Cours Exo7 (1)

Cours de mathmatiquesPremire anne

Exo7

Sommaire

Exo7

1 Logique et raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Relation dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Racines carres, quation du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Argument et trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Nombres complexes et gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 Division euclidienne et pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 Thorme de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2 Arithmtique des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Racine dun polynme, factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Le groupe Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Le groupe des permutations Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Les nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 Lensemble des nombres rationnels Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2 Proprits de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3 Densit de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3

4 SOMMAIRE

8 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3 Exemples remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Thorme de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5 Suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9 Limites et fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471 Notions de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3 Continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4 Continuit sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5 Fonctions monotones et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2 Fonctions circulaires inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11 Drive dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1851 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2 Calcul des drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3 Extremum local, thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4 Thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12 Zros des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031 La dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2 La mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3 La mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

13 Intgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2171 Lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

2 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3 Primitive dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4 Intgration par parties Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5 Intgration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

14 Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2431 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

2 Dveloppements limits au voisinage dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

3 Oprations sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

4 Applications des dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15 Courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2631 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

2 Tangente une courbe paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3 Points singuliers Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

4 Plan dtude dune courbe paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5 Courbes en polaires : thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6 Courbes en polaires : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

SOMMAIRE 5

16 Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031 Introduction aux systmes dquations linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

2 Thorie des systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

3 Rsolution par la mthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

17 Lespace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171 Vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

2 Exemples dapplications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

3 Proprits des applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

18 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

2 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

3 Inverse dune matrice : dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

4 Inverse dune matrice : calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

5 Inverse dune matrice : systmes linaires et matrices lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . 346

6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

19 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611 Espace vectoriel (dbut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

2 Espace vectoriel (fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

3 Sous-espace vectoriel (dbut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

4 Sous-espace vectoriel (milieu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

5 Sous-espace vectoriel (fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

6 Application linaire (dbut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

7 Application linaire (milieu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

8 Application linaire (fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

20 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3951 Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

2 Famille gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

4 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

5 Dimension des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

21 Matrices et applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4191 Rang dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

2 Applications linaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

3 Matrice dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

4 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

22 Dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4471 Dterminant en dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

2 Dfinition du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

3 Proprits du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

4 Calculs de dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

5 Applications des dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

6 SOMMAIRE

Cours et exercices de mathsexo7.emath.fr

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Logique &Raisonnements

Ensembles &Applications

Arithmtique

Nombrescomplexes

PolynmesEspaces

vectoriels

Groupes

Systmeslinaires

Dimension finie

Matrices

Applicationslinaires

Dterminants

Droites et plans

Courbes pa-ramtrs

Gomtrie affineet euclidienne

Nombres rels

Suites I

Fonctionscontinues

Zros defonctions

Drives

TrigonomtrieFonctionsusuelles Dveloppements

limits

Intgrales I

Intgrales II

Suites II

quationsdiffrentielles

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8 SOMMAIRE

1 Logique et raisonnements

Exo7

1 Logique

2 Raisonnements

Vido partie 1. LogiqueVido partie 2. RaisonnementsExercices Logique, ensembles, raisonnements

Quelques motivations

Il est important davoir un langage rigoureux. La langue franaise est souvent ambige.Prenons lexemple de la conjonction ou ; au restaurant fromage ou dessert signifie lunou lautre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche les as ou lescurs alors il ne faut pas exclure las de cur. Autre exemple : que rpondre la question As-tu 10 euros en poche ? si lon dispose de 15 euros ?

Il y a des notions difficiles expliquer avec des mots : par exemple la continuit dune fonctionest souvent explique par on trace le graphe sans lever le crayon . Il est clair que cest unedfinition peu satisfaisante. Voici la dfinition mathmatique de la continuit dune fonctionf : I R en un point x0 I :

> 0 > 0 x I (|x x0| < = | f (x) f (x0)| < ).

Cest le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! Cest la logique. Enfin les mathmatiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple Est-ce quune

augmentation de 20%, puis de 30% est plus intressante quune augmentation de 50% ? . Vouspouvez penser oui ou non , mais pour en tre sr il faut suivre une dmarche logiquequi mne la conclusion. Cette dmarche doit tre convaincante pour vous mais aussi pourles autres. On parle de raisonnement.

Les mathmatiques sont un langage pour sexprimer rigoureusement, adapt aux phnomnescomplexes, qui rend les calculs exacts et vrifiables. Le raisonnement est le moyen de valider ou dinfirmer une hypothse et de lexpliquer autrui.

1. Logique

1.1. Assertions

Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en mme temps.Exemples :

Il pleut. Je suis plus grand que toi. 2+2= 4


23= 7 Pour tout x R, on a x2 0. Pour tout z C, on a |z| = 1.

Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons dfinir de nouvelles assertionsconstruites partir de P et de Q.

Loprateur logique et

Lassertion P et Q est vraie si P est vraie et Q est vraie. Lassertion P et Q est fausse sinon.On rsume ceci en une table de vrit :

P \ Q V FV V FF F F

F I G U R E 1.1 Table de vrit de P et Q

Par exemple si P est lassertion Cette carte est un as et Q lassertion Cette carte est cur alorslassertion P et Q est vraie si la carte est las de cur et est fausse pour toute autre carte.

Loprateur logique ou

Lassertion P ou Q est vraie si lune des deux assertions P ou Q est vraie. Lassertion P ou Q est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses.On reprend ceci dans la table de vrit :

P \ Q V FV V VF V F

F I G U R E 1.2 Table de vrit de P ou Q

Si P est lassertion Cette carte est un as et Q lassertion Cette carte est cur alors lassertion P ou Q est vraie si la carte est un as ou bien un cur (en particulier elle est vraie pour las decur).

Remarque

Pour dfinir les oprateurs ou , et on fait appel une phrase en franais utilisant lesmots ou, et ! Les tables de vrits permettent dviter ce problme.

La ngation non

Lassertion non P est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie.

P V Fnon P F V

F I G U R E 1.3 Table de vrit de non P

Logique et raisonnements 11

Limplication =

La dfinition mathmatique est la suivante :

Lassertion (non P) ou Q est note P = Q .

Sa table de vrit est donc la suivante :

P \ Q V FV V FF V V

F I G U R E 1.4 Table de vrit de P = Q

Lassertion P = Q se lit en franais P implique Q .Elle se lit souvent aussi si P est vraie alors Q est vraie ou si P alors Q .Par exemple :

0 x 25 = px 5 est vraie (prendre la racine carre). x ],4[= x2+3x4> 0 est vraie (tudier le binme). sin()= 0 = = 0 est fausse (regarder pour = 2pi par exemple). 2+2 = 5 = p2 = 2 est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors lassertion P = Q est

toujours vraie.

Lquivalence

Lquivalence est dfinie par :

P Q est lassertion (P = Q) et (Q = P) .

On dira P est quivalent Q ou P quivaut Q ou P si et seulement si Q . Cette assertionest vraie lorsque P et Q sont vraies ou lorsque P et Q sont fausses. La table de vrit est :

P \ Q V FV V FF F V

F I G U R E 1.5 Table de vrit de P Q

Exemples : Pour x, x R, lquivalence x x = 0 (x= 0 ou x = 0) est vraie. Voici une quivalence toujours fausse (quelque soit lassertion P) : P non(P) .

On sintresse davantage aux assertions vraies quaux fausses, aussi dans la pratique et en dehorsde ce chapitre on crira P Q ou P = Q uniquement lorsque ce sont des assertionsvraies. Par exemple si lon crit P Q cela sous-entend P Q est vraie . Attention rienne dit que P et Q soient vraies. Cela signifie que P et Q sont vraies en mme temps ou fausses enmme temps.


Proposition 1

Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les quivalences (vraies) suivantes :

1. P non(non(P))2. (P et Q) (Q et P)3. (P ou Q) (Q ou P)4. non(P et Q) (non P) ou (non Q)5. non(P ou Q) (non P) et (non Q)6.(P et (Q ou R)

) (P et Q) ou (P et R)7.(P ou (Q et R)

) (P ou Q) et (P ou R)8. P = Q non(Q) = non(P)

Dmonstration

Voici des exemples de dmonstrations :4. Il suffit de comparer les deux assertions non(P et Q) et (non P) ou (non Q) pour toutes les

valeurs possibles de P et Q. Par exemple si P est vrai et Q est vrai alors P et Q est vrai donc non(P et Q) est faux ; dautre part (non P) est faux, (non Q) est faux donc (non P) ou (non Q) est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsiles deux tables de vrits et comme elles sont gales les deux assertions sont quivalentes.

P \ Q V FV F VF V V

F I G U R E 1.6 Tables de vrit de non(P et Q) et de (non P) ou (non Q)

6. On fait la mme chose mais il y a trois variables : P, Q, R. On compare donc les tables de vritdabord dans le cas o P est vrai ( gauche), puis dans le cas o P est faux ( droite). Dans lesdeux cas les deux assertions

(P et (Q ou R)

) et (P et Q) ou (P et R) ont la mme table de

vrit donc les assertions sont quivalentes.

Q \ R V FV V VF V F

Q \ R V FV F FF F F

8. Par dfinition, limplication P = Q est lassertion (non P) ou Q .Donc limplication non(Q) = non(P) est quivalente non(non(Q)) ou non(P) qui quivautencore Q ou non(P) et donc est quivalente P = Q . On aurait aussi pu encore unefois dresser les deux tables de vrit et voir quelles sont gales.

1.2. Quantificateurs

Le quantificateur : pour tout Une assertion P peut dpendre dun paramtre x, par exemple x2 1 , lassertion P(x) est vraieou fausse selon la valeur de x.Lassertion

x E P(x)


est une assertion vraie lorsque les assertions P(x) sont vraies pour tous les lments x de len-semble E.On lit Pour tout x appartenant E, P(x) , sous-entendu Pour tout x appartenant E, P(x) estvraie .Par exemple :

x [1,+[ (x2 1) est une assertion vraie. x R (x2 1) est une assertion fausse. n N n(n+1) est divisible par 2 est vraie.

Le quantificateur : il existe Lassertion

x E P(x)est une assertion vraie lorsque lon peut trouver au moins un x de E pour lequel P(x) est vraie. Onlit il existe x appartenant E tel que P(x) (soit vraie) .Par exemple :

x R (x(x1)< 0) est vraie (par exemple x= 12 vrifie bien la proprit). n N n2n> n est vraie (il y a plein de choix, par exemple n= 3 convient, mais aussi

n= 10 ou mme n= 100, un seul suffit pour dire que lassertion est vraie). x R (x2 =1) est fausse (aucun rel au carr ne donnera un nombre ngatif).

La ngation des quantificateurs

La ngation de x E P(x) est x E non P(x) .

Par exemple la ngation de x [1,+[ (x2 1) est lassertion x [1,+[ (x2 < 1) . Eneffet la ngation de x2 1 est non(x2 1) mais scrit plus simplement x2 < 1.

La ngation de x E P(x) est x E non P(x) .

Voici des exemples : La ngation de z C (z2+ z+1= 0) est z C (z2+ z+1 6= 0) . La ngation de x R (x+1 Z) est x R (x+1 Z) . Ce nest pas plus difficile dcrire la ngation de phrases complexes. Pour lassertion :

x R y> 0 (x+ y> 10)

sa ngation estx R y> 0 (x+ y 10).

Remarques

Lordre des quantificateurs est trs important. Par exemple les deux phrases logiques

x R y R (x+ y> 0) et y R x R (x+ y> 0).

sont diffrentes. La premire est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit degauche droite, ainsi la premire phrase affirme Pour tout rel x, il existe un rel y (qui peut doncdpendre de x) tel que x+ y> 0. (par exemple on peut prendre y= x+1). Cest donc une phrase


vraie. Par contre la deuxime se lit : Il existe un rel y, tel que pour tout rel x, x+ y> 0. Cettephrase est fausse, cela ne peut pas tre le mme y qui convient pour tous les x !On retrouve la mme diffrence dans les phrases en franais suivantes. Voici une phrase vraie Pour toute personne, il existe un numro de tlphone , bien sr le numro dpend de la personne.Par contre cette phrase est fausse : Il existe un numro, pour toutes les personnes . Ce serait lemme numro pour tout le monde !

Terminons avec dautres remarques. Quand on crit x R ( f (x) = 0) cela signifie juste quil existe un rel pour lequel f

sannule. Rien ne dit que ce x est unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phraseainsi : il existe au moins un rel x tel que f (x)= 0 . Afin de prciser que f sannule en uneunique valeur, on rajoute un point dexclamation :

! x R ( f (x)= 0).

Pour la ngation dune phrase logique, il nest pas ncessaire de savoir si la phrase estfausse ou vraie. Le procd est algorithmique : on change le pour tout en il existe etinversement, puis on prend la ngation de lassertion P.

Pour la ngation dune proposition, il faut tre prcis : la ngation de lingalit stricte < est lingalit large , et inversement.

Les quantificateurs ne sont pas des abrviations. Soit vous crivez une phrase en franais : Pour tout rel x, si f (x)= 1 alors x 0. , soit vous crivez la phrase logique :

x R ( f (x)= 1 = x 0).

Mais surtout ncrivez pas x rel, si f (x) = 1 = x positif ou nul . Enfin, pour passerdune ligne lautre dun raisonnement, prfrez plutt donc = .

Il est dfendu dcrire 6, 6= . Ces symboles nexistent pas !

Mini-exercices

1. crire la table de vrit du ou exclusif . (Cest le ou dans la phrase fromage oudessert , lun ou lautre mais pas les deux.)

2. crire la table de vrit de non (P et Q) . Que remarquez vous ?

3. crire la ngation de P = Q .4. Dmontrer les assertions restantes de la proposition 1.

5. crire la ngation de (P et (Q ou R)

).

6. crire laide des quantificateurs la phrase suivante : Pour tout nombre rel, son carrest positif . Puis crire la ngation.

7. Mmes questions avec les phrases : Pour chaque rel, je peux trouver un entier relatiftel que leur produit soit strictement plus grand que 1 . Puis Pour tout entier n, il existeun unique rel x tel que exp(x) gale n .

2. Raisonnements

Voici des mthodes classiques de raisonnements.


2.1. Raisonnement direct

On veut montrer que lassertion P = Q est vraie. On suppose que P est vraie et on montrequalors Q est vraie. Cest la mthode laquelle vous tes le plus habitu.

Exemple 1

Montrer que si a,b Q alors a+b Q.DmonstrationPrenons a Q, b Q. Rappelons que les rationnels Q sont lensemble des rels scrivant pq avecp Z et q N.Alors a = pq pour un certain p Z et un certain q N. De mme b = p

q avec p

Z et q N.Maintenant

a+b= pq+ p

q= pq

+ qpqq

.

Or le numrateur pq+ qp est bien un lment de Z ; le dnominateur qq est lui un lment deN. Donc a+b scrit bien de la forme a+b= pq avec p Z, q N. Ainsi a+b Q.

2.2. Cas par cas

Si lon souhaite vrifier une assertion P(x) pour tous les x dans un ensemble E, on montre lasser-tion pour les x dans une partie A de E, puis pour les x nappartenant pas A. Cest la mthode dedisjonction ou du cas par cas.

Exemple 2

Montrer que pour tout x R, |x1| x2 x+1.DmonstrationSoit x R. Nous distinguons deux cas.Premier cas : x 1. Alors |x1| = x1. Calculons alors x2 x+1|x1|.

x2 x+1|x1| = x2 x+1 (x1)= x22x+2= (x1)2+1 0.

Ainsi x2 x+1|x1| 0 et donc x2 x+1 |x1|.Deuxime cas : x< 1. Alors |x1| = (x1). Nous obtenons x2x+1|x1| = x2x+1+(x1)=x2 0. Et donc x2 x+1 |x1|.Conclusion. Dans tous les cas |x1| x2 x+1.

2.3. Contrapose

Le raisonnement par contraposition est bas sur lquivalence suivante (voir la proposition 1) :

Lassertion P = Q est quivalente non(Q) = non(P) .

Donc si lon souhaite montrer lassertion P = Q , on montre en fait que si non(Q) est vraiealors non(P) est vraie.


Exemple 3

Soit n N. Montrer que si n2 est pair alors n est pair.DmonstrationNous supposons que n nest pas pair. Nous voulons montrer qualors n2 nest pas pair. Commen nest pas pair, il est impair et donc il existe k N tel que n = 2k+1. Alors n2 = (2k+1)2 =4k2+4k+1= 2`+1 avec `= 2k2+2k N. Et donc n2 est impair.Conclusion : nous avons montr que si n est impair alors n2 est impair. Par contraposition ceciest quivalent : si n2 est pair alors n est pair.

2.4. Absurde

Le raisonnement par labsurde pour montrer P = Q repose sur le principe suivant : onsuppose la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si P estvraie alors Q doit tre vraie et donc P = Q est vraie.

Exemple 4

Soient a,b 0. Montrer que si a1+b = b1+a alors a= b.Dmonstration

Nous raisonnons par labsurde en supposant que a1+b = b1+a et a 6= b. Comme a1+b = b1+a alorsa(1+a)= b(1+ b) donc a+a2 = b+ b2 do a2 b2 = ba. Cela conduit (a b)(a+ b)=(a b).Comme a 6= b alors ab 6= 0 et donc en divisant par ab on obtient a+b=1. La somme de deuxnombres positifs ne peut tre ngative. Nous obtenons une contradiction.Conclusion : si a1+b = b1+a alors a= b.

Dans la pratique, on peut choisir indiffremment entre un raisonnement par contraposition ou parlabsurde. Attention cependant de bien crire quel type de raisonnement vous choisissez et surtoutde ne pas changer en cours de rdaction !

2.5. Contre-exemple

Si lon veut montrer quune assertion du type x E P(x) est vraie alors pour chaque x de Eil faut montrer que P(x) est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alorsil suffit de trouver x E tel que P(x) soit fausse. (Rappelez-vous la ngation de x E P(x) est x E non P(x) ). Trouver un tel x cest trouver un contre-exemple lassertion x E P(x) .

Exemple 5

Montrer que lassertion suivante est fausse Tout entier positif est somme de trois carrs .(Les carrs sont les 02, 12, 22, 32,... Par exemple 6= 22+12+12.)

DmonstrationUn contre-exemple est 7 : les carrs infrieurs 7 sont 0, 1, 4 mais avec trois de ces nombres onne peut faire 7.

2.6. Rcurrence

Le principe de rcurrence permet de montrer quune assertion P(n), dpendant de n, estvraie pour tout n N. La dmonstration par rcurrence se droule en trois tapes : lors de


linitialisation on prouve P(0). Pour ltape dhrdit, on suppose n 0 donn avec P(n) vraie,et on dmontre alors que lassertion P(n+1) au rang suivant est vraie. Enfin dans la conclusion,on rappelle que par le principe de rcurrence P(n) est vraie pour tout n N.

Exemple 6

Montrer que pour tout n N, 2n > n.DmonstrationPour n 0, notons P(n) lassertion suivante :

2n > n.

Nous allons dmontrer par rcurrence que P(n) est vraie pour tout n 0.Initialisation. Pour n= 0 nous avons 20 = 1> 0. Donc P(0) est vraie.Hrdit. Fixons n 0. Supposons que P(n) soit vraie. Nous allons montrer que P(n+1) estvraie.

2n+1 = 2n+2n> n+2n car par P(n) nous savons 2n > n,> n+1 car 2n 1.

Donc P(n+1) est vraie.Conclusion. Par le principe de rcurrence P(n) est vraie pour tout n 0, cest--dire 2n > n pourtout n 0.

Remarques : La rdaction dune rcurrence est assez rigide. Respectez scrupuleusement la rdaction

propose : donnez un nom lassertion que vous souhaitez montrer (ici P(n)), respectez lestrois tapes (mme si souvent ltape dinitialisation est trs facile). En particulier mditezet conservez la premire ligne de lhrdit Fixons n 0. Supposons que P(n) soit vraie.Nous allons montrer que P(n+1) est vraie.

Si on doit dmontrer quune proprit est vraie pour tout n n0, alors on commence linitia-lisation au rang n0.

Le principe de rcurrence est bas sur la construction de N. En effet un des axiomes pourdfinir N est le suivant : Soit A une partie de N qui contient 0 et telle que si n A alorsn+1 A. Alors A =N .

Mini-exercices

1. (Raisonnement direct) Soient a,b R+. Montrer que si a b alors a a+b2 b et a pab b.

2. (Cas par cas) Montrer que pour tout n N, n(n+1) est divisible par 2 (distinguer les npairs des n impairs).

3. (Contrapose ou absurde) Soient a,b Z. Montrer que si b 6= 0 alors a+ bp2 Q. (Onutilisera que

p2 Q.)

4. (Absurde) Soit n N. Montrer quep

n2+1 nest pas un entier.5. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x R on a x< 2 = x2 < 4 ?


6. (Rcurrence) Montrer que pour tout n 1, 1+2+ +n= n(n+1)2 .7. (Rcurrence) Fixons un rel x 0. Montrer que pour tout entier n 1, (1+ x)n 1+nx.

Auteurs

Arnaud BodinBenjamin BoutinPascal Romon

2 Ensembles et applications

Exo7

1 Ensembles

2 Applications

3 Injection, surjection, bijection

4 Ensembles nis

5 Relation d'quivalence

Vido partie 1. EnsemblesVido partie 2. ApplicationsVido partie 3. Injection, surjection, bijectionVido partie 4. Ensembles finisVido partie 5. Relation d'quivalenceExercices Logique, ensembles, raisonnementsExercices Injection, surjection, bijectionExercices DnombrementExercices Relation d'quivalence, relation d'ordre

Motivations

Au dbut du X Xe sicle le professeur Frege peaufinait la rdaction du second tome dun ouvragequi souhaitait refonder les mathmatiques sur des bases logiques. Il reut une lettre dun toutjeune mathmaticien : Jai bien lu votre premier livre. Malheureusement vous supposez quilexiste un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. Sensuit unedmonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege scroulait et il ne sen remettra jamais. Lejeune Russell deviendra lun des plus grands logiciens et philosophes de sont temps. Il obtient leprix Nobel de littrature en 1950.Voici le paradoxe de Russell pour montrer que lensemble de tous les ensembles ne peut exis-ter. Cest trs bref, mais difficile apprhender. Par labsurde, supposons quun tel ensemble Econtenant tous les ensembles existe. Considrons

F ={E E |E E

}.

Expliquons lcriture E E : le E de gauche est considr comme un lment, en effet lensembleE est lensemble de tous les ensembles et E est un lment de cet ensemble ; le E de droiteest considr comme un ensemble, en effet les lment de E sont des ensembles ! On peut doncsinterroger si llment E appartient lensemble E. Si non, alors par dfinition on met E danslensemble F.La contradiction arrive lorsque lon se pose la question suivante : a-t-on F F ou F F ? Lune desdeux affirmation doit tre vraie. Et pourtant :

Si F F alors par dfinition de F, F est lun des ensembles E tel que F F. Ce qui estcontradictoire.

Si F F alors F vrifie bien la proprit dfinissant F donc F F ! Encore contradictoire.


Aucun des cas nest possible. On en dduit quil ne peut exister un tel ensemble E contenant tousles ensembles.Ce paradoxe a t popularis par lnigme suivante : Dans une ville, le barbier rase tous ceuxqui ne se rasent pas eux-mmes. Qui rase le barbier ? La seule rponse valable est quune tellesituation ne peut exister.

Ne vous inquitez pas, Russell et dautres ont fond la logique et les ensembles sur des bases solides.Cependant il nest pas possible dans ce cours de tout redfinir. Heureusement, vous connaissezdj quelques ensembles :

lensemble des entiers naturels N= {0,1,2,3, . . .}. lensemble des entiers relatifs Z= {. . . ,2,1,0,1,2, . . .}. lensemble des rationnels Q= { pq | p Z, q N\{0}}. lensemble des rels R, par exemple 1,

p2, pi, ln(2),. . .

lensemble des nombres complexes C.

Nous allons essayer de voir les proprits des ensembles, sans sattacher un exemple particulier.Vous vous apercevrez assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles,ce sont les relations entre ensembles : ce sera la notion dapplication (ou fonction) entre deuxensembles.

1. Ensembles

1.1. Dfinir des ensembles

On va dfinir informellement ce quest un ensemble : un ensemble est une collection dl-ments.

Exemples :{0,1}, {rouge,noir}, {0,1,2,3, . . .}=N.

Un ensemble particulier est lensemble vide, not qui est lensemble ne contenant aucunlment.

On notex E

si x est un lment de E, et x E dans le cas contraire. Voici une autre faon de dfinir des ensembles : une collection dlments qui vrifient une

proprit. Exemples : {

x R | |x2| < 1}, {z C | z5 = 1}, {x R | 0 x 1}= [0,1].1.2. Inclusion, union, intersection, complmentaire

Linclusion. E F si tout lment de E est aussi un lment de F (autrement dit : x E (x F)). On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F.

Lgalit. E = F si et seulement si E F et F E. Ensemble des parties de E. On note P (E) lensemble des parties de E. Par exemple si

E = {1,2,3} :P ({1,2,3})= {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Complmentaire. Si A E,

Ensembles et applications 21

E A ={x E | x A}

On le note aussi E \ A et juste A sil ny a pas dambigut (et parfois aussi Ac ou A).

A E AE

Union. Pour A,BE,AB= {x E | x A ou x B}

Le ou nest pas exclusif : x peut appartenir A et B en mme temps.

A BAB

Intersection.AB= {x E | x A et x B}

A BAB

1.3. Rgles de calculs

Soient A,B,C des parties dun ensemble E. AB=BA A (BC)= (AB)C (on peut donc crire ABC sans ambigit) A=, AA = A, A B AB= A

AB=BA A (BC)= (AB)C (on peut donc crire ABC sans ambigut) A= A, AA = A, A B AB=B

A (BC)= (AB) (AC) A (BC)= (AB) (AC)

(A)= A et donc A BB A. (AB)= AB (AB)= AB

Voici les dessins pour les deux dernires assertions.

A B

A

A B

B


A BAB

(AB)= AB

A BAB

(AB)= AB

Les preuves sont pour lessentiel une reformulation des oprateurs logiques, en voici quelques-unes :

Preuve de A (BC) = (AB) (AC) : x A (BC) x A et x (BC) x A et (x B ou x C) (x A et x B) ou (x A et x C) (x AB) ou (x AC) x (AB) (AC).

Preuve de (AB)= AB : x (AB) x (AB) non(x AB) non(x A et x B) non(x A) ou non(x B) x A ou x B x AB.

Remarquez que lon repasse aux lments pour les preuves.

1.4. Produit cartsien

Soient E et F deux ensembles. Le produit cartsien, not EF, est lensemble des couples (x, y)o x E et y F.

Exemple 7

1. Vous connaissez R2 =RR= {(x, y) | x, y R}.2. Autre exemple [0,1]R= {(x, y) | 0 x 1, y R}

x

y

0 1

3. [0,1] [0,1] [0,1]= {(x, y, z) | 0 x, y, z 1}

x

y

z

0 1

11


Mini-exercices

1. En utilisant les dfinitions, montrer : A 6= B si et seulement sil existe a A \ B oub B \ A.

2. numrer P ({1,2,3,4}).

3. Montrer A (BC)= (AB) (AC) et (AB)= AB.4. numrer {1,2,3} {1,2,3,4}.5. Reprsenter les sous-ensembles de R2 suivants :

(]0,1[[2,3[)[1,1], (R\(]0,1[[2,3[)(

(R\ [1,1]) [0,2]).

2. Applications

2.1. Dfinitions

Une application (ou une fonction) f : E F, cest la donne pour chaque lment x Edun unique lment de F not f (x).Nous reprsenterons les applications par deux types dillustrations : les ensembles patates,lensemble de dpart (et celui darrive) est schmatis par un ovale ses lments par despoints. Lassociation x 7 f (x) est reprsente par une flche.

x f (x)

E F

f

Lautre reprsentation est celle des fonctions continues de R dans R (ou des sous-ensemblesde R). Lensemble de dpart R est reprsent par laxe des abscisses et celui darrive parlaxe des ordonnes. Lassociation x 7 f (x) est reprsente par le point (x, f (x)).

x

y

x

f (x)

galit. Deux applications f , g : E F sont gales si et seulement si pour tout x E, f (x)=g(x). On note alors f = g.

Le graphe de f : E F est f =

{(x, f (x)

) EF | x E}

x

y

f

Composition. Soient f : E F et g : F G alors g f : E G est lapplication dfinie par


g f (x)= g( f (x)).E F G

f g

g fExemple 8

1. Lidentit, idE : EE est simplement dfinie par x 7 x et sera trs utile dans la suite.2. Dfinissons f , g ainsi

f : ]0,+[ ]0,+[x 7 1x

,g : ]0,+[ R

x 7 x1x+1.

Alors g f : ]0,+[R vrifie pour tout x ]0,+[ :

g f (x)= g( f (x))= g(1x

)=

1x 11x +1

= 1 x1+ x =g(x).

2.2. Image directe, image rciproque

Soient E,F deux ensembles.

Dfinition 1

Soit A E et f : E F, limage directe de A par f est lensemble

f (A)= { f (x) | x A}

E F

A f (A)

f

x

y

A

f (A)

Dfinition 2

Soit B F et f : E F, limage rciproque de B par f est lensemble

f 1(B)= {x E | f (x) B}

E F

f 1(B)

B

f

x

y

B

f 1(B)


Remarque

Ces notions sont plus difficiles matriser quil ny parat ! f (A) est un sous-ensemble de F, f 1(B) est un sous-ensemble de E. La notation f 1(B) est un tout, rien ne dit que f est un fonction bijective (voir plus

loin). Limage rciproque existe quelque soit la fonction. Limage directe dun singleton f ({x}) = { f (x)} est un singleton. Par contre limage rci-

proque dun singleton f 1({y})

dpend de f . Cela peut tre un singleton, un ensemble plusieurs lments ; mais cela peut-tre E tout entier (si f est une fonction constante)ou mme lensemble vide (si aucune image par f ne vaut y).

2.3. Antcdents

Fixons y F. Tout lment x E tel que f (x)= y est un antcdent de y.En termes dimage rciproque lensemble des antcdents de y est f 1({y}).

Sur les dessins suivants, llment y admet 3 antcdents par f . Ce sont x1, x2, x3.

E F

f

yx1 x2

x3

x

y

x1 x2 x3

y

Mini-exercices

1. Pour deux applications f , g : E F, quelle est la ngation de f = g ?2. Reprsenter le graphe de f :NR dfinie par n 7 4n+1 .3. Soient f , g,h :RR dfinies par f (x)= x2, g(x)= 2x+1, h(x)= x31. Calculer f (gh)

et ( f g)h.4. Pour la fonction f : R R dfinie par x 7 x2 reprsenter et calculer les ensembles

suivants : f ([0,1[), f (R), f (]1,2[), f 1([1,2[), f 1([1,1]), f 1({3}), f 1(R\N).

3. Injection, surjection, bijection

3.1. Injection, surjection

Soit E,F deux ensembles et f : E F une application.Dfinition 3

f est injective si pour tout x, x E avec f (x)= f (x) alors x= x. Autrement dit :

x, x E ( f (x)= f (x) = x= x)


Dfinition 4

f est surjective si pour tout y F, il existe x E tel que y= f (x). Autrement dit :

y F x E (y= f (x))

Une autre formulation : f est surjective si et seulement si f (E)= F.Les applications f reprsentes sont injectives :

E F

f

x

y

E

F)

Les applications f reprsentes sont surjectives :

E F

f

x

y

E

F

Remarque

Encore une fois ce sont des notions difficiles apprhender. Une autre faon de formulerlinjectivit et la surjectivit est dutiliser les antcdents.

f est injective si et seulement si tout lment y de F a au plus 1 antcdent (et ven-tuellement aucun).

f est surjective si et seulement si tout lment y de F a au moins 1 antcdent.

Remarque

Voici deux fonctions non injectives :

E F

f

yx x

x

y

x x

y

Ainsi que deux fonctions non surjectives :


E F

f

x

y

E

F

)y

Exemple 9

1. Soit f1 :NQ dfinie par f1(x)= 11+x . Montrons que f1 est injective : soit x, x N telsque f1(x)= f1(x). Alors 11+x = 11+x , donc 1+ x= 1+ x et donc x= x. Ainsi f1 est injective.Par contre f1 nest pas surjective. Il sagit de trouver un lment y qui na pas dantc-dent par f1. Ici il est facile de voir que lon a toujours f1(x) 1 et donc par exemple y= 2na pas dantcdent. Ainsi f1 nest pas surjective.

2. Soit f2 :ZN dfinie par f2(x)= x2. Alors f2 nest pas injective. En effet on peut trouverdeux lments x, x Z diffrents tels que f2(x)= f2(x). Il suffit de prendre par exemplex= 2, x =2.f2 nest pas non plus surjective, en effet il existe des lments y N qui nont aucunantcdent. Par exemple y = 3 : si y = 3 avait un antcdent x par f2, nous aurionsf2(x)= y, cest--dire x2 = 3, do x =

p3. Mais alors x nest pas un entier de Z. Donc

y= 3 na pas dantcdent et f2 nest pas surjective.

3.2. Bijection

Dfinition 5

f est bijective si elle injective et surjective. Cela quivaut : pour tout y F il existe ununique x E tel que y= f (x). Autrement dit :

y F !x E (y= f (x))

Lexistence du x vient de la surjectivit et lunicit de linjectivit. Autrement dit, tout lment deF a un unique antcdent par f .

E F

f

x

y

E

F


Proposition 2

Soit E,F des ensembles et f : E F une application.1. Lapplication f est bijective si et seulement si il existe une application g : F E telle

que f g= idF et g f = idE.2. Si f est bijective alors lapplication g est unique et elle aussi est bijective. Lapplication

g sappelle la bijection rciproque de f et est note f 1. De plus(f 1)1 = f .

Remarque

f g= idF se reformule ainsiy F f (g(y))= y.

Alors que g f = idE scrit :x E g( f (x))= x.

Par exemple f :R]0,+[ dfinie par f (x)= exp(x) est bijective, sa bijection rciproqueest g :]0,+[ R dfinie par g(y) = ln(y). Nous avons bien exp( ln(y)) = y, pour touty ]0,+[ et ln(exp(x))= x, pour tout x R.

Dmonstration

1. Sens . Supposons f bijective. Nous allons construire une application g : F E. Comme fest surjective alors pour chaque y F, il existe un x E tel que y = f (x) et on pose g(y) = x.On a f

(g(y)) = f (x) = y, ceci pour tout y F et donc f g = idF . On compose droite avec f

donc f g f = idF f . Alors pour tout x E on a f(g f (x)) = f (x) or f est injective et donc

g f (x)= x. Ainsi g f = idE . Bilan : f g= idF et g f = idE . Sens . Supposons que g existe et montrons que f est bijective.

f est surjective : en effet soit y F alors on note x = g(y) E ; on a bien : f (x)= f (g(y))=f g(y)= idF (y)= y, donc f est bien surjective.

f est injective : soient x, x E tels que f (x) = f (x). On compose par g ( gauche) alorsg f (x)= g f (x) donc idE(x)= idE(x) donc x= x ; f est bien injective.

2. Si f est bijective alors g est aussi bijective car g f = idE et f g= idF et on applique ce quelon vient de dmontrer avec g la place de f . Ainsi g1 = f .

Si f est bijective, g est unique : en effet soit h : F E une autre application telle que h f = idEet f h= idF ; en particulier f h= idF = f g, donc pour tout y F, f

(h(y))= f (g(y)) or f est

injective alors h(y)= g(y), ceci pour tout y F ; do h= g.

Proposition 3

Soient f : E F et g : F G des applications bijectives. Lapplication g f est bijective et sabijection rciproque est

(g f )1 = f 1 g1


Dmonstration

Daprs la proposition 2, il existe u : F E tel que u f = idE et f u = idF . Il existe aussi v : G Ftel que v g = idF et g v = idG . On a alors (g f ) (u v) = g ( f u) v = g idF u = g u = idE . Et(u v) (g f ) = u (v g) f = u idF f = u f = idE . Donc g f est bijective et son inverse est u v.Comme u est la bijection rciproque de f et v celle de g alors : u v= f 1 g1.

Mini-exercices

1. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? f1 :R [0,+[, x 7 x2. f2 : [0,+[ [0,+[, x 7 x2. f3 :NN, x 7 x2. f4 :ZZ, x 7 x7. f5 :R [0,+[, x 7 |x|.

2. Montrer que la fonction f : ]1,+[]0,+[ dfinie par f (x)= 1x1 est bijective. Calculersa bijection rciproque.

4. Ensembles finis

4.1. Cardinal

Dfinition 6

Un ensemble E est fini sil existe un entier n N et une bijection de E vers {1,2, . . . ,n}. Cetentier n est unique et sappelle le cardinal de E (ou le nombre dlments) et est notCardE.

Quelques exemples :

1. E = {rouge,noir} est en bijection avec {1,2} et donc est de cardinal 2.2. N nest pas un ensemble fini.

3. Par dfinition le cardinal de lensemble vide est 0.

Enfin quelques proprits :

1. Si A est un ensemble fini et B A alors B est un ensemble fini et CardBCard A.2. Si A,B sont des ensembles finis disjoints (cest--dire AB=) alors Card(AB)=Card A+

CardB.

3. Si A est un ensemble fini et B A alors Card(A \ B)=Card ACardB.4. Enfin pour A,B deux ensembles finis quelconques :

Card(AB)=Card A+CardBCard(AB)

Voici une situation o sapplique la dernire proprit :

B

A


4.2. Injection, surjection, bijection et ensembles finis

Proposition 4

Soit E,F deux ensembles finis et f : E F une application.1. Si f est injective alors CardE CardF.2. Si f est surjective alors CardE CardF.3. Si f est bijective alors CardE =CardF.

Dmonstration

1. Supposons f injective. Notons F = f (E) F alors la restriction f| : E F (dfinie par f|(x) =f (x)) est une bijection. Donc pour chaque y F est associ un unique x E tel que y = f (x).Donc E et F ont le mme nombre dlments. Donc CardF =CardE. Or F F, ainsi CardE =CardF CardF.

2. Supposons f surjective. Pour tout lment y F, il existe au moins un lment x de E tel quey= f (x) et donc CardE CardF.

3. Cela dcoule de (1) et (2) (ou aussi de la preuve du (1)).

Proposition 5

Soit E,F deux ensembles finis et f : E F une application. Si

CardE =CardF

alors les assertions suivantes sont quivalentes :

i. f est injective,

ii. f est surjective,

iii. f est bijective.

Dmonstration

Le schma de la preuve est le suivant : nous allons montrer successivement les implications :

(i) = (ii) = (iii) = (i)

ce qui prouvera bien toutes les quivalences. (i) = (ii). Supposons f injective. Alors Card f (E) = CardE = CardF. Ainsi f (E) est un sous-

ensemble de F ayant le mme cardinal que F ; cela entrane f (E)= F et donc f est surjective. (ii) = (iii). Supposons f surjective. Pour montrer que f est bijective, il reste montrer que f

est injective. Raisonnons par labsurde et supposons f non injective. Alors Card f (E)


Proposition 6

Si lon range dans k tiroirs, n > k paires de chaussettes alors il existe (au moins) un tiroircontenant (au moins) deux paires de chaussettes.

Malgr sa formulation amusante, cest une proposition souvent utile. Exemple : dans un amphi de400 tudiants, il y a au moins deux tudiants ns le mme jour !

4.3. Nombres dapplications

Soient E,F des ensembles finis, non vides. On note CardE = n et CardF = p.

Proposition 7

Le nombre dapplications diffrentes de E dans F est :

pn

Autrement dit cest (CardF)CardE .

Exemple 10

En particulier le nombre dapplications de E dans lui-mme est nn. Par exemple si E ={1,2,3,4,5} alors ce nombre est 55 = 3125.

Dmonstration

Fixons F et p = CardF. Nous allons effectuer une rcurrence sur n = CardE. Soit (Pn) lassertionsuivante : le nombre dapplications dun ensemble n lments vers un ensemble p lments est pn.

Initialisation. Pour n= 1, une application de E dans F est dfinie par limage de lunique lmentde E. Il y a p=CardF choix possibles et donc p1 applications distinctes. Ainsi P1 est vraie.

Hrdit. Fixons n 1 et supposons que Pn est vraie. Soit E un ensemble n+1 lments. Onchoisit et fixe a E ; soit alors E =E \{a} qui a bien n lments. Le nombre dapplications de Evers F est pn, par lhypothse de rcurrence (Pn). Pour chaque application f : E F on peut laprolonger en une application f : E F en choisissant limage de a. On a p choix pour limage dea et donc pn p choix pour les applications de E vers F. Ainsi Pn+1 est vrifie.

Conclusion. Par le principe de rcurrence Pn est vraie, pour tout n 1.

Proposition 8

Le nombre dinjections de E dans F est :

p (p1) (p (n1)).

Dmonstration

Supposons E = {a1,a2, . . . ,an} ; pour limage de a1 nous avons p choix. Une fois ce choix fait, pourlimage de a2 il reste p1 choix (car a2 ne doit pas avoir la mme image que a1). Pour limage dea3 il y a p2 possibilits. Ainsi de suite : pour limage de ak il y p (k1) choix... Il y a au finalp (p1) (p (n1)) applications injectives.

Notation factorielle : n!= 123 n. Avec 1!= 1 et par convention 0!= 1.


Proposition 9

Le nombre de bijections dun ensemble E de cardinal n dans lui-mme est :

n!

Exemple 11

Parmi les 3125 applications de {1,2,3,4,5} dans lui-mme il y en a 5!= 120 qui sont bijectives.

Dmonstration

Nous allons le prouver par rcurrence sur n. Soit (Pn) lassertion suivante : le nombre de bijectionsdun ensemble n lments dans un ensemble n lments est n!

P1 est vraie. Il ny a quune bijection dun ensemble 1 lment dans un ensemble 1 lment. Fixons n 1 et supposons que Pn est vraie. Soit E un ensemble n+1 lments. On fixe a E.

Pour chaque b E il y a -par lhypothse de rcurrence- exactement n! applications bijectivesde E \{a}E \{b}. Chaque application se prolonge en une bijection de E F en posant a 7 b.Comme il y a n+1 choix de b E alors nous obtenons n! (n+1) bijections de E dans lui-mme.Ainsi Pn+1 est vraie.

Par le principe de rcurrence le nombre de bijections dun ensemble n lments est n!On aurait aussi pu directement utiliser la proposition 8 avec n= p (sachant qualors les injections sontaussi des bijections).

4.4. Nombres de sous-ensembles

Soit E un ensemble fini de cardinal n.

Proposition 10

Il y a 2CardE sous-ensembles de E :

CardP (E)= 2n

Exemple 12

Si E = {1,2,3,4,5} alors P (E) a 25 = 32 parties. Cest un bon exercice de les numrer : lensemble vide : , 5 singletons : {1}, {2}, . . ., 10 paires : {1,2}, {1,3}, . . . , {2,3}, . . ., 10 triplets : {1,2,3}, . . ., 5 ensembles 4 lments : {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, . . ., et E tout entier : {1,2,3,4,5}.

Dmonstration

Encore une rcurrence sur n=CardE. Si n= 1, E = {a} est un singleton, les deux sous-ensembles sont : et E. Supposons que la proposition soit vraie pour n 1 fix. Soit E un ensemble n+1 lments. On

fixe a E. Il y a deux sortes de sous-ensembles de E : les sous-ensembles A qui ne contiennent pas a : ce sont les sous-ensembles A E \ {a}. Par

lhypothse de rcurrence il y en a 2n.


les sous-ensembles A qui contiennent a : ils sont de la forme A = {a} A avec A E \ {a}.Par lhypothse de rcurrence il y a 2n sous-ensembles A possibles et donc aussi 2n sous-ensembles A.

Le bilan : 2n+2n = 2n+1 parties A E. Par le principe de rcurrence, nous avons prouv que si CardE = n alors CardP (E)= 2n.

4.5. Coefficients du binme de Newton

Dfinition 7

Le nombre de parties k lments dun ensemble n lments est not(n

k)

ou Ckn.

Exemple 13

Les parties deux lments de {1,2,3} sont {1,2}, {1,3} et {2,3} et donc(32) = 3. Nous avons

dj class les parties de {1,2,3,4,5} par nombre dlments et donc(50)= 1 (la seule partie nayant aucun lment est lensemble vide),

(51)= 5 (il y a 5 singletons),

(52)= 10 (il y a 10 paires),

(53)= 10,

(54)= 5,

(55)= 1 (la seule partie ayant 5 lments est lensemble tout entier).

Sans calculs on peut dj remarquer les faits suivants :

Proposition 11

(n0)= 1, (n1)= n, (nn)= 1.

( nnk)= (nk)

(n0)+ (n1)+ + (nk)+ + (nn)= 2n

Dmonstration

1. Par exemple :(n1)= n car il y a n singletons.

2. Compter le nombre de parties A E ayant k lments revient aussi compter le nombre departies de la forme A (qui ont donc nk lments), ainsi ( nnk)= (nk).

3. La formule(n0)+ (n1)+ + (nk)+ + (nn)= 2n exprime que faire la somme du nombre de parties

k lments, pour k= 0, . . . ,n, revient compter toutes les parties de E.


Proposition 12

(nk

)=(n1

k

)+(n1k1

)0< k< n

Dmonstration

Soit E un ensemble n lments, a E et E = E \ {a}. Il y a deux sortes de parties A E ayant klments :

celles qui ne contiennent pas a : ce sont donc des parties k lments dans E qui a n 1lments. Il y a en a donc

(n1k),

celles qui contiennent a : elles sont de la forme A = {a}A avec A une partie k1 lmentsdans E qui a n1 lments. Il y en a (n1k1).

Bilan :(n

k)= (n1k1)+ (n1k ).

Le triangle de Pascal est un algorithme pour calculer ces coefficients(n

k). La ligne du haut corres-

pond (00), la ligne suivante

(10)

et(11), la ligne daprs

(20),(21)

et(22).

La dernire ligne du triangle de gauche aux coefficients(40),(41), . . . ,

(44).

Comment continuer ce triangle pour obtenir le triangle de droite ? Chaque lment de la nouvelleligne est obtenu en ajoutant les deux nombres qui lui sont au-dessus droite et au-dessus gauche.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Ce qui fait que cela fonctionne cest bien sr la proposition 12 qui se reprsente ainsi :

(n1k1) (n1

k)

(nk)

Une autre faon de calculer le coefficient du binme de Newton repose sur la formule suivante :


Proposition 13

(nk

)= n!

k!(nk)!

Dmonstration

Cela se fait par rcurrence sur n. Cest clair pour n = 1. Si cest vrai au rang n1 alors crivons(nk)= (n1k1)+ (n1k ) et utilisons lhypothse de rcurrence pour (n1k1) et (n1k ). Ainsi(

nk

)=(n1k1

)+(n1

k

)= (n1)!

(k1)!(n1 (k1))! +(n1)!

k!(n1k)!

= (n1)!(k1)!(nk1)!

(1

nk +1k

)= (n1)!

(k1)!(nk1)! n

k(nk)= n!

k!(nk)!

4.6. Formule du binme de Newton

Thorme 1

Soient a,b R et n un entier positif alors :

(a+b)n =n

k=0

(nk

)ank bk

Autrement dit :

(a+b)n =(n0

)an b0+

(n1

)an1 b1+ +

(nk

)ank bk+ +

(nn

)a0 bn

Le thorme est aussi vrai si a et b sont des nombres complexes.

Exemple 14

1. Pour n= 2 on retrouve la formule archi-connue : (a+b)2 = a2+2ab+b2.2. Il est aussi bon de connatre (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3.3. Si a= 1 et b= 1 on retrouve la formule : nk=0 (nk)= 2n.

Dmonstration

Nous allons effectuer une rcurrence sur n. Soit (Pn) lassertion : (a+b)n =nk=0 (nk) ank bk. Initialisation. Pour n= 1, (a+b)1 = (10)a1b0+ (11)a0b1. Ainsi P1 est vraie.


Hrdit. Fixons n 2 et supposons que Pn1 est vraie.

(a+b)n = (a+b) (a+b)n1 = a(an1+ +

(n1

k

)an1kbk+ +bn1

)

+b(an1+ +

(n1k1

)an1(k1)bk1+ +bn1

)

= +((

n1k

)+(n1k1

))ankbk+

= +(nk

)ankbk+ =

nk=0

(nk

)ank bk

Ainsi Pn+1 est vrifie. Conclusion. Par le principe de rcurrence Pn est vraie, pour tout n 1.

Mini-exercices

1. Combien y a-t-il dapplications injectives dun ensemble n lments dans un ensemble n+1 lments ?

2. Combien y a-t-il dapplications surjectives dun ensemble n+ 1 lments dans unensemble n lments ?

3. Calculer le nombre de faons de choisir 5 cartes dans un jeux de 32 cartes.

4. Calculer le nombre de listes k lments dans un ensemble n lments (les listessont ordonnes : par exemple (1,2,3) 6= (1,3,2)).

5. Dvelopper (ab)4, (a+b)5.6. Que donne la formule du binme pour a=1, b=+1 ? En dduire que dans un ensemble

n lments il y a autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair.

5. Relation dquivalence

5.1. Dfinition

Une relation sur un ensemble E, cest la donne pour tout couple (x, y) EE de Vrai (sils sonten relation), ou de Faux sinon.

Nous schmatisons une relation ainsi : les lments de E sont des points, une flche de x vers ysignifie que x est en relation avec y, cest--dire que lon associe Vrai au couple (x, y).


Dfinition 8

Soit E un ensemble et R une relation, cest une relation dquivalence si : x E, xRx, (rflexivit)

x

x, y E, xR y = yRx, (symtrie)x y

x, y, z E, xR y et yRz = xRz, (transitivit)

x

y

z

Exemple de relation dquivalence :

5.2. Exemples

Exemple 15

Voici des exemples basiques.

1. La relation R tre parallle est une relation dquivalence pour lensemble E desdroites affines du plan. rflexivit : une droite est parallle elle-mme, symtrie : si D est parallle D alors D est parallle D, transitivit : si D parallle D et D parallle D alors D est parallle D.

2. La relation tre du mme ge est une relation dquivalence.

3. La relation tre perpendiculaire nest pas une relation dquivalence (ni la rflexivit,ni la transitivit ne sont vrifies).

4. La relation (sur E =R par exemple) nest pas une relation dquivalence (la symtrienest pas vrifie).

5.3. Classes dquivalence


Dfinition 9

Soit R une relation dquivalence sur un ensemble E. Soit x E, la classe dquivalence dex est

cl(x)= {y E | yRx}

x

x

cl(x)

cl(x)

cl(x) est donc un sous-ensemble de E, on le note aussi x. Si y cl(x), on dit que y un reprsentantde cl(x).

Soit E un ensemble et R une relation dquivalence.

Proposition 14

On a les proprits suivantes :

1. cl(x)= cl(y) xR y.2. Pour tout x, y E, cl(x)= cl(y) ou cl(x)cl(y)=.3. Soit C un ensemble de reprsentants de toutes les classes alors

{cl(x) | x C} constitue

une partition de E.

Une partition de E est un ensemble {E i} de parties de E tel que E =i E i et E iE j = (si i 6= j).E2

. . .

. . .E j

E1 E i . . .

E

Exemples :

1. Pour la relation tre du mme ge, la classe dquivalence dune personne est lensembledes personnes ayant le mme ge. Il y a donc une classe dquivalence forme des personnesde 19 ans, une autre forme des personnes de 20 ans,... Les trois assertions de la propositionse lisent ainsi : On est dans la mme classe dquivalence si et seulement si on est du mme ge. Deux personnes appartiennent soit la mme classe, soit des classes disjointes. Si on choisit une personne de chaque ge possible, cela forme un ensemble de reprsentants

C. Maintenant une personne quelconque appartient une et une seule classe dun desreprsentants.


2. Pour la relation tre parallle, la classe dquivalence dune droite est lensemble des droitesparallles. chaque classe dquivalence correspond une et une seule direction.

Voici un exemple que vous connaissez depuis longtemps :

Exemple 16

Dfinissons sur E =ZN la relation R par

(p, q)R(p, q) pq = pq.

Tout dabord R est une relation dquivalence : R est rflexive : pour tout (p, q) on a bien pq= pq et donc (p, q)R(p, q). R est symtrique : pour tout (p, q), (p, q) tels que (p, q)R(p, q) on a donc pq = pq et

donc pq= pq do (p, q)R(p, q). R est transitive : pour tout (p, q), (p, q), (p, q) tels que (p, q)R(p, q) et (p, q)R(p, q)

on a donc pq = pq et pq = pq. Alors (pq)q = (pq)q = q(pq)= q(pq). En divi-sant par q 6= 0 on obtient pq = qp et donc (p, q)R(p, q).

Nous allons noter pq = cl(p, q) la classe dquivalence dun lment (p, q) ZN. Par exemple,comme (2,3)R(4,6) (car 26= 34) alors les classes de (2,3) et (4,6) sont gales : avec notrenotation cela scrit : 23 = 46 .Cest ainsi que lon dfinit les rationnels : lensemble Q des rationnels est lensemble de classesdquivalence de la relation R.Les nombres 23 = 46 sont bien gaux (ce sont les mmes classes) mais les critures sont diff-rentes (les reprsentants sont distincts).

5.4. Lensemble Z/nZ

Soit n 2 un entier. Dfinissons la relation suivante sur lensemble E =Z :a b (mod n) ab est un multiple de n

Exemples pour n= 7 : 10 3 (mod 7), 19 5 (mod 7), 77 0 (mod 7), 1 20 (mod 7).Cette relation est bien une relation dquivalence :

Pour tout a Z, aa= 0= 0 n est un multiple de n donc a a (mod n). Pour a,b Z tels que a b (mod n) alors a b est un multiple de n, autrement dit il existe

k Z tel que ab= kn et donc ba= (k)n et ainsi b a (mod n). Si a b (mod n) et b c (mod n) alors il existe k,k Z tels que a b = kn et b c = kn.

Alors a c= (ab)+ (b c)= (k+k)n et donc a c (mod n).La classe dquivalence de a Z est note a. Par dfinition nous avons donc

a= cl(a)= {b Z | b a (mod n)}.Comme un tel b scrit b= a+kn pour un certain k Z alors cest aussi exactement

a= a+nZ= {a+kn | k Z}.Comme n 0 (mod n), n+1 1 (mod n), . . . alors

n= 0, n+1= 1, n+2= 2, . . .

et donc lensemble des classes dquivalence est lensemble


Z/nZ= {0,1,2, . . . ,n1}qui contient exactement n lments.Par exemple : pour n= 7, 0= {. . . ,14,7,0,7,14,21, . . .}= 7Z ; 1= {. . . ,13,6,1,8,15, . . .}= 1+7Z ;. . . ; 6 = {. . . ,8,1,6,13,20, . . .} = 6+7Z. Mais ensuite 7 = {. . .7,0,7,14,21, . . .} = 0 = 7Z. AinsiZ/7Z= {0,1,2, . . . ,6} possde 7 lments.

Remarque

Dans beaucoup de situations de la vie courante, nous raisonnons avec les modulos. Parexemple pour lheure : les minutes et les secondes sont modulo 60 (aprs 59 minutes onrepart zro), les heures modulo 24 (ou modulo 12 sur le cadran aiguilles). Les jours de lasemaine sont modulo 7, les mois modulo 12,...

Mini-exercices

1. Montrer que la relation dfinie sur N par xR y 2x+y3 N est une relation dquiva-lence. Montrer quil y a 3 classes dquivalence.

2. Dans R2 montrer que la relation dfinie par (x, y)R(x, y) x+ y = x+ y est unerelation dquivalence. Montrer que deux points (x, y) et (x, y) sont dans une mmeclasse si et seulement sils appartiennent une mme droite dont vous dterminerez ladirection.

3. On dfinit une addition sur Z/nZ par p+q= p+ q. Calculer la table daddition dans Z/6Z(cest--dire toutes les sommes p+q pour p, q Z/6Z). Mme chose avec la multiplicationp q= p q. Mmes questions avec Z/5Z, puis Z/8Z.

Auteurs


3 Nombres complexes

Exo7

1 Les nombres complexes

2 Racines carres, quation du second degr

3 Argument et trigonomtrie

4 Nombres complexes et gomtrie

Vido partie 1. Les nombres complexes, dfinitions et oprationsVido partie 2. Racines carres, quation du second degrVido partie 3. Argument et trigonomtrieVido partie 4. Nombres complexes et gomtrieExercices Nombres complexes

Prambule

Lquation x+5= 2 a ses coefficients dans N mais pourtant sa solution x=3 nest pas un entiernaturel. Il faut ici considrer lensemble plus grand Z des entiers relatifs.

Nx+5=2

,Z 2x=3,Q x2= 12

,R x2=p2

,C

De mme lquation 2x=3 a ses coefficients dans Z mais sa solution x=32 est dans lensembleplus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, lquation x2 = 12 coefficients dans Q, a ses so-lutions x1 =+1/

p2 et x2 =1/

p2 dans lensemble des rels R. Ensuite lquation x2 =p2 ses

coefficients dans R et ses solutions x1 = +p

2i et x2 = p

2i dans lensemble des nombrescomplexes C. Ce processus est-il sans fin ? Non ! Les nombres complexes sont en quelque sortele bout de la chane car nous avons le thorme de dAlembert-Gauss suivant : Pour nimportequelle quation polynomiale anxn+ an1xn1+ + a2x2+ a1x+ a0 = 0 o les coefficients ai sontdes complexes (ou bien des rels), alors les solutions x1, . . . , xn sont dans lensemble des nombrescomplexes .

Outre la rsolution dquations, les nombres complexes sappliquent la trigonomtrie, la go-mtrie (comme nous le verrons dans ce chapitre) mais aussi llectronique, la mcaniquequantique, etc.

1. Les nombres complexes

1.1. Dfinition

42 Nombres complexes

Dfinition 10

Un nombre complexe est un couple (a,b) R2 que lon notera a+ ib

0 1

i

a

ba+ ib

R

iR

Cela revient identifier 1 avec le vecteur (1,0) de R2, et i avec le vecteur (0,1). On note C lensembledes nombres complexes. Si b= 0, alors z= a est situ sur laxe des abscisses, que lon identifie R.Dans ce cas on dira que z est rel, et R apparat comme un sous-ensemble de C, appel axe rel.Si b 6= 0, z est dit imaginaire et si b 6= 0 et a= 0, z est dit imaginaire pur.

1.2. Oprations

Si z= a+ ib et z = a+ ib sont deux nombres complexes, alors on dfinit les oprations suivantes : addition : (a+ ib)+ (a+ ib)= (a+a)+ i(b+b)

0 1

i z

z

z+ z

R

iR

multiplication : (a+ ib) (a+ ib)= (aabb)+ i(ab+ba). Cest la multiplication usuelleavec la convention suivante :

i2 =1

1.3. Partie relle et imaginaire

Soit z = a+ ib un nombre complexe, sa partie relle est le rel a et on la note Re(z) ; sa partieimaginaire est le rel b et on la note Im(z).

0 1

i

Re(z)

Im(z)z

R

iR

Nombres complexes 43

Par identification de C R2, lcriture z=Re(z)+ iIm(z) est unique :

z= z

Re(z)=Re(z)

etIm(z)= Im(z)

En particulier un nombre complexe est rel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Unnombre complexe est nul si et et seulement si sa partie relle et sa partie imaginaire sont nuls.

1.4. Calculs

Quelques dfinitions et calculs sur les nombres complexes.

01

iz

z

z

L oppos de z= a+ ib est z= (a)+ i(b)=a ib. La multiplication par un scalaire R : z= (a)+ i(b). L inverse : si z 6= 0, il existe un unique z C tel que zz = 1 (o 1= 1+ i0).

Pour la preuve et le calcul on crit z = a+ ib puis on cherche z = a + ib tel que zz =1. Autrement dit (a+ ib)(a + ib) = 1. En dveloppant et identifiant les parties relles etimaginaires on obtient les quations{

aabb = 1 (L1)ab+ba = 0 (L2)

En crivant aL1+bL2 (on multiplie la ligne (L1) par a, la ligne (L2) par b et on additionne)et bL1+aL2 on en dduit{

a(a2+b2)= a

b(a2+b2)=b donc

{a = aa2+b2b = ba2+b2

Linverse de z est donc

z = 1z= a

a2+b2 + ib

a2+b2 =a ib

a2+b2 .

La division : zz est le nombre complexe z 1z . Proprit dintgrit : si zz = 0 alors z= 0 ou z = 0. Puissances : z2 = z z, zn = z z (n fois, n N). Par convention z0 = 1 et zn = (1z )n = 1zn .


Proposition 15

Pour tout z C diffrent de 1

1+ z+ z2+ + zn = 1 zn+1

1 z .

La preuve est simple : notons S = 1+ z+ z2+ + zn, alors en dveloppant S (1 z) presque tousles termes se tlescopent et lon trouve S (1 z)= 1 zn+1.

Remarque

Il ny pas dordre naturel sur C, il ne faut donc jamais crire z 0 ou z z.

1.5. Conjugu, module

Le conjugu de z= a+ ib est z= a ib, autrement dit Re(z)=Re(z) et Im(z)=Im(z). Le point zest le symtrique du point z par rapport laxe rel.Le module de z = a+ ib est le rel positif |z| =

pa2+b2. Comme z z = (a+ ib)(a ib) = a2+ b2

alors le module vaut aussi |z| =pzz.

01

iz

z

|z|

0

z= a+ ib

a

b

Quelques formules :

z+ z = z+ z, z= z, zz = zz z= z z R |z|2 = z z, |z| = |z|, zz= |z||z| |z| = 0 z= 0 Lingalit triangulaire :

z+ z |z|+ z


Exemple 17

Dans un paralllogramme, la somme des carrs des diagonales gale la somme des carrs descts.

Si les longueurs des cts sont notes L et ` et les longueurs des diagonales sont D et d alors ilsagit de montrer lgalit

D2+d2 = 2`2+2L2.

d

D

L

L

`

`

0

z

z

z+ z|z|

|z|

|z|

|z|

|z z|

|z+ z|

Dmonstration

Cela devient simple si lon considre que notre paralllogramme a pour sommets 0, z, z et le derniersommet est donc z+ z. La longueur du grand ct est ici |z|, celle du petit ct est |z|. La longueur dela grande diagonale est |z+ z|. Enfin il faut se convaincre que la longueur de la petite diagonale est|z z|.

D2+d2 = z+ z2+ z z2 = (z+ z) (z+ z)+ (z z) (z z)= zz+ zz+ z z+ zz+ zz zz z z+ zz= 2zz+2zz = 2 |z|2+2 z2= 2`2+2L2

Mini-exercices

1. Calculer 12i+ i12i .2. crire sous la forme a+ ib les nombres complexes (1+ i)2, (1+ i)3, (1+ i)4, (1+ i)8.3. En dduire 1+ (1+ i)+ (1+ i)2+ + (1+ i)7.4. Soit z C tel que |1+ iz| = |1 iz|, montrer que z R.5. Montrer que si |Re z| |Re z| et |Im z| |Im z| alors |z| |z|, mais que la rciproque

est fausse.

6. Montrer que 1/z= z/ |z|2 (pour z 6= 0).

2. Racines carres, quation du second degr

2.1. Racines carres dun nombre complexe

Pour z C, une racine carre est un nombre complexe tel que 2 = z.Par exemple si x R+, on connat deux racines carres :

px,px. Autre exemple : les racines

carres de 1 sont i et i.


Proposition 16

Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carres, et .

Attention ! Contrairement au cas rel, il ny a pas de faon privilgie de choisir une racine pluttque lautre, donc pas de fonction racine. On ne dira donc jamais soit la racine de z .

Si z 6= 0 ces deux racines carres sont distinctes. Si z= 0 alors = 0 est une racine double.Pour z= a+ ib nous allons calculer et en fonction de a et b.

Dmonstration

Nous crivons = x+ iy, nous cherchons x, y tels que 2 = z.

2 = z (x+ iy)2 = a+ ib

{

x2 y2 = a2xy= b en identifiant parties relles et parties imaginaires.

Petite astuce ici : nous rajoutons lquation ||2 = |z| (qui se dduit bien sr de 2 = z) qui scrit aussix2+ y2 =

pa2+b2. Nous obtenons des systmes quivalents aux prcdents :

x2 y2 = a2xy= bx2+ y2 =

pa2+b2

2x2 =

pa2+b2+a

2y2 =p

a2+b2a2xy= b

x= 1p

2

pa2+b2+a

y= 1p2

pa2+b2a

2xy= b

Discutons suivant le signe du rel b. Si b 0, x et y sont de mme signe ou nuls (car 2xy= b 0) donc

= 1p2

(a2+b2+a+ i

a2+b2a

),

et si b 0= 1p

2

(a2+b2+a i

a2+b2a

).

En particulier si b = 0 le rsultat dpend du signe de a, si a 0,p

a2 = a et par consquent =pa,tandis que si a< 0,

pa2 =a et donc =ipa=ip|a|.

Il nest pas ncessaire dapprendre ces formules mais il est indispensable de savoir refaire lescalculs.

Exemple 18

Les racines carres de i sont +p

22 (1+ i) et

p2

2 (1+ i).En effet :

2 = i (x+ iy)2 = i

{

x2 y2 = 02xy= 1

Rajoutons la conditions ||2 = |i| pour obtenir le systme quivalent au prcdent :x2 y2 = 02xy= 1x2+ y2 = 1

2x2 = 12y2 = 12xy= 1

x= 1p

2y= 1p

22xy= 1


Les rels x et y sont donc de mme signe, nous trouvons bien deux solutions :

x+ iy= 1p2+ i 1p

2ou x+ iy= 1p

2 i 1p

2

2.2. quation du second degr

Proposition 17

Lquation du second degr az2+ bz+ c = 0, o a,b, c C et a 6= 0, possde deux solutionsz1, z2 C ventuellement confondues.Soit = b24ac le discriminant et C une racine carre de . Alors les solutions sont

z1 = b+2a et z2 =b

2a.

Et si = 0 alors la solution z= z1 = z2 =b/2a est unique (elle est dite double). Si on sautorisait crire =p pour le nombre complexe , on obtiendrait la mme formule que celle que vousconnaissez lorsque a,b, c sont rels.

Exemple 19

z2+ z+1= 0, =3, = ip3, les solutions sont z= 1 ip

32

.

z2+ z+ 1i4 = 0, = i, =p

22 (1+ i), les solutions sont z=

1p

22 (1+ i)2

=12 p

24 (1+ i).

On retrouve aussi le rsultat bien connu pour le cas des quations coefficients rels :

Corollaire 1

Si les coefficients a,b, c sont rels alors R et les solutions sont de trois types : si = 0, la racine double est relle et vaut b

2a,

si > 0, on a deux solutions relles bp

2a,

si < 0, on a deux solutions complexes, mais non relles, b ip

2a.

Dmonstration

On crit la factorisation

az2+bz+ c = a(z2+ b

az+ c

a

)= a((

z+ b2a

)2 b

2

4a2+ c

a

)= a

((z+ b

2a

)2

4a2

)= a((

z+ b2a

)2

2

4a2

)= a

((z+ b

2a

)

2a

)((z+ b

2a

)+

2a

)= a

(z b+

2a

)(z b

2a

)= a (z z1) (z z2)

Donc le binme sannule si et seulement si z= z1 ou z= z2.


2.3. Thorme fondamental de lalgbre

Thorme 2. dAlembertGauss

Soit P(z)= anzn+an1zn1+ +a1z+a0 un polynme coefficients complexes et de degrn. Alors lquation P(z) = 0 admet exactement n solutions complexes comptes avec leurmultiplicit.En dautres termes il existe des nombres complexes z1, . . . , zn (dont certains sont ventuelle-ment confondus) tels que

P(z)= an (z z1) (z z2) (z zn) .

Nous admettons ce thorme.

Mini-exercices

1. Calculer les racines carres de i, 34i.2. Rsoudre les quations : z2+ z1= 0, 2z2+ (1010i)z+2410i= 0.3. Rsoudre lquation z2+ (ip2)z ip2, puis lquation Z4+ (ip2)Z2 ip2.4. Montrer que si P(z) = z2+ bz+ c possde pour racines z1, z2 C alors z1+ z2 = b et

z1 z2 = c.5. Trouver les paires de nombres dont la somme vaut i et le produit 1.

6. Soit P(z)= anzn+an1zn1+ +a0 avec ai R pour tout i. Montrer que si z est racinede P alors z aussi.

3. Argument et trigonomtrie

3.1. Argument

Si z= x+ i y est de module 1, alors x2+ y2 = |z|2 = 1. Par consquent le point (x, y) est sur le cercleunit du plan, et son abscisse x est note cos, son ordonne y est sin, o est (une mesure de)langle entre laxe rel et z. Plus gnralement, si z 6= 0, z/|z| est de module 1, et cela amne :

Dfinition 11

Pour tout z C =C{0}, un nombre R tel que z= |z| (cos+ isin) est appel un argumentde z et not = arg(z).

|z|

0 1

i

z

R

iR

arg(z)

Cet argument est dfini modulo 2pi. On peut imposer cet argument dtre unique si on rajoute lacondition ]pi,+pi].


Remarque

(mod 2pi) k Z, = +2kpi {

cos = cossin = sin

Proposition 18

Largument satisfait les proprits suivantes : arg

(zz) arg(z)+arg(z) (mod 2pi)

arg(zn) narg(z) (mod 2pi) arg(1/z)arg(z) (mod 2pi) arg(z)arg z (mod 2pi)

Dmonstration

zz = |z| (cos+ isin)z(cos+ isin)

= zz(cos cossinsin+ i(cossin+sin cos))= zz(cos(+)+ isin(+))

donc arg(zz) arg(z)+arg(z) (mod 2pi). On en dduit les deux autres proprits, dont la deuxime

par rcurrence.

3.2. Formule de Moivre, notation exponentielle

La formule de Moivre est :

(cos+ isin)n = cos(n)+ isin(n)

Dmonstration

Par rcurrence, on montre que

(cos+ isin)n = (cos+ isin)n1 (cos+ isin)= (cos((n1))+ isin((n1))) (cos+ isin)= (cos((n1))cossin((n1))sin)

+i (cos((n1))sin+sin((n1))cos)= cosn+ isinn

Nous dfinissons la notation exponentielle par

ei = cos+ isin

et donc tout nombre complexe scrit

z= ei

o = |z| est le module et = arg(z) est un argument.


Avec la notation exponentielle, on peut crire pour z= ei et z = ei

zz = eiei = ei(+)zn = (ei)n = n (ei)n = nein1/z= 1/(ei)= 1

ei

z= ei

La formule de Moivre se rduit lgalit :(ei)n = ein.

Et nous avons aussi : ei = ei (avec , > 0) si et seulement si = et (mod 2pi).

3.3. Racines n-ime

Dfinition 12

Pour z C et n N, une racine n-ime est un nombre C tel que n = z.

Proposition 19

Il y a n racines n-imes 0,1, . . . ,n1 de z= ei, ce sont :

k = 1/nei+2ikpi

n , k= 0,1, . . . ,n1

Dmonstration

crivons z= ei et cherchons sous la forme = reit tel que z=n. Nous obtenons donc ei =n =(reit)n = rneint. Prenons tout dabord le module : = ei= rneint= rn et donc r = 1/n (il sagit ici

de nombres rels). Pour les arguments nous avons eint = ei et donc nt (mod 2pi) (noubliez surtoutpas le modulo 2pi !). Ainsi on rsout nt = +2kpi (pour k Z) et donc t = n + 2kpin . Les solutions delquation n = z sont donc les k = 1/ne

i+2ikpin . Mais en fait il ny a que n solutions distinctes car

n =0, n+1 =1, . . . Ainsi les n solutions sont 0,1, . . . ,n1.

Par exemple pour z = 1, on obtient les n racines n-imes de lunit e2ikpi/n, k = 0, . . . ,n1 quiforment un groupe multiplicatif.

01= e0

ij = e2ipi/3

j2 = e4ipi/3

Racine 3-ime de lunit (z= 1, n= 3)

0 11= eipi

ieipi/3

eipi/3

Racine 3-ime de 1 (z=1, n= 3)

Les racines 5-ime de lunit (z= 1, n= 5) forment un pentagone rgulier :


01

i e2ipi/5

e4ipi/5

e6ipi/5

e8ipi/5

3.4. Applications la trigonomtrie

Voici les formules dEuler, pour R :

cos = ei+ ei

2, sin = e

i ei2i

Ces formules sobtiennent facilement en utilisant la dfinition de la notation exponentielle. Nousles appliquons dans la suite deux problmes : le dveloppement et la linarisation.

Dveloppement. On exprime sinn ou cosn en fonction des puissances de cos et sin.

Mthode : on utilise la formule de Moivre pour crire cos(n)+ isin(n)= (cos+ isin)n que londveloppe avec la formule du binme de Newton.

Exemple 20

cos3+ isin3 = (cos+ isin)3= cos3+3icos2sin3cossin2 isin3= (cos33cossin2)+ i(3cos2sinsin3)

En identifiant les parties relles et imaginaires, on dduit que

cos3 = cos33cossin2 et sin3 = 3cos2sinsin3.

Linarisation. On exprime cosn ou sinn en fonction des cosk et sink pour k allant de 0 n.

Mthode : avec la formule dEuler on crit sinn =(

eiei2i

)n. On dveloppe laide du binme de

Newton puis on regroupe les termes par paires conjugues.

Exemple 21


sin3 =(

ei ei2i

)3= 18i

((ei)33(ei)2ei+3ei(ei)2 (ei)3

)= 18i

(e3i3ei+3ei e3i

)= 1

4

(e3i e3i

2i3 e

i ei2i

)= sin3

4+ 3sin

4

3.5. Mini-exercices

Mini-exercices

1. Mettre les nombres suivants sont la forme module-argument (avec la notation expo-nentielle) : 1, i, 1, i, 3i, 1+ i, p3 i, p3 i, 1p

3i , (p

3 i)20xx o 20xx est lanne encours.

2. Calculer les racines 5-ime de i.

3. Calculer les racines carres dep

32 + i2 de deux faons diffrentes. En dduire les valeurs

de cos pi12 et sinpi12 .

4. Donner sans calcul la valeur de 0+1+ +n1, o les i sont les racines n-ime de1.

5. Dvelopper cos(4) ; linariser cos4 ; calculer une primitive de 7 cos4.

4. Nombres complexes et gomtrie

On associe bijectivement tout point M du plan affine R2 de coordonnes (x, y), le nombre complexez= x+ iy appel son affixe.

4.1. quation complexe dune droite

Soit

ax+by= c

lquation relle dune droite D : a,b, c sont des nombres rels (a et b ntant pas tous les deuxnuls) dinconnues (x, y) R2.crivons z= x+ iy C, alors

x= z+ z2

, y= z z2i

,

donc D a aussi pour quation a(z+ z) ib(z z) = 2c ou encore (a ib)z+ (a+ ib)z = 2c. Posons= a+ ib C et k= 2c R alors lquation complexe dune droite est :

z+z= k

o C et k R.


i

0 1

i

0 1

D

C

r

i

0 1

4.2. quation complexe dun cercle

Soit C (, r) le cercle de centre et de rayon r. Cest lensemble des points M tel que dist(, M)= r.Si lon note laffixe de et z laffixe de M. Nous obtenons :

dist(, M)= r |z| = r |z|2 = r2 (z)(z)= r2

et en dveloppant nous trouvons que lquation complexe du cercle centr en un point daffixe etde rayon r est :

zz zz= r2||2

o C et r R.

4.3. quation |za||zb| = k

Proposition 20

Soit A,B deux points du plan et k R+. Lensemble des points M tel que MAMB = k est une droite qui est la mdiatrice de [AB], si k= 1, un cercle, sinon.

Exemple 22

Prenons A le point daffixe +1,B le point daffixe 1. Voici les figures pour plusieurs valeursde k.Par exemple pour k= 2 le point M dessin vrifie bien MA = 2MB.


k= 3

k= 2

k= 43 k= 1 k=34

k= 12

k= 13

AB

M

Dmonstration

Si les affixes de A,B, M sont respectivement a,b, z, cela revient rsoudre lquation |za||zb| = k.

|za||zb| = k|za|

2 = k2|zb|2

(za)(za)= k2(zb)(zb) (1k2)zz z(ak2 b) z(ak2b)+|a|2k2|b|2 = 0

Donc si k= 1, on pose = ak2b et lquation obtenue z+ z= |a|2k2|b|2 est bien celle dune droite.Et bien sr lensemble des points qui vrifient MA = MB est la mdiatrice de [AB]. Si k 6= 1 on pose= ak2b1k2 alors lquation obtenue est zz z z=

|a|2+k2|b|21k2 . Cest lquation dun cercle de centre

et de rayon r satisfaisant r2||2 = |a|2+k2|b|21k2 , soit r2 =|ak2b|2(1k2)2 +

|a|2+k2|b|21k2 .

Ces calculs se refont au cas par cas, il nest pas ncessaire dapprendre les formules.

Mini-exercices

1. Calculer lquation complexe de la droite passant par 1 et i.

2. Calculer lquation complexe du cercle de centre 1+2i passant par i.3. Calculer lquation complexe des solutions de

|z i||z1| = 1, puis dessiner les solutions.

4. Mme question avec|z i||z1| = 2.

Auteurs


4 Arithmtique

Exo7

1 Division euclidienne et pgcd

2 Thorme de Bzout

3 Nombres premiers

4 Congruences

Vido partie 1. Division euclidienne et pgcdVido partie 2. Thorme de BzoutVido partie 3. Nombres premiersVido partie 4. CongruencesExercices Arithmtique dans Z

Prambule

Une motivation : larithmtique est au cur du cryptage des communication. Pour crypter unmessage on commence par le transformer en un ou plusieurs nombres. Le processus de codageet dcodage fait appel plusieurs notions de ce chapitre :

On choisit deux nombres premiers p et q que lon garde secrets et on pose n = p q. Leprincipe tant que mme connaissant n il est trs difficile de retrouver p et q (qui sont desnombres ayant des centaines de chiffres).

La cl secrte et la cl publique se calculent laide de lalgorithme dEuclide et descoefficients de Bzout.

Les calculs de cryptage se feront modulo n. Le dcodage fonctionne grce une variante du petit thorme de Fermat.

1. Division euclidienne et pgcd

1.1. Divisibilit et division euclidienne

Dfinition 13

Soient a,b Z. On dit que b divise a et on note b|a sil existe q Z tel que

a= bq

.

56 Arithmtique

Exemple 23

7|21 ; 6|48 ; a est pair si et seulement si 2|a. Pour tout a Z on a a|0 et aussi 1|a. Si a|1 alors a=+1 ou a=1. (a|b et b|a) = b=a. (a|b et b|c) = a|c. (a|b et a|c) = a|b+ c.

Thorme 3. Division euclidienne

Soit a Z et b N\{0}. Il existe des entiers q, r Z tels que

a= bq+ r et 0 r < b

De plus q et r sont uniques.

Nous avons donc lquivalence : r = 0 si et seulement si b divise a.Exemple 24

Pour calculer q et r on pose la division classique. Si a= 6789 et b= 34 alors

6789= 34199+23

On a bien 0 23< 34 (sinon cest que lon na pas t assez loin dans les calculs).

6 7 8 9 34

199

3 43 3 83 0 6

3 2 93 0 6

2 3

dividende diviseur

quotient

reste

Dmonstration

Existence. On peut supposer a 0 pour simplifier. Soit N = {n N | bn a}. Cest un ensemble nonvide car n = 0 N . De plus pour n N , on a n a. Il y a donc un nombre fini dlments dans N ,notons q=maxN le plus grand lment.Alors qb a car q N , et (q+1)b> a car q+1 N donc

qb a< (q+1)b= q

Cours Exo7 (1)

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