Cours Complexité Algorithmique - ESEN · 2017. 10. 20. · 2 3 Introduction Les arbres sont des...

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Cours Complexité Algorithmique (3LFIG)

cours 3: Les arbres

Dr. Dhouha Maatar Razgallah2017/2018

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Outline

Arbre

Arbre binaire

Arbre binaire de recherche (ABR)

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Introduction

Les arbres sont des structures de données fondamentales en informatique très utilisés dans tous les domaines parce qu’ils sont bien adaptés à la représentation naturelle d’informations homogènes organisées et d’une grande commodité et rapidité de manipulation.

Leur usage est multiple car ils captent l’idée de hiérarchie:

Découpage d’un livre en chapitres, sections, paragraphes…

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Introduction

Expression arithmétique:

L’expression A – (B + C * (D –E)) * F se représente facilement par un arbre où apparait clairement la priorité des opérations:

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Définition et terminologies

Un arbre est une structure de données (souvent dynamique) représentant un ensemble de valeurs organisées hiérarchiquement (non linéaire).

Chaque valeur est stockée dans un nœud.

Les nœuds sont connectées entre eux par des arêtes qui représentent la relation parents/fils.

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Racine: c’est le nœud qui n’a pas de prédécesseur (parents) et possède 0 ou plusieurs fils. La racine constitue la caractéristique d’un arbre.

Feuille: c’est un nœud qui n’a pas de successeurs (fils). Une feuille est aussi appelée nœud externe.

Nœud interne: tout nœud qui admet au moins un successeur (fils).

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Sous-arbre: est une portion de l’arbre. Dans l’exemple, le nœud G avec ses deux fils J et K constituent un sous-arbre.

Une branche: c’est une suite de nœuds connectées de père en fils (de la racine à la feuille: A-B-E; A-C; A-D-F; A-D-G-J; …

Descendants d’un Nœud: sont tous les nœuds du sous-arbre de racine ce nœud. Dans l’exemple, les descendants de D sont F, G, H, I, J, K et L.

Ascendants d’un nœud: sont tous les nœuds se trouvant sur la branche de la racine vers ce nœud. Dans l’exemple, les ascendants de J sont G, D et A.

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Taille de l’arbre: est le nombre de nœuds qu’il possède.

Taille de l’arbre de l’exemple = 12

Taille d’un arbre vide = 0

Degré d’un nœud: est le nombre de ses fils. Dans l’exemple, le degré de B est 1, le degré de D est 4.

Degré d’un arbre: est le degré maximum de ses nœuds. Degré de l’arbre de l’exemple est 4.

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Le niveau d’un nœud: est la distance qui le sépare de la racine.

Niveau de la racine = 0

Le niveau de chaque nœud est égal au niveau de son père plus 1

Le niveau du nœud contenant G est égal à 2.

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Définition récursive:

Cas particulier: NIL est un arbre vide contenant 0 nœud.

Cas général: si n est un nœud et si T1, T2, …, Tm sont des arbres. Alors on peut construire un nouvel arbre en connectant T1, T2, …, Tm sont des fils à n.

Chaque Ti est défini de la même manière récursivement.

T1, T2, …, tm sont alors des sous- arbres de n.

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Typologie

Arbre m-aire: est un arbre d’ordre m et le degré maximum d’un nœud est égal à m.

B-arbre: un arbre B d’ordre n est un arbre où:

•La racine a au moins deux fils

•Chaque nœud autre que la racine a entre n/2 et n fils

•Tous les nœuds feuilles sont au même niveau

Arbre binaire: est un arbre où le degré maximum d’un nœud est égal à 2.

Arbre binaire de recherche: c’est un arbre binaire où la clé de chaque nœud est supérieure à celle de ses descendants gauches et inférieure à celle des ses descendants droite.

…

Arbres binaires

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Définition

Un arbre binaire est un arbre où chaque nœud est connecté à deux sous-arbres

(un sous-arbre gauche et un sous arbre droit)

C’est un arbre de degré 2, c’est-à-dire que chaque nœud a au plus deux fils.

Le premier fils d’un nœud n est appelé Fils gauche (FG) et le deuxième fils est appelé Fils droit (FD).

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Définition

Un arbre binaire est dit strictement binaire si chaque nœud interne a exactement 2 fils différents de NIL.

Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire où toutes les feuilles sont au même niveau.

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Modèle

L’arbre est implémenté souvent de manière dynamique comme un ensemble de nœuds chaînés entre eux.La structure d’un nœud de l’arbre est la suivante:

Typesnoeud =enregistrement

val : élément //valeur à stockerFG: pointeur sur nœud // FilsGaucheFD : pointeur sur noeud // FilsDroite

Fin enregistrementArbre= pointeur sur noeud

VariablesA: Arbre

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Fonctions de base

• Création d’un arbre vide

Cette primitive retourne un arbre vide. Il suffit de déclarer un pointeur sur un arbre binaire et de l’initialiser à Nil.

Fonction Créer_arbre_vide () : Arbre

Var

A : Arbre

Début

A←Nil

Retourner (A)

Fin

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Fonctions de base

• Création d’une feuille

Cette primitive permet de créer un nœud externe contenant une valeur et retourne sa position en mémoire.

Fonction Créer_Feuille (e : élément ) : Arbre

Var

Feuille : Arbre

Début

Allouer (Feuille)

Feuille->Val ← e

Feuille-> FG ← Nil

Feuille-> FD ← Nil

Retourner (Feuille)

Fin

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Fonctions de base

• Création d’un arbre

Cette primitive permet de créer un arbre à partir d’un sous-arbre droit et d’un sous-arbre gauche existants et d’un élément qui représente la valeur de la racine.

Fonction Créer_arbre (e : élément, SAG: arbre, SAD: Arbre ) : Arbre

Var

père : Arbre

Début

Allouer (père)

père->val ← e

père-> FG ← SAG

père-> FD ← SAD

Retourner (père)

Fin

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Fonctions de base

• Tester la vacuité d’un arbre

Fonction est_arbre_vide (A: arbre) : booleen

Début

Retourner (A =Nil)

Fin

• Tester si un nœud est une feuille

Fonction est_Feuille (A: arbre) : booleen

Début

Si (NON est_arbre_vide (A)) alors

Retourner (est_arbre vide (A-> SAG ) et est_arbre vide (A-> SAD))

Sinon

écrire (« l’arbre est vide »)

Finsi

Fin

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Fonctions de base

• Accès à la racine

Cette fonction récupère la valeur contenu dans le nœud racine d’un arbre. Pour pouvoir accéder aux valeur des autres nœuds il faut d’abord les transformer en racine. Par exemple , soit x un nœud de l’arbre, pour accéder à la valeur de x, il faut se déplacer dans l’arbre jusqu’à atteindre le sous- arbre qui a pour racine x.

Fonction racine (A: arbre) : élément

Début


Retourner (A-> val )

Sinon


Finsi

Fin

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Fonctions de base

• Positionnement sur le fils gauche

Cette primitive permet d’obtenir la position en mémoire du fils gauche d’un arbre.

Fonction Fils_Gauche (A: arbre) : arbre

Début


Retourner (A-> FG)

Sinon


Finsi Fin

• Positionnement sur le fils droite

Cette primitive permet d’obtenir la position en mémoire du fils droite d’un arbre.

Fonction Fils_droit (A: arbre) : arbre

Début


Retourner (A-> FD)

Sinon


Finsi Fin

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Fonctions de base

• Suppression d’un arbre

Cette primitive permet de détruire la totalité de l’arbre ou du sous-arbre dont la position en mémoire est fournies en paramètre: cette position est celle de la racine.

Procédure DetruireArbre (A: arbre)

Début


DetruireArbre (FilsGauche (A))

DetruireArbre (FilsDroite(A))

Liberer (A)

Finsi

Fin

Il est possible de fournir comme paramètre de cette procédure le nœud racine d’un arbre, le nœud racine d’un sous-arbre ou le nœud représentant une feuille.

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Applications • Taille d’un arbre

Le calcul de la taille d’un arbre revient à calculer le nombre de nœuds de cet arbre.

Fonction taille (A: arbre) : entier

Début

si (A = Nil) alors

retourner (0)

sinon

retourner (1+ taille (A-> FG) + taille (A->FD) )

Finsi

Fin

• Nombre de feuilles d’un arbre

Fonction nombre_feuille (A: arbre) : entier

Début

si (A = Nil) alors

retourner (0)

sinon

si (A-> FG = Nil) et (A->FD = Nil) alors

retourner 1

sinon

retourner (nombre_feuille (A-> FG) + nombre_feuille (A-> FD))

Finsi Finsi Fin

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Applications • Recherche d’un élément dans un arbre

Fonction Recherche (A: arbre, x: entier) : booleen

Début

si (A = Nil) alors

retourner (faux)

sinon

si (A-> val = x) alors

retourner (vrai)

sinon

retourner (Recherche (A-> FG, x) ou Recherche (A-> FD, x))

Finsi

Finsi

Fin

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Parcours

Le parcours d’un arbre consiste à passer par tous ses nœuds.

Les parcours permettent d’effectuer tout un ensemble de traitement sur les arbres.

On distingue deux types de parcours:

Des parcours en largeur explorent l’arbre niveau par niveau.

Des parcours en profondeur explorent l’arbre branche par branche où on descend le plus profondément possible dans l’arbre puis une fois qu’une feuille a été atteinte, on remonte pour explorer les autres branches en commençant par la branche ‘’la plus basse’’ parmi celles non encore parcourues.

Le parcours en profondeur peut se faire en:

le Préordre (Préfixe): où on affiche la racine avant ses fils (R, FG, FD)

L’Inordre (Infixe): où on affiche FG puis racine puis FD (FG, R, FD).

Le Postordre (Postfixe): où on affiche les fils avant la racine (FG, FD, R).

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Parcours en préordre (préfixe)

Le parcours préordre de l’arbre R (s’il n’est pas vide) consiste à visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir récursivement en préordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2 (sous arbre droit) ce qui donne : [R, T1, T2] ou (RGD)

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Parcours en préordre (préfixe)

Il s’agit de parcourir la racine d’abord, ensuite explorer le sous-arbre gauche, et finalement explorer le sous-arbre droit.

La procédure (récursive) qui affiche les valeurs en parcours préfixe d’un arbre A est:

Procédure Préfixe(A: arbre)

Début


Ecrire (Racine (A))

Préfixe (FilsGauche (A))

Préfixe (FilsDroite(A))

Finsi

Fin

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Parcours Inordre (Infixe)

Le parcours inordre de l’arbre R (s’il n’est pas vide) consiste à parcourir récursivement en inordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir récursivement en inordre T2 (sous arbre droit) ce qui donne : [T1, R, T2] ou (GRD)

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Parcours Inordre (Infixe)

Il s’agit d’explorer le sous-arbre gauche, visiter la racine et finalement explorer le sous-arbre droit.

La procédure (récursive) qui affiche les valeurs en parcours infixe d’un arbre A est:

Procédure Infixe(A: arbre)

Début


Infixe (FilsGauche (A))

Ecrire (Racine (A))

Infixe (FilsDroite(A))

Finsi

Fin

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Parcours Postordre (Postfixe)

Le parcours postordre de l’arbre R (s’il n’est pas vide) consiste à parcourir récursivement en inordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) ensuite parcourir récursivement en inordre T2 (sous arbre droit) puis visiter le nœud racine (R) ce qui donne : [T1, T2, R] ou (GDR)

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Parcours Postordre (Postfixe)

Il s’agit d’explorer le sous-arbre gauche, explorer le sous-arbre droit et finalement visiter la racine.

La procédure (récursive) qui affiche les valeurs en parcours postfixe d’un arbre A est:

Procédure Postfixe(A: arbre)

Début


Postfixe (FilsGauche (A))

Postfixe (FilsDroite(A))

Ecrire (Racine (A))

Finsi

Fin

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Parcours en Largeur (par niveau)

Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant .

Il explore les nœuds de l’arbre niveau après niveau, l’exploration se fait dans l’ordre suivant: le noeud racine, les nœuds du niveau 1, les noeuds du niveau 2, …etc.

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Parcours en Largeur

Pour ce type de parcours on ne peut pas appliquer la récursivité, car l’arbre n’obéit plus à une définition récursive, mais il est considéré comme étant formés de niveaux, chaque niveau contenant un certain nombre de nœuds.

Il faut parcourir les nœuds en ordre du haut vers le bas et de la gauche vers la droite. Pour cela il faut utiliser une autre structure de données, que nous appellerons F. Il faut sauvegarder les nœuds visités, en faisant en sorte que les nœuds d’un même niveau soient successifs dans la structure F. C’est-à-dire que le frère (ou le cousin) d’un nœud doit précéder ses enfants dans F.

Nous utilisons une liste pour fournir les éléments de l’arbre à la sortie de la fonction, mais il est aussi possible de les traiter directement sans les stocker.

Dans la liste nous allons stocker la valeur contenue dans chaque nœud visité.

Dans la file nous allons stocker les nœuds de l’arbre.

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Parcours en LargeurFonction parcours Largeur (A: arbre) : liste

var L: liste; F: file; B: arbre

Début

B ← A

F ← créer_file vide ()

L ← créer_Liste vide ()

Enfiler (F, A)

Tant que (NON Filevide (F) ) faire

B ← Lirefile (F)

Défiler (F)

si (B != Nil) alors

L ← ajouter_fin (L, Racine (B))

Si (B->FG != Nil) alors

Enfiler (F, FilsGauche (B))

Finsi

Si (B->FD != Nil) alors

Enfiler (F, FilsDroit (B))

Finsi

Finsi

Fintq

Retourner (L)

Fin

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Arbres binaires de recherche

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Définition

Un arbre binaire de recherche (ABR) est un arbre binaire ordonné telque pour tout nœud n:

Toutes les valeurs du sous arbre gauche de n sont inférieures ou égales à la valeur de n

Toutes les valeurs du sous arbre droit de n sont supérieures ou égales à la valeur de n

Remarque: Généralement, les valeurs dans un ABR sont uniques; on n’admet pas de répétition de valeur pour éviter les confusion . Mais si jamais ceci arrive : par exemple si un arbre contient deux fois la valeur 4, par convention, la deuxième valeur est stockée dans le sous-arbre droit ayant pour racine 4.

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Opération élémentaires sur ABR

A- Recherche d’un élément dans un ABR

La recherche est dichotomique, à chaque étape, un sous arbre est éliminé:

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A- Recherche d’un élément dans un ABR

Cette fonction permet de rechercher un élément x dans un ABR et retourner un booléen. Pour les ABR, les éléments sont stockés de façon à respecter une relation d’ordre, cela rend la recherche plus beaucoup plus efficace que pour les arbre binaires quelconques.

Fonction Recherche_rec (A: arbre, x: entier) : booleen

Début

si (A = Nil) alors

retourner (faux)

sinon

si (A-> val = x) alors

retourner (vrai)

sinon

si (A-> val < x)

retourner (Recherche_rec (A-> FD, x))

sinon

retourner( Recherche_rec (A-> FG, x))

Finsi

Finsi

Finsi

Fin

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A- Recherche d’un élément dans un ABR (version itérative)

Dans un ABR, on sait de façon précise s’il faut continuer la recherche à gauche ou à droite pour chaque nœud exploré, alors il est possible d’écrire une version itérativede recherche dans un ABR.

Fonction Recherche_iter (A: arbre, x: entier) : booleen

Début

Tant que (A != Nil) et (x != Racine (A)) faire

si (A-> val < x) alors

A ← A-> FD

sinon

A ← A-> FG

Finsi

Fintq

si (A = Nil) alors

retourner (faux)

sinon

retourner (vrai)

Finsi

Fin

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B- Insertion d’un élément dans un ABR

Pour insérer un nouvel élément dans un ABR il faut d’abord repérer sa place dans l’arbre, il faut donc le comparer aux éléments déjà existants dans l’ABR. Enfin l’insérer comme fils du dernier nœud visité.

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B- Insertion d’un élément dans un ABRPour insérer un nouvel élément e dans un ABR il faut d’abord repérer sa place dans l’arbre, il faut donc le

comparer aux éléments déjà existants dans l’ABR. Enfin l’insérer comme fils du dernier nœud visité.

Procédure Inserer_rec (var A: arbre, e: entier)

Var

P: arbre

Début

si (A = Nil) alors

allouer (A)

A-> val ← e

A-> FG ← Nil

A-> FD ← Nil

sinon

si (A-> val > e) alors

Inserer_rec ( A-> FG, e)

sinon

Inserer_rec ( A-> FD, e)

Finsi

Finsi

Fin

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B- Insertion d’un élément dans un ABR (version itérative)

Procédure Inserer_iter (var A: arbre, e: entier) si (père = Nil) alors

Var A ← P

p, père : arbre sinon

Début si (Père -> val > e ) alors

père ← Nil père -> FG ← P

P ← A Sinon

Tant que (P != Nil) faire père -> FD ← P

père ← P finsi

si (P-> val > e) alors Finsi

P ← P-> FG Fin

sinon

P ← P-> FD

Finsi

Fintq

allouer (P)

P-> val ← e

P-> FG ← Nil

P-> FD ← Nil

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C- Suppression d’un élément d’un ABR

La suppression dans un ABR est assez compliqué, c’est pour cela que nous allons détailler tous les cas possibles.

Pour supprimer un nœud dans un ABR, plusieurs cas de figure peuvent se présenter. Il est toutefois nécessaire d’obtenir un ABR à l’issue de la suppression.

D’abord il faut chercher l’élément à supprimer, une fois trouvé on se trouve dans l’une des situations suivantes, soit « i » le nœud à supprimer:

1er cas : i est une feuille : on la supprime et on la remplace par Nil.

2eme cas : i est un nœud qui a un seul fils : on supprime i et on le remplace par ce fils.

3eme cas : i est un nœud qui a deux fils : on supprime i et on le remplace par l’élément minimum se trouvant dans son sous arbre droit (le nœud le plus à gauche du sous arbre droit)ou par l’élément maximum se trouvant dans son sous arbre gauche (le nœud le plus à droite du sous arbre gauche).

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C- Suppression d’un élément d’un ABRPour le 3ème cas nous avons besoin d’abord de déterminer le plus proche prédécesseur (maximum du SAG du nœud i)

et le plus proche successeur (minimum du SAD du nœud i).

• Fonction maximum ( A: arbre): arbre

Début

si (A-> FD != Nil) alors

retourner (maximum (A-> FD ))

sinon

retourner (A)

Finsi

Fin

• Fonction minimum ( A: arbre): arbre

Début

si (A-> FG != Nil) alors

retourner (minimum (A-> FG ))

sinon

retourner (A)

Finsi

Fin

NB: pour la fonction maximum A, sera remplacé par FG(i) et pour minimum, A sera remplacé par FD(i).

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C- Suppression d’un élément d’un ABR (algorithme global)

• Procédure supprimer_rec (var A: arbre, x: entier)

Var p,Q : arbre

Début

Si (A=Nil) alors

écrire(x, ’’ est introuvable’’)

Sinon

si(A-> val =x) alors // on distingue 3 cas

si (feuille (A)) alors

libérer (A) // 1er cas

sinon

si ((A-> FG != Nil) et (A-> FD = Nil)) alors

Q ← A

A ← A-> FG

libérer (Q)

sinon

si ((A-> FG = Nil) et (A-> FD != Nil)) alors

Q ← A

A ← A-> FD

libérer (Q) // 2 eme cas

sinon

si ((A-> FG != Nil) et (A-> FD != Nil)) alors

P← minimum (A-> FD) // ou P← maximum (A-> FG)

A ->val ← P ->val

supprimer_rec (P, P->val)

Finsi // 3 eme cas

finsi

finsi

Sinon

si(A-> val <x) alors

supprimer_rec (A-> FD, x)

sinon

supprimer_rec (A-> FG, x)

finsi

finsi

Finsi Fin

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