Cours EM 2 Potentiel - CGDSMPSI · 2012-04-18 · Electromagnétisme chapitre 2 Potentiel...

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Stress, Adaptation, and Longevity Leonardo da Vinci

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Electromagnétisme chapitre 2

Potentiel Electrostatique Dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux aspects énergétiques de l'électrostatique.

I. Circulation du champ électrostatique

Par définition (mathématique) la circulation C, entre les points A et B, d'un champ de vecteurs

E sur une

courbe C liant les deux points A et B, est définie par CAB(C) =

A C( )

B∫

E �

d

l où

d

l désigne le déplacement

élémentaire le long de C.

Il s'en suit que la circulation dépend du champ de vecteurs, des points A et B et de la courbe C.

I.1. Origine énergétique du concept de circulation

De façon très générale, un système contient de l'énergie, s'il est capable de fournir du travail.

Soit une particule de charge q située en un point M de l'espace où elle subit un champ

E (M) donc une

force

F (M) = q�

E (M) et se déplaçant de M1 en M2 en décrivant une courbe C.

Par définition le travail de la force

F (M) est W =

M1 C( )

M2∫

F (M)�

d

l où

d

l représente le déplacement

élémentaire le long de C. Autrement dit le travail d'une force est la circulation du champ de vecteur force le long de la courbe suivie par son point d'application.

Le travail d'une force

F (M) dépend donc de la force, des points A et B et de la courbe C. Cependant,

nous avons vu en mécanique que dans quelques cas, ce travail est indépendant du chemin suivi, donc de la courbe C, on dit alors que la force est conservative. La question est de savoir ce qu'il en est dans le cas de la force électrostatique. On peut poser la question autrement : quelle est la valeur du travail d'une force électrostatique pour une particule décrivant une courbe fermée ?

Si la charge q est constante, ce que nous supposerons, le calcul du travail de

F (M) revient à celui de

la circulation de

E .

I.2. Circulation du champ d'une charge ponctuelle

Soit le champ

E créé par une charge ponctuelle q placée en O, origine des coordonnées sphériques.

On peut calculer

E (

r ) =

14 ⋅ π ⋅ε0

q

r 2 �

e r.

Un déplacement élémentaire

d

l dans cet espace est

d

l = dr�

e r + r�dϑ�

e ϑ + r�sin ϑ�dϕ�

e ϕ donc

la circulation élémentaire est

E �dr�

e r =

E �d

r =

14 ⋅ π ⋅ε0

q

r 2 �dr.

Entre deux points A et B, le long d'une courbe C ne passant pas par O (où

E n'est pas défini), on a :

CAB(C) =

A C( )

B∫

14 ⋅ π ⋅ε0

q

r 2 �dr = -

q4 ⋅ π ⋅ε0

⋅1rB

−1rA

&

' (

)

* + =

q4 ⋅ π ⋅ε0

⋅1rA

−1rB

&

' (

)

* + où l'on voit que cette circulation

est indépendante de C. Il s'en suit que le long d'une courbe fermée (A ≡ B), la circulation du champ est nulle.

On dit que la circulation du champ électrostatique est conservative, ce que l'on écrit :

C∫

E �

d

l = 0.

I.3. Circulation du champ d'une distribution

Le principe de superposition nous permet de déterminer le champ créé par une distribution de charges

E =

14 ⋅ π ⋅ε0

i∑

qi

ri2 �

e ri dont la circulation élémentaire est dC =

E �

d

l =

14 ⋅ π ⋅ε0

i∑

qi

ri2 �dr =

i∑ dCi.

La circulation du champ d'une distribution de charges, est la somme des circulations des champs de chacune des charges. Elle est donc conservative. Il s'en suit que le long d'une courbe fermée, la circulation d'un champ électrostatique quelconque est nulle. Ce que l'on écrit :

C∫

E �

d

l = 0.

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I.4. Traversée d'une surface chargée

Soit un contour C fermé, rectangulaire ABCD traversant une surface chargée. C est formé de deux

éléments (AB et CD) de longueur

d

l parallèles à la surface et deux éléments de hauteur h

perpendiculaires à la surface. Le long de ce contour fermé

C∫

E �

d

l = 0 est la somme des circulations

calculables sur chacun des côtés du rectangle.

Supposons ce rectangle de dimensions élémentaires : AB et CD sont supposés assez petits pour que les champs

E 1 sur AB et

E 2 sur BC soient uniformes, mais

E n'est pas défini sur la surface chargée donc les

champs sur BC et DA ne sont pas uniformes.

On peut écrire

E 1�

d

l -

E 2 �

d

l + CBC + CDA = 0

Quand h → 0, les circulations CBC et CDA → 0. Donc (

E 1 -

E 2)�

d

l = 0.

Ce qui veut dire que la différence entre les deux vecteurs

E 1 et

E 2 est perpendiculaire à

d

l

autrement dit que les composantes parallèles à

d

l de ces deux champs sont égales.

On traduit cela en disant qu'à la traversée d'une surface, chargée ou non, la composante tangentielle du champ est continue. Ce qui ne dit rien de sa composante normale.

II. Potentiel électrostatique

II.1. Circulation et potentiel

II.1.1. Fonction potentiel

La circulation étant conservative, la grandeur CAB =

A

B∫

E �

d

l ne dépend pas du chemin suivi.

Donc la grandeur VB = VA -

A

B∫

E �

d

l ne dépend que de la position de B (et de la valeur choisie en A).

La fonction V(M) ainsi définie (à une constante près) est la fonction potentiel, c'est une fonction de l'espace, mais ce n'est pas une fonction vectorielle. Le potentiel est un champ scalaire.

II.1.2. Champ de gradient

La circulation élémentaire :

E �

d

l = Ex�dx + Ey�dy + Ez�dz s'identifie à l'opposé de la différentielle de

V(M). En effet dV(M) =

∂V∂x

#

$ %

&

' ( �dx +

∂V∂y

#

$ %

&

' ( �dy +

∂V∂z

#

$ % %

&

' ( ( �dz → Ex = -

∂V∂x

#

$ %

&

' ( , Ey = -

∂V∂y

#

$ %

&

' ( et Ez = -

∂V∂z

#

$ % %

&

' ( ( .

Ainsi on peut identifier

E = -

grad V(

r ).

Un champ de vecteurs à circulation conservative est un champ de gradient. Il conviendra de savoir calculer le gradient en coordonnées sphériques.

De

E �d

r = - dV(

r ) =

14 ⋅ π ⋅ε0

q

r 2 �dr on déduit V(M) =

14 ⋅ π ⋅ε0

qr

+ constante.

On choisit en général la constante telle que le potentiel soit nul à l'infini. On remarquera que si le potentiel ainsi défini n'est pas unique (il est défini à une constante près), le choix de l'origine (ou choix de jauge) ne modifie pas le champ.

II.2. Potentiel créé par une distribution de charges

II.2.1. Superposition des effets

L'opérateur gradient est un opérateur linéaire donc le potentiel d'une distribution est la superposition des

contributions au potentiel créé par chacune des charges de la distribution → V(M) =

i∑

14 ⋅ π ⋅ε0

qi

ri

II.2.2. Expressions du potentiel

Dans le cas de distributions d'extensions finies (pour donner un sens aux intégrales) et en choisissant le potentiel nul à l'infini, l'expression du potentiel créé par une distribution continue de charges est

V(M) =

14 ⋅ π ⋅ε0

dqp

rD∫∫∫ ce qui donne pour :

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• une distribution volumique V(M) =

14 ⋅ π ⋅ε0

ρ⋅dτrD∫∫∫

• une distribution surfacique V(M) =

14 ⋅ π ⋅ε0

σ ⋅dsrD∫∫

• une distribution linéique V(M) =

14 ⋅ π ⋅ε0

λ⋅dlrD∫

II.3. Exemple

Calculons le potentiel créé, en un point de son axe, par un disque de rayon R portant la charge surfacique σ = constante. Nous avons déjà calculé le champ créé par cette distribution.

V(M) =

14 ⋅ π ⋅ε0

σ⋅dsdD∫∫ avec dS = 2�π�r�dr = π�d(r2) et d =

r 2 +z 2

→ V(M) =

σ4 ⋅ε0

d r 2( )r 2 +z 20

R∫ =

σ2 ⋅ε0

�(

R2 +z 2 -

z 2 ) =

σ2 ⋅ε0

�(

R2 +z 2 - ⏐z⏐).

On remarque que :

• pour z → ± ∞ on a bien V(∞) = 0

• pour z = ± 0, donc sur le disque, V(0) =

σ2 ⋅ε0

�R, Le potentiel est continu à la traversée du disque

Le potentiel est continu à la traversée d'une nappe alors que le champ subit une discontinuité égale à

σε0

.

III. Topographie du potentiel électrostatique

III.1. Surfaces équipotentielles

Par définition une surface équipotentielle, de potentiel V0, est l'ensemble des points de l'espace où le

potentiel a la même la valeur V0. L'équation de cette surface est donc V(

r ) = V0 constante.

Deux surfaces équipotentielles ne peuvent pas se croiser, puisque le potentiel en un point ne peut avoir qu'une seule valeur.

Considérons deux points M et N, proches, d'une même surface équipotentielle, tels que d

MN = d

r .

Par définition de V : V(N) – V(M) = -

E �d

r = 0 →

E et d

r sont perpendiculaires.

Le champ électrostatique est donc en tout point de la surface équipotentielle, perpendiculaire à cette surface. Il est dirigé dans le sens des potentiels décroissants.

Plus généralement toute surface définie par G(

r ) = constante admet le vecteur

grad G comme vecteur normal.

Nous pourrons rencontrer le cas de lignes de champ non perpendiculaires à une surface équipotentielle, lorsque le point atteint par la ligne est un point de champ nul.

III.2. Symétries

Il est possible de choisir la constante d'intégration (ou jauge) de façon à ce que le potentiel V(

r ) ait les

mêmes propriétés de symétrie que la distribution des charges.

• Exemple : soit une distribution D admettant un plan de symétrie Π, si l'on prend V = 0 sur ce plan, le potentiel en M sera opposé au potentiel en M', symétrique de M par rapport à Π.

• Invariances

⇒ Une distribution invariante par translation parallèle à Oz, crée un champ ne dépendant que de x et de y, et un potentiel qui ne dépend que de x et de y.

E (x, y, z) =

E (x, y) et V(x, y, z) = V(x, y).

⇒ Une distribution présentant la symétrie de révolution autour de Oz engendre un champ et un potentiel qui ne dépendent que des coordonnées cylindriques r et z :

E (r, ϑ, z) = E

r(r, z)�

e r + Ez(r, z)�

e z.

z

αm

d

r dS

M

α

P

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⇒ Une distribution à symétrie cylindrique crée un champ et un potentiel ne dépendant que de la distance r à l'axe du cylindre :

E (r, ϑ, z) = E

r(r)�

e r et V(r, ϑ, z) = V(r).

⇒ Une distribution à symétrie sphérique crée un champ et un potentiel qui ne dépendent que r :

E (r, ϑ, ϕ) = E

r(r)�

e r et V(r, ϑ, ϕ) = V(r).

En résumé le potentiel admet les mêmes propriétés d'invariance que ses sources mais, à cause de la constante d'intégration, le potentiel n'a pas forcément les mêmes propriétés de symétrie. Cela dépend du choix du potentiel zéro.

IV. Energie potentielle d'interaction électrostatique

IV.1. Travail de la force électrostatique

f = q�

E

Au cours d'un déplacement élémentaire

d

l on a δW =

f �

d

l = q�

E �

d

l = - q�dV = - d(q�V).

Pour un déplacement entre A et B, ce travail est donc WAB = - q�(VB – VA), il ne dépend pas du

chemin suivi entre A et B.

Le travail ne dépendant pas du chemin suivi, on lui associe une fonction d'état qui ne dépend que de la position de la particule de charge q : l'énergie potentielle d'interaction entre une charge q et un champ électrostatique

E créant le potentiel V est Ep = q�V. Elle est définie à une constante près.

La force

F = q�

E dérive de cette énergie potentielle :

f = -

grad Ep et son travail est WAB = - ∆Ep.

Le travail d'un opérateur déplaçant lentement cette charge (sans lui fournir d'énergie cinétique) est Wop = + ∆Ep puisque l'opérateur doit fournir une force -

f .

IV.2. Energie d'interaction de deux charges ponctuelles

L'énergie potentielle d'interaction de deux particules est Ep12 =

14 ⋅ π ⋅ε0

q1 ⋅q2

M1M2 en

kr

comme l'énergie

potentielle gravitationnelle.

En faisant apparaître V1(M2) et V2(M1) on a Ep12 = q2�V1(M2) = q1�V2(M1)