Cours l3ccsee

8/17/2019 Cours l3ccsee

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C. Albea Sanchez UPS 1

Automatique: Commande desSystèmes Linéaires- Introduction -

Carolina ALBEA-SANCHEZ, MC Université de ToulouseLAAS-CNRS, Toulouse, France05 61 33 78 15, [email protected]


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Objectifs du cours

Automatique?- Quoi? : Identification et modélisation dessystèmes dynamiques linéaires à temps continu.

- Pourquoi? : Performances (stabilité, précision,robustesse) en analyse et/ou synthèse.

- Comment on faire? : Elaboration / synthèse

de lois de commande pour la régulation /l’asservissement


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Introduction

I . Z

a m b e t t a k i s

Faire un asservissement:

Attention: Automatique analogique ! Automatique numérique


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Introduction

! Modèles de systèmes dynamiques continus: - Fonction de transfert- Equations différentielles ordinaires- Identification paramétrique de modèles- Stabilité, précision, performances des modèles- Représentation d’état- Cas des systèmes multivariables


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Introduction

! Synthèses de lois de commande: - Méthodes du Temps continu

* correcteur avance de phase,* correcteur retard de phase,

* P, PI, PD, PID…* Commande des systèmes multivariables

(retour d’état),* Autres méthodes spécifiques.


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Ce qui veut dire…

! Outils mathématiques- Transformée de Laplace! Représentation des systèmes LTI (Linéaire à temps invariant):

- Equations différentielles- Fonction de transfert

- Espace d’état! Analyse des systèmes LTI:- Réponses impulsionnelle, indicielle, fréquentielle- Stabilité (pôles, marges, critères algébriques)- Précision (erreur de position, traînage)

! Synthèse de correcteurs pour des systèmes LTI:- P, PI, PD, PID, Avance / Retard de phase- Prédicteur de Smith (Systèmes à retard pur)- Commande par retour d’état


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Contenu et volume

" Modélisations de systèmes dynamiques àtemps continus

" Analyses de Performances" Synthèse de lois de commande

Volume horaire:Cours – TD: ~20H+TD MATLAB

+TP

2 Examens écrits


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Exemple historiqueRégulateur de Watt (1788)

→

Première régulation de la vitesse→ Mise en application sur les machines à vapeur

James Watt(1736-1819)


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ExemplesApplications aériennes:

→

Auto-pilote d'un avion de ligne (Commande robuste,Commande à retour d'état)→ Auto-pilote d'un avion de chasse (Commande par

calculateur)→ Auto-pilote d'un hélicoptère, lanceur (spatial)

Applications terrestres:→ ABS (Anti-Blocking System )→ ESP (Electronic Stability Program): contrôle de trajectoire→ Régulateur de vitesse→ Climatisation automatique→ Régulation de l'injection moteur→ Régulation de vitesse

pub


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Exemples

Applications informatiques:→ Lecteur CD, DVD, imprimante…

Applications industrielles:→ Robotique (bras robot), domotique (+écolo)…→ Chaîne d’automatisation de production→ Asservissement par vision pour les robots, véhicules→ Régulation de température (douche) robots → Régulation de niveau d’eau→

Train ou + généralement transports du Futur→ …

On parle souvent de systèmes embarqués


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Exemple

Park4UTM, APGS…:


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Exemple

Hypovigilance (LAAS-CNRS):


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C. Albea Sanchez UPS

Exemple

13

Robotique (LAAS-CNRS):

HRP - 2

Dala

http://spiderman-2.laas.fr/robots/


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Un dernier exemple…

Armement HAP :Lunettes de vision nocturneCanon 30 mm THL30 de GIAT INDUSTRIES (+/- 30° en vertical, +/- 90° enhorizontal, tir par rafale de 10 ou 25 coups ou tir libre à 750 coups/minutes), lesmouvements du canon peuvent être asservis au casque et donc au regard du pilote !La vitesse de pointage atteint 80° par seconde.Pod 22 roquettes 68 mmMissiles air-air Mistral

Armement HAD/ARH : Idem HAP avec missiles antichar Hellfire (ARH australien et HAD français), Spike(HAD espagnol). Les premiers tirs de missiles Hellfire ont été effectués le 28 mai2005 sur le Tigre ARH et le 29 octobre 2009 sur le Tigre AHD.Autres :Rotor rigide (possibilité de faire un looping !)

TIGRE ARH(2004)


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Finalement

L’automatique: Ensemble de disciplines scientifiques ettechniques utilisées pour la conception de l’emploi desdispositifs qui fonctionnent sans l’intervention d’unopérateur humain.

!

Résolution de problèmes de Génie Electrique et del’Automatique, c’est-à-dire de la Physique.

! Les mathématiques appliquées à la technologie.

! Utilisation de commande par calculateur / correcteursanalogiques pour le pilotage de procédés (réels).


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De manière schématique:

Remarques:- Un système (ou Procédé): Combinaison d’éléments,

d’organes… réunis de manière à former un ensemble assurant unefonction. C’est un dispositif soumis aux lois de la Physique.

- Difficulté de bien représenter le Procédé P par unmodèle (déterminer la boîte noire correspondant à nos objectifs).

- Il existe pour 1 Procédé (Système) P, une infinité de modèles. ! Compromis mis en évidence

16

Finalement


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Question: qu’est-ce qu’un modèle ?Abstraction/représentation d’un système réelFormalisme plus ou moins fidèle et complexe

Système

M1 Très fidèle, fiableNon exploitable

M2 Assez fidèle, fiableRelativement exploitable

M3 Peu fidèleTrès exploitable

Finalement


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Finalement

* Pb de mesure

*

Système

Modèle

Performances

Modélisation

Analyse

Analysedes

résultats

$ Pour faire un modèle, il faut des outils mathématiquesAnalyser, comprendre un phénomène et agir si nécessaire


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Objectif général

Systèmequelconque

Perturbations

u(t) y(t)CorrecteurC(p)

e(t)consigne

-Actionneur

Capteur

G(p)

+

Signal de commande

m(t)

"(t)

Pour asservir la sortie d’un système à une consigne % comparer la sortie à la consigne et

de corriger le système pour diminuer cet écart consigne-sortie: il faut donc concevoir lecorrecteur pour respecter les objectives (stabilité, précision, robustesse auxperturbations).

Systèmequelconque

Perturbations

y(t)CorrecteurC(Z)e(k)consigne-

CNA

Capteur

+

CANT (échantillonnage)

Horloge

u(t)u(k)

m(t)m(k)

"

(k)G(p)

Analogique (TL)Numérique (TZ)

Ordinateur (par ex)

sortie


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Vision globale / Automatique

AutomatiqueCorrecteurP, PI, PD, PID

correcteur AvOu Re de Phase

Equationsdifférentielles

SignauxPôlesFT en Laplace

Modélisation

Synthèses

Analyse

(Stabilité)

Th. De la val Finale

Lieu d’Evans

EE + Méthodespolynomiales


Analyse(Précision)

Critère de Routh

Marges destabilité

Résolution Eq.DifférentiellesEspace d’état

20


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Automatique: Commande desSystèmes Linéaires- Modélisation -

Carolina ALBEA-SANCHEZ, MC Université de ToulouseLAAS-CNRS, Toulouse, France05 61 33 78 15, [email protected]


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AutomatiqueCorrecteurP, PI, PD, PID



SignauxPôlesFT en Laplace

Modélisation

Synthèses

Analyse

(Stabilité)


Lieu d’Evans



Analyse(Précision)

Pôles


Pôles


Pôles


Pôles


Lieu d’Evans

Pôles


Lieu d’Evans

Pôles


Critère de Routh

Marges destabilité

Lieu d’Evans

Résolution Eq.Différentielles

Pôles


Espace d’état

22


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Introduction

$

L’étude d’un système nécessite la connaissance :- de la nature des signaux (déterministes,aléatoires, à temps continu, à temps discret…

- des caractéristiques du système: la nature,l’invariance, la linéarité…

… pour concevoir un modèle « utile »

$

Un modèle « utile » obtenu = au moins 75% du travail!

$ La construction d’un modèle se fait par deux moyens:- A partir de la connaissance a priori du système(= Lois de la Physique) -> Modèle de connaissance- A partir d’expériences réalisées sur le système(Identification) -> Modèle de représentation


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Introduction

$

Que fait-on avec un modèle? 1) Analyse:

- Etude du système en BO ou en BF- Elaboration des propriétés du système

2) Synthèse:- Créer des lois de commande suivant un cahier des

charges (CC) en termes de stabilité, de précision, derégulation, de poursuite, de dynamique…


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Les signaux

Définition 1: le terme signal x(s,w) désigne un ensemblede variables physiques x (dans #n) exprimé en fonction duvecteur w indiquent que le signal peut-être stochastique.

Définition 2: Les signaux sont caractérisés en deuxcatégories, les S. déterministes et les S. aléatoires.(Dans ce cours: S. déterministes)

Définition 3: Les différents types d’un signal :- Signal à tps continu (TC)- Signal à tps discret (TD)

- Signal à valeurs continues (VC)- Signal à valeurs discrètes (VD)


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C. Albea Sanchez UPS26

Les signaux: les états

1 Signal analogique

Il est représenté par une fonction continue f(t ) de la variable continue t (f et t prenant leurs valeurs dans #).

t

f

2 Signal échantillonné

Il est obtenu à partir d’un signal analogique par discrétisation de la variablegénérique t. C’est donc une suite de valeur f(kT) prélevée sur f(t) aux instantst=kT (k est entier etT période d’échantillonnage)

Symbole de l’opération échantillonnage : f(t) f(kT), fe(t), fk T

t

fe

1 2 3 4 5 6 7


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3 Signal numérique

c’est une suite de nombres obtenue à partir d’un signal échantillonné aprèsdiscrétisation de l’amplitude f(kT) de l’échantillon (c’est donc le nombre misen mémoire dans l’ordinateur). f(kT) ne peut prendre qu’une suite de valeursséparées du pas de quantification q. L’exemple le plus courant est celui dessignaux délivrés par un convertisseur analogique-numérique (CAN) et traitésensuite par un ordinateur.

Le modèle mathématique du signal numérique est le même que celui du signaléchantillonné.

4 Signal quantifié (Convertisseur Numérique Analogique CNA)

C’est le signal obtenu après le convertisseur numérique analogique. Il peutêtre obtenu aussi à partir de f(t) après quantification de l’amplitude de f au

pas q (troncature, arrondi, ....).


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tf(t)

Continu (TC) Discret (TD)

Continu (VC) Analogique Echantillonné

Discret (VD)Quantifié

(CNA)Numérique

(CAN)


En résumé:

Echantillonnage

Blocage

Quantification

(Dans ce cours: S. à TC et à VC (= Signaux analogiques)


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Les signaux particuliers à TC

Paul Dirac (1902 –1984, Nobel dePhysique, 1933)

1) Impulsion de Dirac


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2) Echelon unité (ou de Heaviside)

Remarque:- La valeur à l'origine (t = 0) peut être choisie égale à 1mais ce choix est arbitraire.- Avec Matlab: fonction step()

Oliver Heaviside (1850 –1925)


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3) Echelon de vitesse

Remarque: La dérivée du signal Echelon de vitesse (ou rampe)correspond à l’Echelon unité (ou de Heaviside).


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Les signaux dans le schéma-bloc

1) La commande en Boucle ouverte (BO)

S

p(t)

u(t) y(t)

S est le système à commanderp(t) est une perturbation inconnueu(t) est la commandee(t)est la consigne

S

p(t)

u(t) y(t)k

e

Remarque: Il n’y a pas de moyen exact pour que la sortie y(t)reflète l’image de l’entrée

Exemple: Lancement d’un projectile en mouvement parabolique(après, le lancement, pas de moyen de corriger la trajectoire duprojectile)


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2) La commande en Boucle fermée (BF)

S

p(t)

u(t) y(t)k

e

-

Remarque: Il existe une boucle de retour pour asservir le systèmeà la juste valeur de la consigne e(t).

Exemple: Hélicoptère TIGRE


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Bloc

Capteur

Sommateur / Comparateur

HE S

Branche 1

Branche 2

++

+

E1

E2

E3

S

+

-

E1

E2

S

Le bloc possède une entrée E et une sortie S. H est

la fonction de transfert du bloc et est déterminéed'après les équations de fonctionnement.S=H.E

La variable de la branche 1 est identique à celle dela branche 2, un prélèvement d’information (à l’aided’un capteur) ne modifie pas la variable

Les sommateurs permettent d’additionner etsoustraire des variables, il possèdent plusieursentrées mais une seule sortie.S=E1+E2+E3

Cas particulier de sommateur qui permet de faire ladifférence de deux entrées (de comparer) ici :S=E1-E2



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Les signaux dans le schéma-blocBlocs en cascade ou en parallèle

T1E T2S=E.T1.T2

T1E

T2

+ ± S= E(T1±T2)

Déplacement d’un comparateur par rapport à une transmittance

TE1

E2

+ ± S=(E1±E2)T

TE1

E2

+ ±S=T.E1±E2

T1.T2E S

T1±T2E

S

TE1

T

+ ± S

E2

E1

1/T

+ ± S

E2

T


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Déplacements d’un capteur par rapport à une transmittance

TE S

S

TE S

S

E T S

ST

TE

S

S 1/T



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G(p)

(p)

U(p)Y(p)C(p)E(p)

"(p)

-

G1(p)Correcteur

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )ppCpG1

pGpE

pCpG1

pCpGpY 1 P

+

+

+

=!


Finalement, pour le schéma complet:


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Propriétés élémentaires des modèles

1) La causalité:Pour un système causal, la cause précède toujoursl’effet (la réponse à un instant donné ne dépend pas dufutur de son entrée).

2) La linéarité (vérifiée par Th. de superposition et

homogénéité):Un système représenté par un opérateur H est linéairesi ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )[ ] x f H xa x f x f x f

x g a x g a

x f H a x f H a

x f a x f a H x g

i

i ji

j jii

j jii

j jii

=

!"

+=

+=

+=

iget

scalaireunestet,

)(

•

sorties {g j (x)}

• entrées {f i (x)}


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3) L’invariance:La sortie est indépendante du temps (donc de l’instantinitial).


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4) Régime transitoire – Régime permanent:R. Transitoire: Partie de la réponse (= du signal de lasortie) correspondant à la montée en régime dumodèle.R. Permanent: Régime établi après le transitoire.

5) Régime libre – Régime forcé:Réponse forcée : ( ) ( )( )t,00x,0eftsf =!=

Réponse libre : ( ) ( )( )t,00x,0eftsl

!==

( ) ( ) ( )tststs lf

+=!

Pour un système linéaire invariant (SLI) il y a séparabilité :Réponse = Réponse forcée + Réponse libre


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Transformée de Laplace

La variable de Laplace est!+="#+= jr j2rp

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) !

! "+

"#

#

#

+"

"#

#

$==

===

jr

jr

pt1

rtpt

dpepF j2

1tfpFTL

etfTFdtetfpFtfTL

+!" r,rrsiexistepF

Abscisses de convergence:

La transformée de Laplace (TL) définie ci-dessus est la TLbilatère, la TL monolatère ou TL :

( ) ( ) ! +"

#=0

ptdtetfpF

Il est à noter qu’une TL bilatère n’a de sens que si l’on précise ledomaine de convergence de Re(p)=r

!( )t t

=

"#$

%

1 0

0

pour

ailleurs

Fonction

d’Heaviside


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Propriétés de la TL Linéarité

Le produit de convolution :La dérivation :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pY.pXpZt ytx=tz TL = ! !" ! #

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ! "+

"#

#$=%$=

& & '(

& & '(

dtetfpXtftx

pX.ptx

pXtx

pt

nTLn

TL

Quelques TL:

( )[ ] 1tTL =! ( )[ ] ( ) 0>pResip

1tUTL = ( )[ ] ( ) -a>pResi

ap

1tUeTL at

+

=!

( ) ( ) ( )[ ] ( )t yTL.btxaTLt y.btx.aTL +=+

( )

( ) ( )

( ) ( ) p pF p X

et f

et f

t

t

pt

pt

=

=!"#+$=

%$=

%

%

: partie parintégrantEn

0Donc pResi

sommableesthypothèsePar



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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ! "+

"#

#$=%$=

& & '(

& & '(

dtetfpXtftx

pX.ptx

pXtx

pt

nTLn

TL

La dérivation :


Attention! Pb de CI

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0...0.0.0..tx

tx

)1(2)3(1)2()1(n !!!!!!!!! "#$

"#$

nnnnnTL

TL

x x p x p x p p X p

p X

Si les CI sont non nulles


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Cas des fonctions rendues causales ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )0fppFtUtfTL

0ftUtfTLppFt0ftUtftf

tUtftfSoitTL

!="#

+"= $ $% $ &+"="#

=

+

+

L'intégration

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]

( )

P

pF

txTL

tftUdftUdftxt

=!

"= # # #$= # #= % % +&

&$&$


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Théorème de la valeur finale et initiale :( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) p pF p

t f t

p pF p

t f t

p F TLt f Si

0

limlim

lim

0

lim

!

=

"!

"!

=

!

# #!$

Théorème du retard :( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ! !

"+

"#

##

"+

"#

#

#

=#

$%

$&

'

=#

#=#

#

( ( )

( )

) )

)

( )

)

d ee f t f

t

dt et f t f

e p F t f

p p

pt

p

TL

posanten

TL

=TL

( )[ ] ( ) pe p F t f ! ! "="#TL

Si la limite existe !Ex: F(p)=1/(p-1)


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Formule d’inversion pour les fonctions causales :! Décomposition en éléments simples

Cas général (pôles multiples…)?


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Transformée de Laplace et EDO

Pour les systèmes linéaires :

Pour les systèmes continus linéaires invariant:

M

M

M N

N

N dt

t ud b

dt

t dubt ub

dt

t yd a

dt

t dyat ya

)(...

)()(

)(....

)()( 1010 +++=+++

H ( p) =TL( y(t ) / u(t )) avec H ( p)=Y ( p)

U ( p)

=

P( p)

Q( p)

= K !

( p+ z j ) j =1

M

"

( p+ pi )i=1

N

"

Causal : N $ M résolution possible directe de l’EDO

Fonction de transfert zéros

pôlesRemarque: Système stable % Re(p i ) < 0


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Automatique


Signaux

FT en Laplace

Modélisation

Espace d’état

49


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Représentation n°1: EDO

Dans les cas réels, m & n : système causal: la cause u(t)précède l'effet y(t).

Le comportement du système est régi par une équationdifférentielle:

L’objectif est de déterminer y(t) connaissant u(t) à partirde l’équation généralisée:

Systèmeu(t) y(t)

)()( 0101 t ya

dt

dya

dt

yd at ub

dt

dub

dt

ud b

n

n

nm

m

m +++=+++ ……

!!==

=

m

i

i

i

n

j

j

j t ubt ya0

)(

0

)()()(

50


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Représentation n°1: EDO

Cf exercices TD (Licence 2)


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Représentation n°2: EDO et FT

Systèmeu(t) y(t)

On suppose les cond. init. nulles ; l ’application dela Transformée de Laplace conduit à :

d ’où la fonction de transfert (FT) :!! ==

=

m

i

i

i

n

j

j

j pb pU pa pY 00 )()(

!

!

=

=

==n

j

j

j

m

i

i

i

pa

pb

pU pY p H

0

0

)()()(

52


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Systèmeu(t) y(t)

L’objectif est la résolution de l’équation différentielle

Domainetemporel Domaine symbolique

Variable : t Variable : p

Équationdifférentielle

Fractionrationnelle

u(t) → y(t) = ? U(p)→ Y(p) = ?


1

R é s

o l u t i o n : Y ( p ) = ?

2

Transformée inverse3

53


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Résolution de l’équation différentielle

)t ( e )t ( sdt

)t ( dsdt

)t ( sd =++ 65

2

2

avec s(0) = 2, s'(0) = 2 et e(t) = 6 u(t)

p ! S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p) T r a n s f o r m é e

d e L a p l a c e

s(t) = (1 + 5 e -2t – 4 e -3t ). U(t) T r a n s f

o r m é e

i n v e

r s e

2

2

2 12 6 1 5 4

5 6 2 3

p pS( p )

p( p p ) p p p

+ +

= = + !

+ + + +

Résolution dans le domaine symbolique

Décompositionen élts simples



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Modèle/Réponse syst. 1erordre

• ED.

• FT.

55

y+! ! y = Ku

G( p) =K

1+! p


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Modèle/Réponse syst. 2eme ordre

• ED.

• FT.

56

!! y+ 2!" n

! y+! n

2 y = K !

n

2u

G( p) =K ! n

2

p2+ 2"! n yp+! n

2

Le comportement dépend des racines de l’éq. Caractéristique(pôles du système):• Si , alors pôles réels :

• Si , alors pôle double :• Si , alors pôles complexes conjugués :

! >1

! =1

!


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Modèle/Réponse syst. 2eme ordre

Plus diminue, plus les dépassementsaugment.

57

!


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Modèle/Réponse syst. 2eme ordre• Pulsation propre:• Période des oscillation :• Temps de réponse:• Temps de montée:• Premier Dépassement:• Temps du pic:

58

! p =!

n 1!"

2

D1 =100 !e

"

!"

1"! 2

T r =

2!

" pT

r !

3

!" n

T m =!

2" p

T p =!

" p


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Automatique: Commande desSystèmes Linéaires- Analyse (Stabilité & Précision) -

Carolina ALBEA-SANCHEZ, MC Université de Toulouse

LAAS-CNRS, Toulouse, France05 61 33 78 15, [email protected]


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AutomatiqueCorrecteur

P, PI, PD, PID



SignauxFT en Laplace

Modélisation

Synthèses

Analyse

(Stabilité)

Lieu d’Evans



Analyse(Précision)

Lieu d’Evans

Pôles

Lieu d’Evans

Critère de Routh

Marges destabilité

Lieu d’Evans



Espace d’état

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Vision globale / Analyse

Automatique

Analyse

(Stabilité)

Lieu d’Evans


Analyse(Précision)

Lieu d’Evans

Pôles

Lieu d’Evans

Critère de Routh

Marges destabilité

Lieu d’Evans



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Stabilité

! Définitions:

Simplement: Un système dynamique est stable s’il atteintun régime permanent (il existe un état d’équilibre).

Un système est BIBO stable ssi sa réponse impulsionnelleest bornée et tend vers 0 quand t ! " (de manièreasymptotique ou non).


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Stabilité: Pôles

Pour les systèmes linéaires :

Pour les systèmes continus linéaires invariant:

M

M

M N

N

N dt

t ud b

dt

t dubt ub

dt

t yd a

dt

t dyat ya

)(...

)()(

)(....

)()( 1010 +++=+++

H (s)= TL( y(t ) / u(t )) avec H ( p)=Y ( p)

U ( p)

=

P( p)

Q( p)

= K !

( p+ z j ) j =1

M

"

( p+ pi )i=1

N

"

Causal : N $ M résolution possible directe de l’EDO

Fonction de transfert zéros

pôlesRemarque: Système stable Re(p i ) < 0


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Définition : un système est stable si et seulement si sa fonction de

transfert possède aucun pôle à partie réelle positive (ou nulle).

Système dusecond ordre

Exemple :

Stabilité: Pôles

Pôles ?


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Stabilité: Théorème de la VF

66

Théorème de la valeur finale et initiale :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) p pF p

t f t

p pF p

t f t

p F TL

t f Si

0

limlim

lim

0

lim

!

=

"!

"!

=

!

# #!$

Utile pour déterminerles CI, le

RégimeTransitoire

Utile vérifier lastabilité du système(régime permanent)


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)t ( e )t ( sdt

)t ( dsdt

)t ( sd =++ 652

2

avec s(0) = 2, s'(0) = 2 et e(t) = 6 u(t)

p ! S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p) T r a n s f o r m é e

d e L a p l a c e

s(t) = (1 + 5 e -2t – 4 e -3t ). U(t) T r a n s f o r m é e

i n v e r s e

2

2

2 12 6 1 5 4

5 6 2 3

p pS( p )

p( p p ) p p p

+ +

= = + !

+ + + +

Résolution dans le domaine symbolique

Décompositionen élts simples

Stabilité: Résolution de l’EDO

Entrée en échalon


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s(t) = (1 + 5 e -2t – 4 e -3t ). U(t)

Stabilité: Résolution de l’EDO

Stable Stable Stable

Stabilité vérifiée par Th. de superposition


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Principe : Le critère de Routh est un critère permettant de

déterminer à partir du polynôme caractéristique (dénominateur dela fonction de transfert), le signe des racines de ce polynôme sansrésoudre l’équation caractéristique.

Cond. Nécessaire de Stabilité: On construit la table de Routh :

Stabilité: Critère de Routh

Cond. Nécessaire: signes et valeurs des an

Résultat : le système est stable si tous les coefficients de lapremière colonne sont de même signe et non nuls.

Critère de Routh

é è


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La procédure est itérée jusqu’à p 0 Résultat : le système est stable si tous les coefficients de la première colonne sont

de même signe. Remarque : le nombre de pôles instable (i.e. à partie réelle positive) de la F.T.B.F estégale au nombre de changements de signe sur le première colonne.

Stabilité: Critère de RouthCritère de Routh

l é


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Critères d’analyse de stabilité

-Pôles de la fonctionde transfert

-Résolution d’EDO

-Théorème de lavaleur finale

Critère algébrique Critères graphiquesCritères mathématiques

Critère de Nyquist

Critère du Revers

Marges destabilité

Critère de Routh

SLI et stabilité

Stabilité BO, BF

Stabilité BO, BF

Stabilité BF(à partir de la BO)

b l é


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Critère de Nyquist: c’est un critère graphique de stabilité en B.Fobtenu à partir du lieu de Nyquist du système en B.O (fonction detransfert T(p)). Il utilise le théorème de Cauchy appliqué à lafonction de transfert du système asservi.

SLI et stabilitéCritères de Nyquist, du Revers

Énoncé : un système est stable en boucle fermée si l’image ducontour de Nyquist par la fonction T(p) fait autour du point critique,dans le sens trigonométrique, un nombre de tours égal au nombre depôles à partie réelle positive de la fonction de transfert en boucleouverte T(p).

L b l é


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SLI et stabilitéCritères de Nyquist, du Revers

Critère du Revers : constitue une vision simplifiée du critère de

Nyquist dans le cas , fort répondu, où la FT en BO du systèmeétudié ne possède aucun pôle à partie réelle positive.

ww

0(-1,0)

Im

Re

Systèmeinstable

Systèmestable

Énoncé : Le système est stable en boucle fermée si, en parcourantle lieu de Nyquist de la FT en BO dans le sens des w croissantes (de0 à +'), on laisse le point critique (-1,0) à gauche de la courbe (àdroite dans Black-Nichols).

SLI bili é


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On définit deux marges de stabilité : la marge de Gain et la margede Phase.

A savoir déterminer dans Nyquist, Black-Nichols, Bode…

SLI et stabilitéMarges de stabilité

Critère de stabilité: un système est stable en boucle

fermée, si les marges de stabilité (calculées sur la boucleouverte) sont strictement positives.

é


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G(p)

(p)

U(p)Y(p)C(p)E(p)

"(p)

-

G1(p)Correcteur

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )ppCpG1

pG

pEpCpG1

pCpG

pY

1P

+

+

+

=!

PrécisionA partir du schéma complet:

Précision à vérifier à partir du théorème de laValeur Finale:

1°) Ecriture de #(p) = E(p) – S(p)=(1- F(p))E(p)(F(p): fonction de transfert en BF)

2°) Th de la valeur finale sur #(p)3°) Conclure

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