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COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE Le Professeur Farid BENABICHA Année universitaire 2016/2017

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  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    Le Professeur Farid BENABICHA

    Anne universitaire 2016/2017

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    TABLE DES MATIERES

    Chapitre 1 : Les notions de Mathmatiques utiles en M.Q

    Chapitre 2 : Les origines de la M.Q

    Chapitre 3 : Lquation de Schrdinger-Application

    Chapitre 4 : Le formalisme Mathmatique de la M.Q

    Chapitre 5 : Les postulats de la M.Q

    Chapitre 6 : Loscillateur harmonique une dimension

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    Chapitre 1

    Les Notions de Mathmatiques utiles en Mcanique Quantique

    I-Srie de Fourier

    1-Fonctions priodiques

    Une fonction ()est dite priodique sil existe L * tel que :

    on a ( + ) = ()

    L est appele priode de ()

    ( ) sont aussi priodes de ()

    La plus petite priode > sappelle : priode fondamentale (P.F)

    Exemples:

    Fonctions trigonomtriques:

    ;

    Exponentielles priodiques : avec

    (+) = = = =

    La P.F est =

    =

    + i

    2-Dveloppement en srie de Fourier

    a Dfinition

    Soit (), une fonction priodique de (P.F) L. Elle peut se mettre sous la forme :

    () = =+=

    avec =

    Les coefficients sont donns par : =

    ()+

    o *

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    Exemple dapplication :

    Dvelopper en srie de Fourier la fonction priodique ( = ) suivante :

    () = 1 pour 0 et () = 0 pour 2

    b - Egalit de Bessel-Parseval :

    1

    L |()|2d =

    0+L

    0

    ||2

    +

    II-Transformation de Fourier

    1-Dfinition

    Soit () une fonction quelconque et soit () une fonction priodique de (P.F) L, qui

    concide avec () sur lintervalle [-L/2, L/2] ; ()peut tre dveloppe en srie de

    Fourier :

    () = =+

    = avec =

    Les coefficients Cn sont donns par : =

    ()+

    () =

    [ ()

    +

    ] =+

    =

    Or + =

    =+

    Quand L tend vers l :

    + tend vers dk; ()tend vers () et + tend vers

    +

    Do () =

    +

    (k) avec () =

    ()+

    () et () sont dites transformes de Fourier (T.F) lune de lautre.

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    En mcanique quantique, du fait que: = ( =

    ) , on utilise ces relations sous

    la forme suivante:

    En posant : () = () et (

    ) = ()

    () =

    +

    (p)/ ; () =

    ()+

    /

    () est une fonction donde et () sa transforme de Fourier.

    Notation: () =[() ]

    () =[()]

    2-Proprits

    ( ) = [ ()]

    () = [( ]

    [()]=

    ||(

    )

    En particulier [()]=() (il y a conservation de la parit)

    Si f(n) dsigne la drive nime de la fonction , des drivations successives sous le signe

    somme donne :

    [()()]=(

    )() et ()(p)=F[(

    )()]

    Lorsque () a lallure dun pic de largeur , la largeur de () vrifie la

    relation : ou ( /2 ) selon la mthode de calcul de la largeur.

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    3-Formule de Parseval-Plancherel

    La transforme de Fourier conserve la norme :

    |()|+

    = |() |

    +

    4-Exemples

    Nous nous contentons de donner deux exemples de transformes de Fourier, pour

    lesquels les calculs ne prsentent pas de difficults :

    Fonction crneau: () =

    pour -

    < <

    et () =0 pour|| >

    On obtient () =

    (

    )

    Fonction Gaussienne: () =

    On obtient () =

    Notons que la forme gaussienne est conserve dans la transformation de Fourier

    5-Transformation de Fourier dans lespace 3 D

    Pour des fonctions dondes dpendant de 3 variables on a :

    ( ) =

    () ( )

    .

    ( ) =

    () ( )

    .

    Les proprits nonces plus haut se gnralisent aisment 3 D

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    III-La fonction de Dirac

    La fonction est en ralit une distribution. Nous allons la considrer ici du point de

    vue de la physique et la traiter comme une fonction ordinaire ; cette approche, bien que

    non rigoureuse mathmatiquement, est suffisante pour les applications la mcanique

    quantique.

    1-Dfinition de

    On considre la fonction dfinie par : ()() =

    pour -

    <

    Figure : crneau de largeur ,de hauteur

    , centr en =

    Soit () une fonction quelconque dfinie en =

    Calculons lintgrale : ()()()+

    Si est suffisamment petit : () () sur lintervalle [

    ,

    ]

    et lintgrale scrit : ()()()+

    ()

    +

    = ()

    Lapproximation est dautant meilleure que est plus petit.

    x

    0

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    Nous passons donc la limite = et dfinissons la fonction par la relation :

    ()()+

    = () qui est valable pour toute fonction () dfinie lorigine.

    Dune faon plus gnrale, la fonction de Dirac ( ), centre sur , est dfinie par:

    ()( )+

    = () (1)

    Soit ( ) = {

    2-Fonctions tendant vers

    ||

    (

    )

    3-Proprits de

    Les proprits que nous allons noncer se dmontrent facilement partir de la

    dfinition (1) : On multiplie les deux membres des galits ci-dessous par une fonction

    (), on intgre, et on montre que les rsultats obtenus sont bien gaux.

    () = ()

    () =

    ||()

    ()( ) = ()( )

    ( )( ) = ( )+

    4-Transforme de Fourier de

    [( ] = () =

    ( )+

    / =

    Et en particulier:

    () =

    = [()]

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    La transforme de Fourier inverse est:

    [()]=( )=

    ()+

    / =

    ()

    +

    Et en particulier:

    [ ()] = ()=

    +

    5-Drive de

    On dfinit la drive () de la fonction () par lgalit :

    ()() = ()() = ()+

    +

    Ce rsultat est obtenu aprs avoir fait une intgration par partie.

    On peut dfinir de la mme faon ()() par:

    ()()() = ()()()+

    6-La fonction dans lespace 3 D

    La fonction de Dirac ( ) 3 D sera dfinie comme suit:

    ( )( ) = ( )

    Et plus gnralement ( )( ) = ( )

    On peut dcomposer ( ) en un produit de 3 fonctions une dimension:

    ( ) = ( ) ( ) ( )

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    Chapitre 2

    Les origines de la mcanique quantique

    I-Introduction

    Jusquaux environs de 1870, deux disciplines dominaient le monde de la physique :

    La mcanique classique expliquait tous les phnomnes relatifs la matire, dont

    on ne connaissait que laspect corpusculaire.

    Llectromagntisme de Maxwell expliquait tous les phnomnes relatifs au

    rayonnement, dont on ne connaissait que laspect ondulatoire.

    Linteraction entre matire et rayonnement sexpliquait bien par la force de Lorentz:

    = ( + )

    Vers la fin du 19ime sicle, certains phnomnes nouveaux nont pas pu

    tre expliqus dans le cadre de la physique classique, et notamment :

    Le rayonnement du corps noir ; Leffet photolectrique ; leffet Compton et

    le spectre des atomes.

    Do lapparition de deux nouvelles thories qui remettent en question la thorie

    classique en des points diffrents :

    1905 : la relativit dEinstein (v proche de c).

    1900-1927 : la Mcanique Quantique (chelle atomique).

    Nanmoins, la thorie classique reste une bonne approximation de ces deux thories

    dans le cas o la vitesse

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    II-Aspect corpusculaire du rayonnement

    1- Rayonnement du corps noir

    a- Dfinition

    Un corps noir est par dfinition un corps absorbant intgralement les radiations quil

    reoit.

    b- Exprience

    Chacun a pu observer l'mission optique d'un corps port haute temprature : un four

    ou une lampe incandescence par exemple. A 600C, il est rouge sombre. A 1200C sa

    couleur devient plus claire et plus vive, 2500C il met une lumire blanche intense.

    L'analyse spectrale de la lumire mise rvle un spectre continu o toutes les

    frquences sont reprsentes.

    Le profil de la densit d'nergie lumineuse est reprsent sur la figure 1

    ( est la quantit d'nergie mise par unit de volume, par les frquences situes

    entre + .

    Figure 1: Spectre d'mission d'un corps port haute temprature (corps noir).

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    c-Interprtation classique

    En reprsentant le rayonnement comme une onde place dans le cadre dun aspect

    ondulatoire, Rayleigh et Jeans ont montr que :

    () =

    O = 1.38 1023 J K1 est la constante de Boltzmann et

    = 3 108 m/s est la vitesse de la lumire.

    La thorie de R-J comme le montre la figure 1, nexpliquait que le dbut de la courbe, elle

    nexpliquait pas le maximum, ni la dcroissance exponentielle aux frquences leves.

    De plus, la densit totale de lnergie mise est infinie :

    () = () =

    (catastrophe de lUV)

    Ce qui est contraire la nature o tout est fini quel que soit sa grandeur.

    d-Hypothse de Planck (1900)

    Afin dexpliquer le rayonnement du corps noir, Planck mit lhypothse suivante :

    La surface du corps noir est forme datomes et que chaque atome est un petit

    oscillateur de frquence tel que lnergie de latome oscillant sexprime sous la forme :

    = o n est un entier et h est la constante de Planck : h = 6.62 10-34 J.s.

    La matire et le rayonnement de frquence ne peuvent changer que des quantits

    d'nergie gales h ou un de ses multiples. h est appel quantum dnergie.

    Lhypothse de Planck associe aux mthodes de la thermodynamique statistique

    conduit la formule dite de Planck :

    () =

    Si ; +

    et par consquent () =

    On retrouve le modle de R-J.

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    La densit totale dnergie mise une temprature T est:

    () = () =

    =

    ( = , )

    Cette loi est connue sous le nom de: loi de Stefan , elle est bien vrifie

    exprimentalement.

    Si est la longueur donde correspondant au maximum de densit dnergie la

    temprature T ; on obtient : = . Cette relation est connue sous le nom de :

    loi de Wien.

    En conclusion :

    On a pu expliquer les lois principales du rayonnement du corps noir en supposant que

    lchange dnergie entre la matire et le rayonnement sopre, non plus continment

    comme dans la thorie classique, mais sous forme discontinue.

    Remarque :

    La dimension de h est laction (nergie x temps). Toute quantit physique de dimension

    gale laction doit tre compare h pour voir si elle relve du domaine quantique ou

    classique.

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    2-Effet photolectrique

    Cet effet, dcouvert par Hertz en 1887, ne trouvait pas dexplication dans le cadre des

    thories classiques.

    a-Exprience

    Figure 2 : Dispositif exprimental

    La cathode porte un potentiel reoit un rayonnement excitateur de frquence et

    de puissance . L'anode porte un potentiel recueille les lectrons mis par la

    cathode

    L'exprience consiste mesurer l'intensit du courant qui traverse la cellule

    photolectrique en fonction des trois paramtres exprimentaux:

    La puissance du rayonnement incident, c'est dire la quantit d'nergie

    apporte par la lumire la cathode par unit de temps.

    La frquence du rayonnement incident, laquelle correspond la longueur

    d'onde =

    .

    = : la diffrence de potentielle entre l'anode et la cathode

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    Exprience n 1

    La cathode est en zinc. Le rayonnement est de frquence . On mesure le courant I

    passant dans le microampremtre en fonction de V pour diffrentes puissances de

    rayonnement (Courbe de la figure 3).

    Pour V suffisamment leve, I atteint une valeur de saturation Is proportionnelle

    P.

    Pour V < et < V0, aucun courant ne passe. V0 , appele contre tension maximale

    ou potentiel darrt, est indpendante de la puissance du rayonnement incident.

    Il existe entre V0 et le domaine de saturation, une rgion intermdiaire o I crot

    progressivement avec V.

    Exprience n 2

    Sans modifier la nature de la cathode, on fait varier la frquence du rayonnement

    incident.

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    On obtient la courbe de la figure 4.

    Si la frquence est infrieure une frquence appele frquence de seuil,

    aucun courant ne traverse la cellule photolectrique, .

    Si > le courant passe et la contre tension maximale varie linairement avec

    la frquence .

    Exprience n 3

    On change la nature de la cathode, en remplaant le zinc par du sodium puis du

    nickel. La frquence de seuil varie mais la pente de || en fonction de se

    trouve tre indpendante de la nature du mtal (Courbe de la figure 5).

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    Exprience n 4

    On mesure le temps qui s'coule entre le dbut de l'clairement et le passage du

    courant. Il est infrieur 10-9s. Le phnomne est instantan.

    b- Interprtation de l'effet photolectrique

    Certains aspects des expriences s'interprtent aisment dans le cadre de la thorie

    classique de l'lectromagntisme.

    Le phnomne de passage du courant

    L'onde lectromagntique transporte de l'nergie. Elle la communique aux lectrons de

    la cathode et les en jecte. Les lectrons acclrs dans le champ lectrique rgnant

    entre la cathode et l'anode atteignent cette dernire et assurent le passage du courant

    Saturation du courant et son volution avant saturation

    Le rgime qui prcde la saturation s'explique par ce qu'on appelle classiquement les

    charges d'espace.

    Les lectrons sont jects de la cathode et acclrs dans le champ lectrique. Ils sont

    rapidement vacus si le champ lectrique, et donc V est fort. Ils sont vacus peu

    rapidement si V est faible. Dans ce dernier cas de nombreux lectrons se trouvent en

    permanence entre l'anode et la cathode, repoussent les nouveaux lectrons mis et

    contribuent une limitation du courant lectrique.

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    Si V est assez fort, tous les lectrons mis par la cathode atteignent l'anode, c'est le

    rgime de saturation. Il ne sert plus rien d'augmenter encore la diffrence de potentiel.

    Il est par contre impossible d'expliquer la frquence de seuil et la contre

    tension maximale V0 par les lois classiques de l'lectromagntisme.

    Comment en effet comprendre qu'un rayonnement de trs grande puissance P,

    apportant une trs grande quantit d'nergie par unit de temps, mais de frquence

    < , ne puissent pas arracher les lectrons.

    Alors qu'un rayonnement de frquence > mais de trs faible puissance peut le faire

    instantanment? Comment se fait-il que l'accumulation d'nergie d'un rayonnement

    < soit inefficace ?

    Interprtation quantique :

    La thorie correcte de leffet photolectrique a t formule par Einstein.

    Il va plus loin que Planck en supposant que non seulement les changes dnergie entre

    lumire et matire se font par quantum indivisible , mais que la lumire est

    forme de grains dnergie quon appelle photons ; lnergie du photon est , sa

    vitesse est c.

    On peut alors considrer, leffet photolectrique comme un problme de choc photon-

    lectron, avec annihilation du photon (il sagit dun choc inlastique).

    En crivant la conservation de lnergie dans ce choc, on obtient :

    = +

    O est le travail de sortie du mtal irradi (nergie dextraction de llectron).

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    Ainsi, lnergie du photon se spare en deux parties :

    qui est absorbe par le mtal pour librer llectron.

    Lexcdent h - = T qui est communique llectron sous forme dnergie

    cintique.

    Essayons de vrifier quelques lois de leffet photolectrique en utilisant cette thorie :

    Si on pose = hS ; llectron sera mis avec une nergie cintique

    = ( ) et comme :

    < : I = 0 (pas deffet photolectrique)

    > : I

    = : (lnergie du photon permet juste dextraire llectron)

    On montre en utilisant le thorme de lnergie cintique quil existe un potentiel

    darrt V0 (I = 0) tel que: =

    ( )

    En conclusion :

    leffet photolectrique montre que la lumire de frquence est forme de grains, les

    photons qui ont une nergie h.

    Application :

    Leffet photolectrique a plusieurs applications dans notre vie courante :

    La mesure des intensits lumineuses en photomtrie ; le comptage dobjets opaques

    passant devant la cellule (visiteurs dune exposition, par exemple) ; la mise en marche

    de dispositifs mcaniques (escaliers, portes).

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    Exercice dapplication:

    Une cellule photolectrique possde une photocathode au csium. Elle est claire par

    une radiation monochromatique de longueur donde

    = 0.425 m. La puissance capte par la photocathode est P = 1 W. Les mesures

    donnent alors :IS = 2 mA et Va = 1 Volt

    Dterminer :

    1- Lnergie cintique maximale de sortie des lectrons photo mis.

    2- Le travail dextraction WS du csium, en dduire .

    3- Le nombre de photons N capts et le nombre dlectrons n mis par seconde

    par la cathode. En dduire le rendement quantique =

    , conclure.

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    3-Effet Compton (1923)

    Lhypothse des photons a reu une confirmation spectaculaire avec la dcouverte de

    leffet Compton

    a-Exprience

    Un faisceau de rayons X de longueur donde , est envoy sur une substance (contenant

    un certain nombre dlectrons libres (Calcite, Aluminium)), qui le renvoie dans toutes

    les directions.

    On isole une radiation dans la direction et on mesure sa longueur donde laide

    dun interfromtre. On trouve : = = ( ).

    b-Interprtation thorique

    Classique : La thorie ondulatoire de la lumire prvoit une diffusion identique

    dans toutes les directions sans variation de la longueur donde ; soit = , ce

    qui est en contradiction avec lexprience.

    Quantique :

    Notions de relativit :

    Einstein avait montr dans un rfrentiel R, que pour une particule de masse au repos

    et de vitesse proche de la vitesse de la lumire c, on a :

    o =

    Exemple : pour v = 0.995 c m = 10 m0

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    o = = + o est lnergie totale, = est lnergie au repos et

    est lnergie cintique.

    o = =

    est la quantit de mouvement de la particule.

    o = = +

    Dans le cas du photon : = = = =

    Interprtation : La diffusion est assimile un choc lastique.

    Figure : Collision entre un photon et un lectron

    Pour le Photon:

    = =

    =

    =

    Pour llectron:

    = =

    = + = +

    = =

    Comme il sagit dun choc lastique, Il y a conservation de la quantit de mouvement et

    de lnergie totale.

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    La conservation de donne : = + (1)

    La conservation de lnergie donne : + = + (2)

    On obtient la relation suivante : =()

    Ou, en tenant compte du fait que =

    =

    On trouve : = =

    ( ) = () (3)

    La variation maximale doit-tre observe dans la direction incidente, soit = .

    Il est facile de vrifier que la quantit

    = 0.02426 est homogne une longueur

    donde : cest la longueur donde Compton.

    Lordre de grandeur de cette quantit montre que leffet ne sera relativement visible que

    dans le domaine des faibles longueurs dondes (de lordre de 1 ) : cest pourquoi lon

    parle de diffusion Compton essentiellement pour les rayons X.

    Il est remarquable que tous les rsultats exprimentaux soient parfaitement interprts

    par la formule (3), justifiant ainsi lexistence dun caractre corpusculaire du

    rayonnement.

    En conclusion :

    Leffet Compton vrifie exprimentalement que le photon possde une impulsion =

    .

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    III-Aspect ondulatoire de la matire

    1-Hypothse de De Broglie

    Un caractre ondulatoire pouvait-tre associ des particules matrielles en plus de

    leur caractre corpusculaire.

    Ainsi un lectron ( , ) ,De Broglie a associ une onde ( , ) o est la frquence

    ( =

    ) ; = est le vecteur donde, est un vecteur unitaire port par la direction

    de propagation de londe, avec =

    , est la longueur donde. Ensuite, il lui (llectron) a

    appliqu les mmes relations que celles du photon savoir:

    = ( =

    ) =

    Donc chaque particule, on associe une onde de longueur donde dfinie par : =

    (pour une particule non relativiste).

    Exemples :

    Domaine macroscopique

    La terre ( = 6 1024 Kg ; = 3 104 m / s) : = 0.37 10-62 m

    Un grain de poussire ( = 10-15 g ; = 10-3 m/s): = 6.6 10-16 m

    Ces longueurs dondes sont impossibles mesurer par les techniques actuelles.

    Domaine microscopique

    Un lectron ( = 9.1 10-31 Kg ; = 6 106 m / s): = 0.12 10-9 m = 1.2

    Un neutron dit thermique ( = 1.67 10-27 Kg ; T = 300 K): = 1.78

    Ces longueurs dondes sont de lordre de celles des rayons X quon sait mesurer.

    On remarque donc daprs ces exemples que la possibilit de dtecter ces ondes

    apparat avec lexploration du monde microscopique.

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    2-Confirmation exprimentale de lhypothse de De Broglie

    Pour cela, Davisson et Germer ont utilis la diffraction dun faisceau dlectrons par un

    rseau cristallin constitu dun empilement rgulier datomes situs une distance

    lun de lautre.

    Figure : diffraction dune onde sur les plans rticulaires dun cristal

    Lobservation des figures de diffractions (les mmes que celles fournit par la lumire) au

    niveau du faisceau rflchi confirme donc la nature ondulatoire de llectron.

    Supposons que ces lectrons sont acclrs par une tension V, on a :

    =

    =

    = .

    La longueur donde associe ces lectrons est :

    =

    =

    =

    , Ainsi pour llectron ; =

    ,

    Cette valeur thorique doit tre compare aux valeurs exprimentales obtenue partir

    des anneaux de diffractions : = (relation de Bragg).

    Pour des tensions variant entre 104 et 2 104 volts, correspondant des longueurs

    dondes de 0.1 0.07 , la vrification seffectue 10-3 prs.

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    3-Quantification de la matire (atome dhydrogne)

    a-Modle classique (Rutherford 1911)

    Il considre latome dhydrogne comme un noyau autour duquel gravite un lectron

    suivant une trajectoire circulaire.

    (Le systme = (e- + e+)). Le noyau est au repos, llectron de vitesse et de masse

    est soumis une force lectrique =

    .

    drive de lnergie potentielle . Lnergie totale du systme est donc :

    =

    +

    On montre que scrit: =

    ( < , car llectron est li au noyau et il faut lui fournir de lnergie pour le rendre

    libre (ionisation).

    Quand llectron tourne, il rayonne, donc diminue et par consquent diminue et

    llectron finira par tomber sur le noyau, ce qui rend latome dhydrogne instable.

    Or, daprs lexprience, latome dhydrogne est un systme trs stable et ne peut tre

    dtruit que par ionisation (sparation de llectron et du noyau), ce qui est tout le

    contraire dune chute de llectron.

    Ce modle classique est donc non valable pour expliquer ces phnomnes atomiques.

    b-Modle semi quantique

    A la suite des dcouvertes de leffet photolectrique, de leffet Compton et des

    explications thoriques dEinstein et Planck, Bohr (1913) appliqua la thorie quantique

    aux changes dnergie lectromagntique de latome. Ses ides peuvent se grouper en

    deux postulats :

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    26

    1er postulat :

    Le moment cintique de llectron est quantifi tel que:

    = = o n est un entier do =

    .Il y a donc existence de

    trajectoires privilgies pour n = 1, 2,.(appeles orbites) et comme =

    ,

    il y a donc quantification de lnergie, le spectre dnergie est , , ..

    2ime postulat :

    Dans sa trajectoire, llectron ne peut ni mettre, ni absorber une radiation. Il ne peut le

    faire que sil passe dune trajectoire une autre, il y a en mme temps :

    soit mission du quantum , = >

    soit absorption dun quantum , = <

    En utilisant le premier postulat, on montre que:

    =

    avec =

    = , = ,

    Do , = (

    ) , =

    (

    )

    Cette relation vrifie bien lexprience, notamment les expriences de Balmer (1885), la

    lumire mise par un tube rempli dhydrogne gazeux et soumis une dcharge

    lectrique, constitue un spectre de raies, les frquences observes correspondantes sont

    bien reprsentes par la formule ci- dessus (p = 2 et n > 2).

    En rsum, lmission de lnergie par llectron saccompagne de la production dune

    raie de frquence , telle que : , =

    Le spectre dmission des atomes est donc un spectre de raies.

    Ceci est une autre preuve de la discontinuit de lnergie du fait que llectron ne peut

    avoir que certaines nergies discrtes.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    27

    Un spectre typique d'mission de raies dune lampe dcharge est reprsent sur cette

    figure.

    Le rayonnement n'est mis que sur certaines frquences particulires caractristiques

    de l'lment.

    La figure ci-dessous donne les transitions spectrales dans l'atome d'hydrogne

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    28

    IV-Principe de complmentarit

    On a vu que le rayonnement comme la matire prsente un double aspect : ondulatoire

    et corpusculaire (C'est la dualit onde- corpuscule).

    Ces deux aspects sont lis entre eux par les relations de Planck-Einstein :

    = et =

    Le principe de complmentarit de Bohr (1928) illustre limpossibilit dobserver la

    fois le caractre corpusculaire (localis) et ondulatoire (tendu) de la matire.

    Le principe de complmentarit peut-tre compar limpossibilit de lire

    simultanment le recto et le verso dune mme page.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    29

    Chapitre 3

    Equation de Schrdinger

    Etude de quelques systmes quantiques une dimension

    I-Fonction donde associe une particule

    En mcanique classique, la description dun systme un instant donn est

    entirement dfinie par la donne de six paramtres : les trois composantes de la

    position () du centre de masse et les trois composantes de la vitesse (). Toutes les

    variables dynamiques (nergie, quantit de mouvement, moment cintique, etc..) se

    trouvent ainsi dtermins.

    En mcanique quantique, la description dun systme est plus complique :

    son tat dynamique un instant donn est caractris par la fonction donde

    ( , ) (daprs De Broglie). Cet tat dpend dune infinit de paramtres qui sont les

    valeurs prises par ( , ) en tous les points de lespace. En gnral, dans un tat

    dynamique donn, la particule est mal localise car est mal dtermine.

    Ceci, nous incite remplacer la notion de trajectoire dune particule (MC) par la notion

    de probabilit de prsence de trouver la particule un instant donn dans un

    lment de volume d3r entourant le point (MQ).

    Soit ( , ) = |( , )| o |( , )| = ( , ) ( , )

    est interprte comme une densit de probabilit de prsence.

    Il est bien vident que : ( , ) = |( , )| =

    (1)

    ( , ) doit tre de carr sommable ( |( , )|

    )

    et normalise de faon satisfaire lquation (1).

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    30

    ( , ) est interprte comme une amplitude de probabilit de prsence. Elle contient

    toutes les informations quil est possible davoir sur une particule.

    1 - Onde plane

    Une onde plane est une onde de la forme : ( , )=( . )

    est lamplitude ; =

    = est la pulsation ; =

    est le vecteur donde.

    La quantit . est la phase de londe au point M( = ) et linstant t, .

    constitue le dphasage de londe entre le point M et lorigine au mme instant.

    La reprsentation de londe de De Broglie par une telle onde nest pas valable du fait

    quelle nest pas de carr sommable. En effet :

    |( , )| = |)| =

    2 - Paquet dondes

    Un paquet dondes est une superposition dondes planes dont les vecteurs dondes

    sont contenus dans un petit domaine , centr autour dun vecteur :

    ( , ) =

    () ( ) (

    . )

    o ( ) est le facteur de forme de londe.

    Une telle onde peut convenir la reprsentation de londe de De Broglie du fait quelle

    peut-tre de carr sommable.

    On montre que

    |( , )|

    Ce paquet dondes reprsentera en MQ la particule et permettra dobtenir toutes les

    informations utiles sur le systme physique constitu par cette particule.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    31

    3 - Vitesse de phase Vitesse de groupe

    Vitesse de phase : cest la vitesse de propagation de londe. Par dfinition elle est

    donne par : =

    avec = () (appele relation de dispersion)

    Vitesse de groupe : cest la vitesse du centre du paquet donde. Elle est dfinie

    par : =

    Pour un milieu non dispersif : =ct et =

    et pour un milieu dispersif : = ( ) et

    Exemples :

    Cas du photon : = = =c

    Cas dune particule libre (nergie purement cintique) : =

    =

    et =

    =

    =

    = . La vitesse de groupe du paquet donde est donc

    gale la vitesse classique de la particule.

    4 - Principe dincertitude dHeisenberg

    Un rsultat classique en mathmatique entre les largeurs approximatives de deux

    fonctions () () , transformes de Fourier lune de lautre scrit :

    On remarque que si tend vers 0 alors tend vers linfini et rciproquement si

    tend vers 0 alors tend vers linfini.

    Cest--dire, si on cherche mesurer la position avec une grande prcision (incertitude

    trs petite), il serait impossible de dfinir sa vitesse avec une incertitude dfinie. Cette

    impossibilit nest pas technique mais fondamentale et constitue le principe

    dincertitude dHeisenberg (1927).

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    32

    La gnralisation 3 dimension scrit :

    ; une quatrime relation scrit :

    Pour bien montrer cette impossibilit de mesurer dans la mme exprience les

    caractres corpusculaires dune particule ( ) et les caractres ondulatoires

    ( =

    =

    ) prenons lexemple suivant :

    Supposons quon cherche dterminer la position dun lectron un instant donn.

    Pour cela, on envoie sur lui un flux de photons. Mais vue la faiblesse de sa masse

    (lectron), ces photons vont modifier sa vitesse, donc il serait impossible de dfinir

    exactement sa position et sa vitesse avec une seule mesure.

    Si dans le domaine macroscopique, les appareils de mesure dune grandeur physique

    nont aucune influence sur la mesure, on voit que ce nest pas le cas ds quil sagit du

    monde microscopique.

    Exemple :

    Un corpuscule de masse m oscille entre deux parois, avec une vitesse =cte

    ( = 2.3 106 m/s). La distance entre les deux parois est 2a.

    Si = a, quelle est ? Quelle est ?

    Application :

    Un lectron avec 2a = 10 ; me = 9,109 10-31kg

    Une balle de ping-pong avec 2a = 3 m ; = 1g

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    33

    II-Equation de Schrdinger

    Cest lquation de base de la mcanique quantique, elle rsulte de lapplication de

    lquation gnrale de propagation des ondes planes ( 2

    2= 0)

    au mouvement de londe associe une particule.

    1-Conditions imposes

    Cette quation doit :

    tre linaire et homogne : si sont solutions, alors toute combinaison

    linaire de et est aussi solution.

    tre une quation diffrentielle du 1er ordre par rapport au temps. Cest--dire

    que lvolution ultrieure de ( , ) est entirement dfinie par la connaissance

    de ( , ) .

    obir au principe de correspondance, cest--dire conduire aux quations de la

    mcanique classique dans la limite .

    Ces conditions imposes rsultent du fait que la fonction donde doit dfinir entirement

    ltat dynamique de la particule , savoir son nergie et son impulsion.

    2 -Etablissement de lE-S dpendante du temps

    Soit une particule libre pour laquelle =

    et soit le paquet dondes :

    ( , ) =

    () ( ) (

    . ) .

    Du fait que = =

    on posera : ( ) =

    ()

    (

    ) do ( , ) = ( )( . )

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    34

    Si on calcule

    ( , ) et ( , ) on trouve :

    -

    ( , ) =

    ( , )

    Cest lquation de Schrdinger dpendante du temps pour une particule libre (particule

    qui nest soumise aucun champ de forces : toute son nergie est purement cintique).

    Si la particule est soumise un champ de forces :

    = ( , ) = ( , )

    ( , ) est lnergie potentielle de la particule. Son nergie totale serait :

    =

    + ( , )

    Lquation de Schrdinger scrit dans ce cas :

    -

    ( , ) + ( , )( , )=

    ( , )

    En gnral, on crit cette quation sous la forme : =

    O H est loprateur Hamiltonien dfini par : =

    + ( , )

    Principe de correspondance :

    Comparons lquation classique :

    + ( , ) =

    et lquation de Schrdinger : -

    ( , ) + ( , )( , )=

    ( , )

    On peut remarquer les correspondances suivantes :

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    35

    Rgles de formation de lE-S dun systme quantique :

    Dterminer la fonction de Hamilton du systme en coordonnes cartsiennes.

    Utiliser le principe de correspondance

    Exemple : Le mouvement dune particule libre dans un plan ().

    3- E-S indpendante du temps

    Cest le cas o lnergie potentielle de la particule est indpendante du temps :

    ( ,)

    = ( , ) = ( ) . La fonction donde doit vrifier dans ce cas lquation :

    -

    ( , ) + ( )( , )=

    ( , )

    Cherchons sil existe des solutions de cette quation de la forme :

    ( , ) = ( ) ()

    En reportant cette solution dans lquation ci-dessus, on obtient :

    (

    + ( ))( )

    ( )=

    ()()

    Cette quation indique lgalit entre une fonction de t seul (membre de droite) et une

    fonction de seul (membre de gauche).

    Lgalit nest possible que si chacune de ces fonctions est en fait une constante qui

    reprsente lnergie totale E de la particule puisque

    + ( ) est loprateur

    Hamiltonien associ lnergie totale.

    Aprs la rsolution de lquation : ()

    ()=

    On trouve ( , ) = ( ) (1)

    Avec ( ) solution de lE-S indpendante du temps :

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    36

    ( ) + ( )( )=E( ) (2)

    Une fonction donde de la forme (1) est appele solution stationnaire de lquation de

    Schrdinger. Elle conduit une densit de probabilit indpendante du temps

    (|( , )|2 = |( )|2).

    Lquation (2) peut scrire : ( ) =E ( ) (3)

    o H est loprateur Hamiltonien tel que : =

    + ( )

    Lquation ( ) =E ( ) est appele : quation aux valeurs propres de loprateur

    linaire H ou quation aux tats stationnaires de lnergie.

    En gnral, cette quation nadmet de solutions que pour certaines valeurs propres

    de lnergie qui correspondent aux fonctions propres ( ) . Ces fonctions doivent

    vrifier les proprits suivantes :

    Doivent tre de carr sommable.

    Doivent tre continues

    Leurs drives doivent tre continues si le potentiel est fini.

    4- Superposition des tats stationnaires

    Les tats stationnaires de la particule ont donc pour fonction donde :

    ( , ) = ( )

    Mais, on sait que toute combinaison linaire de cette fonction est aussi solution de

    lquation de Schrdinger, ce qui donne :

    ( , ) =( , ) =

    ( )

    o les sont des coefficients complexes, = on a ( , ) = ( )

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    37

    III-Etude de quelques systmes quantiques une dimension

    Les exemples de systmes quantiques que nous allons tudier vont avant tout nous

    familiariser avec les manipulations de lE-S.

    Cependant, beaucoup ne sont pas des modles purement gratuits, mais reprsentent des

    approches parfois excellentes de systmes rels.

    En effet dans la matire, les particules sont trs souvent confrontes des barrires de

    potentiel o des puits de potentiel.

    La question est de savoir quelle sera leur raction face ces obstacles dans le cas de la

    Mcanique Quantique.

    Ltude des potentiels carrs ou constants par morceau est justifiepar le fait que

    tout potentiel rel peut-tre approxim par une fonction constante par morceau.

    Potentiels typiques et leurs modles en paliers

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    38

    1-Marche de potentiel

    Considrons une particule libre dans un mtal ( < ) et qui arrive sur la surface du

    mtal ( = ), plac dans le vide o rgne un potentiel .

    Du point de vue physique, la variation du potentiel () au voisinage de = ne

    prsente pas de discontinuit (courbe rouge).

    Toutefois, pour simplifier les calculs, on approche () par la fonction saut :

    () = { < >

    .

    Cette approximation est dautant plus valable que , la particule franchira la marche de potentiel en perdant une partie de

    son nergie cintique gale lnergie potentielle acquise.

    On dit quil y a transmission totale.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    39

    < , la particule ne peut pas franchir la marche de potentiel et repartira en

    sens inverse avec la mme vitesse. On dit quil y a rflexion totale.

    b-Etude quantique

    Dfinition des coefficients de rflexion et de transmission

    Par dfinition, le courant de probabilit est :

    | | = densit de probabilit x vitesse de la particule. Il est analogue un flux.

    On dfinit le coefficient de rflexion par: =

    =

    On dfinit le coefficient de transmission par: =

    =

    1er cas: >

    La thorie quantique apporte un rsultat nouveau et surprenant par rapport la

    mcanique classique, lexistence dune onde rflchie malgr que > .

    En effet on montre que : = (

    +) et =

    (+)

    O =

    et =

    ( )

    Analyse de quelques cas limites :

    Si >> :

    R est presque nul, on retrouve pratiquement la transmission totale de la MC.

    Si || ,(on est dans le cas > car > et < ):

    Dans ces conditions, il y a rflexion totale, alors quen mcanique classique les particules

    se prcipiteraient dans la chute du potentiel.

    Cet effet typiquement quantique est observ exprimentalement en physique nuclaire :

    un neutron de faible nergie se trouve rejet en arrire lorsquil sapproche de la surface

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    40

    dun noyau o, classiquement, il rencontre brusquement un potentiel attractif trs

    important.

    2 me cas : <

    La rflexion est totale comme en MC. Cependant, on peut remarquer que la densit de

    probabilit de prsence de la particule dans la rgion ( > ) nest pas nulle et dpend

    de . En effet on montre que la densit scrit: |>| = || avec

    =

    ( ) .

    Lorsque est suprieur la porte

    de londe vanescente (C) , cette densit

    devient ngligeable.

    Donc les particules avant dtre rflchies, pntrent dans la rgion ( > ) ,sur une

    distance (profondeur) de lordre de =

    =

    () .

    Pour des lectrons et pour ( )

    2- Barrire de potentiel

    On considre une particule qui arrive sur une barrire de potentiel de largeur . La

    description de lnergie potentielle () est la suivante :

    () = {

    < < < >

    Le cas o lnergie > de la barrire ne sera pas trait car il noffre rien de

    particulier, si non lexistence dune onde rflchie, donc une probabilit non nulle de

    revenir en arrire de la particule.

    On ne considre donc que le cas < qui aboutit une conclusion spcifiquement

    quantique, savoir le franchissement possible de la barrire qui, classiquement, tait

    Infranchissable pour une particule tel que < .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    41

    On montre que:

    =

    + [ +

    ]

    ()

    = ()

    Le coefficient de transmission , qui reprsente la densit relative de particules ayant

    franchi la barrire est donc non nulle.

    On utilise trs souvent la notion deffet tunnel, pour dsigner ce passage des particules

    travers une barrire de potentiel infranchissable en MC.

    Cest grce cet effet que les phnomnes de radioactivit peuvent exister.

    Par exemple, une particule confine dans le noyau derrire une barrire de potentiel

    nuclaire, possdant une nergie propre plus faible que la hauteur de la barrire,

    parvient cependant la franchir, comme le prouve lexprience. Leffet nexiste

    videmment pas pour les particules classiques.

    Etude des deux cas limites dune barrire trs troite et trs large :

    cas dune barrire trs troite ( trs petit)

    On trouve = , ce qui signifie que la transmission est totale, > .

    cas dune barrire trs paisse ( >> longueur donde de De Broglie).

    On trouve : [

    +]

    ()

    Si tend vers linfini, = et on retrouve le cas de la marche de potentiel.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    42

    Application :

    lectron tel que : = , = , =

    On trouve

    = . > et T = 78% (probabilit importante de franchir la

    barrire).

    proton ( = ), mmes donnes

    On obtient

    = .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    43

    Chapitre 4

    Formalisme mathmatique de la Mcanique Quantique

    Ce formalisme est un ensemble doutils mathmatiques de base, commodes permettant

    de simplifier ltude des systmes quantiques.

    I-Espace des fonctions donde dune particule

    1-Dfinition

    |( , )| reprsente la probabilit pour que, linstant t, la particule soit trouve

    dans un volume = autour du point . La probabilit totale de trouver la

    particule dans tout lespace est gale lunit, on doit avoir :

    |( , )| =

    (1)

    ( , ) doit appartenir lensemble (espace) de fonctions de carr sommable, cest--

    dire des fonctions pour lesquelles lintgrale (1) converge. Cet ensemble est not 2.

    Lensemble de ces fonctions, tant trop vaste, nous nallons considrer que les

    fonctions : ( , ) partout dfinies et continues ; indfiniment drivables et support

    born.

    On appelle , lensemble (espace) des fonctions donde constitue par les fonctions

    rgulires de 2 . est un sous espace de 2.

    En rsum : ( , ) |( , )|

    est finie

    2-Structure de lespace F des fonctions donde

    a- est un espace vectoriel

    On montre facilement que satisfait toutes les proprits dun espace vectoriel et

    notamment :

    Si ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) (2)

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    44

    b -Produit scalaire

    i-Dfinition

    Soient ( ) ( ) , le produit scalaire de ( ) par ( ) est un nombre complexe

    not (,) et dfini par :

    (,) = ( )( ) (3)

    ii-Proprits

    Elles dcoulent de la dfinition (3)

    (,)=(,)

    (, + ) = (, )+(, )

    ( + , ) = (, )+

    (, )

    Le produit scalaire est linaire par rapport la deuxime fonction et anti linaire par

    rapport la premire.

    (,)= 0 ( ) ( ) sont orthogonales

    (,) = |( ) |

    est un nombre rel, positif, qui est nul si et

    seulement si( ) est nulle.

    (,) est appele la norme de( ) .

    3- Bases orthonormes discrtes dans

    a-Dfinition

    Soit un ensemble dnombrable de fonction de , repres par un indice discret i (i = 1,

    2,.n,..). Lensemble {( )}est orthonorme si :

    (, ) = ( )( )

    = = { =

    (4)

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    45

    La relation (4), dite relation dorthonormalisation, exprime que les fonctions de

    lensemble {( )} sont normes lunit et orthogonales entre elles.

    {( )} constitue une base (ou un ensemble complet), si toute fonction

    ( ) peut se dvelopper dune faon unique sur les ( ):

    ( ) = ( ) (5)

    O les sont appeles les composantes de ( ) sur la base {( )}; elles sont

    dtermines comme suit : = (, ) = ( )( )

    (6)

    La base {( )} ayant t choisie, il est quivalent de se donner ( ) ou lensemble de

    ses composantes sur les fonctions de base.

    On dit que les reprsentent ( ) dans la base {( )}.

    b-Relation de fermeture

    La relation de fermeture exprime le fait que lensemble {( )} constitue une base.

    Cette relation scrit : ( )( ) = ( ) (7)

    Rciproquement, on peut montrer que : si un ensemble orthonorm {( )} vrifie la

    relation de fermeture (7), il constitue une base.

    4-Bases orthonormes continues

    a-Dfinition

    On appelle base orthonorme continue un ensemble de fonction {( )} repres par

    un indice continu et vrifiant les relations dorthonormalisation et de fermeture :

    R.O: (, ) = ( )( )

    = ( ) (8)

    R.F: ( )( ) = ( ) (9)

    Les ( ) ne sont pas forcment des fonctions de , ni de 2.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    46

    b- Composantes dune fonction donde ( )

    Toute fonction ( ) peut se dvelopper sur les ( ) :

    ( ) = () ( ) o les ()sont appeles les composantes de

    ( ) sur la base {( )} ; on montre que :() = (, ) = ( ) ( )

    (10)

    Correspondance : base discrte-base continue :

    ( )

    5-Exemples de Bases continues

    a-Ondes planes

    Pour simplifier, nous tudierons des fonctions () une dimension et de carr

    sommable.

    Soit la fonction : () =

    dcrivant une onde plane de vecteur donde =

    et . {()}dsignera lensemble de toutes les ondes planes correspondantes aux

    diverses valeurs de , avec variant dune faon continue de + .

    () = ()() =

    ()

    +

    +

    Avec () = ((), ()) = (p) qui est la TF de ()

    Ceci traduit que () se dveloppe dune faon unique sur les () .

    R.O: (, ) = ( )

    R.F: ()() = (

    )

    {()} vrifient R.O et R.F, donc cest une base orthonorme continue.

    La gnralisation 3 D se fait sans difficults partir de :

    ( ) =

    () . avec (, , ) et (, , )

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    47

    b-Fonction Delta

    Soit lensemble des fonctions de , { ( )} , repres par lindice continu , et dfinies

    par : ( ) = ( ). Les ( ) sont relles.

    { ( )} reprsente lensemble des fonctions delta centres aux diverses points de

    lespace . ( ) nest videmment pas de carr sommable, donc .

    ( ) = ( )+

    ( )

    avec ( ) = ( )= ( )( )

    +

    = ( , )

    Ceci traduit que ( ) se dveloppe dune faon unique sur les ( )

    RO: ( , ) = ( )

    RF: ( ) (

    ) = ( )

    { ( )} vrifient R.O et R.F, donc cest une base orthonorme continue.

    Remarque : Lutilit de ces bases continues apparatra plus clairement par la suite.

    Nanmoins, il faut prciser quun tat physique doit toujours correspondre une

    fonction donde de carr sommable.

    Donc en aucun cas () et ( ) ne peuvent reprsenter ltat dune particule. Ce ne

    sont que des intermdiaires de calcul trs commodes effectus sur ( ) , fonction qui

    peut reprsenter un tat physique.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    48

    II-Espace des tats Notation de Dirac

    1-Dfinition

    Un tat physique est dtermin soit par la donne de ( ), soit par la donne de ses

    composantes sur une base.

    Postulat :Tout tat quantique dune particule sera caractris par un vecteur dtat

    appartenant un espace appel espace des tats dune particule :

    |

    2-Vecteurs kets

    Dans la notation de Dirac, le vecteur dtat sera reprsent par | et appel ket .

    ( ) sera interprt comme lensemble des composantes du ket | sur une base

    donne, jouant le rle dun indice.

    3-Vecteurs Bras

    On montre que est un espace vectoriel sur et que ses lments sont dots dun

    produit scalaire :

    |, | le produit scalaire de | par | est dfini par:

    (|, |)=|o le vecteur | ,appel bra, est un lment du dual de

    , not . Le symbole | sappelle bracket.

    4-Correspondance entre kets et bras

    A tout ket correspond un bra, la rciproque nest pas toujours vraie.

    | | .

    Comme le produit scalaire est anti linaire par rapport au premier vecteur,

    le bra associ au ket | + | est le bra |+

    |

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    49

    Remarque: | = | et | = |

    | est le bra associ au ket |

    5-Produit scalaire dans la notation de Dirac

    | = ( )( )

    Pour les proprits voir le paragraphe I, il suffit de remplacer ( , ) par | .

    6-Extension des diffrentes notions dfinies sur

    Nous allons reprendre dans , toutes les notions dfinies dans , et ceci en utilisant la

    notation de Dirac.

    Un ensemble discret {|} ou continu {|} constitue une base si tout tat

    appartenant se dveloppe dune faon unique suivant les | ou les |.

    a-Base discrte

    RO: | = |= | avec = |

    RF: | | = o 1 est loprateur identit. Cette relation traduit le fait que

    {|} constitue une base.

    b-Base continue

    RO: | = ( ) |= () | d avec () = |

    RF: || =1

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    50

    III-Oprateurs linaires

    1-Dfinition

    Un oprateur linaire est un tre mathmatique qui fait correspondre, toute fonction

    ( ) , dune faon linaire, une autre fonction ( ) :

    ( ) A ( ) = ( )

    ( + ) = + = +

    Exemples:

    Oprateur multiplication par : = =

    Oprateur drivation par rapport : =

    =

    En notation de Dirac, la dfinition se met sous la forme :

    | A| = |

    (| + |) = | + | = | + |

    2-Produit de deux oprateurs

    Si et sont deux oprateurs linaires, leurs produit est dfini par :

    ()| = (| ) = |

    Le produit de deux oprateurs est un oprateur.

    3-Commutateur de deux oprateurs

    On appelle commutateur de deux oprateurs et , loprateur not[, ] et dfini par :

    [, ] = .

    Si [, ] = , on dit que A et B commutent.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    51

    Si [, ] # , on dit que A et B ne commutent pas.

    Exemples : [, ] et [, ]

    Proprits :

    [, ] = [, ]

    [, + ] = [, ] + [, ]

    [, ] = [, ] + [, ]

    [, [, ]] + [, [, ]] + [, [, ]] =

    4-Inverse dun oprateur

    Linverse dun oprateur , lorsquil existe est tel que :

    = = o 1 est loprateur identit

    Proprits:

    () =

    5-Exemples doprateurs : Projecteurs

    a-Projecteur sur un ket |

    Soit | un ket norm lunit : | =

    Considrons loprateur dfini par : = | | et appliquons le un ket |

    quelconque. On trouve que cette action donne un ket proportionnel | .

    La signification gomtrique de est donc claire : cest loprateur

    de projection orthogonale sur le ket |. Cette interprtation est confirme par le fait

    que 2 = .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    52

    b-Projecteur sur un sous espace

    Soient |; | ; |; . |, q vecteurs norms, les uns aux autres :

    | = (i, j = 1, 2, q) et soit le sous espace de sous-tendu par ces q

    vecteurs.

    On dfinit loprateur par = | |

    On montre que 2 = ce qui implique que est un projecteur.

    Il est facile de voir que projette sur le sous espace .

    agissant sur un ket | donne la superposition linaire des projections de | sur les

    divers |.

    IV-Reprsentation matricielle

    Choisir une reprsentation, cest choisir une base orthonorme discrte ou continue

    dans lespace des tats. Les vecteurs et les oprateurs seront reprsents par des

    nombres qui seront des composantes pour les vecteurs et des lments de matrice pour

    les oprateurs. Le calcul vectoriel introduit auparavant devient un calcul matriciel.

    1-Base discrte {|}

    a-Reprsentation des kets

    |

    [ ]

    avec = | cest une matrice 1 colonne

    b-Reprsentation des bras

    Soit | un bra quelconque :

    | = | = | | = || =

    | do

    | [

    ] avec

    = | cest une matrice 1 ligne

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    53

    On remarque que : | est un produit scalaire (faire le produit des deux matrices).

    c-Reprsentation des oprateurs

    Un oprateur linaire sera reprsent par une matrice carr de la forme :

    (

    )

    o les = ||

    Exemple: = ||

    d- Remarques

    Matrice reprsentant loprateur AB

    Matrice colonne reprsentant le ket | = |

    Expression du nombre ||

    2-Base continue

    La reprsentation matricielle reste la mme, la seule diffrence que lindice est

    remplac par un indice continu.

    V-Conjugaison hermtique

    1-Action dun oprateur linaire sur un bra

    Laction dun oprateur linaire sur un bra | donne un nouveau bra | ; tel

    que : |=| .

    En effet | = || est bien un nombre complexe (donc | est bien un bra).

    Remarques :

    | na pas de signification.

    | = |

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    54

    | = | et | = |

    2-Oprateur adjoint +de

    La correspondance entre ket et bra permet dassocier tout oprateur linaire , un

    autre oprateur linaire + appel adjoint ou conjugu hermtique de , selon le

    schma suivant :

    || = |

    | +

    | = |+

    Proprits:

    (| + |)+ = |

    + + |+

    |+| = ||

    | = |

    | = |+

    3-Proprits de la correspondance entre et +

    (()+)+ =

    ()+ = +

    ( + )+ = + + +

    ()+ = ++

    4-Conjugaison hermtique

    Dans la correspondance | = | | = |+

    | et | sont dits : conjugus hermtiques lun de lautre. La conjugaison hermtique

    associe donc + . Elle change lordre des objets auxquels on lapplique ; do la rgle :

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    55

    Pour obtenir le conjugu hermtique ou ladjoint dune expression quelconque,

    comportant des constantes, des kets, des bras, des oprateurs ,il faut:

    Remplacer : par ; le ket par le bra; le bra par le ket et loprateur

    par son adjoint

    Inverser lordre des facteurs (la place de la Ct na pas dimportance).

    Exemples:

    ||||

    ||

    5-Oprateurs hermtiques

    Un oprateur est dit hermtique si : = +

    Proprits :

    |+| = || = ||

    | = |

    = | | est hermtique

    Le produit de deux oprateurs hermtiques et nest hermtique que

    si [, ] = .

    6-Reprsentation matricielle de A+

    Dans la base {|} , les lments de matrice associe A+ scrivent :

    + = |+| = ||

    =

    Dans une reprsentation donne, les matrices reprsentants A et A+ sont hermtiques

    conjugues lune de lautre. On passe de lune lautre par une conjugaison complexe

    suivie dune transposition.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    56

    Exemple:

    = (

    )

    Si est hermtique : = +ce qui donne : + = =

    Un oprateur hermtique est reprsent par une matrice hermtique, cest--dire telle

    que deux lments quelconques symtriques par rapport la diagonale principale sont

    complexes conjugus lun de lautre.

    Pour = , on a = ,ce qui veut dire que les lments diagonaux dune matrice

    hermtique sont des nombres rels.

    VI-Complment sur les oprateurs

    1-Oprateurs unitaires

    Un oprateur est unitaire si son inverse est gal son adjoint + : =

    + = + =

    2-Trace dun oprateur

    La trace dun oprateur , note , est la somme de ses lments de matrice

    diagonaux : = ||

    Proprits :

    La trace est un invariant (indpendant de la base)

    =

    = =

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    57

    VII-Equations aux valeurs propres- Observables

    1-Valeurs et vecteurs propres dun oprateur

    a-Dfinitions

    Lquation aux valeurs propres scrit : | = | o .

    On dit que | est vecteur propre de ( . ).

    Cette quation na en gnral de solutions que lorsque prend certaines valeurs, dites

    valeurs propres de (. ). Lensemble des (. ) sappelle le spectre de .

    | et | sont ( . ) de A avec la mme (. ) .

    est dite non dgnre (ou dgnre dordre g = 1) si elle lui correspond un

    seul ( . ). ( une Ct multiplicatif prs).

    est dite dgnre dordre ( g > 1) si elle lui correspond plusieurs

    ( . ) | (i = 1, 2, 3,g). Les | sont linairement indpendants.

    Lensemble des | associs constitue un espace vectoriel de dimension g

    appel sous espace propre de . En effet, tout | de la forme : | = |

    =1 est

    ( . ) de avec la mme (. ) .

    b-Recherche des (. ). et des ( . ). dun oprateur

    Considrons un espace de dimension finie N, et nous admettons que les rsultats

    peuvent-tre gnraliss un espace de dimension infinie.

    Choisissons une reprsentation, par exemple {|}.

    Projetons lquation | = | sur les diffrents vecteurs de base |, puis insrons

    la RF ( | | = ); on obtient :

    [ ] =

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    58

    Cette quation est un systme de N quations ( = 1, 2, .) inconnues

    ( = 1, 2, . . ).

    Cest un systme linaire et homogne qui nadmet de solution que si :

    ( ) = o est la matrice unit.

    Cette quation, dite quation caractristique permet de dterminer toutes les (. )

    de A. Cest une quation de degr N en qui possde N racines relles ou imaginaires,

    distinctes ou confondues.

    2-Observables

    a- Proprits des (. ) et des ( . ) dun oprateur( = +)

    Les (. ) sont rels.

    Deux ( . ) correspondant deux (. ) sont .

    b-Dfinition dune observable

    Soit un oprateur hermtique dont les (. ) {} forment un spectre discret

    ( = , , . ) pour simplifier.

    | = |

    = , , . . , est lordre de dgnrescence de .

    Les | seront des vecteurs linairement indpendants choisis orthonorms

    lintrieur de chaque sous espace : |

    = .

    De plus, on vient de voir que tout vecteur appartenant est tout vecteur

    dun autre sous espace : |

    = avec # et i, j.

    Un tel choix aboutit un systme orthonorm de ( . ) de A. En regroupant ces

    deux relations, on obtient : |

    =

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    59

    Par dfinition, loprateur hermtique est une observable si ce systme

    orthonorm de vecteurs forme une base dans . Ceci peut sexprimer par la relation

    de fermeture : |

    | =

    3-Ensembles complets dobservables qui commutent (E.C.O.C)

    a-Thormes importants

    Thorme I : Si deux oprateurs et commutent, et si | est un ( . ) de , | est

    aussi ( . ) de , avec la mme (. ) .

    Thorme II : Si deux observables et commutent, et si | et| sont deux

    ( . ) de de (. ) , llment de matrice || = .

    Thorme III : Si deux observables et commutent, on peut construire une base

    orthonorme de lespace des tats , constitue par des( . ) communs et .

    Dsignons par |, les ( . ) communs et (les indices et permettent de

    reprer les (. ) et de et . Lindice supplmentaire sert ventuellement

    distinguer les diffrents ( . )de base qui correspondent aux mmes (. ) et .

    |, = |, et |

    , = |

    ,

    Dmontrons la rciproque de ce thorme :

    |, = A|, = |

    ,

    |, = B|, = |

    ,

    En retranchant On obtient ( ) = [, ] = .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    60

    b-Ensembles complets dobservables qui commutent (ECOC).

    Considrons une observable et une base de constitue de ( . ) de A.

    Si aucune des (. ) de nest dgnre ( = ) : tous les sous-

    espaces propres ont des dimensions 1 (lindice i dans ce cas est inutile). La

    donne de dtermine de manire unique le ( . ) correspondant ( un facteur

    multiplicatif prs). En dautres termes, il existe une seule base de forme avec

    des ( . ) de .

    On dit alors que lobservable constitue elle seule un E.C.O.C.

    Si au contraire une ou plusieurs (. ) de sont dgnres ( > ). La

    donne de ne suffit plus dterminer de faon unique un ( . ) ,car la (. )

    correspond plusieurs ( . ) indpendants. Dans ce cas la base de nest plus

    unique. Lobservable ne constitue pas dans ce cas un E.C.O.C.

    Considrons maintenant une autre observable qui commute avec et construisons

    une base orthonorme de ( . ) communs et .

    Par dfinition, et forment un E.C.O.C si cette base est unique, cest--dire si, chacun

    des couples possibles de (. ) {, } il correspond un seul ( . ) de la base.

    VIII-Exemples de reprsentations et dobservables

    1-Les reprsentations {| }et {| }

    a-Dfinition

    Aux paragraphes I-5-a et I-5-b, nous avons introduits deux bases particulires de :

    { (r )} et { ( )} :

    ( ) = ( ) et ( ) =

    () .

    A chacune de ces fonctions de bases, nous allons faire correspondre un ket tel que :

    ( ) | ( 0) |

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    61

    A partir de ces deux bases, nous allons dfinir deux reprsentations :

    {| } = {|, , } et {| } = {|,, }

    b-RO et RF

    RO: | = ( ) ( ) = ( )

    | = ( ) ( ) = ( )

    RF: | | = | | =

    c-Composantes dun ket

    Considrons un ket | quelconque, correspondant la fonction donde ( ) Les

    relations de fermetures prcdentes permettent de lcrire sous lune des deux formes

    suivantes :

    | = | | ou | = | |

    On montre que : | = ( ) et | = ( )

    La valeur de la fonction donde au point apparat donc comme la composante du ket

    | sur le vecteur de base | de la reprsentation {| }.

    La fonction donde dans lespace des impulsions ( )sinterprte de faon analogue.

    Exemples:

    Si | = | | = ( )

    Si | = | | = ( )

    d-Passage de la reprsentation {| } {| }

    Ce passage fait intervenir les nombres :

    | = ( | ) = ( ) =

    () .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    62

    Un ket donn | est reprsent par | = ( ) dans la reprsentation {| } et par

    | = ( ) dans {| }.

    Les formules de changement de reprsentation nous montre que ( ) et ( ) sont

    relies par la transformation de Fourier.

    2-Les oprateurs et

    a-Dfinition

    Soit | un ket quelconque de ; on dfinit loprateur vectoriel

    par ses composantes , , dont laction en reprsentation {| } est donne par :

    || = | || = | || = |

    X (Y et Z) concide avec loprateur multiplication par ( ) , , sont les 3

    indices reprant | ou plus simplement les composantes de .

    Exemple:

    ||

    On dfinit de mme loprateur vectoriel par ses composantes , , dont

    laction, en reprsentation {| }, est donne par :

    || = | || = | || = |

    O , , sont les 3 indices reprant | ou plus simplement les composantes de .

    Cherchons comment loprateur agit en reprsentation {| }.

    Pour cela, il suffit de calculer ||.

    On trouve : || =

    |

    Do la relation gnrale : | | =

    |

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    63

    En reprsentation {| }, loprateur concide avec loprateur diffrentiel

    .

    Exemple de calcul en reprsentation {| }:

    ||

    |[, ]|

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    64

    Chapitre 5

    Les postulats de la mcanique quantique

    Aprs avoir tabli le formalisme mathmatique de la MQ, on est maintenant en mesure

    dnoncer les postulats gnraux, valable pour tout systme physique.

    I-Enonc des postulats

    1-Description de ltat physique

    Pour un tat quantique, il est quivalent de se donner | ou la fonction donde

    correspondante ( ) = | do :

    1er Postulat :

    A un instant 0 fix, ltat dun systme physique est dfini par la donne dun ket

    |(0) .

    Ce premier postulat implique un principe de superposition : une combinaison linaire de

    vecteurs dtat est un vecteur dtat:

    Si |i , alors | = |

    2-Description des grandeurs physiques

    En mcanique quantique, un tat est reprsent par un vecteur, une grandeur physique

    par un oprateur.

    2me Postulat :

    Toute grandeur physique mesurable est dcrite par un oprateur A agissant dans ;

    cet oprateur est une observable.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    65

    3-Mesure des grandeurs physiques

    a-Rsultats possibles

    On a dj vu que dans le cas dune particule quantique, les seules nergies possibles sont

    les valeurs propres de loprateur H. Do lextension toutes les grandeurs physiques :

    3me Postulat :

    La mesure dune grandeur physique ne peut donner comme rsultat quune des

    valeurs propres de lobservable A correspondante.

    Remarques :

    Une mesure de donnera toujours une valeur relle, puisque A est par dfinition

    hermtique.

    Si le spectre de A est discret, les rsultats de la mesure de sont quantifis.

    b-Principe de dcomposition spectrale

    La prdiction du rsultat de la mesure un instant donn, dune grandeur physique

    dun systme, laquelle est associe lobservable A est du type probabiliste.

    4me Postulat : (cas dun spectre discret)

    Lorsquon mesure la grandeur physique sur un systme dans ltat norm |, la

    probabilit () dobtenir comme rsultat la valeur propre de lobservable A

    correspondante vaut :

    () =|||

    =||

    =

    =

    (| =|)

    =

    est le degr de dgnrescence de

    {|} ( = , , ,) est un systme orthonorm de vecteurs propres

    associ sous-tendant le sous espace .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    66

    Remarque :

    Si = (le spectre discret est non dgnr) ; alors :

    () = ||| = ||

    o | est le vecteur propre norm de A associ .

    Si le spectre est continu et non dgnr :

    La probabilit () dobtenir un rsultat compris entre et + vaut :

    () = ||| o | est le vecteur propre correspondant la valeur propre

    de lobservable A associe la grandeur physique .

    Autre criture de () :

    () = ||

    o est le projecteur sur le sous espace :

    =|

    =

    |

    c-Rduction du paquet donde

    Lorsquon mesure, un instant donn, la grandeur physique , ltat du systme aprs

    la mesure est modifi.

    5me Postulat :

    Si la mesure de la grandeur physique sur le systme dans ltat | donne le rsultat ,

    ltat du systme immdiatement aprs la mesure est la projection norme de | sur le

    sous espace propre associ .

    Soit: |

    ||

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    67

    Remarque :

    Si = , |

    ||= | ce ket dcrit le mme tat physique que | .

    4-Evolution des systmes dans le temps

    6me Postulat :

    Lvolution dans le temps du vecteur dtat |() est rgie par lquation de

    Schrdinger :

    |() = ()|()

    o () est lobservable associe lnergie totale du systme . ( ) =

    +

    est loprateur Hamiltonien du systme.

    5-Rgles de quantification

    Toute grandeur physique sexprime en fonction des variables dynamiques

    fondamentales . Les rgles de quantification vont nous permettre de construire

    lobservable A partir de lexpression de dj dfinie en mcanique classique. Ainsi,

    pour obtenir lobservable A, il suffit de remplacer dans lexpression de ( , , ), la

    variable position (, , ) par lobservable associe (, , ) et la variable impulsion

    (, , ) de la particule par lobservable associe (, , ).

    Application:

    Oscillateur harmonique une dimension

    =

    +

    =

    +

    Particule dans un potentiel scalaire

    =

    + ( ) =

    + ( )

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    68

    Supposons que dans ( , , ) apparaisse le terme de la forme .

    En Mcanique classique : . = .

    Mais en Mcanique quantique: . .

    de plus, ni . , ni . ne sont hermtiques.

    Pour cela, on ajoute une rgle de symtrisation, qui permet de dfinir de faon unique le

    produit . .

    . = . + .

    . + .

    qui est bien hermtique.

    Rgle :

    Lobservable A qui dcrit une grandeur physique dfinie classiquement sobtient en

    remplaant, dans lexpression convenablement symtrise de , et par les

    observables et respectivement.

    II-Interprtation et contenu physique des postulats

    1-Interprtation probabiliste de

    Les observables (, , ) et (, , ) possdent chacune un spectre continu. En

    effet, lexprience montre que les variables et peuvent avoir toutes les valeurs

    possibles.

    Dautre part, lapplication du 4ime postulat ces observables permet de retrouver

    linterprtation probabiliste de ( ) ( ).

    En effet : considrons une particule dans un tat norm |:

    la probabilit pour quune mesure de sa position donne un rsultat compris entre

    + vaut :

    ( ) = | || = |( )|

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    69

    la probabilit pour quune mesure de son impulsion donne un rsultat compris

    entre + vaut :

    ( ) = | || = |( )|

    2-Quantification de certaines grandeurs physiques

    Le 3ime postulat permet dexpliquer la quantification observe pour certaines grandeurs

    physiques, comme lnergie. Mais, il nimplique pas que toutes les grandeurs sont

    quantifies. Dailleurs, lexprience montre bien quil y a des observables spectre

    continu.

    3-Valeur moyenne dune observable

    La valeur moyenne dune observable , est dfinie comme la moyenne des rsultats

    obtenus en effectuant un grand nombre de mesures de sur des systmes, qui sont

    tous dans le mme tat |. Elle est donne par :

    = || (| tant norm).

    Exemples :

    = || = ( )( ) en reprsentation {| }

    = || = ( )( )

    en reprsentation {| }

    = || = ( )

    ( ) en reprsentation {| }

    4-Conservation de la norme

    On considre un systme dans ltat| .

    On montre que

    ()|() =

    Ceci signifie que si | est norm t = 0, il le sera au cours du temps.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    70

    5-Evolution de la valeur moyenne dune observable

    Soit un systme dans ltat | norm et soit une observable.

    On montre que :

    =

    [,()] +

    o H(t) est lhamiltonien du systme.

    Application : aux observables

    Considrons pour simplifier le cas dune particule 1 D, soumise un potentiel scalaire

    et stationnaire V(x).

    =

    =

    [, ()] =

    Ces deux quations sont lexpression du thorme dEhrenfest. Elles ont une forme qui

    rappelle les quations de la M.C :

    = =

    et

    = m

    = (F drive dun potentiel).

    6-Constantes du mouvement

    Par dfinition, on appelle constante du mouvement une observable qui ne dpend pas

    explicitement du temps et qui commute avec :

    = [,] =

    Ce qui donne

    = , la valeur moyenne de dans cet tat nvolue pas au cours du

    temps (do lappellation de constante de mouvement).

    Pour un systme conservatif ( ne dpend pas explicitement du temps),

    lui mme est une constante du mouvement.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    71

    Chapitre 6

    Loscillateur harmonique linaire une dimension

    I-L oscillateur harmonique en Mcanique classique

    Classiquement, loscillateur harmonique linaire est un point matriel de masse m,

    soumis une force de rappel proportionnelle la distance qui le spare de lorigine,

    soit :

    = o k est une constante positive.

    Lquation du mouvement sobtient en crivant la RFD :

    + = avec =

    est la pulsation

    La solution la plus gnrale scrit : = ( ) (1)

    Elle dpend de 2 constantes, et qui sont dtermines par les conditions initiales du

    Mv. La particule est donc anime dun Mv oscillatoire sinusodale autour du pt ,

    damplitude et de pulsation

    Lnergie potentielle en chaque point sobtient par : = ().

    Soit () =

    Lnergie totale est :

    = + () =+

    (2)

    En reportant dans (2), la solution (1), on trouve: =

    est donc indpendante du temps (cest une proprit gnrale des systmes

    conservatifs) et elle peut prendre nimporte quelles valeurs positives ou nulles, puisque

    peut-tre priori quelconque.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    72

    II-L oscillateur harmonique en mcanique quantique

    En Mcanique Quantique, loscillateur harmonique est aussi un systme simple dont on

    sait rsoudre lquation de Schrdinger. Son tude est dune grande importance en

    thorie quantique car lhamiltonien intervient dans tous les problmes mettant en jeu

    des oscillations quantifies telles que les vibrations molculaires et cristallines.

    On obtient aisment partir de lquation (2), loprateur hamiltonien du systme en

    remplaant les grandeurs et par les observables et :

    =

    +

    (3)

    O et vrifient la relation de commutation [, ] =

    H tant indpendant du temps (systme conservatif), ltude quantique de loscillateur

    harmonique se ramne la rsolution de lquation aux valeurs propres : | =

    | (4)

    O | et sont respectivement les valeurs propres et les .propres de H

    Lindice peut priori tre discret ou continu.

    Lindice permet de distinguer les # . p associs la mme valeur p. E.

    Lquation (4) scrit en reprsentation {|} :

    [

    +

    ]

    () = () (5)

    On dispose de deux mthodes pour tudier loscillateur en MQ :

    la mthode dintgration (rsolution de (5)) .

    la mthode des oprateurs (rsolution de (4)).

    Nous allons utiliser cette dernire.

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    73

    1-Valeurs propres de H

    Nous allons entreprendre ltude de lquation | = |

    et trouver le spectre de =

    +

    Pour cela on introduit :

    Les observables sans dimensions dfinies par :

    =

    et =

    On vrifie que [, ] =

    = avec =

    ( + )

    Les oprateurs :

    =

    (+i) + =

    (-i)

    Ces deux formules sinversent facilement pour donner :

    =

    (+ + ) =

    (+ )

    se met sous la forme: = + +

    = +

    car [, +] =

    Introduisons pour terminer = + :

    N est hermtique.

    = +

    ; de sorte que les ( . ) de sont ( . ) de N et vice versa.

    Finalement loprateur H scrit : = = ( +

    )

    Posons | = |

    Lorsque cette quation sera rsolue, nous saurons que le ( . ) | de N est aussi

    ( . ) de H avec la valeur propre = ( +

    ) .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    74

    a-Dtermination du spectre de H

    On montre que le spectre de loprateur N est constitu des entiers non ngatifs.

    On remplace par la suite par .

    Ce qui permet de conclure que les valeurs propres de H sont de la forme :

    = ( +

    ) avec = , , , .

    On peut montrer aussi que ces niveaux dnergies ne sont pas dgnrs.

    Donc, en Mcanique quantique , lnergie de loscillateur harmonique est quantifie et ne

    peut pas prendre nimporte quelle valeur.

    Remarquons de plus que la valeur la plus faible possible (niveau fondamental) nest pas

    nulle, mais vaut : =

    .

    b-interprtation des oprateurs et +

    Soit | ltat propre de H associe la valeur propre = ( +

    )

    | = |

    On vrifie aisment que :

    | est vecteur propre de associe la valeur propre

    +| est vecteur propre de associe la valeur propre +

    On dit pour cette raison que est un oprateur dannihilation et + un oprateur de

    cration : leur action sur un vecteur propre de fait en effet disparatre ou au contraire

    apparatre un quantum dnergie .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    75

    2-Etats propres de

    Ltat fondamental | associ = est dfini par: |=0

    On suppose par la suite que | est norm (| = 1).

    Le vecteur | correspondant = est proportionnel +| :

    | = +|

    Nous dterminons en imposant | dtre norm, ce qui donne |1|2 = 1

    (on prend = ). Do

    | = +|

    On peut de mme construire | partir de |:

    | = +|

    En imposant | dtre norm, on trouve :

    | =

    +| =

    (+)|

    Le procd se gnralise facilement. On trouve :

    | =

    !(+)|

    Laction des oprateurs et + sur les vecteurs de la base

    {|} (vecteures propres de et ) est :

    +| = + |+ et | = |

    On peut ainsi calculer facilement les lments de matrice des oprateurs , + , et

    en reprsentation {|} .

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    76

    || = | = ,

    |+| = + |+ = + ,+

    3-Fonctions donde associes aux tats stationnaires

    Nous allons maintenant nous placer dans la reprsentation {|} et crire les fonctions

    donde () = | qui reprsentent alors les fonctions propres de .

    Dterminons tout dabord la fonction () = | qui reprsente ltat| .Il suffit

    de projeter ltat |=0 sur |.

    On trouve : () = (

    )

    Ainsi en partant de () qui est connu explicitement, on peut dterminer pas pas

    toutes les fonctions propres successives de par laction de loprateur + sur |.

    Ainsi on trouve :

    () =

    ! |(+)| =

    !

    [

    ]

    ()

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    77

    III-Comparaison entre loscillateur classique et quantique

    En Mcanique classique, lnergie la plus basse de loscillateur harmonique est

    obtenue lorsque la particule est immobile ( = = ) lorigine des

    abscisses ( = = ), donc = . Il en va autrement en Mcanique

    quantique : ltat dnergie minimale est | dont lnergie est =

    nest

    pas nulle. Cette diffrence essentielle entre les rsultats quantique et classique

    peut-tre considre comme ayant son origine dans les relations dincertitudes,

    qui interdisent de minimiser simultanment nergie cintique et nergie

    potentielle ( ).

    On remarque que la fonction donde et donc la densit de probabilit

    correspondant au niveau fondamental ( = ) est une Gaussienne. Cest--dire

    quil est possible en quantique, dobserver la particule en tout point de laxe ,

    puisque la fonction donde ne sannule qu linfini, alors quen cas classique la

    particule ne peut se dplacer que sur un segment de droite.

    On peut vrifier que pour les tats dnergies de plus en plus levs cest--dire

    pour des valeurs de de plus en plus grandes, lallure de la courbe de densit de

    probabilit quantique se rapproche de plus en plus de la courbe de probabilit

    classique (le temps de prsence de la particule en chaque point) pour une mme

    nergie. On retrouve alors le modle de physique classique dans le modle

    quantique pour les hautes nergies.

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    78

    Elments de bibliographie

    Mcanique quantique - Thermodynamique.

    Travaux dirigs : N. Hulin-Jung ; J. Klein Hermann

    Physique Quantique et Thermodynamique

    Cours de Physique : Pierre Morel Hermann

    Problmes corrigs de Physique avec rappels de cours MP2-PC2

    A. Es-sbai ; A. Guessous ; N. Najid ; M. Ouazzani

    Physique MP2-PC2 Caractre quantique de la matire

    C. Janot et M. Gerl Hachette Universit

    Mcanique quantique Tome I

    Claude Cohen-Tannoudji ; Bernard Diu Hermann

    Mcanique quantique

    Jean-Luis Basdevant Ecole polytechnique Ellipses

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    79

    Universit My Ismail (Mekns) Session ordinaire 2016

    Facult des Sciences Filire SMP (S4)

    Dpartement de Physique

    Epreuve de Mcanique Quantique

    (Dure de lpreuve 1h 30mn)

    Exercice 1 : (10pts)

    On considre un flux de particules, de masse m et dnergie E , se dplaant le long dun axe ox (x croissant). Lnergie potentielle des particules est dfinie par :

    () = {0 < 00 0 < < 1 >

    On prend 0 < 0 < < 1

    On pose : 12 =

    2

    2 2

    2 =2

    2( 0)

    2 =2

    2 (1 )

    1- Reprsenter la courbe ().

    2- Dterminer les fonctions donde dans les diffrentes rgions de lespace.

    3- Ecrire les conditions de raccordement des fonctions donde.

    4- Dterminer les vitesses des particules incidentes et transmises en = 0.

    5- Exprimer le coefficient de transmission partiel 0 en = 0, en fonction de 1, 2 et

    des densits de probabilits.

    6- En posant 1 +

    2= = ||

    a- Exprimer , en fonction de et 2. b- Montrer que 0 peut se mettre sous la forme :

    0 =

    21

    1(1,2)2(2) ; donner lexpression de (1, 2).

    7- On prend =

    4 :

    a- Calculer E en eV

    b- Calculer 0 pour =

    4.

    On donne : 0 = 1 1 = 3

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    80

    Exercice2 : (10pts)

    On considre un systme physique, dont lespace des tats, qui est 4 dimensions, est

    rapport la base orthonorme {|1, |2,|3,|4}.

    Lnergie du systme est dcrite par lHamiltonien :

    = 0[|21| + |12| + 2|33| |44|]

    Soit une grandeur physique reprsente par lobservable :

    = [|11| + |22| |33| + 2|44|]

    o 0 et a sont des constantes relles positives.

    A linstant = 0, le systme physique est dcrit par : |(0) = |1 + |3 + |4 .

    1- Ecrire les actions de et de A sur les kets |1, |2,|3|4.

    En dduire les matrices reprsentant H et A dans la base {|1, |2,|3,|4}.

    2- Si on mesure lnergie linstant = 0, quels rsultats peut-on trouver et avec quelles

    probabilits ? Quel est ltat du systme immdiatement aprs la mesure ?

    3- Quel est ltat |() du systme un instant t ultrieur, sachant quaucune mesure na

    t faite entre = 0 et ? Exprimer |() dans la base {|1, |2,|3,|4} .

    4- Dterminer lquation dvolution de . Conclure.

    5- Donner une base de vecteurs propres communs H et A.

    6- Parmi les ensembles dobservables : {}, {}, {, }, lesquels forment un E.C.O.C. ?

    7- Si on mesure simultanment H et A linstant = 0, quels rsultats peut-on obtenir et

    avec quelles probabilits ?

  • COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

    81

    Universit My Ismail (Mekns) Session de rattrapage 2016

    Facult des Sciences Filire SMP (S4)

    Dpartement de Physique

    Epreuve de Mcanique Quantique

    (Dure de lpreuve 1h 30mn)

    Exercice 1 :

    On considre une particule une dimension, de masse m, soumise au potentiel :

    () = {

    > 0

    < 0 o a est une constante positive

    1- Reprsenter la courbe () pour > 0.

    2- a) Ecrire lquation de Schrdinger correspondant un tat stationnaire | dnergie ngative E, la donner en reprsentation {|}.

    b) Chercher une solution de la forme : () = pour 0

    et () = 0 pour < 0 ; N tant une constante de normalisation.

    Dterminer et E en fonction de a.

    c) Dterminer la constante N en fonction de a.

    3- Calculer la densit de probabilit davoir la particule dans ltat | avec une position . Pour quelle valeur de cette densit est elle maximale ? Reprsenter cette densit en fonction de .

    4- Dterminer la fonction donde () dans lespace des impulsions.

    a) Montrer que () est norme.

    b) Calculer la densit de probabilit davoir la particule dans ltat |avec une impulsion . Pour quelle valeur de cette densit est elle maximale ? Reprsenter cette densit en fonction de .

    On donne : = =

    !

    +1

    0

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    82

    Exercice 2 :

    Lhamiltonien dun oscillateur harmonique une dimension scrit :

    =2

    2+1

    222 o sont respectivement les observables de position et

    dimpulsion. On notera | le vecteur propre de associ la valeur propre . On rappelle que {|} forme une base orthonorme.

    Soient les oprateurs dannihilation et de cration + dfinis comme suit :

    =1

    2{

    +

    } + =

    1

    2{