Cours Infographie 2

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InfographieTransformations GomtriquesNassima Ben YounesLamloumi NaimaPlanPlan1. Fondements mathmatiques2. Reprsentations de transformations 3. Compositions de transformations 21. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiques Scalaires et leurs proprits Vecteurs et leurs proprits- Produit vectoriel- Addition de vecteurs- Normalisation Matrices- Multiplication Matrice - vecteur- Multiplication Matrice - Matrice31. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesScalaire Un scalaire est une grandeur totalement dfinie par un nombre et une unit. Il a une valeur numrique mais pas d'orientation. Exemples :- Masse- Distance- Temprature- Volume- Densit- Etc. Les scalaires obissent aux lois de l'algbre ordinaire.41. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesScalairesOprations lmentaires Addition et multiplication Propritso Commutativito Associativito Distributivit Identito Addition : 0o Multiplication : 151. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteursUnvecteurestuneentitmathmatiquedfinieparnvaleursnumriques extraites du mme ensemble E.-Ces valeurs numriques dcrivent le module et l'orientation du vecteur.-n est appel la dimension du vecteur.-On dit que le vecteur est dfini dans En avec En est un espace de dimension n.-Exemple : dans Z2 . (x, y)Z2, dans R3 , (x, y, z)R361. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteursDans un repre les vecteurs sont dcrits dans une base (units de lensemble).- Gnralement unitaire.- Le vecteur est reprsent par laddition des vecteurs unitaires chaque axe de coordonnes, en multipliant chacun par la projection (composante) respective du vecteur.71. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteursLes vecteurs obissent aux lois de l'algbre vectorielleOprations lmentaires- Produit scalaire- Produit vectoriel- Addition de vecteurs- Produit vecteur-scalaire- Normalisation81. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteurs : Produit scalaireLeproduitscalairededeuxvecteursestleproduitdumoduledupremierparla composante du second dans la direction du premier.Soient deux vecteurs = et = de R2,le produit scalaire . =x1x2 + y1y2. Soient deux vecteurs = et = de R3,le produit scalaire . = x1x2 + y1y2 + z1z2.Si q est langle entre et , . = . cos(q).91. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteurs : Produit scalaireProprits :Commutativitu . v = v. uDistributivit par laddition (u + v) . w = u . w + v . WDistributivit par un scalaire u . ( k * v) = k * (u . v)Leproduitscalairededeuxvecteursestgal0sicesdeuxvecteurssont orthogonaux. Si on inverse lun des deux vecteurs, le rsultat de leur produit scalaire est invers.Silesdeuxvecteurssontnorms,leurproduitscalaireestgalaucosinusde l'angle qu'ils forment.10ExerciceDmontrer que dans un paralllogramme, la sommedes carrs des diagonales est gale la somme descarrs de ses 4 cots.11Rponse121. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteurs : Produit scalaireChamps dapplications- Projection dun vecteur sur un autre.- limination des faces caches.- Calcul dangle entre deux vecteurs.- Calcul de la quantit de lumire perue par une face.- Ombrage, 131. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesVecteurs : Produit vectorielLeproduitvectorielestunvecteur perpendiculaireAetBdontle sensestdonnparlargledela main droite.Soient deux vecteurs = et = de R3,le produit vectoriel ^ est le vecteur .1411. Fondements mathmatiques. Fondements mathmatiquesSi est langle entre les vecteurs et , = abs(sin()).-Sioninverselundesdeuxvecteurs,levecteurrsultatduproduitvectorielest invers.- ^=- ^ est orthogonal et Vecteurs : Produit vectorielRemarque:Leproduitvectorielestnulsilesdeuxvecteurssontparallleset maximal sils sont perpendiculaires.151. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesProprits Anti-commutativit (uv) = (vu) Distributivit sur l'addition(u + v)w=uw+ vw Distributivit par un scalaire(u + v).k =u.k + v.k Non-associativit(uv)wu(v w)Application : Calcul de la normale un planVecteurs16ExerciceDmontrer que laire dun paralllogramme de cot A et B est gale au produit vectoriel du vecteur A et du vecteur B17Solution181. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesLaddition de deux vecteurs obit la rgle du paralllogramme.Vecteurs : Addition de deux vecteursAlgbriquementcelasemetenuvreenadditionnantlescomposantes individuellement191. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesNorme dun vecteurLa norme dun vecteur est sa taille.Cette taille est calcule par le thorme de Pythagore, puisquelescomposantesdunvecteurforment toujours des triangles rectangles deux deux.Pourladimensionnonappliquelemmeprincipe, enfaisantquelesdeuxctsdutrianglerectangle soient les projections du vecteur dans un sous-espace dedimension(n1)etdanslaxedeladimension manquante.La norme d'un vecteur AB est la distance de A B201. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiques- La normalisation fait quun vecteur devienne unitaire, cest--dire, avec la norme 1.- Pour normaliser un vecteur il suffit de diviser toutes ses composantes par sa norme.Normalisation dun vecteur211. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesOn appelle matrice M un tableau deux indices de n*m valeurs numriques extraites du mme ensemble E.Exemple : MatriceUsuellement n et msont lenombre de lignes et le nombre de colonnes de la matrice.Remarque : Si n = m la matrice est dite carre.221. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesMatrice : Produit Matrice - Vecteurn) j 1 n, i 1 , (mavec nn xdimensionde M carre matrice une et n) i 1 , (v avec ndimensionde V un vecteur Soient iji V M W est V parM de produit vecteur Le n i 1 ,1 nkk ik ijv m w231. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesOncalculeleproduitdechaquelignedelamatrice par le vecteur colonne.Exemple : l=*241. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesMatrice : Produit Matrice MatriceSoientdeuxmatricesM1etM2dedimensions respectives : n x m et m x p. LamatriceMproduitdeM1parM2estde dimensionnxp,etelleestcalculeparlaformule suivante:p) j 1 n, i (1 , 2 11 mkkj ik ijm m m251. Fondements mathmatiques1. Fondements mathmatiquesExemple : Remarque:SiM1etM2sontdeuxmatricescarres de dimension n x n, le produit de M1 par M2 est une matrice carre de dimension n x n

*=262. Transformations2. TransformationsUnespacevectoriel:espaceoviventles vecteurs (dplacements ou directions). Ses principales proprits Olexistence dun vecteur nul, Olastabilitdelespacepourtoutecombinaison linaire de vecteurs.272. Transformations2. TransformationsUnespaceaffine:espacedanslequelvivent les points partir desquels on dfinit les objets gomtriques usuels (droites, ...). Il est construit : Odun point de rfrence (lorigine),Odunespacevectoriel(dplacementsautoriss partir de ce point28Dplacement d'un objet dans une scne.Dplacement d'un observateur par rapport une scne.Rplication d'un motif ou d'un objet.Dformation d'un objet.Projection.etc.2. Transformations 2. Transformations 292. Transformations 2. Transformations Un objet est dcrit par un ensemble de sommets.Appliquerunetransformationunobjetrevient lappliquer tous ses sommets.30CTranslationOn note On notet t(a, b) (a, b)la translation qui applique un dplacement de :la translation qui applique un dplacement de :a aunits horizontalementunits horizontalementb bunits verticalementunits verticalementDonc pour chaque point P (x, y) , limage devientP (x +Donc pour chaque point P (x, y) , limage devientP (x +a a, y +, y +b b)pour)pour une translation une translationt t(a, b) (a, b) . .tt (a, b) (a, b): :P (x, y)P (x, y) P (xP (x + a + a, y , y + b + b)) 2. Transformations2. Transformations31+ 2 + 21 11 1Exemple #1 : Exemple #1 : t t(2. 5) (2. 5)2 2units horizontalementunits horizontalement(vers la droite) (vers la droite)5 5units verticalementunits verticalement(vers le haut) (vers le haut)A (-5, -2) A (-5, -2)+ 5 + 5A (-3, 3) A (-3, 3)+ 2 + 2O (0, 0) O (0, 0)+ 5 + 5O (2, 5) O (2, 5)O est limage de O. O est limage de O.O (0, 0)O (0, 0) O (0O (0 + 2 + 2, 0 , 0 + 5 + 5))O (2, 5)O (2, 5) A est limage de A. A est limage de A.A (-5, -2)A (-5, -2) A (-5A (-5 + 2 + 2, -2 , -2 + 5 + 5))A (-3, 3)A (-3, 3) 321 11 1Exemple #2 : Exemple #2 : O se retrouve le triangle ABC suite la translationO se retrouve le triangle ABC suite la translation t t(-3, 2) (-3, 2) ? ?A (-2, 4)A (-2, 4) A (-2A (-2 3 3, 4 , 4 + 2 + 2))A (-5, 6)A (-5, 6) tt (-3, 2) (-3, 2): :A (-2, 4) A (-2, 4)B (-2, -2) B (-2, -2) C (3, -2) C (3, -2)B (-2, -2)B (-2, -2) B (-2B (-2 3 3, -2 , -2 + 2 + 2))B (-5, 0)B (-5, 0) C (3, -2)C (3, -2) C (3C (3 3 3, -2 , -2 + 2 + 2))C (0, 0)C (0, 0) - 3 - 3+ 2 + 2A (-5, 6) A (-5, 6)- 3 - 3+ 2 + 2B (-5, 0) B (-5, 0)- 3 - 3+ 2 + 2C (0, 0) C (0, 0)33Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver limage du quadrilatre ABCD si on lui applique uneTrouver limage du quadrilatre ABCD si on lui applique une translationtranslation t t(7, -5) (7, -5) . .A (3, 5)A (3, 5) A (3A (3 + 7 + 7, 5 , 5 5 5))A (10, 0)A (10, 0) tt (7, -5) (7, -5): :A (3, 5) A (3, 5)D (-2, -2) D (-2, -2)C (3, -4) C (3, -4)B (4, 2)B (4, 2) B (4B (4 + 7 + 7, 2 , 2 5 5))B (11, -3) B (11, -3)C (3, -4)C (3, -4) C (3C (3 + 7 + 7, 4 , 4 5 5))C (10, -9)C (10, -9) + 7 + 7- 5 - 5A (10, 0) A (10, 0)B (11, -3) B (11, -3)C (10, -9) C (10, -9)B (4, 2) B (4, 2)D (-2, -2)D (-2, -2) D (-2D (-2 + 7 + 7, -2 , -2 5 5))D (5, -7)D (5, -7) 1 11 1+ 7 + 7- 5 - 5+ 7 + 7- 5 - 5+ 7 + 7- 5 - 5D (5, -7) D (5, -7)341 11 1Exemple #4 : Exemple #4 :Le triangle ABC a subi une translationLe triangle ABC a subi une translation t t(-3, -2) (-3, -2).Quelles.Quelles taient les coordonnes du triangle ABC ? taient les coordonnes du triangle ABC ?A (-5, 2)A (-5, 2) A (-5A (-5 + 3 + 3, 2 , 2 + 2 + 2))A (-2, 4)A (-2, 4) t t-1 -1(3, 2) (3, 2): :A (-5, 2) A (-5, 2)B (-5, -4) B (-5, -4) C (0, -4) C (0, -4)B (-5, -4)B (-5, -4) B (-5B (-5 + 3 + 3, -4 , -4 + 2 + 2))B (-2, -2)B (-2, -2) C (0, -4)C (0, -4) C (0C (0 + 3 + 3, -4 , -4 + 2 + 2))C (3, -2)C (3, -2) + 3 + 3+ 2 + 2A (-2, 4) A (-2, 4)+ 3 + 3 + 2 + 2B (-2, -2) B (-2, -2)+ 3 + 3+