Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia...

41
Ondes Électromagnétiques Iannis Aliferis École Polytechnique de l’Université Nice Sophia Antipolis Polytech’Nice Sophia Département d’Électronique, 3 e année, 2012–2013 http://www.polytech.unice.fr/~aliferis Introduction 2 Plan du cours ........................................................... 3 Les 4 forces fondamentales .................................................. 4 Scalaire, vecteur, système de coordonnées ........................................ 5 Vecteur de position; produit scalaire et vectoriel .................................... 6 Champ scalaire, champ vectoriel .............................................. 7 Équations de Maxwell 8 Les équations de Maxwell (régime temporel) ...................................... 9 La divergence: un champ scalaire .............................................. 10 Le rotationnel: un champ vectoriel ............................................. 11 Régime harmonique: amplitude complexe ........................................ 12 Avantages de la notation complexe ............................................ 13 Les équations de Maxwell (régime harmonique) .................................... 14 Les champs D et H; relations constitutives ....................................... 15 Les équations de Maxwell (lhi; harmonique) ...................................... 16 Ondes électromagnétiques(milieux lhi sans pertes) 17 Équation d’ondes (temporel) ................................................. 18 Équation de Helmholtz (harmonique) ........................................... 19 Onde plane, progressive, monochromatique vers +z ................................. 20 Onde électromagnétique PPM selon ˆ k .......................................... 21 Amplitude complèxe d’une OPPM ............................................. 22 Propriétés d’une OPPM (milieu sans pertes) ................................... 23 Impédance caractéristique ................................................... 24 Polarisation linéaire d’une OPPM ............................................. 25 Polarisation circulaire d’une OPPM ......................................... 26 Permittivité relative: quelques valeurs typiques ..................................... 27 Ondes électromagnétiques(milieux lhi avec pertes) 28 Types de pertes dans la matière............................................... 29 Permittivité effective ...................................................... 30 Nombre d’onde complexe ................................................... 31 Coefficients α et β ....................................................... 32 1

Transcript of Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia...

Page 1: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

Ondes Électromagnétiques

Iannis Aliferis

École Polytechnique de l’Université Nice Sophia AntipolisPolytech’Nice Sophia

Département d’Électronique, 3e année, 2012–2013

http://www.polytech.unice.fr/~aliferis

Introduction 2Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Les 4 forces fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Scalaire, vecteur, système de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Vecteur de position; produit scalaire et vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Champ scalaire, champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Équations de Maxwell 8Les équations de Maxwell (régime temporel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9La divergence: un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Le rotationnel: un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Régime harmonique: amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Avantages de la notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Les équations de Maxwell (régime harmonique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Les champs D et H; relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Les équations de Maxwell (lhi; harmonique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ondes électromagnétiques(milieux lhi sans pertes) 17Équation d’ondes (temporel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Équation de Helmholtz (harmonique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Onde plane, progressive, monochromatique vers +z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Onde électromagnétique PPM selon k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Amplitude complèxe d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Propriétés d’une OPPM (milieu sans pertes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Impédance caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Polarisation linéaire d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Polarisation circulaire d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Permittivité relative: quelques valeurs typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ondes électromagnétiques(milieux lhi avec pertes) 28Types de pertes dans la matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Permittivité effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Nombre d’onde complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Coefficients α et β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

Page 2: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Milieu lhi sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Milieu lhi avec pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

OPPM dans les conducteurs 35Conducteurs: bons et parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Le nombre d’onde dans un bon conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37OPPM dans un bon conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Puissance électromagnétique: vecteur de Poynting 39Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Puissances: pertes et transport; Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41[Produit de deux fonctions harmoniques]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43OPPM énergie électrique = magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44OPPM densité de puissance transportée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Réflexion / transmission entre deux milieux lhi 46Conditions aux limites entre deux milieux lhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Incidence normale sur une interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Incidence normale: conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Incidence normale: coefficients amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Incidence normale: coefficients puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Incidence normale, structure multicouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Incidence oblique sur une interface: définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Incidence oblique ⊥: champs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Incidence oblique ⊥: Snel – Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Incidence oblique ⊥: conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Incidence oblique ⊥: coefficients amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Incidence oblique ⊥: coefficients puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Incidence oblique ‖: champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Incidence oblique ‖: conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Incidence oblique ‖: coefficients amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Incidence oblique ‖: coefficients puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Propagation guidée 63Lignes de transmission, guides d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Guide métallique à plaques parallèles 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Guide métallique à plaques parallèles 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Guide métallique à plaques parallèles: récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Guide métallique de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Guide métallique de section rectangulaire: TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Guide métallique de section rectangulaire: TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Guide métallique: propriétés de propagation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Dispersion 72Définition du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Exemple: deux fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Enveloppe gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Délai de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 3: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Ce document contient les transparents du cours mais il n’est en aucun cas complet (auto-suffisant) ; unegrande quantité d’information (commentaires, explications, diagrammes, démonstrations etc.) est donnéependant les séances, oralement ou à l’aide du tableau.

Le logo du logiciel R à droite d’un titre contient un lien vers le script illustrant les résultats présentésdans le transparent. L’étude du graphique (mais pas celle du script !) fait partie intégrante du cours. Tousles scripts sont accessibles dans la partie « Documents / Compléments multimédia » du site :http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/ondes_electromagnetiques/

Toutes les ressources externes, disponibles en lien hypertexte à partir de ce document, sont aussi répertoriéesdans la partie « Ressources Externes » du site :http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/ondes_electromagnetiques/

Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin, MIT : Walter Lewin, 8.02 Electricityand Magnetism, Spring 2002. (Massachusetts Institute of Technology : MIT OpenCourseWare),http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/

(Accessed September 9, 2009). License : Creative Commons BY-NC-SA.

Document préparé avec LATEX et powerdot, sous licence Creative Commons BY-NC-SA :Paternité – Pas d’Utilisation Commerciale – Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France.

3 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 4: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Introduction 2

Plan du cours

H Lignes de transmission (8 séances CM ; 4 TD ; 1 DS)H Ondes électromagnétiques (14 séances CM ; 7 TD ; 1 DS)

Introduction Les équations de Maxwell Ondes planes dans les milieux linéaires Énergie et puissance ; le vecteur de Poynting Réflexion / transmission Propagation guidée Dispersion

3

Les 4 forces fondamentales

H Force gravitationnelleH Force électromagnétiqueH Force nucléaire faibleH Force nucléaire forte

~Fem = q(~E + ~v ∧ ~B)

Exercée sur une charge q de vitesse ~v se déplaçant dans un champ ~E et ~B.H ~E, ~B : champ électrique / magnétique

4

4 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 5: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Scalaire, vecteur, système de coordonnées

H Scalaire ΦObjet mathématique représentant une seule valeur

H Vecteur ~A (mathinsight.org)Objet mathématique représentant

une norme (scalaire) : ‖ ~A‖ ou A une direction

Trois composantes + des propriétés de transformationH Vecteur unitaire a

Vecteur représentant uniquement une direction

a =~A

‖ ~A‖

H Système de coordonnéesFaçon de décrire les points de l’espace :cartésien (x, y, z) ; cylindrique (ρ, φ, z) ; sphérique (r, θ, φ)Trois vecteurs unitaires (en cart. : ex, ey, ez)montrant la direction d’augmentation de la coordonnée en indice

5

Vecteur de position ; produit scalaire et vectoriel

H Vecteur de position ~r

Il relie l’origine du système des coordonnées à un point M

~r = xex + yey + zez (en coord. cart.)

H Produit scalaire ~A · ~B (mathinsight.org)

~A · ~B = AB cos θcart= AxBx +AyBy +AzBz

Cas spécial 1 : ~A · n = A cos θ, la projection de ~A sur nCas spécial 2 : ~A · ~A = A2, le carré de la norme

H Produit vectoriel ~A ∧ ~B (mathinsight.org)Norme : ‖ ~A ∧ ~B‖ = AB sin θOrientation : règle de la main droite, de ~A vers ~B

~A ∧ ~Bcart=

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣

~A ∧ ~B ⊥ ~A et ~B

6

5 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 6: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Champ scalaire, champ vectoriel

H Champ scalaire : l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre) : p.ex.température, altitude, . . .

H Un champ scalaire est une fonction de 3 variablesp.ex. en coordonnées cartésiennes : Φ(x, y, z)

H Champ vectoriel : l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (module et direction) :p.ex. vent, vitesse, . . .

H Un champ vectoriel est un ensemble de 3 fonctions (les composantes) chacune de 3 variables (lescoordonnées) :

~A(x, y, z) =

Ax(x, y, z)Ay(x, y, z)Az(x, y, z)

H Ne pas confondre composantes et coordonnées !

7

6 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 7: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Équations de Maxwell 8

Les équations de Maxwell (régime temporel)

H Maxwell, 1864

Gauss électrique div ~D(~r, t) = (~r, t) (1)

Gauss magnétique div ~B(~r, t) = 0 (2)

Faraday−→rot ~E(~r, t) = −∂ ~B(~r, t)

∂t(3)

Maxwell-Ampère−→rot ~H(~r, t) = ~J(~r, t) +

∂ ~D(~r, t)

∂t(4)

H ~E : champ électrique (Vm−1)H ~D : induction électrique (Cm−2)H ~B : induction magnétique (T)H ~H : champ magnétique (Am−1)H : densité volumique de charge (libre) (Cm−3)H ~J : densité de courant (libre) (Am−2)H Charges et courants : les sources des champs

9

7 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 8: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

La divergence : un champ scalaire

H Divergence d’un champ vectoriel : div ~A(~r) (mathinsight.org)H Scalaire : une valeur (<,=, > 0) à chaque point de l’espaceH Volume élémentaire (p.ex. petite sphère) autour d’un point ;

les vecteurs de ~A percent la surface du volume ;s’ils sortent, div ~A > 0 ; s’ils rentrent, div ~A < 0

H Calculer la divergence en coordonnées cartésiennes :

div ~A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

astuce=

(∂

∂xex +

∂yey +

∂zez

)

︸ ︷︷ ︸

~∇ nabla

·(Axex +Ayey +Azez)

, ~∇ · ~A

H Formules + compliquées dans les autres systèmes ; on note toujours ~∇ · ~AH Utile : si w une constante, ~∇ · (w ~A) = w~∇ · ~A

10

Le rotationnel : un champ vectoriel

H Rotationnel d’un champ vectoriel :−→rot ~A(~r) (mathinsight.org)

H Vecteur, indiquant la tendance du champ à « tourner »H Plus subtil : plonger un « moulin » dans le champ ;

le maintenir au même point, changer d’orientation, chercher la vitesse de rotation la plus élevéeH Direction de

−→rot ~A(~r) : axe du moulin

H Sens de−→rot ~A(~r) : règle de la main droite

H Module de−→rot ~A(~r) ∝ vitesse de rotation du moulin

H Calculer le rotationnel en coordonnées cartésiennes :

−→rot ~A =

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣

astuce= ~∇ ∧ ~A

H Formules + compliquées dans les autres systèmes ; on note toujours ~∇ ∧ ~A

H Utile : si w une constante, ~∇ ∧ (w ~A) = w~∇ ∧ ~A

11

8 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 9: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Régime harmonique : amplitude complexe

H On s’interesse uniquement aux phénomènes d’oscillationH « Dépendance temporelle harmonique » :

~E(~r, t) = ~E(~r, ω)cos(ωt+ φ(~r, ω))

H Oscillations d’amplitude ~E(~r, ω) et de phase initiale φ(~r, ω)H Euler : e j θ = cos θ + j sin θ −→ cos θ = Re

e j θ

H Réécrire le champ ~E(~r,t) :

~E(~r, t) = ~E(~r, ω)Re

e j (ωt+φ(~r,ω))

= Re

~E(~r, ω)e jφ(~r,ω)e jωt

H On définit l’amplitude complexe ~E(~r, ω) , ~E(~r, ω)e jφ(~r,ω) :

~E(~r, t) = Re~E(~r, ω)e+ jωt

(5)

H temps ~E(~r, t)←→ ~E(~r, ω) fréquence

12

Avantages de la notation complexe

H On se débarasse du temps t !H Opération linéaire :

Si ~E1,2(~r, t)←→ ~E1,2(~r, ω)

alors c1~E1(~r, t) + c2~E2(~r, t)←→ c1~E1(~r, ω) + c2

~E2(~r, ω)

H On ne multiplie jamais les amplitudes complexes !(sauf une exception : puissance/énergie moyenne, cf. tr.#42)

H Les dérivées temporelles se simplifient :

∂t~E(~r, t)←→ jω ~

E(~r, ω)

H Remplacer ~E(~r, t) par ~E(~r, ω) et ∂/∂t par jω

H Superposition de fréquencesFourier−1

−→ signal temporel arbitraire

13

9 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 10: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Les équations de Maxwell (régime harmonique)

G.é. ~∇ · ~D(~r, ω) = ρ(~r, ω) (6)

G.m. ~∇ · ~B(~r, ω) = 0 (7)

F. ~∇ ∧ ~E(~r, ω) = − jω ~

B(~r, ω) (8)

M.-A. ~∇ ∧ ~H(~r, ω) = ~

J(~r, ω) + jω ~D(~r, ω) (9)

H Tout oscille à la fréquence f = ω/2πH Pour revenir aux signaux temporels on utilise (5) :

p.ex. (~r, t) = Reρ(~r, ω)e j ωt

H Charges et courants ne sont pas indépendants(utile : ~∇ · ~∇ ∧ ~A = 0, ∀ ~A) :

~∇ · (9) = 0(6)−→ ~∇ · ~J + jωρ = 0 continuité

~∇ · (4) = 0(1)−→ ~∇ · ~J +

∂t= 0 de la charge

14

Les champs D et H ; relations constitutives

H ~E et ~B sont les champs « fondamentaux »H Dans la matière ils provoquent : polarisation ~P et magnétisation ~M ; apparition de charges /

courants « liés » à la matièreH ~D et ~H font apparaître uniquement les charges/courants libresH Milieux linéaires, homogènes, isotropes (lhi) :

~P = ǫ0χe

~E et ~

M = χm~H

χe, χm : susceptibilité élec. / magn. (sans unités ; 0 dans le vide)

ǫ0~E = ~

D − ~P −→ ~

D = ǫ0~E + ~

Plhi= ǫ0(1 + χe

︸ ︷︷ ︸ǫr

) ~E −→ ~D = ǫ0ǫr

~E

1

µ0

~B = ~

H + ~M

lhi= (1 + χm︸ ︷︷ ︸

µr

) ~H −→ ~H =

1

µ0µr

~B

H ǫ0 permittivité du vide, 8.85 × 10−12 Fm−1 ; ǫr permit. relative (s.u.)H µ0 perméabilité du vide, 4π10−7 Hm−1 ; µr perméab. relative (s.u.)

15

10 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 11: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Les équations de Maxwell (lhi ; harmonique)

H On choisit (electrical engineers) de travailler avec ~E et ~H

G.é. ~∇ · ~E(~r, ω) =ρ(~r, ω)

ǫ(10)

G.m. ~∇ · ~H(~r, ω) = 0 (11)

F. ~∇ ∧ ~E(~r, ω) = − jωµ ~

H(~r, ω) (12)

M.-A. ~∇ ∧ ~H(~r, ω) = ~

J(~r, ω) + jωǫ ~E(~r, ω) (13)

H ǫ = ǫ0ǫr : permittivité du milieu ; ǫr = 1 + χe

H µ = µ0µr : perméabilité du milieu ; µr = 1 + χm

H En général :

χe, χm complexes (pertes diélectriques / magnétiques) χe(ω), χm(ω) dépendent de la fréquence (dispersion)

H Notation générale :

ǫ(ω) = ǫ0ǫr(ω) µ(ω) = µ0µr(ω) (mais on prendra ici µ ≈ µ0)

16

11 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 12: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Ondes électromagnétiques(milieux lhi sans pertes) 17

Équation d’ondes (temporel)

H Loin des sources : ni charges = 0 (milieux neutres) ni courants ~J = 0H Le champ électromagnétique s’auto-alimente !H Découpler les équations du rotationnelH Utile : ~∇ ∧ ~∇ ∧ ~A = ~∇(~∇ · ~A)− ~∇2 ~A

H En temporel : Faraday (3) + Maxwell-Ampère (4)

~∇ ∧ (3)(4)−→ ~∇

2~E = µǫ∂2~E

∂t2équ. d’ondes (14)

H Vitesse de propagation : v = 1/√µǫ (c = 1/

√µ0ǫ0)

v =1√µǫ

=c√µrǫr

,c

n

H Indice de réfractionn ,√µrǫr (15)

18

12 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 13: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Équation de Helmholtz (harmonique)

H Même procédure, regime harmoniqueH Faraday (12) + Maxwell-Ampère (13)

~∇ ∧ (12)(13)−→ ~∇

2 ~E = −ω2µǫ ~E (16)

Équation de Helmholtz vectorielleH Utile : ~∇2 ~A

cart= ∇2Axex +∇2Ayey +∇2Azez

∇2=~∇ · ~∇ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

H Équation de Helmholtz scalaire (en cart.)

∇2Ex,y,z + ω2µǫEx,y,z = 0 (17)

19

Onde plane, progressive, monochromatique vers +z

H TD 1.1 et 1.2 : OPPM, la plus simple solution de (14)

~E(~r, t) = ~E0︸︷︷︸cste

cos(ωt− kz) = ~E(z, t) ⊥ ez (18)

issue d’une perturbation initiale harmonique (à z = 0) :

∝ cos

(2π

Tt

)

= cos(ωt)

se propageant selon +ez : t→ t− zv

∝ cos

(2π

Tt− 2π

λz

)

= cos(ωt− kz)

H λ = vT : longueur d’onde, la période spatiale (en m)H k = 2π/λ : nombre d’onde (en radm−1)H ~k = kk = k(+ez) : vecteur d’ondeH φ(z, t) = ωt− kz : la phase de l’ondeH vφ = ω/k : la vitesse de phase (dz/dt à φ(z, t) = cste)

20

13 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 14: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Onde électromagnétique PPM selon k

H Onde PPM se propageant selon ez :

~E(~r, t) = ~E0 cos(ωt− kz)

H La phase de l’onde dépend uniquement de zH z : la projection de ~r sur la direction de propagation ez

z = ~r · ez = ~r · k

H Cas général, onde PPM se propageant selon k :

~E(~r, t) = ~E0 cos(ωt− k k · ~r︸︷︷︸

z si k=ez

) = ~E0 cos(ωt−~k · ~r) (19)

H Fronts d’onde (même phase) : des plans perpendiculaires à k

H Déphasage entre deux points ~r1, ~r2 :

∆φ = φ1 − φ2 = ~k · (~r2 − ~r1) = ~k · ~r1→2

H OPPM : remplit tout l’espace (modèle mathématique !)

21

Amplitude complèxe d’une OPPM

H Propagation selon +ez

~E(~r, t) = ~E0 cos(ωt− kz) = Re

~E0e− j kze+ jωt

Amplitude complexe~E(~r, ω) = ~E0e

− j kz (20)

H Propagation selon k

~E(~r, t) = ~E0 cos(ωt−~k · ~r) = Re

~E0e− j~k·~re+ jωt

Amplitude complexe~E(~r, ω) = ~E0e

− j~k·~r (21)

22

14 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 15: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Propriétés d’une OPPM (milieu sans pertes)

H Les équations de Maxwell imposent des conditions supplémentairesH Une OPPM est une onde TEM :

Le champ électrique est transversal (TE) : perpendiculaire à k

Le champ magnétique est transversal (TM) : perpendiculaire à k

H Les vecteurs ~E, ~H, ~k forment un trièdre direct :

~E ∧ ~H ‖ ~k

H Les champs électrique et magnétique sont en phaseH L’équation d’ondes en régime harmonique (16) impose :

k2 = ω2µǫ

d’où le nombre d’ondek = ω

√µǫ (22)

23

Impédance caractéristique

H Le rapport ‖~E‖/‖ ~H‖ (ou E/H) est constant :

~H =k ∧ ~E

Z

~E⊥~k−→ H =1

ZE (23)

H Impédance caractéristique du milieu :

Z ,

õ

ǫ=

õr

ǫrZ0 (Ω) (24)

H Dans le vide (ou l’air) :

Z0 ,

õ0

ǫ0≈ 120πΩ ≈ 377Ω

H Milieux sans pertes (Z réel) :(23) valide en temporel et en harmonique ;Milieux avec pertes (Z complexe) :(23) valide seulement en harmonique

24

15 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 16: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Polarisation linéaire d’une OPPM

H « Polarisation » : l’orientation du vecteur du champ électrique

~E = E0 cos(ωt−~k · ~r)u

H Cas d’une OPPM k = ez : ~E ⊥ ~k

H Polarisation linéaire : l’orientation ne change pas dans le temps

Polarisation verticale (V) : ~E = E0e

− j kzex

Polarisation horizontale (H) : ~E = E0e

− j kzey

Cas général : angle θ entre ~E et ex

~E = E0 cos(ωt− kz)(cos θex + sin θey)

~E = E0e

− j kz(cos θex + sin θey)

25

Polarisation circulaire d’une OPPM

H Deux composantes Ex et Ey

H Même amplitude, déphasage 90

~E = E0e

− j kz(ex + j ey) (25)

~E = E0 cos(ωt− kz)ex − E0 sin(ωt− kz)ey

H À t fixe, regarder dans le sens de propagationH Rotation dans le sens horaire : polarisation droite (RCP)H Rotation dans le sens anti-horaire : polarisation gauche (LCP) :

~E = E0e

− j kz( j ex + ey) (26)

~E = −E0 sin(ωt− kz)ex + E0 cos(ωt− kz)ey

H Attention : à z fixe, le vecteur ~E tourne dans l’autre sens !

26

16 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 17: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Permittivité relative : quelques valeurs typiques

Matériau ǫr

Vide 1Hydrogène 1.00025Air (sec) 1.00054Diamand 5.2

Sel 5.9Silicone 11.8

Eau 80.1Glace (−30 C) 99

27

17 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 18: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Ondes électromagnétiques(milieux lhi avec pertes) 28

Types de pertes dans la matière

1. Pertes de conductivité (ohmiques)~J = σ ~

E loi d’Ohm (27)

σ : conductivité en Sm−1

2. Pertes diélectriques ~P = χe

~E

ǫ = 1 + χe , ǫ′ − j ǫ′′ = ǫ0(ǫ′r − j ǫ′′r) = ǫ0ǫr

3. Pertes magnétiques ~M = χm

~H

µ = 1 + χm , µ′ − jµ′′ = µ0(µ′r − jµ′′

r) = µ0µr

(on considère toujours ici µr ≈ 1)

29

18 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 19: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Permittivité effective

H Pertes ohmiques et diélectriques dans Maxwell-Ampère :

(13) : ~∇ ∧ ~H = σ ~

E︸︷︷︸

~J

+ jωǫ0ǫr~E = jωǫ0

(

ǫr − jσ

ωǫ0

)

~E

H Définir une permittivité effective

ǫreff , ǫr − jσ

ωǫ0= ǫ′r − j

(

ǫ′′r +σ

ωǫ0

)

= ǫ′reff − j ǫ′′reff (28)

H L’équation de Maxwell-Ampère (13) devient

~∇ ∧ ~H = jωǫ0ǫreff

~E

H On peut reprendre tous les résultats précédents (lhi sans pertes) et remplacer ǫr −→ ǫreff

30

Nombre d’onde complexe

H Le nombre d’ondek = ω

√µǫ −→ k = ω

µǫeff

H Nombre d’onde complexe !

k , β− jα

~E = ~E0e

− j kz = ~E0e− j (β− jα)z = ~E0e

−αze− jβz

~E = ~E0e−αz cos(ωt− βz)

H β : « constante de phase » (radm−1)H α : « coefficient d’atténuation » (Npm−1)H δ = 1/α : « profondeur de peau »

31

19 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 20: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Coefficients α et β

H Milieu lhi sans pertes magnétiques, avec permittivité complexe

k = ω√µ0ǫ0

µrǫreff = k0

µr(ǫ′reff − j ǫ′′reff) = k0

µrǫ′reff

1− jǫ′′reffǫ′reff

H Tangente de pertes , ǫ′′reff/ǫ′reff

H Coefficient d’atténuation / constante de phase :

α = k0

µrǫ′reff2

1 +

(ǫ′′reffǫ′reff

)2

− 1

1/2

(29)

β = k0

µrǫ′reff2

1 +

(ǫ′′reffǫ′reff

)2

+ 1

1/2

(30)

32

Milieu lhi sans pertes

H Milieu sans pertes : ǫ′′reff = 0

α = 0

β = ω√

µǫ′eff = k0

µrǫ′reff (comparer avec (22))

H La vitesse de phase :

vφ =ω

β=

c√

µrǫ′reff=

c

n≤ c

H Indice de réfraction :n ,

µrǫ′reff

H La longueur d’onde :

λ =2π

β=

λ0√

µrǫ′reff=

λ0

n≤ λ0

33

20 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 21: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Milieu lhi avec pertes

H Milieu avec pertes : ǫ′′reff 6= 0

α 6= 0 et β 6= ω√

µǫ′eff (utiliser (29), (30))

H La vitesse de phase (réelle) :

vφ =ω

β=

ω

Rek=

ω

Reω√µǫeff

=c

Re√

µrǫreff =

c

Re n ≤ c

H Indice de réfraction (complexe) :n ,

µrǫreff

H La longueur d’onde (réelle) :

λ =2π

β=

Rek=

λ0

Re√

µr ǫreff =

λ0

Re n ≤ λ0

H L’impédance caractéristique du milieu (complexe)

Z =E

H=

õ

ǫeff

si µr=1=

Z0

n

34

21 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 22: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

OPPM dans les conducteurs 35

Conducteurs : bons et parfaits

H Conducteur : des porteurs de charge en circulation libre

Loi d’Ohm, (27) : ~J = σ ~

E

H Conducteur électrique « parfait » (PEC) : σ =∞

~E =

~J

σ

PEC−→ 0

Champ ~E nul à l’intérieur d’un conducteur parfait

H Ohm + continuité de la charge + (1) + lhi :

∂(t)

∂t+

σ

ǫ(t) = 0

(t) = 0e−t/tr , tr = ǫ/σ

En harmonique, = 0 si T ≫ tr −→ f ≪ σǫ

H « Bon conducteur » : σ ≫ ǫω ou σ/ω ≫ ǫrǫ0

36

22 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 23: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Le nombre d’onde dans un bon conducteur

H Milieu avec pertes ohmiques, permittivité effective (28) :

ǫreff = ǫ′r − jσ

ωǫ0

bon conducteur≈ − jσ

ωǫ0= − j ǫ′′reff

H Nombre d’onde complexe k

k = ω√

µǫeffµr=1= ω

√µ0ǫ0

− j ǫ′′reff =1− j√

2

√µ0ωσ

H Coefficient d’atténuation, constante de phase :

α =

√µ0ωσ

2

β =

√µ0ωσ

2

37

OPPM dans un bon conducteur

H Épaisseur de peau :

δ =1

α=

√2

µ0ωσ(31)

H OPPM dans un bon conducteur (k = ez) :

~E = ~E0e

− j kz = ~E0 e−√

µ0ωσ2

z︸ ︷︷ ︸

atténuation

e− j√

µ0ωσ2

z︸ ︷︷ ︸

propagation

= ~E0e−z/δe− j z/δ

H Longueur d’onde : λ = 2πβ = 2πδ

H Vitesse de phase : vφ = ωβ = ωδ =

2ω/µ0σ (dépend de ω !)H Impédance caractéristique :

Z =Z0

− jσ/(ωǫ0)

− j =1e− j π/2

=

√µ0ω

σe j π/4 (32)

38

23 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 24: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Puissance électromagnétique : vecteur de Poynting 39

Énergie électromagnétique

H L’énergie potentielle « stockée » dans un volume V (milieu lhi) :

Uem(t) =1

2

V

(

~E(~r, t) · ~D(~r, t) + ~B(~r, t) · ~H(~r, t))

dV

H Comment évolue l’énergie électromagnétique dans le temps ?H Que se passe-t-il dans un volume V ?

1. Énergie Uem emmagasinée dans les champs2. Travail du champ sur les charges du volume (« milieu »)

à travers la force de Lorentz : puissance P fournie au milieu (pertes)3. Échange d’énergie avec le monde extérieur

à travers la surface S qui englobe V :puissance Pt sortant du volume

H Conservation de l’énergie :dUem

dt+ P + Pt = 0

40

Puissances : pertes et transport ; Poynting

H Puissance de pertes dans le volume V :

P =

V

~E · ~J dV

H Puissance sortant du volume V :

Pt =

S(~E ∧ ~H) · n dS

H Densité surfacique de puissance transportée :

~S , ~E ∧ ~H (Wm−2) (33)

H ~S : vecteur de Poynting , montre la direction de la puissanceH Puissance transportée par une onde à travers une surface S :

Pt =

S

~S · n dS (34)

41

24 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 25: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

[Produit de deux fonctions harmoniques]

H Exemple : les champs d’une onde É/M harmonique

~E(z, t) = ~E0 cos(ωt− kz + φ) = Re

~E0ejφe j (ωt−kz)

= Re~E(z)e j ωt

~H(z, t) = ~H0 cos(ωt− kz + θ) = Re

~H0ej θe j (ωt−kz)

= Re~H(z)e j ωt

H Produit des modules : EH 6= EH !

EH = E0H0 cos(ωt− kz + φ) cos(ωt− kz + θ)

=1

2E0H0 [cos(φ− θ) + cos(2ωt− 2kz + φ+ θ)]

<EH> =1

2E0H0 cos(φ− θ) = . . . =

1

2Re

E0ejφH0e

− j θ

<EH>=1

2Re

EH∗

(35)

H Le seul cas où on peut multiplier des amplitudes complexes ! (cf. tr.#13)

42

Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques

H Énergie moyenne É/M emmagasinée dans les champs :

<Uem>=1

4

V

(

ǫ′|E|2 + µ|H|2)

dV

H Puissance moyenne É/M fournie au milieu :

<P>=1

2

VRe~E · ~J∗

dVOhm=

1

2

Vσ|E|2 dV

H Puissance moyenne É/M transportée par l’onde :

<Pt>=

S

~<S> · n dS

< ~S>=1

2Re~E ∧ ~

H∗

(36)

H Intensité : I = ‖ < ~S> ‖ (Wm−2)

43

25 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 26: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

OPPM énergie électrique = magnétique

H Une OPPM d’amplitude E0 se propageant selon k = ez dans un milieu lhi avec pertes :

~E = E0e−αz cos(ωt− βz)ex

~E = E0e

−αze− j βzex

~H =E0

|Z|e−αz cos(ωt− βz − φ)ey

~H =

E0

|Z|e−αze− jβz− jφ

ey

H Densités volumiques d’énergie (Jm−3), milieu sans pertes :

instantanée moyenne

élec. :1

4ǫ′E2

0

mag. :1

4µE2

0

Z2

sans pertes=

1

4ǫ′E2

0

H OPPM dans lhi sans pertes : énergie électrique = magnétiqueH Égalité en énergies instantanées et moyennes

44

OPPM densité de puissance transportée

H Densité de puissance moyenne transportée par une OPPM (lhi avec pertes) :

< ~S>=1

2Re

1

Z∗

E20e

−2αzez

Z=|Z|e jφ

=1

2

E20

|Z|e−2αz cosφ ez

H Milieu lhi sans pertes :

< ~S>=1

2

E20

Zez (37)

H On peut réécrire le dernier résultat :

‖ < ~S> ‖ =(E0/√2)2

Z

H Rappel : en électronique, <P >= V 2eff/R

45

26 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 27: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Réflexion / transmission entre deux milieux lhi 46

Conditions aux limites entre deux milieux lhi

H Les équations de Maxwell dans la matière (6)–(9)

~∇ · ~D = ρ ~∇ · ~B = 0

~∇ ∧ ~E = − jω ~

B ~∇ ∧ ~H = ~

J + jω ~D

H Interface entre deux milieux lhi, n de 2 vers 1

n · ( ~D1 − ~D2) = ρs ǫ1Enor1 − ǫ2Enor2 = ρs (38a)

n · ( ~B1 − ~B2) = 0 µ1Hnor1 − µ2Hnor2 = 0 (38b)

n ∧ ( ~E1 − ~E2) = ~0 Etan1 − Etan2 = 0 (38c)

n ∧ ( ~H1 − ~H2) =

~Js Htan1 − Htan2 = Js (38d)

H~Etan continu ; ~

Hnor continu (si milieux non magnétiques)H ρs : densité surfacique de charges (Cm−2)

H~Js : courant surfacique (Am−1), uniquement sur un conducteur parfait

47

Incidence normale sur une interface

H Interface entre deux milieux lhi à z = 0H Incidence normale : ki = ez

H Ondes incidente, réflechie et transmise :

~Ei = Ei0e

− j~ki·~rex = Ei0e

− j kizex

~Er = Er0e

− j ~kr ·~r ex = Er0e+ j kizex

~Et = Et0e

− j ~kt·~r ex = Et0e− j ktzex

H Champs magnétiques ~H = (k ∧ ~

E)/Z :

~Hi = +

1

Z1

Ei0e− j kizey

~Hr = − 1

Z1

Er0e+ j kizey

~Ht = +

1

Z2

Et0e− j ktzey

48

27 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 28: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence normale : conditions aux limites

H Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0

H (38a) : pas de composantes normales de ~E

H (38b) : pas de composantes normales de ~B

H (38c) : composantes tangentielles de ~E (selon ex)

Ei0 + Er0 = Et0

H (38d) : composantes tangentielles de ~H (selon ey)

Ei0

Z1

− Er0

Z1

=Et0

Z2

49

Incidence normale : coefficients amplitude

H Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :

r ,Er0

Ei0=

Z2 − Z1

Z2 + Z1

(39)

t ,Et0

Ei0=

2Z2

Z2 + Z1

(40)

H Quelques propriétés

1. 1 + r = t2. r, t réels si milieux sans pertes : pas de déphasage

r = Z2−Z1

Z2+Z1< 0 si Z2 < Z1

Milieux non magnétiques : Z2 < Z1 =⇒ ǫ1 > ǫ2 ǫ1 > ǫ2 =⇒ v1 < v2 (milieu « lent » vers « rapide »)

3. Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 =√

µ2

ǫ′− j σω→ 0, r = −1, t = 0

50

28 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 29: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence normale : coefficients puissance

H Puissance transportée, calculée à l’interface, z = 0 (tr. #45) :

Ii =1

2Re

1

Z∗1

E2i0

Ir =1

2Re

1

Z∗1

|Er0|2 =1

2Re

1

Z∗1

|r|2E2i0

It =1

2Re

1

Z∗2

|Et0|2 =1

2Re

1

Z∗2

|t|2E2i0

H Coefficients de réflexion/transmission en intensité :

R ,IrIi

= |r|2 (41)

T ,ItIi

=Re

1/Z∗2

Re

1/Z∗1

|t|2 = 1−R (42)

51

Incidence normale, structure multicouche

H Deux demi-espaces : a, bH M couches entre a et b, d’épaisseur lmH M + 1 interfaces

(39) : rm =Zm − Zm−1

Zm + Zm−1, m = 1, . . . ,M + 1

où Z0 = Za et ZM+1 = Zb

H Coefficient de réflexion en amplitude :

Γm =Eréf

m−1

Eincm−1

=rm + Γm+1e

− j 2kmlm

1 + rmΓm+1e− j 2kmlm

H Formule recursive ; initialiser par ΓM+1 = rM+1

52

29 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 30: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence oblique sur une interface : définitions

H Interface entre deux milieux lhi sans pertes, à z = 0H « Plan d’incidence » : défini par n et ki

H « Angle d’incidence » θi : entre n et ki (0 ≤ θi ≤ 90)H « Angle de réflexion » θr : entre n et kr (0 ≤ θr ≤ 90)H « Angle de réfraction » θt : entre n et kt (0 ≤ θt ≤ 90)H Incidence oblique :

~ki = ki sin θiex + ki cos θiez

~kr = ki sin θrex − ki cos θrez (kr = ki)

~kt = kt sin θtex + kt cos θtez

H Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : ~E ⊥ plan d’incidenceH Polarisation parallèle (‖, p, TM) : ~E ‖ plan d’incidenceH Cas général : perpendiculaire + parallèleH Milieux non magnétiques (µ1,2 = µ0) sans pertes (ǫ1,2 réels)H k = k0

√ǫr = nk0

H Z = Z0/√ǫr = Z0/n

53

Incidence oblique ⊥ : champs

H Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : ~E ⊥ plan d’incidenceH Champs électriques :

~Ei = Ei0e

− j~ki·~rey~Er = Er0e

− j~kr ·~r ey~Et = Et0e

− j~kt·~r ey

H Champs magnétiques ~H = (k ∧ ~

E)/Z :

~Hi =

1

Z1Ei0e

− j~ki·~r(− cos θiex + sin θiez)

~Hr =

1

Z1Er0e

− j~kr ·~r(+ cos θrex + sin θrez)

~Ht =

1

Z2Et0e

− j~kt·~r(− cos θtex + sin θtez)

54

30 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 31: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence oblique ⊥ : Snel – Descartes

H Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0H (38c) : composantes tangentielles de ~E (selon ey)

Ei0e− j~ki·~r + Er0e

− j~kr ·~r = Et0e− j~kt·~r ∀~r = (x, y, 0)

H Égalité possible à condition que :

~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r ∀~r = (x, y, 0)

« Continuité de la phase sur l’interface »H Conséquences :

~ki · ~r = ~kr · ~r ⇒ sin θi = sin θr ⇒ θi = θr (43)

~ki · ~r = ~kt · ~r ⇒ n1 sin θi = n2 sin θt (44)

Loi de (Willebrord) Snel – DescartesH Simplifier la notation : θ1 , θi = θr et θ2 , θt

55

Incidence oblique ⊥ : conditions aux limites

H Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0

H (38a) : pas de composantes normales de ~E

H (38b) : composantes normales de ~B (selon ez)

µ01

Z1Ei0 sin θ1 + µ0

1

Z1Er0 sin θ1 = −µ0

1

Z2Et0 sin θ2

H (38c) : composantes tangentielles de ~E (selon ey)

Ei0 + Er0 = Et0

(38b) + Z = Z0/n + Snell-Descartes = (38c)

H (38d) : composantes tangentielles de ~H (selon ex)

− 1

Z1Ei0 cos θ1 +

1

Z1Er0 cos θ1 =

1

Z2Et0 cos θ2

H Mêmes relations en incidence normale (cf. tr.#49) si on définit Z⊥ , Z/ cos θ

56

31 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 32: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence oblique ⊥ : coefficients amplitude

H Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :

r⊥ ,Er0

Ei0=

Z2⊥ − Z1⊥

Z2⊥ + Z1⊥(45)

t⊥ ,Et0

Ei0=

2Z2⊥

Z2⊥ + Z1⊥(46)

Z1⊥ ,Z1

cos θ1

Z2⊥ ,Z2

cos θ2

H r⊥, t⊥ dépendent de θ1H r⊥ 6= 0 (TD 4.2)H Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, r⊥ = −1, t⊥ = 0H Z⊥ = |Etan|/|Htan| (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ey|/|Hx|)

57

Incidence oblique ⊥ : coefficients puissance

H Puissance transportée de façon normale à l’interface :

Ii =1

2

1

Z1E2

i0cos θ1

Ir =1

2

1

Z1E2

r0cos θ1 =1

2

1

Z1r2⊥E

2i0cos θ1

It =1

2

1

Z2E2

t0cos θ2 =1

2

1

Z2t2⊥E

2i0cos θ2

H Coefficients de réflexion/transmission en intensité :

R⊥ ,IrIi

= r2⊥ (47)

T⊥ ,ItIi

=1/Z2

1/Z1

cos θ2cos θ1

t2⊥ = 1−R⊥ (48)

58

32 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 33: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence oblique ‖ : champs

H Polarisation parrallèle (‖, s, TM) : ~E ‖ plan d’incidenceH Champs magnétiques :

~Hi =

1

Z1Ei0e

− j~ki·~r ey~Hr =

1

Z1Er0e

− j~kr ·~rey~Ht =

1

Z2Et0e

− j~kt·~r ey

H Champs électriques ~E = ( ~H ∧ k)Z :

~Ei = Ei0e

− j~ki·~r(+ cos θiex − sin θiez)

~Er = Er0e

− j~kr·~r(− cos θrex − sin θrez)

~Et = Et0e

− j~kt·~r(+ cos θtex − sin θtez)

H Même procédure que celle du cas ⊥ (cf. tr.#55) :

1. Continuité de phase sur l’interface : ~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r2. Snel – Descartes : θi = θr et n1 sin θi = n2 sin θt3. θ1 , θi = θr et θ2 , θt

59

Incidence oblique ‖ : conditions aux limites

H Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0

H (38a) : composantes normales de ~D (selon ez)

−ǫ1Ei0 sin θ1 − ǫ1Er0 sin θ1 = −ǫ2Et0 sin θ2

H (38b) : pas de composantes normales de ~B

H (38c) : composantes tangentielles de ~E (selon ex)

Ei0 cos θ1 −Er0 cos θ1 = Et0 cos θ2

H (38d) : composantes tangentielles de ~H (selon ey)

Ei0

Z1+

Er0

Z1=

Et0

Z2

(38a) + Z = Z0/n + Snell-Descartes = (38d)H On définit Z‖ , Z cos θ

60

33 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 34: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Incidence oblique ‖ : coefficients amplitude

H Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :

r‖ , −Er0

Ei0=

Z2‖ − Z1‖

Z2‖ + Z1‖(49)

t‖ ,Et0

Ei0=

2Z2‖

Z2‖ + Z1‖

cos θ1cos θ2

(50)

Z1‖ , Z1 cos θ1

Z2‖ , Z2 cos θ2

H r‖ , −Er0/Ei0 parce que si θ1 ≈ 0, ~Ei et ~Er sont opposésH r‖, t‖ dépendent de θ1H r‖ = 0 si θ1 = θB : angle de Brewster, tan θB = Z1/Z2 (TD 4.2)H Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, r‖ = −1, t‖ = 0H Z‖ = |Etan|/|Htan| (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ex|/|Hy|)

61

Incidence oblique ‖ : coefficients puissance

H Puissance transportée de façon normale à l’interface :

Ii =1

2

1

Z1E2

i0cos θ1

Ir =1

2

1

Z1E2

r0cos θ1 =1

2

1

Z1r2‖E

2i0cos θ1

It =1

2

1

Z2E2

t0cos θ2 =1

2

1

Z2t2‖E

2i0cos θ2

H Coefficients de réflexion/transmission en intensité :

R‖ ,IrIi

= r2‖ (51)

T‖ ,ItIi

=1/Z2

1/Z1

cos θ2cos θ1

t2‖ = 1−R‖ (52)

62

34 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 35: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Propagation guidée 63

Lignes de transmission, guides d’ondes

H Structures de confinement d’une onde dans l’espaceH Lignes de transmission : cas spécial

Deux conducteurs (+ diélectrique) Champ TEM (définir tension/courant) Pas de fréquence de coupure Pertes importantes à hautes fréquences Petite section (p.ex. coaxial) : champs faibles Grande section (basses fréqu.) : champs forts

H Guides d’ondes

Métalliques ou diélectriques Mode : configuration géométrique du champ É/M Champ non TEM : modes TE, TM, hybrides Fréquence de coupure : f > fc Pertes acceptables à hautes fréquences Niveaux de champs élevés Basses fréqu. : grande taille, coût élevé

64

Guide métallique à plaques parallèles 1

H Deux plaques métalliques (PEC), à x = 0 et x = dH Largeur en y : b≫ dH Champs indépendants de y : ∂/∂y = 0H Propagation vers +ez , champ TE :

~E = E0f(x)e

− jβzey

H Équation de Helmholtz (17) :d2f(x)

dx2+ (k2 − β2

︸ ︷︷ ︸

κ2

)f(x) = 0

Solution : ~E = E0[A cos(κx) +B sin(κx)]e− jβzey

H Conditions aux limites :sur la surface du conducteur, ~

Etan = 0 (et ~Hnor = 0)

H x = 0 : A = 0H x = d : κd = mπ −→ κm = mπ

d , m = 1, 2, . . .

65

35 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 36: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Guide métallique à plaques parallèles 2

H Les champs du mode TEm (m = 1, 2, . . .) :

Ey = E0 sin(mπx

d

)

e− jβmz

~H

(12)= j

1

ωµ~∇ ∧ ~

E

Hx = −βmωµ

E0 sin(mπx

d

)

e− j βmz

Hz = jκmωµ

E0 cos(mπx

d

)

e− jβmz

H k2 = β2m + κ2m = ω2µ0ǫ0 = ω2/c2 et κm = mπ/d :

βm = k

1−(mπc

ωd

)2−→ ω ≥ ωc,m , m

πc

d

H TD 5.1 : κm = k cos θm, βm = k sin θm ; cos θm = ωc,m/ωH Développement similaire pour les modes TMm (m = 0, 1, . . .) : TD 5.2 (TM0 : mode TEM)

66

Guide métallique à plaques parallèles : récapitulatif

H Modes TEm, TMm (m > 0) et TEMH Conditions aux limites :

~Etan,

~Hnor ∝ sin

(mπx

d

)

et ~Enor,

~Htan ∝ cos

(mπx

d

)

H m semi-périodes harmoniques selon xH Constante de phase

βm =ω

c

1−(ωc,m

ω

)2où ωc,m = m

πc

d

H Propagation du mode m (βm réel) si ω > ωc,m

vph,m =ω

βm=

c√

1−(ωc,m

ω

)2≥ c

H Approche géométrique : réflexions internes ; angle d’incidence

cos θm =ωc,m

ω

67

36 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 37: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Guide métallique de section rectangulaire

H Section sur le plan xy de dimensions a× b (a > b)H Propagation vers +ez , champs proportionnels à e− jβz

H On peut exprimer les composantes transversales (Ex, Ey, Hx, Hy) en fonction des composanteslongitudinales (Ez, Hz)

H Deux cas possibles :

1. Ez 6= 0, Hz = 0 : modes TM2. Hz 6= 0, Ez = 0 : modes TE

H Conditions aux limites : sur la surface des conducteurs,~Etan = 0 et ~

Hnor = 0

Ex ∝ cos(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

Hx ∝ sin(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

Ey ∝ sin(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

Hy ∝ cos(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

Ez ∝ sin(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

Hz ∝ cos(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

H m sémi-périodes selon x et n selon y

68

Guide métallique de section rectangulaire : TM

H Le champ É/M du mode TMmn :

ETMz,mn = E0 sin

(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

e− jβmnz (53a)

m,n = 1, 2, . . .

ETMx,mn = − j

βmn

k2 − β2mn

aE0 cos

(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

e− jβmnz (53b)

ETMy,mn = − j

βmn

k2 − β2mn

bE0 sin

(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

e− jβmnz (53c)

HTMx,mn = j

ωǫ0k2 − β2

mn

bE0 sin

(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

e− jβmnz (53d)

HTMy,mn = j

ωǫ0k2 − β2

mn

aE0 cos

(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

e− j βmnz (53e)

HTMz,mn = 0 (53f)

69

37 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 38: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Guide métallique de section rectangulaire : TE

H Le champ É/M du mode TEmn :

HTEz,mn = H0 cos

(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

e− j βmnz (54a)

m,n = 0, 1, 2, . . . m+ n > 0

ETEx,mn = j

ωµ0

k2 − β2mn

bH0 cos

(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

e− j βmnz (54b)

ETEy,mn = − j

ωµ0

k2 − β2mn

aH0 sin

(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

e− jβmnz (54c)

ETEz,mn = 0 (54d)

HTEx,mn = j

βmnmπ

k2c,mnaH0 sin

(mπx

a

)

cos(nπy

b

)

e− jβmnz (54e)

HTEy,mn = j

βmnnπ

k2c,mnbH0 cos

(mπx

a

)

sin(nπy

b

)

e− jβmnz (54f)

k2c,mn =(mπ

a

)2+(nπ

b

)2

70

Guide métallique : propriétés de propagation

H Nombre d’onde k2 =(mπ

a

)2

︸ ︷︷ ︸

k2x

+(nπ

b

)2

︸ ︷︷ ︸

k2y

+ β2mn︸︷︷︸

k2z

=(ωc

)2

H La constante de phase :

βmn =ω

c

1−(ωc,mn

ω

)2(55)

H Propagation (βmn réel) si ω > ωc,mn

ωc,mn = c

√(mπ

a

)2+(nπ

b

)2(56)

H TE : m,n > 0 ; TM : m,n ≥ 0 et m+ n > 0H Vitesse de phase

vph,mn =ω

βmn=

c√

1−(ωc,mn

ω

)2≥ c (57)

71

38 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 39: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Dispersion 72

Définition du phénomène

H « Dispersion » : propagation dépendante de la fréquenceH Exemple courant : le prisme (dispersion spatiale)H Les propriétés de propagation (p.ex. vph) changent en fonction de la fréquenceH Relation entre β et ω non linéaire

β(ω) 6= ω

c

H Trois types de dispersion :

1. D. de matériau (« chromatique ») : ǫ(ω), µ(ω), σ(ω)2. D. de guide : βmn(ω) 6= ω/c (55)3. D. de mode : chaque mode ses propriétés (si multi-mode)

H Résultat : déformation d’un signal (non-monochromatique) pendant la propagation

73

Exemple : deux fréquences

H Propagation de deux fréquencesωa = ω0 −∆ω et ωb = ω0 +∆ω

H Constantes de phase :

βa = β(ωa) ≈ β(ω0)− β1∆ω = β0 −∆β

βb = β(ωb) ≈ β(ω0) + β1∆ω = β0 +∆β

β0 , β(ω0) β1 ,dβ

∣∣∣∣ω0

H Champ total :

E(z, t) = Re

E0e− j βaze jωat + E0e

− j βbze jωbt

= Re

2E0 cos(∆ωt−∆βz)e j (ω0t−β0z)

= 2E0 cos(∆ωt−∆βz)︸ ︷︷ ︸

enveloppe

cos(ω0t− β0z)︸ ︷︷ ︸

porteuse

H Vitesse de l’enveloppe : ∆ω/∆β −→ dωdβ

∣∣∣β0

H Visualisation : Group velocity

74

39 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 40: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Vitesse de groupe

H L’énergie se propage à la vitesse de groupe

vg(ω0) ,dω

∣∣∣∣β0

=1

dβdω

∣∣∣ω0

(58)

H « Groupe » : ensemble de fréquences autour de ω0

H Si β = ω/c, alors vg = vph = c (pas de dispersion)H En général, vg(ω) 6= vph(ω)H Vitesse de groupe dans un guide d’onde :

vg,mn(ω)(55)= c

1−(ωc,mn

ω

)2≤ c (59)

H Dans un guide d’onde :

vg,mn(ω)vph,mn(ω)(57),(59)

= c2

75

Enveloppe gaussienne

H Propagation d’une impulsion non-monochromatiqueH Si vg dépend de la fréquence. . . déformation de l’impulsionH Dispersion : étalement dans le temps

H Variation de vg(ω) fait intervenir β2 ,d2βdω2

∣∣∣ω0

H Cas d’une impulsion initiale d’enveloppe gaussienne :

E(z = 0, t) = E0e− 1

2(t/T )2 cos(ω0t)

E(0,±∆t)2 = Emaxe−1 −→ ∆t = T

T : demi-largeur temporelle de l’impulsion initialeH Le spectre de l’impulsion (TF d’une gaussienne) :

E(z = 0, ω) = E0T e− 1

2T 2(ω−ω0)2

E(0, ω0 ±∆ω)2 = Emaxe−1 −→ ∆ω = 1/T

1/T : demi-largeur spectrale de l’impulsion initiale

76

40 www.polytech.unice.fr/~aliferis

Page 41: Cours d'Ondes lectromagn tiques - Polytech Nice Sophia ...users.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/...Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin,

École Polytechnique de l’UNSPolytech’Nice-Sophia

Département d’Électronique, 3e année2012–2013

Délai de groupe

H Différence de délai de groupe (temps de propagation)entre ωb = ω0 +∆ω et ω0 (sur une distance z)

∆τ , τb − τ0 =z

vg(ωb)− z

vg(ω0)= z

(

∣∣∣∣ωb

− dβ

∣∣∣∣ω0

)

H Développement de β(ω) autour de ω0

β(ω) = β(ω0) + (ω − ω0)β1 +1

2(ω − ω0)

2β2 + . . .

H D’où on obtient dβdω

∣∣∣ω= β1 + (ω − ω0)β2

H Donc la différence entre délais de groupe

∆τ = ∆ωβ2zimp. gaussienne

= β2z/T (60)

H β2 : paramètre de dispersion, en sm−1Hz ou s2m−1

H Demi-largeur temporelle de l’impulsion gaussienne à z :

T ′ =√

T 2 +∆τ2 (61)

77

41 www.polytech.unice.fr/~aliferis