Cours 6La quantite optimale de monnaie

Stephane Gauthier

16 novembre 2008

Introduction

L’objet du cours est de prendre en compte la monnaie et de decrirecertains de ses effets dans le long terme.

La theorie monetaire est organisee autour de la theorie quantitative de lamonnaie, qui cherche a lier la monnaie au revenu et au niveau general desprix ; selon Friedman et Schwartz (1963), � il n’y a aucune autre relationempirique en economie dont on ait pu observer la repetition siregulierement �.

A court terme, le � mecanisme direct � (effet d’encaisses reelles) et le� mecanisme indirect � (politique monetaire dans le modele keynesien).

A plus long terme, une forme de neutralite.

Figure: Correlation entre le PIB en t et la masse monetaire en 0

Comment introduire la monnaie ?

La monnaie et la � double coıncidence des desirs � :

Commerce. Sorte de transaction dans laquelle A depouille Bdes biens de C et en compensation de laquelle B soulage lespoches de D de l’argent de E. De : Ambrose Bierce, Ledictionnaire du diable, 1906.

→ La monnaie comme intermediaire des echanges (Samuelson, Clower)

→ Le gout pour la monnaie (Sidrauski)

→ La monnaie comme source de revenu

Monnaie et echange au cours du temps

Le � modele de Samuelson � est une version du modele a generationsimbriquees dans laquelle chaque agent jeune recoit une dotation dee1 = e > 0 biens perissables, tandis que la dotation de chaque vieux estnulle, e2 = 0.

Les preferences d’un individu de la generation t sont representees par lafonction d’utilite

u(c1t) + βu(c2t+1). (1)

On supposera u′(·) > 0, u′′(·) < 0, u′(0) = +∞ et u′(∞) = 0.

⇒ L’utilite marginale de la consommation etant arbitrairement grande sile menage ne consomme rien, les jeunes souhaitent transferer une partiede leur dotation vers la seconde.

Pour transferer sa richesse au cours du temps, un jeune en t peuts’adresser aux autres jeunes de t ou aux vieux de t, nes en t − 1.

1. Tous les agents sont identiques : ils ont les memes preferences et lesmemes dotations. Tous souhaitent donc epargner, c’est-a-dire cederune partie de leur dotation lorsqu’ils sont jeunes et recevoir encontrepartie des biens durant leur vieillesse. Aucun jeune ne veutservir de contrepartie dans cet echange.

2. Les vieux de t auront disparu en t + 1 ; aucun jeune n’acceptera depreter a un vieux de t.

→ Aucun echange n’est possible !

A l’equilibre, c1t = e et c2t+1 = 0 pour tout t ≥ 0.

Lors de chaque periode, on taxe les jeunes de dc1 > 0 biens et ontransfere les Ntdc1 biens collectes aux vieux, chacun recevant doncdc2 = Ntdc1/Nt−1 = (1 + n)dc1 biens.

L’equilibre decentralise est sous-optimal :

1. Le bien-etre varie de chaque generation varie de

−u′(e)dc1 + βu′(0)(1 + n)dc1 > 0,

pour u′(0) suffisamment grand par rapport a u′(e).

2. Les vieux de la periode initiale gagnent

βu′(0)(1 + n))dc1 > 0.

Comment choisir le transfert de consommation dc1 ?

La reforme precedente cesse d’etre avantageuse en (c∗1 , c∗2 ) tel que

βu′(c∗2 )

u′1(c∗1 )=

1

1 + n, (2)

c’est-a-dire lorsque le taux marginal de substitution βu′(c∗2 )/u′(c∗1 ) dubien 2 au bien 1 est egal a 1/(1 + n), le prix relatif du bien 2 en termesde bien 1 pour la societe.

L’egalite (2) et la condition de realisabilite

Ntc∗1 + Nt−1c∗2 = Nte (3)

definissent l’optimum de cette economie.

La monnaie peut-elle constituer un remede contre la defaillance dumarche ?

Supposons qu’a la date t = 0, l’Etat emette M � bouts de papier � quel’on appelle � monnaie � ; supposons qu’il la distribue (uniformement)aux vieux de t = 0.

Si les jeunes croient qu’ils pourront echanger de la monnaie contre desbiens lorsqu’ils seront devenus vieux, ils demandent de la monnaie auxvieux et offrent des biens en contrepartie ; les vieux font le contraire : ilsoffrent de la monnaie et demandent des biens.

On devine que la monnaie permet des echanges entre les generations quin’etaient pas possibles sans monnaie. La monnaie est sourced’amelioration Paretienne.

Notons pt le nombre d’unites de monnaie que l’on doit ceder pour obtenirun bien de consommation en t.

Les contraintes budgetaires d’un individu jeune en t s’ecrivent :

ptc1t + Mdt ≤ pte, (CB1)

etpt+1c2t+1 ≤ Md

t . (CB2)

On en deduit la contrainte de budget intertemporelle

c1t + (1 + πt+1)c2t+1 ≤ e, (CBI)

ou πt+1 est le taux d’inflation (anticipe), 1 + πt+1 = pt+1/pt .

Le plan de consommation choisi par un jeune de t, c1t = c1(1 + πt+1, e)et c2t+1 = c2(1 + πt+1, e), satisfait

βu′(c2t+1)

u′(c1t)= 1 + πt+1.

La demande de monnaie est Mdt = pt(e − c1(1 + πt+1, e)), et l’on note

Mdt

pt= m(1 + πt+1, e) (4)

la demande d’encaisses reelles correspondante.

I La fonction m(·) est croissante avec e ;

I Une hausse du taux d’inflation est equivalente a une baisse du tauxd’interet reel : elle implique un effet de substitution (qui reduit lademande de monnaie) et un effet de revenu (qui l’augmente).

A l’equilibre,

1. Les agents sont rationnels (ils se comportent comme decritsci-dessus) ;

2. l’offre est egale a la demande sur le marche des biens et sur celui dela monnaie.

Par la loi de Walras, un equilibre une suite de prix (pt , t ≥ 0) telle que :

Ntm

(pt+1

pt, e

)=

M

pt.

Interpretation. Supposons que les jeunes en t anticipent le prix pt+1.Etant donne pt+1, leur demande de monnaie depend du prix courant pt .A l’equilibre, non seulement le prix courant assure l’egalite entre l’offre etla demande agregee de monnaie, mais coıncide en outre avec le prix quiavait ete anticipe par les jeunes en t − 1.

En un equilibre stationnaire, le prix ne peut pas rester constant (sin 6= 0) :

Ntm

(pt+1

pt, e

)=

M

pt.

C’est le taux de croissance des prix qui reste constant :

Nt

Nt−1

m (1 + πt+1, e)

m (1 + πt , e)=

1

1 + πt

⇔ m (1 + πt+1, e) =m (1 + πt , e)

(1 + n) (1 + πt). (5)

Lorsque le taux d’inflation reste constant au cours du temps, egal a π,

1. l’encaisse reelle m detenue reste constante,

2. donc la consommation des jeunes est constante (c1 = e −m de(CB1)),

3. tout comme celle des vieux ((1 + π)c2 = m de (CB2)).

Pour πt = π, il suit de (5) que (1 + n) (1 + π) = 1 (c’est une version dela � regle de Friedman �).

1. La CPO du probleme de l’agent jeune se reecrit :

βu′(c2)

u′(c1)=

1

1 + n.

L’agent jeune fait face au meme prix du bien 1 en termes de bien 2que la societe.

2. L’equilibre stationnaire est (bien sur) realisable.

L’equilibre (stationnaire) monetaire, s’il existe, est optimal.

S’il existe une technologie permettant de stocker les biens au cours dutemps et ayant un rendement reel r , alors :

I Si r ≤ n (inefficacite dynamique), il existe un equilibre stationnairemonetaire (il est defini comme vu ci-dessus) ;

I si r > n (efficacite dynamique), alors les menages ne demanderontpas de monnaie, et l’equilibre n’est pas monetaire (les jeunesepargnent en utilisant l’actif reel).

Si l’equilibre de long terme d’une economie sans monnaie estdynamiquement inefficace, il existe un equilibre monetaire Paretoefficace ; sinon, il n’existe pas d’equilibre monetaire.

Monnaie et production

Mais la demande d’encaisses reelles influence l’offre de capital, et donc letaux d’interet reel ...

On prend maintenant en compte la production : un menage peuttransferer de la richesse au cours du temps en detenant du capital et/oude la monnaie.

Un jeune ne en t face donc aux deux contraintes suivantes :

c1t + st + mt ≤ wt (CB1)

etc2t+1 ≤ (1 + rt+1)st +

mt

1 + πt+1. (CB2)

L’offre globale de capital et de monnaie est strictement positiveinitialement. A l’equilibre, la condition de non-arbitrage

(1 + πt+1) (1 + rt+1) = 1, (NA)

est satisfaite (� regle de Friedman �).

A l’equilibre, l’offre est egale a la demande sur :

I le marche de la monnaie :

ptNtmt = M

⇔ ptNtmt = pt+1Nt+1mt+1 ⇔ mt = (1 + πt+1)(1 + n)mt+1.

En utilisant (NA) et les CPO de l’entreprise, cette egalite devient

(1 + n) mt+1 = (1 + r(kt+1)) mt . (6)

I le marche du capital :

s(r(kt+1),w(kt))−mt = (1 + n)kt+1, (7)

ou s(·) est l’epargne reelle totale st + mt du menage.

Un equilibre est une suite (kt ,mt , t ≥ 0) associee a k0 donne etsatisfaisant (6) et (7) pour tout t, t ≥ 0.

A la date t, kt est donne, les menages anticipent mt+1 (c’est-a-dire leprix de demain, puisque M est connue en t), et choisissent kt+1 et mt .

Un equilibre stationnaire est un couple (k,m) tel que

s(r(k),w(k))−m = (1 + n)k,

m =1 + r(k)

1 + nm.

1. Si m = 0, alors le stock de capital coıncide avec celui de l’equilibrede Diamond (cf. Cours 2) ; on le notera kd , kd > 0.

2. Si m 6= 0, on doit avoir r(k) = n, ce qui implique que k = kor

(l’economie est a la regle d’or). L’equilibre monetaire, s’il existe, estbien dynamiquement efficace. De plus,

mor = s(r(kor),w(kor))− (1 + n)kor ≡ φ(kor).

mor = s(r(kor),w(kor))− (1 + n)kor ≡ φ(kor).

On a :

I φ(0) = 0 ;

I φ(k) < 0 pour k →∞ puisque l’epargne totale d’un individu estbornee superieurement (le taux d’interet tend vers 0, et laproduction est bornee superieurement (conditions d’Inada), de sorteque le salaire l’est aussi) ;

I Si k est petit, le taux d’interet reel est arbitrairement grand et l’onadmettra que φ(k) > 0.

Ainsi, 0 = φ(kd) < mor = φ(kor)⇒ kor < kd : l’equilibre stationnaire deDiamond est dynamiquement inefficace (n = r(kor) > r(kd)).

Si l’equilibre de Diamond est dynamiquement inefficace, il existe unequilibre monetaire qui le Pareto domine : cet equilibre correspond a laregle d’or d’accumulation du capital ; sinon, il n’existe pas d’equilibremonetaire.

Comment l’economie se comporte-t-elle au cours du temps ?

(1 + n) mt+1 = (1 + r(kt+1)) mt .

tm

tk0 ork dk

or or( )m kφ=

Pour s ′r > 0, comme s(r(kt+1), ·)− (1 + n)kt+1 decroıt avec kt+1, on a :

kt+1 < kt ⇔ s(r(kt+1),w(kt))− (1 + n)kt+1 = mt

> s(r(kt),w(kt))− (1 + n)kt = φ(kt).

tm

tk0

( )tkφ

ork

dk

or or( )m kφ=

tm

tk0

( )tkφ

ork

dk

or or( )m kφ=

Si les anticipations de prix initiales impliquent une encaisse reelle faible,la monnaie n’est plus utilisee asymptotiquement : la faible confiance dansla valeur de la monnaie conduit a la disparition de la monnaie.

Contrainte de liquidite

L’Etat emet de la monnaie et l’octroie forfaitairement au menage.

Le menage peut choisir d’epargner sous forme de capital ou de monnaie.

Sa contrainte de budget instantanee s’ecrit :

ptdKt

dt+

dMt

dt+ ptCt = ptF (Kt ,Nt) +

dMt

dt,

ou bien encore (en notant mt = Mt/ptNt)

dkt

dt+

dmt

dt− dmt

dt= f (kt)− nkt − ct − (n + πt)(mt − mt). (8)

L’inflation (πt > 0) joue comme une taxe lorsque le menage choisit dedetenir de la monnaie, en venant reduire le rendement de l’encaisse reellequ’il detient. Il s’agit de la taxe inflationniste. Le rendement du capitalest egal a f ′(kt)− n.

Les preferences du menage sont representees par∫ ∞0

u(ct) exp(−θt)dt. (9)

Le menage doit choisir une suite (ct , kt ,mt , t ≥ 0) qui maximise (9) sousles contraintes (8) pour tout t, t ≥ 0, avec k0 donne (et ct ≥ 0, kt ≥ 0 etmt ≥ 0).

On impose en outre que les achats en biens de consommation a l’instantt ne peuvent etre finances que par la monnaie detenue a cet instant :

ptCt ≤ Mt ⇔ ct ≤ mt . (10)

C’est la � contrainte de liquidite � ou � contrainte de Clower �.

Dans ce probleme, la consommation ct est une seule variable de controle,et le capital kt et l’encaisse reelle mt sont des variables d’etat.

Le Hamiltonien s’ecrit

Ht = u(ct) exp(−θt)

+λt [f (kt)− ct − nkt − (n + πt)(mt − mt)]

+ γt(mt − ct).

Les CPO du probleme du menage sont donc :

u′(ct) exp(−θt)− λt − γt = 0,

dλt

dt= −λt(f ′(kt)− n),

dλt

dt= λt(n + πt)− γt ,

avecγt (mt − ct) = 0.

En outre, (8) doit etre satisfaite, et la condition de transversalite s’ecrit :

limt→∞

λt(kt + mt) = 0.

A l’equilibre, mt = mt pour tout t, de sorte que (8)

dkt

dt+

dmt

dt− dmt

dt= f (kt)− nkt − ct − (n + πt)(mt − mt).

s’ecrit :dkt

dt= f (kt)− ct − nkt .

On se place a l’equilibre de long terme (ct = mt = kt = 0) dans le cas oula contrainte de Clower est saturee : c = m et γt ≥ 0. (Tel est le cas sif ′(k) > −π.)

Soit µt = µ le taux de croissance (constant) de la masse monetaire. Ona : mt = 0⇔ µ = π + n. Toute hausse du taux de croissance de la massemonetaire se traduit par une hausse de meme montant du tauxd’inflation. Forme de la theorie quantitative de la monnaie.

De la CPO relative au capital, on a :

λt

λt= n − f ′(k).

De la CPO relative a l’encaisse reelle, on a :

−(n + π) +γt

λt+λt

λt= 0⇔ γt

λt= f ′(k) + π.

Enfin, de la CPO relative a la consommation, on a :

−θu′(c) exp(−θt) = λt + γt = (1 + f ′(k) + π)λt ⇒λt

λt= −θ.

Et donc :λt

λt= n − f ′(k)⇔ f ′(k) = n + θ,

ce qui montre que le stock de capital par tete est celui de la regle d’ormodifiee. La contrainte d’accumulation montre que c = f (k∗or)− nk∗or. Lamonnaie est superneutre a long terme : le taux de croissance de la massemonetaire n’influence ni le stock de capital, ni la consommation.

Le modele de Sidrauski

L’agent representatif a un gout pour l’encaisse reelle : son utilite estu(ct ,mt) a l’instant t. Mais la monnaie permet aussi de transferer de larichesse au cours du temps. A l’instant t, la contrainte de budget s’ecrit :

dkt

dt+

dmt

dt− dmt

dt= f (kt)− ct − nkt − (n + πt)(mt − mt).

A l’equilibre de long terme, on a :

u′c(c,m) exp(−θt)− λt = 0⇒ dλt

dt= −θ,

dλt

dt= −λt (f ′(k)− n)⇒ f ′(k) = n + θ ⇔ k = k∗or,

dλt

dt= −u′m(c,m) exp(−θt) + λt (n + πt)⇒ πt = π,

mt = mt

f (k)− c − nk = 0.

Le stock de capital est fixe dans le long terme a la regle d’or modifiee,independamment de la politique monetaire ; la consommationc = f (k∗or)− nk∗or est egalement independante de la politique monetaire.

→ Forme de neutralite de la politique monetaire.

Puisque l’encaisse reelle reste constante au cours du temps, on doit avoirµt = n + π : le taux de croissance de la masse monetaire, choisi parl’Etat, doit donc rester constant (µt = µ). Et l’on a : dµ = dπ.

→ Theorie quantitative de la monnaie.

Deu′m(c,m) = λt exp(θt) (π + n + θ) ,

on deduit que l’encaisse reelle m depend en general de µ.

La quantite optimale de monnaie devrait etre telle que u′m(c,m) = 0, soit−π = n + θ = f ′(k∗or). Intuition : le cout marginal social de l’emission demonnaie est nul, et a l’optimum il est egal a l’utilite marginale sociale dela monnaie est u′m(c∗or,m) = 0.

→ Regle de Friedman.

SeigneuriageLorsqu’un agent decide en t de renoncer a consommer un bien, il obtientpt unites de monnaie avec lesquelles il pourra acheter pt/pt+1 en t + 1.

En l’absence d’inflation, l’agent aurait pu consommer 1 bien en t + 1 :l’inflation le taxe implicitement en prelevant 1− pt/pt+1

= πt+1/(1 + πt+1) biens. La taxe inflationniste s’ecrit ainsi :

πt+1

1 + πt+1mt

lorsque l’agent detient une encaisse reelle mt en t.

La � Banque centrale � suit une regle de creation monetaire

Mt = (1 + µ)Mt−1 (11)

stipulant que le taux de croissance µ de la masse monetaire est constant.Le seigneuriage est la quantite Gt de biens que cela lui permet d’acheter :

ptGt = Mt − Mt−1. (12)

Reprenons le modele de Samuelson (avec n = 0 pour simplifier).

Un equilibre est une situation dans laquelle (1) les agents sont rationnels,cad demandent l’encaisse reelle m(1 + πt+1, e) quand ils anticipent letaux d’inflation πt+1, et (2) l’offre est egale a la demande sur le marchede la monnaie :

Mt

pt= m(1 + πt+1, e)

pour tout t.

En utilisant la regle de creation monetaire,

mt =1 + µ

1 + πtmt−1,

on peut definir un equilibre comme une suite de taux d’inflation(πt , t ≥ 1) telle que

m(1 + πt+1, e) =1 + µ

1 + πtm(1 + πt , e).

Un equilibre stationnaire est un equilibre (πt , t ≥ 1) pour lequel πt = πpour tout t :

m(1 + π, e) =1 + µ

1 + πm(1 + π, e)⇔ µ = π

pour m(1 + π, e) > 0.

Le seigneuriage est egal a

Gt =Mt

pt− pt−1

pt

Mt−1

pt−1=

µ

1 + µm (1 + µ, e) .

Le seigneuriage est constant, egal a la taxe inflationniste.

Par son choix de µ, la Banque influence le seigneuriage : une hausse dutaux de croissance de la masse monetaire

1. conduit a une inflation plus importante qui accroıt le taux de taxeinflationniste,

2. et elle reduit le taux de rendement reel de la monnaie, et ainsil’encaisse reelle desiree (la base de la taxe inflationniste), si l’effet desubstitution est dominant.

Pour µ = 0, le seigneuriage est nul ; il l’est aussi pour µ grand, puisqueles agents ne veulent plus alors detenir de monnaie.

Il est maximal pour µ tel que

dG

dµ= 0⇔ 1

µ= − (1 + µ)

m′ (1 + µ, e)

m (1 + µ, e).

C’est la regle d’Auernheimer.

I Il n’y a pas d’hyperinflation ;

I dans les episodes d’hyperinflation des annees 20, le taux decroissance de la masse monetaire est superieur a celui quimaximiserait le seigneuriage.

→ Explication proposee par Cagan (1956) : a court terme, lesanticipations d’inflation sont donnees : la demande d’encaisses est doncdonnee, ce qui fournit une incitation a la taxer plus lourdement.

Un cas de seigneuriage au XVeme siecle en France

Comment se traduit le seigneuriage lorsque la monnaie contient desmetaux precieux ?

Un marc (environ 245 grammes) d’alliage donne N pieces de valeurfaciale V deniers tournois, soit NV deniers tournois.

Chaque piece a une teneur f (pour � finesse �) en argent : un marcd’argent permet de produire 1/f marc d’alliage (par definition de f ), etainsi NV /f deniers (� mint par �).

I Une part s de cette somme revenait au roi, de sorte que le � prixd’un marc d’argent � (� mint price �) etait finalement (1− s)NV /f ,le roi collectant un seigneuriage de sNV /f deniers sur chaque marcd’argent converti.

L’offre d’argent (le metal) a deux origines :

1. la conversion par les particuliers de metaux precieux ;

2. la conversion des pieces existantes qu’ils possedent.Une piece de V pesant 1/N ′ marcs et de finesse f ′ contient f ′/N ′

marcs d’argent. Elle permet donc d’obtenir en contrepartie

f ′

N ′(1− s)NV

f=

N

N ′f ′

f(1− s)V

deniers. Si ce nombre est superieur a V , la conversion devrait avoirlieu. C’est la loi de Gresham : la mauvaise monnaie (plus legereet/ou celle de finesse plus faible) chasse la bonne !

Au total, on admettra que la quantite totale d’argent offerte est

B

((1− s)NV

f

).

Le seigneuriage s’eleve finalement a

sB

((1− s)

NV

f

)marcs d’argent. Il est naturel de supposer que B ′(·) > 0.

Le roi peut donc influencer le seigneuriage au travers de

1. la taxe s qu’il preleve,

2. la finesse de chaque piece,

3. le poids (1/N) d’une piece,

4. sa valeur faciale V .

I le taux de prelevement s a ete multiplie par 3 ;

I la finesse f reduite de plus de 60% ;

I le nombre de pieces a augmente, mais plus legerement, de sorte quele rapport L = NV /f a beaucoup augmente (mint par), et avec lui leprix Q = (1− s)L d’un marc d’argent (mint price).

Qui paye cette taxe ?

1. De prime abord, on est tente de dire que ce sont les marchands quiviennent convertir les metaux ou les pieces qu’ils detiennent.

2. En meme temps, la plupart des contrats etaient nominaux ; enparticulier, les contrats de fermage. On peut donc penser qu’unepartie de la noblesse a souffert de l’inflation.

L’anecdote finale : les travailleurs salaries employes par l’artisan battantla monnaie royale ont reclame (et obtenu) une indexation de leurremuneration sur le prix de l’argent des 1419 !