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LFM – Mathématiques – Classe de 3ème
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Ch 5 : Statistiques Introduction
Dans sa vie quotidienne, l'homme moderne est constamment assailli d'informations en tous genres. Parmi celles-‐ci, nombreuses sont celles qui se présentent sous la forme d'observations numériques.
Ainsi, pour remédier à l'incapacité de l'esprit humain d'intégrer instantanément un nombre important de données, le statisticien propose différentes solutions : une première catégorie de solutions est constituée de toutes les représentations graphiques possibles (diagrammes, histogrammes, etc.) ; dans une seconde catégorie, on retrouve l'ensemble des résumés numériques, c'est à dire les données qui cherchent à représenter une caractéristique donnée d'une série considérée (moyenne, mode, étendue...).
Le besoin statistique, c'est à dire l'activité humaine de recueil de données chiffrées, remonte à la plus haute Antiquité. Les premiers recensements ont été effectués par les Sumériens, 5000 ans avant notre ère. Par la suite, tous les états forts d'un système administratif puissant ont eu recours au dénombrement (Romains, Incas, Indiens...) afin de connaître leurs effectifs militaires, leurs puissances économiques etc. Mais les recensements coûtent cher, et au Moyen-‐âge le Marquis de Vauban, un proche de Colbert, a préconisé l'utilisation d'échantillons pour estimer au mieux les capacités. C'était le début de l'extrapolation...
La statistique, c'est-‐à-‐dire la science qui étudie les statistiques (les données) se divise en deux sous catégories :
• les statistiques descriptives • les statistiques inférentielles (sondages, prévisions, etc.)
En classe de 3°, nous ne travaillerons, pour l'instant, qu'avec des statistiques descriptives.
Quelques exemples de diagrammes :
1/ Tableaux statistiques et diagrammes :Les tableaux statistiques et les diagrammes permettent d'organiser et de
présenter les données recueillies. Le caractère étudié peut être qualitatif ou quantitatif.Un caractère quantitatif peut être
• discret : il ne peut prendre que des valeurs isolées ;• continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.Dans le cas d'une répartition en classes, on utilise un histogramme pour
représenter graphiquement les effectifs (ou les fréquences) : les aires des rectangles sontproportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).
Pour tracer le polygone des effectifs cumulés croissants, on place les points dont :• l'abscisse est la limite supérieure d'une classe ;• l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant de cette classe.Exemple : Les élèves d'une classe de Bac Pro réalisent trois enquêtes dont lesinformations sont données dans les tableaux suivants :
• Tableau 1 :Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Prolors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons
Note x i Effectif ni3689
10111213141516
1237543122131
La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeursisolées).
• Tableau 2 : temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarderla télévision. Population interrogée : les 620 élèves du lycée. Intervalle unitaire (IU) : 4 heures On calcule les Eff/IU. La hauteur des rectangles correspond à l'effectif par
intervalle unitaire.Histogramme
Durée h
Effectif
ni
Effectif/UI
[0 ; 4[[4 ; 8[
[8 ; 12[[12 ; 20[[20 ; 28[
4080
160200140
4080
16010070
620
stat_1var
Colonne B
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Durée (heures)
Eff/U
I
Séries statistiques à une variable
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
Titre principal
Note
Effe
ctif
USA Europe Japon Chine 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
P
G
C
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I – Vocabulaire : rappels
Lorsque l'on mène une étude statistique :
✔ On doit d'abord définir le caractère que l'on veut étudier. Ce caractère peut être qualitatif (qualité), comme la couleur des yeux, ou quantitatif (quantité) comme la taille par exemple.
✔ On doit délimiter la population étudiée, c'est-‐à-‐dire l'ensemble des individus qui ont participé à l'enquête.
✔ On doit déterminer l'effectif total, c'est-‐à-‐dire le nombre total d'individus qui ont participé, puis les effectifs selon chaque valeur proposée.
✔ On peut préciser la fréquence de chaque valeur, qui est égale au quotient : totaleffectifvaleurladeeffectif
____
1/ Tableaux statistiques et diagrammes :Les tableaux statistiques et les diagrammes permettent d'organiser et de
présenter les données recueillies. Le caractère étudié peut être qualitatif ou quantitatif.Un caractère quantitatif peut être
• discret : il ne peut prendre que des valeurs isolées ;• continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.Dans le cas d'une répartition en classes, on utilise un histogramme pour
représenter graphiquement les effectifs (ou les fréquences) : les aires des rectangles sontproportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).
Pour tracer le polygone des effectifs cumulés croissants, on place les points dont :• l'abscisse est la limite supérieure d'une classe ;• l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant de cette classe.Exemple : Les élèves d'une classe de Bac Pro réalisent trois enquêtes dont lesinformations sont données dans les tableaux suivants :
• Tableau 1 :Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Prolors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons
Note x i Effectif ni3689
10111213141516
1237543122131
La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeursisolées).
• Tableau 2 : temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarderla télévision. Population interrogée : les 620 élèves du lycée. Intervalle unitaire (IU) : 4 heures On calcule les Eff/IU. La hauteur des rectangles correspond à l'effectif par
intervalle unitaire.Histogramme
Durée h
Effectif
ni
Effectif/UI
[0 ; 4[[4 ; 8[
[8 ; 12[[12 ; 20[[20 ; 28[
4080
160200140
4080
16010070
620
stat_1var
Colonne B
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Durée (heures)
Eff/U
I
Séries statistiques à une variable
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
Titre principal
Note
Effectif
• Tableau 3 : la musique préférée des élèves du lycée. On calcule les angles dessecteurs correspondants aux effectifs ni.
Diagramme circulaire
Type de musique Effectif
ni
Angle
RockRap/RaïTechno
Variété françaiseVariété étrangère
Autre
18012080
1208040
105°70°46°70046°23°
620 360°
Le caractère étudié est un caractère qualitatif (non mesurable).
• Mode et étendue statistique :o On appelle mode d'une distribution statistique la valeur de la variable
qui a le plus grand effectif. Dans le cas d'une distribution en classes, onappelle classe modale la classe qui a le plus grand effectif par intervalleunitaire. Le centre de la classe modale est appelé mode.
Exemple : dans le tableau 1 : la note qui a été le plus attribuée est 9. 9 est le mode de cette série statistique.
o L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeursextrêmes du caractère. Dans le tableau 1, la note minimum est 3, lamaximum est 16. L'étendue est donc 16-3 = 13
2/ Les indicateurs de l'analyse statistiquea) La moyenne d'une série statistique, notée x est obtenue par :
x=n1 x1n2 x2...np x p
N=∑i=1
i= p
ni x i
N
avec
N=∑i=1
i= p
ni et N effectif total
x i : valeur du caractère ou centre des classes
ni : effectif de xi ou de la classe de centre xi
p : nombre de classes ou de valeurs différentes du caractère.Exemple : dans le tableau 1, la note moyenne est calculée par :
b) Variance et écart type d'une série statistique : La variance
V=∑i=1
i= p
ni x i−x 2
N=∑i=1
i= p
ni x i2
N−x2
stat_1var
Rock
Rap/Raï
Techno
Variété française
Variété étrangère
Autre
x=1×32×63×87×95×104×113×121×132×142×151×16
31=10,06
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Exemple : dans un élevage de souris, on s’intéresse à la couleur du pelage. Il peut être gris (G), noir (N), blanc (Bl), roux (R) ou brun (Br). On a les résultats suivants :
N ; N ; Bl ; G ; Br ; G ; N ; Bl ; G ; G ; Br ; R ; N ; R Br ; Br ; Bl ; G ; N ; Bl ; G ; R ; R ; Br ; N ; N ; G ; Bl
Compléter les renseignements suivants sur cette série statistique :
Population étudiée : …………………………………………………………………………
Caractère étudié : ……………………………………………………………………………
Effectif total : ……………………………………………………………………………….
Effectif de la valeur « gris » : ………………………………………………………………
Fréquence de la valeur « roux » : …………………………………………………………..
II -‐ Moyennes
1) Moyenne arithmétique non pondérée
Règle : pour calculer la moyenne M d’une série statistique : 1. On additionne toutes les valeurs du caractère de la série ; 2. On divise cette somme par l’effectif total de la série
𝑀 =𝑥! + 𝑥! +⋯+ 𝑥!
𝑝
Application : Léa a calculé le temps qu’elle a passé devant la télévision la semaine dernière :
Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Temps (min) 62 57 110 60 46 122 131
Calcule le temps moyen que Léa a passé par jour devant la télévision la semaine dernière.
𝑀 =
Léa a donc passé en moyenne …………… par jour devant la télévision.
2) Moyenne arithmétique pondérée
Règle : pour calculer la moyenne pondérée M d’une série statistique : 1. On additionne les produits des valeurs par leur coefficient ; 2. On divise cette somme par la somme des coefficients
𝑀 =𝑥!×𝑛! + 𝑥!×𝑛! +⋯+ 𝑥!×𝑛!
𝑛! + 𝑛! +⋯+ 𝑛!
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Application : chaque élève de la classe de 3°1 du collège Lucie Aubrac a indiqué le nombre de livres qu’il a lus durant le mois de septembre :
Nombre de livre lus 0 1 2 3 7 8 15
Effectif 12 4 3 3 1 1 1
Calcule le nombre de livres lus en moyenne par les élèves de cette classe au cours du mois de septembre.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………… En moyenne, les élèves de cette classe ont lu ………… livres au cours du mois de septembre.
III – Médiane, quartiles
1. Médiane d’une série statistique
Définition 1 : les données d’une série étant rangées par ordre croissant, on appelle médiane de cette série une valeur qui partage cette série en deux parties de même effectif.
Application 1 : lorsque le nombre de valeurs est impair
Déterminer la médiane de la série statistique suivante : 25 – 54 – 34 – 32 – 63 – 21 – 12
D'abord on ordonne les valeurs : …………………………………………………………………….
Il y a ………. valeurs => ………. : 2 = ………..
La médiane sera la …………………………….. valeur, c'est-‐à-‐dire ………….
Ainsi trois valeurs lui sont inférieures, et trois valeurs lui sont supérieures.
Application 2 : lorsque le nombre de valeurs est pair
Déterminer la médiane de la série statistique suivante : 45 – 4 – 40 – 69 – 90 – 21 – 9 – 71
D'abord on ordonne les valeurs : …………………………………………………………………….
Il y a ………. valeurs => ………. : 2 = ………..
La médiane va se situer entre la ……….. valeur et la …………… valeur, c'est-‐à-‐dire entre …….. et …….
La médiane est donc …………
On remarque que la médiane n'appartient pas forcément à la série.
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2. Quartiles d’une série statistique
Définition 2 : les données d’une série étant rangées par ordre croissant :
• le premier quartile, noté 𝑄!, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins un quart des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
• le troisième quartile, noté 𝑄!, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins trois quarts des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
Application : déterminer le premier et le troisième quartiles d’une série
Voici les pointures de chaussures d’une équipe sportive : 38 – 40 – 40 – 43 – 39 – 40 – 40 – 42 – 44 – 42 – 38 – 39 – 39 – 41 – 42 – 41 – 43 – 38 – 39 – 42 – 42 – 42
Déterminer les premier et troisième quartiles de cette série. Interpréter. Tout d’abord , rangeons les valeurs dans l’ordre croissant :
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. Diagramme en boîte :
On peut représenter la distribution d'une série à l'aide d'un diagramme en boîte. Sur celui-ci doivent figurer :
• le minimum et le maximum de la série • les premier et troisième quartiles (Q1 et Q3) • la médiane de la série.
Ces indicateurs doivent être ordonnés proportionnellement.
Remarque : ces diagrammes sont parfois appelés « boîtes à moustaches », lorsqu’on fait apparaître les premier et neuvième déciles.
Rappel :
l’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
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Exercice : on donne la répartition des notes d'une classe à un contrôle.
Notes /20 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Effectifs 2 3 5 2 1 6 1 3 2
1. Déterminer la note médiane ce cette série statistique
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. Interpréter ce résultat
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. Déterminer l’étendue de cette série statistique. Interpréter ce résultat.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Déterminer les premier et troisième quartile de cette série statistique. Interpréter ces résultats.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. Tracer le diagramme en boîte de cette série. ___________________________________________________________________________________________________________________________