Outils mathmatiquesI. Elments de surface d et de volume dt I.1. Coordonnes cartsiennesR0 (O,x0y0z0)

I.2. Coordonnes cylindriquesDans le systme de coordonnes cylindriques, la position de la particule M est donnes par trois

coordonnes cylindrique (r,,z) dfinit comme suit :Dplacement lmentaire:

Le vecteur dplacement lmentaire MM ' (M trs voisin de M) est :Cas particulier :

Si la trajectoire de M est plane, ce point peut tre repr par ses coordonnes polaires et .M

Surface lmentaire:La surface lmentaire dS sobtient par variation lmentaire des deux variables, et zVolume lmentaire:Le volume lmentaire dt sobtient par variation lmentaire de trois variables, , z et I.3. Coordonnes sphriquesDans le systme de coordonnes sphriques, la position de la particule M est donnes par trois

coordonnes sphriques (r, j, q) dfinit comme suit :Dplacement lmentaire:

Le vecteur dplacement lmentaire de la particule M en coordonnes sphriques est donn par :

Surface lmentaire:La surface lmentaire dS sobtient par variation lmentaire des deux variables, et Volume lmentaire:Le volume lmentaire dt sobtient par variation lmentaire de trois variables, r, , Remarque :Les surfaces et volumes finis se calcule en intgrant ses lments de surfacedans les cas de systme cylindrique o sphrique Intgrale de surfaceIntgrale de volume

I.4. Angles solides Angle solide et angle solide lmentairea. Angle solideLa portion despace dlimite par les gnratrices du cne de sommet O correspond un angle dit solide , not W.Langle solide W est dfinit par : est la surface dintersection dune sphre de centre 0 et de rayon R avec la portion despace caractrise par W (W est exprim en stradian)b. Angle solide lmentaireLa surface lmentaire dS, autour du point M est vue de O sous langle solide dWLangle solide sous lequel on vois une surface finie sobtient en intgrant dW

II. Champ scalaire, vectorielII.1. Champ scalaire & vectoriel:Dfinition : Champ scalaire : tout point M de lespace on associe une fonction U = U(Mx,My,)

Champ vectoriel : un champ de vecteur A(M) est une application qui chaque point

M(x,y,z) de lespace est associ un vecteur A(M) :Ax, Ay, Az sont les composantes cartsiennes de A(M) Un champ est uniforme si U (et /ou A ) ne dpend pas de M.Notion duniforme : Notion de permanent (ou stationnaire) : un champ est permanent si U (et /ou A ) ne dpend que de M et pas du temps.II.2. GradientDfinition en cartsiennes : U tant un champ scalaireLes trois drives partielles dpendent comme U de x et y et z et ventuellement du temps. On fabrique donc un champ vectoriel (le gradient) partir dun champ scalaire.

Notation nabla :a. Variation lmentaire dUSoit M(x,y,z) et M(x+dx, y+dy, z+dz)b. Surface quipotentielle

II.2. Divergence Rotationnel Laplaciensa. Divergenceb. Rotationnel

Pour un champ scalaire: par dfinition le laplacien scalaire du champ scalaire f est :b. LaplaciennesPour un champ vectoriel : par dfinition le laplacien vectoriel du champ vectoriel A est le champ de vecteur :

II.3. Circulation dun champ de vecteursII.4. Flux dun vecteurOn en dduit que le flux f travers une surface scrit :Pour une surface ferme, on convient daffecter un signe + au vecteur unitaire sil est orient de lintrieur vers lextrieur du volume dlimit par cette surface ferme.

Thorme de Green-Ostrogradski :Soit une surface ferme dlimitant un volume t, Le flux dun champ de vecteur travers cette surface est quivalent lintgrale de sa divergence tendue au volume dlimit par cette surfaceferme.Intgrale de surfaceIntgrale de volumeThorme de StockesLa circulation dun champ vectoriel sur un contour ferm est quivalente au flux de son rotationnel partir de nimporte quelle surfaceCC contour ferm sur lequel sappuie la surface SIntgrale curviligneIntgrale surface