Cours architecture

Chapitre I prof :ISRINE

Système de numération et représentation de l’information

1. Généralités

Presque tous les ordinateurs ne font pas le calcul en base 10. La base 10 est le plus souvent

utilisée par les hommes, il faut apprendre à convertir les nombres d’une base de données à

une autre.

2. Les systèmes de numération

Par définition est l’action ou la manière de représenter les chiffres. Il existe plusieurs

systèmes de numération :

Système décimal

Système binaire

Système octal

Système hexadécimal

Ces systèmes sont généralement utilisés dans la programmation, Dans la base donnée α un

nombre peut être exprimé sous la forme d’un polynôme. Supposons le nombre suivant X =

(an an-1 … a0)

Exemple :

Soit X = 2955 sa forme pronominale est : X = 2x103 + 9x102 + 5x101 + 5x100

a. Le système décimal ou base 10

C’est le système le plus connu et le plus utilisé par les hommes. Il est constitué de 10

symboles ou chiffres appelés digits. Ces symboles sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

b. Le système binaire ou base 2

C’est un système composé de 2 symboles 0 et 1 encore appelé digits binaire (binary digit)

d’où le nom bit. Ce système est à la base du langage machine (c’est le seul langage

compréhensible par l’ordinateur).

Le système octal ou base 8

C’est un système intermédiaire constitué de 8 symboles qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;7

Le système hexadécimal ou base 16

Le langage utilisé par l’ordinateur pour communiquer est le langage binaire. Or écrire une

suite d’instruction dans le langage binaire devient parfois impossible car il faudra

systématiquement aligner une suite de 0 et de 1. Ce qui est laborieux et augmente les

possibilités d’erreur. C’est la raison pour laquelle le système hexadécimal intervient. Ce

système dispose de 16 symboles dont 10 chiffres de 0 à 9 et 6 lettres A ; A ; B ; C ; D ; E et

F.

A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15


3. Représentation de données numériques

Un nombre réel comporte généralement une partie entière et une partie décimale. Dans une

base α un nombre X quelconque peut avoir la représentation suivante.

X = (anan-1 … a0, b1b2 … bn).

Il existe une correspondance entre les bases 10 ; 2 ; 8 et 16.

Base 10 Base 2 Base 8 Base 16

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Pour convertir un nombre d’une base donnée à une autre on convertit la partir entière dans la

base voulue et pour la partie décimale on convertit la partie fractionnelle dans la base voulue.

a. Conversion de la partie entière

Conversion de la base 10 à une base β

Il est possible de passer d’un nombre décimal à un nombre en base β en utilisant la division

successive par β.

On divise successivement le nombre décimal par β en gardant les restes, on s’arrête lorsque

le quotient devient nul. Le résultat est obtenu en prenant l’ordre inverse des restes.

Exemples :

Conversion d’un nombre en base 2.

(18)10 = (…)2

18 :2 = 9 et reste = 0

9 :2 = 4 et reste = 1

4 :2 = 2 et reste = 0

2 :2 = 1 et reste = 0

1 :2 = 0 et reste = 1


(18)10 = (10010)2

Conversion d’un nombre en base 8

(207)10 = (…)8

207 :8 = 25 et reste = 7

25 :8 = 3 et reste = 1

3 :8 = 0 et reste = 3

(207)10 = (317)8

Exercice :

Effectuer les conversions suivantes :

(3479)10 = (…)16 ; (145)10 = (…)2 ; (3007)10 = (…)16 ; (452)10 = (…)8

Conversion de la base β à la base 10

De façon inverse il est facile de passer d’un nombre β d’un nombre en base 10 pour

multiplication successive de puissance de β : on multiplie chaque élément du nombre en base β

élevé à une puissance. Les puissances sont comptées à partir de 0 en partant de la droite

vers la gauche, puis on effectue la somme des résultats obtenus :

Trouver la position de chaque chiffre constituant le nombre

On multiplie chaque chiffre par β à la puissance de sa position

Faire la somme des résultats obtenus.

Exemple :

1) (1100101)2 = (…)10

2.26 + 1.25 + 0.24 + 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = (101)10

2) (203)8 = (…)10

2.8² + 0.81 + 3.80 = 128 + 3 = (131)10

3) (76)16 = (…)10

7.161 + 6.160 = 112 + 6 = (118)10

Exercice :

Effectuer la conversion suivante :


1. (145)8 = (…)10

2. (452)8 = (…)10 = (…)16

3. (546)16 = (…)10 = (…)8 = (…)2

4. (458)16 = (…)10 = (…)2

5. (DC48)16 = (…)10 = (…)8

6. (100011)2 = (…)10 = (…)8

7. (111001011)2 = (…)10 = (…)16

b. Conversion de la partie décimale

Une partie décimale y s’exprime sur la forme suivante

y=(0,b1b2...bn)

En multipliant y par β on obtient une partie entière et une partie décimale

La conversion de la partie décimale peut générer un nombre qui n’a pas une représentation

fixe.

Exemple : (0.175)10 = (…)2

d0 = 0.175

2d0 = 0.35

d1 = 0.35 et b1 = 0

2d1 = 0.7

d2 = 0.7 et b2 = 0

2d2 = 1.4

d3 = 0.4 et b3 = 1

2d3 = 0.8

d4 = 0.8 et b4

2d4 = 1.6

d5 = 0.6 et b5 = 1

2d5 = 1.2

d6 = 0.2 et b6 = 1

2d6 = 0.4

d7 = 0.4 et b7 = 0

réponse : (0.175)10 = (0.0010110…)2

Exercice :

Effectuer les conversions suivantes :


1. (250.55)10 = (…)2 = (…)8 = (…)16

2. (1001001.011)2 = (…)10 = (…)13

3. (1032.2)8 = (…)10 = (…)2 = (…)16

4. (45EA.AB)16 = (…)10 = (…)8

c. Conversion de 2↔8 et 2↔16

Conversion de 2↔8

Etant donné un nombre en base 2 la conversion en base 8 se fait en subdivisant la

représentation binaire en groupe de 3 bits en remplaçant chaque groupe par son chiffre

correspondant en base 8. La subdivision procède du point décimal vers la gauche pour la

partie entière et vers la droite pour la partie décimale. Dans chaque cas on peut avoir à

compléter le dernier bit par zéro pour avoir 3 bits.

Exemple :

(11 001 011. 111 001 11)2 = (313.716)8

Pour passer de la base 8 à la base 2 on remplace chaque chiffre par sa représentation binaire.

Exemple :

(4375.4012)8 = (1000 011 111 101 . 100 000 001 010)2

Conversion de 2↔16

Chaque symbole de l’alphabet hexadécimal correspond à un nombre de 4 bits. Ainsi on peut

passer d’un nombre binaire à un nombre hexadécimal en subdivisant ces nombres binaires en

groupe de 4 bits. Pour la partie entière on procède de la droite vers la gauche à partir du

point décimal et pour la partie décimale on procède de la gauche vers la droite. Dans chaque

cas on peut avoir à compléter le dernier quartet de bit par les 0 pour avoir 4 bits.

Exemple :

(100 0111 . 1100 0011 0)2 = (47.C30)16

Pour passer de la base 16 à la base 2 il suffit de convertir tout simplement chaque chiffre qui

compose le nombre hexadécimal en binaire.

Exemple :

(13C)16 = (0001 0011 1100)2

4. Opération arithmétique

Les opérations sur les nombres binaires s’effectuent de la même façon que sur les nombres

décimaux. Toutefois il ne faut pas oublier que les seuls symboles utilisés sont le 1 et 0.


a. Addition fondamentale

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

b. Soustraction

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1 et on retient 1

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 – 1 = 0 et on retient 1

c. Multiplication

Méthode 1

Dans cette méthode on utilise le même principe que dans la base 10. On multiplie le

multiplicande par chacun des bits du multiplicateur, on décale à chaque fois les résultats

intermédiaires et on effectue ensuite l’addition de ces résultats partiels.

Exemple :

1011 * 111

1011

*111

______

1011

1011

1011

______

1001101

Méthode 2

On multiplie le premier terme par la somme des puissances de 2 du second terme. Pour cela il

suffit de décomposer le second terme sous forme de somme de puissance de 2.

Ex : 101011 = 100 000 + 1 000 + 10 + 1

Exemple :

1100 * 1101 = 1100(1000 + 100 + 1) = 1100 000 + 1100 00 + 1100 = 10011100


d. Division

Nous avons constaté que la multiplication était basée sur une succession d’addition.

Inversement la division va être basée sur une succession de soustraction.

Exemple :

1100 : 100 = 11

5. OPERATEURS LOGIQUES

Les 3 opérateurs de bases sont NON, OU, ET.

Les opérations logiques peuvent être réalisées avec des circuits électroniques intégrés.

Les entrées et les sorties sont des tensions électriques. Généralement une variable x = 0

correspond à une tension 0 Volt et une variable x = 1 correspond à une tension de 5 Volt.

a. La fonction « NON ».

Equation :

s = A

La table de vérité.

entrée sortie

A S

0 1

1 0

Symbole :

Norme US :

b. La fonction « ET ».

Equation :

S = A . B

Table de vérité

entrée entrée sortie

A B S

1 A S


0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Symbole :

Norme US :

c. La fonction « OU ».

Equation.

S = A + B

Table de vérité.

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Symbole.

Norme US :

d. Réalisation de circuits logiques

&

1

A

A

B

B

S

S


Par exemple l'expression algébrique

(A+B).(A+/C)

Sera schématisée comme suit :

5. Algèbre de Boole

L'algèbre de Boole est une algèbre se proposant de traduire des signaux en expressions

mathématiques.

Grâce à des règles appelées lois de composition

a. Loi de composition

Les lois de composition sont des règles logiques qui permettent de simplifier l'écriture des

expressions algébriques.

Associativité

(A.B).C est équivalent à A.(B.C)

(A+B)+C est équivalent à A+(B+C)

Absorption

A.(A+B) est équivalent à A

A+A.B est équivalent à A

Commutativité

A.B est équivalent à B.A

A+B est équivalent à B+A

Distributivité

A+(B.C) est équivalent à (A+B).(A+C)

A.(B+C) est équivalent à A.B+A.C

http://www.commentcamarche.net/contents/compos.php3


Idempotence

A.A est équivalent à A

A + A est équivalent à A

Identité

1.A est équivalent à A

0+A est équivalent à A

Inversion

A./A est équivalent à 0

A+/A est équivalent à 1

Nullité

0.A est équivalent à 0

1+A est équivalent à 1

b. THEOREME DE DEMORGAN

1) Théorème N°1

Le complément d’une somme logique est égal aux produits des termes complémentés de cette

somme.

Exemple :

( A + B ) = A . B

( A + B + C ) = A . B . C

( A + B ) = A . B

2) Théorème N°2

Le complément d’un produit logique est égal à la somme des termes complémentés de ce

produit.

Exemple :

( A . B ) = A + B

( A . B . C ) = A + B + C


( A . B ) = A + B

6. Un additionneur

Un additionneur est un circuit capable de faire la somme de plusieurs nombres. Une addition

met en œuvre deux sorties:

la somme

la retenue

Lorsque l'on fait une somme en décimal (base 10), on ajoute dans un premier temps les deux

unités, puis si le résultat obtenu est supérieur à 10, on garde la dizaine restante en retenue,

pour l'ajouter lors de la somme des dizaines des deux nombres. Ce procédé est le même en

binaire.

7. Additionneur de deux nombres de 1 bit

Pour une addition de deux nombres de 1 bit, 4 combinaisons sont possibles, et le résultat

occupe 2 bits (un bit pour la somme et un pour la retenue).

Voici la table de vérité de cette fonction:

Entrée Sortie

A B R S

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

L'expression logique de cette fonction est donc:

Le circuit peut donc être représenté selon le schéma électrique suivant:

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