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Cours 2 : Physique des vagues 1 - Origines des vagues 2 - Description des vagues 3 - Vitesses des vagues 4 - Les vagues sont des ondes (réfraction, réflexion, interférences) 5 - Sillage des bateaux 6 - Les ondes longues 7 - Utilisation de l’énergie des vagues Marc Rabaud, Peyresq, 4 juin 2015

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Cours 2 : Physique des vagues1 - Origines des vagues2 - Description des vagues3 - Vitesses des vagues4 - Les vagues sont des ondes (réfraction,

réflexion, interférences)5 - Sillage des bateaux6 - Les ondes longues7 - Utilisation de l’énergie des vagues

Marc Rabaud, Peyresq, 4 juin 2015

1 – Origine des vagues

2 – Description des vagues (régime linéaire) - Transformée de Fourier

-  Analyse modale

λ =2πk

ω = 2πf =2πT

L

A

H

-  Les vagues correspondent à des oscillateurs couplés spatialement

Forces de rappel : -  Gravité -  tension de surface

Dissipations : -  Viscosité du liquide -  frottement sur les parois -  déferlement

Mouvement en surface

Mouvement rapidement amorti en profondeur

Ondes de surface : ni transverses (électromagnétisme) ni longitudinale (son)

Trajectoires toujours circulaires ?

-  Eau peu profonde = ellipses

-  Non-linearités => dérive de Stokes

vStokes

= k2A2exp(2kz)v

'

3 – Vitesses des vagues

- Relation de dispersion ω = f(k), - vitesse de phase - vitesse de groupe

Ondes planes monochromatiques

20 CHAPITRE 2. LES ONDES DE SURFACE

soit :⌃⇤�⇧�i

⇧t+

pi⇤i

+ gz

⇥= 0,

et finalement :pi = �⇤i

⇧�i

⇧t� ⇤igz + Ci.

La surface plane devant etre solution, on a C1 = C2 = Patm.En particulier a l’interface nous avons :

p1 � p2 = ⇤2⇧�2

⇧t� ⇤1

⇧�1

⇧t� (⇤1 � ⇤2)g⇥ . (2.1)

Conditions aux limites : elles sont de deux sortes, cinematiques (egalite des vitesses transversesa l’interface) et dynamiques (egalite des contraintes normales). Pour la premiere, comme l’amplitudede la deformation est faible, il suffit que : vz1 = vz2 soit :

⇧�1

⇧z|z=� =

⇧�2

⇧z|z=� =

⇧⇥

⇧t. (2.2)

(La relation exacte, valable quelque soit l’amplitude de la deformation, est donnee par l’equation 10.4page 96.) Cette condition nous donne ici la relation : k A1 = �k B2 = �i⌅ ⇥0. Ceci nous permetd’exprimer les constantes d’integration en fonction de l’amplitude de l’onde :

�1 = �i⌅

k⇥0 exp kz exp i(kx� ⌅t)

�2 = i⌅

k⇥0 exp�kz exp i(kx� ⌅t)

(2.3)

La condition dynamique nous dit que la difference de pression sur une interface courbee est donneepar la loi de Laplace (§1.2) :

pint � pext = �

⇤1

R1+

1

R2

⌅,

ou � est la tension de surface. Ici nous avons un seul rayon de courbure et la courbure etant faible :p1 � p2 = �� ⌅2�

⌅x2 , soit :p1 � p2 = �k2⇥ (2.4)

En rassemblant ces trois resultats (equations 1.1, 1.3 et 1.4, on obtient finalement la relation dedispersion des ondes planes lineaires en eau profonde :

⌅2 =⇤1 � ⇤2⇤1 + ⇤2

gk +�

⇤1 + ⇤2k3 . (2.5)

Notons que si ⇤1 < ⇤2 la pulsation est complexe, c’est a dire que l’on est en presence d’une insta-bilite. C’est l’instabilite de Rayleigh-Taylor qui est decrite plus loin (voir § 19.6 page 213). L’equationprecedente peut aussi s’ecrire :

⌅2 =⇤1 � ⇤2⇤1 + ⇤2

gk

⇧1 +

�k

kc

⇥2⌃. (2.6)

Avec kc =⌦(⇤1 � ⇤2)g/�. Ce nombre d’onde de coupure separe le regime des ondes capillaires

(petites longueurs d’ondes — grands k —controlees par la tension de surface) de celui des ondes degravite (grandes longueurs d’ondes gouvernees par la gravite). La relation de dispersion ⌅(k) etantnon lineaire, les ondes interfaciales sont dispersives (V⇤ ⇥= Vg). On rappelle que la vitesse de phasede l’onde plane est donnee par V⇤ = ⌅/k et sa vitesse de groupe par Vg = ⌅⇥

⌅k .

Relation de dispersion ω = f(k) :

vϕ (k) =ωk

Vitesse de phase

vg (k) =dωdk

Vitesse de groupe

En eau peu profonde :

32 CHAPITRE 2. LES ONDES DE SURFACE

FIGURE 2.13 – Sillages de Kelvin dans l’atmosphere. Ondes observees dans lacouche nuageuse en aval des iles Sandwich du Sud (Cliche Nasa, http ://earthobserva-tory.nasa.gov/IOTD/view.php ?id=4174).

⌅2 =⇤1 � ⇤2⇤1 + ⇤2

gk tanhhk

⇤1 +

�k

kc

⇥2⌅. (2.10)

Avec toujours le meme nombre d’onde de coupure kc =⇧(⇤1 � ⇤2)g/�. Cette relation ne differe

significativement de l’equation 2.6 que si ⇥ > h.

Exercice : Montrer que dans le cas air/eau il existe une hauteur d’eau optimale pour que les ondesne soit presque pas dispersives. C’est cette epaisseur h =

⇧3�/(⇤g) ⇥ 4, 8 mm qui est choisie dans

les ⌧ cuves a ondes � utilisees pour illustrer le comportement des ondes optiques.

=> équation d’onde, solutions en ζ =ζ0 expi(kx −ωt)

Milieu dispersif (≠ son, lumière)

Hypothèses : faible dissipation et faible amplitude

Vitesse de phase et vitesse de groupe en eau profonde

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

VphaseVgroupe

k/kc

k/kc

V ϕ o

u V g (m

/s)

Vg = 1/2 vϕ

Evolution d’un paquet d’onde : cas d’une onde de gravité.

Jetons un cailloux de taille L dans une mare :

0 50 100 150 200 250 3000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (m)

t (s)

Problème de Cauchy-Poisson (1816)

278 W . H . MUNK and F. E. SNODGRASS

80 i f

t

I

.+__J

+_J~ /

/

3 4 5 6 7 8 October 1956

Fig. 5. Frequency-time diagram for the Guadalupe Spectral peaks, Fig. 3. Each frequency band is indicated by a cross. The vertical lines give a measure of the possible range of values of peak

frequency; the horizontal lines give the duration of the analysed record.

, ~ ~ . 4 ; ~ ~ + ~ + +

~ '~ " + ~ ~' i " ,, 40 + ÷ o + • ' ~ + + + + • + *

\ \ , + " + < ' - - - . , , / . . - ' < ' . > " ~ + t " " : ' + + + +

H

• ~ 4- 4, 4- ~ 4- + + 4-

\ \ , q , ~ ~ ;~<,;,< o<;-~. . . . . -t- + + . , ~.

+ +

\ \ --..,.-..--...~ ~ \ \ ,.o,~,, o<<~,, ,s '~ .~_% <

Fig. 6. Azimuthal-equidistant projection centred on San Diego. Distances from Guadalupe are given in units of degrees (1 ° equals i l I kin).

Munk & Snodgrass(1957)

Source with a range of 14,800 kilometers! Consistent only with very distant areas of generation in the Indian Ocean, south of Western Australia.

278 W . H . MUNK and F. E. SNODGRASS

80 i f

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3 4 5 6 7 8 October 1956

Fig. 5. Frequency-time diagram for the Guadalupe Spectral peaks, Fig. 3. Each frequency band is indicated by a cross. The vertical lines give a measure of the possible range of values of peak

frequency; the horizontal lines give the duration of the analysed record.

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Fig. 6. Azimuthal-equidistant projection centred on San Diego. Distances from Guadalupe are given in units of degrees (1 ° equals i l I kin).

R

t=

g

4�f

f(t) =g

4�Rt

Propagation at the group velocity :

Measured frequency at time t :

The slope gives R. (Transparent B. Gallet)

Goutte d’eau tombant dans l’eau, mesuré par PIV

Jetons un caillou dans l’eau ...

Ondes de gravité Ondes capillaires x

t

λ grand

λ petit

x

t

λ grand

λ petit

4 - Réfraction, réflexion, diffraction

F. Logiurato. Teaching waves with google earth. Physics Education, 47(1):73, 2012.

Raidissement des vagues arrivant sur une plage €

λ ∝ h1/ 2

etζ ∝ h−1/ 4

Réfraction en eau peu profonde

- Variation continu de l’indice

-  Effet mirage optique ou acoustique

Réflexion par un mur : clapot

- Dans une piscine

Diffraction par une ouverture ou un obstacle (Principe de Huygens)

Port d’Alexandrie (Egypte)

λ ≈ d

Interférences par deux fentes (Principe de Huygens)