Cours Chap TFC

Signaux et Systmes

Prof. LYHYAOUI [email protected]

ENSA DE TANGER Anne 2014-2015Jean-Baptiste Joseph Fourier

21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830

2

IV. Transforme de Fourier en Temps Continu

1 - Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier Temps Continu

2 - Paires de Transformes de Fourier en Temps Continu

3 - Proprits de la TF Temps Continu

4 - Proprit de la convolution

5 - Proprit de la multiplication

6 - Signaux Priodiques et Transforme de Fourier

7 - Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations diffrentielles linaires coefficients constants

3

2/)2/sin(

0

0

nn

TAX n = ( ) 2/

)2/sin(

AjX = Enveloppe des chantillonsnXT

nXT

nXT

nXT

20/A

20/A

20/A

( )jX

( )jX

( )jX

0 50 100

0 100 200

0 200 400

5=T

10=T

20=T

4

Rappels: Signaux priodiques (T) puissance finie - Srie de Fourier

Somme infinie d exponentielles complexes relies harmoniquement - Spectre discret

Intgrale de Fourier

( ) tjkk

keXtx 0~

+

=

= ( ) dtetxT

XT

T

tjkk

=2/

2/

0~1

( ) ( ) dtetxT

dtetxT

X tkjT

T

tkjk

+

== 0011 2/

2/

( ) ( ) dtetxjX tj+

= Enveloppe des chantillons T.Xk

t-T1 T10 T 2T-T

......

( )tx~

x(t)

t-T1 T1

( )01 kjXT

X k =

Soit:

( ) ( ) ( ) 000 00 211~

tjkk

tjk

kejkXejkX

Ttx

+

=

+

=

==

T ( ) ( )txtx ~Si d0

( ) ( )

dejXtx tj+

=

21

Or:

IV.1 Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier T.C.

T/20 =

5Transforme de Fourier Directe (Analyse)

Signaux apriodiquesPriode T

Energie Finie

Spectre continu apriodique

Transforme de Fourier

Intgrale infinie d exponentielles complexes

Transforme de Fourier Inverse(Synthse)

( ) ( ) dtetxjX tj+

=

( ) ( )

dejXtx tj+

=

21

X(j)x(t)

0 T t

Srie de FourierSomme infinie d exponentielles

complexes relies harmoniquement

Spectre discret apriodique( ) tjk

kkeXtx 0

+

=

=

( ) dtetxT

XT

T

tjkk

=2/

2/

01

1 k20

Xk

2T0 T

( )tx

t

Signaux priodiquesPriode T

Puissance FinieT/20 =

6

Transforme de Fourier en Temps Continu pour des Signaux Apriodiques

( ) ( ) dtetxjX tj+

=

( ) ( )

dejXtx tj+

=

21

( ) ( ) dtetxfX tfj+

= 2

( ) ( ) dfefXtx tfj+

= 2

Pulsation Frquence

7

IV.2 Paires de Transformes de Fourier en TC

Peigne de Dirac

Signaux TF frquence TF pulsation

( ) ( )ttf 00 sin2sin = ( ) ( )[ ]0021 ffffj

+ ( ) ( )[ ]00

+j

( ) ( )ttf 00 cos2cos = ( ) ( )[ ]0021 ffff ++ ( ) ( )[ ]00 ++

( )t 1 11 ( )f ( )2

( ) ( )+

=

=k

T kTttP ( ) +

=

=

kT Tkf

TfP

T11 1 ( )

+

=

=

kT Tk

TjP

T

2222

( )

>1) Dilatation Frquentielle

http://www.jhu.edu/~signals/ctftprops/indexCTFTprops.htmhttp://www.jhu.edu/~signals/ctftprops/indexCTFTprops.htmhttp://www.jhu.edu/~signals/ctftprops/indexCTFTprops.htm

10

Relation de Parseval

( ) ( ) ( ) dffXdjXdttxE +

+

+

=== 22221

Energie total d un signal = Energie par unit de temps intgre sur tous les temps= Densit spectrale d nergie intgre sur toutes les frquences

Conjugaison ( ) ( )jXtxTF

x(t) rel et paire X(j) rel et paire

( ){ } ( )( ){ } ( ) impairejXimpairejXIm

pairejXpairejXRe::

::

x(t) rel et impaire X (j) imaginaire et impaire

Cas particulier: x(t) rel Symtrie conjugue: ( ) ( ) jXjX =

( ) 2jXDensit Spectrale dEnergie

du signal x(t)

11

IV.4 Proprit de la convolution

( ) ( ) ( ) dthxty = +

Recherchons la TF de y(t)=x(t)*h(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jHjXjYthtxtyTF

==

( ) ( ) dtedthxjY tj +

+

=)( ( ) ( ) ddtethx tj

+

+

=

( ) dejHxjY j+

= )()( ( ) )()()( jXjHdexjH j == +

h(t)x(t) y(t) = x(t) * h(t)

H(f)X(f) Y(f) = X(f) . H(f)

TF TF TF

h(t): rponse impulsionnelle du SLTI

H(j): rponse frquentielle du SLTI

( ) dtethjH tj+

= )(

Rappel: vrai si SLTI Stable

( )

12

IV.5 Proprit de la multiplication

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fPfSfRtptstrTF

==

Modulation d amplitude

signal modulant porteuse

signal modul

ExempleS(f)

-f1 f1 f

P(f)

-f0 f0

1/2 1/2

-f0-f1 -f0 +f1 f0 -f1 f0 +f1-f0 f0

f

f

R(f)

( ) ( )tftp 02cos =

( ) ( ) ( )[ ]0021 fffffP ++=

( ) ( ) ( )[ ]0021 ffSffSfR ++=

Porteuse:

A/2 A/2

A

13

Exemple: Dmodulation d amplitude

P(f)

-f0 f0

1/2 1/2( ) ( )tftp 02cos =

( ) ( ) ( )[ ]0021 fffffP ++=

( ) ( ) ( )[ ]0021 ffSffSfR ++=

Porteuse:

G(f)

-2f0 2f0

A/4 A/4

-f0 f0

A/2

-f0-f1 -f0 +f1 f0 -f1 f0 +f1-f0 f0

f

R(f)A/2 A/2

Y(f) = G(f) H(f)H(0) A/2

H(f)f

f

f

-fc fc

( ) ( ) ( )tptrtg =

Y(f) = G(f) H(f)

y(t) ~ s(t)

H(f) Filtre Passe-Bas

14

Proprits de la Transforme de Fourier Temps

Continu

15

IV.6 Signaux Priodiques et Transforme de Fourier

( ) ( )0fffX = Considrons l impulsion ( ) ( ) tfjtfj edfefftx 0220 == +

Un signal priodique se dcompose en Srie de Fourier

( ) tfjkk

kp eXtx 02

+

=

=

( ) ( ) dfekffXtx ftjkk

kp 20

+

+

=

=

TF

( ) ( ) dfekffXtx ftjkk

kp 20

+

+

=

=

Par identification ( ) ( )0kffXfXk

kp = +

=

Train d impulsions de Dirac pondres

par les coefficients de Fourier Xk et situes aux frquences f = kf0

signaldupriodeTf

=0

1

......

f0 f0 2f0 3f0-f0-2f0

( )+

=

k

kff 0

A/ Extension de la TF en Temps Continu

16

Comparaison entre la dcomposition en Srie de Fourier d un signal priodique et sa Transforme de Fourier

xp(t)

0 T1 T-TT= 4 T1

X k

k

( )jX p

17

B/ Expression simple de la TF d un signal priodique en TC

......t0 T 2T 3T-T

( ) ( )+

=

=k

T kTttP

T t0

( )tx

Tout signal priodique xp(t) peut tre reprsent comme la somme d une suite infinie de translates de x(t) motif lmentaire sur [0, T] xp(t)

2T0 T t

( )Ttx ( )tx( )Ttx + ( )Ttx 2

3T

......

( ) ( )+

=

=k

p kTtxtx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtxkTttxtx Tk

p == +

=

Or: ( ) ( ) ( )kTttxkTtx =

D o:

Proprit de la convolution

( ) ( )

=

=

+

=

+

= Tkf

TkX

TTkffX

TfX

kkp

11

1/T f2/T0

( )fX p

3/T

TX

T11

TX

T21

TX

T11

( )fX

1/T 2/T0 3/T

TX 1

TX 2

TX 1

f

( )011 fkXTT

kXT

X k =

= La TF permet d obtenir

directement les coefficients de Fourier!

( ) ( ) ( )fPT

fXfXT

p 11.=

Tf 10 =

18

IV.7 Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations diffrentielles linaires coefficients constants

( ) ( )k

kM

kkk

kN

kk dt

txdbdt

tyda ==

=00

( ) ( ) ( ) jXjHjY =Proprit des SLTI: ( ) ( )( )jXjYjH =

( ) ( )

=

==

k

kM

kkk

kN

kk dt

txdbTFdt

tydaTF00

Or:

( ) ( ) ( ) ( ) jXjbYja kM

kk

kN

kk

=

== 00

( )( )

( )kN

kk

kM

kk

ja

jbjH

=

==

0

0

Hypothse:H(j) existe (converge)

19

V. Transforme de Fourier en Temps Discret

1 - Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier Temps Discret

2 - Proprits de la TF Temps Discret

3 - Proprit de la convolution

4 - Proprit de la multiplication

5 - Signaux priodiques et Transforme de Fourier Temps Discret

6 - Calcul de la Transforme de Fourier dune suite numrique

7 - Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations aux diffrences linaires coefficients constants

Rsum Sries de Fourier - Transformes de Fourier

20

V.1 Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier T.D.

Signaux priodiquesPriode N

Puissance Finie

Srie de FourierSomme finie de N exponentielles

complexes relies harmoniquement

Signaux apriodiquesPriode N Energie Finie

Spectre continu et priodique

Transforme de Fourier

Spectre discret et priodique

Intgrale sur une priode d exponentielles complexes

Transforme de Fourier Inverse(Synthse)

Transforme de Fourier Directe (Analyse)

[ ] =

=Nk

nN

kjk eXnx

2

[ ] nNkjNn

k enxNX

21

==

[ ] ( )

deeXnx njj= 221

( ) [ ] njenxeXn

j +

=

=

X(ej)

20

...

x[n]

0 N 2N

...

x[n]

0 N n

k10

X k

N

21

Principales paires de la Transforme de

Fourier Temps Discret

22

V.4 Proprits de la TF Temps Discret

Linarit [ ] [ ] ( ) ( ) jjTF eYeXnynx ++

Dcalage [ ] ( ) 00 njjTF

eeXnnx [ ] ( )( )00 jTFnj eXenx

Priodicit ( )( ) ( ) jj eXeX =+2

Inversion temporelle [ ] ( )jTF eXnx

Drivation [ ] [ ] ( ) ( ) jjTF eXenxnx 11 [ ] ( )

dedXnxjn

jTF

23

Changement d chelle

( )( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( ) ( ) kjr

rkj

r

rkjk

n

njk

jk eXerxerkxenxeX

+

=

+

=

+

=

====

( )[ ][ ]

sinonkdemultiplensi

0/

=knx

nx kSoit: xk: version ralentie de x[n]

24

Relation de Parseval

[ ] ( ) ( ) dffXdeXnxE jn

===+

=

1

0

2

2

22

21

Energie total d un signal = Energie par unit de temps somme sur tous les temps= Densit spectrale d nergie intgre sur une priode

Conjugaison [ ] ( )jTF eXnx

x[n] rel et paire X(e j) rel et paire

( ){ } ( )( ){ } ( ) impaireeXimpaireeXIm

paireeXpaireeXRejj

jj

::

::

x[n] rel et impaire X (e j) imaginaire et impaire

Cas particulier: x[n] rel Symtrie conjugue: ( ) ( ) jj eXeX =

( )2jeXDensit Spectrale

dEnergie du signal x(t)

25

V.5 Proprit de la convolution

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) jjjTF eHeXeYnhnxny ==

h [n]x[n] y [n] = x [n] * h [n]

H(f)X(f) Y(f) = X(f) . H(f)

TF TF TF

h[n]: rponse impulsionnelle du SLTI

H(e j): rponse frquentielle du SLTI

( ) [ ]+

=

=n

njj enheH

Rappel: vrai si SLTI Stable [ ]

26

V.6 Proprit de la multiplication

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )fXfXfYnxnxnyTF

2121 ==

Attention: Convolution priodique

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

deeXeXdfXXfY jjj == 22

12

1

01 2

1

27

Proprits de la Transforme de Fourier Temps

Discret

28

V.2 Signaux priodiques : Extension de la TF Temps Discret

Un signal priodique se dcompose en Srie de Fourier [ ] nNjkNk

kp eXnx2

=

=

[ ]

=

+

==

dfelNkfXnx nfj

lNkkp

21

0

[ ] dfeNkfXnx nfj

lkp

21

0

=

+

=

Par identification ( )

=

+

= NkfXfX

lkp

Train d impulsions de Dirac pondres par les coefficients de

Fourier priodiques et situes aux frquences f = k/N

( ) ( )+

==

kkfffX 0Soit le peigne

de Dirac:

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) nfjnfjnfj

nfj

k

nfj

edfeffdfeffnx

dfekffdfefXnx

00 220

1

0

20

1

0

20

1

0

21

0

===

==

+

=

( )+

=

k

TFnfj kffe 0

2 0 Montrons que:

......

f0 f0 f0+1 f0+2f0-1f0-2

( )+

=

kkff 0

(Hypothse 0

29

0 2N

B/ Expression simple de la TF d un signal priodique en TD

......t0 N 2N 3N-N

[ ] [ ]+

=

=k

N kNnnP

Tout signal priodique xp(t) peut tre reprsent comme la somme d une suite infinie de translates de x[n] motif lmentaire sur [0, N] xp[n]

N n

[ ]Nnx [ ]nx[ ]Nnx + [ ]Nnx 2

3N

......

[ ] [ ]+

=

=k

p kNnxnx

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nPnxkNnnxnx Nk

p == +

=

Or: [ ] [ ] [ ]kNnnxkNnx =

D o:

Proprit de la convolution

( ) ( )

=

=

+

=

+

= Nkf

NkX

NNkffX

NfX

kkp

11

=

=

NkX

NNkX

NX k

11 La TF permet d obtenir directement les coefficients de Fourier!

( ) ( ) ( )fPN

fXfXN

p 11.=

x[n]

0 N n

f

X(f)

10

f1/N0

Xp (f)

1

NX

N11

NX 1

... ...

... ...

30

V.3 Calcul de la Transforme de Fourier dune suite numrique

Pour calculer la Transforme de Fourier d un signal numrique fini de N points (TFD ou DFT),

- on priodise implicitement le signal et

- on rajoute ventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TFD sur (N+Nz) points.

Gnralement le calcul se fait avec N+Nz = 2n points, grce l algorithme de Transforme de

Fourier Rapide (TFR ou FFT) mis au point par Cooley et Tukey (1965)

[ ] [ ]=

=Nk

nN

kjekXnx

2

[ ] [ ] nNkjN

n

enxN

kX21

0

1

==

Remarque: [ ] kXkX =

31

V.7 Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations aux diffrences linaires coefficients constants

[ ] [ ]knxbknyaM

kk

N

kk =

== 00

( ) ( ) ( ) jjj eXeHeY =Proprit des SLTI: ( ) ( )( )

j

jj

eXeYeH =

Or: linarite + dcalage temporelle

( ) ( ) jkjMk

kjkj

N

kk eXebeYea

=

=

=

00

( )kj

N

kk

kjM

kk

j

ea

ebeH

=

=

=

0

0

Hypothse:H(e j) existe (converge)

32

Rsum Sries de Fourier - Transformes de Fourier

Signaux priodiques

Signaux apriodiques Spectre continu priodique

Spectre discret priodique

[ ] =

=Nk

nN

kjk eXnx

2

[ ] nNkjNn

k enxNX

21

==

[ ] ( )

deeXnx njj= 221 ( ) [ ] njenxeX

n

j +

=

=

X(e j)

20

x[n]

0 N 2N

...

k

x[n]

0 N n

10

X k

N

Signaux apriodiques Spectre continu apriodique

( ) ( ) dtetxjX tj+

= ( ) ( ) dejXtx tj

+

=

21

X(j)x(t)

0 T t

Spectre discret apriodique

( ) tjkk

keXtx 0

+

=

= ( ) dtetxT

XT

T

tjkk

=2/

2/

01

1 k20

Xk

2T0 T

( )tx

t

Signaux priodiques

T/20 =

33

Principales paires de Transforme en Z

Signaux et SystmesIV. Transforme de Fourier en Temps ContinuDiapositive numro 3Diapositive numro 4Diapositive numro 5Diapositive numro 6Diapositive numro 7Diapositive numro 8Diapositive numro 9Diapositive numro 10Diapositive numro 11Diapositive numro 12Diapositive numro 13Diapositive numro 14Diapositive numro 15Diapositive numro 16Diapositive numro 17Diapositive numro 18V. Transforme de Fourier en Temps DiscretDiapositive numro 20Diapositive numro 21Diapositive numro 22Diapositive numro 23Diapositive numro 24Diapositive numro 25Diapositive numro 26Diapositive numro 27Diapositive numro 28Diapositive numro 29Diapositive numro 30Diapositive numro 31Diapositive numro 32Diapositive numro 33

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