLéqui 21

Remarques : Les mobilités s’annulent (si une liaison interdit le mouvement, la liaison équivalente

interdit le mouvement). Il faut exprimer les torseurs aux mêmes points.

Pour simplifier l’écriture, on utilise des notations particulières :

M

M wvu

SSMVSSVL

11

11

11

)1/2()1/2(1

(Les composantes traduisent des mobilités).

Exemple :


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L1 : ponctuelle en O de normale x L2 : pivot glissant d’axe ),( xO

O

wvVL

11

11

1 01

O

vVL

0000222

Owvu

VLéqui

OOO VLVLVLéqui 21

00

000

1

1

2

1

1

21

wwvv

uu

O

VLéqui

00000

Léqui : pivot d’axe ),( xO

5.2. Liaisons en séries. Trois solides sont en liaisons séries si la chaîne de solide est de la forme : Liaison équivalente :

La composition des torseurs cinématiques permet d’écrire :

MMM VLVLVLéqui 21 Remarque : Les mobilités s’ajoutent (si une liaison autorise le mouvement, la liaison

équivalente autorise le mouvement). Exemple :


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L1 : appui plan de normale x L2 : rotule de centre O. On cherche :

O

wvVL

1

1

1

00

01

O

VL

000

2

2

2

2

O

wvu

VLéqui

OOO VLVLVLéqui 21

0000

00

1

1

2

2

21

wwvv

u

O

wvVLéqui

0

Léqui : ponctuelle en O de normale x 5.3. Exemple de composition de liaisons avec changement de point.


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A

VL

000

1

1

1

1

Bw

uVL

22

2

22

02

On cherche le torseur de la liaison équivalente au point A. Il faut exprimer les torseurs en A.

BBV

VL

)(

2

on veut AAV

VL

)(

2

BABVAV

)()(

22

2

2

2

2

2

2

2

..

000)(

lwlul

w

uAV

A

lwlu

VL

222

22

22

..2

A

wvu

VLéqui

AAA VLVLVLéqui 21

22

2

2

21

21

21

.0.0

0

lwwlvuu

A

VLéqui

0000

Rotule à doigt de centre A, rotation ),( zA interdite

5.4. Remarque. Une approche intuitive basée sur l’analyse des mouvements relatifs possibles permet généralement de déterminer la liaison équivalente.

VI. ETUDE DES CHAINES DE SOLIDES. 6.1. Les différentes chaines de solides.


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Chaîne ouverte.

Chaîne fermée.

Chaîne complexe.

6.2. Exemple d’analyse d’une chaîne fermée de solides : le système bielle manivelle. Le mécanisme bielle manivelle est très fréquent dans les chaines d’action des systèmes : moteur à piston, pompe, mécanisme de barrière…

Schéma cinématique :

),( 10 xx ),( 21 xx

0),( 30 xx ),( 20 xx

1.xrOA 2.xlAB

3.xOB


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Graphe de structure :

Remarques : On est dans le cas d’un mécanisme

plan. Ce mécanisme transforme un

mouvement de rotation continu en un mouvement de translation alternative (ou vis versa).

Relation entrée/sortie : /

Fermeture géométrique (pour les positions relatives) :

0

BOABOA 0... 321

xxlxr

001 .sin.cos yxx 002 .sin.cos yxx 03 xx

0cos.cos. lr et 0sin.sin. lr

Fermeture géométrique (pour les orientations relatives) : 0 Cela correspond à une « fermeture angulaire » Résolution : Constantes : r et l. entrée : sortie : variables : et On cherche une relation entre l’entrée et la sortie en fonction des constantes du système (il faut faire « disparaître » les autres variables)


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Solution 1. sin.sinlr

et cos.cos. lr

2)sin.(1.cos.

lrlr

Solution 2. 22 )cos.()cos.( rl et 22 )sin.()sin.( rl

222 cos...2 rrl

6.3. Analyse géométrique d’une chaîne fermée de solides. Fermeture géométrique.

La fermeture géométrique d’une chaîne fermée de solides donne dans l’espace 2 équations vectorielles.

Dans le cas d’un problème est plan, la projection de ces équations vectorielles donne 3 équations scalaires.

Dans le cas d’un problème spatial, la projection de ces équations vectorielles donne 6 équations scalaires.

6.4. Analyse cinématique d’une chaîne fermée de solides. Fermeture cinématique. Si on reprend l’exemple du système bielle manivelle, on peut écrire :

MMMM VVVV 0/11/22/30/3 Remarques. Les torseurs doivent être exprimés au même point. Cette relation donne 2 équations vectorielles, ce qui donne 6 équations scalaires ou 3

équations scalaires si le problème est plan. En dérivant la fermeture géométrique, on retrouve la fermeture cinématique.


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CINEMATIQUE DU SOLIDE 5 : ETUDE CINEMATIQUE DU CONTACT ENTRE 2 SOLIDES

Soient 2 solides (S1) et (S2) mobiles par rapport à un repère (R0). (S1) et (S2) sont en contact au point I. P est le plan tangent commun aux 2 solides en I.

1. Roulement et pivotement.

Le vecteur vitesse de rotation )1/2( SS

admet deux composantes, une composante normale au plan P et une composante appartenant au plan P :

)1/2()1/2()1/2( SStSSnSS

)1/2( SSn

: pivotement

)1/2( SSt

: roulement

2. Vitesse de glissement.

)1/2( SSIV

est le vecteur vitesse de glissement de (S2) par rapport à (S1).

Si 0)1/2(

SSIV alors il y a roulement sans glissement.

Remarque 1. )1/2( SSIV

est dans le plan P.

Remarque 2. I est un point géométrique, définit comme le point de contact entre les

deux solides. On peut avoir 0)1/2(

SSIV alors que I se déplace.


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3. Illustration.

On a 0)1/2(

SSIV , mais le point I se déplace (point géométrique de contact ).

Pour exprimer )1/2( SSIV

, on décompose cette vitesse (en passant par des solides qui conditionnement les mouvement de (S1) et (S2) et on passe par des points qui appartiennent aux solides (pas définis comme des points géométriques). 4. Application. Soit (S0) un solide de référence (non représenté)

auquel est rattaché le repère ),,,(0 kjiOR

Soit (S1) une roue animée d’un mouvement de

rotation d’axe ),( kO

par rapport à R0.

Le repère ),,,( 1111 kjiOR

est lié à (S1). On a

kk

1 et ),( 1ii

Soit (S2) un solide animé d’un mouvement de

direction i

par rapport à (S1).

M (S2) tel que ixjrOM.. avec r constant.(S1) et (S2) sont en contact en I.

Questions. Déterminer la vitesse de glissement )1/2( SSIV

Donner la relation obtenue si l’on a roulement sans glissement.


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Composition de mouvement : )1/0()0/2()1/2( SSIVSSIVSSIV

Premier vecteur :

ixdtOMdMISSSSMVSSIV R

.)()0/2()0/2()0/2( 0

Deuxième vecteur :

irjrkOISSSSVSSIV

....)0/1()0/10()0/1(

Bilan : irixSSIV

...)1/2(

Si on a roulement sans glissement : 0)1/2(

SSIV 0.. rx 5. Application 2. Roue support Un mécanisme tournant est constitué d’un carter (2) comportant quatre bras et quatre roues supports (3) identiques dont l’une est représentée ci-dessous.

Le carter (2) est animé d’un mouvement de rotation d’axe ),( 11 zO et d’angle φ par rapport

au socle (1).

La roue est animée d’un mouvement de rotation d’axe ),( 2xA et d’angle θ par rapport au

carter (2). Le mécanisme évolue dans le plan ),,( 11 yxO horizontal.


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Les repères R1, R2 et R3 sont liés respectivement aux solides (1), (2) et (3).

On donne : 2.xaAG 3.ybGB

(B n’est pas représenté)

Question : Déterminer la relation entre θ et φ lorsqu’on a roulement sans glissement en M.

Composition de mouvement : )1/2()2/3()1/3( MVMVMV

12 ..0)2/3()2/3()2/3( zRxGMGVMV

2..)2/3( yRMV

21 ..0)1/2()1/2()1/2( xLzOMOVMV

2..)1/2( yLMV

Bilan : 2)...()1/3( yLRMV

Si on a roulement sans glissement alors 0.. LR

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