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LFM – Mathématiques – Classe de 3 ème 1 Ch 5 : Statistiques Introduction Dans sa vie quotidienne, l'homme moderne est constamment assailli d'informations en tous genres. Parmi cellesci, nombreuses sont celles qui se présentent sous la forme d'observations numériques. Ainsi, pour remédier à l'incapacité de l'esprit humain d'intégrer instantanément un nombre important de données, le statisticien propose différentes solutions : une première catégorie de solutions est constituée de toutes les représentations graphiques possibles (diagrammes, histogrammes, etc.) ; dans une seconde catégorie, on retrouve l'ensemble des résumés numériques, c'est à dire les données qui cherchent à représenter une caractéristique donnée d'une série considérée (moyenne, mode, étendue...). Le besoin statistique, c'est à dire l'activité humaine de recueil de données chiffrées, remonte à la plus haute Antiquité. Les premiers recensements ont été effectués par les Sumériens, 5000 ans avant notre ère. Par la suite, tous les états forts d'un système administratif puissant ont eu recours au dénombrement (Romains, Incas, Indiens...) afin de connaître leurs effectifs militaires, leurs puissances économiques etc. Mais les recensements coûtent cher, et au Moyenâge le Marquis de Vauban, un proche de Colbert, a préconisé l'utilisation d'échantillons pour estimer au mieux les capacités. C'était le début de l'extrapolation... La statistique, c'estàdire la science qui étudie les statistiques (les données) se divise en deux sous catégories : les statistiques descriptives les statistiques inférentielles (sondages, prévisions, etc.) En classe de 3°, nous ne travaillerons, pour l'instant, qu'avec des statistiques descriptives. Quelques exemples de diagrammes : Tableau 1 : Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Pro lors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons Note x i Effectif n i 3 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 7 5 4 3 1 2 2 1 31 La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeurs isolées). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 Titre principal Note Effectif USA Europe Japon Chine 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 P G C

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LFM – Mathématiques – Classe de 3ème

1

Ch  5  :  Statistiques    Introduction  

 Dans   sa   vie   quotidienne,   l'homme  moderne   est   constamment   assailli   d'informations   en   tous   genres.   Parmi  celles-­‐ci,  nombreuses  sont  celles  qui  se  présentent  sous  la  forme  d'observations  numériques.  

Ainsi,   pour   remédier   à   l'incapacité   de   l'esprit   humain   d'intégrer   instantanément   un   nombre   important   de  données,   le  statisticien  propose  différentes  solutions   :  une  première  catégorie  de  solutions  est  constituée  de  toutes   les   représentations  graphiques  possibles   (diagrammes,  histogrammes,  etc.)   ;  dans  une  seconde  catégorie,  on  retrouve  l'ensemble   des   résumés   numériques,   c'est   à   dire   les   données  qui  cherchent  à  représenter  une  caractéristique  donnée  d'une  série  considérée  (moyenne,  mode,  étendue...).  

Le  besoin  statistique,  c'est  à  dire   l'activité  humaine  de  recueil  de   données   chiffrées,   remonte   à   la   plus   haute   Antiquité.   Les  premiers   recensements   ont   été   effectués   par   les   Sumériens,  5000  ans  avant  notre  ère.  Par  la  suite,  tous  les  états  forts  d'un  système   administratif   puissant   ont   eu   recours   au  dénombrement   (Romains,   Incas,   Indiens...)   afin   de   connaître  leurs   effectifs   militaires,   leurs   puissances   économiques   etc.  Mais   les   recensements   coûtent   cher,   et   au   Moyen-­‐âge   le  Marquis  de  Vauban,  un  proche  de  Colbert,   a  préconisé   l'utilisation  d'échantillons  pour  estimer  au  mieux   les  capacités.  C'était  le  début  de  l'extrapolation...  

La   statistique,   c'est-­‐à-­‐dire   la   science   qui   étudie   les   statistiques   (les   données)   se   divise   en   deux   sous  catégories  :      

• les  statistiques  descriptives      • les  statistiques  inférentielles  (sondages,  prévisions,  etc.)  

 En  classe  de  3°,  nous  ne  travaillerons,  pour  l'instant,  qu'avec  des  statistiques  descriptives.  

Quelques  exemples  de  diagrammes  :  

1/ Tableaux statistiques et diagrammes :Les tableaux statistiques et les diagrammes permettent d'organiser et de

présenter les données recueillies. Le caractère étudié peut être qualitatif ou quantitatif.Un caractère quantitatif peut être

• discret : il ne peut prendre que des valeurs isolées ;• continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.Dans le cas d'une répartition en classes, on utilise un histogramme pour

représenter graphiquement les effectifs (ou les fréquences) : les aires des rectangles sontproportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).

Pour tracer le polygone des effectifs cumulés croissants, on place les points dont :• l'abscisse est la limite supérieure d'une classe ;• l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant de cette classe.Exemple : Les élèves d'une classe de Bac Pro réalisent trois enquêtes dont lesinformations sont données dans les tableaux suivants :

• Tableau 1 :Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Prolors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons

Note x i Effectif ni3689

10111213141516

1237543122131

La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeursisolées).

• Tableau 2 : temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarderla télévision. Population interrogée : les 620 élèves du lycée. Intervalle unitaire (IU) : 4 heures On calcule les Eff/IU. La hauteur des rectangles correspond à l'effectif par

intervalle unitaire.Histogramme

Durée h

Effectif

ni

Effectif/UI

[0 ; 4[[4 ; 8[

[8 ; 12[[12 ; 20[[20 ; 28[

4080

160200140

4080

16010070

620

stat_1var

Colonne B

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

Durée (heures)

Eff/U

I

Séries statistiques à une variable

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

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6,5

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Titre principal

Note

Effe

ctif

USA   Europe   Japon   Chine  0  

500  

1000  

1500  

2000  

2500  

3000  

3500  

4000  

P  

G  

C  

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2

 

 

 

I  –  Vocabulaire  :  rappels  

Lorsque  l'on  mène  une  étude  statistique  :  

✔ On  doit  d'abord  définir   le  caractère  que   l'on  veut  étudier.  Ce  caractère  peut  être  qualitatif   (qualité),  comme  la  couleur  des  yeux,  ou  quantitatif  (quantité)  comme  la  taille  par  exemple.  

✔ On   doit   délimiter   la   population   étudiée,   c'est-­‐à-­‐dire   l'ensemble   des   individus   qui   ont   participé   à  l'enquête.    

✔ On  doit  déterminer   l'effectif   total,   c'est-­‐à-­‐dire   le  nombre  total  d'individus  qui  ont  participé,  puis   les  effectifs  selon  chaque  valeur  proposée.  

✔ On  peut  préciser  la    fréquence  de  chaque  valeur,  qui  est  égale  au  quotient  :    totaleffectifvaleurladeeffectif

____

 

     

1/ Tableaux statistiques et diagrammes :Les tableaux statistiques et les diagrammes permettent d'organiser et de

présenter les données recueillies. Le caractère étudié peut être qualitatif ou quantitatif.Un caractère quantitatif peut être

• discret : il ne peut prendre que des valeurs isolées ;• continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.Dans le cas d'une répartition en classes, on utilise un histogramme pour

représenter graphiquement les effectifs (ou les fréquences) : les aires des rectangles sontproportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).

Pour tracer le polygone des effectifs cumulés croissants, on place les points dont :• l'abscisse est la limite supérieure d'une classe ;• l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant de cette classe.Exemple : Les élèves d'une classe de Bac Pro réalisent trois enquêtes dont lesinformations sont données dans les tableaux suivants :

• Tableau 1 :Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Prolors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons

Note x i Effectif ni3689

10111213141516

1237543122131

La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeursisolées).

• Tableau 2 : temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarderla télévision. Population interrogée : les 620 élèves du lycée. Intervalle unitaire (IU) : 4 heures On calcule les Eff/IU. La hauteur des rectangles correspond à l'effectif par

intervalle unitaire.Histogramme

Durée h

Effectif

ni

Effectif/UI

[0 ; 4[[4 ; 8[

[8 ; 12[[12 ; 20[[20 ; 28[

4080

160200140

4080

16010070

620

stat_1var

Colonne B

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

Durée (heures)

Eff/U

I

Séries statistiques à une variable

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

Titre principal

Note

Effectif

• Tableau 3 : la musique préférée des élèves du lycée. On calcule les angles dessecteurs correspondants aux effectifs ni.

Diagramme circulaire

Type de musique Effectif

ni

Angle

RockRap/RaïTechno

Variété françaiseVariété étrangère

Autre

18012080

1208040

105°70°46°70046°23°

620 360°

Le caractère étudié est un caractère qualitatif (non mesurable).

• Mode et étendue statistique :o On appelle mode d'une distribution statistique la valeur de la variable

qui a le plus grand effectif. Dans le cas d'une distribution en classes, onappelle classe modale la classe qui a le plus grand effectif par intervalleunitaire. Le centre de la classe modale est appelé mode.

Exemple : dans le tableau 1 : la note qui a été le plus attribuée est 9. 9 est le mode de cette série statistique.

o L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeursextrêmes du caractère. Dans le tableau 1, la note minimum est 3, lamaximum est 16. L'étendue est donc 16-3 = 13

2/ Les indicateurs de l'analyse statistiquea) La moyenne d'une série statistique, notée x est obtenue par :

x=n1 x1n2 x2...np x p

N=∑i=1

i= p

ni x i

N

avec

N=∑i=1

i= p

ni et N effectif total

x i : valeur du caractère ou centre des classes

ni : effectif de xi ou de la classe de centre xi

p : nombre de classes ou de valeurs différentes du caractère.Exemple : dans le tableau 1, la note moyenne est calculée par :

b) Variance et écart type d'une série statistique : La variance

V=∑i=1

i= p

ni x i−x 2

N=∑i=1

i= p

ni x i2

N−x2

stat_1var

Rock

Rap/Raï

Techno

Variété française

Variété étrangère

Autre

x=1×32×63×87×95×104×113×121×132×142×151×16

31=10,06

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3

Exemple  :  dans  un  élevage  de  souris,  on  s’intéresse  à  la  couleur  du  pelage.  Il  peut  être  gris  (G),  noir  (N),  blanc  (Bl),  roux  (R)  ou  brun  (Br).  On  a  les  résultats  suivants  :  

N  ;  N  ;  Bl  ;  G  ;  Br  ;  G  ;  N  ;  Bl  ;  G  ;  G  ;  Br  ;  R  ;  N  ;  R  Br  ;  Br  ;  Bl  ;  G  ;  N  ;  Bl  ;  G  ;  R  ;  R  ;  Br  ;  N  ;  N  ;  G  ;  Bl  

Compléter  les  renseignements  suivants  sur  cette  série  statistique  :  

Population  étudiée  :  …………………………………………………………………………  

Caractère  étudié  :  ……………………………………………………………………………  

Effectif  total  :  ……………………………………………………………………………….  

Effectif  de  la  valeur  «  gris  »  :  ………………………………………………………………  

Fréquence  de  la  valeur  «  roux  »  :  …………………………………………………………..  

   

II  -­‐  Moyennes  

1)  Moyenne  arithmétique  non  pondérée  

Règle  :  pour  calculer  la  moyenne  M  d’une  série  statistique  :  1. On  additionne  toutes  les  valeurs  du  caractère  de  la  série  ;  2. On  divise  cette  somme  par  l’effectif  total  de  la  série  

𝑀 =𝑥! + 𝑥! +⋯+ 𝑥!

𝑝  

 Application  :  Léa  a  calculé  le  temps  qu’elle  a  passé  devant  la  télévision  la  semaine  dernière  :  

Jour   Lundi   Mardi   Mercredi   Jeudi   Vendredi   Samedi   Dimanche  Temps  (min)   62   57   110   60   46   122   131  

Calcule  le  temps  moyen  que  Léa  a  passé  par  jour  devant  la  télévision  la  semaine  dernière.  

𝑀 =  

Léa  a  donc  passé  en  moyenne  ……………  par  jour  devant  la  télévision.  

 

 

 2)  Moyenne  arithmétique  pondérée  

 

Règle  :  pour  calculer  la  moyenne  pondérée  M  d’une  série  statistique  :  1. On  additionne  les  produits  des  valeurs  par  leur  coefficient  ;  2. On  divise  cette  somme  par  la  somme  des  coefficients  

𝑀 =𝑥!×𝑛! + 𝑥!×𝑛! +⋯+ 𝑥!×𝑛!

𝑛! + 𝑛! +⋯+ 𝑛!  

 

 

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 Application  :  chaque  élève  de  la  classe  de  3°1  du  collège  Lucie  Aubrac  a  indiqué  le  nombre  de  livres  qu’il  a  lus  durant  le  mois  de  septembre  :  

Nombre  de  livre  lus   0   1   2   3   7   8   15  

Effectif   12   4   3   3   1   1   1  

Calcule  le  nombre  de  livres  lus  en  moyenne  par  les  élèves  de  cette  classe  au  cours  du  mois  de  septembre.  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  En  moyenne,  les  élèves  de  cette  classe  ont  lu  …………  livres  au  cours  du  mois  de  septembre.  

 

III  –  Médiane,  quartiles  

1.  Médiane  d’une  série  statistique  

Définition  1  :   les  données  d’une  série  étant  rangées  par  ordre  croissant,  on  appelle  médiane  de  cette  série  une  valeur  qui  partage  cette  série  en  deux  parties  de  même  effectif.  

 

Application  1  :  lorsque  le  nombre  de  valeurs  est  impair  

 

Déterminer  la  médiane  de  la  série  statistique  suivante  :  25  –  54  –  34  –  32  –  63  –  21  –  12  

D'abord  on  ordonne  les  valeurs    :  …………………………………………………………………….  

 

Il  y  a    ……….  valeurs     =>    ……….  :  2  =  ………..    

La  médiane  sera  la  ……………………………..  valeur,  c'est-­‐à-­‐dire  ………….  

 Ainsi  trois  valeurs  lui  sont  inférieures,  et  trois  valeurs  lui  sont  supérieures.  

 

Application  2  :  lorsque  le  nombre  de  valeurs  est  pair  

 

Déterminer  la  médiane  de  la  série  statistique  suivante  :  45  –  4  –  40  –  69  –  90  –  21  –  9  –  71  

D'abord  on  ordonne  les  valeurs    :  …………………………………………………………………….  

 

Il  y  a    ……….  valeurs     =>    ……….  :  2  =  ………..    

 La  médiane  va  se  situer  entre  la  ………..  valeur  et  la  ……………  valeur,  c'est-­‐à-­‐dire  entre  ……..  et  …….  

   La  médiane  est  donc  …………    

 

On  remarque  que  la  médiane  n'appartient  pas  forcément  à  la  série.  

 

 

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2.  Quartiles  d’une  série  statistique  

Définition  2  :  les  données  d’une  série  étant  rangées  par  ordre  croissant  :  

      •      le  premier  quartile,  noté  𝑄!,  est  la  plus  petite  valeur  de  la  série  telle  qu’au  moins  un  quart  des  valeurs  de  la  série  lui  soient  inférieures  ou  égales.  

      •      le  troisième  quartile,  noté  𝑄!,  est  la  plus  petite  valeur  de  la  série  telle  qu’au  moins  trois  quarts  des  valeurs  de  la  série  lui  soient  inférieures  ou  égales.  

 

Application  :  déterminer  le  premier  et  le  troisième  quartiles  d’une  série  

Voici  les  pointures  de  chaussures  d’une  équipe  sportive  :  38  –  40  –  40  –  43  –  39  –  40  –  40  –  42  –  44  –  42  –  38  –  39  –  39  –  41  –  42  –  41  –  43  –  38  –  39  –  42  –  42  –  42  

 Déterminer  les  premier  et  troisième  quartiles  de  cette  série.  Interpréter.    Tout  d’abord  ,  rangeons  les  valeurs  dans  l’ordre  croissant  :  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………      

3.  Diagramme  en  boîte  :  

On peut représenter la distribution d'une série à l'aide d'un diagramme en boîte. Sur celui-ci doivent figurer :

• le  minimum  et  le  maximum  de  la  série  • les  premier  et  troisième  quartiles  (Q1  et  Q3)  • la  médiane  de  la  série.  

Ces  indicateurs  doivent  être  ordonnés  proportionnellement.  

 

 

Remarque  :  ces  diagrammes  sont  parfois  appelés  «  boîtes  à  moustaches  »,  lorsqu’on  fait  apparaître  les  premier  et  neuvième  déciles.  

 

Rappel  :  

 l’étendue  d’une  série  statistique  est  la  différence  entre  la  plus  grande  et  la  plus  petite  valeur.  

 

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Exercice  :  on  donne  la  répartition  des  notes  d'une  classe  à  un  contrôle.  

Notes  /20   7   8   9   10   11   12   13   14   15  

Effectifs   2   3   5   2   1   6   1   3   2  

1. Déterminer  la  note  médiane  ce  cette  série  statistique  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  2. Interpréter ce résultat

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

3. Déterminer  l’étendue  de  cette  série  statistique.  Interpréter  ce  résultat.  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………    

4. Déterminer  les  premier  et  troisième  quartile  de  cette  série  statistique.  Interpréter  ces  résultats.  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………  

………………………………………………………………………………………………………………………………………    

5. Tracer  le  diagramme  en  boîte  de  cette  série.                      ___________________________________________________________________________________________________________________________