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Cours 4 : Analyse de stabilité et de performances des systèmeslinéaires bouclés

Olivier Sename

GIPSA-lab

Septembre 2017

Olivier Sename (GIPSA-lab) Asservissement Septembre 2017 1 / 26

1 Objectifs

2 Stabilité

3 Stabilité d’un asservissementcritère de Routhcritère de Nyquist

4 Marges de stabilité

5 PrécisionSans perturbationSans consigne

6 Rapidité

O. Sename [GIPSA-lab] 2/26

Objectifs

Objectif de la commande (cahier des charges)

• Stabilité• Précision• Rapidité• Rejet de perturbation• Désensibilisation vis-à-vis des variations paramétriques (robustesse).

Agir sur un système dynamique afin d’obtenir les performances désirées avec un coût acceptableet malgré les incertitudes et les contraintes.


Stabilité

Stabilité d’un système linéaire

Soit le système linéaire de fonction de transfert :

G(s) =N(s)

D(s)do(N(s)) ≤ do(D(s)) = n

Son dénominateur est : D(s) = an(s− s1) · · · (s− sn)La transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle est :

Y (s) =N(s)

an(s− s1) · · · (s− sn)

Y (s) =c1

s− s1+ · · ·+

cn

s− sn

y(t) = c1es1t + · · ·+ cne

snt

• racine simple : ciesit

• racine multiple : cql tl−1

(l−1)!esrt avec l = q, q − 1, · · · 1

• racine complexe conjuguée : Aeαt cos(ωt+ φ)


Stabilité

Stabilité asymptotique

Le système défini par la fonction de transfert G(s) est asymptotiquement stable (y(t)→ 0) si tousles pôles de sa fonction de transfert sont tels que :

<e(si) < 0 i = 1 · · ·n

Remarques

• Si la réponse impulsionnelle converge vers 0, le système est asymptotiquement stable.• Si la réponse impulsionnelle reste bornée sans converger vers 0, le système est stable.• Si la réponse impulsionnelle diverge alors le système est instable.

Cas des pôles imaginaires purs

• G(s) a une paire de pôles imaginaires purs conjugués• G(s) a plusieurs paires de pôles imaginaires purs conjugués• l’intégrateur pur 1/s est un système stable mais non asymptotiquement stable.


Stabilité d’un asservissement


Objectif principal : obtenir un système stable en boucle fermée.Notions abordées:

Stabilité absolue: un système est stable ou instable

Stabilité relative: analyse du degré de stabilité, notion de distance vis à vis de l’instabilité,définitions des marges de stabilité

Définition: Un système est stable au sens Entrée Bornée - Sortie Bornée (BIBO) si tout signald’entrée borné produit un signal de sortie borné.



Etude de la stabilité d’un asservissement


HB0(s) = K(s)G(s) =Num(s)

Den(s)

HBF (s) =HB0(s)

1 +HB0(s)

=Num(s)

Num(s) +Den(s)

Comment vérifier la stabilité ?

Équation caractéristique du système asservi :

1 +HB0(s) = 0

⇔ Num(s) +Den(s) = 0

Le système asservi est asymptotiquementstable si toutes les racines de l’équationcaractéristique sont à partie réelle négative.Solution 1: détermination des racines d’unpolynôme.Exemple :pour un polynôme P : P = [1 4 7]roots(P ) donne les racines de Ppour une fonction de transfert H :H = tf(1, [2 5 8 0])pole(H) donne les pôles de H.Trop complexe (à la main) pour un polynômed’ordre >2

Stabilité d’un asservissement critère de Routh

Solution 2: utiliser le critère algébrique de Routh

Utile si présence de paramètres formels dans l’équation caractéristique de paramètres .cf Formulaire pages 15-16.Watch https://www.youtube.com/watch?v=WBCZBOB3LCA

-

+

Quel est le domaine de stabilité pour kp et Ti ?

HB0(s) =kp(1 + Tis)

Tis(1 + s)2

HBF (s) =kp(1 + Tis)

kp(1 + Tis) + Tis(1 + s)2

Équation caractéristique :Tis

3 + 2Tis2 + Ti(kp + 1)s+ kp = 0

Condition de stabilité :kp > 0 Ti > 0 (kp + 1)Ti >

kp

2O. Sename [GIPSA-lab] 8/26

Stabilité d’un asservissement critère de Nyquist

Critère géométrique de Nyquist

Présentation

Le critère de Nyquist est une application du principe de l’argument pour les fonctions complexes.L’application pour l’étude de stabilité des systèmes asservis nécessite l’utilisation du contour deNyquist.L’application du théroème consiste à étudier la fonction complexe 1 +HBO(s) afin de déterminerle nombre de ses zéros instables (c-a-d appartenant au controur fermé), donc le nombre de polesinstables de HBF (s).

Enoncé du critère

Un système continu en boucle fermée à retour unitaire (HBF ) est asymptotiquement stable à lacondition nécessaire et suffisante que son diagramme de Nyquist en boucle ouverte (HBO)parcouru quand ω croît de −∞ à +∞ entoure le point critique (−1, 0) dans le senstrigonométrique un nombre N de fois égal au nombre P de pôles instables de la fonction detransfert en boucle ouverte.

Quelques docs intéressantes

Many lectures and videos on the web.https://www.youtube.com/watch?v=sof3meN96MA



Tracé du diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist est obtenu en faisant parcourir à la variable complexe s le contour deNyquist :

• On connaît le lieu de HBO(s) dans le plan de Nyquist : ω = 0, ω →∞• Son symétrique par rapport à l’axe réel correspond à ω = −∞, ω → 0• Pour les systèmes physiquement réalisables : do(Num) < do(Den) et s→∞ (lieu du grand

cercle) a pour image HBO(ω =∞) = 0• valable si HBO(s) ne contient pas de pôles à l’origine (le contour C passe par l’origine etHBO(ω = 0) = K, gain statique du système en boucle ouverte).



Tracé du diagramme de Nyquist pour s = 0

HBO(s) contient des termes en Ksni

, K > 0, le contour est le suivant :

s = εejθ θε[−π2, π2

] d’où HBO(s) ≈ Kεni

e−jniθ

Le module de HBO(s)→∞ et l’argument varie de [+niπ2,−niπ

2].

A voir

Cas des systèmes avce intégrateurs: https://www.youtube.com/watch?v=ziewH6KPX5c andhttps://www.youtube.com/watch?v=pYSXjoSKdQ0


Marges de stabilité


• En pratique : la fonction de transfert est une approximation de la réalité• or, la limite théorique de la stabilité se fait par rapport au point critique (−1, j0) dans le plan

de Nyquist• Donc on prend des marges de sécurité :

1 Marge de gain: indique l’augmentation de gain du transfert de boucle ouverte qui amnèrerait laboucle fermée en limite de stabilité

2 Marge de phase: indique le retard de phase du transfert de boucle ouverte (HBO) qui amnèrerait laboucle fermée (HBF ) en limite de stabilité

3 Marge de module: indique la distance absolue minimale du transfert de boucle ouverte au point -1.4 Marge de retard: indique le retard que peut subir le transfert de boucle ouverte qui amnèrerait la

boucle fermée en limite de stabilité

• Avec des marges importantes, le système est robuste aux variations de la fonction detransfert.



Marges de stabilité dans Bode

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

M g

Mag

nitu

de (

dB)

10-1 100 101-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

M φφφφ



Marges de stabilité dans Bode

• Marge de gain :

MgdB = −[|HBO(jωπ |]dB ⇔Mg =1

|HBO(jωπ)|• Marge de phase :

Mφ = 180o + arg[HBO(jω1)]

ω1 étant la fréquence pour laquelle le gain est unitaire (OdB).• les systèmes du 1er et 2nd ordre dont les pôles sont à partie réelle négative ont une marge

de gain infinie car la phase n’atteint jamais −180o

• En pratique, on choisit des réglages tels que Mg ≈ 6→ 20dB et Mφ ≈ 45o → 60o



Marges de stabilité dans Nyquist

Mg = 1|HBO(jωπ)|

, Mφ = arg[HBO(jω1)]− π), et Mretard = Mφω1

Marge de module (on demande en général: ∆M = minω |1 +GK(jω)| ≥ 0.5)



Marges de stabilité dans Black

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

M g

M φφφφ


Précision

Présentation du problème de précision d’un asservissement

Soit le schéma

Nous allons étudier la précision de cet asservissement en présence de perturbations c-a-danalyser si l’erreur ε(t) = c(t)− y(t) converge vers 0, quels que soient les signaux perturbateurs.

Nous allons quantifier la précision d’un asservissement en analysant:• ε(t) = c(t)− y(t) en régime permanent: ε0 = lim

t→∞ε(t) est appelée erreur statique

• lorsque la consigne est un échelon d’amplitude c, la valeur de ε0c

, exprimée en pourcent,définit la précision du système.

• la précision sera d’autant meilleure que ε0 tendra vers 0


Précision

Précision

Exemple d’erreur de position Asservissement précis

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nive

au

Temps

Régulation niveau du bac - Kv=1.2, Kr=1 et Kr=0.5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

com

man

de

Kr=0.5Kr=1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

nive

au

Temps

Régulation niveau du bac - Kv=1.2, P=215, I=53.7

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50

0

50

100

150

200

250

Temps

com

man

de


Précision

Etude de la précision de l’asservissement


Equation de la sortie

Y (s) =G(s)K(s)

1 +G(s)K(s)C(s)

+G(s)

1 +G(s)K(s)Du(s)

+1

1 +G(s)K(s)Dy(s)

Puisque ε(s) = C(s)− Y (s) avec lanotation HBO(s) = G(s)K(s)

ε(s) = εc(s) + εdu (s) + εdy (s)

Ecart relatif à la consigne:

εc(s) =1

1 +HBO(s)C(s)

Ecart relatif à la perturbation en sortie

εdy (s) = −1

1 +HBO(s)Dy(s)

Ecart relatif à la perturbation en entrée

εdu (s) = −G(s)

1 +HBO(s)Du(s)

Surtout ne pas définir l’écart relatif à la perturbation comme D?(s)− Y (s) (on ne cherchepas à suivre la perturbation mais à la rejeter !) . Il s’agit bien de calculer l’erreur enasservissement (suivi de consigne) en présence d’une perturbation.

Précision Sans perturbation

Précision : cas avec consigne et sans perturbation (du = 0, dy = 0)

Objectif : Déterminer la précision en BF à partir de εc(s) = 11+HBO(s)

C(s)

Outil: appliquer le théorème de la valeur finale ε0 = limt→∞

ε(t) = lims→0 sεc(s)

Hypothèse : le système en boucle fermée est asymptotiquement stable.

Définition de la consigne

C(s) =C

sqq ≥ 1 C = Cste

Calcul de la Boucle Ouverte

Soit ni le nombre d’intégrateurs en boucle ouverte. Notons:

HBO(s) =K

sni

B(s)

A(s)avec B(s = 0) = 1 et A(s = 0) = 1

Calcul de l’erreur en régime permanent

ε0 = lims→0

[s.

1

1 +HBO.C

sq

]= lims→0

[1

1 +HBO.C

sq−1

]



Précision : cas avec consigne et sans perturbation (du = 0, dy = 0)


ε0 = lims→0

C. sni−(q−1)

sni +KB(s)A(s)

= lim

s→0

[C.sni−(q−1)

sni +K

]

ε0 =

∞ si ni < (q − 1)Cste si ni = (q − 1)0 si ni > (q − 1)

Si ni = (q − 1)

ε0 =

{C

1+Ksi ni = (q − 1) = 0

CK

si ni = (q − 1) 6= 0

Attention: Si c(t) est un échelon;calcul de ε0

Cpour obtenir l’erreur en %

Quelques cas classiques:

• C(s) = Cs

càd entrée de type échelon : q = 1

1 Système sans intégrateur(HBO(s) = K

B(s)A(s)

): ni = 0 : ε0 = C1+K

2 Système avec un intégrateur : ni = 1 : ε0 = 03 Système avec deux intégrateurs : ni = 2 :

ε0 = 0

• C(s) = Cs2

càd entrée de type rampe: q = 2

1 Système sans intégrateur : ni = 0 : ε0 =∞2 Système avec un intégrateur : ni = 1 :

ε0 = CK

3 Système avec deux intégrateurs : ni = 2 :ε0 = 0


Résumé des valeurs des erreurs statiques en asservissement


Précision Sans consigne

Précision : cas sans consigne, avec perturbation en sortie (du = 0)

Objectif : Déterminer la précision en BF à partir de εdy (s) = − 11+HBO(s)

dy(s)


ε(t) = lims→0 sεdy(s)


Définition de la perturbation en sortie

Dy(s) =Dy

sqq ≥ 1 Dy = Cste


ε0 = lims→0

[s.

1

1 +HBO.Dy

sq

]= lims→0

[1

1 +HBO.Dy

sq−1

]Comme les fonctions de transfert

εdydy

et εcc

sont identiques (au signe près) le calcul des erreursest similaire au cas précédent.N.B: si l’asservissement de consigne est précis alors le rejet de perturbation en sortie sera bon.



Précision : cas sans consigne, avec perturbation en entrée (dy = 0)

Objectif : Déterminer la précision en BF à partir de εdu (s) = − G1+HBO(s)

du(s)


ε(t) = lims→0 sεdu(s)



Définition de la perturbation en entrée

Du(s) =Du

sqq ≥ 1 Du = Cste


ε0 = lims→0

[s.

G(s)

1 +HBO(s).Du

sq

]= lim

s→0

[G

1 +HBO.Du

sq−1

]↗

� Notons:

G(s) =Kg

sngBg(s)

Ag(s)K(s) =

Kk

snk

Bk(s)

Ak(s)

Alors on a finalement:

ε0 = lims→0

− Kgsng

Bg(s)

Ag(s)

1 + Kksnk

Bk(s)Ak(s)

Kgsng

Bg(s)

Ag(s)

.Du

sq−1

⇒ ε0 =

−DuKk

lims→0

[snk−(q−1)

]

L’erreur statique est nulle si nk > q − 1, infinie si nk < q − 1, et constante si nk = q − 1


Exemple de rejet de perturbation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2


Rapidité

Rapidité

La rapidité d’un système asymptotiquement stable se mesure par la durée de son régimetransitoire.• Système du 1er ordre : t5% = 3τ

• Système du 1er ordre en boucle fermée à retour unitaire : tBF5%

=tBO5%

1+KB0 , KBO > 0

• Pour les systèmes complexes, régler la rapidité revient à régler les pôles dominants.Les réponses sont d’autant plus lentes que la partie réelle des pôles, en valuer absolue, estfaible.

• augmenter la rapidité d’un système revient à élargir la bande passante.


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