COURS D'ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATIONS: Chapitre 3

COURS D’ECHANTILLONNAGE ETESTIMATIONS: Chapitre 3

Licence fondamentale en Sciences Economiques et GestionAnnée universitaire 2016-2017

F.P.Tétouan COURS D’ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATIONS: Chapitre 3 | 1

THEORIE D’ECHANTILLONNAGE

GénéralitésConsidérons une population de taille N dans laquelle on s’intéresse à étudierdeux caractères : L’un quantitatif X de moyenne m et de variance σ2 et l’autrequantitatif Y de proportion p.

Solution1 : La première solution consiste à réaliser une étude sur l’en-semble des individus de la population.c’est ce qu’on appellée recense-ment.Solution2 : La seconde solution consiste à prendre uniquement une sous-population. appellée échantillon de taille (n < N) et essayer de trouver desapproximations pour les différents caractéristique. c’est ce qu’on appelleenquete par échantillonnage.

VOCABULAIREPopulation : rassemblement de tous les cas qui répondent à un ensemble de

caractères spécifiques. Appelée aussi univers ou ensemble statis-tique, c’est l’ensemble des éléments auxquels on s’intéresse.

Enquête : ensemble des opérations de collecte et de traitement de donnéesrelatives à quelques domaines que ce soit.

Unité de base : unité d’échantillonnage ou unité de sondage, c’est l’élémentpris en considération dans l’enquête.

Recensement : Enquête complète ou enquête exhaustive, c’est une enquête aucours de laquelle toutes les unités de base de la population sontobservées.

Sondage : Enquête incomplète, enquête partielle ou enquête par échan-tillonnage, c’est une enquête au cours de laquelle seulement unepartie des unités de base de la population sont observée.

VOCABULAIREEchantillon : ensemble des unités de base sélectionnées et réellement obser-

vées au cours d’un sondage.Echantillonnage : ensemble des opérations qui permettent de sélectionner de

façon organisée les éléments de l’échantillon.Base de sondage : énumération ou présentation ordonnée de toutes les unités

de base constituant la population.Erreur d’échantillonnage : écart entre les résultats obtenus auprès d’un échan-

tillon et ce que nous apprendrait un recensement comparable dela population. Plus la taille de l’échantillon est grande plus l’er-reur d’échantillonnage diminue.

Fraction ou taux de sondage : proportion des unités de la population qui fontpartie de l’échantillon. C’est le rapport entre la taille de l’échan-tillon n, et la taille de la population N.

t =nN× 100

Méthodes d’échantillonnageMéthodes d’échantillonnage :ensemble des méthodes permettant de réali-ser un sondage (de prélever un échantillon de données) au sein d’une po-pulation, de manière à reproduire un échontillon aussi représentatif quepossible de cette population.

Evaluation de ces méthodes : le système d’échantillonage sera jugé d’aprèsla qualité des approximations des paramètres de la population, calcu-lées sur l’échantillon prélevé. Pour cela, on étudiera la loi des caractéris-tiques classiques d’un échantillon (moyenne arithmétique, variance empi-rique,....)

Méthodes d’échantillonnageMéthodes d’échantillonnage :ensemble des méthodes permettant de réali-ser un sondage (de prélever un échantillon de données) au sein d’une po-pulation, de manière à reproduire un échontillon aussi représentatif quepossible de cette population.

Evaluation de ces méthodes : le système d’échantillonage sera jugé d’aprèsla qualité des approximations des paramètres de la population, calcu-lées sur l’échantillon prélevé. Pour cela, on étudiera la loi des caractéris-tiques classiques d’un échantillon (moyenne arithmétique, variance empi-rique,....)

Les Méthodes d’échantillonnageMéthodes d’Echontillonnage Probabilistes.

. Echantillonnage aléatoire et simple

. Echantillonnage stratifié

. Echantillonnage par degres

. Echantillonnage systématique

Méthodes d’Echontillonnage Empiriques.

. Echantillonnage accidentel (De convenance)

. Echantillonnage à priori

. Echantillonnage ’Boule de neige’

. Echantillonnage par Quotas.

. Echantillonnage accidentel (De convenance)

. Echantillonnage à priori

. Echantillonnage ’Boule de neige’

. Echantillonnage par Quotas.

Méthodes d’Echontillonnage Empiriques.. Echantillonnage accidentel (De convenance). Echantillonnage à priori. Echantillonnage ’Boule de neige’. Echantillonnage par Quotas.

Méthodes d’Echontillonnage Probabilistes.

Echantillonnage aléatoire et simpleL’échantillonnage est l’ensemble des opérations permettant de sélection-ner de façon organisée les éléments de l’échantillon ;Un échantillonnage est aléatoire si tous les individus de la population ontla même probabilité de faire partie de l’échantillon ;Un échantillonnage est simple si les prélèvements des individus sont réa-lisés indépendamment les uns des autres.

Echantillonnage aléatoire et simplePour constituer un échantillon aléatoire et simple il faut :

Construire une liste complète et sans répétition des éléments de la popu-lation ;Numéroter ces éléments de 1à N ;Sélectionner les unités qui constituent l’échantillon en utilisant une tablede nombres aléatoires.

Exemple : Echantillonnage aléatoire et simpleSupposons qu’on veut constituer un échantillon aléatoire et simple de 4 étu-diants parmi une population de 22 étudiants. On a :

P = {E1,E2, ....,EN} ou N = 22

E = {e1, e2, ...., en} ou n = 4

Exemple :Echantillonnage aléatoire et simpleProcédure de sélection :

Comme la taille N = 22 est composée de 2 chiffres alors on va utiliser latable des nombres aléatoires qui donne des chiffres regroupés 2 à 2.Supposons que la table des nombres aléatoires fournie par un logiciel in-formatique est : 02 29 24 17 21 28 06...Sachant que le choix d’élément de démarrage est aléatoire et soit n0 lechiffre de démarrage, alors la règle appliquée est comme suit :Si n0 < N on retient n0 si non on le rejette.Donc on obtient : 02 17 21 06

P = {u1,u2, ....,u6, ...,u17, ...,u21,u22}

E = {U2,U17,U21,U6} = {e1, e2, e3, e4}

ou e1 = U2, e2 = U17, e3 = U21, e4 = U6

Echantillonnage stratifiéL’échantillonnage stratifié est une technique qui consiste à subdiviser unepopulation hétérogène, d’effectif N, en P sous − populations ou strates plushomogènes d’effectif Ni de telle sorte que N = N1+N2+ .+Np. Un échantillon,d’effectif ni, est par la suite, prélevé indépendamment au sein de chacunedes strates en appliquant un plan d’échantillonnage au choix de l’utilisateur.Le plus souvent, on procédera par un échantillonnage aléatoire et simple àl’intérieur de chaque strate.

Pour la répartition de l’effectif total, n, de l’échantillon dans les différentesstrates,

La première solution, dite proportionnelle, consiste à conserver la mêmefraction d’échantillonnage dans chaque strate.Une seconde solution, dite optimale, tient compte du budget de l’enquête.

Echantillonnage stratifié

a) Répartition proportionnelleLa repartition proportionnelle consiste a repartir la taille de l’échantillon nen utilisant la meme fraction de sondage t dans chacune des strates. Cettesolution tient compte d’un seul facteur qui est le poids de chaque strate.

Designons par wi le poids de la strate et par t la fraction de sondage constante.

wi =Ni

le nombre d’unites a choisir dans chacune des strates est donc :

ni = wi × n = t×Ni

a)Exemple :Répartition proportionnelleDans une population de 10000 entreprises, réparties en 5000 petites entre-prises, 3000 moyennes entreprises et 2000 grandes entreprises, on souhaiteavoir un échantillon de 500 entreprises.

Fraction de sondage constante : t = 50010000 = 0, 05%

Strate Effectif de la strate Taille de l’échaPetite 5000 5000∗0,05=250

Moyenne 3000 3000∗0,05=150Grande 2000 2000∗0,05=100

Total 10000 500

a)Exemple :Répartition proportionnelleDans une population de 10000 entreprises, réparties en 5000 petites entre-prises, 3000 moyennes entreprises et 2000 grandes entreprises, on souhaiteavoir un échantillon de 500 entreprises.

Fraction de sondage constante : t = 50010000 = 0, 05%

Strate Effectif de la strate Taille de l’échaPetite 5000 5000∗0,05=250

Moyenne 3000 3000∗0,05=150Grande 2000 2000∗0,05=100

Total 10000 500

b) Répartition optimaleCette deuxieme solution consiste a repartir l’effort d’echantillonnage de faconinegale dans les differentes strates. Elle tient compte de quatre facteurs :

- Budget total de l’enquete, G- Poids de la strate, wi- Cout de la collecte de l’information dans la strate, ci- Dispersion a l’interieur de la strate, mesuree par l’ecart type σi.

le nombre d’unites a choisir dans chacune des strates est donne par :

ni = kwiσi√

ciavec k =

Gwiσici

b) Exemple :Répartition optimaleDans la population des 10000 entreprises, on a pu avoir les informations sui-vantes :

Strate Poids de la strate Coût de la collecte de Dispersion à l’intérieurwi l’information dans de la strate, mesuree

la strate, ci par l’ecart type σi.Petite 0,5 50 0,8

Moyenne 0,3 75 1,5Grande 0,2 100 2,2

Afin de procéder à la répartition optimale de l’échantillon, il faut prendre enconsideration les facteurs suivants :- le bedget alloué à l’enquete : G= 5000- k = G∑

wiσi√

ci= 5000

0,5×0,8×√

50+0,3×1,5×√

75+0,2×2,2×√

100= 449, 42

b) Exemple :Répartition optimaleD’ou, Le nombre d’entreprises à choisir dans chacune des strates est donnépar :

n1 = 449, 42× 0,5×0,8√50

= 26 petites entreprises

n1 = 449, 42× 0,3×1,5√75

= 24 Moyenne entreprises

n1 = 449, 42× 0,2×2,2√100

= 20 Grande entreprises

ECHANTILLONNAGE PAR DEGRESL’échantillonnage par degrés regroupe toute une série de plans d’échantillon-nage caractérisés par un système ramifié et hiérarchisé d’unités.

Dans le cas de deux degrés, par exemple, on considère que la population estconstituée d’un certain nombre d’unités de sondage du premier degré (unitésprimaires), chacune de ces unités étant constituée d’un certain nombre d’unitésdu second degré. (unités secondaires) On réalise d’abord un échantillonnaged’unités du premier degré. Ensuite, dans chaque unité sélectionnée au premierdegré, on prélève un échantillon d’unités du second degré. Le mode de sélec-tion pouvant varier d’un degré à l’autre.

Exemple : ECHANTILLONNAGE PAR DEGRESPour étudier le niveau de consommation des ménages d’une ville, on a tiréaléatoirement 5 quartiers. Dans chaque quartier sélectionné, on retient une ruesur 5, dans chaque rue retenue, on retient un immeuble sur 3, et dans chaqueimmeuble, un ménage par étage sera questionné.

Echantillonnage systématiqueL’échantillonnage systematique est une technique qui consiste a prelever desunites d’échantillonnage situees a intervalles egaux. Le choix du premierindividu determine la composition de tout l’échantillon.

Si on connait l’effectif total de la population N et qu’on souhaite prelever unechantillon d’effectif n, l’intervalle entre deux unites successives a selectionnerest donne par :k = N

n (arrondi a l’entier le plus proche)Connaissant k, on choisit le plus souvent, pour debuter, un nombre aleatoire, i,compris entre 1 et k. le rang des unites selectionnees est alors i,i+k,i+2k, i+3k,....

L’échantillonnage systematique est facile a preparer et, en general facile aexecuter, il reduit le temps consacre a la localisation des unites selectionnees.

Echantillonnage systématiqueSi les éléments de la population se présentent dans un ordre aléatoire (pasde tendance) l’échantillonnage systématique est équivalent à l’échantillonnagealéatoire et simple. Par contre si les éléments de la population présentent unetendance, l’échantillonnage systématique est plus précis que l’échantillonnagealéatoire.

Exemple : Echantillonnage systématiqueOn veut selectionner un échantillon de 30 entreprises au sein d’une populationde 1800 entreprises.

k =180030

Ainsi on va tirer une entreprise toutes les 60 en partant d’un nombre tire alea-toirement entre 1 et 60.Supposons ce nombre est le 15. On va donc selectionner la 15eme entreprisepuis la 75eme, la 135eme. jusqu’à la 1755eme ce qui nous donnera l’échantillon de30 entreprises.

Echantillonnage systématiqueSi les éléments de la population se présentent dans un ordre aléatoire (pasde tendance) l’échantillonnage systématique est équivalent à l’échantillonnagealéatoire et simple. Par contre si les éléments de la population présentent unetendance, l’échantillonnage systématique est plus précis que l’échantillonnagealéatoire.

Exemple : Echantillonnage systématiqueOn veut selectionner un échantillon de 30 entreprises au sein d’une populationde 1800 entreprises.

k =180030

Ainsi on va tirer une entreprise toutes les 60 en partant d’un nombre tire alea-toirement entre 1 et 60.Supposons ce nombre est le 15. On va donc selectionner la 15eme entreprisepuis la 75eme, la 135eme. jusqu’à la 1755eme ce qui nous donnera l’échantillon de30 entreprises.

Echantillonnage accidentel (De convenance)Il s’agit d’un échantillon constitué d’individus qui se trouvaient accidentelle-ment à l’endroit et au moment où l’information a été collectée.

Exemple :Echantillonnage accidentel (De convenance)Enquêtés réalisées dans la rue, les lieux publics, en sortie de super marché....Questionnaires figurant dans les magasines et renvoyés spontanément.

Les échantillons accidentels ne peuvent être considérés représentatifs d’aucunepopulation. Il est risqué de généraliser à une population donnée des résultatsobtenus par un échantillon accidentel.

Echantillonnage accidentel (De convenance)Il s’agit d’un échantillon constitué d’individus qui se trouvaient accidentelle-ment à l’endroit et au moment où l’information a été collectée.

Exemple :Echantillonnage accidentel (De convenance)Enquêtés réalisées dans la rue, les lieux publics, en sortie de super marché....Questionnaires figurant dans les magasines et renvoyés spontanément.

Les échantillons accidentels ne peuvent être considérés représentatifs d’aucunepopulation. Il est risqué de généraliser à une population donnée des résultatsobtenus par un échantillon accidentel.

Echantillonnage à prioriC’est un échantillonnage par jugement à priori. Il consiste à sélectionner desindividus dont on pense, avant de les interroger, qu’ils peuvent détenir l’infor-mation.Le risque de ce type d’échantillonnage est de considérer des individus, appa-remment représentatifs de la population étudiée.

Echantillonnage par QuotasEchantillon prélevé librement à condition de respecter une composition don-née à l’avance.

Echantillonnage à prioriC’est un échantillonnage par jugement à priori. Il consiste à sélectionner desindividus dont on pense, avant de les interroger, qu’ils peuvent détenir l’infor-mation.Le risque de ce type d’échantillonnage est de considérer des individus, appa-remment représentatifs de la population étudiée.

Echantillonnage par QuotasEchantillon prélevé librement à condition de respecter une composition don-née à l’avance.

Exercices d’application

Travaux Dirigés 2 : Echantillonnage .

Exercice 1 :Le tableau ci-après, établi la répartition des 10000 étudiants d’une faculté deDroit et d’Economie en licence selon le niveau d’étude et le sexe :

Niveau S1 S2 S3 S4 S5 S6Sexe

Masculin 2000 1600 1000 900 400 250Féminin 1500 900 600 500 200 150

On se propose de réaliser une enquete auprès d’un échantillon de 1000étudiants pour obtenir des informations sur la qualité de l’enseignement ausein de cette faculté.Comment répartir cet échantillon entre les différentes strates des 10000étudiants, en tenant compte du niveau et du sexe ?

Solution :D’après l’énoncé de l’exercice, on constate que la population des étudiants decette faculté est composée de plusieurs strats. Donc afin d’améliorer la repré-sentativité de l’échantillon, on doit adopter la méthode de stratification pro-portionnelle, qui consiste à répartir les 1000 étudiants proportionnellement aunombre total des étudiants dans chaques strate. Autrement dit, la constructionde l’échantillon se fera conformément au poids de chaque strate comme suit :

nh = (nN)×Nh

Avec :h : désigne le rang du heme strate ;nh : est la taille de l’échantillon dans la strate h ;Nh : est l’effectif de la population dans la strate h ;n : est la taille de l’échantillon ;N : est la taille de la population.

Solution :Niveau S1 S2 S3 S4 S5 S6

SexeMasculin 200 160 100 90 40 25Féminin 150 90 60 50 20 15

Exemple : n11 = ( 100010000 )× 2000 = 200

La stratification consiste à découper la population étudiée en groupes ho-mogènes, appelés strates, et à tirer indépondamment un échantillon aléa-toire dans chaque strate.

Exercice 2 :Sur une population de 15000 entreprises étudiées selon le chiffre d’affaires (va-riable X) et le nombre d’employés (variable Y). On obtient les résultats sui-vants :

X(en milliers de DH) Effectifs Y Effectifs0-50 5500 0-10 7050

50-100 4500 10-50 3700100-200 1750 50-100 2500200-500 2000 100-500 1500

500-1000 500 > 500 250> 1000 750Total 15000 Total 15000

Soit un taux de sondage de 0,10. Quelle méthode peut-on utiliser pour déter-miner un échantillon ? On supposera que l’institut responsable du sondagedispose de 30 enqueteurs.Expliquez votre démarche et les concepts utilisés.

Solution :La méthode à utiliser est la méthode des quotas car on connait la distributionde la population (15000 entreprises) selon les variables de controle (le chiffred’affaires : X et le nombre d’employés : Y ).

Soit t = nN = 10% le taux de sondage choisi par l’institut de sondage.

Avec :n : désigne la taille de l’échantillon à constituer,N : désigne la taille de la population.

Donc, la taille de l’échantillon est de n = 10% × 15000 = 1500 entre-prises.

Commençons par les quotas relatifs à la variable de controle chiffre d’af-faires, puis, nous calculerons les quotas relatifs à la variable de controlenombre d’employés.

Solution :Les quotas relatifs à la varaible de controle chiffre d’affaires (X) :

X en milliers Effectifs Quotas Effectifs Répartition desde DHs population : population échantillon : enqueteurs

Ns ni0-50 5500 36,67% 550 11

50-100 4500 30% 450 9100-200 1750 11,66% 175 3200-500 2000 13,34% 200 4

500-1000 500 3,33% 50 1> 1000 750 5% 75 2Total 15000 = N 100% 1500 = n 30 = Nombre

des enqueteurs

Avec :

Solution :Quotas population = Ns

L’effectif échantillon peut etre calculé de deux façons :- Soit : ni = Ns × 10%- Soit : ni = n(taille de l’échantillon)× quotas population ;

La répartition des enqueteurs est obtenue en multipliant le nombre totaldes enqueteurs par chaque quota de la population.

Totale :En aucune manière :- l’effectif de la population ne doit dépasser N ;- la somme des quota ne doit dépasse 100% ;- l’effectif de l’échantillon ne doit dépasser n ;- Et la répartition des enqueteurs, ne doit dépasser le total des enqueteurs.

Solution :De la meme façon on peut calculer Les quotas relatifs à la deuxième va-raible de controle : le nombre d’employés (Y) :

Y : Le nombre Effectifs Quotas Effectifs Répartition desd’employés population : population échantillon : enqueteurs

Ns ni0-10 7050 47% 705 1410-50 3700 24,66% 370 7

50-100 2500 16,66% 250 5100-500 1500 10% 150 3> 500 250 1,68% 25 1Total 15000 = N 100% 1500 = n 30

Exercice 3 :Soit une population étudiée selon deux variable, l’age des individus et lenombre d’enfants par individus. Les modalités de la première varaible sontinférieures à 20 ans ; de 20 à 25 ans ; de 25 à 30 ans ; de 30 à 35 ans ; de 35 à 40ans et supérieur ou égal à 40 ans.Les modalités pour la seconde variable sont 0 enfant ; 1 enfant ; 2 enffants ; 3enffants ; 4 enffants ; supérieur ou égal à 5 enffants.Les effectifs obtenus en fonction des modalités ci-dessus sont :

Première variable 110 150 200 250 190 100Deuxième variable 50 550 100 150 75 75

Un organisme de sondage dispose de 10 enqueteurs. Chaque enqueteur doitfaire 20 interviews. L’institut de sondage décide d’un taux de sondage de 20%.

Exercice 3 :a) Définir les variable de controle.b)Définir le taux de sondage et donner les effectifs de l’échantillon et de lapopulation.c)Donner le principe de la méthode des Quotas.d) Applique la méthodes des quotas à l’exemples ci-dessus.e)Donner la structure d’interviews(en fonction des variable de controle) quedoit faire chaque enqueteur.f) Donner les conditions de mise en oeuvre de la méthode des quotas.

Solution :a) La variable de controle est une varaible qui permet d’assurer la conformitéde la structure de l’échantillon par rapport à la structure de la population avecX : Age et Y : Nombre d’enfants.

b) Le taux de sondage désigne le rapport entre la taille de l’échantillonet la taille de la population mère, donc le taux de sondage t = n

N , avecN = 1000, ce qui implique que n = 200 (n = N × t = 1000× 20%)

c) Le principe de la méthode des quotas : en fonction des variables decontrole, l’échantillon est choisi de façon à constituer une image aussi fidèleque possible de la population. En d’autres termes, la structure de l’échantillondoit etre identique à la structure de la population.

Solution :L’application de la méthode des quotas à cet exemple - en respectant la memedémarche de l’exercice précédent - nous donne la composition de l’échantillonpour les deux varaible de controle X et Y :

X ni< 20 2220-25 3025-30 4030-35 5035-40 38> 40 20Total 200

Y ni0 101 1102 203 304 15≥ 5 15

Total 200

Solution :e) La structure des interviews :

X ni< 20 220-25 325-30 430-35 535-40 4> 40 2Total 20

Y ni0 11 112 23 34 1,5→ 2 ou 1≥ 5 1,5→ 1 ou 2

Total 20

Solution :f) Les conditions de la mise en oeuvre da la méthode des quotas sont respecti-vement :- Choix des varaibles de controle ;- Organisation pratique des enqueteurs ;- Le controle des enqueteures.

COURS D'ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATIONS: Chapitre 3

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