Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

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Généralité sur les écoulements à surface libre

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COURS D’HYDRAULIQUE

T2 : ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

AL. MAR

Juillet 2004

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AVERTISSEMENT

Cette partie du cours d’hydraulique est destinée aux étudiants de la Formation Initiale d’Ingénieurs et des Formations Post-Universitaires (Informatique Appliquée aux Sciences de l’eau, Génie Sanitaire et Environnement, Eau pour l’Agriculture et les Communautés) de 1’Ecole Inter-Etats d’Ingénieurs de 1’Equipement Rural. C’est pourquoi nous avons tenté d’y développer des aspects de l’hydraulique générale et de l’hydraulique appliquée à l’irrigation, aux ouvrages d’art et aux barrages. Les aspects de transports solides et de l’hydraulique des cours d’eau à fond mobile sont omis. Les méthodes de résolution des formules, déjà développées en hydraulique en charge, ne sont pas reprises.

Le chapitre 1 définit l’hydraulique à surface libre, ses spécificités et les principaux éléments géométriques et hydrauliques des canaux paramétrés. Les différents types d’écoulements qu’on peut rencontrer et les normes sur l’affouillement des canaux non revêtus y sont également abordés.

Le chapitre 2 étudie l’écoulement uniforme et donne les principaux résultats sur les tentatives de détermination de la rugosité des canaux qui sont les aspects les plus dificiles de l’hydraulique à surface libre. Il constitue la partie la plus commune aux différentes filières de I’EIER avec le dimensionnement des canaux.

Le chapitre 3 traite des écoulements graduellement variés rencontrés autour des singularités des canaux. Des méthodes simples d’intégration de l’équation différentielle régissant ces écoulements y sont développées. Les étudiants intéressés aux aspects numériques plus élaborés peuvent se référer à l’annexe du chapitre sans jamais oublier que la précision des calculs dépend plus d’une bonne détermination des pmnèîres (rugosité, débit, etc.) que des méthodes numériques utilisées Des aspects de l’écoulement à débit variable et ses applications sont également abordés dans cette annexe.

Le chapitre 4 sur les écoulements brusquement variés donne différentes applications du ressaut hydraulique, des déversoirs et des vannes aux domaines de compétence de 1’Ecole.

Le chapitre 5 est une synthèse des chapitLes 2, 3 et 4 puisqu’il fait le point sur les types de lignes d’eau qu’on peut rencontrer autour des singularités dans les cas les plus courants. Des applications résultant d’études expérimentales y sont également abordées.

Enfin des notions sur les écoulements non-permanents sont données au chapitre 6. Les applications de ce chapitre sur des cas simples sont données et elles sont moins nombreuses que dans le cas des écoulements en charge.

A. L. MAR

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Chapitre 1

Généralités

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CHAPITRE 1

GENERALITES

1 ELEMENTS GEOMETRIQUES ET HYDRAULIQUES D'UN CANAL

1.1 PROFIL EN TRAVERS

1.2 PROFIL EN LONG

2 CLASSIFICATION DES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

2.1 ECOULEMENTS CONSERVATIFS

2.2 ECOULEMENT NON CONSERVATIFS

3 VITESSES DANS UNE SECTION DE CANAL

3.1 VITESSE MOYENNE

3.2 REPARTITION DES VITESSES ET MESURES

3.3 VITESSES LIMITES ET FORCES TRACTRICES

4 REGIME D'ECOULEMENT

4.1 NOMBRE DE REYNOLDS

4.2 NOMBRE DE FROUDE

5 PRESSION ET CHARGE MOYENNES DANS UNE SECTION

5.1 PRESSION

5.2 CHARGE

5.3 CHARGE SPECIFIQUE OU ENERGIE SPEClFlQUE

6 REVETEYENTS DES CANAUX

6.1 OBJECTIF DU REVETEMENT

6.2 STABlLlTE DU REVETEMENT

6.3 TYPES DE REVETEMENT ET MODALITE DE CONSTRUCTION.

fi

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CHAPITRE 1

GENERALITES

L‘écoulement de l’eau dans une canalisation peut faire soit en charge, soit à surface libre. Ces deux types sont semblables sur beaucoup d‘aspects (les théorèmes généraux sont les mêmes) mais la différence réside dans l’existence d’une surface libre, c’est à dire une surface en contact avec l’atmosphère.

Les écoulements à surface libre peuvent se rencontrer dans des canaux artificiels ou dans des canaux naturels (cours d’eau, chenaux, etc.).

Les propriétés des canaux naturels sont généralement très irréguiières. Une étude complète du comportement des cours d’eau exige des connaissancess dans d’autres disciplines telles que l’hydrologie, la géomorphologie, le transport de sédiment, etc. Elle constitue en elle-même une discipline appelée hydraulique fluviale qui ne sera pas abordée dans ce cours.

Les canaux artificiels sont consîruits ou ménagés par l’homme pour les besoins divers (navigation, hydro-électricité, irrigation et drainage, assainissement pluvial et égout, évacuateur de crue de barrage, etc.). Ils peuvent être revetus ou non et leurs propriétés hydrauliques peuvent être contrôlés ou appréhendés de façon plus précise dans leurs conception. On les désigne par différents termes techniques mais leur principe de fonctionnement sont les mêmes : canal (creusé dans le sol, très long, de faible pente généralement), aqueduc (suspendu généralement pour traverser une dépression), chute et coursier (généralement avec une forte pente et très court), égout (conduite non pleine, pour l’évacuation des eaux usés ou des eaux pluviales), fossé (assainissement routier et agricole), etc.

Aussi, les écoulements à surface libre présentent plus de difficultés que les écoulements en charge parce que les conditions d’écoulement sont plus compliquées :

La position de la surface libre peut changer avec le temps et l’espace ; Le débit, la pente et la surface libre du canal sont interdépendants ; Les rugosités des surfaces en jeu sont moins standardisés et elles varient avec la profondeur d‘eau ; d’où une plus grande incertitude quant aux valeurs à adopter pour les calculs ;

0 Les valeurs des coefficients déterminés expérimentalement dans les formules universelles de perte de charge (Poiseuille, Prandtl-Von Carman, Blasius, Colebrook) dépendent de la forme du canal.

7

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1. ELEMENTS GEOMETRIQUES ET HYDRAULIQUES D'UN CANAL

1.1. Profil en travers Faisons une coupe perpendiculaire à la direction d'un écoulement à surface libre (figure 1-1). On définit les éléments suivants :

Section mouillée S : c'est l'aire occupée par l'eau et qui est délimitée par la surface libre et les parois. Périmètre mouillée P : c'est la longueur de la ligne de contact entre l'eau et les parois .

Rayon hydrauliaue RH : c'est le quotient SAP. Pour une section circulaire de diamètre D, R = D/4.

Diamètre hydrauliaueDH = RH

Hauteur d'eau ou tirant d'eau ou profondeur d'eau y : c'est la distance verticale entre la surface libre et le fond du canal (le point le plus bas)

Largeur en gueule ou largeur en miroir ou largeur au plan &eau I : c'est la largeur de la surface libre dans la section mouillée.

profondeur moyenne ym : c'est le rapport Sn

largeur moyenne Im : c'est le rapport S4

Profondeur du centre de gravité JJG : c'est la distance verticale entre la surface libre et le centre de gravité de la section mouillée.

A-'- -.--,,

P

F i m e 1-1 : Profil en travers d'un écoulement à sufface libre et définitions

8

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On définit également quelques termes techniques avec le profil en travers d'un canal artificiel (figure 1.2.).

la revanche r : c'est la distance verticale entre le plan d'eau et les berges. Elle peut varier de 0,lO m pour les petits canaux à 1,5 m pour les grands canaux. On peut utiliser la formule de LACEY (équation 1-1) pour son dimensionnement :

où Q est le débit du canal en m3/s et r la revanche en m.

le fruit du talus m : c'est le rapport entre la projection horizontale du talus et sa projection verticale m = cot g @

Le fruit doit être choisi en fonction de la nature des berges (pour des raisons de stabilité de la talus) si le canal n'est pas revêtu. Le tableau 1-1 donne la valeur de m à adopter pour les différentes natures des berges.

Pour les sections les plus courantes, les relations entre les différentes éléments géométriques sont données au tableau 1-2.

Nature des berges

Roche dure, maçonnerie ordinaire, béton banché

Roche fissurée, maçonnerie en pierres sèches

Argile dure, latérite, terre compactée

Alluvions compactes Béton non banché

Gros cailloux, enrochements

Déblais en terre ordinaire, sable, gravier

Terre remaniée, remblais, sables fins

Tableau 1 - 1 : Valeurs du finiit des berges m en fonction de la nature des parois

1.2 Profil en long

m

O à 114 1 12

314

1 /1

5/4

312

211 2,511 à 311

Pente du canal Z : c'est le rapport de la dénivelée sur la distance horizontale ; la dénivelée étant comptée positivement vers le bas (figure 1-3)

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a) profll en déblais

\

,/ ‘\

-9 radier ou plafond

b) profll en remblais

Fime 1-2 : profil en travers d’un canal trapézique et définition des termes techniques

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a) pente positive

b) pente negative ou contre pente

i d l

Figue 1-3 : Profil en long et définition de la pente d’un canal

2 CLASSIFICATION DES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

On peut résumer la classification des écoulements à surface libre selon la variation de la profondeur d’eau y en fonction de l’abscisse x le long de la conduite et du temps (c’est exactement les mêmes classes et les mêmes définitions qu’en écoulement en charge).

11

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..

I

l Y t

ul I

r la

I

la W

1

b I + h>

k 3

=lb I

u A ~

t - Y

c

tr

‘1

tr

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Section

k

T=T*(+)

I b

S

---(i-mm) T~ r2 4m m

P

si k=1/2 alors

avec x=4y/T (1)

b+2(y-r)+7r r

y 2 r et m = cotg 0 0 en radians

1 -

T

-

b+2r

T

Ym

1 k+ir

(x -4)r2 y ’ 2(b+2r)

---(l-rn@) T r2 4m mT

* -T 1 k+l

~ ~ - 4 ~ ~ ( 1-ma) 2(2mr-2&+T) sin@

1 k+2’

( T -4)r2+2(b+2r)y

2

(1) : dans le cas où x l l , T + U donne une bonne approximation de P. 3 T

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2.1 Les écoulements permanents

C’est un écoulement où le débit Q et la profondeur d’eau y ne sont pas fonctions du temps t. On peut rencontrer dans ce cas les types suivants :

2.1.1. Ecoulements conservatifs

Le débit n’est pas fonction de x (il n’y a pas de pertes ni d’apports latéraux).

2.1.1.1 Les écoulements uniformes

La profondeur d’eau y n’est pas fonction de x

2.1.1.2 Les écoulements variés

La profondeur d’eau y varie en fonction de x

2.1.1.2. ILes écoulements graduellements variés

La variation de y en fonction de x est continue et graduelle. La fonction y(x) est régulière.

2.1.1.2.2Les écoulements brusquement variés

La variation est brutale sur une courte distance. La fonction y(x) n’est pas régulière.

2.1.2 Ecoulements non conservatifs. Le débit Q(x) varie avec l’abscisse le long de la conduite (canal avec fuites ou apports latéraux).

2.1.2.1 Ecoulement uniforme

L’écoulement ne peut pas être uniforme si le débit varie.

2.1.2.2 Les écoulements variés

La profondeur d’eau y varie en fonction de x

2.7.2.2. 7 Les écoulements graduellements variés

La variation de y en fonction de x est continue et graduelle. La fonction y(x) est régulière.

2.1.2.2.2 Les écoulements brusquement v8rfds

La variation est brutale sur une courte distance. La fonction y(x) n’est pas régulière.

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2.2 Les écoulements non permanents

2.2.1. Les écoulements non permanents unbnnes

(rares sinon inexistants)

2.2.2. Les écoulements non permanent variés la profondeur d'eau y(t,x) dépend du temps t et de l'espace x

2.2.2.1. Les écoulements non permanents graduellement variés

L a fonction y(t,x) est régulière et les variations sont lentes et progressives.

2.2.2.2. Les écoulements non permanents brusquement variés

La variation de y se fait sur une courte distance et un court intervalle de temps.

Des exemples d'écoulements sont montrés à figure 1-4.

3 VITESSES DANS UNE SECTION DE CANAL

3.1. Vitesse moyenne

On définit le débit Q du canal par le volume d'eau traversant une section droite par unité de temps. La vitesse moyenne U est le quotient du débit par la section mouillée.

3.2 Repartifion des vitesses et mesure

En fait, la vitesse n'est pas constante dans toute la section. Elle est nulle à la paroi et maximale au 113 environ de la profondeur. Des formules expérimentales donnent l'ordre de grandeur de cette vitesse maximale dans la section.

Formule de Prony : V m a = - U 0,82

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~-

Ecouiements permanents

.. .... .-.

--. --. .'.y\ ... . . -

Ecoulement uniforme : Canal prismatique, loin des extrémités

RV = rapidement varié GV = graduellement varié

-. ... -._

Canal avec pertes latéraies : l'écoulement uniforme est impossible

Ecoulements non-permanents

-. ".. -. \. -. 2. - .>., -- 2.

-1 -\

Changemen t de la surface libre avec le

Ecoulement non permanent uniforme Rare sinon inexistant

Propagation d'onde graduellement varié

Raz de marée rapidement varié

Figures 1- 4 : Exemples d'écoulements à surface libre

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Dans une section, le lieu des points d'égaie vitesse est appelé isodrome ou isotache. L'allure générale des isodromes est donnée à la figure 1-5. pour différentes formes de section. La rugosité et la présence de coudes interviennent égaiement dans la distribution des vitesses.

Les vitesses se mesurent à l'aide d'un moulinet dont l'axe doit être placé dans la direction de l'écoulement. On obtient une équation de la forme.

V = a n + b

où a et b sont des coefficients propres du moulinet et n la vitesse de rotation obtenue avec un compte tour et un chronomètre s'ils ne sont pas intrégués.

Avec les mesures de vitesse, on peut calculer le débit par intégration des vitesses.

Canal

Conduite circulaire

Canal rectangulaire étroit fossé peu profond

Cours d'eau naturel

Figure 1-5 : allures des isodromes en fonction de la forme du canal.

3.3 Vitesses limites et forces tractrices

3.3.1 Vitesse minimale dans un canal

Pour éviter les dépôts des matériaux en suspension dans un canal, on adopte une vitesse moyenne supérieure à la vitesse minimale donnée par la formule de Kennedy (1 -2).

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où y est le tirant d’eau et e, un coefficient dépendant des matériaux transportées. Le tableau 1-3 donne les valeurs de e pour différents types de matériaux en suspension.

Nature des matériaux en suspension

Limons et sables très fins

Sables fins

Sables

Sables graviers

e

0,40

0,50

0,63

0,90

Tableau 1-3 : Valeurs du coefficient e de la formule de Kennedy

On peut éviter les vitesses faibles en adoptant la forme du canal pour les faibles débits (figure 1 - 6).

Figure 1.6 : Les faibles débits sont évacués par le lit mineur.

3.3.2. Vitesse maximale dans un canal (Stabilité contre l’érosion)

Pour un canal non revêtu, il ne faut pas que la vitesse moyenne U dépasse une certaine valeur sinon il risque d‘y avoir des affouillements du canal. Cette vitesse maximale est fonction de la nature du terrain et de la profondeur d’écoulement. Les tableaux suivants donnent les valeurs de la vitesse maximale pour différents matériaux avec une profondeur d’écoulement de 1 m et les facteurs de correction pour des profondeurs différentes.

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1) Profondeurs d’eau Y = 1 m. Canaux rectilignes

Matériau

Vase.. ...................... Sable fin... ................ Sable moyen.. ........... Sable gros ................ Gravier fin... ............. Gravier moyen .......... Gravier gros.. ...........

a) Matériaux non-cohérents

Diamètre

0,005 0,05 0,25 1 ,O0 2,50 5,OO 10,oo 15,OO

mm

I

Matériau cohérent du lit

Argiles sableuses (pourcentage de sable infé- rieur à 50 %).. Sols avec beaucoup d’argiles. ...................... Argiles. Argiles très fines .................................. r..

........................................

................................................

5 Très peu Peu TréS cornpacté compacté compacté compacté

avec un indice avec un indice avec un indice avec un indice de vide de 2,O de vide de 1,2 de vide de 0,6 de vide de 0,3

à 1,2 à 0,6 à 0,3 à 02

1,30 1,80 0,45 0 9 0,40 0,85 1,25 1,70

1,65 0,35 0,80 120 0,32 0,70 1 ,O5 1,35

Vitesse

Sinuosité

Facteur de correction

0,15 0,20 0,30 0,55 0,65 0,so 1 ,O0 1,20

Rectiligne Peu sinueux Moyennement sinueux Très sinueux

1 ,O0 0,95 0,87 0,78

cailloux fuis ..............

Gros cailloux. ............. ..........

I I

15,o 25,O 40,O 75,O 100,o 150,O 200,o

1,20 1,40 1,80 2,40 2,70 3,50 3,90 I

2) Facteur de correction pour des profondeurs d’eau y ze 1 m

Profondeur moyenne - m I 0,3 I 0,5 1 0,75 1 1,o I 1,5 I 2,o I 2,5 I 3 ,O 1.2 I - 1 3 Facteur de correction I 0.8 I 0.9 1 0.95 1 1.0 I 1 . 1 I -1 1 I

3.3.3 Forces tractrices

Une alternative pour le dimensionnement des canaux contre l’affouillement cÔnsiste en l’approche par les forces tractrices.

Dans un canal infiniment large, la force tractrice au fond est : 5

19

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Dans un canai trapézoïdal, la distribution de la force tractrice a l'allure indiquée à la figure 1 -7a. La force maximum au fond est égale à :

m +

bly O 1 2 3 4 6 8

La force maximum dans les côtés est de :

2/1 - 312 O

KM K'M Kd K M K'M Kd KM K M Kd . O 0,65 033 O 0,565 0,3 O O ..

0,78 0,73 0,78 0,695 - 0,372 0,468 1,0

0,94 0,76 - 0,94 0,743 - 0,870 0,870 1,O

0,98 0,77 - 0,98 0,755 - - - -

0,89 0,76 092 0,89 0,735 0,2 0,686 0,686 1,0

0,97 0,77 092 0,97 0,750 0,2 0,936 0,936 1,O

0,99 0,77 092 0,99 0,760 0,3 - - -

Sur le fond TM se produit au milieu ; sur les côtés T'M est placée à une distance du fond d = &*y. Les valeurs de KM , K'M et & sont données dans les tableaux 1-3 et 1-4

\ /

Fipure 1 -7a : Distribution des forces tractrices dans un canal trapézique

Tableau 1-3 : valeurs de KM , K'M et & dans un canal trapézoïdai \

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m F M Kd

Tableau 1-4 : valeurs de K'M et dans un canaI triangulaire

211 3/2 1/1 213 112 0,650 0,565 0,480 0,375 0,325

093 093 095 097 097

La contrainte ainsi calculée ne doit pas dépasser la force tractrice critique T~ dont les valeurs sont données ci-après pour des canaux rectilignes. Pour des canaux avec peu de courbes (terrain faiblement accidenté) on doit prendre 0,90 des valeurs indiquées ; pour une quantitd moyenne de courbes (terrain moyennement accidenté) on prend 0,75 et pour des canaux avec beaucoup de courbes (terrain très accidenté) on, prend 0,60.

î) Matériaux non cohérents gros

Au fond on prend comme valeur pour le projet :

où d75 est le diamètre auquel correspond, dans la courbe de composition gradométrique, 75 %, en poids, de matériaux de diamètre inférieur.

Sur les côtés on prend : zf0 = K zo

où K est une fonction de l'angle de repos 8 du matériau et de l'angle des côtés avec l'horizontale $ (figure 1 -7b) (équation 1-3).

F ime 1 -7b : Détermination de la force tractrice critique pour les matériaux non cohérents gros

7.1

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2) Matériaux non-cohérents fins : zo en kg/mz 1

Diamètre moyen d50 en mm

Eau claire .............................. 0,o 12 O, 1

0,024 Eau avec peu de sédiments fins

0,2 0,013 0,025 0,038 1 Eau avec beaucoup de sédiments fins 10,038

0,s l,o 2,o 5,0

0,015 0,020 0,029 0,068 0,027 0,029 0,039 0,081 0,041 0,044 0,054 0,090

3) Matériaux cohérents : T~ en kg/mz

Trèspeu compacté Nature du lit Peu

compacté

\ Argiles sableuses (pourcentage de sable inférieur à 50 % ) Sols avec beaucoup d'argiles Argiles Argiles très fins

I 1 avec un 1 avec un

2,O à 1,2 1,2 à0,6 0,020 0,077

0,015 0,069 0,012 0,061 0,010 0,047

Matériau cohérent du lit\ indice de indice de 1 vide de 1 vide de

Compacté avec un indice de vide de 0,6 à 0,3

0,0160

compacté avec un indice de vide de

4. REGIMES D'ECOULEMENT

Le régime ou le comportement de I'écoulement est fonction des :

- effets de la viscosité (frottement interne du liquide) - effets de la gravité comparés aux effets des forces d'inertie.

4.1. €nets de la viscosité : Nombre de Reynokfs'

Si le rapport Forces d'inertie/Forces de viscosité est très grand, la viscosité n'mûe pas en jour. L'écoulement est turbulent.

Le nombre de Reynolds R = exprime ce rapprt. Si R est îrès grand, ce qui est toujours

le cas en écoulement à surface libre, l'écoulement est turbulent. Le nombre de Reynolds n'intervient pas dans ce cas. Si R < 2000, l'écoulement est laminaire, ce qui est rare dans le cas des écoulements à surface libre.

Y

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4.2. Effets de la, gravité : Nombre de Froude

L’effet de la gravité est représenté par le nombre de Froude F, défini par la relation (1-4).

Le nombre de Froude donne l‘ordre de grandeur des deux rapports : 0 Forces d’inertie sur Forces de gravité

ou vitesse moyenne de l’écoulement sur célérité des petites ondes.

Si F = 1, l’écoulement est critique Si F > 1, l’écoulement est supercritique ou torrentiel. Si F < 1, l’écoulement est subcritique ou fluvial.

- Le dénominateur c=,/gy du nombre de Froude représente la célérité des petites ondes

gravitaires en eau peu profonde. Ces ondes peuvent résulter d’un changement momentané de la profondeur d’eau (obstacle, perturbation, etc.). Les petites ondes peuvent remonter le courant d’eau si l’écoulement est fluvial et ne le peuvent pas si l’écoulemnet est torrentiel. Une petite perturbation dans un écoulement peut donc être un critère pour distinguer un écouiemnt fluvial d’un écoulement torrentiel.

m

5 PRESSION ET CHARGE MOYENNES DANS UNE SECTlON

5.1 Pression La distribution des pressions est hydrostatique si l’écoulement est quasi-rectiligne et quasi- parallèle (pas d’accélération dans le plan de la section mouillée). Cela suppose que le canal soit prismatique ou assimilable à un prisme. La pression en un point courant M (figure 1-8) est donnée par la relation suivante :

Où q est 1’angIe définissant la pente du canal

Au fond du canal, la pression vaudra pgy si l’on prend les pressions relatives (pression atmosphérique = O).

Si l’écoulement n’est pas quasi-rectiligne, l’effet de la courbure est de produire une accélération centrifuge dans la section mouillée. La pression diminue alors dans le sens du centre de courbure des lignes de courant. La pression au fond d’un canal dont le profil en long présente une courbure est corrigée par rapport à la répartition hydrostatique par les relations (1 -5) suivante.

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où rM est le rayon de courbure supposé constant dans la section; VM la vitesse au point M de la section et Q le débit. Le rayon de courbure sera positif si l’écoulement est concave et négatif si l’écoulement est convexe. Cette expression est valable s’il n’y a pas de décollement de la lame d’eau.

r - ’

Figure 1-8 : Définition de la charge moyenne dans,une section.

5.2 charge hydraulique Elle est définie comme en hydraulique en charge (voir tome i) et son expression est donnée par la relation (1 -6) avec les notations de l’hydraulyque à surface libre.

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où a est le coefficient d’énergie cinétique qui tient compte de la répartition de la vitesse dans la section (peu différent de 1 pour les écoulements turbulents rugueux) ; a’ est un coefficient qui tient compte de la courbure du profil en long (égal A 1 si l’écoulement est parallèle) ; q est l’angle définissant la pente du c d 1 = tg q ; zf est la cote du fond du canal ; y est la profondeur d’eau.

La cote piézométrique est défhe aussi comme en hydraulique en charge et son expression devient :

La cote de la sudace libre est donnée quant à elle par la relation suivante :

S’il n’y a pas de courbure du profil en long (a’=l) et si la pente du canal est faible (I=tg(q)SlO%), alors la cote piézométrique est confondue avec la surface libre. C’est ce cas que nous étudierons pour la suite.

5.3 charge spécitique ou énergie spécifique

La charge spécifiqw dans la section d’un canal est la charge hydraulique mesurée par rapport au fond du canal. Elle est représentée par l’équation (1-7) avec les hypothkses faites au paragraphe 5.2 (cos q =1 ; a’zl et a=i)

La charge spécifique est une notion importante dans l’étude des écoulements à surface libre en particulier dans l’étude des singularités.

Elle est bien spécifique au fluide (pression et énergie cinétique) puisque mobilisable même si la pente du fond du canal est horizontale ou adverse, c’est à dire sans perte d’énergie potentielle globale (et même gain avec une pente adverse). En effet on peut avoir transformation d’énergie cinétique en énergie potentielle et inversement sans variation de la charge spécifique.

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6. REVETEYENT DES CANAUX

6.1. Objectifs du revetement

Le revêtement d'un canal peut être prévu pour diverses raisons dont les principales sont les suivantes :

- imperméabilisation (réduction des pertes par infiltration) - réduction du fkit des berges (minimiser les excavations) - adoption de vitesse élevée (diminuer les risques d'érosion. Si l'eau ne transporte pas de sables et graviers, la notion de vitesse maximale peut être oubliée dans le design) - réduction de l'entretien (l'herbe ne pousse pas sur certains revêtements) - augmentation du débit (en diminuant la rugosité, etc.).

Une étude économique est souvent nécessaire pour comparer le coût du revêtement au gain qu'il produit.

6.2. Stabilité du revêtement

La stabilité du revêtement est à étudier en fonction de la nature du terrain et du type de revêtement.

Il faut étudier la stabilité des fondations (surtout pour les matériaux compressibles ou solubles et la stabilité au profit (cas limite avec une vidange rapide). On prévoit des filtres si nécessaires et les joints doivent être étanches. Certains canaux d'assainissemnts sont munis de barbacanes pour dissiper les pressions intersticielles qui ont tendances à soulever le revêtement en cas de vidange.

6.3. Type de mvêtement et modalité de construction

On rencontre le beton (le plus utilisé) mais aussi la maçonnerie, des briques, de l'asphate, de l'argile, des feuilles de plastique etc.

De très nombreuses techniques sont utilisées pour la mise en place.

Pour le béton, on a des épaisseurs de 10 à 20 cm environ. La mise en place du béton peut se faire sans coffrage si m > 3/2. Autrement, il faut un cofhge. Le revêtement des berges peut être différent de celui du fond du canal.

26

Page 26: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

t

Chapitre 2

Ecoulement uniforme

Page 27: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 2

ECOULEMENT UNIFORME

1 DEFINITION ET PROPRIETES

1.1 DEFTNITION

1.2 PROPRIETES

2 MISE EN EQUATION

2.1 FORMULE DE CHEZY

2.2 FORMULE DE MANNING-STRICKLER

3 CHOIX DU COEFFICIENT DE STRICKLER

3.1 CHOIX A PRIORI EN FONCTION DE LA NATURE DES PAROIS

3.2 CALCUL DE & A PARTIR D’UN JAUGEAGE

3.3 ESTIMATION DE I(S POUR LES MATERIAUX NON COHERENTS

3.4 ESTIMATION DE Ks POUR LES COURS D’EAU NATURELS (FORMULE DE C o W m ET TABLE DE HORTON)

3.5 CALCUL DE & POUR LES SECTIONS COMPOSEES

4 CALCUL DE L’ECOULEMENT UNIFORME

4.1 CALCUL DE LA PROFONDEUR NORMALE OU D’UN PARAMETRE D’UN CANAL

4.2 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX AVEC LA SECTION HYDRAULIQUEMENT FAVORABLE OU SECTION << ECONOMlQUE bb

4.3 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX AVEC UNE VITESSE LIMITE IMPOSEE

4.4 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX AVEC UNE PENTE LlMITE

4.5 DIMENSIONS OPTIMALES A DONNER AUX SECTIONS DES CANAUX TRAPEZOÏDAUX DECOUVERTS

28

Page 28: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 2

ECOULEMENT UNIFORME

1 D E ~ I T I O N ET PROPRIETES

1.1 Définitwn

Théoriquement, un écoulement est dit uniforme si les filets liquides sont rectilignes, parallèles entre eux et parallèles aux parois. Cela voudrait dire que la distribution des vitesses est la même d’une section à l’autre.

Dans la pratique, on dira que l’écoulement est uniforme si le débit Q et la vitesse moyenne U ne varient pas d’une section à l’autre. Cette approximation est beaucoup plus simple et donne des solutions satisfaisantes à beaucoup de problèmes pratiques.

Cependant, cette vitesse moyenne U ne doit pas être trop élevée pour entraîner de l’air et la formations d’ondes dans l’eau et par conséquent une instabilité de l’écoulement (phénomène de l’eau blanche). CRAYA a donné un critère d’instabilité défini à partir du nombre sans dimension suivant :

où x est l’exposant du rayon hydraulique dans la formule de la vitesse U (2/3 pour la formule de Manning-Strickler et % pour la formule de Chézy ci-après) ; F, est le nombre de Froude calculé pour des pentes fortes

F r = d - f - - - ;

et y est un facteur de forme du canal défini par y =l-RH dP (y=l pour

a gY CO=?

ds une canal très large et ‘y“0 pour une canal très étroit).

Si le nombre Vcr est supérieur à 1 , l’écoulement sera stable car les ondes vont s’évanouir rapidement. Dans le cas contraire, l’écoulement devient instable.

Dans la cas de l’écoulement uniforme, on sous entend également qu’il est permanent car les écoulements non permanents uniformes sont rares sinon inexistants. Les forces de gravité et les forces de fiottement sur la paroi s’équilibrent car il n’y a pas d’accélération du mouvement.

La profondeur d’eau y correspondant à l’écoulement uniforme est appelée profondeur normale et notée y,,.

29

Page 29: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

1.2 Propriétés

* la vitesse est constante le long d’un filet liquide (parallélisme des lignes de courant et

* la section mouillée est constante (parallélisme des lignes de courant et des parois) * la vitesse moyenne ne change pas d’une section à une autre (équation de continuité et

* la répartition des pressions est hydrostatique dans une section (parallélisme des lignes de

* les pentes de la surfaces libre, de la ligne d’énergie et du fond du canal sont égales

équation de continuité)

propriété précédente)

courant)

(parallélisme des lignes de courant, des parois et vitesse constante).

On rencontre l’écoulement uniforme ou on le suppose :

i ) Dans les canaux prismatiques, à pente, section et rugosité constantes quand on se place loin des extrémités.

2) Dans les tronçons rectilignes des cours d’eau assimilables à des canaux prismatiques.

2 h!T.ISE EN EQUATION

L’équation du mouvement uniforme a déjà été établi pour les écoulements en charge (paragraphe 5 du chapitre 2 du tome 1) en appliquant le théorème des quantités de mouvement à une tranche dx de l’écoulement et a conduit à l’expression suivante du frottement à la paroi zo en fonction du rayon hydraulique RH et de la perte de charge unitaire J :

Dans le cas de l’écoulement uniforme à surface libre, la perte de charge unitaire J est égale B la pente du canal 1. C’est la seule différence avec les écoulements en charge car la loi de frottement est toujours donnée d’autre part par une relation expérimentale avec la vitesse moyenne U du type suivant :

2.1 Formule de CHEZY

CHEZY est le premier à poser que le frottement à la paroi était proportionnel au carré de la vitesse moyenne :

z,= pg-- U2 2-

C

La combinaison de cette relation avec l’équation (2-1) conduit à la formule de CHEZY (équation 2-2).

30

Page 30: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

u = C J Z

où C est le coefficient de CHEZY. Il tient compte de la rugosité du canai, de sa forme et des conditions d'écoulement. C'est un coefficient qui a la dimension d'une longueur à la racine carrée par un temps [L" T']. Tout ce qui suivra concernera donc le Système d'unités Internationales (SI)

Il existe de nombreuses formules empiriques ou semi-empiriques qui dérivent de la formule de CHEZY en adoptant des expressions plus ou moins complexes de C. (BAZIN, KUTTER, MANNING-STRICKLER, etc.).

Par exemple BAZIN a posé la formule (2-3) où y est fonction de la rugosité des parois et cette formule a été longtemps utilisée.

1+- Y RH

(2-3)

Dans la suite du cours, seule la formule de Manning sera utilisée. C'est une formule monôme et qui est très utilisée à cause de sa simplicité (Manning aux USA, Stricker en Europe).

2.2 Formule de ikt4"INGSTRICKLER

MANNING et STRICKLER ont une formulation simple du Coefficient de CHEZY qui s'exprime dans la système SI par les équations (2-4) qui ne diffèrent que par la notation.

(2-4a)

c = K, R ~ % (STRICKLER) (2-4b)

Où n est le coefficient de MANNING et K s = i

coefficient de STRICKLER.

est le

Ces deux formules sont donc identiques et leurs substitutions dans la formule de CHEZY donnent la vitesse moyenne U (équation 2-5) et le débit Q (équation 2-6) en fonction de la rugosité Ks, du rayon hydraulique RH (section S divisée par périmètre mouillé P) et de la pente du canal 1.

U'KSRH b7 (2-5)

31

Page 31: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Le coefficient KS a la dimension L 113 T -1. Les valeurs qui sont données dans les tables correspondent au Système International (m 1/3/s), On trouve des valeurs de Ks allant de 100 (parois très lisses) à 15 (parois très irrégulières) et il faut remarquer que plus la paroi est rugueuse, plus K, est faible.

3 CHOIX DU COEFFICIENT DE STMCKLER

La détermination de la rugosité est assez délicate mais on dispose de certaines méthodes d’estimation du coefficient de STRICKLER Ks.

3.1 Choix à priori en fonction de la nature des parois

Il se fait en fonction de la nature des parois. Le tableau 2-2 donne la valeur à adopter pour différents types de matériaux.

3.2 Calcul de KS à partir d’un jaugeage

Si l’on connaît le débit, la pente, la section mouillée et le périmètre mouillée à partir d’un jaugeage, on peut estimer & dans un bief. On fera ensuite des interpolations ou des extrapolations.

3.3 Estimation de &pour les matdriaruc non cohérents

La rugosité est fonction du diamètre moyen des particules et elle est donnée par les formules suivantes dans le système d’unités SI :

1 - n = 0,041 djO6

1 n = 0,038 dw6

Le diamètre des grains d, est obtenu à partir de la courbe grandométrique. La notation signifie que X % en poids des grains ont un diamètre inférieur à dx.

32

Page 32: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 2-2 : Valeur du Ks de la formule de MANNING-STRICKLER u = K, R~ 2/3 11/2

(d' après LENCASTRE)

Caractéristiques

Parois très lisses : revêtements en mortier de ciment et sable, très lisses ; planches rabotées ; tôle métallique sans soudures saillantes

Mortier lissé

Parois lisses : planches avec des joints mal soignés ; enduit ordinaire ; grès.

Béton lisse ; canaux en béton avec des joints nombreux.

Maçonnerie ordinaire ; "cement-gun" ; terre exceptionnellement régulière.

Parois rugueuses ; terre irrégulière ; béton rugueux ou vieux ; maçonnerie vieille ou mai soignée.

Parois très rugueuses ; terre très irrégulière avec des herbes ; rivières régulières en lit rocheux.

Terre en mauvais état ; rivière en lit de cailloux

Terre complément à l'abandon ; torrents transportant de gros blocs.

KS

100 à 90

85

80

75

70

60

50

40

20 à 15

n=l/Ks

0,010 à 0,0111

0,0119

0,O 125

0,0134

0,O 142

0,O 167

0,0200

0,0250

0,0500 à 0,0667

33

Page 33: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

3.4 Estimation de Kspour les cours d'eau naturels (Formule de CO WAN HORTON)

et table de

3.4.1 Formule de COWAN (empirique)

COWAN a développé une procédure d'estimation du coefficient de MANNING n à partir d'une étude d'une cinquantaine de petits et moyens chenaux (RH 5 5 m). Il a retenu plusieurs facteurs affectant la rugosité n en proposant la formule (2-8)

(2-8) n = (q, +ni + n2 + n3 + q ) m 5

ou

"0 = valeur de base pour un cour d'eau rectiligne uniforme et lisse et pour le matériau , envisagé.

ni = traduit l'influence des irrégularités de surface

n2 = traduit les variations de forme et de dimension de la section du lit.

n3 = traduit l'influence des obstructions

r q = traduit celle de la végétation et des conditions d'écoulement

m5 = facteur correctif pour tenir compte des méandres

Les valeurs et critères de détermination des coefficients ni, "2, "3, rq et n5 sont donnés ci- après et au tableau 2-3 d'après le CTGREF.

VALEUR de ni - La surface du canal est considérée comme :

lisse : pour des surfaces comparables aux meilleures qu'on puisse obtenir avec le matériau envisagé.

d'irrégularitémodérée : pour des canaux peu ou pas dragués ; pour des cours d'eau naturels aux berges modérément érodées ou affaissées.

d'irrégularité sérieuse : pour des cours d'eau naturels ou des canaux aux berges très marécageuses, érodées ou affaissées, pour des canaux de contours et de surface irréguliers taillés dans la pierre.

VALEUR de n2 - Variations de forme et de dimension de la section mouillée.

- Variation progressive : pas de variation brusque

34

Page 34: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- Variation alternée occasionnelle :

0

les grandes et les petites sections alternent de temps à autre ; la variation de forme crée éventuellement un déplacement du flot principal d'un bord à l'autre.

- Variation alternée fréquente : idem que ci-dessus mais plus fiéquement.

VALEUR de n3 - Présence et caractéristique des obstructions : dépôts d'ordures, racines apparentes, souches d'arbres, blocs de pierre, troncs d'arbres, tombés ou enracinés, etc.

11 faut faire attention à ne pas faire intervenir les facteurs déjà considérés plus haut. Pour juger de l'effet relatif des obstructions, il faut envisager :

0

0

jusqu'à quel point les obstructions occupent ou réduisent la surface moyenne de la section; la forme de ces obstructions (les objets anguleux aux formes pointues entraînent une turbulence plus grande que ceux qui ont des formes arrondies, des surfaces polies) ; la position et l'espacement des obstructions, transversalement et longitudinalement dans le bief considéré.

VALEUR de n4 - Influence de la végétation

Faible pour des :

pousses denses d'herbes flexibles (gazon) dont la hauteur moyenne est de 1/2 à 1/3 celle de l'eau (exemple : herbe bleue ou Bermuda) ;

0 jeunes plans d'arbres souples, comme le saule, le tamaris où la profondeur du flot est trois à quatre fois plus grande que la hauteur de la végétation.

Modérée pour des :

0

herbes où la profondeur d'eau est une à deux fois la hauteur de l'herbe ; herbes plus résistantes ou jeunes plans d'arbres à feuillage peu épais où la profondeur d'eau est deux à trois fois celle de la végétation ; buissons peu fournis, tels que les saules de un à deux ans, en hiver le long des berges, sans végétation importante dans le lit du cours d'eau dont le rayon hydraulique est supérieur à 70 cm.

Importante pour :

0 des herbes telles que la profondeur du flot soit égale à la hauteur de la végétation ;

pendant la saison d'hiver des arbres tels que saule ou coton de huit à dix ans, entremêlés de quelques buissons, sans feuillage, pour des rivières de rayon hydraulique > 70 cm ;

en période végétative des arbres tels que des saules touffus de un an, entremêlés d'herbes pleinement développement sur les berges, sans végétation notable sur le lit de la rivière, de rayon hydraulique > 70 cm.

35

Page 35: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Très importante pour :

des herbes telles que la hauteur d'eau soit inférieure à la moitié de la hauteur ; en période végétative saules de un an touffus entremêlés d'herbes en pleine croissance sur les berges, ou pousses denses de roseaux au fond du lit du cours d'eau dont le rayon hydraulique n'est nulle part supérieur à 3 ou 5 m ; en période végétative des arbres entremêlés d'herbes et de buissons, tous avec beaucoup de feuilles, le rayon hydraulique n'étant supérieur à 3 ou 5 mètres.

VALEUR de m5

L'influence des méandres dépend du rapport de la longueur des méandres à la longueur à vol d'oiseau du bief considéré.

Cette influence est dite modérée pour des rapports de l'ordre de 1 à 1,2, appréciable pour des rapports de l'ordre de 1,2 à 1,5, importante pour des rapports supérieurs à 1,5.

Remarques

Cette méthode ne se préoccupe pas de l'influence des particules en suspension et des atterrissements. Les valeurs indiqués dans la table ci-après ont été établies à partir d'un échantillon de 40 à 50 cours d'eau de faible importance. Néanmoins, cette méthode s'applique à des cours d'eau plus larges dont le rayon hydraulique dépasse, disons, 5 m.

Pour un cours d'eau naturel, K sera généralement compris entre 20 et 40, les cas extrêmes pouvant aller de 10 pour une rivière très obstruée (arbres en travers, etc.) à 60 - 70 dans le cas d'un canal bétonné.

3.4.2 Table de HORTON

Dans le tableau 2-4, le CTGREF résume les travaux de plusieurs auteurs qui ont estimé les valeurs du coefficient de MANNING à adopter pour différents types de canaux et chenaux naturels. Pour chaque type de revêtement, les valeurs des coefficients de MANNING, de STRICKLER et de rugosité de COLEBROOK sont données. Pour un canal qui sera bien entretenu, on peut adopter les valeurs normales.

Le tableau 2-5 résume les valeurs de Ks proposées par FRANCE-GABIONS pour les matelas RENO et les gabions avec divers modes de mise en place.

3.5 Calcul de Ks pour les sections composées

La section mouillée peut être composée de N sous-sections avec une rugosité propre à chacune d'elles (figure 2-1). C'est le cas par exemple d'un cours d'eau en crue avec un lit mineur et un champs d'inondation (lit majeur). La rugosité du lit majeure est en général plus élevée que celle du lit mineur. L'écoulement dans le lit mineur agit sur l'écoulement dans la

36

Page 36: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

section des champs d'inondation en accélérant le courant. Inversement, l'écoulement sur le champ d'inondation a tendance à freiner celui du lit mineur.

Ça peut aussi le cas d'un canal avec des parois latérales différentes de celles du fond. Si la vitesse moyenne Uj dans les sous-sections sont différentes (cours d'eau en crue), la formule de MANNING-STRICKLER peut être appliquée séparément à chaque sous-section pour calculer son débit. Le débit total du cours d'eau sera égal à la somme des débits de chaque sous sections (équation 2-9).

Si les vitesses moyennes Ui dans les sous-sections i sont identiques et égales à la vitesse moyenne dans la section, on peut calculer une rugosité équivalente de la section et calculer le débit total avec cette rugosité dans la formule de STRICKLER. Sur la base de cette hypothèse, EINSTEIN a établi la formule (2-10) en écrivant la relation entre les sections ( S = ~ S , >.

D'autres hypothèses ont été également faites pour le calcul d'une rugosité équivalente. C'set ainsi qu'on peut poser que la force de résistance totale sur le périmètre est égale à la somme des forces de résistance dans chaque sous-section et que les rayons hydrauliques sont constants (équation 2-1 1).

(2-1 1)

37

Page 37: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

F i m e 2-1

CARACTERISTIQUES DU COURS D'EAU

Matériau Terre Roche Gravier fin

Section

VALEURS

0,020 0,025

q, 0,024

composée et calcul du débit

Irrégularité du fond et des Gravier grossier 0,028 Lisse 0,000

Variation de la section

Influence des obstructions

parois -

irrégularité sérieuse 0,020 Progressive 0,000 Alternée occasionnelle n2 0,005 Alternée fréquente 0,010 - 0,015 Négligeable 0,000 Faible 0,010 - 0,015 Appréciable n3 0,020 - 0,030

Irrégularité légère 0,005 Irrégularité modérée l nl 10,010

Végétation

-

importance 0,040 - 0,060 Faible 0,005 - 0,010 -

Influence des méandres

Modérée 0,010 - 0,025 Elevée 4 0,025 - 0,050 Très élevée 0,050 - 0,0100 Modérée 1,100 Appréciable m5 1,150 Importance 1,300

38

Page 38: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 2-4 : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d’après CTGREF)

A - CANAUX ARTIFICIELS, GALERIES OU CONDUITES A SURFACE LISSE

1. Surface très lisses et sans saillies ; tracé suffisamment droit verre neuf et net pyroline-cuivre

2. Surfxe lisses et sans saillies ; tracé suffisamment droit - verre net et raboté

- métal soudé non peint

- ciment mortier ou béton bien lissé, bien soigné et sans débris - surfaces très lisses avec courbures moyennes

3, Surface avec légères aspérités - acier riveté ou peint - fer forgé ou coulé

- bois non raboté

- ciment et mortier - finition à la iruelie - béton coffré avec de l’acier ou du bois lisse sans débris et pas de

- canaux en béton très lisse avec joints - tuyau de binage ordinaire - égout vitrifié sans saillie - brique vernissé, grès - asphalte lisse - moellons dressés avec joints cimentés - surfaces lisses ou très lisses avec fortes courbures

courbures

4. Surface avec aspérités moyennes - métal incrusté - métai riveté avec rivets grossiers - canaux en métal avec larges saillies vers l’intérieur - bois très grossier (madriers)

- béton avec bord lisse et fond rugueux - petit canal en béton, assez droit et régulier dont la surface es

- bois ou béton avec développement d’algues et de mousses - égouts avec regards - drains enterrés avec joint ouvert - terre particulièrement régulière - canaux avec plafond en sable fin (surfaces non ridées) - surfaces lisses avec courbes excessives

recouverte d‘un léger dépôt

n

0,009 h 0,010

0,011 à 0,012

0,013 à 0,014

0,015 à 0,016

Ks

100 à 110

80 à 90

70 - 80

z 65

1 t4

0,5 à

1,5 à 2

3 à 5

Page 39: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 2-4 (suite) : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d'après CTGREF)

5 . Surfaces rugueuses - métal très incrusté - béton coulé non lissé - béton coulé aux cofhges en bois rugueux - béton très rugueux ou vieux - maçonnerie vieille ou mal soignée - canaux en maçonnerie moyenne avec joints nombreux ou

- bois ou béton avec développement dense d'algues ou de

- canaux en terre &ès régulière, état neuf, bon alignement - sable moyen - pierres dressées, joints cimentés

nombreuses courbes

mousse

6. Surfaces très rugueuses - canaux en métal avec très fortes saillies vers l'intérieur ou fortes courbures, ou développement de végétation importante ou débris accumulés

très grossière - canaux en béton avec maçonnerie en très mauvais état ou

- béton coulé non lissé - canaux très larges en gravier fin plus sable ou en terre régulière meuble, sans développement de végétation

- radiers pavés - moellons bruts assemblés au ciment

7. Surface à rugosité très importante - lit en gravier fin

- canaux avec dépôts ou végétation - canaux en terre moyenne, dimensions modérées - moellons bruts grossièrement assemblés au ciment

8. Surfaces assez grossières

- aqueducs métalliques à section semi-circulaire en tôle plissée - terre en mauvais état

- graviers moyens - canaux en terre, petites dimensions - canaux en terre, plus larges, avec développement de

- fossés en bon état - canaux en terre sinueux, sans végétation - blocage cimenté - béton sur roche régulièrement excavée

végétation ou gros galets ou pierres dispersées

n

0,O 17 0,O 18

0,O 19 à 0,021

0,022 à 0,023

0,024 à 0,026

Ks 55 à 60

150

A 5

40

k(mm)

10

15-20

30 à 60

60 à 100

40

Page 40: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 2-4 (suite) : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d'après CTGREF)

9. Surface grossières - excavation rocheuse très régulière - gros gravier - pierre sèche - canaux en terre, dragués, sans végétation ou enherbés - chenaux d'évacuation de crue, larges et entretenus - béton sur roche irrégulièrement excavée - canaux et fossés avec pierres rugueuses au fond et végétation sur les

bords

1 O. Surface très grossières - excavations rocheuses uniformes - canaux avec développement considérable de végétation - chenaux d'évacuation de crues, larges, mais peu entretenus - blocage sec - canaux en terre sinueux avec mauvaises herbes plus ou moins

- canaux en terre sinueux avec fond en terre et berges en denses ou plantes aquatiques

blocage au fond pierreux et berges recouvertes de mauvaises herbes

1 1. Surface excessivement grossières - excavations rocheuses irrégulières - canaux en terre en très mauvais état, très sinueux avec

- lits majeurs d'évacuation de crue dégagés, mais entretenus pierres rugueuses et végétation importante

de façon discontinue

12. Divers

- canaux non entretenus, mauvaises herbes et broussailles

- canaux en excavation avec broussailles - canaux avec mauvaise herbes denses aussi hautes que la

- fond net, broussailles sur les berges - même chose avec niveau d'écoulement maximum sans

- broussailles très denses, niveau d'eau élevé

coupées

hauteur de i'écoulement

débordement

n

0,027 à 0,030

0,031 à 0,035

0,04

0,05

0,05 0,08

0,05 0,07

0,lO

Ks

35

30

25

20

20 12

20 15

10

k (mm)

100 à 300

300 à 700

1 O00

41

Page 41: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 2-4 (suite) : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d'après CTGREF)

B. RIVIERES NATURELLES Pour les cours d'eau à section suffisamment constante on se reportera au tableau A.

1. Petit cours d'eau (largeur maximale inférieur à 30 m) a) cours d'eau de plaine

- net, droit, niveau d'eau élevé, peu de variation de la section

- idem, mais pierres et mauvaises herbes plus nombreuses - net, sinueux avec seuils et mouillées - idem, mais avec pierres et mauvaises herbes - idem, mais niveau bas - - nombreuses mauvaises herbes et nombreux trous d'eau - pentes et fond irrégulier, nombreuses souches, arbres et

mouillée

cours paresseux, mauvaises herbes, trous d'eau profonds

buissons, arbres tombés dans la rivière

b) cours d'eau de montagne Pas de végétation dans lit, rives escarpées, arbres et broussailles pour les niveaux élevés - fond en gravier et cailloux, peu de gros galets - fond avec gros graviers

2. Plaines d'inondation

- pâturages sous broussailles

- zones cultivées, absence de récoltes - zones cultivées, récoltes sur pied - broussailles dispersées et mauvaises herbes ou broussailles

- quelques arbres et broussailles en été ; broussaille moyenne

- broussaille moyenne ou dense en été - souches d'arbres sans rejet - souches d'arbres avec rejets durs - forêt de hautes futaies ; peu de broussailles - idem, avec niveau d'eau atteignant les branches - souches denses

et quelques arbres en hiver

ou dense en hiver

3. Grands cours d'eau (largeur maximale supérieure à 30 mètres)

La valeur de Ks est supéneure à celle des petits cours d'eau d'allure analogue, car les rives offtent moins de résistance efficace. - section régulière sans broussailles

- section irrégulière et rugueuse

n

0,025 à 0,03

0,035 0,040

0,0458 0,050 0,048 0,70 0,100

0,15 à 0,20

0,040 0,050

0,030 8 0,035

0,030 0,035 à 0,040

0,050

0,06 à 0,07

0,lO 0,040 0,060 0,lO 0,12 0,15

D,025 à 0,040

3,040 à O, 100

Ks

30 à40

30 25 20 20 15 10

5 9 7

25 20

30 à 35

35 25 à 35

20

15

10 25 16 10 8 7

25 à40

10à25

42

Page 42: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 2-5 : Valeurs de Ks pour les gabions (d’après FRANCE GAF3IONS S.A.)

C m u x revêtus en gabions remplis avec des matériaux bien sélectionnés et mise en oeuvre soignée Canaux revêtus en gabions remplis avec des matériaux non sélectionnés et mise en oeuvre non soignée Canaux en terre avec entretien négligé.

1

2

38 35

33

3

4

5

6

7

8

9

10

Revêtement I Ke

ar coulée directe

Remarque : MR veut dire matelas RENO

4 CALCUL DE L’ECOULEMENT UNIFORME

4.1 Calcul de la profondeur normale ou d’un paramétre d’un canal

La formule de MANNING-STRICKLER , associée à la définition de la vitesse moyenne U,, sera choisie pour la suite des calculs.

Q = US

Pour l’écoulement uniforme, la perte de c h g e unitaire J est égale à la pente du canal 1. Comme J est toujours positif, l’écoulement uniforme ne peut avoir lieu que si la pente du canal 1 est strictement positive. Autrement (canai à fond plat ou canal à contre pente),, il peut y avoir un écoulement varié mais pas un écoulement uniforme.

Les paramètres à calculer avec ces équations sont de 4 types : paramètres géométriques : rayon hydraulique RH@) et surface mouillée S@) qui sont des fonctions de la profondeur d’eau y (voir tableau 1-1) ; paramètres hydrauliques : vitesse moyenne U et débit Q ;

43

Page 43: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

paramètre de rugosité : lcoefficient de STRICKLER Ks ; paramètre de pose : pente du canal 1.

Le seul paramètre pour lequel l’équation de MANNING-STRICKLER n’est pas explicite est la profondeur d’eau y (ou la largeur au plafond b dans le cas d’un canal trapézoïdal). Les calculs consisteront donc à déterminer un des paramètres connaissant les autres mais seul le calcul de la profondeur normale yn (ou la largeur au plafond b dans le cas d’un canal trapézoïdal) peut poser des difficultés.

Pour le calcul de la profondeur normale, on peut utiliser une des méthodes ci-après :

Une méthode graphique consistant par exemple à tracer sur papier millimétré la -

débitance du canal SR,,,^ en fonction de y point par point. On porte en ordonnée la

valeur connue de - Q et on lit la valeur de yn recherchée en abscisse (figure 2-2). f i

Des abaques du type des figures 2-3 et 2-4 par exemple pour les canaux îrapézoïdaux et circulaires. Il existe plusieurs abaques de ce type pour les sections paramétrées.

0 Des méthodes numériques de résolution de fonction implicite en y (méthode de NEWTON, méthode du point fixe, méthode des intervalles, etc.) ou tout simplement utiliser le solveur d’EXCEL ou de la TI92 (voir paragraphe 6 du chapitre 3 du tome 1 sur les écoulements en charge).

Le tableau 2-6 résume les types de calcul avec la formule de MANNING-STRICKLER et pour les sections courantes en tenant compte des paramètres géométriques du canal vus au tableau 1-2

Dans le cas de la section circulaire, on peut utiliser, dans quelques cas particuliers de taux de remplissage y/D, les formules approchées du tableau 2-7.

Exercice i : On veut écouler un débit Q = 10 m3/s dans un canal trapézoïdal creusé dans la roche (Ks = 40) de pente, 1 = 0,001, dont les berges auront pour fivit m = 114. 1. Quelle sera la profondeur normale si on prend b = 5 m ? 2. Quel serait le débit si on mettait un revêtement en béton (Ks = 70) ?

Réponse 1. y = 1,48m. 2. Q = 17.5 m3/s

Exercice 2 : Une conduite circulaire de diamètre D = 1 m est posée avec une pente 1 = 0,l 960. Le coefficient de Strickler est de 70. 1. Pour un débit Q = 128 l/s, quelle sera la profondeur d’écoulement ? 2. Quel sera le débit si le taux de remplissage est de 80 % ? 3. Avec ce débit, à quelle pente faudrait-il la poser pour avoir un pourcentage de remplissage de 75 % ?

44

Page 44: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Réponse 1 . yn= 0,55 m 2. Q =0,21OYs 3. 1 =0,11 %O

Figure 2-2 : Méthode graphique de calcul de la profondeur normale.

45

Page 45: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

..

!3 7D. N

E E:

Valeurs de y& ou yiJD

Page 46: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre
Page 47: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Section l--

bK,l/jyf

)mulaire du calcul de écoulement de l'écoulement

1 8 en radians

Q b%FyS

uniforme pour les sections les plus courantes.

l m .c--c

Canai infiniment large

b -io,1 Y

Tableau 2-6 :

Calcul de Q direct

Calcul de 1 direct

10 Q'

b2KiYT

Calcul de yS direct

Calcul de y,, Solveur ou abaques ou

Calcul de b Solveur ou abaques

ou itérations

/ \

Calcul de D direct

48

Page 48: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Taux de remplissage

1

0'95

YD

Angle Formule approchée du débit mouillé

360"

308"

e Qp=O,312 K s & 0:

Qma = 0,327 Ks & D: 0,83 Qp=O,312 Ks& Dt 262'6"

Tableau 2-7 : Formule approchée d'un canal circulaire pour des cas particuliers de remplissage.

0'75

4.2 Dimensionnement des canaux avec la section hydrauliquement fmrable ou section u économique N

Q o , ~ ~ P = 0,284 Ks JI Df 240"

4.2.1 Définition et propriétés de la section hydrauliquement favorable

0'50

0,45

Pour qu'une section soit économique il faut que simultanément les grandeurs qui interviennent dans le coût soient minimales. Ces grandeurs sont la surface S (terrassement) et le périmètre P (revêtement).

180"

168,5" QO,SOP = 0,151 Ks .Ji 09 Qo,45~ = O , m Ks JI D!

Il en résulte que pour un débit et une pente donnée, la section ((économique N ou hydrauliquement favorable correspond à la vitesse la plus grande.

Donc la section ainsi définie est à la fois celle qui : 0 Donne le débit le plus grand pour une surface S et une pente 1 données (périmètre

mouillé minimum) ; 0 Nécessite la section S et le périmètre mouillé P les plus petits pour un débit Q et une

pente 1 donnés (coût minimum) ; 0 Nécessite la pente 1 la plus faible pour une section S et un débit Q donnés (périmètre

minimum).

La section qui sera ainsi calculée est la section hydrauliquement favorable (HF) mais en fait pas forcément la plus économique, parce que :

dans certains cas le coût n'est pas directement lié à la section S et au périmètre mouillé p ; le raisonnement ne tient pas compte de la revanche.

0

En outre il existe très souvent des contraintes de construction qui limitent la profondeur des canaux et empêchent d'adopter la section hydrauliquement favorable (variation des coûts

49

Page 49: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

d’excavation avec la profondeur due par exemple à une hétérogénéité du sous-sol telle que la présente de nappe phréatique ou de roche dure.

Pour une forme de section donnée (rectangulaire, trapézoïdale de f i t m donné), la section HF est caractérisée par une valeur du rapport entre la profondeur y et la largeur du radier b qui est constante. Les sections HF d’une forme donnée sont donc semblables.

La forme circulaire est celle qui assure le plus petit périmètre pour une section donnée dans un plan. Il en est de même de la forme semi circulaire qui a le même rayon hydraulique dans le demi-plan. Les sections circulaires ou semi circulaires ne sont cependant réalisables qu’en matériaux résistants (galerie en rocher, conduite métallique, canalisations et canaux suspendus en béton).

Dans les autres cas, on adopte plutôt des sections trapézoïdales isocèles pour faciliter la construction et l’entretien des canaux.

4.2.2 Calcul de la section trapézoïdale HF

Minimiser la section S et le périmètre mouillé P, qui sont tous les deux fonctions de la profondeur d’eau y et de la largeur du radier b, revient à annuler les différentielles totales exactes (y et b variant) et trouver la solution en (dy,db) différente de la solution triviale (0,O).

L’annulation du déterminant du système linéaire en dy et db ainsi formé est une condition nécessaire et suffisante qui conduit à la relation (2-12) suivante entre la profondeur y et la largeur au radier b pour une section trapézoïdale HF.

(2-12)

Pour la suite des calculs, on peut poser n = & b q - m .

La substitution de la relation (2-12) dans les expressions de la section, du périmètre mouillé et du rayon hydraulique en fonction de y et b, conduit à :

S=Ay2

On constatera que le rayon hydraulique RH est indépendant du fruit de la berge m pour une section trapézoïdale HF.

Pour une section trapézoïdale isocèle la formule de Manning-Strickler devient alors explicite pour toutes les variables (équations 2-13)

50

Page 50: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

(2-13)

Plus généralement, si l'on connaît les fruits de la berge m et de la diagonale n d'un trapèze isocèle quelconque, on a les relations suivantes :

b=(n-m) y

1=( n+m) y

P= (n+h)y

Pour n et m fixés, les trapèzes isocèles correspondants s'obtiennent donc par homothétie de centre B en faisant varier y (figure 2-5a). On démontre que n est égal ih 3, pour une section trapézoïdale isocèle HF ( minimum de P et S pour n et y variables).

La section trapézoïdale HF est circonscrite à un demi cercle de diamètre horizontal coïncidant avec la surface libre et dont le rayon est la profondeur d'eau y (figure 2-5b). En effet on peut établir , à partir de OB=AB/2=1/2=dgy=BC , que le triangle OBC est isocèle et que sa hauteur OF=y=OG.

Bercice 3 : Soit à écouler un débit Q = 10 m3/s dans un canal de section trapézoïdale, creusé dans la roche, de pente l%, dont les berges auront pour fruit m = 1/4. On prendra Ks = 40.

1 O ) Calculer y et b pour un volume de déblais et un périmètre mouillé minimaux.

2") Quelle sera alors la vitesse moyenne dans le canal ?

Réponse 1") y=2,10 m et b= 3,20 m 2") U=1,30 m/s

4.2.3 Comparaison de sections trapézoïdales isocèles HF

1 O) Pour un débit a une rugosité Ks et une pente I donnés, on peut comparer les paramètres y, S, P et U des sections trapézoïdales isocèles hydrauliquement favorable en fonction de m.

On prendra comme référence la section rectangulaire où m = O (les variables sont alors indicées avec O).

5 1

Page 51: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

a) section trapézoïdale Isocèle quelconque

B I

/ /

D b C

b) section trapézoïdale isocèle HF

A O

D C

Fime 2-5 : Section trapézoïdale isocèle HF

On peut alors tracer les courbes 01, p, y et p définies ci-après en fonction de m et qui sont montrées à la figure 2-6,

52

Page 52: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre
Page 53: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On peut remarquer sur la figure 2.6 que :

0 les variations de a, p, y et p sont faibles pour des valeurs de m inférieures A 413 ;

0 a et p passent par un maximum ; y et p passent par un minimum pour la valeur de m égale à - J3 correspondant à 8 = 60" ou an demi-hexagone.

3

pour 8 = 36'56' ou m = 4/3, la section trapézoïdale HF est exactement équivalente au re-gle I3.F YO, so, Po

A toute fin pratique, on peut donc utiliser l'approximation de la section rectangulaire HF, pour m compris entre O et 4/3 (et même 5/3) où les variations sur les paramètres a, p, y et p sont inférieures à 5 %, afin de déterminer la pointure d'un canal pour les £niits des berges admissibles.

27 Pour y, K, et Z donnés, les valeurs de Q, P, S et U d'une section trapézoïdale HF de fruit des berges m, rapportées respectivement donnent les paramètres ci-après.

à celles d'une section rectangulaire HF (m=O)

p ' S =-- -a so

La fonction h=2a' est tracée sur la même figure 2-6 et dans les mêmes limites (m compris entre O et 5/3), les variations des paramètres sont inférieures à 13 %. Elle passe par un

minimum à m=- (demi-hexagone) et m=4/3, elle donne la même valeurs que m=O. J? 3

4.2.4 Considdrations pratiques

Le trapèze de section mouillée minimum ne constitue pas toujours la solution la plus économique et la meilleure.

D'abord, elle ne donne, à coup sûr, un volume de déblais minimum que si la sudace du terrain où il est creusé est horizontale ou sub-horizontale (annexe du chapitre 2).

54

Page 54: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Même si le terrain est horizontal, on doit tenir compte des éléments suivants :

I y la profondeur doit être limitée

- le prix au mètre cube de déblais, croît généralement avec la profondeur. C'est le cas quand les couches de terrain deviennent plus dures en profondeur.

- les infiltrations dans un canal non revêtu croissent avec la pression de l'eau sur le fond, donc avec la profondeur.

- un canal moins profond est plus facile à entretenir.

D'où il pourrait être préférable d'avoir un canai un peu moins profond, quitte à avoir un volume total de déblais plus grand.

20) la vitesse doit être limitée

La vitesse d'écoulement doit être inférieure à une limite Umax pour éviter l'érosion. C'est ce que nous verrons au paragraphe suivant

4.3 Dimenswnnement des canaux avec une vitesse limite imposée

Si l'on désire respecter une vitesse limite, on fait le calcul suivant pour cette vitesse qui introduit une relation entre la surface S et le rayon hydraulique RH complétant la formule de Manning-StricMer pour la détermination de la profondeur d'eau y et la largeur au radier b.

Etant donnée Q, 1 et m on veut déterminer b et y en ne dépassant pas la vitesse d'érosion Umm.

Dans un premier essai, on prendra U = Umm.

La définition du débit permet de tirer S ;

L'équation de Manning-Strickler permet de tirer RH :

D'où l'on obtiendra le système de deux équations suivarus en y e b :

y(b+my)=S

55

Page 55: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Par la méthode de substitution, ce système est équivalent à :

L'équ

8

b - S - 2 y G RH

A y 2 s -y+s=o RH

(2- 14a)

(2-14b)

tion du second degré (2-14b) admettra des ra ines selon 1- valeur du discriminant A :

ou

A : 1-- avec Um désignant la vitesse de la section

hydrauliquement favorable et le signe I la proportionnalité.

Si A est négatif, c'est à dire si U est supérieure à UW, alors il n'y a pas de solution.

Si hydrauliquement favorable :

A est égale à zéro ou U=UHF, alors il y'a une solution qui est la section

1 s Y"==%

Si A est positif ou U inférieure à Um, on obtient 2 solutions positives en y qui ne sont pas toujours des solutions physiques du problème :

-s+& RH Yi= 22

On doit en effet vérifier que bi et positifs.

(correspondant respectivement à y1 et y2) restent

56

Page 56: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Or b est positif si la condition ci-dessous est vérifiée:

y2 vérifiera toujours cette condition mais il n'en est pas de même pour yl.

Si y1 vérifie cette condition, on aura deux solutions physiques. On devrait retenir la solution y2, b2 qui présente la plus faible profondeur. C'est pourquoi que la méthode s'applique plus souvent à l'étude des écoulements larges(endiguement de rivière par exemple)

Dans tous les cas, la solution retenue devra être pratiquement réalisable (dimensions pas ((microscopiques )) ni «gigantesques »).

Si on ne trouve pas de solutions (A<O) , on doit diminuer U et recommencer l'essai avec cette nouvelle valeur.

De toutes les façons, les variations de A sont lentes de part et d'autre de la valeur zéro. Si l'on prend U = 0,9UHF par exemple, la profondeur y1 est égale à 0,54y0 et y2 égale à 2,06 yo.

On ne doit donc pas s'attendre à une réduction substantielle de la vitesse U en jouant sur les dimensions y et b quand Ks, m, d, 1 et Q sont fixés C'est plutôt la pente qu'il faut modifier pour diminuer la vitesse de façon substantielle.

4.4 Dimensionnement des canaux trapézoïdaux avec une pente limite

Lorsque l'on désire respecter une vitesse limite U, on peut être conduit à rechercher une pente limite soit pour éviter les dépôts soit pour éviter les érosions. Les pentes ainsi calculées peuvent conduire soit à prévoir des chutes soit à prévoir des exhaures des exhaures.

4.4.1 cas d'une section hydrauliquement Favorable

Si par exemple on cherche la pente maximale n'entrainant pas l'érosion (U=U,,) et si l'on choisit une section HF, on introduit 2 relations entre les variables qui complètent la formule de Manning-Strickler ; ce qui permet de calculer simultanément la profondeur d'eau y, la largeur au radier b et la pente 1 connaissant le débit Q, la vitesse U, la rugosité Ks et le fruit des berges m.

D'après la définition du débit et la section HF :

Q=US=A y* U

La formule de Manning-Strickler s'écrit alors :

57

Page 57: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

La première relation permet de tirer y :

En fin la section hydrauliquement favorable permet de calculer b :

b = y (A - m)

En substituant, la valeur de y dans la formule de Manning-Strickler, on peut tirer la pente 1 :

8 2 4

Mais on avait déjà annoncé que la section hydrauliquement favorable pourrait conduire à des profondeurs grandes. On peut donc imposer une largeur b plus grand que la valeur donnée par la calcul qui vient d’être effectué et chercher la pente limite.

Exercice 4 : Calculer la pente 1, la largeur au radier b et la profondeur d’eau y d’un canal trapézoïdal de section hydrauliquement favorable avec un fhit des berges m=l pour un débit Q=1,3 m3/s, une vitesse maximale de U=0.65 m/s, et une rugosité Ks = 100.

Réponse y = 1,05 m b = 0,87 m I = 10-4

4.4.2 cas d’une valeur de b ou y imposée

La définition du débit et de la section donne :

S = 9 = y(b+my) U

On aura donc une équation du 2è degré en y qui donne une seule solution positive ou une équation linéaire en b :

V= J 2m si m ; t O et y=- Q sinon

bU

58

Page 58: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

La relation de Manning permet de tirer 1 :

D'où 1 en fonction de b ou y:

1 013 413 et I=X[~+%] sinon

K i Q413

Exercice 5 : Calculer la pente 1 et la profondeur d'eau y d'un canal trapézoïdal de largeur au radier b=l m avec un h i t des berges m=l pour un débit Q=1,3 m3/s, une vitesse maximale de W0.65 d s , et une rugosité K, = 100.

Réponse y = 1,00 m I = 10-4

4.5 Dimensions optimales à donner aulc sections des canaux trapézoïdaux découverts

Le canal ayant à porter un certain débit Q, il s'agit de réaliser une section répondant aux mieux aux conditions suivantes, parfois contradictoires

1. largeur des emprises réduite le plus possible (économie sur les achats de terrain) ;

2. Profondeur la moins grande possible (entretien plus facile, infiltrations moins importantes, économie sur le prix de revient unitaire des déblais et le coût total des travaux d'excavation) ;

3. Section la plus réduite possible (pour diminuer le volume des déblais et le coût total des travaux) ;

59

Page 59: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5. Section teIle que la vitesse U =

forte (pour dviter l'érosion). ne soit ni trop faible (pour éviter les dépôts) ni trop

Dans un projet, on cherche génexaiement si satisfaire tout d'abord les conditions 3 et 4 ; puis on modifie les dimensions obtenues, s'il y a lieu, pour donner suite aux deux premières conditions (largeur et surtout profondeur). La cinquième condition peut recevoir satisfaction en modifiant la pente 1 plutôt que les dimensions transversales du canal.

S

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Chapitre 3

Ecoulements graduellement variés

Page 61: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 3

ECOULEMENTS GRADUELLEMENT VARIES

1 DEFINITION D'UN ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE

1.1 ECOULEMENTS VARiES

1.2 ECOULEMENTS GRADUELLEMENT VARIES

2 VARIATIONS DE LA CHARGE SPECIFIQUE Hs

2.1 DEFINITION

2.2 VARIATION DE Hs EN FONCTION DE LA PROFONDEUR Y POUR UN DEBlT Q DONNE

2.3 VARIATION DE Q EN FONCTION DE Y POUR UNE CHARGE SPECIFIQUE Hs DONNEE.

3 REGIME CRITIQUE

3.1 DEFINITION

3.2 CALCUL DE LA PROFONDEUR CRITIQUE Yc

3.3 APPLICATIONS AUX SECTIONS COURANTES

4 PENTES ET REGIME

4.1 PENTE CRITIQUE

4.2 EXPRESSION DE LA PENTE CRITIQUE

4.3 TYPES DE CANAUX (CLASSIFICATION SELON LA PENTE).

5 COURBES DE REMOUS

5.1 ETUDE QUALITATIVE DES COURBES DE REMOUS

5.2 METHODE DE CALCUL DES COURBES DE REMOUS

62

Page 62: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 3

ECOULEMENTS GRADUELLEMENT VARIES

’! DEFINITION D’UN ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE

1.1 Ecoulements variés

Les écoulements variés se rencontrent dans les rivières irrégulières, dans les singularités des canaux et dans les zones de transition entre deux écoulements uniformes.

Ces écoulements peuvent être permanents (en un point ou section donné, rien ne change dans le temps). Mais d’une section à l’autre, la profondeur, les pentes de la surface libre et de la ligne d’énergie, la section mouillée varient.

Selon l’allure du changement on distinguera : - les écoulements graduellement variés - les écoulements brusquement variés.

1.2 Ecoulements graduellement variés

On a une variation lente et continue de la section mouillée, des pentes de la ligne d’eau et de la ligne d‘énergie, ainsi que de la profondeur d’eau d’une section à l’autre.

On admet les hypothèses suivantes dans l’étude de ces écoulements :

0 La courbure des lignes de courant est négligeable

Ces lignes sont parallèles et normales à la section ; d’où la répartition des pressions est hydrostatique dans la section

0 Le coefficient d’énergie cinétique a est constante

0 La pente de la ligne d’énergie J est donnée par la formule de Manning :

avec x l’abscisse le long du canal,

mais J différent de la pente 1 du canai.

63

Page 63: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2 VARIATIONS DE LA CHARGE SPEClFlQUE Hs

2.1 Définitions

La charge moyenne H dans la section a déjà été définie au chapitre 1 et elle est donnée par la Relation suivante :

U2 H = z + y + a- 2Y

La charge spécifique est la charge moyenne ramenée à la base de la section et elle peut s’exprimer par l’une des expressions suivantes où l’on a pris a=l :

La charge H est toujours décroissante dans le sens de l’écoulement ( quand x croît). Il n’en est pas de même pour la charge spécifique Hs car le signe de dHs/dx dépend de la différence de la pente du canal I et de la pente de la ligne d’énergie J. En effet on peut calculer successivement :

- dz dH dHs dx dx dx

+ - - - -

dx

dH,=I-J dx (3-2)

On remarquera qu’en régime uniforme, la pente de la ligne d‘énergie J qui caractérise la perte d’énergie par frottement est égale à la pente du fond du canal 1 et la pente de la ligne d’eau par rapport au fond dy/dx est nulle. D’où la charge spécifique Hs est constante le long du canal comme les autres variables hydrauliques et géométriques.

Avant d’atteindre le mouvement uniforme, la variation d’énergie potentielle du fluide n’est pas en général’ égaie à l’énergie dissipée par frottement :

0

Si 1 est supérieur à J, l’énergie cinétique croît donc la vitesse V, d’où la profondeur d’eau y diminue. Si 1 est inférieur à J, l’énergie cinétique diminue donc la vitesse V, d’où la profondeur d’eau y augmente.

64

Page 64: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2.2 Variation de Hs en fonction de la pmfondeur y pour un débit Q donné

L’équation (3-1) définit, pour une section déterminée, une relation entre la charge spécifique Hs, la profondeur d’eau y et le débit Q. En fixant Q=constante, on obtient une courbe Hs(y) qui a l’allure indiquée dans les figures 3-1 pour y variant entre O et les grandes profondeurs et pour une section évasée vers le haut. Cette courbe est très commode pour étudier les problèmes de transition entre 2 biefs de canaux prismatique (voir chapitre 5) .

L’une des branches est asymptotique à l’axe des ordonnées et l’autre à la première bissectrice (droite à 45’). En effet Hs(y) tend vers l’infini comme @/2gS2 et y ; quand y tend respectivement vers O et l’infini.

La courbe admet un minimum pour une valeur de la profondeur appelée profondeur critique yc et qui est la solution de l’équation (3-3) qui exprime que le nombre de FROUDE est égal 91.

En effet, le minimum est obtenu avec l’annulation de dérivée de Hs par rapport à y (équation 3-4) obtenue en faisant remarquer que la dérivée de S par rapport à y est égaie à la largeur en gueule 1.

On peut également constater sur la courbe de la figure 3-1 b :

Avec une charge spécifique donnée Hs supérieure à la charge spécifique critique Hsc d’une section déterminée, le même débit peut s’écouler sous 2 profondeurs différentes :

- l’une y’ correspondant au régime torrentiel ou supercritique et qui est inférieure à Yc ;

- l’autre y” correspondant au régime fluvial ou subcritique et qui est supérieure à yc.

Ces 2 profondeurs sont dites conjuguées avec la charge spécifique.

La charge spécifique critique Hsc est la charge minimale permettant l’écoulement du débit Q dans la section considérée. L’écoulement du débit Q a lieu en ce moment avec la profondeur critique. Ce minimum Hsc est d’autant plus grand que le débit est lui-même plus grand

Au voisinage du régime critique Hsc, une légère variation de Hs provoque des variations importantes des profondeurs d’eau y ; c’est pourquoi le régime critique est instable (ondulation appréciable de la surface libre due à de petites irrégularités).

65

Page 65: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Q

--f y

torrentiel

0 0

?

- Y _I_____

Y"

- - F-e 3-1 : Variation de la charge spécifique Hs en fonction de la profondeur d'eau y dans une section déterminée.

66

Page 66: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

En régime fluvial, la charge spécifique HS et la profondeur d’eau y varient dans le même sens (simultanément croissantes ou décroissantes) ; l’énergie cinétique Q2/2gS2 est plus faible que l’énergie potentielle y.

0 En régime torrentiel, c’est le contraire qui se produit : Hs et y varient dans le sens contraire et l’énergie cinétique est plus grande que l’énergie potentiel y.

2.3 Variation de Q en fonction de y pour une charge spécitïque Us donnée.

L’étude de la variation du débit Q en fonction de la profondeur d’eau y pour une charge spécifique donnée a également un intérêt pratique dans les transitions lac-canal ( voir chapitre 5).

Si l’on fixe Hs dans la formule (3-1), on obtient la relation (3-5) entre le débit Q et la profondeur d’eau y dont une illustration est donnée à la figure 3-2.

(3-5)

Le débit est nul pour y=O et y=Hs et on obtient sa valeur maximale (fonction continue variant de O à O pour y variant de O à Hs) en annulant la dérivée dQ/dy donnée par l’équation suivante :

Le maximum de débit appelé débit critique Qc respecte donc la même condition (équations 3-2) définissant le régime critique vu au paragraphe précédent :

On peut également constater sur la courbe de la figure 3-2 :

0 Pour une énergie spécifique donnée, le même débit, s’il est inférieur au débit critique, peut s’écouler à deux profondeurs différentes :

- y’ correspondant au régime torrentiel ;

- y” correspondant au régime fluvial.

0 S’il est égal au débit critique, on aura une seule profondeur qui est la profondeur critique. Ce débit est le débit maximum qui peut transiter dans la section considérée avec la charge spécifique fixée.

Si la charge spécifique Hs reste constante, une augmentation du débit se traduira par une élévation de la hauteur d’eau y en régime torrentiel, et par un abaissement de y en régime fluvial.

67

Page 67: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CY I

fluvial

1- - - - - -

Figure 3-2 : Variation du débit Q en fonction de la profondeur d’eau y pour une section déterminée

3 REGIME CRITIQUE

3.1 Définitions

A partir du paragraphe précédent, on tirer que le régime critique d’une section déterminée d’un canal à faible pente, est caractérisé par plusieurs conditions importantes qui sont :

L’énergie spécifique est minimale pour un débit donné ;

Le débit est maximal pour une charge spécifique donnée ;

L’impulsion totale ou force spécifique (voir chapitre 4) est minimale pour un débit donné ;

L’énergie cinétique (U2/2g) est égale à la moitié de la profondeur moyenne ym ;

Le nombre de FROUDE est égale à l’unité ;

0 La vitesse moyenne U de l’écoulement est égale à la célérité des petites ondes gravitaires en eau peu profonde causées par une perturbation locale.

On appelle éléments critiques les éléments géométriques de la section (S, P, RH, 1, ...) calculés pour une profondeur d’eau égale à la profondeur critique et qui seront indicés par la lettre c.

68

Page 68: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

3.2 Calcul de la profondeur critique Yc

la profondeur critique est donnée par la résolution de l’une des équations (3-3) où la surface S, la profondeur moyenne ym, la largeur en gueule 1 et le nombre de FROUDE sont exprimés en fonction de la profondeur d’eau y :

Plusieurs méthodes de résolution peuvent être utilisées pour calculer la profondeur critique d’une section déterminée : méthodes graphiques, abaques, méthodes analytiques pour les sections paramétrées.

3.2.1 Méthodes graphiques

On peut par exemple tracer points par points la courbe

d’eau y et chercher l’abscisse pour la quelle cette courbe est égale à Q/& (figure 3-3)

en fonction de la profondeur

Y Yc

F i m e 3-3 : détermination de la profondeur critique par la méthode graphique.

3.2.2 Utilisations des abaques

Plusieurs types d’abaques de calcul de la profondeur critique sont donnés dans la littérature hydraulique. La figure 3-4 est un exemple d’abaque pour le calcul de la profondeur critique d’une section circulaire ou trapézoïdale :

69

Page 69: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Pour une section circulaire, on porte sur la graduation logarithmique du bas la valeur de

de la courbe dénommée <( circular )) (D est le diamètre de et on lit l'ordonnée Q D Jg D?

la section).

Pour une section trapézoïdale, on porte sur la graduation logarithmique du haut la valeur

et on lit l'ordonnée de la courbe paramétrée selon le b i t des berges m (b de - & by

est la largeur au radier). On peut constater que ces courbes convergent pour les faibles

b

valeurs de A vers la section infiniment large où le fruit des berges n'intervient plus. b

3.2.3 méthodes analytiques

Pour les sections courantes paramétrées, la substitution dans l'équation (3-3) des valeurs des éléments géométriques S et 1 en fonction de la profondeur d'eau y (Tableau 1-2) et la résolution algébrique conduisent aux formules du tableau 3-1 ci-après. Les fonctions implicites de la profondeur critique yc peuvent être résolues avec les solveurs des calculatrices ou ÇZ'EXCEL ou bien par des méthodes numériques (voir chapitre 3 du tome 1)

3.3 Applications aux sections courantes

Exemple une rugosité &=70, une pente I=l% et une largeur au plafond b=l m.

: Calculer la profondeur critique d'un canal rectangulaire ayant un débit Q=1,3 m3/s ,

Réponse : yc = 0,56 m

iExemple 2 : Calculer la profondeur critique d'un canal trapézoïdal ayant un débit Q=lO m3/s ; une largeur au plafond b=20 m, une rugosité Ks=70, une pente I=l%o et un fniit des berges m=0,5.

Réponse : yc = 0'29 m

Exemple 3 : Calculer la profondeur critique d'un canal circulaire ayant un débit Q 4 , 2 m3/s, une rugosité Ks=70, une pente I=l% et un diamètre D=l m

Réponse : 8, = 119.59' et yc = 0.25 m

70

Page 70: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

‘ru:

M +l

‘L

4 I I s

ô e O

*O O

.-.(

8 .-.1

ml N

L$ II

+ QTfl W

O Y

-e( O l

Page 71: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Valeurs de yJD ou y&

2 M E

Page 72: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

4 PENTES ET REGIME

4.1 Pente critique

Les discussions ci-dessus sur le régime critique de l’écoulement se rapportent principalement à une section particulière le long du canal appelée section critique. La pente ne figure pas dans la relation déterminant la profondeur critique. Donc si une profondeur est critique pour une débit donné et une forme de section déterminée, cette profondeur sera critique queue que soit la pente.

Si le régime critique existe tout le long du canal ou sur un bief, l’écoulement est alors critique sur ce bief. Puisque la profondeur critique dépend uniquement des éléments géométriques du canal (surface S, profondeur moyenne ym et largeur en gueule 1) pour un débit donné, la profondeur critique doit être la même sur le bief et l’écoulement est alors uniforme avec cette profondeur.

La pente pour laquelle un débit donné s’écoule à une profondeur normale critique est appelée pente critique. Mais un tel écoulement est instable comme nous l’avons dit au paragraphe 2.2.

4.2 Expression de la pente critique

Le calcul de la pente critique exige la résolution du système des 2 équations constitué de l’équation du régime critique et de la formule du type Manning-Strickler :

(3-6a)

(3-6b)

On obtient ainsi deux relations entre le débit Q, la profondeur critique yc (à travers Sc, 1, et RH^) et la pente critique 1,.

0 Si le débit est donné, la première équation permet de déterminer la profondeur critique yc et par conséquent Sc=S(y,) et RH,=RH(Y,) et la deuxième équation permet de calculer la pente critique (équation 3-7).

- 4 Q2

K S S , ~ R ~ C ~ I c = (3-7)

Compte tenu de la relation entre le débit et la section critique ( équation 3-6a) et de la définition de la profondeur moyenne y,,,, la formule (3-7) est équivalente à l’une des

73

Page 73: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

relations (3-8) qui permet de calculer la pente critique directement avec la seule profondeur critique est connue.

Si la pente critique est donnée, le calcul de la profondeur critique se fait par la résolution de l'une des équations (3-8) par un solveur ou par une méthode numérique ou graphique ; ensuite le débit est déterminé par l'une des relations (3-6).

rc = (3-8a)

Y n c 4 (3-8b) I c = -

K i R H C ~

On peut tracer la courbe Qc=f(Ic) qui est une fonction implicite. Pour y arriver, on suppose différentes valeurs de yc et calculer le débit Q et la pente Ic correspondant respectivement aux équations (3-6a) et (3-8). Le minimum IL correspond à une pente limite requise pour avoir un régime critique pour le canal donné (Figure 3-4).

Figure 3-4

I

Variation du débit critique avec la pente critique pour un Canal donné

4.3 TYPES DE CANAUX (CLASSIFICATION SELON LA PENTE)

On a déjà établi que :

La profondeur critique est indépendante de la pente 1 du canal pour une section déterminée et un débit donné ;

0 La pente critique 1, dans ce cas est la pente pour laquelle la profondeur normaie y,, correspond à la profondeur critique yc.

74

Page 74: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Donc il est intéressant de connaître, dans le cas général, les relations entre la profondeur normale et la profondeur critique (ou entre la pente 1 et la pente critique 1, d’un canal) pour un débit donné et une forme de section déterminée.

Si la section est évasée vers le haut, la profondeur normale diminue si la pente augmente. En effet, le débit constant Q est lié à la profondeur y et à la pente 1 par la relation suivante où la débitance du canal 96) est une fonction croissante de y :

Donc pour un débit fixé, si la pente 1 est supérieure à la pente critique Ic, ~(y, ,) sera inférieure à cp(yc) ; d’où la profondeur nurmale sera inférieure à la profondeur critique. C’est le contraire qui se produit si la pente 1 est supérieure à la pente critique L.

Selon la position de la profondeur normale yn par rapport à la profondeur critique yc (ou la pente 1 par rapport à la pente critique Ic), on classifie les canaux en leur attribuant une lettre majuscule latine qui désigne ce positionnement relatif (Tableau 3-2).

Cette classification (type de canal) est à distinguer de l’écoulement réel qui y a lieu (Tableau 3-3). Par exemple on peut avoir un écoulement graduellement varié dans un canal à fond plat mais pas d’écoulement uniforme. On peut également avoir un écoulement graduellement varié torrentiel dans un canal fluvial (c’est l’écoulement normal qui est fluvial).

4.4 Applications

Exemple 4 : Déterminer la pente critique et le type de canal dans les exemples 1, 2 et 3 du paragraphe 3.3 ci-dessus.

Réponses ExemDle 1 : Ic=6,6% et type de canal=T ; ExemDle 2 : I,=3,0% et type de canal=F ; Exemde 3 : IC=4,6%0 et type de c d = T

Exemple 5 : La pente critique d’un canal trapézoïdal, de largeur au radier b=Q,5 m , de rugosité Ks=70 et de b i t des berges m=l , est de 4%0.

1 O ) Quelle est sa profondeur critique yc ?

2”) Quel est son débit Q ?

Réponses 1 O ) yc=0,50 m 2”) Q=894 Vs

75

Page 75: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Tableau 3-2 : Classification d

1 < O y, non définie

; canaux Caractéristique de

l’écoulement normal

L’écoulement normale n’existe pas

(y,=w)

L’écoulement normale n’existe pas

(y , indéterminé)

L’écoulement normale est fluvial

L’écoulement iormale est torrentiel

L’écoulement normale est critique

Symbole

H

A

F

T

C

Appellation

canal IJorizontal ou canal à fond pla

Canal Adverse ou canal à contre penh

Canal Fluvial ou canal lent ou canal

à pente faible

Canal Torrentiel ou canal rapide ou

canal à pente forte

Canal critique

76

Page 76: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5 COURBES DE REMOUS

La courbe de remous est le profil en long de la surface libre en fonction de l’abscisse x de la section considérée.

Pour les canaux prismatiques, il s’agit d’étudier la fonction qui lie la profondeur d’eau y à l’abscisse x de la section puis que la pente est constante sur un bief et la section mouillée ne dépend que de la profondeur.

Par contre pour les cours d’eau naturels ou les canaux non prismatique, la pente et la section mouillée peuvent varier d’une section à l’autre et on cherche plutôt à déterminer la fonction qui lie la cote h = zf + y de la surface libre (par rapport à un plan de référence horizontal) à l’abscisse de la section x ; où zf est la cote du fond.

h=G(x)

Ces fonctions ne sont pas connues à priori mais on peut établir l’équation différentielle qui donne leur pente (dy/dx ou Wdx ) par rapport à une droite de référence .

A partir des dérivées de la charge spécifique Hs par rapport à l’abscisse x (équation 3- 2) et par rapport à la profondeur y (équation 3-4)’ on tire l’expression (3-9) donnant la dérivée dy/dx qui est pente de la surface libre par rapport au fonds pour les canaux prismatiques.

2 1-J

I-FR (3-9)

où J , la pente de la ligne d’énergie, est donnée par une formule du type Manning-Strickler d’après les hypothèses sur les écoulements graduellement variés :

4 J= Q2

K ~ Z S ~ R ~ ’ A partir directement de la dérivée de la charge hydraulique, on obtient l’expression (3- 10) donnant la dérivée dh/dx qui est la pente de la surface libre par rapport à un plan de référence horizontal pour les chenaux non-prismatiques.

(3-10)

77

Page 77: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

où k est un coefficient tenant compte des pertes de charge singulières sur le tronçon dx (k=O si l’écoulement est convergent et O<k<l si l’écoulement est divergent).

Pour les canaux prismatiques, l’étude de la fonction dyidx donne l’allure de la courbe de remous et l’intégration de l’équation différentielle donnera la courbe si l’on connaît une condition initiale appelée section de contrôle.

5.1 Etude qualitative des courbes de remous dans les canaux prismatiques

L’étude qualitative et la classification des courbes de remous permettent de mieux contrôler le sens des calculs numériques et de fixer les conditions d’arrêt de ces calculs.

5.1.1 Sens et domaine de variation de la profondeur d’eau

Le signe de dy/dx est le produit des signes de dH&lx et dHddy qui dépendent respectivement de la position relative de la pente de la ligne d’énergie J par rapport à la pente du canal 1 d’une part (ou de la profondeur d’eau y de la courbe de remous par rapport à la profondeur normale y,, du canal) et de la position relative de y par rapport à la profondeur critique yc d’autre part :

La dérivée dH~/dx est positive si y est supérieure à Yn (ou J inférieure à 1) et elle est négative si y est inférieure à yn (ou J supérieure à 1) ;

La dérivée dHs/dy est positive si y est supérieure à yc et elle est négative si y est inférieure à yc (voir courbe Hs(y) de la figure 3-1)

Les domaines de variation des courbes de remous sont désignés par un chiffre 1 ou 2 ou 3 selon la position de chaque courbe par rapport aux deux profondeurs normale et critique du canal :

0

Si la courbe est située au-dessus des deux valeurs yn et yc, on lui affecte le chiffre 1 ; Si la courbe est située entre les deux valeurs yn et yc, on lui affecte le chinre 2 ; Si la courbe est située au-dessous des deux valeurs y,, et yc, on lui affecte le chiffre 3.

Les canaux étant déjà classifiés selon la position relative de la profondeur normale yn et de la profondeur critique yc (Tableau 3-2)’ on peut alors distinguer les différents types de courbes de remous par une lettre latine majuscule (type de canal) suivi du chifie lou 2 ou 3 (domaine de variation).

On peut ainsi distinguer, comme le montre le tableau 3-3 douze types de courbes de remous (FI ; FZ ; F3 ; TI ; T2 ; T3 ; Cl ; Cz(éc0ulement uniforme critique) ; C3 ; A2 ; A3 ; HZ ; H3 ) avec les sens de variation des profondeurs y, les types ou régimes d’écoulement (positions de y par rapport à yc) à distinguer des types de canal (on peut avoir un écoulement torrentiel dans un canal F cornme la courbe F3) et des exemples d’occurrence.

78

Page 78: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.1.2 Comportement de la profondeur d’eau aux limites

11 est intéressant de c o d t r e le comportement des courbes de remous au voisinage des limites des 3 domaines définies ci-dessus (O, y“, yc et 00) :

Les courbes de remous tendent asymptotiquement vers la profondeur normale yn. En effet, lorsque y tend vers yn, la pente J de la ligne d’énergie tend vers la pente 1 du canal ; d’où dy/dx tend vers O si le dénominateur de l’équation (3-9) reste fini.

A l’approche de la profondeur critique yE, on n’a plus un écoulement graduellement varié pais plut& une variation brusque de la ligne d’eau (ressaut ou chute) que nous étudierons au chapitre 4. En effet si y tend vers yc, c’est le dénominateur de l’équation (3-9) qui tend vers O et dy/dx tendrait v m l’infini si le numérateur reste fini. La ligne d’eau serait alors normale à la droite y=yc (Figure 3-5) ; d’où une courbure très prononcée qui est contmrire à l’hypothbse de f ~ b î e courbure des lignes de coufant faite pour les écoulements graduellement variés. On obtient ainsi un écoulement brusquement varié (ressaut ou chute) qui n’est plus régi par les mêmes équations.

Lorsque la profondeur d’eau y tend vers les grandes valeurs, la surface libre tend vers l’horizontal. En effet lorsque y tend vers l’infini la pente de la ligne d’énergie tend vers O ,donc cette ligne tend vers l’horizontal. Comme la vitesse aussi tendra vers O, la surface libre est confondue avec la ligne d’énergie et tendra vers l’horizontal et dy/dx tendra vers la pente du canai 1.

Lorsque la profondeur y tend vers les faibles valeurs, l’indétermination d a o est levée par une condition aux limites physique qui détermine l’origine du débit.

F ime 3-5 : comportement des courbes de remous à l’approche de la profondeur critique

79

Page 79: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

FI

'$3.

di wm

P

Aq

Tableau 3-3 : Classification des courbes de remous

80

Page 80: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.2 Méthodes de calcul des courbes de remous

Le calcul de la courbe de remous est basé sur la résolution de l'équation différentielle (3-9) ou (3-10) qui régit les écoulements graduellement variés et que nous pouvons remettre sous l'une des formes (3-1 1). Il faut une condition limite c'est à dire une profondeur y0 ou cote ho pour une section xo donnée, appelée section de référence ou section de contrôle.

Cette section est localisée à l'aval pour les courbes de types FI, F, y C , y T, , H, , A, et la courbe-de remous est calculée de I'aval vers l'amont ; c'est à dire quand l'écoulement est fluvial. La section de contrôle est localisée $ l'amont et la courbe de remous est calculée de l'amont vers l'aval pour les courbes de remous de types T, , F3 , T3 , C, , H, et A, ; c'est à dire quand l'écoulement est torrentiel (Tableau 3-4).

pour les canaux prismatiques avec I>O (3-1 la)

où K,=p (y)=$ est la débitance normale ;

" - K=p ('y)=K,SRH3 est la débitance pour la profondeur y ;

z,=- est le facteur de section critique ; Q -Jg

et Z= (T ) est le facteur de section pour la profondeur y.

2

, pour les canaux prismatiques avec I>O (3-llb) --I dY di-

@) où Q , = K ( v ~ est le débit normal correspondant à la profondeur y

et Q, = Z(y)& est le débit critique correspondant à la profondeur y.

81

Page 81: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

--I dv dx-

l-@)

2

1-r( +) pour les canaux prismatiques avec I<O (3- 1 1 c)

où r=- I avec In, étant la pente critique correspondant à la profondeur I"C

normale yn calculée par le débit réel Q.

-=F(x,y) dY pour les canaux non-prismatiques a?x (3-1 Id)

On peut distinguer 3 méthodes : la méthode d'intégration graphique, la méthode d'intégration directe et la méthode des différences finies ou par itération.

5.2.1. Méthode d'inttigration graphique

La procédure d'intégration graphique directe est utilisée pour le calcul. Considérons 2 sections du canal à l'abscisse x1 et x2 auxquelles correspondent respectivement les profondeurs d'eau y1 et y2.

L'intégration de cette équation à variables séparées conduit à :

On peut donc tracer points par points la courbe l/f(y) et estimer graphique l'aire hachurée à la figure 3-6 qui détermine la distance entre y1 et y2. Cette aire est déterminée par planimétrie ou en utilisant la méthode des trapèzes (remplacer la courbe par des segments de droite entre les différents points) qui est équivalente à la méthode numérique des pas directs que nous verrons plus loin.

Il existe d'autres méthodes graphiques dont celle des diagrammes universels de Silber et celle de Raytchine et Chatelain qui sont résumées dans Carlier ou celles de Grimm, d'Ezra et de Leach qui sont présentées dans Lencastre. Elles ne sont plus beaucoup utilisées avec l'avènement des ordinateurs de poche et de bureau et la rapidité des moyens de calcul modernes.

5.2.2 Méthode d'intégration directe

L'intégration analytique de l'équation différentielle sous les formes (3-1 1) s'avère pratiquement impossible dans le cas général. Mais plusieurs tentatives de résolution de quelques cas spécifiques avec l'introduction d'hypothèses simplificatrices ont été faites par divers auteurs (V. T. CHOW p253. Les toutes premières méthodes (Bresse, BakhmetefX)

82

Page 82: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

utilisaient la formule de Chézy pour le calcul de la débitance K(Y)=CRH’% tandis que les dernières utilisent la formule de Manning-Strickler K(Y)=KsRH~’~S.

Dans la méthode de Bakht-neteff modifiée par V T CHOW, on introduit généralement des exposants hydrauliques N et M pour exprimer les débitances K et KN et les facteurs de section Z et ZC en fonction des profondeurs d’eau y et des constantes Cl et CZ (équation 3-12)

(3-12) Z2=C2yM et Zc2=C2Yc M

La substitution de ces formules (3-12) dans l’équation différentielle (3-1 la) et le changement de variables U=y/yn conduisent à une formulation dont l’intégration donne l’expression (3-1 3) où F(u,N) est une fonction d’écoulement graduellement varié, tabuiée dans beaucoup d’ouvrages hydrauliques, mais qui peut se calculer facilement avec la TI92 maintenant.

et F(u,N)=[--, d.c . 1-X

La distance séparant les 2 profondeurs y1 et y2 peut donc s’exprimer ainsi :

(3-13a)

Pour la méthode de Bresse (hypothèse de canal infiniment large avec coefficient de Chézy constant), on prend N=M=J=3 pour les exposants hydrauliques et la fonction F(u,3) peut se calculer analytiquement :

6 u - 1)’

83

Page 83: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

La procédure de mise en œuvre consiste à :

0 Calculer les profondeurs normale yn et critique y, pour le débit Q et la pente 1 du canal ; 0 Déîerminer les exposants hydrauliques N et M pour une valeur moyenne de la

profondeur d’eau y estimée sur le bief en considération. On suppose que M et N sont constants.

0 Calculer0

0 Calculer u et v aux 2 sections délimitant le bief

Trouver les valeurs de F(u,N) et F(v,O) à partir des tables ou d’un calcul d’intégrale avec la TI92

Calculer la longueur du bief par l’équation (3-13b)

La procédure ci-dessus peut être appliquée pour les c m u x à pente adverse @<O) à condition de modifier l’équation (3-13a) comme suit :

tcste (3-13~)

et y,, est calculé avec la valeur absolue de la pente 1.

Quand la pente est nuile ( P O ) , on pose le changement de variable p=/yc et l’intégration de l’équation différentielle originale donne la formule (3-1 3d).

(3-13d)

Quand les exposants hydrauliques ne sont plus constants comme on l’a supposé (canal avec changement brusque de section ou non évasé vers le haut comme un canal circulaire), on subdivise le canal en biefs courts où N et M sont constants mais peuvent différer des exposants pour les profondeurs normale Nn et critique M,. la formule (3-13a) est modifiée en (3-13e).

(3- 13e)

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Page 84: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Y avec u = ~ ; - Y n N

N/O F u ;

et O=N/(N-M+l).

Pour les conduites circulaires, on peut établir les relations (3-130 et les substituer A dans l'équation différentielle (3-1 la) .

(3-1 3f)

et l'intégration de l'équation différentielle donnera la formule de l'abscisse de la section de profondeur y (équation 3-13g) où les fonctions d'écoulement Fi et F2 sont tabulées et peuvent maintenant être calculées facilement avec la TI92.

et 8=2arccos( 1-2x)

85

Page 85: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.2.3 Méthode itérative ou des différences finies

Elle est caractérisée par la subdivision du canal en tronçons courts et par une progression pas par pas du calcul. Il y’a beaucoup de variantes de cette méthode. Quelques unes sont préférables à d’autres selon les circonstances mais aucune d’elles ne se trouve être la meilleure dans toutes les applications.

La méthode de variation des profondeurs ou à pas directs (Ay fixé à l’avance et Ax calculé) est la plus simple méthode par différence finie applicable aux canaux prismatiques.

La méthode des tronçons ou méthodes des pas standards (Ax fixé A l’avance et Ay calculé) s’applique également aux canaux prismatique est très bien adaptée aux chenaux naturels où les éléments géométriques et hydrauliques ne sont connues qu’à certaines sections où on les a relevées.

Ces 2 méthodes ont chacune des variantes sur la façon d’évaluer les valeurs moyennes des fonctions sur le bief Ax mais également le nombre de points intermédiaires ou antérieurs pour évaluer ces fonctions.

D’un point de vue numérique, les méthodes que nous présentons ci-après sont au plus d’ordre 2 (erreur systématique d’ordre Ax3 ou Ay3 selon les cas). Il existe des méthodes d’ordre plus élevé telle que la méthode de Gil-Runge-Kutta d’ordre 4 et de rang 4 (voir annexe) qui sont utilisées pour les équations différentielles du premier ordre à condition initiale.

Mais compte tenu de l’imprécision sur les données hydrauliques (rugosité, débit, forme de la section pour les chenaux naturels, pente, etc.), les méthodes d’ordre 2 suffisent avec un bon choix des pas de calcul (Ax ou Ay) et du sens de progression des calculs. Le sens de progression du calcul pour toutes ces méthodes (décrit au tableau 3-4) doit être rigoureusement observées, sinon on tend inévitablement vers des valeurs divergentes de la courbe de remous réelle.

5.2.3.1 Méthode des pas directs

C’est la méthode la plus simple pour le calcul de la courbe de remous pour un débit donné et un canal prismatique. Soit xo une section où la profondeur d’eau y0 est connue et une section 1 située à une distance inconnue Ax de xo où l’on veut que la profondeur soit yi=y~+ Ay.

La distance Ax est estimée en supposant que la pente de la ligne d’énergie est la pente moyenne sur le bief dans la discrétisation de l’équation différentielle (3-9). Cette hypothèse donne d’assez bons résultats pour des Ay faibles.

L

ou - J = J ( y ) Yi+YO

86

Page 86: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

avec pour la formule de Strickler JO)= Q2

K , " S o i > ' R H W + La discrétisation de l'équation différentielle s'écrit alors :

Les valeurs positives de Ax indiquent une progression vers l'aval et celles négatives une progression vers l'amont.

Le tableau 3-4 donne les procédures typiques souvent utilisée à partir d'une section de contrôle du canal. Toutefois on peut procéder suivant une direction différente de celle indiquée au tableau si la profondeur est connue à l'autre bout de la courbe avec les risques de divergence déjà mentionnés.

La mise en œuvre de la procédure de calcul passe par les étapes suivantes :

1 ") Connaissant yo, calculer HSO et JQo) 2") Pour une valeur de YI= yo+Ay, calculer &let J(y1 3") Calculer 7 =(J(yo)+ J(y1))/2 ou 7 =J((yo+y1)/2) 4") Calculer Ax 5") Passer à la section suivante en prenant un nouveau y0 é g u au y1 qui vient d',* trouvé et

continuer la procédure en 1 ")

Le calcul de AHs=Hsi-Hso est imprécis (généralement une différence faible entre 2 grands nombres) et la vitesse doit alors être calculée avec une grande précision (3 décimales au

moins). Il est préférable de calculer AHs par son expression andytiqueAfj,=A&-g2)

2 - où F~ =& est évaluée pour la profondeur moyenne - Yo+Yl entre les 2 sections. g s 3 2

L'usage de pas faibles permet d'avoir une plus grande précision mais augmente les itérations et le temps de calcul. Les erreurs se propagent comme dans toutes les méthodes itératives puis que la solution d'un pas est incorporée dans le pas suivant (le courbe peut osciller dans certains cas.

87

Page 87: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Pente du canal

Relations entre profondeurs

Y d Yn >Yc

Yn > Y+ Yc

I > O

~

Type de courbe de remous

FI

F2

I=O

Signe de

dHJdx

I<O

Procédure de calcul

+

Y d Yc” Yn

Section de contrôle à l’aval et on progresse vers l’amont (Ax <O)

ci +

O

-

+

+

-

-

-

Y d Yc> Yn

Section de contrôle à l’aval et on progresse vers l’amont (Ax <O)

Ay <O Limite-y,= yc Ecoulement uniforme

Section de contrôle à l’amont et on

Ay >O LimiteTcTn Section de contrôle à l’aval et on progresse vers l’amont (Ax <O)

Ay <O LimiteTn ; ressaut Section de contrôle à l’amont et on

progresse vers l’aval (Ax >O)

Section de contrôle à l’amont et on

- y- Yc- Yn

progresse vers l’aval (Ax >O)

Ay <O

progresse vers l’aval (Ax >O)

progresse vers l’amont (Ax <O)

Ay >O LimiteT, Section de contrôle à l’aval et on

Ay >O Limite=valeur fixée sinon pas

Section de contrôle à l’amont et on

Av >O Lhite-y, : ressaut progresse vers l’aval (Ax >O)

Ti

Y d Yc

Yc > Yd Yn

H2

T2

-

-

T3

Section de contrôle à 1’ aval et on progresse vers l’amont (Ax <O)

AY Limitmaleur fixée sinon pas

Section de contrôle à l’amont et on

Ay >O Limite-Y, : ressaut

progresse vers l’aval (Ax >O)

-T- Yc > Y0

Y d Yc A2

Yc > Y0 A3

Y

Ay <O Limite=y, Section de contrôle à l’aval et on

- progresse vers l’amont (Ax <O) Ay >O Limite====,,

Section de contrôle à l’amont et on progresse vers l’aval (Ax >O)

l’écoulement uniforme Ay >O Limite==c ; ressaut ver5

rableau 3-4 : Procédure de calcul des courbes de remous

88

Page 88: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.2.3.2 Méthode des pas standards

Les pas Ax sont fixés à priori; ce qui permet de collecter les données de terrain à des abscisses et biefs choisies avant de procéder au calcul de la courbe de remous pour les chenaux naturels.

II s’agit alors de déterminer la cote de la surface libre à ces abscisses bien déterminées ey on procède par approximations successives en tenant compte du sens de progression des calculs indiqué au tableau 3-4). L’équation aux différences finies peut s’écrire sous la forme suivante :

h + L=ho+a V 2 ,-O_- v 2 - JAx-sign(Ax) ’ a’2g 2g

La prise en compte des singularités se fait à travers la différence de charge cinétique et k qui est un Coefficient de perte de charge singulière avec :

k=O pour un canal prismatique ; 0 k=O à 0,l pour un écoulement convergent graduel 0 k=0,2 pour un écoulement divergent graduel 0 k=0,5 pour un changement brusque de la section de

l’écoulement.

D’autres auteurs expriment la perte de charge singulière par un coefficient k et la charge cinétique à la section O seulement ou bien par la diminution du coefficient de Strickler sur le bief dans l’expression de J qui se calcule de la même manière qu’au paragraphe 5.2.3.1.

-

Pour la mise en œuvre de la méthode, on écrira l’équation de Bernoulli ci-dessus sous cette forme :

2

On procède alors comme suit :

1) Calcul de HO par l’équation (3-14b), connaissant ho

2) Choix initial de hlcomme valeur d’essai ;

(3-14a)

(3 - 1 4b)

(3 - 1 4 ~ )

3) Calcul de Hl par l’équation (3-14c) en passant par y, S , v=Q/S et aV2/2g pour la valeur d’essai de hl ;

89

Page 89: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- 4) Calcul de Hl par l’équation (3-14a) en passant par y, RH, RH^'^, J et laperte de charge

singulière éventuellement ;

5 ) S’il y’a accorde entre les 2 valeurs de Hl trouvées (différence en valeur absolue lAH,( inférieure à une petite valeur E), la cote d’essai hl set la bonne ; sinon on modifie hl par une nouvelle valeur et on recommence à l’étape 3).

Henderson, en supposant que J est proportionnel à yJ, suggère de prendre la correction suivante sur hl pour accélérer la convergence :

où AH^ est la différence entre les 2 charges trouvées par le 3) et le 4) ;

V12 a 1- 2 FRI Wx 2g pour un cours d’eau naturel où I d ’

__ 2

Croley propose une correction sur y du type suivant pour arriver à la même fin :

où l’exposant (1) indique la valeur d’essai et l’exposant (2) la valeur corrigée.

On peut également tester si la différence - est en valeur absolue inférieure à E

comme critère d’arrêt et prendre comme nouvelle valeur d’essai de h la dernière valeur trouvée hi(’+’) comme dans la méthode du point fixe. Il faut signaler que hl(’+’) est donné par le théorème de Bernoulli :

Lorsque l’énergie cinétique aV2/2g est faible, on peut conduire les calculs même dans la mauvaise direction ( vers l’amont pour un écoulement torrentiel ou vers l’aval pour un écoulement fluvial) sans commettre de graves erreurs.

Aussi pour les cours d’eau naturels, la section de référence ou section de contrôle n’est pas toujours entièrement définie pour un débit donné. Si on se fixe un ho qui est incorrect pour le débit donné, la courbe de remous sera à peu près correcte après quelques pas de calcul dans la bonne direction. On peut ainsi commencer à une station loin en amont ou en aval du bief qui

90

Page 90: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

nous intéresse pour le calcul de la courbe de remous sur celui-ci si on ne connaît pas la section de référence.

Enfn on peut constater que plus le coeflïcient de Strickler est élevé, plus la courbe de remous est longue et plus il est faible, plus la courbe est courte. D’où la valeur par excès de Ks devrait être choisie dans les calculs si la connaissance de la plus grande influence du remous est recherchée (remous créé par un barrage par exemple). Par contre pour la connaissance de la plus courte courbe possible, une plus faible valeur de Ks devrait être utilisée (amélioration de la navigation par exemple puisque la profondeur navigable doit être supérieure ii une valeur donnée et la plus courte courbe indiquera la plus faible profondeur à une section donnée du chenal).

5.2.4 Méthode de la Dénivelée - Débit pour les cours d’eau natuml

On peut utiliser cette méthode lorsque l’on dispose de profils de la surface libre en écoulement normal (sans l’effet de remous) pour un certain nombre de débits. Elle est simple et économe en calcul.

L’application du théorème de Bernoulli, entre les sections amont 1 et aval 2 séparées de la distance L, donne la pente de la ligne d’énergie sur le bief.

A+S J=- L

(3-1%)

A est la dénivelée (hl - h2) entre les cotes de la surface libre ;

inclut la variation de la charge cinétique

et les pertes de charge singulières entres les 2 sections.

1) Si les énergies cinétiques sont faibles, on peut négliger 6

L’équation (3-1 Sa), avec la formule de Manning-Strickler, donne

ou

Q - = f(h1) fi (3 - 1 5 b)

Pour une courbe de remous avec un débit Q’, on peut utiliser la même équation avec une dénivelée A’ et trouver la relation (3-15c) suivante :

91

Page 91: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2

Al=[%]

(3-1%)

Le débit Q est appelé débit par unité de dénivelée. On peut alors utiliser la relation (3-1%) pour le calcul de la courbe de remous si l’on connaît la courbe de la relation

en fonction de la cote amont hi. Cette courbe peut être tracée à Q .Jd

(3-15b) dû-t - partir de donnée de jaugeage (débit et dénivelée entre 2 échelles). Elle est tracée comme une courbe moyenne pour différentes conditions de fonctionnement (crue, décrue, pousse des herbes,. . .).

Pour une cote hl donnée et un débit Q’, elle permet de lire 2 et la formde (3-1%)

permet le calcul de A’ ; d’où la valeur de h2 = hl i A’ selon le sens de progression du calcul. On peut également calculer le débit Q’ si la dénivelée A’ est lue sur 2 échelles.

$h

L’assimilation de 6 à O fait que la méthode est plus utilisée pour des problèmes où les vitesses sont bien en deçà de la vitesse critique et diminuent vers l’aval (nombre de Froude faible).

2) Si les énergies cinétiques ne sont plus négligeables

La même approche peut être utilisée par approximations successives pour la détermination du débit à partir de la mesure de la dénivelée A = hl - h2. La procédure est la suivante :

a) calculer K, SRF pour hl ou pour h2 ou par une moyenne (certains auteurs

utilisent la moyenne géométrique (Ks, SI^" RG: (Ks~ S Z ~ ” R$: .

b) Initialiser6=0 (J=g) c) Calcul de Q par la formule de Manning-Strickler. Q = K, S R H f i

d) Calculer VI et V2 avec le dernier débit trouvé Q.

e) Améliorer J par l’équation (3-15a) en calculant 6 par VI et V2.

f) Calculer un nouveau débit avec la formule de Manning-Strickler et le J amélioré.

g) Tester si la variation du débit est, en valeur absolue, inférieure à une faible valeur E. Si oui arrêter ; sinon aller d).

92

Page 92: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.2.5 Exemple de calcul de courbe de remous

Un canal trapézoïdal véhicule un débit Q=lO m3/s avec une largeur au plafond b=20 m, une rugosité Ks=50, une pente I=O,1 %O et un fhit des berges m=0,5. la profondeur d'eau à une station x=O est déterminé par un seuil et égale à y0=0,5 m.

1 O ) Calculer les profondeurs normale et critique du canal. 2") Déterminer le type de courbe de remous et ses caractéristiques. 3") Calculer la courbe de remous.

Réponses

1 ") yn=l ,O2 m ; yc=0,29 m

2") C'est une courbe de remous de type F2 puisque yn>yo>yc. La section de contrôle se trouve à l'aval et on fait le calcul vers l'amont (Ax<O). La courbe F2 diminue la profondeur d'eau de l'amont vers l'aval ; donc avec le sens de progression des calculs, Ay>O. On arrête les calculs à la limite yn=l ,O2 m.

3") Les tableaux 3-5 montrent les résultats des calculs par différentes méthodes avec un Ay=0,4 m et les différences sont minimes.

93

Page 93: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Calcul de la courbe de remous par la méthode des pas directs (delta y fixé), système SI

b m Ks I Q alpha Delta y

74,54805576 -1 69,53692! 99,47492848~-269,01185 131,78@3923 -400,79254i 174,3592525 675,15180: -231,888251 -807,04005: 312,4602648 -1 119,5003: 431,4007049 -1 550,901 O: 621,6775878 -2172,5386 969,5484238 3142,1270; 1795,229556 4937,3565!

20 0,5 50 0,0001

Tableau 3-5a : Méîhodes des pas directs. Le calcul de ANS peut être imprécis (généraiement une différence faible entre 2 grandes valeurs, c’est

entre les 2 sections comme dans le tableau 3-5b.

- pour quoi il faudra calculer la vitesse avec précision (3 décimales). 11 est plus précis de calculer A&=AAl-z) où pR 2 est la valeur moyenne

10 1 0,04

Page 94: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Calcul de la courbe de remous par la méthode des pas directs (hita y fixé), système SI

b m Ks 20 O, 5 50

I Q alpha Delta y 0,0001 10 1 0,04

- - Y S P

0,5 0.54 10,5352 21,1627553 0,58 11,3568 21,2521981 0,62 12,18 21,3416408

13,0048 21,4310835 0,7 13,8312 21,5205262

O,78 15,4888 21,69941 17 0,82 16,32 21,7888544 01% i 17,1528 21,8782971 0.9 1 17,9872 21,9677398

O S 9 4 18,8232 22,0571825 0,98 19,6608 22,1466253

0,74 14,6592 21,6099689

'rableau 3-Sb : Méthodes des pas directs. Valeurs moyennes calculées avec l'estimation à la profondeur (yi+yi+i)/2.

- Q'i J - 7 2 I-7 - -22 j7-e 1---

2- S g s3 K s R H 3

RH-^

0,49781797 0,94919888 0,8211 125 0,000913441 -0,000813441 0,53438237 0,88052973 0,85691762 0,000715174 -0,00061 5174 0,57071526 0,82101806 0,88378656 0,00056956 -0,00046956 0,60681953 10,76894685 0,90434016 0,00046037 1 -0,00036037 0,642698W 1 0,72300307 0,92032869 1 0,000376991 1 -0,000276991

0,71378894 0,64562781 0,94304852 f 0,000261375 1 -0,000161375 0,7490068 0,6127451 0,95122089 0,000220786 1 -0,000120786 0,78400983 0,5829952 0,95790567 0,000188059 1 -8,80592E-05 0,81880067 0,5559509 0,96342614 0,000161397 1 -6,13969E-O5 0,85338188 1 0,5312593 0,96802487 0,00013947 -3,94703E-05 0,88775602 0,5086263 0,97188625 0,000121283 -2,12829E-05

0,67835359 0,68216547 1 0,93295137 1 0,000312295 1 -0,00021 2295

oc

40,37725541 -55,71869163 -75,2863676 -100,3792038 -1 32,9037739

-40,3772554 -96,095947 -1 71,38231 5 -271,781518 -404,665292.

-175,7842025 1-580,449495* -233,7527446 -81 4,202239 -315,0096846 -1129,21192- -435,1189178 -1564,33084 -627,6705195 -2192,00136 -981 ,O1 504 1 9 -1 826,607889 -4999,62429

-31 73,0164

Page 95: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- Paramètres du canal

b m K s i t Q aîpha D d t a X k hrçfanmce

20 0,5 50 1 0,Oooi 10 1 1 variable O i 915 .-

1 I i I I I 1 1 I I

He- - _I_

- CG

-0,C -0.t -0 c d - O C

, -0,c -0.C

6 , C

4 6 t -0,c -0 c -0.C

4

4

i 1 1 1 I I

I I

Tableau 3-5c : Méthodes des pas standards, Les Ax sont variables et choisis de façon ?i comparer les résultats avec ceux des tableaux 3-5a et

96

Page 96: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

ANNEXES DU CHAPITRE 3

A ECOULEMENTS A DEBIT VARIABLE DANS UN CANAL NON-PRISMATIQUE

Les écoulements permanents variables dans l’espace ont un débit non uniforme (écoulement non conservatif) découlant d’un apport ou d’une perte d’eau le long du chenal d’écoulement.

On les rencontre dans les fossés latéraux des routes, les évacuateurs de crue à écoulements latéraux, les canaux d’irrigation et de drainage non revêtus, les canaux d’évacuation autour des bassins de traitement d’eau, les biefs avec déversoir latéral dans un canal, etc.

Les apports ou les pertes d’eau causent une modification de l’énergie ou de la quantité de mouvement de l’eau du chenal. Le comportement hydraulique est ainsi plus compliqué que dans le cas des écoulements conservatifs. En effet l’écoulement avec apports latéraux se comporte différemment dans une certaine mesure de celui avec pertes latérales.

Les écoulements avec pertes latérales peuvent être traités comme une déviation d’une partie de l’eau qui n’affecte pas la charge hydraulique de l’écoulement restant et l’expérience prouve cette hypothèse. On peut alors utiliser le théorème de Bernoulli pour l’étude de ce type d’écoulement tout comme le théorème de quantité de mouvement.

En écoulement avec amorts latéraux, une part importante de la perte d’énergie est due à la turbulence causée par le mélange de l’eau entrant et de l’eau s’écoulant déjà dans le canal. Pour appliquer le théorème de Bernoulli il faut ajouter l’apport d’énergie cinétique latéral

Les hypothèses d’étude sont les mêmes que pour les écoulements graduellement variés :

l’écoulement est unidirectionnel (les courants latéraux impulsant un mouvement hélicoïdal à l’eau et une surface libre mouvementée dans la section droite sont négligés et on tient compte de leurs effets en appliquant le théorème des quantités de mouvement).

les coefficients de Corriolis a et de Boussinesq p sont constants et égaux à l’unité.

la répartition des pressions est hydrostatique dans une section.

la pente du canal est relativement faible.

la pente de la ligne d’énergie est donnée par une formule de type Manning-Strickler.

i’effet de l’entraînement d’air est négligeable.

Le théorème des quantités de mouvement appliqué sur la tranche de canal dx donne :

P(Q +kdQ) CV + dv) - P Q = - P g d (SYd + P g S dx 0-9

où k = O pour les écoulements avec perte (débit latéral dQ négatif) ;

97

Page 97: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

et k=l pour les écoulements avec apport (débit latéral dQ positif et perpendiculaire à l’axe d’écoulement x).

En négligeant les termes du 2è ordre, c’est à dire :

dV=dQ_ s g ( l d y + g ) , s2

dV dQ négligeable ;

L’équation exprimant le théorème des quantités de mouvement devient, après simplifications :

Qs Q2 3s 1 - J - (1+ k) ~ + - - dy - gs2 gs3 dx --

Q2 1 gS3

1-- dx

où q est débit latéral (positif si apport et négatif si perte).

as et le terme - = O pour un canal prismatique. a x

A. 1 Solutions analytiques

Avec des hypothèses simplificatrices, on peut trouver des solutions analytiques à cette équation (A-1) dans des cas simples :

A.I.1 Ecoulemenf dans un canal rectangulaire de faible pente et de hiternent négligeable avec une grille BU hnd (figure A-1):

Si f’écoulement d travers lu griffe est vertical (grille avec barreaux), on aura :

q = E C b ,/2gHs

où E est le pourcentage d‘ouverture de la grille et C est le coefficient de débit à travers les ouvertures.

Le débit dans le canal est donné par : Q = by ,/2g(H, - y)

98

Page 98: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On trouve alors la solution:

où la constante C=(HS / E C) (y1 / Hs)

x=o.

est donnée par y=y1 pour

La longueur pour laquelle y = O est donnée par :

Si l’écoulement à travers la grille est incliné, alors

q = Ecb

et l’intégration de l’équation différentielle donne

ou

La constante d’intégration Ctei ou Cte2 est donnée par y=yi à x=O ; et la longueur pour laquelle y = O est donnée par :

99

Page 99: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

-t

Fime A-1 : Ecoulement dans un canal rectangulaire de faible pente et de frottement négligeable avec une grille au fond

A.1.2 Ecoulement sur un déversoir latéral dans un canal rectangulaire horizontal de frottement ndgligeable (figure A-2)

On suppose que l'écoulement à travers le déversoir est perpendiculaire (écoulement fluvial).

q = C f i (y - P)3n où C est le coefficient du débit du déversoir.

On trouve comme solution de l'équation (A- 1) :

x = - F - +Cte c (d où F( L)= 3Hs-3P +-------3arcsin,/----- Hs-y Hs-y

Hs Hs-P y - P Hs-P

Figure A-2 : Ecouiement sur un déversoir latéral dans un canal rectangulaire horizontal de frottement négligeable

100

Page 100: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

A.2.3 Canal d’un évacuateur de crue latéral de penfe nulle, de frottement négligeable et de longueur L (fisure A-3)

7 c ;il ii i i i i I_ ----.il- !$ l

Y01 5 t $ - - - - ---

._ - - . .

Fimue A-3 : Canal d’un évacuateur de longueur L

A. 1.4 Ruissellement sur une

Le débit par unité de largeur q à la

q = K y m où y est la profondeu

q est constant

qmonstants Cc i i t i il i i i + +ICI ii il i l

c -- - __

- ’-.. . - -. -_

I

yc

_-

//////,~////////////////////~ - L __ __ __ - __ -

--X

de crue latéral de pente nulle, de frottement négligeable et

sutface plane &ultant d’une pluie . so:-tie est donnée par :

d’eau à la sortie

1 13

au débouché du canal

La valeur de m turbulent et 3 pour u

La solution de l’équation (A-1) est donnée, en tenant compte de y = yc pour x=L, par : l

dépend du type d’écoulement (% 5/3 pour un écoulement n écoulement laminaire).

101

Page 101: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Le débit entrant est donné par :

q’ =. x i où x est la distance par rapport à la crête de la surface et i est l’intensité utile de la pluie (intensité climinuée de l’infiltration et des autres pertes).

A l’équilibre on aura : q = q’ ; d’où le profil applicable si x n’est pas très grand est donné par :

Si un écoulement turbulent se fait sur une surface non plane telle qu’une route ; 1’ équation différentielle le long du profil en travers peut s’écrire de la maaiére suivante :

avec k = O si la quantité de mouvement des gouttes de pluie est négligeable et k = 1 dans le cas contraire.

et on peut l’intégrer numériquement.

Pour un écoulement laminaire sur une route où la vitesse et la profondeur d’eau sont invariables sur le profil en long, Iwagaki cité par Van Te Chow a 6îabli l’équation différentielle suivante qu’on peut intégrer numériquement ou par la méthode des isoclines :

i s i 2 x y 3 i x 3 n-i avec 6 =q=(:) - --

K, u 5 u2 U

Le profil en travers de la route est représenté par (figure A-4) :

n y = - H (;)

Iwagaki en a tiré les conclusions suivantes :

102

Page 102: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- le profil de la surface libre est indépendante de la pente du profil en long.

dY dx

- dans le cas du ruissellement naturel, - = O sauf au sommet de la route ( y = cte).

- y = cste en théorie si le profil en travers est parabolique (n = 2)’ dy/dx > O si n = 1 (la

- l’effet de la pente longitudinal sur la vitesse et la vitesse de frottement est d’augmenter

- l’effet de la pente longitudinal est pratiqueheht négligeable si celles-ci est petite (<2 “A)

- pour minimiser l’érosion due aux gouttes de pluie sur une route non revêtue, la pente

- pour maintenir une érosion uniforme sur une route non revêtue, une section en travers

profondeur d’eau augmente du sommet à la base).

les 2. Cet effet est plus grand vers la base pour les petites valeurs de n.

dans la condition normale de €UL = 0,02.

longitudinale devrait être aussi faible que possible.

avec n = 1 est la plus indiquée.

. . . ... ...... .. .... iap, .,. âi m... * ....... .; ..,..UW*. ,.. ................ .........,...... *,..

cr

Fimire A-4 : Ruissellement latéral sur une route

A.2 Méthode des points singuliers pour les canaux non prismatiques avec un débit constant &=O)

L’équatiqn différentielle (A-1) se met sous la, forme suivante avec une détermination des sections de contrôle qui se fait par la méthode de recherche des points singuliers :

- dY dx

103

Page 103: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

L’équation F1=0 (Q=Qn ou y-y, )donnera ou le profil normal fictif ou profil cimi-normal.

L’équation F p O (Q = Qc ou y = yc) donnera le profil critiauG.

Dans les canaux prismatiques Fi -j O et F2 3= O sont deux droites paralièltss entre elles et parallèles au fond du canai. Dans les canaux non prismatiques, ces 2 lignes peuvent se recouper en un point appelé point s inrmlier C et l’équation différentielle prend une forme indéterminée du type û/O.

Lorsque Qn = Qc ( = zc J, on aura y,, = yc qui dame la lime caracîkristiaue ou lime de K Z

transition (Fl/F2 = 1). Cetîe ligne passe par le point singulier C car Qn = Qc = Q (ou y,, = y, = y) au pint singulier.

Les propriétes suivantes peuvent être notées pour cette ligne caradristique au ligne de transition ;

* w3 ecouiement 21 travers çt: protiI de transition au paint singulier changera de régime (torrentiel à fluvial ou vice versa)

9 un ecoufement traversant ce profil en un autre point que te point singulier doit y 2tre

horizontal ( 2 =I)

sa posirion est déteminée: par feu caractéristiques du chenal (@omPtrk, rugositc! et pente) comme le montre I’t5quation Q, = Qc. Mais contrairement aux profils quasi-normal et aiXique, elle est. indépendante du changement du débit Q.

La pente de Ili ligne d‘eau au p i n i singulier est égaie ii la limite, si die existe de la levée de t’indétermination O/û :

i iSn peut distinguer 4 types de points siriguliers (figure A-5) selon les racines de I’t?quatioa du

Page 104: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

si l’équation a deux racine réelles de même signe, on obtient un nœud qui est stable quand elles sont négatives et instable si dles sont positives ;

0 si les 2 racines sont réelles et de signes contraires, on a une & ;

si les 2 racines sont des nombres complexes avec une partie réelle non nulle , on a un fover qui est stable quand cette partie réelle est négative et instable quand elle est positive

si les 2 racines sont des imaginaires purs, on a un centre

F

Figure A-5 : Courbes de remous autour d’un point singulier. P=point singulier ; F=courbe de remous passant par P et asymptotique à Fl=O ; F’=courbe de remous passant par P mais non asymptotique à F1=0 ; ‘f=autres courbes de remous ; FI=ligne de l’écoulement quasi-normal ; et T= ligne caractéristique ou ligne de transition.

B METHODES NUMERIQUES DE RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE A CONDITION INITIALE

L’équation différentielle de la forme (A-2) admet une solution exacte pour toute fonction F définie et continue sur l’intervalle [xo, XJ

105

Page 105: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Une méthode simple comme la méthode de la tangente fournit une fonction qui converge vers cette solution exacte si la condition de Lipschitz (A-3) est satisfaite.

On peut utiliser les méthodes à pas séparés ou les méthodes à pas liés . Dans un algorithme à pas séparés, on passe de Yi à yi+1 en tenant compte seulement de l’information connue au point Xi, tandis que dans les algorithmes à pas liés, on tient compte des valeurs antérieures au point xi mais on aura des problèmes de démarrage, d’instabilité et des difficultés de changement de pas h = Ax.

B. 1 Méthode de Runge-Kutter d’ordm p et de rang q.

Partant d’un point initial yi que l’on note yi,, on calcule par la tangente un point intermédiaire d’abscisse xi1 = xi0 + 91h avec xi0 = xi ; d’où :

On peut calculer la tangente en ce point intermédiaire Yi1 :

On construit un nouveau point intermédiaire yi2 d’abscisse XQ = Xi0 + Qz h à 1 ‘aide d’une combinaison linéaire ay; +Py! des 2 tangentes y‘,o et y;l :

O

Yi 2 = Yi O +g2 h[.F[Xi0’ Yi0)+P F(nil’ Y i l ) ]

et cela pour (4-1) points intermédiaires.

La formule qui donne le point yi+l considéré comme le qkme point intermédiaire est : a - 1

k-1

l=o avec Fik = F (x + Qk h , Yi + h C A k i Fil) qui est une formule

de récurrence.

106

Page 106: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On détermine les coefficients Akl et $k (k variant de 1 à q ; 1 variant de 0 a 9-1, ce qui donne q valeurs de 8 k et q valeur de Akl ) de sorte que la formule obtenue pour Yi+] coïncide avec le développement en série de Taylor jusqu’à l’ordre D le plus élevé possible.

2

6.1.1 Exemples :

a). Méthode d’ordre 1 et de rang 1

avec A = 1 10

b). Méthodes d’ordre 2 et de rang 2

Si l’on développe la quantité F (xi , y. ) , on obtient : 1 ‘1

‘1 1 F(x. ,y i ) = F[xi+91h,yi+ hA,,F(xi,yi) 3

avec d x = & h

dY = h Al0 F (Xi, Yi)

En reportant cette valeur dans yi2 on obtient :

Le développement de Taylor donne lui aussi

Par identification de ces 2 développements on trouve :

A20+A21 = 1 pour les termes en h F(Xi, Yi)

107

Page 107: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

1 A a = - 21 1 2

2 dF pour les termes en h F--- 3 Y

2 a F pour les termes en h --

a X

D’où 91 = Al0 et 3 équations à 4 inconnues

A,, = 1 ; A,, = O et on obtient la méthode 1 2

a). Si 91= Al0 = - alors

de la tangente améliorée.

1 p). Si 9, = Al0 = 1 alors A,, = ; A,, = 1 et on obtient la méthode de Euler 2

Cauchy

1 Y). 91 = Al0 = -

3 c’est la méthode de Heun.

c) Méthodes d’ordre 4 de rang 4

Par la méthode d’identification précédente, on obtiendrait un nouveau système indéterminé, par exemple quant au choix des Si, d’où une infinté de méthodes. On utilise généralement

9 1 = 9 2 = - et 93=1,cequicorrespondà: 1 2

1 6

yj+i = Y i + -- [ kl + 2 k 2 + 2 k3 +k4]

h x. +-, y. +- 1 2 1 2

On réduit le pas h dès que > 10-, pour minimiser les erreurs (différence entre la

solution exacte et la solution approchée).

Gill a proposé une formule d’amélioration de la méthode Runge-Kutta d’ordre 4 qui permet d’obtenir une plus grande précision par compensation au moins partielle, des erreurs d’arrondi faites à chaque pas. On prend qo nul au départ ; s’il n’y a pas d’erreur d’arrondi, q4 serait nul.

108

Page 108: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

k3=hF(xO+-, h 2 y2) Y2=Y1+ (I-@k2 - q l )

c13=c12+3[(1+g)(k3 - q 2 ) l - [ l - E ) k 3 t- En pratique, q4 vaut approximativement 3 fois sur 114 due aux erreurs de chute.

Pour compenser, on prendra pour qo au pas suivant cette valeur de 94 :

6.2 Méthodes ii pas liés

109

Page 109: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- Po = O qui donne des algorithmes explicites c'est à dire n'utilisant que l'information antérieur à k, on ajoute alors un terme Pk-r-lFk-r-l pour avoir 2r+linconnues.

- Po f O qui donne des algorithmes implicites oh l'on ne peut regrouper les termes en yk que si F(x,y) est linéaire c'est à dire de la forme F(x,y) = A(x) . y + B(x).

On détermine les coefficients ctj et pj par deux formulations possibles :

Formules F rs

On les détermine de sorte que la relation soit exacte pour toute équation différentielle dont la solution analytique y(x) est un polynôme de degré 5 s. Le rang r est le nombre de points antérieurs utilisés. L'ordre s et le degré maximum du polynôme tel que si la solution est un tel polynôme, la solution approchée fournie en la solution exacte.

Cela revient à dire que la formule est exacte quand on l'applique à chaque monôme de degré inférieur ou égal à s.

à xk = xo + kh , correspond la solution approchée yk

la solution exacte est y&) = @ (xk) où @ est un polynôme de degré inférieur ou égal à s

et on doit avoir yk = y(Xk)

1 On obtient ainsi le système de s équations à 2 r + 1 inconnues pour les monômes x :

Pour 1=0 : 1=a ,+a ,+....+a

(r+l}'=a ]r'+a 2(r-ly+a &-2j+. ...+a ,+p,zr'-'+p,Z(r-l ~ - l + ~ ~ Z ( r - 2 ~ - ] + . . * + ~ ~

qu'on applique jusqu' au degré s. La plus grande valeur de s est égale à 2r.

Exemple : la formule explicite de Adams de rang 2 et de degré 2 .

a2=0 et Po=O ce qui donne :

110

Page 110: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Méthode des ûolvnômes d 'intemolation

Elle consiste à écrire la formule exacte suivante :

et par anaiogie l'appliquer à la formule approchée car yk est différent de y(Xk) :

On ne connaît pas la primitive de F(x,y) à priori mais on connaît sa valeur pour tous les points Xi O 5 i I k, et on peut remplacer la fonction par son polynôme d'interpolation 9m(x) sur m points appartenant à l'intervalle [k-r, k+l].

On interpole par exemple avec les m+l points yk-1 , yk-1.1 , .. . . . .., yk-i avec 1-i = m > O comme le montre la figure A-6 :

Avec Fk-j = F(Xk-j, yk-j) et

En portant ces relations dans l'équation (A-2)' on trouve :

Exemde

Dans le cas où r = 2,1= 3 et i = O ; on obtient la solution suivante :

avec Ap21/8 ; A1=-9/8 ; A2=15/8 et A3=-3/8

111

Page 111: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Toutes les combinaisons r, i, 1 sont possibles avec r 2 O ; i 2 -1 et 1 > i ; toutefois on prend en général :

- i = O avec r=O qui donne la formule d'Adams explicite avec r=l qui donne la formule de Nystr6m explicite

avec r=O qui donne la formule d'Adams implicite

avec r=l qui donne la formule de Nystrom implicite

integiration -9

yk+l

Figure A-6 : Méthode des polynômes d'interpolation pour les algorithmes à pas liés.

B. 2.1 Exemples classiques

Adams exdicites

Adams imdicites

i l 2

Page 112: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Ces formules explicites ont une erreur d’ordre 1 + 2 tandis que les formules implicites ont une erreur d’ordre 1 + 3

6.2.2 Mise en œuvm des mbthodes implicites

J=r

L’équation de départ est yk+i=yk+yk-,+ ...+yk-,+X piFr-,-,

1) On démarre l’algorithme avec une méthode à pas séparés p u r calculer yo, yi, 1-0

. . ., yr-1 ; d’où les valeurs de Foy Fi, . . .’ Fr-1

2) Pour la mise en œuvre, on peut considérer 2 grandes méthodes :

- méthode itéraîive

Soit yk+l(O) une première estimation de la solution, on calcule successivement les termes de la suite :

jusqu’à la convergence. On peut prendre pour la valeur initialesuivante pour démarrer les itérations :

yk+l (O) = yk 4- h F(Xk 9 yk) Le problème de la convergence est satisfait quand les conditions suivantes sont respectée (K est une borne donnée) :

< K 1 et h+- P o 4

- méthode du vrédicteur - correcteur

Elle consiste à trouver une première valeur de yk+l* par une méthode explicite suffisamment précise (c’est la formule de prédiction).

Puis à utiliser une formule de correction p u r trouver yk+l

113

Page 113: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Les deux formules étant du même ordre.

Par exemples :

114

Page 114: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Chapitre 4

Ecoulements brusquement variés

Page 115: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 4

ECOULEMENTS BRUSQUEMENT VARIES

‘! GENERALITES ET METHODES D’ETUDE

2 LE RESSAUT HYDRAULIQUE

2.1 DEFINITIONS

2.2 IMPULSION TOTALE

2.3 POSITION DU RESSAUT

2.4 CALCUL DU RESSAUT EN CANAL RECTANGULAIRE

3 LA SECTION DE CONTROLE

3.1 DEFINITION

3.2 APPLICATION

4 LES DEVERSOIRS

4.1 DEFINITIONS

4.2 DEVERSOIRS A SEUIL MlNCE

4.3 DEVERSOIRS A SEUIL EPAIS

4.4 DEVERSOIRS PROFILES

4-5 DEVERSOIRS NOYES

5 LES VANNES

5.1 VANNES DENOYEES

5.2 VANNES NOYEES

6 LE VENTURI ou PARSHALL

7 LES APPLICATIONS DU RESSAUT HYDRAULIQUE

7.1 BASSINS DE DISSIPATION D’ENERGIE

7.2 OUVRAGES DE GESTION DE L’EAU ET COUPURE HYDRAULIQUE

Page 116: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 4

ECOULEMENTS BRUSQUEMENT VARIES

1 GENERALITES ET METHODES D'ETUDE

Un écoulement brusquement varié est un écoulement permanent dans le temps mais les variables de l'écoulement varient très vite, voire de maniCre discontinue dans l'espace.

f . 1 Caractéristiques

Les caractéristiques d'un écoulernent brusquement varié sont les suivantes :

courbure très- prononcée des lignes de courant , d'où la répartition_des pressions de la scction n'est plus hydrostatique

répartition très irrégülière des vitesses (le coefficient d'kncrgie cinétique cc >> 1 ) et existence r>arfois de courants de retour

I'eIïet du Frottement sur les Darois peut être nkgliaeable (courte distance)

la surface libre est souveiit instable et irrégulière.

1.2 Principe d'étude des écouiement rapidement variés

D6ms le cas général, on ne recherche pas i tracer Sa surface libre à cause de ce que a été au paridgraphe 1.1. On déiermine deux sections yui englobent au plus près l'écoulement et où les répartitions de pression et de vitesse y sont régulières.

Entre ces deux seciions définissant l'écoulemcnt, on appliqiie :

soit le théorème des uuantités de mouvement lorsqu'ii s'agit d'écoulement divergent avec forte dissipation d'énergie : ressaut par exemple.

0 soit le théorkme de Bernoulli s'il s'agit d'écoulement convergent sans dissipation d'énergig : écoulernent sous une vanne ~ a r exenide

117

Page 117: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2 LE RESSAUT HYDRAULIQUE

2.1 Définitions

Le rcssaiit est unc surelévation brusque de la surfacc libre qui sc produit lors du passage du régime torrentiel au rkgime fluvial (figure 4- I ). L'énergie cinétique de l'écoulement torrentiel est transformée en énergie potentielle avec une forte dissipation et une grande agitation de l 'kcoulenient.

Lcs profonàciirs avant (y!) ct aprbs (yzj lc ressaut sont appclkcs profondeurs conjuguées au sens du ressaut .

O n appeIle hauteur du ressaut la quantite y2 - y1 el la hgueur du ressaut, la distance entre les sections 1 et 2. Cette longueur ne peut eh-e déterminée qu'expérimentalement en fonction des caractcristiqucs dc la foimc de ia section et des caractéristiques de l'écoulement.

lx rendement du ressaut est ie rapport de l'augmentation üénergie potentiel (y1 -y]) sur 1ü u: LTS

diminiiticm d'énergie cinétique ( - . - -- ) quand on passe de l'écoulement torrentiel h 2g 2,q ' I'Gcuuleiizcnt fluvid. Elle peut 2tre tirée directement de la figure 4-5 ci-dessous.

1 2

Répartltlon des pressions hydrostatlque

Figure 4-1 : Définition du ressaut

118

Page 118: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Certains auteurs donnent une définition classique du rendement du ressaut comme étant l’énergie de la section 2 rapportée à l’énergie de la section 1 :

I

On distingue, selon la valeur du nombre de Froude à l’amont Frl, différents types de ressaut qu’on retrouve à la figure 4-2.

Dans certaines circonstances, le ressaut est submergé ou noyé, s’il ne peut pas se mouvoir vers l’amont à cause d’un obstacle (vanne ou déversoir), lorsque la profondeur d’eau en aval (contrôlée par l’aval) est supérieure à la profondeur conjuguée y2 de la profondeur d’eau en

Y- Y 2 amont y1 contrôlé en amont figure (4-3). Le degré de submersion est défini par S = - Y 2

p--p--=F~~ Q’ Q’ -FP +Mg sin 0 -Ff SI s2

où y est la profondeur d’eau réelle en aval.

Figure 4-3 : ressaut noyé ou submergé

2.2 Impulsion totale

Y La projehion dans la direction de l’écoulement du théorème des quantités de mouvement appliqué entre les sections 1 et 2 où la répartition des pressions est hydrostatique donne l’équation (4-1).

(4-1)

- les forces de frottement Ff sur la paroi sont négligeables à cause de la

- la composante du poids Mg sine est nulle (canal horizontal) ou courte distance

négligeable (canal sub-horizontal).

I

119

Page 119: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

1 < F r < 1.3

1.3 < Fr < 1.6

I,6 Fr < 2

Type de ressaut

Ressaut ondulé

Ressaut faible

Ressaut oscillant

Ressaut calme

Ressaut fort

Caractéristiques

Des ondulations sur une longueur

importante : hauteur peu perceptible.

Petits tourbillons superficiels ; hauteur faible

Mouvement de balancement

terticai du système

Ressaui bien localisé

'aqueîs d'eau dans tous les sens

- Figure 4-2 : Definitions des types de ressaut (les valeurs du nombre de FROUDE sont données pour

120

Page 120: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- La composante des forces de pressions F, dans chaque section est &ale il pg S yi; où S est l‘aire de la section et yc; ia profondeur de son centre de gravitk.

Dans ces conditions, l’équation de la quantite de mouveinent peut se réduire à l’égalité des quantités M dofinies par l‘equation (4-2) et appelCs impulsion totalc calçiilEes pour Ics sections 1 et 2 (.équation 4-3) :

(4-2 j

Le théorème des quantités dc mouvement apjdiquk au ressaut se traduit donc par la conservation de l’impulsion totafe M d6finie par l’équation (4-2).

On peut donc par l’dquatioii (4-31, qui est symétrique en y] et yz, calculer la profondeur çonju&e y2 si l’on connaît y1 et vice versa.

2.2.7. Variation de l’impulsion totale d‘une section en fonction de la profondeur d’eau pour un débit fixé.

L‘étude de Ia fonction M(y) pour une section évasée vers le haut montre deux branches

paraboliques : l’une quand y tend vers zéro (la fonciion se compte comme p-) et l’autre

quand y tend vers l’infini (la fonction se comporte comme pg S y ~ ) .

v‘ Si

La fonction étant positive et continue dans cet intervalle atteint iiëcessairement un minimum pour dM/dy = O. Ce minimum correspond la profondeur critique (figure 4-4) et, de la dérivation de M :

121

Page 121: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

I

M I -

R l

F k g e 4-4 : Variation de l'impulsion totale M en fonction de la profondeur d'eau y pour un débit Q fixé.

On retrouve l'équation du régiine critique déilni par le nombre de E'roucie au carré est égal 21 I 'unit6 ;

S , il suffit de constater à la figure 4-5 W Y , 1 1

La relation dS/dy=i a été déjà établie et pour

que

* Syc est le moment statique de S par rapport h la surface libre.

ie moment statique de S + AS par rapport à la surface libre es1 :

en çaiculant la diffkrence des deux termes et en faisant tendre Ay vers zéro on retrouve 1' égalité.

122

Page 122: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

&&.-- iure -- 4-5 : Calcul de dS!dy= I‘ et d(Syc,)idy=S

2.2.2 Détermination graphique des profondeurs conjuguees.

La figure 3-3 montre que :

I ) Pour M supérieure à Mc, i l existe 2 fondeurs Y I et y1 qui correspondent 2i la rneme impulsion totale M. Ce sont des profondeurs conjuguées au sens du ressaut :

y{, avant le ressaut est torrentiel

0 yz, après le ressaut: est fliivial.

D‘après l‘équation (4-3), la connaissance de l’une d’entre elles permet de déterminer graphiquement l’autre une fois que la courbe est connue (forme de la section et débit connus),

2 ) Pour M = h4ç qui est minimum, on obtienl la profondeur critique.

3) Pour M < Mc, il n’y a pas d’écoulement correspondant à cette impulsion totale M et le débit Q.

2.2.3 Détermination graphique de la perte de charge du ressaut.

La perte de charge du ressaut est la différence entre les charges Iiydrauliqucs à la section avant le ressaut (section) et à celle aprrès le ressaut (section 2). Elle correspond également a la

différence entre les charges spécifiques i-1s = y +--- Q2 si le canal est horizontal ou supposé gS’

tel : A I I = TI,! - l i s2 .

En traçant l’impulsion totale M et la charge spécifique 111 en fonction de la profondeur sur le même graphique, on peut donc déterminer la perte de charge du ressaut connaissant une des profondeurs y1 ou y2 (figure 4-6).

123

Page 123: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Hst '

Figure 4-6 : Détermination graphique de la perte de charge du ressaut.

2.3 Position du ressaut

On utilise la notion de profondeur conjuguée pour déterminer A priori la position du ressaut si l'on connait les lignes d'eau de l'écoulement torrentiel avant le ressaut et de l'écoulement fluvial après le ressaut ; ces lignes d'eau étant contrblées par l'amont et pax l'aval respectivement

Dans la pratique, on peut procéder de la manière suivante (Figure 4-7) :

124

Page 124: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

‘Tracer les lignes d‘eau amont et aval (courbes de remous). Les extrémités du ressaut doivent être sur ces courbes leurs profondeurs d’eau doivent être conjuguées au sens du ressaut. rracer la courbe conjuguée de I’uiie des courbes de remous et i l’intersection avec 1’ autre, on a la position du ressaut. ‘Tenir compte éventuellement de la longueur du ressaut dans la construction graphique.

*

Figure 4-7 : position du ressaut.

2.4 Calcul du ressaut en canal rectangulaire

Dans le cas d‘un canai rectangulaire de largeur b, l’équation (4-3) peut se simplifier en notant q ie débit par unité de largeur avec y(; = y/2 :

en inuitipliant les membres de i’équation ci-dessus par 2gylyz et en mettant au facteur (y? - YI), la conservation de l’impulsion toiale se réduit à une équation symétrique du second degré en Y1 et Y2 (4-4)

zql v,y: + Y z Y I --- -0

8

Le calcul des profondeurs conjuguées peut alors se faire algébriquement :

y? =&(-1+$+8F:) 2 ou

-- YI =<(-1+&8F2 Y )

L.

(44)

(4-5a)

(4-5b)

î25

Page 125: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

(4-5c)

La perte de charge, compte tenu de l'équation de continuités Lhyi=U~yz=q et de i 'équation (4-4) peut se simplifier par des Iransformations algébriques :

Le rendement du ressaut également se simplifie avec les mêmes considérations

La longueur du ressaut est determinée de Faqon expérimentale et les résultats, exprimés soit en fonction de y2 soit en fonction de (39 - y, ) divergent (difficulté de déterminer ia fin du ressaut :

m L R = 6 ( 1 . 8 ( ~ 2 - y i ) ;

0 Figure 4-8 où la longueur du ressaut L est dom& en fonction de y2 et le nombre de Froude Fr I ;

0 LR =: (4.9 S -t- 6,î y2 ou S est le degré de submersion pour un ressaut submergé.

* L R = 5 y 2 [ 1+4 /y:-] -- pour un canal trapézoïdal où L est la largeur en gueule.

Exenmie

Dans un canal rectangulaire de 5 in de large, s'écoule wi débit de 10 m3/s avec une profondeur d'eau yi = 0,20 m. Déterminer la profondeur conjuguée y2 et le rendement du ressaut.

Révonse yz=l,92m et RR1=34%

126

Page 126: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 4-8 : Longueur du ressaut en canal rectangulaire en fonction du nombre de Froude aval (D'après V.T. CHOW)

3 LA SECTION DE CONTROLE

3.1 Définition

On appelle section de contrôle toute singularité (fort accroissement de la pente, rétrécissement important, seuil déversant dénoyé, etc..) qui provoque une augmentation suffisante de la vitesse de l'eau pour faire passer l'écoulement du régime fluvial au régime torrentiel.

Il existe donc dans l'emprise du "contrôle" une section où le régime est critique; d'où la valeur de la profondeur critique yc ( et par suite la cote correspondante H du plan d'eau dans la section de contrôle) est entièrement déterminée pour chaque débit Q par le profil en travers de la dite section.

Le contrôle d'un écoulement fluvial est toujours situé à l'aval de cet écoulement.

Celui d'un écoulement torrentiel se trouve à l'amont de cet écoulement.

3.1 Applications

En fait l'écoulement dans un canal quelconque est essentiellement déterminé par les mécanismes de ((contrôles )) qu'on y trouve. La notion de contrôle (tout appareil qui

127

Page 127: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

détermine une relation biunivoque hauteur-débit) est par conséquent capital dans l’étude des écoulements à surface libre et il sera approfondie dans l’étude des singularités (chapitre 5 )

Une des applications les plus courantes est la mesure de débit dans les cours d’eau. On s’efforce de placer des stations de mesure de débit dans une section telle qu’à une cote du plan d’eau h corresponde un seul et même débit.

La courbe Q = f(h) est appelée courbe de tarage. La courbe de tarage doit dors être univoque cela ne peut être obtenu que dans certaines conditions : L’écoulement en amont de la section de contrôle ne doit pas être influencé par l’aval. Dans le cas contraire , on est obligé de prendre deux échelles.

4 LES DEVERSOIRS

4. i Définitions

On peut considérer le déversoir comme un orifice incomplet (figure 4-9). La hauteur d’eau (nappe déversante) hl au dessus du déversoir est mesurée loin en amont (loin de la zone d’approche).

Si l’épaisseur e de la crête (partie du seuil qui touche l’eau) est faible par rapport à la hauteur d’eau hl (hl > 2 e), on parle de déversoir à seuil mince. Autrement (hl < 1,5 e), c’est un déversoir à seuil épais. Entre les 2 limites, les deux modes d’écoulement peuvent se produire.

F i m e 4-9 : Définition des termes du déversoir

La pelle P du déversoir est la hauteur qui sépare la crête et le radier (fond du canal) et elle détermine la vitesse d’approche de l’eau qui devient négligeable si P est importante.

128

Page 128: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Les formules de débit sont déterminées selon les conditions de fonctionnement particulières du déversoir qui sont :

Si hl est faible, cela empêche le passage de l'air en-dessous de la nappe et on parle de nappe adhérente (Figure 4- 1 Oa)

Lorsque h augmente, la nappe tend à se séparer de la paroi ; cependant si l'air n'entre pas en quantité suffisante, une zone instable en dépression se forme sous la nappe que l'on appelle alors nappe déprimée(Figure 4- 1 Ob).

0 La nappe est libre lorsque l'air peut circuler facilement sous la veine et que l'air entrahé par l'écoulement est continuellement remplacé (Figure 4-1 Oc).

Lorsque pour une raison quelconque l'air n'est pas remplacé, on aura une élévation du niveau de l'eau sous la nappe déversante, qui s'appelle alors noyée en dessous (Figure 4- 1 Od)

Lorsqu'on augmente le niveau en aval h2 (h2 > 0,75 à 0,82 hl pour les déversoirs à seuil épais) , la nappe devient noyée (Figure 4-10e).

4.2 Déversoirs à seuil mince

4.2.1 Approche theoffque

La figure 4-11 montre la coupe longitudinale d'un écoulement au-dessus d'un déversoir à seuil mince et à nappe libre sans contraction latéral (écoulement bidimensionnel)

Une analyse élémentaire peut être effectuée en supposant que la nappe déversante ne se contracte pas verticalement quand elle passe au dessus du seuil et la pression à travers la section AB est égale à la pression atmosphérique.

En supposant en plus qu'il n'y a pas de perte de charge (fluide parfait), on peut établir par le

théorème de Bernoulli que la vitesse en tout point M de la section AB est égale à où y est mesurée à partir de la ligne d'énergie et non de la surface libre en amont (la différence entre les 2 étant liée à la vitesse d'approche VO).

2 2

Le débit par unité de largeur q est donné par l'intégrale de -& à h + h (valeurs de y en A et 2g 2g

B respectivement) de cette vitesse théorique :

129

Page 129: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

a) nappe adhérente b) nappe déprimée

- . . - . . . . . .

c) nappe libre

e) déversoir noyé

d) nappe noyée en dessous

air non ionouvolé

Figures 4-1 O : Différentes configurations de la nappe

Page 130: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- - ligne d’énergie

i- -- ... . .

rhpartition des preslons

Figure 4-1 1 : Coupe longitudinal d’un écoulement au-dessus d’un déversoir à paroi mince.

L’effet de la contraction verticale de l’écoulement peut être exprimé par un coefficient de contraction C, donnant l’équation du débit par unité de largeur :

L -I

L‘équation (4-6) peut être réarrangée sous la forme (4-7) suivante où cd est un Coefficient de débit (équation 4-8).

- 3

q=C,& h

[( va 2 ) ( vo >)1] C=2Cc,. 1+--- - -

J 3 2gh 2gh

(4-7)

(4-8)

On s’attend à ce que le coefficient de contraction C, aussi bien que le t m e exprimant la 2

vitesse d’approche Kdépenden t uniquement de la géométrie des fiontières de 2gh

l’écoulement, en particulier du rapport de la hauteur de la nappe dkversante à la pelle h/P. Il s’en suit que le coefficient de débit dépendrait de h/P seulement.

Plusieurs auteurs ont étudié et donné des formules de ce coefficient de débit qui sera directement inclus dans les formules empiriques du paragraphe 3 2 . 1 .

REHBOCK a donné la formule suivante, valable pour 5 < WP < 10 :

cd=2(0,6 3 1 1+0,0&) P

131

Page 131: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Dans le cas où P=O ( ou h/P tend vers de grandes valeurs), on obtient une chute et la hauteur h serait égale à la profondeur critique yc et le débit par unît6 de largeur serait le débit critique

&y! . ‘est le cas lorsque h/P>20 selon Henderson où l’on peut alors établir :

Tout autre type de déversoir implique un écoulement tridimensionnel ( contractions dans les plans horizontal et verticai). C’est le cas des déversoirs rectangulaires avec contraction latérale étudiés par FRANCIS, des déversoirs triangulaires de GOURLEY et CRIMP, des déversoirs trapézoïdaux de CIPOLLETI) qui sont utilisés pour la mesure de débit dans des canaux suffisamment large pour que la contraction soit minimale.

Dans le cas général, des formules expérimentales sont disponibles mais elles ont été étalonnées dans des conditions bien particulières de géométrie et de type d’écoulement (nappe libre et déversoir dénoyé) qu’il faut veiller à respecter

4.2.2 Formules empiriques

Les déversoirs ci-dessous servent à mesurer le débit dans les canaux où ils sont installés. Les formules qui sont données ont été données dans des conditions d’étaionnage qui sont parfois précisées avec une nappe libre. Il faudra par conséquent les respecter en particulier veiller à ce l’air soit renouvelé sous la nappe pour qu’elle soit libre.

1 O) déversoir rectangulaire sans contraction

REHBOCK (19291

C’est le déversoir le plus utilisé pour la mesure du débit en négligeant le terme 0,001 1 dans la formule suivante :

Q = (1,782 + 0,249) L (h + 0,001 l)3/2 BAZIN f1898)

C’est la formule la plus précise car on a plus de données sur ce déversoir :

S‘il y a une nappe déprimée il faut corriger en hausse le débit en fonction de la dépression observde, Lencastre Tableau 152

132

Page 132: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

La construction du déversoir de Bazin doit satisfaire les conditions suivantes (Figure 4- 12a):

a) canai de parois verticales et bien lissées longueur du seuil et largeur du canal

b) la crête ne doit pas être trop basse et le seuil est en mince paroi (conformément figure ci-dessous).

c) la longueur du canal en amont doit être au moins égale à 20 h avec a l l e s (en bois ou brique creuse) pour uniformiser la vitesse d'approche.

d) l'aération de la nappe doit être complète pour maintenir une nappe libre et on doit installer un tuyau de ventilation si nécessaire et contrôler la pression sous la nappe au moyen d'un manomètre.

e) la charge doit être lue à une distance au moins égale à : 5 à 10 h.

A

-..ec

lOcm

Figure 4-12a : Dimensions du déversoir de BAZIN

20) Déversoir rectangulaire avec contraction latérale

O FRANCIS

Francis a trouvé expérimentalement que la contraction latérale à chaque extrémité du déversoir rectangulaire est égale à 1/10 de la hauteur h , pourvu que la longueur du déversoir L soit au moins égale à 3h.

la hauteur d'eau h doit être mesurée à 2 m au moins à l'amont du déversoir.

La sur-largeur Q du canal doit être au moins égale à 3h (Figure 4-12b)

133

Page 133: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

l i

Figure 4-12b : Dimensions du déversoir de FRANCIS.

3 y Déversoir triangulaire

GOURLEY et CRIMP

C’est l’une des formules les plus employées

Q=1,32(tgT)h a 2,47

La figure 4-12c détermine les dimensions à respecter pour la précision de cette formule.

3 4

Figure 4-12c : Dimensions du déversoir de GOURLEY et CRIMP (a 2 - L ).

THOMPSON

Pour le cas particulier des=-, on emploie aussi couramment la formule de

Thompson 2

134

Page 134: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

HEGLY

n Hegîy a m i s en évidence pour a= - l’influence de la vitesse d’approche ou moyen de la formule suivante, valable pour 0,l O m 5 h -< 0,50 m :

2’

S = h2 = crise du déversoir limité au niveau correspondant à la charge h ;

S’ = section de l’écoulement dans le canal

4 y Déversoir trapézoïdai

GOURLEY et CRIMP

Pour une valeur quelconque de l’angle a d’inclinaison des joues du déversoir sur la verticale (Figure 4-12d), le débit set la somme des 2 termes suivants :

CIPOLETTI

Le déversoir de Cipoletti correspond au cas particulier où tga=1/4 (a=) et la formule empirique est :

Q = 1,86.L.h3/2

Les dimensions doivent obéir aux conditions suivantes conformément à la figure 4- 12d ci-dessous :

* 0,08 m< h 0,6 m * P > 3 h *e> 2h * L> 3h

135

Page 135: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 4- 12e : Déversoir circulaire

Les déversoirs servent également à réguler les canaux en particulier en contrôlant la hauteur d’eau dans un bief du canal. Dans ces cas, on peut trouver des cas particuliers par rapport à la disposition du déversoir sur l’axe de l’écoulement ou par rapport à sa construction :

I O) Déversoir proportionnel

L’intérêt de ce type de déversoir est de réaliser une sensibilité constante pou tous les débits (l’erreur absolue AQ étant proportionnelle à Ah) et toutes les charges.

Le Débit est donné par la formule suivante :

Q = K h

Le profil de la joue du déversoir est donné par l’équation hyperbolique x = &te/ & où la constante dépend du coefficient de débit K du déversoir (Figure 4-120

Figure 4-12f : Forme du déversoir proportionnel

137

Page 136: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 4- 12d : Dimensions du déversoir trapézoïdal

50) Déversoir circulaire

Il présente les avantages de la simplicité, de la facilité d’exécution et de mise en place et la facilité de ventilation figure (4-12e).

HEGLY

Le débit est donné par la formule ci-dessous où S est la section mouillée et S’ est la section du cercle.

60) Choix du type de déversoir de mesure (d’après Lencastre)

Les principes généraux suivants doivent être observés dans le choix du type :

a) pour avoir une nappe libre h 1 6 cm pour les déversoirs triangulaires, h 1 2 cm pour les déversoirs rectangulaires

b) On doit éviter les fortes charges h 5 60 cm

c) La longueur du déversoir rectangulaire doit être 2 3h

Pour la précision de certains types de déversoirs est donnée au tableau 4- 1

Si Q < 30 Us , on choisira un déversoir triangulaire Si Q> 300 Vs, on choisira un déversoir Bazin Si 40 -< Q 1.300 V s , les deux donnent la même précision.

136

Page 137: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre
Page 138: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

20) Déversoir oblique

La crête est disposée obliquement par rapport à l’axe de l’écoulement dans lequel le déversoirs est placé figure 4-12g.

Ce type de disposition permet de :

0 augmenter la longueur de déversement diminuer la charge pour le même débit permettre un réglage plus précis du niveau d’eau

F i w e 4-12g : Vue en plan d’un déversoir oblique

O AICHEL

La formule de débit est donnée ci-après où Qn est le débit d’un déversoir de même largeur et de même type disposé perpendiculairement à l’axe de l’écoulement, et K est un coefficient fonction de l’angle aigu de la crête avec l’axe d’écoulement.

@(l-25(+& h l

La formule est valable pour :

a) h/P<0,62 et B>30”

b) h/P<0,46 et B<30” ou

~

Tableau 4-2

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

47 59 70 84 102 125 151 179 227 298 412 5 5 0 0 5 O O 5 5 O 5

Valeurs du coefficient K en fonction de l’orientation (d’après Carlier)

139

Page 139: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

37 Déversoir incliné

Sa crête est perpendiculaire à l’axe de l’écoulement mais le plan qui le contient est incliné par rapport à la verticale (figure 4- 12h).

Boussinesq donne un coefficient de correction KI (sur le débit du même déversoir disposé verticalement) en fonction de l’inclinaison i en degré comptée positivement si le déversoir est incliné vers l’amont et négativement dans le cas contraire.

K I = 1 - 0,3902 - 1 180

+

~- .- > v écoulement 1

Figure 4-12h : Déversoir incliné

4 O ) Déversoir latéral

Aménagé dans la paroi latérale d’un canal, il sert à déverser le trop plein et au réglage précis du niveau en en-tête du canal.

La forme de la ligne d’eau le long du déversoir a été déjà étudiée dans les écoulements à débit variable et le débit est fonction du régime d’écoulement (torrentiel ou fluvial) dans le canal (Figures 4-12i)

a DOMINGUEZ

a) Régime fluvial dans le canal (les conditions aval imposent la hauteur hl de la figure 4-12i)

Le débit est donné en fonction de hl par la formule ci-dessous où les coefficients Cd et ‘pl sont donnés respectivement aux tableaux 4-4 et 4-5

b) Régime torrentiel dans le canal (les conditions amont imposent la hauteur ho de la figure 4- 129

Le débit est donné en fonction de hl par la formule ci-dessous où les coefficients Cd et cpl sont donnés respectivement aux tableaux 4-4 et 4-5

140

Page 140: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

h moyen (m) (hl+ho)/2

Crête mince, nappe libre

0,lO

0,370

Crête épaisse 0,3 15 et arrondie

0,320

1 Crête épaisse 1 0,270

0,320 0,325

I à arrêtes vives 0,270

+ 0,360 0,355 0,350

0,273 0,275

Régime fluvial ho/hl<l

Régime torrentiel homl'l

Valeurs de

cpo ou cpl

O

M

-

0,400

---H 0,276 0,280

0,s

125

3,856

Tableau 4-4 : Valeurs moyennes de c d dans les formules de DOMINGUEZ pour un déversoir latéral

0,9 1

1,11 1

0,924 1

Tableau 4-5 : Valeurs des coefficients cpo et <pl dans les formules de DOMINGUEZ pour les déversoirs latéraux en fonction de

O

O

ENGELS (pour un régime fluvial dans le canal)

Le débit est donné par la formule ci-dessous où b est la largeur du canal. :

La formule est valable si le parement aval du déversoir est incliné à 45" et pour les dimensions suivantes :

P>4 hl et 2P < L < 40P

BALMACEDA et GONZALES (pour un régime fluvial dans le canai)

Le débit est donné ci-dessous en fonction de la nature du seuil.

141

Page 141: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Q=133Lh,+O,O0304( i)’ pour un seuil mince

Q=l ,43Lhi+û,00 1 7 1( )’ pour un seuil épais

Figure 4-12i : Déversoir latéral

4.3 Déversoirs à seuil épais

4.3.1 Approche theOri9ue

Si un seuil est assez large (0,08IWeI0,5) pour maintenir une répartition de pression hydrostatique de l’écoulement dessus , celui-ci sera critique et avec une vitesse uniforme, le débit est égal au débit critique donné par l’équation suivante où H est la charge au dessus du déversoir tenant compte de la vitesse d’approche ( figure 4-13a).

Dans le cas où la vitesse d’approche n’est pas négligeable, des itérations permettront de calculer aussi bien H que le débit Q.

142

Page 142: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

U

Figure 4-13a : Définition des termes d’un déversoir à seuil épais

Mais cette approche est une simplification de la réalité à cause des hypothèses faites (répartition de pression hydrostatique, vitesse uniforme, etc.). En effet si le seuil est court (H/e2 0,5), l’écoulement rapidement varié occupera toute l’épaisseur e ; et s’il est trop épais (H/e I 0’08) le frottement devient appréciable.

Afin de traduire ces effets secondaires, on introduit un Coefficient de débit c d qui tient compte des conditions d’amenée, de la forme du seuil, etc. Les valeurs de cd sont données à la figure 4-13b pour un déversoir rectangulaire à seuil épais et au tableau 4-6 pour un déversoir triangulaire placé dans un canal rectangulaire.

D’autre part on remplace H (la charge en amont) par la hauteur d’eau h correspondante en introduisant un coefficient de vitesse C,,/(H-yJ/(h-yJ qui toujours supérieur à 1. Les valeurs de CV sont données à la figure 4-13c pour diverses sections en fonction du rapport cds*/s où S est l’aire mouillée de la section de mesure de h et S* serait l’aire mouillée dans la section de contrôle si l’on y constatait une hauteur d’eau égale à h (figure 4-1 3a).

Enfin, la profondeur critique yc est exprimée en fonction de h par la relation yc=Kh. La valeur de K est donnée par la résolution de l’équation h=yc+ymJ2 où ymc est la profondeur moyenne pour y’yC (K=2/3 pour une forme rectangulaire, K=4/5 pour une forme triangulaire, voir aussi tableau 1-2 du chapitre 1).

Dans ces conditions, le débit est donné par la formule (4-9) ci-dessous.

(4-9)

Dans certaines formules on regroupe parfois les coefficients de débit Cd et de vitesse CV et éventuellement des constantes de la formule (4-9) dans un coefficient unique p appelé également coefficient de débit. Il faudra donc bien faire attention à la signification de tous les termes y figurant.

143

Page 143: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

W

a0

0.7

Fimm 4-13b : Valeur de Cd pour un déversoir rectangulaire sans contraction latérale : a est la pelle et b, l'épaisseur du seuil (D'après Lencastre).

144

Page 144: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

.. c E

e s. [ c3 f

Q a

m

II F

Page 145: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Plusieurs formules empiriques ont été proposées pour diverses formes et profils de déversoirs. Elles peuvent être utilisées pour mesurer un débit à condition de vérifier les conditions d’étalonnage des coefficients empiriques.

Lencastre donne par exemple des formules assez spécifiques pour des profils trapézoïdaux (Pelle, parements amont et aval fixés au tableau 200 page 599) et triangulaires (parements amont et aval fixés au tableau 201 page 600)

4.3.2 Formules empiriques

BELANGER

C’est un déversoir rectangulaire sans contraction latérale avec un profil rectangulaire (figure 4-14). Le débit est donné en fonction de la charge H en amont par l’expression suivante avec comme valeur approchée p=0,385.

La hauteur d’eau sur le déversoir est telle que b=2H/3. On mesure donc h, et on en déduit la charge H qu’on entre dans la formule pour calculer le débit

Le tableau 4-7 donne des valeurs de p plus précises en fonction de la charge H et de l’épaisseur du seuil e. On peut le résumer ainsi :

1. Pour H/e 2 1 à 2, p est égal à 0,414 (déversoir à seuil mince) ; 2. Pour H = 0,45m, la nappe à l’aval n’est plus adhérente et p 0 , 3 2 8 ; 3. Pour H 4 O, 15m, les valeurs de p sont des valeurs moyennes

Tableau 4-7 : Valeurs de p dans la formule de Bélanger.

146

Page 146: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

BAZIN

Pour le même type de déversoir, Bazin donne la formule suivanteoù p est le coefficient de débit d’un seuil mince :

avec K=(0,70+0,18~) e

0,6Oî5+E)[i+O,5~(&#0,41 h

Pour ces 2 formules, le débit augmente d’environ 10% dans les cas suivants : 1. l’arête en amont est chanfieinée à 45” jusqu’à la hauteur 0,12 e ; 2. l’arête en amont est arrondie par un quart de cercle de rayon

r=0,05e

F ime 4-14 : Déversoir de Bélanger (P m 0,5m) et de Bazin ( h, est mesurée et on prend H=3hJ2

4.4 Déversoirs profilés

Certains profils sont utilisés dans les ouvrages hydrauliques pour améliorer le coefficient de débit du déversoir : profil CREAGER utilisé dans certains évacuateurs de crues des barrages, profil NEYRTEC utilisé dans le modules à masque).

Profd CREAGER

Le seuil épouse (avec une légère surélévation A) la forme de la nappe inférieure d’un déversoir à seuil mince fonctionnant librement sous une charge de conception Ho ou Hd (H est mesurée par rapport à la crête du Creager et tient compte de la vitesse d’approche). Sous cette charge, il n’y aura pratiquement ni dépression ni surpression sur la face aval

147

Page 147: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

La forme est ainsi définie par l’équation suivante où les différents termes sont définis à la figure 4-15.

Y= 1 x‘ K Hot-1

Les différents coefficients K, t de l’équation et les valeurs de raccordement au parement amont qui peut être incliné a, b, Ri et R2 sont donnés au tableau 4-8 en fonction du fruit du parement amont. Parfois pour des raisons de stabilité surtout, le parement aval donné par l’équation ci-dessus se prolonge par une surface plane tangente. La localisation du point de tangence peut influer sur la capacité d’écoulement.

a 4 aut4 - _ _

VY

Figure 4-1 5 : Défintion du profil Creager

Tableau 4-7 : Valeurs des paramètres de forme du Profil Creager

Le débit est donné par la formule ci-dessus où le coefficient de débit est influencé par plusieurs facteurs dont la hauteur de la pelle P, le rapport de la charge réelle H

148

Page 148: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

sur la charge de conception Ho ou Hd, l’inclinaison du parement amont et le prolongement du parement aval.

1.

2.

3.

4.

De la figure 4-16a, on peut tirer la valeur de cdO=o,1246Co en fonction de P/Ho pour un parement amont vertical et pour une charge égale à la charge de conception Ho.

L’influence de la charge de fonctionnement H est traduite par la figure 4- 16b qui donne la rapport c d ( pourla charge H) sur CdO (calculé en 1. pour la charge Ho) en fonction de HMo. On peut y constater que

- -

si H<Ho, le coefficient de débit diminue à cause de la surpression sur la face aval du seuil si H>Ho, le coeficient de débit augmente à cause de la dépression sur cette face. Ch recherche cette augmentation mais la dépression ne doit pas dépasser une certaine valeur pour éviter le décollement de la nappe et les nuisances consécutives (phénomènes de battement, cavitation, etc.). La valeur limite de H est H,,=l ,60H0.

l’effet de l’inclinaison du parement amont est traduit par la figure 4-16c qui donne le rapport CmICh (coefficient de débit du parement incliné sur celui du parement vertical calculé en 2.) en fonction de P/Ho.

Lencastre donne la figure 4-16d illustrant l’infiuence d’un prolongement du parement aval donné par l’équation parabolique par une surface plane tangente. Les courbes sont paramétrés en fonction du point de tangence et de Q/Qo où QO est lé débit pour une charge correspondant à Ho.

Si l’écoulement est noyé, la formule de débit peut être conservée avec une réduction en % du coeficient de débit (cas d’un déversoir à parement amont vertical) donnée la figure 4-16e (courbes en trait plein). Les branches verticales des courbes correspondent aux variations provoquées essentiellement par la cote du fond en aval. Dans les branches horizontales, la diminution du coefficient de débit est lié surtout au degré d’ennoiement hdm. Le graphique est subdivisé par des lignes en traits discontinus en 4 zones correspondant aux types d’écoulement indiqué en médaillon :

- Type 1 : la diminution de c d est Uniquement fonction de cote du radier en aval où le régime d’écoulement est torrentiel

- Type II : il se produit un ressaut et il y’a une zone de transition (type 1 ou II)

- Type III : le ressaut devient ondulé, hd/H diminue mais la veine liquide suit encore la forme du seuil

149

Page 149: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

h 2 h cd

- Type IV : c’est un écoulement nettement noyé ; le phénomène est très instable ; la veine liquide ne suit plus la forme du seuil pour des valeurs plus faibles de h&i. C’est dans cette zone que la diminution de Cd est la plus marquée.

O O, 167 0,375 0,600 0,800 0,875 0,500 0,490 0,470 0,450 0,420 0,405

Profil NEYRTEC

Le seuil normalisé Neyrtec permet d’effectuer des mesures de débit dans des canaux et il est également utilisé, dans les modules à masque de ce même fabricant, comme déversoir.

Il assure un régime dénoyé pour une large gamme de débit (talus avai) et pour des faibles dénivelées disponibles tout en évitant le dépôt des matières ea suspensions dans l’eau (taius amont).

Son profil est triangulaire avec le sommet supérieur arrondi suivant un rayon de courbure r fonction de la pelle P (figure 4-1 7). Les valeurs du rayon de courbure au sommet supérieur, des angles des sommets à la base et de la largeur de celle-ci sont données dans la figure.

Le débit par unité de largeur q est donné par la formule classique du déversoir avec les valeurs du coeficient de débit c d qui sont exprimées en fonction du degré d’ennoiement hz/hI dans le tableau 4-8.

Tableau 4-8 : Coefficient de débit cd du déversoir Neyrtec en fonction du degré d’ennoiement

150

Page 150: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Firrure 4-16a : Valeurs de CdO = 0,1246 CO (CO lu sur la courbe). (d'aprés USBR)

Rapport charge de fonctionnement sur charge de conception H/Ho+

F i m 4-16b : Correction du coefficient de débit pour une charge de fonctionnement H. (d'après USBR)

151

Page 151: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Valeurs de P/Ho

Fime 4-16c : Correction du coefficient de débit pour un parement amont hclhé. (d'apds USBR)

Fiam 4- 16d : Influence du prolongement de la face aval par un plan tangent au poht d sur le coefficient de débit (d'après Lencastre)

152

Page 152: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Position du radier aval (y+h)/H

Figure 4-16e : Réduction du coefficient de débit c d liée aux contions aval (degré d’ennoiement et cote du radier). (d’après USBR)

l B=5,5P I

Fimue 4- 17 : Profil Neyrtec et ses dimensions en fonction de la pelle P.

153

Page 153: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

4.5 Déversoirs noyés

Lorsque le niveau en amont (ou le débit) est influencé par le niveau aval, on dit que le déversoir est noyé. La formule d’un déversoir noyé peut être mise sous la forme classique amis avec un coefficient de débit Cd’ qui est le coefficient de débit c d applicable à un déversoir de même type et à nappe libre par un facteur de réduction K qui est fonction du rapport h2h1 (figure 4- 18) :

On peut constater sur le figure 4-1 8 que le niveau aval commence à influencer notablement le débit (réduction de 5%) pour :

0 --=0,80 hz pour un déversoir à seuil épais ; hi

0 4 0 , 4 0 h pour un déversoir à seuil mince. hi

Les données sur le profil Creager et le profil Neyrtec confirment également ce constat. Les variations de K en fonction de h ~ h l dépendent donc du type de déversoir.

5 LES VANNES

Les vannes sont utilisées pour contrôler le débit à la sortie des réservoirs ou dans les canaux d’irrigation. Dans son fonctionnement la vanne peut être dénoyée ou noyée (figure 4-19).

En écoulement dénoyé, le jet (de profondeur y2) est torrentiel et ouvert à l’atmosphère. Il n’est pas submergé par la profondeur d’eau à l’aval y3 car il se produira un ressaut qui réalise une coupure hydraulique entre les 2 écoulements (torrentiel et fluvial).

En écoulement noyé, la profondeur d’eau en aval y3, qui est fluviale et donc contrôlée par l’aval, est plus grande que la profondeur conjuguée (au sens du ressaut) de la profondeur du jet YZ.

154

Page 154: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Fimue 4- 1 8 : Facteur de comtion K de la formule du déversoir noyé pour divers profils (1 : seuil épais ; 2 : profil trapézoïdal, 3 : seuil mince,).

T---=l Rourut

b /~///////////////////////////,

Vannodhno- Vrnno no-

Fimue 4- 19 : Définition de la vanne dénoyée ou noyée.

155

Page 155: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.1 vannes dénoyées

L’expérience montre que :

la profondeur d’eau y2 au niveau du jet est égale à Cc*b où Cc est un coefficient de contraction (proche de 0,61) et b est la levée de la vanne ;

la répartition de pression est hydrostatique au niveau de la contraction et les vitesses y sont uniformes.

L’écoulement entre les sections 1 et 2 étant convergent sans dissipation d’énergie, on peut écrire le théorème de Bernoulli suivant où q est le débit par unité de largeur :

2 2

4 2=y2+= : %Y,

4

En tenant compte de la relation y2=CCb ; une transformation algébrique permet de calculer le débit unitaire (équations 4-10).

(4- 1 Oa)

(4- 1 Ob)

Comme le coefficient de contraction C, dépend de la géométrie de la hntière (b/yi), le coefficient de débit dépendra uniquement de b/yi.

Les différentes expériences sur les vannes verticales ont montré que C, est de l’ordre de 0’60 a 0’61 et si le rapport b/yl est négligeable, le coefficient de débit c d sera de l’ordre de 0’61 d’après l’équation (4-lob).

Le coefficient de contraction sera plus grand que 0’61 si la vanne est inclinée comme dans le cas d’une vanne segment (Figure 4-2Oa). Pour ce type de vanne, le coefficient de débit est donné en fonction des rapports yl/r, ah, b/r à figures 4-20b.

5.2 Vannes noyées

La profondeur y2 où l’on observe une vitesse uniforme est produite par la vanne et la profondeur y3 est due à un contrôle situé à l’aval. Si y3 est plus grand que la profondeur conjuguée (au sens du ressaut) de y2, la vanne sera noyée.

Le jet issu de la vanne sera surmonté par une masse d’eau, fortement turbulente parfois, sans mouvement net dans une direction donnée. On peut donc considérer que c’est une masse d’eau stagnante.

Page 156: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- / L

/

a YS

//,///’/,//// a) Vanne secteur

b) coefficient de débit

Firnues 4-20: Vanne secteur et valeurs du coefficient de débit de débit en fonction des rapports yllr, d r et blr

En première approximation on suppose que les pertes de charge se produisent uniquement entre les section 2 et 3. Dans ces conditions, l’application du théorème de Bernoulli entre les sections 1 et 2 donne :

2 2

Il faut bien noter y à la place de y2 (la pression est due à toute la colmne d’eau y et non le jet y2 mais la vitesse n’a lieu que sur y2) dans le cas de la vanne noyée.

Entre les sections 2 et 3, comme l’écoulement est divergent, on applique le théorème des quantités de mouvement :

157

Page 157: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Dans la pratique, YI, y2=Ccb et y3 sont connus d’avance et on doit calculer le débit par unité de largeur q et éventuellement la profondeur y qui doit être la solution de l’équation du second degré (4-11) obtenue en éliminant q2/2g dans le syseme constitué par les équations de Bernoulli et des quantités de mouvement. Seule la solution supérieure à la profondeur conjuguée de y2 sera retenue.

(4-1 1) 3 2 3 2

Y2Y3 Y172 YiY2 +

4(y2 - y3) y +- Y- (- Yi - Y2 y; - y; 4(Y* - Y,)

avec

Connaissant y et YI, le théorème de Bernoulli donne :

On peur également mettre le débit sous la fonne classique (4-1Oa) à condition de prendre la Valeur de c d donnée par l’équation (4-1Oc) ci-dessous.

(4- 1 Oa)

(4- 1 Oc)

Les valeurs expérimentales de c d (Figure 4-21) ne sont pas éloignées de celles issues de la thbrie ci-dessus (trait discontinu sur la figure) pour les valeurs de y3/b=5 , Cc=0,6 et y calculé par l’équation (4-1 1) pour y1 et y3 connus (erreur relative de 5%).

Page 158: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Finute 4-21 : Coefficient de débit d'une vanne verticale.

5.3 Formules approchées

PONCELET donne la formuie approchée ci-dessous pour une vanne dénoyée sans contraction. La hauteur d'eau en amont H est mesurée à partir de l'axe du pertuis et non du radier (figure 4-22).

avec C=O,70 pour une vanne verticale ; C=0,74 pour une vanne incliné à 1W2V (60") ; C=0,80 pour une vanne incliné à 2W2V (45").

Si la vanne est noyée, on remplace H par AH la différence des niveaux d'eau entre l'amont et l'aval.

159

Page 159: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 4-22 : Formule approchée de Poncelet.

6 LE VENTURI ou PARSHALL

Le canal Venturi est constitué par une réduction progressive de la section transversale jusqu’au col (section rétrécie) qui est suivi d’un élargissement progressif (divergent) pour retrouver la section initiale (figure 4-23) ,

Pour un radier horizontal, en supposant un régime critique au niveau du col avec une répartition de pression hydrostatique, on retrouve le débit critique :

Compte tenu des hypothèses faites, on affecte des coefficients de débit c d et de vitesse CV qui transforme cette 6quation comme dans le cas de la théorie des déversoirs à seuil épais :

avec K=2/3 pour un col recîangulaire (voir les déversoirs épais).

Les valeurs expérimentales de c d sont données au tableau 4-9 pour des sections de contrôle rectangulaires et trapézoïdales et les valeurs de Cv à la figure.

Tableau 4-9 : Valeurs des coefficients de débit c d et de vitesse des canaux Venturi longs

160

Page 160: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Parshall a apporté une amélioration à cette conception au niveau du profil en long , de la normalisation des dimensions et de la transition afin de dénoyer le Venturi même aux forts débits (Figure 4-23).

La formule de débit dans le système d'unités SI pour un écoulement dénoyée est donnée ci- dessous où X est un exposant fonction de la largeur du col 12 (Tableau 4-10) et la hauteur d'eau hl est mesurée aux 2/3 ge la distance entre le seuil d'entrée du convergent et l'entrée du col :

Les dimensions principales du Parshall sont, dans le système S.I., données par les équations SLliVanteS :

A=l, 1961,+0,479

B=0,491,+1,194

F i m 4-23 : Dimensions principales du canal Parshall : a) vue en plan ; b) profil longitudinal du radier.

161

Page 161: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Largeur du col 12 (m)

Exposant X

Tableau 4-10 : Valeurs de l’exposant x dans la forIm.de de débit du canal Parshail (d’après Carlier)

0’2 0’6 0’8 1’0 2’0 2’6

1 1,506 1,548 1,560 1,569 1,598 ,609

Pour le détails des dimensions et des abaques des a Parshall )) commerciaux, on peut se référer à l’annexe du chapitre 4 tiré de Lencastre.

En choisissant convenablement le Parshall (limite de l’ennoiement), on peut limiter la perte de charge (surélévation du niveau amont après introduction de l’appareil dans le canal) à 0,20hi. En effet, il introduit des pertes de charge de l’ordre de 0,08 à 0,25 hl et il présente l’avantage de ne pas provoquer des dépôts de matières en suspension dans l’eau comme dans le cas d’un déversoir.

7 LES APPLICATIONS DU RESSAUT HYDRAULIQUE

Les applications du ressaut sont nombreuses :

0 dissipation d’énergie à la sortie des évacuateurs de crues ou des vannes de fond pour éviter l’érosion du talus aval ;

augmenter ou maintenir le débit d’une vanne ou d’un déversoir en réalisant une coupure hydraulique avec le niveau d’eau aval qui n’influence plus le débit ;

mixer des produits chimiques utilisés dans le traitement des eaux ou aérer l’eau si nécessaire ;

etc.

7.1 Bassins de dissipation d’énergie

Dans quelques types de ressaut, la dissipation d’énergie est appréciable. Les vitesses à l’aval (régime fluvial) sont réduites par rapport à celles à l’amont (r6gime torrentiel). Ces propriétés font utiliser le ressaut comme dissipateur d’énergie pour éviter les érosions à l’aval d’un (t coursier de l’évacuateur de crue d’un barrage )) ou d’une vanne de fond.

Pour stabiliser le ressaut au voisinage du pied de l’ouvrage pour différents débits possibles, on approfondit habituellement la radier du canal réalisant ainsi un bassin de dissipation bien stabilisé.

162

Page 162: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On peut placer à la fin du bassin un seuil formé par une pente adverse avec éventuellement des blocs de chute et des blocs chicanes ; formes qui intensifient la dissipation d’énergie et aident à stabiliser le ressaut à l’intérieur de bassin (Figures 4-24).

Le ressaut devra être légèrement submergé dans le calcul du bassin de dissipation avec un degré de submersion S de l’ordre de 0,06 à 0’12.

Dans les figures 4-25, les profondeurs conjuguées sont désignées par hl et hz ; et la longueur du ressaut en canai rectangulaire horizontal est notée C et donnée par la figure 4-8.

Bassin type II USBR (figure 4-24a)

C’est un basin ,avec blocs de chute et seuil denté, qu’on utilise pour des chutes inférieures à 65 m, des débits par unité de largeur inférieurs à 45 m3/s/ml et des nombres de Froude à l’amont Fr1 inférieurs à 43.

Bassin type III USBR (figure 4-24b)

Le seuil n’est plus denté et on trouve des blocs d’amortissement ou blocs chicanes entre la rangée des blocs de chute et le seuil. Ce dispositif réduit considérablement la longueur du bassin. La figure 4-24c permet de dimensionner les blocs.

On utilise ce type de bassin pour U148 m/s , q 4 8 m3/s/ml (pour éviter la cavitation sur les blocs d’amortissement) et Fr1>4,5.

Le niveau minimal de l’eau à l’aval est celui qui correspond à 0,83h2 ou 0,83y2.

Bassin type IV USBR (figure 4-24d)

C’est un bassin avec déflecteurs et un seuil terminal continu, qui est indiqué dans le cas du ressaut oscillant (2,5<Fr1<4,5). Le rôle des déflecteurs est d’atténuer les ondulations de manière significative.

7.2 Ouvrages de gestion de l’eau et coupure hydraulique

On utilise le ressaut pour réaliser une coupure hydraulique dans le fonctionnement des appareils de gestion de l’eau sur un périmètre irrigué: modules à masques , partiteurs proportionnels. C’est ainsi que ces appareils ne seront pas influencés par l’aval.

7.2.1 Module à masque

Il maintient un débit plus ou moins constant pour une large gamme de hauteur d’eau. La constance du débit est obtenue par des moyens entièrement statiques : association d’un seuil profilé ( Q W ~ ~ ~ ) et d’un masque fixe placé au dessus qui corrige l’effet sur le débit (Q-hln) d’une élévation du niveau amont.

163

Page 163: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 4-24a : Bassin type II USBR

Fimire 4-24b : Bassin type III USBR

164

Page 164: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 4-24c : Dimensionnement des blocs de chute pour bassin type IIi USBR.

Figure 4-24d : Bassin type IV USBR.

165

Page 165: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Le débit ne varie pas non plus en fonction du niveau aval à cause de la coupure hydraulique réalisée par le ressaut.

Les modules se présentent sous la forme d’ensembles métalliques monoblocs qu’il suffit de sceller à bonne cote dans des maçonneries en attente pour réaliser des ouvrages de prise perfectionnés.

Ils se fabriquent dans 4 types de dimensions en profil différentes, caractérisés par le débit nominal passant par unie de largeur :

Série X : 10 Y d d m SérieXX: 2Ol/ddm Série L : 50 Y d d m Série C : 100 Ysldm

La désignation de la série est assortie d’un indice 1 ou 2 selon que les appareils sont du type à 1 ou 2 masques (Figures 4-25).

Le tout est suivi d’un nombre qui désigne le débit nominal de l’appareil, toutes vannes ouvertes.

Le débit est fkactionnable par échelon de : 5 l/s dans la série X qui comprend des vannettes de 5,10,15,30 Ys ; 1 O l/s dans la série XX ( vannettes de 1 O, 20,30,60, et 90 Ys) ; 50 Ys dans la série L ( vannettes de 50,100,200, et 400 Ys) ; 1 O0 l/s dans la série C (vannettes de 100,200,400,600 et 1 O00 Ys)

7.2.2 Parüteur proportionnel

Le partiteur est une prise spéciale partageant le débit arrivant en 2 (ou plusieurs) fractions constantes. Les volets mobiles permettent de faire varier la proportion des débits.

Un bon partiteur doit présenter une section critique suivi d’un ressaut afin que le partage ne soit pas influencé par les conditions aval (figure 4-26).

166

Page 166: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Fiaire 4-25a : Schéma de principe et courbe de fonctionnement d'un module à 1 masque

F i m 4-25b : Schéma de principe et courbe de fonctionnement d'un module à 2 maques

167

Page 167: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Yigure 4-2% : Courbe de lonctionnement aes moames a 1 masque

Page 168: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

s i 1 I s i

I

i

1 ; j i

Figure 4-25d : Courbe de fonctionnement des modules à 2 masques

169

Page 169: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

F i m 4-26 : Partiteu' proportiomel.

170

Page 170: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

d

Chapitre 5

Etude des singularités

8

Page 171: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 5

ETUDE DES SINGULARITES

1 POSITION DU PROBLEME

1.1 OBJECTIFS

1.2 DON~PIEES

1.3 TYPE DE PROBLEMES

1.4 METHODE D’ETUDE

2 CHANGEMENTS DE PENTE

2.1 AUGMENTATION DE LA PENTE

2.2 DIMINUTION DE LA PENTE

3 CHANGEMENTS DE NIVEAU DU RADIER

3.1 EXHAUSSEMENT DU RADIER

3.2 ABAI~SEMENT DU RADIER

4 CHANGEMENTS DE SECTION

4.1 RETRECISSEMENT DE LA SECTION

4.2 ELARGISSEMENT DE LA SECTION

4.3 RETRECISSEMENT LOCALISE

5 PHENOMENES LOCAUX

5.1 PILES DE PONT

5.2 GRILLES

5.3 COUDES O 8 .

6 EXTREMITES DES CANAUX

6.1 PASSAGE D’UN RESERVOIR A UN CANAL

6.2 PASSAGE D’UN CANAL A UN RESERVOIR

172

Page 172: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 5

ETUDE DES SINGULARI'TES

1 POSITION DU PROBLEME

Les ouvrages hydrauliques sont constitués essentiellement de canaux prismatiques prévus pour acheminer le débit en régime uniforme. Mais les contraintes dues au fonctionnement des ouvrages empêchent de respecter partout les conditions d'écoulement uniforme.

Ces conditions ne sont pas respectées autour des "singularités" de l'écoulement (changement de pente, changement de niveau du radier changement de section, extrémités, etc.).

Dans les écoulements en char%, une singularité provoque un abaissement brusctue de la ligne de charge ; au contraire, dans un écoulement à surface libre dans un canal sufisarnment long, une singularité provoque une perturbation qui se ressent le long d'un tronçon plus ou moins long. Mais en dehors de ce tronçon, le régime demeure avec des caractéristiques énergétiques similaires à celles qui se produiraient s'il n'y avait pas de singularité.

Ainsi l'expression de la perte de charge localisée a une signification un peu différente de celle qui correspondait à une conduite en charge et sa détermination est généralement plus dificile.

1.1 Objectifs

L'étude des singularités de l'écoulement permet :

soit de prévoir le dimensionnement local des ouvrages de telle manière qu'ils contiennent les perturbations mentionnées ci - haut

soit de modifier les dispositions des singularités de telle manière que les irrégularités de l'écoulement soient réduites et que le dimensionnement courant des ouvrages les contiennent.

Parfois des cas apparemment similaires provoquent des conditions d'écoulement et des pertes de charge bien différentes. C'est pourquoi toutes les fois que la nature du problème le justifie, il est recommandé de faire des essais sur modèle réduit.

1.2 Données

Les données théoriques de l'étude des singularités ont été déjà vues dans les chapitres précédents :

173

Page 173: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

a J '

L'étude qualitative des écoulements graduellement variés qui permet de définir l'allure des courbes de remous à proximité des singularités.

L'étude quantitative des écoulements graduellement variés qui permet de tracer les liynes d'eau correspondantes. connaissant la section de contrôle correspondante.

L'étude des écoulements brusquement variés qui permet de définir auantitativement certaines section de contrôle.

L'étude des écoulements uniformes qui permet de définir quantitativement certaines autres sections de contrôle.

1.3 Type de problèmes a

Les problèmes rencontrés sont de deux types :

Soit le débit est connu : Il s'agit alors de déterminer la ou les sections de contrôle et de définir la ligne d'eau dans la zone d'influence de la singularité.

Soit le débit n'est pas connu : Dans ce cas, une condition de niveau (Réservoir par exemple) permet de calculer le débit et ensuite de tracer la ligne d'eau.

1.4 Méthode d'étude

L'étude des singularités est basée dans la plupart des cas sur l'interprétation des courbes Hs (y) correspondant à la singularité.

Le tableau 5.1 synthétise les conclusions de l'étude qualitative des écoulements graduellement variés. On peut en tirer les remarques suivantes :

1) Connaissant la charge spécifique Hs dans une section donnée, la courbe Hs(y) définit deux profondeurs y1 et y2 correspondant au .régime torrentiel et au régime fluvial respectivement.

II faut une charge spécifique minimale Hsc pour établir un écoulement dans une section donnée.

Certains types de courbe de remous permettent d'augmenter la charge spécifiaue Hs et l'écoulement devra s'adapter suivant de telles courbes pour avoir la charge spécifique minimale Hsc au niveau de la singularité.

Ce sont les courbes F 1, T 1, T2, C 1 pour lesquelles - dHs > O dx

8 $ 8

Le passane du réaime fluvial au régime torrentiel nécessite le passage par une section critique (chute)

174

Page 174: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Type de

Courbc

Profondeur! d'eau Y

Allures Courbes Hs

w. F1 Y'Yn>Yc + +

+ F2 J Yn>Y>Yc

F3 Yn>Y c>Y + -

+ t- T1 + Y>Yc>Yn ----i; +

+ T2

.a O El

T3

c3 +

Y Y>Yc H2

H3 Yc>Y

Y A2 +

A3

Tableau 5-1 : les divers types de courbes de remous

175

Page 175: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5 ) Le passage du régime torrentiel au régime fluvial nécessite un ressaut. L'équation du ressaût permet de calculer y2 (profondeur cdnjuguée de YI) connaissant YI.

6) Il n'y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à une profondeur normale torrentielle à l'amont. Cette profondeur doit être atteinte à l'amont immédiat de la singularité ou par l'intermédiaire d'un ressaut. L'écoulement torrentiel est influencé par l'amont jusqu'à la singularité ou au ressaut.

7) Il n'y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à une profondeur normale fluviale à l'aval. Cette profondeur doit donc être atteinte à l'aval immédiat de la sinaularité ou par l'intermédiaire d'un ressaut. L'écoulement fluvial est influencé par l'aval jusqu'à la singularité ou au ressaut.

La combinaison de ces diverses remarques permet de définir les singularités de l'écoulement. Les singularités suivantes seront étudiées en fonction du caractère rapide ou lent des biefs amont et aval de la singularité :

I

changement de pente changement de radier changement de section extrémités de canaux

Ces divers types de singularités sont étudiés en fonction du caractère rapide ou lent des tronçons de canaux amont et aval de la singularité.

Dans ces divers cas le critère de l'énergie spécifique nécessaire pou franchir la singularité crée des variantes supplémentaires.

2 CHANGEMENTS DE PENTE

Considérbns un canal de section constante dont fa pente longitudinale varie brusquement.

Les biefs situés à l'amont et à l'aval du changement de pente seront supposés uniformes et de grande longueur ; aux extrémités amont et aval du canal le régime est donc uniforme.

Proposons de déterminer la forme mise par la ligne d'eau de part et d'autre du changement de pente, le débit du canal étant connu.

On commencera par préciser la classe de la ligne d'eau (F, 1, C, H, A) dans chaque portion du canal en comparant les profondeurs normale yn et critique yc (yc ne dépend que du débit Q et yn varie en sens inverse de la pente 1.

Les conditions aux limites permettront ensuite de déterminer les tvpes de courbes de remous et leurs contrôles.

176

Page 176: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2.1 Augmentation de la pente

On distingue trois cas possibles comme le montre le tableau 5-2a :

lm cas : Le régirne normal est fluvial dans les 2 biefs (NFpuis NF)

Le rénime normal fluvial aval vient iusau'à la singularité ( puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval). L'action de la singularité se fait ressentir à l'amont par une courbe de remous F? - dans le bief 1

dont le contrôle est Y.2. - >'

22 Cas : Le régime normal est torrentiel dans les 2 biefs (NTpuis NT)

Le régime normal torrentiel amont vient jusau'à la singularité ( puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont). L'action de la singularité se fait ressentir à l'aval par une courbe de remous - T2 dans le bief 2 dont le contrôle est va -

32 Cas : Le régime normal estjluvial à 1 'amont et torrentiel à l'aval (nFpuis N ï J

L'action de la singularité se fait sentir à l'amont et à l'aval de la singularité. Une courbe de remous F2 permet le raccordement à yn1 (contrôle yc) dans le bief 1 et une autre courbe de remous 7'2 permet le raccordement à y& (contrôle yc) dans le bief 2

I r .

2.2 Diminution de la pente

On distingue 4 cas possibles comme le montre le tableau 5-2b :

- lm Cas Le régime normal est fluvial sur les 2 bit@

Le régime normal fluvial aval s'établit jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval). La singularité fera sentir son effet à l'amont (bief 1) par une courbe de remous Fi dont le contrôle est yn2.

2"' Cas : Le régime normal est torrentiel sur les 2 biefs

Le régimJe normal torrentiel amont s'établit jusgu'a la singularité (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont). La singularité fera sentir son effet à l'aval (bief 2) par une courbe de remous T3 dont le contrôle est Yn1.

177

Page 177: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

- Cas Lignes d'eau

NF

NT

d 4

-.- -..\

< ...,

Interprétation sur les courbes Hs(y)

Ha / 0

Y l / I

0 4

Tableau 5-2a: respectives en amont et en aval ; yc ne varie pas avec la pente.

Augmentation de la pente. yn1 et yn1 sont les profondeurs normales

178

Page 178: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Cas

$a

êl

h 4 A

A

h

.. i!

b 3

h 2

h v, A

V

h

.. 3

s crl

-

h êl

h L &

A

h

.. 3 E d 4)

4

.y

O

.O 6 m

- - Tak

Lignes d'eau

NF

1 4 c

NF

NF

Interprétation sur les courbes HsW

Y

n

eau 5-2b : Diminution de la pente. ynl et ynl sont les profondeurs normales respectives en

179

amont et en aval ; yc ne varie pas avec la pente.

Page 179: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

J

3h et P cas : Le régime normal est torrentiel à l’amont et fluvial à l’aval

La ligne d’eau doit obligatoirement passer du réaime - torrentiel au régime fluvial ; il y aura donc un ressaut. La singularité fera sentir ses effets à une très faible distance à l’amont où il est torrentiel et à l’aval où il est fluvial. Le régime ne sera plus graduellement varie mais brusquement varié, ce que traduit le ressaut.

La position du ressaut dépendra des grandeurs relatives des profondeurs normales vgLyn2L leurs con-iuguées V’nl& - - dans les deux biefs. -

3& ca~ : Si y’nl> yn2 ou si y’n2> S>nl ,. Le ressaut se produira dans le bief aval (2)

Le régime normal torrentiel amont arrive jusqu’à la singularité ; une courbe de remous F3 ayant comme contrôle yni augmentera la profondeur d’eau y jusqu’à atteindre y’a puis un ressaut ( ~ ’ ~ 2 y i ) se forme. I

* Cas : Si y’m1<yn2 ou siy’n2< ynl ,.Le ressaut se produira dans le bief amont (1)

Le régime normal fluvial aval arrive jusqu’à la singularité ; une courbe de remous T1 ayant comme contrôle y d diminuera la profondeur d’eau y vers l’amont dans le bief 1 jusqu’à atteindre y’n1, puis le ressaut se forme pour diminuer Y’n1 à y,l.

3 CHANGEMENTS DE NIVEAU DU RADIER

On suppose que la section du canal et sa pente restent constantes. On supposera également que les Dertes de charge sinaulières sont négligeables seuil suffisamment progressif et convenauement profilé). ! ,

Les biefs situés à l’amont et à l’aval du changement de niveau seront supposés uniformes et sufisamment longs ; aux extrémités amont et aval du canal, le régime est uniforme. Le problème est de déterminer la forme de la 1igne.d’eau de part et d’autre du changement de niveau du radier.

On commencera par déterminer la classe de la ligne d’eau ; le débit étant connu. Les conditions aux limites permettront ensuite de déterminer les types de courbes de remous.

3.1 Exhaussement du radier

La courbe Hs(y ) du canal aval est translaté de + h vers les ordonnées Hs (figure 5-1). Les profondeurs critique et normale sont les mêmes dans les 2 biefs; elles sont seulement translatéeh de +h vers le haut dans le bief 2. onkiistingue 3 cas possibles comme le montre le tableau 5-3a.

180

Page 180: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

AV

J

yc

Figure 5-1 : Exhaussement du radier de +h : la courbe du bief aval est translaté vers le haut de la quantité h.

- 1” Cas : Le régime normal est fluvial i) !’ ,

Le régime fluvial aval s’établit jusqu’à la singularité (puisqu’il n’y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder4 un écoulement normal fluvial aval). Une courbe de remous F1 de contrôle y& diminue la profondeur jusqu’à y,1 dans bief 1.

9’ et * cas : Le régime normal est torrentiel

Cas l’énergie spécifiilue du régime normal amont est suffisante pour franchir la singularité : Hsl(y,J H s C y Hscl+h

Le régime torrentiel amont est conservé jusqu’à la singularité qu’il peut fianchir (puisqu’il n’y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval). Une courbe de remous T2 de contrôle y2 tel que Hsl(y,J= Hs2(y$ diminuera la profondeur jusqu‘à y& dans le bief 2.

3&’ Cas : 1 ’énergie spécijique du régime normal amont n’est pas suffisante pour

r >* ,

franchir la singularité : H s & J < HsC2= Hscl+h

Il faut une courbe de remous pour augmenter l’énergie spécifique Hsl(y,J ; mais il n’y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont.

Un ressaut transforme y,, en Y’ni ; une courbe de remous T1 de contrôle y3 tel Hsl(yJ)= HsC2 augmente la charge spécifique jusqu’à la valeur requise HsC2 pour franchir la singularité ; tout ceci dans le bief 1.

La singularité est franchie avec HsCz et une courbe de remous T2 de contrôle yc2 diminue la profondeur jusqu’à y& dans le bief 2.

J * .

181

Page 181: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Lignes d'eau

HS1(yJ> Hkc2

Interprétation sur les courbes

Hs /

wu "Ys1

Hscz

Hsci

Hs Hs2

Hsc2 H ~ c i

Ha

b 2

HSCl

/

Tableau 5-3a : Exhaussement du radier de +h. Les profondeurs y , ~ et yc2 à l'aval sont les mêmes qu'en amont ; elles sont seulement exhaussées de +h.

182

Page 182: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

3.2 Abaissement du radier

La courbe Hs(y) du canal aval est translaté de -h vers les ordonnées Hs (figure 5-2). Les profondeurs critique et normale sont les mêmes dans les 2 biefs; elles sont seulement translatées de h vers le bas dans le bief 2.

Figure 5-2 : Abaissement du radier de +h : la courbe du bief aval est translaté vers le bas de la quantité h.

1" et 2"" cas : Le régime normal estfiuviai

Les 2 cas sont similaires et ils se distinguent seulement par le contrôle de la courbe F2 dans le bief 1. Le régime fluvial aval s'étend jusqu'à la singularité dans le bief 2 (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval).

le' Cas : l'énergie spéctjïque du régime normal aval est supérieure à l'énergie critique de la s e c t h amont : Hs2GyiS =HsI@,,) - h >H&

Le contrôle y2 de la courbe de remous F2 dans le bief 1 est tel que Hs2&J =HS&,,) - h=H&> calculé sur la courbe amont

2""" Cas : l'énergie spécwque du régime normal aval est inférieure à C'énergie critique de la s e c t h amont : Hs2U>ns =Hs~@,,) - h < HsC1

Le contrôle de la courbe de remous F2 dans le bief 1 est yc et une chute se produit à la singularité pour atteindre le régime normal fluvial à l'aval.

183

Page 183: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Lignes d'eau

iisa(y4.c HSCI

Interprétation sur les courbes &(Y)

H s i Ha

HSCI

Htk2

, I 'Y

Y= Y2 Yn

Ha

Hscl Hsu2

Hsi

/ 1 I ,.I I V !

) " l I

Y2Y" Y, I l

+ Y

Tableau 5-3b : Abaissement du radier de +h. Les profondeurs y& et yc2 a l'aval sont les mêmes qu'en amont ; elles sont seulement abaissées de +h.

Q f .

184

Page 184: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

3"' cas : Le régime normal est torrentiel

Le régime torrentiel amont détend jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont). Une courbe de remous T3 de contrôle y2 s'établit dans le bief 2. le contrôle y2 est tel que HsI(VJ= H s ~ ( V ~ = Hk(Vj-h

U

4 CHANGEMENTS DE SECTION

Le canal a la même pente avant et après le changement de section. Les pertes de charge localisées seront négligées (examiner leurs importances après)

Les courbes Hs(y) sont décalées en Hs et y et seront tracées en fonction des géométries. Dans les exemples qui suivent, la forme du canal ne change pas (seule la largeur b pour un canal rectangulaire ou trapézoïdal change.

4.1 Rétrécissement de la section

La courbe H s ~ est au dessus de Hs1 et elle est décalée en y vers la droite (figure 5-3).

a

Figure 5-3 : Rétrécissement de la section.

a

185

Page 185: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On peut distinguer les cas typiques suivants (tableau 5-4a) :

le* Cas : Le régime normal estfluvial avant et après le rétrécissement

Le régime normal fluvial aval s'exerce jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y a de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval et il n'y a pas de ressaut).

Une courbe de remous F1 de contrôle y2 tel que Hsl(y2) = Hsz(yd) remontera la ligne d'eau dans le bief Ide ynl à y2.

2"" cas Z e régime normal estpuviai avant et torrentiel après le rétrécissement

Une courbe de remous F1 de contrôle y2 tel que Hsl(y2) = Hsc2 remontera la ligne d'eau dans le bief Ide ynl à y2.

Une courbe de remous T2 de contrôle yc2 diminuera la profondeur d'eau de yc2 à yd dans le bief 2.

3h cas ; Le régime normal est torrentiel avant etfluvial après ie rétrécissement.

L'écoulement normal fluvial vient jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y a de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval) dans le bief 2.

Un ressaut raccorde l'écoulement normal torrentiel amont à une courbe de remous T1 dont le contrôle y2 est tel que Hsl(y2) = Hsz(yd) dans le bief 1.

4""" et SL" cas ; Le régime normal est torrentiel avant et après ie rétréciwement.

dm Cas : L'énergie spécifique de l'écoulement normal amont n'est pas sufliante pour franchir la singularitè : HsICynS < Hscl

Il faut qu'une courbe de remous augmente Hsl(Yn1) avant le franchissement ; ce qui ne peut se faire que par l'intermédiaire d'un ressaut qui fera passer y,~ , torrentiel à y'nl fluvial. On aura donc un ressaut suivi d'une courbe de remous T1 dont le contrôle y2 est tel que Hsi(y2)= Hsc2 dans le bief 1.

Une courbe de remous T2 de contrôle yc2 diminuera la profondeur d'eau de yc2 à y a dans le bief 2.

C'est le contrôle de la courbe T1 dans le bief 1 et la courbe T2 à la place de l'écoulement normal qui distingue le qeme cas du le 3ème cas.

* Cas : L'énergie spécrque de l'écoulement normal amont est suJjfibante pour franchir la singularité : HsICynl) > Hsd

.Le régime torrentiel amont s'établit jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y a de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont et il n'y a pas de ressaut).

186

Page 186: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Lignes d'eau

-- Y,, 'A I ic lc l

141 c2

Interprétation sur les courbes Hs(y)

k

Hs

h o 2

H s o l

1 Hs2

l Ycl, ycp y*

H

Hs

k c 2

Hscl

1 H62

l 1 I 'Y

I Y"2 y2 Y",

Tableau 5-4a : Rétrécissement de la section. La courbe de la section aval (2) est au-dessus de celle de la section amont (1).

d

187

Page 187: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Cas

..

Lignes d'eau

I I l

Interprétation sur les courbes Hs(y)

h

Hs

h C 2

)btl

// 1 Hs'

y"l rcp Yc2 Y2 Y"2

k

kb

WC2

H8cl

1 HB2

,, , .Y ' 1 Ycl Yc2

Y", Y",

Tableau 5-4a (suite) : Rétrécissement de la section. La courbe de la section aval (2) est au- dessus de celle de la section amont (1).

188

Page 188: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

9 ' 4.2 Elargissement de la section

La courbe &2 est en dessous de H,s~ et elle est décalée en y vers la gauche (figure 5-4).

O

At l

Figure 5-4 : Elargissement de la section.

On peut distinguer les cas typiques suivants (tableau 5-4b) :

1" cas et 2à"e cas : Le régime normal estfluvial avant et après I'éiargissement

1 " Cas i L 'énergie spécifique de 1 'écouleqenf normalfluvial aval dépasse 1 'énergie spécifique critique de l'amont: Hs&,S>HsCr

Une courbe de remous F2 dont le contrôle y2 est tel que Hsi(y2) = &2(yn~) diminue la profondeur d'eau et l'énergie spécifique dans le bief 1 pour franchir la singularité.

Le niveau normal fluvial aval se conserve jusqu'à la singularité dans le bief 2 (puisqu'il n'y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval et il n'y aura pas de ressaut).

cas : L'énergie spécàflque critique de l'amont dépasse l'énergie spécàflque de 1 'écoulement normal fluvial aval : Hsz(ynz)<HsC~

Il faut une courbe de remous et éventuellement un ressaut pour diminuer l'énergie spécifique critique atteinte au niveau de la singularité dans le bief 1.

Une coulabe de remous de type F2 de contrôle!yclz diminue la profondeur d'eau et l'énergie spécifique dans le bief 1 comme dans le l m cas.

189

Page 189: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre
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-a1 et cc3 sont les coefficients d’énergie cinétique aux sections respectives 1 et 3.

- a i et a ; sont les coefficients pour exprimer que la répartition des pressions n’est pas hydrostatique dans les sections 1 et 3

T72 avec l’hypothèse que a +i et cz ;=l+k,- Y 3

%Y3

On peut déduire de cette expression la vitesse V3 :

Le débit sera alors donné par Q = C, S3 V3 où Cc est le coefficient de contraction de la veine. Les différents coefficients sont regroupés pour donner l’expression suivante du débit où le coefficients C doit être déterminé empiriquement :

où Ah=y1-y3 est la chute de la surface libre entre les sections 1 et 3.

L’USGS a donné les différents facteurs qui influencent le coefficient C sous la forme suivante (figures 5-7) :

o ù

- C’ est une valeur de base correspondant à des conditions bien particulières à chaque type de rétrécissement.

- Les coefficients K sont des facteurs correctifs pour des conditions s’écartant de celles de C’ :

0 KF tient compte de l’effet du nombre de Froude aval à la section 3. Ce nombre de Froude doit être Sérieur à 0.8. A priori il n’est pas connue mais on procède par approximations successives en prenant une valeur

197

Page 197: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

initiale du débit. On peut admettre en première 7

Dans ces calculs :

approximation F,=F,,=V,/Jgy,

Kr tient compte de l’effet d’arrondi des culées verticales.

KW tient compte du chanfrein W (longueur du mur en aile dans une direction normale à la section 3) et de l’angle d’ouverture 9 (angle entre le mur en aile et le plan du rétrécissement ) dans le cas des culées verticales.

$ tient compte de l’effet du biais du pont. (4 est l’angle entre l’axe du pont et la section droite de 1’ écoulement).

Ky Tient compte de l’effet de la profondeur d’eau moyenne rapportée à la largeur au droit du pont: (yb+ya)/2b avec ya et Yb les profondeurs d’eau aux pieds des culée, calculées sans le remous.

& tient compte de l’excentricité du rétrécissement par rapport au champ d’écoulement : e = Kfib où Ka et Kb sont les débitances (ou coefficients de transfert) des sections latérales barrées par le pont.

K, tient compte du h i t E (horizontavvertical) des remblais et de la pente des culées représentée par le rapport x/b où x est la distance horizontale entre l’intersection du remblai et de la culée, et un point du remblai amont ayant la même cote que le plan d’eau amont (section 1).

Kt tient compte de l’effet de la submersion éventuelle du tablier

Kj Tient compte de l’effet des piles de pont ; fonction de leurs formes, du rapport j = Aj/A3 où Aj est la section transversale mouillée des piles et A3 la section mouillée aval.

L est la largeur moyenne de la culée dans la direction de l’écoulement excluant la partie divergente.

198

Page 198: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

m = 1 - G est le coefficient d’ouverture où CT = KJKB , avec Kc et KB les débitances (ou coefficients de transfert) respectives de la section rétrécie et de la section totale pour une profondeuq d?eau sans le pont, est le coefficient de

réduction. (CT = - dans le cas d’un canal rectangulaire). b B

Dans le cas où les différents facteurs correctifs conduisent à une valeur de C supérieure a 1, les auteurs de cette méthode préconisent de prendre C = 1.

Lorsque seules les piles de pont constituent l’obstacle à l’écoulement, on peut prendre tous les facteurs égaux à 1 sauf Kj qu’on prendra sur les courbes (figure 5-7F). Les flèches en traits discontinus indiquent la méthode de détermination de Kj. Si j est plus grand que O, 1 O, on prendra Kj = 1.

La perte de charge par frottement hf est donnée par la formule suivante :

U

- K1 et K3 sont les débitances (ou coefficients de Transfert respectives des sections 1 et 3.

- La est la longueur séparant la section 1 de l’entrée du rétrécissement. Sa valeur est égale à b la largeur du rétrécissement.

Si la section 1 est composée de sections Sli ayant des débitances Kli, i variant de 1 à N, le coefficient a1 est donné par :

B

N N

i=l 1=1

Le remous créé par le pont h; est rapporté à la valeur Ah qui est la différence des cotes

des plans d’eau aux sections 1 et 3. La figure 5-8a donne la valeur de en hf/Ah en fonction du coefficient de Manning n et du coefficient d’ouverture m pour le type 1 des figures 5-7. La rugosité a une influence mineure sur h;/Ah sur cette courbe.

Pour les autres types, on apporte un facteur correctif Ka fonction du coeGcient d’ouverture m et du rapport C/C type 1 où C et C fype 1 sont respectivement les coefficients ci-deqsus de débit du cas étudié et du cas type 1 ,(figure 5-8b).

199

Page 199: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Figure 5-7A : Coefficients de débit du type 1 : cdées verticales sans murs en aile; remblais vertical (E=O) (d’après Chow).

200

Page 200: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre
Page 201: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Fimire 5-7B : Coefficients de débit du type II : cuiées verticales sans murs en aile ; remblais taluté à 111 (E=l) (d’après Chow).

202

Page 202: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

€02

Page 203: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Fipure 5-7C : Coefficients de débit du type III : culées et remblais talutés à 111 (E=l) avec raccordement en quart de cône (d’après Chow).

204

Page 204: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

I 1.10 -

ib 1 -Gel 1 I I I

- } ..,+___t__.

Fime 5-7C (suite) : Coeflïcients de débit du type III : cdées et remblais talutés à 1/2 (E=2) avec raccordement en quart de cône (d'après Chow).

205

Page 205: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

B.jLnaisdanowu (4

Figure 5-7D : Coefficients de débit du type IV : culées verticales avec murs en aile, remblais talutés à 1/1 (E=l) avec raccordement en quart de cône (d'après Chow).

206

Page 206: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

a

Fipure 5-7D (suite) : Coefficients de débit du type IV : culées verticales avec murs en aile, remblais talutés à 1/2 (E=2) avec raccordement en quart de cône (d'après Chow).

207

Page 207: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

. .

Figure 5-7F : Influences de l'excentricité, de la submersion et des piles de pont pour les types 1, II, III et IV (d'après Chow).

208

Page 208: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Fime 5-Sa : Calcul du remous h*l à partir de la perte de charge Ah pour les ponts type 1 (d’après Chow).

Figure 5-Sb

W%aiLîc

: Facteur de correction de h* 1 pour les autres types (d’après Chow).

209

Page 209: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2O) Formule approchée de Carlier

Une formule approchée pour les ponceaux ou petits ouvrages transversaux d’une seule travée et comportant seulement 2 piédroits est donnée par Carlier :

où Ah est le remous dû au paysage du pont U, la vitesse moyenne’ sans le pont

Cl, le coefficient de perte de charge à l’entrée

C2, le coefficient de perte de charge sous le pont

C3, le coefficient de perte de charge à la sortie

Les valeurs de Cl sont données ci-dessous :

0

0

C1=0,5 pour des piédroits rectangulaires ; C1=0,2 pour des piédroits arrondis.

La valeur de C2 est donnée par une fornhe de perte de charge linéaire (Chézy ou Strickler) :

où L est la longueur di pont dans le sens di courant ; C, le coefficient de CHËZY à la traversée de l’ouvrage ; et RH, le rayon hydraulique moyen sous le pont.

Le coefficient C3 est donné par :

U où s est la section mouillée soug le,pont et S, celle à l’aval du pont.

Pour les ouvrages ordinaires on peut prendre les valeurs de p =1/,/(li+(12+(-:3 suivantes:

p = 0,8 pour de très petits ponceaux.

p = 0,7 pour des ponceaux dont la longueur mesurée dans la direction du courant excède 20 à 30 m.

210

Page 210: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Lorsque le frottement (C2) est négligeable (cas des petits ouvrages), on peut prendre les volumes de p suivantes :

- Si le radier de l’ouvrage est à la même cote que le fond du canal piédroits rectangulaires p = 0,80 piédroit arrondis p = 0,90

- Si le radier de l’ouvrage est plus élevé que le fond d’un canal : seuil et piédroit rectangulaires JJ = 0,72

0 seuil arrondi et piédroit rectangulaires p = 0.76 0 seuil et piédroits arrondis p = 0,85

5 PHENOMENES LOCAUX

5.1 Piles de pont

Les piles de pont ressemblent à l’analyse effectuée pour les rétrécissements localisées si l’on considère une tranche longitudinale du courant limitée par des plans verticaux de symétrie de 2 piles consécutives (figure 5-9)

Figures 5-9 : Schématisation de l’étude d’une rangée de piles de pont.

Outre uqe diminution de la largeur de I’écgulement, la tête de la pile provoque une contraction de la veine liquide d’autant plus marquée que sa forme s’écarte d’un profil aérodynamique.

On détermine la surélévation provoquée par les piles (remous) en régime noyé par la formule de Rehbock (équation 5-4). Cette surélévation est du même ordre de grandeur que la perte de charge à la borda dans le cas du régime fluvial. En effet cette perte de charge est donnée par la

211

Page 211: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

formule donnée par Escande : AH=K(Ui-u3)*/2g+Ah, avec UI et U3 très faibles et du même ordre de grandeur.

Ah=[6 -0 (6-1)](0,4+0~+0~)(1+F,& 2 u2 2g

(5-4)

où O=-=- ’-’ B-b est le coeffrcient de réduction de la section S B

(rapport de la section réduite par les piles à la section totale) ;

F R 3 = U 3 / d G , le nombre de Froude à l’aval (écoulement non perturbé) ;

C,=b’/b, le coefficient de contraction (rapport de la section contractée à la section entre les piles) ;

et E = L/e, l’allongement de la pile (rapport de sa longueur à son épaisseur).

La valeur de 6 es donnée en fonction de B et de la forme de la pile par l’abaque de la figure 5- 1 O. Cet abaque est valable dans les conditions suivantes :

Allongement E peu différent de 4 ; Des piles disposées parallèlement au courant ; Ecoulement dans la classe (1) de l’abaque.

O, 30

Q.%b t f

‘1,

a) Zone de validité b) Valeur de 6 : - - -Tête rectangulaire ; - Tête circulaire

Figure 5-10 : Calcui du remous provoqué par des piles par la formule de Rehbock , zone de validité et valeur de 6 en fonction de o. Valeurs de E =: 4 et 2~ =FZ3 (d’après Lencasîre).

212

Page 212: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

5.2 Grilles

Une grille constituée d’une rangée de barreaux parallèles provoque un remous Ah donné par la formule suivante :

Y

où U est la vitesse moyenne du courant ;

s, l’épaisseur des barreaux dans le sens transversal ;

b, la largeur libre entre les barreaux consécutifs ;

0, l’angle du plan de la grille avec l’horizontal (sa valeur est proche de 80’ pour faciliter le nettoyage manuelle de la grille);

et fi, un coefficient qui est fonction de la forme de la section transversale des barreaux (figure 5-1 1).

Figure 5-1 1 : Grilles constituées d’une rangée de barreaux parallèles et valeurs de p. a $ 4

5.3 Coudes

Les coudes introduisent diverses perturbations du régime normal dans un canal. Ces perturbations se traduisent par la formation de courants secondaires impulsant un mouvement hélicoïdal aux particules fluides, des pertes de charge singulières et la modification de la surface libre avec des ondes transversales dans le cas d’un régime torrentiel.

213

P

Page 213: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

d ? *

On trouve dans la littérature ( Lencastre ou Chow) des méthodes d’estimation des pertes de charge et des ondes transversales introduites par un coude. Ces pertes de charges sont toutefois négligeables pour des angles 0 inférieurs à 45’ et pour des rayons de courbures R, supérieurs à 2 fois la largeur au plafond Z (figure 5-12).

On observe également un dévers Ay dû aux effets centrifuges avec une surélévation de la surface libre du coté extérieur du coude et une diminution du coté intérieur. Un valeur approchée de ce dévers est donné par la formule (5-6) en supposant que les filets liquides ont un même rayon de courbure & et que la vitesse est uniforme dans la section et égale à la vitesse moyenne U.

Dans le cas des fonds mobiles, les courants secondaires entraînent une excavation du matériau près des talus extérieurs des coudes et un dépôt près des talus intérieurs.

Vue en plan

Figure 5-12 : Dévers dans les coudes. 8

Coupe A-A

6 EXTREMITES DES CANAUX

6. i Passage d’un réservoir à un canal

Le débit et la ligne d’eau ne sont pas connus à priori dans le canal. On suppose que la surface libre dans le réservoir a un niveau constant et que le canal est suffisamment long pour que le régime uniforme s’établisse à l’aval.

On utilise les courbes débits profondeur pour une charge spécifique donnée qui est égale a la différence de cotes h entre le plan d’eau dans le réservoir et la crête de la jonction canal- réservoir.

On peut distinguer les 2 cas suivants (Tableau 5-6a) 8 4 ,

214

Page 214: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

1” Cas : le régime normal dans le canal estfluvial

Le régime normal fluvial aval s’établit jusqu’à la singularité est on observera un abaissement de la ligne d’eau dans le réservoir à l’approche du canal.

Le débit du canal et la profondeur normale y smt donnés par l’intersection (figure 5-13a) de la courbe Q(y) pour Ii, = h (équation 5-7) et de l’équation (5-8) de Manning Strkkler .

(5-7)

La résolution pour un canal de forme trapézoïdale donne :

0 une formule implicite en y qu’on calcule par approximations successives :

œ u a 0 un débit Q qui peut être calculé par l’une des équations, connaissant y par exemple

1 y A,+- Manning-âtrickler Manning-âtrickler

Q(y) pour Hr fixlo ii h

- Q(Y) Q ‘ Q Q max

Q(y) pour Hr fixlo ii h

- Q(Y) Q ‘ Q Q max

Figure 5-13a : Passage d’un réservoir à un canal. Méthode de résolution graphique dans le cas d’un régime uniforme fluvial

215

Page 215: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

.

2""" Cas : Le régime normal dans le canal est torrentiel.

Le régime normal torrentiel sera atteint avec une courbe de remous T2 de contrôle yc, profondeur critique du canal. L'écoulement est similaire à l'écoulement par un déversoir et le débit correspondant au débit maximum est donné par :

(5-1 1)

où yc est la profondeur critique et Sc = S(yc ) est la section critique.

La profondeur normale torrentielle est donnée par l'ordonnée y correspondant à Q = Qmax sur la courbe représentant l'équation de Manning-Strickler (figure 5-1 3b) ou par la résolution de 1' équation (5-1 2).

O d a

Q ~ , = K ~ X Y ) R ~ :(.y@ (5-12)

Pour un canal trapézoïdal, on obtient les formules analytiques suivantes suivantes :

Q,=y,(b+myJ,/2g(h-yc) pour le calcul du débit

pour le calcul de y,, par itérations

'9 ,

t' Q(y) pour Hs f ixb i h

Y' I 1 l

(5-13)

(5-14)

Figure 5-13b : Passage d'un réservoir à un canal. Méthode de résolution graphique dans le cas d'un régime uniforme torrentiel.

216

Page 216: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Lignes d'eau Interprétation sur les coÜrbes &(Y)

Hs

H&

,,' . 1 dans le réservoir ,,/ ,,,

Hs

Hsc

Tableau 3-6a : Passage d'un réservoir à un canal:" '

217

Page 217: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On peut observer que la différence entre les 2 cas est la situation de l'abscisse Q' correspondant à la profondeur critique y, sur la courbe correspondant à l'équation de Manning-Strickler.

Dans le premier cas, Q' base l'algorithme de calcul suivant pour un canal de forme trapézoïdale :

Qma et dans le second Q' > Qmm On peut donc établir sur cette

1"). Calcul de y,

b+2myc 3 b+5m y ,

ou

par itérations si m#O

4hm-3b+,/(3 b-4hm)'+4Ohb par résolution de 1 Om Y,=

l'équation du second degré si m#O

2"). Calcul de Qmax par l'équation (5-13)

3"). Calcul de Q'

4"). Si Q' < Qma, l'écoulement normal est fluvial. La profondeur normale et le débit Q sont donnés respectivement par les équations (5-9) et (5-10).

5"). Si Q' > Qma, le débit Q est égal au débit maximal donné par l'équation (5-13) et la profondeur normal par l'équation (5-14).

6") Pour tenir de la perte de charge à l'entrée, on multiplie le débit ainsi trouvé par un coefficient K variant de 0,8 à 0.9 suivant que l'entrée est à bords fiancs ou profilés.

6.2 Passage d'un canal B un r6servoir

Le débit dans le canal est connu ou peut être déduit de la méthode vue au paragraphe 6.1.

ler, 2"" et Pm cas : Le régime normal dans le canal estfluvial.

- 1" cas : La cote du plan d'eau est supérieure au niveau normal à la sortie du canal CVI'Yn'YS

Il y aura dans le canal une courbe de remous FI de contrôle y. tel que Hs(y,) - AH = y1.

218

Page 218: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

d I .

2“e cas : Le niveau du plan d’eau est compris entre le niveau critique et le niveau normal à la sortie du canal (y.<y~<yJ.

On observera dans le canal une courbe de remous F 2 de contrôle y. tel que Hs(yo) - AH = y1 .

cas : Le niveau du plan d’eau est inférieur au niveau critique à la sortie du canal 3ème

OI<Y~ <yn>

Il y aura également une courbe de remous F2 mais la section à la sortie est critique. Le raccordement au réservoir se fera par une chute. Le contrôle de la courbe F2 est donc yc.

p. s“““ et dme cas : Le régime normal dans le canal est torrentiel

d- cas et cas : La cote du plan d’eau est supérieure au niveau critique à la sortie du I ,

canal (y1 > yJ.

cas : La cote du plan d’eau est supérieure au niveau conjugué du niveau normal à la #me

sortie du canal (ypy’,J.

On observera un ressaut se raccordant à l’écoulement normal torrentiel amont, suivi d’une courbe de remous Ti de contrôle y. tel que Hs(yo) - AH = y1 dans le canal.

* cas : La cote du plan d’eau est inférieure au niveau conjugué du niveau normal à la sortie du canal (yl<y ‘,J.

L’écoulement normal torrentiel viendra jusqu’au réservoir où l’on observera un faux ressaut. On observe le même phénomène lorsque la cote du plan d’eau est comprise entre les niveaux normal et torrentiel a la sortie du canal.

B 6 . cas : La cote du plan d’eau est inférieure au niveau normal à la sortie du canal

O.(l<Y,J.

On observera une chute brusque à la sortie du réservoir.

219

Page 219: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Lignes d’eau

3

Interprétation sur les courbes HSb)

H s

Hsc I

’ ! I I / ’ ! I I

H a

Hsc

Hs

H&

l I * Y

YI Yc Y”

Tableau 5-6b : Passage d’un canal à un réservoir.

220

Page 220: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

8

Cas

a h A h .. 9 2 .&a b

Lignes d’eau

Faux ressaut dans le réservoir

I

Interprétation sur les courbes Hdv\

Hs

Hsc

i /

H s

Hsc

Hs

Hsc

J

Tableau 5-6b(suite) : Passage d’un canal à un réservoir

221

Page 221: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

I

1

Chapitre 6

Notions sur les écoulements non-permanents

Page 222: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

1 CHAPITRE 6

NOTIONS SUR LES ECOULEMENTS NON-PERMANENTS

f ' .

1 GENERALITES

2 ECOULEMENTS NON-PERMANENTS GRADUELLEMENT VARIES

2.1 EQUATIONS DE SAINT-VENANT

2.2 CELERITE DE L'ONDE

2.3 MET~ODES DE RESOLUTION

2.4 APPLICATIONS EN HYDROLOOIE

3 ECOULEMENTS NON-PERMANENTS BRUSQUEMENT VARIES (ONDES DE TRANSLATIONS)

3.1 NOTIONS ET EXEMPLES

3.2 MISE EN EQUATION ET CELERITE DES ONDES

3.3 CONSIDERATIONS SUR LES ONDES NEGATIVES

I

230

Page 223: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

CHAPITRE 6

NOTIONS SUR LES ECOULEMENTS NON-PERMANENTS

1 GENERALITES

Bien que les ouvrages hydrauliques soient dimensionnés par les formules des écoulements permanents, l’ingénieur peut se trouver confronté à des problèmes de grandes importances nécessitant des notions sur les écoulements non-permanents.

De tels écoulements se rencontrent dans les cas suivants : Propagations des marées dans les fleuves et estuaires ; Ecoulements transitoires à l’ouverture ou la fermenture d’une vanne placée dans un canal ; Onde de crue consécutive à la rupture d’un barrage ( pas souhaitable mais on l’étudie dans le cadre des études d’impacts parfois) ; Propagation des crues dans les cours d’eau.

Les équations du mouvement ne peuvent être résolues que numériquement dans le cas général mais avec certaines simplifications assez proches de la réalité, on peut trouver des solutions explicites pouvant dégrossir le problème.

2 ECOULEMENTS NON-PERMANENTS GRADUELLEMENT VARIES

On considère les écoulements où le débit Q et la profondeur d’eau y varient au cours du temps et le long de l’axe d’écoulement de façon progressive. Seuls les écoulements filaires, ayant une direction privilégiée (axe du chenal x) et qui sont des écoulements unidirectionnels, seont

’ traités dans le cours.

2.1 Equations de Saint-Venant

2.1.1 Equations complètes de Saint-Venant

Les hypothèses sont les mêmes que celles faites lors de l’étude des écoulements permanents graduellement variées du chapitre 3 :

Variations lentes et progressives des variables de l’écoulement (Q et y sont des fonctions continues et dérivables) ;

Filets liquides presque parallèles (répartitions des pressions hydrostatiques dans une section droite) ;

Vitesse uniforme dans la section (coefficient d’énergie cinétique CI N 1) ;

231

Page 224: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Vitesse uniforme dans la section (coefficient d’énergie cinétique a N 1) ;

Pas d’apports latéraux ;

Le fiottement sur les berges est donné par une formule du type Manning-Strickler.

L’équation de continuité (volume entrant moins volume sortant égale à la variation de stock pendant un intervalle de temps dt) écrite pour une tranche de chenal dx donne (stock=Sdx avec dS / ûy = 1, largeur au plafond) :

Les termes de l’équation dynamique pour le même volume projetés dans la direction x de l’écoulement se décomposent ainsi :

Variation de quantité de mouvement : pSdx - + U- (ar 3; as, Forces de pression : - ~ S & - ; dx

4 0 Frottement à laparoi : -pgsdxJ avec J = U2/(Ks 2 - ~ ~ 3 ) ;

Poids de l’eau pour une pente du chenal, 1, faible : a S d x I .

Le théorème des quantités de mouvement donne alors l’équation dynamique qui peut se mettre sous l’une des formes suivantes en tenant compte de l’équation de continuité :

au au ay -+ u- = - g- + g( I - J ) at dx dx (6-2a)

(6-2b)

aQ 2 % QaQ - + gS(1- F~ ) - + 2 -- = gS(I - J) + at dx sdx

Pochat donne une formulation plus complète en partant des équations de Navier-Stokes, en tenant compte du fiottement de l’air qui a une vitesse w par rapport à la surface libre et des apports latéraux possibles q [L2T-’]. 11 a établit les 2 équations suivantes pour un écoulement filaire :

1- +- = q is/ aQ at dx

232

Page 225: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

9) Pu û’Q Q + kq- at dX ax P ûx S - aQ + a(Q21s) + gS(- - 1) = 2Cd---W2 - gsJ +

où :

Cd est un coefficient de fiottement air-eau et pa la masse volumique de l’air ;

&S est un cofficient de dispersion tenant compte de la répartition réelle des vitesses dans la section. Ce coefficient masque la diffusion visqueuse v, la diffusion turbulente Kt et la dispersion verticale & ;

k représente le rapport de la vitesse d’apport et de la vitesse moyenne dans la section d’une part, et l’angle entre la direction de l’apport et la direction x de l’écoulement avec : - k=O si débit latéral est perpendiculaire à l’axe x, - k=O si débit latéral à vitesse très faible par rapport à la

- k=l si débit latéral négatif (perte). vitesse moyenne axiale U,

Dans la suite du cours, nous ne retiendrons ni les pertes latérales q, ni la vitesse du vent w ni la dispersion &s.

2.1.2 Equations simplifiées

Il arrive qu’un ou plusieurs termes de l’équation dynamique de Saint-Venant (6-2) puissent être négligées devant les autres :

1 Onde dynamique quasi-permanent

Le terme dU / ût de l’équation (6-2a) est négligeable devant les autres.

20) Onde diffusive

Le terme d’inertie dU / ût + UdU 1 dx est négligeable dans l’équation dynamique. C’est le cas des écoulement à faible nombre de Froude (Fr<0,3) correspondant aus rivières en régime fluvial.

Pour traiter la propagation du débit, on dérive l’équation de continuité par rapport à x et l’équation dynamique simplifiée par rapport à t pour éliminer le terme a2y/(dxût)et l’on obtient :

233

Page 226: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

qui est un terme d’atténuation et 1 avec a=- dJ e-- aQ

- W a at - + (1 - J ) -

dJ dx qui est terme de célérité. 1 a y 1 a x P aJ 02

+- c = ---

30) Onde cinématique

On ne retient que les 2 termes 1 et J dans l’équation dynamique. Pour un observatuer fixe, la pente de ligne d’énergie J est égale à la pente du canal.

2 L’équation de Manning-Strickler Q = Ks S ~~3 0 permet de calculer

1 2 - ( @ / d x ) + d ( s ~ ~ 3 ) / & Ks f i en fonction de la géométrie de la

section , de la rugosité et de la pente J=I qu’on substitue dans l’équation de continuité pour avoir l’équation de l’onde.

L’onde cinématique est une onde de translation qui ne diffuse pas, d’où il n’y a pas d’atténuation de l’onde. On fait cette hypothèse dans le cas des canaux d’assainissement : relative courte longueur et section bien définie (circulaire, parois en béton, etc.)

2.2 Célérfté de l’onde

Pour mettre en évidence la nature des équations de Saint-Venant, en peut dériver les formules (6-1) et (6-2c) par rapport à x et t et les combiner linéairement pour obtenir les équations (6-3) et (6-4) qui sont les équations classiques des ondes ; en faisant les hypothèses skiplifkatices suivantes :

canal rectangulaire .! =constante ; pente du cand 1 = pente de la ligne d’énergie J ;

0 nombre de Froude faible devant l’unité ; 0 petites perturbations avec les termes de second ordre qui sont négligeables.

6-4 La célérité de ces petites perturbations c est donc cannée par les équations (6-3) et et les hypothèses faites ne changent pas sa valeur comme on le verra dans la méthode des caractéristiques du paragraphe 3.3.1 :

234

Page 227: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

On constate que la célérité des ondes augmente avec la profondeur d’eau, d’où une onde positive aura tendance à déferler avec les hypothèses faites. Ce pendant dans certaines conditions (nombre de Froude initial inférieur à 2, fioîiement à la paroi, etc.) ce déferlement peut être retardé.

I

& dt - = -U - JgsTe

( U + , / ~ ) e d y - d Q + (6)

(4 (6-6)

\

2.3 Méthodes de résolution

2.3.1 Méthode des caractéristiques

Elle est un peu plus complexe que dans le cas des écoulements en charge ( paragraphe 3-2 du chapitre 6 du tome 1) parce que la célérité de l’onde c est du même ordre de grandeur que la vitesse moyenne de l’eau U et que les caractéristiques ne sont plus des droites.

En ajoutant l’équation dynamique (6-2c) à l’équation de continuité (6-1) multipliée par IL, puis en posant dc / dt = il + 2Q / S = gS(1- F;) /(Al) , on obtient l’équation différentielle suivante où R = - U * , / g m est l’une des solutions de l’équation du second degré .!A2 + (2Ql / S ) A - gS(1- ~ f ) = O

- A l * - g + g S ( I - J ) + - dt dt

Cette forme condensée est équivalente aux 2 systèmes d’équations différentielles (6-5) et (6-6) appelées équations de compatibilité :

(6-5)

( U - , / m ) t d y - d Q + (6) I

235

Page 228: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Les (6-5a) et (6-6a) sont respectivement les caractéristiques positive C' et négative C- qui ne sont plus nécessairement des droites dans le plan (x,t).

Pour un écoulement fluvial, la pente de la caractéristique positive C' est positive et celle de C- est négative, d'où il faut une condition à la limite amont de la forme adQ+pdyydt et une condition à la limite aval du même type.

Pour un sécoulement torrentiel, les pentes de 0' et C- sont toutes les deux négatives et il faut 2 conditions à la limite amont: Q=Q(t) d'une part, et y=y(t) ou Q=Q(y) d'autre part. Aucune condition n'est nécessaire à la limite aval.

Le régime critique correspond à une résonnance'entre la vitesse de l'écoulement et la célérité des ondes, il est instable.

Dans les deux cas, on doit connaître les conditions initiales.

On utilise .la méthode des différences finies explicites pour résoudre le système des équations (6-5) et (6-6) qui détermine a la fois XM, tM, YM, QM, du poht M de rencontre des 2 caractérisque partant des points Mi et Mz où l'on connaît ces valeurs (Figure 6-1).

La méthode des caractéristiques reste complexe à cause des conditions de stabilité et de convergence qui impliquent la condition de Courant sur le choix de la discrétisation :

J

l-X

Fimre 6- 1 : Schéma de discrétisation de la méthode des caractéristiques.

236

Page 229: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2.3.2 Méthodes des dinerences finies implicites

Elles consistent à partir des équations (6-1) et (6-2c) directement et à estimer les dérivées par des différences finies comme c’est exposé au paragraphe 3.1 du chapitre 6 du tome 1 du cours.

La méthode implicite est la méthode la plus utilisée pour s’&chir de la condition de courant.

2.4 Applications en hydrologie

2.4.1 Courbe de tarage des cours d’eau

Si l’on utile la formule de Manning-Strckler avec l’équation dynamique (6-2a), le débit est donné par la formule suivante :

Dans le cas d’un écoulement permanent uniforme , la relation entre le débit Q et la profondeur d’eau y à travers S et RH est univoque.

Dans le cas contraire, cette relation est non univoqu, en boucle dont la lageur indique U d U 1 au et de pression - @ (figure 6-2a) l’importance des termes d’inertie -- +-- g h g a t ax

La courbe de tarage (figure 6-2b) donne les renseignements suivants :

Dans un écoulement non permanent, le débit a 2 valeurs différentes pour la même profondeur d’eau, y, suivant que le niveau d’eau monte ou descend.

A une section donnée fixe, on observe tout d’abord le maximum de vitesse moyenne Uma, puis le maximum de débit Qm(uL, puis le maximum de hauteur d’eau y-; tous

précédés de la pente de la surface libre maximale

I I 4

1 F i m 6 - 2 : Représentation schématique de la relation Q=f(y) et y=f(t) pour un écoulement non permanent graduellement varié.

237

Page 230: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

2.4.2 Méthodes simples de propagation des crues

La résolution des équations complètes de Saint-Venant demande un temps et des moyens de calcul significatifs. C’est pourquoi on lui préfère, pour l’étude de la propagation des crues dans les fleuves, des méthodes hydrologiques beaucoup plus simples telles que la méthode de Muskingum, basée seulement sur l’équation de conservation de la masse appliquée sur un bief:

dv dt - = Q E - Q S

Les hypothèses à la base de la méthode de Muskigum sont résumées par la formule suivante :

Y = K b Q ; + (1 - X ) Q j

où K, x et X sont des constantes caractéristiques de la section mouillée à l’entrée et à la sortie du bief. On prend généralement une valeur de X comprise entre O et 1 pour pomdérer l’influence des 2 sections. Dans un canal prismatique on prend X=0,5 et pour le laminage ‘d’une retenue d’eau, on prend X=O car le volume n’est lié qu’au débit à la sortie. Dans la propagation des crues, on prend généralement x=l .

La combinaison de ces 2 équations donne l’équation (6-7) où le terme de gauche, correspondant à l’hydrogramme entrant, est connu.

( 1 - X ) K ~ + Q S = Q , - k X - d Q E dt dt (6-7)

Une méthode explicite des différences finies permet de déterminer l’hydrogramme sortant du bief et on calcule ainsi de proche en proche la propagation de la crue.

3 ECOUL~MENTS NON-PERMANENTS BRUSQUE~IENT VARIES (ONDES DE TRANSLATIONS)

3.1 Notions et exemples

Le front d’onde présente un changement rapide de la profondeur d’eau, y, avec une courbure prononcée de la surface libre. Pour un N observateur )) se déplaçant avec la célérité nde l’onde, 1 ’ écoulement est permanent brusquement varié.

Cet effet peut avoir pour cause une ouverture instantanée d’une vanne par exemple, donc une variation rapide du débit AQ. On peut distinguer 4 types d’écoulements de ce type (figure 6-3) :

238

Page 231: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

a) Onde positive d’aval Ce phénomène peut être observé à l’amont d’une vanne placée dans un canal et qui est fermée instantanément. Une onde positive (Ay>O), c’est-à-dire une surélevation de la surface libre par rapport à lécoulement initial se propage vers l’amont avec une célérité q.

6) Onde négative d’amont On l’observe à l’aval de la vanne du cas précédent. Une dépression de la surface libre par rapport à l’écoulement initial (Ay<O) se propage vers l’aval avec une célérité -Q opposée au cas précédent.

c) Onde positive d’amont On l’observe à l’aval d’une vanne placée dans un canal et qui est ouverte instantanément. Une onde positive (Ay>O) se propage vers l’aval avec une célérité q.

d) onde négative d’aval On l’observe à l’amont de la vanne du cas précédent. Une onde négative se propage vers l’amont avec une célerité -q opposée au cas précédent.

c ) Onde positive d’amont

A y > O

l L t i r # , . + , . ” r “

ititittricormce 1 4cuiclciiirrit initial

Q + A Q : Q A Q > O

b) Onde négative d’amont

intirrrie,rcrnce ; Cconlenrctzt initiai

Q + A Q : Q A Q c O

d) Onde négative d’ma1

écnicletnctrt intumcsccncc itiitiaf

Q ; Q + A Q iîQ> O

F i m e 6-3 : Intumescescences dues à une variation brusque, AQ, du débit d’un canal.

239

Page 232: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

3.2 Mise en équation et célérité des ondes

3.2.1 Mise en équation

a 5

Considérons par exemple une onde positive d’amont (figure 6-4). Un << observateur )) ,lié a l’onde et qui se déplace avec la célérité G, verra un écoulement brusquement varié permanent qui peut être étudié de la façon classique.

On encadre l’écoulement par 2 sections où la répartition des pressions est hydrostatique et les vitesses régulières, et on applique le théorème des quantités de mouvement en négligeant le frottement sur les parois et le poids de l’eau (courte distance).

Notre observateur )) verra respectivement dans les sections 1 et 2 de la figure 6-4 : 0 Des vitesses relatives de [ J i - ct et 1J2 - ct ; 0 Des dévits relatifs Q,, = Si (IIi - ct) et Qr2 = Sz (U2 - ct) entrant et sortant ;

0 Des forces de pression de F P 1 = P g3si Y , 1 et FPZ = P 8 sz YGZ -

S’il applique le théorème des quantités de mouvement projeté dans la dierction de l’écoulement, il trouve :

et l’équation de continuité s’écrit :

I

d’où :

(6-9a)

(6-9b)

La combinaison des équations (6-8) et (6-9a) donne, après simplification par pS2, la relation (6- 1 O) suivante :

(6-10)

De l’équation de continuité (6-2a), on peut tirer l’expression U2 = (VI Si + ctSz - crSi)/Sz qu’on substitue dans la formule (6- 1 O) pour tirer la célérité absolue des ondes ct :

(6-1 la)

(6- 1 1 b)

240

Page 233: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Les relations (6-1 lb) et (6-9b) permettent de calculer par approximations successives q et Ay=y2-y1 lorsque U1, y1 et AQ sont connus.

Par exemple, la coupure instantannée du débit dans un canal rectangulaire donne une onde

positive d’aval de hauteur Ay = - c [ ~ 2 ~ 1 ). oii c = i/p-(yl + y2) ; à comparer avec la &! Y i + Y 2 2YI

dans le cas yi = y2. CU formule de Michaud vue en éccoulement en charge Ah = - g

3.2.2 Cérérité des ondes

Dans l’équation (6-1 lb) qui exprime la célérité relative de l’onde de translation, le signe + correspond aux ondes d’amont et le signe - aux ondes d’aval.

Dans le cas d’une section rectangulaire (S=by et yG=y/2), si la hauteur de l’onde An2-y l est négligeable devant y1 et y2, la célérité peut s’exprimer ainsi :

La célérité relative devient donc ct = ui f fi dans le cas des petites ondes - << 1 . (n 1 La célérité absolue de l’onde de translation est donnée par le terme de la racine carrée de l’équation (6-1 lb) en considérant une vitesse initiale nulle (U1=0) qui correspond à l’eau au repos.

On a admis dans la mise en équation que le fiont d’onde représente une discontinuité de la surface libre qui est stable. En réalité, le constat est le suivant :

Si l’onde est positive (ypyl), le front est raide et reste stable.

0 Si l’onde est négative (y2<y1), l’onde devient instable et elle tendra vers une courbe continue.

En effet, l’onde de translation peut être considérée comme étant la superposition d’ondelettes. Chaque ondelette se déplaçant avec une célérité absolue c = &. Les ondelettes du haut auront de ce fait une célérité plus importante que celles du bas. On constate par conséquent :

Pour l’onde positive, les ondelettes du haut vont, en déferlant, absorber celles du bas et il en résulte un front raide.

0 Pour l’onde négative, les ondelettes du haut se déplacent plus vite que celles du bas et il en résulte un front de moins en moins raide.

241

Page 234: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Le frottement à la paroi aussi joue un rôle dans la modification du front de l’onde (voir Henderson).

3.3 Considérations sur /es ondes négatives

L’onde négative, raide au départ, se déforme plus rapidement que l’onde positive. On n’obteint pas réellement un véritable front raide et la hauteur Ay a mois de sens physique que pour l’onde positive.

L’écoulement devient vite un écoulement graduellement varié qu’on peut traiter par les équations de Saint-Venant du paragraphe 1.

Pour les petites ondes et dans le cas d’un canal rectangulaire ou infiniment large, Grafmontre que la vitesse moyenne de l’eau U et la célérité relative de l’onde sont données par les équations (6-12) et (6-13) si on néglige la pente 1 et le frottement J .

3 J

(6- 12)

(6-13)

Le signe du haut correspond aux ondes élémentaires qui se propagent ves le sens de l’écoulement initial.

3.3.1 Onde négative d’amont

On peut l’observer à la fermeture d’une vanne dans un canal (figure 6-4). La position de l’onde est donnée par x=c;T en prenant l’origine du temps T à l’instant de la fermeture (cration de l’onde).

d 3 ,

Ll’expression de la courbe de la surface libre de l’onde x(y) , et la vitesse moyenne de l’eau U(y) deviennent alors :

3.3.2 Rupture de barrage (onde négative d’aval)

Ce problème a été résolu par Ritter, cité par Goutx, qui a considéré un canl à fond horizontal et sans fiottemnt. L’eau dans le barrage a une vitesse nulle en amont et l’aval est sec à l’instant initial (figure 6-5).

3 J

242

Page 235: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

6

l y l

Figure 6-4 : Fermeture d’une vanne ; onde négative d’amont. Ct = Ui + 3& - 2 f i

La vitesse de l’eau à une profondeuy et à l’instant T est donnée par l’équation 6-12 avec le signe du bas:

6 $ 1

W Y ) = - 2 6 + 2 f i

la célérité de l’onde (vers l’amont et l’aval), selon i’équation (6- 13) devient : Cr ( Y ) = - 3 G + 2 f i

Cette formule montre que pour le front de l’onde positive d’aval (y=O), la célérité est de cf(0) = 2& et pour le creusement de l’onde négative d’amont (y-yl), elle est de

Cf(Y,) = JE. La courbe de la surface libre à un instant T est donnée par l’équation x(y) = T ct(y).

Au droit du barrage rompu [(x=O) donc ~(y)=0], la profondeur d’eau Y b est constante en

fonction ‘du temps et égale à ya = -yi theoriquement, et la vitesse de l’eau est de

U(y,) = - & . Donc le débit stationnaire correspondant mais aussi la hauteur maximale de

l’onde positive d’aval peuvent être estimés si la section de la rivière varie peu.

4 9

2 3

En réalité, la hauteur G pivot )) théorique Y b doit être corrigé a cause de la présence d’eau a l’aval du barrage qui raidit le front d’onde sur une hauteur verticale de quelques dizaines de

pour-cent de la hauteur pivot. La correction de la hauteur (< pivot )) conduit plutôt à y , = -yi

d’après Stocker cité par Goutx.

9 16

6

243

Page 236: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

Cette approche théorique n’empêche pas de simuler les ondes de rupture de barrag par les équations complètes de Saint-Venant. Mais dans tous les cas, des hypothèses sont nécessaires sur le mode de rupture et la genèse de l’onde de crue.

Barrage

O

I I

--+ u,=o

Figure 6-5 : Rupture instantanée d’un barrage ; onde négative d’aval

O

t

244

Page 237: Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

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