Cours HSL FI 2010

Jos VAZQUEZ

ECOLE NATIONALE DU GENIE DE LEAU ET DE LENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

HYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE

FORMATION INITIALE

Jos VAZQUEZ (Systmes Hydrauliques Urbains ENGEES)

AVANT PROPOS

Lhydraulique est trs prsente dans le domaine de lenvironnement. En effet, elle a une place dterminante dans la comprhension, lanalyse et le diagnostic des rseaux dadduction deau potable, des stations de traitement, des rseaux dassainissement et des rivires. De plus, le contrle de ces systmes ncessite une instrumentation qui oblige le concepteur et lexploitant une connaissance pousse du fonctionnement hydraulique de ces ouvrages. Dun point de vue rglementaire, la directive 2000/60/CE du Parlement europen tablit un cadre pour une politique communautaire dans le domaine de leau. Elle incite les Etats membres (dont videmment la France) protger et restaurer la qualit de leurs ressources en eau afin de parvenir un bon tat chimique et cologique. Leau est donc une proccupation majeure dans notre civilisation.

Lobjectif de cet ouvrage destin aux techniciens et ingnieurs est de fournir les bases ncessaires la comprhension et au calcul des phnomnes prsents en hydraulique applique au gnie de leau et de lenvironnement. Chaque notion dhydraulique est ponctue par une srie dexercices permettant dillustrer les concepts prsents. Les exemples sont issus douvrages hydrauliques existant en rseau. Les techniques de calcul qui sont associes la rsolution des quations mises en uvre sont labores dans un souci defficacit.

Cet ouvrage est compos de plusieurs chapitres qui sintressent lhydraulique surface libre. Ce type de comportement hydraulique se rencontre essentiellement en assainissement et surtout en rivire. Aprs une description des diffrentes gomtries de canaux et de tuyaux, une description dtaille de lcoulement fluvial et torrentiel permet de comprendre physiquement le phnomne dondes qui lui est associ. On traite ensuite les coulements uniforme et permanent. Dans ce contexte, on fournit les quations ainsi que les techniques de calcul permettant de dimensionner les canalisations. Le diagnostic dun rseau en rgime permanent est ralis dans le cas des coulements dits non-uniformes. On sintresse dans ce chapitre la dtermination des courbes de remous ainsi qu leur technique de calcul. Un chapitre est ensuite consacr aux ouvrages tels que les seuils, les dversoirs latraux et les vannes de rgulation.


Bibliographie

AGHTM : Les stations de pompage deau, Editions Tec et Doc (2000).

BERTRAND-KRAJEWSKI J.L., Mesures en hydrologie urbaine et assainissement, d. Tec et doc, ed. 2000.

CARLIER M. : Hydraulique gnrale et applique, Editions Eyrolles (1972).

COMOLET R., Mcanique exprimentale des fluides, Masson, ed.1982.

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydrodynamique : Une introduction, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1995).

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : coulement permanent uniforme et non uniforme, Tome 1, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1993).

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : coulement non permanent et phnomnes de transport, Tome 2, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1996).

HAGER W. H. : Wastewater hydraulics theory and practice, Springer, ed. 1999.

LENCASTRE A. : Hydraulique gnrale, Editions Eyrolles (1996).

LESIEUR M. : La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble, Ed. 1994.

PERNES P. : Hydraulique unidimensionnelle - Partie 1 - Analyse dimensionelle et similitudes - Gnralits sur les coulements unidimensionnels - Ecoulements en charge - Ecoulements surface libre, Cemagref Editions, ed. 2003.

SCHIESTEL R. : Modlisation et simulation des coulements turbulents, Editions Herms (1993).

SINNIGER R.O., HAGER W. H. : Constructions hydrauliques : Ecoulements stationnaires, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1989).

VEN TE CHOW : Open-channel hydraulics, McGraw-Hill, ed. 2009.

VIOLET P.L., CHABARD J.P., Mcanique des fluides applique, Presses des ponts et chausses, ed. 1998.


Sommaire

CHAPITRE I : CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS ....................................................................... 6 1. - TYPES DECOULEMENT ....................................................................................................................................... 7

1.1. - Variabilit dans le temps............................................................................................................................ 7 1.2. - Variabilit dans lespace ........................................................................................................................... 7

2. - GEOMETRIE DES CANAUX .................................................................................................................................... 8 3. - REGIME FLUVIAL OU TORRENTIEL ....................................................................................................................... 9

3.1. - Le phnomne physique ............................................................................................................................. 9 4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL ..................................................................................................................... 11

4.1. - Le phnomne physique ........................................................................................................................... 11 4.2. - Approche statistique de la turbulence ...................................................................................................... 15 4.3. - Le nombre de Reynolds ............................................................................................................................ 16

5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS ................................................................................................ 17 5.1. - Rpartition des vitesses ............................................................................................................................ 17 5.2. - Rpartition de la pression ........................................................................................................................ 24

CHAPITRE II : ECOULEMENT UNIFORME ET PERMANENT ........................................................ 27

1. - DESCRIPTION..................................................................................................................................................... 27 2. - PERTE DE CHARGE ............................................................................................................................................ 28

2.1. - A partir des coulements en charge ......................................................................................................... 28 2.2. - Relation de Chzy .................................................................................................................................... 29 2.3. - Formule du type Chzy ............................................................................................................................ 30

3. - FORMULE DE MANNING-STRICKLER ................................................................................................................. 31 4. - LA PROFONDEUR NORMALE HN .......................................................................................................................... 32 5. - SECTION DE DEBIT MAXIMAL ............................................................................................................................. 33 6. - SECTIONS COMPLEXES ...................................................................................................................................... 33 7. - MARGE DE SECURITE ........................................................................................................................................ 34 8. - LIMITES DE DIMENSIONNEMENT ........................................................................................................................ 34

CHAPITRE III : ECOULEMENT NON UNIFORME ET PERMANENT .............................................. 37

1. - CHARGE SPECIFIQUE ......................................................................................................................................... 37 2. - REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE ......................................................................................... 38 3. - MOUVEMENT GRADUELLEMENT VARIE ............................................................................................................. 39

3.1. - Equation de la courbe de remous ............................................................................................................ 39 3.2. - Formes des courbes de remous ................................................................................................................ 40 3.3. - Section de contrle ................................................................................................................................... 46 3.4. - Mthodes de rsolution ............................................................................................................................ 46

4. - MOUVEMENT BRUSQUEMENT VARIE ................................................................................................................. 48 4.1. - Le ressaut hydraulique ............................................................................................................................. 48 4.2. - Les seuils et dversoirs............................................................................................................................. 51 4.3. - Chutes brusques ....................................................................................................................................... 60 4.4. - Les vannes ................................................................................................................................................ 61

CHAPITRE IV : ECOULEMENT NON UNIFORME ET NON PERMANENT .............................. 63

1. - MODELES CONCEPTUELS ................................................................................................................................... 64 1.1. - Modle de Muskingum ............................................................................................................................. 65 1.2. - Modles de stock ...................................................................................................................................... 66

2. - MODELES MECANISTES DE BARRE DE SAINT-VENANT ...................................................................................... 66 2.1. - Modles complets ..................................................................................................................................... 67 2.2. - Evaluation du terme de pertes de charges par frottements ...................................................................... 72

CHAPITRE V : ANNEXES .................................................................................................................. 74

1. - GEOMETRIES DES SECTIONS .............................................................................................................................. 74 2. - DETERMINATION DE LA CELERITE DE LONDE DE GRAVITE ................................................................................ 74


3. - APPROXIMATION DU NOMBRE DE FROUDE ET DE LA HAUTEUR CRITIQUE ......................................................... 74 4. - TABLEAU DES RUGOSITES KS ............................................................................................................................. 74 5. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION CIRCULAIRE ................................................................ 74 6. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION OVODE ....................................................................... 74 7. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION FER A CHEVAL ............................................................ 74 8. - DEMONSTRATION DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION ..................................................................................... 74 9. - ABAQUES DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION POUR LE CALCUL DE LA COURBE DE REMOUS ........................... 74 10. - HAUTEURS CONJUGUEES DE QUELQUES SECTIONS .......................................................................................... 74 11. - EQUATION DES DEVERSOIRS LATERAUX .......................................................................................................... 74 12. - ABAQUES POUR LE CALCUL DES DEVERSOIRS LATERAUX ................................................................................ 74

6

Chapitre I :

CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS

Ce chapitre constitue un rsum des bases hydrodynamiques des coulements surface libre. Laccent nest pas mis sur lapproche thorique (pour linstant) mais plutt sur lapplication des concepts de lhydrodynamique aux coulements surface libre. Nous verrons, dans un premier temps, le vocabulaire couramment utilis dans le domaine de lhydraulique surface libre en dfinissant physiquement les notions dcoulement uniforme, non-uniforme, de ressaut hydraulique, etc... Dans un deuxime temps, on sattachera dfinir les diffrentes caractristiques gomtriques utiles pour un calcul hydraulique. Ensuite, un paragraphe complet est consacr la notion fondamentale dcoulement fluvial et torrentiel. La comprhension de ces caractristiques est dterminante pour le calcul de lvolution de la hauteur deau dans un canal en fonction des conditions aux limites. Un chapitre est ensuite consacr la turbulence. Celle-ci joue un rle prpondrant dans le calcul des pertes dnergie le long des canaux. Le dernier chapitre sintressera la forme de la distribution des vitesses et des pressions suivant la hauteur de leau.

Les coulements dans les canaux naturels (rivire) et artificiels (irrigation, assainissement) sont, dans la plupart des cas, des coulements surface libre. La surface libre est linterface entre lair et leau. La pression y est gale le plus souvent la pression atmosphrique.

Surface libre

Ligne de courant Maillage pour le calcul

2. Gomtrie des canaux 7


1. - TYPES DECOULEMENT

On peut dfinir les coulements suivants la variabilit des caractristiques hydrauliques tels que le tirant deau et la vitesse en fonction du temps et de lespace.

1.1. - Variabilit dans le temps

Le mouvement est permanent (ou stationnaire) si les vitesses U et la profondeur h restent invariables dans le temps en grandeur et en direction. Le mouvement est non-permanent dans le cas contraire.

Ecoulement permanent Ecoulement non-permanent

Au sens strict, lcoulement dans les canaux est rarement permanent. Nanmoins les variations temporelles sont, dans certains cas, suffisamment lentes pour que lcoulement puisse tre considr comme une succession de rgime permanent. On peut alors dfinir ainsi le rgime quasi-permanent.

1.2. - Variabilit dans lespace

Le mouvement est uniforme si les paramtres caractrisant lcoulement restent invariables dans les diverses sections du canal. La ligne de la pente du fond est donc parallle la ligne de la surface libre.

8 I. Caractristiques des coulements


Le mouvement est non-uniforme ou vari si les paramtres caractrisant lcoulement changent dune section lautre. La pente de la surface libre diffre de celle du fond.

Un coulement non-uniforme peut tre acclr ou dclr suivant que la vitesse crot ou dcrot dans le sens du mouvement.

Lorsque le mouvement est graduellement vari, la profondeur ainsi que les autres paramtres varient lentement dune section lautre.

Lorsque le mouvement est rapidement vari, les paramtres caractrisant lcoulement changent brusquement, parfois avec des discontinuits. Cela se manifeste en gnral au voisinage dune singularit, telle quun seuil, un rtrcissement, un ressaut hydraulique ou une chute brusque.

Uniforme Graduellement vari

Stationnaire Non uniforme Rapidement vari

ECOULEMENT Graduellement vari

Non stationnaire Non uniforme Rapidement vari

2. - GEOMETRIE DES CANAUX

Dans ce chapitre nous allons dfinir les grandeurs gomtriques les plus utilises permettant de caractriser lcoulement.

yG

z

La section transversale dun canal est la section plane normale la direction de lcoulement.

La surface mouille, S, est la portion de la section occupe par le fluide dans la section du canal.

2. Gomtrie des canaux 9


Un canal dont la section, la pente et la rugosit ne varient pas suivant le sens de lcoulement est appel canal prismatique (Les caractristiques hydrauliques peuvent varier!!).

Le primtre mouill, P, est form par la longueur de la ligne de contact entre la surface mouille et les parois de la section (la largeur de la surface libre nentre pas en compte).

Le rayon hydraulique est donn par : PSR h =

La largeur superficielle ou largeur au miroir, B, est la largeur du canal au niveau de la

surface libre. dhdSB =

La profondeur hydraulique est donne par : BSDh =

La pente, I, varie environ de quelque %. La position du centre de gravit yG par rapport la surface libre.

( )h

G0

Moment statique : S.y h z B(z)dz=

(ANNEXE 1 : Gomtries des sections)

3. - REGIME FLUVIAL OU TORRENTIEL

3.1. - Le phnomne physique

Supposons un canal section constante, pente constante et avec une hauteur h et un dbit constant Q. On cre une perturbation grce une vanne que lon ferme et que lon ouvre trs rapidement.

Qh

Fermeture etouverture rapides

Au niveau de la surface libre, il se cre deux ondes (ondes de gravit). Lune se propage toujours vers laval et lautre se propage vers lamont si la vitesse dans le canal est infrieure la vitesse de londe de gravit ; elle soriente vers laval dans le cas contraire.



Q U = c

c = 0 c > 0

Q U < c

c < 0c > 0

Q U > c

c > 0c > 0

U : vitesse de lcoulement c : clrit des ondes c : vitesse de londe amont c : vitesse de londe aval

Dans le cas o la vitesse du fluide est suprieure la vitesse de londe c, lamont nest pas influenc par les conditions hydrauliques laval (rgime torrentiel) ; alors que, dans le cas contraire, on a une remonte de londe qui va perturber lamont (rgime fluvial), ce phnomne est appel influence aval.

(ANNEXE 2 : Dtermination de la clrit de londe de gravit)

3. Rgime fluvial et torrentiel 11


La clrit de londe de gravit est donne par la relation :

h2 gDc =

Le nombre de Froude est dfini par : h

UFrgD

=

Si Fr=1, on peut dfinir la hauteur critique par : ( )h cUFr 1

gD h h= =

=

Limites : Ecoulement fluvial : Fr < 1 h > hc Ecoulement critique : Fr = 1 h = hc Ecoulement torrentiel : Fr > 1 h < hc

(ANNEXE 3 : Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique)

4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL

4.1. - Le phnomne physique

La turbulence est un mouvement tourbillonnaire qui prsente une large tendue de dimensions de tourbillons et de vitesse de rotation. Ce mouvement toujours rotationnel peut tre conu comme un enchevtrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs rotationnels sont orients dans toutes les directions et sont fortement instationnaires (mme en rgime dit : permanent ). La diffrence entre les plus gros et les plus petits tourbillons, augmente avec lintensit de la turbulence. Les structures turbulentes peuvent tre considres



comme des lments tourbillonnaires qui stirent les uns les autres. Cet allongement des filets tourbillons est un aspect essentiel du mouvement turbulent. Il produit le passage de lnergie des chelles de plus en plus petites jusqu ce que les forces visqueuses deviennent actives et dissipent lnergie : cest la cascade dnergie.

Richardson 1922 : Les gros tourbillons ont des petits tourbillons, Qui se nourrissent de leur vitesse, Et les petits tourbillons en ont de plus petits, Et cest ainsi jusqu la viscosit.

Les gros tourbillons qui sont associs aux basses frquences du spectre, sont dtermins par les conditions aux limites de lcoulement et leur dimension est de lordre de grandeur du domaine occup par lcoulement. Les gros tourbillons interagissent avec lcoulement moyen car leur chelle est du mme ordre de grandeur, ils extraient de lnergie cintique du mouvement moyen et la fournissent aux agitations grande chelle. Cest surtout les mouvements grande chelle qui transportent la quantit de mouvement et la chaleur. Ainsi le taux de dissipation dnergie est dtermin par les mouvements grandes chelles bien que la dissipation soit un processus visqueux dont les petits tourbillons sont le sige. La viscosit du fluide ne dtermine pas le taux de dissipation mais seulement lchelle laquelle cette dissipation se produit.

4. La turbulence dans un canal 13


E(k) : spectre dnergie ou densit dnergie cintique turbulente. :

2r

pi = avec r longueur de londe.

Vr

Vr

r

Une solution turbulente est toujours une solution complique non stationnaire des quations du mouvement, prsentant des fluctuations irrgulires dans lespace et dans le temps.

Henri Poincarr daprs J.L. Chabert et A.D. Dalmedico 1991 : Une cause trs petite, qui nous chappe, dtermine un effet considrable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est d au hasard. Si nous connaissons exactement les lois de la nature et la situation de lcoulement linstant initial, nous pourrions prdire exactement la situation de ce mme coulement un instant ultrieur. Mais, lors mme que les lois naturelles nauraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connatre la situation initiale quapproximativement () ; il peut arriver que de petites diffrences dans les conditions initiales en engendrent de trs grandes dans les phnomnes finaux.



4.2. - Approche statistique de la turbulence

Devant cet aspect dsordonn de lvolution turbulente et cette apparente complexit du phnomne, lattitude naturelle et la plus utilise a t dintroduire des mthodes statistiques. Dans ce cas, les mthodes statistiques alimentes par des modles de turbulence ne dcrivent pas le dtail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur lcoulement moyen.

Pour un coulement turbulent, la vitesse en un point, u, indique que des fluctuations alatoires de haute frquence, u, se superposent des vitesses moyennes temporelles u . Ainsi, on considre que la vitesse instantane, u, est la somme dune vitesse moyenne, u , et dune vitesse due aux fluctuations, u, on lcrit :

u'uu +=

La valeur moyenne de la vitesse est dfinie par : dtuT1

uTt

t+

=

Lintervalle de temps, T, doit tre suffisamment important pour englober un grand nombre de fluctuations de vitesse et la vitesse moyenne doit conserver une valeur fixe quel que soit cet

intervalle. 0dt'uT1

'uTt

t

== +

Les valeurs moyennes 'u sont donc nulles, mais il nen est pas de mme des valeurs moyennes de u2. Les expriences montrent que la distribution des fluctuations de vitesse, u est quasi gaussienne.

( )

22

2uu

'u

e2

1)'u(f2

2

=

pi=

Lintensit de la turbulence ou degr de turbulence est dfini par :

u

'uI2

= , pour un coulement unidirectionnel, lintensit de turbulence dpasse rarement la

valeur : 1.0u

'uI2

=



4.3. - Le nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds caractrise la turbulence. Cest le rapport entre les forces inerties et les forces de viscosit. Dans le cas des coulements en canaux Re est donn par :

RR U

e

h=

U : vitesse moyenne de lcoulement, Rh : Rayon hydraulique, : viscosit cinmatique.

Dans les coulements surface libre, le rgime visqueux existe pour des valeurs du nombre de Reynolds infrieur 500. Ce rgime ne se produit que dans des canaux extrmement petits ( mm) ou avec des vitesses trs faibles ( mm/s). Dans ce cas, ces applications techniques se limitent presque exclusivement la thorie du graissage.

Dans le cas des coulements en charge on a : Ecoulement laminaire : Re < 2000 Transition 2000 < Re < 4000 Ecoulement turbulent : Re > 4000

Pour les conduites circulaires en charge on a : hDR4

= .



Les expriences avec diffrents canaux surface libre de grandeurs comparables ceux utiliss pour lassainissement montrent que lcoulement est turbulent ds que le nombre de Reynolds atteint des valeurs de 1000. Limites :

Ecoulement laminaire : Re < 500 Transition 500 < Re < 1000 Ecoulement turbulent : Re > 1000

5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS

5.1. - Rpartition des vitesses

5.1.1. - Reprsentation 1D, 2D et 3D

Un coulement permanent dpend gnralement de trois variables x, y et z. On lappelle coulement tridimensionnel. Pour un canal, lcoulement est reprsent par la figure suivante :

Si le canal a une largeur B, importante par rapport la profondeur h, lcoulement est considr bidimensionnel, sauf sur une petite distance proche des parois verticales.



Les calculs en hydraulique sont considrablement facilits si on admet que lcoulement est unidimensionnel. On utilise donc la vitesse moyenne. Dans les canaux de gomtrie simple, on ne rencontre gnralement que des coulements turbulents o la vitesse ponctuelle diffre peu de la vitesse moyenne.

5.1.2. - Dtermination des contraintes de cisaillement Dans un coulement turbulent, on a les forces de viscosit et les forces de turbulence. La contrainte de cisaillement peut donc scrire :

e turbulencde force viscositde forcexz +=

Pour lcoulement dans un canal, la rpartition verticale des contraintes tangentielles est donne par la figure suivante :

A la paroi et tout prs de la paroi, les contraintes se confondent avec les tensions de viscosit. Les tensions dues la turbulence tendent vers zro. Le gradient de vitesse est important.

En sloignant lgrement de la paroi, lcoulement turbulent gnre des tensions dues la turbulence qui deviennent importantes par rapport aux tensions dues la viscosit.

Loin de la paroi, les tensions dues la turbulence deviennent prpondrantes. On appelle zone intrieure la zone pour laquelle la tension est constante.

5. Distribution des vitesses et des pressions 19


La tension totale atteint une valeur maximale 0 prs de la paroi et une valeur nulle en surface.

La contrainte de cisaillement 0 est obtenue en faisant lquilibre des forces dun canal prismatique en rgime permanent et uniforme :

On a : IgR h0 =

Afin de pouvoir dterminer la distribution des vitesses suivant la verticale, il est ncessaire de prendre en compte un modle de turbulence pour dterminer la contrainte de cisaillement gnre par les forces de frottement. Dans ce cas, le modle de turbulence ne dcrit pas le dtail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur lcoulement moyen.

La contrainte de viscosit scrit en fonction de la loi de comportement du fluide newtonien :

z

u viscositde force

=

Le modle de turbulence de Boussinesq considre que les forces de turbulence agissent comme les forces de viscosit :

z

ue turbulencde force

=



On appelle le coefficient de mlange. Il a la dimension de la viscosit cinmatique, cest pourquoi il est souvent appel viscosit turbulence. Les deux viscosits et sont fondamentalement diffrentes ; est une proprit du fluide et est une caractristique de lcoulement. Prandt considre que la viscosit turbulente est proportionnelle la variation de la vitesse

suivant la verticale. z

ul2

= ou l est appele longueur de mlange. Les hypothses de Prandt

sont des approximations qui ne sont justifies que par une bonne concordance avec les donnes exprimentales.

On a donc :

( )z

uxz

e turbulencde force viscositde forcexz

+=

+=

5.1.3. - Dtermination du profil de vitesse

Compte tenu des remarques prcdentes, il est ainsi justifi dadmettre que pour un coulement le long dune surface les tensions totales sont souvent exprimes par les tensions dues la turbulence :

( )2

2xz

e turbulencde force viscositde forcexz

z

ulz

u

0

=

=

+=

En admettant que la longueur de mlange l peut scrire suivant Prandt de la faon suivante : z.l = ou est la constante de Karman valable prs de la paroi (dans la zone dite interne).

On a prs de la paroi : 2

220 dz

udz

=

Aprs intgration, on a : B)zln(.A)z(u +=



Bien que la relation prcdente ne soit valable que dans la zone interne, les expriences montrent une assez bonne concordance sur toute la profondeur deau du canal. La distribution de la vitesse suivant la verticale pour un coulement turbulent est logarithmique :

B)zln(.A)z(u += . Les constantes numriques sont obtenues par de nombreuses expriences pour les coulements uniformes. Pour les coulements non-uniformes, ces constantes sont lgrement diffrentes.

5.1.4. - Mesure des champs de vitesse Dans une section normale la direction de lcoulement, si lon connat la distribution des vitesses ponctuelles dans la section, la vitesse moyenne dans cette section est donne par :

= SVdSS1U

On applique parfois des rgles empiriques qui permettent de mesurer la vitesse en un certain nombre de points seulement. Ainsi pour les canaux rectangulaires, on recommande le procd suivant : Vn : la vitesse moyenne sur une verticale n :

( )6,n5,n4,n3,n2,n1,nn VV.2V.3V.3V.2V121V +++++=

La vitesse dans la section la valeur :

( )654321 VV.2V.3V.3V.2V121U +++++=

Pour dterminer la vitesse moyenne, U, dans une section, on donne les relations approximatives suivantes :



U = (0.8 0.9) Usurface de leau (formule de Prony)

U = 0.5 (u0.2 + u0.8)

U = u0.4



Distribution de la vitesse dans le plan et longitudinale



5.2. - Rpartition de la pression

Le systme dquations intrinsques consiste crire les quations dEuler en rgime permanent ( t = 0 ) dans un repre particulier. Ce repre est constitu par les lignes de courant pour le vecteur t et par le vecteur n tel que v n.

en appelant s le vecteur unitaire de la tangente la trajectoire, on a : sVV

= et dtsdVs

dtdV

dtVd

+=

avec : VRn

dtds

.

dssd

dtsd

==

R : rayon de courbure et n le vecteur perpendiculaire s .



nsuivant )ph.g.(n

1RV

.V

ssuivant )ph.g.(s

1s

VV

+

=

+

=

Pour un coulement uniforme, lorsque la vitesse moyenne U est constante et les lignes de courant sensiblement rectilignes, la rpartition de la pression est hydrostatique dans la section droite du canal.

Pour un coulement non uniforme, courbure convergente ou divergente, il existe une acclration qui provoque une force dinertie.

[ ]2V

n .g.h p suivant nR

= +

[ ].g.h p + augmente toujours quand on sloigne du centre de courbure de la trajectoire.

h

h

n

La rpartition de la pression nest plus hydrostatique. Pour un courant extrieurement concave, la force centrifuge augmente les pressions ; pour un courant convexe, cette force diminue les pressions. Dans le dernier cas, elle peut mme les rendre infrieures la pression



atmosphrique, provoquant un dcollement du liquide du fond du canal et une pression ngative par rapport la pression atmosphrique.


Chapitre II :

ECOULEMENT UNIFORME ET PERMANENT

1. - DESCRIPTION

Lcoulement uniforme et permanent se caractrise par une constance des paramtres hydrauliques. Ainsi la vitesse moyenne, le tirant deau et donc le dbit restent invariables dans les diffrentes sections du canal le long de lcoulement. Les lignes de courants sont rectilignes et parallles et la pression verticale peut donc tre considre comme hydrostatique. La pente de fond, la pente de la surface libre et la pente de la ligne dnergie sont parallles.

Pente du fon d

Pente de la surface l ibre

Pente nergtique

z

p/

u2/(2g)

PdR

Dans les coulements surface libre, il est commode de considrer la charge par rapport au fond du canal que lon dsigne par la charge spcifique.


Si on admet que la pente du fond du canal est presque constante et positive et que les caractristiques de rugosit ne changent pas considrablement, un tat dquilibre peut apparatre entre les forces de pesanteur et les forces de frottement. La hauteur deau rsultante sappelle hauteur normale et ne dpend que du dbit, du fluide, de la forme de la section ainsi que de la rugosit. Cette hauteur apparat toujours aprs une distance importante ( 20 50 fois le diamtre) des conditions amont et aval. Lcoulement vritablement uniforme est trs rare dans les canaux. On ne lobserve que dans des canaux prismatiques trs longs et situs loin des perturbations. On a donc vu que la pente du canal (I), la pente de la surface libre (Psl), et la perte de charge (J) par unit de poids et par unit de longueur de canal sont identiques : I = Psl = J et ceci pour des conditions fluviales ou torrentielles.

2. - PERTE DE CHARGE

2.1. - A partir des coulements en charge

Dans le cas des conduites circulaires en charge rectilignes prismatiques rugosit de paroi uniforme, la perte de charge par unit de longueur scrit :

Dg2VJ

2 =

: coefficient de perte de charge, V : vitesse, D : diamtre. Le coefficient de perte de charge peut tre exprim par la relation de Colebrook :

+

=

Re51,2

7,3log21 avec : Re > 4000

avec :

Re nombre de reynolds,

: rugosit relative de paroi (sans dimension) Dks

=

ks : rugosit quivalente de sable ou rugosit standard (m).

Lide dappliquer ces quations galement aux coulements surface libre est vidente. En introduisant le rayon hydraulique Rh=D/4 dans les relations prcdentes, on tablit ainsi une relation qui permet dexprimer la hauteur uniforme. En ralit le rayon hydraulique Rh est un paramtre arbitraire utilis pour caractriser un coulement. Rh peut caractriser une infinit de profils de formes gomtriques diffrentes. Or la forme de la conduite influence lcoulement. Cependant, compar lexactitude de la dtermination de la rugosit et aux conditions de base de lcoulement uniforme, linfluence est faible. Compte tenu de la complexit de la relation de Colebrook, on utilise plus souvent les relations du type Chzy.

2. Perte de charge 29


2.2. - Relation de Chzy

Nous allons dterminer la perte de charge partir de lanalyse dimensionnelle : Les variables qui interviennent sont les suivantes :

Variables Symboles Dimensions Perte de charge par unit de longueur

lp

ML-2T-2

Rayon hydraulique Rh L Vitesse moyenne de lcoulement U LT-1 Masse volumique ML-3

On suppose que la relation est un produit de puissance : cba

h .U.R.lp =

est une constante adimensionnelle.

La relation dimensionnelle est alors : ( ) ( ) ( )c3b1a22 MLLTLTML =

Ce qui donne : L : -2 = a+b-3c M : 1 = c T : -2 = -b

Do en regroupant :

=

h

2

RU

.

lp

En rgime uniforme on a : lPIJPsl

===

==

h

2

RU

'.Ilp

ce qui donne : IRCU h=

I : la pente U : la vitesse Rh : le rayon hydraulique On appelle cette quation la relation de Chzy, o C est le coefficient de rsistance selon Chzy. Diffrentes formules ont t avances pour exprimer ce coefficient de rsistance :

Coefficient de Bazin et Kutter Coefficient de Manning Strickler

30 II- Ecoulement uniforme et permanent


2.3. - Formule du type Chzy

C : coefficient donn par diverses formules, dont les plus utilises sont : Bazin

CR

K Rh

B h

=

+

87

Kutter C

RK R

h

K h

=

+

100

Ces relations ne sont valables quen rgime turbulent rugueux. KB et KK dpendent de la rugosit des parois et sont donns par les tableaux suivants :

Caractristiques KB (m1/2)

Caractristiques KK (m1/2)

4. La profondeur normale 31


3. - FORMULE DE MANNING-STRICKLER

Quand lcoulement est turbulent, ce qui est le cas le plus courant en hydraulique, de nombreuses formules exprimentales ont t proposes pour tenir compte de lcoulement turbulent pour des canaux rugueux.

La formule de Manning-Strickler est considre comme une bonne approximation de la ralit.

61

hs RKC = ce qui donne : I UK RS h=

2

2 4 3/

U : vitesse moyenne, Rh : rayon hydraulique, Ks : coefficient de Strickler (m1/3s-1) et n KS=

1 le coefficient de Manning.

Cette relation est valable pour une rugosit relative : 24 10.710.7



4. - LA PROFONDEUR NORMALE hn

Une fois fixes la nature de la paroi et la pente, on dispose, en rgime permanent et uniforme, dune relation reliant la profondeur h au dbit Q.

QI

CS Rh= ou 3/2

nhnS3/2

hS )h(R).h(SKSRKIQ

==

A un dbit donn, hn est appel profondeur normale.

Dans les sections vases, le dbit crot toujours lorsque la profondeur de leau augmente.

Il nen est pas de mme pour les sections votes, puisque, dans la partie suprieure des ces dernires, le primtre mouill crot plus rapidement que la superficie, ce qui entrane une diminution du diamtre hydraulique et en consquence du dbit.

(ANNEXE 5 : Calcul de la hauteur normale pour une section circulaire) (ANNEXE 6 : Calcul de la hauteur normale pour une section ovode) (ANNEXE 7 : Calcul de la hauteur normale pour une section fer cheval)

7. Marge de scurit 33


5. - SECTION DE DEBIT MAXIMAL

La construction dun canal pour transporter un dbit Q, avec une pente I et un coefficient de rugosit n, cotera dautant moins cher que la section, S, sera plus faible. Q Cste S P= . ./ /5 3 2 3 Parmi toutes les sections possibles, cest la forme du demi-cercle qui ralise P minimal pour une section donne.

6. - SECTIONS COMPLEXES

Les coefficients de frottement sont valables condition que tout le primtre mouill ait la mme rugosit ; on dit alors que la section mouille est homogne. Pour des sections primtre mouill non homogne, il faut alors calculer un coefficient de frottement quivalent.

Selon Einstein, on divise, de manire raisonnable, la surface mouille S en N parts chacune ayant son primtre mouill P1, P2, ... PN et son coefficient de frottement n1, n2, ... nN. On admet que la vitesse moyenne de chaque section partielle reste la mme U. En utilisant la formule de Manning, on a :

Un

SP

In

SP

In

SP

I=

=

=

1 1 12 3 1 21

1

1

2 31 2

2

2

2

2 31 2

//

//

//

Ainsi le coefficient de frottement quivalent dune rugosit compose se calcule par :



( )n

Pn

P

i ii

N

=

=

3 21

2 3/

/

7. - MARGE DE SECURITE

Le calcul des pertes de charge dans les canaux na pas toujours la mme prcision que pour les conduites en charge. Une perte de charge non prvue provoque une lvation de la surface libre et un risque de dbordement ou de mise en charge de la conduite. Cest pourquoi il faut toujours prvoir une marge de scurit au-dessus de la ligne deau calcule afin de tenir compte des difficults de calcul des pertes par frottement et de laccumulation des dpts solides. La marge de scurit oscille, gnralement autour de de la profondeur.

8. - LIMITES DE DIMENSIONNEMENT

Hewitt et Hall-Taylor (1970) ont distingu six rgimes possibles pour un coulements mlant gaz et liquide :

Ecoulement stratifi dans lequel la phase liquide est en-dessous de la phase gazeuse (a). Ecoulement ondul qui possde une interface ondule entre phase liquide et phase gazeuse

(b). Ecoulement en bouchon avec une surface de nature trs ondule qui atteint le fond du

tuyau et qui spare ainsi la phase gazeuse en cellules indpendantes ( c ) Ecoulements en bulles avec des bulles et des poches de gaz qui sont toutes distribues sur

la partie suprieure de la conduite (d). Ecoulements en gouttes avec une distribution quasi uniforme de bulles de gaz dans le

phase liquide (e) Ecoulement annulaire avec une large portion de gaz qui pousse le liquide

Ces divers types de transition dun coulement surface libre un coulement en charge sont reprsents sur la figure suivante :

8. Limites de dimensionnement 35


Transitions dun coulement surface libre un coulement en charge

Le passage dun coulement en charge un coulement surface libre est difficile grer par les logiciels de simulation. Le passage sous pression engendre des phnomnes dinstabilit et en particulier dentranement dair par exemple dans les siphons qui ne sont pas pris en compte dans les logiciels.

Risque de passage encharge avec choc

I

Qd=Q /(gD5)1/2

8

0.36 0.7



Risque de passage encharge avec choc

y=h/D

I

0.92

0.56

12


Chapitre III :

ECOULEMENT NON UNIFORME ET PERMANENT

1. - CHARGE SPECIFIQUE

La charge E ou nergie totale dans une section par rapport au plan de rfrence est la somme de trois termes : la hauteur gomtrique, la hauteur pizomtrique et la hauteur cintique.

g2Uhz

g2U)cos(.hzE

22

++++=

La ligne de charge descend toujours dans le sens de lcoulement. Entre deux sections, la charge E subit une variation correspondant aux pertes par frottement.

La charge spcifique peut tre dfinie par : 222

gS2Qh

g2UhH +=+=

Tandis que la charge totale E dcrot toujours dans la direction de lcoulement, lnergie spcifique H par rapport au fond, peut rester constante comme dans le cas du rgime uniforme, ou bien peut tre croissante ou dcroissante suivant les caractristiques de lcoulement. Lquation de la charge spcifique H dfinit, pour une section donne, un rapport entre H, h et Q valable pour nimporte quel type dcoulement. A dbit constant, H(h) ou charge constante, h(Q) sont donnes par :

38 III- Ecoulement non uniforme et permanent


On voit que le mme dbit Q, avec la mme charge spcifique H, peut scouler sous deux profondeurs diffrentes h correspondant au rgime torrentiel et h correspondant au rgime fluvial.

2. - REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE

Le point de la courbe (Hc, hc) correspond au rgime critique. hc est appele profondeur critique.

Le point minimal de la courbe est obtenu pour : dHdh

= 0

Do : )h(B)h(S)h(S

gQ

c

cc= avec B la largeur au niveau de la surface libre.

En analysant la courbe H(h) , on constate quau voisinage de la charge critique une lgre variation de H conduit une variation apprciable de la hauteur deau. Cest pourquoi, dans tout coulement au voisinage du rgime critique, on rencontre des ondulations importantes de la surface libre.

La pente critique pour un dbit donn est celle pour laquelle ce dbit scoule en rgime

critique et uniforme : I g SL K Rc

c

c S hc

= 2 4 3/

Dans le cas o la pente est infrieure la pente critique : I < Ic => hn > hc. Dans le cas o la pente est suprieure la pente critique : I > Ic => hn < hc.

3. Mouvement graduellement vari 39


Pour un dbit donn, si la pente est suprieure la pente critique, on dit que le canal est forte pente pour ce dbit. Dans le cas contraire, on dit que le canal est faible pente.

Lintrt du rgime critique est multiple : On dispose dune relation bijective entre le tirant deau et le dbit. Lutilisation des hauteurs critique et normale va permettre de caractriser et donc de

calculer la courbe de remous.

(ANNEXE 3 : Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique)

3. - MOUVEMENT GRADUELLEMENT VARIE

3.1. - Equation de la courbe de remous

On a vu que sur un tronon court la variation de charge totale est gale la perte de charge due aux frottements.

ds.idE = En rgime uniforme, la perte de charge i, par unit de poids coul et par longueur de canal, peut tre exprime, comme on la vu prcdemment, par des formules du type Chzy ou Manning-Strickler. En rgime vari, comme le rayon hydraulique varie dune section lautre, la perte de charge varie galement. En rgime graduellement vari on admet que dans un tronon assez court du canal, la valeur de i est gale celle que lon obtiendrait, si ce canal scoulait en rgime uniforme avec un tirant deau gal celui de la section moyenne de ce tronon. La perte de charge unitaire est donc donne par :

i b QR Sh

=

' .2

2 avec : b C'=

12 pour Chzy ou b K RS h

' /=1

2 1 3 pour Strickler.

On a : dE i dx= . d H z i dx( ) .+ =

avec : dHdx

Hh

hx

=

. et 2

22

gS2Qh

g2UhH +=+=

Do :

43

2

2 2s h

2 2

3 3

QIK S Rdh I i

dx Q B Q B1 1g.S g.S

= =

h : le tirant deau I : la pente i : la perte de charge unitaire Q : le dbit B : la largeur au miroir



3.2. - Formes des courbes de remous

Dans le mouvement graduellement vari, les pentes et la courbure de la surface libre sont trs faibles et on peut affirmer que la distribution des pressions obit une loi hydrostatique. Afin de faciliter linterprtation qualitative des courbes de remous, on propose de modifier lquation des courbes de remous dans le cas dun canal rectangulaire trs large. h hc. Dans le cas o la pente est suprieure la pente critique : I > Ic => hn < hc.

En fonction de la valeur de I, on va pouvoir dterminer le signe de dh/ds.

I < Ic canaux pente faible I > 0 I > Ic canaux pente forte

I = Ic canaux pente critique I = 0 canaux pente zro I < 0 canaux contre-pente

Pour chaque cas, lvolution de h(x) va dpendre de la position de h par rapport hn et hc.

dhdx

I

hh

hh

I NumDen

n

c

=

=

1

1

10 3

3

/

.

.



I > 0 I < Ic (hn > hc) h > hn > hc Num > 0 Den. > 0 dh/dx > 0

I > 0 I < Ic (hn > hc) hn > h > hc Num < 0 Den. > 0 dh/dx < 0

I > 0 I < Ic (hn > hc) hn > hc > h Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I > 0 I > Ic (hn < hc) h > hc > hn Num > 0 Den. > 0 dh/dx > 0

I > 0 I > Ic (hn < hc) hc > h > hn Num > 0 Den. < 0 dh/dx < 0

I > 0 I > Ic (hn < hc) hc > hn > h Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I > 0 I = Ic (hn = hc) h > hc = hn Num > 0 Den. > 0 dh/dx > 0

I > 0 I = Ic (hn = hc) h < hc = hn Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I = 0 I = 0 (hn = ) h > hc Num < 0 Den. > 0 dh/dx < 0

I = 0 I = 0 (hn = ) h < hc Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I < 0 I < 0 (hn < 0) h > hc Num < 0 Den. > 0 dh/dx < 0

I < 0 I < 0 (hn < 0) hc > h Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



3.3. - Section de contrle

Lintgration de lquation de la surface libre est ncessaire pour procder aux calculs et la construction des formes de la surface. Quelle que soit la mthode adopte, le rsultat ne donnera que la ligne deau une constante prs. Il est vident que la position de cette ligne deau nest pas arbitraire. Pour la situer, il faut connatre la section de contrle partir des proprits hydrauliques dune singularit qui est lorigine dun coulement graduellement vari. Pour intgrer lquation de la courbe de remous, il faut dfinir les conditions aux limites. Il faut donc connatre les caractristiques de lcoulement dans une section de contrle ou de rfrence. Cette section de contrle est localise laval pour les coulements fluviaux du type M1, S1, C1, M2, H2, A2. Dans ce cas, la courbe de remous doit tre calcule de laval vers lamont. Cette section de contrle est localise lamont pour les coulements torrentiels du type S2, S3, M3, C3, A3, H3. Dans ce cas, la courbe de remous doit tre calcule de lamont vers laval.

3.4. - Mthodes de rsolution

3.4.1. - Rsolution partir dabaques

Pour traiter lcoulement dans un canal prismatique de profil quelconque de manire gnralise, on transforme le profil effectif (rel) en un profil de substitution. Etant donn que la hauteur normale hn, et la hauteur critique hc, sont des caractristiques du profil, une fois le dbit Q, la pente du radier I et le coefficient de rugosit Ks donns, ces deux hauteurs sont calcules pour le profil effectif. Seule la courbe de remous est calcule pour le profil de substitution. On prend le profil de substitution le plus simple, cest--dire le canal rectangulaire de largeur b. Ce procd conduit des diffrences de 10% au maximum relativement la courbe de remous du profil rel.

(ANNEXE 8 : Dmonstration de la mthode par substitution)

Les figures suivantes montre la solution complte dans les cas suivants : Conditions Type de courbes Rsolution hc > hn et h > hn S1, S2 A

hc hn et h > hn M1, C1 B hc < hn et h < hn M2, M3 C hc hn et h < hn S3, C3 D



Ensemble des solutions

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4X=I.x/hn

Y=h/

h n

f=0.0f=hc/hn

1.6

2.0

1.8

1.4

2.0

1.2 1.0 0.8 0.6 0.0

0.60.81.01.21.41.61.8

Rsolution BCourbes : M1, C1

Rsolution ACourbes : S1, S2

Rsolution DCourbes : S3, C3

Rsolution CCourbes : M2, M3

(ANNEXE 9 : Abaques de la mthode par substitution pour le calcul de la courbe de remous)

Rsolution par intgration directe

La courbe de remous scrit : 3

2h

22s

2

S.gBQ1RSK

QI

dxdh 34

=

Il suffit dintgrer entre x1 et x2 :

=

2

13

4

2

1

h

h

h22

s

2

3

2

x

x

dh

RSKQIS.gBQ1

dx

En connaissance le point de contrle (h1, x1), on cherche x2 en fonction de h2. Lintgration peut se faire, par exemple, par la mthode des trapzes sous EXCEL.



4. - MOUVEMENT BRUSQUEMENT VARIE 4.1. - Le ressaut hydraulique

Le ressaut hydraulique est une surlvation brusque de la surface libre dun coulement permanent qui se produit lors du passage du rgime torrentiel au rgime fluvial. Il est accompagn dune agitation marque et de grandes pertes dnergie.

Les hauteurs h1 et h2 sont appeles profondeurs conjugues du ressaut. La distance entre les sections 1 et 2 est appele longueur du ressaut. La perte de charge est reprsente par H.

Pour des valeurs du nombre de Froude entre 1 et 1.7, la diffrence des profondeurs conjugues entre lamont et laval est trs faible et le ressaut est caractris par de trs lgres rides la surface libre.

Pour Fr compris en 1.7 et 2.5, on constate le mme phnomne mais plus accentu. Dans ce cas, il se produit des petits tourbillons superficiels.

3. Mouvement brusquement vari 49


Pour Fr entre 2.5 et 4.5 lcoulement est pulsatoire. La plus grande turbulence se vrifie soit prs du fond soit la surface. Chaque pulsation produit une onde de priode irrgulire. Cette onde peut se propager sur une trs grande distance.

Pour Fr > 4.5, le ressaut est bien caractris.



4.1.1. - Dtermination des profondeurs conjugues

On ne peut pas appliquer le thorme de Bernoulli entre la section 1 et 2. La perte de charge nest pas connue et les formules du rgime uniforme ne sont pas applicables. Cest le thorme dEuler qui permet de rsoudre le problme.

En raisonnant, suivant un tube de courant en rgime permanent, les forces qui agissent sur cet lment sont : - Les forces de volumes : - les forces de pesanteur provenant de la gravit : . .V gvol - les forces dinertie : - les forces dacclration pure : 0 - les forces dacclration convective :

==

jjjextjj

V Surfext S).n.V.(V.ds).n.V.(V.dv.V

s

V.

- Les forces de surfaces : - les forces de pression sur les surfaces Si : p Si ii

.

- les forces de frottement : Ffrottement

En crivant lquilibre de lensemble des forces : F Forces d' = inertie =+

jjjextjjfrottement

iiivol

S).n.V.(V.FS.pg.V.

Fpression 1 - Fpression 2 + W sin() - Ffrottement = Q(U2 - U1)

En ngligeant la force de pesanteur et les forces de frottement, pour le cas dun canal prismatique, on a :

=

12

22pression1pression S

1S1QFF avec : ==

h

0Gpression Sy.gdz)z(B)zh(gF

=

12

2

2G21G1 S1

S1

gQySyS

Cette relation est appele courbe conjugue.



4.1.2. - Dtermination de la perte dnergie

Le ressaut provoque une importante dissipation dnergie mcanique ; ce phnomne est irrversible. Les caractristiques turbulentes sont trs complexes et dpendent fortement des conditions dcoulement de lamont.

Dans un canal, on calcule la perte dnergie par : H = H1 - H2

Do pour un canal rectangulaire : ( )H h hh h

=

2 13

1 24

4.1.3. - Longueur du ressaut

La longueur du ressaut est trs difficile dterminer. Elle peut tre approche empiriquement par :

5 72 1

U1 3 3

2 2d

2Q m. Largeur. 2g.h C .B. 2g.h3

= =

B : la largeur du dversoir. h : la hauteur de la surface libre au-dessus de la crte du dversoir mesure suffisamment en amont de celui-ci. Cd : un coefficient adimensionnel de dbit du dversoir. Le coefficient Cd dpend de :

la courbure et de la contraction des lignes de courant au-dessus du dversoir, la viscosit et la turbulence, la vitesse dapproche,



la forme gomtrique et la rugosit du dversoir. Le coefficient m a t dtermin exprimentalement par de nombreux chercheurs, Poleni a t lun des premiers proposer une formulation. La formule de Rehbock est universellement accepte :

32

d0.135h 0.0011 hC 0.4023 1 1 0.4023 0.0542

w h w

= + + +

Cette relation permet de dterminer le dbit avec une prcision meilleur que 0.5%, si : h h0.5 ; 0.5 ; 0.07m h 0.60m ; B 0.3m ; w 0.30mw B

< < > >

une valeur moyenne de Cd est 0.42.

4.2.2. - seuil rectangulaire dnoy avec contraction latrale mince paroi

w

h

B Bc

Hgly proposa en 1921 la formule suivante :

2

d0.0027 B Bc Bc.hC 0.405 0.03 1 0.55

h B B(h w) = + + +

limites : 0.1m < h < 0.6m 0.4m < Bc < 1.8m 0.4m < w < 0.8m



9.0B

BcB0 50mm b>0.3m w>0.15m 0.08



4

e

d 4

e

9 h17 L

C 0.326h1L

+

=

+

4.2.5. - Seuil rectangulaire noy

0.3852.5noy u

dnoy o

Q h1Q h =

daprs Brater et King (1976)

4.2.6. - Dversoir latral

Le dversoir latral est un dversoir install dans la paroi dun canal paralllement son axe.

( )

3

2

gSBQ1

V2)cos(USg

'QJIdxdh

+

=

(ANNEXE 11 : Equation des dversoirs latraux)



Si on fait comme approximation :

)Ucos(Vfaible) trscharge de (Perte 0J

faible) trs(pente 0I

on a : 23

2

gSQ'Q

gSBQ1

dxdh

=

la charge spcifique 22

gS2QhH += drive par rapport laxe de la conduite :

0'hgS

BQgS

Q'Q'h'H 3

2

2 =+=

Les deux expressions sont identiques.

En liminant le dbit entre les deux relations suivantes, on a :

2

2

gS2QhH += ; 0'h

gSBQ

gSQ'Q

'h'H 32

2 =+=

gS)hH(g2'Q

x

SS

)hH(2hS

S)hH(21'h

=

Cette quation diffrentielle en h(x) doit tre rsolue en spcifiant lintensit du dbit sortant Q(x). Plusieurs formules ont t proposes pour calculer Q(x). On pose :

Hhy = ;

HwW = ;

w tant le hauteur de la crte. n

* indique si la sortie se trouve sur une paroi n* = 1 ou sur les deux n* = 2.

caractrise langle de la crte par rapport la direction du canal dans le cas des canaux non prismatiques. c=1 pour une paroi mince et c=0.8 pour une paroi paisse.

On a : ( ) ( )

=

21

21

23

Wy)y131

Wy23W1WygHcn

53

'Q 3*

Dans le cas des canaux section rectangulaire, on a :

)X1(bBBhS

+==

avec B(X=0)=b k=n*.c

On pose : HwW ;

k ;

Hhy ;

bkxX ====

Lquation prcdente devient : '2 (1 ) 2(1 )

' (3 2)(1 )

Qy y yky

y X

=

+



avec :

( ) ( )

==

21

21

23

Wy)y131

Wy23W1Wy

53

gHk'Q

k'Q

3

Le profil de la surface ne dpend plus que de W et .

Cas 1

Cas 6

Cas 5

Cas 4

Cas 3Cas 2

est le numrateur de lquation en y. y=2/3 correspond un nombre de Froude de 1. Dans le cas ou y>2/3 on est en fluvial et y



4.3. - Chutes brusques

Dans une chute brusque, si le canal est pente faible (I < Ic), dans la section de la chute survient le rgime critique.

Si le canal est forte pente (I > Ic) le rgime reste uniforme, jusqu la section de chute.



4.4. - Les vannes

a.Cch2 = 1Cc : coefficient de contraction

b : largeur de la vanne. En considrant un coulement potentiel (sans perte de charge)

1d gh2abCQ =

21

1

d

ha.Cc1

CcC

+

=

: coefficient de dbit.

En premire approximation Cc = Cd = 0.611 pour une vanne plane verticale.



Pour : 6.0ha

1

et a 5cm

+= 61

h.2a76.0

d

2

1e.9e54C

avec =0.98 pour les vannes planes inclines et =0.96 pour les vannes secteurs. : angle dinclinaison.(en radian)

1. Modles conceptuels 63


Chapitre IV :

ECOULEMENT NON UNIFORME

ET NON PERMANENT

De nombreux modles existent pour reprsenter le fonctionnement hydraulique dun rseau o lcoulement se fait surface libre. Ils ont tous t conus pour la modlisation des coulements dans les biefs et adapts ltude des coulements en rseau dassainissement en leur ajoutant un certain nombre de modules capables de prendre en compte les particularits cites plus haut. Les modles peuvent tre regroups en deux grandes familles :

Equations de Navier Stokes

Equations de Barr de Saint Venant

Modles conceptuels Modles mcanistes

Complet: Onde dynamique : Utilis en Ass.Simplifis: Onde quasi-permanente : Peu utilis en Ass. Onde diffusante : Peu utilis en Ass. Onde cinmatique : Peu utilis en Ass. Onde simple ou onde de gravit : Peu utilis en Ass.

Modle de Stock => Reprsentation simplifi : Utilis en Ass. de l'influence avalMuskingum-Cunge => Sans influence aval : Utilis en Ass.Hydrogramme unitaire => modle trs simple : Peu utilis en Ass.


Approche dterministe ou thorique (mcaniste) Modle => Exprience

Ce modle reprsente les phnomnes reposant sur les principes et les quations de la mcanique. En hydrologie urbaine, les modles mcanistes sappliquent la simulation de linfiltration, aux coulements en rseau, au transport dissout..

Cette approche consiste dcomposer un systme et son fonctionnement en sous systmes et en micro-phnomnes, de les modliser et de construire ensuite un modle de recomposition.

Approche empirique Exprience => Modle

Approche conceptuelle Lapproche conceptuelle ou macroscopique considre le systme dans son ensemble et

sintresse uniquement son comportement global. Approche statistique

Modle dterministe

Modle conceptuel

Modle statistique

++++++

- - - - -

Complexit et Difficult de rsolution

Nombre de paramtres et difficult de

calage

++++++

- - - - -

1. - MODELES CONCEPTUELS

Ils sont caractriss par le fait que lon ne cherche pas comprendre en dtail les phnomnes physiques qui se produisent au sein de lcoulement, mais on considre le rseau dans sa globalit ( bote noire ) cest dire comme un simple transformateur entre-sortie. On dispose en gnral des valeurs dentre et des grandeurs de sortie qui permettent de fixer les paramtres du modle. Ces modles ne traduisent que les consquences des phnomnes se produisant dans le systme et par consquent permettent de contourner les difficults dues la complexit hydraulique des rseaux. Ils donnent une explication comportementale et non mcaniste des phnomnes.

La plupart des modles conceptuels sont des modles rservoirs cest dire que le fonctionnement de chaque tronon est assimil au fonctionnement dun ou plusieurs rservoirs en srie ou en parallle. Lossature de ces modles est constitue de deux quations [MOTTIEE-1996]:

1. Modles mcanistes de Barr de Saint-Venant 65


Une loi de conservation des dbits : la variation du volume stock est gale la diffrence entre le dbit entrant et le dbit sortant.

Une quation de continuit ou loi de stockage, de nature empirique : le volume stock dans un tronon est fonction du dbit.

Linterprtation physique des rsultats numriques des modles conceptuels doit faire preuve de beaucoup de prudence. En effet, ces modles ne traduisent le phnomne de propagation que de manire artificielle par un phnomne de diffusion numrique ou un amortissement au passage dun rservoir. Ces modles ont t btis pour autoriser le calcul dun modle diffusant laide dun schma explicite qui permet des calculs trs rapides sans ncessiter de recueil de donnes important [KOVACS-1988].

Le modle Muskingum, mme sous sa forme la plus simple, donne souvent de bons rsultats dans la mesure o lon ne sintresse qu la dformation des hydrogrammes lintrieur du systme dassainissement [SEMSAR YAZDI-1995]. Il est, bien videmment, totalement inadapt pour reprsenter leffet de singularits hydrauliques locales provoquant des remontes de ligne deau (influence aval).

Voici quelques exemples de modles conceptuels de type rservoir :

1.1. - Modle de Muskingum

Celui-ci est linaire. Les deux quations du modles sont [SEMSAR YAZDI 1995] :

[ ]

+=

=

stockage dequation )t(Q )-(1 )t(Q K )t(Vdbits deson conservati de loi )t(Q)t(Q

dt)t(dV

SeS

SeS

o : K est un coefficient dont la dimension est un temps qui traduit physiquement le temps de

stockage dans le rservoir [KOVACS 1988] ou encore, reprsente le dcalage entre le centre de gravit de lhydrogramme dentre et celui de sortie.

est un coefficient de pondration qui module linfluence de Qe et Qs dans lquation de continuit. Il est compris entre 0 et 1 et est adimensionnel.

Si =0, la loi de stockage est uniquement fonction de laval. Ceci, caractrise la vidange dun rservoir linaire. Si =1, la loi de stockage est uniquement fonction de lamont. Cest par exemple le cas du modle de Kalinine et Myliukov [MOTTIEE-1996]. Si 0

66 IV- Ecoulement non uniforme et non permanent


complexit du systme. On lutilise aussi pour reprsenter lvolution globale dun rseau dassainissement. On peut ainsi estimer, par exemple, les volumes dverss. Par contre, il ne permet pas de reprsenter localement les phnomnes hydrauliques. En effet la hauteur deau nest pas calcule.

1.2. - Modles de stock

Des modles de stock ont t mis au point pour la modlisation des coulements en rseaux dassainissement.

Par exemple, CHOCAT a conu un modle pour pouvoir prendre en compte les coulements en charge et les influences aval. Pour que son modle soit compatible avec des quations dcoulement en charge, CHOCAT utilise une loi de stockage non linaire pour les

parties surface libre du rseau : )t,x(t)t(Q)t(V PeS = o UL

t P = qui est le temps mis pour

parcourir la distance entre les points de mesure des dbits dentre et de sortie et U la vitesse dcoulement. Le modle est non linaire puisque Pt dpend du dbit dentre.

Ce modle prend en considration les coulements en charge par intgration de lquation de Bernoulli dans le modle. Il est galement capable de grer, de faon artificielle, les influences aval en faisant lhypothse que la ligne deau due une hauteur deau aval suprieure la hauteur deau dans la conduite lamont, est une horizontale. [KOVACS 1988]. Il faut noter que cette approche nest pas toujours vrifie. En effet, dans le cas dun ressaut hydraulique la forme du tirant deau nest pas une horizontale.

Dans dautres modles de stock, la mise en charge est prise en compte par la mthode de la fente de Preissmann [SEMSAR YAZDI 1995].

Il existe dautres modles conceptuels qui nutilisent pas lanalogie avec un rservoir tels que par exemple, lhydrogramme unitaire.

2. - MODELES MECANISTES DE BARRE DE SAINT-VENANT

Contrairement au modle conceptuel, le modle mcaniste tudie le mouvement rel du fluide. Ils sont tous bass sur des principes physiques et en particulier sur les quations de Barr de Saint-Venant. Ils dcrivent les coulements non permanents surface libre, unidimensionnels. Leur rsolution permet de dfinir, selon labscisse x de lcoulement, les variations temporelles de la ligne deau et des dbits. Les modles mathmatiques issus des quations de Barr de Saint Venant constituent la famille des modles mcanistes. En raison de la grande quantit de calculs quelle ncessite, la rsolution numrique des quations compltes de Saint-Venant nest possible que depuis linvention des ordinateurs, cest dire la deuxime moiti du XXme sicle.

Dans cette partie, aprs avoir nonc les derniers dveloppements des quations de Barr de Saint-Venant, nous nous contenterons de prsenter les diffrents types de modles mcanistes existant pour modliser les coulements surface libre.

Les quations de Barr de Saint-Venant tablies en 1871 sont les quations les plus utilises pour modliser les coulements non stationnaires graduellement varis surface



libre. Ces quations sont de type hyperboliques. Elles constituent en fait une simplification des quations de Navier-Stokes. [PAQUIER - 1995]

2.1. - Modles complets

On considre un coulement rel non permanent et non uniforme. Le systme dquations de Barr de Saint Venant est constitu de deux relations dont la premire traduit la conservation de la masse (quation de continuit) et la seconde, la conservation de la quantit de mouvement (quation dynamique).

Equation de continuit

Cette quation exprime le principe de conservation de la masse ; ce qui revient dire que la variation de masse de fluide dun lment de volume dv pendant un temps dt est gale la masse de fluide entrante dans ce volume dduite de la masse de fluide sortante.

La masse de fluide contenue dans le volume dv=dx.dy.dz est gale au temps t : .dx.dy.dz

aprs un temps dt :

+

tdt dx dy dz. .

On constate donc une variation de cette masse de : t

dt dx dy dz. . .

De plus, la masse de fluide entrant par la face 1 (suivant x) est :

xt

dt dy dz u dy dz dt. . . . . .=

Entre la face 1 et 2 seuls et u peuvent varier, donc, la masse sortant par la face 2 pendant

lintervalle de temps dt est :

. . . .uu

xdx dy dz dt+

La diffrence de masse dans le volume dv est donc suivant x :

u

xdx dy dz dt. . .

On a de mme suivant y et z :

v

ydx dy dz dt. . . ;

w

zdx dy dz dt. . .

En crivant que la variation de masse de fluide dun lment de volume dv pendant un temps dt est gale la masse de fluide entrante dans ce volume moins la masse de fluide sortante, on a :



tu

x

v

yw

z

tdiv V

+ + + =

+ =

( ) ( ) ( )

( )

0

0

Cest lquation de continuit dun fluide conservatif.

Linterprtation physique de cette quation est la suivante : les dbits entrant et sortant travers un volume quelconque ferme et rempli du fluide

doivent tre gaux. La variation de volume entre lentre et la sortie est gale au volume stock.

En intgrant lquation suivante pour un volume S.dx , on a :

0)V(divt

=+

0dsdx.)V(divdx.ds.t VolumeVolume

=+

( ) 0dsVnt

dx.ds.

surface

Volume=+

0)SV()SV(t

)dx.S(xdxx =+

+

0dx

)SV()SV(tS xdxx

=

+

+

0x

QtS

=

+

Conservation de la quantit de mouvement

Il suffit dcrire : - Lquation de la quantit de mouvement : la somme des forces (F) qui exercent une

influence sur la particule est gale au taux de variation de la quantit de mouvement de la particule pour une masse m.

= Fdt)v.m(d

-



- forces de pesanteur :

S

S+dS

x

g

En crivant lquation au premier ordre dans le sens de lcoulement : I.x.S.g)sin(.x.S.gFpesanteur ==

- Forces de pression :

P(x)

P(x+dx)

x

g

dx.x

fF

)dxx(F)x(FF

pression

pressionpressionpression

=

+=

Avec : ( ) =)x(h

0

dz)z(lz)x(hgf

Drivation sous le signe dintgration :

dx)x(du)).x(u,x(f

dx)x(du)).x(u,x(fdt

x

)t,x(fdt)t,x(fdxd 1

12

2

)x(u

)x(u

)x(u

)x(u

2

1

2

1

+

=

=

)x(h

0

dz)z(lx

)x(hgx

f

soit :

dh.gSdx.x

fF

)dxx(F)x(FF

pression

pressionpressionpression

=

=

+=

-



- Forces de frottement :

x

emouill.primtrentcisaillemeFrottement J.x.S.gx.P.F ==

Lvaluation de Je sera faite dans le paragraphe suivant.

- Quantit de mouvement :

+

+=

+= )v.v(div

tvdsdx

tx

x

v

tvdsdx

dt)v.m(d

Do lquation finale:

eJ.x.S.gdh.gSI.x.S.gx

vv

tv

xS =

+

egJgIx

hgx

vv

tv

=

+

+

Ce systme peut scrire de la manire suivante [KOVACS - 1988, SEMSAR YAZDI - 1995]:

( )

=

+

=

+

+

dynamiquequation SUq1- + )Jg(J

x

hgx

UU+tU

continuit dequation qtS

x

USx

SU

lef

l

Notations : ql : Dbit latral. Terme nul sil ny a pas dapports latraux. La quantit de

mouvement ne peut que diminuer, donc : : Nombre boolen. = 0 si le dbit latral est sortant.

= 1 si le dbit latral est entrant. U : Vitesse moyenne de lcoulement dans la section. On peut galement exprimer le

systme dquation prcdent en utilisant le dbit par lintermdiaire de la relation de dfinition : USQ = .

S : Section mouille.



h : Hauteur deau dans le collecteur. Jf : Pente de fond. Correspond la force motrice de lcoulement ou encore la

composante longitudinale de lacclration. Je : Pente nergtique. Correspond aux pertes de charges dues aux frottements sur les

parois du collecteur. : Coefficient dnergie de Coriolis dont lexpression est [CARLIER-1972] :

S.U

dsV

3S

3

= V : vitesse relle

Concernant lquation de conservation de lnergie (ou quation dynamique) :

Les deux premiers termes sont les termes dinertie. Le premier reprsente lacclration longitudinale. Ce terme dinertie dpend du

temps donc de la vitesse de monte de la crue. Le second reprsente lacclration convective. Ce terme dpend de la gomtrie

des canalisations.

Le troisime est le terme de pression. Le quatrime est le terme de gravit ou de pente de fond.

Dans ce systme dquations apparaissent, deux quations et quatre inconnues (U, h, Je et S); le systme doit donc tre complt par deux autres quations. Ces quations sont les suivantes:

( )

=

=

)h,Q(fJ hfS

2e

1

Les hypothses fondamentales ncessaires pour que les quations de Barr de Saint-Venant soient valables sont les suivantes:

Lcoulement est considr comme unidimensionnel et rectiligne. La surface du fluide est graduellement variable cest dire que la rpartition de pression

sur une verticale est hydrostatique et que lacclration verticale est ngligeable. En considrant que z donne la cote de fond du canal, la pente suppose faible du canal

vrifie :

sin dxdz

-= tgJ f =

Chaque lment du fluide vertical se dplace la mme vitesse qui est la vitesse moyenne de lcoulement U.

Le fluide est suppos parfait et incompressible. Sa masse volumique est constante. On admet que les pertes de charges par frottement dans les coulements non permanents

ne sont pas diffrentes des pertes de charges pour les coulements permanents. Elles sont rduites au seul paramtre Je.

Il existe une autre expression des quations de Barr de Saint-Venant. Dans celle-ci, les quations sont exprimes en terme de quantit de mouvement et non plus en terme dnergie :

Relation dtat Relation dynamique de processus



( )

=

+

=

+

mouvement de quantit la deon conservati Uq1- + )JgS(Jx

hgSS

Qx

+tQ

continuit dequation qtS

x

Q

lef

2

l

Le coefficient est appel coefficient de Boussinesq dont lexpression est [CARLIER-1972] :

S.U

dsV

2S

2

=

2.2. - Evaluation du terme de pertes de charges par frottements

Les pertes de charges dues aux frottements sont dtermines par des lois empiriques faisant intervenir les variables U et h. Elles supposent que Je est proportionnel au carr de la vitesse. La plus utilise est la relation de Chzy valable pour les coulements turbulents rugueux qui sont les plus frquents. Il existe dautres expressions de Je dtermines exprimentalement [GRAAF-1996].

Par exemple, la relation de Weisbach-Darcy valable pour les coulements laminaires et turbulents lisses :

g2U

R41fJ

2

he =

o f est le coefficient de pertes de charges qui peut tre dtermin par la relation de Colebrook :

+=

fhh

S

f CUD51,2

D7,3klog2

C1

o reprsente la viscosit dynamique, Cf le coefficient de frottement et Dh la profondeur hydraulique en considrant que :

f = 8Cf.

la relation de Chzy est la suivante:

J e =U

C R h

2

2

O : R SPh

= : rayon hydraulique avec P: Primtre mouill.

C : Coefficient de rsistance selon Chzy.

Pour dterminer les coefficients de frottement, des relations empiriques issues de lexprience ont t mises au point. Pour le coefficient de Chzy C, diffrentes formules de natures empiriques sont utilises. Citons en quelques unes:



La formule de Bazin considre C comme une fonction du rayon hydraulique Rh et dun coefficient mB caractristique de la rugosit de la paroi qui est talonn pour diffrents types de conduites.

h

B

Rm1

87C+

=

La formule de Manning-Strickler est actuellement la plus utilise et donne pour C lexpression suivante:

C K Rn

Rs h h= =16

161

o Ks est le coefficient de Strickler et n est le coefficient de Manning.

Le coefficient de Manning est gnralement considr comme tant constant et ne variant pas lorsque la hauteur deau change ; mais ces approximations sont rductrices. En effet, des expriences ont montr que la rugosit varie en fonction du taux de remplissage du canal. Cest pourquoi, on considre dans certains modles le coefficient de Manning comme variable et pouvant tre approch par des polynmes dordre lev fonction de la hauteur deau [ZAGHLOUL 1998].

Parfois, certains auteurs prennent galement en considration les variations de la pente de frottement dus des obstacles prsents dans lcoulement [SIVAPALAN 1996].

74 Annexes


Chapitre V :

ANNEXES

1. - GEOMETRIES DES SECTIONS

2. - DETERMINATION DE LA CELERITE DE LONDE DE GRAVITE

3. - APPROXIMATION DU NOMBRE DE FROUDE ET DE LA HAUTEUR CRITIQUE

4. - TABLEAU DES RUGOSITES KS

5. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION CIRCULAIRE

6. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION OVODE

7. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION FER A CHEVAL

8. - DEMONSTRATION DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION

9. - ABAQUES DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION POUR LE CALCUL DE LA COURBE DE REMOUS

10. - HAUTEURS CONJUGUEES DE QUELQUES SECTIONS

11. - EQUATION DES DEVERSOIRS LATERAUX

12. - ABAQUES POUR LE CALCUL DES DEVERSOIRS LATERAUX

Annexes 75


1 Gomtries des sections

h

b

h 1

m

h

b

1

m

h

b

1m

B

h

D

( )= cos1Rh

h

D

Surface S

2h.mS = 2h.mbhS += ( )m4bBBhS

2

= ( )= cossin4

DS2

pi+=

21

8DDhS 2

Primtre mouill P

2m1h2P += 2m1h2bP ++= ( ) ( )1m1m

bBbh2P

2+

++=

= DP

pi+= 1

2Dh2P

Rayon Hydraulique Rh

2m12mhRh+

=

2

2

m1h2bmhbhRh

++

+=

PSRh =

=

cossin14DRh

PSRh =

Largeur B mh2B = mh2bB += B = sinDB DB = Profondeur hydraulique Dh

2hDh =

mh2bmhbhDh

2

+

+= B

SDh = ( )

=

sin4cossinDDh

BSDh =

S.yG

3mhSy

3

G = 2

G h3mh

2bSy

+= ( )

( )2

3

22

G

m24bB

m4bBh

2BhSy

+

=

=

cos

3sin

sin8

DSy3

3

G

12D

2Dh

8D

2Dh

2DSy

32

2

G

+

pi

+

=

76 Annexes


La figure suivante reprsente les formes de conduite les plus utilises en assainissement. Les dimensions sont adimentionalises par rapport la largeur.

0.75

Annexes 77


Les relations suivantes sont des formulations approches des sections circulaire, ovode et fer cheval.

Surface Primtre Rayon hydraulique CIRCULAIRE

Dhy =

=

25y4

4y1y

34

DS 22

3

2

y 0.95 ; erreur 1%

( )P arccos 1 2yD

=

0.80Rh 0.40yD

=

0.05 y 0.85 ; erreur 10% OVOIDE

hyT

=

T : hauteur, B : largeur

r3T;2B

r ==

)y10.0y15.01(y25.6r

S 423

2 =

y 0.95 ; erreur 2%

( )5 4P 0.693 arccos(1 2y)T

=

0.05 y 0.9 ; erreur 3%

3 4Rh 0.29yT

=

y 0.85 ; erreur 9%

FER A CHEVAL hyT

=

T : hauteur, B : largeur.

22v T058.1B595.0S ==

+= 32

323

v

y1.0y6.01y2SS

y 0.95 ; erreur 5%

( )4 5P 0.10 arccos(1 2y)T

=

0.05 y 0.9 ; erreur 5% ( )3Rh 0.65y 1 0.6yT =

0.05 y 0.9 ; erreur 6%

78 Annexes


2- Dtermination de la clrit de londe de gravit

Considrons un canal pente nulle dont le fluide est au repos (U=0)

U=0

A un instant t, on perturbe la surface libre du canal.

c c

U=0 U0

Chaque onde se dplace la clrit c. On se place sur un rfrentiel en mouvement tel que londe de gravit droite devient stationnaire. Le rfrentiel se dplace la vitesse c.

Il ny a pas de stockage entre les sections S et S+S, donc ce qui entre en S+S sort en S.

c

S S+S

c-U

Le dbit entrant est gale au dbit sortant : cS (c U).(S S)

S SU c cS S S

= +

=

+

En crivant lquilibre de lensemble des forces en rgime permanent : F Forces d' = inertie Dans le volume de contrle dfini par S et S+S :

extj jvol i frottement jjii j

.V .g p .S F .V .(V .n ).S + + =

avec pi la pression et Vi la vitesse sur chaque face. En projetant dans le sens dcoulement :

)SS(F)S(F)Uc).(SS(Qc).S(Q pressionpression ++=+

Annexes 79


pression pression pression

pressionpression

F F (S S) F (S)dF

Si S petit : F . xdx

= +

=

Avec : ( )h(x)

pression0

F g h(x) z

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