Cours de : Probabilités 1ère année de la licence ...

Cours de :Probabilités

1ère année de la licenceStatistique Appliquée à l'Économie

Sidi Mohamed MAOULOUD

Institut Supérieur de Comptabilité

et d'Administration des Entreprises

Table des matières

1 Espace de probabilité 51.1 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Modèles d'urne : diérents modes de tirage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Probabilité conditionnelle et Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Diagramme en arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Traveaux dirigés chpitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Variables aléatoires 172.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Distribution d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Fonction de masse et de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Distribution conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1 Distribution marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Distribution conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Indépendance des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Caractéristique de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1 Caractéristique de distribution d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 202.4.2 Caractéristiques de deux variables aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.3 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Lois usuelles 253.1 Lois discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4 Loi binomiale négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.5 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.6 Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.3 loi normale et ses dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Traveaux dirigés du chapitre 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Espace de probabilité

Sommaire1.1 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Modèles d'urne : diérents modes de tirage . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Probabilité conditionnelle et Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Diagramme en arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Traveaux dirigés chpitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.0 Rappel sur les ensembles

Dans tout ce qui suit les ensembles considérés sont tous supposés inclus dans un ensemble donnéΩ. L'ensemble des parties de Ω, sera noté P(Ω) = A : A ⊂ Ω.Inclusion : A est dit inclus dans B et on note A ⊆ B si et seulement ∀x ∈ Ω (x ∈ A⇒ x ∈ B).

Égalité : A = B si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ ARéunion : de A et de B, noté A ∪ B, ( lire A union B ), est l'ensemble des éléments appar-

tenant à A ou à B. A ∪B = x ∈ Ω|(x ∈ A) ou (x ∈ B), c'est-à-dire que :

x ∈ A ∪B si et seulement si x ∈ A ou x ∈ B.La réunion d'une famille d'ensembles (Ei)i∈I est dénie par :⋃

i∈IEi = x ∈ Ω|∃ i ∈ I, x ∈ Ei .

Propriétés

associativité : (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) commutativité : A ∪B = B ∪A ; idempotence : A ∪A = A ; ∅ est neutre : A ∪ ∅ = A ; Ω est absorbant : Ω ∪A = Ω.

Intersection : de A et de B, noté A ∩ B, ( lire A inter B ), est l'ensemble des élémentsappartenant à A et à B. A ∩B = x ∈ Ω|(x ∈ A) et (x ∈ B), c'est-à-dire que :

x ∈ A ∩B si et seulement si x ∈ A et x ∈ B.

L'intersection d'une famille d'ensembles (Ei)i∈I est dénie par :⋂i∈I

Ei = x ∈ Ω|∀ i ∈ I, x ∈ Ei .

5

6 CHAPITRE 1. ESPACE DE PROBABILITÉ

Propriétés

associativité : (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) commutativité : A ∩B = B ∩A ; idempotence : A ∩A = A ; Ω est neutre : A ∩ Ω = A ; ∅ est absorbant : ∅ ∪A = ∅.

Complémentaire de A est l'ensemble de élément de Ω qui n'appartiennenent pas à A ; Il estnoté Ac, Ac = x ∈ Ω|x /∈ A c'est-à-dire que

x ∈ Ac si et seulement si x ∈ Ω et x /∈ A.

Le passage au complémentaire inverse la relation d'inclusion : A ⊂ B si et seulement siBc ⊂ Ac

Cardinal : lorsqu'un ensemble A est ni, le nombre d'éléments est appelé cardinal de A et estnoté #A, On a les propiétés suivantes #∅ = 0 #(A ∪B) = #A+ #B −#(A ∩B) Si A ∩B = ∅ alors #(A ∪B) = #A+ #B

On a les propriétés suivantes combinant la réunion, l'intersection et le complémentaire distributivité de l'intersection par rapport à la réunion

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∩⋃i∈I

Bi =⋃i∈I

(A ∩Bi)

distributivité de la réunion par rapport à l'intersection :

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

A ∪⋂i∈I

Bi =⋂i∈I

(A ∪Bi)

Lois de Morgan(A ∪B)c = Ac ∪Bc(⋃i∈I

Ei

)c=⋂i∈I

Eci

(A ∩B)c = Ac ∪Bc(⋂i∈I

Ei

)c=⋃i∈I

Eci

1.1. MODÈLE PROBABILISTE 7

1.1 Modèle probabiliste

1.1.1 Espace fondamental

Dénition 1. Une expérience aléatoire est expérience qui peut être répétée théoriquement aussi

souvent que l'on veut, dans des conditions xées, dont on connaît l'ensemble des résultats possibles

mais dont on ne peut prédire avec certitude le résultat que l'on obtiendra.

Dénition 2. L'espace fondamental d'une expérience est l'ensemble de tout les résultats possibles

de cette expérience.

Exemples.1) Le lancer d'un dé à six face : Ω = 1, 2, ..., 6.2) Le lancer d'une piece de monnaie : Ω = Pile, Face.3) On lance une pièce de monnaie jusqu'à obtenir Face. Les résultats possibles de cette expériencesont les nombres de fois ou on a lancé la pièce : Ω = N∗.4) La durée de vie d'un être vivant : Ω = R+.3) La trajectoire d'une feuille morte sur une surface d'eau plane D pendant un temps T :Ω = C([0, T ], D)

1.1.2 Événements

Dénition 3. Un ensemble de parties A de Ω est appelé tribu (ou σ-algèbre) sur Ω s'il vérie

les axiomes suivants :

i) Ω ∈ A.

ii) Si A ∈ A alors Ac ∈ A (Stabilité par passage au complémentaire)

iii) Si (An)n≥1 est une suite d'éléments de A,alors ∪n≥1An ∈ A (stabilité par réunion dénom-

brable).

Le couple (Ω,A) est appelé espace probabilisable.

Propriétés Si A est une tribu sur Ω, alors : l'ensemble vide ∅ ∈ A

Si (An)n≥1 est une suite d'éléments de A, alors ∩n≥1An ∈ A (stabilité par intersection dénom-brable)

Exemples élémentaires de tribus : P(Ω) est une tribu, appelée tribu triviale. Dans le cas discret (c-à-d Ω est ni ou dénombrable),on la prendra comme tribu.

A = ∅,Ω est une tribu, appelée tribu grossière.

Pour tout A ⊂ Ω, σ(A) = ∅, A,Ac,Ω est une tribu, appelée tribu engendrée par A.

Vocabulaire

Si A est un événement, pour chaque résultat ω de l'expérience aléatoire, ou bien ω ∈ A : Dans ce cas on dit que A est réalisé. ou bien ω 6∈ A : on dit que A n'est pas réalisé.

La non-réalisation de A est appelé la réalisation de l'événement contraire de A.


La réalisation simultanée de deux événements A et B (A et B) est l'événement A ∩B.

La réalisation d'au moins un des deux événements A et B (A ou B) est l'événement A ∪B.

Si A et B sont deux événements tels que A ⊂ B, on dit que l'événement A entraîne (ou im-plique) l'événement B.

Le singletonω est appelé événement élémentaire.

Ω est l'événement certain.

∅ est l'événement impossible.

Deux événements A et B dont la réalisation simultanée est impossible (A ∩ B = ∅) sont ditsincompatibles. Dans ce cas A et B sont dits mutuellement exclusifs.

des événements dont l'union donne l'espace fondamental sot dits collictivement exhaustifs

1.1.3 Probabilité

Dénition 4. : Soit (Ω,A) un espace probabilisable. On appelle probabilité une application P :A −→ R ayant les propriétés suivantes :

i) Pour tout A ∈ A, P(A) ≥ 0

ii) P(Ω) = 1

iii) Pour toute suite (An)n≥1 d'événements deux à deux incompatibles,

P (∪n≥1An) =∑n≥1

P(An) (σ-addidivité).

Le triplet (Ω,A,P) est appelé espace de probabilité, ou espace probabilisé. Modéliser une expérience

aléatoire, c'est se donner le triplet (Ω,A,P).

Exemple. Probabilité uniforme.Si Ω est ni la probabilité uniforme est dénie par

P(A) =#A

#Ω=

nombre de cas favorablesnombre de cas possibles

Propriétés :

1. P(∅) = 0.2. Pour tout événement A on a P(A) ≤ 1.

3. Additivité de P : si A1, A2, ..., An sont n événements deux à deux incompatibles, alors

P(A1 ∪A2 ∪ ... ∩An) = P(A1) + P(A2) + ...+ P (An).

4. P(Ac) = 1− P(A).

5.P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B).

6.

P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩B)− P(A ∩C)− P(B ∩C) + P(A ∩B ∩C).

7. Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B).

8. P(A ∩Bc) = P(A)− P(A ∩B)

1.2. MODÈLES D'URNE : DIFFÉRENTS MODES DE TIRAGE 9

1.2 Modèles d'urne : diérents modes de tirage

Dans de nombreuses situations une expérience aléatoire s'eectue en plusieurs étapes. Pourl'étude de tels cas il est souvent avantageux de faire appel aux modèles d'urne qui jouent unrôle important dans la modélisation probabiliste.Considérons une urne qui contient N boules discernables par exemple numérotés de 1 à N.L'expérience aléatoire à modéliser est le tirage de n boules dans cette urne. On note par El'ensemble des boules dans l'urne, E = 1, 2, ..., N. Le tirage peut s'eectuer de trois manièresdiérentes : Tirage successif avec remise. Dans ce mode de tirage on tire une boule et on la remet dansl'urne puis on tire la suivante et on la remet jusqu'à tirer n boules. Donc ici l'ordre dans le quelles boules sont tiré est important et les boules tirées peuvent se répétées. L'espace fondamentalassocié à ce mode de tirage est

Ω1 = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ E,∀1 ≤ i ≤ n = En.

On munit Ω1 de la tribu des événements, notée P(Ω1), qui est l'ensemble des parties de Ω1.Pour nir on munit cette tribu de la probabilité uniforme. Pour A ∈ P(Ω2),

P(A) =#A

#Ω1

et on a #Ω1 = #(En) = (#(E))n = Nn

Tirage successif sans remise. Dans ce mode de tirage on tire les n boules une à une sans lesremettre dans l'urne. Donc ici n ≤ N . L'ordre dans le quel les boules sont tiré est importantmais les boules tirées ne peuvent pas se répétées. L'espace fondamental associé à ce mode detirage est

Ω2 = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ E, xi 6= xj∀i 6= j

n munit Ω1 de la tribu des événements, notée P(Ω1), qui est l'ensemble des parties de Ω2.Pour nir on munit cette tribu de la probabilité uniforme. Pour A ∈ P(Ω2),

P(A) =#(A)

#(Ω2)

et on a#Ω2 = N(N − 1)...(N − (n− 1)) =

N !

(N − n)!:= AnN .

En eet, cela peut se montrer par recurrence sur n :Si n = 1 alors Ω2 = x : x ∈ E = E. Donc #(Ω2) = #(E) = N .Supposons le résultat vrai pour n et montrons le pour n + 1. Ceci est vrai car le nombre destirages possibles de n+1 boules est égal au nombre des tirages possibles de n boules multipliépar le nombre de tirage d' 1 boule de l'urne contenant à présent que N − n boules (car n ontdéjà été tirés).Remarque Le nombre AnN est le nombre des arrangements de n parmi N . Si n = N c'est lenombre des permutations de l'ensemble E qu'on note σ(E), et #(E) = N !.

Tirage simultané (ou exhaustif) Dans ce mode les n boules sont tirées en une fois. Icin ≤ N , l'ordre n'importe pas et les boules ne peuvent pas se répéter. L'espace fondamentalassocié à ce mode de tirage

Ω3 = A ⊂ E : #(A) = n := Pn(E)

est l'ensemble de toute les parties de E de n éléments.On munit Ω3 de la tribu des événements, notée P(Ω1), qui est l'ensemble des parties de Ω3.Pour nir on munit cette tribu de la probabilité uniforme. Pour A ∈ P(Ω3),

P(A) =#(A)

#(Ω3)


et on a

#Ω3 =N !

(N − n)!n!= CnN

En eet, posons K = #(Ω3). Ainsi, en posant Ω3 = A1, ..., AK (les Ai sont distincts), il enrésulte que Ω2 = σ(A1)∪, , ,∪σ(AK) et par consequent,

#(Ω2) =K∑i=1

#(σ(Ai))

Comme pour tout i, #(Ai) = n alors #(σ(Ai)) = n!. Ainsi, onAnN = Kn! et par conséquent #(Ω3) = K = AnN/n! = CnN .Remarque. L'ensemble Ω3 est noté Pn(E) pour l'ensemble de parties de E de cardinal n. Lenombre CnN s'appelle le nombre des combinaison de n parmi N .Le cardinal de l'ensembles des parties de E est égale à la somme des cardinaux des ensemblesde cardinal n pour n = 1 à N . Il en résulte du binôme de Newton que

#(P(E)) =N∑n=0

CnN = 2N

Dans plusieurs cas une expérience aléatoire peut être regardé globalement ou partiellementcomme un ou plusieurs tirages d'urne.

Exemples.1) Le lancer d'un dé à six faces peut être vu comme un tirage d'une boule dans une urne contenant6 boules. Donc #(Ω) = 62) Le lancer de 2 dés discernable peut être vu comme un tirage successif avec remise de 2 boulesdans une urne contenant 6 boules. Donc #(Ω) = 62 = 363) La combinaison d'une serrure à 3 chires peut être regardée comme un tirage avec remise de3 boules d'une urnes contenant 10 numérotes de 0 à 9. Donc #(Ω) = 103 = 1000.4) Le tirage simultané de n d'une urne contenant N1 boules blanches et N2 boules noires peutêtre regardée de la manière suivante : pour k = 0 à n on eectue deux tirages simultanés : le premier de k boules dans urne contenant les N1 boules blanches

le second de n− k boules dans une urne contenant les N2 boules noires

Il en decoule que

CnN1+N2=

n∑k=0

CkN1Cn−kN2

.

Le terme CkN1Cn−kN2

correspond au nombre des possibilité de tirer k boules blanches et n − kboules noires. Il s'en suit que si, B est l'événement Parmi le n boules tirées, il y exactement kboules blanches, alors

P(B) =CkN1

Cn−kN2

CnN1+N2

.

5) Dans un jeu de 32 cartes, une main de 8 cartes un tirage simultané de 8 parmi 32. Supposonsque l'on cherche a calculer la probabilité de l'événement B = la main contient exactement 2as et

P(B) =C2

4C628

C832

.

1.3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET INDÉPENDANCE 11

1.3 Probabilité conditionnelle et Indépendance

1.3.1 Probabilité conditionnelle

Dénition 5. Soient (Ω,A,P) une espace de probabilité et B un événement tel que P(B) 6= 0.On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, le réel

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B)

Proposition 1. (Formule des probabilités composées)

Soit B un événement tel que P(B) 6= 0 alors, pour tout A ∈ A, on a

P(A ∩B) = P(B)P(A|B).

Plus généralement, soit A1, ..., An tel que P(A1 ∩ ... ∩An−1) 6= 0, alors

P(A1 ∩ ... ∩An) = P(A1).P(A2|A1)...P(An|A1 ∩ ... ∩An−1).

Dénition 6. On appelle système d'événements complet toute famille (Bn)n∈I , où I ⊂ N ni

ou dénombrable, tel que

pour tout n, P(Bn) 6= 0.

les événements Bn sont deux à deux incompatibles (mutuellement exclusifs)

∪n∈IBn = Ω (collectivement exhaustifs)

Proposition 2. Formule des probabilités totales (FPT)

Soit (Bn)n∈I un système d'événements complet alors pour tout A ∈ A,

P(A) =∑n∈I

P(A ∩Bn) (FPT 1ère forme)

=∑n∈I

P(A|Bn)P(Bn) (FPT 2ème forme)

Exemple- Soit B ∈ A tel que 0 < P(B) < 1. Alors pour tout A ∈ A, on a

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc)

- On considère n urnes telles que l'urne numéro i contient i boules blanche et n−i boule noire. Onchoisit au hasard une urne et on en tire 1 boule. Qu'elle est la probabilité qu'elle soit blanche ?On pose Bi l'événement l'urne numéro i est choisie et A l'événement on tire une boule blanche.La famille (Bi)

ni=1 constitue une système d'événements complet. On a alors

P(A) =

n∑i=1

P(A|Bi)P(Bi)

Le choix de l'urne étant au hasard les événements Bi sont équiprobables et P(Bi) = 1/n. Sachantqu'on a choisit l'urne numéro i la probabilité de tirer une boule blanche est alors P(A|Bi) = i/n.D'ou

P(A) =

n∑i=1

i

n

1

n=n(n+ 1)

2n2=

1

2+

1

2n


Proposition 3. Formule de Bayes Soient A et B deux événements de probabilité non nulle.

Alors

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B).

Soit (Bn)n∈I un système d'événements complet. Alors pour tout événement A ∈ A on a

P(Bj |A) =P(A|Bj)P(Bj)∑n∈I P(A|Bn)P(Bn)

Exemple Reprenons l'exemple précédent. Sachant qu'on a tiré une boule blanche, quelle est laprobabilité d'avoir choisis l'urne numéro i ? On a

P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)

P(A)=i

n

1n

n(n+1)2n2

=2i

n(n+ 1).

A retenir :- La notion de probabilité conditionnelle s'introduit naturellement chaque fois qu'on acquiert uneinformation partielle sur le résultat d'une expérience aléatoire.- Elle s'utilise aussi lorsqu'on se livre à deux expériences aléatoires successives telles que lesconditions de la seconde sont fonction du résultat de la première.

1.3.2 Indépendance

Dénition 7. Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité.

Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A ∩B) = P(A)P(B).

Soit (An)n∈I , I ⊂ N ni ou non. On dit que la famille An est mutuellement indépendante

si pour tout J ⊂ I

P

(⋂i∈J

Ai

)=∏i∈J

P(Ai)

Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Les événements A= c'est unpique et B = "c'est un numéro" sont indépendants.En eet, l'ensemble fondamental Ω est l'ensemble des 32 cartes : 8 cartes (as-roi-dame-valet-10-9-8-7) pour chacune des 4 couleurs (♠-pique, ♥-c÷ur, ♦-carreau, ♣-trèe). On munit Ω de laprobabilité uniforme puisque le tirage se fait au hasard, d'où

P(A) =8

23=

1

4

Il y a 16 numéro (10- 9 -8-7 de chaque couleur), donc

P(B) =16

32=

1

2

Enn il y a 4 numéro de pique, donc

P(A ∩B) =1

8=

1

2

1

8= P(A)P(B).

Propriétés. Soient A et B deux événements de probabilité non nulle. Les trois conditions sontéquivalentes :i) A et B sont indépendantsii) P(A|B) = P(A)iii) P(B|A) = P(B)

1.3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET INDÉPENDANCE 13

Remarque. Les propriétés ii) et iii) justient le terme indépendants. En eet la probabilitéd'un événement n'est pas modiée par le fait que l'on sache un événement indépendant réalisé.

Propriétés Si A et B sont deux événements indépendants, alors- A et Bc sont indépendants- Ac et B sont indépendants- Ac et Bc sont indépendants

Propriétés Soit Aii∈I une famille mutuellement indépendante et soit Bi tel que Bi = Ai ouBi = Aci . Alors la famille Bii∈I est mutuellement indépendante.

1.3.3 Diagramme en arbre

Il est souvent pratique de représenter les probabilités conditionnelles sous la forme d'un arbre.À chaque branche est associé un événement. On indique sur la branche la probabilité d'observerl'événement conditionnellement à tous les événements rencontrés depuis le tronc. Les probabilitésconjointes aux noeuds s'obtiennent alors par simples multiplications des probabilités condition-nelles en partant du tronc jusqu'au noeud considéré.Exemple.

Exemple. On forme une équipe de 2 personnes par tirage au sort dans un groupe de 9 personnesdont 3 sont des lles. Quelle est la probabilité que l'équipe soit mixte ? Soit : F : lle, G : garçon.


1.4 Traveaux dirigés chpitre 1

Événement, probabilité.Exercice 1. Soient A et B deux événements tels que P(A) = 0, 2 et P (B) = 0, 4.

1. Choisir pour P(A ∩B) une des deux valeurs 0.15 ou 0.5. En déduire P(A ∪B)

2. Choisir pour P(A ∪B) une des deux valeurs 0.2 ou 0.5. En déduire P(A ∩B)

Exercice 1.Trois boules sont tirées d'une urne contenant des boules blanches et des boules rouges. Soient lesévénements A : la première boule est blanche B : la deuxième boule est blanch C : la troisième boule est blancheExprimer les événements suivants en fonction de A, B et C D : la premiere boule est rouge E : toutes les boules sont blanches F : les deux premières boules sont blanches G : au moins une boule est blanche H : seulement la troisième boule est blanche I : exactement une boule est blanche J : au moins deux boules sont blanches K : aucune boule n'est blanche

Dénombrement.

Exercice 2. On suppose qu'il y 4 boules blanches et 2 boules rouges dans l'urne de l'exerciceprécèdent. Calculer les probabilités des événements A,B,...,K dans les cas suivants

1. le tirage est avec remise

2. le tirage est sans remise

Exercice 3.On place dans un sac 5 billets de 500MRO, 7 billets de 1000MRO et 10 billets de 2000MRO. Onchoisit au hasard une poignée de 8 billets, chaque billet ayant la même probabilité d'être attrapé.

1. Quelle est la probabilité de n'avoir choisi aucun billet de 500 ?

1.4. TRAVEAUX DIRIGÉS CHPITRE 1 15

2. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu uniquement des billets de 2000 ?3. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu au moins un billet de chaque valeur ?4. On recommence l'expérience en tirant les billets un par un et en remettant le billet dans

le sac après son tirage. Calculer les probabilités des trois événements ci-dessus dans cettenouvelle expérience.

Exercice 4.Aurélie et Nicolas jouent aux dés. Ils lancent tour à tour 2 des et observent les chires sortis.Quand la somme est 7 ou le produit 6, Aurélie marque un point ; quand la somme est 6 ou leproduit 4, Nicolas en marque 1. Pour qui parieriez-vous ?

Conditionnement

Exercice 5.On jette 2 des équilibrés.

1. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux montre 6, sachant que les 2 résultatssont diérents ?

2. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux montre 6, sachant que leur sommevaut i ? Calculer le résultat pour toutes les valeurs possibles de i

Exercice 6.Un certain système a 5 composantes. Une panne du système est causée 35%, 30 %, 20 %, 10 % et5 % des fois par une panne dans les composantes A,B,C,D et E, respectivement. On suppose queles pannes simultanées dans plus d'une composante a la fois sont si rares qu'on peut les négliger.

1. Si une panne du système n'est pas causée par A, quelle est la probabilité qu'elle soit causéepar B ?

2. Si une panne du système n'est causée ni par A, ni par B, quelle est la probabilité qu'ellesoit causée par C ou D?

Exercice 7.Une compagnie d'assurance repartit les assures en 3 classes : personnes à bas risque, risque moyenet haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité qu'une personne soit impliquée dansun accident sur une période d'un an est respectivement de 0,05, 0,15 et 0,30. On estime que 20% de la population est à bas risque, 50 % à risque moyen et 30 % à haut risque.

1. Quelle est la proportion d'assurés qui ont eu un accident ou plus au cours d'une annéedonnée ?

2. Si un certain assuré n'a pas eu d'accidents l'année passée, quelle est la probabilité qu'ilfasse partie de la classe à bas risque ?

Diagramme en arbre

Exercice 8.A Londres il pleut en moyenne 1 jour sur 2e t donc la météo prévoit de la pluie la moitié desjours. Les prévisions sont correctes 2 fois sur 3, c'est-à-dire les probabilités qu'il pleuve quandon a prévu de la pluie et qu'il ne pleuve pas quand on a prévu du temps sec sont égales à 2/3.Quand la météo prévoit de la pluie, Mr. Pickwick prend toujours son parapluie. Quand la météoprévoit du temps sec il le prend avec probabilité 1/3. Calculer :

1. la probabilité que Mr. Pickwick prenne son parapluie un jour quelconque ;2. la probabilité qu'il n'ait pas pris son parapluie un jour pluvieux ;3. la probabilité qu'il ne pleuve pas sachant quil porte son parapluie.

Chapitre 2

Variables aléatoires

Sommaire2.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Distribution d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Fonction de masse et de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Distribution conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Distribution marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2 Distribution conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Indépendance des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Caractéristique de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Caractéristique de distribution d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . 20

2.4.2 Caractéristiques de deux variables aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.3 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tout au long de chapitre des lettres majuscules comme X, Y , Z,.. seront utilisées pour désignerde variables aléatoires et des lettres minuscules comme x, y, z,.. seront utilisées pour désignervaleurs que peut prendre les variables aléatoires

2.0 Quelques rappels

2.0.1 Intégrales

Primitives usuelles. Ci-dessous quelques primitives de fonctions particulièresf(x) Domaine F (x)

a R ax+ C

xa R∗ si a ∈ Z sinon R∗+ xa+1

a+1 + C1x R∗ ln |x|+ Cln(x) R∗+ x(ln(x)− 1) + C

eax, a 6= 0 R eax

aIntégrale. Durant cette section nous désignons par F une primitive de la fonction f .

Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle [a, b],∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a) ;

Exemple.∫ 1

0x2dx =

[x3

3

]1

0

=1

3− 0 =

1

3

Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle [a, b[,∫ b

af(x)dx = lim

x→bF (x)− F (a) ;

Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle ]a, b],∫ b

af(x)dx = F (b)− lim

x→aF (x) ;

Exemple.∫ 1

0

1√xdx =

[2√x]10

= 2− 0 = 2

17

18 CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES

Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle [a,+∞[,∫ +∞

af(x)dx = lim

x→+∞F (x)−F (a) ;

Exemple.∫ +∞

1

1

x2dx =

[−1

x

]+∞

1

= −0 + 1 = 1

Lorsque la fonction f est continue sur l'intervalle ]−∞, b],∫ b

−∞f(x)dx = F (b)− lim

x→+∞F (x) ;

Si H est une primitive de h alors H(f(x)) est une primitive de f ′(x)h(f(x))

Exemple.∫ +∞

0xe−x

2dx = −1

2

∫ +∞

0−2xe−x

2dx = −1

2

[e−x

2]+∞

0= −0 + 2 = 2

Intégration par parties : est une technique utile dans le calcul d'intégarale. Soit f et g deuxfonctions de primitives respectives F et G alors on a∫ b

af(x)G(x)dx = [F (x)G(x)]ba −

∫ b

aF (x)g(x)dx.

Exemple.∫ +∞

0xe−xdx =

[x2

2e−x]+∞

0

−∫ +∞

0−e−xdx = 0− 0 +

∫ +∞

0e−xdx =

[−e−x

]+∞0

= 0 + 1 = 1

2.0.2 Sommation

Binôme de Newton : (a+ b)n =

n∑k=0

Cknakbn−k

Suite géométrique :

n∑k=0

qk =1− qn+1

1− q

+∞∑k=0

qk =1

1− q

+∞∑k=n

qk =qn

1− q

Exponentielle : ∀x ∈ R, ex =+∞∑k=0

xk

k!

2.1 Variable aléatoire

Dénition 8. Une variable aléatoire est une fonction X qui associe à chaque résultat d'une

expérience aléatoire un nombre réel

Exemples. On lance une piece de monnaie 3 fois de suite. L'espace fondamental associé à cette expérienceest PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Si X désigne le nombre de Pile obtenualors X(PPP ) = 3, X(PPF ) = 2, X(PFP ) = 2, X(PFF ) = 1, x(FPP ) = 2, X(FPF ) = 1,X(FFP ) = 1 et X(FFF ) = 0 Ici l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable X est0, 1, 2, 3.

On lance une piece de monnaie jusqu'à obtenir Pile. Soit X est le nombre de lancers eectués.X est une variable aléatoire. L'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre est N∗.

On prélève une ampoule au hasard parmi une grande quantité et on désigne par X la duréede vie de cette ampoule. X est une variable aléatoire qui peut prendre n'importe quelle valeurréelle positive. Donc l'ensemble des valeurs possible est R+

Dénition 9. Soit X une variable aléatoire. On note par X(Ω) l'ensemble des valeurs prises

par X.

Si X(Ω) est de la forme xi|i ∈ I ou I est une partie de N, alors on dit que X est discrète

2.2. DISTRIBUTION D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE 19

Si X(Ω) est un intervalle ou une union d'intervalle de R, Alors X est dite continue.

Remarque. Dans l'exemple précédent les deux premières variables sont discrète et la dernièreest continue.

2.2 Distribution d'une variable aléatoire

2.2.1 Fonction de répartition

Dénition 10. Soit X une v.a.. On appelle fonction de répartition de X, noté FX , la fonction

dénie sur R à valeurs dans [0, 1] tel que FX(x) = P(X ≤ x). Ici (X ≤ x) = ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x

Propriétés.

1. La fonction de répartition FX est croissante et à valeurs dans [0, 1].

2. On a limx→−∞ FX(x) = 0 et limx→+∞ FX(x) = 1.

3. Pour tout x ∈ R P(X > x) = 1− FX(x)

4. Pour tout x, y ∈ R, P(x < X ≤ y) = FX(y)− FX(x).

5. Si X est continue alors FX est continue et si X est discrète alors FX est en escalier.

6. Pour tout x ∈ R, P(X = x) = FX(x)− limy→x− FX(y)

Exemple. On suppose que la production X d'une centrale électrique a pour fonction de répar-tition la fonction

FX(x) =

0 si x ≤ 0

3364(x+ x3

3 ) si 0 ≤ x ≤ 71 si x ≥ 1

La probabilité que la production soit supérieur à 5 est P(X > 5) = 1−P(X ≤ 5) = 1−FX(5) =

1− 3364(5 + 53

3 ) = 1− 0.38 = 0.62

2.2.2 Fonction de masse et de densité

Dénition 11. Soit X une v.a.

Cas discret : pX(x) = P(X = x) est la fonction de masse de la v.a. discrète X.

Cas continu : fX(x) = F ′X(x) est la fonction de densité de la v.a. continue X.

Propriétés.

Cas discret 0 ≤ pX(x) ≤ 1

P(a ≤ X ≤ b) =∑a≤x≤b

pX(x)

∑

x∈X(Ω)

pX(x) = 1

Cas continue fX(x) ≥ 0

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

afX(x)dx = FX(b)− FX(a)


∫ +∞

−∞fX(x)dx = 1

Exemple. On considère une v.a. dont la fonction de densité est donnée par

fX(x) =

c(1 + x2) si 0 ≤ x ≤ 70 sinon

Calculer c.Pour que fX soit une densité il faut que

1 =∫ +∞−∞ f(x)dx

=∫ 0−∞ f(x)dx+

∫ 70 f(x)dx+

∫ +∞7 f(x)dx

= 0 +∫ 7

0 c(1 + x2)dx+ 0

= c

([x]70 +

[x3

3

]7

0

)= c364

3

D'où c = 3364

2.3 Distribution conjointe

Dénition 12. Soient X et X deux variables aléatoires

La fonction de repartition conjointe de X et Y est FX,Y (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) Si X et Y sont discrètes, la fonction de masse conjointe est pX,Y (x, y) = P(X = x, Y = y)

Si X et Y sont continues, la fonction de densité conjointe est fX,Y (x, y) =∂2

∂x∂yFX,Y (x, y)

2.3.1 Distribution marginale

Dénition 13. Soient X et X deux variables aléatoires

La fonction de repartition marginale de X est FX(x) = limy→+∞

FX,Y (x, y) et celle de Y est

FY (y) = limx→+∞

FX,Y (x, y)

Si X et Y sont discrètes, la fonction de masse marginale de X est pX(x) =∑

y∈Y (Ω)

pX,Y (x, y).

De même pour Y

Si X et Y sont continues, la fonction de densité marginale de X est fX(x) =

∫ ∞−∞

fX,Y (x, y)dy

2.3.2 Distribution conditionnelle

Dénition 14. Soient X et X deux variables aléatoires.

Si X et Y sont discrètes, et si pY (y) > 0, la fonction de masse conditionnelle de X sachant

que Y = y est pX|Y=y(x) =pX,Y (x, y)

pY (y).

Si X et Y sont continue et si fY (y) > 0, la fonction de densité conditionnelle de X est

fX|Y=y(x) =fX,Y (x, y)

fY (y)

2.4. CARACTÉRISTIQUE DE DISTRIBUTION 21

2.3.3 Indépendance des variables aléatoires

Dénition 15. Soient X et Y deux v.a. Elles sont dites indépendantes si FX,Y (x, y) = FX(x)FY (y)

Proposition 4. Soient X et Y deux v.a. Les propositions suivantes sont équivalentes

X et Y sont indépendantes

fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) fX|Y=y(x) = fX(x) fY |X=x(y) = fY (y)

Remarque. Dans la dénition précédente f joue le role, de la fonction de densité si les deuxvariables sont continues, et le rôle de la fonction de masse si les deux sont discrètes.

2.4 Caractéristique de distribution

2.4.1 Caractéristique de distribution d'une variable aléatoire

Il est intéressant de dénir des quantités permettant de décrire les caractéristiques principalesd'une distribution. Ceci facilite la comparaison de distributions entre elles. Quand nous tra-vaillerons au niveau de l'échantillon, il arrivera que l'on ne connaisse pas nécessairement lesdistributions impliquées, pourtant les mesures caractéristiques pourront toujours être estimées àpartir de l'échantillon.

Espérance mathématique

Dénition 16. Soient X un v.a. et φ une fonction. l'espérance mathématique (ou moyenne) de

φ(X) est donnée par

Cas discret :E[φ(X)] =∑

x∈X(Ω)

xpX(x)

Cas continu :E[φ(X)] =+∞inf−∞

xfX(x)dx

φ(X) Nom donné à E[φ(X)] Symbole courant UtilitéX Moyenne µ Mesure de la tendance

centrale(X − µ)2 Variance σ2 Mesure de la dispersion

autour de la moyenne(X−µσ

)3Coecient d'asymétrie γ1 >0 indique une asymé-

trie vers la droite ;<0 indique une asymé-trie vers la gauche(

X−µσ

)4coecient d'aplatissement β2 <3 plus aplatie que la

normale ;>3 moins aplatie que lanormale(

X−µσ

)nmoment centré réduit d'ordren

Notes. La racine de la variance s'appelle l'écart-type Pour le calcul de la variance on utilise souvent la formule σ2 = E[X2]− (E[X])2

σ/µ est appelée coecient de variation qui sert à décrire l'importance relative de variation dela variable aléatoire.


Autre caractéristiques courantes

Quantile d'ordre p : Q(p) = x avec p = FX(p) donc Q(p) = F−1X (p)

Médiane : Q(0.5) Les quartiles : Q(0.25), Q(0.5) et Q(0.75) Écart interquartile : Q(0.75)−Q(0.25) Mode : x tel que fX(x) est maximale

2.4.2 Caractéristiques de deux variables aléatoire

Outre les caractéristiques décrites à la section précédente pour chaque variable considérée sépa-rément (i.e. obtenue avec la distribution marginale), on peut dénir les caractéristiques suivantespour les couples de variables aléatoires Covariance : σXY = E[(X − µX)(Y − µY )] = E[XY ] − µXµY . Il mesure la force du lienlinéaire unissant les variables X et Y . Peut être positif ou négatif. On a σXX = σ2

X

Coecient de correlation linéaire : ρXY =σXYσXσY

. Ce coecient est compris entre 1 et

1. La valeur 1 indique un lien linéaire parfait avec pente négative, 1 indique un lien linéaireparfait de pente positive, 0 indique absence de lien linéaire (il peut y avoir toutefois des liensnon-linéaires entre X et Y).

2.4.3 Propriétés.

1. E[aX] = aE[X]

2. E[aX + b] = aE[X] + b

3. E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]

4. E[XY ] = E[X]E[Y ] + cov(X,Y )

5. Si X et Y sont indépendantes alors E[XY ] = E[X]E[Y ]

6. E

[n∑i=1

Xi

]=

n∑i=1

E [Xi]

7. Si X1, X2, ...Xn sont indépendantes alors V ar

[n∑i=1

Xi

]=

n∑i=1

V ar [Xi]

2.5. TRAVAUX DIRIGÉS 23

2.5 Travaux dirigés

Exercice 1. Une personne possède 4 clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle lesessaie au hasard en éliminant celles qui ne marchent pas. On pose X le nombre d'essais pourouvrir la porte.

1. Calculer la fonction de masse de X

2. Calculer la probabilité qu'il faut au moins deux essais pour ouvrir la porte

3. Calculer le nombre d'essais moyen.

Exercice 2. On considère le jeu suivant : le joueur lance d'abord un dé non truqué. S'il obtient 1,2 ou 3, il gagne l'équivalent en unités moanitaire (c'est-à-dire 1 unité s'il obtient 1, par exemple).Sinon, il perd 2 unités. On note X la variable aléatoire correspondant au gain du joueur (négatifen cas de perte).

1. Donnez la loi de X et sa fonction de répartition FX2. Calculez l'espérance de X.

3. Calculez la variance de X.

4. On modie le jeu de la façon suivante : les gains restent les mêmes pour les résultats 1, 2ou 3, mais si le joueur obtient autre chose, il relance le dé. S'il obtient 3 ou moins, il gagne3 unité, sinon il perd 5 unité.

(a) Donnez la loi de Y (qui désigne de nouveau le gain du joueur) et calculez son espérance

(b) Quelle variante du jeu est la plus avantageuse pour le joueur

Exercice 3.Le temps d'attente (en mn) d'un client devant un guichet est une v.a. continue dont la fonctionde densité est donnée par

0 si x < 012 si 0 ≤ x < 13

2x4si x ≥ 1

1. Vérier que c'est une fonction de densité

2. Déterminer la fonction de répartition en en déduire la probabilité que le client attends plusde 3 mn

3. Si le client a attendu 1 mn, quelle est la probabilité qu'il attends encore 2 mn ?

4. Calculer la durée d'attente moyenne

5. Calculer le durée d'attente médiane

Exercice. 4Dans une petite ville la production électrique X et la demande en électricité Y quotidiennes en(Mwatt) sont deux v.a. dont la fonction de densité conjointe est donnée par

fX,Y (x, y) =

3

728(2 + x2 − y) si 0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 20 sinon

1. Calculer les fonction de densité marginales de X et de Y .

2. Calculer la probabilité que la production ne dépasse pas 5 Mwatt

3. Calculer la probabilité que la demande ne soit pas satisfaite

4. Si la demande est maximale, quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas satisfaite

Chapitre 3

Lois usuelles

3.1 Lois discrète

Soit p ∈]0, 1[ et λ > 0

3.1.1 Loi de Bernoulli

On appelle une épreuve de Bernoulli une experience aléatoire admettant deux résultats possibleun échec ou un succès telle que la probabilité du succès est égale à p ∈]0, 1[. Soit X la variablealéatoire égale à 1 si le résultat de l'épreuve est un succès et 0 sinon. On a donc

X(Ω) = 0, 1 et on a pX(0) = P(X = 1) = p et pX(1) = P(X = 0) = 1− p.

On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p et on note X Ber(p).

Pour une variable X qui suit une loi Bernoulli de paramètre p, on a

E(X) = p et σ2X = p(1− p)

3.1.2 Loi binomiale

Soit n ∈ N∗ et on considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer n épreuve de Bernoulliindépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus à l'issu de cetexpérience. L'ensembles des valeurs possibles pour X est alors

X(Ω) = 0, 1, ..., n et on a pX(k) = P(X = k) = Cknpk(1− p)n−k pour k ∈ 0, 1, ..., n.

On dit alors X suit une loi binomiale de paramètre n et p et on note X B(n, p).

Pour une variable X qui suit une loi binomiale de paramètre n et p, on a

E(X) = np et σ2X = np(1− p)

A retenir ! Le nombre de succès lors de n épreuves indépendantes suit une une loi binomiale.

Remarque. Une loi de bernoulli est une loi binomiale avec n = 1

3.1.3 Loi géométrique

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer une suite d'épreuve de Bernoulliindépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au rang du premier succès obtenu (ou nombred'epreuve pour avoir un succès). L'ensemble des valeurs possibles pour la variable X est

X(Ω) = N∗ et on a P(X = n) = p(1− p)n−1 pour tout n ∈ N∗.

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p et on note X Geo(p).

Pour une variable X qui suit une loi géométrique de paramètre p, on a

E(X) = 1/p et σ2X = (1− p)/p2

A retenir ! Le nombre d'épreuve pour obtenir le premier succès suit une une loi géométrique.

25

26 CHAPITRE 3. LOIS USUELLES

3.1.4 Loi binomiale négative

Soit r ∈ N∗. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer une innité d'épreuvesde Bernoulli indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au rang du r-ème succès obtenu.L'ensemble des valeurs possibles pour la variable X est donc

X(Ω) = r, r + 1, ... et on a P(X = n) = Cr−1n−1p

r(1− p)n−r pour tout n ≥ r.

On dit que X suit une loi Binomiale négative de paramètre r et p et on note X Bn(r, p).

Pour une variable X qui suit une loi binomiale négative de paramètre r et p, on a

E(X) = r/p et σ2X = r(1− p)/p2

A retenir ! Le nombre d'épreuve pour obtenir le premier r succès suit une une loi binomialenégative.

3.1.5 Loi hypergéométrique

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à eectuer un tirage simultané de n boules dansune urne qui contient N1 boules blanche et N2 boule noire. Soit X la variable aléatoire égale aunombre des boules blanches tirées. L'ensembles des valeurs possibles pour X est

X(Ω) = n, ..., n et on a P(X = k) =CkN1

Cn−kN2CnN1+N2

.

On dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètres N1, N2, n et on note

X H(N1, N2, n).

Pour une variable X qui suit une loi hypergéométrique de paramètre N1, N2 et n, on a

E(X) = nN1

N1 +N2et σ2

X = nN1

N1 +N2

(1− N1

N1 +N2

)(N1 +N2 − nN1 +N2 − 1

)

3.1.6 Loi de poisson

Soit Xn une variable aléatoire de loi B(n, pn) tel que npn → λ. Alors la variable limite X desXn, quand n→ +∞ est telle que

P(X = k) = λk

k! exp(−λ), k ∈ N

Ainsi, le nombre d'occurrence d'un événement pendant un temps donné est modélisé par une loide poisson de paramètre λ ou λ est le nombre moyen d'apparition de cet événement pendant cetemps

On dit que X suit une loi de poisson de paramètre λ et on note X P(λ).

Pour une variable X qui suit une loi de poisson de paramètre λ, on a

E(X) = λ et σ2X = λ

A retenir ! La loi de poisson modèlise le nombre d'occurrence d'un événement rare dans unepériode donnée.

3.2. LOIS CONTINUES 27

3.2 Lois continues

3.2.1 Loi uniforme

Dénition 17. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a, b] sisa fonction de densité est donnée par

fX(x) =

1b−a si x ∈ [a, b]

0 sinom

La fonction de répartition est donnée par

F (x) =

0 pour x < ax− ab− a

pour a ≤ x < b

1 pour x ≥ b

E(X) = a+b2 et σ2

X = (b−a)2

12

3.2.2 loi exponentielle.

Dénition 18. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ si

sa fonction de densité est donnée par

fX(x) =

λe−λx si x ≥ 00 sinom

La fonction de répartition est donnée par

F (x) =

0 pour x < 0

1− e−λx pour x ≥ 0

E(X) = 1λ et σ2

X = 1λ2

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillisse-ment, ou sans usure. Cette propriété se traduit mathématiquement par

∀(s, t) ∈ R+ 2, P(X > s+ t|X > t) = P(X > s).

3.2.3 loi normale et ses dérivées.

Dénition 19. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres m et σ2

si sa fonction de densité est donnée par

fX(x) =1√

2πσ2e−

(x−m)2

2σ2

E(X) = m et σ2X = σ2

Une loi normale est dite centrée lorsque m = 0 et réduite lorsque σ = 1.Il n'existe pas d'expression analytique de la fonction de répartition, mais la fonction de réparti-tion, notée Φ, associée à la loi normale centrée et réduite est tabulée.Propriétés. ∀x ∈ R, Φ(−x) = 1− Φ(x) Φ(0) = 1/2

Si X suit une loi normale de paramètres m et σ2, alorsX −mσ

suit une loi centrée et réduite.Conséquence : ∀x ∈ R,

P(X ≤ x) = Φ

(x−mσ

)


Si deux variables aléatoires X et Y suivent des lois normales de paramètres respectifs (m1, σ21)

et (m2, σ22 Z = X + Y suit une loi normale de paramètres m = m1 +m2 et σ2 = σ2

1 + σ22.

Le rôle central de cette loi de probabilité vient du fait qu'elle est la limite d'un grand nombre delois de probabilité, comme le montre le théorème central limite :Soit X1, X2, ..., Xn une suite de résultats d'une même expérience aléatoire répétée de façonindépendante d'espérance m et de variance σ2, alors

√n(X −m)

σ→ N(0, 1)

En d'autre termes X suit approximativement (lorsque n est grand) une loi normale de paramètresm et σ2/n et ceci quelque soit loi de départ de l'experience.

Application.Les prix de certaines denrées sont données par une bourse, c'est le cas du cours du blé parexemple. Au temps t, le prix Z(t) évolue jusqu'au temps t + T . Les mathématiciens proposentun modèle en supposant que lnZ(t + T ) − lnZ(t) suit une loi normale de moyenne nulle et devariance dépendant de t et de T .

Dérivées de loi normale

Loi du Chi-deux. La loi du χ2 (prononcer khi-deux) est caractérisée par un paramètre ditdegrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).Soient X1,...,Xk, k variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de moyennesrespectives µi et d'écart-type σi ; Yi=Xi−µi

σileurs variables centrées et réduites, alors par

dénition la variable X , telle que

X : =∑k

i=1 Y2i =

∑ki=1

(Xi−µiσi

)2

suit une loi du χ2 à k degrés de liberté.Soit X une variable aléatoire suivant une loi du χ2 à k degrés de liberté, on notera χ2(k)

Alors la densité de X notée fX sera :

fX(t) =

1

2k2 Γ( k

2)tk2−1e−

t2 si t ≤ 0

0 sinon

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.On a

E(X) = k et σ2X = 2k

La fonction de répartition de la loi de χ2 n'a pas de forme analytique connue mais on peuttrouver ses valeurs dans des tables ou à l'aide de logiciels.Cette loi est très utilisée en statistique, on l'utilise par exemple pour construire des intervallede conance pour la variance lorsque la moyenne est connue.

Loi de Student. La loi de Student fait intervenir le quotient entre une variable suivant une loinormale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ2.Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variableindépendante de Z et distribuée suivant la loi du à k degrés de liberté. Par dénition lavariable T = Z√

U/ksuit une loi de Student à k degrés de liberté.

La densité de T , notée fT , est donnée par :

fT (t) =1√kπ

Γ(k+12 )

Γ(k2 )

(1 +

t2

k

)− k+12

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.On a

3.2. LOIS CONTINUES 29

E(X) est indéterminée pour k = 1 et nulle pour k > 1 ,

σ2X indéterminée pour k = 1, innie pour k = 2 et égale à k

k−2 pour k > 2

La fonction de répartition de la loi de χ2 n'a pas de forme analytique connue mais on peuttrouver ses valeurs dans des tables ou à l'aide de logiciels.Cette loi est très utilisée en statistique, on l'utilise par exemple pour construire des inter-valles de conance pour moyenne lorsque la variance est inconnue.

Loi de Fisher. Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construitecomme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, U1 et U2, distribuées chacuneselon une Loi du χ2 et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement d1

et d2 :

F(d1, d2) ∼ U1/d1

U2/d2.


3.3 Traveaux dirigés du chapitre 3.

Exercice 1.Un épicier reçoit 100 pommes dont 10 % sont avariées. Il charge un employé de préparer desemballages de 5 pommes chacun. Celui-ci, négligeant, ne se donne pas la peine de jeter les fruitsavaries. Chaque client qui trouve, dans l'emballage qu'il achète, 2 fruits ou plus qui sont avaries,revient au magasin se plaindre.

1. Soit X le nombre de pommes avariées dans un emballage. Determiner la loi de probabilitéde X

2. Quelle est la probabilité pour qu'un client donne se plaigne auprès de son épicier ?

Application numérique : C590 = 43949268, C4

90 = 2555190 et C5100 = 75287520

Exercice 2.Des etudes eectuées par les compagnies aériennes montrent qu'il y a une probabilité de 0,05que chaque passager ayant fait une reservation n'eectue pas le vol. A la suite de ça, SA Airlinesvend toujours 94 billets pour ses avions à 90 sieges, tandis que BA Airlines vend toujours 188billets pour ses avions à 180 sieges.

1. On pose X le nombre de passagers ayant fait une reservation avec SA Airlines et quin'eectuent pas le vol. Determiner la loi de X.

2. Determiner le nombre moyen de passagers des vols de SA Airlines

3. On pose Y le nombre de passagers ayant fait une reservation avec BA Airlines et quin'eectuent pas le vol. Répondre aux questions précédentes pour Y .

4. Avec quelle compagnie un passager ayant reserve un siege risque-t-il le plus de ne paspouvoir prendre place dans l'avion ?

Exercice 3.Un étudiant appelle des entreprises pour décrocher un stage de n d'etude. On suppose qu'uneentreprise répond favorablement 1 fois sur 10 et ceci indépendamment des réponses des autresentreprises. Soit X le nombre d'entreprises qu'il faut appeler pour décrocher le stage.

1. Quelle est la loi de la variable X.

2. Quelle est le nombre moyen d'appel qu'il faut eectuer

3. Calculer la fonction de reparation de X pour les valeurs entière.

4. Quel est le nombre minimum d'appel qu'il faut eectuer pour être sur a 90% de chance dedécrocher le stage

Exercice 4.Un commerçant estime que la demande d'un certain produit saisonnier est une variable aléatoireX de loi de poisson de paramètre 5.

1. Determiner la demande moyenne

2. Si le commercant d'un stock de 2 unites, calculer la probabilité de rupture de stock.

Exercice 5.La durée de fonctionnement, en heures et sans panne, d'un appareil est une variable aléatoire Xdont la fonction de densité est donnée par :

f(x) =

0.02e−0.02x si x ≥ 00 sinon

1. Verier que fX est bien une fonction de densité.

2. Calculer la fonction de répartition de X

3. En déduire la probabilité des événements suivants : l'appareil tombe en panne avant 1000h, l'appareil fonctionne après 2000 h et l'appareil tombe en panne entre 1000 et 2000h

3.3. TRAVEAUX DIRIGÉS DU CHAPITRE 3. 31

4. Si après 1000 h l'appareil fonctionne toujours, quelle est la probabilité qu'il tombe en panneavant 2000 h

5. Calculer la durée de vie moyenne de cet appareil

Exercice 6.D'après une étude récente, la taille X des femmes françaises est distribuée selon une loi normalede moyenne m = 1.58 et d'écart-type σ = 0.06. Pour produire un stock de vêtements, un fabricantsouhaite utiliser cette loi.

1. Calculer les trois quatiles : c.-à-d., les valeurs de q1, q2 et q3 tel que P(X ≤ q1) = 0.25,P(X ≤ q2) = 0.5 et P(X ≤ q3) = 0.75

2. Il commence par déterminer un intervalle de la forme [m−a;m+a] (donc symétrique autourde la moyenne) contenant en moyenne 90% (environ) des tailles des femmes françaises :calculer a.

3. Il en déduit trois tailles, S, M et L, correspondant respectivement aux intervalles [m−a;m−a/3], [m− a/3;m+ a/3] et [m+ a/3;m+ a]. Calculer le pourcentage de la production quidoit être aecté à chaque taille.

Cours de : Probabilités 1ère année de la licence ...

Documents

Transcript of Cours de : Probabilités 1ère année de la licence ...