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Cours 9: trous noires de Schwarzschild 1

Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschild


Resume du cours d’aujourd’hui

– Resume du cours 8 (pour lequel nous n’avons pas eu le temps)

sur la conservation d’energie et d’impulsion

– Introduction a les trous noirs de Schwarzschild.

– Changement du genre d’une coordonnee.

– Mouvement geodesique.


Conservation d’energie et d’impulsion

– Voir (Hobson et al., 2010, Chapitre 8) et e (Schutz , 2009,

chapitre 4).

– Comme T decrit l’energie et l’impulsion d’un fluide ou systeme

de particules, il devrait etre liee a les principes de conservation

d’energie et d’impulsion.

– Considerons un volume de fluide cubique de longueur l (en

coordonnees pseudo-cartesiens). (Voir pp. 98–99 dans

Schutz(2009)). On peut demontrer la conservation d’energie et

d’impulsion,

∂Tαβ

∂xβ= 0

– La demonstration en coordonnees pseudo-cartesiens est plus


facile ; dans lesquels Γµαβ = 0 et donc,

∂Tαβ

∂xβ= ∇βTαβ = 0

Mais le deuxieme egalite est une equation tensorielle, et par

consequent elle est valide dans tous referentiels ! (Si ca vous

inquiete, voir aussi l’explication dans § 8.3 de HEL2010.)

– Puis Tαβ = T βα, donc nous avons aussi :

∇αTαβ = ∇αT βα = 0


Les trous noirs : introduction

– En 1784 John Michell a remarque que si un corps de masse

donnee etait assez dense la vitesse de liberation serait superieure

a c. Leur gravite seraient si forte que rien, pas meme la lumiere,

ne peut s’en echapper.

– Dans la relativite generale nous pouvons aussi avoir un tel objet.

Ils sont appeles les « trous noirs ».

– En principe, en peut avoir un trou noir d’il n’importe quelle

masse. C’est la densite de masse qui est importante.

– Les trous noirs macroscopique sont caracterises par trois

parametres, leurs (i) masse, (ii) charge electrique, (iii) moment

cinetique :

1. le trou noir de Schwarzschild est statique et electriquement

neutre ;


2. le trou noir de Kerr est en rotation et electriquement neutre ;

3. les trous noirs charges electriquement en rotation ou statique.

– Dans l’astrophysique c’est le trou noir de Kerr le plus important

parce que la plus part de corps massifs dans l’univers sont cru

d’etre electriquement neutre et en rotation.

– Si vous voulez pratiquer votre anglais et apprendre la vie de Roy

Kerr (1934–), il y un biographie populaire par Melia (2009).

– Nous avons vu la metrique de Schwarzschild qui decrit la

geometrie de l’espace-temps vide autour du premier trou noir.

– Aujourd’hui nous discutons en plus detail le trou noir de

Schwarzschild.


Coordonnees du genre temps et du genre

espace

– Dans la relativite restreinte on parle des intervalles du genre

temps ou du genre espace.

– Considerons deux evenements par exemple dite A et B separes

temporellement de ∆t et spatialement de ∆l :

(∆l)2 = ηij

(xi(B)− xi(A)

)(xj(B)− xj(A)

)= ηij∆x

i ∆xj

= (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 (1)

– Rappelez-vous de cours 1, nous avons defini l’intervalle de

relativite restreinte comme :

(∆s)2 = −c2(∆t)2 + (∆l)2


– Si (∆s)2 < 0 l’intervalle entre A et B est dite du genre temps

parce que la partie temporelle est plus grande. Une particule

massive peut en principe traverser un intervalle du genre temps.

Les deux evenements peut etre relies causalement.

– Par contre, si (∆s)2 > 0 l’intervalle de A et B est dite du genre

espace. Une particule massive ou meme un photon ne peut pas

traverser un intervalle du genre espace. Les deux evenements ne

peut pas etre relies causalement.

– Et c’est claire, a cause de l’invariance de la vitesse de la lumiere,

que les photons toujours lient les evenements avec un intervalle

du genre nul, (∆s)2 = −c2(∆t)2 + (∆l)2 = 0.

– En relativite generale nous pouvons caracteriser une coordonnee

au signe de l’intervalle elementaire ds2 comme le suivant.

– Nous allons voir que le genre est fixe uniquement par le signe de

gαα.

– Si nous fixons toutes les coordonnees sauf qu’un, y par exemple,


et nous faisons un petit pas dy, puis si

ds2 = gyydy2 < 0

nous disons que cette coordonnee est du genre temps. Par contre,

si gyydy2 > 0 puis y est une coordonnee du genre espace.

– Clairement, puis dxα ∈ <, le genre est fixe uniquement par le

signe de gαα.

– En relativite generale une coordonnee peut change du genre avec

evenement !


Changement du genre d’une coordonnee

– Rappel : metrique de Schwarzschild. A partir des arguments de

symetrie, nous avons decide que le tenseur metrique doit etre

(ds)2 = −A(r)dt2 +B(r)dr2 + r2 (dθ)2 + r2 sin2 θ (dφ)2

et quand nous resolvons les equations d’Einstein du vide,

Rαβ = 0, nous trouvons que

A(r) = c2/B(r) =

(1− 2µ

r

)Et en exigant que puis r →∞ nous retrouvons la loi de Newton,

il faut que

µ ≡ GM

c2

– TD : Dans la metrique de Schwarzschild, quel est le genre de r


quand r > 2µ,

– TD : Quel est le genre de r quand r < 2µ.


Singularites d’espace et des coordonnees

– C’est bien claire qu’il y a un singularite au r = rs, le rayon de

Schwarzschild :

rs ≡ 2µ.

Mais, ce n’est pas tres evident si cette singularite etait due au

choix de coordonnees ou est due au singularite vrai

d’espace-temps la.

– Qu’est-ce-que c’est « une singularite due au choix de

coordonnees » ?

– TD : Est-ce-qu’il y a quelque chose special de la geometrie

d’espace au pole nord ?

– On peut montrer le scalaire de Ricci est, a un evenement donne,


est

R ≡ Rαα =48µ2

r6

Donc, la courbure est fini a r = rs.


Le rayon de Schwarzschild du Soleil

– Rappel : Notre argument pour le tenseur metrique de

Schwarzschild n’etait valable que dans le vide autour la sphere

massive avec centre a r = 0. Si le rayon de la sphere est plus

grande que rs, notre solution n’y sera pas valable.

– TD : Qu’est-ce-que c’est rs pour notre Soleil ?

– Le rayon de notre Soleil est environ R� = 696 000 km, sa masse

est M� ≈ 2× 1030 kg, est la constante de la gravitation

G = 6, 674× 10−11 m3 kg−1 s−2, et c ≈ 3× 108m s−1.

– TD : Est-ce-qu’il y a un trou noir dedans le Soleil ?


Le rayon de Schwarzschild du Soleil

– TD : Solution : Le rayon de Schwarzschild rs pour notre Soleil est

rs ≈ 3km

et donc le Soleil n’est pas un trou noir !


Les particules autours un trou noir de

Schwarzschild

– Nous comprenons plus un trou noir par etudier les trajectoires

des particules en chute libre autours le trou noir.

– Les particules massives et meme les photons, en chute libre,

suivent les geodesiques.

– Les particules massives en chute libre suivent les geodesiques du

genre temps,

ds2 = gαβ dxα dxβ < 0

– Mais les photons suivent les geodesiques du genre nul,

ds2 = gαβ dxα dxβ = 0


Mouvement geodesique et la conservation

d’energie-impulsion

– Rappelez-vous que pendant cours 5 nous avons dit que le

principe d’equivalence tiens que : La trajectoire d’une particule

dans un champ de gravitation et aucune force (pas de champ

electrique, nucleaire, etc. ), ce sera celle d’une particule libre –

c’est-a-dire la trajectoire d’une particule en chute-libre dans un

champ de gravitation est une geodesique de l’espace-temps.

– La equation de mouvement de ce particule est

dp

dτ= 0

– Il est possible montrer que les equations d’Einstein, et la

conservation d’energie-impulsion, ∇αTαβ = 0, conduisent a ce

resultat, § 8.8 de HEL2010.


Geodesiques : parametre affine

– Un geodesique est une generalisation de la notion de ligne droite.

Voir § 3.17 HEL2010. Il est plus facile d’ecrire l’equation de

geodesiques utilisant un parametre affine – c’est-a-dire il un

change pas la magnitude du vecteur tangente t :

t =d

dλ(xαeα)

Si |t(λ)| est constante le longe de la ligne, puis λ est dite

« affine ».

– Le temps-propre τ est toujours un parametre affine parce que,

t =d

dτ(xαeα) ≡ u, la quadri-vitesse

et toujours

u · u = |u|2 = −c2


Donc τ est un parametre affine !


Equation des geodesiques

– Sur un geodesique la direction de vecteur tangente ne change pas

le longe de la ligne (autrement dit le vecteur tangent est

transporte parallelement).

– L’equation de geodesiques utilisant un parametre affine λ est

donc

dt

dλ= 0, definition d’un geodesique (2)

– Mais, si λ = τ

t =d

dτ(xαeα) ≡ u, la quadri-vitesse

et nous obtenons une equation pour les geodesiques utilisant la


derivee covariante :

dt

dτ=du

dτ= 0

0 =dxβ

dτ

∂

∂xβ(uαe

α)

= uβ ∇βuα

= uβ [∂βuα − Γσαβ uσ] (3)

– TD : Plutot que utilisant u = uαeα, utilisez les composantes

covariant u = uαeα et derivez l’equation de geodesiques :

d2xα

dτ2+ Γαβγ

dxβ

dτ

dxγ

dτ= 0


Equation des geodesiques

– TD : Solution : (Hobson et al., 2010, Eq. (3.47))

du

dτ= 0 =

dxβ

dτ

∂

∂xβ(uαeα)

= uβ ∇βuα

= uβ [∂βuα + Γασβ u

σ]

=duα

dτ+ Γασβ u

σuβ

=d

dτ

(dxα

dτ

)+ Γασβ

(dxσ

dτ

)(dxβ

dτ

)0 =

d2xα

dτ2+ Γασβ

dxσ

dτ

dxβ

dτ(4)


Parametre affine pour les geodesiques

nulle

– TD : Un photon en mouvement dans la direction x.

Qu’est-ce-que c’est sa quadrivitesse ?

– TD : Rappelez-vous la definition de la quadrivitesse est :

uα ≡ dxα

dτ

Pourquoi nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le

parametre affine d’une geodesiques nulle ?

– TD : Qu’est-ce-qu’on peut faire ? Indice : Quel vecteur est

toujours tangent de la trajectoire ou « ligne d’Univers » d’un

photon ?


Parametre affine pour les geodesiques

nulle . . .

– TD : Solution : Un photon en mouvement dans la direction x a

une quadrivitesse

u = limv→c

γ(v)(c, v, 0, 0) = (∞,∞, 0, 0)

– TD : Solution : Rappelez-vous la definition de la quadrivitesse

est :

dτ =dx0

u0=dx0

∞= 0

Nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le parametre

affine d’une geodesique nulle parce qu’il est toujours zero.

– TD : Solution : Le quadri-impulsion est toujours tangent de la

trajectoire ou « ligne d’Univers » d’un photon ! Et dans la


mecanique quantique l’energie et l’impulsion d’un photon sont

E = hν |~p| = h

λ

ou h designe la constante de Planck, ν designe la frequence, et λ

designe la longueur d’onde. Donc, la quadri-impulsion d’un

photon en mouvement dans la direction x est

p =

(E

c,h

λ, 0, 0

)=

(hν

c,h

λ, 0, 0

)– Donc nous parametrons le ligne d’Univers d’un photon avec un

parametre σ tel que,dxα

dσ= pα


Geodesiques definies a partir de l’aspect

extremal d’intervalle

– Nous avons vu l’equation de geodesiques a partir d’idee que le

vecteur tangent ne change pas de direction le longe de la

geodesique.

– Mais une geodesique est aussi la trajectoire la plus courte. Donc

nous pouvons les trouver en cherchant la trajectoire avec « la

plus courte » ∫ds2 =

∫Ldσ2

ou L designe

L ≡ gαβ xαxβ , xα ≡ dxα

dσ

– On peut aussi penser de L comme le lagrangien L = T − V dans


lequel T est comme un « energie cinetique »

T = gαβdxα

dσ

dxβ

dσ

et notre parametre affine est comme le temps, et l’energie

potentielle V = 0 parce que la particule qui suive une geodesique

est libre – il n’subit aucune force (rappelez-vous que dans la RG

la gravite n’est pas une force. Elle s’agit la courbure

d’espace-temps !) Je n’aime trop ce argument parce que le

parametre affine σ n’est toujours pas le temps-propre. Je pense

que c’est plus generale de penser d’une geodesique comme un

ligne ou une trajectoire dans une variete courbure qui minimise

l’intervalle.


Geodesiques de la metrique de

Schwarzschild

– A minimiser∫ds2 on resout les equations de Euler-Lagrange

(tres bref en francais voir (Hobson et al., 2010, Appendice 3C) ;

beaucoup plus de detail mais en anglais voir (Boas, 1983,

Chapitre 9))

– Equations de Euler-Lagrange sont

d

dσ

(∂L

∂xα

)− ∂L

∂xα= 0 (5)

– Ici, pour la metrique de Schwarzschild

L = gαβ xαxβ =

(1− 2µ

r

)c2t2−

(1− 2µ

r

)−1r2−r2[θ2+sin2 θφ2]

– TD : Trouvez l’equations de Euler-Lagrange pour les


composantes t et φ.

– La composante θ n’est pas necessaire, parce que nous pouvons

toujours, sans perdre de generalite, choisir le systeme des

coordonnees tel que la motion est dans le plan equatorial θ = π/2.

– La composante r = 0 est un peu difficile. C’est plus facile de

prendre au d’abord une integrale premiere de l’equations de

Euler-Lagrange (voir HEL2010).


Interpretations des equations pour t et φ

– Nous faisons notre interpretation pour le cas d’une particule de

masse m0 et ou notre parametre affine σ = τ (Hobson et al.,

2010, voir Chapitre 9.5)

– La premiere equation dans (5) (i.e. α = 0, celle de t) decrit la


conservation d’energie :(1− 2µ

r

)t = k

gtt c t = c k

gtt (m0 c t) = m0 c k

gtt pt = m0 c k

pt = m0 c k , et donc

k =ptm0 c

=E

m0 c2(6)

– La φ equation decrit la conservation de quantite de mouvement


angulaire :

r2 sin2 θ φ = h h a aucune relation avec la constante de Planck

gφφφ = h

gφφ (m0 φ) = m0 h

pφ = m0 h , et donc

h =pφm0

(7)


References

Boas, M. L. (1983), Mathematical methods in the physical sciences,

793 pp., John Wiley and Sons, New York, 793 + xiv pp.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite

Generale, de boeck, Bruxelles.

Melia, F. (2009), Cracking the Einstein Code : Relativity and the

Birth of Black Hole Physics, University of Chicago Press.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.

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