Cours de micro-ondes et radiocommunications

1

Cours de micro-ondes et radiocommunications

Master FE 2015-2016

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Plan du cours

I Introduction générale

• Classification des MO en bandes de fréquences

• Les domaines d’applications

• La transmission sur fréquence porteuse

Chaîne

Architecture d’un émetteur

La transposition en fréquence

TEB

Architecture d’un récepteur

• La propagation atmosphérique

Bilan de liaison satellite

Bilan de liaison GSM

L’atténuation atmosphérique

• Propagation guidée

Notions sur les guides d’ondes et les lignes

3

I Introduction générale . . .

• Circuits MMIC

• Exemple de circuit hyperfréquence : Tête de réception satellite

• Exemple de système hyperfréquence : Le GSM, GPS

• Quelques problèmes rencontrés en microondes

Plan du cours

II Propagation dans les guides d’ondes

• Méthode générale d’étude d’un guide d’onde (équations de Maxwell)

• Exemple du guide d’onde rectangulaire métallique (notions de mode et de dispersion)

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Plan du cours

III Théorie des lignes

• Equations des télégraphistes

• L’abaque de Smith

• Les problèmes d’adaptation d’impédance

Adaptation par une ligne quart d’onde

Adaptation à 1 stub

Adaptation à 2 stubs

IV Les paramètres S

• Adaptation simultanée de l’entrée et de la sortie d’un amplificateur HF

• Utilisation d’un analyseur de réseau

V L’intermodulation

VI Le bruit en électronique

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f0 : 300 MHz – 300 GHz

0 : 10 km - 1 mm

I Introduction générale

Les microondes2 :

f0 30 kHz – 300 GHz

0 : 1 m - 1 mm

Les ondes radioélectriques1 :

30 kHz 300 MHz 300 GHz f0

0

Hyperfréquences

10 km 1 m 1 mm

Radiofréquences

(1) Ondes radioélectriques = ondes hertziennes = radiofréquences (2) Microondes = hyperfréquences

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Classification des MO en bandes de fréquence

Catégorie Fréquence dans le vide Longueur d’onde dans le vide

Ondes décimétriques 300 MHz < f < 3 GHz 10 cm < < 1 m

Ondes centimétriques 3 GHz < f < 30 GHz 1 cm < < 10 cm

Ondes millimétriques 30 GHz < f < 300 GHz 1 mm < < 1 cm

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Les domaines d’application des microondes

Applications des MO les plus répandues

Radiocommunications et telecommunications

Autres applications des MO

Fours à MO

Spectroscopie, caractérisation des matériaux (mesure de et )

Médecine (traitement des tumeurs par irradiation)

Radioastronomie : extraction d’info relatives aux astres à partir des radiations qu’ils émettent

Accélérateur de particules : des tubes spécifiquement MO (klystrons) fournissent de très fortes puissances et transmettent aux particules l’énergie requise pour les accélérer à des vitesses relativistes ( 3.108)

RADAR

Dans ce cours nous traiterons essentiellement des applications de type radiocommunications

8

Les domaines d’application des microondes Les radiocommunications

Occupation du spectre MO par les applications télécom., classification par ordre croissant des bandes de fréquence utilisées.

f

GSM : 890-960 MHz DCS : 1710-1880 MHz Mobiles

Principalement les bandes C (4-8 GHz) & Ku (12-18 GHz) Satellites

Wi-Fi 2,4 GHz applications de faible puissance (AFP)

1227,6 MHz et 1575,4 MHz GPS

UMTS : 1920-2170 MHz Mobiles

Hiperlan 5 GHz

9

GSM : Global system for mobile communications : téléphonie mobile 2G

L’espace est divisé en cellules < 10 km (avec 2*6 freq par cellules)

Système bidirectionnel (1 fréq. fup pour la voie montante & 1 autre freq. fdown pour la voie descendante, avec fup < fdown)

Multiplexage fréquentiel

Multiplexage temporel : time division multiple access TDMA (8 utilisateurs par fréquence)

Débit/usager (voix) : 13 kbit/s, débit total 270 kbit/s

UMTS : Universal Mobile Telecommunication System : téléphonie mobile 3G

CDMA code division multiple access : débit 2 Mbit/s/abonné (voix + données)

1,920-2,170 GHz

890 MHz-960 MHz DCS : 1710-1880 MHz

Mobiles


10 f

GSM : 890-960 MHz DCS : 1710-1880 MHz UMTS : 1920-2170 MHz Mobiles

Antenne émettrice

Centre de transmission

Communication descendante

Communication ascendante

Station de base

Portable


11

Nota : Voie montante et descendante sur des fréquences et souvent éloignées de plusieurs GHz

Satellites

Principalement bandes C (4-8 GHz) et Ku (12-18 GHz)

Applications

Observation de la terre

Radionavigation (GPS : global positioning system (USA) ou Galiléo (UE))

GPS : 2 porteuses : 1227,6 GHz et 1,575 GHz

Radiodiffusion

Télécommunications

Nota : L’existence d’une voie montante n’est pas systématique, tout dépend du système. Ainsi pour le GPS par exemple, la station mobile est un récepteur. Par contre, les stations fixes au sol (segment de contrôle) émettent vers les satellites…


12 f

Principalement les bandes C (4-8 GHz) & Ku (12-18 GHz) Satellites

Station centrale Réseau terrestre

!! Voie montante et descendante n’ont pas la même fréquence !!

Antenne directive


13

Occupation spectrale

Les données à transmettre sont désormais numériques et les services à fournis nécessitent

des débits de plus en plus élevés.

Or, à format de modulation donné, plus le débit est élevé, plus le spectre occupé est large.

Nota : Plus la fréquence porteuse d’un système sera élevée, plus la bande passante disponible

alentour sera potentiellement importante.

Conséquence : les hautes fréquences sont a priori vouées aux transmissions haut débit.


Mais le spectre est une ressource rare dont l’allocation est réglementée.

C’est pourquoi, entre autres raisons, en télécommunications il est primordial d’étudier le

spectre des signaux.

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Emetteur Récepteur

Canal (support de propagation)

Espace libre

Ligne (câble coaxial et c.)

Guide d’onde

Oscillateurs Amplificateurs

Filtres Antennes

1 bande de fréquence pour la voie descendante 1 bande de fréquence pour la voie montante

Oscillateurs Amplificateurs

Filtres Antennes

Transmission sur fréquence porteuse Chaîne de transmission

Chaîne de transmission

15

Transmission sur fréquence porteuse Architecture d’un émetteur

f

Spe

ctre

f fRF

Données fOL

Mod

fFI

fRF

Bande de base FI RF

Amplitude Phase

Fréquence

Tansposition en fréquence RF

Canal de transmission

fFI

Objectif : adapter le signal au canal de transmission

Architecture d’un émetteur adaptation du signal au canal

16

Ceci peut être vu comme une transposition du signal basse fréquence en haute fréquence.

fm

fp- fm fp+ fm

P

f fp

fp

f

P

fm

f

P Signal modulant info

Porteuse radio

Info transposée en HF

Mélangeur

Le simple fait de multiplier un signal oscillant à une fréquence fm par un signal oscillant à une fréquence fp génère deux signaux l’un à la fréquence fp -fm et l’autre à fp +fm.

1cos 2 * cos 2 cos 2 cos 2

2

A f t B f t AB f f t f f tp m p m p m

1

cos * cos cos cos2

a b a b a b

Principe de base la multiplication

Transmission sur fréquence porteuse Transposition en fréquence

17

De façon analogue, la multiplication d’un signal occupant une bande de fréquence B par une porteuse de fréquence fp,transpose la bande en question de part et d’autre de fp.

fp- fFI fp- fFI

P

f fp

fp

f

P

fFI

f

P Info basse fréquence

Porteuse radio

Info transposée en HF

Mélangeur

Classiquement, le spectre que l’on transpose à la fréquence fp est celui d’une fréquence intermédiaire ayant subi une modulation numérique.

Transmission sur fréquence porteuse Transposition en fréquence

18

Transmission sur fréquence porteuse TEB

19

L’architecture d’un récepteur RF est symétrique de celle de l’émetteur.

P

Données fOL

Démod

fFI

fRF P

Données

fOL

Mod

fFI

fRF

Emetteur

Récepteur

fRF

Transmission sur fréquence porteuse Architecture d’un récepteur

20

Propagation dans l’atmosphère Bilan de liaison

Antenne directive

Exemple bilan d’une liaison satellite

d Rapport signal sur bruit en réception

kTB

GAGP

N

Srelee

2

4

dA

el

Pe : puissance émise Ge : gain de l’antenne d’émission Ael : atténuation en espace libre Gr : gain de l’antenne de réception On pourrait aussi multiplier le signal reçu par l’atténuation atmosphérique à la fréquence utilisée

Signal reçu relee

GAGPS

!!! Gain !!!

21

Antenne directive

Exemple bilan d’une liaison satellite

d Rapport signal sur bruit en réception

kTB

GAGP

N

Srelee

B : bande passante du système T : température équivalente de bruit du système, dont: Ta : Température équivalente du bruit capté par l’antenne (galactique, environnement) Tr : Température équivalente de bruit produit par le récepteur

raTTT

Bruit reçu kTBN

Propagation dans l’atmosphère Bilan de liaison

22

Communications indoor à 60 GHz

L’atténuation atmosphérique peut être mise à profit

Propagation dans l’atmosphère Atténuation atmosphérique

23

Propagation guidée Guides d’ondes et lignes

Guides : symétrie par translation selon z, axe de propagation

Guides ouverts

Ligne triplaque

Ligne microruban

Plan de masse

Diélectrique

Ruban métallique

Diélectrique

Ruban métallique

Guide rectangulaire

métallique

Guide cylindrique

métallique

Câble

coaxial

Métal

Vide

Diélectrique

Métal

Vide

Guides fermés

24

Onde TEM : (E,H) n’ont pas de composante selon z Guide TEM ligne de transmission

Guides TEM (lignes)

Câble

coaxial

Ligne

microruban

Quasi TEM

Guide

rectangulaire

métallique

Guide

cylindrique

métallique

Métal

Vide

Métal

Vide

Guides non TEM


25

Le mode fondamental est celui présentant la fréquence de coupure la plus basse.

Il correspond au couple (m,n) minimisant fc. Donc, en considérant a>b, il s’agit du mode TE10

Etude des guides d’ondes Guide d’onde rectangulaire

A chaque couple m,n correspond une longueur d’onde de coupure c différente et une fréquence (angulaire)

de coupure c (fréquence en deçà de laquelle il n’y a pas de propagation du mode considéré : = 0).

0

c10

0 0 r

Bande

monomode

Forte dispersion

Mode fondamental

Premier mode supérieur

xka

c 2a

2 2

2

mn 0 0 r

m n

a b

Diagramme de dispersion

c20

26

Premier mode d’ordre supérieur :

c’est celui qui présente la fréquence de coupure immédiatement supérieure à celle du mode fondamental.



0

c10

0 0 r

Bande monomode

Forte dispersion

Mode fondamental

Premier mode

supérieur

2 2

2

mn 0 0 r

m n

a b


c20

Le couple (m,n) associé au premier mode supérieur dépend du rapport a/b.

Pour les guides normalisés, le rapport a/b est fixé à 2,25. Ainsi, le premier mode supérieur est le TE20 pour

lequel c20 = a.

La bande passante du guide d’onde est celle dans laquelle il est monomode, elle est comprise entre la fc du

mode fondamental et du premier mode supérieur.

27


En pratique, les guides d’ondes sont conçus pour fonctionner dans les bandes de fréquence normalisées

(X, Ku, Ka, >U et c.)

Par exemple, pour la bande X (8.2-12.4 GHz) les dimensions du guide standard sont : a = 22,86 mm ;

b = 10,16 mm.

On a a/b = 2,25 TE10 : c = 2a = 45,72 mm ⇒ fc = 6,56 GHz

TE20 : c = a = 22,86 mm ⇒ fc = 13,12 GHz

Ce guide est monomode entre 6,56 GHz et 13,12 GHz.

Cependant, la dispersion (non linéarité de () limite son utilisation vers les basses fréquences tandis que

les pertes métalliques sont limitantes en hautes fréquences.

La bande de fonctionnement normalisée est en fait [8,2-12,4 GHz].

La dispersion est la non linéarité de () qui implique non linéaire ⇒ dispersion du spectre

transmis. gv

28

Potentiel technologique des guides d’ondes

Guides métalliques

Forte puissance

Faibles pertes

Dispersifs

Fréquence de coupure fc

Volume, poids

Lignes (coaxiales)

Non dispersisves

Pas de fc inf

Pertes

Faible puissance (microruban)


29

Faible coût

Compacité des structures


Potentiel technologique des lignes microruban…

30

Miniaturisation, réduction des pertes, faible coût, fonctionnalité

Matériaux BIP

réflecteur & substrat

pour antenne

Coupleur Filtres Isolateur

Antenne

Matériaux diélectriques

Supraconducteurs

diminution des pertes

Matériaux magnétiques

(ferrites, ferrocomposites)

circulateur

isolateur

atténuateur …

Support métallique

Substrat

Inserts

Inserts diélectriques : réduire les pertes

relâcher les contraintes technologiques


31

MMIC : Microwave Monolithic Integrated circuit (Amplificateurs SC)

(LNA)

Composants actifs Circuits MMIC

32

Parabole de réception satellite

Tête HF

Exemple de circuit hyperfréquence Tête de réception satellite

33

Tête HF HF

Alim+info BF

Câble


34

HF

Alim+info BF

Câble

Antenne

fOL

Circuit

d’alimentation Circuit num.

Switch

2 polarisations

PA Filtre Mélangeur (down)

OL HF

Alim+info BF

(commande du switch)

Câble LNA


35


36

Filtre (bruit

fréq image) LNA MPA OL 9,75 GHz Mélangeur

Alimentation

Switch

Antenne

patch

HF

Alim

+info BF

(commande

du switch)

Info BF : qq kHz Circuits d’adaptation Polarisation des

transistors

Alim OL et


37

t

f

Trame TDMA Tslot

200 kHz

TDMA

Tslot = 0,5769 ms TTDMA = 4,562 ms = 8 Tslot

Slot n° : 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3

Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

38

Organisation cellulaire Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

39


40

6°

Ellipsoïde de Fresnel


41

BTS*

4 fréquences

4 fréquences

4 fréquences

* BTS : Base Station Transceiver (Tx/Rx cad émetteur/récepteur) BTS* comportant

3*2=6 antennes

(diversité d’antennes)


42


43

2 3 7 1 4

Réutilisation des fréquences

Organisation cellulaire

2 3

6 5 2 3 7 1 4

7 1 4 6 5 2 3

2 3 7 1 4 6 5

7 1 4 6 5

6 5

Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

44

Coupleur

Duplexeur

Rx Rx Rx Rx Tx Tx Tx Tx

Coupleur

f1 f2 f3 f4 f’1 f’2 f’3 f’4

* f’ = f+45 MHz

*

f1 f2 f3 f4

2

4

dA

el

!!! Gain !!!

Rx Tx

Duplexeur

d

Les fréquences basses sont

utilisées par le mobile

BTS : Base Transceiver Station

Synoptique d’une BTS Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

45

Source : Réseaux GSM-DCS, p 148

Lagrange, Godlewski, Tabbane

Editions Hermes

Bilan de liaison Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

46

Source : Réseaux GSM-DCS, p 149

Lagrange, Godlewski, Tabbane

Editions Hermes

Bilan de liaison Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

47

Exemple de frequency hopping sur 4 fréquences

t

f

f1

f2

f3

f4

Slot n° : 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3

Frequency Hopping Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

48

Trame de parole

analogique

20 ms

Codec Codage canal

13 kbit/s

260 bits/ 20ms

22,8 kbit/s

456 bits/ 20ms

Entrelacement

22,8 kbit/s

456 bits/ 20ms

0 1 2 3 4 5 6 7

20 ms

8 paquets de 57 bits

Contenu d’un burst

156,25 bits dont 2*57 = 114 bits de parole

Le débit passe à (156,25/114)*22,8 kbit/s= 31,25 kbit/s 3 57 1 26 1 57 3 8,25

Intervalle de garde Séquence d’apprentissage

Trames numériques Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS

49

Constitution

d’un burst

156,25 bits dont 257 = 114 bits de parole

Le débit passe à (156,25/114)22,8 kbit/s

31,25 kbit/s

3 57 1 26 1 57 3 8,25

Intervalle de garde Séquence d’apprentissage

22,8 kbit/s

456 bits/ 20ms 0 1 2 3 4 5 6 7

20 ms

0 1 2 3 4 5 6 7

20 ms

Parole codée

20 ms (n-1) 20 ms (n)

Trame TDMA

Multitrame

0 1 2 3 4 5 6 7

Trames de signalisation

831,25 kbit/s(26/24)

270,833 kbit/s

8 utilisateurs parlent simultanément

(débit 8)

Slot

Exple de système hyperfréquence : GSM-DCS Modulation GMSK

50

Le format de modulation numérique utilisé est le GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying)

La modulation MSK est le cas particulier de FSK où l’intervalle entre f1 et f0 est minimum

(en deçà la détection n’est plus possible).

(f1-f0)/fB = 0,5 où fB = 1/TB

t

1 1 0 1 0 t

TB

1

0

1

0

-1

f1 f0

f0 f1 f1+fB

f

fB

2f = fB/2 DSP

Modulation MSK

0

En GMSK la modulation est précédée d’un

filtrage gaussien qui atténue les lobes

secondaires du spectre.


51

Mise en œuvre de la GMSK

Une MSK peut être vue comme une modulation de phase, aussi peut elle être

réalisée avec un modulateur IQ.

Codage d’un 0 Acos(2f0t) = Acos[2(f -f)t]

= Acos[2(f-fB/4)t] = Acos[2ft-0] où 0 = (fB/2)t avec t[0 TB]

Codage d’un 1 Acos(2f1t) = Acos[2(f +f)t]

= Acos[2(f+fB/4)t] = Acos[2ft-1] où 1 = -(fB/2)t avec t[0 TB]

0 /2

Q = sin()

I = cos()

Intégrateur

numérique

Pente fB/2

(t)

Calculateur

numérique

/2

0

-/2

f1

f0

t

TB

Acos(0t-)

Modulation MSK


52

0 /2

Acos(0t-) Q = sin()

I = cos()

Intégrateur

numérique

Pente fB/2

(t)

Calculateur

numérique

/2

0

-/2

f1

f0

t

TB Filtre

gaussien

Modulation GMSK

Filtrage gaussien transitions de phase plus douces diminution de l’ocupation spectrale

0

-10

-20

-30

-40

-50

-60

-70

_80

_90

_100

890,5 MHz

GMSK

MSK

Span 2 MHz


53

CAG Traitement

numérique

Traitement

numérique

Exple de système hyperfréquence GSM-DCS Architecture du mobile

54

Exemple de système hyperfréquence GPS

Segment utilisateur

Segment de contrôle

Segment spatial

Bande L [1-2 GHz]

Bande S [2-4 GHz] 1,783 GHz

2,275 GHz

L1 = 1,575 GHz

L2 = 1,227 GHz

55


Segment spatial :

28 satellites (24 + 4 de secours) Orbites quasi-circulaires (rayon = 26600 km alt. = 20184 km) inclinés de 55°/t équateur et de 60° les uns /t aux autres, période de révolution 12 h

4 satellites équidistants / orbite

A instant, pt du globe est en visibilité d’au moins 4 satellites

Horloges synchronisées (précision de 100 ns)

56

Suivi des satellites (voie descendante : 1,783 GHz)

collecte des informations qu’ils émettent

Calculs et modélisation (à partir des informations collectées)

des orbites, des éphémérides

de la dérive des horloges

du temps de propagation ionosphérique


1,783 GHz

2,275 GHz

Remise à jour des satellites (voie montante : 2,275 Ghz)

orbites, éphémérides

horloges

messages de navigation qu’ils diffusent

Segment de contrôle : 5 stations de surveillance terrestres

57


Segment utilisateur : récepteur GPS

Voie descendante 2 porteuse

L1 = 154f0 = 1575,42 Mhz ( 19,05 cm)

modulée en QPSK

L2 = 120f0 = 1227,6 Mhz ( 24,45 cm)

modulée en BPSK

Codes PSA (pour la mesure de distance)

Coarse/Acquisition code (code C/A) 1,023 Mbit/s

modulation de L1

Precision code (code P) 10,23 Mbit/s

modulation de L1 et L2

58


1 1 0 1 0 t

Séquence PSA reçue sr(t)

T

Corrélation css(propag)

propag

1 1 0 1 0 t

Le récepteur GPS corrèle sr(t) avec s (t+)

sr(t)

s(t+)

La corrélation étant égale à l’intégrale du produit de la séquence reçue par la même séquence décalée de , elle est maximum quand les deux séquences sont en phase, i.e. quand = propag

De propag on déduit la distance récepteur-satellite…

59


tπftDtC/AatπftDtPatL 11111 22 sin)()(cos)()( QPSK C/A(t), P(t) et D(t) {+1,-1}

tπftDtPatL 222 2cos)()( BPSK

(C/A(t) coarse code, P(t) precision code, D(t) données du message de navigation satellite)

QPSK

tL2

P(t)D(t)a1

C/A(t)D(t)a1Horloge

atomique

Fréquence fondamentale F = 10,23 MHz

Générateur du code C/A(t)@1,023 MHz

Générateur du code P(t)@10,23 MHz

Porteuse L1 F1 = 154 F = 1575,42 MHz

154

120

: 10

Porteuse L2 F2 = 120 F = 1575,42 MHz

Génération du message D(t)@ 50 Hz

= 90°

BPSK

tL1

1

1 1

Architecture du satellite :

60


Pr = -160 à –153 dBW

Psat = 21,9 W (+13,4 dBW)

Ael ≃ -185 dB

Bilan de liaison: ordres de grandeur

61

A terme 30 satellites sont prévus (dont 27 opérationnels et 3 de réserve) en orbite circulaire à 23 000 km d'altitude. Ils seront placés sur 3 plans d'orbites régulièrement espacés, avec chacun 9 satellites actifs plus 1 en réserve. Cette constellation, dite de Walker, permettra au système de positionnement d’être précis, tout point du globe étant en visibilité permanente d’au moins 8 satellites.

Exemple de système hyperfréquence Galileo

Galileo est le futur système de positionnement satellitaire européen. A l’heure actuelle deux satellites expérimentaux sont en orbite.

62

La composante sol

Une trentaine de stations de détection dotées d’horloge au césium, et 10 stations de transmission de données satellitaires dites de « liaison montante » seront positionnées dans le monde. Ce dispositif terrestre permettra de gérer l’ensemble du système de navigation. La composante sol devra ainsi veiller à l’intégrité - la capacité à s'assurer que le service attendu n'est pas dégradé - des signaux Galiléo, à la détermination des positions orbitales des satellites et à la synchronisation des horloges satellitaires et terrestres.


63


64

Problèmes technologiques rencontrés

Reproductibilité des circuits hybrides

Mise en boîtier

Compatibilité électromagnétique (CEM)

Pb d’adaptation (exple :passage d’une technologie à une autre)

Pertes par rayonnement (discontinuités)

Pb d’interconnexion

Fils de connexion (boundings) effets inductifs indésirables proportionnels à la longueur des fils d’or

65

Les appareils de mesure

- Analyseur de réseau - Synthétiseurs de fréquence - Stations sous pointes

66

Les outils théoriques

Equations de Maxwell : étude des guides d’onde non TEM.

Théorie des lignes : pour l’étude des guides TEM. Néanmoins, les

résultats (régimes de propagation, abaque de Smith, paramètres S)

ont une portée générale en MO.

La théorie des lignes et les concepts qui en découlent sont

beaucoup plus simples à manipuler que les équations de Maxwell

pour traiter un Pb MO … Dans de nombreux cas ils suffisent.

Pour traiter des configurations complexes, le recours aux équations de

Maxwell, alliées à des méthodes numériques, est pourtant inévitable.

67

Plan du cours

Traitement des guides d’ondes à partir des équations de Maxwell

Méthode

Etude d’un guide d’onde rectangulaire, mise en évidence

des notions de modes de propagation et du phénomène de

dispersion.

Théorie des lignes

Equations des télégraphistes

Abaque de Smith

Adaptation simple et double stub.

Paramètres S

…

68

II Propagation dans les guides d’ondes

69

Etude des guides d’ondes Généralités

Différentes structures de propagation en particulier les guides d’ondes et les lignes de

transmission

La théorie des lignes a été développée à partir d’un modèle qui considère la propagation d’un

couple courant tension (i,v) le long des lignes. Ce couple (i,v) est en fait lié au couple (E,H) qui

se propage.

Si le détail de ce modèle n’est valable que pour les lignes, les résultats obtenus et les concepts

qui en découlent (matrices impédances, matrices admittances, matrices S, diagramme de

Smith) sont applicables aux autres structures de propagation.

Avant d’exposer la théorie des lignes, nous allons aborder la méthode permettant de traiter la

propagation des ondes dans un guide et traiter le cas du guide d’onde métallique à section

rectangulaire.

Etude des guides d’ondes à partir des équations de Maxwell

Cette étude nous permettra d’aborder deux notions essentielles : celle de mode de propagation

et celle de dispersion

70


Equations de Maxwell

Ce sont les lois qui régissent l’évolution des champs E.M. dans la matière. Elles sont au nombre de 4 :

Avec :

B r, trotE

t

D r, trotH J r, t

t

divD r, t

divB 0

(1) Loi de Faraday

(2) Théorème d’Ampère

(3) Théorème de Gauss

(4) Conservation du flux de B

Champ électrique [V/m]

Champ magnétique [A/m]

Déplacement électrique [As/m2]

Induction magnétique [Vs/m2]

Densité de courant volumique [A/m2]

Densité volumique de charge [As/m3]

E

H

D

B

J

71


Rque : et J sont appelées sources. Elles ne sont pas indépendantes, en effet :

(5) Loi de conservation de la charge divJt

c S

E dl B r, t dSt

Rappel : Les équations (1) à (5) peuvent aussi s’écrire sous forme intégrale.

c S

H dl D r, t dSt

v

D r, t dS dv

B r, t dS 0

v

JdS dvt

(5-2) Loi de conservation de la charge

(1-2) Loi de Faraday

(2-2) Théorème

d’Ampère

(3-2) Théorème de Gauss

(4-2) Conservation du flux de B

72


0 rD r, t r E r, t

Avec r permittivité diélectrique relative du milieu

r perméabilité magnétique relative du milieu

Relations constitutives du milieu

Les relations (1) à (5) ne suffisent pas pour déterminer les champs. Les relations constitutives du milieu dans

lequel se trouvent les champs ( au point d’observation) sont nécessaires.

Cas d’un milieu linéaire isotrope et stationnaire.

Cas sans pertes

0 rB r, t r H r, t

(6)

(7)

Dans les milieux conducteurs il faut prendre en compte la loi d’Ohm généralisée :

J r, t r E r, t (8)

73

On remplace (8) et (9) dans le théorème d’ampère et on se place en régime harmonique

' "

0 r 0 0 rrotH j E E E

jt

(11)


Pour un milieu linéaire comportant des pertes on peut écrire dans le domaine des fréquences

(car les pertes sont fonction de la fréquence) :

avec

Angle des pertes

D r, r, E r,

B r, r, H r,

(9)

(10) r, ' r, j " r,

r, ' r, j " r,

Les parties imaginaires ’’ et ’’ traduisent respectivement les pertes diélectriques et magnétiques.

Densité de courant

due aux charges libres

Densité de courant lié aux

pertes provoquées par les

charges liées

Pertes Partie imaginaire

(on n’en tient pas compte)

Densité de courant de

déplacement qui n’existe

qu’en régime dynamique

Due aux charges liées

74


Angle des pertes…

Dans le cas d’un diélectrique on a = 0

La valeur de tan est souvent donnée comme caractéristique d’un diélectrique

"tan

'

(13)

tan >> 1 très bon conducteur (conductivité liée à )

tan << 1 très bon diélectrique ( = 0 et ’’ << ’)

A partir de cette relation on définit la tangente des pertes :

0

0

"tan

'

Densité de courant de déplacement

Densité de courant totale liée aux pertes (12)

75


Les équations de Maxwell sont valables dans un milieu donné, or les structures guidantes comportent

parfois plusieurs milieux et en général des parois. Pour étudier la propagation des ondes il faut tenir

compte de ce qui se passe aux interfaces des milieux.

Conditions aux limites

En appliquant les lois de Maxwell sur un contour et un volume infinitésimaux entourant un point

situé à l’interface de deux milieux il vient :

(14)

(15)

(16)

(17)

2 1n E E 0

2 1 sn H H J

2 1 sn D D

2 1n B B 0

n

u

(1)

(2)

Ces relations impliquent la continuité des composantes tangentielles de E et des composantes normales de B

Rque : La continuité de la composante normale de D dépend de l’existence de s, celle de la

composante tangentielle de H dépend de l’existence de Js.

76


Les conditions de continuité à l’interface d’un diélectrique et d’un métal nous serviront pour l’étude

du guide métallique à section rectangulaire.

1 donc

1 1 1 1E ,H ,D et B sont nuls.

tg2E 0

tg2 sH J

sn2

2

E

n2H 0

Côté diélectrique

tg2 2 u2E 0 E E 0

BrotE

t

0rotE Hj u

0 n

E EH

uj

nH 0

Conditions aux limites … cas de l’interface diélectrique/métal

n

u

Conducteur

1

Diélectrique

(2 =0)

(1)

(2) 2n E 0

2 sn H J

2 sn D

2n B 0

Côté diélectrique

77


DrotH J

t

rotH Ej

Conclusion, à l’interface métal diélectrique : tgH

0n

nH 0

tgE 0

Utilisé lors de l’étude des guides d’ondes

Par ailleurs :

nu

HHE 0

nj

u nH H

E 0n u

j

uH H0 et 0

n n

⇒

Conditions aux limites … cas de l’interface diélectrique/métal

or Hn = 0

78


Dans un milieu considéré comme linéaire, homogène, stationnaire, isotrope et exempt de sources

(c’est le cas à l’intérieur d’un guide rectangulaire métallique par exemple) la combinaison des

équations de Maxwell permet de découpler les champs E et H sous la forme de l’équation d’onde ou

équation de Hellmoltz

L’équation d’onde homogène (milieu homogène)

2

2

UU 0

t

ErotH J

t

Exemple

Hrot H 0 et rotE

t

rot rotH rotEt

2

2grad divH H H

t

2

2

HH 0

t

Rque : Pour l’étude d’un guide rectangulaire métallique les équations de Maxwell sont écrites dans le

milieu isolant (vide), pas de sources ⇒ eq. de Hellmoltz. L’influence des parois métalliques

n’intervient qu’au niveau des conditions de continuité aux interfaces.

Pas de sources

79


Rappel : Un guide d’onde est une structure invariante par translation le long d’un axe Oz.

L’équation d’onde homogène dans un guide d’onde

Hypothèse 1 : Régime harmonique :

Un guide sert à transporter une information entre deux points distincts. Cette information peut être

décomposée en intégrales de Fourier c.a.d. en une somme de signaux sinusoïdaux. Nous nous placerons

donc toujours en régime harmonique.

Ceci se traduit mathématiquement par une variation temporelle en ejt.

Avec p = +j

Hypothèse 2 : Invariance selon z :

L’invariance par translation du guide le long d’un axe Oz implique que évolue en . E

0H0E

H

j t pze e=

E

H

E0 et H0 ne dépendent que des coordonnées transversales (pas de z).

(E0 et H0 ne sont pas fonction de la variable z mais ces vecteurs peuvent avoir une composante selon cet axe).

: Constante de phase ou constante de propagation, représente le déphasage de l’onde par unité de longueur le

long de Oz).

: Représente l’atténuation par unité de longueur (due aux pertes métalliques et diélectriques).

80


Rappel : Un guide d’onde est une structure invariante par translation le long d’un axe Oz.

L’équation d’onde homogène dans un guide d’onde

Hypothèse 3 : On néglige les pertes

Le milieu de propagation d’un guide (vide ou diélectrique) présente en général de faibles pertes aux

fréquences d’utilisation.

C’est pourquoi on pourra considérer ces pertes comme une faible perturbation.

Rque : Pour traiter un guide à pertes,

▪ Dans un premier temps on considère un guide parfait :

= 0 dans les isolants = dans les conducteurs

= ’ = 0r = 0

▪ Dans un second temps, on peut par une méthode de perturbation tenir compte de (pertes dans les

isolants) et de la conductivité non infinie dans les métaux ( ).

Dans ce cours nous nous limiterons à l’hypothèse d’un guide parfait.

81


D’après nos 3 hypothèses

les équations de Hellmoltz dans un guide peuvent s’écrire :

Invariance selon z

Régime harmonique

On néglige les pertes

2

0 0 r

E0

H

22

T 0 0 r2

E0

z H

2 2

T 0 0 r

E0

H

Laplacien transversal

22

2z

L’invariance du guide selon z permet d’écrire

Equation de Hellmoltz

dans un guide d’onde d’axe z

Soit aussi

82


Notion de mode

Un mode est caractérisé par une configuration géométrique (orientation) de propagation du

champ ( E, H), associée à un couple (,).

Etudier un guide d’onde c’est déterminer la façon dont se propage l’énergie.

En hyperfréquences ( de l’ordre du cm ou du mm) les dimensions du guide sont choisies

de façon à ce que, dans la bande de fréquence utilisée, l’énergie n’ait qu’une seule façon

(mode de propagation) de se propager.

On dit alors que le guide est monomode.

Le caractère monomode d’un guide (comme nous le verrons avec l’exemple traité) dépend

du rapport entre ses dimensions physiques et la longueur d’onde propagée.

Quatre familles de modes :

Nomenclature des modes

▪ Les modes hybrides HE ou EH ayant simultanément des composantes longitudinales Ez et Hz.

▪ Les modes TE (Transverse Electrique) où Ez = 0.

▪ Les modes TM (Transverse Magnétique) où Hz = 0.

▪ Les modes TEM (Transverse Electro-Magnétique) avec Ez = Hz = 0.

Rque : Cette nomenclature est complète, tout mode est soit hybride, soit TE, soit TM, soit TEM.

83


Rque importante :

▪ Guides fermés à section droite homogène

Ez et Hz sont entièrement découplées dans les équations de Hellmoltz ⇒ Existence de modes TE et TM

▪ Guides à section droite homogène multiplement connexes

On peut démontrer (nous ne le ferons pas) que :

N conducteurs en milieu homogène

⇒ N-1 modes >TEM

Câble

coaxial

Guide

rectangulaire

métallique

Métal

Vide

Guide

cylindrique

métallique

Métal

Vide

On voit ainsi que les guides cylindriques et rectangulaires métalliques ne supportent aucun mode

TEM tandis qu’un câble coaxial supporte 1 mode TEM.

84


Longueur d’onde, vitesse de phase, vitesse de groupe, dispersion

Longueur d’onde : C’est la plus petite distance séparant deux endroits du guide qui sont dans le

même état électromagnétique.

E t, z E t, z

H t, z H t, z

2

j zj ze e

Vitesse de phase : Soit le champ électrique j t zx,y,zE t,z E e

En un certain point spatio-temporel le champ t t

z z

E t t,z z E t,z

Ceci correspond à t z t t z z t z 0 z

t

On définit la vitesse de phase par v

85


Vitesse de groupe :

2

1

j t zE t,z E e d

On effectue un DL de () à l’ordre 1 de

0

0 0 0 0t z t t z z

Rque : v est la vitesse des surfaces équiphase. Elle ne correspond à aucun déplacement d’énergie dans le

sens de propagation, les variations de la sinusoïde ne sont dues qu’à desvariations locales du champ.

v peut être supérieure à c.

Cette notion correspond à un déplacement effectif d’énergie. La vitesse de groupe est la vitesse de

déplacement de l’amplitude du signal.

Dans les faits, les ondes ne sont pas monochromatiques. Considérons un paquet d’ondes, c.a.d. un

signal E(t,z) d’encombrement spectral très faible 2-1 de part et d’autre de 0.

2 12 1 0

2

On peut exprimer ce signal en fonction de sa TF :

86


On peut donc écrire :

2 0

0 0 0

1

j t zj t z

E t,z e E e d

0 0j t z

g

zE t, z e g t

v

avec gv

Donc en prenant la partie réelle du champ

0 0

g

zRe E t, z cos t z Re g t

v

Terme influant sur la phase

(cos d’amplitude 1…)

se déplaçant à v

Terme influant sur l’enveloppe

(amplitude) du champ

se déplaçant à vg

La vitesse de groupe est la vitesse de l’amplitude du signal,

donc la vitesse de déplacement de l’énergie.

gv

Quand on calcule

l’intégrale

la variable disparaît,

il reste (t-z/vg)

87


Le diagramme de dispersion est le diagramme (-).

La relation () dépend du guide d’onde

considéré.

Un guide est dit dispersif lorsque () est non linéaire

Diagramme de dispersion :

0

gv

v

est la pente de la droite OM

est la tangente en M

vg dépend alors de la fréquence et les différentes composantes du spectre se propagent dans le

guide à des vitesses différentes. Le signal subit donc une distorsion au cours de sa propagation

dans le guide.

▪ Dans un guide non TEM () est non-linéaire, il est donc dispersif.

▪ Dans une ligne (guide TEM) () = Cte*, une ligne n’est pas dispersive.

M

88


Nous avons vu que pour un guide d’ondes

d’axe z, en faisant les hypothèses :

L’équation d’onde s’écrit :

Dans la plupart des cas (à l’exception du cas des ondes TEM) pour calculer

on projette l’eq. de Hellmoltz sur l’axe (Oz) commun à tous les guides :

Point de départ de l’étude des guides d’ondes

Invariance selon z

Régime harmonique

On néglige les pertes

22

T 0 0 r2

E0

z H

E et H

2z2

T 0 0 r2

z

E0

Hz

On résout cette équation, puis, connaissant Ez et Hz on déduit Hx, Hy, Ex et Ey.

Pour les guides de type «ligne de transmission », qui propagent des modes TEM, Ez = 0 et Hz = 0,

Il faut donc projeter l’éq. de Hellmoltz sur (Ox) ou (Oy).

89

kz2

Exemple du guide d’onde rectangulaire métallique

1°) Equation de propagation

z

O a

b

Diélectrique

0r

y

x

Dans le système de coordonnées cartésiennes (toujours dans

les hypothèses : régime harmonique, pertes négligées,

invariance géométrique selon z) l’équation d’onde s’écrit :

2 2

2 2

0 0 r2 2

U UU 0

x y

2 22

2 2

U Uk U

x y

Avec U = Ez ou Hz {Uz(x,y)}

k2

2°) Résolution par la méthode de séparation des variables

On cherche une solution de la forme U(x,y) = P(x)Q(y) (on sait d’après l’invariance géométrique

selon z que la variation en z est e-jz) (II)

(I)


90

En injectant (II) dans (I) il vient :

3°) Enoncé des solutions mathématiques possibles

Les solutions des équations (III) et (IV) sont du type :

2P" Q"k

P Q

On pose k2 = kx2+ky

2 2 2 2 2

x y 0 0 r zk k k

On cherche alors les solutions de deux équations : l’une de x, l’autre de y : P’’ = -kx

2P (III)

Q’’ = -ky2P (IV)

x xjk x jk xP Ae Be y yjk y jk y

Q Ce De

Si kx2 et ky

2 > 0 ⇒ les solutions donnent des fonctions cos et sin.

Si kx2 et ky

2 < 0 ⇒ les solutions donnent des fonctions hyperboliques.


91

4°) Choix des solutions physiquement acceptables

Etant donnée la géométrie du guide, l’application des conditions aux limites ne pourrait être

satisfaite en considérant des solutions hyperboliques.

La seule possibilité physiquement acceptable repose sur les fonctions circulaires (sin et cos).

On a donc z 1 x 1 x 1 y 1 yE A cosk x B sin k x C cosk y D sin k y

z 2 x 2 x 2 y 2 yH A cosk x B sin k x C cosk y D sin k y

Ces expressions comportent 8 constantes.

Pour résoudre le pb. Il faut disposer de 8 équations indépendantes en fonction des constantes

⇒ on applique les conditions aux limites.

5°) Application des conditions de continuité

Nous avons démontré précédemment qu’à l’interface diélectrique/conducteur

tgH0

n

nH 0

tgE 0


92

Annulation des composantes tangentielles de E sur les conducteurs

en x = 0 y (1)

en x = a y (2)

en y = 0 x (3)

en y = b x (4)

en x = 0 y (5)

en x = a y (6)

tgH0

n

nH 0

tgE 0

zy

HE 0 0

x

zx

HE 0 0

y

en y = 0 x (7)

en y = b x (8)

z

O a

b

y

x

Plan (y,z)

x

Plan (x,z)

y

Ez = 0

Ez = 0

On dispose de 8 équations portant sur les

composantes longitudinales (en z).

(1-4) portent sur Ez détermination de

A1, B1, C1 et D1.

(5-8) portent sur Hz détermination de

A2, B2, C2 et D2.


Plan (y,z)

x

Plan (x,z)

y

Ce qui nous intéresse ce sont les composantes selon z

pas Ey et Ex mais Hz…

93


En remplaçant Ez et Hz dans les relations (1) à (8) il vient :

1 y 1 y4 C cosk b D sin k b 0 1 yD sin k b 0

2 y y 2 y y8 C k cosk b D k sin k b 0 2 y yC k sin k b 0

1 x 1 x2 A cosk a B sin k a 0 1 xB sin k a 0

2 x x 2 x x6 A k cosk a B k sin k a 0 2 x xA k sin k a 0

11 A 0

13 C 0

25 B 0

27 D 0

94

1 1A C 0 1 xB sin k a 0

1 yD sin k b 0

2 x xA k sin k a 0

2 y yD k sin k b 02 2B D 0


On voit qu’il existe une solution telle que Ez et Hz soient tous deux non nuls (c.a.d. A1, D1, A2, D2 non nuls). Il

faut pour cela :

x

mk

a

y

nk

b

Cependant, plutôt que d’étudier le problème dans le cas général où Ez et Hz sont non nuls (polarisation qcq)

on préfère traiter séparément les deux cas de polarisation TE (Ez = 0) et TM (Hz = 0).

En effet, une polarisation qcq est une superposition d’un mode TE et d’un mode TM.

Cas TE Cas TM Ez = 0 A1 = B1 = C1 = D1= 0 Hz = 0 A2= B2 = C2 = D2= 0

x xk sin k a 0 y yk sin k b 0

& d’autre part

xsin k a 0 ysin k b 0

& d’autre part

xsin k a 0 ysin k b 0

soit

Conditions obtenues :

95


Pour un mode TE (Ez = 0) le respect des conditions de continuité se résume à :

x

mk

a

y

nk

b

Etude des modes TE

x ysin k a sin k b 0

et

6) Expression des champs TEmn Aux valeurs de m et n correspondent les modes de propagation

z 0

m x n yH H cos cos

a b

D’après les équation de Maxwell on déduit que

0x 0 02

j n m x n yE H H cos sin

k b a b

0y 02

j m m x n yE H sin cos

k a a b

x 0 02

j m m x n yH H H sin cos

k a a b

y 02

j n m x n yH H cos sin

k b a b

96


Un mode TE possédant m demi-périodes sinusoîdales des champs

suivant Ox et n suivant Oy est le mode TEmn.

Pour le mode TEm0 on voit que Ex = 0 (Ez = 0) et que seule Ey est non nulle.

Illustration : coupe transversale des champs E des modes TE10, TE20 et TE30.

0 a

mode TE10

|Ey|

x 0 a/2 a

mode TE20

|Ey|

x 0 a/3 2a/3 a

mode TE30

|Ey|

x

97


7) Equation de dispersion

L’équation de dispersion () peut s’exprimer sous la forme :

2 2 2

0 0 r k

2 2

2

mn 0 0 r

m n

a b

Relation

de dispersion

L’équation de dispersion

peut aussi s’écrire :

2 22

g c

2 2 2

2 2 2

g c

1 1 1

avec

kx2 + ky

2

0 0 r

2

x

mk

a

y

nk

b

-kz2

c

2

k

g

z

2 2

k

: longueur d’onde de propagation dans le diélectrique qui remplit le guide

d’onde (longueur d’onde qu’aurait l’onde en espace libre non guidée).

g = z : longueur d’onde guidée.

c : longueur d’onde de coupure du mode étudié

98

Le mode fondamental est celui présentant la fréquence de coupure la plus basse.



A chaque couple m,n correspond une longueur d’onde de coupure c différente et une fréquence (angulaire)

de coupure c (fréquence en deçà de laquelle il n’y a pas de propagation du mode considéré : = 0).

0

c10

0 0 r

Bande

monomode

Forte dispersion

Mode fondamental

Premier mode supérieur

xka

c 2a

2 2

2

mn 0 0 r

m n

a b


c20

99

Premier mode d’ordre supérieur :

c’est celui qui présente la fréquence de coupure immédiatement supérieure à celle du mode fondamental.



0

c10

0 0 r

Bande monomode

Forte dispersion

Mode fondamental

Premier mode

supérieur

2 2

2

mn 0 0 r

m n

a b


c20

Le couple (m,n) associé au premier mode supérieur dépend du rapport a/b.

Pour les guides normalisés, le rapport a/b est fixé à 2,25. Ainsi, le premier mode supérieur est le TE20 pour

lequel c20 = a.

La bande passante du guide d’onde est celle dans laquelle il est monomode, elle est comprise entre la fc du

mode fondamental et du premier mode supérieur.

100


En pratique, les guides d’ondes sont conçus pour fonctionner dans les bandes de fréquence normalisées

(X, Ku, Ka, >U et c.)

Par exemple, pour la bande X (8.2-12.4 GHz) les dimensions du guide standard sont : a = 22,86 mm ;

b = 10,16 mm.

On a a/b = 2,25 TE10 : c = 2a = 45,72 mm ⇒ fc = 6,56 GHz

TE20 : c = a = 22,86 mm ⇒ fc = 13,12 GHz

Ce guide est monomode entre 6,56 GHz et 13,12 GHz.

Cependant, la dispersion (non linéarité de () limite son utilisation vers les basses fréquences tandis que

les pertes métalliques sont limitantes en hautes fréquences.

La bande de fonctionnement normalisée est en fait [8,2-12,4 GHz].

La dispersion est la non linéarité de () qui implique non linéaire ⇒ dispersion du spectre

transmis. gv

101


Guide d’onde rectangulaire, récapitulatif :

▪ 1 seul conducteur ⇒ aucun mode TEM

▪ Propagation de modes TE et TM

▪ une fréquence de coupure

▪ phénomène de dispersion

▪ La bande passante dépend du rapport a/b (2,25 en général)

▪ Supporte de fortes puissances

▪ Pas de mode TM10

102

Théorie des lignes

103

Théorie des lignes Généralités

A chaque ligne sont associées des grandeurs R, L, C et G appelées paramètres primaires de la ligne.

R : pertes d’énergie active dans les conducteurs du guide

L : pertes d’énergie réactive dans les conducteurs du guide

Ligne : Guide d’onde propageant au moins un mode TEM.

Plutôt que d’étudier la propagation des ondes au moyen des équations de Maxwell relatives aux champs E et H,

dans un guide TEM on préfère utiliser la théorie des lignes qui est plus simple.

En effet on peut démontrer que dans un guide TEM on peut associer au couple (E, H) un couple courant tension

(i,v).

Analogie champ {E,H} courant-tension {I,V}

G : pertes d’énergie active dans les diélectriques du guide

C : pertes d’énergie réactive dans les diélectriques du guide

Ainsi, la théorie des lignes modélise les guides TEM sous forme de circuits parcourus par une onde (i(z,t), v(z,t)).

z

Générateur Charge

Zg

ZL

0 l

Ligne (R, L, C, G)

104

Théorie des lignes Modèle de circuit à éléments localisés

Equation de maille et loi des nœuds :

t

)t,z(iLt,zRi

z

)t,z(v

t

)t,z(vCt,zGv

z

)t,z(i

(1) Equation de maille

(2) Loi des noeuds

Une ligne de longueur l est modélisée par des cellules élémentaire de longueur dz mises en cascades.

Chaque cellule comporte 4 éléments localisés Rdz, Ldz,Cdz, Gdz.

R, L, C et G sont appelés paramètres primaires de la ligne.

Rdz Ldz

Gdz Cdz

z

z z + dz

Générateur Charge

i(z) i(z + dz) = i(z) + di(z)

di(z)

v(z) v(z + dz)

dv(z)

105

Théorie des lignes Equations des télégraphistes

Solution de l’équation des télégraphistes en régime harmonique

On sépare les variables i(z,t) et v(z,t) en calculant les dérivées secondes/t z

)t,z(vRG

t

t,zvLGRC

2t

t,zv2LC

2z

)t,z(v2

)t,z(iRG

t

t,ziLGRC

2t

t,zi2LC

2z

)t,z(i2

Equations des télégraphistes

(3)

(4)

Dans ces conditions, les équations des télégraphistes donnent :

vjCGjLR2z

v2

ijCGjLR2z

i2

v22z

v2

i22z

i2

jCGjLR2

En posant :

il vient :

tje)z(1

v)t,z(v

tje)z(1i)t,z(i

Régime harmonique

22t

2&j

tharmoniquerégimeen

(5)

(6)

(7)

(8)

(10)

(11)

(9)

106

Théorie des lignes Equations des télégraphistes

(… solution de l’équation des télégraphistes en régime harmonique)

La solution de équations différentielles (10) et (11) est une combinaison linéaire de e-z et e+z

tje)z(1

v)t,z(vetzer

Vzei

V)z(1

v

tje)z(1i)t,z(ietze

rIze

iI)z(

1i

Or ces solutions doivent aussi satisfaire à l’équation de maille (1) et à la loi des nœuds (2).

Conséquence le nombre des constantes d’intégration peut être réduit à deux :

(12)

(13)

t

iLRi

z

v

Equation de maille (1) régime harmonique 1

1

vR jL i

z

En remplaçant v1 par (12) et par (9), il vient :

ze

rVze

iV

jLR

jCG)z(

1i

zer

Vzei

V)z(1

vavec

(14)

(15)

Les solutions des équations des télégraphistes en régime harmonique dépendent de 4 constantes Vi, Vr, Ii et Ir

107

Théorie des lignes Caractéristiques d’une ligne

Impédance caractéristique

Constante de propagation

jCG

jLR

cZ (16)

(17) jCGjLR j (18) nombre complexe :

tjezer

Vzei

V)t,z(v

ztjezer

Vztjezei

V)t,z(v

Onde progressive & onde régressive de vitesse de propagation v = /)

: constante de phase (rad.m-1)

: atténuation (Np.m-1)

Sachant que :

avec

Rq. : L’origine de l’onde régressive est la réflexion de l’onde progressive sur la charge.

Ligne sans pertes

Dans ce cas R = G = 0 (La ligne ne présente pas de pertes d’énergie active).

LCj

LC

1vetLCet0

C

L

cZ

Rque : Guide TEM

() = cte* vg = v

108

Théorie des lignes Impédance d’entrée

z

Générateur

0 z l

(,Zc)

Zin

Supposons que l’on connaisse la valeur Zc de l’impédance caractéristique d’une ligne de longueur l

ainsi que la valeur ZL de son impédance de charge.

Le générateur voit dans le plan (z = 0) une certaine impédance Zin qu’il est souhaitable de connaître.

Zg

Charge ZL

Problème posé :

Calcul de Zin :

On a

c

1

Z

z zi (z) V e V e1 ri

zer

Vzei

V)z(1

v

(14)

(15)

V0 VL

▪ Exprimons Vi et Vr ; on suppose V0 = V (z=0) et I0 = I(z=0) connues. Donc d’après (15) et (14) il vient :

0 i rV V V

i r0

c

V VI

Z

(20)

(19) 0 i rV V V

c 0 i rZ I V V

⇒ i 0 c 0

1V V Z I

2

r 0 c 0

1V V Z I

2 (22)

(21)

⇒

0in

0

VZ

I

109


▪ Supposons VL = V (z=L) et IL = I(z=L) connues. Donc d’après (15) et (14) il vient :

L L

L i rV Ve V e

L L

i rL

c

Ve V eI

Z

D’où en remplaçant (22) et (23) dans (24) :

L L L L

L c L

inL L L L

L c L

1 1V e e Z I e e

2 2Z1 1

V e e Z I e e2 2

L L

L i rV Ve V e

L L

c L i rZ I Ve V e

⇒ ⇒

Exprimons l’impédance d’entrée d’après (19) et (20) il vient : 0

in

0

VZ

I

i rin c

i r

V VZ Z

V V

(24)

L c Lin c

L c L

V ch L Z I sh LZ Z

V sh L Z I ch L

⇒

Lc

L Lin c

LLc

L

V sh LZ

I ch L I ch LZ Z

V sh LI ch LZ

I ch L

⇒

L

i L c L

1V V Z I e

2

L

r L c L

1V V Z I e

2

(23)

(22)

110

Même si cette relation a été calculée pour l’impédance d’entrée, sa formule est vraie en point z de la ligne.

Pour calculer Z(z) il suffit de remplacer L par L-z dans (25).

L c

c

c L

Z Z th L zZ z Z

Z Z th L z


Rque : Pour une ligne sans pertes, = j ⇒ th (L) = th (j L) = jtan (L) donc d’après (25) :

L cin c

c L

Z jZ tan LZ Z

Z jZ tan L

Impédance d’entrée

d’une ligne sans pertes

L cin c

c L

Z Z th LZ Z

Z Z th L

⇒ (25)

Impédance d’entrée

d’une ligne

111

L

rL L

i

V e

Ve

Soit L le coefficient de réflexion sur la charge. Il s’agit du rapport des tensions réfléchie et incidente en z = L.

L L

L c L

LL L

L c L

1V Z I e e

21

V Z I e e2


Coefficient de réflexion sur la charge

Or VL = ZLIL L c

L

L c

Z Z

Z Z

⇒

Coefficient de réflexion sur la charge ⇒

112

Coefficient de réflexion en un point qcq. :

ze

iV

zer

Vz

lz2eL

lz2el2e

iV

rV

z2e

iV

rV

Théorie des lignes Coefficient de réflexion

z

Générateur

0 l

Zc

Soit L le coefficient de réflexion sur la charge. Il est défini comme le rapport des ondes réfléchie et

incidente en z = l.

Zg

Charge ZL

lei

V

ler

V

L

…

CZ

LZ

CZ

LZ

L

ij

rje

LLRq. :

z’ 0

'z2eL

'z

Rq. : Ligne sans pertes, = j

le module de coefficient de réflexion reste constant le long de la ligne.

L

z

'zj2ejeL

'z

113

Théorie des lignes Expression de Z(z’) en fonction de (z’)

z

Générateur

0 l

Zc

Z

Zg

Charge ZL

Expression de v, i et Z en fonction de z’ :

z’ 0

z2e

iV

rV

1zei

V)z(1

v

lz2eL

1zei

V)z(1

v

zer

Vzei

V)z(1

v l2e

iV

rV

Lor

De même on obtient :

'z2eL

1zei

V)z(1

v

'z2eL

1ze

cZ

iV

)z(1i

z

zi

zv)z(Z Or,

'z2eL

1

'z2eL

1

cZ)'z(Z

114

Théorie des lignes Grandeurs efficaces

'z2eL

1zei

V)z(1

v

'z2jejeL

1'z2jejeL

12i

V

2

z1

v)z(

effv

'z2cosL

22L

12i

V)'z(

effv

Tension efficace

'z2eL

1ze

cZ

iV

)z(1i

'z2cosL

22L

12

cZ

iV

)'z(eff

i

i z V j j2 z ' j j2 z '1 ii (z) 1 e e 1 e eeff L LZ 2 2c

Courant efficace

Impédance efficace

'z2eL

1

'z2eL

1

cZ)'z(

effZ

'zeff

i

'zeff

v)'z(

effZ

115

Théorie des lignes Grandeurs efficaces

'z2cosL

22L

12

cZ

iV

)'z(eff

i 'z2cosL

22L

12i

V)'z(

effv

La périodicité des grandeurs efficaces est de /2, en outre, lorsque veff est maximum ieff est minimum.

(Zeff est max et min aux mêmes points que veff)

veff

ieff

z’

z’

/2

IM

Im

VM

Vm

Ces courbes traduisent un phénomène

d’ondes stationnaires (superposition de

deux signaux de même fréquence se

propageant en sens inverses).

L’onde stationnaire existe si une onde

régressive issue d’une réflexion de l’onde

progressive prend naissance sur la

charge.

Donc si L = 1 ondes stationnaires pures

si L = 0 ondes progressives pures

Les ondes sont la superposition d’ondes

progressives d’amplitudes (Vm et Im) et

d’ondes stationnaires d’amplitude

variant de 0 à (VM-Vm; IM-Im).

116

Théorie des lignes ROS & Zin …

1

L1

L1

Rque : • Si |L| = 0 alors = 1

• Si la charge est purement réactive (ZL = jX)

alors |L| = 1 et

1

cZjX

cZjX

L

Le rapport d’ondes stationnaires (ROS) est fonction du coefficient de réflexion sur la

charge en bout de ligne.

C’est une grandeur 1. Pour cette raison l’appellation taux d’ondes stationnaires,

pourtant souvent utilisée, est impropre.

Rapport d’ondes stationnaires

Impédance ramenée par quelques charges particulières ltan

LjZ

cZ

ltanc

jZL

Z

cZ

inZ

ltanc

jZin

Z • Ligne chargée par un court-circuit :

Dans l’hypothèse

d’une ligne sans pertes

• Ligne chargée par un circuit ouvert : c

ZcZ jZ cot an l

in jtan l

• Ligne chargée par Zc : cZ

inZ

l 0 /2 3/2 2

X(l) avec Zin = jXin

Réactance pure

Utile pour l’adaptation

117

r

i

Diagramme de Smith

= ||ej

||

|| = 1

|| = cte

Rappel :

Sur une ligne sans pertes

le module du coefficient

de réflexion reste constant.

'z2eL

'z

'zj2ejeL

'z

Donc tous les points d’une ligne sont représentés

sur un cercle à || = cte.

La valeur maximum de ||est 1 donc l’abaque de Smith

est contenu dans le cercle de rayon 1.

Théorie des lignes Diagramme de Smith

Abaque de Smith : Construction géométrique dans le plan complexe (r, i).

Connaissant , elle permet d’obtenir Z (et réciproquement).

118

Expression des parties réelle r et imaginaire x de z en fonction r et i


1

1z

ijΓrΓ1

ijΓrΓ1

jxr

donc

jxr z

ijr

or

Equation du cercle de centre (r/(1+r), 0) et de rayon 1/(1+r)

2

r1

12i

Γ2

r1

rrΓ

Lieu des points à r = cte

2

x

12

x

1i

Γ21rΓ

Equation du cercle de centre (1, 1/x) et de rayon 1/x

Lieu des points à x = cte

Abaque de Smith : Construction géométrique dans le plan complexe (r, i).

Connaissant , elle permet d’obtenir Z (et réciproquement).

Sur un abaque de Smith les points représentatifs des impédances sont normalisés /t à une impédance

caractéristique Zc. Ainsi, Z Z/Zc = z.

par

identification

2i

Γ2

rΓ1

2i

Γ2r

Γ1r

2i

Γ2rΓ1

iΓ2

x

…

(cf p 148)

119

r

i

x = 0

x = ± ∞

(1 , 1)

(1 , 0,5)

(1 , 0)

(1 , - 0,5)

(1 , - 1)

x = 1

x = -1

x = 0,5

x = - 0,5 x = -2

x = 2

r r = 0 r = 0,5 r = 1 r = 2

Cercles r = cste

Résistance

r

Centre

(r/(1+r) , 0)

Rayon

1/(1+r)

0 (0 , 0) 1

0,5 (1/3 , 0) 2/3

1 (1/2 , 0) 1/2

2 (2/3 , 0) 1/3

Cercles x = cste

Réactance

x

Centre

(1 , 1/x)

Rayon

1/x

0 (1 , ∞) ∞

±0,5 (1 , ± 2) 2

± 1 (1 , ± 1) 1

± 2 (1 , ± 1/2) 1/2

± ∞ (1 , 0) 0

Diagramme de Smith


!!! Résistance et réactance normalisées

120

r = 0

x = 0

x = ± ∞

x = 1

x = -1

x = 0,5

x = - 0,5 x = -2

x = 2

r = 0,5 r = 1 r = 2


'z2jeL

'z

'z2jejeL

'z

Zc’ (z’) L = L|e-j

Z’ 0

A un tour d’abaque

correspond un déphasage = 2

auquel correspond une longueur de ligne l

telle que = 2l = 2 2*(2/)l = 2

0 /2 /4

3/8

/8

Vers la

charge

Vers le

générateur

Donc un tour d’abaque

correspond à une longueur de ligne l = /2

121


Diagramme d’admittance

1

1z

jeL

1

jeL

1z

jeL

1

jeL

1y

On passe de z à y en ajoutant à

Conséquence, le diagramme d’admittance

se déduit du diagramme

d’impédance par symétrie/t au centre

z = r + jx point M

y = g + jb point M’

M

M’

symétrie

/t centre

Les cercles à r = cte

deviennent

les cercles à g = cte

Les cercles à x = cte

deviennent

les cercles à b = cte

122


Retour sur la notion d’orientation de l’abaque

Depuis un plan MM’ d’un circuit on peut considérer l’impédance Zg équivalente au circuit situé à

gauche et l’impédance Zd équivalente au circuit situé à droite

Le côté duquel on considère une charge donne le sens qu’il faut considérer sur l’abaque comme le sens

de déplacement vers la charge, le sens opposé étant celui considéré comme le sens de déplacement vers

le générateur. Le terme générateur désignant ici le générateur fictif alimentant la charge en courant…

Si on considère Zg, en se déplaçant vers la gauche on considère qu’on se déplace vers la charge et

vers la droite on va vers le générateur.

Si on considère Zd, en se déplaçant vers la droite on considère qu’on se déplace vers la charge et vers

la gauche on va vers le générateur.

Zd

M’

M

Zg

M’

M

Vers la charge Vers le géné. Vers le géné. Vers la charge

Guermantes Méséglise

i

v

i

v

123


Il faut que la loi des nœuds soit respectée (dura nodum lex sed lex).

C’est le sens des courants qui détermine si l’on doit faire la somme ou la différence des

impédances (ou admittances).

ya

yb

yc

ya = yb+yc

ya

yb

yc

ya = yb-yc

124

Théorie des lignes L’adaptation

z

Générateur

0 l

Zc

Zin

Un générateur d’impédance de sortie Zg alimente une charge d’impédance ZL via une ligne de

longueur l et d’impédance caractéristique Zc.

Le but recherché est de fournir le maximum de puissance à la charge.

Idéalement, il faut pour cela que le géné. fournisse le maximum de puissance (puissance disponible) à

la ligne et qu’à son tour celle-ci fournisse le maximum de puissance à la charge.

Ces deux conditions sont dites conditions d’adaptation : adaptation du générateur à la ligne et de la

ligne à la charge.

Satisfaire ces deux conditions suppose dans le cas général d’insérer deux circuits d’adaptation dans le

montage, l’un en entrée et l’autre en sortie de la ligne.

Zg

Charge ZL

Problème posé :

125


z

Générateur

0 l

Zc

Soient Zg = Rg + jXg l’impédance du générateur et Zin =Rin + jXin l’impédance d’entrée de la ligne.

Zg

Charge ZL

Adaptation du générateur à la ligne ( Pfournie = Pmax = Pdisponible ) :

Zin Vin

Iin

E

La puissance P fournie par le générateur à l’entrée de la ligne :

*

inI

inVRe

2

1P 2

inI

inR

2

1*in

Iin

Iin

ZRe2

1P

in

V

Z

E Eor, I

in Z Z R R j X Xg in g gin in

2

inX

gX

2

inR

gR

2E

inR

2

1P

gR

inR0

inR

P

• et

Pour

maximiser

P il faut

2

inR

gR

2E

inR

2

1P0

eX

gX

• donc, la condition

d’adaptation

du générateur est

*g

Zin

Z

Alors la puissance fournie par le générateur P = Puissance disponible

On peut agir sur le signe d’une réactance

(mais pas sur celui d’une résistance) donc, la condition

d’adaptation

du générateur est

*g

Zin

Z g

R4

2E

dP

126


La charge est adaptée à la ligne si le coefficient de réflexion sur la charge est nul, c. a. d. si :

Adaptation de la charge :

0L

CZ

LZ

CZ

LZ

Lor

donc, la condition

d’adaptation

de la charge est C

ZL

Z

Résumé :

Pour fournir le maximum de puissance à la charge via une ligne il faut satisfaire deux conditions

d’adaptation :

• Adaptation du générateur : Zin = Zg* • Adaptation de la charge : ZL = Zc

Z

Générateur

0 l

Zc

Zg

Charge Z’L

Réalisation de l’adaptation :

Zc Zg

*

127


ltanL

jZc

Z

ltanc

jZL

Z

cZ

inZ

Puisque ZL = Zc, sachant que :

Or la condition d’adaptation du générateur est Zin = Zg*

il faut donc que le circuit 2 transforme z’in = Zc en Zin = Zg*

Z

Générateur

0 l

Zc

Zg

Charge Z’L

Circuit d’adaptation 1 :

transforme Z’L en Zc Circuit d’adaptation 2

transforme Zin’ = Zc en Zg

*

cZ'

inZaon

Zg*

Zc Zc

128


Z

Générateur

0 l

Zc

Zg

Charge ZL

Circuit d’adaptation 1 :

transforme ZL en Zc Circuit d’adaptation 2

transforme Zin’ = Zc en Zg

*

Zg* Zc

Zc

Le plus souvent l’ impédance de sortie du générateur Zg est réelle.

Il reste alors à créer le circuit d’adaptation transformant ZL en Zc = Zg.

Ce sont des exemple de ce type d’adaptation que nous allons maintenant traiter.

Zc = Zg

Alors, pour qu’il y ait adaptation du générateur il suffit de le connecter à une

ligne d’impédance caractéristique Zc = Zg. Le circuit 2 n’est donc plus utile.

129

Théorie des lignes Adaptation par une ligne /4

Ligne sans pertes d’impédance caractéristique Zc’ chargée par ZL

Rappel (cas général) LtanLjZ'

cZ

Ltan'cjZLZ'

cZeZ

Si L = /4 alors

LZ

2'cZ

eZ L = /2

tan L ∞

Zc’

Ze ZL

/4 L 0

ZL

/4 Ze = Zc

Zc

LZcZ'cZ

Adaptation d’une charge d’impédance réelle ZL à une ligne d’impédance caractéristique Zc

Insertion d’un tronçon de ligne /4

d’impédance caractéristique Zc’ = ZcZL

Ze = Zc

130

Théorie des lignes Adaptation à un stub

Zc

Ze

ZL

Adaptation d’une charge d’impédance complexe ZL à une ligne d’impédance caractéristique (réelle) Zc

On utilise pour cela un tronçon de ligne de longueur l

Avec un stub (tronçon de ligne court-circuité) de longueur s en parallèle

Les paramètres sur lesquels on agit sont : s et l dont on va déterminer les valeurs.

N

N’

M

M’

Il y aura adaptation si Ze = Zc

l

s

l est choisie de façon à ramener une admittance de partie réelle égale à 1 dans le plan NN’

s est choisie de façon à annuler la partie imaginaire de yNN’

ze = 1 si on raisonne en impédances normalisées/t à Zc

ye = 1 si on raisonne ici en admittance car le stub est placé en parallèle

En effet, l’impédance (et donc l’admittance) d’entrée d’un stub est imaginaire pure

s

2tancjZsZ

131

yL

N

N’

M

M’ l

s

Adaptation à 1 stub, exemple :

Zc = 100

ZL = (25 - j75) zL = (0,25-j0,75)

f = 1 GHz

= 30 cm

Résolution du problème au moyen de l’abaque de Smith :

● 1ère étape normalisation :

zL = ZL/Zc zL = (0,25-j0,75) .....pt A sur l’abaque

x = - 0,75

r = 0,25 g = 1

A’

B’

C’

A

yMM’

Zc zL

|L = ctt

yL = (0,4+j1,2) …...pt A’ sur l’abaque

(symétrique de A /t O)

Donc yMM’ cercle g = 1

● On veut yNN’ = 1

or yNN’ = yMM’+ys avec ys admittance d’entrée du stub

or, comme ys imaginaire pure on a Re{ yMM’} = Re{ yNN’} = 1

De plus pour passer de yL à yMM’ on reste sur le cercle à | = ctt

donc, yMM’ cercle | = ctt


132

yL

N

N’

M

M’ l

s

Détermination de l

deux points B’ et C’ satisfaisant à Re{yMM’} = 1

A’

B’

C’

Zc

yB’ = 1+j2,1

yC’ = 1-j2,1

|L = ctt

A’B’ = (74,5 - 44,5)°

A’C’ = (74,5 + 44,5)°

On peut lire sur l’abaque les déphasages A’B’ et A’C’

entre ces points et le point A’ (charge).

Sachant que = 2l ces déphasages correspondent

à des tronçons de ligne de longueurs lA’B’ et lA’C’.

D’après l’abaque (déplacement vers le géné) :

lA’B’ = (0,19-0,144) + n/2 = 1,38 cm + n*15 cm

lA’C’ = (0,311-0,144) +n/2 = 5,01 cm + n*15 cm

74,5°

44,5°

-52°

l/

0,144

0,19

0,311

0,5

0 0,25

g = 1


A’B’

A’C’

M

M’

133

yL

N

N’

M

M’ l

s

Détermination de s

ys vérifie yNN’ = yMM’ + ys 1 = yMM’ + ys ys = 1 - yMM’

A’

B’

C’

yMM’

yNN’

Zc

|L = ctte

l/ 0,321

0,5

0 0,25

ys1 = j2,1 .... point D’

ys2 = - j2,1 … point E’

deux solutions

b = -2,1

b = 2,1

z

0,179

F F’

D’

E’

y

Pour calculer s il faut placer sur l’abaque le point

situé à l’autre extrémité du stub

Ce point est en court circuit son impédance est donc :

z = 0 …………point F sur l’abaque

y = ∞ ………...point F’ sur l’abaque

deux longueurs possibles s1 et s2 , qui correspondent

aux déplacements de F’ à D’ et de F’ à E’(vers le géné)

On part de y vers le géné. jusqu’à atteindre –jb

(compenser jb)

D’après le cercle de l’abaque gradué en l/ on a :

s1 = (0,25 + 0,179) + n/2 = 12,9 cm + n*15cm

s2 = (0,321 - 0,25) + n/2 = 2,13cm + n*15 cm

g = 1


134

Résolution du problème au moyen de l’abaque de Smith :

● 1ère étape normalisation :

zL = ZL/Zc zL = (0,4+j0,4) ……pt A sur l’abaque

yL = (1,25-j1,25) … pt A’ sur l’abaque

(symétrique de A /t O)

● Admittance ramenée dans le plan MM’ (yMM’).

On part de A’ et on se déplace de (l1/)* = (6,6/20)

= 0,33 sur le cercle L = cte vers le géné. point B’

Théorie des lignes Adaptation à deux stubs

x = 0,4

r = 0,4

|L = ctt

yL

N

N’

M

M’ l1

s1

A

Q

Q’

P

P’ l2

s2

Adaptation à 2 stubs, exemple :

Zc = 50

ZL = (20 + j20) zL = (0,4+j0,4)

f = 1,5 GHz = 20 cm

l1 = 6,6 cm l2 = 3 cm (imposé !)

l/

0,318

0,5

0 0,25

0,148

B’

A’

● Le stub 1 ne modifie que la partie imaginaire donc

Re{yNN’} = Re{yMM’} = 0,8 yNN’ C1 (g = 0,8)

● Le stub 2 ne modifie que la partie imaginaire donc

Re{yPP’} = Re{yQQ’} = 1 yPP’ C2 (g = 1)

(0,318 + 0,33) = 0,648 = 0,148 + /2

A’ déplct B’

C1 (g = 0,8)

C2

C2 (g = 1)

0,33

b = 1

On obtient yMM’ = 0,8+j (point B’)

135


l/

0,5

0 0,25

B’

D’

● Pour passer du plan PP’ au plan NN’ on se déplace de

(l2/)* = (3/20) = 0,15 vers la charge

On fait tourner le cercle g = 1 de 0,15 vers la charge

On obtient un cercle : C 3 qui contient yNN’

C’

Ainsi yNN’ C 1 C 3

on trouve deux solutions :

y1NN’ = 0,8 + j 1,5 …. point C’

y2NN’ = 0,8 – j 0,05 …. point D’

● Connaissant maintenant yMM’ & yNN’

on déduit l’admitttance d’entrée ys1 du 1er stub

puis la longueur s1 de ce stub :

yNN’ = ys1 + yMM’ avec yMM’ = 0,8+j (point B’)

y1s1 = (0,8 + j 1,5 ) – (0,8 + j) = j 0,5 point E’

y2s1 = (0,8 - j 0,05 ) – (0,8 + j ) = -j 1,05 point F’

b = 0,5

b = -1,05

E’

C1 (g = 0,8)

C2 (g = 1)

0,15

C3

Les deux longueurs s11 et s12 possibles sont celles séparant les

points E’ et F’ du point représentatif du court circuit

(extrémité du stub) (z = 0 y = ∞)

’

0,074

0,372

F’ s11 =(0,25 + 0,074) * = (0,324)*0,2 = 6,48 cm +n /2

s12 = (0,372 – 0,25) * = (0,122)*0,2 = 2,44 cm + n /2

Détermination de s1

0,15 yL

N

N’

M

M’ l1

Q

Q’

P

P’ l2

s2 s1

136


0,5

0 0,25

D’

C’

On trouve deux solutions :

y1PP’ = 1 - j 1,7 …. point G’

y2PP’ = 1 + j 0,2 …. point H’

g = 1 0,15

● Les deux longueurs s21 et s22 possibles sont celles

séparant le point ’ (court circuit à l’extrémité du stub :

z = 0 y = ∞) des points I’ et J’.

dplct de ’ générateur

’

0,132

s21 =(0,25 + 0,165)* = (0,415)*0,2 = 8,3 cm +n /2

s22 = (0,468 – 0,25)* = (0,218)*0,2 = 4,36 cm + n /2


● Pour obtenir l’admittance ramenée dans le plan PP’

(yPP’) on part de yNN’ (points C’ et D’) et on se déplace

de (l2/)* = (3/20) = 0,15 sur le cercle = cte vers

le géné.

G’

H’

0,15

0,482

0,17

0,32

b = 0,2

b = 1,7

● Connaissant yPP’ on déduit l’impédance d’entrée ys1

du 2ème stub car on sait qu’elle doit compenser la partie

imaginaire de yPP’.:

y1s2 = +j1,7 …. point I’

y2s2 = -j0,2 …. point J’

b = -0,2

b = -1,7

I’

J’

0,165

0,468

0,15 yL

N

N’

M

M’ l1

Q

Q’

P

P’ l2

s2 s1

137


0,5

0 0,25

D’

C’

On trouve deux solutions :

y1PP’ = 1 - j 1,7 …. point G’

y2PP’ = 1 + j 0,2 …. point H’

g = 1 0,15

● Les deux longueurs s21 et s22 possibles sont celles

séparant le point ’ (court circuit à l’extrémité du stub :

z = 0 y = ∞) des points I’ et J’.

dplct de ’ générateur

’

0,132

s21 =(0,25 + 0,165)* = (0,415)*0,2 = 8,3 cm +n /2

s22 = (0,468 – 0,25)* = (0,218)*0,2 = 4,36 cm + n /2


● Pour obtenir l’admittance ramenée dans le plan PP’

(yPP’) on part de yNN’ (points C’ et D’) et on se déplace

de (l2/)* = (3/20) = 0,15 sur le cercle = cte vers

le géné.

G’

H’

0,15

0,018

0,17

0,32

b = 0,2

b = 1,7

● Connaissant yPP’ on déduit l’impédance d’entrée ys1

du 2ème stub car on sait qu’elle doit compenser la partie

imaginaire de yPP’.:

y1s2 = +j1,7 …. point I’

y2s2 = -j0,2 …. point J’

b = -0,2

b = -1,7

I’

J’

0,165

0,468

0,15 yL

N

N’

M

M’ l1

Q

Q’

P

P’ l2

s2 s1

138

Paramètres S

Ondes de Kurokawa

Avant de définir les paramètres S d’un circuit on définit des ondes de Kurokawa incidente et

réfléchie par rapport à une résistance de référence R0.

0

0

V R Ia

2 R

0

0

V R Ib

2 R

Les paramètres S d’un circuit sont définis comme des rapport d’ondes de Kurokawa.

Soit une impédance Z et soient I et V ses grandeurs efficaces associées.

On définit l’onde de puissance incidente a et l’onde de puissance réfléchie b, par rapport à une résistance

de référence R0

Z

I

V a

b

A et b sont homogènes à des Watt

139

Paramètres S

a1

ai

an

b1

bn

bi

Soit un multipôle possédant n accès.

• Les amplitudes des ondes de puissance entrantes sont notées ai.

• Les amplitudes des ondes de puissance sortantes sont notées bi. Une matrice dite S reliant les ondes sortantes bi aux ondes

entrantes ai est associée au multipôle. On a :

na

ia

1a

nnS

1nS

iiS

n1S

11S

nb

ib

1b

Les coefficients de la matrice appelés paramètres S sont les coefficients de transmission et de réflexion du multipôle.

!!! Il s’agit de coefficients de transmission et de réflexion en puissance !!!

0

biSij a j ak j

0ik

aia

ib

iiS

Coefficient de transmission

à l’entrée i. 0

jkaj

ai

b

ijS

Coefficient de réflexion à

l’entrée i.

Si i j

Si i = j

Condition d’adaptation :

aucune onde n’entre

aux accès kj. (i.e. n’y est

réfléchie)

ij

ei

Bi

b

ij

ei

Ai

aavec

La matrice S relie des

grandeurs complexes …

140

Paramètres S

a1

ai

an

b1

bn

bi

Multipôle sans pertes

Pour un multipôle sans pertes, la puissance sortante est égale à la puissance entrante.

Dans ce cas : n n* *

i i i i

i 1 i 1

1 1A A B B

2 2

tt

* * *or b S a b b S a S a

t t

* *a S S a

t t t

* * *d 'après (I) et (II) on a donc a a a S S a

(II)

1 1

* * * *

1 n 1 n

1 n

a b

a a b b

a b

t t

* *a a b b (I)

t

*d 'où S S I La matrice S d’un multipôle sans pertes est unitaire

141

Adaptation simultanée des entrées et sorties d’un quadripôle

0

0

RZ

RZ

L

LL

0

0

RZ

RZ

s

ss

0

0

inin

in

Z R

Z R

0

0

outout

out

Z R

Z R

2221

1211

SS

SSS

2

1

2221

1211

2

1

a

a

SS

SS

b

b

0

ikai

jij

a

bS

Quadripôle

22 21

12 11

S S

S S S Z L

Z s Quadripôle

22 21

12 11

S S

S S S Z L

Z s

a1

b1

a2

b2

s in out l

Considérons le montage suivant comportant un quadripôle :

142


Considérons le coefficient de réflexion in vu en regardant vers l’entrée du quadripôle

lorsque sa sortie est chargé par ZL.

Pour déterminer in on suppose donc qu’une source injecte une onde de Kurokawa a1 en entrée du

quadripôle, sa sortie étant chargée par ZL (de coefficient de réflexion L).

2 2 La b

2221212

2121111

aSaSb

aSaSb

2221212

2121111

bSaSb

bSaSb

L

L

222

1212

1 LS

aSb

1

1

a

bin

1

21211

1

1

a

bSS

a

bLin

(1)

(2)

Or donc d’après (1)

L

Lin

S

SSS

22

211211

1

Contrairement à a1, l’onde a2 qui rentre par la sortie n’est pas injectée volontairement par une

source mais résulte de la réflexion de b2 sur ZL (L). On a donc :

s

sout

S

SSS

11

211222

1De même, on démontrerait que

(3)

(4)

143


Pour réaliser simultanément l’adaptation en entrée et en sortie de l’amplificateur il faut satisfaire les

conditions suivantes : * *

in s in sZ Z * *out L out LZ Z et

L

Ls

S

SSS

22

122111

*

1

s

sL

S

SSS

11

211222

*

1

**22

**21

*12*

111 L

Ls

S

SSS

s

ss

S

SSSSS

11

2112112222

1 s

s

S

S

11

22

1

avec 21122211 SSSS

soit, d’après (3) et (4) :

(5)

(6)

144


En injectant (6) dans (5)

ss

ss

SSS

SSSS

22*2211

22*21

*12*

111

ss

ssLss

SSS

SSSSSSSS

22*2211

22*21

*1222

**22

*11

211

*11

1

ssLsssss SSSSSSSSSSS 22*21

*1222

**22

*11

211

*11

2*22

222

211

01 22**

112

222

1122*

2211

SSSSSS ss Equation du second degré

221 1 1

s1

B B 4 C

2C

2 2 21 11 22B 1 S S

*1 11 22C S S

11 22 12 21S S S S

avec dont la solution est

Ce résultat, qui concerne la condition d’adaptation de

l’entrée du quadripôle, est obtenu en supposant que la

condition d ’adaptation en sortie est satisfaite…

On voit que dans ce cas s ne dépend que des Sij …

…

…

145


11 22 12 21S S S S

De la même manière, en ce qui concerne la condition d’adaptation de la sotie du quadripôle,

en supposant que la condition d ’adaptation soit satisfaite en entrée, on obtiendrait :

222 2 2

L2

B B 4 C

2C

2 2 22 22 11B 1 S S

*2 22 11C S S

avec

Supposons que l’on veuille réaliser l’adaptation simultanée de l’entrée et de la sortie d’un quadripôle à

l’aide de stubs. Dans ce cas, le mieux serait sans doute de calculer s et L d’après les formules précédentes,

et ensuite d’en déduire in = s* et out = L

*. A partir de là, il suffit d’appliquer la méthode des exemples

traités précédemment.

Remarque : le problème qui vient d’être considéré est un cas général.

Mais dans le cas particulier où le paramètre S12 du quadripôle est nul ou peut être considéré comme tel, les

conditions d’adaptation se réduisent à in = S11 et out = S22.

146

Analyseur de réseau

Cet appareil comporte deux voies (1 et 2) permettant chacune de générer et de détecter un signal

hyperfréquence dans une certaine plage de fréquences. On peut ainsi mesurer des rapports entre des tensions

reçues bi et des tensions émises ai (i = 1,2). Autrement dit on peut mesurer des paramètres Sij = bi /aj (avec akj=0).

Analyseur de réseau : instrument de mesure de paramètres S.

Analyseur

de réseau

1 2 Tx/Rx Tx/Rx

Charge adaptée a3 = 0

L’étape préliminaire à la mesure des paramètres Sij

est le calibration de l’analyseur de réseau.

L’analyseur mesure les puissances émises et détectées

dans les plans 1 et 2. Or on souhaite connaître les

paramètres Sij dans les plans d’entrée i du multipôle

à caractériser.

La calibration, consiste à mesurer les pertes dans les

câbles reliant 1 et 2 aux plans i.

• Etape de calibration

La mesure des Sij se fait en sélectionnant la calibration

de référence. Les pertes dues aux câbles sont alors

automatiquement prises en compte et retranchées lors

des mesures …

• Mesure des Sij

b3 a1

1

b1

1

b2

a2 2

2

147

Analyseur de réseau

Analyseur

de réseau

1 2 Tx/Rx Tx/Rx

Charge adaptée a3 = 0

b3 b1

b2

a2

a1

1 2

1

2

Mesure des paramètres S

Pour mesurer les paramètres S d’un multipôle il faut

prendre la précaution de placer une charge adaptée aux

accès inutilisés de façon à assurer le respect de la condition

akj = 0

• Etape de calibration

Analyseur

de réseau

1 2 Tx/Rx Tx/Rx

b1

b2

a2

a1

1 2

1

2

En suivant la procédure indiquée par l’analyseur de

réseau on place successivement à l’extrémité des câbles

(plans 1 et 2) différentes charges connues (50 , court-

circuit, circuit ouvert).

Ceci permet à l’analyseur de quantifier les pertes dans les

câbles comme différence entre les niveaux mesurés en 1 et

2 et la valeur théorique du signal en 1 et 2 qui est

connue car les charges sont connues.

148

Non linéarités

Antenne

fOL

PA Filtre Mélangeur (down)

OL

LNA

Considérons l’exemple d’un récepteur radio. Les non linéarités des amplificateurs et des

mélangeurs y génèrent des signaux à des fréquences qui sont des combinaisons linéaires de celles

du signal utile. Or certaines d’entre elles peuvent être voisines de la bande occupée par le signal

utile, voire empiéter sur celle-ci.

Elts NL

C’est en partie pour pallier ces effets NL que certains filtres sont utilisés en entrée et (ou) en sortie

des composants NL.

Rque : Par nature un mélangeur (multiplieur) est un élt NL.

En effet, il sert, à partir de deux signaux d’entrée aux fréquences f1 et f2,

à générer un signal à la fréquence f1 + f2.

Un tel circuit est donc intrinsèquement NL.

L’inconvénient, c’est que l’harmonique recherchée n’est pas la seule générée.

149

a b c2 3V t V t V t V ts e e e

1 1 2 2cos t A cos tV t Ae

Mélangeur

(élément NL)

Non linéarités Mélangeurs

150

Non linéarités Amplification

Au delà d’une certaine puissance d’entrée Pe,

la caractéristique Ps(Pe)

d’un amplificateur devient non linéaire (NL).

Point de compression à 1dB

Le point de compression à 1 dB est le point situé dans la zone NL de la caract. Ps(Pe) pour lequel la

puissance de sortie a perdu 1dB par rapport à l’asymptote linéaire.

G1 Pe (dBm)

Ps (dBm)

1 dB

0R

3102

2

sV

log10dBms

P

0R

3102

2

eV

1A

log10

21

Alog10

0R

3102

2

eV

log10

dB1G

dBmeP

dBmsP

Expression de l’asymptote linéaire du gain…

Point de compression

à 1 dB

151

Si l’amplificateur est utilisé dans sa zone NL on obtient en sortie non seulement les harmoniques

présentes en entrée mais aussi d’autres harmoniques, combinaisons linéaires des harmoniques

entrantes et dont la puissance n’est pas négligeable.

Intermodulation

• Développement à l’ordre trois de la tension de sortie Vs(Ve)

teVCteVCteVCtsV 33

221

Rq : C1 > 0 mais C2 et C3 < 0 car l’apparition des NL correspond à une décroissance du gain

par rapport au gain linéaire asymptotique (C1 …).

ttAteV 2cos1cos

Considérons un signal d’entrée constitué de deux harmoniques de même amplitude A :

Développement des calculs

32cos1cos332

2cos1cos22

2cos1cos1 ttCAttCAttACtsV


152

teVCteVCteVCtsV 33

221 ttAteV 2cos1cos

32cos1cos332

2cos1cos22

2cos1cos1 ttCAttCAttACtsV

ordre 1

ordre 2

ordre 3

ttttCA 21cos21cos22cos

21

12cos21

22

tttCA 2cos

43

122cos122cos43

33

ttttCA 2cos

43

1cos43

23cos41

13cos41

33

ttt 2cos43

212cos212cos43

ttttttCA

ttttCA

ttACtsV

23cos2

2cos1cos32cos12cos31

3cos33

2cos1cos222cos1

2cos22

2cos1cos1


=

=

153

3A3

C4

9A

1C

2A2

C

2A2

C2

1

3A3

C4

3

Ordre Pulsations Amplitudes

1 1 et 2

2 1 - 2 et 1 + 2

2 21 et 22

3 22 - 1 21 - 2

1 - 2 22 - 1 2 1 21 - 2 22 1 + 2 21

Raies indésirables (les autres

raies peuvent être filtrées)

Bande passante

Ordre 2 3 1 1 3 2 2 2

Produit d’intermodulation d’ordre k

knm

Les produits d’intermodulation d’ordre 3 sont

ceux qui sont pénalisants car ils sont situés

dans la bande passante du signal utile …


154

Intersection des asymptotes des deux courbes Ps1(Pe) et Ps3(Pe)

correspondant respectivement aux harmoniques d’ordre 1 (1 ou 2 )et d’ordre 3 (21 - 2 ou 22 - 1).

Point d’interception d’ordre 3 :

0R

12

2

A1

C

1sP

21

Clog10

0R

10002

2

Alog10

0R

10002

2

A1

Clog10dBm

1sP

1GdBm

ePdBm

1sP

2

3 3 3 2C A 2dBm 3 3C R1000 A 1000 3 04P 10 log 10 log 10 logs3 2 R 2 R 2 10000 0

0R

1

2

2

A3

C4

3

3sP

3GdBm

eP3dBm

3sP

2

1000

0R

2

3C3

log10

0R

10002

2

Alog103

D’après les résultats précédents relatifs aux amplitudes des harmoniques :

•

•


155

G1 Pe (dBm)

Ps1 (dBm)

G3

Ps3 (dBm)

IP3

Ps(IP3)

G3 = G1 – 2*IP3

Pente 3

Pente 1

IMD

Distorsion

d’intermodulation IMD

(pour une puissance Pe donnée)


3GdBm

eP3dBm

3sP

1GdBm

ePdBm

1sP Par définition : IP3 = des asymptotes des courbes

Ps1(Pe) et Ps3(Pe). Par extension on dénomme IP3

l’abscisse Pe de ce point, d’où :

La doc. technique d’un ampli. fournit généralement sa caractéristique à l’ordre 1 et la valeur de

l’IP3, ce qui suffit pour tracer la caract. à l’ordre 3 (dont on sait que la pente vaut 3 en échelle

log… ) et pour déduire la puissance des produits d’intermodulation d’ordre 3.

Puissance de sortie à f1 ou f2

Puissance de sortie à 2f1-f2 ou 2f2-f1

33 13 IPPIPP ss

333 31 IPGIPG

156

Un IP3 élevé correspond donc à un G3 faible, c.a.d. à un C3 faible. Ainsi, plus l’IP3 est élevé plus l’ampli est linéaire.

G3 = G1 – 2*IP3


où

sachant que

3310002

3log10

203

3 IPRC

G

tVCtVCtVCtV eees3

32

21

Conclusion concernant l’IP3 :

157

Propagation dans l’atmosphère Notion de bande passante

Données

fOL

Mod

fFI

fRF

Chaîne d’émission radio

fFI

fRF = fOL + fFI

f

Spectre

Bande passante

Cours de micro-ondes et radiocommunications

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