Cours ELEC014Transport et Distribution de l'Énergie Électrique :Analyse des e�ets mécaniques liés aux courants de

court-circuits

19 décembre 2012

Les courants de court-circuit et notamment leurs e�ets mécaniques ontune importance considérable lors du dimensionnement des réseaux d'énergie.Ce projet a pour but de mettre en évidence les di�érents points à prendreen compte pour assurer un dimensionnement en accord avec ces contraintes.Il s'agit dans un premier temps de calculer le courant de court circuit Icc (ccpour court-circuit). Nous étudierons plus en détail les conséquences sur lesjeux de barres rigides et souples.

Les points cités ci-dessus devront être analysés un à un et une étudedétaillée de certains est demandée.

Forces en jeu

Lorsqu'un courant I1 passe dans un conducteur, il crée un champ ma-gnétique, comme représenté à la �gure 1, facilement calculable par

~B =µI12πr

~ρ [T ] (1)

où µ représente la perméabilité magnétique du matériau entourant le conduc-teur en H/m, I1 le courant passant dans le conducteur en A et ~ρ le vecteurunitaire orienté tangentiellement au cercle de rayon r. Si un deuxième �l danslequel passe un courant I2 est placé parallèlement au premier, comme mon-tré à la �gure 2, une force s'exercera dont l'orientation dépendra du sens depassage du courant dans les deux conducteurs. Pour la situation représentée,puisque les conducteurs sont parallèles, nous obtenons la force :

~F = µI1~l × ~B (2)

= µI1I2l

2πr~ρ [N/m] (3)

Où ~r est un vecteur unitaire dans la direction de la force.

1

B⃗I

Figure 1 � Champ ~B créé par un courant dans un conducteur rectiligne.

I1 I

2

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

I1

I2

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

F⃗

Figure 2 � Force électrodynamiques entre conducteurs.

2

Exercice 1 : calcul de la force

Lors d'un court-circuit, nous modélisons le circuit sous la forme simpli-�ée d'un circuit RL avec une fem. Calculez le courant instantané de courtcircuit i(t). Une constante de temps de τ = L

R = 60 ms peut être utilisée.L'expression de la fem est donnée par :

e(t) =√2Eeff sin(ωt+ α) (4)

Où Eeff peut être pris comme égal à la tension nominale du réseau.Il est demandé de :

1. calculer la force f(t) qui agirait entre conducteurs parallèles et de tracerl'allure de cette force sur chaque phase pour l'angle α qui donneraitl'e�ort maximal sur la phase 1 (défaut triphasé). Comparer ensuite aucas d'un défaut biphasé.

2. discuter les di�érents termes composants la force électrodynamiqueet leur in�uence (composantes fréquentielles, importance des termes,etc.).

3. pour une distance de 1m entre phases et un courant Iccrms = 15.6kApour un défaut entre deux phases, quanti�er les expressions trouvéesprécédemment.

Z

Z

Z

Figure 3 � Court-circuit entre deux phases.

3

Réponse aux e�orts appliqués

Pour la réponse des structures, nous demandons d'étudier deux cas ca-ractéristiques. L'étude se fera dans un premier temps sur un jeu de barresrigides et ensuite sur deux phases d'une ligne aérienne. Plusieurs modélisa-tions seront proposées

Exercice 2 : jeu de barres rigides - modèle simpli�é

Figure 4 � Jeu de barre rigide.

La première étude porte sur un jeu de barres rigides (4). Nous considéronsle cas représenté dans l'annexe 1 avec les caractéristiques fournies et le typed'attaches qui y est décrit.

Une première modélisation simple est présentée à la �gure 5, qui repré-sente un conducteur rigide et un mouvement possible du support. L'ensemble

4

des masses (conducteurs + supports) est concentré au sommet. Étant donnél'allure de la force appliquée, calculée au point précédent, exprimez les mo-ments de forces aux endroits clés en fonction du temps (points I2 et S2 dansl'annexe 1).

Discutez :

1. l'in�uence de la longueur et de la raideur des isolateurs et des supportssur la réponse du système, discutez notamment les modi�cations de lafréquence de résonance et leurs conséquences.

2. l'in�uence de la masse.

3. le temps de déclenchement et ré-enclenchement des disjoncteurs.

4. la validité et l'utilité de ce modèle.

m

Figure 5 � Système masse ressort.

Exercice 3 : jeu de barres rigides - modèle complexe

Pour le deuxième modèle, l'hypothèse de la barre rigide est relaxée et lesvibrations de celle-ci sont considérées. L'équation de �exion d'une barre estdonnée par :

EI∂4y

∂x4+ ρ

∂2y

∂t2= f(x, t) (5)

Où E est le module d'élasticité, I le moment d'inertie �exionnelle, y le dé-placement à calculer, x l'abscisse , ρ la masse linéique et f(x, t) la forceappliquée. Les conditions limites doivent prendre en compte les caractéris-tiques des supports et des isolateurs.

Dans un premier temps, considérez uniquement le cas d'une portée uniqueavec deux attaches rigides. En déduire les contraintes apparaissant dans labarre.

Si vous disposez d'assez de temps (question bonus)

5

Le développement complet consiste à utiliser le modèle représenté à la

�gure 6, étendu au cas de l'annexe 1. Ici, l'étude de la vibration d'une barre

ne fait pas l'hypothèse de support rigides mais modélise les isolateurs et les

supports à l'aide de ressorts. Attention aux types d'attaches. Calculez main-

tenant les contraintes apparaissant dans les barres.

Figure 6 � Support oscillants, barre �exible.

Pour la résolution de cette partie, ne considérez qu'un défaut entre deuxphases et négligez le ré-enclenchement.

Exercice 4 : Lignes aériennes

La deuxième partie du problème consiste à étudier la réponse de lignesaériennes. A�n d'étudier le déplacement des conducteurs, il est demandéd'utiliser le modèle représenté à la �gure 7.

L'angle du pendule suit la relation

Jδ̈ +mgs sin δ =M(t)

Où

s =

∫y(x)dm

mdistance au centre de gravité

J =

∫y2dm moment d'inertie

M =

∫F (x)y(x)cosδdx moment de force

Le système a étudier a les caractéristiques suivantes :

6

Figure 7 � Modélisation d'une ligne par un pendule

Données conducteurLongueur portée : 400 m

Section conducteur : 570 mm2

Flèche : 10 m

Tension initiale : 61800 N

Masse linéique : 3, 1 kg/m

Module d'élasticité : 7 1010 N/m2

Distance entre les lignes : 10 m

Données court-circuitτ : 60 ms

Icc : 63 kA

tdéclenchement : 100 ms

Défaut : biphasé et pas de ré-enclenchement

Discutez ensuite :

1. l'allure du déplacement pour di�érentes valeurs de courants de court-circuit.

2. l'allure du déplacement en fonction de la masse, de la longueur de laportée, de la longueur de la �èche) et de la raideur du système.

7

3. les valeurs critiques des caractéristiques de la ligne aérienne.

4. la validité du modèle en fonction des valeurs relatives au courant decourt-circuit (Icc et tdclenchement) et des caractéristiques de la ligne.

Bonus : modèle amélioré de la ligne

Utilisez un modèle plus élaboré pour représenter la situation, commecelui représenté à la �gure 7.

Les forces tangentielles et radiales sont représentées à la �gure 9 et lesrelations (6) et (7) sont utilisées.

Radiale ml̈ + kl = Fsinδ +mgcosδ +mlδ̇2 (6)

Tangentielle Jδ̈ +mgs(t) sin δ =M(t) (7)

Où s représente le centre de gravité, l la longueur du ressort équivalent(lien jusqu'à la masse), m la masse du conducteur, k sa raideur équivalente,δ l'angle formé avec la verticale,M le moment appliqué, F la force appliquéeet g = 9, 81m/s2.

mm

Phase 1 Phase 2

F(t) F(t)

Figure 8 � Ligné modélisée par une association pendule-ressort.

Discutez :

8

Figure 9 � Force à considérer dans le cas d'une ligne modélisé par uneassociation pendule-ressort.

1. l'allure du déplacement pour di�érentes valeurs de courants de court-circuit.

2. l'allure du déplacement en fonction de la masse, de la longueur de laportée, de la longueur de la �èche) et de la raideur du système.

3. les valeurs critiques des caractéristiques de la ligne aérienne.

4. la validité du modèle en fonction des valeurs relatives au courant decourt-circuit (Icc et tdclenchement) et des caractéristiques de la ligne.

Modalités

Le travail est à rendre pour le vendredi 4 janvier au plus tard. Le rapportest à faire individuellement. Le développement peut se faire sous le supportvoulu mais des graphiques illustrant vos réponses sont demandés. La questionbonus vaut 3 points sur 20.

Annexes 1

9