Cours ETS Canada Mesure Force Pression

Chapitre 6

La mesure de force

6.1 Introduction

La mesure de force est obtenue en mesurant l’un des effets de cette gran-deur physique sur un corps d’epreuve.

Ces effets sont :

• La deformation ;• Le changement de la permeabilite magnetique.

L’effet le plus utilise etant la deformation du corps d’epreuve par uneforce, la majorite de ce chapitre se consacrera donc en une enumeration desdiverses facons de mesurer les deformations pour ensuite deduire la force.

Les divers corps d’epreuve qui disponibles :

• Les ressorts ;• Les poutres encastrees ;• Les tiges ou tubes en traction ;• Les etriers en flexion ;• Les poutres en magnetostriction ;• Etc...

Les capteurs de force reposent principalement sur la deformation de di-vers corps d’epreuve. Differentes technologies existent pour mesurer cettedeformation :

• La transduction resistive ;◦ Potentiometre (presente au Chapitre 3, section 3.2 — page 90) ;◦ Jauge extensiometrique (ou jauge de contraintes) ;• La transduction piezoelectrique ;

127

128 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE

• La transduction capacitive ;• La transduction inductive ;◦ LVDT (presente au Chapitre 3, en Section 3.3 — page 94) ;◦ Courant de Foucault (ou d’Eddy chez les anglophones) ;◦ Balance de force ;• La transduction electromagnetique (magnetostriction).

Ce chapitre traitera de divers corps d’epreuves et des types de transductionqui n’auront pas ete couverts dans d’autres chapitres.

6.2 Les corps d’epreuves

6.2.1 Poutre encastree

Une poutre encastree soumise a une force F est montree en Figure 6.1.

Figure 6.1 – Poutre encastree

La reaction de cette poutre est un flechissement qui se traduit par undeplacement du bout de la poutre que l’on nomme la fleche qui est representeepar la distance y sur la Figure 6.2.

Figure 6.2 – La fleche d’une poutre encastree

La fleche y est calculee de la facon suivante pour une poutre rectangulairesujette a une force F (Figure 6.1) :

y =4l3(1− ν)

Ebh3F (6.1)

6.2. LES CORPS D’EPREUVES 129

avec b la largeur de la poutre, h l’epaisseur de la poutre, l la longueur effective,E le module de Young et ν le coefficient de Poisson. Dans ce calcul, on assumeque la largeur de la poutre est tres superieure a son epaisseur, i.e., que b >> h.

Toutefois, la fleche est une deformation de tres faible amplitude, ce quipeut rendre difficile sa mesure.

Une autre deformation qui se produit dans une poutre encastree en flexion,c’est l’allongement des fibres superieures et le retrecissement des fibres infe-rieures (avec la force orientee vers le bas, comme en Figure 6.1).

Cette deformation, bien que tres faible, est plus facilement mesurableque la fleche. La mesure de cette deformation est faite en collant une jaugeextensiometrique sur la surface de la poutre. Si la jauge est bien collee, ellesubira les memes deformations que la poutre.

La deformation unitaire de la fibre superieure avec une jauge orientee dansle sens de la longueur (l) et localisee a une distance x du point d’encastrementest :

ε1 =6(l − x)

Ebh2F (6.2)

La deformation unitaire represente la deformation par unite de longueurde la poutre. La deformation reelle sera simplement le produit de la deforma-tion unitaire par la longueur de la poutre, soit ε1 × l.

Si la jauge est oriente dans le sens de la largeur (b) de la poutre, l’allon-gement unitaire ε2 est :

ε2 = −6ν(l − x)

Ebh2F (6.3)

Le signe negatif revele que la deformation est un retrecissement plutotqu’un allongement. Cela vient du fait que la section de la poutre en chargese deforme comme le montre la Figure 6.3.

Si les jauges etaient installees sous la poutre rectangulaire plutot que surle dessus, les deformations unitaires ε1 et ε2 seraient de meme amplitude,mais de signes inverses, car la fibre inferieure retrecit et la largeur du bas dela poutre augmente.

6.2.2 Tige rectangulaire en traction

On peut mesurer une force en mesurant la deformation subie par une tigerectangulaire en traction (Figure 6.4).

Cette tige rectangulaire aura tendance a s’allonger lorsque sous traction.L’allongement unitaire dans le sens de la longueur de la tige (ou le sens


Figure 6.3 – Section de la poutre rectangulaire (de la Figure 6.1) a vide vsla meme poutre en charge (la force est vers le bas)

Figure 6.4 – Tige rectangulaire en traction

longitudinal, ce que mesure la jauge montree en Figure 6.4) sera :

ε1 =1

EaeF (6.4)

avec a et e les dimensions de la tige montrees en Figure 6.4.Dans le sens transversal, la tige en traction verra sa section diminuer et

l’allongement unitaire sera :

ε2 = − ν

EaeF (6.5)

le signe negatif indiquant le retrecissement.Si la tige est en compression, la force F aura alors un signe negatif. La

tige raccourcit et sa section augmente.


6.2.3 Tube cylindrique en traction

Un autre corps d’epreuve pour mesurer la force est le tube cylindrique(Figure 6.5).

Figure 6.5 – Tube cylindrique en traction

Le comportement du tube cylindrique, sera identique a celui de la tigerectangulaire. Ainsi, la deformation unitaire dans le sens longitudinal d’untube cylindrique soumis a une force de traction F est :

ε1 =4

πE(D2 − d2)F (6.6)

avec E le module de Young, ν le coefficient de Poisson,D le diametre exterieurdu tube et d le diametre interieur du tube.

La deformation unitaire dans le sens tangentiel est :

ε2 = − 4ν

πE(D2 − d2)F (6.7)

et est negative, car la section du tube diminue lorsqu’il est etire par une forcede traction.

En compression, la force F est negative. La tige raccourcit et sa sectionaugmente.


Figure 6.6 – Etrier en flexion

6.2.4 Etrier en flexion

Un autre corps d’epreuve pour mesurer la force est l’etrier en flexion.L’etrier est une piece en forme de ”C” (Figure 6.6).

La mesure de la deformation peut se faire sur la face exterieure (flechebleue du cote droit) ou la face interieure (fleche rouge du cote gauche).

Lorsque l’on mesure la deformation unitaire sur la face exterieure et dansle sens longitudinal (selon la direction de b) de l’etrier, on utilise la relationsuivante :

ε1 =1

Eae

(6c

e− 1

)F (6.8)

avec a, c et e les dimensions montrees en Figure 6.6. La deformation unitairedans le sens transversal (selon la direction de a) est :

ε2 = − ν

Eae

(6c

e− 1

)F (6.9)

La deformation unitaire sur la face interieure et dans le sens longitudinal


est representee par :

ε1 = − 1

Eae

(6c

e+ 1

)F (6.10)

et celle dans le sens transversal est :

ε2 =ν

Eae

(6c

e+ 1

)F (6.11)

Si la force F est appliquee en sens inverse, elle sera de signe negatif.

6.2.5 Poutre en magnetostriction

Certains materiaux ferromagnetiques ont un effet magnetomecanique lors-que ces materiaux sont soumis a des contraintes mecaniques. Cet effet se tra-duit par une modification de la susceptibilite magnetique χ et de la permeabi-lite relative puisque µr = 1 + χ .

Pour detecter la variation de susceptibilite (ou de permeabilite) magneti-que, il suffit de mettre ce materiaux au centre d’une bobine de fil. Il seradonc le noyau de la bobine de fil qui constitue une inductance.

En effet, une bobine de fil possede une inductance L calculee comme suit :

L =N2µ0µrA

l(6.12)

avec N , le nombre de spires ; µ0 = 4π×10−7 H/m, la permeabilite magnetiquedu vide ; µr, la permeabilite relative du noyau ; l, la longueur du circuitmagnetique et A, la surface de la section de la bobine.

A titre d’indication, la permeabilite magnetique relative de l’air est µr =1.0000004, celle du Permalloy 45 (Alliage avec 55 % de fer et 45 % de Nickel)est µr = 23000 et celle du Permalloy 65 (Alliage avec 35 % de fer et 65 % deNickel) est µr = 600000.

La mesure de l’inductance L permet de deduire la force appliquee sur lapoutre, via les variations de la permeabilite magnetique relative.

Pour la suite de ce chapitre, nous ne considerons que les corps d’epreuvesqui reagissent par des deformations. Les elements de transduction pour me-surer ces deformations sont maintenant presentes.


6.3 Les elements de transduction

6.3.1 Mesure de la deformation d’un ressort

La mesure de la deformation d’un ressort peut etre faite en utilisant unpotentiometre ou un LVDT.

Ces techniques de mesures furent presentees au chapitre sur la mesure dedeplacement et de distance.

6.3.2 Jauge extensiometrique

La deformation des fibres inferieures ou superieures d’une poutre soumisea une contrainte etant de tres faible amplitude, il faut recourir a des jaugesextensiometriques (ou jauges de contraintes) pour en faire la mesure.

Figure 6.7 – Jauges extensiometriques

Une jauge de contrainte est une resistance dans une pellicule plastifiee quel’on colle soigneusement sur la poutre dont on doit mesurer la deformation.

L’emplacement et l’orientation de la jauge peut avoir un effet sur la qualitede la mesure.

Le principe de fonctionnement de la jauge de contrainte repose sur lechangement de resistance que subit un conducteur electrique soumis a unedeformation.

Un conducteur electrique de resistivite ρ (en ohm-m), d’une longueur l (enmetres) et d’une section A (en m2) possede une resistance electrique definiepar :

R = ρl

A(6.13)

La valeur de la resistance change lorsque le conducteur electrique est soumisa une contrainte entrainant sa deformation.

6.3. LES ELEMENTS DE TRANSDUCTION 135

Lorsque le conducteur se deforme d’une longueur ∆l (solidairement avecle corps rigide sur lequel elle est collee), plusieurs effets se superposent.

Premierement, la resistance changera de valeur en raison de l’allongement∆l. L’effet de l’allongement est represente par :

∆R

R=

∆l

l(6.14)

avec ∆R, la variation de resistance resultant de la variation de la longueur∆l. Ce que cette equation nous indique, c’est que si cet effet etait le seul aavoir lieu, un changement de longueur de 1 % entraıne un changement deresistance de 1 % puisque les variations unitaires sont les meme.

Deuxiemement, l’allongement du conducteur d’une longueur ∆l entrainela diminution de la section du conducteur. C’est un phenomene bien connuen resistance des materiaux, lorsqu’une barre subit une force de traction, elles’allonge, mais en vertu de la loi de Poisson, sa section diminue. Comme unelastique que l’on etire.

Le rapport entre l’allongement unitaire, qui est definit par le rapport∆l/l, et le changement de surface est defini par la loi de Poisson :

∆A

A= −2ν

∆l

l(6.15)

ou le parametre ν est le coefficient de Poisson. Le signe moins indique que lasection diminue avec l’allongement.

Troisiemement, un autre effet du a la deformation de la jauge, c’est l’ef-fet piezoelectrique. Cet effet est provoque par le changement de la mobilitedes electrons dans le conducteur, car la contrainte affecte la structure duconducteur. Cela entraine un changement de la resistivite du conducteur. Onexprime cet effet par la relation suivante :

∆ρ

ρ= C

∆V

V(6.16)

avec C la constante de Bridgman. Comme le volume du conducteur est egalau produit de la section A par la longueur l, la relation devient alors :

∆ρ

ρ= C(1− 2ν)

∆l

l(6.17)

La combinaison des trois effets causes par une contrainte dans un conduc-teur se resume par cette equation :

∆R

R= (1 + 2ν + C(1− 2ν))

∆l

l(6.18)


Le terme (1 + 2ν + C(1− 2ν)) depend du conducteur electrique utilise et ilest designe sous le vocable facteur de jauge. C’est une specification impor-tante du manufacturier.

Le facteur de jauge G est ainsi definit par :

G = 1 + 2ν + C(1− 2ν) (6.19)

ce qui mene a :∆R

R= G

∆l

l(6.20)

Divers materiaux peuvent etre utilises dans les jauges extensiometriques.Les conducteurs ont generalement des facteurs de jauge G de l’ordre de 1.8a 2.4 environ. Les semi-conducteurs ont des facteurs de jauge plus eleves, del’ordre de 50 a 200. Les jauges a semi-conducteurs sont donc plus sensibles.Toutefois, les materiaux semi-conducteurs sont beaucoup moins ductiles queles materiaux conducteurs.

Pour donner un ordre de grandeur, definissons tout d’abord le strain.Cette unite represente la deformation par unite de longueur, que l’on connaitsous le vocable ”deformation unitaire”. Normalement, la deformation unitairene comporte pas d’unites, mais certains auteurs preferent utiliser le ”strain”.

Comme les deformations des materiaux sont d’une tres faible amplitude,on utilise habituellement le micro-strain, ce qui correspond a une deformationunitaire de 1 micro-metre par metre de longueur du conducteur 1.

Les jauges de contrainte utilisant des conducteurs tolerent des extensionsmaximales de 0.1 a 40000 micro-strains. Ceux utilisant des semi-conducteurstolerent des extensions maximales de 0.001 a 0.003 micro-strain.

Les specifications des manufacturiers a considerer pour la selection d’unejauge de contrainte sont :• Le facteur de jauge ;• La deformation maximale acceptable ;• La duree de vie utile ;• La resistance de la jauge au repos.La jauge de contrainte possede une valeur de resistance au repos. La

resistance change avec l’allongement du conducteur due a la contrainte quela jauge subit.

Supposons une jauge de contrainte metallique avec un facteur de jaugeG = 2.4 et une deformation unitaire maximale de 40000 micro-strains.

1. Ce pourrait aussi etre un micro-pied par pied.


Le changement maximal de resistance lorsque la jauge est en traction est :

∆R

R= G

∆L

L= 2.4× 40000× 10−6 = 0.096

Ce qui implique un changement de resistance de 9.6 % a l’allongement maxi-mum. En repetant cet exercice avec une jauge de contrainte a semi-conducteur,avec G = 200 et ∆L/L = 0.003 × 10−6, on trouve un changement maximalde resistance de 0.6× 10−4 %.

Ces faibles variations de resistance electrique menent a la question sui-vante : comment les mesurer ? Un pont de Wheatstone permet de mesurerces variations de resistance de jauge.

Generalement, la jauge au repos est de 350 Ohms ou 1200 Ohms, selonle manufacturier. Les jauges de contraintes possedent une duree de vie limiteindiquee sous forme du nombre de cycles (extension/compression) que peutsubir la jauge.

6.3.3 Pont de Wheatstone

Pour detecter les faibles variations de resistances, on peut utiliser un pontde resistance dit pont de Wheatstone (Figure 6.8).

Figure 6.8 – Pont de Wheatstone

En analysant le circuit en Figure 6.8, on peut calculer la tension en sortiedu pont Vm comme suit :

Vm = Vcc

(Rc

R1 +Rc

− R3

R2 +R3

)(6.21)


avec Vcc la tension d’alimentation du pont, Rc la resistance de la jauge et R1,R2 et R3 les autres resistances du pont.

Pour simplifier le montage, on choisi les trois resistances du pont toutesidentiques, i.e., R1 = R2 = R3 = R. De plus, la valeur de la resistance R estla valeur de la resistance nominale de la jauge au repos.

Ce qui permet de reecrire la tension en sortie du pont Vm :

Vm = Vcc

(Rc

R +Rc

− R

R +R

)= Vcc

(Rc

R +Rc

− 1

2

) (6.22)

Pour simplifier encore plus l’analyse, on definit que la resistance de lajauge en deformation est Rc = R+ ∆R avec ∆R la variation de la resistancede la jauge par rapport a sa valeur au repos (R).

La tension en sortie du pont Vm devient :

Vm = Vcc

(R + ∆R

R +R + ∆R− 1

2

)= Vcc

(R + ∆R

2R + ∆R− 1

2

)= Vcc

(∆R

2(2R + ∆R)

) (6.23)

Il est evident que la relation entre Vm et ∆R est non-lineaire.On peut lineariser la relation en remplacant la resistance R1 par une

resistance de jauge se comportant a l’inverse de la resistance de jauge Rc, i.e.R1 = R−∆R.

Ainsi, la tension en sortie du pont Vm serait :

Vm = Vcc

(R + ∆R

R−∆R +R + ∆R− 1

2

)= Vcc

(R + ∆R

2R− 1

2

)= Vcc

(∆R

2R

) (6.24)

La relation entre Vm et ∆R est maintenant lineaire. Et, en prime, la sensibiliteest doublee.


On peut s’interesser au ratio entre la tension de sortie et la tensiond’alimentation Vm/Vcc. Ou plus exactement a la difference entre le ratio encontrainte et le ratio au repos que l’on identifie par Vr :

Vr =VmVcc

∣∣∣∣contrainte

− VmVcc

∣∣∣∣repos

(6.25)

Ainsi pour le pont avec une seule jauge, lorsque la jauge est au repos,∆R = 0 Ohm ce qui implique que Vm = 0 V.

En charge, avec un allongement unitaire ε, comme ∆R = RGε alors Vms’ecrit :

Vm = Vcc

(RGε

2(2R +RGε)

)(6.26)

et la difference des ratios Vr est :

Vr =RGε

2(2R +RGε)(6.27)

La courbe de la relation entre Vr et ε est montree en Figure 6.9 pour unejauge metallique. Bien que la fonction soit non-lineaire, cela ne se voit pastrop sur la figure.

Figure 6.9 – Relation Vr vs ε pour une jauge de 350 Ohms ayant un facteurde jauge de G = 2.4


A partir de cette equation, on peut trouver la deformation unitaire cor-respondant a une valeur Vr donnee :

ε =4Vr

G(1− 2Vr)(6.28)

Dans le cas du montage a deux jauges (Rc et R1), l’equation serait :

ε =2VrG

(6.29)

A titre d’exercice, vous pouvez en faire la demonstration.

6.3.4 Jauge a deux fils

Il peut arriver que la jauge ne soit pas a proximite du pont de Wheatstone.La jauge de contrainte est alors reliee au pont par une paire de fils quiintroduisent leur resistance (Rf par fil) en serie avec la resistance de la jauge(Figure 6.10). Ce qui implique que la resistance de jauge vue par le pont estRc + 2Rf = R + ∆R + 2Rf .

Figure 6.10 – Pont de Wheatstone avec jauge a deux fils

Dans cette configuration, la tension en sortie du pont Vm est :

Vm = Vcc

(Rc

R +Rc

− 1

2

)= Vcc

(R + ∆R + 2Rf

2R + ∆R + 2Rf

− 1

2

)= Vcc

(∆R + 2Rf

2(2R + ∆R + 2Rf )

) (6.30)


Maintenant, lorsque la jauge est au repos (∆R = 0), le rapport Vm/Vccn’est plus nul, mais plutot egal a :

VmVcc

∣∣∣∣repos

=Rf

2(R +Rf )(6.31)

et la deformation est calculee de la facon suivante :

ε =4Vr

G(

RR+Rf

− 2Vr

) (1 +Rf

R

)≈ 4VrG (1− 2Vr)

(1 +

Rf

R

)(6.32)

puisque R >> Rf .

6.3.5 Jauge a trois fils

Pour reduire l’erreur induite par une jauge a deux fils, on peut en uti-liser une a trois fils (Figure 6.10). Dans ce cas, la resistance de jauge vuepar le pont est Rc = R + ∆R + Rf et la resistance R1 devient R + Rf .Le troisieme fils introduit aussi une resistance Rf , mais il est en serie avecl’impedance d’entree du systeme qui mesure la tension Vm. Comme cetteimpedance d’entree est normalement tres elevee, l’effet de la resistance de cetroisieme fil est neglige.

Figure 6.11 – Pont de Wheatstone avec jauge a trois fils


Avec la jauge a trois fils, la tension en sortie du pont Vm est :

Vm = Vcc

(Rc

R +Rf +Rc

− 1

2

)= Vcc

(R + ∆R +Rf

2R + ∆R + 2Rf

− 1

2

)= Vcc

(∆R

2(2R + ∆R + 2Rf )

) (6.33)

et la deformation est calculee a partir de Vr comme suit :

ε =4Vr

G(1− 2Vr)

(1 +

Rf

R

)(6.34)

6.4 Bilan

La mesure de force peut etre obtenue par la mesure de la deformationd’une jauge de contrainte collee sur l’element dont on mesure la deformation.

Les jauges metalliques presentent les caracteristiques suivantes :• Bonne precision ;• Plage d’utilisation en temperature etendue ;• Electronique de traitement simple (pont de resistance) ;• Facteur de Jauge faible ;• Probleme de vieillissement de la colle.Les jauges a semi-conducteurs presentent les caracteristiques suivantes :• Tres bonne precision ;• Facteur de jauge eleve (gain) ;• Integration possible des circuits de traitement ;• Miniaturisation possible ;• Derive importante avec la temperature ;• Probleme de vieillissement de la colle.Heureusement, nous n’avons que rarement a fabriquer un capteur de force

complet en choisissant son corps d’epreuve et la jauge de contrainte. Endimensionnant le corps d’epreuve en fonction de l’etendue de mesure de laforce et la deformation maximale que peut supporter la jauge.

Il existe des capteurs de forces ou le montage complet est fait. On lesdesigne sous le nom de cellules de charges (en anglais ”load cell”). Il restesimplement a choisir la cellule de charge en fonction de l’etendue de mesure

6.4. BILAN 143

de la force a mesure, de la nature de cette force (traction, compression) etde l’espace disponible. Certaines cellules de charges sont plus encombrantesque d’autres. Bien sur, l’aspect budgetaire est un autre element important,comme la precision requise pour la mesure de la force.

Chapitre 7

La mesure de couple

La mesure de couple n’est pas une mesure facile a faire, en particulier surdes pieces en rotation.

La mesure du couple est basee principalement sur la mesure d’une force,puisque le couple T peut etre considere comme une force F appliquee sur unbras de levier de longueur l :

T = Fl (7.1)

Quatre approches peuvent etre utilisees pour mesurer le couple :• Mesure de couple par jauges ;• Mesure du couple par torsion ;• Mesure du couple par reaction ;• Mesure du couple par le courant.

7.1 Mesure du couple par jauge

La mesure du couple peut etre faite en utilisant des jauges de contraintes.Elle se fait en inserant une piece mecanique entre la partie sur laquelle uncouple est applique et une autre partie qui recoit ce couple (Figure 7.1).L’effort est transmit par les deux plaques metalliques trouees reliant les deuxsections de la piece.

Un gros plan de l’une de ces plaques est montre en Figure 7.2. Un trou estperce pour provoquer des concentrations de contraintes (et ainsi augmenterla sensibilite) et des jauges de contraintes y sont installees.

Les contraintes mesurees sont proportionnelles au couple entre les deuxelements connectes a cette piece mecanique. Generalement, ce systeme ne

145

146 CHAPITRE 7. LA MESURE DE COUPLE

Figure 7.1 – Piece mecanique pour la mesure de couple par jauge

Figure 7.2 – Detail de la piece mecanique transmettant l’effort

7.2. MESURE DU COUPLE PAR TORSION 147

Figure 7.3 – Capteur de couple par jauge de Futek 1

permet pas de grande rotation, puisque les jauges de contraintes doiventetre connectees avec un systeme d’acquisition. Toutefois, la compagnie Futekvend un capteur de couple par jauge (Figure 7.3) en mesure de fonctionnersur un systeme tournant, en utilisant un systeme de balais et de bagues pourtransmettre les signaux des jauges.

7.2 Mesure du couple par torsion

La mesure du couple par torsion est basee sur la torsion subie par unarbre soumis a un couple (Figure 7.4).

A chaque extremite de l’arbre sont installes des roues dentees metalliqueset deux detecteurs de proximite inductifs. Lorsque l’arbre tourne et qu’aucuncouple n’est present, il n’y a pas de torsion et le dephasage entre les deuxsorties des detecteurs est egal a 0◦.

Lorsque l’arbre subit un couple T , l’arbre subit une torsion et un depha-sage apparait entre les deux sorties des detecteurs. La relation entre le coupleT (Newton-metre) et le dephasage θ (en radians) est :

T =GJθ

lN(7.2)

ouG represente le module en cisaillement du materiau de l’arbre, J representeson moment d’inertie, l represente la distance entre les capteurs et N lenombre de dents des roues dentees metalliques.

Ce qui est interessant avec cette approche, c’est que la mesure peut etrefaite sur une machine tournante.

1. Source de l’image en Figure 7.3 : www.futek.com


Figure 7.4 – Mesure du couple par torsion

7.3 Mesure du couple par reaction

Cette technique de mesure utilise le fait que lorsqu’un moteur electriqueapplique un couple sur une charge, il subit en reaction un couple de memeintensite, mais en sens contraire.

Ainsi, pour mesurer le couple par reaction, il est necessaire de monterle moteur sur une base avec des roulements a billes. Donc, la base ne peutrecevoir le couple de reaction du moteur en raison de ces roulements a billes(si on neglige le frottement de ces roulements). Si le moteur etait laisse libre,sans attaches (autre que les roulements a billes), il entrerait en rotation enraison de ce couple de reaction. Le moteur est maintenu fixe en installantune piece metallique empechant sa rotation (Figure 7.5). Cette piece subitalors une force de reaction FR proportionnelle au couple de reaction TR.

La relation est :

TR = FRL (7.3)

avec L la longueur du bras de levier (voir Figure 7.5).

Toutefois, l’acceleration angulaire du moteur peut venir alterer cette me-sure. Pour le montrer, commencons par dessiner le diagramme des corps libresdu moteur electrique. Ce diagramme est montre en Figure 7.6.

7.4. MESURE DU COUPLE PAR LE COURANT 149

Figure 7.5 – Mesure du couple par reaction

La Figure 7.6 montre que le rotor du moteur subit plusieurs couples :• Le couple moteur Tm que ce moteur applique ;• Les couples de frottement au niveau des roulements a bille Tf1 et Tf2 ;• Le couple de charge TL.La relation mathematique entre ces divers couples est :

Jθ = Tm − Tf1 − Tf2 − TL (7.4)

avec J qui est le moment d’inertie du moteur et θ son acceleration angulaire.Le stator (boitier du moteur) subit le couple de reaction TR et doit etre fixepour ne pas etre entraine en rotation en sens inverse du rotor. La relationmathematique entre les couples au stator est :

TR + Tf1 + Tf2 − Tm = 0 (7.5)

En combinant les deux dernieres equations, on obtient :

TL = TR + Jθ = FRL+ Jθ (7.6)

Cette equation montre qu’il est necessaire de mesurer l’acceleration angulairedu moteur, en plus de la force de reaction FR, pour pouvoir calculer le coupleque le moteur envoie a la charge TL.

7.4 Mesure du couple par le courant

Dans le cas des moteurs a courant continu (CC), le couple moteur Tm estcalcule par le produit du courant d’armature ia, du courant du champ if et


Figure 7.6 – Diagramme des corps libres du moteur electrique

une constante k :Tm = kiaif (7.7)

ou dans le cas d’un moteur a CC a aimants permanents (avec K une constan-te) :

Tm = Kia (7.8)

Cela implique donc de mesurer les courants que le moteur a CC consommeau rotor et au stator.

Cette facon de faire est utilisee en robotique.

Chapitre 8

La mesure de pression

La mesure de pression est une mesure fondamentale, car plusieurs gran-deurs physiques sont mesurees par la variation de pression qu’elles entraınent.Par exemple, le niveau dans un reservoir peut etre mesure par un capteurau bas du reservoir mesurant la pression hydrostatique. De meme, le debitpeut etre mesure par la chute de pression que cause un obstacle dans uneconduite. Autre exemple, la temperature peut etre mesuree en observant lapression d’un gaz soumis a cette temperature.

Bien sur, la mesure de pression peut etre utilisee pour mesurer la grandeurphysique de pression.

8.1 Introduction

8.1.1 Notions de base

Avant d’aller plus avant, rappelons quelques notions de base. En premierlieu, la pression P d’un fluide est la force que ce fluide exerce F , par unitede surface A, perpendiculairement a cette surface : P = F/A . Si le fluide estimmobile, ou si la normale de la surface est perpendiculaire au deplacementdu fluide (Figure 8.1), cette pression est dite pressions statique.

Si le fluide est en mouvement, il y a apparition de la pression dynamique.La somme de la pression statique et dynamique est appelee pression totale.La pression totale est appliquee sur une surface dont la normale est paralleleau mouvement du fluide (Figure 8.2).

Pour donner une image claire, imaginez une personne au volant d’une

151

152 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION

Figure 8.1 – La pression statique

Figure 8.2 – La pression totale et dynamique

8.1. INTRODUCTION 153

Figure 8.3 – Le principe de Pascal

voiture circulant sur l’autoroute. Si elle garde sa main gauche dans la voi-ture, celle-ci subit la pression atmospherique qui est une pression statique.Si, elle sort la main par la fenetre avec la paume vers l’avant, alors la pressionressentie sur la paume est la pression atmospherique auquel vient s’addition-ner une pression dynamique due au mouvement de l’air etant donne que lavoiture est en mouvement. Cette pression dynamique exige de la personnequ’elle doive user de ses muscles pour que sa main ne change pas de position.

8.1.2 Principe de Pascal

Le principe de Pascal est un autre element a connaitre lorsque l’on abordele sujet de la mesure de pression. Ce principe se base sur le fait que lapression exercee sur un fluide est transmise dans tous les sens et est appliqueeperpendiculairement a la surface du fluide.

Ainsi, supposons qu’une force de 125 livres est appliquee a un piston ayantune section de 2 pouces carres (Figure 8.3). L’ensemble du volume de fluideest donc soumis a une pression de 62.5 livres par pouce carre (P = F/A = 125lbs/2 po2). Si ce fluide est en contact avec un autre piston de 20 pouces carres,alors la pression appliquee sur ce piston sera de 1250 livres (F = P A = 62.5


Figure 8.4 – Verins hydraulique 1

lbs/po2 × 20 po2).En termes mathematiques, puisque la pression est egale partout et qu’une

pression est le rapport d’une force sur une surface, alors on peut ecrire :

P1 = P2

F1

A1

=F2

A2

(8.1)

et ainsi, on peut deduire la force au point 2 a partir de la force au point 1 etdu rapport des surfaces :

F2 =A2

A1

F1 (8.2)

Ce principe est utilise pour amplifier une force, car si la surface A2 estegale a kA1, alors la force F2 resultante sera k fois la force F1. Un verinhydraulique (Figure 8.4) utilise ce principe pour permettre a une personnede soulever des charges elevees.

8.1.3 Unites de mesure

Les unites de mesures utilisees pour quantifier la pression sont diverseset exigent d’etre expliquees. Tout d’abord, il est necessaire de distinguerentre : la pression absolue, la pression relative et la pression differentielle.

1. Source de l’image de la Figure 8.4 : www.allproducts.com

8.1. INTRODUCTION 155

La pression absolue est la pression thermodynamique, par rapport au videabsolu. La pression ne peut etre qu’une valeur positive ou egale a 0 dans levide absolu. Puisque nous vivons sur une planete dotee d’une atmosphere,cette derniere exerce une pression dite atmospherique. Lorsque la pression estmesuree par rapport a la pression atmospherique, on l’identifie sous le nomde pression relative. La pression relative peut prendre une valeur positiveou negative. La pression relative est negative lorsque l’on mesure la pressiond’un vacuum.

Dans certaines applications, on desire connaıtre la difference de pression.C’est le cas d’un debitmetre a organe deprimogeme, ou ce qui est mesure c’estla chute de pression provoquee par un obstacle intentionnellement introduitdans la conduite. Dans ce cas, la mesure en est une de pression differentielle.

Passons maintenant aux unites de mesure de pression. Dans le systemeimperial, l’unite la plus couramment utilisee est la livre par pouce carre, quel’on identifie par l’acronyme psi (pound per square inch). Pour distinguer sila pression est relative ou absolue, un suffixe est ajoute. Un psig identifie unepression relative (psi gage) alors qu’un psia identifie une pression absolue (psiabsolute). La pression atmospherique est de 14.7 psia ou 0 psig.

Dans le systeme metrique, la pression est mesuree en Pascal. Toutefois, lePascal est une tres petite unite, car elle correspond a une force de 1 Newtonappliquee sur une surface de 1 metre carre. Ainsi, les pressions du systememetrique sont souvent exprimees en kilopascal ou en megapascal. La pressionatmospherique est de 101325 Pa ou 101.325 kPa. Un psi equivaut a 6894.7Pa.

D’autres unites de mesure sont aussi utilisees :• La pression en millimetre de mercure (Hg) ou en torr : 1 mm Hg =

1 torr = 133 Pa ;• La pression en pouce de mercure : 1 po Hg = 0.49 psi = 3386.39 Pa ;• La pression en pouce d’eau : 1 psi = 27.7 po. H2O ;• La pression en bar : 1 bar = 100 kPa ;• La pression en atmosphere.Du cote imperial, la pression est aussi souvent identifie par une hauteur

manometrique dite ”tete d’eau” dans le langage populaire. Quand on indiquequ’une pompe a une tete d’eau de 200 pieds, cela implique que la pressionfournie par la pompe equivaut a la pression hydrostatique qu’une colonned’eau d’une hauteur de 200 pieds. Sachant qu’il y a 12 pouces dans un piedet qu’un psi est egal a 27.7 pouces d’eau, il est donc possible de convertir unehauteur manometrique en psi, ou en tout autre unite de mesure.


La hauteur manometrique represente en fait une pression dite hydrosta-tique. Cette pression est representee par l’expression mathematique suivante :

P = ρgh (8.3)

La pression depend de la masse volumique du fluide ρ, de l’acceleration dela pesanteur g et de la hauteur de fluide h au dessus du point de mesure. Et,cette pression est independante du volume de liquide au dessus du point demesure. Un plongeur nageant a 3 metres de profondeur ressentira la memepression qu’il soit dans une piscine ou dans un lac (en assumant une massevolumique identique a ces deux endroits pour l’eau). On peut convenir qu’unepiscine a un volume d’eau largement inferieur a celui d’un lac.

Le fonctionnement des capteurs de pression est base principalement sur lamesure de la deformation de corps d’epreuve. Les capteurs pression couvertsdans ce chapitre sont enumeres dans la liste suivante :

• Manometre a section uniforme ;• Manometre a reservoir ;• Tube de Bourdon ;• Capsule aneroıde ;• Soufflet ;• Membranes.

8.2 Manometres a section uniforme

Le manometre a section uniforme (Figure 8.5) est represente par un tubeen U, de section constante A, dont chaque branche recoit une pression : P1

d’un cote et P2 de l’autre cote. On suppose que P1 ≥ P2. Le tube est remplid’un liquide uniforme de masse volumique ρ.

La pression P1 appliquee sur la surface A donne une force F1 = P1 A. Dememe, la pression P2 appliquee sur la surface A donne une force F2 = P2A. Siles pressions sont d’amplitudes differentes, il en sera de meme pour les forceset cela entraınera un mouvement du liquide. Un point d’equilibre sera atteintet la colonne de liquide du cote subissant la haute pression (P1) sera a unniveau inferieur celle du cote basse pression (P2). La difference de niveau hentre les deux cotes du tube en U fera en sorte qu’une masse de liquide ρAhsupplementaire sera presente du cote basse pression. Ainsi, la force F1 seracontrebalancee par la force F2 et la force de la gravite associee a la masse de

8.3. MANOMETRES A RESERVOIR 157

Figure 8.5 – Manometre a section uniforme

liquide supplementaire. Cette force est :

Fm = ρgAh (8.4)

Donc :

F1 = F2 + Fm = F2 + ρgAh (8.5)

ou encore en divisant les deux cotes par la section A :

P1 = P2 + ρgh (8.6)

On peut interpreter l’equation (8.6) de la facon suivante : la hauteur hest proportionnelle a la difference de pression ∆P = P1 − P2, car :

h =∆P

ρg(8.7)

Le manometre a section uniforme est sensible a la variation de temperature.Lorsque la temperature varie, cela change la masse volumique ρ du liquide,puisque son volume augmente. Une image representant ce phenomene, c’est lethermometre au mercure ou le volume du mercure change avec la temperature(c’est pourquoi on utilise le mercure dans certains thermometres). Si cephenomene est desirable pour mesurer la temperature, il est tres nuisiblepour la mesure d’une difference de pression, car elle sera faussee.


Figure 8.6 – Manometre a reservoir

8.3 Manometres a reservoir

Le manometre a reservoir (Figure 8.6) est une variante du manometre asection uniforme. Une pression P1 est appliquee au reservoir de section A1 etune pression P2 (inferieure ou egale a P1) est appliquee au tube de section A2

(inferieure a A1). Comme pour le manometre a section uniforme, le liquide sedeplace a un nouveau point d’equilibre lorsque les pressions P1 et P2 different.

Du cote du reservoir, la pression totale est la somme de la pression P1 et lapression hydrostatique du reservoir ρg(L − h). Du cote du tube, la pressiontotale est la somme de la pression P2 plus la pression hydrostatique de lacolonne ρg(L+H). Ces deux pressions etant egales, on peut ecrire :

P1 + ρg(L− h) = P2 + ρg(L+H) (8.8)

Ce qui peut etre simplifie a :

∆P = P1 − P2 = ρg(h+H) (8.9)

Le volume de liquide deplace dans le manometre est represente par undiminution de hA1 dans le reservoir ou un gain de HA2 dans la colonne.

8.4. TUBE DE BOURDON 159

Ces deux quantites sont par consequent egales, ce qui fait que h et H sontproportionnels :

h = HA2

A1

(8.10)

Si la section A1 du reservoir est beaucoup plus grande que la section A2 dutube (A1 >> A2), alors on peut negliger la hauteur h dans l’equation (8.9) :

∆P ≈ ρgH (8.11)

Pour les memes raisons que pour le manometre a section uniforme, lemanometre a reservoir est sensible a la variation de temperature.

8.4 Tube de Bourdon

Le tube de Bourdon est un corps d’epreuve souvent utilise dans les ma-nometres de pression (Figure 8.7). Il consiste en un tube plie en force de”C” (Figure 8.8). Lorsque l’interieur du tube subit une pression, celle-ci estappliquee sur toutes les parois du tube.

Figure 8.7 – Tube de Bourdon


En raison de la forme du tube, la surface a l’interieur du ”C” est superieurea celle a l’exterieur du ”C”. Cette difference de surface entraine l’apparitiond’une force de torsion lorsqu’une pression est appliquee sur le tube. Cetteforce tend a redresser le tube, exactement comme les serpentins dans lesquelsles enfants soufflent lors de fetes d’anniversaire (Figure 8.9). La deformationdu tube est amplifiee par un mecanisme a pignons et engrenages.

Figure 8.8 – Schema de principe du tube de Bourdon

Ce capteur existe en diverses versions pour augmenter la sensibilite : lestubes en helice et en spirale (vue de cote d’un tube en spirale montree enFigure 8.10).

Le tube de Bourdon est une invention d’Eugene Bourdon (1808-1884).

8.5 Manometre a soufflet (Bellows)

Un manometre a soufflet (Figure 8.11) peut etre utilise pour mesurer unepression. Cette pression s’applique sur la surface interieure du soufflet et l’al-longe. Cet allongement peut etre mesure de differentes facons. Generalement,c’est un mecanisme mecanique entrainant le mouvement d’une aiguille. Lors-

8.6. CAPSULE ANEROIDE 161

Figure 8.9 – Serpentin

Figure 8.10 – Tube de Bourdon en spirale

que le soufflet est metallique, la plage de mesure disponible varie de 0.5 a 75psig. Avec un ressort, on peut monter jusqu’a 1000 psig.

8.6 Capsule aneroıde

Les capsules aneroıdes sont une variante des soufflets. Une capsule aneroıdepeut etre une capsule etanche en forme de disque dont le vide a ete fait al’interieur. Les variations de la pression a l’exterieur de la capsule causent sadeformation que l’on mesure pour deduire la pression. La capsule aneroıdepeut aussi etre recevoir la pression a mesurer de l’interieur, comme montre


Figure 8.11 – Schema d’un manometre a soufflet

en Figure 8.12.

2. Source de l’image de la Figure 8.12 en page 163 : nzdl.sadl.uleth.ca

8.7. MANOMETRE A MEMBRANE 163

Figure 8.12 – Manometre a capsules aneroıdes 2

8.7 Manometre a membrane

La membrane est l’un des corps d’epreuve les plus utilises pour la mesurede pression. La difference de pression entre les deux cotes d’une membraneentraıne sa deformation. Un systeme mecanique peut faire deplacer une ai-guille en fonction de la deformation Figure 8.13.

La deformation centrale de la membrane est calculee par :

∆P = P − Pref

=16Ee4

3R4(1− ν2)

(z

e+ 0.488

(ze

)3)

(8.12)

La difference de pression P − Pref cause un deplacement du centre de lamembrane d’une amplitude z. Les parametres utilises dans l’equation ci-dessus sont : le module de Young E qui depend du materiau de la membrane ;le coefficient de Poisson ν ; le rayon R de la membrane ; et l’epaisseur e de lamembrane.

3. Source de l’image de la Figure 8.13 en page 164 : www.eurojauge.fr


Figure 8.13 – Manometre a membrane 3

Si l’amplitude du deplacement z est faible devant l’epaisseur e, on peutnegliger le terme eleve au cube :

∆P ≈ 16Ee4

3R4(1− ν2)

(ze

)(8.13)

On peut aussi mesurer la deformation elastique de la membrane avec unejauge de contrainte. La deformation radiale εr est :

εr =3∆P (1− ν2)

8Ee2(R2 − 3x2) (8.14)

pour une jauge localisee a une distance x du centre de la membrane circulaire.La deformation tangentielle εt pour une jauge localisee a la meme distance

du centre est :

εt =3∆P (1− ν2)

8Ee2(R2 − x2) (8.15)

8.8 Montage des manometres au procede

Pour assurer des mesures de bonne qualite, il est recommande de suivrecertaines regles de montage lorsque l’on installe un manometre.

Lorsque l’on connecte un manometre pour mesurer une pression sur uneconduite, il faut s’assurer que la conduite du manometre n’entre pas dans la

8.8. MONTAGE DES MANOMETRES AU PROCEDE 165

Figure 8.14 – Montage sur une conduite

conduite, car il en resulterait des turbulences affectant la mesure (dessin degauche a la Figure 8.14). Il est recommande que la connexion du manometrea la conduite ressemble a ce qui est montre au dessin de droite de la Figure8.14.

Un manometre necessitant d’etre calibre a intervalle regulier, il est forte-ment recommande d’inserer un robinet d’isolation/calibration (Figure 8.15)entre le manometre et le procede.

Cela permet par exemple de calibrer un manometre localise au bas d’unreservoir, sans avoir a vider ce dernier.

Le robinet a deux voies est utilise pour les manometres a pression rela-tives qui ne comporte d’une entree, puisque la pression de reference est lapression atmospherique. Le robinet a trois voies est utile pour les manometresa pression differentielle qui comportent deux entrees de pression.

8.8.1 Montage pour un gaz non-corrosif

La Figure 8.16 montre deux exemples de montage pour mesurer la pres-sion d’un gaz non-corrosif (dont l’air) peu propice a la condensation.

Si le manometre est monte au dessus du point de connexion au procede, ilfaut s’assurer que la condensation (meme minime) vienne affecter la mesure.Il faut donc se brancher au haut des conduites de gaz. Il faut aussi prevoirune pente d’environ 1 pouce par pied (environ 85 mm par metres), sur leconduit connectant le manometre au procede, pour drainer le condensat versla conduite (ou le reservoir).

Si le manometre est monte sous le point de connexion, il faut installer un


Figure 8.15 – Robinets d’isolation/calibration

petit reservoir sous le manometre pour accumuler le condensat, sans que lamesure soit affectee (voir Figure 8.17 en page 168).

Il faut veiller a drainer le reservoir a intervalle regulier pour eviter que lecondensat vienne affecter la mesure.

Remarquez, en Figure 8.16, la presence d’une valve et d’un te a proximitedes manometres pour en faciliter la calibration et la maintenance.

8.8.2 Montage pour un gaz condensable

Les Figures 8.18 (page 169) et 8.19 (page 170) montrent deux exemplesde montage pour mesurer la pression d’un gaz non-corrosif mais condensable(par exemple, la vapeur).

Puisque le gaz est condensable, il faut donc faciliter le plus possiblel’evacuation du condensat pour eviter de perturber la mesure.

Si le manometre est localise au dessus du point de connexion au procede,la Figure 8.18 montre un montage similaire au cas ou le gaz etait peu conden-sable.

La difference reside dans la pente du conduit connectant le manometreau procede qui est double a 2 pouces par pieds.


Figure 8.16 – Montage d’un manometre pour mesurer la pression d’un gaznon-corrosif ou d’air (peu condensable)

Dans le cas ou le manometre est au-dessous du point de connexion, onne peu plus envisager mettre un reservoir pour recuperer le condensat, carle volume a eliminer serait trop eleve. On doit donc se resoudre a travailleren colonne humide, c’est-a-dire que le conduit connectant le manometre auprocede soit rempli de liquide (le condensat).

Pour s’assurer que le conduit soit plein de liquide, on le connecte au basde la conduite ou du reservoir de gaz. La mesure que le manometre fera serala somme de la pression du gaz plus la pression du condensat (de massevolumique ρ) dans le conduit qui est represente par ρgh.


Figure 8.17 – Montage d’un manometre (detail du reservoir d’accumulationdu condensat)

8.8.3 Montage pour les liquides non-corrosifs

Lorsqu’il faut mesurer la pression d’un liquide non-corrosif (Figure 8.20en page 171), on peut faire face aux memes situations que le gaz, i.e., lemanometre peut etre monte au dessus ou au dessous du point de connexion.La difference avec les gaz, c’est que maintenant, il faut d’assurer que desparticules en suspension ou les saletes ne se retrouvent pas les conduits demesure.

Il faut donc privilegier les connexions au procede sur le cote des conduitesou des reservoirs. Dans ce dernier cas, on recommande une distance de 4pouces (10 cm) du bas du reservoir.

S’il est absolument necessaire de connecter le conduit de mesure sousun reservoir il faut prevoir un petit reservoir pour accumuler les depots,particules et autres saletes qui seraient nefastes pour le systeme de mesure.Cela s’applique au cas ou le manometre est sous le point de connexion. Ilfaut assurer une vidange a intervalle regulier du reservoir.

Si le manometre est localise au dessus du point de connexion au procede,il faut prendre en compte que la pression mesuree sera d’une amplitude ρghinferieure a la pression reelle, en raison de la colonne de liquide de hauteur h(et de masse volumique ρ) dans le conduit entre le manometre et le procede.


Figure 8.18 – Montage d’un manometre pour les gaz condensables et lavapeur (manometre au dessus du point de connexion au procede)

Dans le cas ou la pression est mesuree sur une conduite, on se branche sur lecote pour eviter que les gaz entraıne qui circulent au dessus du liquide entredans le conduit allant au manometre.

Si le manometre est sous le point de connexion au procede, il faut alorsprendre en compte que la pression mesuree sera la pression au procede plusla pression de la colonne de liquide ρgh entre le procede et le manometre.

Lors de l’installation d’un manometre pour mesurer la pression d’un li-quide, il faut s’assurer de remplir les conduits de liquide pour eviter quede l’air y soit piege (le meme processus que les mecaniciens font avec lesconduites d’huile a frein sur les voitures). La Figure 8.21 (en page 172) montrecette operation de ”saignee” du conduit de mesure.

8.8.4 Montage pour un produit (gaz ou liquide) corro-sif

Il est parfois necessaire de mesurer la pression d’un gaz ou d’un liquide cor-rosif. Un produit corrosif etant par definition agressif, il reduirait considera-blement la duree de vie d’un manometre.

Il faut donc faire en sorte de pouvoir mesurer la pression d’un produitcorrosif, sans que le manometre soit en contact avec le dit produit. Commentreussir cet exploit ?


Figure 8.19 – Montage d’un manometre pour les gaz condensables et lavapeur (manometre au dessous du point de connexion au procede)

En utilisant un produit non-corrosif qui est disponible en abondance, l’air.En injectant continuellement de l’air dans le conduit entre le procede et lemanometre, ce dernier etant en contact avec de l’air aura une duree de vieplus grande que s’il etait en contact avec le produit corrosif. La Figure 8.22(en page 173) montre l’installation necessaire pour assurer une mesure viabled’un produit corrosif.

Le manometre est toujours installe au dessus du point de connexion auprocede. Une valve, d’un materiau resistant au produit corrosif, permet d’iso-ler le montage autour du manometre du procede. Cette valve devrait etrefermee des qu’il n’y a plus d’air qui est achemine a l’installation.

L’air qui est achemine vers cette installation devrait etre a au moins deuxfois la pression maximale a mesurer. Un regulateur de pression, suivit d’unmanometre permet de s’en assurer. Il faut aussi ajuster le debit d’air, ce quepermet de faire le ”bulleur”. On recommande d’avoir un debit de 60 bullespar minutes a la pression maximale a mesurer.

En vertu du principe de Pascal un gaz applique la meme pression partoutsur les parois, et la pression de l’air excedant celle de produit corrosif, lesurplus de pression d’air est fait que de l’air est envoye dans la conduite, cequi equilibre la pression de l’air et celle du produit. Donc, la pression vuepar le manometre est egale a celle dans la conduite.

La mesure de niveau par bullage, qui sera presentee dans le chapitresuivant, est fortement inspiree de cette approche.


Figure 8.20 – Montage d’un manometre pour les liquides non-corrosifs


Figure 8.21 – Operation de remplissage des conduites avec du liquide


Figure 8.22 – Montage pour mesurer la pression d’un gaz ou d’un liquidecorrosif

Cours ETS Canada Mesure Force Pression

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