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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques

EstimationTests

Cours 5: Inférences: Estimation,Echantillonnage et Tests

Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module: Stat inférentielles

Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

EstimationTests

1 Les divers types de problèmes que l’on se poseEchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques

2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiquesLa moyenne empirique XnLa variance empirique S2

nCas généralCas des échantillons Gaussiens

EstimationTests

3 EstimationdécorEstimation par intervalles de confiance

Estimation d’une moyenneComplément : estimation d’une variance

4 TestsTests paramétriques

Test d’une moyenne, σ connuTest d’une moyenne, σ inconnu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ connu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ inconnu échantillon Gaussien

EstimationTests

Tests de comparaisonCas d’échantillons GaussiensCas d’échantillons non GaussiensComparaison d’échantillons Gaussiens appariés

EstimationTests

EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques

1 Les divers types de problèmes que l’on se poseEchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques

2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiques

3 Estimation

4 Tests

EstimationTests

Introduction : les 3 grandes lignes

Les statistiques peuvent permettre :d’estimer un paramètre inconnu,de donner une zone dans laquelle un paramètre, a degrande chance de se trouverde prendre des décisions.

Chacune de ses questions correspond à une thématique enstatistiques.

EstimationTests

Echantillonage

L’échantillonnage permet de passer (de la loi connue d’unparamètre θ dans une population de taille N ) à une estiméed’une quantité θn fabriquée à partir seulement d’une populationde taille n plus petite (échantillon).

Population mère, effectif N

Echantillon, effectif n

θ θ n inconnu connu

FIGURE: Principe de l’échantillonnage.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

EstimationTests

Echantillonage

L’échantillonnage permet de passer (de la loi connue d’unparamètre θ dans une population de taille N ) à une estiméed’une quantité θn fabriquée à partir seulement d’une populationde taille n plus petite (échantillon).

θ θ n inconnu connu

FIGURE: Principe de l’échantillonnage.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

EstimationTests

Exemple : échantillonnage

Dans une entreprise qui comptent 659 employés, on sait que0,03% des employés sont mécontents. On pioche unéchantillon de 15 employés. Quel est l’ordre de grandeur desemployés mécontents dans cet échantillon ?

EstimationTests

Estimation

L’estimation permet d’induire, à partir des résulats observés surun échantillon, des informations sur la population totale.

θ θ n inconnuconnu

FIGURE: Principe de l’estimation.

EstimationTests

Estimation

L’estimation permet d’induire, à partir des résulats observés surun échantillon, des informations sur la population totale.

θ θ n inconnuconnu

FIGURE: Principe de l’estimation.

EstimationTests

Exemple : estimation

Dans un échantillon de 15 employés d’une entreprise, 7%s’estiment sous pression. Quel est l’ordre de grandeur desemployés sous pression parmi tout le personnel del’entreprise ?

EstimationTests

Test statistiques

Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.

Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?

Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.

RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...

EstimationTests

Test statistiques

EstimationTests

Test statistiques

EstimationTests

Test statistiques

EstimationTests

Test statistiques

EstimationTests

Test statistiques

EstimationTests

Exemple : test d’un paramètre

En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon des employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.Peut on considérer que le temps de sommeil des employésde cette entreprise est significativement inférieur au tempsde sommeil moyen des individus qui est de 7h30 ?

EstimationTests

Principe général commun

Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on saitque :

une quantité θn converge en loi vers une loi connue (loinormale, loi du χ2, loi de Student, loi de Fisher, etc...enfonction des situations)Par l’allure des densités de chacune de ces lois, on saitdonc où la variable θn doit de trouver avec grosseprobabilité...

EstimationTests

Principe général commun

Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on saitque :

une quantité θn converge en loi vers une loi connue (loinormale, loi du χ2, loi de Student, loi de Fisher, etc...enfonction des situations)Par l’allure des densités de chacune de ces lois, on saitdonc où la variable θn doit de trouver avec grosseprobabilité...

EstimationTests

Prérequis : lois classiques et convergence en loi

Lois limites classiques (que l’on obtiendra).Connaître et savoir lire dans les tables les lois suivante :

Loi normale N (0; 1) et passage à N (µ;σ),Loi du χ2,Loi de Student,Loi de Fischer.

EstimationTests

Rappel : convergence en loi.On dit que la suite de v.a (θn)n converge en loi vers la loi d’unev.a θ si,

pour tout intervalle [a; b], on a :

limn→+∞

P(θn ∈ [a; b]) = P(θ ∈ [a; b]).

Notation : On écrit θnL→ θ

Exemple :Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (Xi)i étaientiid et d’espérance finie µ et d’écart-type σ, alors la variable√

nσ (Xn − µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1).

EstimationTests

limn→+∞

P(θn ∈ [a; b]) = P(θ ∈ [a; b]).

EstimationTests

limn→+∞

P(θn ∈ [a; b]) = P(θ ∈ [a; b]).

EstimationTests

La moyenne empirique XnLa variance empirique S2

1 Les divers types de problèmes que l’on se pose

3 Estimation

4 Tests

EstimationTests

Décor, notations valables pour toute la suite du cours

Soit un échantillon de taille n.Pour 1 ≤ i ≤ n, notons Xi les valeurs d’un paramètre queprennent les n individus de l’échantillon.Les Xi sont donc des v.a supposées iid, de moyenne µ etd’écart-type σ (connus ou pas).

EstimationTests

La moyenne empirique Xn

On pose,

∑i=1...n Xi

Moyenne empirique des Xi

EstimationTests

On pose,

∑i=1...n Xi

EstimationTests

On pose,

∑i=1...n Xi

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Propriétés de Xn

E(Xn) = µ et Var(Xn) =σ2

(conséquences des propriétés de linéarité de l’espéranceet de pseudo linéarité de la variance)

Xn = µ p.s

(Loi des grands nombres)3 √

(Xn − µ)L→ N (0; 1).

(Théorème central limite)

EstimationTests

Propriétés de Xn

Xn = µ p.s

(Xn − µ)L→ N (0; 1).

EstimationTests

Propriétés de Xn

Xn = µ p.s

(Xn − µ)L→ N (0; 1).

EstimationTests

Propriétés de Xn

Xn = µ p.s

(Xn − µ)L→ N (0; 1).

EstimationTests

Propriétés de Xn

Xn = µ p.s

(Xn − µ)L→ N (0; 1).

EstimationTests

Justification de l’intérêt de la quantité Xn

Ainsi, la statistique Xn converge (en un certain sens)quand n tend vers l’infini vers µ = E(Xi). On dit que c’estun estimateur de µ.On dit qu’il est sans biais car, E(Xn) = µ (l’espérance del’estimateur est égale à la valeur que l’on cherche àestimer).

EstimationTests

Justification de l’intérêt de la quantité Xn

Ainsi, la statistique Xn converge (en un certain sens)quand n tend vers l’infini vers µ = E(Xi). On dit que c’estun estimateur de µ.On dit qu’il est sans biais car, E(Xn) = µ (l’espérance del’estimateur est égale à la valeur que l’on cherche àestimer).

EstimationTests

Exemples d’application

Parmi le personnel d’une entreprise, il y a 300 femmes et600 hommes. On réalise une enquête sur un échantillonde 55 personnes. Donnez une fourchette du nombresd’hommes et de femmes de l’échantillon, avec proba 0,95.Marcheur aléatoire (cf cours précédent)

EstimationTests

Variance empirique

Au regard de la définition de la variance et de la loi des grandsnombres, il est naturel d’introduire :

∑i=1...n

(Xi − Xn)2 =1n

i=1...n

X 2i ]− Xn

variance empirique des Xi

Avantage de cet estimateur, on n’a pas besoin de connaîtrel’espérance µ.

EstimationTests

Variance empirique

Au regard de la définition de la variance et de la loi des grandsnombres, il est naturel d’introduire :

∑i=1...n

(Xi − Xn)2 =1n

i=1...n

X 2i ]− Xn

variance empirique des Xi

Avantage de cet estimateur, on n’a pas besoin de connaîtrel’espérance µ.

EstimationTests

Propriétés

S2n = E(X 2

i )− E(Xi)2 = σ2

(loi des grands nombres aux X 2i et Xi )

E(S2n) =

n − 1n

(petit calcul) On dit que S2n a un biais, E(S2

n) 6= σ2.3 On admet que,

S2n − n−1

Var(S2n)

L→ N (0; 1).

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Propriétés

S2n = E(X 2

i )− E(Xi)2 = σ2

E(S2n) =

n − 1n

S2n − n−1

Var(S2n)

L→ N (0; 1).

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Propriétés

S2n = E(X 2

i )− E(Xi)2 = σ2

E(S2n) =

n − 1n

S2n − n−1

Var(S2n)

L→ N (0; 1).

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Propriétés

S2n = E(X 2

i )− E(Xi)2 = σ2

E(S2n) =

n − 1n

S2n − n−1

Var(S2n)

L→ N (0; 1).

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Une remarque

Si l’on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l’estimateur S2n

par l’estimateur :

∑i=1...n

(Xi − µ)2 =1n

i=1...n

X 2i ]− µ2

Avantage : Sn2

est sans biais, puisque E(Sn2) = σ2

EstimationTests

Une remarque

Si l’on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l’estimateur S2n

par l’estimateur :

∑i=1...n

(Xi − µ)2 =1n

i=1...n

X 2i ]− µ2

Avantage : Sn2

est sans biais, puisque E(Sn2) = σ2

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Cas particulier des échantillons Gaussiens

Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :

Xn ∼ N (µ;σ2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

∑i=1...n(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

Xn et S2n sont indépendants.

EstimationTests

Xn ∼ N (µ;σ2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

∑i=1...n(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

EstimationTests

Xn ∼ N (µ;σ2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

∑i=1...n(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

EstimationTests

Xn ∼ N (µ;σ2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

∑i=1...n(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

EstimationTests

Xn ∼ N (µ;σ2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

∑i=1...n(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

EstimationTests

Xn ∼ N (µ;σ2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

∑i=1...n(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

EstimationTests

Et donc, en posant :

Tn−1 :=

√nσ (Xn − µ)√

(n−1)σ2

√n − 1Sn

(Xn − µ)

suit une loi de Student à n − 1 degrès de liberté

Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ etservira donc dès que ce paramètre est inconnu.

EstimationTests

Et donc, en posant :

Tn−1 :=

√nσ (Xn − µ)√

(n−1)σ2

√n − 1Sn

(Xn − µ)

suit une loi de Student à n − 1 degrès de liberté

Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ etservira donc dès que ce paramètre est inconnu.

EstimationTests

De même pour l’estimateur Sn2, on peut prouver :

σ2 ∼ χ2(n)

∑i=1...n(Xi − µ)2

σ2 ∼ χ2(n)

EstimationTests

De même pour l’estimateur Sn2, on peut prouver :

σ2 ∼ χ2(n)

∑i=1...n(Xi − µ)2

σ2 ∼ χ2(n)

EstimationTests

Retenir

σ2 ∼ χ2(n − 1)

σ2 ∼ χ2(n)

n − 1Sn

(Xn − µ) ∼ Student(n − 1)

Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance.

EstimationTests

Retenir

σ2 ∼ χ2(n − 1)

σ2 ∼ χ2(n)

n − 1Sn

(Xn − µ) ∼ Student(n − 1)

Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance.

EstimationTests

Rappel : Loi de Student

Definition

Soient X ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X√Y/n

. Alors T

suit une loi de Student à n degré de liberté et on la noteStudent(n)

La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allureque la loi normale centrée réduite.

EstimationTests

Rappel : Loi de Student

Definition

Soient X ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X√Y/n

. Alors T

suit une loi de Student à n degré de liberté et on la noteStudent(n)

La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allureque la loi normale centrée réduite.

EstimationTests

Une application

Exemple :Les durées de vie moyenne des écrans d’ordinateurs d’unesociété sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On supposeque les durées de vie de chaque machines, suivent des loisnormales et sont indépendantes. On prend au hasard 10écrans.Trouver probabilité que l’écart-type de l’échantillon obtenu soitcompris entre 60h et 80h.

EstimationTests

Une application

Exemple :Les durées de vie moyenne des écrans d’ordinateurs d’unesociété sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On supposeque les durées de vie de chaque machines, suivent des loisnormales et sont indépendantes. On prend au hasard 10écrans.Trouver probabilité que l’écart-type de l’échantillon obtenu soitcompris entre 60h et 80h.

EstimationTests

Un exemple

1 Pour 1 ≤ i ≤ 10, notons Xi les durées de vie des 10 écransde l’échantillon. Par hypothèse, on a

Xi ∼ N (3000; 70).

2 La variance de l’échantillon est donnée par

∑i=1...10

(Xi − 3000)2

3 Or, on sait que la v.a Z = 10S102

702 suit une loi du χ2(10).Il ne reste plus qu’à traduire l’événement demandé avec lav.a Z .

EstimationTests

Un exemple

Xi ∼ N (3000; 70).

∑i=1...10

(Xi − 3000)2

EstimationTests

Un exemple

Xi ∼ N (3000; 70).

∑i=1...10

(Xi − 3000)2

EstimationTests

Un exemple

Xi ∼ N (3000; 70).

∑i=1...10

(Xi − 3000)2

EstimationTests

Un exemple

Xi ∼ N (3000; 70).

∑i=1...10

(Xi − 3000)2

EstimationTests

Un exemple

Donc, on a :

P(60 ≤ S10 ≤ 80) = P(10× 602

702 ≤ 10S102

702 ≤ 10× 802

= P(10× 602

702 ≤ Z ≤ 10× 802

= P(7,34 ≤ Z ≤ 13,06)

= P(Z ≤ 13,06)− P(Z ≤ 7,34)

= 0,473 à l’aide de la table du χ2(10),ou calculatrice, logiciel.

EstimationTests

Un exemple

Donc, on a :

P(60 ≤ S10 ≤ 80) = P(10× 602

702 ≤ 10S102

702 ≤ 10× 802

= P(10× 602

702 ≤ Z ≤ 10× 802

= P(7,34 ≤ Z ≤ 13,06)

= P(Z ≤ 13,06)− P(Z ≤ 7,34)

= 0,473 à l’aide de la table du χ2(10),ou calculatrice, logiciel.

EstimationTests

décorEstimation par intervalles de confiance

4 Tests

EstimationTests

Outil : estimateur

Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction desobservations, (une statistique/une v.a) qui tend vers laquantité souhaitée, à l’aide des théorémes limites ( typeLoi des grands nombres). On préférera une statistiquesans biaisOn essaye de connaître la loi limite de cette statistique.On est alors capable, de donner les fluctuations les plusprobables de la statistique, et de donner par exemple unintervalle de confiance.

EstimationTests

Outil : estimateur

EstimationTests

Outil : estimateur

EstimationTests

Outil : estimateur

EstimationTests

Estimation d’une moyenne,lorsque σ connu

EstimationTests

Estimation d’une moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est connue

On estime la moyenne µ par Xn.Par le TCL, on sait que

√nσ (Xn − µ)

L→ N (0; 1).Etant donné une marge d’erreur α, (par ex 5%), ondétermine alors un certain uα à l’aide de la table de laN (0; 1), tel que

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

Ainsi avec proba ≥ 1− α, on a :|√

nσ (Xn − µ)| ≤ uα.

ie :Xn − uα

σ√n≤ µ ≤ Xn + uα

σ√n

EstimationTests

√nσ (Xn − µ)

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

nσ (Xn − µ)| ≤ uα.

ie :Xn − uα

σ√n

EstimationTests

√nσ (Xn − µ)

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

nσ (Xn − µ)| ≤ uα.

ie :Xn − uα

σ√n

EstimationTests

√nσ (Xn − µ)

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

nσ (Xn − µ)| ≤ uα.

ie :Xn − uα

σ√n

EstimationTests

√nσ (Xn − µ)

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

nσ (Xn − µ)| ≤ uα.

ie :Xn − uα

σ√n

EstimationTests

Exemple 1

Une machine produit en grande série des objets de massethéorique 180g. On admet que la variable aléatoire qui associeà un objet sa masse a pour ecart-type 0,92g. On préléve unéchantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, onobtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle deconfiance au seuil de risque de 1%, de la masse µ d’un objet.

EstimationTests

Exemple 1

Soit Xi , la v.a qui renvoit la masse de l’objet i del’échantillon. On cherche un intervalle de confiance deµ = E(Xi)On sait qu’avec proba 1− α,

Xn − uασ√n≤ µ ≤ Xn + uα

σ√n

α = 0,01 donne un uα = 2,58. (table 2 de la loi normalecentrée réduite)D’où,

179,93− 2,58× 0,92√100

≤ µ ≤ 179,93 + 2,58× 0,92√100

Avec proba 0,99 on a, µ ∈ [179,69; 180,17].

EstimationTests

Exemple 1

σ√n

179,93− 2,58× 0,92√100

≤ µ ≤ 179,93 + 2,58× 0,92√100

Avec proba 0,99 on a, µ ∈ [179,69; 180,17].

EstimationTests

Exemple 1

σ√n

179,93− 2,58× 0,92√100

≤ µ ≤ 179,93 + 2,58× 0,92√100

Avec proba 0,99 on a, µ ∈ [179,69; 180,17].

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Exemple 2 : intervalle de confiance d’une proportion

Intervalle de confiance d’une proportion lors d’une élection, voirexemple détaillé en cours 3.Rappel des grandes lignes :

Dans ce cas, les Xi ∼ Bernoulli(p) avec p inconnu. Lavariance p(1− p), est donc également inconnue !On a donc avec proba 1− α,

Xn − uα

√p(1− p)

n≤ µ ≤ Xn + uα

√p(1− p)

L’estimée précédente est à priori sans intérêt, puisquep(1− p) est inconnu.La clef consiste à remarquer que pourtout p ∈ [0; 1], on a p(1−p) ≤ 1/4. Ainsi, avec proba 1−α,

Xn −uα

n≤ µ ≤ Xn +

uα2√

EstimationTests

Xn − uα

√p(1− p)

Xn −uα

n≤ µ ≤ Xn +

uα2√

EstimationTests

Xn − uα

√p(1− p)

Xn −uα

n≤ µ ≤ Xn +

uα2√

EstimationTests

Xn − uα

√p(1− p)

Xn −uα

n≤ µ ≤ Xn +

uα2√

EstimationTests

Xn − uα

√p(1− p)

Xn −uα

n≤ µ ≤ Xn +

uα2√

EstimationTests

Estimation d’une moyenne,lorsque σ inconnu

EstimationTests

Estimation de la moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est inconnue.

On suppose dans ce cas que les Xi suivent des loisnormales N (µ, σ).

EstimationTests

On utilise le fait que T =√

n−1Sn

(Xn − µ) suit une loi deStudent(n − 1).Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de la loi de student, tel que

P(|T | ≤ tα) ≥ 1− α, où T ∼ Student(n − 1).

On conclut, qu’avec proba au moins 1− α, on a :

n − 1Sn

(Xn − µ)| ≤ tα.

Ainsi,

Xn − tαSn√n − 1

≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1

EstimationTests

n−1Sn

n − 1Sn

(Xn − µ)| ≤ tα.

Ainsi,

≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1

EstimationTests

n−1Sn

n − 1Sn

(Xn − µ)| ≤ tα.

Ainsi,

≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1

EstimationTests

n−1Sn

n − 1Sn

(Xn − µ)| ≤ tα.

Ainsi,

≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1

EstimationTests

Exemple

Le chiffre d’affaire mensuel d’une entreprise suit une loinormale de moyenne µ et d’écart-type σ inconnus. Sur les 12derniers mois, on a observé une moyenne des chiffresd’affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000euros.Donner une estimation de µ par intervalle de confiance auniveau 0,98.

EstimationTests

Exemple

Le chiffre d’affaire mensuel d’une entreprise suit une loinormale de moyenne µ et d’écart-type σ inconnus. Sur les 12derniers mois, on a observé une moyenne des chiffresd’affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000euros.Donner une estimation de µ par intervalle de confiance auniveau 0,98.

EstimationTests

Exemple

Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .

On sait que T =√

(X12 − µ) suit une loi de Student(11)

A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98

Donc, |√

(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.

ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11

; X12 − 2,718× S12√11

Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient

µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.

EstimationTests

Exemple

On sait que T =√

Donc, |√

(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.

ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11

; X12 − 2,718× S12√11

µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.

EstimationTests

Exemple

On sait que T =√

Donc, |√

(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.

ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11

; X12 − 2,718× S12√11

µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.

EstimationTests

Exemple

On sait que T =√

Donc, |√

(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.

ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11

; X12 − 2,718× S12√11

µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.

EstimationTests

Exemple

On sait que T =√

Donc, |√

(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.

ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11

; X12 − 2,718× S12√11

µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.

EstimationTests

Exemple

On sait que T =√

Donc, |√

(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.

ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11

; X12 − 2,718× S12√11

µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.

EstimationTests

Complément : estimation d’unevariance, lorsque µ connue et

échantillon Gaussien

EstimationTests

Etimation de la variance, on ne traitera que le casGAUSSIEN !

On suppose dans ce cas que les Xi suivent des loisnormales N (µ, σ).

EstimationTests

Cas où la moyenne µ est connue.

On utilise l’estimateur Sn2

= 1n∑

i=1...n(Xi − µ)2

On sait que Z = nSn2

σ2 ∼ χ2(n)

Etant donné, un taux d’erreur α, à l’aide de la table de la loidu χ2, on détermine deux nombres mα et Mα tels que :

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).

EstimationTests

= 1n∑

i=1...n(Xi − µ)2

σ2 ∼ χ2(n)

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).

EstimationTests

= 1n∑

i=1...n(Xi − µ)2

σ2 ∼ χ2(n)

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).

EstimationTests

= 1n∑

i=1...n(Xi − µ)2

σ2 ∼ χ2(n)

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).

EstimationTests

Détermination des nombres mα et Mα : uneméthode...

Une manière possible de procéder est de trouver mα et Mα telsque

P(Z ≥ Mα) = α/2 et P(Z ≤ mα) = α/2

FIGURE: Allure de la densité d’un χ2.

EstimationTests

P(Z ≥ Mα) = α/2 et P(Z ≤ mα) = α/2

EstimationTests

P(Z ≥ Mα) = α/2 et P(Z ≤ mα) = α/2

EstimationTests

On déduit donc,

P(mα ≤nSn

σ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.

Ainsi,

Mα≤ σ2 ≤ nSn

mα) ≥ 1− α.

ie : σ ∈ [Sn

Mα; Sn

mα] avec proba 1− α.

EstimationTests

On déduit donc,

P(mα ≤nSn

σ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.

Ainsi,

Mα≤ σ2 ≤ nSn

mα) ≥ 1− α.

ie : σ ∈ [Sn

Mα; Sn

EstimationTests

On déduit donc,

P(mα ≤nSn

σ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.

Ainsi,

Mα≤ σ2 ≤ nSn

mα) ≥ 1− α.

ie : σ ∈ [Sn

Mα; Sn

EstimationTests

Complément : estimation d’unevariance, lorsque µ inconnu et

échantillon Gaussien

EstimationTests

Cas où la moyenne µ est inconnue.

On utilise même démarche en remplaçant Sn2, par l’estimateur

∑i=1...n

(Xi − Xn)2

On sait alors que Z = nS2n

σ2 ∼ χ2(n − 1)

A l’aide de la table du χ2, pour le taux α, on déterminedeux nombres mα et Mα tels que :

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).

EstimationTests

∑i=1...n

(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).

EstimationTests

∑i=1...n

(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).

EstimationTests

∑i=1...n

(Xi − Xn)2

σ2 ∼ χ2(n − 1)

P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).

EstimationTests

On déduit donc,

P(mα ≤nS2

nσ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.

Ainsi,

nMα≤ σ2 ≤ nS2

) ≥ 1− α.

ie : σ ∈ [Sn

Mα; Sn

EstimationTests

On déduit donc,

P(mα ≤nS2

nσ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.

Ainsi,

nMα≤ σ2 ≤ nS2

) ≥ 1− α.

ie : σ ∈ [Sn

Mα; Sn

EstimationTests

On déduit donc,

P(mα ≤nS2

nσ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.

Ainsi,

nMα≤ σ2 ≤ nS2

) ≥ 1− α.

ie : σ ∈ [Sn

Mα; Sn

EstimationTests

Exemple

Une entreprise comporte un grand nombre d’employés avec unsystème de pointage des heures d’arrivée. Chaque employédoit arriver à 8h. On a relevé le retard d’un échantillon de 25employés. On a obtenu un retard moyen de 6,47 min pour unécart-type moyen 1,12 min. A partir de ces informations,donner un intervalle de confiance au seuil de 0,9 pourl’écart-type du temps de retard.

EstimationTests

Exemple

Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).

On sait que Z =25S2

25σ2 ∼ χ2(24)

A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que

P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.

on obtient σ2 ∈ [25S2

2536,415 ;

25S225

13,848 ] avec proba 0,9.

ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.

EstimationTests

Exemple

On sait que Z =25S2

25σ2 ∼ χ2(24)

P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.

2536,415 ;

25S225

13,848 ] avec proba 0,9.

ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.

EstimationTests

Exemple

On sait que Z =25S2

25σ2 ∼ χ2(24)

P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.

2536,415 ;

25S225

13,848 ] avec proba 0,9.

ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.

EstimationTests

Exemple

On sait que Z =25S2

25σ2 ∼ χ2(24)

P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.

2536,415 ;

25S225

13,848 ] avec proba 0,9.

ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.

EstimationTests

Exemple

On sait que Z =25S2

25σ2 ∼ χ2(24)

P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.

2536,415 ;

25S225

13,848 ] avec proba 0,9.

ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.

EstimationTests

Exemple

On sait que Z =25S2

25σ2 ∼ χ2(24)

P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.

2536,415 ;

25S225

13,848 ] avec proba 0,9.

ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.

EstimationTests

Tests paramétriquesTests de comparaison

3 Estimation

4 TestsTests paramétriquesTests de comparaison

EstimationTests

Point de vue global

C’est une stratégie analogue à celles des estimations. Onutilise la même technologie.On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que,sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique)doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorèmelimites, distribution d’échantillonage)On vérifie alors, avec un taux α, "l’adéquation" des 2 lois.(Il existe des tests unilatéraux et bilatéraux.)

EstimationTests

Point de vue global

EstimationTests

Point de vue global

EstimationTests

Test d’une moyenne, σ connu

EstimationTests

Test moyenne, cas où σ connu

On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que pour n grand, la v.a

√nσ

(Xn − µ0) doit suivre une N (0; 1).

Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain uα à l’aide de la table de la N (0; 1), tel que

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

La position du nombre√

nσ (Xn − µ0) par rapport à

[−uα; uα], permet de rejetter ou de ne pas rejetter H0.

EstimationTests

√nσ

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

EstimationTests

√nσ

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

EstimationTests

√nσ

P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).

EstimationTests

Ainsi,Si√

nσ (Xn − µ0) ∈ [−uα; uα], on ne rejette pas H0.

Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Ainsi,Si√

nσ (Xn − µ0) ∈ [−uα; uα], on ne rejette pas H0.

Sinon on rejette H0.

EstimationTests

FIGURE: Zones rejet et non rejet de H0.

EstimationTests

Test d’une moyenne, σ inconnumais échantillon Gaussien

EstimationTests

Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu

Dans le cas où σ est inconnu, c’est le même principe mais onraisonne cette fois avec la variable de décision Tn−1 et onsuppose que les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ).

EstimationTests

On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que la v.a,

Tn−1 =

√n − 1Sn

(Xn−µ0) doit suit une loi de Student(n−1)

Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de Student(n − 1), tel que

P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.

Etude de la position de√

n−1Sn

(Xn − µ0) par rapport à[−tα; tα].

EstimationTests

Tn−1 =

√n − 1Sn

P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.

n−1Sn

EstimationTests

Tn−1 =

√n − 1Sn

P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.

n−1Sn

EstimationTests

Tn−1 =

√n − 1Sn

P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.

n−1Sn

EstimationTests

Ainsi, on a la même discussion,Si Tn−1 ∈ [−tα; tα], on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Ainsi, on a la même discussion,Si Tn−1 ∈ [−tα; tα], on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Exemples : Effet sur le temps de sommeil desaménagements d’ horaire dans une entreprise

En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon de 30 employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.En supposant que le temps de sommeil d’un employé suitune loi normale, peut on considérer que le temps desommeil des employés de cette entreprise est inférieur autemps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30 auseuil 5% ?

EstimationTests

Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.

Sous H0, on a T29 =√

(X30 − 7,5) ∼ Student(29)

La table de Student donne P(|T | ≤ 2,045) ≥ 0,95

Ici T29 =√

291,35 (6,56− 7,5) = −3,74

Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0

EstimationTests

(X30 − 7,5) ∼ Student(29)

Ici T29 =√

291,35 (6,56− 7,5) = −3,74

EstimationTests

(X30 − 7,5) ∼ Student(29)

Ici T29 =√

291,35 (6,56− 7,5) = −3,74

EstimationTests

(X30 − 7,5) ∼ Student(29)

Ici T29 =√

291,35 (6,56− 7,5) = −3,74

EstimationTests

(X30 − 7,5) ∼ Student(29)

Ici T29 =√

291,35 (6,56− 7,5) = −3,74

EstimationTests

(X30 − 7,5) ∼ Student(29)

Ici T29 =√

291,35 (6,56− 7,5) = −3,74

EstimationTests

Test d’une variance, µ connumais échantillon Gaussien

EstimationTests

Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µconnu

C’est encore la même démarche, avec cette fois avec lavariable de décision

Z =nS2

σ2 =1σ2

∑i=1...n

(Xi − µ)2

qui doit suivre un χ2(n), si le σ est correct.

EstimationTests

On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,

Zn = nS2n

doit suit une loi de χ2(n)

Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n), tel que

P(Zn ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n).

Etude de la position de nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Zn = nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Zn = nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Zn = nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Ainsi, on a la même discussion,Si Zn ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Ainsi, on a la même discussion,Si Zn ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Test d’une variance, µ inconnuet échantillon Gaussien

EstimationTests

Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu

Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), et lorsque µ estinconnu, on utilise :

σ2 qui doit suivre un χ2(n − 1), si le σ est correct.

EstimationTests

Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), et lorsque µ estinconnu, on utilise :

σ2 qui doit suivre un χ2(n − 1), si le σ est correct.

EstimationTests

Zn−1 = nS2n

doit suivre une loi de χ2(n − 1)

Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n − 1), tel que

P(Zn−1 ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n − 1).

par rapport à cα.

EstimationTests

Zn−1 = nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Zn−1 = nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Zn−1 = nS2n

par rapport à cα.

EstimationTests

Ainsi, on a une fois de plus la même discussion,Si Zn−1 ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Ainsi, on a une fois de plus la même discussion,Si Zn−1 ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.

EstimationTests

Problématique :Etant donné deux échantillons de taille nA et nB, peut-onadmettre qu’ils ont été prélevés dans une même population.Ces deux échantillons ayant été prélevés independamment l’unde l’autre.

EstimationTests

Test de comparaison

Population A

Moyenne :µAEcart-type : σA

Echantillon

Taille :nA

Population B

Moyenne :µBEcart-type : σB

Echantillon

Taille :nB

EstimationTests

Test de de comparaison desvariances d’échantillon

Gaussien.

EstimationTests

Test de comparaison des variances

Soient deux échantillons A et BPour 1 ≤ i ≤ nA, notons

X Ai les valeurs de la variable étudiée, issue de A,

avec X Ai ∼ N (µA;σA).

De même, pour 1 ≤ i ≤ nB, notons

X Bi les valeurs de la variable étudiée, issue de B,

avec X Bi ∼ N (µB;σB).

On veut tester l’hypothèse H0 : σA = σB.

EstimationTests

En appliquant les résultat de la théorie del’échantillonnage, on sait que :

nASAnA

σ2A∼ χ2(nA − 1) et

nBSBnB

σ2B∼ χ2(nB − 1),

où SAnA

2 et SBnB

2 désignent les estimateurs respectifs de lavariance de l’échantillon A et B.

Ainsi, la v.a Z :=

nASAnA

(nA−1)σ2A

nBSBnB

(nB−1)σ2B

, rapport de deux χ2 divisés par

les degrés de liberté, suit donc (par définition) une loi deFisher-Snedecor F(nA − 1,nB − 1).

EstimationTests

En appliquant les résultat de la théorie del’échantillonnage, on sait que :

nASAnA

σ2A∼ χ2(nA − 1) et

nBSBnB

σ2B∼ χ2(nB − 1),

où SAnA

2 et SBnB

2 désignent les estimateurs respectifs de lavariance de l’échantillon A et B.

Ainsi, la v.a Z :=

nASAnA

(nA−1)σ2A

nBSBnB

(nB−1)σ2B

, rapport de deux χ2 divisés par

les degrés de liberté, suit donc (par définition) une loi deFisher-Snedecor F(nA − 1,nB − 1).

EstimationTests

Sous l’hypothèse H0 : σA = σB, cette expression sesimplifie en :

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

Ainsi, sous H0, la variable Z doit suivre une loi deFisher-Snedecor

F(nA − 1,nB − 1).

EstimationTests

Sous l’hypothèse H0 : σA = σB, cette expression sesimplifie en :

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

Ainsi, sous H0, la variable Z doit suivre une loi deFisher-Snedecor

F(nA − 1,nB − 1).

EstimationTests

Principe du test :On suppose H0 : σA = σB.

Etant donné un seuil α, on détermine un fα à l’aide de latable de la loi de Fisher-Snedecor tel queP(F ≤ fα) = 1− α où F ∼ F(nA − 1,nB − 1).

On compare la valeur Z =

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

, à fα.

Si Z < fα alors on ne rejette pas H0,sinon on rejette.

EstimationTests

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

, à fα.

EstimationTests

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

, à fα.

EstimationTests

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

, à fα.

EstimationTests

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

, à fα.

EstimationTests

Remarques

Si les deux échantillons ont même taille (nA = nB),l’expression se simplifie en :

En pratique, on met toujours au numérateur la plus grandedes deux quantités.Possible de faire un test de Fisher-Snedecor bilateral

FIGURE: Test de Fisher-Snedecor bilateral.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

EstimationTests

Remarques

EstimationTests

Remarques

EstimationTests

Test de de comparaison desmoyennes d’échantillon

Gaussien.

EstimationTests

Rappels

Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )

Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.

Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :

X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)

Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors

Xn ∼ N (µ,σ√n

EstimationTests

Rappels

X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)

Xn ∼ N (µ,σ√n

EstimationTests

Rappels

X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)

Xn ∼ N (µ,σ√n

EstimationTests

Rappels

X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)

Xn ∼ N (µ,σ√n

EstimationTests

Rappels

X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)

Xn ∼ N (µ,σ√n

EstimationTests

Rappels

X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)

Xn ∼ N (µ,σ√n

EstimationTests

Test de comparaison des moyennes

On suppose désormais σA = σB := σ, et on veut testerµA = µB. Par les résultats de distribution d’échantillonnage, onsait que :

XA ∼ N (µA,σ√nA

) et XB ∼ N (µB,σ√nB

nASAnA

σ2 ∼ χ2(nA − 1) etnBSB

σ2 ∼ χ2(nB − 1)

XA − XB ∼ N (µA − µB, σ

√1nA

nB) (1)

etnASA

2+ nBSB

σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)

EstimationTests

nASAnA

σ2 ∼ χ2(nB − 1)

√1nA

nB) (1)

etnASA

2+ nBSB

σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)

EstimationTests

nASAnA

σ2 ∼ χ2(nB − 1)

√1nA

nB) (1)

etnASA

2+ nBSB

σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)

EstimationTests

nASAnA

σ2 ∼ χ2(nB − 1)

√1nA

nB) (1)

etnASA

2+ nBSB

σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)

EstimationTests

nASAnA

σ2 ∼ χ2(nB − 1)

√1nA

nB) (1)

etnASA

2+ nBSB

σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)

EstimationTests

Si on a la valeur de σ, on peut directement testerl’adéquation de XA − XB avec une normale centrée par (1).Sinon, on forme le rapport de (1) par (2), puis apréssimplification par σ et par définition de la loi de Student, ona :

T :=XA − XB − (µA − µB)√

(nASAnA

2+ nBSB

√nA + nB − 2,

qui suit une loi de Student(nA + nB − 2), comme quotient d’uneloi normale et de la racine d’un χ2 (divisé par son degré deliberté).

EstimationTests

T :=XA − XB − (µA − µB)√

(nASAnA

2+ nBSB

√nA + nB − 2,

EstimationTests

T :=XA − XB − (µA − µB)√

(nASAnA

2+ nBSB

√nA + nB − 2,

EstimationTests

Sous l’hypothèse µA = µB, on calcule donc

T =XA − XB√

(nASAnA

2+ nBSB

√nA + nB − 2,

que l’on teste (exactement comme pour le test de la moyenneavec σ inconnu), avec une loi Student(nA + nB − 2).

EstimationTests

Cas d’échantillon non Gaussiens

Le test de variance n’est plus valable en général. (nS2n

σ2 nesuit pas forcément un χ2)Parcontre, si nA et nB sont assez grands (≥ 30), on peutquand même tester les moyennes avec la formule deStudent.

EstimationTests

Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises

Un réseau A d’entreprises constitué de nA = 31 entreprises,possède un chiffre d’affaire moyen annuel de 27 432 eurospour un écart-type moyen de 2349 euros. Un réseau B dumême secteur d’activité que A, est constitué de nB = 41entreprises, a un chiffre d’affaire moyen annuel de 30431 eurosavec un écart-type moyen de 1802 euros.

Peut on considérer que les moyennes du chiffre d’affaire annueldu réseau A et du réseau B sont égales (au seuil 5%) ?

EstimationTests

Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA

nA= 2349,SB

nB= 2496

On teste d’abord H0 : σA = σB ?

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

=31×23492

3041×24962

≈ 0,892

A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.

EstimationTests

nA= 2349,SB

nB= 2496

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

=31×23492

3041×24962

≈ 0,892

EstimationTests

nA= 2349,SB

nB= 2496

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

=31×23492

3041×24962

≈ 0,892

EstimationTests

nA= 2349,SB

nB= 2496

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

=31×23492

3041×24962

≈ 0,892

EstimationTests

nA= 2349,SB

nB= 2496

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

=31×23492

3041×24962

≈ 0,892

EstimationTests

nA= 2349,SB

nB= 2496

nASAnA

(nA−1)

nBSBnB

(nB−1)

=31×23492

3041×24962

≈ 0,892

EstimationTests

On suppose donc l’égalité des variances H0 et on testemaintenant l’hypothèse H ′0 : µA = µB.

On calcule T = XA−XB√(nASA

nA2+nBSB

nB2)( 1

√nA + nB − 2,

On trouveT ≈ −0,00024

A l’aide de la table de la loi de Student, on aP(|S| ≤ 1,99) = 0,95 où S ∼ Student(70)(nA + nB − 2 = 70.)−0,00024 ∈ [−1,99; 1,99] donc on ne rejette pas H ′0.

EstimationTests

nA2+nBSB

nB2)( 1

√nA + nB − 2,

EstimationTests

nA2+nBSB

nB2)( 1

√nA + nB − 2,

EstimationTests

nA2+nBSB

nB2)( 1

√nA + nB − 2,

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nA2+nBSB

nB2)( 1

√nA + nB − 2,

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Test de comparaisond’échantillons Gaussiens

appariés.

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Appariement

On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...

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Appariement

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Exemple

Dans une entreprise, on veut comparer le temps de sommeild’une équipe en période de projet et en période normale. Pourcela, on demandé à 10 individus de l’équipe de donner leurtemps de sommeil durant les deux périodes. Les résultats sontconsignés dans le tableau suivant :

En projet 4,5 7 6 6 6 7 6 6 7 5Normal 6 8 7 7 6 7 8 7 7 7

Peut on considérer que les temps de sommeil sont identiquesdurant les deux périodes, au risque 5% ?On supposera que les temps de sommeil suivent des loisnormales.

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Exemple

Dans une entreprise, on veut comparer le temps de sommeild’une équipe en période de projet et en période normale. Pourcela, on demandé à 10 individus de l’équipe de donner leurtemps de sommeil durant les deux périodes. Les résultats sontconsignés dans le tableau suivant :

En projet 4,5 7 6 6 6 7 6 6 7 5Normal 6 8 7 7 6 7 8 7 7 7

Peut on considérer que les temps de sommeil sont identiquesdurant les deux périodes, au risque 5% ?On supposera que les temps de sommeil suivent des loisnormales.

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Exemple

Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,

Tn−1 =

√n − 1Sn

(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)

(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.

Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.

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Exemple

Tn−1 =

√n − 1Sn

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Tn−1 =

√n − 1Sn

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Tn−1 =

√n − 1Sn

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Tn−1 =

√n − 1Sn

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Tn−1 =

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Tn−1 =

√n − 1Sn

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