Cours de graphes

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Cours de graphes. Quelques applications. Les grandes lignes du cours -----------------------------------------------------------------. Définitions de base Connexité Les plus courts chemins : Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres, graphes particuliers - PowerPoint PPT Presentation

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Diapositive 1

30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet1Cours de graphesQuelques applications.

30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet2Dfinitions de baseConnexitLes plus courts chemins : Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-FordArbres, graphes particuliers Arbres de recouvrement ( minimaux ) Problmes de flotsColoriage de graphes, graphes planairesCouplages, chemins dEuler et de HamiltonProblmes NP-complets, rductionsApplicationsLes grandes lignes du cours-----------------------------------------------------------------30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet3Applications-----------------------------------------------------------------L E

C O L O R I A G E

D E S A R E T E S30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet4Le coloriage des artes-----------------------------------------------------------------Minimiser les couleurs est un problme NPcomplet !

Nous connaissons une solution polynmiale qui est optimale une couleur prs !

Lalgorithme de Vizing est donc fondamental ! ! !

Identifier une problmatique comme tant un problme de coloriage des artes dun graphe fournit donc tout de suite une solution !

Nous nous contentons dela solution approche ! ! !30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet5Le coloriage des artes-----------------------------------------------------------------Dans les problmes de coloriage des artes :

les sommets sont typiquement des ressources,

les artes des contraintes de disponibilit !

Le coloriage ordonnance les contraintes pour quelles soient compatibles au niveau des ressources !

Ce sont souvent des problmes demploi du temps :

Horaires doraux entre profs et lves.

Horaires daffectation dune salle de TP des cours.30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet6Le coloriage des artes-----------------------------------------------------------------Souvent, nous avons des variantes plus compliques du problme, comme par exemple :

Ceci veut dire que toutes les ressources ne sont pas toujours disponibles !

Exemple :

des annes dtudes,des salles,des enseignants, avec leurs contraintes dedt.Certaines couleurs sontinterdites pour certains sommets !30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet7Applications-----------------------------------------------------------------L E

C O L O R I A G E

D E S S O M M E T S30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet8Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Nous devons colorier les sommets de faon ce que deux voisins quelconques naient pas la mme couleur.

Nous essayons de minimiser le nombre de couleurs !

Cest un problme NPcomplet et le nombre minimal de couleurs ne peut pas en gnral tre encadr de manire prcise !

Le coloriage des sommets est plus difficile que celui des artes . . . et a aussi plus dapplications ! ! !

Souvent, on utilise des algorithmes polynmiaux qui donnent des solutions que lon espre pas trop mauvaises ! ! !30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet9Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Dans les problmes de coloriage des sommets :

les sommets sont typiquement des entits,

les artes des incompatibilits entre entits !

Le coloriage minimise une ressource critique, comme des nombres de salles, de frquences, . . . !

Ce sont souvent des problmes de :

Distribution dune ressource en pnurie.

Minimisation dune ressource chre.30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet10Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Attribution de frquences :

les metteurs sont les sommets,

les artes reprsentent le fait que deux metteurs ont une intersection non vide de couverture !

Le coloriage des sommets minimise le nombre de frquences ncessaires pour couvrir tout le territoire !

Dans la pratique :

Les frquences relles sont partitionnes en paquets de frquences.Chaque paquet correspond une couleur.30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet11Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Emploi du temps :

les cours sont les sommets,

les artes reprsentent lincompatibilit entre cours du fait quil sont par exemple donns par le mme enseignant, se font dans la mme salle . . .

Le coloriage des sommets minimise le nombre de crneaux horaires ncessaires pour donner les cours !

Les questions demplois du temps peuvent tre traduits en diffrents problmes de coloriage !

Nous pouvons dailleurs envisager de colorier aussi bien les sommets que les artes !

30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet12Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Variantes de coloriage :

Il y a le coloriage des sommets !

Il y a le coloriage des artes !

Il y a le coloriage conjoint des sommets et artes !

Comme le coloriage des sommets attribue une paire de couleurs chaque arte, nous pouvons exiger que :

ce coloriage soit harmonieux au sens o il attribue chaque arte une paire de couleurs diffrente,

ce coloriage soit complet au sens o chaque paire de couleurs est utilise au moins une fois.30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet13Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Allocation de registres :

les variables dun programme sont les sommets,

les artes reprsentent lincompatibilit entre variables au sens o elles ne peuvent pas utiliser un mme registre.

Le coloriage des sommets minimise le nombre de registres ncessaires pour grer toutes les variables !

La gestion dune valeur dans un registre est beaucoup plus rapide que la gestion en mmoire centrale !

Si nous navons pas assez de registres il faut faire un choix entre les variables ! Cest un autre problme . . .

30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet14Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Deux variables sont compatibles si lune cesse de servir avant que lautre ne commence !

Deux variables sont incompatibles si lune a des usages avant et aprs un usage de lautre variable !

Des variables peuvent utiliser un mme registre si et seulement si elles sont compatibles !

Exemple :

{ x := 5 ;

y := 7 ;

u := 2 * x ;

t := 3 ;

t := t + u + y ; }x et y sont incompatibles !x est compatible avec u et t !y est incompatible avec u et t !u et t sont incompatibles !30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet15Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Deux variables sont compatibles si lune cesse de servir avant que lautre ne commence !

Deux variables sont incompatibles si lune a des usages avant et aprs un usage de lautre variable !

Des variables peuvent utiliser un mme registre si et seulement si elles sont compatibles !

Exemple :

{ x := 5 ;

y := 7 ;

u := 2 * x ;

t := 3 ;

t := t + u + y ; }xyutIl nous faut3 registres !Le registrebleu sert x et t !30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet16Le coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------Coloriage de chemins dans un graphe :

Nous recevons un graphe et devons colorier un certain nombre de chemins qui sont donns.

Deux chemins doivent avoir une couleur diffrente ds quils partagent une arte.

Nous devons minimiser le nombre de couleurs !

Cest un problme de coloriage des sommets du graphe suivant :

Chaque chemin est reprsent par un sommet !

Deux sommets sont relis par une arte si les chemins quils reprsentent partagent des artes !30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet17Applications-----------------------------------------------------------------C O U P L A G E S

V E R T E X C O V E R

E T A U T R E S30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet18Couplages, vertex cover et autres-----------------------------------------------------------------Le couplage consiste :

former le plus grand nombre de couples de sommets,

les artes reprsentant des adquations entre les sommets.

Les applications sont bien-sr nombreuses !

Quelques exemples :

Couples de personnetche , candidatposte , . . .

Couples de binmes en respectant les affinits.30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet19Couplages, vertex cover et autres-----------------------------------------------------------------Le Vertex Cover consiste

savoir si nous pouvons trouver un sous-ensemble de k sommets au plus tel que chaque arte touche un de ces sommets ?

ou trouver le plus petit entier k pour lequel un tel ensemble existe !

Y atil des applications relles pour ce tel problme ?

Pour un graphe de n sommets, le Vertex Cover avec la constante k est quivalent savoir si Clique admet une solution de taille nk ?

30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet20Couplages, vertex cover et autres-----------------------------------------------------------------Le problme Independent Set ( STABLE en franais ) :

Pouvons-nous trouver dans un graphe au moins k sommets qui ne sont pas voisins deux deux ? ? ?

Quelle est la plus grande valeur k pour laquelle nous pouvons trouver un stable ? ? ?

Un graphe avec n sommets admet un stable de taille k si et seulement si son graphe complmentaire admet une clique de taille nk ! ! !

Comme il nexiste aucune arte entre deux sommets du stable, dans le graphe complmentaire toutes les artes vont exister, et donc former une clique !

30 mars 2007Cours de graphes 9 - Intranet21