Cours Electromagnetisme 2013 Chapitre 0

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    G.P. lectromagntisme 2013

    LECTROMAGNTISME

    Sommaire

    Chap 0: Rappels Sup............................................................................................................................3I.Dinition !es champs lectri"ue # et magnti"ue $....................................................................3II.%ormules histori"ues : C&'(&)$ et $I&*+S,-,R*................................................................

    ,.Calcul !e # en lectrostati"ue/ connaissant la rpartition !e charges.....................................1.Rpartition !iscrte !e charges..............................................................................................2.Distriution continue !e charges...........................................................................................

    $.Calcul !e $ en magntostati"ue/ connaissant la rpartition !e courants.................................1.(oi !e $I&*+S,-,R*...........................................................................................................2.#emple 1: champ sur l4ae !4une spire !e courant...............................................................

    III.Proprits !e s5mtrie !es champs..............................................................................................6,.# est un 7rai 7ecteur................................................................................................................6

    1.Il eiste un plan !e s5mtrie..................................................................................................62.Il eiste un plan !4antis5mtrie..............................................................................................8

    $.$ est un pseu!o 7ecteur...........................................................................................................81.Il eiste un plan !e s5mtrie..................................................................................................82.Il eiste un plan !4antis5mtrie..............................................................................................9

    I-.Proprits !e # en lectrostati"ue et !e $ en magntostati"ue....................................................9,.Proprits intgrales................................................................................................................9

    1.Champ lectrostati"ue...........................................................................................................9a.(e champ lectrostati"ue est circulation conser7ati7e.................................................9

    .(e thorme !e G,'SS...............................................................................................102.Champ magntostati"ue......................................................................................................10

    a.(e champ magntostati"ue est lu conser7ati.........................................................10.(e thorme !4,)P;R#..............................................................................................10

    $.#emples...............................................................................................................................101.#emple 2: champ lectrostati"ue cr par une oule uniormment charge...................10

    a.S5mtries et in7ariances:..............................................................................................11.*horme !e G,'SS:..................................................................................................11

    2.#emple 3: champ magnti"ue cr par un il c5lin!ri"ue parcouru par !u courant..........12a.S5mtries et in7ariances:..............................................................................................12

    .*horme !4,)P;R#:.................................................................................................133.'tilisations !u thorme !e G,'SS et !u thorme !4,)P;R#......................................1C.Proprits locales !ans les cas particuliers !e l4lectrostati"ue et !e la magntostati"ue.....1D.(e potentiel - en lectrostati"ue...........................................................................................1

    1.#istence !u potentiel..........................................................................................................12.#pression !u potentiel.......................................................................................................1

    a.#pression connaissant la rpartition !e charge...........................................................1.(ien champ+potentiel+charges......................................................................................1me

    terme. &n retrou7era sou7ent ce1

    2!ans !es ormules !4nergie en lectromagntisme.

    '. quations de passage ou de continuit

    (es "uations locales !e ),H#(( supposent "ue les sources @ M / % M A sont7olumi"ues.

    (ors"ue la rpartition !e sources se trou7e en 7olume/ !ans une couche !4paisseur ngligeale/ onmo!lise parois par une surace i!ale en ngligeant l4paisseur. ,u cours !e la tra7erse !e lacouche/ les champs changent progressi7ement !e 7aleur mais si l4on mo!lise par une surace ausens mathmati"ue !u terme/ on a apparition !4une !iscontinuit/ le champ n4tant plus !ini sur lasurace elle+m>me. (es sources sont notes alors @ M / % SM A .

    &. Relations de passage

    1. Ca+p E

    Il 5 a continuit !e la composante tangentielle et !iscontinuit !e la composante normale.

    Pour les champs au 7oisinage !e M !ans le milieu 1 ou !ans le milieu 2/ on a :

    Evoisinage milie!2 M Evoisinage milie!1 M=a! &oinM

    0n de1 vers 2

    V2

    MV1M=0

    ". Ca+p B

    Il 5 a continuit !e la composante normale et !iscontinuit !e la composante tangentielle.

    Pour les champs au 7oisinage !e M !ans le milieu 1 ou !ans le milieu 2/ on a :

    B voisinagemilie!2MB voisinagemilie!1M=0% S a! &oinMnde1vers 2

    19=2

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    G.P. lectromagntisme 2013

    et

    $2

    M$1M=0 3cours de +ats sp4

    B. E,emples

    1. E*e+ple ;, plan infini unifor++ent car!

    &n 7eut 7riier la relation !e passage !ans le cas !4un plan uniormment charg en surace. &nrappelle le rsultat pour un plan inini uniormment charg en lectrostati"ue @7oir igureA.

    7riication:

    Evoisinage milie!2 Evoisinagemilie!1=a! &oin

    0

    nde 1vers2

    20

    !z 20

    !z = 0

    nde1 vers2 car ici nde1vers 2= !z

    ". E*e+ple

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    G.P. lectromagntisme 2013

    B voisinagemilie!2 Bvoisinage milie!1=0%S a! &oinnde 1vers2

    0 %S2

    !x 0 %S2 !x =0 %S!y !z car ici nde1vers2= !z(a relation !e passage est !onc 7riie puis"ue !y !z= !x .

    'I. "ignes de champ

    Deu lignes !e champ ne peu7ent se croiser. (ors"ue cela semle se pro!uire en un point/ c4est"u4en ce point/ soit le champ est nul/ soit le champ n4est pas !ini.

    1. Ca+p E

    (e champ E !i7erge @ ou con7ergeA partir !es sources !e charges.

    (es lignes !e champ E sont orientes 7ers les potentiels !croissants @ E=grad V!onc en sens contraire !u gra!ient !e potentielA.

    (es lignes !e champ E sont orthogonales au suraces "uipotentielles @ dV=Edl=0si l4on choisit un !placement lmentaire dl perpen!iculaire E A.

    (es lignes !e champ E ne peu7ent >tre ermes sur elles+m>mes @le potentiel ne peut!crotre sans arr>t le long !e la ligne !e champ pour retrou7er la m>me 7aleur aprs untourA.

    ". Ca+p B

    (e champ B tourillonne autour !es sources !e courant.

    21=2mes @en lien a7ec laproprit !u lu !4>tre conser7ati pour toute surace ermeA.

    'II. Dip/le lectrostatique1

    &. Dfinition

    #n se limitant ici au !eu premiers termes/ une rpartition "uelcon"ue q i !e charges cre/ gran!e !istance/ un potentiel !e la orme:

    VM= 3

    0 'M

    & .'M

    0 'M3 ...

    ou a7ec r='M :

    VM= 3

    0 r

    & .r

    0 r3...

    ou a7ec !=rr

    VM= 3

    0 r

    & . !

    0 r2 ...

    (e premier terme ou terme monopolaire est en1r

    a7ec 3=i

    qi .

    22=2