Cours et Travaux Dirigés avec solutions Commande des ... · le débit du conduit reliant...

UNIVERSITE DE SETIF

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE

Cours et Travaux Dirigés avec solutions

Commande des Systèmes Linéaires Multivariables Master 1 Automatisation industrielle et process MAP81

Année universitaire 2019-2020 Rev. 7 20/05/2020

Dr. Sari B.

Ce document est une première version réalisée dans le cadre d’un enseignement du module commande

des systèmes Linéaires Multi-variables pour des étudiants en Master 1 automatisation industrielle et

process , année universitaire 2019-2020. Le volume horaire est de 1h30 cours et 1h30 TD par semaine.

Master 1 Université Ferhat Abbas Sétif 1

Automatisation industrielle et process Faculté de Technologie

Année universitaire : 2019/2020 Département d’Electrotechnique

2 Dr. B. SARI ([email protected])

Table des matières

Programme du module systèmes linéaires multivariables ....................................................................... 3

Chapitre 1 : Introduction ......................................................................................................................... 4

Chapitre 2 : Représentation d’état des systèmes multivariables (SM) ................................................... 4

Chapitre 3 : Commandabilité et Observabilité. (2 Semaines) ................................................................ 4

Chapitre 4 : Représentation des SM par matrice de transfert. (3 Semaines) ........................................ 4

Chapitre 5 : Commande par retour d’état des SM. (2 Semaines) ........................................................... 4

TD1 : Etude d’un procédé hydraulique : partie modélisation ................................................................. 5

(Modèle de connaissance non linéaire, représentation d'état) ............................................................. 5

TD2 : Etude d’un procédé hydraulique : partie linéarisation .................................................................. 7

(Configuration d'étude, modèle linéarisé tangent) ............................................................................... 7

TD3 : Représentation d’état .................................................................................................................... 8

TD4 : Observabilité et commandabilité et formes compagnes .............................................................. 11

TD5 : Commande par retour d’état /Observateur .................................................................................. 14

Solutions et quelques éléments de réponse des différents TD. ............................................................. 16

Suite Chapitre 2 : Résolution de l’équation d’état ................................................................................. 28

Chapitre 3 : Commandabilité et Observabilité ...................................................................................... 35

Chapitre 4-5 : Commande par retour d’état des Systèmes Multivariables ........................................... 53

Références bibliographiques : ............................................................................................................... 67





Programme du module systèmes linéaires multivariables





Chapitre 1 : Introduction (2 Semaines, fait en classe)

1. Objectifs de ce cours,

2. Rappel sur le calcul matriciel,

3. Rappel des notions de l’approche d’état,

4. Différence entre SISO et MIMO.

5. Modélisation

Chapitre 2 : Représentation d’état des systèmes multivariables (SM) (2 Semaines, fait en classe, reste juste le point 5, il est présenté à la fin de ce document)

1. Définitions, stabilité

2. Différentes représentations des systèmes,

3. Linéarisation

4. Exemples d’applications (système à trois cuves, pendule inversé, en TD et TP)

5. Résolution de l’équation d’état (point traité dans ce document en bas)

Chapitre 3 : Commandabilité et Observabilité. (2 Semaines) 1. Introduction,

2. Critère de commandabilité de Kalman, Critère d’observabilité,

3. Dualité entre la commandabilité et l’observabilité,

4. Etude de quelques formes canoniques.

Chapitre 4 : Représentation des SM par matrice de transfert. (3 Semaines)

1. Introduction,

2. Passage d’une représentation d’état à la représentation par matrice de transfert,

3. Forme de Smith-McMillan,

4. Méthode par réduction d’une réalisation

Chapitre 5 : Commande par retour d’état des SM. (2 Semaines) 1. Placement de pôles par retour d’état,

2. Méthodes de calculs pour les systèmes multivariables,

3. Observateur d’état et commande par retour de sortie.





TD1 : Etude d’un procédé hydraulique : partie

modélisation

(Modèle de connaissance non linéaire, représentation d'état)

Le procédé représenté sur la figure (1) est un système hydraulique composé de trois cuves T1, T2 et T3,

d'une bâche B0 et de deux pompes P1 et P2. Chaque cuve est reliée à la bâche par un conduit de section

Sn dont le débit est modulable par une vanne manuelle. De plus deux conduits de mêmes sections,

dont le débit est modulable par une vanne, permettent de relier les cuves T1 et T3 d'une part et les cuves

T2 et T3 d'autre part.

Cuve T1 Cuve T3 Cuve T2

Vanne 10 Vanne 30 Vanne 20

h1

h3

h2 Vanne 13 Vanne 32

Débit Q1 Débit Q2

Bâche B0

P2 P1

Figure 1

Les pompes ont un fonctionnement unidirectionnel et sont contrôlées en débit. Les niveaux d'eau dans

les cuves, notés h1, h2 et h3, sont mesurés par des capteurs placés sur les cuves.

Le boîtier de commande réalise:

• Le contrôle du débit des pompes.

• Le conditionnement des mesures de niveaux des trois cuves.

• La prise en compte des consignes de références.





Sachant que le niveau d'eau de chaque cuve est proportionnel à l'intégrale des débits des différents

conduits.

1. Ecrire les équations dynamiques des trois cuves reliant les différents niveaux d’eaux (h1, h2 et h3)

avec les différents débits Q10, Q20, Q30, ….,Q1 et Q2., avec :

Q30 : débit de la cuve T3 dans la bâche B0

Q13 : débit de la cuve T1 dans la cuve T3

Q32 : débit de la cuve T3 dans la cuve T2

Q1 : débit de la pompe P1

Q2 : débit de la pompe P2

2. Réécrire les trois équations différentielles non linéaires (de la question précédente) sous forme

d'équation d'état, où le vecteur d'état correspond aux trois hauteurs d'eau h1, h

2 et h

3. Les entrées de

commande sont les deux débits Q1 et Q2, les sorties à régler sont les niveaux h1 et h2.

3. Réécrire le modèle d’état en utilisant la loi de Torricelli dont les différents débits peuvent s'écrire

sous la forme suivante:

Q h az S gh a h

Q h az S gh a h

Q h az S gh a h

n

n

n

10 1 10 1 10 1

20 2 20 2 20 2

30 3 30 3 30 3

2

2

2

Q h h az S sign h h g h h a sign h h h h

Q h h az S sign h h g h h a sign h h h h

n

n

13 1 3 13 1 3 1 3 13 1 3 1 3

32 2 3 32 3 2 3 2 32 3 2 3 2

2

2

,

,

où Sn représente la section des conduits entre les différents éléments, et les coefficients aij traduisent

le débit du conduit reliant l'élément i à l'élément j via la vanne Vij. Toutes les vannes sont à la même

hauteur correspondant au niveau zéro.

4. Est-ce que le modèle obtenu constitue le modèle complet du procédé pour chaque valeur de

niveau et chaque configuration de vannes ? Expliquer ?

Sc : section d'une cuve

h1 : hauteur d'eau dans la cuve T1









TD2 : Etude d’un procédé hydraulique : partie

linéarisation

(Configuration d'étude, modèle linéarisé tangent)

A fin d’extraire un modèle d'état linéarisé autour d'un point d'équilibre, la configuration utilisé est la

suivante: les vannes V10 et V30 sont fermées, les vannes V13 et V32 et V20 sont ouvertes. On suppose

aussi qu'il n'y aura pas d'inversion d'écart de niveau entre les cuves et que h1 > h3 > h2 .

1. Au point d’équilibre, écrire le principe de conservation des débits pour chaque cuve.

2. Montrer que les hauteurs d’équilibre h10, h20 et h30 peuvent se mettre sous la forme suivante:

2

20

2120

a

QQh ee ;

2

32

12030

a

Qhh ;

2

13

13010

a

Qhh .

3. En considérant de faibles variations autour du point d'équilibre (Q1e, Q2e, h10, h20, h30), montrer en

linéarisant que le modèle d'état linéaire peut s'écrire sous la forme suivante:

h t A h t B Q t avec

h t

h t

h t

h t

1

2

3

.

4. Montrer que les matrices A et B du système peuvent se mettre sous les formes suivantes :

A

a

S Q

a

S Q

a

S Q

a

S Q Q

a

S Q

a

S Q

a

S Q

a a

S Q

c e c e

c e c e e c e

c e c e c e

132

1

132

1

322

1

202

1 2

322

1

132

1

322

1

322

132

1

20

2

02 2 2

2 2 2

, BSc

11 0

0 1

0 0

,

Valeurs des paramètres:

Hauteur maximale utile des cuves Hmax = 0.3 m;

Section des cuves Sc = 0.0154 m2;

Section des tuyaux Sn = 5 10-5

m2;

Débit maximal de la pompe P1 DP1max = 10-4

m3/s

Débit maximal de la pompe P2 DP2max = 10-4

m3/s

Gravité terrestre g = 9.81;

Coefficient pour le débit de T1 vers B0 az10 = 0.60;



Coefficient pour le débit de T1 vers T3 az13 = 0.50;

Coefficient pour le débit de T3 vers T2 az32 = 0.50;

Position vanne entre cuve i et cuve j (Bâche = cuve 0) Pvij=0 si vanne fermée, Pvij=1 si vanne

ouverte.





TD3 : Représentation d’état

Exercice 1 :

Soit le système mécanique (masse ressort) présenté par la figure suivante :

Il est constitué de deux masses m1 et m2, de trois ressorts de raideurs k1, k2 et k3. Pour simplifier

l’étude on néglige les frottements. Les entrées de ce système sont les forces agissants sur les deux

masses et les sorties sont les deux déplacements des masses (comme indiqué sur la figure). Le

mouvement de ce système est décrit par les deux équations différentielles suivantes :

1ÿ1 +( k1 + k2 ) у1 −k2у2=u1

2ÿ2−k2у1+( k1 + k2 ) у2 =u2

1. Donner une représentation d’état de ce système.

2. En déduire la matrice de transfert par deux méthodes.

Exercice 2 :

Les équations différentielles du mouvement d’un pendule simple présenté par la figure suivante sont

données par :

Où Mc et Jeq sont respectivement la masse du chariot et l’inertie équivalente du

système.

Beq et Bp sont les coefficients des frottements visqueux du chariot et du pendule.

Lp et Jp sont la langueur et l’inertie de la tige du pendule.

La force Fc appliquée sur le chariot est la seule entrée de commande de ce système.

En utilisant les positions et les vitesses (du chariot et du pendule) comme variables d’état, et en

utilisant également la position du chariot x1 et l’angle du pendule x2 comme variables de sortie :





Sachant que les conditions initiales de toutes les variables sont nulles :

1. Pour des petites variations de la tige du pendule autour l’angle 0, linéariser les deux équations

différentielles dynamiques du système autour de ce point d’équilibre nul (c'est-à-dire conditions

initiales nulles).

2. Donner une représentation d’état linéaire de ce système.

Exercice 3 :

Soit le système décrit par les équations différentielles suivantes :

1. Donner une représentation d’état de ce système (prenez comme sorties y1 et y2).

2. Donner son diagramme structurel.

Exercice 4 :

Soit le circuit électrique suivant. Donner sa représentation d’état en utilisant les variables d’état

mentionné mentionnées dans le circuit. Utiliser les variables suivantes: C1=3F , C2=1F , R1=1Ω ,

R2=2Ω , L=2H

Exercice 5 :

Considérons la matrice d’état A =[−2 −2 ;−1 −3] d’un système multivariable.

1. Donner la matrice d’état Ab du système sous la forme modale.

2. Calculer la matrice de transition T qui permet d’avoir la forme modale.

3. Calculer T-1

et vérifier le résultat de la question 1.

4. Calculer la matrice de transition du système.

5. Vérifier le résultat obtenu par la méthode de Cayley-Hamilton.





Exercice 6 :

Soit le circuit électrique suivant. Il est composé de deux capacités C1 , C2 , une inductance L, une

résistance R et une source de tension U ( signal d’entrée de commande ) , la sortie est la tension aux

bornes de l’inductance L .

Question : donner une représentation d’état de ce système en choisissant les tensions des capacités et

le courant de la bobine comme variables d’état.

Exercice 7 :

Les équations différentielles du mouvement système présenté dans la figure suivante sont données

par :

Où Mc et Mp sont respectivement les masses du chariot et du pendule.

Bc et Bp sont les coefficients des frottements visqueux du chariot et du pendule.

L et J sont la langueur et l’inertie de la tige du pendule.

La force F appliquée sur le chariot est la seule entrée de commande de ce système.

En utilisant les positions et les vitesses (du chariot et du pendule) comme variables d’état, càd :

En utilisant également la position du chariot x1 et l’angle du pendule x2 comme variables de sortie :

3. Donner une représentation d’état linéaire de ce système.

4. Est-ce que le système est contrôlable ? justifier votre réponse.





TD4 : Observabilité et commandabilité et formes

compagnes

Exercice 1 : soit le système hydraulique à trois cuves dont le modèle linéarisé est donné dans

le TD précédent avec les matrices d’état suivantes :

A =[ -0.008 0 0.008 ; B =[ 64.9351 0 ; C=[1 0 0 ; D=[0 0;

0 -0.0236 0.008 ; 0 64.9351 ; 0 1 0]. 0 0 ;

0.008 0.008 -0.0159] ; 0 0] . 0 0].

1. Calculer le polynôme caractéristique.

2. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de ce système.

3. Est-ce que ce système est stable ? pourquoi ?

4. Donner la forme modale de ce système.

5. Etudier la commandabilité par deux méthodes.

6. Etudier l’observabilité par deux méthodes.

Exercice 2 : soit le système de représentation d’état suivante :

1. Comment s’appelle cette forme.

2. Donner le diagramme structurel de ce système.

Exercice 3 : soit le système défini par la fonction de transfert suivante :

1. Trouver la forme compagne de commandabilité de ce système.

2. Trouver la forme compagne d’observabilité de ce système.

3. Idem pour le système donné par la fonction de transfert suivante (non strictement

propre):

Exercice 4 : soit le modèle d’état suivant :

1. Calculer son polynôme caractéristique.





2. Donner la forme compagne de commandabilité en précisant la matrice de passage

utilisée.

3. Idem pour la forme compagne d’observabilité.

Exercice 5 : soit le vecteur x=[1 ; 3] représenté dans la base I=(i1, i2) comme montre la

figure suivante. On veut représenter x dans d’autres bases en utilisant deux matrices de

passage P et T.

1. Donner le vecteur x1 qui est une représentation de x dans la base T=(q1, q2).

2. Donner le vecteur x2 qui est une représentation de x dans la base P=(q2, i2).

Exercice 6 :

1-Si on considère que l’on a seulement une seule mesure de niveau (par exemple le niveau de

la cuve 1), est ce que le système reste observable ? Justifier votre réponse.

2- De la même manière, si on utilise seulement une seule pompe (1 ou 2) comme entrée du

système, est ce qu’on peut commander les trois niveaux ? Justifier votre réponse.

Exercice 7 : dans cet exercice, on va montrer la relation entre la fonction de transfert d’un

système et ces deux propriétés de commandabilité et observabilité. Soit le système d’ordre 4

1. Donner une décomposition de ce système suivant les propriétés de commandabilité et

d’observabilité de chacun de ses états (CO,CNO, NCO,NCNO).

2. Donner un diagramme structurel de ce système, en précisant la fonction de transfert de

chaque sous systèmes.

3. Calculer la fonction de transfert globale du système.

4. Citer quelques différences entre une fonction de transfert et une représentation d’état.

Exercice 8 : soit le système suivant





1. Calculer sa matrice de commandabilité

2. Calculer ses indices de commandabilité et déduire s’il est commandable ou pas.

Exercice 9 : Soit le système multivariable suivant, avec C=[c1 ; c2] :

1. Vérifier que c1 A=5 c1- 3 c2 et c2 A=c1 A-c2 +c1

2. Calculer les indices d’observabilité de y1 et y2 et déduite si le système est observable

ou pas.

Exercice 10 : Soit les deux modèles d’état donnés sous la forme de Jordan :

1. Donner le polynôme caractéristique de ces systèmes.

2. Combien de bloc de Jordan associé à chacune des valeurs propres de chaque système ?

3. Conclure directement sans calcul s’ils sont la commandables et/ou observables.

Exercice 11: Quelles sont les conditions pour lesquelles les systèmes suivants soient

observables et commandables ?

Est-ce que c’est possible de trouver un ensemble de coefficients bij et cij pour que le système

correspondant soit observable et commandable ?

Exercice 12 :

Soit le un système d’ordre 2 donné par son modèle d’état suivant :

1. Est-ce que ce système est commandable ?

2. Ecrire l’équation d’état de la partie commandable. Est-ce que cette partie est

également observable ?





TD5 : Commande par retour d’état /Observateur

Exercice 1 :

Soit le système donné par la représentation d’état suivante :

1. Calculer le polynôme caractéristique.

2. Est-ce que le système est stable ? justifier votre réponse.

3. Est-ce qu’il est commandable ? pourquoi ?

4. Calculer une matrice de passage appelée P et donner une représentation d’état

équivalente sous la forme compagne de commandabilité dont les coefficients du

polynôme caractéristique se trouvent dans la première ligne de la matrice P.

5. Calculer un retour d’état K pour que le système bouclé possède les pôles suivants :

P12=-1.5+- 0.5 j, P34=-1+-j.

Exercice 2 :

Soit le système donné par la représentation d’état de l’exercice 1 :

1. Donner les valeurs des pôles en boucle ouverte.

2. Ecrire le système sous la forme compagne de commandabilité dont les coefficients du

polynôme caractéristique se trouvent dans la dernière ligne de la matrice de passage P.

3. Calculer un retour d’état K pour que le système bouclé possède les pôles suivants :

P12=-1.5+-0.5j ; P34=-1+-j

4. Afin de pouvoir suivre une consigne yref avec une erreur statique nulle et un rejet de

perturbation en échelon, le modèle du système est augmenté avec un intégrateur,

donner la nouvelle représentation d’état en prenant l’intégrale de l’erreur comme un

nouvel état.

5. Donner la forme de la commande par retour d’état ainsi qu’un diagramme structurel

du système bouclé.

6. Calculer la nouvelle matrice de gain K qui assure la poursuite de consigne et le rejet

de perturbation.

Exercice 3 :

Calculer par les trois méthodes suivantes un retour d’état K qui permet de stabiliser le système

défini par ses matrices d’état et de commande A, B en plaçant ses pôles à -1 et -2.

A=[2 1 ; B=[1 ;

1 1] ; 2]

Méthode 1 : calcul direct de K

Méthode 2 : calcul de K dans une autre base.

Méthode 3 : méthode de Lyapunov





Exercice 4 : Soit un système multivariable dont les matrices d’état et de commande (a,b) sont

données par : a=[0 1 0 0; b=[0 0; 0 0 1 0; 0 0; -3 1 2 3; 1 2; 2 1 0 0] 0 2]

1. Proposer une matrice F dont les valeurs propres sont : P12=-4+-3j

P34=-5+-4j.

2. Donner trois matrices Kb1 et Kb2 et Kb3 telles que les paires (F,Kb1) , (F,Kb2) et

(F,Kb3) soient observables.

3. Calculer trois retours d’état K1, K2, K3 (par la méthode de Lyapunov) pour que le

système bouclé possède les mêmes pôles que la matrice F.

4. Calculer la norme 2 de ces matrices de retour d’état. Quelle est la matrice de gain qui

représente moins d’énergie.

5. Vérifier les valeurs propres du système bouclé avec les trois matrices de gain (prenez 4

chiffres arpès la virgule). Conclure sur la robustesse de chaque régulateur.

6. Donner un diagramme structurel du système bouclé.

Exercice 5 :

1. Calculer un retour d’état Kc du système à trois cuves (modèle donné dans le TD

précédent) qui permet de réduire le temps de réponse (prenez des valeurs propres en BF

3fois plus rapides que les valeurs propres en BO).

2. Calculer un modèle d’état discret de ce système (Ad,Bd,Cd,Dd).

3. Etudier la commandabilité et l’observabilité de ce système discret.

4. Calculer un retour d’état Kd qui permet de stabiliser le modèle discrétisé de ce système.

5. Vérifier les valeurs propres du système bouclé (valeurs propres de la matrice Ad-Bd Kd).

Exercice 6 :

On considère le système à trois cuves dont le modèle d’état (linéarisé) est donné dans le TD2.

On suppose que l’on a accès qu’à la mesure des niveaux h1 et h2 (on n’a pas la mesure de la

cuve au milieu) et on souhaite reconstruire l’ensemble des mesures (c'est-à-dire h1, h2 et h3)

en utilisant un observateur de Luenberger.

1. Donner la matrice C du modèle linéarisé (modèle continu).

2. Calculer la matrice d’observabilité.

3. Est ce que ce système est observable. Justifier.

4. Rappeler les valeurs propres du système en boucle ouverte et en boucle fermée (exercice 5

du TD précédent).

5. On souhaite synthétiser un observateur de Luenberger. Expliquer comment choisir les

valeurs propres de cet observateur par rapport aux valeurs propres du système en BF.

6. Donner l’équation d’état de l’observateur.

7. Donner l’équation dynamique de l’erreur d’estimation.

8. Calculer le gain L de l’observateur (prenez des pôles 4 fois plus rapides que les pôles du

système en BO).

9. Vérifier que l’ensemble (système avec l’observateur) a bien les valeurs propres

souhaitées.

10. Refaire le même calcul du gain d’observateur en prenant le système discrétisé.





Solutions et quelques éléments de réponse des différents TD.

Solution TD1 :

Déjà fait en classe.

Solution TD2 :

Expliquée en classe (devoir).

Solution TD3 : (présentée dans ce doc)

Solution exercice1 (système masse ressort)

1/

2/ a) par application du transformée de Laplace, on obtient:

Ce qui peut être écrit sous la forme suivante (avec un calcul simple de l’inverse d’une matrice

d’ordre 2) :

Avec

b) Avec la méthode directe basée sur les matrices d’état :

G(s) = D+C (s I-A)-1

B

Pour aller vite, il suffit de calculer les éléments qui nous intéressent de la matrice (s I-A)-1

,

c'est-à-dire ce n’est pas nécessaire de calculer les éléments de la matrice (s I-A)-1

qui seront

multipliés par la suite par les zeros (de la matrice C ou B).

On retrouve la même chose que a).





Solution exercice 2 (pendule simple)

1) Modèle linéarisé :

2) Représentation d’état :

En prenant les variables d’état suivantes : on obtient le modèle suivant :

A= [0 0 1 0 ;

0 0 0 1 ;

0 +M p2

Lp2

g /Jt -Beq (Mp Lp2 + Jp) /Jt +Mp Bp L /Jt ;

0 -Mp L g (Mc+Mp) /Jt +Mp L Bc/Jt -Bp (Jeq+Mp) /Jt ].

B=[0 ;

0 ;

(Mp Lp2 + Jp) /Jt ;

-Mp Lp /Jt ].

Avec Jt= (Jeq+Mp) (Mp L2 + J) - Mp

2 Lp

2 = (Jeq+Mp) Jp +Jeq (Mp Lp

2)

Solution exercice 3 :

1. Représentation d’état du système,

A=[0 1 0 0 ; 0 -3 -2 0 ;0 0 0 1 ;0 -1 -1 0] ;

B=[0 0 ;1 0 ;0 0 ; 0 1]

C=[1 0 0 0 ;0 0 1 0]

D=[0 0 ; 0 0]

2. Donner son diagramme structurel.





Solution exercice 4 (circuit électrique 1)

Solution exercice 5 (matrice de transition)

A = [−2 −2 ;

−1 −3].

1. La forme modale de ce système.

Les valeurs propres de cette matrice sont solutions de son équation caractéristique :

La matrice d’état sous la forme modale s’écrit donc Ab=[-1 0 ; 0 -4]

2. Calcul de la matrice de transition T qui permet d’avoir la forme modale. Calculons le premier vecteur propre :

Prenons par exemple :

Le second vecteur propre se calcule tout aussi facilement :

Prenons par exemple :





On a donc la matrice de transition :

3. Calcul de T-1

Vérification : on a bien T-1

A T = Ab

4. Calcul de la matrice de transition du système :

En utilisant la forme modale, on a donc A = T Ab T-1

et e(A t)

= T e(Ab t)

T-1

(cela est déjà

vérifié en TP)

Soit d’où

5. Vérifier le résultat obtenu (c’est à dire vérifier le calcul de la matrice de transition e(A t)

) par la

méthode de Cayley-Hamilton :

Nous pouvons écrire à priori que :

………………………….(eq.1)

Les inconnus dans l’équation précédente eq.1 sont les deux fonctions f1(t) et f2(t). Il nous faut donc

deux équations pour pouvoir calculer ces deux inconnus. La méthode de Cayley-Hamilton permet

d’avoir ces deux équations en remplaçant la matrice A par sa première valeur propre -1 (ça donne la

première équation) ensuite on remplace A par sa deuxième valeur propre (-4) on obtient alors la

deuxième équation :

Maintenant en résolvant ces deux équations on obtient les deux fonctions f1(t) et f2(t).





On obtient finalement le même résultat calculé précédemment :

Solution exercice 6 (circuit éléctrique2)

Solution exercice 7 (pendule inversé)

A=[0 0 1 0 ;

0 0 0 1 ;

0 -M p2 L

2 g /Jt -Bc Beta /Jt Mp Bp L /Jt ;

0 Mp L g (Mc+Mp) /Jt Mp L Bc/Jt -Bp (Mc+Mp) /Jt ].

Avec Beta=Mp L2 + J et Jt= (Mc+Mp) (Mp L

2 + J) - Mp

2 L

2

B=[0 ;

0 ;

Beta/Jt ;

-Mp L /Jt ].

C=[1 0 0 0 ;

0 1 0 0].

D=[0

0 ].

Remarque : dans le cas d’un pendule simple (n’est pas inversé), les signes des termes A(3,2)

et A(4,2) seront inversés (à cause du g), et le reste du modèle reste inchangé (si on utilise les

mêmes notations on retrouve le même modèle de l’exercice 2).





Solution TD4 : (présentée dans ce doc)

Solution exo1 :

1. Le polynôme caractéristique.

polynomeCara= s^3 + 0.0475s^2 + 0.0006 s + 9.8949e-07.

2. Les valeurs propres et les vecteurs propres de ce système.

Valpropres=[-0.0021 ; -0.0158 ; -0.0295] VectPropres =V=[ 0.7874 0.5774 -0.2159

0.2145 -0.5850 -0.7822 0.5779 -0.5696 0.5845], V n’est que la matrice passage qui sera utilisée par la suite pour calculer la forme modale.

3. Est-ce que ce système est stable ? pourquoi ?

Oui le système est stable, parce que toutes les valeurs propres sont à partie réelle

strictement négative.

4. la forme modale de ce système. Dans cette forme la matrice d’état du système (appelé ici D pour dire que Diagonale)

vérifie l’égalité suivante : D= inv(V)*A*V= diag(Valpropres), où V est la matrice de

passage constituée des vecteurs propres de A. Donc on obtient :

D=inv(V)*A*V =[-0.0021 -0.0000 0.0000

-0.0000 -0.0158 -0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0295].

Vérification : A*V-V*D = 1.0e-17 * [ 0.0217 -0.1735 0.0867

0.1572 -0.5204 0

-0.3253 0 0.3469]

L’erreur est de l’ordre de 10-17 et AV=VD D=V-1 A V

D= [ -0.0021 0 0

0 -0.0158 0

0 0 -0.0295]

5. Etude de la commandabilité par deux méthodes. matCont=[B A*B A2*B]= [64.9351 0 -0.5170 0 0.0082 0.0041

0 64.9351 0 -1.5305 0.0041 0.0402

0 0 0.5170 0.5170 -0.0123 -0.0204]

Méthode1 : Rang([B A*B A2*B ])=3=l’ordre n du système (l’ordre de la matrice A) système commandable

Méthode 2 : Rang([B A*B ])=3système commandable (pour le calcul du rang de la matrice de commandabilité on s’arrête cette fois ci l’ordre n-p (ou p est le nombre de colonne de B linéairement indépendantes)

Vérification : matCon=ctrb(a,b)

matCon =[ 64.9351 0 -0.5170 0 0.0082 0.0041

0 64.9351 0 -1.5305 0.0041 0.0402

0 0 0.5170 0.5170 -0.0123 -0.0204]





6. Etude de l’observabilité par deux méthodes. matObs=[c;

c*A;

c*A2] (pour le calcul de CA2 vous pouvez multiplier la matrice CA déjà calculée par A)

matObs =[ 1.0000 0 0

0 1.0000 0

-0.0080 0 0.0080

0 -0.0236 0.0080

0.0001 0.0001 -0.0002

0.0001 0.0006 -0.0003]

Le rang de (matObs)= 3 =ordre de la matrice A système observable

vérfication : obsv(a,c)= [ 1.0000 0 0

0 1.0000 0

-0.0080 0 0.0080

0 -0.0236 0.0080

0.0001 0.0001 -0.0002

0.0001 0.0006 -0.0003]

matObs2 ==[c;

c*A]= [ 1.0000 0 0

0 1.0000 0

-0.0080 0 0.0080

0 -0.0236 0.0080]

rank(matObs2)= 3 système observable.

Solution exo 2 :

1. Comment s’appelle cette forme.

C’est la forme compagne de commandabilité (forme canonique de commandabilité)

2. Diagramme structurel de ce système.

Solution exo 3 :

1. Forme compagne de commandabilité du système.





Avec les matrices :

Ac=[0 1 0 ;

0 0 1 ; 0 -1 -2],

Bc=[0 ;0 ;1], Cc=[1 4 2], Dc=0.

2. Forme compagne d’observabilité du système. Les matrices (Ao,Bo,Co,Do) sous la forme d’observabilité peuvent être obtenues à partir de la forme

compagne de commandabilité (Ac,Bc,Cc,Dc) tout simplement en transposant la matrice Ac et

échangeant et transposant les matrices Bc et Cc. C'est-à-dire Ao=AcT, Bo=Cc

T, Co=Bc

T,Do=Dc. On

ontient donc les matrices suivantes :

Ao=[0 0 0 ;

1 0 -1 ;

0 1 -2].

Bo=[1 ;4 ;2], Co=[0 0 1] ; Do=0.

3. Idem pour le système donné par la fonction de transfert non strictement propre:

Gpr (p) correspond à la fonction de transfert du premier système (question1). Il suffit donc de conserver

les matrices (Ac, Bc,Cc et Dc) ou (Ao, Bo, Co et Do) pour la commandabilité ou l’observabilité) en

y ajoutant la matrice de transmission directe Dc=Do=1. Donc on obtient

Ac=[0 1 0 ;

0 0 1 ; 0 -1 -2], Bc=[0 ;0 ;1], Cc=[1 4 2], Dc=1.

Et Ao=[0 0 0 ;

1 0 -1 ;

0 1 -2]. Bo=[1 ;4 ;2], Co=[0 0 1] ; Do=0.

Solution exo4 :

1. polynôme caractéristique. Delta=p3-3p2+4p-6

2. Forme compagne de commandabilité en précisant la matrice de passage utilisée.





A partir du polynome caractéristique, on a les coefficients [a0 a1 a2]=[-6 4 -3] qui seront tous

simplement mis dans l dernière ligne de la matrice A en leurs inversant le signe donc on obtient les

matrices suivantes :

Ac=[0 1 0 ; Ac=[0 1 0

0 0 1 0 0 1

-a0 –a1 –a2] 6 -4 3]

Bc= [0 0 1]T

= [0 ;0 ;1]

Cc=C*inv(V) =[2 -3 1] ou V est la matrice de passage (le détail de calcul de V est donné en

bas).

Calcul de la matrice de commandabilité Q et son inverse.

Qc=ctrb(A,B)= [1 1 -2 ; 1 -1 -4 ; 0 1 0]

invQc=inv(Qc)= [ 2.0000 -1.0000 -3.0000 ; 0 0 1.0000 ; 0.5000 -0.5000 -1.0000]

On récupère la dernière ligne de invQc= qcT=invQc(3,:)=[ 0.5000 -0.5000 -1.0000]

La matrice de passage V s’écrit comme suit : V=[qcT; qcT*A; qcT*A*A], on obtient la matrice

suivante :

V=[ 0.5000 -0.5000 -1.0000 ; 1.5000 -1.5000 -2.0000 ; 4.5000 -3.5000 -5.0000].

Vérification : inv(V)=[-1.00 -2.00 1.00 ; 3.00 -4.00 1.00 ; -3.00 1.000 0]

Ac=V*A*inv(V) = [ -0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000

6.0000 -4.0000 3.0000] qui est la forme compagne de commandabilité.

Bc=V*B = [0 ; 0 ; 1].

Cc=C* inv(V)=[1 0 -1]*inv(V)=[ 2.0000 -3.0000 1.0000]

Remarque : comme précisé dans le cours on peut utiliser d’autres notations pour le changement de

base et la matrice de passage. Par exemple si on fait le changement de variable suivant (c’est juste un

changement de notation en posant P=V-1

)

P=inv(V)=[-1 -2 1;3 -4 1;-3 1 0];

inv(P)= V= 0.5000 -0.5000 -1.0000 ; 1.5000 -1.5000 -2.0000 ; 4.5000 -3.5000 -5.0000]

les matrices Ac, Bc et Cc deviennent :

Ac=inv(P)*A*P=[ -0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000

6.0000 -4.0000 3.0000]

Bc=inv(P)*B = [0 ; 0 ; 1].

Cc=C* P=[1 0 -1]*P=[ 2.0000 -3.0000 1.0000].





Solution Exercice 5 (Changement de base) :

1. Donner le vecteur x1 qui est une représentation de x dans la base T=(q1, q2).

2. Donner le vecteur x2 qui est une représentation de x dans la base P=(q2, i2).

D’après la figure q1=[3 ; 1] ; q2=[2 ; 2] ; x=T*x1=[q1 q2] x1=[3 2 ;1 2 ] [-1 ; 2] ;

oubien directement x1=inv(T)*x= [0.5 -0.5 ; -0.25 0.75]*[1 ; 3]= [-1 ; 2] .

D’après la figure q2=[2 ; 2] ; i2=[0 ; 1]. x=P*x2=[q2 i2] x2=[2 0; 2 1] [0.5 ; 2] ;

oubien directement x2=inv(P)*x= [0.5 0 ; -1 1]*[1 ; 3]= [0.5 ; 2] .


1. décomposition de ce système en (CO,CNO, NCO,NCNO).

2. diagramme structurel de ce système, en précisant la fonction de transfert de chaque

sous systèmes.





3. Calcul de la fonction de transfert du système

4. quelques différences entre une fonction de transfert et une représentation d’état.

La commandabilité et l’observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n’apparaissent

pas dans la représentation par fonction de transfert. Donc, la fonction de transfert est quelques fois

insuffisante pour décrire un système.

L’ordre de la représentation d’état n’est pas toujours le même que celui de la fonction de transfert.

Tout dépend de la commandabilité et de l’observabilité de ce dernier. Lorsqu’il est complètement

commandable et observable, les deux ordres sont égaux.


1. Matrice de commandabilité





2. Les indices de commandabilité et déduction si ce système est commandable.


1. Vérification que :

c1 A=5 c1- 3 c2

c2 A=c1 A-c2 +c1

à partir de matrice d’observabilité Qo suivante, on voit bien que les deux relations au-

dessous sont vérifiées.

2. Calcul des indices d’observabilité de y1 et y2 et déduction si le système est observable

A partir de la question précédente, on peut directement déduire le tableau suivant (le crate):





Suite Chapitre 2 : Résolution de l’équation d’état

1. Introduction

Résoudre les équations d’état consiste à déterminer l’expression du vecteur d’état en fonction

du temps, Autrement dit à déterminer les expressions temporelle des n variables d’état

connaissant le système (c.à.d A, B, C et D) et connaissant l’entrée u(t) qui lui est

appliquée. L’équation de la solution est appelée équation de transition.

2. Principe

On considère l’exemple d’un système décrit par une simple (une seule) équation

différentielle (cas scalaire) : .

La solution d’une telle équation différentielle est connue, et a pour expression :

La première partie de cette équation représente la solution libre (régime autonome)

La seconde partie représente la solution forcée (régime forcé ou commandé).

3. Généralisation au cas d’un système quelconque

On considère maintenant le système représenté par l’équation d’état :

La solution de cette équation s’obtient par généralisation du résultat précédent :

Dans cette écriture, le terme e(A t)

représente une matrice exponentielle que l’on note

en générale et que l’on appelle matrice de transition du système.

Si on connait l’état du système à un instant , on peut calculer son état à un

instant t quelconque :





4. Calcul de la matrice de transition

L’opération pricipale dans la résolution des équations d’état, consiste à calculer la matrice de

transition c'est-à-dire le terme e(A t)

.

Pour cela de nombreuses méthodes existent. Les plus classiques sont les suivantes :

1. Méthode 1 : méthode de la transformée de Laplace

2. Méthode 2 : méthode de diagonalisation

3. Méthode 3 : méthode de Cayley-Hamilton

4. Méthode 4 : méthode de calcul direct (développement de Tylor)

Ces méthodes seront détaillées par la suite.

Méthode 1 : méthode de la transformée de Laplace

Il apparaît clairement, en confrontant cette expression à la solution générale déterminée

précédemment, soit :

que la matrice de transition e(A t)

possède pour transformée de Laplace la matrice [pI-A]-1

.

Il suffit alors d’inverser la matrice [pI-A], ce qui conduit à une matrice rationnelle en p dont

on calcule la transformée de Laplace élément par élément.

Exemple :





Méthode 2 : méthode de diagonalisation

Il est facile de remarquer que le calcul de la matrice de transition est très simple à effectuer si

celle-ci est diagonale, en effet :

Cette constatation nous conduit naturellement à imaginer une méthode relativement facile

pour calculer e(A t)

: il suffit de diagonaliser la matrice A. On considère une matrice d’état

quelconque A. Les vecteurs propres et valeurs propres de cette matrice sont définies par :

Vi sont les vecteurs propres et sont les valeurs propres. Ces grandeurs sont très faciles à

déterminer, étant donné que les valeurs propres sont les racines de l’équation :

Soit la matrice modale, formée des vecteurs propres :

La matrice diagonale appelée ici D (attention ce n’est pas le D de d’équation d’état) formée

des valeurs propres de A est obtenue :

La matrice de transition e(A t)

est alors calculée par :





Exemple :

Méthode 3 : méthode de Cayley-Hamilton

Cette méthode repose sur une des propriétés d’une matrice, à savoir : Chaque matrice est

toujours solution de son équation caractéristique. Elle présente l’avantage d’être

relativement rapide pour des matrices d’ordres peu élevés. On considère une matrice A, son

équation caractéristique s’écrit :

Cette équation permet d’affirmer que pour toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs

propres distinctes, toute puissance de A supérieure ou égale à n peut s’exprimer en fonction

d’une combinaison des puissances de A strictement inferieur à n.

On peut donc écrire :

La recherche des fonctions fi(t) ne pose aucune difficulté : les valeurs propres de la matrice

A vérifient obligatoirement cette équation. On construit un système de n équations à n

inconnues (qui sont les fonctions fi(t)). La résolution de ce système permet de déterminer e(A t)





Exemple :

Méthode 4 : méthode de calcul direct (développement de Taylor)

Cette méthode est basée sur l’expression du développement de Taylor à condition que la

matrice d’état soit nilpotente1 (voir tout en bas)

.

Bien évidemment plus k est petit, plus le calcul direct est simple et rapide. Le développement

de Taylor de e(A t)

est donné par :

Exemple :

On applique le développement de Taylor, ce qui donne :

5. Calcul de l’état d’un système en fonction d’un signal de commande

Il est claire que La connaissance de la matrice de transition e(A t)

permet de calculer

directement le vecteur d’état x(t) du système à partir de l’expression suivante (vue tout au

début) :

1 Une matrice carrée est dite nilpotente si :





Oubien de l’expression suivante (si l’instant initial appelé t1 est non nul)

Exemple : considérons par exemple le système régi par les matrices d’état et de sortie

suivantes :

Supposons que ce système soit sollicité par un échelon unitaire, u(t) =1, et que son état

initial est défini par :

La matrice de transition a été calculée dans les exemples précédents :

L’application directe de la formule de la solution d’équation d’état, nous donne le vecteur

d’état suivant :

Détail de calcul (voir le TD).

6. Représentation d’état d’un système multivariable discret (échantillonné)

Il est à noter que la représentation d’état d’un système multivariable dans le domaine

discret est similaire à celle dans le domaine continu. Par ailleurs, on utilise souvent

d’autres notations pour les matrices d’état et de commande (A et B). Les matrices de

sortie et de transmission directe (C et D) restent inchangées. Le tableau ci-dessous donne

un exemple de notation dans le cas discret (équations A.8).

7. Passage entre le domaine continu et le domaine discret





L’échantillonnage d’un système multivariable avec un échantillonneur bloqueur d’ordre

zéros BOZ (ZOH en anglais) avec un pas d’échantillonnage Ts conduit aux matrices

d’état et de commande suivantes :

Avec Ts le pas d’échantillonnage du système échantillonné.

8. Stabilité d’un système multivariable

Comme pour les systèmes monovariables, la stabilité des systèmes multivariables est

directement liée à la position des valeurs propres de la matrice d’état A dans le plan complexe.

On parle de la stabilité interne (ou asymptotique) définie dans le théorème suivant :

Théorème:

un système linéaire et invariant (Linear time invariant LTI) décrit par une représentation

d’état est dit :

- asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres de sa matrice d’état A sont à partie

réelle strictement négative.

- instable si au moins une des valeurs propres de A est à partie réelle strictement positive.

Remarque :

D’une façon générale, un système est BIBO-stable si à tout signal d’entrée borné correspond

un signal borné en sortie. Un système est BIBO stable s’il est asymptotiquement stable.





Chapitre 3 : Commandabilité et Observabilité

1. Introduction Ce chapitre introduit des concepts nécessaires pour établir des lois de commande telles que celles qui

seront étudiées dans les chapitres suivants. Ces concepts sont ceux de commandabilité et

d’observabilité. Ils furent introduits par Kalman.

2. Critère de commandabilité (et d’observabilité) de Kalman

2.1. Commandabilité ou gouvernabilité Soit le modèle d’état suivant d’un système linéaire dont le vecteur d’état initial est à une valeur

quelconque x0 = x(t0). L’on peut supposer sans restriction que la matrice de transmission directe est

nulle (D = 0).

Le modèle est commandable (ou gouvernable) si pour toute instance x1 du vecteur d’état, il existe un

signal d’entrée u(t) d’énergie finie qui permet au système de passer de l’état x0 à l’état x1 en un temps

fini.

Il est possible que, si la commandabilité n’est pas vérifiée sur tout le vecteur d’état, elle puisse

néanmoins l’être sur une partie de ses composantes. L’on dit alors des variables d’état concernées que

ce sont les états commandables du système.

La commandabilité peut être vue comme la possibilité de modifier les dynamiques d’un modèle en

agissant sur ses entrées. A ce titre cette propriété ne se réfère qu’à l’état et à l’entrée du système. Il est

donc clair qu’elle ne dépend que des matrices A et B.

2.2 Observabilité

L’on s’intéresse toujours au mˆeme modèle que dans la partie précédente. Le modèle est observable si,

quel que soit t0, il existe un intervalle de temps fini [t0, t1] tel que la connaissance de l’entrée u(t) et de

la sortie y(t) sur cet intervalle permet de reconstituer x(t0).

Encore une fois, il est possible que cette propriété ne se vérifie que pour une partie du vecteur d’état

que constituent alors les états observables du système. La définition de l’observabilité ne fait pas

d’hypothèse particulière sur la nature de l’entrée. Cette propriété peut être interprétée comme la

capacité d’un système à révéler l’historique de son vecteur d’état au travers de celui de ses sorties. Elle

ne dépend en fait que des matrices A et C.

2.2. Critère de Kalman

2.2.1 Commandabilité

La paire de matrices (A, B) (ou le système d’état) est commandable si et seulement si

La matrice Qc est dite matrice de commandabilité.





2.2.2. Observabilité

La paire de matrices (A, C) (ou le système) est observable si et seulement si

La matrice Qo est dite matrice d’observabilité.

3. Dualité entre la commandabilité et l’observabilité Il est important de noter l’analogie entre les structures de Qc et Qo. Elle permet de comprendre que la

commandabilité et l’observabilité sont deux notions duales comme le soulignent les propositions

suivantes :

Dualité :

- La paire (A, B) est commandable si et seulement si la paire (A′, B′) est observable.

- La paire (A, C) est observable si et seulement si la paire (A′, C′) est commandable.

Les critères de Kalman ont un grand intérêt théorique et permettent de comprendre un peu mieux ces

notions fondamentales de commandabilité et d’observabilité. Cependant, lorsqu’ils ne sont pas

satisfaits (rang(Qc) < n ou rang(Qo) < n), ils ne donnent aucune information sur les composantes du

vecteur d’état qui sont commandables et/ou observables.

4. Formes compagnes de comandabilité et d’observabilité

On s’intéresse ici au cas monovariable. Il existe plusieurs réalisations de forme compagne qui peuvent

être facilement obtenues à partir de la fonction de transfert ou des coefficients ai du polynôme

caractéristique et les coefficients bi du numérateur de la fonction de transfert. Ce paragraphe est

restreint aux formes compagnes les plus classiques (avec an= 1). Les deux formes dites ≪ compagnes

≫ les plus communément rencontrées sont :

4.1. Forme compagne horizontale de commandabilité

Dans la base compagne de commandabilité, le système est donné par la représentation d’état suivante,

dite aussi forme canonique de commandabilité.





i. Forme compagne verticale d’observabilité

Dans la base compagne d’observabilité, le système est donné par la représentation d’état suivante, dite

aussi forme canonique d’observabilité.

5. Passage d’une réalisation à l’autre et calcul des matrices de passage

5.1. Changement de base

L’on peut passer d’une réalisation à une autre tout simplement par un changement de base dans

l’espace d’état Rn. En effet, si l’on considère l’équation d’état suivante :

On peut appliquer au vecteur d’état un changement de base de sorte à obtenir un nouveau vecteur

d’état Ainsi, soit le changement de base où M est une matrice de rang plein, il vient :

Le quadruplet de matrices obtenu est donc

Comme il existe une infinité de matrices de passage M utilisables, il existe aussi une infinité de

réalisations équivalentes qui correspondent toutes à la même fonction de transfert en monovariable (ou

matrice de transfert dans le cas multivariable).

Il est possible de passer d’une réalisation à une autre ce qui peut se révéler utile quand la seconde a

une forme particulière. Le principe est de déterminer la matrice de passage.

L’équation caractéristique est invariante par rapport au changement de base.

C'est-à-dire une transformation similaire d’une représentation à une autre (d’une forme à une autre) ne

modifie pas les valeurs propres du système (les valeurs propres de la matrice A ou de la matrice

M-1

AM sont les mêmes).





Remarque : dans la littérature, il y a plusieurs notations de la matrice de passage, on peut trouver des

références avec les notations M, P, V ou T. Dans ce qui suit nous allons présenter une méthode de

calcul de la matrice de passage (vers la forme canonique de commandabilité) dans le cas

monovariable. Le cas multivariable n’est qu’une généralisation de cette méthode. Par la suite nous

allons utiliser le changement de variable .

5.2. Calcul de la matrice de passage vers la forme canonique de commandabilité

Dans la forme canonique de commandabilité, la dernière ligne de la matrice d’état du système est

composée des coefficients de l’équation caractéristique (à l’exception de celui de la puissance la plus

élevée) avec des signes opposés.

Théorème : si le système est commandable, il est possible avec la transformation

de le mettre sous la forme canonique de commandabilité suivante :

avec

Et l’inverse de la matrice de transformation (matrice de passage) est donnée par

Où est la dernière ligne de la matrice qui est l’inverse de la matrice de commandabilité. Cette dernière ligne peut donc être déduite à partir du système d’équation suivant :

Elle peut aussi être déduite de l’équation suivante :





5.3. Calcul de la matrice de passage vers la forme canonique d’observabilité

Dans la forme canonique d’observabilité, la dernière colonne de la matrice d’état du système est

composée des coefficients de l’équation caractéristique (à l’exception de celui de la puissance la plus

élevée) avec des signes opposés.

Théorème : si le système est observable, il est possible avec la transformation

de le mettre sous la forme canonique d’observabilité suivante :

avec

Et la matrice de transformation (matrice de passage) T est donnée par

Où est la dernière colonne de la matrice qui est l’inverse de la matrice d’observabilité. Cette

dernière colonne peut donc être déduite à partir du système d’équation suivant :

Elle peut aussi être déduite de l’équation suivante :

Remarque : dans le cas multivariable, cette démarche est presque la même. Pour la commandabilité

elle sera appliquée en tenant en compte pour chaque vecteur bi de la matrice B la dernière ligne qciT

correspondante. En fin les qciT seront utilisées pour construire la matrice de passage. Pour le calcul de

la matrice de passage pour l’observabilité la démarche est la même.





6. Cas des systèmes multivariables

6.1. Commandabilité

Soit un système multivariable linéaire représenté par le modèle d’état suivant :

Avec

Suivant le critère de commandabilité de Kalman, comme pour le cas des systèmes monovariable, le

système multivariable défini au-dessus est commandable si et seulement si où Qc la

matrice de commandabilité est donnée par .

Si on exprime la matrice B comme suit : , la matrice de commandabilité peut s’écrire

sous la forme suivante :

Dans un système multi-entrées (m> 1), la matrice n’est pas carrée et pour que

le système soit commandable, il faudra trouver vecteurs linéairement indépendants dans

Exemple 1 : soit le système donné par la représentation d’état suivante. Calculer sa matrice de

commandabilité et conclure s’il est commandable ou pas.

La matrice de commandabilité Qc est donnée par

Qc=

=

Ce système est commandable parce que Qc est de rang plein ligne, on peut le voir directement des

distributions des 1 et 0. De plus les colonnes 1, 2, 3, 4 et 6 forment un ensemble linéairement

indépendant. Comme les colonnes restantes sont des vecteurs nuls, le choix des cinq colonnes

linéairement indépendantes utilisés est la seule possibilité pour construire un ensemble de vecteurs

linéairement indépendants.

Exemple 2 : considérons maintenant un autre système MIMO donné par la représentation

d’état suivante :





Sa matrice de commandabilité Qc est donnée par

Qc

=

Qui a également un rang égal à 5. Si on cherche de gauche à droite pour cinq colonnes linéairement

indépendantes, on va trouver que les cinq premières colonnes le sont. Cependant, à partir ce cette

matrice de commandabilité, il y a plusieurs façons pour sélectionner cinq colonnes linéairement

indépendantes. En effet, trouver vecteurs linéairement indépendants dans peut se faire en utilisant

la méthode d’indice de commandabilité (basée sur l’utilisation du diagramme de Young ou de Crate).

6.1.1. Indice commandabilité

L’indice de commandabilité (IC) relatif à l’entrée est le nombre des états que l’on peut

commander par la seule entrée . Deux manières sont généralement utilisées pour calculer ces IC.

a. Choix par lignes :

1- On construit le tableau suivant (diagramme de Young ou digramme de Crate):

2- On remplit le tableau ligne par ligne,

3- On indique les vecteurs linéairement indépendants en mettant une croix (X) dans leurs cellules

correspondantes.

4- Une fois un vecteur linéairement dépondant aux vecteurs précédents est trouvé, on met dans sa

cellule un zéro (0). Toutes les cellules se trouvant au-dessous de cette cellule sont laissées vides car

les vecteurs correspondants sont aussi linéairement dépendants.

5- On arrête la procédure dès qu’on trouve vecteurs linéairement indépendants ( croix dans le

tableau).

6- L’indice de commandabilité relatif à l’entrée est égal au nombre de croix (X) dans la

colonne





b. Choix par colonnes :

Dans ce cas on remplit le tableau colonne par colonne en suivant la même procédure.

6.1.2. Critère de commandabilité des systèmes multivariables

- On calcule les indices de commandabilité

- Le système est dit commandable si

- Dans ce cas, la matrice de commandabilité se réduit à la matrice carrée régulière suivante :

- On peut décomposer le système en sous-systèmes chacun d’ordre commandable par

Exemple : Soit le système multivariable suivat à deux entrées :

Trouver les indices de commandabilité de et et tester la commandabilité du système.

Choix par lignes

Les indices de commandabilité sont : (ce qui correspond au nombre de croix dans

chaque colonnes). La première colonne contient 2 croix n1=2. La même chose pour la deuxième

colonne.

On a : le système est alors commandable.

Choix par colonnes





Les indices de commandabilité sont : La première colonne contient 3 croix n1=3. La

deixième colonne contient 1 croix n2=1.

On a : le système est commandable.

6.1.3. Sous espace de commandabilité

Dans le cas où le rang de la matrice de commandabilité Qc est inferieur à l’ordre du système, c’est-à-

dire si alors le système possède états commandables et états non

commandables. Par définition, le sous-espace de commandabilité est composé de états

commandables.

6.1.4. Décomposition canonique d’un système non commandable

Si le système n’est pas commandable, il existe une matrice de passage T inversible qui peut être

obtenue avec le changement de variable suivant : (ou z est la nouvelle variable d’état). Dans ce

cas le système peut se représenter sous la forme suivante :

avec : zc contient les états commandables et

contient les états non commandables.

Calcul de la fonction de transfert du système : cherchons maintenant la fonction de transfert du

système : , en utilisant les matrices obtenues au-dessus :

Alors la fonction de transfert est donnée par :

On remarque que la fonction de transfert ne dépend que des pôles du sous-système commandable.

6.2. Observabilité

Suivant le critère d’observabilité de Kalman, comme pour les systèmes monovariables, un système

multivariable est observable si et seulement si le rang de sa matrice d’observabilité Qo est égal à

l’ordre du système. C'est-à-dire avec





Dans un système multi-sorties ( > 1), la matrice n’est pas carrée et pour que le

système soit observable, il faudra trouver vecteurs linéairement indépendants dans en utilisant la

méthode suivante (méthode d’indice d’observabilité ).

6.2.1. Indice d’observabilité

L’indice d’observabilité (IO) relatif à la sortie est le nombre des états que l’on peut observer en

connaissant et Pour le calcul de l’indice d’observabilité, on suit la même procédure utilisée

pour le calcul de l’indice de commandabilité en remplaçant les bi par les ci dans le tableau (digramme

de Crate ou de Young).

6.2.2. Critère d’observabilité des systèmes multivariables

- On calcule les indices d’observabilité

- Le système est dit observable si

- Dans ce cas, la matrice d’observabilité se réduit à la matrice carrée régulière suivante :

Exemple : soit le système multivariable suivant à deux entrées et deux sorties :

Trouver les indices d’observabilité de ce système et déduire sans calcul s’il est observable ou pas.





La matrice d’observabilité est donnée par

,

En cherchant les indices d’observabilité par ligne en construisant le digramme de Crate.

On constate que et donc rang(Qo)=2. Les indices

d’observabilité sont (il y a une seule croix dans chaque colonne). .

Cette somme est inferieure à l’ordre du système (n=3) donc le système n’est pas observable.

6.2.3. Décomposition canonique d’un système non observable

Si le système n’est pas observable, il existe une matrice de passage T1 qui peut être obtenue avec le

changement de variable suivant : Dans ce cas le système est donné par la représentation

d’état suivante :

avec :

contient les états observables et contient les états non observables.

Calcul de la fonction de transfert du système : comme pour le cas des systèmes non commandables

présenté précédemment, la fonction de transfert du système (non observable) est donnée par:

On remarque que la fonction de transfert ne dépend que des pôles de sous-système observable.

6.3. Décomposition canonique d’un système multivariable

L’espace d’état peut être décomposé en quatre sous-espaces Voir figure

en bas. Avec :

1- contient les états commandables et non observables,

2- contient les états commandables et observables,

3- contient les états non commandables et non observables,

4- contient les états non commandables et observables.





Figure : décomposition canonique d’un système

Les équations d’état peuvent se mettre sous la forme suivante (décomposition de Kalman)

Et la fonction de transfert s’écrit en fonction des états commandables et observable seulement. Les

états non commandables et/ou non observables n’apparaissent pas dans la fonction de transfert.

6.4. Formes compagnes (formes canoniques) pour les systèmes multivariables

Dans cette section trois décompositions fondamentales seront étudiées :

1. Décomposition en r sous-systèmes mono-entrée commandables avec: r < m, où m est le nombre

Des entrées du sytème.

2. Décomposition en m sous-systèmes mono-entrée commandables.

3. Décomposition en p sous systèmes mono-sortie observables, où p est le nombre des sorties.

Les deux premières décompositions ont pour but de mettre sous une forme particulière l’ensemble des

matrices A et B et on verra leurs importances dans l’étude du problème de commande par retour

d’état. La troisième décomposition a pour but de simplifier les formes de A et C et sera utilisée dans le

problème d’observation d’état.

6.4.1 Décomposition en r < m sous systèmes mono-entrée commandables

On cherche à décomposer le système global de dimension n et possédant m entrées en r sous-

systèmes avec r < m tel que chaque sous-système soit commandable par une seule entrée. Il est à noter

que les composantes de u (appelées ) peuvent éventuellement agir sur

tous les sous-systèmes. On désigne par ni la dimension du sous-système i et par son vecteur d’état.

L’équation d’état d’un sous-système peut s’écrire sous la forme :





La quantité entre crochet traduit l’interaction sur le sous-système des sous-systèmes jusqu’à .

Donc, les matrices et sont sous la forme triangulaire :

L’équation caractéristique globale est sous la forme :

Maintenant, pour mettre le système sous cette forme (en r sous-systèmes mono-entrée et

commandables), il suffit de trouver une matrice de passage régulière telle que

Détermination de la matrice de passage M

On pose alors, le système peux s’écrire :

est une matrice carrée inversible de dimension nxn composée de blocs et

chaque bloc contient lignes (idem pour ). La procédure à suivre pour le calcul

de M est donné dans le paragraphe suiant.

6.4.2. Procédure de décomposition d’un système MIMO en r < m sous-systèmes mono-

entrée Commandables

Soit un système MIMO d’ordre n, le calcul de la matrice de passage M-1

utilisée pour représenter le

système sous sa forme compagne de commandabilité (forme qui sera utilisée dans le calcul d’un retour

d’état multivarible) est donné par les étapes suivantes :

1. Calculer les indices de commandabilité en utilisant le choix par colonnes.

2. Déterminer la matrice de commandabilité :

3. Calculer l’inverse de la matrice de commandabilité

4. Pour , on définit :





5. Calculer

6. Calculer et déterminer : où :

Exemple : Soit le système MIMO suivant :

Décomposer le système en r sous systèmes mono-entrée commandables. m = 2 ⇒ r = 1

1- Indices de commandabilité (choix par colonnes)

,

2-

3-

4-

5-





6-

6.4.3. Procédure de décomposition d’un système multivariable en m sous-systèmes

mono-entrée commandables

La seule différence par rapport au cas précedent (où r < m) réside dans la construction de la matrice

de commandabilité qui se fait cette fois-ci en suivant le choix par lignes. Les étapes à suivre sont :

1. Calculer les indices de commandabilité en utilisant le choix par lignes.

2. Déterminer la matrice de commandabilité :

3. Calculer

4. Pour i =1…m, on définit :

5. Calculer

6. Calculer et déterminer : où :

Exemple : Décomposer le système de l’exemple précédent en m = 2 sous système mono-entrée

commandables.

1- Indices de commandabilité (choix par lignes)

,





,

2-

3-

4-

5-

6-

7. Etude de commandabilité de quelques formes canoniques

7.1. Critères s’appliquant aux formes de Jordan Il faut distinguer deux cas selon la multiplicité géométrique des valeurs propres de A. Pour des raisons

de simplicité on commence par le cas monovariable.

7.1.1. A diagonalisable Dans ce cas, il existe une matrice de passage M qui permet de changer de base et d’obtenir la

réalisation

Dans ce cas, l’on peut assimiler la commandabilité d’un mode λi à celle de la composante xi du

vecteur d’état associé. Il en est de même pour l’observabilité. Clairement, sur cette forme diagonale

simple, l’on voit que l’on peut agir sur xi lorsque la composante bi est non nulle de même que l’on peut

constater une évolution de xi si la composante ci est non nulle.

Le mode λi est commandable (respectivement observable) si et seulement si bi 0

(respectivement ci par dualité).

7.1.2. A non diagonalisable





Pour simplifier, l’on considère uniquement le sous-système associé à la valeur propre multiple λ. Une

réalisation de Jordan est :

Le mode λ associé à un unique bloc de Jordan est commandable (respectivement observable) si et

seulement si bn ≠ 0 (resp. c1≠ 0). Dans le cas où plusieurs blocs de Jordan lui sont associés, il ne peut

être ni commandable, ni observable.

If faut noter que la dernière affirmation concernant les modes multiples associés à plusieurs blocs de

Jordan n’est pas forcément vraie pour un système multivariable.

8. Grammiens de commandabilité et d’observabilité

On se propose ici de présenter un critère de commandabilité et d’observabilité qui repose sur les

notions de grammiens.

8.1. Définition des grammiens

Le grammien de commandabilité Wc et le grammien d’observabilité Wo, également appelés matrices

grammiennes, sont respectivement définies par :

8.2. Interprétation des grammiens

L’interprétation d’un grammien ainsi défini n’est pas une chose aisée. Cependant, les grammiens

peuvent aussi être définis pour des modèles LTI à temps discret et sont dans ce cas plus faciles à

interpréter. En procédant par analogie pour les modèles à temps continu, l’on déduit que le grammien

de commandabilité Wc est lié à l’énergie minimale du signal de commande u(t) nécessaire pour

amener l’état d’une condition initiale à une condition finale en un temps infini. Plus précisément, Wc

est une matrice symétrique semi-définie positive donc il existe une matrice de passage unitaire U et

telle que telle que, dans la nouvelle base, est diagonale et ses éléments diagonaux

di sont positifs ou nuls. Ces éléments sont représentatifs de la commandabilité de chaque variable

d’état dans la nouvelle base. En effet, di -1

quantifie l’énergie minimale nécessaire pour atteindre

vecteur de la base. Ainsi, si di est faible, cette énergie est grande et

l’état est faiblement commandable. Si di est nul, n’est pas commandable du tout. Le

raisonnement sur le grammien d’observabilité Wo se fait par dualité.





Critères de commandabilité et d’observabilité avec les gramiens :

La paire (A, B) (respectivement la paire (A, C)) est commandable (respectivement observable) si et

seulement si le grammien de commandabilité Wc (resp. d’observabilit´e Wo) est strictement défini

positif.

Ainsi, les grammiens fournissent-ils des conditions nécessaires et suffisantes d’observabilité ou de

commandabilité d’un modèle LTI. Mais de plus, à l’instar des critères basés sur les formes de Jordan, ils

indiquent le nombre de variables d’état non commandables et non observables. En outre, ils permettent de

quantifier cette propriété c’est-à-dire de savoir si chaque variable d’état est très ou peu commandable ou

observable. En revanche, ils se limitent à l’étude des modèles LTI asymptotiquement stables.

Remarque 1 Wc est égal à la variance de x(t) en régime stationnaire lorsque l’entrée u(t) est un bruit

blanc.

Remarque 2 L’on peut démontrer que, quelle que soit la base de l’espace d’état considérée, le produit

Wc Wo conserve le même spectre (c'est-à-dire les même valeurs propres).

6.4.3. Calcul des grammiens

Les intégrales définies précédemment (section 8.1) ne sont pas utilisées pour le calcul des grammiens.

En réalité,

Sous l’hypothèse de stabilité de la matrice d’état A, la quantité ci-dessus est égale à −BB′. En résumé,

prenant en compte la dualité, l’on peut proposer l’assertion suivante :

Soit une représentation d’état supposée asymptotiquement stable. Le grammien de commandabilité Wc

et celui d’observabilité Wo sont les solutions respectives des équations de Lyapunov suivantes :

A Wc + Wc A′ = −B B′

A′ Wo + Wc A = −C′ C

Remarque : il existe une base de l’espace d’état dans laquelle les grammiens de commandabilité et

d’observabilité sont égaux et diagonaux. Ainsi, chaque élément diagonal de ce double grammien

quantifie à la fois la commandabilité et l’observabilité de la variable d’état associée dans la base

considérée, c’est- à-dire son influence sur le comportement entrée/sortie du système. La réalisation

correspondante est dite équilibrée. Elle se révèle particulièrement utile pour réduire le modèle à

savoir trouver une réalisation d’ordre moindre dont le comportement entrée/sortie se rapproche de

celui du modèle initial. Il suffit pour ce faire de négliger la dynamique des variables d’état

faiblement commandables et observables. Cette technique de réduction de modèle a même été

étendue au cas d’une réalisation instable.





Chapitre 4-5 : Commande par retour d’état des

Systèmes Multivariables

1. Introduction

2. Placement de pôles par retour d’état

3. Méthodes de calculs pour les systèmes multivariables

4. Observateur d’état et commande par retour de sortie

1. Introduction sur la commande par retour d’état

Le retour d’état est le moyen le plus classique d’envisager la commande d’un système modélisé par

une représentation d’état. Il suppose que toutes les composantes xi du vecteur d’état x sont accessibles

à la mesure. Une loi de commande possible est alors :

−

Où K ∈ IRn est un vecteur ligne de n composantes qu’il est convenu d’appeler vecteur de retour

d’état (ou gain de retour d’état), H est un scalaire dit de précommande et yc est la consigne, c’est-à-

dire l’entrée du système en boucle fermée. La figure suivante donne un diagramme de la commande

par retour d’état.

Figure 5.1 : loi de commande par retour d’état.

Le système en boucle fermé est donné par:

−

−

Le placement de pôles consiste à déterminer K de telle sorte que le système ait les pôles désirés ou,

plus rigoureusement, de telle sorte que la matrice d’état en boucle fermée ait les valeurs propres

spécifiées. Ceci permet d’agir de manière significative sur le comportement transitoire du système, en

termes de temps de réponse, d’oscillations, etc.

Alors, le problème de la commande par retour d’état consiste à trouver K qui stabilise le système en

BF.

-





2. Calcul du gain de retour d’état Il existe plusieurs approches pour le calcul du gain de retour d’état K, dans le cadre de ce cours, nous

allons présenter l’approche de calcul en utilisant la forme compagne de commandabilité.

3. Approche basée sur la forme compagne de commandabilité

Le principe est de représenter le système sous la forme compagne de commandabiléte :

Avec =M-1

AM, =M-1

B, =CM et =D (on prend D=0 pour faciliter les calculs).

Et M est la matrice de passage à calculer.

4. Cas des systèmes monovariables (SISO)

4.1. Approche1 : calcul d’un retour d’état dans la base canonique de

commandabilité

Le système étant commandable à partir d’une seule entrée, il existe une matrice de passage M (non

singulière, ç.-à-d. inversible) telle que qui permet de mettre le système sous sa forme

canonique compagne de commandabilité suivante.

−

−

−

Le polynôme caractéristique du système en boucle ouverte est le suivant :

En appliquant la commande par retour d’état :

− , Avec

Dans la base canonique compagne de commandabilité,

−

−

Donc la commande devient :

En remplaçant la commande obtenue dans la base canonique compagne de commandabilité, on obtient

la représentation d’état en boucle fermée suivante :

−

−

−

−





−

−

− −

Le système en boucle fermée est sous forme compagne de commandabilité, donc, le polynôme

caractéristique en boucle fermée est :

En imposant « n » pôles en boucle fermée :

Le polynôme caractéristique désiré en boucle fermée s’écrit :

− − −

Par identification terme à terme des polynômes caractéristiques , et il vient :

− −

−

D’une manière générale : − avec i = 0 … n-1.

où : les coefficients du polynôme caractéristique en boucle ouverte.

les coefficients du polynôme caractéristique désiré en boucle fermée.

Finalement, on revient à la base initiale pour trouver le gain de retour d’état suviant : K = -1

Résumé des étapes de calcul d’une commande par placement de pôles (retour d’état

K) :

Soit un système à commander :

L’on dispose d’un spectre désiré (n pôles désirés en BF).

La commande par retour d’état à appliquer au système a la forme suivante :

−

Etape 1 : Vérification de la commandabilité du système (rang de c= l’ordre n du système )

Etape 2 : Mettre le système sous forme compagne commandable en utilisant le changement de

variable: (calcul M et M -1

)





Avec =M-1

AM, =M-1

B, =CM

Etape 3 : Détermination du polynôme caractéristique en BO :

Etape 4 : Détermination du polynôme caractéristique désiré en BF :

Etape 5 : Calcul du retour d’état dans la base canonique de commandabilité :

− avec i = 0 … n-1.

Etape 6 : Calcul de retour d’état dans la base initiale : K = -1

4.1.2. Approche 2 : reformulation de calcul d’un retour d’état (de type Bass-Gura)

Pour des raisons de simplification, cette approche est exposée avec un exemple d’ordre 4. Considérons

un système décrit par une représentation d’état (avec un ordre n=4,) le polynôme caractéristique est

défini par : 4 3 2

1 2 3 4( ) det( )s sI A s s s s

Si le système est commandable, alors il peut être transformé (par la transformation x Px ) vers la

forme canonique de commandabilité, avec :

1 2 3

1 21 2 3

1

1

0 1[ ]

0 0 1

0 0 0 1

P B AB A B A B

La forme canonique de commandabilité du est décrite par :

1 2 3 4

1 2 3 4

1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

[ ]

x Ax Bu x u

y Cx x

On considère que Q et Q sont les matrices de commandabilité du système dans sa base initiale et

dans la base canonique de commandabilité, dans le cas SISO (une entrée et une sortie) Q et Q sont des

matrices carrées.





Si le système est commandable (ou Q est non singulière), alors sa représentation dans la forme

compagne de commandabilité est commandable (ou Q est non singulière).

La relation entre Q et Q est donnée par :

1P QQ Ou

1 1P QQ

L’inverse de la matrice de commandabilité Q est donnée par :

1 2 3

1 21

1

1

0 1Q =

0 0 1

0 0 0 1

(c’est une matrice de type Toeplitz triangulaire supérieure)

On supposant que n=4, le polynôme caractéristique ( )f s des valeurs propres désirées (P1, P2, P3, P4)

est donné par :

1 2 3 4

4 3 2

1 2 3 4

( ) ( )( )( )( )

( )

f

f

s s p s p s p s p

s s s s s

Si le retour d’état K est choisi comme suit :

1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )K

Alors le retour d’état K est donné par :

1K KP=KQQ

4.2. Performances statiques (le gain de précommande)

Dans le cas où le système ne subit aucune perturbation extérieure, l’objectif de la commande est

d’amener le système (et notamment sa sortie) à un nouveau point d’équilibre. Le placement de pôles

permet de satisfaire les contraintes dynamiques imposées au système (rapidité et stabilité). Les

contraintes statiques (erreur statique) doivent être traitées séparément. Pour résoudre le problème est

d’ajouter un gain précommande pour assurer un gain statique unitaire pour la boucle fermée. Une

deuxième possibilité réside dans l’ajout d’un intégrateur dans la chaine directe.

4.2.2. Par l’ajout d’un gain de précommande

Le but de trouver une loi de commande telle que le gain statique du modèle en boucle fermée est

unitaire (sortie=consigne, donc erreur statique nulle). Pour obtenir ce gain statique, l’on utilise le

dernier degré de liberté disponible, à savoir le scalaire de précommande (préréglage) H.

La fonction de transfert d’un système bouclé par retour d’état est :





− −

Pour D=0 :

− −

Ainsi le gain statique d’une telle fonction de transfert est égal à :

− −

Ce qui signifie que si l’on souhaite obtenir , il suffit de calculer ainsi :

− −

Pour avoir une erreur statique (de position) nulle, il faut choisir tel que :

− −

4.2.3. Par l’ajout d’un intégrateur

Le principe est d’ajouter un intégrateur dans la chaine directe comme montre la figure suivante :

Figure 5.2 : Commande par retour d’état et action intégrale

Remarquons que pour des raisons d’homogénéité, on note le signal d’erreur − − ,

(avec e(t)=yc c'est-à-dire la consigne). Le signe moins étant ajouté afin d’obtenir une expression

homogène pour l’expression de la loi de commande.

− − − −

Les équations de la boucle fermée s’écrivant :

−

La loi de commande implantée est définie par :

− − −

C’est donc une commande par retour d’état pour le système augmenté suivant :





−

Ou en prenant :

−

L’objectif de la commande est double :

1. Assurer la stabilité du système augmenté (et donc plus particulièrement le système Original) en

boucle fermée.

2. Assurer une erreur nulle en régime permanent :

−

En régime permanent, les différents signaux convergent vers une valeur finie :

Le calcul des points singuliers du système augmenté nous donne alors l’équation statique :

−

C’est-à-dire les relations suivantes : −

Afin d’observer la convergence des états vers leurs valeurs en régime permanent, formons l’erreur :

− −

La dynamique de l’erreur est donc régie par l’équation différentielle suivante :

− −

− −

Afin de prouver que la dynamique de l’erreur est stable et tend vers zéro, il faut choisir tel que

− soit stable. Par ailleurs, le choix des pôles de − permet d’imposer la vitesse de

convergence de l’erreur vers zéro et donc de x(t) vers x . Le problème de la synthèse d’une

commande par retour d’état avec action intégrale revient donc au calcul classique d’un retour d’état

sur un système augmenté ( , ).





4.3. Calcul d’un retour d’état des Systèmes multivariables

Soit le système multivariable de dimension n :

Avec : ( , ), ( , ), ( , ).

La loi de commande de placement de pôles par retour d’état est donnée par:

−

: Vecteur regroupant les consignes (sorties désirées) de dimension (p x1)

: est une matrice de préréglage de dimension (mxp).

: est une matrice de dimension (mxn) appelée matrice des gains du retour d’état.

4.3.2. Cas d’un système complètement commandable par « m » entrées

On décompose le système en m = rang ( ) sous systèmes commandables.

On pose , il vient :

Où : =M-1

AM, =M-1

B, =CM avec :

−

−

−

−

−

−

−

−

−





Cette fois-ci la matrice n’est pas triangulaire par blocs, ceci va compliquer le calcul de l’équation

caractéristique en boucle ouverte. Cependant, on peut choisir une matrice des gains K de façon que la

matrice soit triangulaire.

Pour des raisons de simplicité et de lisibilité des expressions, on se limite au cas où le système est

décomposé en deux sous-systèmes (m=2). Dans ce cas les matrices d’état, de commande et de gains

sont données par :

−

− −

−

−

−

,

La matrice d’état désirée en boucle fermée est donnée

par:

Pour avoir une matrice triangulaire, on prend

Par identification de et terme à terme, il vient :

− − − −

−

− −

Dans le cas général : −

− −





Finalement le retour d’état multivariable est donné par: .

Résumé des étapes de calcul d’un retour d’état en multivariable – approche de

décomposition du système en m sous-systèmes commandables (m est le nombre des

entrées de commande ou le nombre de colonne de la matrice B) :

Soit un système à commander :

L’on dispose d’un spectre désiré (n pôles désirés en BF). La commande par retour d’état à appliquer

au système est : −

Etape 1 : Décomposer le système en « m » sous systèmes commandables en utilisant le changement

de base suivant (calcul de la matrice de passage M et M-1

).

Etape 2 : Détermination des vecteurs :

Etape 3 : Détermination des vecteurs : , On veut une matrice triangulaire, donc le polynôme

caractéristique désiré en bouclé fermée est donné par :

−

La matrice d’état désirée s’écrit alors comme suit :





Etape 4 : Calcul du retour d’état dans la base canonique compagne de commandabilité.

de dimension mxn, avec : − ;

− −

Etape 5 : Calcul de retour d’état dans la base initiale : K = -1

4.4. Observateur d’état et commande par retour de sortie

4.4.2. Observateurs de systèmes linéaires

Une solution simple et optimale au problème de l’estimation de l’état des systèmes linéaires a été

proposée par Luenberger dans le cadre déterministe, et par Kalman dans le cadre stochastique. Dans

les deux cas, on considère le modèle dynamique d’un système linéaire défini comme suit :

sont deux bruits blancs gaussiens

d’espérance nulle, de covariances respectives R et Q. Ces bruits sont supposés non corrélés. Les

matrices du système sont de dimensions appropriées, et les conditions initiales sont définies par

.

4.4.3. Observateur de Luenberger

La théorie de l’observation de Luenberger repose essentiellement sur des techniques de placement de

pôles. On se place dans le cas déterministe, les bruits v et w et v sont nuls. Soit le modèle d’état

suivant

pour l’observation de ce système, Luenberger a proposé l’observateur suivant:





C'est-à-dire le modèle de l’observateur est basé sur les mêmes matrices d’état A, B et C du système et

en plus il à une matrice de gain (gain de l’observateur) K voir la figure suivante (dans cette figure le

gain de l’observateur est appelé Ke).

Figure 5.3 : diagramme d’un observateur de Luenberger

La dynamique de l’erreur d’estimation a pour expression

En utilisant une technique de placement de pôles, il suffit alors de choisir le gain K de l’observateur

de telle sorte que les valeurs propres de la matrice (A –KC) soient dans le demi-plan complexe

gauche. Pour une meilleure estimation de l’état, la dynamique de l’observateur est choisie plus rapide

que celle du système. Pour cela, on fixe les valeurs propres de l’observateur dans le demi-plan gauche

du plan complexe de sorte que leurs parties réelles soient plus grandes en valeur absolue que celles de

la matrice d’état A. En général, les pôles seront 5 à 6 fois plus rapides, mais ils doivent rester lents par

rapport aux bruits de mesures.

4.4.4. Commande par retour de sortie (basée observateur)

La synthèse d’une loi de commande par retour d’état suppose que tous les états du système sont

accessibles (tous les états sont mesurables). Si le système est observable, et si un ou plusieurs états ne

sont pas accessibles, un observateur peut être utilisé pour rendre ces états accessibles. Dans ce cas, le

retour d’état utilise le sorties estimées par l’observateur. Comme l’observateur utilise seulement les

entrées et les sorties du système à commander. On parle d’une commande par retour de sortie ou bien

d’une commande par retour d’état basée observateur (voir la figure en bas). La synthèse du gain de

l’observateur et du gain de retour d’état peut se faire dans deux étapes. C’est à dire on peut calculer

séparément le gain de retour d’état et le gain de l’observateur.





Figure 5.4 (a) : retour d’état basé observateur (diagramme détaillé)

Figure 5.4 (b) : retour d’état basé observateur plus action intégrale

Remarque :

Dans la littérature, on trouve généralement la notation K pour un gain de retour d’état et la notation L

pour le gain de l’observateur. On peut trouver d’autres notations dans le cas des systèmes

échantillonnés (c'est-à-dire dans le domaine discret). Voir par exemple le schéma en bas (qui résume le

cas continu ou discret), l’auteur de la référence [10] (utilise la notation L pour un gain de retour

d’état. Le calcul de L ou de K est toujours le même. Dans le cas discret les pôles désirés sont choisis

dans le cercle unitaire.

Dans le cas d’utilisation d’un intégrateur pour annuler l’erreur statique, le schéma suivant montre

l’utilisation d’un gain de retour d’état appelé L1 et un autre gain d’intégrateur appelé L2 (dans le cas

continu). Le cas discret est présenté par le schéma juste après.





Figure 5.5 : retour d’état avec action intégrale (analogie entre le cas continu et discret)

Figure 5.6 : retour d’état avec action intégrale (cas continu)

Figure 5.7 : retour d’état avec action intégrale (cas discret)





Références bibliographiques

[1] De Larminat, Automatique, Hermès, 1995.

[2] B. Pradin, G. Garcia ; Automatique linéaire : systèmes multivariables, polycopies de cours, INSA

de Toulouse, 2011.

[3] Caroline Bérard, Jean-Marc Biannic, David Saussié, La commande multivariable, Editions Dunod,

2012.

[4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naaeimi, Feedback Control Dynamique Systems. Addison-

Wesly, 1991.

[5] K. J. Astrôm, B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems, Theory and design. Prentice Hall,

New Jersy, 1990.

[6] W. M. Wonman, Linear Multivariable Control : A Geometric approach. Springer Verlag, New

York, 1985.

[7] Hervé Guillard, Henri Bourlès, Commandes des Systèmes. Performance & Robustesse.

Régulateurs Monovariables Multivariables Applications Cours & Exercices Corrigés, Editions

Technosup, 2012.

[8] Ahmed Chemori, Cours d’Automatique des systèmes Actionnés : Partie 2 : Analyse et commande

en espace d’état, Ecole polytechnique universitaire de Montpellier, 2013 / 2014.

[9] O. Bachelier, Représentations d’état linéaires des systèmes monovariables, Cours d’Automatique,

ENSIP, France, 2017.

[10] Bounar N., Cours sur les systèmes linéaires multivariables, Université Mohammed Seddik

Benyahia- Jijel, 2017-2018.

[11] Eric Ostertag, Mono- and Multivariable Control and Estimation, Linear, Quadratic and LMI

Methods, Springer-Verlag, Mathematical Engineering Series, Berlin Heidelberg, 2011.

[12] K. Ogata, Modern Control Engineering, Prentice-Hall, Inc, 1997.

[13] P.J. Antsaklis and A.N. Michel, Linear Systems, McGraw Hill, 1997.

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