Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

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Cycle Préparatoire Intégré Module 4 Electromagnétisme Cours M. AIT EL FQIH Année Universitaire 2013-2014 Université Hassan II Mohammedia Casablanca ن وا ا ار اءار ا اECOLE NATIONALE SUPERIEURE D’ARTS ET METIERS - CASABLANCA

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Cycle Préparatoire Intégré

Module 4

Electromagnétisme

Cours

M. AIT EL FQIH

Année Universitaire 2013-2014

Université Hassan II Mohammedia Casablanca

ن وا������� ا���ر�� ا���� ا���� ا��ار ا���� ء

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D’ARTS ET METIERS - CASABLANCA

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Programme Module 4 – Electromagnétisme

– Rappels d’analyse vectorielle.

– Rappels Magnétostatique.

– Équations de Maxwell.

– Les ondes électromagnétiques dans le vide (application des équations de Maxwell).

– Milieux diélectriques.

– Polarisation des dipôles électriques.

– Condition de passage entre deux milieux diélectriques.

– Etude de la polarisation dans les diélectriques.

– Milieux aimantés.

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Chapitre 1 Eléments d’analyse vectorielle

1. Champ scalaire - Champ vectoriel Soit un trièdre orthonormé et M un point de l’espace, de coordonnées (x,y,z) : La fonction f(M) est dite fonction scalaire de point ou champ scalaire si :

Le vecteur ������� est dit fonction vectorielle du point M ou champ vectoriel si :

2. Gradient d’un champ scalaire Le gradient (noté ���������������) est défini à partir d’une fonction scalaire de point et a pour composante suivant les dérivées partielles de f(M) par rapport à x, y et z respectivement :

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3. Divergence d’un champ vectoriel La divergence (noté div) n’est définie qu’à partir d’une fonction vectorielle ����(M) de point et donne une fonction scalaire de point définie, en coordonnées cartésiennes par :

4. Rotationnel d’un champ vectoriel Le rotationnel noté (� �������) d’un champ vectoriel donne une fonction vectorielle de point définie en coordonnées cartésienne par :

5. Laplacien scalaire Le Laplacien scalaire d’une fonction scalaire de point (noté lap ou ∆∆∆∆) est par définition un champ scalaire défini par :

Dans un système de coordonnées cartésiennes, il s’écrit :

6. Laplacien vectoriel Le Laplacien vectoriel (noté ����������� ou ����) d’un champ vectoriel ���� est un champ vectoriel défini par :

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Dans un système de coordonnées cartésienne, le laplacien vectoriel a pour composantes :

7. Opérateur nabla Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment définis, on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla défini par:

Les opérateurs vectoriels s’écrivent parfois à l’aide de l’opérateur nabla sous les formes respectives suivantes : – le gradient d’un champ scalaire f est noté

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– la divergence d’un champ vectoriel est notée – le rotationnel d’un champ vectoriel est noté

– le laplacien scalaire d’un champ scalaire est noté :

se lit ”del de”.

– le laplacien vectoriel d’un champ vectoriel est noté

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8. Théorème de Stokes-Théorème de Gauss 8.1 Circulation d’un champ vectoriel

On définit la circulation d’un vecteur ���� le long d’un contour (C), par l’intégrale curviligne :

La circulation le long d’un contour fermé est notée par :

8.2 Flux d’un champ vectoriel

On définit le flux d’un vecteur ���� à travers une surface (S) par l’intégrale double :

Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire ���� est dirigé de l’intérieur vers l’extérieur.

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8.3 Théorème de Stockes

La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface :

8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence)

Le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégral de sa divergence dans le volume (ττττ) limité par la surface fermée (S)

Aide mémoire du formalisme mathématique :

��� ��� ����� � ��� ���������� � ���� � �� ���������� � ���� ���������� �� � ������ � � ���������� �� � �� � �!��������������� �!��������������. � � �!��������������� # � �!������������� � ��� $%���& � 1� ��� %�� # %�� �!������������ (1�)

��� ��� �� � � ������� # �� �!���������������

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Chapitre 2 Rappels Magnétostatique

1. Expérience d’Oestred (mise en évidence du champ produit par un courant)

Si I = 0, la boussole s’oriente dans le sens terrestre.

I ≠ 0, la déviation de la boussole.

Le courant électrique produit un champ magnétique supplémentaire ��� tque ��� * ��� terrestre

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Par application de la loi de Biot et Savart :

+,�������� � ��

Le champ élémentaire créé par l’élément dl en un point M :

�-������� � ./01 2 �3����� 4 ��5 Loi de Biot et Savart

-��� � 6 ./01 2 ��3����� 4 ��5��7� avec 89 � 4; 10=> ?@ Le sens de -��� est déterminé de telle façon que le trièdre ��A����, ��, ���� soit directe.

Le champ magnétique créé en un point M par un élément de circuit de longueur �3 est donc représenté par un vecteur perpendiculaire au plan

défini par le vecteur �3����� et ��. �- � ./01 2 �3E FGH I

L’unité de B est le Testa = 10 koe (oersted)

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2. Calcule du champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant (I)

�� � J K�J # LK�L # MK�M

N # O # PQ � ;

N # O � ;2

�������� � 894; @ �A���� � ���S

�� � 894; @ �A�Q sin O

or sin O � sin�π2 � α� � cos α donc �� � 894; @ �A�Q cos N

d]autre part on a: b% � ! � N K� cos N � !� , A � ! � N K� � � !cos N

�A � ! �NcosQ N

�� � cdeP ! fghijk g hijk glk cos N �N

�- � ./201 mnF o �o

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Le champ créé par le circuit tout entier :

� � p cdqePl cos N �Nrksrk

� � 89@4;! tsin Nu=PQPQ

- � ./2E1 � � v�K w ! � v�K

Les lignes de champ sont donc des cercles contrés en O.

Remarque

On peut définir un nouveau vecteur x��� donnée dans le vide par la relation :

-��� � ./ y���� x��� est appelé excitation du champ magnétique.

Donc y � 2E1 et ce pour un fil infini.

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3. Conservation du flux magnétique.

�������� � 894; @ �A���� � ���S , ��� � z 894; @ ��A���� � ���S��{�

Calculons la ��� ��� : ��� � ���� � 6 cdeP @ ��� ��A���� � |�|}��{� on sait que ������ � ���� � ��� ���������� �� � �� ���������� ��� Donc : ��� ~�A���� � |�|}� � |�|} ���������� �A���� � �A���� ���������� ~ |�|}� w �� ~�A���� � |�|}� � � �A���� ���������� ~ |�|}� , or ���������� ~ |�|}� � �|} ���������� �� � �� � �!������������ ~ �|}� ���������� ����� � � ���������� �� � �� � �!������������� ��

D’autre part, sachant que : �!������������� �. � � �!������������ ��� # � �!������������ � � w �!������������ ~ �|}� � �!������������ ~ �|k �|� � �| �!������������ ~ �|k � # �|k �!������������ ~ �| � et �!������������ ~ �|k � � �| �!������������ ~ �| � # �| �!������������ ~ �| � =

Q| �!������������ ~ �| �

donc �| �!������������ ~ �|} � � S|k �!������������ ~ �| �

���������� ~ |�|}� � �|} ���������� �� � �� � �!������������ ~ |�|}� � ��� � ~� S|k |�|}� � �� � ~S|�����|�� � S|� ��� � ��� � 0

Donc ��� - ���� � /��� On dit que le champ magnétique est à flux conservatif.

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Par application du théorème d’Ostrogradsky :

� ��� ��� �� � � ����?������� E étant la surface limitant le volume �

� � � ����?����� � 0� donc le flux ��� sortant d’une surface fermée (S) est don nul.

4. Théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère est relatif à la circulation de ��� le long d’une courbe fermée.

6 ����A����{ fil fini

On sait que ��� � 89@2;! �I����� ��] � !�O ; b�������� � ! ������ �et ce dans la base �������, �I�������

��]���������� � �A���� � !�O �I����� Donc, z ����A����

{� z 89@2;!

QP9

!�O � 89@2; z �OQP9

� 89@ 6 -����3�����7 � ./∑2 théorème d’Ampère

La circulation du champ magnétique créé par un courant I quelque soit le long d’une courbe (C) fermée est égale au produit de 89par l’intensité total qui traverse toute la surface s’appuyant sut la courbe (C).

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- Dans le cas d’une distribution volumique du courant :

I � � �� dS������

z ����A����{

� 89 � �� dS������

Application du théorème de Stokes � z ����A����{

� � ������������� �?������

- Distribution volumique du courant �� : z ����A����{

� � 89�� dS������

� � ������������� �?������

� ������� -��� � ./ �� � ��� ���� �  ¡/ en électrostatique

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5. Potentiel vecteur ¢��� Le champ élémentaire créé par un circuit fermé (C) :

�������� � 894; @ �A���� � ���S �� ��� ��� � 0 w le champ ��� dérive d]unpotentieA �� telle que ������������ � ��� ��¤v �������� � ������������������ ; |�|} � � �!�� ������������������ ~1�� w �������� � � cdeP @ �A���� � �!�� ������������������ ~1��

��, ���������� ~f¥�����| � � �| ���������� �A���� � �A � �!� ������������������ ~1��, donc �������� � cdeP @ ¦� �| ���������� �A���� # ��� �������� ~f¥�����| �§ �������� � 894; @ ����������� �A����� w �������� � ���������� $89@4; �A����� &

��¤v; �¨������ � $./201 �3����� & � ¨ � z ./201 �3�����7

��

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- Calcul de la ��� A��� : ��� �� � ��� 6 cdqeP f¥�����| � 6 cdqeP ��� ~f¥�����| � { {

��, ��� $�A����� & � 1� ��� �A���� # �A���� �!������������ (1�)

��� �� � z 89@4; �A���� {

�!�©�������������� (1�)

�!�©�������������� (1�) � � ���S � � b���������S � �b��������S

�!�©�������������� (1�) � � �!�ª�������������� (1�)

��¤v, ��� �� � � 89@4; z �!�ª�������������� (1�) �b������ , �]!«��K¬!�� �¤ ­!�� ®«K: �� � �!�©�������������� � . ���������{

��¤v, ��� ��� � � ./201 z �7

() � 0 �­«� «¤ v�¤��«� �K�°é�

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- Conclusion

��� ��� � / , � ������� -��� � ./ ��

���������� ��� � ���������� ����������� ��� � �!������������ ���� ��� � ∆������� ���������� ��� � � ∆������� � 89 ²�

∆¨������ # ./ �� � / � ∆³ # µd en électrostatique

Equation de poisson en magnétisme

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6. Dipôle magnétique

- Calcul du potentiel vecteur créé par la spire :

En un point M : b�������� � � ��� �� * ¶� , M se trouve dans le plan �L. M�

Le potentiel vecteur �������� � cdqeP f¥�����·© , �� %�������� � %b������ # b�������� K� b%������ � ¶ cos ¸ K¹���� # ¶ sin ¸ Kº����� !�Kv 0 » ¸ » 2;. ¼]!«��K ¬!�� %�������� �¹,º,½� � b�������� � b%������ � ¾ �¶ v�­¸� ­�¤O � ¶ v�­¸� v�­O ¿ w À+,��������ÀE � ÁE # E � EÁ Â��I Â��Ã

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�������� � 89@4; �A������Q # ¶Q � 2�¶ ­�¤O ­�¤¸��Q

��, ��Q # ¶Q � 2�¶ ­�¤O ­�¤¸��Q � � Ä1 # ¶Q�Q � 2 ¶� ­�¤O ­�¤¸Å

�Q

Ä ¶Q�Q Å � 0 v!� � * ¶, �¤ ¤��K Æ � 2 ¶� ­�¤O ­�¤¸

�¤ ­!�� ®«K AK �é�KA�¬¬K°K¤� A�°��é �K �1 � Æ��Q Ç 1 � Æ2 # È�Æ�

1�1 � Æ��Q Ç 1 # Æ2 # È�Æ�

��¤v, �������� � 89@4;� (1 # ¶� ­�¤O ­�¤¸) �A �����, �� �A ����� � �b%��������� � �¶­�¤¸�¸ K�¹ # ¶ v�­¸ �¸ K�º

���������¹,º,½� � 89@4;� ÉÊËÊÌ� (1 # ¶� ­�¤O ­�¤¸) ¶ ­�¤¸ �¸

(1 # ¶� ­�¤O ­�¤¸) ¶ v�­¸ �¸0¿

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Le potentiel vecteur créé par le dipôle magnétique en un point M : 0 » ¸ » 2;

� � � 89@4;� ¶Q� ­�¤O Í ­�¤Q¸ �¸QP

9

Rappel : p ­�¤ ¸ �¸QP9 = 0 , p v�­¸ �¸QP9 � 0 , p ­�¤Q¸ �¸QP9 � ; K� p ­�¤¸ ­�­¸ �¸QP9 = 0

¼�¤v , ��� � � ./201E ÁE 1 Â��I ���Î

7. Moment magnétique d’un dipôle Ï���� Par définition, le moment magnétique d’un dipôle est donné par :

���� � 2 ���

Pour une spire circulaire :

Ð���� � 21ÁE ���� , �ù ¤�� K­� A! ¤��°!AK à A! ­«��!vK � ����Ô

Ð���� � 21ÁE ����Ô ��, �� � b�������� � �­�¤OK���L # �v�­O K���M

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°��� � �� � �@ ; ¶Q � ­�¤O K���J �� � � 804;�3 @ ; ¶Q � ­�¤O K���J �� � 804; Ä°��� � ���3Å , �� �!�������������� $1�& � � ����3

��� � ./01 Ö��������������, () 4 Ð����× - Calcul du champ magnétique

��� � ���������� �� °��� � ( 99Ø) , �� � (9º½)

��, ������������ � ���������� ¦cdeP °��� � |�|}§ � cdeP ���������� ¦ °��� � |�|}§ � cdeP ���������� ¦ �|} � °��� � ���§ �¤ ­!�� ®«K, �����������³�� � �����������³�� � ³��� �!�������������

��¤v, ���������� Ö 1�S � °��� � ���× � 1�S ����������� °��� � ��� � � °��� � ��� � �!������������ � 1�S� ��, ����������� °��� � ��� � °��� K� �!������������ ( 1�S) � � 3�������Ù

��¤v, ���������� Ö 1�S � °��� � ���× � °����S � � °��� � ��� � $� 3���Ù& � °����S � 3�Ù ���� °��� � ��� ��, ���� °��� � ��� � � ��. ���. °��� � ���. °����. ��

��¤v, ��� � 894; Ä°����S � 3�Ù ��Q°��� � ����. °����. ���Å w -���� � ./01 Ä 5����. Ð������. ���Ú � EÐ�����5 Å

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Chapitre 3 Equations de Maxwell

I- Equation de Maxwell – Faraday

I-1 définition

On appelle inducteur la source de champ magnétique. Ce peut être un aimant ou un

électroaimant. On appelle induit le circuit électrique, siège du phénomène d’induction, il peut être

ouvert (fermé par un voltmètre parfait par exemple) ou fermé (fermé par un ampèremètre par

exemple).

I-2 Description de l’expérience de Faraday

L’inducteur est un aimant fixe. L’induit est un circuit électrique mobile. Lorsque l’induit est ouvert, le voltmètre dévie. Lorsque l’induit est fermé, l’ampèremètre dévie.

Interprétation dans le cas d’un induit ouvert

– Le champ électromoteur d’induction : l’induit est un conducteur rectiligne animé

d’une vitesse v�� dans un champ magnétique uniforme B��� perpendiculaire à v�� et au barreau. Les électrons de l’induit, de charge q, sont soumis à la force de Lorentz F��Ý � qv�� Λ B���. Ils se déplacent, s’accumulent en N et quittent M.

Il apparaît une d.d.p. VM VN dont le signe ne dépend que du sens de �� K� ���.

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L’induit se comporte donc comme un générateur où règne un champ électromoteur d’induction

ß��Ø � �� � ��� Ce générateur est donc caractérisé par une f.e.m d’induction K � p ß��Ø . �A���� dont le signe dépond du choix de l’orientation du conducteur. K est positif dans le premier cas et négatif dans le second.

Loi de Faraday : la f.e.m d’induction K est reliée au flux coupé Øá du champ magnétique par le conducteur lors de son déplacement par :

� � � �Øâ�

•••• Interprétation dans le cas d’un induit fermé

La loi de Faraday fait alors intervenir le flux F à travers le circuit induit fermé :

� � � ��

Un courant induit i circule dans l’induit, tel que i = e/R où R est la résistance électrique de l’induit.

I-3 Equation de Maxwell - Faraday

Considérons un circuit au repos soumis à un champ variable. Un champ électrique va prendre naissance dans tout l’espace où existe un champ magnétique variable. Le champ électrique induit joue un rôle électromoteur et la f.e.m apparaissant dans tout le circuit (C) peut s’écrire :

� � z ����Ð7 . �3����� � � ��� � � �� � -��� . �Ñ������

Â

Où S est une surface orientée s’appuyant sur le contour orienté par (C).

En permutant les opérateurs d’intégration et de dérivation on a :

z ����Ð7

. �3����� � � � ã�-���. �Ñ�������ã Â� � � ã�-����ã Ñ

. �������

z ����Ð7 . �3����� � � � ������������� . �Ñ������

Â� � � ã-���ã Ñ

. �������

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� � ������������� . �Ñ������Â

# � ã-���ã Ñ. �Ñ������ � /

Forme intégrale de l’équation de Maxwell - Faraday

� ������������� # ã-���ã � / Forme locale de l’équation de Maxwell - Faraday

� ������������� � � ã-���ã

Equation de Maxwell - Faraday

II- Equation de Maxwell – Gauss

Enoncé du théorème de Gauss :

Soit une distribution de charge dans le vide (∑ ä�. On considère une surface fermée qui sépare les charges en deux (äåæçK� äè¹ç�

�é�� �ê � ë ß��. �?����� � äåæçÈ9�ì

Pour une distribution volumique í on a :

äî � ï í �� , !�¤­� ðñ

äåæç � ï í �� ðòóñ

�åæç est limité par Sf.

� � � ß.���� �?������ì

� 1È9 ï í ��ðòóñ

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Par application du théorème de la divergence :

ë ß ����. �?����� w �ì

ï ��� ß��. �������ðòóñ

Donc � ��� ����. ����������� � ¡/ �   ����� , Forme intégral de l’équation de Max

well - Gauss L’égalité des deux expressions du flux � nous conduit à la forme locale de l’équation de Maxwell – Gauss :

��� ���� �  ô/

õ9 . ��� ß�� � í w ��� � õ9ß��� � í

Rappel :

Electrostatique Magnétostatique Champ électrostatique ß ���� Champ magnétique � ���� Potentiel V Potentiel vecteur � ���� �é�� �ê � ë ß��. �?����� � äåæçÈ9�ì

z B���dl����ö

� µ9∑Iøùú III- Equation de Maxwell – Ampère

Considérons un volume � dans lequel la charge total ä varie au cours du temps. L’intensité @ du courant qui traverse à l’instant � la surface �?� enfermant ce volume vaut :

@ � ë ²�î . �?����� � ë ²�î . ¤.���� �? � �äØ�� �

Où äØ est la quantité de charge (mobile) qui traverse (S) vers l’extérieur entre les instants t et t+dt.

En tenant compte de ä � � í��ð et du théorème de Gauss sur sa forme local :

��� �����,, � �  �,, �ô/ �1�

(M : coordonnée de l’espace ; t : temps)

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La variation de (1) en fonction du temps donne :

��� ã����ã � ô/ã ã �2�

��, ä � ï í��ð

; �ä�� � ûû� ï í��ð

� � ë ²�î�?�����

ï ûíû� ��ð

# ï ���²�î������� � 0ð

ã ã # �����ü � / �3�

Finalement on a :

��� Äô/ ã�����,, �ã # ��ü�,, �Å � / �4�

D’autre part, on appelle le courant total IT=I+ID. A ces courants on associe respectivement :

- le vecteur densité de courant lié ou mouvement des charges électriques ²�, - le vecteur densité de courant de déplacement ²�ý défini par :

²�ý � û¼���û� � þ9 ûß��û� - le vecteur densité de courant total : ²�î � ²� # ²�ý

Par définition, �������������� !�� � 0,� !. donc pour obtenir un résultat conforme en

magnétostatique, le vecteur õ9 �é���ç # ²�î est un rotationnel (à partir de l’équ. (4)).

� ������� -��� � ./ ��ü �5�

� ������� -��� � ./ ��� # �/ ã����ã � �6�

Equation de Maxwell – Ampère.

w þ9 ��� ß����, �� # ���²�î��, �� � 0

�2� div ∂E���∂t � 1þ9∂ρ∂t

�3� ∂ρ∂t # div��� � 0

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(5) =(6) lorsque �é���ç � 0 et donc l’équation de Maxwell – Ampère est une extension du

théorème d’Ampère (���������� ��� � 89 ²� �

IV- Résumé sur les équations de Maxwell

L’étude du régime variable nous amène à modifier deux équations fondamentales des régimes statiques :

Régime statique Régime variable

���������� ß�� � 0�� � ���������� ß�� � � û���û�

���������� ��� � 89 ²� � ���������� ��� � 89 �²� # þ9 ûß��û� �

��� ß�� � íõ9 � ���ß�� � íõ9

���������� ��� � 0�� � ���������� ��� � 0�� Ces quatre équations aux dérivées partielles sont appelées les équations de Maxwell. Elles constituent les équations fondamentales de l’électromagnétisme.

Dans le vide, les équations de Maxwell s’écrivent :

Forme locale Forme intégrale Théorème de Gauss pour ß�� ou équation de

Maxwell - Gauss M1 ��� ß�� � íõ9 � ß.���� �?�����

�� 1È9 ï í ��

ð

Equation du flux magnétique ou équation de Maxwell - Thomson

M2 ��� ��� � 0�� � �.���� �?������

� 0

Equation de Maxwell - Faraday M3 ���������� ß�� � � û���û� z ß��

á. �A���� � � ��� � ���

�. �?�����

Equation de Maxwell - Ampère M4 ���������� ��� � 89 �²� # þ9 ûß��û� � z ���

á. �A���� � � 89 �²� # þ9 ûß��û� �

�. �?�����

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V- Définition du potentiel – Choix de jauge

V- 1 potentiel électromagnétique

En régime variable, ��� est un vecteur à flux conservatif et comme ������ � 0 , on

peut toujours écrire : ��� � ������������ où �� est le potentiel vecteur.

La relation de Maxwell – Faraday s’écrit alors :

����������ß�� # û���û� � ����������ß�� # û������������û� � ����������ß�� # ���������� û��û� � ���������� $ß�� # û��û� & � 0�� Ainsi, le champ ß�� # ���

�ç est à circulation conservative ; il existe donc une fonction,

appelée potentiel scalaire en régime variable, tel que :

ß�� # û��û� � � �!������������ ³

w ß�� � � �!������������ ³ � û��û�

Nous pouvons toujours définir un potentiel électromagnétique �³, ��� dont dérive le

champ ���, ���� : ��� � ������������

ß�� � � �!������������ ³ � û��û�

Ces relations ne définissent pas �³, ��� d’une manière équivoque. En effet, le champ �³, ��� et donc la force de Lorentz ne change pas si l’on remplace �³, ��� par un

nouveau potentiel �³ , �� � tel que :

��� � ������������ � ������������] �­� ��] � �� # �!������������ � �ù � K­� «¤ v�!°¬ ­v!A!��K�

ß�� � � �!������������ ³ � û��û� � � �!������������ ³] � û�]����û� (­� �!������������ ³] � �!������������ ³ � ûû� �!�������������) �­��� ³] � ³ � ��

�ç)

Le passage de �³, ��� à �³ , � ����� s’appelle changement de jauge.

Le calcul du potentiel s’effectue en imposant une condition de jauge.

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V- 2 Equation du potentiel en jauge de Lorentz

Les équations de Maxwell M1 et M4, jointe à la définition du potentiel conduisent à :

��¯� � ��� ß�� � íõ9 w ��� ß�� � ��� $� �!������������ ³ � û��û� & � íõ9

On sait que ∆³ � ���� �!������������ ³�

∆³ # ûû� ��� �� � � íõ9

w ∆³ # ûû� ��� �� � � íõ9

et ��0� � ���������� ��� � 89 �²� # þ9 ûß��û� � w ���������� ���������� �� � 89 IJ� # þ9 ûû� $� �!������������ ³ � û��û� &Å

Soit, en utilisant les relations d’analyse vectorielle : ���������� ���������� �� � �!������������ ��� �� � ∆� w ∆� � þ989 û²��û�² � �89²� # �!������������ (��� �� # þ989 û³û� )

Comme le produit þ989 est caractéristique du vide, est homogène à l’inverse de la

vitesse. On pose � � ~ ��dcd��k , C � 2,99792458. 10�ms=�

tþ9u � kg=�m=SAQse � Fm=�, tµ9u � kg m A=Qs=Q � Hm=� , tCu � ms=�

��� ��� # �E ã�ã � /, ���� �� ���� Ô

Nous obtenons ainsi, pour les potentiels ��� � �, deux équations que l’on peut écrire sous la forme symétrique. Les potentiels sont couplés et obéissent aux équations similaires suivantes :

∆� � �E ã²�ã ² � �  ô/

∆��� � �E ã²���ã ² � �./�� Remarque : dans les régimes stationnaires, on retrouve bien les équations de Poisson de l’électrostatique et de la magnétostatique : ∆³ � � íõ9 , ∆�� � �89²� La condition de jauge de Lorentz se traduit alors à celle de Coulomb ��� �� � 0.

Page 31: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

VI- Relation champs � ��,!���� – sources �"�,#�

VI-1 relation entre ��,# et "� On part de l’équation (M 3) (Maxwell – Faraday):

���������� ß�� � � û���û� w ���������� ���������� ß�� � � û�������������û�

(M4) (Maxwell – Ampère):

���������� ���������� ß�� � � ûû� Ä89²� # þ989 ûß��û� �Å � � Ä89 û²�û� # þ989 û²ß��û�² �Å

Or, ���������� ���������� ß�� � �!������������ ��� ß�� � ∆ß�� , donc �!������������ ��� ß�� � ∆ß�� � � ¦89 �$��ç # þ989 �²é��

�ç²�§ Tenant compte de ��� ß�� � �d ; on a :

∆���� � �/ ��������������  # ./ ã��ã # �/./ ã²����ã ² VI-1 relation entre !��� et "� On part de l’équation (M 4) (Maxwell – Ampère) :

���������� ��� � 89�²� # þ9 ûß��û� � et ���������� ���������� ��� � �!������������ ��� ��� � ∆��� ; et ���������� ß�� � � �%��

�ç , et comme ��� ��� � 0 ; on aboutit à :

∆-��� � ./�/ ã²-���ã ² � ./ � ������� ��

Page 32: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

VII- Notion des régimes quasi-stationnaires

Si l’évolution dans le temps des sources � "�,#� est suffisamment lente (régime lentement variable) ; c.a.d la durée de propagation &' est très faible devant une durée T caractéristique de cette évolution, on peut admettre que le potentiel et donc le champ suivent instantanément l’évolution des sources.

τ) * T w Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (A.R.Q.S)

Exemple :

Soit un circuit électrique de dimension inferieur à 1 cm (r < 1 cm) (cas d’un circuit électronique usuel) alimenté par un générateur délivrant un signal de fréquence �ν � �) ; il pourra être étudié dans l’ A.R.Q.S si

ν � �� * ö

- � ö- � 3. 10� HM = 300 MHz).

VIII- Equations de Maxwell dans un conducteur

En tout point d’un conducteur, il existe une relation entre le vecteur

densité de courant �� et le champ électrique E���ø (ß�� � E���j # E���ø; où E���j est le champ électostatique et E���ø est le champ életromoteur� Cette relation est dite relation d’Ohm-Kirchhoff :

²� � . E��� ou ²� � / E��� �1�

Où . ��« /� est la conductivité du milieu conducteur [Siemens/m

(S.m-1)]. Avec . � �0 �ù íØ K­� A! �é­�­�����é éAKv���®«K.

- Cas particulier : Pour les isolants, . � 0. Pour un conducteur parfait, . 1 ∞.

- Quelques ordres de grandeur de la conductivité électrique de certains métaux.

�.�3 � 62,1 S. m=�,.{4 � 58,5 S. m=�,.�4 � 44,2 S. m=� �

Page 33: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

- Dans un conducteur, l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit :

���������� ���89 � ²� # ûû� �þ9ß���

D’après (1) on a : ���������� ���89 � . E��� # ûû� �þ9ß���

Or, et d’après l’équation de conservation de la charge (voir TD série 2 ex. 3) on a :

��� ²� # ûíû� � 0

et le théorème de Gauss : ��� �þ9ß��� � í

Et la loi d’Ohm :

²� � .ß ���� w ��� ß ���� � ��� ²�.

On obtient :

ûíû� # .þ9 í � 0 w ­�A«���¤ w í��, �� � í��, �9� KJ¬ Ö� � � �9�f × Avec �f � �d

5 qui est la durée de relaxation diélectrique qui est le temps

nécessaire au rétablissement de la neutralité électrique.

tþ9u � kg=�m=SAQse

tσu � kg=� m=S AQ sS Expérimentalement, on obtient pour le cuivre (Cu) �f Ç 4. 10=es.

Page 34: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

L’équation de Maxwell-Ampère devient donc :

���������� ���89 � . �E��� # �f ûß��û� �

�� � . E���: courant de conduction , �� � þ9 ûß��û� � v�«�!¤� �K �é¬A!vK°K¤� Comme �f est très petit, 7�f �é��

�ç7 * 8ß��8

Autrement, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction dans les conducteur (exple : les métaux).

- Les équations de Maxwell dans les conducteurs :

���������� ß�� # û���û� � 0

��� ��� � 0

��� ß�� � íþ9 � 0 v!� AK v�¤�«v�K«� K­� ¤K«��K K¤ ��A«°K !¬�è­ A! �«�éK �K �KA!J!���¤

���������� ���89 � ²� � . ß��

Page 35: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Chapitre 4 Les ondes électromagnétiques dans le

vide

Préambule :

La propagation des ondes électromagnétiques est l’une des conséquences les plus importantes des équations de Maxwell. Prévue théoriquement dès leur établissement en 1864, elle n’a été étudiée expérimentalement qu’en 1888 par Hertz. Des expériences décisives telles que celle de Mickelson ont montré en évidence l’aspect des ondes électromagnétiques.

Dans ce chapitre, nous allons étudier la propagation des ondes électromagnétiques (O.E.M) dans un milieu illimité sans charges (propagation libre). L’échelle des longueurs d’onde s’étend de 10-15 m (ordre de grandeur d’un noyau) à plusieurs km (ondes radio). Dans cet éventail, les phénomènes lumineux ne concernent qu’un domaine restreint entre 400 – 700 nm.

Page 36: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

I- Equation de propagation du champ et du potentiel.

I-1 Equation de Maxwell dans le vide.

L’absence de sources � �� � 0��, ρ � 0� permet de se ramener à 4 équations couplé homogènes :

� ������� ���� # ã-���ã � / �¯� ��� -��� � / �E�; ��� ���� �  

�/ � / �5� � ������� -���./ � ã��/�����ã � /��� �0�

I-2 Equation de propagation du champ

Cherchant une solution des équations de Maxwell en éliminant l’un des

champs ß�� ou ���. Pour cela, utilisant la relation d’analyse vectorielle :

rot������ �rot������ E���� � grad��������� �div E���� � ∆E������ En tenant compte des équations (1) et (3), on a :

���������� ����������� ß��� � ���������� $� û���û� & � �!������������ ���� ß��� � ∆ß������

w ���������� û���û� � ∆ß������ Et d’après (4) on a :

���������� ��� � û�89þ9ß���û�

w ���������� û���û� � 89þ9 û²ß��û�² � ∆ß������� w ∆�������� � 7E ã²����ã ² � /���

De la même manière et compte tenu des équations (4) et (2) on aboutit à :

∆-������� � 7E ã²-���ã ² � /���

Page 37: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Remarque : on utilisant l’opérateur d’Alembertien 9 � ∆ � 7E ã²ã ² On a formellement : 9 ß�� � 0�� et 9 ��� � 0�� !!! cas de coordonnées cylindriques et sphérique !!!

I-3 Equation de propagation du potentiel.

Cherchons à établir les équations auxquelles satisfait le potentiel

électromagnétique �³, ���, on a :

��� � ���������� �� w ���������� ��� � ���������� ���������� �� � �!������������ ��� �� � ∆�� D’après (4) :

���������� ��� � 1�Q ûß��û� � 1

�Q ûû� $� �!������������ ³ � û��û� &

� � �!������������ ( 1�Q û³û� ) � 1

�Q û²������û�²

Par conséquent :

∆��� � 7E 㲨�����ã ² � �������������� ������� # 7E ã�ã �

En outre comme ��� ß�� � 0, on à :

��� $��������������� � � ã���ã & � �∆� � ãã ���� ���� � / On aboutit donc à des équations du potentiel couplées.

I-3-a Jauge de Lorentz.

Si on impose au potentiel �V, A����, la condition de jauge de Lorentz :

��� �� # 1�Q û³û� � 0

On est conduit aux équations suivantes :

∆ �� � 1�Q û²��û�² � 0�� K� ∆ ³ � 1

�Q û²³û�² � 0

Page 38: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Ainsi, dans la jauge de Lorentz, V, et A��� sont découplées et obéissent à la même équation de propagation que les champs.

I-3-b Jauge de Coulomb.

Cette condition est particulièrement commode lorsqu’il n’y a pas de charges, càd lorsque l’on s’intéresse qu’au phénomène loin des sources

(V=0). Il suffit donc d’étudier A��� ; ce qui donne :

ß�� � � �!������������ ³ � û��û� � � û��û� K�, ��� � ���������� ��

!!! Rappel sur l’équation de d’Alembert !!!

II- Ondes planes dans le vide.

Nous allons examiner deux cas importants de propagations ; l’un pour lequel une direction fixe de l’espace est privilégiée (ondes planes), l’autre est isotrope pour ce phénomène (ondes sphériques). Nous examinons en détail le cas de l’onde plane.

Dans les situations concrètes l’onde plane est :

- L’onde d’un faisceau laser, - La lumière provenant d’une source très éloignée, - L’onde produite par un collimateur càd une source ponctuelle dans

le plan focal objet d’une lentille convergente.

II- 1 Définition et équation d’onde.

On appel onde plane une solution de l’équation de d’Alembert non constante prenant des valeurs uniformes sur tous les plans perpendiculaires à la direction orientée K�4.

Page 39: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Soit ��«� la direction correspondante définie par le vecteur unitaire K�4 de cosinus directeur �N, ;, <� dans la base �K�¹, K�º , K�½� de coordonnées

cartesiennes.

K�4 � K4= K�¹ # K4> K�º # K4? K�½ � N K�¹ # ;K�º # <K�½ !�Kv NQ # ;Q # ÆQ � 1

La position du point M est repérée par:

�� � JK�¹ # LK�º # MK�½ ­��� « � ��K�| � NJ # ;L # <M Lorsque le champ �ß��, ���� ne dépend que de «, l’onde est dite plane et tout le plan ∑ perpendiculaire à ��«� est un plan d’onde.

En tout point de ce plan, le champ a la même valeur à un instant donné.

ß�� ��, �� � ß�� �«, �� K� ��� ��, �� � ��� �«, �� L’équation de propagation s’écrit:

∆� � 1�Q û²�û�² � 0

où � désigne une des 6 composantes du champ électromagnétique �ß¹, ߺ , ß½, �¹, �¹º , �« �½�.

Explicitant ∆�. û�ûJ � û�û« û«ûJ � N û�û« �]�ù û²�ûJ² � N²û²�û«²

Comme on a des relations analogues avec les autres variables L et M, on obtient:

∆� � $ ûQûJQ # ûQ

ûLQ # ûQûMQ& � �« �NQ # ;Q # ÆQ� û²�û«² � û²�û«²

D’où l’équation d’onde :

û²�û«² � 1�Q û²�û�² � 0 �« ( ûû« � 1

�ûû�) ( ûû« # 1

�ûû�) � � 0

Page 40: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

II- 1- a Définition et équation d’onde.

Effectuant les changements de variables qui tiennent compte de la variable de l’espace « et du temps �. � � � � «

� K� @ � � # «� w « � ��@ � ��2 ; � � �@ # ��2

Il vient :

ûû� � û«û� ûû« # û�û� ûû� � ��2 � ûû« � 1�

ûû��

K� ûû@ � û«û@ ûû« # û�û@ ûû� � �2 � ûû« # 1�

ûû��

L’équation devient en fonction des nouvelles variables � et @ : � 4�² ûû� ûû@ � � 0 ­��� ã²Aã�ãB � /

La solution de l’équation d’onde se met sous la forme :

A � AC ~ � �7� # A= ~ # �7�

II- 1- a Onde plane progressive.

Examinant le cas particulier où �= � 0, l’évolution dans le temps et

l’espace de �C et donc du champ électromagnétique �ß��, ����.

Un signal électromagnétique qui a pour valeur �C ~� � 4{� dans le plan

d’onde ∑�, d’abscisse «�, à l’instant �� a la même valeur à un instant

ultérieur �Q � �� # ∆� dans le plan d’onde ∑Qdistant de ∑� : ∆« � «Q � «� � ���Q � ���

Page 41: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Le signal s’est donc propagé de ∑� à ∑Q à la vitesse � parallèlement à

l’axe ��«� ; l’onde est dite progressive dans le sens des � croissants.

De même, �= ~� # 4{� représente une onde plane régressive se propageant

dans le sens des « décroissants.

II- 2 Transversalité du champ d’une onde.

On considère l’équation de Maxwell-Gauss :

��� ß�� � ûûJ ß¹ # ûûL ߺ # ûûM ß½ � 0

� N ûû« ß¹ # ; ûû« ߺ # < ûû« ß½

� K�4 . ûß��û«

Donc ��� ß�� � û�K�4 ß���û« � ûû« ß4 � 0

Par conséquent ß4 � 0, la solution constant étant exclue, de

même ��� ß�� � 0 et donc �4 � 0 (voir TD série N° 3)

w �� D K�4 K� ��� D K�4 II- 3 Relation entre ���� et -��� pour une onde plane progressive.

On part de l’équation de Maxwell-Faraday :

��� ß�� # û���û� � 0��

EFFG

N ûû«; ûû«< ûû«HIIJ�K߹ߺ߽

L# ûû�K�¹�º�½L � 0��

Page 42: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

­���: �K�4� ûß��û«� # û���û� � 0�� Pour une onde progressive suivant les « croissants, nous avons (puisque ß � ß ~� � 4{�)

ûß��û« � � 1�

ûßû� �]�ù � 1�

ûû� $K�4� ûß��û� & # û���û� � ûû� $��� � K�4�ß��� & � 0

En absence de champ stationnaire, on a donc :

-��� � ����4����7

Ainsi, les vecteurs K�4 , ß�� K� � ���� forment un trièdre direct, la norme de � ���� est égale à

é{ à tout instant et en tout point.

Page 43: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

III- Ondes planes monochromatiques (ou sinusoïdales ou harmoniques).

III- 1 Définitions.

Considérons une onde plane se propageant dans une direction ��«� dans

le sens des « croissants. Les champs ß�� K� ��� sont transverses ainsi que le

potentiel-vecteur en jauge de coulomb (à démonter !!!).

Une composante quelconque de ces champs a pour expression :

A � AÐâ� ~M ~ � �7� � Ã� � AÐâ�Â�M � N/� � Ã)

où AÐ est l’amplitude, B la pulsation ou la fréquence angulaire, N/ � M7

est le nombre d’onde.

O � N/� # Ã est la phase à l’origine des temps.

Comme l’abscisse « s’écrit : � � ������, on définit le vecteur d’onde N��� de

norme N et dirigé suivant la direction de propagation ; alors :

N��� � PNP���� � N ���� � ,O � N���. �� # à Ainsi :

A � AÐâ�Â�M � O� � AÐâ�Â�M � N���. �� � Ã�

Notons que la norme N du vecteur d’onde a la signification d’une

pulsation spatiale. L’onde plane progressive monochromatique (OPPM)

est ainsi caractérisée par une double périodicité, dans le temps et dans

l’espace. La période temporelle ü est définie parM ü � E1 1 ü � E1M .

Et la période spatiale ou langueur d’onde Q/ (dans le vide) par Q/ � E1N/

L’inverse de la période est la fréquence de l’onde (R � ü) et l’inverse de

la langueur d’onde est le nombre spectroscopique (S/ � Q/ � N/E1)

Page 44: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Ces différentes notions sont résumées dans le tableau suivant (caractéristique d’une OPPM) :

Phase Temps Espace

Période 2; Période temporelle T(s)

Longueur d’onde T9 (m)

Fréquence 12;

Fréquence temporelle / � �î �­=��« xM�

Nombre d’onde spectroscopique .9 � �Ud (rad.m-1)

Pulsation 1 Pulsation temporelle V � QPî (rad.s-1)

Nombre d’onde W9 � QPUd (rad.m-1)

III- 2 Vitesse de phase.

A un instant donné, la phase de l’onde est constante si sa phase à l’origine

des temps O � N���. �� # à est constante. Comme à est constante, elle est

donc la même lorsque : N���. �� � M �7 � â �

Au cours du temps, la phase garde une valeur constante dans les plans

d’ondes tels que :

N���. �� �M # à � â � et donc N ���M � � /

Ainsi, les plans équiphases se déplacent avec une vitesse, appelée vitesse

de phase ROdéfinie par :

RO � ��� � MN

Comme B � 7 N, cette vitesse de phase est constante dans le vide, indépendante de la fréquence de l’onde et égale à la vitesse de la lumière :

RO � ��� � MN � â � � 7

Page 45: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

III- 3 Notation complexe.

Lorsque la variation dans le temps est sinusoïdale, toute composante A du

champ ou du potentiel électromagnétique s’écrit aussi

A � Á� XAY ��â A � AÐ�Î�����M � Ã�� � AÐ�Î���M �

où la quantité AÐ est l’amplitude complexe :

AÐ � AÐ �Î����N���. �� # Ã�� Intérêt de la notation complexe :

- Séparation des variables spatiales et temporelles.

- Dérivation par rapport au temps se réduit par une simple

multiplication.

ãAã � ��MA � ãã 1 ��M Z�

Dans le cas de l’onde plane progressive (OPP), A est fonction sinusoidale

de � � �7 �, la dérivation par rapport à la coordonnée de position � se

réduit à une simple multiplication par � N :

ãAã� � ��M7 A � �N A � ãã� 1 �N Z�

III- 3 Ecriture des équations de Maxwell en

notation complexe.

On associe aux champs ���� K� - ���� des champs complexes ���� K� - ���� tels que :

���� � Á������� � E ����� # ���� [� � -��� � Á��-���� � E �-��� # -��� [�

Page 46: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

En notation complexe, les relations en div, grad et laplacien s’écrivent:

��� ���� � ���� . ã����ã� � ���� . �N ���� � ������� ���� � ���� 4 ã����ã� � ���� 4 �N ���� � �N 4 . ����

∆ ���� � ã²����ã�² � �N² ���� ��������������A � ãAã����� . � �N A ������ � �N��� A

Retenons que pour une OPPS, les différents opérateurs différentiels

s’écrivent, en notation complexe, comme suit: ãã 1 ��MZ; �������������� 1 �N��� Z; ��� 1 �N��� . ; � ������� 1 �N 4 . ; ∆1 �N²Z

Exercice :

Montrer que pour une OPPM dans le vide, les quatre équations de

Maxwell ont pour expression :

N���. ���� � / �,¯�; N���. -��� � / �,E�; N���4���� � M. -��� � /��� �,5�; N���4-��� � �M����7² �,0�

En prenant la partie réelle de ces quatre équations,

N���. ���� � / ; N���. -��� � / ���� K� - ���� sont en phase et orthogonaux :

-��� � N��� 4 ����M � ���� 4 ����7

�����, -���,N���� forment un triedre direct.

Page 47: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

En fonction du potentiel électromagnétique complexe (�, ���� le champ �����, -���� s’écrit:

���� � ��N � # �M ��� � -��� � ��N 4 ��� IV- Polarisation de l’OPP sinusoïdale.

IV- 1 Définition de la polarisation.

En choisissant ��Ô� comme direction de propagation, le vecteur d’onde

s’écrit : N��� � N ���Ô � M7 ���Ô.

Le champ électromagnétique �����, -���� est alors contenu dans le plan Ô � â �.

Les composantes de ����, �� -���� s’écrivent dans la base ����Î, ���], ���Ô� selon :

�Î � ��Î â�Â�M � NÔ � O¯�

�] � ��] â�Â�M � NÔ � OE�

�Ô � /

d’où le champ magnétique -��� � N��� 4 ����M � ���Ô 4 ����7 :

-Î � � ��]7 â�Â�M � NÔ � O¯� -] � ��Î7 â�Â�M � NÔ � OE�

-Ô � /

Par définition, la direction de polarisation en un point de l’onde est celle du champ électrique.

On s’intéresse donc à la manière dont s’effectue la variation sinusoïdale du champ électrique dans un plan d’onde. Plus précisément, on étudie la

courbe décrite par l’extrémité de vecteur ���� dans un plan d’onde orienté de telle sorte que l’observateur voie arriver l’onde vers lui.

Page 48: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

IV- 2 Différentes états de polarisation d’une onde.

Etudions le comportement du champ ���� dans le plan d’onde (M � 0�. Les composantes du champ s’écrivent :

�Î � ��Î â�Â�M � O¯�

�] � ��] â�Â�M � OE�

�Ô � /

Et si l’on prend pour origine des temps un instant où �Î passe par sa valeur maximale on a :

�Î��Î � â�Â�M � �]��] � â�Â�M � O�

avec O � OE � O¯.

Développons l’expression de �] ��] : �]��] � â�Â�M �â�Â�O� # Â���M � Â���O�

� �Î��Î â�Â�O� # ^¯ � ( �Î��Î)E Â���O�

Ä �]��] � �Î��Î â�Â�O�ÅE � į � ( �Î��Î)E Â��²�O�Å Ä �]��]ÅE # Ö �Î��Î×E � E �Î��Î �]��] â�Â�O� � Â��²�O�

- Pour O quelquenque, cette équation est celle d’une ellipse. On dit que l’onde a une polarisation elliptique.

Page 49: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Polarisation elliptique

- Pour O � Ð1 �Ð � /, ¯, E, … � l’ellipse dégénère en une droite et l’onde est dite à polarisation rectiligne.

Polarisation rectiligne

- Si ��Î � ��] et si O � �EÐ # ¯� 1E �Ð � /, ¯, E, … � l’onde est

dite à polarisation circulaire.

Page 50: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Polarisation circulaire

V- Etude énergétique des OPP électromagnétiques.

La propagation de l’énergie se manifeste expérimentalement dans de nombreux cas :

- On peut ressentir son effet si l’on s’expose aux rayons solaires ou au rayonnement d’une source chaude.

- De même tout émetteur radio expédie de l’énergie à travers l’espace, une infime partie de cette dernière étant captée par votre récepteur radio …

Nous allons relier localement cette énergie qui se propage au champ électromagnétique qui la transporte. Nous supposons que le milieu de propagation est parfait, càd homogène, isotrope et linéaire (h i l).

On supposera aussi que la direction de propagation de l’onde est suivant ����.

V- 1 Densité volumique d’énergie.

La densité volumique d’énergie électromagnétique `�Ð est composée

de la densité volumique d’énergie électronique `�3 � E ô/�² et la

densité volumique d’énergie magnétique `Ð � E -²./ . Or pour une

OPPM électronique dans le vide on à : 8-���8 � 8����87 ; donc :

Page 51: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

`Ð � E �²7²./ � E �ô/./� �E./ � E ô/�E � `�3

Il y a équipartition de l’énergie entre les deux formes électrique et magnétique.

V- 2 Vecteur de Poynting.

Le vecteur de Poynting

П��� � ���� 4 -���./ � П��� ���� Le vecteur de Poynting et la densité volumique d’énergie électromagnétique sont liées par la relation :

П��� � 7 `�Ð ���� Cette équation traduit le fait que l’énergie d’une OPP électromagnétique se déplace dans le vide à la vitesse R����Ð � 7 ����. Considérons une surface élémentaire �Ñ,, située au point M . l’énergie électromagnétique �²`�Ðqui traverse t et t + dt est par définition du vecteur Poynting :

�²`�Ð � П��� . �Ñ,��������� � � 7 `�Ð���� �Ñ,��������� �

Page 52: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Chapitre 5

Milieux diélectriques

I- Rappels sur le dipôle électrique.

Moment dipolaire (ou multipolaire)

¬� � b ®å b�c��������å

, b ®å � 0å

Le moment dipolaire w ¬� � ® b������� # ��®� b�������, ∑ ®å � 0å ¬� � ®� b������� � b�������� w ���� � d -¨�������

�������� � A K�¹; b�������� � �� � � K�| � JK�¹ # LK�º; ��: � * A K�| � cos O K�¹ # sin O K�º

K�e � � sin O K�¹ # cos O K�º

Donc : K�¹ � cos O K�| � sin O K�e

K�º � sin O K�| # cos O K�e

Page 53: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

I- 1 Calcul du potentiel du dipôle.

³ � ®4;È9�� � ®4;È9�� � ®4;È9 � 1�� � 1�%�

��� � ��������� � �b������ # b�������� � (�A2 ) K�¹ # �K�| � �K�| � A2 K�¹

��% � ��������� � �b������ # b�������� � (A2) K�¹ # �K�| � �K�| # A2 K�¹

|���| � ^�² # A²4 � �. A. K�¹. K�|

or :

K�¹. K�| � cos �O�

donc :

�� � ^�² # A²4 � �. A. cos�O� ; A²4 1 0 v!� A ��è­ ¬K���

=>

�� � g�² � �. A. cos�O� �% � g�² # �. A. cos�O�

Le potentiel s’écrit donc :

³ � ®4;È9 � 1g�² � �. A. cos�O� � 1

g�² # �. A. cos�O� � � ®4;È9� � 1

h1 � A� . cos�O� � 1h1 # A� . cos�O� �

D’autre part, on a : ¥| . cos�O� � ! �! * 1� => application du

développement limité :

Page 54: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

³ � ®4;È9� ¦~1 # !2� � ~1 � !2�§ ³ � ®4;È9� t!u � ®. !4;È9�

=>

³ � ®. A. �4;È9�S . cos �O�

Or A. �. cos�O� � A�. �� ³ � ®. A�. ��4;È9�S � ¬�. ��4;È9�S

I- 2 Calcul du champ électrique du dipôle.

On sait que ß�� � � �!������������ ³ ; ß�� � � �!������������ � i�.|�ePjd|}�

ß�� � Ä� �!������������ � ¬�. ��4;È9�S�Å 14;È9

ß�� � �14;È9 Ö 1�S . �!�������������¬�. ��� # �¬�. ���. �!������������� 1�S�× ; ¬� � �!�������������¬�. ��� � �14;È9 Ä ¬��S # �¬�. ���. $�3. ���Ù &Å

� �14;È9 Ä ¬��S � 3�¬�. ���. ���ÙÅ ß�� � 14;È9 Ä3�¬�. ���. ���Ù � ¬��SÅ

Expression vectorielle du champ électrique crée par un dipôle.

ß�� � ß| K�| # ße K�e ; �� � �. K�| ; ¬� � ®. A. K�¹ � ®. A. �cos�O� K�| � sin�O� K�e

Page 55: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Le champ électrique :

ß�� � 2. ®. A. cos �O�4;È9�S K�| # ®. A. sin �O�4;È9�S K�e

ß| � 2. ®. A. cos �O�4;È9�S ; ße � ®. A. sin �O�4;È9�S

II- Action d’un champ électrique sur un dipôle.

II- 1 Champ uniforme.

La force résultante qui s’exerce sur ce dipôle : k�9 � k�� # k�%

Le moment résultant :

���9 � �b������� # k��� # �b������� # k�%�

� ®�b������� � ß����9� � ®�b������� � ß����9�

Γ9 � ®. �������� � ß����9 � ¬� � ß����9

Page 56: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

L’action mécanique d’un champ uniforme sur un dipôle électrique se réduit à un couple :

Γ9 � ¬� � ß����9 � ®. A. ß9. sin �N�

- Energie potentiel d’un dipôle :

lf � ®. ³� � ®. ³% � ®�³� � ³%� � �®. Í ß��. �A���� lf � � Í ß��9. ®. �A����%

lf � �ß��9 Í ®. �A���� � � ß��9. ®. �������� � �¬�. ß��9

lf � �¬�. ß��9

Energie potentiel : lf � �¬. ß9. cos �O�.

II- 2 Champ non uniforme.

� � ¾J � �JL � �LM � �M ; � � ¾J # �JL # �LM # �M ; b � mJLM ¿ ¿¿

k� � k�� # k�% ; k�� � ® $ß�� # �ß������2 & ; k�% � ® $ß�� � �ß������2 &

k� � ® $ß�� # �ß������2 & � ® $ß�� � �ß������2 & � ®�ß������ n 0

Le module de la force qui s’exerce sur le dipôle :

Page 57: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

k� � #® . �ß������ ; ok¹ � ®. �ß¹kº � ®. �ߺk½ � ®. �ß½¿

k¹ � ®. �ß¹ ; �ß¹ � ûß¹ûJ . �J # ûß¹ûL . �L # ûß¹ûM . �M k¹ � ®. ûß¹ûJ . �J # ®. ûß¹ûL . �L # ®. ûß¹ûM . �M

kº � ®. ûߺûJ . �J # ®. ûߺûL . �L # ®. ûߺûM . �M

k½ � ®. ûß½ûJ . �J # ®. ûß½ûL . �L # ®. ûß½ûM . �M

On peut écrire : k� � �¬�. �!�������������ß��

Avec l’opérateur : ¬�. �!������������ �ÉÊËÊ̬¹ . ��¹¬º . �

�º¬½. ��½¿

- Moment résultant :

��� � �b������� � k��� # �b������� � k�%�

� ®. b������� � $ß�� # �ß������2 & � ®. b��������ß�� � �ß������2 �

� �®. b������� � ß�� � � �®. b������� � ß��� # $®. b������� � �ß������2 & # $®. b������� � �ß������2 &

� ®. �b������� � b�������� � ß�� # ®. �b������� # b�������� � �ß������2

b������� # b������� � 0

Γ��� � ®. �������� � ß��

Γ��� � ¬� � ß��

Page 58: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Chapitre 6

Milieux diélectriques -Polarisation des dipôles électriques-

L’étude des propriétés des isolants, appelés diélectrique sera abordé d’un point de vue macroscopique. Une description en termes de polarisation des phénomènes observés sera introduite.

I- Expérience du condensateur de Farady.

ß9 � jd ³9 : différence de potentiel entre les armatures A et B.

L : lame isolante

Après insertion du diélectrique (L) , l’électroscope s’écarte d’un angle N.

N p N9 ; N � W. ³ p W. ³9 ; �q ³ p ³9

�9 : Capacité du condensateur sans diélectrique.

� Capacité du condensateur avec diélectrique.

Page 59: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

A charge cte :

ä � �9. ³9 � �. ³ �q ��9 � ³9³ � È|

où È| est la permittivité relative du milieux diélectrique

È| q 1 ; È| est une cte qui dépond de la forme du diélectrique.

�9 � � �q È| � 1 (on retrouve la permittivité du vide È9)

Le système revient à son état initial après l’enlèvement de la lame (L).

Interprétation :

L’introduction d’une plaque diélectrique entraine un apport de charges. Le champ électrique pénètre à l’intérieur de la matière isolante et agit sur les porteurs de charges de la matière. Ces porteurs de charge e- ou ions ne peuvent se déplacer librement sous l’effet du champ ; ils restent attachés à des groupements d’atomes moléculaires d’où le nom de charges liées.

II- Polarisation et potentiel électrostatique.

II- 1 Potentiel électrique.

Toutes les propriétés électriques des isolants ou diélectriques peuvent s’interpréter à l’échelle macroscopique par l’apparition dans tout le volume initialement neutre, d’un moment dipolaire électrique ou vecteur de polarisation ¬� Par définition un petit élément de volume ���� entourant le point repéré par �� possède le moment dipolaire :

����� � ��������

Page 60: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Où ¬�(r) et le moment dipolaire en un point.

Soit un milieu diélectrique polarisé D limité par une surface ∑ :

�³i � fi ����.| ����ePµd|} � � �ePµd �¬ ���� �!������������© ~�|� v!� � ����S � �!�i�������������� (1�) K� �!�i�������������� (1�) � � �!�©�������������� (1�)

�³i � 14;õ9 $�¬ ���� . �!���������������� (1�)& � 14;õ9 (¬ ����. �!���������������� (1�) ��)

��, ¬ ����. �!���������������� (1�) � ��� ¬ ����� � 1� ��� ¬ ���� ��¤v, ��� � ¯01ô/ ��� � ���� �� � ¯01ô/ ��� � ���� ��

w ³i � 14;õ9 ï ��� ¬ ����� �� � 14;õ9 ï ��� ¬ ����� ��ðr¥4Øèðr¥4Øè

Théorème de la divergence :

�� � ¯01ô/ ë � �����Ñ��Ñ ������� # ¯01ô/ ï � ��� � ���� ��

���

Le potentiel créé par les charges de polarisation

Page 61: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

w ³i � ³i� # ³is !�Kv ³i� � 14;õ9 ë ¬ ����. ¤�������? w .i � ¬ ����. ¤��

K�, ³is � �ePµd � = fåð i ����| �� w íi � � ��� ¬ �����ð�

Le milieu diélectrique polarisé est équivalent à des charges de polarisation (charges fictives) réparties dans le diélectrique avec une densité volumique íi � � ��� ¬ ����et surfacique .i � ¬ ����. ¤��.

II- 2 Champ électrique.

E���t : Le champ dépolarisant : champ créé par les charges de

polarisation (charges fictives).

E���9 : Le champ polarisant : champ créé par les charges réelles.

E���t � �grad��������� �Vt� � 14;õ9 ë.i�Q����? # 14;õ9 ï íi�S ��

�ð�

Dans cette partie, nous nous limitons au champ de polarisation créé par une distribution de polarisation donnée et à ¬� � v�K. Ce champ obéit aux équations suivantes :

��� ß ����i � íiõ9 � � ��� ¬� õ9

���������� ß ����i � 0

ß ����i � � �!������������ ³i

Exemple 1:

Calcul de ß ����i dans le cas d’une plaque homogène diélectrique

polarisée uniformément. On considère ces dimensions grandes devant son épaisseur �u, A� * K est polarisée dans le sens de ces faces :

Page 62: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

íi � ���� ¬� � 0 v!� ¬� � v�K

¬� uniforme w ß ����i est uniforme

��� ß ����i � íiõ9 � � ��� ¬� õ9 w ß ����i � � ¬� õ9 .i � ¬�. ¤�� 1 $.i� � #¬

.iQ � �¬&

II- 3 Charges de polarisations fictives.

Qt��� � � .i.��� �? : Charge répartie sur la surface du diélectrique.

Qt�w� � � íi �� �ð� : Charge répartie sur le volume du diélectrique.

Qt � Qt��� # Qt�w�

Qt � ë ¬�.���

¤�� �? # ï ���� ¬� �� �ð�

� ë ¬�.���

¤�� �? � ë ¬�.���

�?����� � 0

La somme algébrique des charges de polarisation est nulle.

Exemple 2:

Soit un cylindre diélectrique. On suppose que le vecteur polarisation est uniforme.

Page 63: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

- Charge de polarisation : charge volumique : íi � ���� ¬� � 0 (pas

de charge volumique) - Charge surfacique : .i � ¬� . ¤�� , pas de charge de polarisation sur la

surface latérale, sur les bases .i � x¬

III- Champ électrostatique en présence d’un diélectrique.

En tout point de l’espace, le champ total macroscopique est donné par :

ß����� � ß��è¹ç��� # ß��i��� Avec �ß��i, ³i� est le champ dépolarisant et �ß��è¹ç , ³è¹ç� et le champ

polarisant qui est le champ extérieur créé par un système extérieur (charges libre ou ddp U appliquée).

Le potentiel est défini en tout point de l’espace par :

∆ ³ # í # íiõ9 � 0 �鮫. �K %��­­�¤�

Le champ électrique ß������� se calcul comme dans le vide à condition de faire intervenir, en plus des charges réelles, des charges de polarisation.

Exemple 3 :

Soit un condensateur plan avec un isolant.

ß��è¹ç��� � 5µd «�� Le diélectrique uniformément polarisé est donc équivalent d’un point de vue charges, d’un condensateur plan sur ces surfaces les densités .i � ¬.

ß��i��� � �¬�õ9 � �¬õ9 «�� � � .iõ9 «�� Avec .i est la densité des charges liées au niveau du diélectrique.

Page 64: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

ß��è¹ç��� � .õ9 «�� Avec . est la densité des charges libres au niveau du conducteur (armatures du condensateur)

ß����� � ß��i���#ß��è¹ç��� �����,� � �Sô/ � S�ô/ � ����

IV- Vecteur induction électrique.

Dans ce qui précède, nous avons utilisé le champ créé par une polarisation donnée de densité volumique íi w champ créé par les

porteurs de charges libres í¥. En général, le champ total ß�� obéit à l’équation :

��� ß�� � íi�fåé¥éáç|åy4è�õ9 # í �¥åz|è�õ9 � í �¥åz|è�õ9 � ��� ¬�õ9

w ��� �ô/���� # ����� �   �3�{�� Par définition, on appelle vecteur induction électrique |��� , le vecteur défini par :

|��� � ô/���� # ���� w

}G~ |��� �   �3�{�� w

ï ��� ¼��� �� � ï í �¥åz|è���ðð

w

Page 65: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

� ¼��� ¤�� �? � ä¥åz|è � b ä|éè¥� , ��é��è°K �K �!«­­

Remarques

Dans le diélectrique les vecteurs ß��et ¼���� ont des propriétés différentes. Le champ électrique ß�� dérive d’un potentiel et son rotationnel égal à zéro.

ß�� � � �!������������ ³ K� ���������� ß�� � 0 Le vecteur induction ¼��� obéit au théorème de Gauss faisant intervenir uniquement les charges réels (sources).

V- Equation de Maxwell dans les milieux.

-Equation de Maxwell-Gauss

��� ¼��� � í �¥åz|è� et sa forma intégrale est � ¼���. ¤��. �? � ä�¥åz|è���� Elle exprime le flux sortant par le bord ? � û� du volume � du

vecteur déplacement électrique ¼��� en fonction de la charge électrique libre contenue dans le volume �.

-Equation de Maxwell-Ampère

Le courant volumique ²� est la somme du courant volumique libre ²�¥åz|è et du courant volumique de polarisation ²�i.

L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit en utilisant la relation :

²�i � û¬�û� ���������� ��� � 89�²�¥ # ²�i� # 89õ9 ûß��û�

� 89²�¥ # 89 ûû� �õ9ß�� # ¬�� w

Page 66: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

� ������� -��� � ./ $��3 # ã����ã & �� � ������� y���� � ��3 # ã����ã Qui ne contient que les courants libres.

Le terme �ý����ç est semblable au courant de déplacement de l’équation de

Maxwell-Ampère dans le vide. On l’interprète comme étant le courant de déplacement dans le diélectrique.

La forma intégrale est donnée par :

z ��� . �A����{

� 89�@¥ # @f�

Avec @¥ � � ²�¥ . ¤�� . �? K� � @f � � �ý����ç � ¤�� . �?

Elle exprime la circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé � � û? en fonction du courant libre @¥ et du courant de déplacement @f qui traversent la surface S.

-Equation de Maxwell-Faraday et Thomson

Ces équations sont les mêmes que dans le cas du vide.

VI- Milieux linéaires homogènes isotropes (l.h.i).

Dans les milieux homogènes isotropes, le déplacement électrique est proportionnel au champ électrique tandis que le champ magnétique et l’induction magnétique sont proportionnels l’un à l’autre :

¼��� � õ9ß�� # ¬� � õ9ß�� # õ9χ ß�� � õ9ß���1 # χ� � õ9õ|ß�� � õß��

Avec ¬� � õ9� µµd �1�ß�� � õ9χ ß�� et χ � µµd � 1 � õ| � 1 q 0

õ| est la permitivité relative du milieu diélectrique.

χ est la susceptibilité électrique.

Et donc :

���� � ��

Page 67: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Ave õ est la permittivité du milieu.

Quelques valeur de õ|et χ : õ| χ

Nacl 59 Air 5,7 . 10-3 Papier 2,5 BaTiO3 1760 Verre 7 Minéraux argileux 4,5 Eau (25°c) 78 Air sec 1,0054

Page 68: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Chapitre 7

Milieux diélectriques

Condition de passage entre deux milieux diélectriques

On suppose que la surface de séparation contient des charges réelles avec une densité . q 0

I- Composition normale de |���.

D���� � D�ùn�� # D�út� et D���Q � DQùn�� # DQút�

Page 69: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Calculons le flux de D��� à travers un cylindre élémentaire d�.

d� � D���� dS������ # D���Q dS�����Q # d��

on choisit un cylindre élémentaire dont la surface latérale est tellement petite : d�� � 0. Et donc d� � D���� dS������ # D���Q dS�����Q � σ dS

Or dS������ � dS�. n��� et dS�����Q � dSQ. n��Q et n��� � �n��Q � n�� w

D���� n�� � D���Q n�� � σ w

|¯H � |EH � � On constate que la composante normale du vecteur D��� à la traversée d’une surface chargée est discontinue.

- Cas d’une surface non chargée (σ � 0� D�ù � DQù

D�ù � þ� E�ù et DQù � þQ EQù w þ� E�ù � þQ EQù

w ¯H EH � �E

�¯

w La composante normale de E��� est discontinue même si la zone de séparation n’est pas chargée.

Page 70: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

II- Composante tangentielle de �� (surface non chargé � � /�

On sait que le champ électrique est à circulation conservatif :

z ��. �A���� � 0

On choisi un contour (ABCF) fermé :

�A���� � �A . �� , �������� � ��k������ � �A���� , �� K� �k ­�¤� �K­ �¤��¤�°K¤�­ ¬K���­

on a :

���. �������� # ��%{ # ��Q.�k������ # ���� � 0 �1�

or,

��%{ � ���� � 0 ��K­ �¤��¤�°K¤�­ ¬K���­ �

w ���. �A���� � ��Q. �A���� � 0

w ���. �� � ��Q. �� � 0

w �¯ � �E �2�

Page 71: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

La composante tangentielle du vecteur champ électrique est continue (dans le cas d’une surface non chargée).

�2� w �¯ ¡¯ � �E ¡E La composante tangentielle de D��� n’est pas conservative.

III- Réfraction des lignes de champs.

Soit une surface de séparation entre deux milieux (1) et (2) qui n’est pas chargée.

ß��� � �ß�æ, ß�ç�, ß��Q � �ßQæ, ßQç�

� �N�� � ß�çß�æ , � �NQ� � ßQçßQæ

w ß�ç � ßQç , ¼�æ � ¼Qæ

È�ß�æ � ÈQßQæ , � �N��� �NQ� � ß�ç . ßQæßQç . ß�æ � È�ÈQ

w È� v�� �N�� � ÈQ v�� �NQ�

Page 72: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

si ÈQ � È , È� � È9

� �NQ�� �N�� � ÈÈ9 � È| q 1

w � �NQ� q � �N�� w oE q o¯

IV- Relation de passage entre un conducteur chargé et un milieu diélectrique.

Soit un conducteur chargé avec une densité surfacique . q 0.

Diélectrique : ß���, ¼����.

Conducteur : ß��Q � 0, ¼���Q � 0 w ¼�æ � . w õß���. ¤�� � .

w �¯� � Sô En présence des charges de polarisation :

ß�æ � . # .iÈ9 � .õ

w .iÈ9 � . (1õ � 1È9)

Page 73: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

w .i � . ~È9õ � 1� , õ � È9. È|

.i � . ( 1È| � 1)

Relation entre charges libres et charges liées

Cas général : si . q 0 w .i p 0 si . p 0 w .i q 0

V- Relation local en présence d’un diélectrique parfait (l.h.i).

Vide Diélectrique

��� ß�� � íÈ9 ��� ß�� � íõ

¼��� � È9 ß�� ¼��� � õ ß�� ��� ß�� � í # íiÈ9

∆³ # íÈ9 � 0 ∆³ # í # íiÈ9 � 0

∆³ # íõ � 0

Relation entre í K� íi :  � �   (¡ � ¯)

L’apparition des charges de polarisation dans le volume est sur la surface d’un milieu diélectrique est du à l’existence des charges réelles dans ce milieu.

si í q 0 w íi p 0 si í p 0 w íi q 0

Page 74: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Exemple : Lame diélectrique placé entre les armatures d’un condensateur plan:

ß9 �.

õ9; �¤ ­«¬¬�­K ®«K %�� K­� «¤����°K.

En présence de charges de polarisation :

.i � %��. ¤�� ; íi � ����%�� � 0 �v!� ß9����� K­� «¤����°K�

.i � x% �q ßi����� �

.i

õ9 K�½�!�Kv .i p 0�

- Détermination du champ à l’intérieur de la lame :

�� � ��9 # ��i

Condition de passage du vecteur ¼���: t¼9 � ¼u

õ9 . ß��9 � õ . ß�� �q ß�� �õ9

õ ß��9 �

1

õ|ß��9

���� �¯

��/ p ����/

Page 75: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Exercice :

1° / Discuter la continuité des champs ß�� et ¼��� à la traversée d’une surface métallique chargée séparant deux milieux diélectrique.

2° / une lame diélectrique est placée dans le vide où règne un champ

électrique ß����Q. Montrer, en utilisant les relations de passage que ß����� � ß��S.

Réponse :

1° /

- Continuité de ß�� : � � z ß�� . �A���� � ë ��� ��������ß�� . �?����� � 0

Γ

� � z ß��Q . �A���� # z ß��� . �A���� ý{

%�

� 0

Page 76: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

w ß��Q. �������� # ß���.�¼������ � 0 wßQ. �� cos �PQ � OQ� # ß�.�¼ cos �PQ # O�� � 0 wßQ. sin �OQ� � ß�. ­�¤ �O�� � 0

w�E � �¯ d’où la continuité tangentielle du champ - Continuité de ¼��� :

Théorème de Gauss généralisé :

ë ¼��� . ¤��. �? � ∑ä¥åz|è,åæç �� � ¼���� . �?������ # ¼���Q . �?�����Q

�� � ¼� . cos O� �? # ¼Q . cos�; � OQ� �?

�� � ¼� . cos O� �? � ¼Q . cos OQ �? � .¥åz|è . �?

w �¯� � �E� � S3�{�

Si .¥åz|è � 0, on a la continuité des composantes normal de ¼���. 2° /

Page 77: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

. On a ��� � ��Q

. Continuité de la composante tangentielle du champ :

Surface ∑1 –∑2 : ß�ç � ßQç �1�

Surface ∑2 –∑3 : ßQç � ßSç �2�

(1) et (2) donnent : ß�ç � ßSç �4�

. Continuité de la composante normale de ¼���. : Surface ∑1 –∑2 : ¼�æ � ¼Qæ �q õ9 ß�æ � õ ßQæ �5�

Surface ∑2 –∑3 : ¼Qæ � ¼Sæ �q õ ßQæ � õ9 ßSæ �6� (5) et (6) donnent : ¼�æ � ¼Sæ => õ9 ß�æ � õ9 ßSæ �7�

et (4) et (7) donnent : ����¯ � ����5

VI- Localisation de l’énergie dans un diélectrique.

Soit une charge placée dans un potentiel V : l � �Q ®³

Pour une distribution volumique í : �l � �Q í ³ �� � �Q �® ³ �� contient une quantité d’électricité �® :

�l � 12 í ³ �� �q l � 12 ï í ³ ��ð

Equation local du théorème de Gauss :

��� ¼��� � í �q @ � 12 ï ��� �¼���� . ³ . ��ð

or, ³. ���¼��� � ����¼���. ³� � ¼���. �!������������ ³ � ����¼���. ³� # ¼���. ß��

donc, @ � �Q � ��� �¼��� . ³�. �� # �Q � ¼���. ß�� . ��ðð

Page 78: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

@ � 12 ë ³. ¼���. �?����� # 12 ï ¼���. ß�� . ���ð����

Le milieu est supposé une sphère de rayon infini : � 1 ∞

w ¼~ �|² ; ³~ �| ; ?~�² �q �Q � ³. ¼���. �?�����~��� �| 1 0 �� 1 ∞�. donc :

@ � 12 ï ¼���. ß�� . ���è�iláè�

Et la densité d’énergie :

�B�� � E ����. ���� � E ô. ����²

VII- Force subie par un diélectrique placé dans un

champ����. �� se comporte comme un dipôle �¬� � %��. �� (%�� vecteur de polarisation).

�k� � ��¬� . �!�������������. ß�� � �%��. �!�������������. ß��. ��

k�:ÉÊËÊÌk¹ � %�� �é���¹ ��

kº � %�� �é���º ��k½ � %�� �é���½ ��

¿ si ß�� K­� «¤����°K �q k� � 0��

Cette expression de k� suppose que :

- Le milieu diélectrique ne modifie pratiquement pas le champ extérieur.

- Le vecteur de polarisation est le vecteur réel calculé en utilisant le champ réel (càd le champ extérieur auquel s’ajoute le champ créé par les charges de polarisation.)

Page 79: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Chapitre 8 Milieux diélectriques

Etude de la polarisation dans les diélectriques

I- Calcul du champ créé par les charges superficielles de polarisation.

Soit une molécule placée dans une cavité vide �È9�. Le champ subit par

cette molécule est donné par (ß��¥: v�!°¬ A�v!A� : ß��¥ � ß��è¹ç # ß��i

avec ß��è¹çest le champ extérieur et ß��i est le champ créé par toutes les

molécules sauf celle placée en O.

On suppose que le vecteur de polarisation est uniforme.

%�� � õ9χ ß�� � �õ � õ9�ß�� .i � %��. ¤�� � %. v�­O

b�������� � ¶ K�| � ¶ ¤�� 0 p O p ;

%�� «¤�� �q íi � ���%��� 0

Page 80: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

�ß��¹ � 14;õ9 �®¶Q ��¤���

Par raison de symétrie, le champ ß��i est porté par �bJ�

�ßi= � ��ßi cos �O�

� �14;õ9 .i. �?¶Q cos�O�

.i � %v�­�O�K� �? � ¶Q sin�O� �O �¸

�ßi= � �14;õ9 % cos�O� ¶² sin�O� �O �¸¶² cos �O�

ßi= � �%4;õ9 Í v�­Q�O� sin �O�P9 �O Í �¸QP

9

� �14;õ9 2; Ä� v�­S�O�3 Å9P

�����Î � +���5ô/

Donc le champ local ߥ : ����3 � �����Î # +���5ô/

II- Etude de la polarisation induite électronique.

Dans le cas d’un atome isolé (état fondamental est stationnaire) la charge positive est due aux protons et la charge négative aux électrons. Le

moment dipolaire électrique +��� � d ���� ���� � /���� => +��� � /���. Les barycentres des deux distributions coïncident.

Page 81: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Quand un champ électrique ß��è¹ç est appliqué à l’atome, il induit des forces opposées sur les charges positives et négatives. Ainsi, on aura un

décentrement de l’atome => +��� n /���.

Molécule non polaire :

Dans un milieu diélectrique et pour N molécules identiques :

+���3 � �. ���� Le moment dipolaire ���� � o. ����3, N : polarisabilité [Fm²] (MKSA)

+���3 � �. o. ����3 � �. o. ����� # +���35¡/�

avec ß�� le champ extérieur.

+���3 (¯ � �. o5¡/ ) � �. o. ���� �¯�

+���3 � �¡ � ¡/�����

Page 82: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Donc (1) donne :

1 � �. o5¡/ � �. o¡ � ¡/

�. o � 5. ¡/. ¡ � ¡/¡ # E¡/

�. o � 5. ¡/. ¡ � ¯¡ # E

Relation de Clausius - Mossoti

III- Distribution du moment de dipôle dans un champ appliqué.

Le moment résultant : Γ � ¬��ß�� ; l’énergie potentiel : @ � �¬�. ß�� � �¬. ß. v�­O

soit ��, l’angle solide sous laquelle on voit �? qui contient �� dipôles.

si ß � 0 �� � �. f�eP

Si on applique un champ électrique ß���� , �� est donné par la statistique de Boltzmann par :

�� � �K= ��î . ��

� �� � �K�.������.��� . �� , avec W : cte de Boltzmann, � : température

et � : cte de normalisation.

On pose : ! � i.é�î et J � cos �O�, �J � � sin�O� . �O

�� � 2. ;. sin�O� . �O; 0 » O » ;; �1 » J » #1

�� � �Kl.¹. 2;. sin�O� . �O

Page 83: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

�� � �2;. �Kl.¹. �J �1�

(1) permet de calculer la valeur moyenne de cos�O� pour les molécules en nombre très grand situé dans l’angle solide élémentaire ��.

cos�O�          � J¡ � Í J. ��. 1p �� � p JKl.¹ . �JC�=�p Kl.¹ . �JC�=�

- Etude de la polarisation par orientation :

L’expression de l’énergie : @ � �¬�. ß�� � �¬. ß. v�­O

D’après la statistique de Boltzmann on a :

d� � �Kl.¹. �J; J � cos�O� ; ! � i.é�î ; p �� � �ð

la valeur moyenne de cos�O�          � J¡ � �¢ p J. Kl¹. �JC�=�

� � Í �. Kl¹. �JC�=�

J¡ � p J. Kl¹. �JC�=�p Kl¹. �JC�=�

- Calcule du nombre de particules N :

� � �. Í Kl¹. �JC�=�

� � �! . tKl¹u=�C�

� � �! tKl � K=lu � 2�! ­��!�

Page 84: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

� � �! ­��!�

- J¡ � �¢ p J. Kl¹. �JC�=�

Í J. Kl¹. �JC�=� � ��! Í Kl¹

C�=�

. �J � � ���!

J¡ � 1� ���! � ��! ln ���

� � 2�! ­��!�;u¤��� � u¤�2�� � u¤�!� # u¤�­��!�� ��! ln��� � � 1! # �­��!�� ­��!�

��! ln��� � v� �!�­��!� � 1!

��! ln��� � coth �!� � 1!

J¡ � coth�!� � 1! ,k�¤v���¤ �K u!¤ K��¤ !�Kv ! � ¬. ߣ�

- Cas où a * 1 (à haute température) :

coth�!� Ç 1! # !3 # ��!�

J¡ Ç !3 � ¬. ß3£�

- Cas où a * 1 (à basse température) :

coth�!� 1 1, J¡ � 1

Page 85: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Chapitre 9 Milieux aimantés

I- Action sur un dipôle magnétique dans un champ uniforme.

On sait que A��� � µde¤ . Ý����¥-��-} (potentiel vecteur)

La résultante qui s’exerce sur ce dipôle :

������� � @. �A���� � ��� � � @. z �A � � � @�

�{�z �A � � � � 0

�{�

La résultante des forces de Laplace agissent sur un circuit fermé dans un champ magnétique extérieur uniforme est nulle.

La résultante des moments agissant sur le circuit (C) (��� uniforme)

Γ���9 � °��� � ��� �q Γ9 � °. �. sin �O� -Travail des forces électromagnétiques.

Le travail :

�¦ � �������. ��������� �¦ � @. ��A���� � ����. ��������� �¦ � @. ���������� � �A�����. ���

Page 86: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

�¦ � @. �?����� . ��� � @. �� �q ¦ � @. �

- � le flux du champ ��� à travers la surface balayée par le circuit (C).

- L’énergie potentiel d’un aimant placé dans ��� uniforme :

l � � @. �

l � � @. � � � @. ?�. ��� � �°���. ��� � �°. �. cos �N�

- Stabilité à l’équilibre :

Si N � 0, f�fg � 0 �q flux maximum => équilibre stable.

Si N � ;, f�fg � 0 �q flux minimal => équilibre instable.

Dans le cas général, si on suppose que le dipôle est placé dans un champ non uniforme, le dipôle sera soumis ; d’une part au couple

Γ��� � °��� � ��� ; d’autre part à une force �� due à la non-uniformité du

champ appliqué : �� � � �!������������ l �q �� � �!������������ �°���. ����

°���. ��� � °¹�¹ # °º�º # °½�½

�¹ � ûûJ �°¹�¹ # °º�º # °½�½�

� °¹ ûûJ �¹ # °º ûûJ �º # °½ ûûJ �½

� � �°���. �!�������������. ��� II- Généralité sur les milieux magnétiques.

Si on place des substances dans un champ magnétiques, elles s’aimantent ; càd quelles manifestent un comportement analogue à celui d’un dipôle magnétique de moment °��� Pour la plupart de ces substances, l’aimantation cesse lorsqu’on supprime le champ (appelé paramagnétique ou diamagnétique).

Page 87: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

1- Vecteur aimantation.

On appel vecteur aimantation noté : ���� � fØ����fð

�°��� � ����. ��

2- Potentiel vecteur créé par un milieu magnétique.

Le potentiel vecteur �� � ��� # ��Q, avec :

��� � µ94π ï ��wr dv ; �w�

��w: densité volulique du courant. ��Q K­� AK ¬��K¤��KA �Kv�K«� ¬���«�� ¬!� A]!�°!¤�!���¤.

- Calcul de ��Q: ���Q � µ94π dm���� Λ r�rS , avec r� � PM�������

� µ94π M���� Λ r� . dvrS � � µ94π M���� Λ grad���������¨ (1r) . dv

���Q � µ94π M���� Λ grad���������) (1r) . dv

�� ; M���� Λ grad���������) (1r) � �rot������ $M����r & # 1r rot������ �M�����

Page 88: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Le potentiel vecteur produit par le milieu aimanté :

��Q � µ94π ï rot������ �M�����rw dv � µ94π ï rot������ $M����r &

w

��; ï rot������ $M����r &w

. dv � ë dS����� Λ $M����r &�

��¤v; ��Q � µ94π ï rot������ �M�����rw dv # µ94π ë $M���� Λ n��r &

� dS

��©w � rot������ M���� et ��©� � M���� Λ n�� On peut donc calculer le potentiel vecteur produit par un matériau magnétique comme dans le vide à condition de faire intervenir des courants d’aimantation par l’intermédiaire de la distribution

équivalente, densité volumique ��©w � rot������ M���� et densité surfacique du

courant ��©� � M���� Λ n��. Notons que le flux de B��� est conservatif : ��� B��� � 0

Exemple :

3- Vecteur excitation magnétique.

��©w � rot������ M���� ; ��©� � M���� Λ n�� M���� vecteur aimantation.

Le champ B��� est à flux conservatif ��� B��� � 0

- Equation local d théorème d’Ampère :

rot������ B��� � µ9 �� avec �� la densité de courant total.

Dans le milieu aimanté : �� � ��w # ��©w avec ��w : densité de courant volumique réelle.

Page 89: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

donc :

rot������ B��� � µ9 ���w # ��©w� d’où :

rot������ B��� � µ9 ��w # µ9 ��©w � µ9 ��w # µ9 rot������ M���� =>

rot������ �B��� � µ9M����� � µ9 ��w

=>

rot������ $ B���µ9 � M����& � ��w ; H��� � B���µ9 � M���� H��� : vecteur excitation magnétique.

=>

H��� � B���µ9 � M���� �q B��� � µ9�H��� # M�����

Dans le vide : M���� � 0 ; B��� � µ9 H��� Equation locale du théorème d’Ampère :

rot������ H��� � ��w

z H���. dl ��ö�

ë ��w. dS��������

La circulation du vecteur excitation H��� sur une courbe fermée est égale à l’intensité totale du courant réel qui traverse toute la surface (S) s’appuyant sur la courbe (C).

III- Milieux magnétique (l.h.i).

M���� � χÝH��� ; !�Kv χÝ: susceptibilité magnétique

Dans l’approximation l.h.l :

Page 90: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

B��� � µ9�H��� # χÝH����

� µ9�1 # χÝ�H��� avec �1 # χÝ� � µ- : perméabilité relative.

µ � µ9 µ- : perméabilité absolue.

et donc le champ magnétique dans les milieux (l.h.i) : B��� � µ H���� - Milieux paramagnétique :

χÝ � Cte q 0 �q µ- q 1 - Milieux diamagnétique :

χÝ � Cte p 0 �q µ- p 1 La plupart des substances sont diamagnétiques et donc les vecteurs

aimantations M���� et excitation H��� sont proportionnels et antiparallèles.

Bi � χÝ ª �1,5 . 10=e SI �HQO�« � χÝ ª �9 . 10=¬ SI

Substance paramagnétique :

O­©®¯°± : χÝ ª 2 . 10=Ù SI IV- Conditions de passages entre deux milieux aimantés.

Page 91: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

- Surface contenant des courants réels :

�?�������� � �?�. ¤���

�?Q������� � �?Q. ¤��Q

�� � ����. �?�������� # ���Q. �?Q������� # ��² � 0

��² � 0 v!� � K� �]­�¤� ��è­ ¬��v�K¤�

�����. ¤������ # ���Q. ¤Q�������? � 0

����. ¤������ # ���Q. ¤Q����� � 0 ; ¤�� � ¤������ � �¤Q����� =>

��. ¤ � �Q. ¤ � 0

=>

��æ. � �Qæ

La composante normale du vecteur ��� est continue à la traversée d’une surface de séparation (contenant du courant surfacique réel) de deux milieux magnétiques de perméabilités µ� et µQ.

- Vecteur excitation x��� :

Page 92: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

La circulation élémentaire du vecteur x��� le long du contour fermé (ABCD).

dC � x����. �������� # ��%{ # x���Q.�¼������ # ��ý� � �@ �v�«�!¤� �éKA�

avec �@ est le courant élémentaire qui traverse la surface (S) s’appuyant sur le contour ABCD.

�������� � �A. �� ; �¼������ � � �A. �� donc :

x����. �������� # x���Q.�¼������ � �@ � ³���� . �A���� x����. �� � x���Q. �� � ³���� . �A����

x�ç � xQç � ´��� La composition tangentielle du vecteur excitation magnétique x��� est discontinue (n’est pas conservative) à la traversée de la surface de séparation.

Si la surface de séparation ne contient plus de courant surfacique réel, la composante tangentielle est conservative.

x�ç � xQç (pas de courant réels sur la surface de séparation)

- Réfraction des lignes de champ.

On va considérer le cas ou �?� ne contient pas de courants réels.

� N� � ��ç��æ � NQ � �Qç�Qæ

� N�� NQ � 8�8Q

Page 93: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Car : ��ç � 8�x�ç et �Qç � 8QxQç ��æ � �Qæ => conservation du plan d’incidence.

Exemple :

1) Plaque mince perpendiculaire à ���9 (champ extérieur) :

Conservation de la composante normale :

���9 � ��� 89 x���9 � 8 x���

x��� � 89 8 x���9 � x���98| � x���9�χØ # 1�

L’aimantation ���� : ���� � χØ x��� � χØ �χØ # 1� x���9

���� � χØ �χØ # 1� x���9

2) Barreau allongé placé parallèlement à ���9 :

Conservation de la composante tangentielle de x��� : x���9 � x��� �q ���989 � ���8 �q ������9 � 889

������9 � 8|

Page 94: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Le flux de ��� se conserve :

�9 ?9 � � ?

��9 � ?9 ? � 8| - Cas d’une substance paramagnétique :

χØ � 8| � 1 q 0 �q 8| q 1

?9 q ? �q «¤ ¬!�!°! ¤é��®«K

- Cas d’une substance diamagnétique :

χØ p 0 �q 8| p 1 �q ?9 ? p 1 �q ?9 p ? V- Courbe d’aimantation des ferromagnétiques.

On désigne par ferromagnétisme la propriété qui ont certains corps de s’aimanter très fortement sous l’effet d’un champ magnétique extérieur ���è¹ç très souvent de garder par la suite une aimantation importante quand

on enlève ���è¹ç. Ils sont devenus des aimants.

Page 95: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

���� � χØ x ����� ; χØ * 1 ; χØ � 8| � 1 ª 8| Matériau ferromagnétique : χØ ª 10Q à 10e SI

Exemple : Co, Ni, Fe et ses alliages.

1- Courbe d’aimantation.

Mr : aimantation rémanente.

Pour revenir à H=0, il faut appliquer un champ inverse -Hc : excitation coercitive.

Cycle d’hystérésis

L’aimantation ne repasse pas sur la même courbe, en particulier, pour un champ nul, l’aimantation garde une valeur > 0.

2- Perte d’énergie par hystérésis.

A cause de l’hystérésis, il y a perte de chaleur à l’intérieur du matériau par des variations périodique de (-HM) et (+HM) mais le phénomène d’hystérésis est un avantage pour obtenir des aimants permanents.

Page 96: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Lois de Pouillet :

K � ¶ @ # ����

Flux B :

� � ¤. A. ?. �

Le vecteur x � ¤. @

K � ¶ @ # ����

On multiplie les membres de cette équation par @. ��

Í Kç9

@ �� � Í ¶ç9

@² �� # Í @ ���9

�� � ¤. A. ?. ��

Í Kç9

@ �� � Í ¶ç9

@² �� # Í ¤. . @. A. ?. �� %9

Or x � ¤. @ ; A. ? � �

Í Kç9

@ �� � Í ¶ç9

@² �� # Í �. x. �� %9

p Kç9 @ �� � Energie délivrée par le générateur.

p ¶ç9 @² �� � Energie dissipée par effet joule.

p �. x. �� �9 � Energie dissipée par Hystérésis Eh.

ßµ � � Í x. �� %9

� � 89 �x # ��

�� � 89 ��x # ���

Page 97: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

ßµ � � KÍ 89 x. �x #¶9

Í 89 x. ��©9

L

Pour un cycle d’hystérésis :

ߵ � � z 89 x. �x # � z 89 x. ��

Or, � 6 89 x. �x � 0

=>

ßµ � � 89 z x. �� �1� ßµ � � 89 ∑

Cette formule (1) montre que l’énergie dissipée par hystérésis est proportionnelle au volume de la substance ferromagnétique subissant le cycle et à l’aire ∑ du cycle d’hystérésis.

On remarque que cette énergie sera d’autant plus faible que ∑ sera plus petit (cas du fer doux).

Application :

La tension · � W ³| ; ¸ � W ³á

Calcul de ³| � �. @

Le nombre total de spires : � � �� #�Q

Page 98: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

Calcule de H :

Théorème d’ampère :

La langueur de la circonférence ; A � 2;¶.

z x. �A � �. � �q x � �. �A � �. �2;¶

x � �. �2;¶

Le courant � � ¶.Q.P.¹¢

=>

³| � x. 2;¶� . � � (2;¶� ) . x

�] � �. �³á�� Un courant �] provoque la création d’une force électromotrice :

K � �����

� � �. �. ?

S étant la section du tore = cte

K � ����� � �]. � # � ´V�

- Dans le cas où � * �º{.

K � ����� � �]. � �q �] � � 1� ����

or ;

�] � �. �³á�� �q ³á � Í 1� . �]. ��

³á � 1� Í � 1� . ��

Page 99: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

L � W]. ³á � � W �� �

Avec � le flux à travers la section d’un tore.

³á � � 1�� .�. ?. �

· � W ³| � W 2. ;. ¶. �� . x

La fonction � ��·� représente le cycle d’hystérésis de la substance ferromagnétique.

VI- Circuit magnétique.

Le but de notre problème est l’étude de nombreuses applications des substances ferromagnétiques.

Ces applications sont dérivées soit des électroaimants soit des aimants permanents.

1- Loi d’un circuit magnétique simple.

Tore à avec n spires.

Substance ferromagnétique 8 * 89

8 varie de 102 à 104 SI

Le champ magnétique :

z x���. �A���� � ¤. @ �q x � ¤. @A

Page 100: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

x est uniforme dans le tore est tangent à une ligne d’induction.

Loi de réfraction des lignes de d’induction :

� N� 1 ∞ �q N� 1 ;2

Le circuit magnétique est un tube de ligne d’induction.

2- Equation des circuits magnétiques.

Matériaux ferromagnétiques :

� ����; x��� ; 8 � � ����x��� * 89

Théorème d’ampère sur x��� : z x��� . �A���� � �. @

Le champ ��� est à flux conservatif :

� � �. ? ; � � 8. x �q � � 8. x. �

On en déduit donc le vecteur x��� : x � �8. ?

Page 101: Cours Electromagnétisme - EnSAM - Cycle Préparatoire Intégré

=>

�. z �A . 18. ? � �. @ ����°«AK �K x�¬W�¤­�¤�

=>

�. ¶ � �. @ ; !�Kv ¶ � z �A8. ? � ¶éA«v�!¤vK �« v��v«��

�. ¶ � k ; !�Kv k � �. @ � ���vK °! ¤é��°����vK

�. ¶ � k est analogue avec ¶. @ � ß

La force magnétomotrice ne dépond que du circuit créateur du vecteur x��� alors que la réluctance ne dépond que des dimensions et les caractéristiques du circuit magnétique.