Cours 1: Courbes Planes Param etr ees...

$: Cours 1: Courbes Planes Param etr ees 1stockage.univ-brest.fr/~scott/IUT_CP_2016/CP_lecture_1.pdfCours 1: Courbes Planes Param etr ees 6 {Une courbe param etr ee est la donn ee du$
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 1

Cours 1. Etude des Courbes Planes

Parametrees


Idee intuitive d’une courbe parametree

Considerons une particule que se deplace dans le plan euclidien.

Nous voulons etudier la trajectoire de la particule ;

– La position de la particule.

– La vitesse de la particule, l’acceleration, peut-etre les derivees

par rapport au temps de l’ordre 3, 4, etc. ( ca veut dire le taux

de changement d’acceleration, etc.).

– La courbure de la trajectoire.

– La trace de la trajectoire pour avoir une vue plus globale.

– Est-ce qu’il y a des points interessants ou la courbe change

direction brutalement, la courbe se croise, etc.

– Par exemple une particule peut se deplacer le long d’une droite,

un cercle, ou des choses plus compliquees :


a) b)

c)

Figure 1 – a) une droite, b) un cercle, c) un « papillon »


– En supposant un repere (O;~i;~j) on peut decrire les courbes de la

Fig. 1 avec des equations :

a) y = 2x− 3, b) x2 + y2 = 1, c) y2 − 4x2(1− x2) = 0. (1)

Nous allons trouver une facon plus simple utilisant les

mathematiques plus puissantes.


Definition plus precise d’une courbe

parametree

– Nous supposons le repere orthornome (O;~i,~j) dans le plan

euclidien.

– On peut reperer la particule avec les deux fonctions coordonnees

x(t) et y(t) qui donnent les distances a l’origine O dans les

directions ~i et ~j en fonction de temps t :

−−→OM(t) = x(t)~i+ y(t)~j. (2)

NB : Les vecteur ~i et ~j sont orthonormaux, d’ou :

~i ·~i = 1, ~i ·~j = 0,

~j ·~j = 1. (3)


– Une courbe parametree est la donnee du repere et d’une

application a F : I ⊂ R→ R2 continue, ou F (t) = (x(t), y(t)), qui

menent a un ensemble de points M(t) quand t d’ecrit l’intervale

I.

– Remarque : Quand l’intervalle I n’est pas donne explicitement,

on le suppose d’etre le domaine de definition de l’application F .

Souvent c’est un « intervalle avec des trous ». Par exemple, la

courbe parametree definie par l’application

F (t) = (t3 + t, 1/t) (4)

a pour essemble de definition t ∈ R\{0}, ca veut dire tous les

nombres reels sauf 0. Pourquoi ? La fonction y : R→ R defini par

y(t) = 1/t ne donne pas un nombre reel lorsque t = 0. (L’infini

n’est pas un nombre reel.)

a. On lit cette phrase : l’application F est de l’intervalle I reel dans R. Ca veut

dire l’application F prend un argument t qui est un nombre reel dans l’intervalle

I et F donne les couples (x, y) ou x et y sont reels.


– Quand il y a un trou (respectivement plusieurs trous) le domaine

de definition est l’ensemble de deux intervalles (respectivement

plusieurs intervalles) et ca serait plus precis de parler de deux

courbes (respectivement plusieurs courbes). Mais nous ne ferons

pas la distinction et parlons simplement du intervalle et la courbe

singuliers.

– Nous ferons les deux hypotheses

(i) les fonctions coordonnees sont des fonctions analytiques ; i.e.

elles ont un developpement limite de Taylor autour de n’importe

quel point t0 de leur domaine I :

x(t) =∞∑k=0

(t− t0)k

k!

dkx

dtk

∣∣∣∣∣t=t0

,

y(t) =

∞∑k=0

(t− t0)k

k!

dky

dtk

∣∣∣∣∣t=t0

,

(5)


(ii) la courbe n’est pas un seul point : M(t) = (x0, y0), avec x0, y0

deux constantes.

Hypothese (i) est important pour nous parce qu’elle implique

tous ordres n ∈ N>0 des derivees de x(t) et y(t)

dnx(t)

dtn, et

dny(t)

dtn. (6)

existent sur I. Hypothese (ii) implique que ce n’est pas le cas ou

toutes les derivees sont zero.

– Nous ferons un rappel quand les hypotheses interviennent.


Exercice 1

– Pour les exemples dans equation (1)

a) y = 2x− 3, b) x2 + y2 = 1, c) y = ±2x√

1− x2. (7)

trouver les fonctions F : t 7→ (x(t), y(t)) qui parametre courbes.

– a) Solution. On peut decrire une droite avec la somme d’un

vecteur qui donne la position d’un point P sur la droite, par

exemple−−→OP = −3~j et un vecteur u0 =~i+ 2~j parallele a la droite

(on dit un vecteur directeur ) « etendu » ou « dilate » par le

parametre t ∈ R :

−−→OM(t) =

−−→OP + t ~u0,

= −3~j + t (~i+ 2~j),

= x(t)~i+ y(t)~j. (8)


Alors, F (t) = (x(t), y(y)) est donnee par

x(t) = t,

y(t) = −3 + 2t. (9)

– b) Indice : Designer la Fig. 2 :


t

Figure 2 – Le cercle unitaire, trouver les coordonnees x(t) et y(t)

comme fonctions trignometriques de l’angle t.


– c) Indice : Les fonctions coordonnees sont les fonction

trignometriques, periodiques, comme dans b). Mais regardez,

dans b) ils ont la meme periode. Ici, y fait combien de cycles

pour chaque cycle complet de x ?


Remarques

– Les courbes generales incluent les objets mathematiques plus

generaux ( la courbe de Peano qui rempli le carre par exemple ).

Nous nous concentrons sur les courbe parametrees avec les deux

fonctions coordonnees bien definies par des fonctions analytiques.

– Meme avec cette limitation, on peut voir des choses interessantes ;

par exemple les courbes parametrees pour laquelles il n’y a

aucune droites qui traversent la courbe en un point special.

– Les courbes parametrees sont plus generales que les fonctions

f : R→ R avec y := f(x). Par exemple, considerons le cercle, la

courbe b) de Fig. 1. Est-ce qu’on peut trouver une fonction

analytique f(x) qui decrit cette courbe ? (Rappelez-vous que

l’equation b) dans Eq. (1) n’est pas une fonction, c’est une

relation. Quel est le probleme ?


– Pour il n’importe quel courbe parametree, il y a un nombre infini

de parametrages differents, qui donnent les memes points. Par

exemple, on peut decrire le cercle avec les applications

F : t 7→ (x(t), y(t)) suivants :x(t) = cos(2t),

y(t) = sin(2t),(10)

x(t) = cos(t3),

y(t) = sin(t3).(11)

et un nombre infini d’autres possibilites. Pourriez-vous en

trouvez une ?

– Il faut donc distinguer entre l’ensemble des points dans la courbe

parametree (F (I) = M(t),∀t ∈ I) et la courbe parametree avec

notre choix de parametrage. L’essemble des points F (I) quel que

soit le parametrage, est appele le support de F . Desole, mais


dans les cours de Lescop, il appele le support « la courbe », et la

courbe « l’arc parametree ».


Etude locale : tangente, vitesse,

acceleration

– Dans l’interpretation de la courbe parametree comme la

description d’une particule qui se meut dans le plan, nous nous

interessons la vitesse :

~v :=d−−→OM(t)

dt= x′(t)~i+ y′(t)~j. (12)

– Dans le cas ou ~v(t0) 6= ~0, en t0 ∈ I, la vitesse donne un vecteur

directeur de la tangente a la courbe en t0. Dans ce cas, nous

dissons donc que M(t0) est un point regulier. La courbe est

reguliere si chaque point est regulier.

– Si, par contre, ~v(t0) = ~0, en t0 ∈ I, nous dissons que M(t0) est

un point singulier, ou en particulier un point stationaire. On


peut toujours a trouver un vecteur directeur pour la tangente a la

courbe en t0. Si l’acceleration ~a :

~a(t) :=d2−−→OM(t)

dt2= x′′(t)~i+ y′′(t)~j, (13)

n’est pas le vecteur nul, ~a 6= ~0, alors ~a donne un vecteur directeur

de la tangente a la courbe en t0.

– C’est bien possible que tous les deux ~v = ~a = ~0 en t0. Dans le cas

general, soit p > 0 le plus petit entier tel que

dp−−→OM(t)

dtp6= ~0, (14)

alors un vecteur directeur de la tangente en t0 est dp−−→OM(t)/dtp.

a. rapplez-vous notre deux hypotheses : (i) les fonctions coordonnees sont des

fonctions analytiques, (ii) la courbe n’est pas un seul point


Exercice 2 : tangente, vitesse,

acceleration

Pour une particule qui suit le cercle parametree comme dans

Eqs. (10) et (11) :

– (a) Est-ce qu’il y a des points stationaires ?

– (b) Calculer la vitesse au temps t = 0. Trouver un vecteur

directeur pour la tangente en t = 0.

– (c) Si les fonctions coordonnees ont des unites de metres, et le

parametre t a des unites de secondes, essayez de trouver les

unites de la vitesse que nous avons trouve dans (b). Il faut tirer

quelle lecon de cet exercice ? Indice : penser a la definition d’une

fonction trignometrique comme sin(θ). Quelles sont les unites de

θ ?


– (d) Est-ce que l’acceleration est toujours orthogonale a la vitesse

pour cette courbe ?


Exercice 1 : Solution

Pour une particule qui suit le cercle parametree comme dans

Eqs. (10) et (11) :

– (a) Les points stationaires : Le parametrage de l’Eq. (10)

n’admet aucuns points stationaires. En particulier, pour que

x′(t) = −2 sin(2t) = 0, on a t = nπ/2, n = 0, 1, . . .. Mais dans ces

cas on a y′(t) = 2 cos(2t) = ±1.

Par contre, le parametrage de l’Eq. (11) admet un point

stationaire en t = 0. En particulier, pour que

x′(t) = −3t2 sin(t3) = 0, on a t = nπ/2, n = 0, 1, . . .. Et dans ces

cas on a y′(t) = 3t2 cos(t3) = 0 en t = 0.

– (b) La vitesse : La vitesse est donnee par Eq. (12). Pour le

parametrage Eq. (10), on a au temps t = 0, x′(0) = 0 et

y′(0) = 2 cos(0) = 2, alors ~v(0) = 2~j . C’est un vecteur directeur


de la tangente a la courbe en t = 0.

– Pour le parametrage de l’Eq. (11) nous venons de trouver au

temps t = 0 qu’il y a un point stationaire en t = 0 :

x′(0) = −3t2 sin(t3)|t=0 = 0, y′(0) = 3t2 cos(t3)|t=0 = 0, (15)

La vitesse est nulle : ~v(0) = ~0. Mais le graphe indique que la

tangente au point (x(0), y(0)) = (1, 0) est verticale.

On cherche le vecteur derive de plus petit ordre qui n’est pas

egale a ~0. La derivee seconde donne le vecteur nul aussi :

x′′(0) = −3t(2 sin(t3) + 3t3 cos(t3)

)|t=0 = 0,

y′′(0) = 3t(2 cos(t3)− 3t3 sin(t3)

)|t=0 = 0. (16)

Finalement on trouve, pour la derivee troisieme :

x′′′(0) = 3(9t6 sin(t3)− 18t3 cos(t3)− 2 sin(t3)

)|t=0 = 0,

y′′′(0) = 3(−9t6 cos(t3)− 18t3 sin(t3) + 2 cos(t3)

)|t=0 = 6. (17)


et donc

d3−−→OM

dt3(0) = 6~j. (18)

La tangente en t = 0 admet 6~j pour vecteur directeur, qui est

bien verticale comme dans le graphe du cercle unitaire au point

(1, 0).

– (c) Unite de la vitesse : Pour le parametrage du cercle dans

Eq. (10),

x(t) = cos(2t), y(t) = sin(2t), (19)

on voit qu’il y a un « 1 [m] » implicite devant le cosinus et le

sinus pour que x et y ont les unites de metre :

x(t)[m] = 1[m] cos(2t), y(t)[m] = 1[m] sin(2t), (20)


Mais les derivees semblent d’avoir les unites de metres aussi,

x′(t) = −2 sin(2t)[m], y′(t) = 2 cos(2t)[m], (21)

bien que nous voulons unites de [m/s] ! Ou ce trouve l’erreur ?

L’indice indique il faut penser aux unites des arguments d’une

fonction trignometrique :

sin(θ) =b

c, θ =

s

R=

une longueur

une longueur[sans dimension] (22)

Comment avoir les arguments des fonctions trigonometrique de

l’Eq. (20) sans dimension ? Il faut avoir une echelle de temps

implicite dans le denominateur :

x(t)[m] = 1[m] cos

(2t[s]

1[s]

), y(t)[m] = 1[m] sin

(2t[s]

1[s]

), (23)


Puis on prend la derivee,

x′ = −21[m]

1[s]sin

(2t[s]

1[s]

)= 2[m s−1] sin

(2t[s]

1[s]

), (24)

ce qui donne l’unite de vitesse.

– La lecon a tirer est que les fonctions trignometriques (et

l’exponentiel, logarithme, . . . ) ont des arguments sans

dimensions. Dans les applications practiques, c’est plus facile de

suivre les unites si l’on ecrit :

x(t) = R cos(ωt), y(t) = R sin(ωt), (25)

ou R a des unites de longueur, en SI les metres, et ω est la

pulsation avec dimensions l’inverse du temps, en SI (rad · s−1).

– (d) Pour le parametrage de l’Eq. (10), la norme de la vitesse est

constante :

‖~v‖ :=√~v · ~v =

√(−2 sin(2t))2 + (2 cos(2t))2 = 2. (26)


La vitesse ne peut que changer de direction, alors l’acceleration

est forcement perpendiculaire a la vitesse. L’acceleration est

~a =d~v

dt= −4 cos(2t)~i− 4 sin(2t)~j, (27)

et donc

~v · ~a = +8 sin(2t) cos(2t)− 8 sin(2t) cos(2t) = 0. (28)

Par contre pour le parametrage de l’Eq. (11), la norme de la

vitesse n’est pas constante :

‖~v‖ :=√~v · ~v =

√(−3t2 sin(t3))2 + (3t2 cos(t3))2 = 3t2. (29)

Alors l’acceleration n’est pas toujours perpendiculaire a la


vitesse :

~v · ~a = −3t2 sin(t3)[−3t(2 sin(t3) + 3t3 cos(t3)

)]

+ 3t2 cos(t3)3t(2 cos(t3)− 3t3 sin(t3)

),

= 18t3. (30)


Etude globale

Quelles sont les questions que l’on peut poser sur la nature globale

de la courbe ?

Comparer les courbes dans Fig. 3


a) b)

c)

Figure 3 – a) une droite, b) un cercle, c) un « papillon »


– Le cercle et le papillon ne depassent pas au-dela d’une certaine

distance a l’origine, mais la droite tend vers l’infini dans les deux

sens :

Lorsque t→ +∞, x(t), y(t)→ +∞Lorsque t→ −∞, x(t), y(t)→ −∞

(31)

– Cette observation mene a la definition d’une branche infinie

ci-dessous.

– Alors, nous appelerons t0 une extremite de I ; t0 n’appartient pas

a I et t0 peut etre un reel ou +∞ ou −∞.

Branche Infinie Si au moins une des fonctions coordonnees

tend vers l’infini lorsque t tend vers t0, on dit que la courbe

parametree admet une branche infinie en t0.

– Alors une question importante on peut poser : Est-ce que la


courbe s’approche a l’infini ? Plus formalement : est-ce que la

courbe parametree admet une branche infinie ?

– Mais il y a plusieurs facons d’approcher a l’infini :

1. Seulement une des coordonnees tend vers l’infini, lorsque

l’autre reste finie. C’est-a-dire on peut avoir une asymptote

verticale ou horizontale :

limt→t0

x(t) =∞, asymptote horizontale d’equation y = a.

limt→t0

y(t) = a ∈ R. (32)

Ou

limt→t0

x(t) = a ∈ R, asymptote verticale d’equation x = a.

limt→t0

y(t) =∞. (33)

Voir Fig. 4.


a) b)

Figure 4 – a) F (t) = (t, 1/t) : Une asymptote verticale en t0 =

0, d’equation x = 0. b) F (t) = (t, 2π arctan(t)) : Les asymptotes

horizontales en t0 = ±∞ d’equation y = ±1.


2. Tous les deux coordonnees tendent vers l’infini. Mais dans ce

cas, il y a encore des possibilites differentes. Comparer la

droite de Fig. 3 avec la parabole

x(t) = t,

y(t) = t2. (34)

Voir Fig. 5.


a) b)

Figure 5 – a) F (t) = (t,−3+2t) : Une droite, limt→∞ y(t)/x(t) = 2.

b) F (t) = (t, t2) : Une parabole, limt→∞ y(t)/x(t) =∞.

Pour la droite le rapport des deux reste fini :

limt→∞ y(t)/x(t) = constante. Par contre, pour la parabole, y


tend vers l’infini plus vite que x.

3. Cette observation mene a la definition suivante : Considerons

une courbe qui admet une branche infinie en t0 tel que tous

les deux coordonnees tendent vers l’infini. Si y(t) tend vers

l’infini plus vite que x(t) on dit que la courbe admet une

branche parabolique de direction Oy. Par contre si x(t) tend

vers l’infini plus vite que y(t) on dit que la courbe admet une

branche parabolique de direction Ox.

limt→t0

y(t)

x(t)=∞, branche parabolique de direction Oy.

limt→t0

y(t)

x(t)= 0, branche parabolique de direction Ox. (35)

4. Revenons a la droite et la possibilite que le rapport des

coordonnees tend vers une constante, a ∈ R. La droite est un

cas triviale parce que la courbe est egale a la droite tout le

long de la courbe. Mais il y a des courbes qui s’approchent de


la droite seulement dans la limite t→ t0. Pour cela nous ne

demandons seulement pas que y(t)/x(t)→ a mais aussi que

limt→t0

(y(t)− ax(t)) = b ∈ R, (36)

et dans ce cas nous disons que la courbe parametree admet

une asymptote oblique d’equation y = ax+ b.

5. Meme si y(t)/x(t)→ a on peut avoir aussi

limt→t0

(y(t)− ax(t)) = ±∞, (37)

et dans ce cas nous disons que la courbe parametree admet

une branche parabolique de direction y = ax.


Autres possibilites au extremites de

l’intervalle

– Il arrive que les limites aux extremites n’existent pas.

– Par exemple, nous avons vu que le cercle peut etre parametre par

x(t) = cos(t), y(t) = sin(t). (38)

L’intervalle de definition des fonctions coordonnees est tous les

reels, I =]−∞; +∞[. Donc les extremites de l’intervalle I sont

t0 = ±∞. Mais les limites aux extremites n’existent pas :

limt→±∞

x(t), y(t) limites n’existent pas (39)

– Une troisieme possibilite est que la courbe s’approche en un


point a une extremite :

limt→t0

x(t) = a ∈ R, limt→t0

y(t) = b ∈ R, (40)

On dit que le point de coordonnees (a; b) est un point asymptote

a la courbe, ou que la courbe admet (a; b) comme point d’arret

quand t tend vers t0 (Ramis and Warusfel , 2006, Module III.2

§1.2.3).


Etude globale : reduire l’intervalle

d’etude

– Revenons au cercle parametre comme

x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), t ∈ I =]−∞; +∞[. (41)

– Les fonctions coordonnees sont toutes les deux periodique de

periode 2π. Alors nous n’avons que besoin d’etudier un intervalle

I = [θ; θ + 2π[ ; par exemple I = [−π; +π[.

– Il y a plusieurs autres possibilites pour reduire l’intervalle

d’etude. La fonction x est paire : x(t) = x(−t). La fonction y est

impaire : y(t) = −y(−t). Alors par consequence, il y a une

symetrie par rapport a l’axe des x ; pour chaque point (x, y) qui

appartient a la courbe il y a un autre point (x,−y) qui

appartient a la courbe. On peut donc reduire l’intervalle d’etude


a t ∈ I = [0; +π], qui donne les points sur et au dessus de l’axe

des x, puis apres on peut trouver les points de la courbe avec

y(t) < 0 utilisant la symetrie

x(u) = x(t), y(u) = −y(t), u = −t. (42)

– Notons enfin que x(π − t) = −x(t) et y(π − t) = y(t). On peut le

demontrer avec les identites trigonometriques, ou simplement

voir Fig. 6.


tt

Figure 6 – Le cercle unitaire : x(t) = cos(t) = − cos(π − t) et

y(t) = sin(t) = sin(π − t).


– Par consequent, il nous suffit d’etudier la courbe parametree avec

t ∈ I = [0;π/2]. Puis apres on peut construire la courbe pour

u ∈ [π/2;π] a partir de

x(u) = −x(t), y(u) = y(t), u = π − t, t ∈ [0;π/2]. (43)

– Au resume, nous avons reduit l’intervalle d’etude de ]−∞; +∞[

a [0;π/2]. Voir Fig. 7


Figure 7 – Le cercle unitaire : t ∈ I = [0;π/2] donne la partie

rouge. A partir de la partie rouge et la transformation (43) on re-

construit la partie bleue. Puis a partir des parties rouge et bleue et

la transformation (42) on reconstruit la partie verte.


Etude globale : reduire l’intervalle

d’etude

– On peut utiliser une ou pleusieurs des symetries que nous venons

d’utiliser pour le cercle pour les autres courbes parametrees.

– Il y a une autre symetrie que le cercle ne possede pas. Ca arrive

que nous savons les fonctions coordonnees pour (x(1/t), y(1/t)) a

partir des (x(t), y(t)) pour t ∈ I =]0;∞[. Par exemple,

considerons la coube parametree F (t) := (1/t, ln(t)). La

transformation

x(u) = 1/x(t), y(u) = −y(t), u = 1/t, (44)

nous permets de trouver (x(u), y(u)) sur u ∈]1,∞[ a partir de

(x(t), y(t)) sur t ∈]0; 1].


Plan d’etude d’une courbe parametree

Voir Ramis and Warusfel (2006, Module III.2 §1.3).

1. Determiner l’ensemble de definition de la courbe ; c’est

l’intersection des ensembles de definition des fonctions

coordonnees x et y.

2. Essayer de reduire l’ensemble d’etude en utilisant les

eventuelles symetries.

3. Etudier conjointement les variations des fonctions coordonnees

x et y. Dresser un tableau ou figurent simultanement x′, x, y′, y.

4. Rechercher les points stationnaires et etudier l’allure de la

courbe au voisinage de ces points. Determiner les tangentes.

5. Rechercher et etudier la nature des eventuelles branches

infinies.


6. Tracer la courbe.


References

Ramis, J.-P., and A. Warusfel (2006), Mathematiques : Tout-en-un

pour la Licence : Niveau L1, 861 pp., Dunod, Paris, 861 + XX pp.

Cours 1: Courbes Planes Param etr ees...

Documents

Transcript of Cours 1: Courbes Planes Param etr ees...