Cours du 25 octobre
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Cours du 25 octobre
Exceptionnellement, le cours prévu pour le mercredi 25 octobre se donnera
Mardi le 24 octobre
de 18h30 à 20h20 à la salle 2751 du Pavillon Adrien-Pouliot
• Solution itérative de systèmes linéaires.– Méthodes de Jacoby et de Gauss-Seidel.
• Application à l’infographie.
Rappel...
Mx(k+1) = (M - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…
Aujourd’hui
• Sous-espaces de Rn:– Définition;– Sous-espaces associés à une matrice;– Bases;– Coordonnées;– Dimension;– Rang.
8. Sous-espaces de Rn
• Espaces et sous-espaces vectoriels.
• Sous-espaces: souvent liés à une matrice A.
• Nous donnent des indications sur l’équation Ax = b.
Définition: sous-espace de Rn
Un sous-espace de Rn est un ensemble H dans Rn ayant les trois propriétés:
a. Le vecteur zéro est dans H.
b. Pour chaque u et v dans H, la somme u + v est dans H.
c. Pour chaque u dans H et chaque scalaire c, le vecteur cu est dans H.
Soit une matrice A m n, l’espace des colonnes (ou image) de A est l’ensemble, dénoté Col A, de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. En langage mathématique, on écrit
Définition: espace des colonnes
Col A = {b| et b = Ax pour un quelconque }mRb nRx
b est-il dans Col A?
• Il faut déterminer si le système Ax = b a une solution (i.e. s’il est compatible).
• Méthode: matrice augmentée [A b] et réduction sous forme échelon.
Définition: noyau de A
Soit une matrice A m n, le noyau de A est l’ensemble, dénoté Nul A, de toutes les solutions de l’équation matricielle homogène Ax = 0. En langage mathématique, on écrit
Nul A = {x| et Ax = 0}nRx
Noyau d’une matrice
Le noyau d’une matrice A m n est un sous-espace de Rn. De même, l’ensemble de toutes les solutions d’un système Ax = 0 de m équations linéaires homogènes à n inconnues est un sous-espace de Rn.
Nul A et Col A
• Nul A: définition implicite, on doit vérifier chaque vecteur.
• Col A: définition explicite, on peut construire les vecteurs en combinant linéairement les colonnes de A.
Définition: base
Une base pour un sous-espace H de Rn est un ensemble linéairement indépendant dans H qui engendre H.
Définition: coordonnées B de x
Supposons que l’ensemble B = {b1, ... , bp} soit une base d’un sous-espace H. Pour chaque x dans H, les coordonnées de x relativement à la base B (ou les coordonnées B de x) sont les coefficients c1, ... , cp tels que x = c1b1 + ... + cpbp,
Coordonnées B de x (suite)
est appelé le vecteur de coordonnées de x relativement à la base B.
p
B
c
c
1
x
et le vecteur dans Rp
Définition: dimension
La dimension d’un sous-espace non-nul H, dénotée dim H, est le nombre de vecteurs dans une base quelconque de H. La dimension du sous-espace zéro, {0}, est définie comme étant égale à 0.
Définition: rang d’une matrice
Le rang d’une matrice A (Rang A) est la dimension de l’espace des colonnes de A.
Rang d’une matrice
Les dimensions des espaces des colonnes et des espaces des lignes d’une matrice A m n sont égales. Cette dimension commune, le rang de la matrice A, est aussi égale au nombre de positions pivot de A et satisfait l’équation
rang A + dim Nul A = n
Théorème sur les bases
Soit H un sous-espace de Rn de dimension p. Tout ensemble linéairement indépendant contenant exactement p éléments dans H est automatiquement une base pour H. Également, tout ensemble de p éléments de H qui engendre H est automatiquement une base pour H.