Cours Hydraulique Generales

NOTIONS D’HYDRAULIQUE

GENERALE Cours d’Hydraulique Générale Janvier 2013© Noureddine Gaaloul Docteur en Sciences et Techniques de l'Eau Ecole Nationale de Génie de l’Eau et de l’Environnement -Strasbourg Maître de Conférences

Cours d’Hydraulique Générale - Université Libre de Tunis (ULT)

Gaaloul Noureddine : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau / 60

Sommaire Chapitre 1 : Introduction et hypothèses Chapitre 2 : Ecoulement uniforme

11.. Notions de base

22.. Calcul du régime uniforme

33.. Distribution des vitesses et formes générales des canaux et rivières

44.. Forme optimale d'un canal

Chapitre 3 : Ecoulement graduellement varié

11.. Hypothèses et notions de base

22.. Energie spécifique

33.. Régime critique et pente critique

44.. Evolution de l'énergie spécifique

55.. Les axes hydrauliques

66.. Calcul des axes hydrauliques dans un canal prismatique

Chapitre 4 : Ecoulement brusquement varié

11.. Le ressaut hydraulique stationnaire

22.. Impulsion totale et profondeur conjuguée

33.. Le ressaut noyé

Chapitre 5 : Ecoulements en canaux rectilignes

11.. Axes d'amont, axes d'aval

22.. Ecoulement entre une vanne de fond et un réservoir à niveau constant

33.. Changement de la pente de fond

44.. Ecoulement au droit d'une pile de pont

55.. Rétrécissement et élargissement progressif

66.. Canal Venturi - Seuil de fond - Déversoir à seuil épais

Afin de rencontrer l'objectif de ce cours qui est la détermination de la surface libre de l'eau dans différentes

situations, il nous faut délimiter notre domaine de travail. Nous devons donc nous fixer quelques hypothèses et

un système d'axes de référence.



Chapitre 1 :

Introduction et hypothèses

Hypothèses sur l'écoulement L'écoulement est considéré :

1. permanent : indépendance par rapport au temps

2. continu : débit identique dans toute la section de la

rivière ou canal

3. bidimensionnel : écoulement considéré comme plan

Systèmes d'axes de référence utilisés :

1. Système classique Oxyz :

Ox : horizontale transversale

Oy : horizontale longitudinale

Oz : verticale

2. Système associé au fond de la rivière Osyh :

s : abscisse courante de la rivière

h : distance au fond prise perpendiculairement

Régimes d'écoulement à surface libre

Trois hypothèses sont faites pour représenter de

manière unique la charge en une section et la perte de

charge entre deux sections :

1. pente de fond faible : pour supposer les

profondeurs h comme verticales

2. écoulement parallèle : afin que le niveau

pièzomètrique soit le même en tout point d'une

section

3. vitesse uniforme en une section donnée

la charge :

H = z + (p /ρ) + (V2 / 2g)

la perte de charge :

J12 = H1 - H2

Suivant la viscosité, représentée par le nombre de Reynolds (Re), l'écoulement peut être : o laminaire , turbulent et de transition

Le nombre de Reynolds : un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :

vRRe

où

V : la vitesse moyenne du fluide

R : le rayon hydraulique

nu : la viscosité cinématique (eau : +/- 10-6

m2/sec)

Le type d'écoulement peut être déterminé grâce à des diagrammes expérimentaux comme ceux de

Nikuradse ou de Moody.

Un autre paramètre important est le nombre de Froude (Fr) qui représente l'effet des forces de gravité

:

où hm : profondeur hydraulique = quotient de l'aire de la section mouillée par la largeur L.

Fr < 1 : écoulement subcritique

Fr = 1 : écoulement critique

Fr > 1 : écoulement supercritique

Une autre façon de distinguer les types d'écoulements est de considérer l'évolution de la profondeur h

ainsi que la variation correspondante des vitesses moyennes :

écoulement uniforme :

la profondeur ne varie pas le long du canal

vitesses parallèles mais non constantes dans une section donnée

même champ de vitesses d'une section à l'autre

écoulement graduellement varié : la profondeur et les vitesses évoluent progressivement d'une section

à l'autre,

écoulement brusquement varié : changement de profondeur important et localisé .



Chapitre 2 :

Le régime uniforme

1- Notions de base Hypothèses

Dans un canal de pente constante et de section transversale invariable, l'écoulement est uniforme si : la profondeur, la section mouillée, la vitesse moyenne restent constantes en toute section

la ligne de charge, la surface libre et le fond du canal sont parallèles.

L'écoulement uniforme au sens stricte est très rare, mais certains écoulements dans des canaux

artificiels peuvent être considérés comme tels.

Formules usuelles

Formule de Chézy

Deux hypothèses pour l'obtention de cette formule :

1. la force résistant à l'écoulement dans un canal par unité de surface de la paroi, est proportionnelle au

carré de la vitesse moyenne de l'écoulement :

FR = k . V2 . P . Ds

2. la force résistante est équilibrée par la composante longitudinale de la force de gravité :

FM = . A . Ds . I

La deuxième hypothèse nous donne : FR = FM



k . V2 . P . Ds = . A . Ds . i

en définissant le rayon hydraulique de la section comme : R = A / P, c'est à dire le rapport de l'aire mouillée au

périmètre mouillé, on obtient :

V2 = ( / k) . R . i

V = C . (R . i)1/2

où C est le coefficient de Chézy qui dépend de :

la rugosité des parois

R : le rayon hydraulique

i : la pente de fond

j : pente de la ligne de charge

C varie entre 20 m1/2

sec-1

(rivières très irrégulières) à 80 m1/2

sec-1

(canaux aux parois lisses). Ce

coefficient peut être estimé par différentes formules :

formule de Bazin :

m dépend de la nature de la paroi :

Numéro des catégories Nature des parois m[m1/2

]

1 Parois très unies (ciment, bois raboté) 0,06

2 Parois unies (plaches, riques, pierres de taille) 0,16

3 Parois en maçonnerie de moellons 0,46

4 Parois de nature mixte (section en trre très réguière) 0,85

5 Canaux en terre (conditions ordinaires) 1,30

6 Canaux en terre, avec fond de galets, parois herbées 1,75

formule de Manning :



C = (1/n) . R1/6

Cette formule est souvent plus simple à utiliser et d'autre part les tables donnant les valeurs de

n sont très complètes.

Il existe encore d'autres formules...

Valeurs du coefficient n de Manning

Nature des surfaces Etats des parois

Parfais Bon Assez bon Mauvais

A) Canaux artificiels

Ciment lissé 0,010 0,011 0,012 0,013

Mortier de ciment 0,011 0,012 0,013 0,015

Aqueducs en bois raboté 0,010 0,012 0,013 0,014

Aqueducs en bois non raboté 0,011 0,013 0,014 0,015

Canaux revêtus de béton 0,012 0,014 0,016 0,018

Moëllons bruts 0,017 0,020 0,025 0,030

Pierres sèches 0,025 0,030 0.033 0.035

Moëllons dressés 0.013 0.014 0.015 0.017

Aqueducs métalliques à section demi-circulaire lisses 0.011 0.012 0.013 0.015

Aqueducs métalliques à section demi-circulaire plissée 0.0225 0.025 0.0275 0.030

Canaux en terre droits et uniformes 0.017 0.020 0.0225 0.025

Canaux avec pierres, lisses et uniformes 0.025 0.030 0.033 0.035

Canaux avec pierres, rugueux et irréguliers 0.035 0.040 0.045 -

Canaux en terre à larges méandres 0.0225 0.025 0.0275 0.030

Canaux en terre dragués 0.025 0.0275 0.030 0.033

Canaux à fond en terre, côtés avec pierres 0.028 0.030 0.033 0.035

B) Cours d'eau naturels

1) propres, rives en ligne droite 0.025 0.0275 0.030 0.033

2) idem 1 avec quelques herbes et pierres 0.030 0.033 0.035 0.040

3) avec méandres, avec quelques étangs et endroits peu profonds, propres

0.035 0.040 0.045 0.050

4) idem 3, l'eau à l'étiage, pente et sections plus faibles 0.040 0.045 0.050 0.055

5) idem 3, avec quelques herbes et pierres 0.033 0.035 0.040 0.045

6) idem 4, avec pierres 0.045 0.050 0.055 0.060

7) Zones à eau coulant lentement avec herbes ou fosses très profondes

0.050 0.060 0.070 0.080

8) Zones avec beaucoup de mauvaises herbes 0.075 0.100 0.125 0.150

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon02/manning.html





2 - Calcul du régime uniforme

Les différents paramètres du régime uniforme s'obtiennent grâce à la formule suivante : Q = A . C . (R . i)1/2

Le calcul du débit Q, de la pente de fond ou du coefficient de rugosité sont très simples quand on connaît les

autres paramètres.

Un calcul plus important est celui de la hauteur uniforme qui devra s'opérer de façon graphique ou itérative.

Cette complication vient du fait que la formule de Chézy devient irrationnelle.

Calcul de hu

Sections ouvertes

Les sections ouvertes vers le haut présentent, en général, une croissance plus rapide de leur aire A que de leur

périmètre mouillé P quand le tirant d'eau h augmente. R est donc une fonction monotone croissante de h et donc

aussi Q qui est donné par la formule de Chézy.

Pour un débit Q et un canal donnés ; il n'existe qu'une seule hauteur uniforme hu.

Si la section est définie analytiquement, la résolution pourra se faire de façon itérative sinon, il faudra recourir à

une méthode graphique.

Méthode de calcul :

1. détermination des équations donnant A et P,

2. remplacement dans la formule de Chézy des termes A et P par les équations trouvées au point 1,

3. transformation de l'équation obtenue au point 2, pour en obtenir une du type h = f(h)

4. résolution itérative en s'imposant un premier h.

Normalement la convergence est assez rapide.

Dans le lien qui suit vous trouverez une application interactive de calcul de la hauteur uniforme dans une section

trapézoïdale variable. (Attention, il vous faut un navigateur supportant le Java) Calcul de hu

Sections fermées

La hauteur uniforme n'est plus une fonction univoque de Q. Dans les environs du débit maximum, deux hauteurs

uniformes sont possibles pour le même débit.

Dans le cas de l'aqueduc circulaire, le débit est maximum pour hu = 0,95 . d et vaut 1,07 fois le débit en charge.

A côté de cette première considération, la méthode de calcul de hu reste identique.



3 - Distribution des vitesses et formes des canaux et rivières Distribution des vitesses

Même si la vitesse reste constante entre les sections (hypothèse de l'écoulement uniforme fort proche

de la réalité), elle varie au sein d'une même section.

Les figures suivantes donnent la distribution des vitesses sur une verticale (distribution logarithmique

avec un maximum près de la surface) et sur une horizontale :

Quelques définitions de vitesses :

V : vitesse moyenne donnée par Q / A

VS : vitesse à la surface libre

Vmax : vitesse maximale près de la surface

Etant donné cette non-uniformité de la vitesse, il est parfois nécessaire de tenir compte d'un coefficient

correctif dans le terme de l'énergie spécifique :

. V2 / 2 . g

où le coefficient est donné par :

Valeurs de α

Minimum Moyenne Maximum

Canaux réguliers,

chenaux déversants 1,10 1,15 1,20

Rivières naturelles,

torrents 1,15 1,30 1,50

Rivières recouvertes par les glaces 1,20 1,50 2,00

Rivières de vallée en crue 1,50 1,75 2,00

Canaux à profil ouvert



Profils simples

Les différents types de sections de canaux artificiels :

o trapézoïdale : cas le plus fréquent

o rectangulaire : quais d'amarrage ou canaux en zone urbaine

o semi-circulaire : canaux d'irrigation

o parabolique : canaux d'irrigation en terre présentant une même résistance à l'érosion sur toute la paroi.

Pour un profil trapézoïdal, on distingue :

EF : gueule du canal

BC : le plafond du canal

EB et FC : talus dont la pente s'exprime comme suit :

tg delta = 1 / p

Quelques valeurs de p

Nature de la paroi Valeur de p

Rocher compact, maçonnerie, béton 0 ... 1/4

Rocher fissuré, maçonnerie en pierres sèches 2/4

Argile dure 3/4

Alluvions compactes 4/4

Gros graviers 6/4

Terre ordinaire, sable grossier 8/4

Terre remuée, sable moyen 8/4 ... 10/4

Lorsque le canal est en remblai, il y a lieu de multiplier les valeurs de p par 1,5.

Sections composées



Cette situation est rencontrée lors d'un débordement ou de l'inondation du lit majeur d'un cours d'eau

Pour obtenir le débit dans une telle section, on la divise en sous-sections en prolongeant les talus

naturels (voir figure). On suppose que chacune d'elles est animée de sa vitesse propre calculable par la

formule de Chézy : Q = A1 V1 + A2 V2 + A3 V3

Les rayons hydrauliques R1, R2, R3 sont calculés comme suit : R1 = A1 / P1 = (aire ABCD) / (AB +

BD)

Cette méthode est purement empirique, elle n'est utilisée que dans le cas où les différentes sections

sont bien marquées.

Sections hétérogènes

Si Pi sont les périmètres mouillés correspondant aux rugosités Ci, alors le périmètre mouillé total :

P = P1 + P2 + ... + Pn

Soient Ai les sous-sections fictives correspondant aux zones d'influence des différentes rugosités, l'aire

totale est donnée par : A = A1 + A2 + ... + An

On suppose que la vitesse est la même dans chaque sous-section et est égale à la vitesse moyenne

générale : V = V1 = V2 = ... = Vn

C1 R11/2

i1/2

= C2 R21/2

i1/2

= ... = Cn Rn1/2

i1/2

= C R1/2

i1/2

Aqueducs à section fermée

Dans ce cas-ci, la hauteur h n'est pas une fonction univoque du débit Q car Q est une fonction de (A /

P) et P croît beaucoup plus rapidement que A au voisinage de l'écoulement plein.

canalisations circulaires

Qmax = 1,07 Qplein, non en charge pour h = 0,95d

4 - Forme optimale d'un canal



En reprenant la formule de Chézy pour le débit : Q = A . V = A . C . R1/2

. i1/2

On constate que, pour une pente i, une rugosité C, et une aire A données, le débit sera maximal pour le rayon

hydraulique R maximal, c'est -à-dire pour un périmètre mouillé minimal. (voir définition du rayon hydraulique)

Cette situation correspond à :

l'optimum hydraulique : débit Q maximum,

l'optimum économique : périmètre minimum, et donc surface du revêtement minimum.

Section semi-circulaire

De par ses propriétés géomètriques, le cercle est la forme

offrant la plus grande surface pour le plus petit périmètre.

Travaillant dans les écoulements à section ouverte, nous

nous intéresserons au cas du demi-cercle.

R = A / P = r / 2 = h / 2

Cette forme n'est cependant pas facile à mettre en oeuvre

pour les canaux à grande section. Ces canaux seront plutôt

de formes trapézoïdales ou rectangulaires.

Section trapézoïdale

Elle est définie par trois éléments :

o la largeur au plafond l ;

o la hauteur h ;

o la pente du talus 1 / p ; mais ce paramètre dépend

de la nature du sol ou du revêtement et n'est donc pas un

élément de choix économique.

En maximisant le rayon hydraulique pour une aire

donnée, le calcul nous montre que le profil

trapézoïdal optimal et circonscrit à la demi

circonférence de rayon égal à la profondeur h et de

centre sur l'axe de la suface libre.

Détail du calcul de la section trapézoïdale optimale

Calculons l'aire A et le périmètre mouillé P:

A = h (l +p . h)

P = l + 2 . h (1 + p2)

1/2



Comme nous voulons maximiser R = A / P pour une aire donnée, cela revient à poser:

dA = 0, puisque A est une constante,

dP= 0, puisque nous voulons minimiser P.

Ce qui se traduit par :

dA = h . dl + (l + 2 . p . h) dh = 0

dP = dl + 2 . (1 + p2)

1/2dh

En éliminant dl puis dh :

-2 . h . (1 + p2)

1/2 + (l + 2 . p . h) = 0

Nous obtenons alors la condition sur l:

l = 2 . h [ (1 + p2)

1/2 - p ]

En faisant le parallèle avec la figure et en remplaçant les termes par leurs correspondants :

OF = CD – FD

OF + FD = OD = CD

Le triangle ODC est donc isocèle et ses hauteurs sont égales:

OK = FC = h

Le profil trapézoïdal optimal est donc circonscrit à la demi circonférence de rayon égal à la profondeur h et dont

le centre est sur l'axe de la surface libre.

Section rectangulaire Cette section n'est qu'un cas particulier de la section trapézoïdale avec une pente de talus p = 0.

Dans la pratique, le problème n'est pas aussi simple. Etant donné une hauteur d'eau assez élevée, les sections

obtenues ont les désavantages suivants :

terrassements en profondeur fort coûteux

charge d'eau importante sur le fond : risque d'infiltration d'eau

stabilité des parois plus difficile

Ces considérations conduisent à choisir, dans la pratique, des profondeurs plus faibles.

Lorsque le dimensionnement du canal est fini, il est aussi intéressant de vérifier la vitesse moyenne. Si elle est

trop faible, il y a un risque de formation d'algues, ... ; si elle est trop grande, risque d'érosion des parois du canal.

Chapitre 3 :



L’écoulement graduellement varié

1 - Hypothèses et notions de base

Un écoulement à surface libre est dit "graduellement varié" si :

les hypothèses du mouvement uniforme ne sont pas vérifiées:

o le tirant d'eau, la vitesse, la section mouillée varient d'une section à l'autre

o la ligne de charge, la surface de l'eau et le fond du canal ne sont plus parallèles

les hauteurs et les vitesses présentent une évolution progressive, afin de pouvoir considérer les vitesses

comme parallèles.

Si les variations sont brusques, alors nous aurons à faire à un écoulement brusquement varié.

Dans les deux cas, nous considérerons qu'en chaque point les différents paramètres sont constants mais

qu'ils peuvent varier en fonction de l'emplacement.

L'hypothèse de parallélisme des vitesses impose que:

la ligne d'eau et l'axe hydraulique restent relativement parallèles au fond

les changements de section soient très progressifs

Cet hypothèse permet aussi de supposer une distribution hydrostatique des pressions dans une section

donnée.



Les situations données aux deux figures suivantes sont donc à exclure car la distribution des vitesses

n'y est pas hydrostatique.

Théorème de Bernoulli

Partons de l'équation de Bernoulli entre deux points :

z1 + (p1 / ) + (V12 / 2g) = z2 + (p2 / ) + (V2

2 / 2g) + J12

où J12 est la perte de charge entre les deux points (>0 dans le sens du débit)

On peut étendre cette équation à l'écoulement entre deux sections entières :



Z1 + 1 . (V12 / 2g) = Z2 + 2 . (V2

2 / 2g) + J12

que l'on peut aussi écrire :

H1 = H2 + J12

où :

Zi : cotes de la surface libre dans les sections respectives par rapport à un plan de référence. On suppose

donc que p1 = p2 = patm.

Vi : vitesses moyennes dans les sections respectives

i : coefficients de distribution de vitesses

J12 : perte de charge entre les sections 1 et 2

C'est la forme différentielle de cette équation qui nous permettra de dériver l'équation fondamentale

des axes hydrauliques :

dz + d( . (V2 /2g)) + j ds = 0

où j est la perte de charge par unité de longueur ou pente hydraulique

Pente hydraulique et pente de fond

En mouvement varié, nous avons trois types de pentes :

la pente de fond :

i = -(dZ0) / ds = (Z01 - Z02) / (s2 - s1)

la pente de la ligne d'eau :

-(dZ) / ds = (Z1 - Z2) / (s2 - s1)

la pente hydraulique : (perte de charge unitaire)

j = -(dH) / ds = (H1 - H2) / (s2 - s1)

En mouvement uniforme, nous savions que i = j, ce qui n'est plus vérifié en mouvement varié. Mais

nous ferons l'hypothèse que la pente hydraulique en une section donnée est égale à celle d'un

mouvement uniforme de même débit et de même vitesse.

Si nous avons un canal de pente de fond i et de débit Q, on peut calculer :

1. par la formule de Manning, la hauteur uniforme hu qui correspondrait à un mouvement uniforme de

débit Q :

Q = (1 / n) . Au . Ru2/3

. i1/2

où Au, Ru sont l'aire et le périmétre mouillés pour une section d'une hauteur d'eau hu;

2. la pente hydraulique j par lhypothèse faite au paragraphe précédent c'est-à-dire en utilisant la formule

de Manning avec le même débit Q mais avec une hauteur d'eau h :

Q = (1 / n) . A . R2/3

. i1/2

Le rapport des deux formules précédentes nous donne :

j / i = (Au / A)2 . (Ru / R)

4/3

Analyse de cette équation

Si h > hu h < hu

alors A > Au et R > Ru A < au et R < ru

on a donc j i



2 - L'énergie spécifique

Définition

L'énergie spécifique (charge spécifique) dans une section transversale d'un canal ou d'une rivière est :

la valeur moyenne de l'énergie des molécules du liquide de cette section, par unité de poids de ce

liquide, par rapport à l'horizontale passant par le point le plus bas de cette section ;

la charge moyenne de la section par rapport à un plan de référence privilégié ;

la distance entre la ligne de charge et le fond dans une section donnée.

E = h . (1 - i2)

1/2 + (a . Q

2) / (2 . g . A

2)

qui peut aussi s'écrire : f (E, Q, h) = 0

puisque :

i est fixé pour un canal donné

a est supposé constant (souvent = 1)

A est une fonction de h pour une section donnée

Courbe (h - Q) à E constant

De l'équation de l'énergie spécifique, on peut extraire le débit : Q2 = f (E, h)

Propriétés de cette équation du second degré :

Les racines :

1. h = 0

2. h = E / (1 - i2)

1/2

Un maximum : la hauteur h correspondant à ce débit maximum pour une énergie donnée s'appelle la

profondeur critique hc et la condition de ce débit est :

( . Q2 . L) / (g . A

3) = (1- i

2)1/2



Sur la courbe, on constate que dans une section donnée pour un débit Q et une énergie spécifique E, deux

situations sont possibles correspondant à deux hauteurs. (points a et b)

Courbe (E - h) à Q constant

Au lieu de dessiner la courbe : E = f(Q, h)

on dessinera plutôt : E / (1 - i2)

1/2 = f(Q, h)

Cette courbe présente deux asymptotes :

1. une droite d'équation : E = h . (1 - i2)

1/2 qui est, dans le système d'axe choisi, une droite à 45°

2. l'axe E

Cette courbe présente aussi un minimum qui correspond également au régime critique car elle a la même

condition mathématique.

Comme sur la courbe précédente, nous avons deux situations possibles correspondant à deux profondeurs

possibles.



3 - Célérité d'une intumescence infinitésimale

Après avoir considéré un canal de pente négligeable, de section rectangulaire et de profondeur h dans

lequel l'écoulement est uniforme et caractérisé par une vitesse moyenne V, nous avons appliqué au

volume de contrôle ci-dessous l'équation d'Euler sur la conservation de la quantité de mouvement :

F où est la résultante des forces externes appliquées au volume de contrôle, m la masse et V la vitesse.

Nous avons projeté cette équation sur un axe horizontal (parallèle au fond vu que la pente est

négligeable) et nous en avons en déterminé les différents membres.

Après avoir fait deux hypothèses très importante : L'hypothèse de continuité : Q=A/V

L'hypothèse que l'intumescence est infinitésimale : (h1+h2)/2=h2

Nous avons obtenu le résultat suivant :

Et si nous généralisons l'expression au cas du canal non rectangulaire de section A et de largeur L au

niveau de la surface libre, on obtient :

où hm est la profondeur moyenne (=A/L).

Nous avons ensuite mis en parallèle de ces résultats, le nombre de Froude défini par:

Il nous permet de caractériser l'écoulement par sa valeur.

Nous avons ensuite montré qu'un nombre de Froude égal à 1 correspond à l'écoulement en régime

critique, ce qui nous a permis de différencier deux types d'écoulements : supercritique et subcritique:

4 - Evolution de l'énergie spécifique Analyse des différents types d'écoulements variés

Nous avons défini deux profondeurs caractéristiques qui nous permettent de distinguer différents types

d'écoulements :

1. la profondeur uniforme hu :

a. h > hu : dans ce cas j i

2. la profondeur critique hc :

a. h > hc et V < Vc : écoulement subcritique

b. h = hc et V = Vc : écoulement critique

c. h < hc et V > Vc : écoulement supercritique

De la position relative de ces deux hauteurs caractéristiques dépend le type de pente de fond :

Types de pente i hu hc hu et hc

Contre-pente i < 0 inexistant valeur finie

canal horizontal i = 0 infini valeur finie

canal à faible pente 0 hc

pente critique i = ic valeur finie valeur finie h = hc

canal à forte pente i > ic valeur finie valeur finie h < hc

Evolution de l'énergie spécifique

La figure nous montre que : i . Ds + E1 = E2 + j . Ds

à la limite :

dE / ds = i - j

Cas de la contre-pente

Comme i est négatif, dE / ds ne peut être que

négatif

si h < hc : la profondeur va croître pour tendre

vers hc (point A)

si h > hc : la profondeur va diminuer pour

tendre vers hc (point B)

Cas du canal horizontal

Comme j > i = 0, nous nous retrouvons dans la même situation que la précédente.

Cas du canal à faible pente de fond

Comme hu existe, nous avons quatre possibilités :

1. h < hc : (point A) comme h < hu, j > i et dE / ds

< 0 : l'écoulement se dirige vers le régime critique par

augmentation de la profondeur : axe limité vers l'aval ;

2. hc < h < hu : (point B) cette fois encore dE / ds

< 0 : l'écoulement se dirige vers le régime critique par

diminution de la profondeur : axe limité vers l'aval ;

3. h = hu : (point D) comme h = hu, i = j et dE / ds

< 0 : l'écoulement reste stable, c'est le régime uniforme

;

4. h > hu : (point E) i > j et dE / ds > 0 : la hauteur

augmente indéfiniment ;

Cas du canal à pente critique

Les profondeurs hc et hu sont égales. Trois

possibilités existent :

1. h < hc = hu : (point A) j > i, dE / ds < 0 :

l'écoulement se dirige vers le régime critique par

augmentation de la profondeur : axe limité vers l'aval ;

2. h = hc = hu : (point C) j = i, dE / ds = 0 : régime

uniforme stable ;

3. h > hc = hu : (point B) j < i, dE / ds > 0 : la

hauteur augmente indéfiniment ;

Cas du canal à forte pente de fond

Comme h et h ne sont plus égales, nous avons de

nouveau quatre possibilités :

1. h < hu : (point a) j > i et dE / ds < 0 : la

profondeur augmente vers l'aval pour atteindre le

régime uniforme ;

2. h = hu : (point B) j = i et dE / ds = 0 : régime

uniforme ;

3. hu < h < hc : (point D) j 0 : la

profondeur diminue vers l'aval pour atteindre le régime

uniforme ;

4. h > hc : (point E) j 0 : la

profondeur augmente vers l'aval pour s'éloigner du

point C ;



5 - Les axes hydrauliques

Equation différentielle du mouvement graduellement varié

En partant de l'équation de Bernoulli, voir démonstration en bas, on obtient l'équation différentielle qui nous

permettra de déterminer les axes hydrauliques:

Equation différentielle du mouvement graduellement varié

Repartons de l'équation de Bernoulli sous forme différentielle dans le cas d'un mouvement permanent où les

filets fluides peuvent être considérés comme parallèles :

où

z : altitude de la surface libre par rapport à un plan de référence

V : la vitesse moyenne dans une section

j : la perte de charge par unité de longueur

ds : distance entre deux sections infiniment proches.

Prenons un plan de référence passant par le pied de la section 2. Du schéma suivant,



on déduit :

Le second terme peut s'écrire en remplaçant V par Q/A et en supposant constant:

En mettant ensemble tous les termes précédents, on obtient :

Etude qualitative des axes hydrauliques en canaux prismatiques

dh / ds = N / D

où N et D sont respectivement le numérateur et le dénominateur, tous deux fonctions de h.

Analyse de N :

i = j : c'est-à-dire h = hu (régime uniforme) donc h est constant : N = O et dh / ds = 0

i < j : c'est-à-dire h < hu donc N < o ;

i > j : c'est-à-dire h > hu donc N > O.

Analyse de D :

h = hc : (régime critique) D = 0, dh / ds tend vers +/- l'infini ;

h < hc : D < 0 ;

h > hc : D > 0 ;

Nous sommes maintenant en mesure de définir les différents axes hydrauliques.

Canaux à faible pente de fond (axes M)

La discussion de l'équation différentielle peut se résumer sous forme d'un tableau :

Valeur de h N D dh / ds Axe

h = + infini i (1 - i2)1/2 i / (1 - i2)1/2 Horizontal

hu < h < infini > 0 > 0 > 0 Axe M1

h = hu 0 > 0 0 Parallèle au fond : axe Mu

hc < h < hu < 0 > 0 < 0 Axe M2

h = hc < 0 0 +/- infini Perpendiculaire au fond (théorique)

0 < h < hc < 0 < 0 > 0 Axe M3

h = 0 - infini - infini (g . P) / (a . C2 . L) Pente positive finie (théorique)

h = - infini i (1 - i2)1/2 i / (1 - i2)1/2 Horizontal (théorique)

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon11/devhinfm.html

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon11/devhhcm.html

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon11/devh0m.html

Canaux à forte pente de fond (axes S)


h = + infini i (1 - i2)1/2

i / (1 - i2)1/2

Horizontal

hc < h < infini > 0 > 0 > 0 Axe S1

h = hc > 0 0 +/- infini Perpendiculaire au fond (théorique)

hu < h < hc > 0 < 0 < 0 Axe S2

h = hu 0 < 0 0 Parallèle au fond : axe Su

0 < h < hu < 0 < 0 > 0 Axe S3


h = - infini i (1 - i2)1/2

i / (1 - i2)1/2

Horizontal (théorique)

Canaux à pente critique (axes C)

Ce type d'axes est beaucoup plus rare. Nous le traiterons comme le cas limite des axes M et S où hu et hc tendent

l'un vers l'autre pour s'égaler à la limite et faire disparaître la région des axes M2 et S2.

L'axe C1 découle de l'axe M1 et S1 qui tendent à la limite vers une horizontale. Cet axe sera donc rectiligne et

horizontal.

L'axe C3, tout comme le précédent, est rectiligne et horizontale.

Canaux horizontaux (axes H)


h = + infini 0 1 0 Horizontal

hc < h < infini < 0 > 0 < 0 Axe H2


0 < h < hc < 0 < 0 > 0 Axe H3


h = - infini 0 1 0 Horizontal (théorique)

Canaux à contre-pente (axes A)


h = + infini i (1 - i2)

1/2 i / (1 - i2)

1/2 Horizontal

hc < h < infini < 0 > 0 < 0 Axe A2


0 < h < hc < 0 < 0 > 0 Axe A3


h = - infini i (1 - i2)

1/2 i / (1 - i2)

1/2 Horizontal (théorique)

Propriétés communes aux axes hydrauliques

Dans tous les axes vus précédemment, on retrouve un certain nombre de propriétés :

a. Dans les zones 1 et 3, l'axe est toujours en exhaussement et la vitesse en décélération. Dans les zones 2,

il y a abaissement et accélération.

b. Aucun axe ne coupe le niveau uniforme, le raccord étant toujours asymptotique.

c. Pour les faibles pentes, c'est le régime uniforme qui règne loin à l'amont d'une singularité, tandis que

pour les fortes pentes, c'est à l'aval qu'on le retrouve.

d. Les axes coupent le niveau critique h théoriquement à angle droit (sauf pour les axes C). Dans la réalité,

ce passage est instable (p. ex.: ondulations, ...).

e. Si h > hu, i > j et dE / ds > 0 : la ligne de charge s'élève par rapport au fond.

f. La ligne d'eau d'un écoulement à surface libre est une succession d'axes de types distincts.



6 - Calcul des axes hydrauliques

Nous avons à notre disposition trois méthodes de calcul des axes hydrauliques :

1. la méthode de Bresse,

2. l'intégration numérique,

3. l'intégration par différences finies.

Méthode de Bresse

La méthode de Bresse est une intégration analytique de l'équation différentielle des axes hydrauliques.

Hypothèses :

L >>> h : comme ça le rayon hydraulique R peut être confondu avec le tirant d'eau h

distribution uniforme des vitesses : a = 1

(1 - i2)

1/2 = 1

Ce qui nous donne comme équation :

Après calcul, nous obtenons la formule de Bresse :

dh / ds = i . (h3 - hu

3) / (h

3 - hc

3)

En posant x = h / hu et en intégrant entre deux sections d'abscisse s0 et s1, on obtient une formule du type :

i (s1 - s0) = f(hu, hc, x)

Méthode de calcul de l'axe :

1. calcul de hc et hu,

2. on choisit une section s0, dont on connaît h0 et donc x0 = h / h0,

3. on choisit une hauteur h1 (donc x1)peu différente de h0 et par la dernière formule, on obtient l'abscisse de

s1,

4. on réitère, en prenant s1 comme nouvelle section de départ.

Cette méthode est exacte et rapide si on reste dans le cadre des hypothèses. En général, on lui préfèrera

une méthode numérique plus générale.

Intégration numérique

Repartons de l'équation différentielle des axes hydrauliques qui peut se mettre, si on connait le débit et

le profil du canal, sous la forme:

dh / ds = N / D = f(h)

soit en séparant les variables :

ds = ( D / N ) dh = dh / f(h)



Nous obtenons une équation différentielle du premier ordre intégrable moyennant une constante

d'intégration, connue, par exemple, grâce à une condition aux limites.

Méthode de calcul de l'axe : on choisit une section où l'on connaît s et h, et un intervalle de profondeur dh,

on calcule ds en utilisant h + dh/2 comme valeur pour f(h) de façon à trouver la pente moyenne de

l'intervalle,

On voit directement sur le graphe, que le calcul avec f(h +dh/2) (point B) donne une bien

meilleure solution que f(h) (point C). on réitère avec la nouvelle section.

Intégration par différences finies

On peut déduire de la figure :

E1 + i . Ds = E2 + j . Ds

ou encore :

Ds = DE / (i - j)

Méthode de calcul :

1. Choix d'une section 1 (s1, h1) et d'un h2,

2. calcul de Ds avec la formule :

s2 - s1 = (E2 - E1) / ( i - (j(h1) + j(h2))/2)

3. nouvelle itération avec la section obtenue.

Chapitre 4 :

L’écoulement brusquement varié

1- Le ressaut hydraulique stationnaire

Définition et description du ressaut

Le ressaut hydraulique stationnaire est une brusque surélévation d'un courant permanent. Celle-ci passe d'une

profondeur h1 < hc (supercritique ou axe d'amont) à une profondeur h2 > hc (subcritique ou axe d'aval).

Si le ressaut présente un exhaussement de la ligne d'eau suffisamment important, un ou plusieurs rouleaux se

produisent avec déferlement et turbulence, si bien qu'une perte de charge non-négligeable se produit au droit

du ressaut.

Soient A1 et A2 les sections à l'amont et à l'aval où les filets fluides sont supposés pratiquement parallèles, on

distinguera :

les profondeurs conjuguées h1 et h2

la hauteur du ressaut = h2 - h1

la longueur du ressaut : paramètre purement expérimental qui, en général, est évalué par :

= 6 (h2 - h1)

= 6 h2, encore plus proche de la réalité.

la perte de charge J : abaissement de la ligne de charge.

Types de ressauts

Le ressaut sépare un axe supercritique ou d'amont (nombre de Froude Fr > 1) d'un axe subcritique ou

d'aval (Fr < 1).

Suivant que le nombre de Froude soit plus ou moins proche de 1, le ressaut changera de configuration :

Fr1 = 1 : régime critique sans ressaut

1 < Fr1 < 1,7 : ressaut ondulé : surface présente des ondulations, les hauteurs conjuguées sont trop

proches de la hauteur critique qui est instable.

1,7 < Fr1 < 2,5 : ressaut faible : petits rouleaux, mais la surface de l'axe reste lisse à l'aval.

2,5 < Fr1 < 4,5 : ressaut oscillant : jet oscillant tantôt vers le fond, tantôt vers la surface du canal. A

chaque oscillation naît une onde partant vers l'aval qui peut provoquer des dégats considérables.

4,5 < Fr1 < 9 : ressaut stable : ressaut bien équilibré qui dissipe 45 à 70 % de son énergie spécifique

dans les meilleurs conditions.

Fr1 > 9 : ressaut raide : le jet rapide est perturbé par la retombée des rouleaux, et induit des ondes

importantes vers l'aval.

Equation du ressaut stationnaire

Schématisons le phénomène par la figure suivante :

Les hypothèses :

fond du canal est horizontal : on néglige la composante du poids propre parallèle au fond

frottement le long des parois est négligeable : ces pertes de charge sont faibles par rapport à celles

dues à la turbulence

filets fluides parallèles dans les sections A1 et A2 : dépend du choix du volume de contrôle

vitesses uniformes dans les sections A1 et A2 : si bien que les coefficients de distribution d'énergie

cinétique et de distribution de quantité de mouvement sont = 1.

Pour écrire l'équation du ressaut, on repart de l'équation d'Euler appliquée au volume ABDC qui devient après

un laps de temps le volume A'B'D'C'.

Etant donné les hypothèses, les seules forces horizontales sont les pressions hydrostatiques le long de AB et de

CD:

FP(AB) = . g . ZG1 . A1

Où

ZG : profondeur verticale du centre de gravité de la section A.



ZG = hG ( 1 - i2)

1/2

En développant la quantité de mouvement et en intégrant toutes ces données dans l'équation d'Euler, on obtient

l'équation du ressaut stationnaire :

(Q2 / g A1) + A1 . ZG1 = (Q

2 / g A2) + A2 . ZG2

2-Impulsion totale et profondeur conjuguée Impulsion totale

L'impulsion totale F en une section est égale à:

F = (Q2 / g . A) + A . ZG = (Q

2 / g . A) + A . hG . (1-i

2)

1/2

Etudions la variation de F / (1-i2)1/2

:

si h tend vers 0, alors A et hG tendent vers 0, si

bien que F tend vers l'infini : asymptotique à l'axe des

ordonnées si h tend vers l'infini, A et hG tendent aussi vers

l'infini si bien que la fonction tend vers l'infini :

asymptotique à une courbe paraboliquedu type A . hG.

La fonction présente donc un minimum (dérivée par rapport à h = 0) :

Comme nous le constatons sur la figure, dA / dh = L.

A . hG est le moment statique de la section mouillée par rapport à la surface libre. Nous pouvons écrire

l'accroissement de ce moment statique :



En faisant tendre dh vers 0 :

En remettant toutes ces considérations ensemble,

nous constatons que la hauteur correspondant à

l'impulsion minimale est la hauteur critique.

La profondeur conjuguée

Ayant introduit la notion d'impulsion totale, l'équation fondamentale du ressaut peut s'écrire comme:

F1 = F2

On en déduit que deux hauteurs h1 et h2 correspondent à une même valeur de l'impulsion totale, ces deux

hauteurs sont appelées hauteurs conjuguées se situent de part et d'autre de la hauteur critique hc.

Calcul de la profondeur conjuguée

Le calcul peut se faire itérativement en partant de la formule fondamentale du ressaut et en supposant que la

pente soit suffisament faible pour que cette équation reste valable. La convergence d'un tel calcul est difficile à

assurer.

Une autre possibilité est de tracer la courbe de F et de rechercher graphiquement la hauteur conjuguée.

Position du ressaut

Prenons le cas d'une faible pente de fond, si un axe

M3 commence au pied d'une vanne, sa longueur ne

peut qu'être limitée. La seule possibilité est un

raccordement à un axe M1, M2 ou Mu. Ce passage

d'un axe supercritique à un axe subcritique se fera par

un ressaut.



Méthode pour déterminer l'emplacement du ressaut

1. on trace les axes M3 et M2

2. calcul de l'axe conjugué (par exemple à M3) : M3'

3. si on veut une grande précision, on translate l'axe conjugué de : M3''

4. l'intersection entre M3'' et M2 nous donne la tête du ressaut

5. sur M3, décalé de , on trouve le pied du ressaut.

3- Le ressaut noyé

Description

On constate sur la figure que, si l'axe s'élevait, le ressaut se déplacerait vers l'amont . A la limite, lorsqu'il atteint

la vanne, il est refoulé contre elle; le ressaut est dit noyé ou dénaturé.



Le ressaut noyé est composé de deux parties :

1. un jet rapide sous la vanne, analogue à un ressaut ordinaire,

2. un matelas d'eau relativement instable, ayant des vitesses nettement inférieures à celles du jet, dont la

hauteur déterminera le débit.

Equation

Quelques variables :

hv : la hauteur d'ouverture de la vanne,

hm : la profondeur au droit du matelas d'eau,

h2 : la profondeur à l'aval du ressaut noyé.

Les hypothèses sont les suivantes :

1. fond du canal supposé horizontal : on néglige la composante du poids propre paralléle au fond

2. forces de frottement le long des parois négligées

3. filets fluides parallèles dans les sections Av et A2

4. vitesses uniformes en Av et A2

5. vitesses faibles dans le matelas d'eau : on le considère comme une masse de fluide au repos.

Comme pour l'équation du ressaut, nous partons de l'équation d'Euler, projetée parallèlement au fond du canal et

appliquée au volume ABCDE, qui devient A'B'BCDD'E':

Suite aux hypothèses, les seules forces non-nulles restantes sont les pressions hydrostatiques en ABC et DE.

FP(ABC) = . g . ZGm . Am

FP(DE) = - . g . ZG2 . A2

On obtient l'équation du ressaut noyé :

Ou, en utilisant l'expression de l'impulsion totale :

Fv + [ Am . ZGm - Av . ZGv ] = F2



La quantité entre crochets est essentiellement positive (par comparaison des moments statiques sur la figure qui

suit).

L'impulsion totale est donc plus grande dans la

section 2 qu'au droit de la vanne. Comme h2 > hv,

h2 est obligatoirement supérieure à hc. L'axe qui

débute en aval d'un ressaut noyé est donc toujours

un axe subcritique ou d'aval; par contre, hv peut être

indifféremment inférieur ou supérieur à hc.

Chapitre 5 :

Écoulement en canaux rectilignes

1- Axes d'amont, axes d'aval

La célérité relative peut s'écrire :

Si la vitesse moyenne de l'eau dans le canal est égale à cette célérité c, nous sommes dans un cas d'écoulement

critique. Pour démontrer cette affirmation, il suffit d'élever au carré la formule précédente et de combiner les

termes pour avoir la condition des écoulements critiques( où V = Q / A) :

Q2 . L / (g . A

3) = (1 - i

2)

1/2

Axes d'amont

Aussi appelés axes supercritiques : M3, S2, Su, S3, C3, H3, A3, dont l'écoulement est caractérisé par :

h < hc

V > Vc = c : comme la célérité relative d'une perturbation est toujours plus petite que la vitesse

moyenne, la vitesse absolue de cette perturbation sera toujours dirigée vers l'aval

En un point donné, seules les perturbations situées à l'amont de ce point peuvent influencer celui-ci.

(corollaire du point précédent)

Un axe de ce type sera déterminé par deux conditions d'amont:

1. le débit (toujours une condition d'amont);

2. la profondeur initiale de l'axe à l'amont.

Axes d'aval

Aussi appelés axes subcritiques : M1, Mu, M2, S1, C1, H2, A2, dont l'écoulement est caractérisé par :

h > hc

V < Vc = c : comme la célérité relative d'une perturbation est toujours plus grande que la vitesse

moyenne, la vitesse absolue de cette perturbation sera dirigée aussi bien vers l'amont que vers l'aval

En un point donné, les perturbations situées aussi bien à l'amont qu'à l'aval de ce point peuvent

influencer celui-ci. (corollaire du point précédent)

Un axe de ce type sera déterminé par une condition d'amont et une d'aval :

1. le débit (toujours une condition d'amont);

2. la profondeur initiale de l'axe à l'aval.

Passage de l'un à l'autre

Axe d'amont à un axe d'aval

Le seul moyen pour qu'un écoulement passe d'un axe d'amont à un axe d'aval est le passage par un ressaut.

Axe d'aval à un axe d'amont

Comme nous l'avions observé lors de l'analyse des ressauts, le passage d'un axe d'aval à un axe

d'amont ne peut se faire par l'intermédiaire d'un ressaut; il se fera toujours de façon continue par la

hauteur critique.

Or nous n'avons aucun axe qui traverse le niveau critique, mais nous disposons de :

3 axes d'aval qui se terminent en hc : M2 (pente faible), H2 (pente nulle) et A2 (pente négative),

1 axe d'amont qui commence en hc : S2 (pente forte).

Vu les pentes des différents axes, le seul endroit justifiant la transition d'un axe d'aval à un axe d'amont

présentera toujours un changement de la géométrie du canal(changement de pente, changement de largeur,

obstacle, déversement, ...). Ces passages donnent lieu à ce que l'on appelle une section de contrôle.

C'est à partir d'une telle section de contrôle qu'il est le plus aisé de commencer le calcul des axes

hydrauliques.

Théorème de la pente superficielle



Enoncé : Dans un canal à faible pente de fond, pour deux axes d'amont ou deux axes d'aval, pour une

profondeur donnée h, au plus grand débit Q, correspond la plus forte pente superficielle de l'axe par rapport au

fond [-dh / ds].

Démonstration : La démonstration se fait en réécrivant l'équation fondamentale des axes hydrauliques suivi

d'une discussion sur base d'un graphique.

On part de l'équation fondamentale des axes hydrauliques :

qui peut se réécrire sous la forme :

Cette nouvelle équation exprime l'égalité de deux fonctions de dh / ds :

Les abscisses à l'origine :

Les deux abscisses sont égales dans le cas de la pente critique (B et D confondus). Or le théorème n'est valable

que pour les faibles pentes de fond, nous serons donc toujours dans le cas où B est à gauche de D.

Si le débit Q varie, des quatre points A, B, C et D, seul C varie et fait varier le point E qui représente le point de

fonctionnement du système.

Discussion en fonction de Q

débit Q position du point C dh / ds type d'axe

Q = 0 confondu avec O i / (1 - i2)

1/2 axe horizontal

Q augmente varie de O vers A > 0 et diminue

Q tel que h=hu confondu avec A = 0 axe uniforme

Q augmente varie de A à F < 0, décroît

confondu avec F +/- infini régime critique

Q augmente en dessous de F > 0, décroissant depuis + infini

En conclusion

pour un axe d'amont (h < hc, c en dessous de f) : dh /ds décroît depuis + l'infini, pour un débit

croissant,

pour un axe d'aval (h > hc, C au dessus de F) : dh /ds décroît depuis i / (1 - i2)

1/2 vers - l'infini, pour un

débit croissant,

Pour deux axes du même type, au plus grand débit correspond la plus grande pente superficielle [- dh / ds].



2- Écoulement entre une vanne de fond et un réservoir

Le problème est schématisé à la figure suivante :

Le niveau C du bassin et celui hav du réservoir aval sont constants. On cherche la forme de la ligne d'eau dans le

canal.

Dispositif d'amont

La vanne peut présenter trois types d'écoulement :

L'affleurement.

C'est un écoulement non noyé débutant au pied de la vanne. En supposant une

perte de charge négligeable au droit de la vanne, on calcule le débit par la formule

de Torricelli tirée du théorème de Bernouilli (l étant la largeur du canal) :

Le débit et la profondeur à l'amont étant fixé, il s'agit d'un axe d'amont au pied de la vanne.

Le ressaut noyé.

Celui-ci se calcule avec la même formule si ce n'est qu'il faut tenir compte du

matelas d'eau :

La vanne a une ouverture trop grande.

Deux cas sont possibles :

o h1=hc : il faut une pente de fond forte, on a alors un axe d'amont de

type S2 à partir de h1; le débit et le premier point sont connus.

o h1>hc : l'axe est un axe d'aval dont la condition initiale de profondeur à

chercher à l'aval

Si on néglige les pertes de charges, dans les deux cas :

Dispositif d'aval

Trois possibilités :

Le simple raccordement de l'axe et du niveau d'aval, si on a un axe d'aval. Une telle

solution est possible car on démontre qu'un élargissement (entre le canal et le

réservoir aval) est compatible avec un raccordement sans changement du niveau de la

surface libre.

Du fait même du type de raccordement, on est en présence d'un axe d'aval.

Donc, ce cas n'est possible que si hav > hc.

hav < hc, aucun axe ne peut se raccorder à ce niveau puisque se serait un axe d'amont

avec une condition d'aval ! On a en fait un déversement passant par la hauteur

critique pour laquelle l'énergie spécifique est minimum.

L'axe qui termine le mouvement est un axe d'amont. Plusieurs possibilités :

1. Déversement si le niveau aval est en-dessous de Z.

2. Raccordement si le niveau aval est en Z.

3. Ressaut dans le réservoir si le niveau aval est entre Z et son

conjugué Z'.

4. Ressaut refoulé vers l'amont si le niveau aval est supérieur à Z',

un axe d'aval se développera vers l'amont et on se retrouve dans la situation du

raccordement ou du déversement présentée ci-dessus.

Calcul des axes entre une vanne de fond et un réservoir

On suppose d'abord un affleurement au pied de la vanne et donc un axe d'amont. On peut donc calculer

le débit (par la première formule de Torricelli) et le premier point de l'axe (le pied de la vanne). On en

déduit hc et hu, ainsi que le type d'axe.

Si on trouve hc < hu (faible pente de fond) :

o si le canal est plus court que la longueur maximum d'un axe M3, les situations sont reprises à la

figure suivante :

1. Seulement un axe d'amont à calculer.

2. Seulement un axe d'amont à calculer.

3. Un ressaut apparaît dans le canal. L'axe M3 est un axe d'amont et l'axe M2 est un axe d'aval dont le débit

(condition d'amont) est le même que pour M3 et le dernier point (condition d'aval) est le niveau d'aval.

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon17/dem.html

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon17/resume17.html#Torricelli1

4. Le ressaut est trop proche de la vanne et devient un ressaut noyé. On a uniquement un axe d'aval dont le

débit se calcule par la deuxième formule de Torricelli (il faut hm et donc h2) et dont le premier point de

calcul est à l'aval. Cette situation nécessite un calcul itératif : on pose hm, on calcule le débit puis h2 par

la formule du ressaut noyé. Du débit, on déduit hc et hu ainsi que l'axe d'aval à partir de l'aval. On

incrémente hm jusqu'à ce que cet axe ce raccorde à h2.

o si le canal est assez long pour que M3 atteigne hc, le problème est le même en excluant les deux

premiers cas devenus impossibles.

o Si hc < hv, l'affleurement est exclu et il faut procéder par itération : des valeurs croissantes de hu

seront tentées, correspondant à des valeurs croissantes de h2 (voir formule du ressaut noyé), des

débit décroissants et des axes de plus en plus bas qui finiront par se raccorder à h2 (théorème de

la pente superficielle).

Si hc > hu (forte pente de fond) :

o si hc > hv, on retrouve à la figure suivante les quatre cas similiaires à ceux vus pour les pentes

faibles. Remarquons cependant que, comme le théorème de la pente superficielle n'est pas

applicable aux fortes pentes, l'itération pour le quatrième cas risque d'être longue.

o si hc < hv :

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon17/resume17.html#Torricelli2

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon15/resume15.html#EquationRessautNoye

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon15/resume15.html#EquationRessautNoye

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon16/resume16.html#psup



1. la section d'amont est une section de contrôle. Si la section est rectangulaire, on a vu

précédemment qu'en négligeant la pente :

hc = 2/3 . Ec

Le débit, dans ce cas vaut :

2. idem.

3. si hav > S2', un ressaut se produit.

4. si hav augmente encore, le ressaut disparaît et un axe d'aval se développe d'où calcul

itératif sur h1.

Un élargissement brusque de section est compatible avec un raccordement sans changement du niveau de

la surface libre

Démonstration

Prenons le cas d'un élargissement brusque dans une conduite :

La pression est hydrostatique dans les sections A1 et A2 (fluide au repos ou filets de fuides parallèles).Si les

forces de frottement le long des parois sont négligées, l'équation d'Euler F. t = (mV) peut s'écrire pour

ABCDFE devenu ABB'C'CDF'E' :

En remplaçant A1V1 par A2V2 (équation de continuité), et en groupant les termes, on peut calculer la

différence entre la cote piézométrique au point 2 et au point 1.

qui devient par la première équation ci-dessus :

Dans le cas où V2 est nul, H2=H1. Par extension, dans le cas du dispositif d'aval, V2 est nul et on en

déduit que les niveaux de la surface libre se raccordent.

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon09/resume09.html#HcSRec



3- Changement de la pente de fond

Supposons

un changement de pente, celle-ci passant de i1 à i2 en un point

un débit déterminé à priori

les conditions aux limites éventuelles assez éloignées du changement de pente pour ne pas influencer les

axes aux environs de celui-ci

=> un écoulement uniforme sur une certaine distance, à l'aval et à l'amont du changement de pente

Différents cas sont possibles suivant les positions relatives de i1, i2 et la pente critique ic.

Augmentation de la pente de fond: i1<i2

o Passage d'une pente faible à une pente moins faible: i1<i2<ic

on obtient donc des profondeurs hu1>hu2>hc, cas de la figure ci-dessus

o Passage d'une pente faible à pente forte: i1< ic<i2

on obtient des profondeurs hu1>hc>hu2

o Passage d'une pente forte à une pente plus forte: ic< i1<i2

on obtient des profondeurs hc>hu1>hu2

Diminution de la pente de fond: i2<i1 o Passage d'une pente faible à une pente encore plus faible: i2<i1<ic

on obtient donc des profondeurs hu2>hu1>hc

o Passage d'une pente forte à pente faible: i2< ic<i1

on obtient des profondeurs hu2>hc>hu1

o Passage d'une pente forte à une pente moins forte: ic< i2<i1

on obtient des profondeurs hc>hu2>hu1

Augmentation de la pente de fond

Cas 1: Passage d'une pente faible à une pente moins faible

i1<i2<ic d'où hu1>hu2>hc

Pour les faibles pentes (axes M), on a que:

Aucun axe ne permet d'arriver à une

hauteur uniforme hu2 à l'aval. Cette

profondeur doit donc se produire dès le

changement de pente. Donc axe Mu

L'axe M2 permet de s'écarter

progressivement de hu1 et de rejoindre une hauteur inférieure au droit du changement de pente

Le problème peut se résoudre en considérant l'évolution de l'énergie spécifique lors du changement de

pente. Pour la clareté des dessins, nous supposerons que les diagrammes de l'énergie spécifique sont

identiques tout au long du canal; en réalité, ils diffèrent légèrement à l'amont et à l'aval du changement

de pente. Les flèches vertes représentent les évolutions possibles sur le diagramme pour la partie

amont; les rouges, les évolutions possibles pour la partie aval.

Partant du point 1 sur le diagramme de l'énergie

spécifique (situation loin à l'amont), on doit

atteindre le point 2 (situation loin à l'aval).

Aucune flèche verte ne convergeant vers le point 2,

la situation au droit du changement de pente est déjà

représenté par ce point sur le diagramme de

l'énergie spécifique, sinon, il ne serait plus possible

de l'atteindre plus loin à l'aval. C'est pourquoi la

hauteur uniforme règne dès le changement de pente.

A l'amont du changement de pente, la hauteur va

diminuer progressivement pour atteindre le point 2

au droit du changement de pente.

On obtient bien le même résultat.

Cas 2: Passage d'une pente faible à une pente forte

i1<ic<i2 d'où hu1>hc>hu2

Faible pente axes M et forte pente axes S

Le passage de hu1 à hu2 impose de passer par

la profondeur critique au droit du changement

de pente. Pour s'en convaincre, il suffit

d'observer les évolutions possibles sur le

diagramme de l'énergie spécifique ci-après.

L'axe M2 permet de s'écarter de la profondeur hu1 pour s'approcher de hc, tandis que l'axe S2 permet, à

partir de la profondeur critique, de rejoindre hu2

On obtient le même résultat en considérant

l'évolution de l'énergie spécifique (avec les

mêmes conventions que ci-dessus):


spécifique, on ne peut avoir qu'une diminution

progressive de l'énergie jusqu'au minimum, ce

qui correspond à une diminution de la hauteur

jusqu'à la hauteur critique. En faible pente,

quand l'énergie est minimum, elle y reste (les

flèches rouges convergent vers ce point); donc,

la profondeur au droit du changement de pente

vaut hc.

De ce point d'énergie minimum, on atteint le point 2 en forte pente par une augmentation progressive

de l'énergie, ce qui correspond à une diminution progressive de la hauteur jusqu'à la hauteur uniforme

hu2.

Cas 3: Passage d'une pente forte à une pente plus forte

ic< i1<i2 d'où hc>hu1>hu2

Pour les pentes fortes (axes S),

Aucun axe qui tende vers un régime uniforme

hu1 à l'amont n'existe. Cette profondeur doit

donc se maintenir jusqu'au changement de

pente. Donc axe Su

L'axe S2 permet ensuite de rejoindre

progressivement hu2.

Diminution de la pente de fond

Cas 1: Passage d'une pente faible à une pente encore plus faible

i2<i1<ic d'où hu2>hu1>hc

Pour que le régime soit uniforme hu2 à

l'aval, il doit l'être dès le changement de

pente. Donc axe Mu

L'axe M1 permet de s'écarter de hu1 et

rejoindre une hauteur qui lui est supérieur

au droit du changement de pente.

Cas 2: Passage d'une pente forte à une pente faible

i2< ic<i1 d'où hu2>hc>hu1

Le raisonnement précédent nous amène à envisager un axe Su jusqu'au changement de pente et un axe

Mu dès le changement de pente, ce qui est incompatible.

Seul un ressaut permet le raccordement de l'axe d'amont Su à l'axe d'aval Mu. Le calcul des profondeurs

conjuguées hu1* et hu2* permet de trouver les axes conjugués Su' et Mu'.

Deux cas sont possibles selon les valeurs de ces conjugués:

Soit Su' est plus bas que Mu, le ressaut se

produit avant le changement de pente. Un

axe S1 permet de s'écarter de Su' afin de

rejoindre une hauteur supérieure au droit du

changement de pente.

Si Su' est au-dessus de Mu, ce qui entraîne

que Mu' est au-dessus du niveau de Su, alors

le ressaut est à l'aval du changement de

pente. Un axe M3 permet de rejoindre Mu'

avant que ne se produise le ressaut.

En raisonnant sur le diagramme de l'énergie spécifique :


spécifique, il est impossible d'atteindre le point 2 en

restant sur la courbe de l'énergie spécifique. Un

ressaut doit se produire.

Supposons que l'énergie du conjugué hu1* à hu1 soit

inférieure à hu2, on passera du point 1 au point 1*, ce

qui correspond au ressaut. De 1* on rejoint le point 2

en forte pente. La situation au droit du changement de

pente est donc représentée par ce point, ce qui signifie

que la hauteur uniforme règne dès le changement de

pente.

Cas 3: Passage d'une pente forte à une pente moins forte

ic< i2<i1 d'où hc>hu2>hu1

Aucun axe S ne permet de s'écarter de hu1 vers

l'aval. Cette profondeur doit donc se maintenir

jusqu'au changement de pente. Donc axe Su1.

L'axe S3 peut ensuite se développer pour

rejoindre une hauteur supérieure à l'aval, hu2.

4- Ecoulement au droit d'une pile de pont ou de barrage

Ce cas est assimilé à un écoulement dans un canal de largeur L1 présentant un rétrécissement brusque L2 sur une

certaine longueur.

Supposons

les conditions aux limites assez éloignées pour ne pas influencer l'écoulement aux abords des piles

un écoulement uniforme sur une certaine distance, à l'aval et à l'amont des la pile

Admettons les principes suivants:

Sur une coutre distance, la charge spécifique ne peut augmenter que faiblement, et si elle diminue

fortement, c'est probablement dans un ressaut.

Soit hu2 et hc2, les hauteurs uniforme et critique dans la partie rétrécie et soit hu1 et hc1 en section

courante.

Supposant une section large, les équations de conditions uniforme et critique appliquées à une section

rectangulaire donnent, pour le calcul de la hauteur uniforme

pour le calcul de la hauteur critique

qui indiquent, pour un débit et une pente constante, une variation pour hu et hc en fonction de la largeur

du type:

Cas 1: Faible pente de fond, Eu1 > Ec2

Dans le diagramme d'énergie spécifique, le point U1 symbolise la situation à l'amont et à l'aval. Comme aucun

axe de faible pente (M) ne se dirigent vers le régime uniforme d'amont en aval, ce régime doit régner dès l'aval

de la pile, donc axe Mu.

Depuis le point U1 à l'amont, seul un axe M1 est possible car un axe M2 conduirait à une diminution de l'énergie

spécifique qui devrait être récupérée sur la distance de la pile, ce qui est trop court pour une élévation sensible

de l'énergie spécifique.

L'axe M1, lui permet l'accumulation lente d'un surcroît d'énergie spécifique, reperdue le long de 1-2-U1.

Cas 2: Faible pente de fond, Eu1 < Ec2

Le point C2, régime critique dans la section rétrécie, est un point de passage obligé: l'écoulement doit

passer par la courbe E2.

L'axe M1, partant de U1, va accumuler l'énergie spécifique nécessaire pour passer par C2 (point de la courbe E2

qui présente une énergie spécifique minimum).

Au point C2, il n'est plus possible de revenir sur la branche de droite de E1, car si le retour ne se fait pas de suite

sur U1, aucun axe ne permet de se rapprocher de U1.

Une fois en 3, un axe M3 peut se développer afin que la perte de charge entre 4 et U1 soit celle d'un ressaut.

Cas 3: Forte pente de fond, Eu1 > Ec2

Aucun axe ne quitte la profondeur uniforme U1 de l'amont vers l'aval, elle se présente donc jusque au droit de la

pile, axe Su.

Le passage au droit de la pile se fait avec une perte d'énergie spécifique (U1-2 et 2-3). Le point 3 se situe en

dessous de U1, c'est un axe S2 qui permet de rejoindre la profondeur uniforme en récupérant l'énergie spécifique

perdue.

Cas 4: Forte pente de fond, Eu1 < Ec2

EU1 est inférieure à l'énergie spécifique minimum possible au droit de la pile, soit Ec2. C2 est donc un point de

passage obligé qui nécessite une augmentation d'énergie spécifique à l'amont de la pile.

Cette augmentation est impossible sur la branche de gauche de la courbe E1 où les axes convergent tous vers U1.

Un ressaut permet de passer sur la branche de droite de cette même courbe (U1-1).

Un axe S1 (1-1') permet d'accumuler de l'énergie spécifique afin de passer par C2, avant de revenir sur la branche

de gauche. Un axe S3 peut alors se développer pour tendre vers le régime uniforme.



5 - Rétrécissement et élargissement progressif Rétrécissement progressif

Hypothèses: Le rétrécissement

est de longueur suffisante pour éviter des pertes de charges locales importantes

n'est pas trop long afin de pouvoir négliger les pertes de charges générales

Cas de la faible pente de fond

On suppose les conditions limites éloignées afin qu'elles n'influencent pas l'écoulement, le régime uniforme

règne à une certaine distance du rétrécissement.

Pour les faibles pentes, aucun axe ne tend vers le régime uniforme vers l'aval, la hauteur uniforme se présente

donc dès la fin du rétrécissement (axe MU).

Dans le rétrécissement, on a un exhaussement. Si on suppose que la charge spécifique varie peu entre les

sections 1 et 2, on voit que h1 > hU2. En négligeant les pertes de charge générales dans le convergeant et en

supposant que les pertes de charge locales sont proportionnelles aux différences des vitesses :

on peut déterminer h1 en écrivant simplement Bernoulli entre les sections 1 et 2 : Revoyez éventuellement la

théorie

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon07/resume7.html#thbe





En remplaçant h2 par hu2, il suffit de résoudre itérativement l'équation suivante :

Dans le cas d'un convergeant, varie de 0,05 à 0,1.

A l'amont, un axe M1 se raccorde à la profondeur h1.

Un rétrécissement est réalisé pour améliorer le tirant d'eau. On constate en effet que la profondeur augmente

dans la partie rétrécie, mais que c'est à l'amont de celle-ci que l'exhaussement est maximum.

Cas de la forte pente de fond

Le même raisonnement implique un axe SU jusqu'au début du rétrécissement.

Supposant des pertes de charges faibles, on a h2 > hU1. La profondeur h2 est calculée, comme pour les faible

pentes, à partir de Bernoulli.

Un axe S3 (ou S2) complète l'écoulement.

Elargissement progressif

Hypothèses: L'élargissement

est de longueur suffisante pour éviter des pertes de charges locales importantes

n'est pas trop long afin de pouvoir négliger les pertes de charges générales

Cas de la faible pente de fond

On suppose un régime uniforme aux limites du problème, ce qui conduit à admettre un axe MU

uniforme dès la fin de l'élargissement (h2 = hU2).

Dans l'élargissement on observe h1 < hU2, en supposant une perte de charge modérée. La profondeur h1

est calculée à partir de Bernoulli comme dans le cas d'un rétrécissement. Cependant, les pertes de

charges locales sont plus importantes pour un élargissement et varie de 0,1 à 0,3.

Un axe M2 permet de rejoindre la profondeur h1.

Cas de la forte pente de fond

Un axe SU se produit jusqu'au début de l'élargissement.

Dans cet élargissement, on a un abaissement: h2 < hU1.

A l'aval, un axe S2 (ou S3) ramène l'écoulement vers le régime

uniforme.

6 - Canal Venturi - Seuil de fond - Déversoir à seuil épais

Rétrécissement progressif : canal Venturi

Pour mesurer le débit d'un petit canal, on peut le rétrécir localement: la mesure de la hauteur de l'eau avant et

dans le rétrécissement (cas du Venturi noyé) ou uniquement avant le rétrécissement (cas du Venturi dénoyé)

permet de calculer le débit.

Dans le canal Venturi, la pente de fond est toujours faible ou nulle et les transitions sont conçues pour diminuer

les pertes de charge.

Cas 1 : Canal Venturi noyé : Eu1 > Ec2

Ce cas est similaire à celui de l'écoulement entre piles de pont en faible pente.

On suppose le régime uniforme aux limites.

A l'aval, l'axe MU se produit dès la fin du rétrécissement.

L'évolution dans le rétrécissement est commandée par la variation de la charge spécifique.

A l'amont se produit un axe M1.

L'écoulement est toujours au dessus de la hauteur critique : écoulement noyé. Si on connaît les hauteurs h1 dans

la section et h2 dans la section rétrécie, on peut écrire l'équation de Bernoulli entre ces deux sections en

négligeant les pertes de charge (faibles dans un convergent) et en supposant le fond horizontal :

Si L2 << L1, V1 << V2 et on peut négliger devant et donc le débit s'exprime en fonction de h1 et h2 :

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon19/resume19.html#Cas1

. Cas 2 : Canal Venturi dénoyé : Eu1 < Ec2

Ce cas est similaire à celui de l'écoulement entre piles de pont en faible pente.

Le passage au droit du rétrécissement nécéssite une accumulation d'énergie spécifique par un axe M1. Le point

figuratif passe par C2 et rejoint la branche de gauche de la courbe 1. Un axe M3 se développe pour rejoindre la

hauteur conjuguée à hU1. Enfin, un ressaut se produit pour revenir à un axe MU.

Si on néglige la perte de charge et qu'on suppose que le fond est horizontal, alors E1 = E2.

Or, et, pour un canal rectangulaire, d'où . En remplaçant dans

la formule du débit vue ci-dessus, on peut exprimer le débit à partir de la mesure de h1 seulement :

Cette formule n'est pas tout à fait exacte à cause des approximations. Dans la pratique, les dimensions des

canaux Venturi sont normalisées. La plupart du temps, le fabricant fournit une courbe de calibration.

Seuil de fond

Supposons un canal à fond horizontal avec un relèvement local du fond progressif pour ne pas introduire de

pertes de charge : la ligne de charge est donc horizontale.

On dessine les courbes d'énergie spécifiques de part et d'autre du seuil. Faisant coïncider l'origine avec le fond,

la courbe représente la charge absolue.

Si le canal est rectangulaire, les courbes seront identiques, la seconde étant translatée de la hauteur du seuil.

Si A' et C' (B' et D') sont les intersections de la courbe 1 (2) et de la ligne de charge, on déduit que AA' < BB' et

CC' < DD'.

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon19/resume19.html#Cas2

http://www.gce.ucl.ac.be/~hydraulique/enseignement/didacti/lecon21/resume21.html#debit

De AA' < BB', on conclut que h'1 < h'2,

donc, en cas d'écoulement supercritique, le niveau d'eau remonte dans l'absolu sur un seuil (z'2 < h'2), et la

profondeur augmente (h'2 > h'1).

De CC' < DD', On déduit qu'en cas d'écoulement subcritique, le niveau z2 est inférieur à h1, ce qui entraîne h1 >

h2.

Conclusion:

Un seuil de fond accélère un écoulement subcritique, au point que son niveau baisse dans l'absolu, et décélère

un écoulement supercritique.

Remarque:

Pour éviter le ressaut, la hauteur de seuil ne doit pas être telle que la hauteur de charge disponible soit inférieure

à l'énergie spécifique minimum dans la section 2.

Déversoir à seuil épais

Si l'écoulement est dénoyé (c'est-à-dire si le niveau à l'aval est

nettement inférieur au seuil du déversoir), la hauteur critique

se produit au voisinage de l'arête aval du déversoir (énergie

spécifique minimum pour le débit du déversoir).

Or, dans un canal rectangulaire en régime critique, et d'où

.

Sur le seuil, on constate un abaissement de l'axe (comme pour un écoulement subcritique avec seuil de

fond), tandis qu'à l'amont, l'axe tend vers hu ou le niveau du réservoir (si i=0). On remarque que

de sorte que :

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