Chapitre 1

Courbes paramétrées en coordonnées

cartésiennes

On considère R2 muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j). L'objectif est d'étudier des courbes dans le planqui ne sont pas la courbe représentative d'une fonction ... (trajectoire d'un mobile, description de �guregéométrique ...)

1.1 Dé�nition et exemples

Soient A une partie de R et ~f :

{I → R2

t→ (x(t), y(t)).

On dit que ~f est une fonction vectorielle à valeurs dans R2.x et y qui sont des fonctions s'appellent les composantes de ~f .

Dé�nition 1

Soit ~f une fonction vectorielle dé�nie sur un intervalle I de R à valeur dans R2, de composantex et y. On dit que :

i limt→t0

~f(t) = (a, b) lorsque limt→t0

x(t) = a limt→t0

y(t) = b.

ii ~f est continue sur I lorsque x et y sont continue sur I .

iii ~f est k fois dérivable (k ∈ N) lorsque x et y sont k fois dérivable sur I.

Lorsque ~f est k fois dérivable sur I, on note ~f (k)(t) = (x(k)(t), y(k)(t)).

Dé�nition 2

Soient I un intervalle (ou une réunion d'intervalles) de R,

~f :

{I → R2

t→ (x(t), y(t)).et C =

{M(t)/ ~OM(t) = x(t)~i+ y(t)~j

}.

Le triplet (I, ~f, C) est appelé arc paramétré plan.

Le couple (I, ~f) est le paramétrage de l'arc ; C est la courbe ou le support de l'arc.

Dé�nition 3

1

L'étude d'un arc paramétré peut correspondre à l'étude, sur un intervalle de temps I, dumouvement d'un point mobile M(t) dont la position à l'instant t est (x(t), y()).Dans ce cas :

� le support de l'arc s'appelle la trajectoire du mouvement ;

� les vecteurs ~f ′(t) et ~f ′′(t) s'appellent respectivement vitesse et accélération au pointM(t) à l'instant t.

Interprétation cinématique

La courbe dé�nie par

C :{

x(t) = x0 + aty(t) = y0 + bt

représente la droite passant par le point (x0, y0) et de coe�cient directeur (a, b).

Exemple 1

La courbe dé�nie par

C :{

x(t) = x0 +R cos(t)y(t) = y0 +R sin(t)

représente le cercle de centre (x0, y0) et de rayon R.

Exemple 2

exemples internet

Exemple 3

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré.

On dit que (I, ~f, C) est un arc simple lorsque :

∀M ∈ C,∃!t ∈M/ M est le point de coordonnées de ~f(t).

Lorsque (I, ~f, C) n n'est pas un arc simple, les points de C ayant plusieurs antécédents sontdits des points multiples (double, triple...).

Dé�nition 4

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable.

� Le point M(t) est dit régulier lorsque ~f ′(t) 6= (0, 0) et il est dit stationnaire sinon.

� Le point M(t) est dit birégulier lorsque ~f ′(t) et ~f ′′(t) ne sont pas colinéaire.� On dit qu'un arc paramétré est régulier (resp. birégulier) si tous les points de l'arc sont

réguliers (resp. biréguliers).

Dé�nition 5

1.2 Domaine d'étude

Il faut que les deux fonctions x et y admettent toutes les deux la même période T . Dans cecas on se restreint à l'intervalle [0, T ].

Périodicité

2

Il faut que les deux fonctions x et y soient toutes les deux paires et/ou impaires. Dans ce cas onse restreint systématiquement à l'intervalle des t positifs ([0,+∞[ au max), on trace la courbeet on fait une symétrie par rapport à :

x y symétriepaire paire l'axe y=xpaire impaire à l'axe des abscissesimpaire paire à l'axe des ordonnéesimpaire impaire à l'origine

Parité

1.3 Tangente en un point

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit t0 ∈ I.

On dit que l'arc (I, ~f, C) admet une tangente au point M(t0) lorsque l'on peut trouver au

voisinage de t0 un vecteur directeur ~u(t) de la droite (M(t)M(t0)) possédant une limite nonnulle en t0 : ~ut0 .La droite passant par M(t0) et dirigé par ce vecteur ~ut0 est alors appelée tangente à l'arcparamétré en M(t0). Si elle existe, on notera TM0

cette tangente.

Dé�nition 1

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit Mt0 un point régulier de

l'arc. Alors l'arc admet en M(t0) une tangente TM0 dirigé par ~f ′(t0).

Proposition 1

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit Mt0 un point régulier del'arc. Alors :

� si x′(t0) 6= 0, alors la pente de la tangente TM0et m(t0) =

y′(t0)x′(t0)

.

� si y′(t0) = 0, alors la tangente est horizontale.� si x′(t0) = 0, alors la tangente est verticale.

Proposition 2

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f esr k fois dérivable et soit Mt0 un point stationnairede l'arc.On suppose qu'il existe j ∈ N∗ tel que ~f (j)(t0) 6= ((0, 0).

Soit p = min{j/ ~f (j)(t0) 6= ((0, 0)}.Alors l'arc admet en M(t0) une tangente TM0

dirigé par ~f (p)(t0) qui est un vecteur non nul.

Proposition 3

La courbe dé�nie par

C :{

x(t) = x0 + aty(t) = y0 + bt

représente la droite passant par le point (x0, y0) et de coe�cient directeur (a, b). En e�etx′(t) = a et y′(t) = b)

Exemple 1

3

1.4 Étude locale

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f est 2 fois dérivable et soit Mt0 unpoint birégulier de l'arc. Alors au voisinage de M(t0), C a l'allure ci-dessous :

Proposition 1

4

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré tel que ~f soit k fois dérivable et soit Mt0 un point stationnairede l'arc. Soit p le plus petit entier tel que :

~Vp = ~f (p)(t0) 6= (0, 0) p ≥ 2;

et q le plus petit entier tel que : ~Vp == ~f (p)(t0) et ~Vq = ~f (q)(t0) ne sont pas colinéaires.Suivant la parité de p et q, C a l'allure suivante au voisinage de M(t0) :

Proposition 2

La courbe dé�nie par

C :{

x(t) = et−1 − ty(t) = t3 − 3t

Alors x′(t) = et−1−1 et y′(t) = 3t2−3 et x′(t) = y′(t) = 0 si et seulement si t = 1. Donc M(1)est l'unique point stationnaire. De plus x′′(t) = et−1 et y′′(t) = 6t donc x′′(1) = 1 et y′′(1) = 6

la tangente à la courbe C au point M(1) est dirigée par le vecteur ~V2 de coordonnées (1, 6).

Exemple 1

1.5 Branche in�nies

Proposition 1

Soit (I, ~f, C) un arc paramétré avec ∀t ∈ I, ~f(t) = (x(t), y(t)). Ou t0 désigne une borne de I (�nie ouin�nie).

� si limt→t0

x(t) = x0 et limt→t0

y(t) = ±∞ alors la courbe C admet une asymptote verticale d'équation

x = x0

5

� si limt→t0

x(t) = ±∞ et limt→t0

y(t) = y0 alors la courbe C admet une asymptote horizontale d'équation

y = y0

� si limt→t0

x(t) = x0 et limt→t0

y(t) = y0 alors la courbe C admet un point asymptote de coordonnées :

(x0, y0)

� si limt→t0

x(t) = ±∞ et limt→t0

y(t) = ±∞ alors :

� si limt→t0

y(t)x(t) = ±∞ alors la courbe C admet une branche parabolique dans la direction des y

positifs si limt→t0

y(t) =∞ ; négatif sinon.

� si limt→t0

y(t)x(t) = 0 alors la courbe C admet une branche parabolique dans la direction des x positifs

si limt→t0

x(t) =∞ ; négatif sinon.

� si limt→t0

y(t)x(t) = a ∈ R∗ alors :

� si limt→t0

yax = ±∞ alors la courbe C admet une branche parabolique dans la direction des

y = ax� si lim

t→t0yax = b alors la droite d'équation y = ax est une asymptote à la courbe C reste à

étudier le signe de la di�érence.

6

1.6 Étude d'une courbe paramétrée

Démarche illustrée avec la courbe paramétrée dé�nie par :{x(t) = 2t+ 2

t

y(t) = t2 − t4

2

1. Domaine de dé�nition

2. Réduction du domaine

3. Tableau de variations

4. Etude des points particuliers

5. Etude des branches in�nies

6. Dessin de la courbe

1.6.1 Domaine de dé�nition

On aDx = R\{0}, Dy = R

doncD = R\{0}.

D = Dx ∩Dy

1.6.2 Réduction du domaine

Ici x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) pour tout t ∈ D. On se restreint donc à l'intervalle ]0,+∞[ et one�ectuera une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

1.6.3 Tableau de variations

Calcul des dérivées :

x′(t) = 2− 2

t2=

2t2 − 2

t2, y′(t) = 2t− 2t3.

On regarde où ces dérivées s'annulent puis on étudie le signe des dérivées, pour obtenir le tableau devariations.

7

t 0 1 +∞x′(t) − 0 +

+∞ +∞x ↘ ↗

4y′(t) 0 + 0 −

1/2↗ ↘

0 −∞

Le tableau est complété par le calcul des limites éventuelles.

1.6.4 Etude des points particuliers

∗ Tangentes verticales

Si x′(t0) = 0 et y′(t0) 6= 0 alors la courbe admet une tangente verticale en (x(t0), y(t0)) (au temps t0) :

(0, y′(t0)).

∗ Tangentes horizontales

Si x′(t0) 6= 0 et y′(t0) = 0 alors la courbe admet une tangente horizontale en (x(t0), y(t0)) (au temps t0) :

(x′(t0), 0).

∗ Points stationnaires (ou singuliers)

Si x′(t0) = 0 et y′(t0) = 0 alors le point (x(t0), y(t0)) est dit singulier. On e�ectue alors un DL3(t0) (oud'ordre supérieur) des fonctions x et y : Ici on pose t = h+ 1 ...

x(t) = 4 + 2(t− 1)2 − 2(t− 1)3 + (t− 1)3ε1(t)

y(t) = 12 − 2(t− 1)2 − 2(t− 1)3 − (t−1)4

2

On détermine le vecteur tangent Vp = (2,−2) ainsi que Vq = (−2,−2) le premier vecteur non colinéaireà Vp.

On peut aussi calculer les vecteurs ~f (k) = (x(k), y(k)) par dérivations successives.

1.6.5 Etude des branches in�nies

∗ On a limt→0 x(t) = +∞ et y(0) = 0 donc la courbe C admet une asymptote horizontale d'ordonnée 0.

∗ On a limt→+∞ x(t) = +∞ et limt→+∞ y(t) = −∞. On calcule donc la limite

limt→+∞

y(t)

x(t)= lim

t→+∞

t2 − t4/2

2t− 2/t= −∞.

Donc la courbe C admet une parabole verticale en l'in�ni.

1.6.6 Dessin de la courbe

Traceur

8

Chapitre 2

Courbes paramétrées en coordonnées

polaires

On considère R2 muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j).

Dé�nition et exemples

Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) dans R2. On considère un système de

coordonnées polaires (SCP) de M(x, y) lorsque :

{x = ρcos(θ)

y = ρsin(θ).

Dé�nition 1

� Le point O admet comme coordonnées polaires (0, θ) avecθ ∈ R.� SoitM un point du plan. Si (ρ, θ) est un SCP deM , alors (ρ, θ+2kπ) et (−ρ, θ+(2k+1)π)

où k ∈ Z sont des SCP de M .

� Soient M(ρ, θ) et M ′(ρ′, θ′) ; alors : M =M ′ ⇔ ∃k ∈ Z/

{ρ′ = (−1)kρθ′ = θ + kπ

Proposition 1

On dit qu'une courbe C du plan a pour équation polaire : ρ = f(θ) lorsque l'on a équivalencesuivante : (M de SCP (ρ, θ) appartient à C )⇔ ρ = f(θ).

Dé�nition 2

Soit θ ∈ R, on note : ~uθ = cos(θ)~i + sin(θ)~j et ~vθ = −sin(θ)~i + cos(θ)~j. Rθ = (O, ~uθ, ~vθ) estun repère orthonormé direct du plan (repère de Frenet).

Proposition 2

La courbe dé�nie par ρ = R représente le cercle de centre O et de rayon R.

Exemple 1

1

Une équation polaire d'une droite passant par O est θ = α et réciproquement.

Exemple 2

exemples internet

Exemple 3

Domaine d'étude

1. Si ρ(θ + 2π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur 2π et on a alors l'ensemblede la courbe.

2. Si ρ(θ + π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur π puis en e�ectuant lasymétrie par rapport à l'origine on a alors l'ensemble de la courbe.

3. Si ρ(θ + π/2) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur π/2 puis en e�ectuant larotation de centre l'origine et d'angle π

2 puis la rotation de centre l'origine et d'angle πon a alors l'ensemble de la courbe.

4. Si ρ(θ + 4π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur 4π et on a alors l'ensemblede la courbe.

5. Si ρ(θ + 3π) = ρ(θ) on travaille sur un intervalle de longueur 3π puis on e�ectue lasymétrie par rapport à l'origine on a alors l'ensemble de la courbe.

Périodicité

On étudie ρ(−θ) :� Si ρ(−θ) = ρ(θ) (fonction paire), on étudie pour les valeurs de θ ≥ 0 puis on complète

la courbe obtenue par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.� Si ρ(−θ) = −ρ(θ) (fonction impaire), on étudie pour les valeurs de θ ≥ 0 puis on

complète la courbe obtenue par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.Plus généralement on peut regarder si ρ(α − θ) = ρ(θ), on étudie pour les valeurs de θ ≥ α

2puis on complète la courbe par symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et d'angleα2 .

Parité

On considère la courbe C dé�nie en coordonnées polaires par ρ(θ) = 1 + sin(2θ)� ∀θ ∈ R, ρ(θ + π) = ρ(θ) donc la fonction est π-périodique. On étudie donc sur un

intervalle de longueur π puis on construit le symétrique de la courbe obtenue par rapportà l'origine.

� ∀θ ∈ R, ρ(π2 − θ) = 1 + sin(π − 2θ) = 1 + sin(2θ) = ρ(θ), ce qui prouve que les pointsM(ρ, π2 − θ) et M(ρ, θ) sont symétrique par rapport à la droite passant par O d'anglepolaire π

4 .Conclusion : on étudie la courbe sur [π4 ,

3π4 ] puis on obtient la courbe par deux symétries

successives. Plus généralement on peut regarder si ρ(α− θ) = ρ(θ), on étudie pour les valeursde θ ≥ α

2 puis on complète la courbe par symétrie par rapport à la droite passant par l'origineet d'angle α

2 .

Exemple 1

2

Étude locale

Soient C la courbe du plan d'équation polaire ρ = f(θ) et M(ρ, θ) ∈ C.1. Si ρ(θ) 6= 0 ( ce qui équivaut à M 6= O) alors la tangente à C au point M est dirigée par

le vecteur ρ′(θ) ~uθ + ρ(θ)~vθ. De plus :

(a) si ρ′(θ) = 0 alors la tangente est perpendiculaire à la droite (OM).

(b) si ρ′(θ) 6= 0 alors en notant V l'angle ( ~uθ, ρ′(θ) ~uθ + ρ(θ)~vθ) on a tan(V ) = ρ(θ)

ρ′(θ) .

2. Si ρ(θ) = ρ(θ0) = 0 et ρ est continue en θ0, alors C admet pour tangente en O la droitepassant par O et d'angle polaire θ0. De plus :

(a) si ρ change de signe en θ0 alors on a un point ordinaire.

(b) si ρ ne change pas de signe en θ0, alors on a un point de rebroussement de premièreespèce.

Proposition

3

Branches in�nies

Soit C la courbe d'équation polaire ρ = f(θ).

1. Si ρ(θ) →θ→±∞

0, alors O est un point asymptote de C.

2. Si ρ(θ) →θ→±∞

a 6= 0, alors le cercle de centre O et de rayon |a| est un cercle asymptote à

C.

3. Si ρ(θ) →θ→±∞

+∞, alors C présente une branche-spirale.

4. S'il existe θ0 tel que (θ) →θ→θ0

+∞ alors : soit M(ρ, θ) ∈ C ; dans le repère Rθ0 =

(O, ~uθ0 , ~vθ0), les coordonnées cartésiennes de M sont Xet Y avec X = ρ(θ0)cos(θ − θ0)et Y = ρ(θ0)sin(θ − θ0).(a) Si Y (θ) →

θ→θ0L, alors C admet pour asymptote la droite d'équation cartésienne

Y = L dans le repère Rθ0 .

(b) Si Y (θ) →θ→θ0

±∞, alors C admet une branche parabolique dans la direction de l'axe

des abscisses dans Rθ0 .

Proposition 1

Étude d'une courbe paramétrée en coordonnées polaires

Démarche illustrée avec la courbe paramétrée dé�nie par :

ρ = ln(θ)

1. Domaine de dé�nitionLe domaine de dé�nition est Dρ = R∗+.

2. Réduction du domainePas de périodicité ni de parité.

3. Recherche des valeurs de θ pour lesquelles ρ(θ) = 0Soit θ ∈ Dρ et ρ(θ) = 0 alors θ = 1, donc la courbe passe une seul fois par l'origine et la courbe esttangente en ce point à la droite d'équation polaire : θ = 1 (car ρ′(1) = 1).

4. Étude du signe de ρ

θ 0 1 +∞ρ − 0 +

5. Étude des variations de ρρ′(θ) = 1

θ > 0 ; ∀θ ∈ Dρ

4

6. Étude des branches in�niesρ(θ) →

θ→∞+∞ donc la courbe admet une spirale asymptote lorsque θ tend vers +∞.

ρ(θ) →θ→0+

−∞, on travaille alors dans le repère R0 = R = (O,~i,~j)

on a X(θ) →θ→0+

−∞et Y (θ) →

θ→0+0−.

Ceci donne l'axe des abscisses comme asymptote à C quand θ tend vers 0.

7. Dessin de la courbeTraceur

5

Chapitre 3

Étude métrique des courbesparamétrées

3.1 Longueur de courbe

3.1.1 Coordonnées cartésiennes

Dans cette section on considère une courbe paramétrée C dont le paramétrage est dé�ni et dérivable(C1) sur un intervalle I = [a, b] :

t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t)

sont dérivables sur I.

La longueur de la courbe C est le nombre positif :

LC =∫ ba‖ ~OM

′(t)‖ dt =

∫ ba

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

Dé�nition 1

Calculer une longueur c'est donc calculer une intégrale.

Remarque 1

Soit C le cercle trigonométrique. Il est paramétré par t 7−→ (cos(t), sin(t)) sur [0, 2π]. Le para-

métrage est dérivable et on a :

LC =

∫ 2π

0

√(− sin(t))2 + cos(t)2 dt =

∫ 2π

0

1 dt = 2π.

Exemple 1

Soit C le cercle de centre A(1, 0) et de rayon R > 0. Il est paramétré par t 7−→ (1 +R cos(t), R sin(t)) sur [0, 2π]. Le paramétrage est dérivable et on a :

LC =

∫ 2π

0

√(−R sin(t))2 + (R cos(t))2 dt =

∫ 2π

0

Rdt = 2πR.

Exemple 2

1

Soit C la courbe paramétrée par :

x(t) = cos3(t), y(t) = sin3(t).

Le paramétrage est dérivable et a des propriétés de symétrie sur [0, π/2], on a donc :

LC = 4

∫ π/2

0

√(−3 sin(t) cos2(t))2 + (3 cos(t) sin2(t))2 dt = 12

∫ π/2

0

sin(t) cos(t) dt = 6.

Exemple 3

Si l'on souhaite déterminer la longueur d'un arc de courbe paramétrée sur [t0, t1] ⊂ [a, b], alorson calcule ∫ t1

t0

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

On a alors ∫ t1

t0

√x′(t)2 + y′(t)2 dt ≤

∫ b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 dt

Remarque 2

La longueur de l'arc de cercle sur [0, 2π/3] du cercle trigonométrique est donnée par :

L =

∫ 2π/3

0

1 dt =2π

3.

Exemple 4

3.1.2 Coordonnées polaires

Dans cette section on considère une courbe paramétrée C dont le paramétrage est dé�ni et dérivable(C1) sur un intervalle I = [θ0, θ1] par r = f(θ).

La longueur de la courbe C est le nombre positif :

LC =∫ θ1θ0

√f(θ)2 + f ′(θ)2 dθ.

Dé�nition 1

Soit C le cercle trigonométrique. Il est paramétré par r = 1. Le paramétrage est dérivable et

on a :

LC =

∫ 2π

0

√1 + 0 dt =

∫ 2π

0

1 dt = 2π.

Exemple 1

2

Le cardioïde C paramétré par r = 1 + cos(θ) est symétrique par rapport à l'axe des abscisses

et on a :

LC = 2

∫ π

0

√(1 + cos(θ))2 + (− sin(θ))2 dθ = 2

√2

∫ π

0

√1 + cos(θ) dθ.

Or cos(θ) = 2 cos2(θ/2)− 1 donc :

LC = 4

∫ π

0

cos(θ/2) dθ = 8.

Exemple 2

3.2 Courbure

Soit C une courbe paramétrée par un paramétrage dé�ni et 2 fois dérivable sur un intervalle I = [a, b] :M(t) = (x(t), y(t)).

3.2.1 Rayon de courbure

Le rayon de courbure de C en t est donné par

R(t) = ‖ ~OM′(t)‖3

|det( ~OM′(t), ~OM

′′(t))|

.

Dé�nition 1

Soit C le cercle de centre O et de rayon R. On a R(t) = R3

R2 = R.

Exemple 1

Soit C dé�nie par {x(t) = 3t− t3y(t) = 3t2

On a x′(t) = 3− 3t2, x′′(t) = −6t et y′(t) = 6t, y′′(t) = 6. On a :

‖ ~OM′(t)‖3 =

√(3− 3t2)2 + (6t)2

3= 27(1 + t2)3,

et ∣∣∣∣3− 3t2 −6t6t 6

∣∣∣∣ = 18(1 + t2).

On en déduit que

R(t) =27(1 + t2)3

18(1 + t2)=

3

2(1 + t2)2.

Exemple 2

3

3.2.2 Courbure

La courbure de C en t existe si R(t) 6= 0 et est donnée par

k(t) = 1R(t)

Dé�nition 1

Soit C le cercle de centre O et de rayon R. On a k(t) = 1R .

Exemple 1

Dans l'exemple précédent, la courbure de C en t est

k(t) =2

3(1 + t2)2.

La courbure en 0 vaut k(0) = 23 .

Exemple 2

3.2.3 Cercle osculateur

Le cercle osculateur de C en t est le cercle qui approche au mieux la courbe C au temps t.

Remarque 1

Ce cercle a pour rayon R(t) et pour centre :

(x(t)− y′(t) ‖ ~OM

′(t)‖2

det( ~OM′(t), ~OM

′′(t))

, y(t) + x′(t) ‖ ~OM′(t)‖2

det( ~OM′(t), ~OM

′′(t))

).

Dé�nition 1

Le centre des cercles osculateurs de l'exemple précédent a pour coordonnées :(3t− t3 − 6t

(3− 3t2)2 + (6t)2

18(1 + t2), 3t2 + (3− 3t2)

(3− 3t2)2 + (6t)2

18(1 + t2)

).

Le cercle osculateur en t = 0 a pour rayon R(0) = 32 et pour centre

(0, 3/2).

Le cercle osculateur en t = 1 a pour rayon R(1) = 6 et pour centre

(−4, 3)

Exemples 1

4

On considère la courbe paramétrée astroïde dé�nie par

M(t) = (cos3(t), sin3(t)).

Exemple 2

5

On considère la courbe paramétrée cardioïde dé�nie par

ρ(θ) = 1 + cos(θ).

Exemple 3

6