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Ann´ ee Universitaire 2011-2012 Licence de Physique (S4) Cours d’Electromagn´ etisme Charg´ e du Cours : M. Gagou Yaovi Maˆ ıtre de Conf´ erences ` a l’Universit´ e de Picardie Jules Verne, Amiens [email protected] 1

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Cours d’Electromagnetisme

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  • Annee Universitaire 2011-2012

    Licence de Physique (S4)

    Cours dElectromagnetisme

    Charge du Cours : M. Gagou YaoviMatre de Conferences a` lUniversite de Picardie Jules Verne, Amiens

    [email protected]

    1

  • Table des matie`res

    1 Rappels delectrocinetique 6

    1.1 Notion de courant electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2 Vecteur densite de courant et intensite du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3 Conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Loi dOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.5 Champ dinduction magnetique cree par un courant electrique . . . . . . . . . . . . . 8

    1.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.5.2 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.6 Theore`me dAmpe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.6.1 Circulation du vecteur induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.6.2 Generalisation du theore`me dAmpe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.7 Equation de Maxwell-Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.7.1 Theore`me de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.7.2 Equation de Maxwell-Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.8 Potentiel vecteur de linduction magnetostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.8.1 ~B est cree par un courant filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.8.2 ~B est cree par un courant non filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.8.3 Courant surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.8.4 Courant volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.8.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.8.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.9 Conservation du flux dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.10 Dipole magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.10.2 Potentiel scalaire et induction magnetique crees par un dipole magnetique . . . 13

    1.11 Forces electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.11.1 Loi fondamentale de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.11.2 Travail des forces electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.11.3 Energie potentielle electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Regime quasi-stationnaire 16

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2 Force electromotrice dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2.1 Hypothe`ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2.2 Circulation du champ electromoteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.3 Induction electromagnetique - LOI DE FARADAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.3.1 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.3.2 Sens du courant induit : Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4 Phenome`nes dinduction dans un circuit fixe place dans un champ ~B variable . . . . . 18

    2

  • 2.4.1 Expression mathematique du champ electromoteur . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4.2 Extension de la notion de champ electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4.3 Relation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.5 Coefficient dinduction mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.6 Inductance propre et inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.7 Principe de conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.8 Loi dOhm en regime quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.10 Energie electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.10.2 Energie electromagnetique dans un circuit unique . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.10.3 Cas de deux circuits filiformes (c1) et (c2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.10.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.11 Densite volumique denergie electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.11.1 Energie electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.11.2 Localisation de lenergie electromagnetique : densite denergie electromagnetique 24

    2.12 Energie electromagnetique dans le cas des circuits non filiformes . . . . . . . . . . . . 25

    3 Introduction 27

    4 Serie de Fourier 27

    4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.2 Representation Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.3 Representation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.3.1 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.3.2 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.3.3 Symetrie et Changement de lorigine des temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    5 Etude du circuit [R,L,C] serie 29

    5.1 Methode de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    5.2 Notation en Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    5.3 Valeur maximale, Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    5.4 Puissance Instantanee, Puissance moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    5.5 Puissance active, Puissance reactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    6 Rappels 32

    6.1 Champs stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    6.2 Champs quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    7 Regimes Variables (rapidement) 32

    7.1 Passage en regime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3

  • 7.1.1 Difficultes dordre mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    7.1.2 Difficultes dordre physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    7.1.3 Que se passe-t-il reellement entre les armatures du condensateur ? . . . . . . . 34

    7.1.4 Lequation de Maxwell-Ampe`re, 1876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    7.1.5 Resume des Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    7.1.6 Justification des Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    7.2 Les potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    8 Equation de propagation du champ 37

    8.1 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    8.2 Cas ou` le milieu est considere comme un dielectrique parfait . . . . . . . . . . . . . . 38

    8.3 Equations aux dimensions de

    9.1 Cas general dun milieu quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    10 Definition dune onde plane 43

    11 Onde plane se propageant suivant un axe (Oz) 43

    11.1 Caracte`re transversale de londe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    11.2 Relation entre les champs ~E et ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    11.3 Integration des equations de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    11.3.1 Determination de la composante (Ex(z, t)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    11.3.2 Determination de By(z, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    11.3.3 Determination de londe (Ey(z, t), Bx(z, t)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    11.4 Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    11.4.1 Ondes progressives et regressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    11.4.2 Proprietes de londe progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    12 Cas general : Onde plane de direction quelconque 48

    13 Notion de polarisation 49

    13.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    14 O.E.M. plane sinusodale et polarisee rectilignement 50

    14.1 Propagation suivant une direction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    14.2 Cas particulier dune propagation suivant ~Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    15 O.E.M. plane sinusodale et polarisee circulairement et elliptiquement 52

    16 Onde plane sinusodale se propageant rectilignement (notations complexes) 53

    17 Rappels 55

    4

  • 18 Calcul de lenergie electromagnetique 55

    18.1 Causes de la variation de lenergie electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    18.2 Methode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    18.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    18.4 Conservation de lenergie electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    18.4.1 Cas dun volume non charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    18.4.2 Cas dun volume charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5

  • Chapitre 1

    RAPPELS ET COMPLEMENTS DE MAGNETOSTATIQUE

    1 Rappels delectrocinetique

    1.1 Notion de courant electrique

    Lensemble des electrons dun conducteur peuvent etre repartie en deux categories : charges

    fixes fortement liees au noyau et les electrons de conduction. Tout ceci constitue un ensemble

    electriquement neutre avec une moyenne de vitesse nulle en labsence de champ electrique applique.

    En presence dun champ electrique constant ~E, les charges sont soumises a` des electriques

    ~F = q ~E (1)

    et a` des forces de frottement ~Fr dues a` des collisions des electrons contre les ions. Un etat de regime

    setablit ou` les charges q sont animees dun mouvement densemble de vitesse ~v : cest le courant

    electrique.

    1.2 Vecteur densite de courant et intensite du courant

    Soit la quantite de charges mobiles par unite de volume. Pendant un intervalle de temps dt

    suffisamment petit les charges mobiles qui ont traverse lelement de surface ds sont contenues dans

    un petit volume cylindrique d de base ds et de generatrice paralle`le a` ~v.

    On a :

    d = ~ds.~vdt = ~v.~ndsdt (2)

    d contient la charge,

    dQ = d = ~v.~ndsdt (3)

    Par definition, on appelle vecteur densite de courant au point M, le vecteur

    ~j = ~v (4)

    par definition on appelle intensite du courant traversant lelement ds la grandeur :

    dI =dQ

    dt= ~j. ~ds = ~j.~nds (5)

    on en deduit :

    I =

    ~j. ~ds (6)

    Si dQ est la charge ayant traversee le circuit pendant dt alors on a : I = dQdt

    6

  • 1.3 Conservation de la charge

    Soit une surface entie`rement fermee prise a` linterieur du conducteur et delimitant le volume

    , soit ~n la normale a` la surface en tout point. Lintensite du courant I ayant traverse sera :

    I =

    ~j.~nds = dQ

    dt

    ou` Q est la charge contenue dans D (le signe - pour traduire la diminution de charge dans due

    aux charges sortantes du conducteur). Or,

    Q =

    D

    .d

    donc

    ~j.~nds =

    D

    t.d

    Par ailleurs dapre`s le theore`me de Green Ostrogradski,

    ~j.~nds =

    D

    div(~j)d

    alors, D

    (div~j +

    t)d = 0 (7)

    on en deduit,

    div~j = t

    (8)

    En regime stationnaire est partout constant dans le conducteur et alors div~j = 0 (courant conc-

    tant).

    1.4 Loi dOhm

    ~Fe = q. ~E est la force dont est soumisse la charge q en tout point du conducteur. ~E derive du

    potentiel applique au conducteur.

    Ces charges sont soumises aussi aux forces de frottement :~Fr = ~ven regime permanent, v=constante et le PFD secrit :

    m~dvdt= ~Fe + ~Fr

    Conclusion :

    q. ~E ~v = 0soit

    ~v =q

    ~E

    7

  • dou`

    ~j = ~v =q

    ~E = ~E (9)

    avec = qCette relation (loi dOhm) indique que le vecteur ~j est colineaire au champ ~E et donc lui

    est proportionnel. est appele conductivite du materiaux. La quantite = 1est appele resistivite

    du materiaux. Les grandeurs et permettent de classer les materiaux en trois types : isolant,

    semi-conducteurs et conducteurs.

    1.5 Champ dinduction magnetique cree par un courant electrique

    1.5.1 Introduction

    La force electrostatique sur une charge q placee dans un champ electrique ~E est : ~F = q ~E

    Lexperience montre que si q se deplace a` la vitesse ~v0, elle engendre en plus du champ ~E un champ

    dinduction magnetique ~B. Lorentz a montre quune particule de charge q se deplacant a` la vitesse

    ~v en presence des champs ~E et ~B crees par une charge quelconque Q, subit la force

    ~F = q.( ~E + ~v ~B) (10)

    A la force dorigine electrostatique sest donc ajoutee une force dorigine magnetique ~Fm = q.~v ~B.Le courant electrique etant la circulation de charges electriques, il en resulte quun circuit electrique

    parcouru par une charge electrique produira en tout point M un champ dinduction magnetique ~B

    et que laction de ce champ sur un autre circuit se traduira par lapparition de forces sexercant sur

    ce circuit.

    1.5.2 Loi de Biot et Savart

    a) Courant filiforme

    Considerons un fil metallique dans le plan , ~dl = ~PP . Par definition la quantite I ~dl est appele

    element de courant au point P. Soit M un point quelconque de lespace tel que ~PM = ~r = r~u, alors

    lelement de courant I ~dl cree au point M un vecteur induction magnetique elementaire ~dB dont :

    - le support est perpendiculaire au plan defini par (I ~dl, ~PM)

    - le sens est tel que le trie`dre (~dl, ~r, ~dB) soit direct

    - le module est defini par :

    dB =0I

    4r2dlsin,

    ou` designe langle (~dl, ~u) , 0 est la permeabilite du vide.

    Vectoriellement on ecrit :

    ~dB =0I

    4r3~dl ~r = 0I

    4r2~dl ~u (11)

    8

  • Linduction magnetique ~B creee en un point M par un circuit filiforme ferme sobtient par integration

    de la relation precedente.

    ~B =

    (c)

    ~dB

    Exemple : Un fil rectiligne infini traverse par un courant I cree en un point M situe a` une distance a

    du fil cree linduction magnetique ~B de module :

    B =0I

    2a(12)

    Le sens de ~B est donne par la re`gle du tire-bouchon ou celle des trois doigts de la main.

    b) Courant surfacique

    Soit ~k le vecteur densite surfacique de courant, lelement de courant au point de la surface cree au

    point M un champs magnetique :

    ~dB =0

    4

    ~k ~rr3

    ds (13)

    En integrant sur la surface on a :

    ~B =

    (c)

    ~dB =

    (c)

    0

    4

    ~k ~rr3

    ds

    c) Courant volumique

    Un volume elementaire cylindrique de section ds est traverse par un courant dI = ~j. ~ds .

    Lelement de courant au point P pris a` linterieur du conducteur est alors dI.~dl = ~j. ~ds.~dl = ~j.d on

    en deduit :

    ~dB =0

    4

    ~j ~rr3

    d

    dou`,

    ~B =

    (c)

    ~dB =

    (c)

    0

    4

    ~j ~rr3

    d (14)

    1.6 Theore`me dAmpe`re

    1.6.1 Circulation du vecteur induction

    Soit le cercle de rayon r centre en un point dun fil infini traverse par le courant I. Le sens de

    parcours de etant choisi de sorte que le courant I entre par sa face sud et sorte par le nord.

    ~B =

    BrBBz

    =

    00I2r

    0

    9

  • La circulation du vecteur induction magnetique ~B le long de secrit :

    C =

    ()

    ~B. ~dM =

    ()

    B.r.d =

    ()

    0I

    2r.r.d = 0I (15)

    on peut ecrire aussi :

    C =

    ()

    ~H. ~dM = I

    car ~H = B0

    , qui est vecteur exitation du champ magnetique ou (champ magnetique, tout court ).

    1.6.2 Generalisation du theore`me dAmpe`re

    Cas dune distribution de courant filiforme

    Soit () le contour ferme enlacant certains courants ; la circulation du vecteur induction magnetique

    secrit :

    C =

    ()

    ~B. ~dM = 0

    (In) (16)

    les courants sud-nord sont comptes positivement et les nord-sud negativement.

    Cas dune distribution de courant non filiforme

    C =

    ()

    ~B. ~dM = 0

    ()

    ~j. ~ds (17)

    1.7 Equation de Maxwell-Ampe`re

    1.7.1 Theore`me de Stokes

    Hypothe`ses :

    a.) Soit () une portion de surface delimitee par un contour () ; on suppose que cette surface et

    continument orientable et que le contour ferme () est oriente par la re`gle du tire-bouchon.

    b.) Soit ~A(M) un champ vectoriel continu sur ()() et possedant des derivees partielles premie`rescontinues en tout point de () :

    Le theore`me de Stokes stipule que la circulation du vecteur ~A(M) le long de la courbe () est egal

    au flux du rotationnel de ~A(M) a` travers la surface orientee () ; cest a` dire :()

    ~A(M). ~dM =

    ()

    ~rot ~A(M). ~ds (18)

    remarque : cas general

    ~rot ~A(M). ~ds = ~ ~A(M).~n.ds = ds(~, ~A, ~n) = ds(~n ~). ~A

    soit, ()

    ~dM =

    ()

    ds(~n ~) (19)

    est une grandeur (physique ou mathematique) quelconque

    10

  • 1.7.2 Equation de Maxwell-Ampe`re

    ()

    ~B. ~dM = 0

    ~j. ~ds

    Dapre`s Stokes on peut ecrire : ()

    ~B ~dM =

    ~rot ~B. ~ds

    on en deduit que :

    ~rot ~B. ~ds =

    0~j. ~ds

    dou`

    ~rot ~B = 0~j (20)

    1.8 Potentiel vecteur de linduction magnetostatique

    1.8.1 ~B est cree par un courant filiforme

    ~dB =0I

    4r3~dl ~r

    Posons~dA =

    0I

    4r~dl (21)

    alors~dB = ~ ~dA = ~rot( ~dA)On en deduit que ~B =

    (c)

    ~dB =(c)

    ~rot( ~dA)

    cest a` dire : ~B = ~rot ~A avec

    ~A =0I

    4

    (c)

    ~dl

    r

    1.8.2 ~B est cree par un courant non filiforme

    1.8.3 Courant surfacique

    ~dA = 0I4

    ~kdsr

    avec ~k=vecteur densite surfacique de courant.

    On deduit

    ~A =0I

    4

    (c)

    ~k

    rds (22)

    11

  • 1.8.4 Courant volumique

    ~dA = 0I4

    dI ~dlr

    avec dI = ~j ~ds

    ~dA =0I

    4

    ~j ~ds.~dl

    r

    = 0I4

    ~j

    rddou`

    ~A =0I

    4

    (c)

    ~j

    rd (23)

    1.8.5 Remarque

    Dans tous les cas ~A est defini a` un gradient pre`s.

    En effet, si ~A = ~A+ ~gradf alors ~B = ~rot ~A = ~rot ~A

    1.8.6 Conclusion

    Comme pour ~E ( ~E = ~gradV ) on a : ~B = ~rot ~A~A et V ont grossomodo la meme forme.

    V =1

    40

    (c)

    rd (24)

    et

    ~A =0I

    4

    (c)

    ~j

    rd (25)

    Enfin, de ~rot( ~B) = 0~j

    et ~B = ~rot ~A

    on a :~ (~ ~A) = 0~j~(~. ~A) (~.~) ~A = 0~j~grad(div ~A) ~A = 0~j

    soit,

    ~A+ 0~j = ~0 (26)

    1.9 Conservation du flux dinduction

    Puisque ~B = ~rot ~A, on a

    div ~B = div( ~rot ~A) = 0 (27)

    ~B est a` flux conservateur cest a` dire :

    ~B. ~ds = Cste

    12

  • 1.10 Dipole magnetique

    1.10.1 Definition

    Cest une boucle (spire) traversee par un courant I et dont les dimensions sont tre`s petites devant

    la distance r separant le centre de la spire et un point M de lespace choisi pour etude.

    Soit S la surface de cette spire, par definition, le moment magnetique de la spire est :~M = I ~S = IS~n, pour N spires on a : ~M = NIS~n

    1.10.2 Potentiel scalaire et induction magnetique crees par un dipole magnetique

    Lelement I ~dl de la spire cree en M une induction magnetique :~dB = 0I

    4r3~dl ~r

    Soit ~B = 0I4

    ~dl~rr3

    Imaginons un deplacement elementaire ~d = ~MM du point M. La circulation infinitesimale de ~B

    secrit :

    dC = ~B. ~d =0I

    4~d.

    (c)

    ~dl ~rr3

    dC =0I

    4

    (c)

    ~d.(~dl ~rr3

    ) (28)

    soit

    dC = 0I4

    (c)

    (~dl ~d)r3

    ).~r (29)

    Quand lon passe de M pour aller en M, langle solide sous lequel de M on voit la spire, change

    de d :

    or d =(c)(~dl ~d)r3

    ).~r

    alors

    dC = 0I4

    d (30)

    Si nous posons V = 0I4, alors on peut ecrire :

    dC = dV , soit ~B. ~d = ~gradV . ~d

    ~B = ~gradV (31)

    Par definition, V est le potentiel scalaire magnetostatique dont derive le vecteur induction magnetique~B.

    Remarque :

    Geometriquement, est langle solide sous lequel on voit la face sud du dipole magnetique

    =~S.~r4r3

    on deduit V = 0I4.

    ~M .~rr3

    13

  • 1.11 Forces electromagnetiques

    1.11.1 Loi fondamentale de Laplace

    Lexperience montre quun petit element de courant I ~dl place dans une region ou` re`gne un champ

    magnetique ~B cree par un courant independant de I, subit la force :

    ~dF = I.~dl ~B (32)

    1.11.2 Travail des forces electromagnetiques

    a) Flux dinduction magnetique

    Par definition, le flux du vecteur a` travers une surface (S) est defini par :

    =

    (S)

    ~B. ~ds =

    (S)

    ~rot ~A. ~ds =

    ()

    ~A.~dl (33)

    Si () est un circuit (C) parcouru par un courant I, alors on parle de flux de ~B a` travers (S). Si on

    lui fait subir un deplacement elementaire d, le travail de la force magnetique agissant sur I ~dl est

    2W = ~dF . ~d

    2W = I(~dl ~B). ~d2W = I( ~d ~dl). ~B

    2W = I ~d2. ~B(avec)( ~d2 = ~d ~dl)2W = I ~d2. ~B

    2W = I ~d2c (34)

    c est le flux coupe par lelement de courant I ~dl au cours de son deplacement sur (C).

    On deduit :

    W = Idc (35)

    Le travail total mis en jeu est :

    W = Ic (36)

    avec c est la variation du flux entre deux positions M et M.

    a) Force et couple subis par les circuits mobiles

    De

    W = ~F . ~dM = Fx.dx+ Fy.dy + Fz.dz (en repe`re cartesien)

    et

    W = Idc = I(cxdx+ c

    ydy + c

    zdz)

    on deduit :

    Fx = Ic

    x, Fy = I

    c

    y, Fz = I

    c

    z(37)

    14

  • b) Dipole magnetique dans un champ exterieur

    Soit un dipole magnetique (C) daxe paralle`le a` ~B. Deplacons (C) dans la direction de son axe dune

    distance d. On a :

    d = 0 W = 0Par consequent, la resultante des forces appliquees est nulle. Tout se passe comme si (C) est soumis

    a` un couple de force tendant a` le touner de facon a` rendre ~n ~BAu cours dune rotation d le travail des forces magnetiques est :

    W = d ( est le moment du Couple)

    W = d ou` = ~B.~S = BScos

    On a : d = ISBsinddou`

    = ISBsin = I dd

    (38)

    On peut remarquer que cette ecriture est la meme chose que :

    ~ = ~M ~B (39)

    1.11.3 Energie potentielle electromagnetique

    W = ~F . ~d = I.d = dEp On en deduit :

    Ep = I. (40)

    Un dipole magnetique plonge dans un champ magnetique exterieur ~B est le sie`ge dune energie

    potentielle electromagnetique qui secrit sous la forme :

    Ep = ~M . ~B (41)

    Comme W = ~F . ~d alors

    ~F = ~gradEp = ~ ~M . ~B = ~M .~ ~B (42)

    15

  • Chapitre 2

    ETUDE DES REGIMES QUASI-STATIONNAIRES

    2 Regime quasi-stationnaire

    2.1 Introduction

    Ce sont des regimes lentement (quasiment) variables pour que les lois en regime stationnaire

    puissent etre appliquees instantanement.

    2.2 Force electromotrice dinduction

    2.2.1 Hypothe`ses

    Soit dans un referentiel galileen (R) un circuit (C) parcouru par un courant dintensite I, et place

    dans un champ induction magnetique ~B (uniforme et constant).

    Une charge quelconque q de (C) se deplace a` la vitesse va par rapport a` (R).

    On peut ecrire ~va = ~vr+~ve ou` vr et ve sont respectivement, les vitesses relative et dentrainement de

    q par rapport au referentiel (R).

    La charge q est soumise a` la force de Laplace

    ~F = q~va ~B = q(~vr + ~ve) ~B (43)

    Posons ~Em = ~va ~B = (~vr + ~ve) ~BOn a alors

    ~F = q ~Em (44)

    ~Em est par definition, le champ electromoteur

    2.2.2 Circulation du champ electromoteur

    Considerons un deplacement elementaire ~dl = ~vrdt de chaque charge dans le circuit (C).

    On a par definition :

    dC = ~Em.~dl

    dC = (~vr + ~ve) ~B.~dldC = (~vr, ~B, ~dl) + (~ve, ~B, ~dl)

    dC = (~ve, ~B, ~dl)

    16

  • car le premier terme est nul (dl~ve)dC = (~ve ~dl). ~Bdou`

    C =

    (c)

    ~Em.~dl = (c)

    (~ve ~dl). ~B (45)

    Remarque :

    pendant lintervalle de temps dt lelement ~dl sest deplace de ~d = ~vedt.

    ~d a balaye une surface elementaire ~d2 = ~d ~dl = (~ve ~dl)dt le flux coupe correspondant a` ~d2 est d2 = ~B. ~d2 = ~B.(~ve ~dl)dt, cest a` dire, le flux dccoupe par le circuit (C) au cours de son deplacement elementaire ~d a pour valeur :

    dc =(C)

    ~B.(~ve ~dl)dt = dt(C)

    (~ve ~dl). ~BPar consequent,la circulation du champ electromoteur le long du contour (C) a pour valeur :

    (C)

    ~Em.~dl = dcdt

    =ddt

    (46)

    * car le flux coupe est egale a` la variation du flux a` travers le circuit (C) dans son deplacement.

    Par definition, on appelle force electromotrice dinduction exercee sur le circuit (C) la quantite :

    e =

    (C)

    ~Em.~dl (47)

    Et donc, on a :

    e = dcdt

    = ddt

    (48)

    2.3 Induction electromagnetique - LOI DE FARADAY

    Cest une generalisation du resultat (50) et qui tient compte des resultats experimentaux suivants :

    - le resultat (50) est valable pour les circuits non filiformes

    - le resultat (50) est valable lorsque la variation du flux de ~B resulte du cas de figure circuit fixe-

    Induction ~B variable .

    2.3.1 Loi de Faraday

    Si on fait varier par un procede quelconque le flux dinduction magnetique a` travers un circuit

    ferme, ce circuit est le sie`ge dun courant induit. Faraday a explique lapparition de ce courant induit

    par lexistence de la force electromotrice dinduction.

    ei = ddt

    (49)

    17

  • 2.3.2 Sens du courant induit : Loi de Lenz

    Le courant engendre par la force electromotrice dinduction (courant induit) a un sens tel que le

    flux dinduction produit dans le circuit par ce courant soppose a` la variation du flux qui lui a donne

    naissance (flux inducteur) dou` le signe (-) dans la relation (51).

    Convention de signe

    Etant donne un circuit (C), on choisit un sens positif de parcours du courant. Le flux de ~B a` travers

    (C) est positif sil traverse le circuit de la face Sud a` la face Nord. La force electromotrice dinduction

    e est positive si le courant quelle cree dans le circuit (courant induit) est dirige dans le sens positif

    choisi sinon, il joue le role dune force contre-electromotrice.

    2.4 Phenome`nes dinduction dans un circuit fixe place dans un champ~B variable

    2.4.1 Expression mathematique du champ electromoteur

    Soit un circuit (C) plonge dans un champ ~B variable.

    c =

    (C)

    ~A.~dl =

    S

    ~rot ~A. ~ds =

    S

    ~B. ~ds =

    On deduit :d

    dt=

    d

    dt

    (C)

    ~A.~dl =

    (C)

    ~A

    t~dl =

    (C)

    ~Em.~dl (50)

    On peut donc ecrire localement :

    ~Em = ~A

    t(51)

    Lorsque les deux phenome`nes coexistent ( circuit(C) mobile dans une induction ~B variable), le champ

    electromoteur secrit sous la forme :

    ~Em = ~va ~B ~A

    t(52)

    Le champ electromoteur est parfois appele champ electrique dinduction. Il presente des proprietes

    differentes de celles du champ electrostatique.

    2.4.2 Extension de la notion de champ electrique

    Supposons quen plus des phenome`nes dinduction, il re`gne dans la region consideree un champ~Es dorigine electrostatique : ~Es = ~gradV .

    Dune part, une charge q du circuit sera soumise a` la force totale :

    ~Ft = q( ~Em + ~Es) (53)

    18

  • ~Ft = q(~va ~B ~A

    t ~gradV ) (54)

    Dautre part, la force de Lorentz qui sexerce sur cette charge est egale a` :

    ~Fm = q( ~E + ~va ~B) (55)

    Par identification des relations (56) et (57) on en deduit lexpression de

    ~E = ~gradV ~A

    t(56)

    Par definition, le vecteur ~E de la relation (58) sappelle vecteur champ electrique generalise.

    2.4.3 Relation de Maxwell-Faraday

    De la relation (58) on en deduit :

    ~rot ~E = ~rot( ~gradV ) ~rot ~At

    ~rot ~E = ~rot ~At

    = ( ~rot ~A)t

    = ~Bt

    ~rot ~E = ~B

    t(57)

    Cette equation dite de Maxwell-Faraday constitue une relation generale et fondamentale de lelectromagnetisme.

    Cest lune des equations de Maxwell dans la theorie de propagation des ondes.

    Rappel :

    Nous avons deja` etabli : div ~B = 0

    Par ailleurs de la relation (58) on deduit :

    div ~E = div( ~gradV ) tdiv ~A

    div ~E = V tdiv ~A (58)

    En regine quasi-stationnaire, on peut comme en regime stationnaire choisir ~A de facon a` ce que

    div ~A = 0. Cette condition est appelee jauge de Coulomb :

    Si ~B = ~rot ~A alors ~B = ~rot ~A,

    toute fois que ~A = ~A+ ~gradf .

    On a alors, en sappuyant sur le theore`me de Gauss,

    div ~E =

    0(59)

    div ~E = 0 si la region est depourvue de charges statiques (dans le vide, par exemple).

    Remarque :

    La jauge de Coulomb implique que :

    div ~A = div ~A+ div( ~grad) = 0,

    cest a` dire div( ~grad) = 0

    cest a` dire = 0 (potentiel harmonique).

    19

  • 2.5 Coefficient dinduction mixte

    Soit une serie de N circuits en influence les uns par rapport aux autres et vice versa. Ces circuits

    sont plonges dans un champ variable. Le flux coupe par le kie`me circuit secrit :

    k = LkIk +n

    l=1(l 6=k)MklIl (60)

    Lk est le coefficient dauto-induction ou Self ou inductance propre.

    La force electromotrice dinduction magnetique ei creee dans le circuit (ck) est alors :

    eki = dk

    dt= d(LkIk)

    dt

    nl=1(l 6=k)

    d(MklIl)

    dt(61)

    la quantite eka = d(LkIk)dt sappelle force electromotrice dauto-induction.Remarque

    Les Lk et Mkl ne dependent que de la forme des circuits.

    Dans le cas des circuits indeformables (Lk et Mkl ) on peut alors ecrite :

    eka = LkdIk

    dt(62)

    eki = dk

    dt= Lk dIk

    dt

    nl=1(l 6=k)

    MkldIl

    dt(63)

    2.6 Inductance propre et inductance mutuelle

    Soit une serie de n circuits independants et traverses par les courants I1, I2, ..., In.

    Ces circuits interagissent entre eux par une variation de flux les uns par rapport aux autres

    B et B I donc ISoit k le flux traversant le k

    ie`me circuit et Ik le courant le traversant.

    On a :

    k = LkIk +n

    l=1(l 6=k)MklIl (64)

    1

    2...

    n

    =

    L1 M12 M1nM21 L22 M2n...

    .... . .

    ...

    Mn1 Mn2 Lnn

    I1

    I2...

    In

    (65)

    Les elements diagonaux sont appeles inductances propres (Lk > 0).

    Les elements non diagonaux portent le nom dinduction mutuelles ou coeficients dinduction mutuelle.

    Le principe de linteraction nous permet de montrer que Mkl = Mlk. Les unites sont exprimees en

    Henry.

    20

  • 2.7 Principe de conservation de la charge

    Le principe general qui decrit que la charge est conservee en un point M du conducteur est :

    div~j +

    t= 0 (66)

    En regime quasi-stationnaire, varie lentement avec le temps de telle sorte quon a, comme en regime

    stationnaire :

    div~j = 0 (67)

    Cela veut dire quen regime quasi-stationnaire, les lois de Kirchoff relatives aux noeuds restent va-

    lables.

    2.8 Loi dOhm en regime quasi-stationnaire

    # En regime stationnaire on a : ~j = ~E avec la conductivite electrique du materiau.

    # En regime quasi-stationnaire : ~j = ( ~Es + ~Em)

    Dapre`s la loi dOhm le courant induit a` linstant t qui apparait dans un circuit de resistance R sera :

    i =e

    R= 1

    R

    d

    dt(68)

    La quantite de charge induite entre les instants t1 et t2 vaut :

    Q =

    t2t1

    idt = 1R

    t2t1

    d (69)

    soit,

    Q =1 2

    R(70)

    # La loi de Pouillet va secrire alors sous la forme :

    E = RI (71)

    E est somme algebrique des f.e.m et f.c.e.m appliquees et induites. R est la resistante totale du

    circuit, I est lintensite du courant traversant le circuit (C).

    2.9 Conclusion

    On pourra appliquer en regime quasi-stationnaire les memes lois quen regime permanent, a`

    savoir :

    - les lois dohm

    - les lois de Kirchoff relatives aux noeuds et aux mailles a` condition dajouter aux f.e.m appliquees,

    les forces electromotrices dinduction.

    21

  • 2.10 Energie electromagnetiques

    2.10.1 Definition

    Considerons un circuit (C) parcouru par un courant dintensite I. Soit , son flux dauto-induction.

    On appelle energie electromagnetique du circuit (C) le travail minimal que lon doit lui fournir pour

    faire passer lintensite du courant et son flux propre des valeurs initiales 0, aux valeurs I et ,

    respectivement.

    2.10.2 Energie electromagnetique dans un circuit unique

    Soit un circuit R,L, contenant un generateur de f.e.m. E, si on ferme son interrupteur K il apparat

    un courant dans le circuit. i(t) verifie lequation : E + e = R.i

    e = ddt

    et = Li , e etant la f.e.m induite de la bobine.

    On a : E = Lddt+R.i

    En multipliant les deux membres par idt, on a :

    E.idt = Ld

    dt.idt+R.i2dt (72)

    Discussion :

    1. La quantite E.idt represente lenergie ou le travail fourni par le generateur pendant lintervalle

    de tps dt

    2. La quantite R.i2dt represente lenergie calorifique dissipee par effet joule dans le circuit pendant

    lintervalle de temps dt.

    3. Le terme L.idi = d(12L.i2) = dWm represente lenergie absorbee pour faire passer le courant

    malgre la f.e.m dinduction. Il correspond a` laccroissement du flux dauto-induction a` travers

    le circuit pendant lintervalle de temps dt. Cest laugmentation de lenergie electromagnetique

    du circuit lenergie.

    Si i(t) passe de 0 (a` linstant t=0) a` I (a` linstant t) alors lenerie electromagnetique emmmagasinee

    dans le circuit est :

    Wm =

    I0

    L.idi =1

    2LI2 (73)

    Comme = L.I on a :

    Wm =1

    2.I (74)

    Cette energie sera restituee a` la rupture du courant.

    2.10.3 Cas de deux circuits filiformes (c1) et (c2)

    Deux circuits (c1) et (c2) etant caracterises par les elements respectifs ci-apre`s :

    (c1) = {E1, R1, L1, i1} et (c2) = {E2, R2, L2, i2}.

    22

  • Soit M le coefficient dinduction mutuelle entre (c1) et (c2).

    La loi dOhm dans les deux circuits secrit :

    (c1) E1 + e1 = R.i1 avec e1 = d1dt et 1 = L1.i1 +M.i2(c2) E2 + e2 = R.i2 avec e2 = d2dt et 2 = L2.i2 +M.i1Ceci aboutit au syste`me dequations ci-dessous :{

    E1 = e1 +Ri1E2 = e2 +Ri2

    (75)

    soit, {E1 = e1 +R1i1E2 = e2 +R2i2

    (76)

    {E1 = L1

    di1dt

    +R1i1 +Mdi2dt

    E2 = L2di2dt

    +R2i2 +Mdi1dt

    (77)

    Multiplions les deux membres par ikdt, respectivement k = 1, 2 ; on a :{E1i1dt = R1i1

    2dt+ L1i1di1 +Mi1di2

    E2i2dt = R2i22dt+ L2i2di2 +Mi2di1

    (78)

    Le bilan energetique correspondant au syste`me, secrit :

    E1i1dt+ E2i2dt = R1i12dt+R2i2

    2dt+ L1i1di1 + L2i2di2 +Mi1di2 +Mi2di1 (79)

    et comme dans le paragraphe precedent,

    dWm = L1i1di1dt+ L2i2di2dt+Mi1di2 +Mi2di1 = d(1

    2L1i1

    2 +1

    2L2i2

    2) + d(Mi1i2) (80)

    represente laccroissement de lenergie electromagnetique du syste`me forme par les deux circuits.

    Quand i1 passe de 0 a` I1 et i2 passe de 0 a` I2, on trouve par integration,lenergie electromagnetique

    ou laccroissement de lenergie electromagnetique sous la forme :

    Wm =1

    2L1I1

    2 +1

    2L2I2

    2 +MI1I2 (81)

    soit, puisque : {1 = L1I1 +MI2

    2 = L2I2 +MI1(82)

    on a :

    Wm =1

    2I11 +

    1

    2I22 (83)

    2.10.4 Generalisation

    Soient les circuits (c1), (c2) ... et (cn), n circuits caracterises par leur elements respectifs (c1) =

    {E1, R1, L1, i1}, (c2) = {E2, R2, L2, i2}, ..., et (cn) = {En, Rn, Ln, in} Lorsquon ferme les circuits,lenergie electromagnetique mise en jeu, secrit :

    Wm =1

    2

    nk=1

    Ikk (84)

    23

  • Dans ce cas, k sexprime sous la forme :

    k = LkIk +n

    l 6=k,l=1MklIl (85)

    2.11 Densite volumique denergie electromagnetique

    2.11.1 Energie electromagnetique

    Considerons, dans une region de lespace ou` re`gne une induction magnetique ~B et un champ

    electrique ~E variables, une charge q animee dune vitesse ~v. Dapre`s Lorentz, cette charge est sou-

    mise a` une force qui secrit sous la forme : ~F = q.( ~E + ~v ~B). On a egalement, ~E = ~gradV ~At.

    Au cours dun deplacement elementaire, ~dM = ~vdt, le travail de la force ~F est :

    dW = ~F . ~dM = q.( ~E + ~v ~B). ~dM , soitdW = q ~E.~vdt

    Lenergie electromagnetique dissipee dans le circuit sous laction de la force ~F est une energie poten-

    tielle qui secrit sous la forme :

    dWm = q ~E.~vdt (86)Supposons que lon ait un volume charge de charges totale Q definie par une densite volumique de

    charge . Dans le volume d se concentre la charge dQ = d . Lenergie electromagnetique mise en

    jeu par le deplacement de charge elementaire, en remarquant que :

    d = ~dS.~dl

    d2Wm = dQ~E.~vdt = d ~E.~vdt = ~j. ~Eddtsoit,

    dWm =

    (D)

    ~j. ~Eddt (87)

    dWm

    dt=

    (D)

    ~j. ~Ed (88)

    Lequation (20) peut etre aussi ecrit sous la forme :

    dWm

    dt= 1

    0

    (D)

    ~E. ~rot ~Bd (89)

    car ~rot ~B = 0~j

    On en deduit que :

    Wm =1

    20

    (D)

    B2d (90)

    2.11.2 Localisation de lenergie electromagnetique : densite denergie electromagnetique

    Partons de d2Wm = ~j ~Eddtet remarquons que : ~rot ~B = 0~j

    24

  • on a alors

    d2Wm = 10

    ~E. ~rot ~B.dt.d, (91)

    soit, puisque

    div( ~E ~B) = ~.( ~E ~B) = ~B. ~rot ~E ~E. ~rot ~B,on a alors :d2Wm =

    10[div( ~E ~B) ~B. ~rot ~E]ddt

    = 10[div( ~E ~B) + ~B. ~B

    t]ddt

    = 10[div( ~E ~B)ddt+ 1

    2.d(B2)d ]

    dWm =1

    0

    (D)

    div( ~E ~B)ddt+ 120

    .d

    (D)

    (B2)d

    dWm =1

    0

    ()

    ~E ~B.d~Sdt+ 120

    .d

    (D)

    (B2)d

    ou` est la surface dune sphe`re de rayon R delimitant le volume D .

    Lorsque R ,B varie en 1

    R2

    E varie en 1R

    dS varie en R2

    alors le premier terme dans lexpression dWm est nul.

    dou`

    dWm =1

    20.d

    (D)

    (B2)d (92)

    soit,

    Wm =

    (E )

    B2

    20d (93)

    La relation (93) exprime que lenergie electromagnetique est repartie dans lespace avec une densite

    m =B2

    20=B.H

    2=

    1

    20H

    2 (94)

    Lorsquil existe simultanement des charges elementaires dorigine electrostatique et des champ dori-

    gine magnetique, lenergie totale se calcule comme si elle etait repartie dans lespace avec une densite

    denergie electromagnetique . on a :

    = e + m =1

    2(0E

    2 + 0H2) =

    1

    2(D2

    0+B2

    0) (95)

    2.12 Energie electromagnetique dans le cas des circuits non filiformes

    Lexpression (94) donnant la valeur de lenergie electromagnetique fait intervenir la valeur dun

    champ magnetique. Comme celui-ci peut etre cree par la presence du courant, nous pourrons ecrire

    une expression de lenergie electromagnetique en fonction du vecteur densite du courant. En effet,

    Wm =1

    20

    (E )

    B2d

    25

  • peut secrire sous la forme :

    Wm =1

    20

    (E )

    ~B. ~rot ~Ad.

    En remarquant que

    div( ~B ~A) = ~.( ~B ~A) = ~A. ~rot ~B ~B. ~rot ~A, (96)on a alors ;

    Wm = 120

    (E )

    div( ~B ~A)d + 120

    (E )

    ~A. ~rot ~Bd (97)

    Puisque, ~rot ~B = 0~j et dapre`s Stokes,

    Wm = 120

    limR

    ()

    ( ~B ~A). ~dS + 12

    (E )

    ~j. ~Ad

    En faisant le meme raisonnement que precedemment, la premie`re integrale est nulle dou` :

    Wm =1

    2

    (E )

    ~j. ~Ad (98)

    26

  • Chapitre 3

    LE COURANT ALTERNATIF SINUSOIDAL

    3 Introduction

    Nous etudierons dans ce chapitre des circuits simples aux bornes desquels la f.e.m appliquee est

    de la forme :

    E (t) = Emcos(t) (99)

    On aboutira a` des resolutions dequations differentielles du second ordre lineaires a` coefficients

    constants et avec second membre. Par consequent, la solution generale du circuit comportera deux

    termes :

    - la solution de lequation sans second membre (ESSM)

    - une solution permanente de lequation comple`te (EASM).

    Remarque :

    Au bout dun certain temps (souvent tre`s court) appele regime transitoire, les effets physiques de la

    solution amortie disparaissent et seule persistent les effets de la solution permanente.

    Nous nous interesserons dans ce cours et dans chaque cas, a` la recherche de la solution permanente,

    reponse que nous noterons sous la forme :

    I = Imsin(t+ ) (100)

    4 Serie de Fourier

    4.1 Definitions

    Soit un signal x(t) periodique de periode T admettant un nombre fini de discontinuites ;

    on a :

    x(t) = a0 ++n=1

    [an cos(nt) + bn sin(nt)] (101)

    a0 =1

    T

    t0+Tt0

    x(t)dt an =2

    T

    t0+Tt0

    x(t). cos(nt)dt bn =2

    T

    t0+Tt0

    x(t). sin(nt)dt (102)

    27

  • 4.2 Representation Complexe

    x(t) =+

    n=Cne

    jnt =+n=0

    anejnt+ejnt

    2+

    n=+n=1

    bnejntejnt

    2j

    soit,

    x(t) = a0 +12

    n=1

    [(an jbn)ejnt + (an + jbn)ejnt]

    Les coefficients Cn sont calcules par lintegrale :

    Cn =1T

    t0+Tt0

    x(t).ejntdt = Cn =12(an jbn)

    4.3 Representation spectrale

    4.3.1 Harmoniques

    Posons tann = bnan .On a : x(t) = a0 +

    +n=1

    a2n + b

    2n

    (ana2n+b

    2n

    cos (nt) bna2n+b

    2n

    sin(nt)

    )cos(n) =

    11 + tan2 n

    =ana2n + b

    2n

    et sin(n)=bna2n + b

    2n

    x(t) = a0 ++n=1

    Sn cos(nt+ n) avec Sn =a2n + b

    2n

    x(t) = somme dun signal continue et dune infinite de signaux sinusodaux de pulsation , 2, 3,

    4,.....n,.....

    Le terme de pulsation est appele la fondamentale ou le premier harmonique. Les autres termes

    sappellent respectivement harmoniques dordre 2, 3, 4,......n,.......

    4.3.2 Spectre

    On porte sur laxe des abscisses la pulsation et en ordonnee les raies traduisant les modules des

    Sn correspondants.

    De meme, on represente le spectre en puissace (S2n) et puis le spectre en phase (n).

    4.3.3 Symetrie et Changement de lorigine des temps

    Fonction paire

    an =4T

    T2

    t0x(t) cos(nt)dt, bn = 0, on en deduit que Cn = Cn =

    an

    2Fonction Impaire

    bn =4T

    T2

    t0x(t) sin(nt)dt, an = 0, on en deduit que Cn = Cn = bn

    2j

    28

  • 5 Etude du circuit [R,L,C] serie

    5.1 Methode de Fresnel

    Cest une methode purement vectorielle. Le raisonnement sappuye sur les schemas realises dans

    le plan (xoy).

    Je vous rappelle que tous les schemas ont ete deja` realises en amphi, pendant mon

    cours.

    La loi dOhm du circuit [R,L,C] serie secrit :

    LdI

    dt+RI +

    1

    C

    Idt = E(t) (103)

    Par comodite, pour le montage serie, le courant I(t) confondu avec laxe (xox)

    I(t) = Imcos(t+ ) (104)

    Pour des circuits en derivation, on choisit plutot E(t) dirige suivant laxe (xox).

    1. a` RI(t) on associe un vecteur de norme RIm et confondu avec laxe (xox)

    2. a` LdIdt

    on associe un vecteur de norme LIm deduit du premier par la rotation dangle +2

    3. a` 1C

    Idt on associe un vecteur de norme Im

    Cdeduit du premier par une rotation de

    2

    4. a` E(t) on associe un vecteur de norme Em deduit du premier par une rotation de ()On deduit immediatement que : E2m = R

    2I2m + I2m(

    1C L)2

    Im =Em

    R2+(L 1C

    )2

    tan =1

    CLR

    = (L 1C )R

    (105)

    La quantite Z =R2 + (L 1

    C)2 est appelee Impedance reelle du circuit (du latin impedere =

    empecher)

    Z est une fonction de la frequernce au travers de la pulsation = 2f

    Z est definie par la relation Z = EmIm

    Z est homoge`ne a` une resistance et sexprime en (Ohm).

    est tel que : cos =RImEm

    = RZ

    sin = (L 1C )ImEm

    = (L 1C )Z

    5.2 Notation en Complexe

    LdI

    dt+RI +

    1

    C

    Idt = E(t)

    1. a` I(t) on associe le nombre complexe I = Imexp j(t+ )2. a` RI(t) on associe le nombre complexe UR = RImexp j(t+ )

    29

  • 3. a` LdIdt

    on associe le nombre complexe UL = jLImexp j(t+ )4. a` 1

    C

    Idt on associe le nombre complexe UC = j ImCexp j(t+ )

    5. a` E(t) = Emcos(t) on associe le nombre complexe E(t) = Emexp j(t)La quantite

    Z = R + j(Lw 1C

    ) (106)

    est appelee impedance complexe du circuit.

    La quantite X = Im(Z) (partie imaginaire de Z est appelee Reactance du circuit. Finalement, pourun circuit [R,L,C] les impedances complexes de chaque element sexpriment sous la forme :

    ZR = R , pour une resistanceZL = jL , pour une self pure

    ZC = jC

    , pour une capacite pure

    de telle sorte que Z = R + j(Lw 1C

    ) pour un circuit [R,L,C] serie.

    Bien evidemment les re`gles de montage en serie ou en paralle`le sappliquent a` partir de ces expressions

    complexes des elements du circuit :

    la somme des impedances complexes pour un montage en serie, linverse de limpedance equivalente

    etant egale a` la somme des inverses de chaque impedance complexe du circuit, dans le cas dun

    montage en paralle`le. De la meme facon, la loi dOhm sapplique sous la forme :

    U = Z.I (107)

    5.3 Valeur maximale, Valeur efficace

    Les amplitudes Im, Em et Um sont les valeurs maximales pour chaque grandeur en courant alter-

    natif. On appelle valeur efficace dun courant alternatif sinusodal, lintensite Ieff du courant continu

    qui produirait dans la meme resistance pendant le meme temps, le meme degagement denergie par

    effet Joule. Dou` :

    Ieff =Im2

    (108)

    meme expression pour Ueff et Eeff

    5.4 Puissance Instantanee, Puissance moyenne

    p(t) = I(t).U(t) (109)

    est la puissance instantanee consomme dans une impedance.

    P =< p(t) >= Ieff .Ueffcos (110)

    est la puissance moyenne, et cos est le facteur de puissance. Lunite de puissance est le Watt

    30

  • 5.5 Puissance active, Puissance reactive

    La puissance complexe secrit a` partir des expression complexes de I(t) et U(t)

    I(t) = Imexp j(t+ )U(t) = Umexp j(t)

    P = I.U(t)

    Lamplitude complexe de P est :

    ||P|| = Ueff .Ieffexp (j) = Pa + jPrPa est la puissance active et Pr la puissance reactive.

    Pa = R(Ieff )2

    et Pr = X.(Ieff )2

    Commentaire :

    La puissance active est attachee aux resistances mortes du reseau, elle est toujours positive et cor-

    respond a` lenergie dissipe par effet Joule.

    La puissance reactive est associee a` la reactance du reseau ; son signe depend de X et correspond a`

    lenergie emmagasinee dans une reactance.

    31

  • Chapitre 4

    EQUATIONS DE MAXWELL

    6 Rappels

    6.1 Champs stationnaires

    Les equations qui traduisent les champ stationnaires sont :

    ~rot ~E = ~0

    div ~D =

    ~rot ~H = ~j

    div ~B = 0

    (111)

    avec

    {~D = 0 ~E~B = 0 ~H

    (dans le vide) et

    {~D = ~E~B = ~H

    (dans un milieu dielectrique parfait)

    Dans un conducteur de conductivite on peut ecrire egalement :

    ~j = ~E (112)

    et

    div~j = 0 (113)

    6.2 Champs quasi-stationnaires

    Les relations du milieu sont toujours les memes et on peut ecrire pour les completer ;

    ~rot ~E = ~Bt

    div ~D =

    ~rot ~H = ~j

    div ~B = 0

    (114)

    7 Regimes Variables (rapidement)

    Les champs sont a` present produits par des sources variables dans le temps ; la variation seffec-

    tuant de facon quelconque.

    On a frequemment des circuits ouverts

    lintensite nest plus la meme a` tous les points du circuit

    32

  • les deplacements de charges (resp. du courant variable) peuvent faire varier la densite locale de

    charges .

    Il pourra y avoir (par exemple) accumulation de charge en certains points du circuit (milieu non-

    isotrope).

    Dans le cas plus general, lequation qui traduit la conservation de la charge nest plus div~j = 0, mais

    au contraire :

    div~j +

    t= 0 (115)

    7.1 Passage en regime variable

    Dune manie`re generale, lapplication brutale des equations en regine quasi-stationnaires aux

    regimes variables conduit a` des difficultes a` la fois dordre physique et dordre mathematique.

    7.1.1 Difficultes dordre mathematique

    Considerons lequation ~rot ~H = ~j qui traduit le theore`me dAmpe`re (localement).

    Supposons quelle soit verifiee en regime rapidement variable.

    On en deduira que div( ~rot ~H) = div(~j) = 0.

    Or, nous venons decrire (paragraphe precedent) que div~j = t. Par consequent, il y a une contra-

    diction, donc le theore`me dAmpe`re nest plus valable sous cette forme.

    7.1.2 Difficultes dordre physique

    Circuit de Maxwell

    On fait circuler pendant un temps plus ou moins grand un courant I(t) dans le circuit ci-dessus.

    Pendant la charge du condensateur I(t) = dQdt

    et pendant la decharge on a : I(t) = dQdt.

    La loi dOhm appliquee au circuit secrit : RI = E vcsoit :

    RdQdt

    + QC= E

    oudQ

    dt+

    Q

    RC=ER

    (116)

    33

  • (equation differentielle du 1er ordre avec second membre).

    la solution est de la forme : Q(t) = EC +Bexp( tRC

    )

    A linstant t = 0 la chage Q(0) = 0 et dQdt(0) = 0, dou` B = EC

    Par consequent,

    Q(t) = EC[1 exp( tRC

    )] (117)

    dou`

    I(t) =dQ

    dt=ERexp( t

    RC) (118)

    Ce courant produit dans son voisinage un champ magnetique ~H, en principe calculable soit par

    la loi de Biot et Savart, ou soit par le theore`me dAmpe`re. Appliquons le theore`me dAmpe`re en

    considerant les surfaces fermees (S) et (1) comme indiquees sur le schema de la figure ci-dessus.

    On a :(C)

    ~H.~dl =(S) ~rot

    ~H. ~dS =(S)

    ~j. ~dS ou` S est une surface sappuyant sur (C). S et 1sappuyent sur le meme contour (C).

    Remarque :

    Pour (S) = (1) le theore`me dAmpe`re secrit :(C1)

    ~H.~dl =(1)

    ~j. ~dS = 0 (interieur du condensateur depourvu de charges et puisquaucun courant

    ne traverse 1).

    Pour (S) = (2) le theore`me dAmpe`re secrit :(C2)

    ~H.~dl =(2)

    ~j. ~dS = I(t) car le courant I(t) le traverse.

    Il y a donc un proble`me a` resoudre.

    7.1.3 Que se passe-t-il reellement entre les armatures du condensateur ?

    Entre les plaques du condensateur, il ny a pas de courant mais il y existe un champ electrique

    E(t) dont dont le module croit en fonction du temps.

    E(t) = (t)0

    avec (t) = q(t)S, (t) est la densite surfacique de charges de larmature positive.

    Pour pouvoir continuer a` appliquer le theore`me dAmpe`re, Maxwell a imagine que ce champ electrique

    E(t) devrait produire les memes effets (magnetiques) quun courant dont lintensite totale dans le

    dielectrique serait egale a` lintensite I(t) du circuit.

    Remarque :

    I(t) = dqdt= S d

    dt= 0.S

    dEdt

    I(t) peut secrire aussi sous la forme I(t) = S.dDdt

    avec D = 0E ou encore I(t) = S.Dt

    Considerons la quantite vectorielle ~ID = S. ~Dt

    ; on deduit immediatement que~ID = I.

    ~ID est oriente de larmature positive vers larmature negative. Lidee de Maxwell est que le champ

    variable E(t) equivaut dans le dielectrique a` une repartition fictive de courant de densite uniforme~jD =

    ~IDS=

    ~Dt

    Ce courant fictif est appele courant de deplacement de Maxwell .

    Il met en evidence un fait nouveau : cest quun champ electrique variable cree un champ magnetique ;

    phenome`ne complementaire du phenome`ne dinduction.

    34

  • 7.1.4 Lequation de Maxwell-Ampe`re, 1876

    Partons de lequation de conservation de la charge

    div~j +

    t= 0 (i)

    et du theore`me de Gauss

    div ~D = (ii)

    On en deduit : tdiv ~D =

    t

    et tdiv ~D = div~j

    dou`, div(~j +D

    t) = 0

    Par cette relation, nous avons montre que le vecteur densite de courant total jt = ~j +Dt

    = ~j +~jD

    est a` flux conservatif.

    Lhypothe`se de Maxwell selon laquelle ~jD a toutes les proprietes magnetiques quun courant de

    conduction permet dappliquer le theore`me dAmpe`re sur le courant total de densite jt dou` lequation

    de Maxwell-Ampe`re, a` savoir : ~rot ~H = jt = ~j +D

    t

    En labsence de courant de conduction, le theore`me de Maxwell-Ampe`re secrit : ~rot ~H =D

    tCela signifie quun champ electrique variable engendre un champ magnetique dont il faut tenir compte

    dans le calcul de linduction magnetique.

    7.1.5 Resume des Equations de Maxwell

    Ce sont les equations de champs, dans le cas le plus general, et par rapport aux equations des

    etats stationnaires, seules les equations de Maxwell-Ampe`re varient dun milieu a` un autre.

    En general, les equations de Maxwell pour lelectromagnetisme se resument en ces quatre equations

    ci-dessous :

    ~rot ~E = ~Bt

    div ~D =

    div ~B = 0

    ~rot ~H = ~j + ~Dt

    Dans le vide on a : ( ~D = 0 ~E, ~B = 0 ~H),

    dans un dielectrique parfait et isotrope du point de vue electrique et magnetique on a :

    ( ~D = ~E, ~B = ~H)

    et dans un milieu conducteur on a : div(~j) + t

    = 0, avec ~j = ~E. Par consequent, dans le vide et

    en labsence de charges les equations de Maxwell secrivent :

    ~rot ~E = ~Bt

    div ~D = 0

    div ~B = 0

    ~rot ~B = 00 ~Et

    35

  • car (~j = ~0 et = 0) : equations parfaitement symetriques

    Les equations ci-dessus sont tre`s importantes dans la theorie de propagation des ondes electromagnetiques.

    7.1.6 Justification des Equations de Maxwell

    Une des consequences des equations de Maxwell est determinee par les equations de comparaison.

    Jusqua` present aucune theorie na demontre linvalidite de lintuition de Maxwell.

    Les difficultes mathematiques nexistent plus :

    ~rot ~H = ~j + ~Dt div( ~rot ~H) = div(~j) +

    tdiv( ~D) = 0,

    soit :

    div~j +

    t = 0 ; (119)

    on retrouve lequation de conservation de la charge.

    Les difficultes physiques sont resolues :1

    ~D ~dS =

    (S)

    ~D ~dS =

    2

    ~D ~dS =

    (D)

    d = q

    ce qui implique que : (C)

    ~H.~dl =

    t = I(t)

    (th. de Stokes)

    7.2 Les potentiels

    De ~rot ~E = ~Bt

    on en deduit, puique ~B = ~rot( ~A) , que : ~E = ~gradV ~A

    tet aussi div ~B = 0.

    On peut montrer que le couple (V, ~A), est ainsi defini dune manie`re equivoque.

    En effet, supposons quun autre couple (V , ~A) soit tel que :~E = ~gradV ~A

    tet ~B = ~rot( ~A) on a :

    ~B = ~rot ~A ~A = ~A+ ~grad avec une fonction scalaire du point.On deduit ~A = ~A ~grad ~E = ~gradV ~A

    t+ ~grad

    t

    soit, ~E = ~grad(V t) ~A

    t

    Or ~E = ~gradV ~At, alors V = V

    t.

    Nous venons de demontrer que les potentiels (V, ~A), dune part et (V , ~A) dautre part, conduisent

    au meme champ ~E pourvu que lon ait :

    ~A = ~A ~grad

    et

    V = V t

    36

  • Chapitre 5

    PROPAGATION DES ONDES

    8 Equation de propagation du champ

    Apre`s letablissement des equations dans le cas general, nous allons nous limiter dans notre etude

    au cas dun milieu homoge`ne isotrope, ou` la densite de charges est nulle.

    8.1 Cas general

    Partons de :

    div ~D = (a)

    div ~B = 0 (b)

    ~rot ~H = ~j + ~Dt

    (d)

    ~rot ~E = ~Bt

    (c)

    (120)

    Les relations du milieu sont : ~D = ~E, ~B = ~H, ~j = ~E.

    A partir de la relation (c) ; il vient :

    ~rot ~rot ~H = ~rot~j + t~rot ~E

    = ~rot ~E + t~rot ~E

    = ~Bt

    t ~Bt

    (121)

    dou`

    ~rot ~rot ~H = ~H

    t

    2 ~B

    t2(e) (122)

    or ~rot ~rot ~H = ~grad div ~H ~H on a : ~rot ~rot ~H = H (f), dapre`s (a).de (e) et (f) on deduit que :

    ~H = ~H

    t+

    2 ~H

    t2(123)

    ou encore

    ~B = ~B

    t+

    2 ~B

    t2(124)

    37

  • De la meme facon partons de la relation (d)

    Il vient~rot ~rot ~E =

    t~rot ~B

    = t~rot ~H

    = t(~j +

    ~Dt)

    = t( ~E +

    ~Et)

    (125)

    cest a` dire :

    ~rot ~rot ~E = ~E

    t

    2 ~E

    t2(126)

    Par ailleurs, comme : ~rot ~rot ~E = ~grad div ~E ~E,cest a` dire : ~rot ~rot ~E = ~grad div ~E ~E = ~grad

    ~E, dapre`s (a)

    Dans le cas dun milieu isotrope, ~grad = 0

    dou` :

    ~rot ~rot ~E = ~E (f) (127)

    Il resulte de (e) et (f) que :

    ~E = ~E

    t+

    2 ~E

    t2(g) (128)

    Dune manie`re generale les equations equivalentes (124) et (128) exprimant une relation entre letat

    spatial et temporelle des champs et decrivent specifiquement, la propagation des ondes electromagnetiques.

    8.2 Cas ou` le milieu est considere comme un dielectrique parfait

    Il sagit dun milieu isolant depourvu de charges libres. Dans ce cas les equations secrivent sous

    la forme :

    ~B 2 ~Bt2

    = 0

    ~E 2 ~Et2

    = 0(129)

    8.3 Equations aux dimensions de

    Un fil infini traverse par un courant I cree un champ magnetique B = 0I2r

    , au point M situe a`

    une distance r du fil.

    [] = [B][r][I1] (m)~S ~B alors = B.S [B] = [][S1] (n)Le travail des forces electromagneiques est W = I

    [] = [W ][I1] = [F ][L][I1] = [M ][L][T2][L][I1]

    De la relation (n) on peut ecrire : [B] = [MLT2][LT1][L2] = [MT2I2]

    De la relation (m) on peut ecrire : [] = [MT2I1][L][I1] = [MT2I2L]

    Dautre part F = 140

    . qq

    d2

    [] = [F1][d2][q2]

    38

  • Or q = It alors [] = [M1L1T 2][L2][I2T 2] = [M1L3T 4I2]

    Au final, on deduit de tout ce qui prece`de que la dimension de secrit :

    [.] = [L T1]2 ou soit, 1[ ]

    = [T1]2.

    Par consequent, le quotient 1

    sexprime en me`tre/seconde (m.s1) ; cest donc une vitesse.

    Dans le vide on a :100

    = c = 3.108m.s1 (130)

    Les equations de propagation secrivent alors :

    ~B 1c2

    2 ~Bt2

    = 0

    ~E 1c2

    2 ~Et2

    = 0(131)

    Sous cette forme, les equations (131) representent les equations de propagation de deux grandeurs ~E

    et ~B.

    Par consequent :

    Si la propagation a lieu suivant les x > 0 a` la vitesse constante v et est decrite par la fonction

    = 0 = f(t), elle atteint le point M dabscisse x au bout dun temps =xv

    La position de M est decrite par :

    = M = f(t ) = f(t xv) (132)

    Si la propagation a lieu suivant les x < 0, a` la vitesse v, elle atteint le point N abscisse x avec un

    retard de = xv. La position de ce point est decrite par la fonction

    = N = f(t ) = f(t+ xv) (133)

    Remarque :

    De f(t xv) = f [ 1

    v(x vt)] et de f(t+ x

    v) = f [ 1

    v(x+ vt)], on peut ecrire :

    = M = f(t ) = F1(x vt) et = N = f(t+ ) = F2(x+ vt).Montrons que lorque secrit sous lune de ces formes, elle est solution des equations de Maxwell :

    En effet, posons : u = t xv= t+ x

    vavec = 1

    On a :

    M = N = = f(u)

    t= f (u)u

    t= f (u) 2

    t2= f(u) (o)

    De meme,

    x= f (u)u

    x=

    vf (u)

    et 2

    x2=

    2

    v2f(u) = 1

    v2f(u) (p)

    (o) et (p) permettent decrire (par identification) :

    v22

    x2=2

    t2(134)

    cest a` dire :

    39

  • 2

    x2 1v2

    2

    t2= 0 (135)

    En 3D, cette relation secrit :

    1v2

    2

    t2= 0 (136)

    En faisant une analogie entre les equations (131) et (136) nous pourrons conclure que les equations

    de Maxwell traduisent bien la propagation de champs ~E et ~B.

    Remarque :

    Si lon introduit loperateur dAlembertien, = 1v2

    2

    t2les equations de Maxwell secrivent

    simplement sous la forme :

    ~E = ~0

    ~B = ~0(137)

    9 Les potentiels : Conditions de Lorentz

    Le but de ce paragraphe est de montrer que le potentiel vecteur ~A et le potentiel scalaire V

    decrivant respectivement les champs ~H et ~E obeissent aux memes equations de propagations ana-

    logues de celles de ~H et ~E a` condition de simposer une relation particulie`re entre ~A et V . En

    magnetostatique le potentiel vecteur ~A definit par ~B = ~rot ~A, a ete choisi de telle sorte que div ~A = 0

    (jauge de Coulomb). Ceci est du au fait que si ~B = ~rot ~A alors ~A = A + grad verifie la meme

    equation ( ~B = ~rot ~A).

    De plus nous avions vu egalement quen regime variable, si ( ~A, V ) et ( ~A, V ) verifient les memes

    relations, alors on a forcement :

    ~A =+ ~grad

    V = V t

    (138)

    9.1 Cas general dun milieu quelconque

    Partons des equation de Maxwell

    div ~D = div ~E = (i)

    ~rot ~B = ~j + ~Et

    (ii)(139)

    en remarquant que ~E = ~gradV ~At

    (iii)

    Lequation (i) secrit : div( ~gradV ~At) =

    cest a` dire : V + tdiv ~A =

    (iv)

    ~B = ~rot ~A

    ~rot ~B = ~rot ~rot ~A

    40

  • ~rot ~B = ~j + t( ~gradV ~A

    t)

    ~rot ~B = ~j 2 ~At2

    ~grad(Vt).

    On en deduit, puisque ~rot ~rot ~A = ~grad div( ~A) ~A

    ~A 2 ~A

    t2= ~j + ~grad (div ~A+ V

    t) (v) (140)

    Les equations precedentes nous conduisent au syste`me suivant :{V =

    tdiv ~A (vi)

    ~A 2 ~At2

    = ~j + ~grad (div ~A+ Vt) (vii)

    (141)

    On voit que si lon prend div ~A = 0, la deuxie`me equation de (vii) rompt la symetrie observee par

    rapport a` ~A, puis a` V . Pour cela, on ecrit (tout en gardant intact la deuxie`me equation), la premie`re

    equation cest a` dire (vi) en ajoutant a` chacun des deux membres le terme :

    2V

    t2(142)

    On obtient :

    {V 2V

    t2=

    tdiv ~A V

    t

    ~A 2 ~At2

    = ~j + ~grad (div ~A+ Vt)

    (143)

    On voit que si lon choisit la fonction arbitraire de telle sorte que :

    div ~A+ V

    t= 0 (144)

    alors, on obtient les memes equations de propagation de Maxwell pour les grandeurs ~A et V , a` savoir :{ ~A 2 ~A

    t2= ~j

    V 2Vt2

    =

    (145)

    Cette condition porte le nom de Jauge (condition) de Lorentz .

    Puisque :~A = ~A+ ~grad et V = V

    t,

    la condition de Lorentz implique que :

    div( ~A) + V

    t= div( ~A) + V

    t

    En effet,

    div( ~A) + V

    t= div( ~A+ ~grad) +

    t(V

    t) = div( ~A) + V

    t

    On deduit que :

    2

    t2= 0 (146)

    41

  • Dans le cas du vide (en labsence de charges et de courant), on a :

    {V 00 2Vt2 = 0 ~A 00 2 ~At2 = ~0

    (147)

    La propagation des ondes electromagnetiques est donc regie par les meme equations de Maxwell aussi

    bien pour le couple ( ~E, ~H) que pour le couple ( ~A, V )

    Les solutions sont tre`s variees et dependent des conditions du milieu. On les determine a` partir du

    syste`me de charge et de courant (appeles sources) qui creent les champs ~E et ~B dans les milieux

    de propagation. La difficulte mathematique consiste a` trouver la fonction mathematique satisfaisant

    aux conditions aux limites imposees par le proble`me a` resoudre.

    42

  • Chapitre 6

    PROPAGATION DUNE ONDE PLANE

    DANS LE VIDE, EN LABSCENCE DE CHARGES

    10 Definition dune onde plane

    Une onde plane est une onde dont lamplitude est la meme pour tout point situe dans un plan

    normal a` la direction de propagation. Cela revient a` dire que les champs electriques ~D et magnetiques~H sont identiques en tout point du plan.

    11 Onde plane se propageant suivant un axe (Oz)

    Dans le vide et en labscence de charge, les 4 equations de Maxwell deviennent :

    div ~E = 0

    ~rot ~E = ~Bt

    div ~B = 0

    ~rot ~B = 00 ~Et

    (148)

    Les champs ~E et ~B ne dependent que de z et t, ce qui equivaut a` dire que plan dondes sont paralle`les

    au plan xoy dun trie`de direct.

    On a donc :

    ~E

    x= ~E

    y= ~B

    x= ~B

    y= ~0 (149)

    De plus, dapre`s (148) :

    div ~E = 0 Exx

    +Ey

    y+Ez

    z= 0 Ez

    z= 0 (150)

    De meme,

    div ~B = 0 Bzz

    = 0 (151)

    Dautre part,

    ~rot ~E = ~B

    t ~ ~E =

    xyz

    Ex

    Ey

    Ez

    =

    Ezy Ey

    z= Bx

    tExz Ez

    x= By

    tEyx Ex

    y= Bz

    t

    (152)

    43

  • Avec (149) on trouve alors :

    Eyz

    = Bxt

    Exz

    = Byt

    Bzt

    = 0

    (153)

    En procedent de la meme manie`re pour lequation ~rot ~B = 00 ~Et,

    On trouve que :

    Byz

    = 1c2

    Ext

    Bxz

    = 1c2

    Eyt

    Ezt

    = 0

    (154)

    On rappel, au passage, que c = 100

    .

    11.1 Caracte`re transversale de londe

    Les equations (150) et (154) montrent que Ez ne depend ni de z ni de t, par consequent Ez est

    une constante.

    Sil ny a pas de champs pre-existant,Ez = 0. De meme, il resulte des equations (151) et (153) que

    Bz est une constante. On a alors Bz = 0. On deduit donc que ~E et ~B sont contenus dans le plan

    donde.

    Ils sont tous deux perpendicualires a` la direction de propagation : londe est dite transversale .

    11.2 Relation entre les champs ~E et ~B

    On tire des equations (153) et (154) que les composantes Ex et Ey sont independantes.

    Il en est de meme pour Bx et By. Par contre Ex est lie a` By et Ey est lie a` Bx. Londe plane peut

    donc etre consideree comme la superposition de deux ondes independantes : (Ex,By) et (Ey,Bx).

    11.3 Integration des equations de propagation

    Nous connaissons deja` les equations de propagation des champs ~E et ~B :{ ~E 1

    c22 ~Et2

    = 0

    ~B 1c2

    2 ~Bt2

    = 0(155)

    Avec les simplifications precedentes, ces equations deviennent :{2 ~Ez2

    1c2

    2 ~Et2

    = 02 ~Bz2

    1c2

    2 ~Bt2

    = 0(156)

    11.3.1 Determination de la composante (Ex(z, t))

    Lequation pour ~E devient :2Exz2

    1c2

    2Ext2

    = 0 (157)

    44

  • Calcul des derivees premie`res

    La differentielle totale exacte de Ex secrit :

    dEx =Exz

    dz + Extdt (158)

    Posons u = t zcet v = t+ z

    c, alors :

    t = 12(u+ v)

    z = c2(v u)

    dEx =Exu

    du+ Exv

    dv

    dEx =Exu

    (dt dzc) + Ex

    v(dt+ dz

    c)

    dEx = (Exu

    + Exv

    )dt+ 1c(Exv Ex

    u)dz

    (159)

    Ce qui revient a` ecrire, par identification entre les equations (11) et (12) :

    P = Ext

    = Exu

    + Exv

    Q = Exz

    = 1c(Exv Ex

    u)

    (160)

    Calcul des derivees secondes

    La differentielle de P secrit :dP = P

    zdz + P

    tdt

    dP = 2Exzt

    dz + 2Ext2

    dt(161)

    De meme que precedement, on peut ecrire :

    dP = (Pu

    + Pv)dt+ 1

    c(Pv P

    u)dz

    2Ext2

    = Pu

    + Pv

    = u(Exu

    + Exv

    ) + v(Exu

    + Exv

    )

    = 2Exu2

    + 22Exuv

    + 2Exv2

    (162)

    En effectuant le meme cheminement pour Q, on trouve :

    2Exz2

    = 1c2(

    2Exu2

    22Exuv

    + 2Exv2

    ) (163)

    Lequation de propagation devient alors :

    2Exz2

    1c2

    2Ext2

    = 4c2

    2Exuv

    = 0

    2Ex

    uv= 0

    (164)

    En posant h(v) = Exv

    Ex =h(v)dv + f(u)

    Ex = g(v) + f(u) + constante(165)

    Lorsquil ny a pas de charge dans le milieu considere, la constante dintegration devient nulle. La

    solution generale de lequation de propagation est donc, comme on pouvait sy attendre,

    Ex(z, t) = g(t zc) + f(t+

    z

    c) , (166)

    ou` g et f sont des fonctions arbitraires.

    45

  • 11.3.2 Determination de By(z, t)

    Au lieu de resoudre les equations de propagation, nous allons utiliser cette fois une relation liant

    By et Ex :Exz

    = Byt

    Exz

    = 1cf (u) 1

    cg(u)

    Byt

    = 1cg(u) 1

    cf (u)

    By = 1c

    dg

    dudt 1

    c

    df

    dvdt

    = 1c

    dg 1

    c

    df

    (167)

    cardf

    dvdt = df

    dtdtdvdt = df

    By = 1cf(t+

    z

    c) +

    1

    cg(t z

    c)

    (168)

    11.3.3 Determination de londe (Ey(z, t), Bx(z, t))

    Ici encore, nous devons resoudre les equations de propagation assaciees aux champs electrique et

    magnetique :2Eyz2

    1c2

    2Eyt2

    = 02Bxz2

    1c2

    2Bxt2

    = 0(169)

    La solution generale de ce syste`me est analogue a` la solution trouvee pour Ex(z, t) et By(z, t). On

    aboutit alors aux solutions :

    Ey(z, t) = G(t zc ) + F (t+ zc )Bx(z, t) = 1cG(t zc ) + 1cF (t+ zc )

    (170)

    Attention, F et G sont a` priori differents de f et g.

    11.4 Discussions

    Les solutions trouvees precedement nous apportent de precieuses informations sur les caracteristiques

    de londe

    11.4.1 Ondes progressives et regressives

    Considerons londe (Ex, By) :

    Ex = g(t zc ) + f(t+ zc )By = 1cf(t+ zc ) + 1cg(t zc )

    (171)

    46

  • Il apparait que cette onde est la superposition de deux ondes :

    lune progressive (p), lautre regressive (r) :Epx = g(t zc )Bpy =

    1cg(t z

    c)

    Erx = f(t+zc)

    Bry = 1cf(t+ zc )

    (172)

    (Epx, Bpy) se propage a` c vers les z croissants et (Erx, Bry) se propage a` c vers les z decroissants.Epy = G(t zc )Bpx =

    1cG(t z

    c)

    Ery = F (t+zc)

    Brx = 1cF (t+ zc )

    (173)

    Les champs ~E et ~B se propageant dans le vide sont tels que :

    ~E = Ex~i+ Ey~j (174)

    avecEx = Epx + Erx

    Ey = Epy + Ery(175)

    De meme pour ~B,~B = Bx~i+By~j (176)

    avecBx = Bpx +Brx

    By = Bpy +Bry(177)

    11.4.2 Proprietes de londe progressive

    ~Ep = Epx~i+ Epy~j~Bp = Bpx~i+Bpy~j (178)et

    Epx = g(t zc )Epy = G(t zc )Bpx = 1cG(t zc )Bpy =

    1cg(t z

    c)

    (179)

    Les champs ~E et ~B sont Orthogonaux

    En effet, le produit scalaire des champs ~E. ~B est nul ! Par consequent les champs ~E et ~B sont

    orthogonaux !

    47

  • Les champs E et B sont en phase

    En effet, dire que les champs ~E et ~B sont en phase revient a` dire que le rapport ~E(z,t) ~B(z,t) est constant. ~E(z, t) 2 = Epx2 + Epy2 (180) ~B(z, t) 2 = Bpx2 +Bpy2 (181)

    Epx2 = g2(t z

    c)

    Epy2 = G2(t z

    c)

    Bpx2 = 1

    c2G2(t z

    c)

    Bpy2 = 1

    c2g2(t z

    c)

    (182)

    Epx2 + Epy

    2 = c2(Bpx2 +Bpy

    2)Epx2 + Epy2 = cBpx2 +Bpy2 (183)On a donc ~E(z, t) ~B(z, t) = c (184)et c est bien une constante.

    Impedance du vide

    Si, a` la place de ~B, nous introduisons le champs ~H = 10~B, il apparait une constante homoge`ne a`

    une impedance.

    Z0 =

    ~E(z, t) ~B(z, t) =0

    0 377 (185)

    Z0 represente limpedance du vide.

    12 Cas general : Onde plane de direction quelconque

    Supposons maintenant une onde plane se dirigeant dans une direction ~n = (, , ) quelconque.

    Si nous nous limitons a` londe progressive, ~E et ~B ne seront fonction que du temps et de la distance

    parcourue suivant la normale ~n au plan donde. Dans ce cas on peut ecrire :

    ~E(t ~n.~rc)

    ~B(t ~n.~rc)

    (186)

    avec ~r = (x, y, z) vecteur position correspondant au point M ou` londe est consideree.

    En posant u = (t ~n.~rc) il vient :

    ~Eu

    = ~Et

    ~Bu

    = ~Bt

    (187)

    x

    = u

    ux

    = cu

    y

    = u

    uy

    = cu

    z

    = u

    uz

    = cu

    (188)

    48

  • dou`~ = 1

    c(~i+ ~j + ~k)

    u= 1

    c~n u

    (189)

    alors

    ~rot ~E = ~ ~E = 1c~n u ~E = ~B

    u(190)

    Ce qui donne par integration :

    ~B = 1c~n ~E + cste (191)

    La constante dintegration etant nulle en labscence de champs. De meme, ~rot ~B nous donne :

    ~E = c ~B ~n (192)

    On en deduit que :

    Les champs ~E et ~B sont orthogonaux a` ~n et sont par conseqent dans le plan donde.

    Le trie`dre ~E, ~B et ~n est direct.

    On retrouve que EB= c

    En introduisant ~H, lequation devient :

    ~E = Z0 ~H ~n (193)

    ~B =1

    c~n ~E (194)

    Si on etait parti de la relation rot ~B = Et

    alors on aurait obtenu :1cu(~n ~B) = 1

    c2 ~Eu

    cest a` dire :

    E = c ~n ~B = c ~B ~n (195)Commentaire :

    a) Les champs ~E et ~B sont tous deux perpendiculaires a` ~n et sont par consequent dans le plan donde.

    b) Ils sont mutuellement orthogonaux et ( ~E, ~B,~n) forme un trie`dre direct. c) On retrouve egalement

    que leurs normes sont proportionnelles i.e. EB= c. Cela signifie que ~E et ~B sont en phase. d) Si on

    introduit Z0, on a :~E = Z0. ~H ~n (196)

    13 Notion de polarisation

    Letat de polarisation dune onde electromagnetique caracterise levolution du champ ~E et ~B dans

    le plan donde.

    49

  • 13.1 Definitions

    Si le vecteur ~E, et par la suite le vecteur ~B gardent une direction constante ; on dit que londe

    est polarisee rectilignement.

    On appelle plan de polarisation, le plan contenant ~E et ~n.

    On appelle plan de vibration, le plan contenant ~B et ~n.

    Le plan de polarisation est perpendiculaire au plan de vibration.

    Lexpression des champs ~E et ~B pour une onde electromagnetique (O.E.M.) polarisee rectilignement

    est :~E = ~E0f(t ~n.~rc )~B = ~B0g(t ~n.~rc )

    (197)

    ~E0 et ~B0 sont des vecteurs constants. f et g sont des fonctions periodiques scalaires.

    on rencontre aussi dautres etats de polarisations, a` savoir :

    Une O.E.M. est dite polarisee circulairement si lextremite du vecteur ~E decrit un cercle dans le plan

    donde.

    Une O.E.M. est dite polarisee elliptiquement lorsque lextremite du vecteur ~E decrit dans le plan

    donde, une ellipse.

    Si la direction de ~E varie dune facon quelconque, on dit que londe nest pas polarisee.

    14 O.E.M. plane sinusodale et polarisee rectilignement

    14.1 Propagation suivant une direction quelconque

    Si on ne conside`re que les ondes progressives les champs ~E et ~B sevrivent :{~E = ~E0cos (t ~n.~rc ) = ~E0cos(t ~k.~r)~B = ~B0cos (t ~n.~rc ) = ~B0cos(t ~k.~r)

    est la pulsation de londe.

    T sa periode temporelle

    On appelle longueur donde la quantite

    = cT =2c

    =

    c

    (198)

    On appelle nombre donde la quantite

    =1

    =

    c=

    2c(199)

    Par definition, on appelle vecteur donde, le vecteur :

    ~k = 2~n =2

    ~n =

    c~n (200)

    50

  • Les normes des vecteurs ~E0 et ~B0 sont liees par la relation : E0 = cB0

    La relation ~B =1

    c~n ~E secrit :

    ~B =~k ~E

    (201)

    14.2 Cas particulier dune propagation suivant ~Oz

    Dans ce cas :

    ~n = (0, 0, 1)~k = 2

    (0, 0, 1)

    ~E0 = (E0x, E0y, 0)~B0 = (B0x, B0y, 0)

    Les champs ~E et ~B secrivent alors : {~E = ~E0cos (t ~k.~r)~B = ~B0cos (t ~k.~r)

    deviennent {~E = ~E0cos (t 2 z)~B = ~B0cos (t 2 z)

    (202)

    Les amplitudes ~E0 et ~B0 sont reliees par la relation :

    ~B0 =1

    c~n ~E0 (203)

    cest a` dire B0x

    B0y

    0

    =1

    c

    0

    0

    1

    E0x

    E0y

    0

    soit B0x = 1cE0y

    B0y =1cE0x

    51

  • dou`

    Bx = E0xcos (t 2 z)Ey = E0ycos (t 2 z)Bx = 1cE0y cos (t 2 z)By =

    1cE0x cos (t 2 z)

    15 O.E.M. plane sinusodale et polarisee circulairement et

    elliptiquement

    On dit quune onde plane se propageant dans la direction de ~Oz est polarisee elliptiquement

    lorsque lextremite du vecteur ~E decrit une ellipse dans le plan donde. On en deduit que les compo-

    santes du champ electrique ~E sont de la forme :{Ex = E0xcos (t 2 z)Ey = E0ycos (t 2 z + )

    (204)

    Il en est de meme de ~B {Bx = B0xcos (t 2 z)By = B0ycos (t 2 z + )

    (205)

    En eliminant t entre les deux equations de lune des series, on obtient :

    Ex2

    E0x2sin2+

    Ey2

    E0y2sin2 2ExEycosEx0Ey0sin2

    = 1 (206)

    Cette equation indique que lextremite du vecteur ~E decrit une ellipse inscrite dans un rectangle de

    cote (2Ex0, 2Ey0).

    On rappelle que si cette extremite se deplace dans le sens trigonometrique direct, lellipse est dite

    gauche, et elle est direct droite dans le cas contraire. Si 0 < < lellipse est droite

    Si < < 0 lellipse est gaucheSi = 0 on a :

    Ex2

    E0x2+

    Ey2

    E0y2 2ExEycos

    Ex0Ey0= 0 (207)

    soitEx

    E0x=

    Ey

    E0y(208)

    et londe dans ce cas est polarisee rectilignement (premie`re diagonale du rectangle).

    Si = dans ce cas lon est polarisee rectilignement (deuxie`me diagonale du rectangle).

    Si E0x = E0y et = 2 alors, E20x+E20y = ||E0||2 = Cte, lextremite du vecteur ~E decrit un cercleet londe est dite polarisee circulairement.

    52

  • si ( = 2) circulairement droite

    si ( = 2) circulairement gauche.

    16 Onde plane sinusodale se propageant rectilignement (no-

    tations complexes)

    En notation complexe les champs electriques et magnetiques de lOEMPS peut secrire sous la

    forme : {~E = ~E0exp j (t 2 z)~B = ~B0exp j (t 2 z)

    (209)

    on peut remarquer que ~E est la partie reelle de ~E , idem pour Bles equations de Maxwell peuvent secrire en notation complexes sous la forme :

    div( ~D) = 0 ( ~D = 0~E)~rot~E = ~B

    t

    div( ~B) = 0~rot ~B = 0 ~Dt

    (210)

    on a : ~Et

    = j~E ~Bt

    = j ~B (211)Exx

    = jkxExEyy

    = jkyEyEzz

    = 0

    (212)

    div~E = j~k.~E (213)

    meme demonstration pour ~B, soit ;

    div ~B = j~k. ~B (214)en calculant de la meme manie`re, ~rot( ~B) et ~rot( ~B), nous aboutirons a` :

    ~rot~E = j~k ~E~rot ~B = j~k ~B (215)

    Finalement, les equations de Maxwell en notation complexe secrivent :

    j~k.~E = 0j~k. ~B = 0j~k ~E = j ~Bj~k ~B = j

    c2~B ( 1

    c2= 00)

    (216)

    53

  • On a egalement :

    ~B =~k ~E

    (217)

    54

  • Chapitre 7

    PROPAGATION DE LENERGIE

    ELECTROMAGNETIQUE

    17 Rappels

    Lenergie electrostatique We secrit :

    We =

    esp

    1

    20E

    2d (218)

    Elle peut aussi secrire sous la forme :

    We =

    esp

    V (r)d (219)

    Lenergie magnetique secrit :

    Wm =

    esp

    1

    2

    B2

    0d (220)

    ou encore

    Wm =1

    2

    esp

    ~j. ~A d (221)

    Dans tous les cas,

    Wem =We +Wm =

    esp

    uemd (222)

    et en regime stationnaire la densite denergie electromagnetique uem est constante dans le temps.

    18 Calcul de lenergie electromagnetique

    18.1 Causes de la variation de lenergie electromagnetique

    Les causes de la vaiarion denergie sont de deux types :

    - existence a` linterieur du volume d dune transformation denergie electromagnetique a` une autre

    forme denergie (Effet Joule)

    - echange denergie avec le milieu exterieur sous forme denergie magnetique rayonnee (dans ce cas,

    il ny a pas de degradation denergie mais deplacement dun point a` lautre de lespace).

    55

  • 18.2 Methode de calcul

    Il sagit dappliquer le principe de la conservation denergie en admettant la possibilite detablir

    un bilan local de lenergie electromagnetique autour dun point M dans le volume d entourant ce

    point.

    Nous avions demontre dans le premier chapitre que la variation temporelle de lenergie electromagnetique

    secrit sous la forme :dW

    dt=

    esp

    ~j. ~Ed (223)

    Remarquons que, de lexpression

    ~rot ~B = 0~j +1

    c2 ~E

    t

    on deduit :

    ~j =1

    0~rot ~B 0

    ~E

    t

    Nous pouvons ecrire par la suite :

    dW

    dt= 1

    0

    esp

    ~E. ~rot ~Bd + 0

    esp

    ~E. ~E

    td

    dW

    dt= 1

    0

    esp

    div( ~E ~B) + 10

    esp

    ~B. ~B

    td + 0

    esp

    ~E. ~E

    td

    soit,

    dW

    dt=

    esp

    t(1

    20E

    2 +1

    20B2)d +

    1

    0

    esp

    div( ~E ~B)d (224)

    18.3 Discussion

    Le premier terme de cette expression represente lenergie electromagnetique (chap I) dans le cas

    stationnaire et quasi-stationnaire.

    On admet que ce terme represente toujours lenergie localisee dans lespace. Dans la presente ex-

    pression, il sagit de la variation par rapport au temps, de lenergie electromagnetique. Lenergie dWdt

    exprime quil y a variation de lenergie localisee dans lespace et traduit le principe de la conservation

    de lenergie.

    18.4 Conservation de lenergie electromagnetique

    De la relation esp

    div( ~E ~B)d =

    ~E ~B. ~dS (225)

    en posant ~P = 10( ~E ~B) Alors, la relation ci-dessus devient (conservation de lenergie) :

    dW

    dt=

    esp

    t(1

    20E

    2 +1

    20B2)d +

    ~P.d~S = 0 (226)

    56

  • Par definition, le vecteur ~P =1

    0( ~E ~B) est appele vecteur Poynting localement, la conserva-

    tion de lenergie secrit :

    Uem

    t+ div ~P = (227)

    18.4.1 Cas dun volume non charge

    = 0 et ~J = ~0, on a alorsdW

    dt=

    esp

    ~J. ~Ed = 0 (228)

    Cette relation est a` rapprocher de celle de la conservation de charges electrostatiques. Elle indique

    que la variathion de lenergie electromagnetique contenue dans un volume non charge est egale au

    flux du vecteur Poynting a` travers la surface delimitant ce volume.

    18.4.2 Cas dun volume charge

    ~J 6= ~0 et on a :dW

    dt=

    esp

    Uemd +

    ~P.d~S =

    (D)

    ~J. ~Ed (229)

    Dans ce cas la variation de lenergie electromagnetique nest plus egale au flux du vecteur Poynting.

    Il y a dissipation denergie a` linterieur du volume qui egale a`

    (D)

    ~J. ~Ed

    Si (D) est conducteur, alors ~J = ~E~J. ~E = E2 ~J. ~E = ~J. ~E.S (homoge`ne a` Volt.Ampe`re)Il sagit dune puissance.

    Si on lapplique a` londe sinusodale progressive et polarisee rectilignement, on a :~E = E0cos(t 2 z)~i~B = E0

    ccos(t 2

    z)~j

    Alors

    Uem = 0E20cos

    2(t 2z) (230)

    ||P|| = c.Uem (231)Remarque :

    Puisque ~E ~B a le meme sens que ~k, et quon peut ecrire ~c = c~n alors :

    ~P = ~c.Uem (232)

    FIN

    57