Cours 8: Cosmologie 1

Cours 8 : Éveil Cosmologie

Cours 8: Cosmologie 2

Résumé du cours d’aujourd’hui

— Introduction à la cosmologie

— L’expansion de l’Univers et la loi de Hubble

— La principe de cosmologie

— La métrique de Robertson-Walker

Cours 8: Cosmologie 3

Qu’est-ce que la cosmologie ?

— La cosmologie est l’étude de l’Univers entier : son histoire,

son évolution, sa composition, et ses dynamiques.

— Une question principale est de comprendre la structure de

l’Univers à les plus grandes échelles.

— La relativité générale est essentiel pour la cosmologie.

— Autre resources : (Schutz , 2009, Chapitre 12), (Hobson

et al., 2010, Chapitres 14, 15, 16), (Liddle, 2003)

Cours 8: Cosmologie 4

Unité naturelle

— Dans la relativité générale, c’est commode d’utiliser les unité

avec lequel c = 1 et G = 1. Ça implique que

1 =G

c2= 7, 425× 10−28m kg−1

— Et la masse est exprimé avec les unités de [m]. Par exemple,

le soleil a une masse de :

M� ≈ 2× 1030 kg = 1500 m

Cours 8: Cosmologie 5

Quand sont les effets de relativité

générale importants ?

— En gros, la théorie de gravité de Newton marche à une

bonne approximation quand

M

R� 1

— Pour le soleil,

M�R

=1, 5× 103m7× 108m

≈ 2× 10−6 � 1

— Pour la voie lactée,

M

R≈ M� × 10

11

15kpc=

1, 5× 103m× 1011

15× 103 × 3× 1016m≈ 3× 10−7

— Même pour les amas de galaxies (une association de plus

Cours 8: Cosmologie 6

d’une centaine de galaxies liées entre elles par la gravitation)

avec R ∼Mpc,M

R≈ 10−4

— Sur les plus grandes échelles, superieurs de 10 Mpc, la

densité est presque constante, ρ ≈ 10−26kg m−3, et doncpour R = 6 Gpc,

M

R=

43πR

3ρ

R=

(ρ4π

3

)R2 ≈ 1

Cours 8: Cosmologie 7

L’Univers est simple !

— Pour les échelles superieurs d’environ 10 Mpc :

— L’Univers est homogene. Par exemple, le nombre de

galaxies par unité de volume, les types de galaxies, leurs

chimie.

— L’Univers est isotrope. Par exemple, la température du

rayonnement de fond cosmologique (CMB) dépend très

faiblement de la direction d’observation dans le ciel :

2, 725. . . K ± 10−5 K. Le CMB est le nom donné aurayonnement électromagnétique issu de l’époque dense et

chaude à peu près 400.000 ans après le Big Bang.

— L’expansion de l’Univers est uniforme. On voit les

galaxies s’éloigner les unes des autres. Mais cet

écartement mutuel, que l’on pourrait prendre pour un

Cours 8: Cosmologie 8

mouvement des galaxies dans l’espace, s’interprète en

réalité par un gonflement de l’espace lui-même.

— Cet observation nous mène au principe cosmologique. Nous

extrapolons que l’Univers est, à une très bonne

approximation, homogène et isotrope partout.

Cours 8: Cosmologie 9

L’expansion de l’Univers

— C’était prévu en 1927 à partir de la relativité générale par

Georges Lemâıtre (prêtre belge).

— C’était observé en 1929 par Edwin Hubble. Il a remarqué

que toutes les galaxies s’éloigner de nous et que la vitesse de

recul v est linéaire par rapport de distance d’écartement r̃ :

v = H0r̃ H0 ≈ 70 km s−1/Mpc.

— Maintenent nous comprenons cette vitesse apparant comme

un gonflement de l’espace lui-même. C’est l’espace entre les

galaxies, pas la taille des galaxies elles-même, qui gonfle.

Nous parlons de la vitesse de Hubble d’une galaxie pour la

vitesse apparant d’une galaxie en cause de l’expansion de

l’Univers.

Cours 8: Cosmologie 10

— La relation ne marche pas parfaitement parce que les

galaxies ont une vitesse particulière typiquement au

maximum 100 km/s. Donc il faut avoir les observations des

galaxies plus loin que plusieurs Mpc (r̃ � 1 Mpc) tel que lavitesse de Hubble est superieur à la vitesse particulière.

Cours 8: Cosmologie 11

La métrique de l’Univers homogène et

isotrope partout : feuilletage de

l’espace-temps

— Nous allons jusifier la métrique de

Friedmann-Robertson-Walker

ds2 = c2dt2 − a2(t)(

1

1− kr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2

).

(1)

dans les coordonnées standards où t est le temps

cosmologique, et {r, θ, φ} sont les coordonnées spatials avecr ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ π ≤ 2π. Le paramètre k est lacourbure et prend une valeur discret : k = {0,+1,−1}. Nousallons faire un argument physique que les coordonnées sont

Cours 8: Cosmologie 12

« comobile ».— Rappelez-vous que la notion de simultanéité n’est pas

indépendent de référentiel. De plus, il n’y a pas un

référentiel inertiel global dans le RG. Donc c’est subtile de

définer un instant de temps.

— Nous faisons un feuilletage de l’espace-temps, en définissant

des hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle. Nous

faisons l’approximation que c’est possible de faire le

feuilletage tel que chaque hypersurface ou tranche est

isotrope et homogene.

— Avec cet approximation, le moyen des positions de tous les

galaxies dans un volume de 10 Mpc× 10 Mpc× 10 Mpc a lescoordinées stationaires, xi =constant.

— Nous choisissons la coordonée temporelle, t = τ , le temps

propre d’une horloge qui se déplace avec les positions

stationaires : dτ = dt.

Cours 8: Cosmologie 13

— La partie spatiale de la métrique donne la distance propre

(ou la « distance physique ») carré entre deux points séparépar dxi à un instant de temps t0 :

dl2(t0) = gij(t0)dxidxj

— L’expantion de l’Univers exige que dl2 augmente avec le

temps.

dl2(t0) < dl2(t1) = gij(t1)dx

idxj , t1 > t0

= a2(t1)gij(t0)dxidxj (2)

où a(t) est le facteur d’échelle.

— Et pour la métrique quadridimensionelle, en générale on

aurait

ds2(t) = c2dt2 + g0i dtdxi + a2(t)gij(t0)dx

idxj

Remarquez-vous que g00 = c2 parce que ds2 = c2dτ2 quand

Cours 8: Cosmologie 14

dxi = 0. Supposons que g02 > 0. Ça veux dire que la

direction dy c’est differente que celle de −dy. Donc nousdevrions choisir les ~et · ~ey = g02 = 0 et le même pour x et z.C’est à dire ~et · ~ei = 0, et g0i = 0 et :

ds2(t) = c2dt2 + a2(t)gij(t0)dxidxj (3)

— Les hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle

devraient être isotrope. Ça veut dire que chaque point a la

géometrie d’un point sur la surface d’une sphère avec le

centre à l’origine de notre système de coordonnées. Ce

critère exige que :

dl2(t0) = gij(t0)dxidxj = grr(r, t0)dr

2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

Mais n’importe quel point peut être l’origine de notre

système de coordonnées. Et notre condition d’isotropie ici

est beaucoup plus restrictive que dans le cas d’un trou noir

Cours 8: Cosmologie 15

(le cas pour lequel il y a un seul centre de symétrie.)

— La courbure d’espace-temps est décrit par un teneur qui

s’appele le tenseur de Ricci. Il est une fonction des symboles

de Christoffel. Le scalaire de Ricci R est la contraction du

tenseur de Ricci :

R = Rii (4)

— Et donc, de plus, nous exigeons que le scalaire de Ricci,

Ri i = constant. Pour la métrique

dl2(t0) = B(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

Cours 8: Cosmologie 16

nous trouvons le tenseur de Ricci (spatial) :

R11 = −B′

rB

R22 =1

B− 1− rB

′

2B2

R33 = sin2 θR22 (5)

— Le scalaire de Ricci (spatial), Ri i nous donne

R = gijRji = B−1R11 + r

−2R22 + r−2 sin−2 θR33

= −B−1 B′

rB+ 2r−2

(1

B− 1− rB

′

2B2

)=

2

r2B− 2r2− 2 B

′

rB2

=2

r2

(d

dr

( rB

)− 1)

(6)

Cours 8: Cosmologie 17

— Pour que l’espace-temps est homogene, nous devons résoudre

R = κ =2

r2

(d

dr

( rB

)− 1)

où κ est une constante.

— C’est très facile d’intégrer∫(1 +

r2κ

2)dr =

∫d( rB

)⇒

B =1

1 + r2κ/6 + C/r(7)

où C est une constante d’integration.

— On obtient

R11 =2κr − 6C/r2

κr3 + 6r + 6C(8)

— Mais proche d’origine, r → 0, nous voulons quel’espace-temps reste non singulaire (Rij reste finie). Ça

Cours 8: Cosmologie 18

donne C = 0 et

B =1

1 + r2κ/6=

1

1− r2koù k est la courbure de l’espace et

dl2(t0) =

(1

1− r2k

)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

— Nous le remplaçons dans (3). Donc nous avons la métrique

de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) :

ds2(t) = c2dt2 − a2(t)gij(t0)dxidxj

= c2dt2 − a2(t)[(

1

1− r2k

)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

](9)

— Il reste de démontrer que l’espace-temps de FRW est

homogene et isotrope partout. Plus tard nous considérons les

trois cas k = 0, k > 0, k < 0.

Cours 8: Cosmologie 19

Equations dynamique de l’Univers

— Pour décrire expansion de l’Univers nous avons besoin des

équations d’Einstein. La partie droite est le tenseur

d’énergie-impulsion d’un fluid parfait :

8πTαβ = 8π[(ρ+ p/c2)UαUβ + gαβp

]où p est la pression et ρ est la densité de masse est énergie

relativiste, et Uα est la quadrivitesse du fluide.

— La partie gauche des équations d’Einstein, Gαβ , est la même

sort de calcul que nous avons fait pour obtenir Rαβ pour la

métrique de Schwarzschild mais ici nous devons, bien sûr,

utiliser la métrique de FRW.

— Vous avez trois possibilité pour trouver les symbole de

Christoffel : (1) la méthode nous avons utilisé pour la

Cours 8: Cosmologie 20

métrique de Schwarzschild (2) une logiciel comme Maple

avec le package tensor, (3) la méthode suivant.

— On fait la correspondance entre les équations des géodesique

à partir de les symboles de Christoffel,

0 =d2

dτ2xα + Γαµν

∂xµ

∂τ

∂xν

∂τ= ẍα + Γαµν ẋ

µẋν (10)

et les équations des géodesique à partir des équations

d’Euler-Lagrange :

d

dτ

(∂L

∂ẋα

)− ∂L∂xα

= 0 (11)

où

L = gαβ ẋαẋβ

Cours 8: Cosmologie 21

— Le tenseur d’Einstein devient simplement :

G00 =3

a2(t)

(a′2 + k

)g00

Gij =

[2

a(t)a′′ +

1

a2(t)

(a′2 + k

)]gij (12)

Cours 8: Cosmologie 22

Références

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité

Générale, de boeck, Bruxelles.

Liddle, A. (2003), An introduction to modern cosmology, 172 pp.,

Wiley & Company, Chichester, UK and Hoboken, NJ.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.