cours composite

7/29/2019 cours composite

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Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004

Version 2, Septembre 2004

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Position du problme d'lasticit anisotrope...............................................5

lments mathmatiques.................................................................................5Formules de changement de base pour un vecteur :..................................5Cas d'une rotation autour de l'axe 3...........................................................5Changement de base pour un tenseur exprim sous forme matricielle......6

Description des contraintes..............................................................................7Illustration des contraintes dans un cube lmentaire...............................7

Notation.......................................................................................................7Contraintes principales...............................................................................8Notations pour l'ingnieur...........................................................................8

Description des dformations...........................................................................9Dformations d'un volume lmentaire.......................................................9Dfinition des dformations......................................................................10Dformations principales..........................................................................10Notations pour l'ingnieur.........................................................................11quations de compatibilit........................................................................11

Relation contrainte / dformation...................................................................13Loi de Hooke gnralise...........................................................................13Relations de changement de base.............................................................14

Caractrisation de matriaux....................................................................14Expression des constantes Cij d'un matriau orthotrope en fonction desparamtres de l'Ingnieur..........................................................................16

Relation Fondamentale de la Dynamique.......................................................19nonc......................................................................................................19Rsolution du problme d'lasticit en petites dformations....................19

Thorie Classique des Stratifis.................................................................21

tude d'une couche unique dans le cas d'un matriau orthotrope..................21Contexte....................................................................................................21tat de contraintes planes........................................................................21

Matrice de rigidit rduite.........................................................................22Dtermination des modules d'lasticit.....................................................23Approche des modules d'lasticit par les lois de Halpin-Tsai..................24

Expression des dformations dans le cadre de la Thorie de Plaques...... .... .26Dveloppement limit des dplacements selon la variable x3...................26Expression des dformations....................................................................27

Expression des contraintes et des efforts rsultants......................................29Expression des contraintes dans une couche...........................................29Expression des efforts rsultants..............................................................29

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Relations dformations/rsultantes...............................................................32Expression contraintes/dformations pour une couche...........................32Prise en compte du cisaillement hors plan................................................32Expression des rsultantes dans le plan...................................................33Identification des diffrentes contributions...............................................34

Relation Fondamentale de la Dynamique applique un lment de plaque.35Expression gnrale..................................................................................35Simplifications...........................................................................................36Expressions des Relations Fondamentales des Stratifis tenant compte ducisaillement transverse..............................................................................36

Etude de cas..............................................................................................39

Position du problme......................................................................................39Ecriture des lois de comportement de diffrentes architectures..............40Rsolution du problme mcanique..........................................................42Etude mcanique des diffrentes architectures........................................45

Pour aller plus loin....................................................................................47

Problmes d'environnement............................................................................47Analyse tri-dimensionnelle........................................................................47Problme du pli.........................................................................................50Modlisation l'chelle de la plaque.........................................................51

Rupture des composites.................................................................................52

Rupture d'un matriau unidirectionnel : Aspects micro-mcaniques.......52Critres de rupture d'un pli.......................................................................53Rupture d'une plaque................................................................................56

Rfrences bibliographiques......................................................................59

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Soient

les vecteurs de base du repre R et

du repre

R'.

les coordonnes d'un vecteur sont :

(1)

Relation de passage inverse : dans le cas d'une base orthonormedirecte, , soit

(2)

(3)Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer par -.

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Figure 1 : rotation autour de l'axe 3

!

Soit le tenseur

dans le repre R.

Dans le repre R', si les bases sont orthonormales directes,

(4)

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"

#

Figure 2 : Reprsentation des contraintes sur les faces d'un cubelmentaire

$

Le champ de contraintes au point M d'un solide est un tenseur de rang2 symtrique not (((()))).

(5)

comme (((()))) est symtrique, ==== pour tout ij. 6 grandeurs

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reprsentent donc l 'tat des contraintes en un point M.

Il existe un repre dans lequel (((()))) est de la forme :

Les contraintes dans ce repre sont les contraintes principales. Ellescorrespondent aux valeurs propres de la matrice (((()))) . La recherchedes contraintes principales et du repre principal revient rsoudrel'quation .

$

On peut noter les 6 variables du tenseur des contraintes sous la forme :

(6)

La matrice de changement de base pour une rotation d'angle autourde l'axe 3 s'crit :

(7)Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer par -.

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"!Nota Bene : on se contente ici depetites dformations.

"!

Figure 3 : Dformations dans un plan

En petites dformations, on note que :

(8)

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"!!

(9)

Comme dans le cas des contraintes, le champ de dformations au pointM d'un solide est donc un tenseur de rang 2 symtrique not (((()))). Il y a donc 6 grandeurs reprsentant les dformations (3 translations et 3rotations).

(10)

"!

Il existe un repre dans lequel (((())))est de la forme :

Les dformations dans ce repre sont les dformations principales.

Elles correspondent aux valeurs propres de la matrice (((()))) . Larecherche des dformations principales et du repre principal revient rsoudre l'quation .

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$

On note le tenseur des dformations sous la forme :

(11)

La matrice de changement de base pour une rotation d'angle autourde l'axe 3 s'crit :

(12)

Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer par -

Remarque : l'expression de

est diffrente de

.

Les quations (9) traduisent qu'il existe un lien entre dplacements etdformations, et entre les dformations elles-mme.

(13)

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Les quations (13) sont appeles les quations de compatibilit.

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%&!

'()

Dans le cadre de ce cours, seuls les problmes lastiques linairesseront traits. La relation entre contraintes et dformations peut trecaractrise par :

(((()))) ==== (((())))

(14)

ou bien (((()))) ====(((())))

(15)

C est la matrice de rigidit; S la matrice de souplesse. C etS sont desmatrices symtriques : il y a donc 21 constantes de rigidit Cij ou

constantes de souplesse Sij.

%

On peut exprimer les matrices de rigidit ou de souplesse de diffrentesmanires selon la base choisie.En reprenant les formules de changement de base prcdentes

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(quations 7 et 12) et les dfinitions des matrices (quations 14 et 15),il vient :

(16)

(17)

cas gnral matrice complte21 constantes d'lasticit

Ce matriau possde un plan de symtrie : l'expression de la matrice depassage ne change pas pour tout changement de repre symtrique parrapport ce plan.Supposons le plan (e1, e2) plan de symtrie du matriau. Si l'on utilise

les relations de passage (16) entre le repre R=(e1, e2, e3) et le represymtrique R'=(e1, -e2, e'3) avec la forme gnrale (14), on montre que laloi de Hooke se rsume l'expression suivante :

(18)

13 constantes d'lasticit

Le matriau orthotrope est un matriau 3 plans de symtrieorthogonaux deux deux. En pratique, c'est le cas des tissus noysdans un polymre. La mme dmarche que prcdemment conduit auxexpressions dans un repre dfini par les axes d'orthotropie :

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(19)9 constantes d'lasticit

Le matriau unidirectionnel est un matriau possdant un axe desymtrie, par exemple l'axe e1. C'est le cas pour une ensemble de fibresunidirectionnelles dans un substrat. Par gomtrie, le matriauunidirectionnel est orthotrope. Il est souvent appel orthotrope dervolution. Dans le repre d'orthotropie, la matrice s'crit :

(20)

5 constantes d'lasticit

Matriau isotrope :

(21)

2 constantes d'lasticit (coefficients de Lam ou E, )

Exercice :

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1- Soit une rotation d'angleautour de l'axe 3. Ecrire alors l'expressionde la matrice de rigidit. Comment peut-on utiliser au mieux le rsultat ?

*+!#

!

Si l'on exerce une traction selon une direction, par exemple selon e2, ilvient : et

La relation (20), crite selon les paramtres de souplesse devient alors :

soit

d'o

"

#

Dans le cas d'un cisaillement, il vient par exemple : et

La relation (20) devient alors :

d'o $

%

Si les raisonnements lmentaires mentionns ci-dessus sont tendusaux diffrentes sollicitations du matriau, il vient :

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" " "

" " "

" " "

$

$

$

Les constantes de rigidits sont dduites en inversant la matrice desouplesse :

"

"

""

""(22)

""

""

"

"

"

"

""

""$$$ (22 suite)

avec

"""

Dans le cas d'un matriau isotrope, les quations (22) se simplifient :

"

"

"

(23)

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Il existe un lien entre les modules d'lasticit et les coefficients de

Poisson :"

&

"&

& le comportement lastique est dcrit par 9 modules indpendants :3 modules d'Young : E1, E2, E33 coefficients de Poisson : 12, 13, 233 modules de cisaillement : G12, G13, G23

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%",

Si l'on pose que les efforts de volume exercs sur un solide (champ de gravit,de champ magntique...) sont ' ' ' , et si le repre choisi est galilen, laRelation Fondamentale de la Dynamique s'crit localement :

'

'

'

(24)

%!

Le problme d'lasticit est ramen la rsolution simultane de : La loi de Hooke gnralise (14) Les relations dformations/dplacements(9) Les quations de compatibilit (13) La Relation Fondamentale de la Dynamique (24) Les conditions au limites au bord du domaine solide (en

dplacement, dformations, ou contraintes)

La rsolution d'un tel problme fait appel des techniques numriquescomplexes qui ne seront pas abordes ici (lments finis, lments frontires,

mthode de Rayleigh, ...)

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-!

Dans ce chapitre, nous nous intressons plus particulirement auxplaques (et par extension aux coques) qui constituent une trs grossepart de l'utilisation des composites techniques : matriaux stratifis enbois, tissus ou mat imprgns, structures sandwich ( nid d'abeillespar exemple), ...

Dans tous ces exemples, une dimension est notablement plus faibleque les autres. Nous allons considrer dans la suite qu'il s'agit de l'axe3.

Figure 4 : Systme d'axe dans la thorie de plaque

L'tat de contraintes planes peut tre dfini par une une contrainte dela forme :

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(25)

Il est rencontr si la longueur caractristique dans une direction (ici ladirection 3) est trs faible devant les autres. Dans cette expession, lecisaillement transverse est suppos non nul; le plus souvent on leconsidre comme nul; alors 13=23=0.

En contraintes planes, et pour un tissu ou un matriauunidirectionnel, la loi de Hooke gnralise, exprime dans un reprequelconque du plan de la plaque, s'exprime par :

Il vient donc que :

Il est possible d'exprimer1, 2 et6 en fonction de 1, 2 et6 :

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L'quation de comportement du monopli peut donc s'crire :

(

(

(

( ( (( ( (

et (26)

La matrice symtrique QR est appele matrice de rigidit rduite . Ellereprsente le comportement de la couche anisotrope en contraintesplanes.

Dans le cadre de l'tude des matriaux orthotropes, la matrice QRdevient dans le repre d'orthotropie :

(

(

( (

(

"Si le composite subit une traction pure selon chacun de ses axesprincipaux ou un cisaillement plan dans ses axes principaux, onmontre facilement que :

"(

(

(

"(

(

(

(

(

(27)

(

(

$(

A contrario :

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("

"

"

"

("

"

"

"

(28)

("

(

($

.(/

Il est possible dans le cas d'un matriau unidirectionnel d'estimer lesproprits lastiques du composite partir des proprits de sesconstituants. Bien que l'homognisation soit hors du propos de cecours, les rgles suivantes peuvent tre retenues en premireapproximation :

")"' * '" * ' '*'*'et (29)

*'*'

avec :

'

'

M : ET, GLT, ouTT' Mm : module correspondant de la matrice Mf : module correspondant de la fibre : facteur de renforcement des fibres. Par comparaison avec

un code aux diffrences finies, =1 pourGLT, =2 pourET. Les indices L , T et T' reprsentent ici les directions des fibres

(L) et transversales (T et T').

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Matriau E (GPa) G (GPa) kf (GPa) Kf (GPa)

Verre E 73 0,22 29,9 43,5 53,4

Verre R 86 0,22 35,2 51,2 62,9

Carbone HM 380 0,33 142,9 375,5 420,2

Carbone HR 260 0,33 97,7 254,9 287,5

kevlar 135 0,37 49,3 173,1 189,5

Matricepoxide 3,45 0,3 1,33 2,88 3,32

Tableau 1 : Modules d'lasticit pour quelques matriaux

On note :E : module d'lasticit : coefficient de Poisson

G : module de cisaillement $"

k : module de compressibilit isostatique +"

K : module de compressibilit latrale ,+$

Exercice :Rpondre la question 1 de l'tude de cas (lasticit rduite pour chaque pli). Que sont les grandeurs Vi donnes dans le texte ?

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*!

"

Dans la thorie de plaques, on ramne le comportement des points dela plaque celui de la surface moyenne et on suppose un champ dedplacement selon la variable x3.

(30)

L'expression (30) est un dveloppement en srie selon x3. Comme x 3reste faible devant les autres dimensions, on supposera qu'un schmadu premier degr est suffisant (hypothse de Hencky-Medlin). D'autrepart, on notera

, de mme pour

et

. L'expression (30) devient :

(31)

Remarque :La consquence de cette hypothse est qu'une section droite restedroite (voir figure 5). En revanche, dans le cadre que nous noussommes fix, il n'y a pas d'hypothse sur l'angle , alors que dans la Thorie Classique des Plaques Stratifies, le cisaillement hors plan estnglig, si bien qu'une section normale au plan du stratifi reste normaleau plan aprs dformation (hypothses de Love-Kirchhoff), cequi se traduit par les conditions :

et

(32)

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Figure 5 : dformation d'une section dans le cadre d'un schma aupremier degr

*!

En appliquant les quations (9) et (31), l'expression des dformationsdevient :

(33)

Les quations (33) montrent que les dformations dans le plan de laplaque sont issues de deux contributions :

Une dformation en membrane :

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(34)

Une dformation en flexion et torsion :

'

(35)

On notera que dans la thorie classique des plaques stratifies(hypothses de Love-Kirchhoff), les quations (32) et (35) donnentl'expression des dformations en flexion et torsion suivante :

'

!-

(36)

La dformation totale est de la forme :

'

(37)

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*!!

*

Hypothse de la thorie des plaques stratifies :

L'utilisation des quations (56) et de la loi de comportement dans le casd'un tissu on d'un matriau unidirectionnel conduisent l'expression :

( ( ( ( ( (

( ( (

(38)

et

(39)

Remarques : La relation (39) montre que bien que le problme soit plan, 33

n'est pas nul. La discontinuit de la loi de comportement entre les couches

implique la discontinuit des contraintes.

*!!

Objectif : estimer l'effort l'chelle du stratifi et non des couchesconstituantes.

Les efforts auxquels est soumise la plaque sont donc les sommes descontraintes exerces sur chacune des ncouches (indice k) constituantla plaque. Ils sont reprsents figure 6.

Dans le plan de la plaque, les efforts normaux et tranchants sont :

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..

.!

"

+

+

+

(40)

En cisaillement,

((!

"

+

+

+

(41)

De mme, on dfinit les moments de flexion M11 etM22 et de torsionM12 :

!

"

+

+

+

(42)

Les grandeurs N(x1, x2) et Q(x1, x2) sont exprimes en N/m et lesgrandeurs M(x1, x2) sont exprimes en N.

Figure 6 : Rsultantes des efforts sur une plaque stratifie

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Figure 7 : Moments de flexion et de torsion

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%!&

*&!

En combinant les quations (37) et (38), il est possible de rcrire larelation contrainte/dformation dans une couche sous la forme :

+

( ( (

( ( (( ( (

+

+

( ( (

( ( (( ( (

+

+

(43)

et

+

+

+

(44)

En combinant les quations (41) et (44), il vient :

((!

"

+

+

+

!

"

+

+

+

et donc

((!

++ !

++

!

++ !

++ d'o :

((

/ // /

(45)

avec :

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/&!

++&+!

+&+ pouri,j= 4, 5

*

Selon la mme mthode que ci-dessus, il est possible de combiner lesquations (40) et (42) l'quation (43) pour obtenir une relation entreles composantes du plan de la plaque (efforts et moments) et lesdformations.

...

0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 10 0 0 1 1 11

1

1

2

2

2

1 1 1 2 2 21

1

1

2

2

2

(46)avec :

0&!

++(&+!

(&+

+

1&

!

++(&+!

(&+

+3

+

2&

!

++(&+!

(&++3+

+

Les quations (45) et (46) forment l'quation constitutive de la thoriede plaques avec prise en compte du cisaillement transverse. Lescoefficients Fij,Aij, Bij etDij font apparatre les variables ek, paisseur dupli k, et zk, distance de la ligne moyenne du composite la lignemoyenne du pli k.

#!!!

Aij constituent la matrice de rigidit en membrane Dij reprsentent la matrice de rigidit en flexion-torsion Bij sont les termes de couplage membrane /flexion-torsion

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Fijreprsentent le cisaillement hors-plan.

Comme les diffrents paramtres Aij, Bij, Dij, Fij ne sont pas de mmegrandeurs, on dfinit les valeurs normalises (exprimes en Pa) :

0&

0 , 1&

1 , 2&

2

Exercices :

1- Rpondre la question 2 de l'tude de cas (Etude de l'influence del'ordre des plis).

2- Rpondre la question 3 de l'tude de cas (Etude de l'influence del'orientation des plis).

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%",0

*

Les quations de la Relation Fondamentale de la Dynamique sontobtenues partir des quations (24) en intgrant selon x3 (expressionen fonction des rsultantes) ou en multipliant parx3, puis en intgrant(expression en fonction des moments).

.

.

/

.

.

/

(

(

/

(47)

(

4

(

4

avec :

4 "

o est la masse volumique de

chaque couche.

F1 : / "

'

F2 : /"

'

F3 : /"

'

q : P1 : "

'

P2 : "

'

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-!

Cette relation gnrale peut tre le plus souvent simplifie par l'introduction des hypothses suivantes :

Les effets d'inertie sont ngligeables Etude d'un problme statique Pas de force volumique Pas de cisaillement sur les faces

Il vient alors les expressions :

.

.

.

.

(

(

(48)

(

(

Les trois dernires quations peuvent tre rcrites sous la forme :

(49)

*%-!

En reportant les quations (45) et (46) dans les expressions (47) ou

(48), on obtient un systme d'quations diffrentielles faisant seulement intervenir comme inconnues les dplacements et les pentes.

Rsultantes dans le plan :

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0

0

0

0

00

0

1

1

1

1

11

1

!

(50)

0

00

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

!

(51)

Rsultantes de cisaillement hors plan :

/

/

/

!

(52)

quation en moments de flexion et torsion :

1

1

1

1

11

1

2

2

2

2

22

2

"/

/

!

4

(53)

1

11

1

1

1

1

2

22

2

2

2

2

"/

/

!

4

(54)

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La rsolution du systme d'quations (50-54) ne peut tre rsolu dansle cas gnral, qui est trait par lments Finis, ce qui suppose unecriture sous forme nergtique de ces quations. Cependant, dessimplifications permettent de dterminer quelques cas analytiquessimples :

Problme statique Pas de couplage flexion-membrane

Cisaillement hors-plan ngligeable (donc

et

)

Exercice :

Traiter l'analyse mcanique de l'tude de cas.

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*

Une plaque en matriau composite est place en appui sur deuxrglettes. Elle est soumise un effort selon la direction e3 de profilquelconque. On se propose d'observer comment le choix del'architecture du composite influence le comportement en flexion de laplaque.

Figure 8 : Gomtrie tudie

Hypothses de dpart :

Analyse mcanique : L'paisseur de la plaque est plus petite que ses autres

dimensions (hypothse des Plaques). La dimension selon la direction 2 est infiniment grande devant

celle selon la direction 1. L'effort appliqu selon la direction 3 n'est fonction que de x1. Cet effort est dveloppable en somme infinie de sinus (srie de

Fourier impaire)

Construction de la plaque : Elle est construite par assemblage de plis d'isotrope,

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d'unidirectionnel, de tissu ou de mat en fibre de verre R.

Etapes : tablissement des matrices de raideurs pour chaque pli Choix de quelques architectures remarquables et

tablissement des matrices de comportement Rsolution du problme mcanique Etude mcanique des diffrentes architectures

*!!"

5

Matriau isotrope : mousse polyurthane de densit 30 kg/m3, = 0,4G = 3 MPa

soit " $ # $%&

Matriau unidirectionnel : fibres de verre E dans une matrice poxide.Concentration de fibres dans la matrice de 40% du volume.

Tissu, compos de deux couches croise du matriau unidirectionnelprcdent.

Mat, dcrit comme un empilement de matriaux unidirectionnelsd'orientation alatoire

Remarque :Pour les deux derniers cas, on donne les termes de rigidit pour unerotation d'angle :

(

** *

(

**

(

* *

(

** * (55)

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(

* *

(

**

avec :

*

#

( ( ( (

*

((

*

#(( ( (

*

#(( ( (

*

#(( ( (

"'

Pour cela, on considre les empilements suivants :mat pli isotrope pli isotrope matmat pli isotrope mat pli isotrope

pli isotrope mat mat pli isotrope

Donner dans chaque cas la matrice de comportement. On suppose quechaque pli a une paisseur de 0,1 mm pour le mat et 4 mm pour le pliisotrope. Comparer.

"'

Pour cela, on considre les empilements de matriaux unidirectionnelssuivants :[-45 45 45 -45][45 -45 -45 45]

Donner dans chaque cas la matrice de comportement. On suppose quechaque pli a une paisseur de 0,1 mm. Comparer.

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%

2')

Compte tenu de l'appui simple sur les bords de la plaque, lesconditions aux limites s'crivent : )..) )

La seconde hypothse se traduit par :

(56)

Compte tenu de la relation (56), l'application des quations (46) et desexpressions (34) et (35) conduisent une nouvelle criture endplacements des conditions aux limites :

)

0 )

0

)

1 )

1

)

(57)

1

) 1

) 2

) 2

)

''

Compte tenue de l'hypothse 3, on peut considrer une chargelmentaire de la forme :

(-# )Des champs de dplacement de la forme suivante satisfont aux conditions aux limites :

6-# ) (58)

*-# ) (59)

7-# )

(60)

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$

#

) (61) # ) (62)

"'

En reportant les expressions (58) (62) dans les dfinitions (33) (37),les dformations s'expriment par :

6

#

)

*# )

(63)

$ # )

# ) (64)

#

)

7$# )(65)

avec #

)

On note que les dformations de membrane et de flexion sont

extrmales en )

) et pour

)

.

%6

)$

*)

On note que plus mest grand, plus et sont grands.

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Les dformations hors plan sont maximales si ) , soit :

% 7$

On remarquera que ces dformations sont constantes sur une sectioncompte tenu de la modlisation adopte. D'autre part, les dformationsen cisaillement hors plan sont maximales lorsque les dformations enmembrane ou en flexion sont nulles et vis-versa.

"

L'expression des dformations tant tablies, les contraintes peuventtre exprimes dans chaque couche ken reportant les expressions (63) (65)dans les quations (43) et (44) :

+

(

(

(

( ( (( ( (

+

6$# )

*# )+

(66)

et

+

+

#

)

7$# )

+

(67)

4''

Nous allons chercher les paramtres U, V, W, '&()*()+','

- & . (#) * () & '& () * ()

/&&()+

0

0

1

1

0 0 1 1

/ / /

1

1 /

2/

2/

1

1

/

2/

2/

6

*

7

$

(

(#)

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*!!

Dans l'exemple suivant, nous allons considrer que m=1, et que la plaque a une longueurL1 de 20 mm.

Donner l'expression des dplacements, puis des dformations et enfindes contraintes dans chaque pli.

Comparer et analyser les rsultats obtenus.

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111

Deux grandes familles de contraintes internes peuvent s'exercer sur lesmatriaux composites.

Tout d'abord, ils sont fabriqus chaud (180C titreindicatif : la polymrisation peut encore lever cettetemprature). Leur solidification est donc suivie d'un fort

refroidissement. Ainsi, des contraintes rsiduelles d'originethermique sont produites. Elles peuvent tre suffisammentfortes pour provoquer la rupture du matriau avant touteutilisation.

Ensuite, les matriaux constitutifs de chaque pli absorbentfacilement de l'eau, cause de la structure molculaire desrsines (plastique), de la prsence de porosits (et donc derservoirs potentiels) et enfin des fibres qui agissent, d'aprscertaines thories, comme des drains.

Dans ce paragraphe, nous allons prendre en compte dans la modlisation prcdente ces effets thermiques ou hygromtriques.

Hypothses : les matriaux sont orthotropes Problme lastique Contraintes planes avec prise en compte des effets transverses La temprature ou l'hygromtrie est constante dans le milieu

(respectivement le pli ou la plaque)

.,/

''%

Pour un matriau orthotrope, l'effet thermique ou hygromtrique setraduit par une dilatation. Elle peut tre exprime par :

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&'''

dans le cas d'un problme thermique.

01

&

(((

dans le cas d'un problme hygromtrique.

On note 1, 2, 3 les coefficients de dilatation thermique et1,2,3 lescoefficients d'expansion hygromtrique selon les directionsd'orthotropie du matriau. On observe que les critures dcrivant ladformation thermique ou hygromtrique sont identiques. Dans ce quisuit, seul le problme thermique sera dvelopp. Pour obtenir lesexpressions correspondantes du problme hygromtrique, il conviendrade remplacerHparc, et les coefficients i par des coefficientsi.

Matriau

(Unidirectionnel)

Composition

(% vol. defibre)

longitudinal

transversal

Carbone/poxyde 60 % 3,4 10-5 -0,12 10-5

kevlar/poxyde 60 % 5,8 10-5 -0,4 10-5

Verre/poxyde 60 % 1,8 10-5 0,55 10-5

Tableau 2 : Dilatations thermique pour quelques composites

"'

La dformation totale d'un milieu soumis un chargement thermomcanique est donne par l'expression suivante :

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&

&'''

Il vient une nouvelle expression la contrainte applique sur le milieu :

&

'''

(69)

On observe que la contrainte est modifie par l'apparition d'un termesupplmentaire li la variation de temprature, que l'on peut qualifierde contrainte thermique .

&

'

''

tel que :

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Nous allons nous placer, comme prcdemment, dans le cadre d'un pli,c'est dire d'un milieu dont l'paisseur (dans la direction e3) est faibledevant les autres dimensions. Dans ce cas, la contrainte thermiquedevient :

(

(

( (

(

&

''

soit :

&('('(

'('

(70)

Dans un repre quelconque (par exemple celui du stratifi), l'utilisation

de la relation (55) conduit l'expression de la contrainte pour touterotation selon l'axe e3. Il vient :

&'(

(

'(

(

'((

'(

(

'(('((

(71)

On remarquera qu'aucun cisaillement hors plan n'est possible.

0

Dans le cas du problme de plaque, l'expression des rsultantes (40) (42) est modifie par l'apparition d'un terme supplmentaire li l'effetthermique, ce qui donne :

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.

.

.

!

"

+

+

+

(72)

(

(

(73)

!

"

+

+

+

(74)

L'effet thermique apparat dans cette description comme un effortsupplmentaire appliqu sur un volume lmentaire de plaque. A partirde la matrice de comportement du stratifi (46), on dtermine lesdformations de la plaque conformment au schma au premier degrdvelopp dans le cours (31). Des contraintes faisant apparatre lecouplage entre les diffrents plis sont alors calcules en utilisant lamatrice de raideur de chaque pli.

On note que les contraintes thermiques, selon les empilements choisis,peuvent engendrer de la traction et du cisaillement en membrane, maisaussi de la flexion et de la torsion. Cependant, il est important dementionner que si le stratifi est symtrique, il n'a pas de moment deflexion ou de torsion induit par un effet thermique ou hygromtrique.

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%

%./

Un essai de traction sur une prouvette de matrice pure ou sur desfibres seulement, conduit une contrainte maximale et unedformation maximale, comme le montre la figure 9.

Figure 9 : Courbes de traction si ')

Si des fibres (unidirectionnelles) sont places dans la matrice, unecontrainte trop importante provoque une dformation des fibres plusgrande que leur dformation maximale admissible

': les fibrescassent. La dformation maximale admissible des fibres, combine aumodule d'lasticit longitudinal EL, dtermine donc la contraintemaximale admissible pour le pli unidirectionnel, lorsque l'effort estdans le sens des fibres.

Dans cet exemple, nous avons suppos que la dformation maximale

de la matrice est suprieure celle des fibres. Dans le cas contraire, lalimite de dformation admissible pour le composite unidirectionnel, etdonc la contrainte maximale admissible, serait donne par la dformation maximale admissible de la matrice

.

La contrainte maximale admissible pour le composite soumis unetraction dans le sens des fibres peut donc tre value par une loi demlange :

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'

*'*'

'

si '

)

ou bien

'

'*'*'

si

'*

Le tableau 3 rpertorie les limites en dformation et en contraintes dequelques composs. Il ne faut pas perdre de vue la grande dpendancede ces valeurs au procd de fabrication et la temprature.

Matriau E u u

Fibres de carbone

HS

220 GPa 1,4 1,8 % 3000 4000

MPaFibres de carbone

HM400 GPa 0,5 % 2200 MPa

Fibres de verre 70 GPa 3,4 4,8 % 2400 3400MPa

Polyester 2,8 3,5 GPa 2 5 % 50 80 MPa

Rsinesphnoliques

3 GPa 2,5 % 40 MPa

Rsines poxydes 3 5 GPa 2 5 % 60 80 MPa

Tableau 3 : Quelques grandeurs typiques de contraintes et dformation

la rupture

Dans la direction transversale, la rupture d'un compositeunidirectionnel se produit lorsque la contrainte est suprieure lacontrainte admissible par la matrice ou la contrainte admissible parl'interface fibre/matrice. Plus gnralement, nous pouvons dire que larupture dans un pli unidirectionnel apparat si la fibre ou la matrice oul'interface fibre/matrice se rompt.

Intuitivement, on peut supposer que la rupture d'un matriauorthotrope se produit lorsque que la contrainte maximale est atteinte,soit en traction soit en cisaillement. Dans le repre principal, il vientalors l'expression :

8))8

9)

)9 (75)

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) )

avec :Xt etXc la rsistance longitudinale en traction et en compression.Yt etYc la rsistance transversale en traction et en compression.SLT la rsistance en cisaillement suivant 1-2.

On note que la rsistance en traction et en compression sontdiffrentes dans cette expression. Usuellement, la rsistance encompression est de l'ordre de la moiti ou des deux tiers de la rsistance en traction.

D'autre part, l'expression ci-dessus est dite critre de contraintemaximale . Dans l'espace des contraintes, les valeurs admissiblessont limites par un paralllpipde rectangle. Dans l'espace desdformations, ce paralllpipde devient oblique du fait de l'effet dePoisson. Il existe galement un critre de dformation maximale,dont la reprsentation dans l'espace des dformations est unparalllpipde rectangle, qui ne concide videmment pas avec lecritre prcdent.

Enfin, bien qu'il soit trs souvent utilis, ce critre doit tre rserv des cas trs simples car les effets de couplage ne sont pas pris encompte. On considre gnralement que le critre de contraintemaximale devrait tre rserv un tat de contraintes planes, et le

critre de dformation maximale un tat de dformation plane.

Lorsque le chargement n'est plus un chargement simple, il faut utiliserun critre nergtique analogue au critre de Von Mises de l'lasticitisotrope. Nous retiendrons ici le critre de Tsai et Wu.

///

/

//) (76)

Avec les paramtres Fij :

/

8

8

/

9

9

/

8 8

/

9 9

/

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Ces 5 premiers paramtres sont issus d'exprience de traction etcompression dans les deux directions d'orthotropie et de cisaillementpur (dans le repre d'orthotropie). Le paramtre de couplage F12 estquant lui beaucoup plus difficile dterminer. Il ncessite un essaide traction biaxial selon les directions d'orthotropie ou un essai detraction 45 des directions d'orthotropie. En pratique, ce coefficientest le plus souvent considr comme un paramtre empirique, ajusten fonction des rsultats exprimentaux.

On dfinit le paramtre de rsistance d'interaction normalis /

/

+//

. Si aucune donne n'est disponible, la valeur par dfaut de / est -1/

2. Le critre de Tsai Wu prend alors la forme du critre de Hoffman.

Si, de plus, la rsistance en traction est gale la rsistance encompression, on retrouve le critre de Tsai-Hill qui s'crit encontraintes planes :

8

9

8) (77)

Cette formulation montre que l'on retrouve un ellipsode decontraintes, conformment la reprsentation de Von Mises. Dans lecas de la formule de Tsai et Wu, l'ellipsode n'est plus centr du fait dela diffrence de contrainte la rupture en traction et en compression.

Le tableau 4 montre quelques valeurs typiques de rsistance larupture dans le cas ou le paramtre de rsistance d'interaction est de-0,5.

Paramtres dersistance

Carbone / poxyde Verre E / poxyde

F11 (GPa-2) 0,45 1,55

F22 (GPa-2) 100 275

F12 (GPa-2) -3,36 -10,25

F66 (GPa-2

) 216 195F1 (GPa-1) 0 0,70

F2 (GPa-1) 20,1 23,8

Tableau 4 : Valeurs de rsistance pour des plis unidirectionnelsorthotropes (Vf=0,6)

Remarques : Le critre prcdent est valable dans le repre d'orthotropie. Pour les

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plis dont les axes d'orthotropie et les directions de sollicitation nesont pas identiques, il faut de se ramener au repre d'orthotropie.Cela revient faire une rotation de l'ellipsode des contraintes dedeux fois l'angle de pli.

Souvent, on prfre utiliser le critre de Tsai et Wu dans l'espace desdformations car le champ de dformation est beaucoup plusaccessible pour une plaque stratifie.

Il ne faut pas perdre de vue le caractre microscopique des ruptureset leur lien avec les dfauts de fabrication prsents dans la structure.

%

A l'chelle du stratifi, les critres de rsistance doivent tre appliqus chaque couche. Chacune produit une enveloppe de rsistance.L'enveloppe de rsistance de la plaque est l'intersection des diffrentesenveloppes correspondant chaque pli (figure 10).

Figure 10 : Reprsentation ( in [Tsai]) des dformations admissibles(FPF)

pour une plaque stratifie en utilisant le critre de Hoffman (Tsai et Wuavec /

).

Lorsqu'une couche rompt, le champ de contraintes est modifi et l'ondoit se poser la question de la tenue des couches encore intgres dumatriau. Cela pose la question de la modlisation mcanique de lacouche rompue.

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Enfin, les effet thermiques et hygromtriques vont avoir pour effet detranslater l'ellipsode (ou le paralllpipde) des contraintes, sans enchanger la forme toutefois.

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%!J.M. Berthelot Matriaux composites : Comportement mcanique etanalyse des structures, 3me dition Paris : Editions Tec&Doc, 1999.

Y. Surrel, A. Vautrin, G. Verchery Analyse et conception desstructures en matriaux composites Pluralis, 1990

D. Gay Matriaux composites, 3me dition revue et augmenteParis : Herms 1991

S. Tsai Composite Design Dayton : Think Composites, 1988

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