Cours et Travaux Dirigés avec solution Commande des ... · Débit maximal de la pompe P 2 DP2 max...

UNIVERSITE DE SETIF

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE

Cours et Travaux Dirigés avec solution

Commande des Systèmes Linéaires Multivariables Master 1 Automatisation industrielle et process MAP81

Année universitaire 2019-2020 Rev. 5 05/04/2020

Dr. Sari B.

Ce document est une première version réalisée dans le cadre d’un enseignement du module commande

des systèmes Linéaires Multi-variables pour des étudiants en Master 1 automatisation industrielle et

process , année universitaire 2019-2020. Le volume horaire est de 1h30 cours et 1h30 TD par semaine.

Master 1 Université Ferhat Abbas Sétif 1

Automatisation industrielle et process Faculté de Technologie

Année universitaire : 2019/2020 Département d’Electrotechnique

2 Dr. B. SARI ([email protected])

Table des matières

Programme du module systèmes linéaires multivariables ....................................................................... 3

Références bibliographiques : ................................................................................................................. 3

Chapitre 1 : Introduction ......................................................................................................................... 4

Chapitre 2 : Représentation d’état des systèmes multivariables (SM) ................................................... 4

TD1 : Etude d’un procédé hydraulique : partie modélisation ................................................................. 5

(Modèle de connaissance non linéaire, représentation d'état) ............................................................. 5

TD2 : Etude d’un procédé hydraulique : partie linéarisation .................................................................. 7

(Configuration d'étude, modèle linéarisé tangent) ............................................................................... 7

TD3 : Représentation d’état .................................................................................................................... 8

Solutions et quelques éléments de réponse des différents TD. ............................................................. 11

Suite Chapitre 2 : Résolution de l’équation d’état ................................................................................ 16





Programme du module systèmes linéaires multivariables

Références bibliographiques :

1- De Larminat, Automatique, Hermès, 1995.

2- B. Pradin, G. Garcia ; "automatique linéaire : systèmes multivariables", polycopies de cours, INSA

de Toulouse, 2011.

3- Caroline Bérard, Jean-Marc Biannic, David Saussié, ''La commande multivariable", Editions

Dunod, 2012.

4- G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naaeimi, Feedback Control Dynamique Systems. (Addison-

Wesly, 1991.





5- K. J. Astrôm, B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems, Theory and design. Prentice Hall,

New Jersy, 1990.

6- W. M. Wonman, Linear Multivariable Control :A Geometric approach. Springer Verlag, New

York, 1985.

7- Hervé Guillard, Henri Bourlès, "Commandes des Systèmes. Performance & Robustesse.

Régulateurs Monovariables Multivariables Applications Cours & Exercices Corrigés", Editions

Technosup, 2012.

8- Ahmed Chemori, Cours d’Automatique des systèmes Actionnés : Partie 2 : Analyse et commande

en espace d’état, Ecole polytechnique universitaire de Montpellier,2013 / 2014.

Chapitre 1 : Introduction (2 Semaines, fait en classe)

1. Objectifs de ce cours,

2. Rappel sur le calcul matriciel,

3. Rappel des notions de l’approche d’état,

4. Différence entre SISO et MIMO.

5. Modélisation

Chapitre 2 : Représentation d’état des systèmes multivariables (SM) (2 Semaines, fait en classe, reste juste le point 5, il est présenté à la fin de ce document)

1. Définitions, stabilité

2. Différentes représentations des systèmes,

3. Linéarisation

4. Exemples d’applications (système à trois cuves, pendule inversé, en TD et TP)

5. Résolution de l’équation d’état (point traité dans ce document en bas)





TD1 : Etude d’un procédé hydraulique : partie

modélisation

(Modèle de connaissance non linéaire, représentation d'état)

Le procédé représenté sur la figure (1) est un système hydraulique composé de trois cuves T1, T2 et T3,

d'une bâche B0 et de deux pompes P1 et P2. Chaque cuve est reliée à la bâche par un conduit de section

Sn dont le débit est modulable par une vanne manuelle. De plus deux conduits de mêmes sections,

dont le débit est modulable par une vanne, permettent de relier les cuves T1 et T3 d'une part et les cuves

T2 et T3 d'autre part.

Cuve T1 Cuve T3 Cuve T2

Vanne 10 Vanne 30 Vanne 20

h1

h3

h2 Vanne 13 Vanne 32

Débit Q1 Débit Q2

Bâche B0

P2 P1

Figure 1

Les pompes ont un fonctionnement unidirectionnel et sont contrôlées en débit. Les niveaux d'eau dans

les cuves, notés h1, h2 et h3, sont mesurés par des capteurs placés sur les cuves.

Le boîtier de commande réalise:

• Le contrôle du débit des pompes.

• Le conditionnement des mesures de niveaux des trois cuves.

• La prise en compte des consignes de références.





Sachant que le niveau d'eau de chaque cuve est proportionnel à l'intégrale des débits des différents

conduits.

1. Ecrire les équations dynamiques des trois cuves reliant les différents niveaux d’eaux (h1, h2 et h3)

avec les différents débits Q10, Q20, Q30, ….,Q1 et Q2., avec :

Q30 : débit de la cuve T3 dans la bâche B0

Q13 : débit de la cuve T1 dans la cuve T3

Q32 : débit de la cuve T3 dans la cuve T2

Q1 : débit de la pompe P1

Q2 : débit de la pompe P2

2. Réécrire les trois équations différentielles non linéaires (de la question précédente) sous forme

d'équation d'état, où le vecteur d'état correspond aux trois hauteurs d'eau h1, h

2 et h

3. Les entrées de

commande sont les deux débits Q1 et Q2, les sorties à régler sont les niveaux h1 et h2.

3. Réécrire le modèle d’état en utilisant la loi de Torricelli dont les différents débits peuvent s'écrire

sous la forme suivante:

Q h az S gh a h

Q h az S gh a h

Q h az S gh a h

n

n

n

10 1 10 1 10 1

20 2 20 2 20 2

30 3 30 3 30 3

2

2

2

Q h h az S sign h h g h h a sign h h h h

Q h h az S sign h h g h h a sign h h h h

n

n

13 1 3 13 1 3 1 3 13 1 3 1 3

32 2 3 32 3 2 3 2 32 3 2 3 2

2

2

,

,

où Sn représente la section des conduits entre les différents éléments, et les coefficients aij traduisent

le débit du conduit reliant l'élément i à l'élément j via la vanne Vij. Toutes les vannes sont à la même

hauteur correspondant au niveau zéro.

4. Est-ce que le modèle obtenu constitue le modèle complet du procédé pour chaque valeur de

niveau et chaque configuration de vannes ? Expliquer ?

Sc : section d'une cuve

h1 : hauteur d'eau dans la cuve T1









TD2 : Etude d’un procédé hydraulique : partie

linéarisation

(Configuration d'étude, modèle linéarisé tangent)

A fin d’extraire un modèle d'état linéarisé autour d'un point d'équilibre, la configuration utilisé est la

suivante: les vannes V10 et V30 sont fermées, les vannes V13 et V32 et V20 sont ouvertes. On suppose

aussi qu'il n'y aura pas d'inversion d'écart de niveau entre les cuves et que h1 > h3 > h2 .

1. Au point d’équilibre, écrire le principe de conservation des débits pour chaque cuve.

2. Montrer que les hauteurs d’équilibre h10, h20 et h30 peuvent se mettre sous la forme suivante:

2

20

2120

a

QQh ee ;

2

32

12030

a

Qhh ;

2

13

13010

a

Qhh .

3. En considérant de faibles variations autour du point d'équilibre (Q1e, Q2e, h10, h20, h30), montrer en

linéarisant que le modèle d'état linéaire peut s'écrire sous la forme suivante:

h t A h t B Q t avec

h t

h t

h t

h t

1

2

3

.

4. Montrer que les matrices A et B du système peuvent se mettre sous les formes suivantes :

A

a

S Q

a

S Q

a

S Q

a

S Q Q

a

S Q

a

S Q

a

S Q

a a

S Q

c e c e

c e c e e c e

c e c e c e

132

1

132

1

322

1

202

1 2

322

1

132

1

322

1

322

132

1

20

2

02 2 2

2 2 2

, BSc

11 0

0 1

0 0

,

Valeurs des paramètres:

Hauteur maximale utile des cuves Hmax = 0.3 m;

Section des cuves Sc = 0.0154 m2;

Section des tuyaux Sn = 5 10-5

m2;

Débit maximal de la pompe P1 DP1max = 10-4

m3/s

Débit maximal de la pompe P2 DP2max = 10-4

m3/s

Gravité terrestre g = 9.81;

Coefficient pour le débit de T1 vers B0 az10 = 0.60;



Coefficient pour le débit de T1 vers T3 az13 = 0.50;

Coefficient pour le débit de T3 vers T2 az32 = 0.50;

Position vanne entre cuve i et cuve j (Bâche = cuve 0) Pvij=0 si vanne fermée, Pvij=1 si vanne

ouverte.





TD3 : Représentation d’état

Exercice 1 :

Soit le système mécanique (masse ressort) présenté par la figure suivante :

Il est constitué de deux masses m1 et m2, de trois ressorts de raideurs k1, k2 et k3. Pour simplifier

l’étude on néglige les frottements. Les entrées de ce système sont les forces agissants sur les deux

masses et les sorties sont les deux déplacements des masses (comme indiqué sur la figure). Le

mouvement de ce système est décrit par les deux équations différentielles suivantes :

1ÿ1 +( k1 + k2 ) у1 −k2у2=u1

2ÿ2−k2у1+( k1 + k2 ) у2 =u2

1. Donner une représentation d’état de ce système.

2. En déduire la matrice de transfert par deux méthodes.

Exercice 2 :

Les équations différentielles du mouvement d’un pendule simple présenté par la figure suivante sont

données par :

Où Mc et Jeq sont respectivement la masse du chariot et l’inertie équivalente du

système.

Beq et Bp sont les coefficients des frottements visqueux du chariot et du pendule.

Lp et Jp sont la langueur et l’inertie de la tige du pendule.

La force Fc appliquée sur le chariot est la seule entrée de commande de ce système.

En utilisant les positions et les vitesses (du chariot et du pendule) comme variables d’état, et en

utilisant également la position du chariot x1 et l’angle du pendule x2 comme variables de sortie :





Sachant que les conditions initiales de toutes les variables sont nulles :

1. Pour des petites variations de la tige du pendule autour l’angle 0, linéariser les deux équations

différentielles dynamiques du système autour de ce point d’équilibre nul (c'est-à-dire conditions

initiales nulles).

2. Donner une représentation d’état linéaire de ce système.

Exercice 3 :

Soit le système décrit par les équations différentielles suivantes :

1. Donner une représentation d’état de ce système (prenez comme sorties y1 et y2).

2. Donner son diagramme structurel.

Exercice 4 :

Soit le circuit électrique suivant. Donner sa représentation d’état en utilisant les variables d’état

mentionné mentionnées dans le circuit. Utiliser les variables suivantes: C1=3F , C2=1F , R1=1Ω ,

R2=2Ω , L=2H

Exercice 5 :

Considérons la matrice d’état A =[−2 −2 ;−1 −3] d’un système multivariable.

1. Donner la matrice d’état Ab du système sous la forme modale.

2. Calculer la matrice de transition T qui permet d’avoir la forme modale.

3. Calculer T-1

et vérifier le résultat de la question 1.

4. Calculer la matrice de transition du système.

5. Vérifier le résultat obtenu par la méthode de Cayley-Hamilton.





Exercice 6 :

Soit le circuit électrique suivant. Il est composé de deux capacités C1 , C2 , une inductance L, une

résistance R et une source de tension U ( signal d’entrée de commande ) , la sortie est la tension aux

bornes de l’inductance L .

Question : donner une représentation d’état de ce système en choisissant les tensions des capacités et

le courant de la bobine comme variables d’état.

Exercice 7 :

Les équations différentielles du mouvement système présenté dans la figure suivante sont données

par :

Où Mc et Mp sont respectivement les masses du chariot et du pendule.

Bc et Bp sont les coefficients des frottements visqueux du chariot et du pendule.

L et J sont la langueur et l’inertie de la tige du pendule.

La force F appliquée sur le chariot est la seule entrée de commande de ce système.

En utilisant les positions et les vitesses (du chariot et du pendule) comme variables d’état, càd :

En utilisant également la position du chariot x1 et l’angle du pendule x2 comme variables de sortie :

3. Donner une représentation d’état linéaire de ce système.

4. Est-ce que le système est contrôlable ? justifier votre réponse.





Solutions et quelques éléments de réponse des différents TD.

Solution TD1 :

Déjà fait en classe.

Solution TD2 :

Expliquée en classe (devoir).

Solution TD3 : (présentée dans ce doc)

Solution exercice1 (système masse ressort)

1/

2/ a) par application du transformée de Laplace, on obtient:

Ce qui peut être écrit sous la forme suivante (avec un calcul simple de l’inverse d’une matrice

d’ordre 2) :

Avec

b) Avec la méthode directe basée sur les matrices d’état :

G(s) = D+C (s I-A)-1

B

Pour aller vite, il suffit de calculer les éléments qui nous intéressent de la matrice (s I-A)-1

,

c'est-à-dire ce n’est pas nécessaire de calculer les éléments de la matrice (s I-A)-1

qui seront

multipliés par la suite par les zeros (de la matrice C ou B).

On retrouve la même chose que a).





Solution exercice 2 (pendule simple)

1) Modèle linéarisé :

2) Représentation d’état :

En prenant les variables d’état suivantes : on obtient le modèle suivant :

A= [0 0 1 0 ;

0 0 0 1 ;

0 +M p2

Lp2

g /Jt -Beq (Mp Lp2 + Jp) /Jt +Mp Bp L /Jt ;

0 -Mp L g (Mc+Mp) /Jt +Mp L Bc/Jt -Bp (Jeq+Mp) /Jt ].

B=[0 ;

0 ;

(Mp Lp2 + Jp) /Jt ;

-Mp Lp /Jt ].

Avec Jt= (Jeq+Mp) (Mp L2 + J) - Mp

2 Lp

2 = (Jeq+Mp) Jp +Jeq (Mp Lp

2)

Solution exercice 3 :

1. Représentation d’état du système,

A=[0 1 0 0 ; 0 -3 -2 0 ;0 0 0 1 ;0 -1 -1 0] ;

B=[0 0 ;1 0 ;0 0 ; 0 1]

C=[1 0 0 0 ;0 0 1 0]

D=[0 0 ; 0 0]

2. Donner son diagramme structurel.





Solution exercice 4 (circuit électrique 1)

Solution exercice 5 (matrice de transition)

A = [−2 −2 ;

−1 −3].

1. La forme modale de ce système.

Les valeurs propres de cette matrice sont solutions de son équation caractéristique :

La matrice d’état sous la forme modale s’écrit donc Ab=[-1 0 ; 0 -4]

2. Calcul de la matrice de transition T qui permet d’avoir la forme modale. Calculons le premier vecteur propre :

Prenons par exemple :

Le second vecteur propre se calcule tout aussi facilement :

Prenons par exemple :





On a donc la matrice de transition :

3. Calcul de T-1

Vérification : on a bien T-1

A T = Ab

4. Calcul de la matrice de transition du système :

En utilisant la forme modale, on a donc A = T Ab T-1

et e(A t)

= T e(Ab t)

T-1

(cela est déjà

vérifié en TP)

Soit d’où

5. Vérifier le résultat obtenu (c’est à dire vérifier le calcul de la matrice de transition e(A t)

) par la

méthode de Cayley-Hamilton :

Nous pouvons écrire à priori que :

………………………….(eq.1)

Les inconnus dans l’équation précédente eq.1 sont les deux fonctions f1(t) et f2(t). Il nous faut donc

deux équations pour pouvoir calculer ces deux inconnus. La méthode de Cayley-Hamilton permet

d’avoir ces deux équations en remplaçant la matrice A par sa première valeur propre -1 (ça donne la

première équation) ensuite on remplace A par sa deuxième valeur propre (-4) on obtient alors la

deuxième équation :

Maintenant en résolvant ces deux équations on obtient les deux fonctions f1(t) et f2(t).





On obtient finalement le même résultat calculé précédemment :

Solution exercice 6 (circuit éléctrique2)

Solution exercice 7 (pendule inversé)

A=[0 0 1 0 ;

0 0 0 1 ;

0 -M p2 L

2 g /Jt -Bc Beta /Jt Mp Bp L /Jt ;

0 Mp L g (Mc+Mp) /Jt Mp L Bc/Jt -Bp (Mc+Mp) /Jt ].

Avec Beta=Mp L2 + J et Jt= (Mc+Mp) (Mp L

2 + J) - Mp

2 L

2

B=[0 ;

0 ;

Beta/Jt ;

-Mp L /Jt ].

C=[1 0 0 0 ;

0 1 0 0].

D=[0

0 ].

Remarque : dans le cas d’un pendule simple (n’est pas inversé), les signes des termes A(3,2)

et A(4,2) seront inversés (à cause du g), et le reste du modèle reste inchangé (si on utilise les

mêmes notations on retrouve le même modèle de l’exercice 2).





Suite Chapitre 2 : Résolution de l’équation d’état

1. Introduction :

Résoudre les équations d’état consiste à déterminer l’expression du vecteur d’état en fonction

du temps, Autrement dit à déterminer les expressions temporelle des n variables d’état

connaissant le système (c.à.d A, B, C et D) et connaissant l’entrée u(t) qui lui est

appliquée. L’équation de la solution est appelée équation de transition.

2. Principe :

On considère l’exemple d’un système décrit par une simple (une seule) équation

différentielle (cas scalaire) : .

La solution d’une telle équation différentielle est connue, et a pour expression :

La première partie de cette équation représente la solution libre (régime autonome)

La seconde partie représente la solution forcée (régime forcé ou commandé).

3. Généralisation au cas d’un système quelconque :

On considère maintenant le système représenté par l’équation d’état :

La solution de cette équation s’obtient par généralisation du résultat précédent :

Dans cette écriture, le terme e(A t)

représente une matrice exponentielle que l’on note

en générale et que l’on appelle matrice de transition du système.

Si on connait l’état du système à un instant , on peut calculer son état à un

instant t quelconque :





4. Calcul de la matrice de transition

L’opération pricipale dans la résolution des équations d’état, consiste à calculer la matrice de

transition c'est-à-dire le terme e(A t)

.

Pour cela de nombreuses méthodes existent. Les plus classiques sont les suivantes :

1. Méthode 1 : méthode de la transformée de Laplace

2. Méthode 2 : méthode de diagonalisation

3. Méthode 3 : méthode de Cayley-Hamilton

4. Méthode 4 : méthode de calcul direct (développement de Tylor)

Ces méthodes seront détaillées par la suite.

Méthode 1 : méthode de la transformée de Laplace

Il apparaît clairement, en confrontant cette expression à la solution générale déterminée

précédemment, soit :

que la matrice de transition e(A t)

possède pour transformée de Laplace la matrice [pI-A]-1

.

Il suffit alors d’inverser la matrice [pI-A], ce qui conduit à une matrice rationnelle en p dont

on calcule la transformée de Laplace élément par élément.

Exemple :





Méthode 2 : méthode de diagonalisation

Il est facile de remarquer que le calcul de la matrice de transition est très simple a effectuer si

celle-ci est diagonale, en effet :

Cette constatation nous conduit naturellement à imaginer une méthode relativement facile

pour calculer e(A t)

: il suffit de diagonaliser la matrice A. On considère une matrice d’état

quelconque A. Les vecteurs propres et valeurs propres de cette matrice sont définies par :

Vi sont les vecteurs propres et sont les valeurs propres. Ces grandeurs sont très faciles à

déterminer, étant donné que les valeurs propres sont les racines de l’équation :

Soit la matrice modale, formée des vecteurs propres :

La matrice diagonale appelée ici D (attention ce n’est pas le D de d’équation d’état) formée

des valeurs propres de A est obtenue :

La matrice de transition e(A t)

est alors calculée par :





Exemple :

Méthode 3 : méthode de Cayley-Hamilton

Cette méthode repose sur une des propriétés d’une matrice, à savoir : Chaque matrice est

toujours solution de son équation caractéristique. Elle présente l’avantage d’être

relativement rapide pour des matrices d’ordres peu élevés. On considère une matrice A, son

équation caractéristique s’écrit :

Cette équation permet d’affirmer que pour toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs

propres distinctes, toute puissance de A supérieure ou égale à n peut s’exprimer en fonction

d’une combinaison des puissances de A strictement inferieur à n.

On peut donc écrire :

La recherche des fonctions fi(t) ne pose aucune difficulté : les valeurs propres de la matrice

A vérifient obligatoirement cette équation. On construit un système de n équations à n

inconnues (qui sont les fonctions fi(t)). La résolution de ce système permet de déterminer e(A t)





Exemple :

Méthode 4 : méthode de calcul direct (développement de Taylor)

Cette méthode est basée sur l’expression du développement de Taylor à condition que la

matrice d’état soit nilpotente1 (voir tout en bas)

.

Bien évidemment plus k est petit, plus le calcul direct est simple et rapide. Le développement

de Taylor de e(A t)

est donné par :

Exemple :

On applique le développement de Taylor, ce qui donne :

1 Une matrice carrée est dite nilpotente si :

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